kalkulu numerikoa:
Post on 25-Jan-2016
52 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
KALKULU NUMERIKOA:
Funtsezko arazoa:
- Ez gara zenbaki erreal guztiak erabiltzen ari.
- Kalkulagailuan egindako eragiketak ez dira zeharo zehatzak:
c=a+b / ⇒ c−b=a
€
b >> a baldin bada, adibidez :b =1010, a = π
kalkulagailuan, c = a+ b ; c −b ≠ π
Interpolazio polinomikoa:
Bitez R2-ren n+1 puntu: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) non x0≠ x1≠... xn
n. mailako edo maila txikiagoko polinomio pn (x) aurkitu nahi dugu era honetakoa:
pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n
Egiazta dezagun halako polinomio bat existitzen dela eta bakarradela:
pn(x)=a0 +a1x+a2x2 +K +anx
n ,
ai ∈R , i =0,1,K ,n
pn(xi) =yi , i =0,1,K ,nBaina, hurrengo hauek bete behar dira:
a0 +a1x0 +a2x02 +K +anx0
n =y0
a0 +a1x1 +a2x12 +K +anx1
n =y1M
a0 +a1xn +a2xn2 +K +anxn
n =yn
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
1 x0 x02 L x0
n
1 x1 x12 L x1
n
M M M M
1 xn xn2 L xn
n
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
A1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4
a0
a1
M
an
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
X{
=
y0
y1M
yn
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
b{
€
( ∃ A−1 ⇔ det A ≠ 0) AX = b⇒ X = A−1b
det A=
1 x0 x02 L x0
n
1 x1 x12 L x1
n
M M M M
1 xn xn2 L xn
n
= (xi −xj)0≤j<i≤n∏
(Van der monde-ren determinantea)
Aurreko zutabea bider x0 kentzen diogu
Aurreko zutabea bider x0 kentzen diogu
Aurreko zutabea bider x0 kentzen diogu
...
det A=
1 0 0 L 0
1 x1 −x0 x12 −x1x0 L x1
n −x1n−1x0
M M M M
1 xn −x0 xn2 −xnx0 L xn
n −xnn−1x0
det A=
1 0 0 L 0
1 x1 −x0 x1 x1 −x0( ) L x1n−1 x1 −x0( )
M M M M
1 xn −x0 xn xn −x0( ) L xnn−1 xn −x0( )
det A=
x1 −x0 x1 x1 −x0( ) x12 x1 −x0( ) L x1
n−1 x1 −x0( )
x2 −x0 x2 x2 −x0( ) x22 x2 −x0( ) L x2
n−1 x2 −x0( )
M M M M
xn −x0 xn xn −x0( ) xn2 xn −x0( ) L xn
n−1 xn −x0( )
det A= x1 −x0( ) x2 −x0( )L xn −x0( )
1 x1 x12 L x1
n−1
1 x2 x22 L x2
n−1
M M M M
1 xn xn2 L xn
n−1{Aurreko zutabea bider x1
kentzen diogu
det A=
1 x0 x02 L x0
n
1 x1 x12 L x1
n
M M M M
1 xn xn2 L xn
n
= (xi −xj)0≤j<i≤n∏
€
Beraz :
det A = (x i − x j )0≤ j<i≤n
∏ ≠ 0 ( x i ≠ x j delako i ≠ j direnean)
€
Orduan :
det A ≠ 0 ⇔ ∃ A−1 ⇔ ∃ ai ⇔ ∃ pn (x) / pn (x i) = y i , i = 0,1, K ,n( )
Lagrange-ren interpolazio-polinomioa:
Hurrengo n. mailako polinomioa Lagrange-ren interpolazio-polinomioadeitzen da eta behar diren baldintzak betetzen ditu:
pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n:
pn(x)=y0
x−x1( ) x−x2( )K x−xn( )x0 −x1( ) x0 −x2( )K x0 −xn( )
+y1
x−x0( ) x−x2( )K x−xn( )x1 −x0( ) x1 −x2( )K x1 −xn( )
+K
K +ynx−x0( ) x−x1( )K x−xn−1( )xn −x0( ) xn −x1( )K xn −xn−1( )
pn(x)= yjL j(x)
j=0
n
∑ , Lj(x) =x−xk( )xj −xk( )j≠k=0
n
∏ , j =0,1,K ,n
€
(x ≠ 0 bada) y = a1x + a2x2 + a3x
3 ⇔ x−1y = a1 + a2x + a3x2
