kajian kekompakan di dalam ruang banachblog.undana.ac.id/jsmallfib_top/pub2011/ariyantofst1.pdf ·...
Post on 16-May-2019
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH
Ariyanto*
ABSTRACT
The properties of compactness in Banach spaces in this paper is a generalization of a
compact understanding the system on the real numbers. New concepts formed is
relatively compact, sequentially compact, relatively sequentially compact, and totally
bounded. These paper study about relationship of concepts.
Key words: Banach spaces, compact, compact sequential, totally bounded.
ABSTRAK
Sifat kekompakan di ruang Banach pada tulisan ini merupakan perumuman dari
pengertian kompak pada sistem bilangan real. Konsep-konsep baru yang terbentuk adalah
kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Tulisan
ini mengkaji keterkaitan konsep-konsep tersebut di atas.
Kata kunci : ruang Banach, kompak, kompak sekuensial, terbatas total.
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ruang bernorma dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalam ruang bernorma
tersebut konvergen, dan ruang bernorma lengkap dikenal dengan sebutan ruang Banach.
Pemberian nama ruang bernorma lengkap sebagai ruang Banach disebabkan Banach yang
menemukan struktur sifat-sifat ruang bernorma lengkap dalam meraih disertasi doktornya pada
tahun 1920. Liput terbuka suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real dimaksudkan
suatu koleksi himpunan terbuka G yang merupakan himpunan bagian sehingga
E
G , dan suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real dikatakan kompak apabila
setiap liput terbuka untuk himpunan E memuat liput-bagian yang banyak anggotanya hingga.
Tulisan ini akan mengitlak (memperumum) pengertian dan sifat-sifat kompak yang dimiliki
sistem bilangan real ke ruang Banach. Implikasi lanjutannya adalah pengertian, konsep dan
sifat-sifat kompak pada sistem bilangan real setelah di bawah ke ruang Banach berhasil
memunculkan struktur sifat yang baru seperti : kompak relatif, kompak sekuensial, kompak
sekuensial relatif, dan terbatas total. Pembahasan pada tulisan ini akan ditampilkan dalam bentuk
teorema atau lemma.
MATERI DAN METODE KAJIAN
Tulisan pembahasan sifat kekompakkan pada ruang Banach ini menggunakan pendekatan
studi literatur. Langkah permulaan dilakukan adalah menghimpun materi yang dibutuhkan yang
diambil dari buku-buku analisis seperti yang tercantum dalam daftar pustaka. Kemudian ,
mempelajari materi penelitian dan mengolahnya dengan bantuan teori-teori dasar dalam
matematika seperti logika, teori himpunan dan analisis dasar.
Teori Dasar
Pada bagian ini akan dibahas pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan
untuk pembahasan berikutnya. Beberapa konsep, sifat dan teorema pada tulisan ini dianggap
sudah dipahami. Beberapa bukti teorema dalam bagian ini tidak diberikan karena bisa langsung
merujuk ke daftar pustaka.
Ruang Metrik
Pada sub bagian ini akan dibicarakan pengertian dan sifat-sifat dari ruang metrik, sebagai
berikut.
Definisi 1 : Diberikan sebarang himpunan tak kosong X .
i Fungsi :d R yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1 , 0 ,
, 0 ,
d x y untuk setiap x y
d x y jika dan hanya jika x y
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
2 , , ,d x y d y x untuk setiap x y dan
3 , , , , ,d x y d x z d z y untuk setiap x y z ,
Disebut metrik atau jarak pada X .
ii Himpunan X dilengkapi dengan suatu metrik d , dituliskan dengan ,d , disebut ruang
metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis X saja. Anggota ruang
metrik ,d disebut titik dan untuk setiap ,x y bilangan nonnegatif ,d x y disebut jarak
titik x dengan titik y .
Definisi 2 : Diketahui dX , ruang metrik, dan XS .
1. Apabila x sebarang titik di dalam ruang metrik X dan 0 , maka Himpunan
)(xN yxdXy ,: dinamakan persekitaran dengan titik pusat x dan jari-jari .
2. Titik x X disebut titik limit himpunan S , apabila setiap persekitaran dengan titik pusat x
memuat paling sedikit satu titik Sy dengan xy , atau untuk setiap 0 berlaku
)(xN xS . Koleksi semua titik limit himpunan S disebut derived set dan
dinotasikan dengan S . Himpunan S SS disebut closure( S ). Titik anggota S yang
bukan titik limit disebut titik terasing.
