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J.L.Huertas SETI-03-04

TEMA4: Implementación de Filtros Discretos

Contenidos del tema:

q El muestreo y sus consecuencias

q Relaciones entre señales y sus transformadas:

q Especificaciones de filtros continuos y discretoswAproximaciones usualeswEjemplos

q Técnicas de implementación de filtros IIR:wRespuesta impulsiva invariantewTransformación bilineal

q Implementación de filtros FIR

q La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuencia de la señal de entrada) condiciona la información disponible y la “convertibili-dad” entre el dominio continuo y el discreto.

q La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuencia de la señal de entrada) condiciona la forma del espectro discreto.

q La precisión de la transformación discreta-continua depende de la cali-dad del algoritmo de interpolación y de la frecuencia de muestreo.

Algunas Consideraciones al Procesado Discreto

q La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuen-cia de la señal de entrada) condiciona la forma del espectro discreto.

q Interesa limitar la banda de la señal de entrada usando un filtro de paso de baja

q Teorema de Nyquist:Para poder recuperar una señal muestrada debemos usar una frecuencia de muestreo por lo menos doble que la frecuencia significativa más alta de la señal de entrada.

Sea la banda de interés de la señal de entrada: ω < ωmaxSea la frecuencia de muestreo: ωs

Teorema de Nyquist:ωs > 2ωmax

q Es imprescindible colocar un filtro de paso de baja al reconvertir la información como señal continua

q Ambos filtros son CONTINUOS!

Restricciones al Procesado Discreto

Objetivo: Poder hacer un procesado “Similar” en todos los casos

FiltroContinuo

FiltroSC

A/D D/AFiltroDigital

Entrada Continua Salida Continua

Maneras de Filtrar

Tareasq Encontrar funciones en z que sean “equivalentes” a filtros continuosq Determinar procedimientos para construir esas funciones en zq Elegir una estructura de sistema y determinar sus coeficientesq Seleccionar las características necesarias para “soportar” la información (nº

de bits, frecuencia de muestreo, código binario, tipo de representación, grado de paralelismo...)

q Escoger los componentes y diseñarlosq Verificar los resultados

Necesidadesq Criterios para comparar entre opcionesq Estimación de la “calidad” de una solución

Síntesis de Filtros Discretos

DiseñarFiltro Analógico

Aplicar

de FrecuenciaTransformación

s ---> s s ---> s s ---> z

Aplicar Transformación

de Variable

DiseñarFiltro Analógico

Aplicar

de FrecuenciaTransformación

Aplicar Transformación

de Variable

s ---> s s ---> z z ---> z

Filtro IIR

Síntesis de Filtros Discretos

Tr. 10

Relaciones entre Señales y sus Transformadas

jω( ) XD ejω

Ts----- X j ω

Ts----- jn2π

Ts------+

n ∞–=

∞∑= =

Expresión Alternativa:

ΩΩ0−Ω0

ωπ−π−2π 2π0

ω0−ω0

ΑXc(jΩ)

X(ejω)ESCALADO DIGITAL

ω0 = Ω0Ts

Tr. 11

ω−Ωs Ωs0

Ω0−Ω0Α/Ts

ω0 = Ω0Ts

ω−Ωs Ωs0

Ω0−Ω0Ts = 2 µs

Ts = 3 µsTs = 3 µs

q Importa NO el valor absoluto de Ω0 sino su valor relativo respecto a Ts (o a Ωs)

q Es necesario hacer una normalización, por ejemplo: ωs = ΩsTs = 2π

Tr. 12

ω−Ωs Ωs0

Ω0−Ω0Α/Ts

ω0 = Ω0Ts

ω−Ωs Ωs0

Ω0−Ω0Ts = 2 µs

Ts = 3 µsTs = 3 µs

q Importa NO el valor absoluto de Ω0 sino su valor relativo respecto a Ts (o a Ωs)

q Es necesario hacer una normalización, por ejemplo: ωs = ΩsTs = 2π

Tr. 13

ΩΩ0−Ω0

ω0−ω0

ΑXc(jΩ)

ω0 = Ω0Ts

ω0−ω0Ts = 2 µs

Ts = 3 µs

Tr. 14

x*(t) = xs(t) = señal muestreada

xc(t) = señal continua

x(n) = xc(t)|t=nTs = secuencia numérica

Xc(jΩ)F (CTFT)

z X(z)