Kalkulatu interpolazio-polinomioa sin(x) funtziorako, zeinak hurrengo lau puntuetatik igarotzen baitu:
x0 =0→ y0 =0 , x1 =13
→ y1 =0.8660254 ,
x2 =23
→ y2 =0.8660254 , x3 =1→ y3 =0
Bilatzen ari garen polinomioa honelakoa izango da:
y(x) =a0 +a1x+a2x2 +a3x
3
y(x0 =0) =0⇒ a0 =0⇒ y(x)=a1x+a2x2 +a3x
3
2.5980762=a1 +a2
3+a3
9
1.2990381=a1 +2a2
3+
4a3
90=a1 +a2 +a3
⎫
⎬
⎪ ⎪ ⎪
⎭
⎪ ⎪ ⎪
−1.2990381=a2
3+a3
3
−1.2990381=a2
3−
5a3
9
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
a3 =0a2 =−3.8971143a1 =3.8971143
y=3.8971143(x−x2) =94
3(x−x2)
y'=94
3 1−2x( )⎫ ⎬ ⎭
→ y'(xmax)=0⇒ xmax=12y''=−
92
3(zuzena)
€
→ y(xmax ) =9
163 (ez zuzena: sin(/2)=1)
Integrala kalkulatuz gero:
y(x)dx0
1
∫ =94
3(x−x2)dx0
1
∫ =94
3 (x2
2−x3
3)
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
0
1
y(x)dx0
1
∫ =38
3 ≈0.649519
€
sin(πx)dx0
1
∫ =−cos(πx)
π
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
1
=2π
≈0.6366197
€
Errore absolutua = 0.649519 − 0.6366197 = 0.0128993
€
Errore erlatiboa =0.649519 − 0.6366197
0.6366197= 0.020262175
€
Ehuneko errorea = Errore erlatiboa × 100 ≈ %2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5 0 0.5 1 1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5 0 0.5 1 1.5
9√3(x-x2)/4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5 0 0.5 1 1.5
9√3(x-x2)/4
sen( )x
Aurreko 4 puntuak erabili beharrean, hurrengo hiru erabiliz gero:
x0 =0→ y0 =0 , x1 =12
→ y1 =1 , x2 =1→ y2 =0
bilatutako interpolazio-polinomia orain honelakoa da:
y(x) =a0 +a1x+a2x2
y(x0 =0) =0=a0 +a1x0 +a2x02 ⇒ a0 =0
y(x) =a1x+a2x2
1=a1
2+a2
40=a1 +a2
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ → a2 =−a1
1=a1
4⇒ a1 =4=−a2
y(x) =4(x−x2)
y'=41−2x( )
y''=−8
⎫ ⎬ ⎭
→ y'(xmax)=0⇒ xmax=12
(zuzena)
y(xmax) =1 (zuzena)
Integrala kalkulatuz gero:
y(x)dx0
1
∫ = 4(x−x2)dx0
1
∫ =4 (x2
2−x3
3)
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
0
1
y(x)dx
0
1
∫ =46
≈0.) 6
€
sin(πx)dx0
1
∫ =−cos(πx)
π
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
1
=2π
≈0.6366197
€
Errore absolutua = 0.6666666 − 0.6366197 = 0.0300463
€
Errore erlatiboa =0.6666666 − 0.6366197
0.6366197= 0.047196623
€
Ehuneko errorea = Errore erlatiboa × 100 ≈ %4.7
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5 0 0.5 1 1.5
9√3(x-x2)/4
sen( )x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5 0 0.5 1 1.5
9√3(x-x2)/4
sen( )x
4( -x x2)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
9√3(x-x2)/4
sen( )x
4( -x x2)
Aurreko hiru puntu erabili beharrean, hurrengo hiru erabiliz gero:
x0 =0→ y0 =0 , x1 =14
→ y1 =2
2 , x2 =
12
→ y2 =1
funtzioak betezen duen simetriarekin (f(x) = f(1-x)) batera,
orduan 5 puntu eduki bezalakoa da, zeren, simetria-baldintzak bi puntugehigarri ematen baititu:
x3 =34
→ y3 =2
2 , x4 =1→ y4 =0
Eta orain bilatutako interpolazio-polinomiaren egitura honelakoa da :
y(x) =a0 +a1x+a2x2 +a3x
3 +a4x4
y(x0 =0) =0=a0 +a1x0 +a2x02 ⇒ a0 =0
y(x) =a1x+a2x2 +a3x