3. Titik x X disebut titik-dalam himpunan S , apabila terdapat persekitaran )(xN sehingga
berlaku )(xN S .
4. Himpunan XS disebut himpunan terbuka apabila setiap anggotanya merupakan titik-
dalam himpunan S .
5. Himpunan XS dikatakan himpunan tertutup apabila cS terbuka. Closure( S ) didefinisikan
juga sebagai irisan semua himpunan tertutup yang memuat S .
6. Himpunan XS dikatakan terbatas apabila ada titik Xx dan bilangan real 0M
sehingga untuk setiap Sy berlaku yxd , M .
7. Diameter himpunan XS , dinotasikan sebagai Sd dan didefinisikan sebagai
Sd sup Syxyxd , setiapuntuk : , . S juga dikatakan terbatas apabila diameternya
hingga.
Teorema 3 : Diketahui dX , ruang metrik, dan XS .
Himpunan S tertutup jika dan hanya jika S memuat semua titik limitnya, atau SS .
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Bukti : Syarat perlu : S tertutup, jadi cS terbuka. Andaikan bahwa SS
, yaitu ada Sx
dengan Sx atau cSx . Karena
cS terbuka, maka x merupakan titik-dalam himpunan cS .
Jadi, ada bilangan 0 sehingga berlaku )(xNcS atau )(xN S . Akibatnya untuk
0 tersebut berlaku )(xN xS . Jadi x bukan titik limit himpunan S , kontradiksi
dengan pengambilan Sx .
Syarat cukup : Diketahui SS atau cc SS . Diambil sebarang
cSx , maka cSx
atau x bukan merupakan titik limit himpunan S . Jadi ada bilangan 0 dengan sifat
)(xN xS .
Kemungkinan terjadi, )(xN S atau )(xN xS .
Karena cSx (atau Sx ) maka )(xN S . Jadi, apabila diambil
cSx , maka ada
bilangan 0 sehingga )(xN S atau )(xNcS . Dengan kata lain x merupakan
titik-dalam himpunan cS , sehingga terbukti
cS himpunan terbuka atau himpunan S tertutup.
Definisi 4 : Diketahui dX , ruang metrik. Barisan nx di dalam suatu ruang metrik X
dikatakan konvergen jika ada x X sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan asli
0n , sehingga untuk setiap bilangan asli 0n n berlaku ,nd x x . Dalam hal ini dikatakan
barisan {xn} konvergen ke x atau barisan nx mempunyai limit x
dan biasa dinotasikan dengan
lim , 0nn
d x x
, atau lim nn
x x
. Barisan yang tak konvergen dikatakan divergen.
Definisi 5 : Diketahui dX , ruang metrik. Suatu barisan nx di dalam X , dan dibentuk
barisan bilangan asli Nknk : sehingga 21 nn ...3 n , maka barisan knx dinamakan
barisan bagian dari nx .
Definisi 6 : Diketahui dX , ruang metrik. Barisan nx di dalam X disebut barisan Cauchy
apabila untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan asli 1n sehingga untuk setiap nm, 1n
berlaku nm xxd , .
Teorema 7 : Diketahui dX , ruang metrik, dan XS .
Apabila x titik limit himpunan S , maka ada suatu barisan nx di dalam S sehingga
nlim xxn .
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Teorema 8 : Diketahui dX , ruang metrik.
Apabila setiap barisan nx di dalam X konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan
Cauchy.
Ruang Bernorma
Pada sub bagian ini akan disajikan definisi ruang bernorma disertai sifat-sifatnya.
Definisi 9 : Diketahui X ruang linear atas C atau R .
Fungsi RX :. disebut norma apabila :
1N 0x untuk setiap Xx , dan xx 0 .
2N xx .. untuk setiap Xx dan skalar .
3N yxyx untuk setiap Xyx , .
Ruang linear X yang diperlengkapi norma dinamakan ruang bernorma dan dituliskan dengan
.,X atau X saja.
Teorema 10: Setiap ruang bernorma X merupakan ruang metrik, dengan yxyxd ),(
untuk setiap Xyx , .
