ivčas dr marija nefovska-danilović filestabilnost konstrukcija ivčas dr marija...

3. Sabilnost konstrukcija 1

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

IV časDr Marija Nefovska-Danilović

3. Sabilnost konstrukcija 2

6.6 Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji oblik matrice

krutosti koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa.

Ta matrica predstavlja približno rešenje po Teoriji II reda.

Dobija se iz varijacije potencijalne energije štapa.

3. Sabilnost konstrukcija 3

Geometrijsku matricu krutosti dobijamo tako što umesto tačnog rešenja za funkciju pomeranja v(x)po linearizovanoj teoriji II reda, koje se dobija iz diferencijalne jednačine:

usvajamo funkciju pomeranja v(x) koja je rešenje diferencijalne jednačine po Teoriji I reda:

2 0IV IIv k v

4

4 0d vdx

3. Sabilnost konstrukcija 4

Polazeći od funkcije pomeranja po Teoriji I reda, iz stava o stacionarnosti potencijalne energije, izvešćemo geometrijsku matricu krutosti štapa.

xl

q1, R1

q2, R2

q3 , R3

q4 , R4

3. Sabilnost konstrukcija 5

6.6.1 Rešenje diferencijalne jednačine štapa po Teoriji I reda Rešenje homogenog dela diferencijalne

jednačine štapa po Teoriji I reda je u obliku kubnog polinoma:

1

22 3

3

4

( ) 1v x x x x A

4

4 0d vdx

3. Sabilnost konstrukcija 6

Obrtanja poprečnog preseka duž ose štapa su prvi izvoda pomeranja:

4

3

2

1

23210)(

xxdxdvx

3. Sabilnost konstrukcija 7

Integracione konstante i , i=1,2,3,4 se određuju iz graničnih uslova štapa:

42

324

43

32

213

22

11

32)(

)(

)0()0(

llql

lllqlvv

qqvv

k

k

i

i

lx

q1

q2

q3q4

3. Sabilnost konstrukcija 8

U matričnom obliku granični uslovi glase:

1 1

2 22 3

3 32

4 4

(0) 1 0 0 0(0) 0 1 0 0( ) 1( ) 0 1 2 3,

q vqq v l l l lq l l l

odnosnoq C

3. Sabilnost konstrukcija 9

Odavde se dobija:

4

3

2

1

2323

22

4

3

2

1

1

1212

132300100001

:

qqqq

llll

llll

oblikurazvijenomuiliqC

3. Sabilnost konstrukcija 10

Zamenom { } u izraz za pomeranje v(x) dobija se da je:

gde je matrica interpolacionih polinoma:

1( )

( ) ( )

v x A C q

v x N x q

1

(1,4 ) (1,4 ) ( 4,4 )( )N x A C

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x N x N x N x N x

3. Sabilnost konstrukcija 11

Interpolacioni polinomi Ni(x) suL’Hermit-ovi (Ermitovi) polinomi I vrste:

2 3 2 3

1 22 3 2

2 3 2 3

3 42 3 2

( ) 1 3 2 ( ) 2

( ) 3 2 ( )

x x x xN x N x xll l l

x x x xN x N xll l l

3. Sabilnost konstrukcija 12

Ermitovi polinomi Ni(x) su kubni polinomi i predstavljaju elastične linije ubostrano uklještene grede po Teoriji I reda, usled jediničnih generalisanih pomeranja qi = 1.

4

1( ) ( )i i

iv x N x q

3. Sabilnost konstrukcija 13

Ako je pomeranje tačke na osi štapa:

Onda su obrtanja i drugi izvodi pomeranja:

( ) ( )

( ) ( )

v x N x q

v x N x q

( ) ( )v x N x q (C)

3. Sabilnost konstrukcija 14

Stav o stacionarnosti potencijalne energije

Ravnoteža sila na deformisanoj konfiguraciji postoji kada potencijalnaenergija ima minimalnu vrednost:

A je je energija deformacije Rs je rad spoljašnjih sila

0sA R

3. Sabilnost konstrukcija 15

Potencijalna energija deformacije štapa

Na diferencijalno malom elementu štapa pored energije deformacije usled momenta savijanja M, javlja se i deformacioni rad momenta nastalog usled aksijalne sile S, koji je jednak Sdx

3. Sabilnost konstrukcija 16

Potencijalna energija (deformacioni rad) štapa pri savijanju A jednaka je:

Rad sila na krajevima štapa:

2

0 0

2 2

0 0

1 1 ( )2 2

1 1( ) ( )2 2

l l

l l

A M dx S dx

A EI v dx S v dx

TsR q R

3. Sabilnost konstrukcija 17

Potencijalna energija štapa: =A – Rs

Za element sa konstantnim poprečnim presekom i konstantnom silom S:

2 2

0 0

1 1( ) ( )2 2

l lTEI v dx S v dx q R

0 0

1 12 2

l lTEI v v dx S v v dx q R

3. Sabilnost konstrukcija 18

Ako pomeranja unutar elementa izrazimo preko pomeranja čvorova, j-na (C), dobija se:

0

0

12

1 2

lTT

lTT T

q EI N N dx q

q S N N dx q q R

(D)

3. Sabilnost konstrukcija 19

Iz stava o minimumu potencijalne energije iz j-ne (D) se dobija:

0 0

0

:

K K

l lT T

g

EI N N dx q S N N dx q R

ili skraćeno

q R

0q

3. Sabilnost konstrukcija 20

Ko je matrica krutosti štapa po Teoriji I reda Kg je geometrijska matrica krutosti štapa:

00

0

K

K

lT

lT

g

EI N N dx

S N N dx

*znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje

3. Sabilnost konstrukcija 21

U razvijenom obliku je:

1

20 1 2 3 4(4,4)

30

4

1

21 2 3 4(4,4)

30

4

K

K

l

l

g

NN

EI N N N N dxNN

NN

S N N N N dxNN

3. Sabilnost konstrukcija 22

Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda dobijena integracijom interpolacionih funkcija je:

2 2

0 3

2

12 6 12 64 6 2

K12 6

4

l ll l lEI

llsim l

3. Sabilnost konstrukcija 23

1

21 2 3 4(4,4)

30

4

,

,0

K

Element K jednak je:

K

l

g

g mn

lT

g mn m n

NN

S N N N N dxNN

S N N dx

6.6.2 Geometrijska matrica krutosti pritisnutog štapa

3. Sabilnost konstrukcija 24

Određivanje Kg,11

,11 1 10

2 3 2

1 12 3 2 3

22 2 3 4

,11 2 3 3 4 50 0

3 4 5

,11 03 4 5

K ( )

( ) 1 3 2 ( ) 6 6

36K 6 6 2

36 36 1 1 1 36K 23 2 5 303 4 5

lT

g

l l

g

lg

S N N dx

x x x xN x N xl l l l

x x S x x xS dx dxll l l l l

S x x x S Sl ll l l

l

3. Sabilnost konstrukcija 25

2 2

g

2

36 3 36 34 3

K36 330

4

l ll l lS

llsim l

Za pritisnuti štap je S<0

Na sličan način se dobijaju i ostali elementi:

3. Sabilnost konstrukcija 26

6.6.3 Geometrijska matrica krutosti zategnutog štapa

Za zategnut štap je S>0

2 2

g

2

36 3 36 34 3

K36 330

4

l ll l lS

llsim l

3. Sabilnost konstrukcija 27

6.6.4 Matrica krutosti štapa

Ukupna matrica krutosti štapa po Teoriji II reda-približno rešenje, je:

Ona predstavlja aproksimativno rešenje, jer je dobijena iz funkcije pomeranja v(x) koja predstavlja rešenje diferencijalne jednačine savijanja po Teoriji I reda.

Zavisi od intenziteta sile S i dužine štapa.

0 gK K K

3. Sabilnost konstrukcija 28

U prethodnom delu izvedena je geometrijska matrica krutosti na savijanje. Matrica krutosti za aksijalno naprezanje je ista kao u Teoriji I reda, tako da se matrica krutosti štapa u ravni dobija kombinacijom ove dve matrice na uobičajen način.

3. Sabilnost konstrukcija 29

Osnovna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda, približno rešenje glasi:

gde je Q – vektor ekvivalentnog opterećenja po lin. teoriji II reda

0 gR = K + K q - Q

3. Sabilnost konstrukcija 30

6.6.5 Matrica krutosti štapa (aksijalno naprezanje+savijanje)

2 2

2 2

0 3 2

2

/ 0 0 / 0 012 6 0 12 6

4 0 6 2/ 0 0

12 64

Fl I Fl Il ll l lEI

l Fl Isim l

l

K

Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda

3. Sabilnost konstrukcija 31

Geometrijska matrica krutosti štapa

znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje

2 2

2

0 0 0 0 0 036 3 0 36 3

4 0 30 0 030

36 34

l ll l lS

lsim l

l

gK

3. Sabilnost konstrukcija 32

6.6.6 Geometrijska matricakrutosti prostog štapa

q2q1q3

q4

S S

R3=S

R1 = S -R2

R4

4 2 4 2R R S q ql

l

3. Sabilnost konstrukcija 33

Matrice krutosti prostog štapa (Ko+Kg)

0

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

EFl

K

g

0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1

Sl

K

- matrica krutosti

- geometrijska matrica

(-S-pritisak, +S-zatezanje)

3. Sabilnost konstrukcija 34

Osobine geometrijske matrice krutosti: Zavisi samo od aksijalne sile i dužine štapa, Zatezanjem štapa povećava se poprečna krutost, Povećanjem sile pritiska smanjuje se poprečna

krutost štapa, tako da poprečno opterećenje malog intenziteta može izazvati gubitak stabilnosti (izvijanje) štapa.

Ima veliku primenu kod provere stabilnosti konstrukcija, zbog svoje jednostavnosti.