X(ejω) = X(z)|z=ejω

F (CTFT) Xs(jΩ)

DTFTω = ΩTs

Xs(jΩ) = X(ejΩΤs)

X(ejω) = Xs(jω/Ts)

X ejω X* jω( ) XD ejω

Ts----- X j ω

Ts----- jn2π

Ts------+

n ∞–=

∞∑= = =

Tr. 15

x*(t) = xs(t) = señal muestreada

xc(t) = señal continua

x(n) = xc(t)|t=nTs = secuencia numérica

xc(nTs) = señal discretaxc(nTs) = xc(t)|t=nTs

x(n) = xc(nTs)

xs t( ) xc nTs( )δ t nTs–( )k ∞–=

∞∑ x n( )δ t nTs–( )

k ∞–=

∞∑= =

Secuencia Transformada Z DTFT X(z)|z=ejω

Señal Transf. Laplace CTFT X(s)|s=jΩω -----> “frecuencia” digitalΩ -----> “frecuencia” analógica

Tr. 16

XS jΩ( ) XS t( )e jΩt– td∞–

∞∫ X n( )e

jΩnTs

n ∞–=

∞∑= =

CTFT: Continuous-time Fourier Transform

DTFT: Discrete-time Fourier Transform

X ejω

jω X z( )

z ejω

=x n( )e

jωn–

n ∞–=

∞∑= = =

sii --------------> ω = Ω TsXS jΩ( ) X e

X ejω

ωTs--------

Tr. 17

Espectro original:xc(t) Xc(jΩ)

Ωs2πTs------=

X ejω

Ts------ Xc j

ω 2πn–Ts

--------------------

n ∞–=

∞∑=

X ejΩTs

Ts------ Xc j Ω nΩs–( )[ ]

n ∞–=

∞∑=

XS jΩ( )1

2π------ Xc jΩ( ) P jΩ( )⊕[ ]

1Ts------ Xc j Ω nΩs–( )[ ]

n ∞–=

∞∑= =

CTFT: xs(t) (otra visión):

Tr. 18

1- δ1

Especificaciones de Filtros Discretos

ωp ωs π

Rizado en la BSBanda deTransición

Rizado en la BP

Rizado en la BP (dB)Atenuación en la BS

Rp 201 δ1–

1 δ1+---------------log–=

As 20δ2

1 δ1+---------------log–=

Tr. 19

Filtros de Paso de Baja Discretos

Definición del Problema:Obtener una función de sistema, H(z), (o su expresión en

diferencias finitas) que tenga una banda pasante [0, ωp] con una tolerancia δ1 (ó Rp en dB), y una banda de rechazo [ωs, π] con tolerancia δ2 (ó As en dB)

Tr. 20

Especificación de Filtros Continuos

Escala Lineal Relativa:

+--------------- Ha jΩ( )

21 Ω Ωp≤( ),≤ ≤

0 Ha jΩ( ) 2 1

------- Ωs Ω≤( ),≤ ≤

Ha jΩ( )2

+---------------

-------

Ωp Ωs Ω

Ω = frecuencia “analógica”

Tr. 21

Filtros de Butterworth: Prototipo P. Baja

Módulo al cuadrado:

Ha jΩ( )2 1

1 ΩΩc-------

------------------------------=

N es el orden del Filtro

N=4N=100

Función de transferencia:

Ha s( ) Ha s–( )( ) Ha jΩ( )2

Ω s j⁄=

jΩ( )2N

jΩc( )2N

+--------------------------------------= =

pk= Ωcejπ(2k+N+1)/2N

Ha s( )Ωc( )

s pk–( )LHP∏

-------------------------------=

Tr. 22

Filtros de Butterworth: Prototipo P. Baja

Módulo al cuadrado:

Ha jω( )2 1

1 ωωc-------

------------------------------=

N es el orden del Filtro

N=4N=100

Función de transferencia:

Ha s( ) Ha s–( )( ) Ha jω( )2

ω s j⁄=

jω( )2N

jωc( )2N

+--------------------------------------= =

Ha s( )ωc( )

s pk–( )LHP∏

-------------------------------=

Tr. 23

Filtros de Butterworth: Ecuaciones de Diseño

Problema: w Dados Ωp, Rp, Ωs y Asw Obtener N y Ωc

En Ω = Ωp: -10log|Ha(jΩ)|2 = Rp

-10log[1 + (Ωp/Ωc)2Ν]-1 = Rp

En Ω = Ωs: -10log|Ha(jΩ)|2 = As

-10log[1 + (Ωs/Ωc)2Ν]-1 = As

Tr. 24

Filtros de Butterworth: Ecuaciones de Diseño

Rp 10⁄1–

10As 10⁄

⁄log

2 Ωp Ωs⁄( )log---------------------------------------------------------------------------------------------=

10Rp 10⁄

1– 2N–-----------------------------------------------= Ωc

10As 10⁄

1– 2N–-----------------------------------------------=

Tr. 25

Filtros de Butterworth: Ejemplo

w Dados Ωp = 0.2π, Rp = 7 dB, Ωs = 0.3π , As = 16 dB

0,71–

1– ⁄log

2 0,2π( ) 0,3π( )⁄( )log-------------------------------------------------------------------------- 2,79 3= = =

Ωc0,2π

6–---------------------------------- 0,4985= = Ωc

6–---------------------------------- 0,5122= =

Ωc = 0.5

Ha s( )0,125

s 0,5+( ) s2

0,5s 0,25+ +

------------------------------------------------------------------=

Tr. 26

1.0000 0.5000 0.2500 0 1.0000 0.5000

1.0000 0.4985 0.2485 0 1.0000 0.4985

B= 0 0 0.1238

Filtros de Butterworth: Ejemplo

Tr. 27

1.0000 0.4233 0.1103 1.0000 0.1753 0.3895

B = 0 0 0.0383

Filtros de Chebyshev-I: Ejemplo

Tr. 28

Filtros de Chebyshev-II: Ejemplo

1.0000 1.9521 1.4747 1.0000 0.3719 0.6784

B = 0 0 0.15851.0000 0 6.06541.0000 0 1.0407

Tr. 29

Filtros Elípticos: Ejemplo

1.0000 0.1696 0.4102 0 1.0000 0.4435

B = 0 0 0.2741.0000 0.1696 0.41020 1.0000 0.4435

Tr. 30

Técnicas de Aproximación para Filtros Discretos

Filtros IIR ó Recursivosq Método de la respuesta impulsiva invarianteq Modificación del método de la respuesta impulsiva invarianteq Transformación z apareadaq Transformación bilineal

Filtros FIR ó No-recursivosq Series de Fourierq Fórmulas de análisis numérico

Tr. 31

Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante

FiltroContinuo

Idea: Imitar HA(s) a través de la función continua del bloque filtro + muestreador

HA(s) H*A(jω)

T, ωs

jω( ) HD ejωT

hA 0+( )

2------------------ 1

T--- HA jω jnωs+( )

n ∞–=

∞∑+= =

Procedimiento:1.- Seleccionar un filtro analógico, HA(s)2.- Determinar hA(t)3.- Discretizar la función temporal, hA(nT)

4.- Calcular la transformada z, Z[hA(nT)]

Tr. 32

Aplicación del Procedimiento (suposiciones):

q Para señales limitadas en banda, HA(jω) ≈ 0, para |ω| ≥ ωs/2

Se cumplirá: ∑ HA(jω + jkωs) ≈ 0, para |ω| ≤ ωs/2

q Si además hA(0+) = 0

Se cumplirá: ; para |ω| ≤ ωs/2HA*

jω( ) HD ejωT

T--- HA jω( )≈=

Si grado [N(s)] < grado [D(s)] - 1----------> Se cumplen las hipótesis

Para polos simples:

HA s( )Ai

s pi–-------------

∑= hA t( ) Aiepi t

∑= hA nT( ) AiepinT

HD z( )Aiz

z epiT–

-------------------i 1=

Tr. 33

Utilidad para funciones “sólo-polos”Si el filtro analógico es estable, lo es el digital

Ejemplo:

Descomposición:

Filtro Digital

HA s( )1

5s 4+ +---------------------------= HA s( ) 1

3--- 1

s 1+----------- 1

3--- 1

s 4+-----------–=

hA t( ) 13---e

t– 13---e

4t––= hA nT( ) 1

3--- e

nT– 13---e

4nT––=

HD z( )

