k2 hydrostatik teil1 -...
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Fluidmechanik Hydrostatik __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 1 von 44
2 Hydrostatik ..................................................................................................................................... 2 2.1 Grundlagen ................................................................................................................................. 2
2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase ................................................... 2
2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten .................................................................... 6
2.1.3 Druckeinheiten ..................................................................................................................... 8
2.1.4 Hydrostatischer Druck .......................................................................................................... 9
2.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon ....................................................................... 11
2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) .............................................................. 13
2.1.7 Saugwirkung ....................................................................................................................... 16
2.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes, 285- 212 BC) .............................................. 20
2.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung ....................................................................... 23
2.1.10 Viskosität ............................................................................................................................ 41
Fluidmechanik Hydrostatik __________________________________________________________________________________________________________
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2 Hydrostatik
2.1 Grundlagen
2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase Zustandsgrößen: Beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.B.
Druck p
Temperatur T
Dichte bzw. spez. Volumen 1v
Thermodynamische Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.B. H2O) können in Abhängigkeit von zwei
Zustandsgrößen beschrieben werden, z.B.
Tpvv ,
vpTT ,
Tvpp ,
Im thermodynamischen Gleichgewicht können nicht beliebig viele Phasen gleichzeitig vorliegen
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Freiheitsgrade eines thermodynamischen Systems
Thermische Zustandsgrößen, die unabhängig wählbar sind, um den Zustand eines Systems
eindeutig zu beschreiben
Gibbs'sche Phasenregel stellt Zusammenhang her zwischen
- Anzahl der Feiheitsgrade f
- Anzahl der chemischen Komponenten K
- Anzahl der Phasen P, d.h. fest, flüssig oder gasförmig
PKf 2
Bsp.: Siedendes Wasser
Homogenes System (eine Komponente K = 1) mit zwei Phasen (flüssig + gasförmig P = 2)
221 f 1f (Dampfdruckkurve Tpp oder pTT
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Bsp.: Luft
Homogenes System (eine Komponente K = 1) mit einer Phasen (gasförmig P = 1)
PKf 2
121 f 2f (ideale Gasgleichung: Tvpp , , pvTT , , Tpvv ,
Zustandsgrößen sind über Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt,
z.B. ideale Gasgleichung
TRvp
mit
p Druck [Pa]
v = V/m = 1/ spezifisches Volumen [m3/kg]
R spez. Gaskonstante (Luft: RLuft = 287,05 J/kgK)
T Temperatur [K]
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2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten
Allgemein Generell gilt für Festkörper, Flüssigkeiten und Gase:
Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur Tp,
Definition der Kompressibilität
Druckbelastung eines Volumenelements v Kompression um dv infolge dp
Kompressibilität
dpdv
v
1
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Kompressibilität
Kompressibilität stellt eine Stoffgröße dar
- Wasser T = 510-10 [m²/N]
- Luft T = 510-5 [m²/N] bei p = 1 [bar]
Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung
- 05.0d
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Druckeinheiten
Einheit A Multiplikationsfaktor SI - Einheit
Pa = N/m² 1 Pa
hPa = mbar 102 Pa
MPa 106 Pa
bar 105 Pa
atm 1,01325105 Pa
mm Wassersäule = mm WS 9,80665 Pa
mm Quecksilber = mm Hg = Torr
(760 mmHg = 1 atm)
133,32 Pa
psi = lb/in² (1 in = 25,4 mm) 6894,757 Pa
psf = lb/ft² (1 ft = 12 in = 0,3048 m) 47,88 = 6894,757/144 Pa
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2.1.3 Hydrostatischer Druck Druck ist eine ungerichtete Größe
- Druckfeld = Skalarfeld
- Geschwindigkeitsfeld = Vektorfeld
Resultierende Druckkraft wirkt immer senkrecht auf die Oberfläche
FG ghpzp 0
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Bsp.: Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser gefüllten Behälter
geg.:
h = 10 [m] (Füllhöhe)
p0 = 1 [bar] (Luftdruck)
H2O = 103 [kg/m³]
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2.1.4 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon
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Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon
- Fluidstatischen Grundgesetz: ghpp 0
- Druck ist eine Funktion der Höhe h der Flüssigkeitssäule
- Kraft auf den Boden eines Gefäßes wird ausschließlich von der Höhe der darüber befindlichen
Flüssigkeitssäule und nicht von der Form des Gefäßes bestimmt
- Das Volumen der Flüssigkeit hat keinen Einfluss auf die Belastung der Bodenplatte
- Gleiche Grundfläche A bedeutet gleiche Kraft F, ApF
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2.1.5 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren)
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Hydraulische Presse (Anwendung auf der Basis verbundener Gefäße)
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Bsp.: Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben
1. Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit dem Kolben (2)
anzuheben?
