issledovanie funkcii s_pomoshhyu_proizvodnoj

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

УСТНЫЙ ОПРОСУСТНЫЙ ОПРОС• Достаточный признак возрастания функции.Достаточный признак возрастания функции.• Достаточный признак убывания функции.Достаточный признак убывания функции.• Какие точки области определения функции являются Какие точки области определения функции являются

критическими точками.критическими точками.• Необходимое условие экстремума (или теорема Необходимое условие экстремума (или теорема

французского математика – теорема Ферма)французского математика – теорема Ферма)• Какая точка называется точкой максимума? Какая точка называется точкой максимума?

(упрощенная формулировка этого признака).(упрощенная формулировка этого признака).• Какая точка называется точкой минимума? Какая точка называется точкой минимума?

(упрощенная формулировка этого признака)(упрощенная формулировка этого признака)

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Достаточный признак Достаточный признак возрастания функциивозрастания функции

Если функция f имеет неотрицательную

производную в каждой точке интервала (а;b),

то функция f возрастает на интервале (а;b).

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Достаточный признак Достаточный признак убывания функцииубывания функции

Если функция f

имеет неположительную производную в каждой точке

интервала (а;b),

то функция f убывает на интервале (а;b).

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru19, г.Салават. www.uchportal.ru

Необходимое условие Необходимое условие экстремумаэкстремума

(Теорема Ферма) (Теорема Ферма) Если точка х0 является точкой

экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю: f `(x)

= 0.

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Признак максимума функцииПризнак максимума функции

• Если функция f непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.

• Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х0 максимума.

X

Y

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

+

+

+

+

+

+ -

-

-

-

-

-Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19,

г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Признак минимума функцииПризнак минимума функции

• Если функция f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале (а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.

• Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

X

Y

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

+

+

+

+

+-

-

-

-

-

-Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru19, г.Салават. www.uchportal.ru

Практическая работаПрактическая работа• Найти промежутки возрастания и Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумаубывания функции, точки экстремума

24)( 2 +−= xxxf

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

1. Какова область определения функции? 1. Какова область определения функции?

2. Найдите область определения функции 2. Найдите область определения функции

2−= ху

6

42

2

−+−=xx

ху

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru19, г.Салават. www.uchportal.ru

3. Какая это функция: четная или нечетная?3. Какая это функция: четная или нечетная?

x

xу

3

92 +=

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

4. По графику производной некоторой функции укажите 4. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.убывает, имеет максимум, имеет минимум.

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

5.На рисунке изображён график производной функции 5.На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их. Назовите их.

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

(1707-1783)

Математик, механик,

физик и астроном.

По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую академию наук и переехал в 1727

в Россию.

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИГРАФИКА ФУНКЦИИ

• Найти область определения функции.Найти область определения функции. (Указать множество (Указать множество значений переменной значений переменной хх, при которых данная функция , при которых данная функция определена).определена).

• Исследовать функцию на четность.Исследовать функцию на четность. (Выяснить, (Выяснить, симметрична ли область определения функции относительно симметрична ли область определения функции относительно начала координат и найти начала координат и найти y = f(-x)y = f(-x). Если . Если f(-x) = f(x)f(-x) = f(x), то функция , то функция четная, если четная, если y f(-x) = -f(x)y f(-x) = -f(x), то функция нечетная)., то функция нечетная).

• Найти нули функции.Найти нули функции. (Точки пересечения с осями (Точки пересечения с осями координат).координат).

• Исследовать функцию на монотонность.Исследовать функцию на монотонность. (Если  (Если f ’(x) > 0f ’(x) > 0, , то функция возрастает, если то функция возрастает, если f ’(x) < 0f ’(x) < 0, то функция убывает)., то функция убывает).

• Записать точки экстремума и экстремумы функции.Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума).(Найти значение функции в точках экстремума).

• Дополнительные точки.Дополнительные точки.• Построение графика.Построение графика.

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ПРИМЕРПРИМЕР

• Исследовать функцию и Исследовать функцию и построить графикпостроить график

323)( xxxf −=

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ГРАФИК ФУНКЦИИГРАФИК ФУНКЦИИ

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

х

у

0х

у

0

α1α2

График выпуклыйГрафик выпуклый

f `(x) – убывает

f ``(x) < 0

График вогнутыйГрафик вогнутый

f `(x) – возрастает

f ``(x) > 0

α1 α2

A1

A2

A1

A2

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ПРИМЕРПРИМЕР

3ху =

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТАПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Найти интервалы выпуклости и точку

перегиба, если

46 24 +−= xxyСальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ №

19, г.Салават. www.uchportal.ru19, г.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Я – функция сложная, это известно,Еще расскажу, если вам интересно,Что точку разрыва и корень имею,

И есть интервал, где расти не посмею.Во всём остальном положительна, право,

И это, конечно, не ради забавы.Для чисел больших я стремлюсь к единице.

Найдите меня среди прочих в таблице.

1)(

2 −=

x

xxf

2

2

2)(

+−=

x

xxf)1()( xxxf −=

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• 1. № 300 (а, б). 1. № 300 (а, б). • 2. Нестандартное задание:2. Нестандартное задание: найдите функции, найдите функции,

описывающие реальные физические описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках процессы, которые вы изучали на уроках физики и исследуйте их.физики и исследуйте их.

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

ИТОГ УРОКАИТОГ УРОКА

• Рассмотрите взаимосвязь между свойством Рассмотрите взаимосвязь между свойством функции и производной. Как влияет знак второй функции и производной. Как влияет знак второй производной на выпуклость функции. производной на выпуклость функции.

• Выставление оценок за фронтальный опрос, за Выставление оценок за фронтальный опрос, за блиц-опрос и за практическую работу у доски.блиц-опрос и за практическую работу у доски.

• Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше настроение в конце нашего урока. настроение в конце нашего урока.

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru

Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ruг.Салават. www.uchportal.ru