13---z

z eT–

–-----------------

13--- z

z e4T–

–---------------------– e

4T––3

---------------------------- z

z eT–

– z e

4T––

--------------------------------------------------= =

Tr. 34

HA s( )s 1+

5s 6+ +--------------------------- 2

s 3+----------- 1

s 2+-----------–= =

HD z( )2

1 e3T–

–------------------------------ 1

z e2T–

–------------------------------–=

HD z( )1 0,8966z

1––

1 1,5595z1–

– 0,6065z2–

+------------------------------------------------------------------=

Tr. 35

Ejemplo:

HA s( )1

5s 4+ +---------------------------= HD z( )

13---z

z eT–

–-----------------

13--- z

z e4T–

–---------------------– e

4T––3

---------------------------- z

z eT–

– z e

4T––

--------------------------------------------------= =

HD z( ) K zz p1–( ) z p2–( )

---------------------------------------=

HD z( )Kz

1 p1 p+2

( )z1–

– p1p2z2–

+----------------------------------------------------------------------=

p1+ p2 K

Tr. 36

Especificaciones del filtro digital: ωp, Rp, ωs y As

Procedimiento (Filtro): 1.- Elegir T y determinar las frecuencias analógicas de interés:Ωp = ωp/T, Ωs= ωs/T2.- Diseñar un filtro analógico, Ha(s), usando 1.-3.- Desarrollar Ha(s) en fracciones simples

4.- Transformar los polos analógicos, pk, en digitales, epk

Filtros IIR: Diseño

Tr. 37

1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949

1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466

Filtros IIR: Butterworth, Ejemplo

ωp = 0.2π, ωs= 0.3πRp= 1dB, As= 15dB

Tr. 38

1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949

1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466

Tr. 39

Filtros IIR: Transformación bilineal

Técnicas anteriores: Emular la respuesta al impulso del filtro analógico

Transformación bilineal: Emular la respuesta temporal del filtro analógico para cualquier excitación

Alternativa:

Sea: ;

q Respuesta a una señal arbitraria:

q Para 0+ < t1 < t2

Aproximando cuando t1 -> t2

HI s( )1s---= hI t( ) 1 t 0+≥,

0 t 0-≤,=

y t( ) x τ( )hI t τ–( ) τd0t

y t2( ) y t1( )– x τ( )hI t τ–( ) τdt1

t2∫ x τ( )hI t2 τ–( ) τd

t2∫ x τ( )hI t1 τ–( ) τd

t1∫– x τ( ) τd

t2∫= = =

y t2( ) y t1( )t2 t1–

2--------------- x t1( ) x t2( )+[ ]≈–

Tr. 40

Si t1 = nT - T, t2 = nT:

La Función de Transferencia del integrador digital será:

Esto equivale a sustituir s por:

y t2( ) y t1( )t2 t1–

2--------------- x t1( ) x t2( )+[ ]≈– y nT( ) y nT T–( ) T

2--- x nT T–( ) x nT( )+[ ]≈–

Y z( ) z1–

Y z( )– T2--- z

1–X z( ) X z( )+=

HI z( ) T2--- z 1+

z 1–-----------=

s 2T--- z 1–( )

z 1+----------------=

Tr. 41

Significado de la transformación en el dominio s:

La Función de Transferencia del integrador digital será:

Esto equivale a sustituir s por:

y t2( ) y t1( )t2 t1–

2--------------- x t1( ) x t2( )+[ ]≈– y nT( ) y nT T–( ) T

2--- x nT T–( ) x nT( )+[ ]≈–

Y z( ) z 1– Y z( )– T2--- z 1– X z( ) X z( )+=

HI z( ) T2--- z 1+

z 1–-----------=

s 2T--- z 1–( )

z 1+----------------=

Tr. 42

−π/Τ

−3π/Τ

3π/Τ

esT = z

= z1+sT/21-sT/2

Comparando Transformaciones

Tr. 43

−π/Τ

−3π/Τ

3π/Τ

esT = z

Comparando Transformaciones

Re(s) = σ < 0 -----------------> |z| < 1 [interior del círculo unidad]

Re(s) = σ = 0 -----------------> |z| = 1 [circunferencia unidad]

