journée régionale de lapmep mercredi 17 mars 2004 on trouvera ci-dessous le diaporama utilisé par...
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Journée régionale de l’APMEPMercredi 17 mars 2004
On trouvera ci-dessous le diaporama utilisé par Michèle Artigue (Université Paris 7 et IREM), lors de
la conférence qu’elle a donnée le 17 mars 2004
à l’IUFM de Grenoble.
On pourra également se reporter au numéro 449 du bulletin vert de l’APMEP (Novembre-Décembre
2003), dans lequel Michèle Artigue traite des aspects voisins de ceux qu’elle a évoqués à cette occasion.
Enseigner les mathématiques aujourd’hui,
pourquoi? Pour qui ? Comment ?
Michèle Artigue
Université Paris 7 et IREM
Plan
Une question récurrente mais sans cesse renouvelée
Des tendances générales convergentes :– Mathématiques pour tous– Mathématiques et citoyenneté– Mathématiques et autres disciplines– Compétences / Contenus
Mais aussi une réelle diversité :– Au niveau des cultures – Au niveau des contenus : le cas de l’algèbre
Une interrogation récurrente…
Alain (1932) : « Un grand homme d’état a exprimé en deux mots ce que chaque être humain doit savoir le mieux possible : géométrie et latin… La géométrie est la clef de la nature. Qui n’est point géomètre ne percevra jamais bien ce monde où il vit et dont il dépend. Mais plutôt il rêvera selon la passion du moment, se trompant lui-même sur la puissance antagoniste, mesurant mal, comprenant mal, comptant mal, nuisible et malheureux… Il n’en faut pas plus mais il n’en faut pas moins. Celui qui n’a aucune idée de la nécessité géométrique manquera l’idée même de nécessité extérieure. Toute la physique et toute l’histoire naturelle ensemble ne la lui donneront point… Le beau de la géométrie est qu’il y a des étages de preuves, et quelque chose de net et de sain dans toutes »
Une interrogation récurrente…NCTM Standards (2002)
« Nous vivons dans un monde mathématique, où chaque fois que nous décidons un achat, que nous choisissons une assurance ou un plan de santé, que nous utilisons un tableur, nous nous appuyons sur une compréhension mathématique.Internet, les cédéroms et les autres média diffusent de grandes quantités d’information. Le niveau de pensée mathématique et les capacités de résolution de problèmes requises au travail se sont accrues dramatiquement. Dans un tel monde, ceux qui comprennent et peuvent faire des mathématiques auront des opportunités que les autres n’auront pas. Les compétences mathématiques ouvrent des portes. L’absence de celles-ci les ferme. »
Des réponses récurrentes
La transmission d’une culture, patrimoine de l’humanité
La formation de l’esprit à travers raisonnement et rigueur
L’apprentissage de connaissances « utiles » voire nécessaires pour la vie sociale
Le développement du capital mathématique et scientifique des sociétés
Mais des équilibres, des interprétations changeantes liées
Aux évolutions culturelles, sociales, scientifiques et technologiques
Mais aussi : Aux conceptions de l’apprentissage et à
l’évolution de nos connaissances sur les processus associés
L’intérêt d’un regard extérieur
Questionner certaines « évidences » Elargir notre champ de référence Nous aider à mieux comprendre notre
situation particulière en mettant en évidence des convergences et différences avec d’autres contextes culturels et institutionnels
Quelques tendances générales
• Des mathématiques pour tous• Des mathématiques au service d’une
citoyenneté démocratique • Des mathématiques plus ouvertes sur
l’extérieur
• Et, au service de ces tendances, de nouvelles approches curriculaires où les compétences tendent à prendre le pas sur les contenus.
Des mathématiques pour tous
Le premier principe à la base des NCTM Standards : le principe d’équité :– Tous les élèves, quels que soient leurs caractéristiques
personnelles, culturelles et physiques doivent avoir les mêmes possibilités d’étudier et d’apprendre des mathématiques…
– On doit avoir des ambitions élevées en termes d’apprentissage pour tous les élèves
Mais dans le même temps, des difficultés à mettre en œuvre ce principe provoquant des tensions évidentes : le cas du programme « No child left behind ».
Mathématiques et citoyenneté
Une éducation promouvant des valeurs démocratiques
Une société de plus en plus numérisée
Quantitative literacy
Mathematics and Democracy (NCED)
La notion de « quantitative literacy » La capacité à gérer les aspects quantitatifs de la
vie. Une capacité inséparable des contextes et qui se
développe plus « horizontalement » que « verticalement ».
Une vision où les statistiques, le raisonnement sur l’incertain jouent un rôle essentiel.
Mais une question essentielle, celle des rapports entre :
« quantitative literacy » et mathématiques
Des mathématiques ouvertes sur l’extérieur
Des mathématiques recherchant le dialogue avec les autres disciplines scolaires.
Des mathématiques ouvertes sur l’extérieur de l’école :– le développement d’une pédagogie de
projets, – l’exemple des pays nordiques.
De nouvelles approches curriculaires: compétences /contenus
Une importance croissante accordée à l’identification des compétences que l’éducation mathématique doit développer.
Une organisation curriculaire qui reflète cette évolution.
Le projet Danois KOM (www.nvfaglighed.emu.dk)
Utiliser la notion de compétence pour structurer le curriculum :– la compétence mathématique est définie
comme la capacité d’un individu à agir de façon mathématiquement appropriée face à une situation problématique,
– personne n’est totalement compétent (respectivement incompétent).