Berdasarkan Teorema 10 di atas, setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, maka
semua konsep, pengertian, sifat-sifat, serta teorema-teorema yang berlaku pada ruang metrik
berlaku pula pada ruang bernorma. Demikian pula karena ruang bernorma merupakan ruang
metrik maka vektor disebut pula sebagai titik.
Teorema 11 : Ruang bernorma X dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnya
konvergen, dan ruang bernorma lengkap disebut Ruang Banach.
Contoh : baC , kontinu ,,: fRbaf koleksi semua fungsi kontinu dari ba, ke
. Terhadap norma 0
f sup baxxf , : merupakan ruang Banach, akan tetapi
terhadap norma 1
f b
adxxf , bukan merupakan ruang Banach.
Definisi 12 : Apabila ruang bernorma X memuat suatu barisan ne yang memenuhi untuk
setiap Xx ada dengan tunggal barisan skalar n sehingga berlaku
neeex . . . n2211 untuk n , maka ne disebut basis untuk X .
Dengan kata lain, untuk setiap Xx dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear dari
1e , 2e , . . . , ne .
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Lemma 13 : Apabila nxxx ,...,, 21 himpunan vektor-vektor bebas linear di dalam suatu ruang
bernorma X yang berdimensi hingga, maka ada suatu bilangan 0c sehingga untuk setiap
skalar 1 , 2 , ..., n berlaku,
nn xxx ...2211 c n ...21 .
Teorema 14 : Setiap ruang bagian berdimensi hingga Y dari ruang bernorma X merupakan
himpunan tertutup di dalam X .
Lemma 15 :(Lemma Riesz’s) Diberikan X ruang bernorma berdimensi hingga dan Y , Z
ruang bagian X . Apabila Y tertutup dan ZY , maka untuk setiap bilangan 1,0 ada
Zz sehingga 1z dan yz , untuk setiap Yy .
Bukti : Diambil sebarang Zv dengan Yv , dan dibentuk
a inf Yyyv : . Apabila diambil 1,0 , maka ada Yy 0 sehingga berlaku
a 0yv
a . Diambil cz 0yv di dalam Z , dengan c
0
1
yv maka diperoleh
z 0 yvc
0
0
yv
yv
1 .
Selanjutnya, akan ditunjukkan yz sebagai berikut. Untuk setiap Yy diperoleh
yz yyvc 0
c
yyvc 0 c
c
yyv 0 c 1yv ,
dengan 1yc
yy 0 . Oleh karena itu, menurut definisi a di atas diperoleh 1yv a .
Berdasarkan hasil di atas pula, dengan c0
1
yv maka diperoleh
yz c 1yv ac. 0yv
a
a
a .
Karena Yy diambil sebarang, maka lemma Riesz’s terbukti.
PENGKAJIAN
Pembahasan
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Pada sub bagian ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat kekompakan yang dimiliki
oleh ruang Banach. Langkah awal akan mendefinisikan dulu pengertian kompak, dan langkah
berikutnya berturut-turut akan menyajikan sifat-sifat kompak di dalam ruang Banach.
Definisi 16 : Koleksi semua himpunan himpunan di dalam ruang Banach X dikatakan liput
(cover) himpunan XS apabila setiap anggota himpunan S termuat paling sedikit dalam satu
anggota koleksi semua himpunan .
Dengan kata lain, merupakan liput himpunan XS apabila S G
G . Apabila setiap
anggota merupakan himpunan terbuka di dalam X , maka disebut liput terbuka (open
cover) untuk S .
Definisi 17 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan XS dikatakan kompak (compact) apabila untuk setiap liput terbuka himpunan
S ada liput bagian berhingga yang juga liput himpunan S .
Jelasnya, S kompak apabila koleksi semua himpunan terbuka merupakan liput terbuka
untuk S , maka ada himpunan berhingga nGGG ,...,, 21 sehingga berlaku S n
i
iG1
.
Contoh : 1. Di dalam ruang Banach X , himpunan berhingga merupakan himpunan kompak.
Jawab : Misalkan himpunan berhingga tersebut adalah S nxxx ,...,, 21 dan G
merupakan liput terbuka untuk S , maka ada anggota S merupakan anggota G untuk paling
sedikit satu . Jadi untuk setiap ix dipilih satu G saja yang memuat ix , sebut saja i
G .