Re(s) = σ > 0 -----------------> |z| > 1 [exterior del círculo unidad]

Todas las “tiras” semi-infinitas de anchura 2π/T se transforman en el círculo unidad

Todo filtro analógico causal y estable se transforma en uno digital causal y estable

Si Ha(jΩ) = Ha(jω/T) = 0 para |Ω| > π/T -----------------> H(ejω) = (1/T)Ha(jω/T) para |ω|<π

Tr. 44

Procedimiento:1.- Seleccionar un filtro analógico, HA(s)

2.- Sustituir s en HA(s), según:

3.- La función resultante, HD(z), es el filtro digital buscado

En resumen: HD(z) = HA(s)| para

s 2T--- z 1–( )

z 1+----------------=

s 2T--- z 1–( )

z 1+----------------=

Ejemplo:

-----> ; HA s( )s

5s 4+ +---------------------------= HD z( )

2T--- z 1–( )

z 1+----------------

------ z 1–( )2

z 1+( )2

------------------- 10T------ z 1–( )

z 1+---------------- 4+ +

------------------------------------------------------------------=

Tr. 45

Ejemplo:

-----> ; HA s( )s

5s 4+ +---------------------------= HD z( )

2T--- z 1–( )

z 1+----------------

------ z 1–( )2

z 1+( )2

------------------- 10T------ z 1–( )

z 1+---------------- 4+ +

------------------------------------------------------------------=

Ejemplo: Filtro Digital:

HD z( )α 1 z

2––

a1 a2z 1– a3z 2–+ +-------------------------------------------------=

------ 10T------ 4+ +=

a1 α 4+( ) α 1+( )= a2 2 α–( ) 2 α+( )= a1 α 4–( ) α 1–( )=

x(n)z-

p1+ p2

Tr. 46

Especificaciones del filtro digital: ωp, Rp, ωs y As

Procedimiento (Filtro): 1.- Elegir T y determinar las frecuencias analógicas de interés:Ωp = F1(ωp, 1/T), Ωs= F2(ωs, 1/T)2.- Diseñar un filtro analógico, Ha(s), usando 1.-3.- Sustituir s en Ha(s) usando la transformación bi-lineal

Filtros IIR: Diseño usando la trans. bilineal

Tr. 47

1.0000 2.0327 1.0331 1.0000 1.9996 1.0000 1.0000 1.9676 0.9680

1.0000 -0.9459 0.2342 1.0000 -1.0541 0.3753 1.0000 -1.3143 0.7149

ωp = 0.2π, ωs= 0.3πRp= 1dB, As= 15dB

Tr. 48

1.0000 -0.9973 0.2570 1.0000 -1.0691 0.3699 1.0000 -1.2972 0.6949

1.8557 -0.6304 -2.1428 1.1454 0.2871 -0.4466

1.0000 -0.9459 0.2342 1.0000 -1.0541 0.3753 1.0000 -1.3143 0.7149

1.0000 2.0327 1.0331 1.0000 1.9996 1.0000 1.0000 1.9676 0.9680

Filtros IIR: Butterworth, Comparación

1.0000 2.0183 1.0186 1.0000 1.9814 0.9817 1.0000 2.0004 1.0000

5.7969e-004

1.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000

Tr. 49

Filtros IIR: Butterworth, Comparación

Tr. 50

Relaciones:

; s 2T--- z 1–( )

z 1+---------------- σ jω+= = z

2T--- s+

2T--- s–------------ r jω( )exp= =

2T--- σ+

2T--- σ–

----------------------------------------

1 2⁄

s=0s= οο

s=−οο

Tr. 51

WARPING:

HD(z) = HA(s)| para -----> HD(z) = HD(ejω) =HD(es´) s 2T--- z 1–( )

z 1+----------------=

s 2T--- e

s'1–

1+--------------- 2

T--- e

s'2---

s'2---–

s'2---

---------------------- 2T---

s'2---sinh

s'2---cosh

---------------= = =

Tr. 52

WARPING:2.- Sustituir s en HA(s), según:

HD(z) = HA(s)| para -----> HD(ejω) = HA(jΩ)

----------> Ω < 0.3/Τ −−−−>

Hay una evidente falta de linealidad!!!