Les raisons d’un tel choix: lutter contre la « syllabusitis » Syllabusitis : Penser que la maîtrise d’un
domaine peut être identifiée à celle des contenus d’un programme.
Une approche qui rend difficile, selon les auteurs du projet :– de clarifier ce qu’est la formation mathématique,– de faire une place au travail essentiel de
mathématisation,– de prendre en compte des types et des niveaux
différents de besoins mathématiques.
Une classification des compétences autour de 8 pôles
Penser mathématiquement Poser et résoudre des problèmes mathématiques Analyser et construire des modèles mathématiques Raisonner mathématiquement Représenter des entités mathématiques Manipuler des symboles et formalisations
mathématiques Communiquer en, avec et à propos de
mathématiques Savoir utiliser aides et instruments, dont les TIC
Les compétences (suite)
Des compétences déclinables ensuite suivant les domaines mathématiques et les niveaux, et évaluées selon trois dimensions :
le niveau d’approfondissement, le rayon d’action, le niveau technique.
Et, complétant ces 8 pôles…
Des vues d’ensemble et avis sur :– les applications actuelles des
mathématiques dans d’autres disciplines et dans les pratiques,
– le développement historique des mathématiques,
– la nature des mathématiques comme discipline.
Un exemple de problème
10 = 44 Une vitesse élevée tue ! Une voiture conduit à la vitesse de 50km/h est
dépassée par une voiture roulant à 60 km/h. Quand les deux voitures sont juste côte à côte, une petite fille s’engage sur la route quelques mètres devant. Les deux conducteurs pilent au même instant et leurs voitures ont des capacités de freinage identiques. La première voiture s’arrête juste à temps, la seconde heurte la petite fille à 44 km/h. 7 enfants sur 10 meurent dans un tel accident.
Mais aussi des diversités indéniables reflétant la diversité
des cultures
L’influence de systèmes de valeurs très différents qui dépassent le seul monde de l’éducation
Des organisations et choix curriculaires très divers :– curriculum intégré ou non,– équilibres entre les domaines,– stratégies didactiques.
Le cas de l’entrée dans le monde de l’algèbre
Trois stratégies principales : l’entrée par le monde des équations, l’entrée par la recherche de « patterns »
et les formules, l’entrée par les fonctions.
Trois stratégies principales
Privilégiant chacune un certain rapport à la lettre.
Posant de façon différente les rapports arithmétique / algèbre.
Exploitant des fonctionnalités différentes de l’algèbre.
Induisant des dynamiques d’apprentissage différentes.
L’entrée par patterns et formules
Nombre généralisé, généralisation
Equations Fonctions
Pays anglo-saxons
La bordure (IREM de Poitiers)
Combien de carreaux dans la bordure pour un carré de côté 4, de
côté 10 ?
Comment trouver le nombre de carreaux pour n’importe quel
carré ?
N+N+N+N+4, 4N+4
4(N+2)-4
2(N+2)+2N
(N+2)2-N2
Patterns et formules : vers fonctions et équations
Si je double le côté du carré, que se passe-t-il
pour la bordure ?
Est-ce qu’il y a des bordures de 200, 210,
1000 carreaux ?
Patterns et formules : l’articulation de registres sémiotiques
N 4N+4 D11 82 12 43 16 44 20 45 24 46 28 47 32 48 36 49 40 4
10 44 411 48 412 52 413 56 414 60 415 64 416 68
0
5
1015
20
25
30
3540
45
50
0 5 10 15
Côté
Bo
rdu
re
Série1
Patterns et formules : l’articulation de registres sémiotiques
N 4N+41 82 123 164 205 246 287 328 369 40
10 4411 4812 5213 5614 6015 6416 68
N*N D214 39 5
16 725 936 1149 1364 1581 17
100 19121 21144 23169 25196 27225 29256 31
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12
N
Bo
rdu
re e
t ai
re
Série1
Série3
L’entrée par formes et formules
Une entrée qui privilégie un parcours :– Nombre généralisé – Variable – Inconnue– Généralisation – Fonctions – Equations
Une entrée qui adoucit la transition arithmétique / algèbre.
Une entrée qui est généralement associée à des enseignements précoces de l’algèbre.
Une entrée qui réhabilite le travail sur les formules.
Les entrées dans le monde algébrique
Equations
France
Hongrie
Israel
Italie
Hong Kong
Fonctions
Les entrées dans le monde algébrique
La modélisation fonctionnellede situations
Equations
Pays Bas
Japon
Les Pays Bas : Realistic Mathematics Education
Une entrée par des situations fonctionnelles « réalistes », en utilisant divers registres sémiotiques
Une entrée dès le début du collège avec une grande attention accordée à la modélisation et à la progressivité du symbolisme
Une routinisation des procédures qui ne s’effectue que plus tardivement (grade 10)
La diversité curriculaire en algèbre
Des choix sensiblement différents pour l’entrée dans le monde algébrique : – Entrée précoce ou non – Généralisation, Equations, Fonctions
Mais aussi La répercussion des structures générales :
curriculum intégré ou non Des attentes très différentes dans la maîtrise
technique
Que retirer de ces comparaisons ?
L’entrée dans le monde algébrique : une entrée reconnue universellement comme problématique et dont on comprend mieux la complexité aujourd’hui du fait des nombreuses recherches menées dans ce domaine.
Diverses stratégies possibles. L’intérêt au début du collège d’un travail sur patterns
et formules qui peut aider à mettre en place de façon moins brutale le symbolisme algébrique tout en faisant vivre une valeur essentielle de l’algèbre : sa valeur d’outil de généralisation.
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