Jadi 1
G , 2
G , ..., n
G merupakan liput bagian berhingga untuk S . Terbukti untuk sebarang
liput terbuka untuk S memuat liput bagian berhingga untuk S . Jadi disimpulkan S kompak.
2. Himpunan S
nn
:1
di dalam sistem bilangan real tidak kompak.
Definisi 18 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan XS dikatakan kompak relatif (relatively compact) jika dan hanya jika S (closure
S ) merupakan himpunan kompak.
Definisi 19 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan XS dikatakan kompak sekuensial (sequentially compact) apabila setiap barisan
nx di dalam S mempunyai barisan bagian knx yang konvergen ke Sx .
Definisi 20 : Diketahui X ruang Banach.
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Himpunan XS dikatakan kompak sekuensial relatif (relatively sequentially compact) jika dan
hanya jika S (closure S ) merupakan himpunan kompak.
Definisi 21 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan XS disebut net apabila S himpunan berhingga dan Sx
xN
)( X , dan X
disebut terbatas total apabila X memuat suatu net , untuk setiap 0 .
Definisi 22 : Diketahui X ruang Banach, dan liput terbuka untuk X .
Bilangan 0 disebut bilangan Lebesque untuk liput terbuka apabila setiap himpunan
XS dengan )(Sd , ada G sehingga GS .
Teorema 23 : : Diketahui X ruang Banach.
Apabila setiap himpunan tak berhingga XS mempunyai titik limit di dalam X , maka X
kompak sekuensial.
Bukti : Diambil sebarang barisan nx di dalam X . Dibentuk range dari barisan tersebut sebagai
berikut : S nxn : .
Apabila S berhingga, maka ada paling sedikit satu anggota Sx untuk tak berhingga
banyaknya indeks n , sebab nx merupakan fungsi dengan domain himpunan tak berhingga .
Dengan demikian terbentuk suatu barisan knk : sehingga 1n 2n ..., dan
1nx 2nx x ... . Jadi diperoleh suatu barisan bagian yang konvergen ke x XS . Apabila
S tak berhingga, dan S mempunyai titik limit 0x di dalam X maka ada barisan di dalam S
yang konvergen ke 0x . Dipilih 1n sehingga berlaku 01xxn 1 . Kemudian dipilih 2n dengan
21 nn sehingga 02xxn
2
1 . Setelah dipilih 21 nn ... 1kn , maka dipilih kn dengan
1 kk nn sehingga 0xxkn
k
1 . Jadi terbentuk barisan
knx yang konvergen ke 0x .
Dengan kata lain terbukti X kompak sekuensial.
Lemma 24 : Diketahui X ruang Banach.
Apabila himpunan XS tak berhingga yang terbatas total, maka untuk setiap 0 ada
himpunan tak berhingga SM sehingga Md .
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Bukti : Diketahui S himpunan tak berhingga dan diberikan sebarang 0 . Misalkan himpunan
H nxxx ,...,, 21 merupakan suatu net3
di dalam X sehingga berlaku X
n
i
ixN1 3
)(
,
yang berakibat S n
i
ixNS1 3
))((
. Dengan demikian paling sedikit ada satu dari himpunan-
himpunan )(3
ixNS yang memuat himpunan tak berhingga, sebut saja M dengan
Md .
Teorema 25 : Diketahui X ruang Banach.
X terbatas total jika dan hanya jika setiap barisan nx di dalam X mempunyai barisan bagian
Cauchy.
Bukti : syarat perlu : Diambil sebarang barisan Diketahui X ruang Banach. Pandang himpunan
A nxn ; . Apabila A berhingga, maka barisan nx mempunyai barisan bagian
berhingga yang konstan. Oleh karena itu, barisan ini merupakan barisan Cauchy. Sekarang
misalkan A tak berhingga, maka berdasarkan Lemma 23 ada himpunan tak berhingga AB 1
dengan 11 Bd . Dipilih 1n sehingga 11Bxn . Selanjutnya dengan cara yang sama, ada suatu
himpunan tak berhingga 12 BB dengan 2
12 Bd . Dipilih 12 nn sehingga 22
Bxn .