s 2T--- z 1–( )

z 1+----------------=

Ω 2T--- e

jω1–

1+------------------ 2

T--- e

jω2------

2------–

2------

2------–

-------------------------- 2T---

ω2-----sin

ω2-----cos

-------------= = =

Ω 2T--- ω

2----tan= ω Ω≈

Tr. 53

WARPING: No-linealidad:

---------> Ω < 0.3/Τ −−−−> Ω 2T--- ω

2----tan= ω Ω≈

π 2π 3π

Tr. 54

WARPING: No-linealidad:

----------> Ω < 0.3/Τ −−−−> Ω 2T--- ω

2----tan= ω Ω≈

π 2π 3π

Tr. 55

WARPING: No-linealidad de Fase:

π 2π 3π

Tr. 56

Pre-warping:Seleccionar las frecuencias de interés:ej. Paso-baja: límite de la banda pasante, (Ωp)

y límite de la de corte, (Ωc)

Transformar esas frecuencias de interés según:

ó Corregir la posición de los polos y ceros:

ωp 2ΩpT

2----------atan=

ωc 2ΩcT

2----------atan=

2T--- σm+

2T--- σm–------------------= pk

2T--- sk+

2T--- sk–---------------=

Tr. 57

Ejemplo: (T=1)

-----> ; HA s( )s 1+

5s 6+ +---------------------------= HD z( )

2 z 1–( )z 1+

---------------- 1+

4 z 1–( )2

z 1+( )2

------------------- 10 z 1–( )z 1+

---------------- 6+ +

-------------------------------------------------------------=

HD z( )0,15 0,1z

1–0,05z

2––+

1 0,2z1–

+----------------------------------------------------------------=

2T--- σm+

2T--- σm–------------------=

σ1= -2, σ2= -3; s3= -1z1= 0, z2= -0.02; p3= 0.333; p4= 1

Tr. 58

Filtros FIR: Propiedades

Filtro no recursivo:

Respuesta en frecuencia:

Fase: ; Retraso de grupo:

H z( ) h nT( )zn–

N 1–∑ z

N 1–( )–h nT( )z

N 1– n–

N 1–∑= =

H ejωT M ω( )ejθ ω( ) h nT( )e jωnT–

N 1–∑= =

M ω( ) H ejωT

θ ω( ) H ejωT

τpθ ω( )

ω------------–= τg ωd

d θ ω( )–=

N-1 polosen el origen

Tr. 59

Filtros de Retraso Constante:Para que tp y tg sean constantes:

Soluciones: ; ; para

Es posible mantener la fase y el retraso de grupo constantes en toda la banda pasante!!

θ ω( ) τω–=

θ ω( ) τω–

h nT( ) ωnTsinn 0=

N 1–∑

h nT( ) ωnTcosn 0=

N 1–∑

-------------------------------------------------atan= =

h nT( ) τω ωnT–( )sinn 0=

N 1–∑ 0=

τN 1–( )T

2---------------------= h nT( ) h N 1– n–( )T[ ]= 0 n N 1–≤ ≤

Tr. 60

Filtros de Retraso Constante:Para que tp y tg sean constantes:

Si sólo el retraso de grupo debe ser constante:

----->> y θ ω( ) θ0 τω–= τN 1–( )T

2---------------------= h nT( ) h N 1– n–( )T[ ]–=

-1 n=10n=10

N=11N=10

h(nT) h(nT)

-1 n=10n=10

N=11N=10

h(nT) h(nT)

Tr. 61

Filtros FIR: Ejemplo

Sea la respuesta al impulso: h(n) = 1, 1, 1

En este caso: |H(ejω)| = |1 + 2cosω|, 0 < ω < π- ω, si 0 < ω < 2π/3

φ[H(ejω)] = π - ω, si 2π/3 < ω < π

Podemos definir: H(ejω) = Hr(ω)ej(β−αω) , con |β| = π/2, α = (N-1)/2

En este caso: Hr(ω) = 1 + 2cosω, -π < ω < π

φr[H(ejω)] = - ω

H ejωT

h n( )e

jωn–

∑ 1 ejω–

ej2ω–

+ + ejω

1 ejω–

ejω–

1 2 ωcos+ ejω–

= = = =

Tr. 62

|H(ejω)| Hr(ω)

