introduÇÃo aos sistemas lÓgicos
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INTRODUÇÃO AOS
SISTEMAS LÓGICOS
SISTEMAS LÓGICOS
PROF. ANDRÉ MONTEVECCHI
PROFA. ANNA TOSTES
24/10/2011
Prof. André Montevecchi / Profa. Anna Tostes 1
SUMÁRIO
• Àlgebra de Proposições
• Operadores Lógicos
• Expressões e Equações Lógicas
• Circuito Lógico
• Propriedades da Álgebra Booleana
• Simplificação de Expressões Lógicas
24/10/2011
Prof. André Montevecchi / Profa. Anna Tostes
2
ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES
Proposição é o enunciado de uma verdade que se
quer demonstrar
Toda proposição é uma frase mas nem toda frase é
uma proposição
ÁLGEBRA DE BOOLE
Proposta por George Boole em 1854
Álgebra ordinária dos reais:
• Variáveis podem assumir valores no intervalo
(-∞;+∞)
Álgebra de Boole:
• Variáveis booleanas só podem assumir um
número finito de valores (dois, verdadeiro ou
falso)
ÁLGEBRA DE BOOLE
É conhecida por álgebra de proposições
Uma frase é uma proposição apenas quando
admite um dos dois valores lógicos:
• Falso (0)
• Verdadeiro (1)
• Mas nunca ambas ao mesmo tempo
ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES
Frases que não são proposições
• Pare!
• Quer uma xícara de café?
• Eu não estou bem certo se esta cor me
agrada
ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES
Frases que são proposições
• A lua é o único satélite do planeta terra (Verdadeiro)
• A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (Falso)
• O numero 712 é ímpar (Falso)
• Raiz quadrada de dois é um número irracional (Verdadeiro)
• 10 > 23 (Verdadeiro)
OPERADORES LÓGICOS
Construir novas proposições a partir de
proposições já existentes
Principais operadores lógicos:
• Conjunção
• Disjunção
• Negação
CONJUNÇÃO
Considere duas proposições (p e q)
Se p e q forem verdadeiras (1)
• Então a conjunção de ambas será
verdadeira (1)
Se uma das duas for falsa (0)
• Então a conjunção (s) também será falsa
(0)
CONJUNÇÃO
Intervalo fechado de 1 a 5:
1 ≤ x ≤ 5
= 1 ≤ x E x ≤ 5
1 5
CONJUNÇÃO
P Q P AND Q
Falso Falso Falso
Falso Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso Falso
Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
CONJUNÇÃO
P Q P AND Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
CONJUNÇÃO
Notação: X • Y = X e Y
A porta AND ( E ) implementa essa relação
• Pode ter duas (p, q) ou mais entradas
• A saída (s) assumirá o valor
• 1 se, e somente se, todas as entradas
forem iguais a 1
• Caso uma, ou mais entradas sejam
iguais a 0, a saída terá valor 0
CONJUNÇÃO
A porta AND ( E ):
CONJUNÇÃO
CONJUNÇÃO
CONJUNÇÃO
CONJUNÇÃO
DISJUNÇÃO
Considere duas proposições (p e q)
Se p e q forem falsas (0)
• Então a disjunção de ambas (s) será falsa
Se uma delas for verdadeira (1)
• Então a disjunção também será
DISJUNÇÃO
Intervalo aberto: menor que 1 e maior que 5
1 > x > 5
= 1 > x OU x > 5
1 5
DISJUNÇÃO
P Q P AND Q
Falso Falso Falso
Falso Verdadeiro Verdadeiro
Verdadeiro Falso Verdadeiro
Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
DISJUNÇÃO
P Q P AND Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
DISJUNÇÃO
Notação: X + Y = X ou Y
A porta OR ( OU ) implementa essa relação
• Pode ter duas (p, q) ou mais entradas
• A saída (s) assumirá o valor
• 0 se, e somente se, todas as entradas
forem iguais a 0
• Caso uma, ou mais entradas forem
iguais a 1, a saída terá valor 1
DISJUNÇÃO
A porta OR ( OU ):
DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO
NEGAÇÃO
Considere uma proposição p
Se p for falsa (0)
• Então a negação será verdadeira (1) Se p for verdadeira (1)
• Então a negação será falsa (0)
Também chamada de complementação ou inversão
P Q
Falso Verdadeiro
Verdadeiro Falso
NEGAÇÃO
NEGAÇÃO
P Q
0 1
1 0
NEGAÇÃO
Notação: x’ = não (x)
A porta NOT (NÃO) implementa essa relação
• Também é chamada de INVERTER
(INVERSOR)
• Só tem uma entrada (p)
• A saída assumirá o valor
• 1, se a entrada for igual a 0
• 0, se a entrada for igual a 1
NEGAÇÃO
A porta NOT (NÃO):
NEGAÇÃO
NEGAÇÃO
EXPRESSÕES LÓGICAS
Feita com a combinação dos operadores lógicos
AND, OR, NOT
Exemplo: suponha x, y, z variáveis lógicas
x’ + y z
z + (x + y)’
(x y’)’ + z
EXPRESSÕES LÓGICAS
Prioridade de Conectivos
• A ordem de avaliação de uma expressão,
envolvendo conectivos lógicos, será da
esquerda para a direita