Apabila prosedur ini dilakukan terus menerus, maka diperoleh himpunan-himpunan tak berhingga
1 kk BB ... 12 BB dengan i
Bd i
1 ( ni ,...,2,1 ) sehingga untuk setiap bilangan
asli 1 kk nn ... 12 nn berlaku in Bxi ( ni ,...,2,1 ). Berdasarkan proses ini diperoleh
suatu barisan bagian knx dari nx . Apabila diberikan sebarang 0 , maka dipilih 0k
sehingga 0
1
k. Dengan cara yang sama seperti di atas diperoleh
mnx0kB untuk 0km . Jadi
apabila 0, kmj maka berlaku mj nn xx
0
1
k . Oleh karena itu terbukti bahwa setiap
barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy.
Syarat cukup : Andaikan himpunan X tidak terbatas total, maka ada 00 sehingga tidak
terdapat net0 di dalam X . Diberikan sebarang Xx 1 dan dipilih Xx 2 sehingga
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
12 xx 0 . Hal ini mungkin terjadi sebab himpunan 1x bukan suatu net0 di dalam
X . Selajutnya dipilih Xx 3 dengan 13 xx 0 dan 23 xx 0 , dan ini mungkin
terjadi sebab 21, xx bukan suatu net0 di dalam X . Apabila proses dilakukan secara terus
menerus dengan cara yang sama, maka akan diperoleh himpunan nxxx ,...,, 21 yang bukan
suatu net0 di dalam X dengan sifat ji xx 0 , untuk setiap ji ( kj ,..,2,1 ). Jadi
ada Xxn 1 dengan jk xx 1 0 , untuk kj ,..,2,1 . Oleh karena itu barisan nx tidak
mempunyai barisan bagian Cauchy, kontradiksi dengan yang diketahui.
Teorema 26 : Ruang Banach X kompak sekuensial jika dan hanya jika X terbatas total.
Bukti : Syarat perlu : Karena X kompak sekuensial, maka setiap barisan nx di dalam X
mempunyai barisan bagian knx yang konvergen, yang berakibat barisan
knx merupakan
barisan Cauchy. Jadi, setiap barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy, dan
berdasarkan Teorema 25 terbukti bahwa X terbatas total.
Syarat cukup : Diketahui X terbatas total dan diambil sebarang barisan nx di dalam X .
Menurut Teorema 25, maka barisan nx mempunyai barisan bagian Cauchy knx dan karena
X ruang Banach, maka barisan knx konvergen atau terbukti X kompak sekuensial.
Lemma 27 : Diketahui X ruang Banach. Apabila X kompak sekuensial, maka setiap liput
terbuka untuk X mempunyai bilangan Lebesque.
Bukti : Diketahui X kompak sekuensial dan liput terbuka untuk X . Andaikan tidak ada
bilangan Lebesque untuk liput terbuka , maka untuk setiap n ada himpunan tak kosong
XAn dengan nAdn
1 sehingga nA tidak termuat dalam . Selanjutnya, dipilih
nn Ax , dan karena X kompak sekuensial maka barisan nx di dalam X mempunyai barisan
bagian knx yang konvergen ke 0x . Dipilih 0G sehingga 00 Gx . Karena 0G himpunan
terbuka, maka ada bilangan 0 sehingga )( 0xN 0G . Karena knx konvergen ke 0x ,
maka knx termuat di dalam )( 0xN untuk tak berhingga banyak kn . Dipilih
kn yang
maksimal sehingga kn
x )( 0xN dengan
kn
1
2
. Apabila diambil
knAy maka diperoleh
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
0xy
kn
1, dan mengingat
knAd
kn
1 maka berakibat 0xy
2
. Oleh karena itu
y )( 0xN , dengan demikian diperoleh kn
A )( 0xN 0G . Kotradiksi dengan fakta bahwa
untuk setiap n , nA tidak termuat di dalam anggota . Dengan kata lain mempunyai
bilangan Lebesque.
Teorema 28 : Diketahui X ruang Banach dan XS .
S kompak jika dan hanya jika S kompak sekuensial.
Bukti : Syarat perlu : Andaikan S tidak kompak sekuensial, maka menurut Lemma 26 ada suatu
himpunan tak berhingga SA dengan A tidak mempunyai titik limit di dalam S . Dengan
demikian setiap anggota S bukan titik limit himpunan A , dan setiap titik anggota A merupakan
titik terasing. Jadi, untuk setiap Ax ada bilangan 0 sehingga AxN )( x , dan
untuk setiap Sy dengan Ay dapat dibuat persekitaran )(yN sehingga AxN )( .