φ[H(ejω)] φr[H(ejω)]

Tr. 63

Respuesta en Frecuencia (caso simétrico con N impar):

H ejωT

h nT( )e

jωnT–h N 1–( )T

2--------------------- e

jω N 1–( )T2

---------------------–

h nT( )ejωnT–

2-------------=

N 1–∑+ +

N 3–2

-------------

h nT( )e jωnT–

2-------------=

N 1–

∑ h nT( )e jω N 1– n–( )T–

N 3–2

-------------

∑ h N 1– n–( )T[ ]e jωnT–

2-------------=

N 1–

∑= =

Tr. 64

h(nT) N H(ejωT) Coeficientes

Simétrica

Antisimétrica

ejω N 1–( )T

2---------------------–

ak ωkTcos

N 1–( )2

-----------------

∑a0 h N 1–

2-------------

ak 2hN 1–

2------------- k–

bk 2hN2---- k–

ejω N 1–( )T

2---------------------–

bk ω k12---–

N2----

ejω N 1–( )T

2--------------------- π

2---––

ak ωkT[ ]sin

N 1–( )2

-----------------

ejω N 1–( )T

2--------------------- π

2---––

bk ω k12---–

N2----

Filtros FIR: Respuesta en Frecuencia

Tr. 65

Filtros FIR: Posición de los ceros

Las restricciones exigen:

Haciendo k = (N-1)/2 -n:

Los ceros de N(z) son los de H(z).Para esta expresión (sea N par o impar):

Se trata de polinomios de imagen especular

H z( ) 1

zN 1–( )

2-----------------

--------------------- h nT( ) zN 1–( )

2----------------- n–

zN 1–( )

2-----------------– n–

12--- h N 1–( )

2-----------------T

z0 z0±( )+

N 3–2

-------------

H z( ) 1

zN 1–( )

2-----------------

---------------------ak2----- z

k–±

N 1–2

-------------

∑N z( )D z( )-----------= =

N z1–

N z( )±=

Tr. 66

Polinomios de imagen especular:Si zi = rie

jφi es un cero, zk = zi-1 = e-jφi/ri también es un cero.

Implicaciones:q Puede haber un número arbitrario de ceros en zi = 1 ó -1.q Puede haber un número arbitrario de pares de ceros complejos conjugados sobre

dicha circunferencia.q Los ceros fuera de esa circunferencia aparecen en pares recíprocos.q Los ceros complejos fuera de la circunferencia unidad aparecerán en grupos de 4.

N-1 polos

Filtros FIR: Posición de los ceros

Tr. 67

Filtros FIR: Ejemplo 2

Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 6, 5, -2, -1, 1, -4 ----> N = 11, α = (N-1)/2 = 5

a(0) = h(α) = h(5) = 6; a(1) = 2h(5-1) = 10; a(2) = 2h(5-2) = -4;a(3) = 2h(5-3) = -2; a(4) = 2h(5-4) = 2; a(5) = 2h(5-5) = -8;

Ahora: Hr(ω) = a(0) + a(1)cosω + a(2)cos2ω + a(3)cos3ω + ... == 6 + 10cosω - 4cos2ω - 2cos3ω + 2cos4ω - 8cos5ω

Tr. 68

Tr. 69

Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 6, 6, 5, -2, -1, 1, -4 ----> N = 12, α = (N-1)/2 = 5.5

b(1) = 2h(6-1) = 12; b(2) = 2h(6-2) = 10;b(3) = 2h(6-3) = -4; b(4) = 2h(6-4) = -2; b(5) = 2h(6-5) = 2;b(6) = 2h(6-6) = -8;

Ahora: Hr(ω) = b(1)cosω(1−1/2) + b(2)cosω(2−1/2) + b(3)cosω(3−1/2) + ... == 12cos(ω/2) + 10cos(3ω/2) - 4cos(5ω/2) - 2cos(7ω/2) + 2cos(9ω/2) - 8cos(11ω/2)

Tr. 70

Tr. 71

Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 0, -5, 2, 1, -1, 4 ----> N = 11, α = (N-1)/2 = 5

Tr. 72

Sea: h(n) = -4, 1, -1, -2, 5, 6, -6, -5, 2, 1, -1, 4 ----> N = 12, α = (N-1)/2 = 5.5

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