• Deve-se respeitar as prioridades dos
conectivos, sendo a primeira a mais alta: • (1) NÃO, (2) E, (3) OU
• Pode-se mudar a ordem de avaliação por
meio de parênteses
EXPRESSÕES LÓGICAS
Prioridade de Conectivos
• Considere a expressão:
x + y' • z
• A sua avaliação será feita na seguinte
ordem de prioridade: • Negação de (y): y’
• Conjunção com (z): y' • z
• Disjunção com (x): (y' • z) + x
EXPRESSÕES LÓGICAS
Para verificar o resultado da expressão, pode-se
criar a tabela-verdade
O resultado final depende dos valores de entrada
das variáveis lógicas
EXPRESSÕES LÓGICAS
TABELA-VERDADE
• O procedimento para a criação da tabela
verdade a partir de uma equação Booleana
é: 1. Criar colunas para as variáveis de entrada e listar todas as
combinações possíveis, utilizando a fórmula no de
combinações = 2n (n é o número de variáveis de entrada)
2. Criar uma coluna para cada variável de entrada que
apareça complementada na equação e anotar os valores
resultantes
3. Avaliar a equação seguindo a ordem de precedência, a
partir do nível de parêntesis mais internos
EXPRESSÕES
LÓGICAS
• EXEMPLO: TABELA VERDADE DE Y + Z + X’
x y z y + z x' y + z + x’
0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1
EXPRESSÕES LÓGICAS
Qual seria a tabela-verdade para as expressões
abaixo:
① x + y' • z
② z + (x + y)’
③ (x y’)’ + z
EXPRESSÕES LÓGICAS
Tabela-verdade: (y’ • z) + x
EQUAÇÕES LÓGICAS OU
BOOLEANA
Quando atribuímos uma expressão lógica a uma
variável lógica, temos uma equação lógica
(booleana)
Exemplo:
• S = X + (Y’ Z) X
CIRCUITO LÓGICO
Conjunto de portas lógicas e respectivas conexões
que simbolizam uma equação booleana
São formados pelas portas lógicas já apresentadas
• Existem outras portas lógicas além de AND,
OR e NOT que serão vistas mais para
frente • Exemplo: NOR, NAND, XOR, XNOR
CIRCUITO LÓGICO
NOT
AND
OR
CIRCUITO LÓGICO
Nos circuitos lógicos do computador, os sinais
binários são representados por níveis de tensão
• É utilizada a álgebra de boole
É considerado como uma caixa preta
• O conteúdo implementa um tipo de porta ou
uma combinação das mesmas
CIRCUITO LÓGICO
CAIXA PRETA
CIRCUITO LÓGICO
CIRCUITO LÓGICO
1
1
0 = 1
0
0
CIRCUITO LÓGICO
1
1
0 = 1
CAIXA PRETA
CIRCUITO LÓGICO
Instruções para criação do circuito
1. Identificar as variáveis independentes da expressão
2. Para cada uma destas, traçamos uma linha (da esquerda para a direita), representando os fios que conduzem os valores
3. Desenhar as portas necessárias para representar cada uma das sub-expressões, na mesma ordem tomada para a avaliação: ( ), NOT, AND, OR
CIRCUITO LÓGICO
Equação: s = x + y' • z
CIRCUITO LÓGICO
Equação: s = x + y' • z
CIRCUITO LÓGICO
Equação: s = x + y' • z
CIRCUITO LÓGICO
Se fosse desejado que a operação de disjunção
ocorresse antes da conjunção, seria necessário o uso
de parênteses
• Notação:
S = ( x + y' ) • z
• Seria o mesmo circuito?
CIRCUITO LÓGICO
Se fosse desejado negar toda a expressão,
também se usaria parênteses, e essa ação seria a
última a ser avaliada.
• Notação:
S = ( x + y' • z )’
• Seria o mesmo circuito?
CIRCUITO LÓGICO
Para simplificar os circuitos lógicos, são utilizadas
propriedades da álgebra booleana
Vantagem:
• Menor custo
• Maior eficiência
PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA
BOOLEANA
PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA
BOOLEANA
Absorção: prova
p + (p’ • q) = (p + q) - distributiva
(p + p’) • (p + q) = (p + q) - tautologia
1 • (p + q) = (p + q) - identidade
(p + q) = (p + q)
SIMPLIFICAÇÃO DE
EXPRESSÕES
Aplicar repetidamente as propriedades da álgebra
booleana
• Até que não possa mais ser simplificada
• Ou até que a expressão utilize a menor
quantidade de portas possíveis (operadores
lógicos)
SIMPLIFICAÇÃO DE
EXPRESSÕES
1. Simplifique a expressão booleana: A . (A + B)
A . (A + B) = A . A + A . B (distributiva) = A + A . B (idempotência)
= A . 1 + A . B (identidade)
= A . (1 + B) (distributiva)
= A . 1 (identidade)
= A
SIMPLIFICAÇÃO DE
EXPRESSÕES
2. Prove que: A . (A + B) = A
A . (A + B) = A . A + A . B (distributiva) = A + A . B (idempotência)
= A . 1 + A . B (identidade)
= A . (1 + B) (distributiva)
= A . 1 (identidade)
= A
(c.q.d)
EXERCÍCIO
24/10/2011
Prof. André Montevecchi / Profa. Anna Tostes
68
EXERCÍCIOS
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