Karena A tak berhingga, maka koleksi semua himpunan
AxxN :)( AySxyN &:)( merupakan liput terbuka untuk S , akan tetapi
liput terbuka tidak memuat liput bagian berhingga. Sebab, apabila menghilangkan satu
persekitaran )(xN saja dari titik Ax maka S tidak terliput lagi, dan kontradiksi dengan
fakta bahwa S kompak.
Syarat cukup : Diberikan sebarang liput terbuka untuk S , maka menurut Lemma 26 liput
terbuka mempunyai bilangan Lebesque 0 , dan berdasarkan Teorema 25 maka S terbatas
total. Oleh karena itu, ada suatu net3
dari himpunan berhingga nxxx ,...,, 21 sehingga
untuk setiap nk ,...,2,1 berlaku
)(
3
kxNd 3
2 . Selanjutnya, ada kG dengan )(
3
kxN kG .
Karena n
k
kxN1 3
)(
S , maka diperoleh nGGG ,...,, 21 merupakan liput bagian berhingga
untuk S , atau terbukti S kompak.
Teorema 29 : Diketahui X ruang Banach dan XS .
Jika S kompak, maka S tertutup dan terbatas.
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Bukti : (a) Diambil sebarang 0x X dengan 0x cS , dan untuk setiap anggota Sx dibuat
persekitaran )(xN yxy : , dan persekitaran )( 0xN yxy : dengan
pusat 0x dan jari-jari 2
1 0xx . Jelas bahwa, )(xN )( 0xN untuk setiap Sx .
Oleh karena itu, koleksi semua himpunan persekitaran-persekitaran SxxN : )(
merupakan liput terbuka untuk S . Karena diketahui S kompak, maka ada 1x , 2x , ..., nx S
sehingga berlaku S n
i
ixN1
)(
. Dibentuk himpunan W n
i
xNi
1
0 )(
dengan
2
1i ixx 0 , untuk setiap 1i , 2 , ..., n . Jadi W merupakan suatu persekitaran dari titik
0x dan himpunan bagian semua )( 0xNi
, untuk setiap 1i , 2 , ..., n . Jadi,
W )( ixN , untuk setiap 1i , 2 , ..., n sehingga W )(xN . Akibatnya,
W S atau W cS . Jadi 0x merupakan titik-dalam himpunan cS , jadi
cS terbuka atau
S tertutup.
(b) Untuk setiap Sx dibentuk persekitaran )(1 xN 1 : yxy , yaitu persekitaran
dengan pusat x dan jari-jari 1. Koleksi semua himpunan SxxN : )(1 merupakan liput
terbuka untuk S . Karena diketahui S kompak, maka ada 1x , 2x , ..., mx S sehingga
S n
i
ixN1
1 )(
. Namakan, 1M maks mxxxxxx 13121 ..., , , . Untuk sebarang
Sy ada jx dengan mj 1 , sehingga berlaku y )(1 jxN . Jadi diperoleh
yx1 jxx1 yx j 1 M M1 . Jadi untuk setiap Sy berlaku
yx1 M atau dengan kata lain S terbatas.
Teorema 30 : Diketahui X ruang Banach, dan XS .
Apabila S tertutup dan terbatas, dan X berdimensi hingga maka S kompak.
Bukti : Misalkan Dim( X ) n , dan neee , . . . , , 21 merupakan basis untuk X . Diambil
sebarang barisan mx di dalam S , maka untuk setiap mx anggota S dapat disajikan sebagai
representasi kombinasi linear sebagai berikut,
mx n
m
n
mm exexex . . . )(
2
)(
21
)(
1
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Karena diketahui S terbatas, maka ada bilangan 0k sehingga mx k , untuk setiap m .
Menurut Lemma 13, maka diperoleh
k mx n
m
n
mm exexex )(
2
)(
21
)(
1 ... c
n
j
m
jx1
)(, dengan 0c .