2. Wie groß ist der Fehler bei Anwendung der Näherungslösung?
3. Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolbens (2)
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2.1.6 Saugwirkung Arbeitsprinzip: Fluidstatischen Grundgesetz ghpp 0 und Prinzip kommunizierender Röhren
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Maximale Ansaughöhe
Bedingung: Saugdruck > Dampfdruck,
DaabsS pp ,
Maximale, theoretische Ansaughöhe bei
DaabsS pp ,
DabDabDab
thS HHg
pg
pgppH
,
Tatsächliche Saughöhe HS
thSS HH ,
Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser
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Dampfdruckkurve und kritischer Punkt Kritischer Punkt = Gleichgewicht zwischen allen drei Phasen (H2O: T = 374,2 °C, p =221,2 bar)
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TemperaturT [°C]
Dichte
[kg/m³]
DampfdruckpDa [bar]
DampfdruckhöheHDa [mWS]
0 999,8 0,006 0,06
5 1000,0 0,009 0,09
10 999,6 0,012 0,12
20 998,2 0,024 0,24
30 995,6 0,042 0,43
40 992,2 0,074 0,75
50 988,0 0,123 1,25
60 983,2 0,198 2,02
70 977,7 0,311 3,17
80 971,3 0,473 4,82
90 965,3 0,700 7,14
100 958,3 1,013 10,33
Bsp.: Berechnung der Ansaughöhe einer Pumpe
Temperatur T = 20°C
Luftdruck pb 1 bar = 105 Pa
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2.1.7 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes, 285- 212 BC)
Erstes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren
Überprüfung des Goldanteils in der Krone des König Hieron II von Syrakus
?
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Statischer Auftrieb Scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Körpers
Ursache Druckdifferenz an Ober- und Unterseite des eingetauchten Körpers
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Bsp.: 1. Wieviel Prozent eines Eisberges liegen unter bzw. über dem Wasserspiegel? 2. Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das gesamte arktische Eis abtaut?
geg.:
3920 mkgEis
31025 mkgMeerwasser
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2.1.8 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung
2.1.8.1 Teilchenkräfte
Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen und Atomen
Festkörper bilden Gitterstruktur
sehr große Molekulakräfte
Fluide weisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf
geringere Molekularkräfte als bei Festkörpern
leichte Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb von Fluiden
Teilchenkräfte bestimmen die Form der freien Oberfläche eines Fluids
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Begriffsdefinitionen Kohäsionskräfte
- Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase
Adhäsionskräfte
- Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen
Adhäsion
- Wirkung zwischen fest/fest und fest/flüssig
Adsorption
- Wirkung zwischen fest/gasförmig, Anlagerung von Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche
fester Körper
Absorption - Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder Feststoffen
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Henry-Gesetz (engl. Physiker u. Chemiker, 1774 - 1836):
- Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender
Temperatur zu
- Verringerung des Sauerstoffgehalts im Wasser bei Erwärmung
- Erhöhung der Stickstoffkonzentration im Blut unter hohem Druck (Tauchen)
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2.1.8.2 Grenzflächenspannung
Grenzflächenkräfte
Teilchenkräfte treten an den Trennflächen verschiedener Stoffe
oder Phasen in Erscheinung
Randwinkel <90°: Adhäsion > Kohäsion (H2O/Glas)
Randwinkel >90°: Kohäsion > Adhäsion (Hg/Glas)
Moleküle in der Grenzschicht erfahren durch Kohäsionskräfte eine resultierende Kraft F nach innen,
Grenzfläche wirkt wie eine dünne Membran
Bsp.: Wasserläufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflächenspannung des Wassers
H2O Hg
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Benetzungsformen
Gas/Gas: Keine Grenzflächen infolge Durchmischung keine Grenzflächenkräfte Gas/Flüssigkeit: Kohäsionskräfte der Flüssigkeit sind dominierend Kapillarspannung Gas/Festkörper: Festkörper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzfläche Flüssigkeit/Festkörper:
- (1) Kohäsion > Adhäsion (Randwinkel >90°) nichtbenetzendes Fluid (hydrophob)
- (2) Kohäsion < Adhäsion (Randwinkel <90°) benetzendes Fluid (hydrophil)
Flüssigkeit/Flüssigkeit: Verhalten ähnlich dem von Gasen, Durchmischung, keine Grenzflächen
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Oberflächenaktive Substanzen
Beeinflussung der Oberflächenspannung durch
- Verunreinigungen
starke Reduzierung der Oberflächenspannung
- Waschaktive Substanzen
Reduzierung der Oberflächenspannung
- Alkohole und Fettsäuren durch hydrophile (COOH-Gruppe) und hydrophobe (CH3-Gruppe) Anteile
Bildung einer monomolekularen Substanz zwischen Wasser- und Luftmolekülen
Reduzierung der Oberflächenspannung
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Tropfengröße und Dosierung
Medizinische Anwendungen: Dosierung durch Tropfengröße
Tropfengröße wird durch Dichte und Oberflächenspannung bestimmt
Aufgabe
Bestimmung der Tropfengröße durch Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode
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2.1.8.3 Kapillarität
Grenzflächenspannung bzw. Kapillarspannung
Intermolekulare Anziehungskräfte heben sich, mit Ausnahme
einer dünnen Schicht (<10-9 m) an der freien Oberfläche, im
Inneren des Fluids auf
Spannungszustand
Freie Oberfläche versucht Minimalwert anzunehmen
Krümmungsdruck pK
21
11
KKK rrdA
dFp
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Einfluß der Oberflächenform auf den Krümmungsdruck
- ebene Oberfläche
21 KK rr 0Kp
- kugelkalottenförmige Oberfläche
KKK rrr 21 K
K rp
2
- zylinderförmige Oberfläche
21 , KKzylK rrrr K
K rp
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Kapillarwirkung
Kapillaraszension (Wasser im Glasrohr) Kapillardepression (Quecksilber im Glasrohr)
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Randwinkel W
Krümmungsradius rK
WK
Rrcos
Stoffpaarung Randwinkel W [grd]
Wasser oder Äthylalkohol/Glas 0
Alkohol/Plexiglas < 10
Wasser/Plexiglas 80
Quecksilber/Glas 140
Wasser/Lotusblatt 160
Fluidmechanik Hydrostatik __________________________________________________________________________________________________________
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Steighöhe als Funktion der Kapillarspannung und Innendurchmesser rK
Fluide (T = 20°C) [N/m]Luft - Quecksilber Wasser Ethanol Ethylether Öl
0,470 0,073 0,025 0,016 0,028
Wasser - Quecksilber Öl Ethanol
0,380 0,020 0,002
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2.1.8.4 Bestimmung der Oberflächenspannung
Tropfenmethode (Stalagmometer) Fließt eine Flüssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter Temperatur Tropfen
gleicher Größe. Oberflächenspannung ist der Dichte der Flüssigkeit direkt und der Anzahl z der
Tropfen umgekehrt proportional
Stalagmometer Besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen, Kalibrierung des Geräts erfolgt mit
einer Flüssigkeit mit bekannter Oberflächenspannung (z. B. Wasser)
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Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von 2-Methylpropanol
Aus einem Stalagmometer flossen bei T = 20°C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus
Die Dichte der Flüssigkeit betrug ρ = 0,9477 g/cm3
Wie groß ist ihre Oberflächenspannung , wenn mit dem gleichen Gerät n(H2O) = 137 Tropfen
Wasser von 20°C gezählt wurden?
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Kapillarmethode
Für eine Glaskapillare mit dem Radius r, in der eine Flüssigkeit aufsteigt gilt:
Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule = Tragkraft durch die Oberflächenspannung
rghr 22
1
2
mNghr
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Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 18°C
Berechnung des Radius r der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersäule
geg.: T = 18 [°C] (Temperatur)
mHg = 1,297 [g] (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare)
lHg = 5,40 [cm] (Fadenlänge des Quecksilbers in der Kapillare)
Hg = 13,595 [g/cm3] = 13,95103 [kg/m³] (Dichte)
hH2O = 19,85 [mm] (Mittelwert für die Höhe der aufgestiegenen Wassersäule)
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Ring- oder Bügelmethode
Meßwerte
F1 = Gewichtskraft des Ringes in Luft
F2 = Gewichtskraft vor dem Abreißen
r = Radius des Ringes
Oberflächenspannung σ
2212
r
FF
Faktor 2 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung oben am Ringrand/Flüssigkeit und unten an
Flüssigkeit/Flüssigkeit
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Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 25°C mittels der Ringmethode
geg.: T = 25 [°C]
m = 4,910 [g] (Masse des Ringes)
F2 = 7,51210-2 [N] (Zugkraft vor dem Abreißen)
d = 60 [mm] (Durchmesser des Ringes)
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2.1.9 Viskosität
Definition nach DIN 1342 Eigenschaft fließfähiger Systems bei Verformung eine mechanische Spannung aufzunehmen, die
von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt
Schub- oder Tangentialspannung = Ursache für die im Fluid hervorgerufene
Verformungsgeschwindigkeit
Viskosität ist eine Stoffgröße, Maß für die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander
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Newton'sches Fluidreibungsgesetz
Plattenzugversuch Zwischen ruhender und bewegter Wandfläche bildet sich ein Geschwindigkeitsgefälle, das bei
kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann
dzdcAF x
Scherkraft F bezogen auf die Plattenfläche A ergibt Tangentialspannung
Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung)
dzdc
AF x
Schergefälle
dzdcD x
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Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette1)-Strömung)
lineare- und nicht-lineare Geschwindigkeitsverteilung in der Scherschicht
1)Couette, frz. Forscher (1858 - 1943)
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Reibungsverhalten verschiedener Fluide
Klebstoffe, nasser Sand
Schmelzen, Dispersionen mit
länglichen Partikeln
Bingham-Fluide,
Honig, Wachs, Teer, Fette
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