Oleh karena itu barisan bilangan )(m
jx terbatas. Jadi ia mempunyai titik limit, katakan titik
limitnya tersebut adalah jx , untuk nj 1 . Akibatnya, barisan mx mempunyai barisan
bagian mz yang konvergen ke z
n
j
jj ex1
. Karena himpunan S tertutup, maka Sz . Ini
menunjukkan bahwa sebarang barisan mx di dalam S mempunyai barisan bagian yang
konvergen dalam S . Dengan kata lain S kompak sekuensial atau S kompak.
Teorema 31 : Diketahui X ruang Banach, dan XS .
S kompak relatif jika dan hanya jika S terbatas total.
Bukti : Syarat perlu : Diketahui S kompak relatif atau S SS kompak. Apabila S
kompak berakibat S kompak sekuensial, maka menurut Teorema 26 S terbatas total. Apabila S
tidak kompak, dan karena S merupakan koleksi semua himpunan titik limit di dalam S , maka
berdasarkan Teorema 23 S kompak sekuensial, dan sekali lagi menurut Teorema 26 terbukti S
terbatas total.
Syarat cukup : Diketahui S kompak relatif, yaitu S kompak.
Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Sekarang
apabila S tidak kompak dan karena S merupakan koleksi semua titik limit di dalam S , maka
diperoleh S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total.
Syarat perlu : Diambil sebarang barisan nx di dalam S . Karena diketahui S terbatas total,
maka ada himpunan-himpunan berhingga
)( , . . . ),( ),(2
12
2
11
2
1 iyNyNyN yang merupakan
suatu net1 . Paling sedikit dari persekitaran-persekitaran ini memuat suatu barisan tak hingga,
katakanlah 1,nx dengan 1,nx nx . Selanjutnya. Diambil lagi suatu net2
1, maka paling
sedikit satu dari persekitaran-persekitaran di dalam himpunan berhingga dari suatu net2
1
memuat barisan tak berhingga 2,nx dengan 2,nx 1,nx . Apabila proses dilakukan terus
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
menerus maka akan diperoleh suatu barisan tak hingga mnx , , untuk suatu m dengan
mnx , 1, mnx sehingga mnx , termuat di dalam persekitaran berdiameter m
1. Misalkan
nnx , merupakan barisan diagonal, maka njjjx , merupakan barisan bagian dari
njnjx ,
yang termuat di dalam persekitaran berdiameter n
1. Jadi diperoleh mmnn xx ,,
) , (min
1
mn,
sehingga nnx , merupakan barisan Cauchy. Karena X lengkap maka barisan nnx , adalah
konvergen. Dengan kata lain barisan nnx , mempunyai barisan bagian yang konvergen atau S
kompak sekuensial. Berakibat S kompak relatif.
SIMPULAN
Berdasarkan keseluruhan uraian di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
1. Apabila suatu himpunan tak berhingga mempunyai titik limit di dalam ruang Banach,
maka ruang Banach tersebut kompak sekuensial.
2. Suatu ruang Banach yang kompak sekuensial jika dan hanya jika ruang Banach tersebut
terbatas total.
3. Suatu himpunan di dalam ruang Banach yang kompak jika dan hanya jika himpunan
tersebut kompak sekuensial.
4. Apabila suatu himpunan yang kompak di dalam ruang Banach, maka himpunan tersebut
tertutup dan terbatas.
5. Apabila suatu himpunan yang tertutup dan terbatas di dalam ruang Banach, dan himpunan
itu juga berdimensi hingga maka himpunan tersebut kompak.
6. Suatu himpunan yang kompak relatif di dalam ruang Banach jika dan hanya jika himpunan
tersebut terbatas total.
DAFTAR RUJUKAN
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Hutson, V, and PYM, J.S, 1980. Aplications of Functional Analysis and Operator
Theory, Academic Press, London, New York, Toronto, Sydney, San Francisco.
Kreyszig, E, 1978. Introductory Functional Analysis with Aplications , John
Willey&Sons, Canada.
Parzynski, W.R, and Zipse, P.W, 1982. Introduction to Mathematical Analysis, Mc-Hill
Book Company.
Royden, H.L, 1989. Real Analysis. Mamillan Pub.Co., new York, Collier Macmillan
Pub., London.
Rudin, H.L, 1989. Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill International
Company, Singapore.
Simmons, G.F, 1963. Topology and Modern Analysis, Mc Graw-Hill Book Company,
Inc, New York.
top related