3 +a4x4
Baina, funtzioak betetzen duen simetria, f(x) = f(1-x), erabiliaz4.mailako polinomio hori beste era honetara idatz daiteke:
€
y(x) = a1x + a2x2 + a3x
3 + a4x4 = ax(1− x) + b x(1− x)[ ]
2
22
=a14
34
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ +b
14
34
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
1=a12
12
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ +b
12
12
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
2
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
163
22
=a+3
16b
4=a+14b
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
b=43
(3−2 2)
a=643
(8 2 −9)
Integrala kalkulatuz gero:
y(x)dx0
1
∫ =a (x−x2)dx0
1
∫ +b (x2 +x4 −2x3)dx0
1
∫
y(x)dx0
1
∫ =a6
+b30
≈.6361648
€
sin(πx)dx0
1
∫ =−cos(πx)
π
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
1
=2π
≈0.6366197
€
Errore absolutua = 0.6361648 − 0.6366197 = −0.0004549
€
Errore erlatiboa =0.6361648 − 0.6366197
0.6366197= −0.0007145
€
Ehuneko errorea = Errore erlatiboa × 100 ≈ %0.07
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
sen( )x
€
sin(πx)
Kalkulatu hurrengo 3 puntuetatik igarotzen duen funtzioaren (f(x)=3x)interpolazio-polinomioa:
x0 =−1→ y0 =13
, x1 =0→ y1 =1 ,x2 =1→ y2 =3
Interpolazio-polinomioaren egitura honelakoa da :
y(x) =a0 +a1x+a2x2
13
=a0 −a1 +a2
1=a0
3=a0 +a1 +a2
⎫
⎬
⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
23
=a1 −a2
2=a1 +a2
⎫
⎬
⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
a1 =43
; a2 =23
y(x) =1+43x+
23x2
Interpolazio-polinomio hau alderatu daiteke Taylor-en (Mac Laurin-en kasu honetan, zeren x0 = 0) garapenarekin:
f (x) ≈ f(x0) +f'(x0)(x−x0)+
f'' (x0)2
(x−x0)2 +K
direnez:f (x) =3x ; x0 =0
f (x)=3x (=ex ln(3)) ⇒ f(0) =1
f'(x) =3x ln(3) ⇒ f'(0)=ln(3)
f'(x) =3x ln2(3) ⇒ f''(0) =ln2(3)
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪ f (x) ≈1+ln(3)x+
ln2(3)2
x2
y(x) =1+
43x+
23x2 ≈1+1.
) 3 x+0.
) 6 x2
y2(x)=1+ln(3)x+ln2(3)
2x2 ≈1+1.0986123x+0.6034745x2
(interpolazio-polinomioa)
(seriearen garapena)
Legendre-ren polinomioen oinarri ortogonalaren garapenarekin erealderatu dezakegu:
3x = α jPj(x)j=0
∞
∑ ; α j =1
Pj (x)2 3x
−1
1
∫ Pj (x)dx ; Pj(x)2=
22j+1
3x = α jPj(x)j=0
∞
∑ ≈α0P0(x)+α1P1(x)+α2P2(x)
3x = α jPj(x)j=0
∞
∑ ≈α01+α1x+α2
3x2 −12
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
α0 =1
P0(x)2 3x
−1
1
∫ P0(x)dx=12
3x
−1
1
∫ dx=12
ex ln3
−1
1
∫ dx=1
2ln3ex ln3
[ ]−1
1
α0 =1
2ln33−
13
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ ≈1.2136523
3x = α jPj(x)j=0
∞
∑ ; α j =1
Pj (x)2 3x
−1
1
∫ Pj (x)dx ; Pj(x)2=
22j+1
3x = α jPj(x)j=0
∞
∑ ≈α01+α1x+α2
3x2 −12
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
α0 =1
2ln33−
13
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ ≈1.2136523
α1 =1
P1(x)2 3x
−1
1
∫ P1(x)dx=32
x3x
−1
1
∫ dx=32
xex ln3
−1
1
∫ dx
α1 =32exln3 x
ln3−
1ln2 3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−1
1
≈1.2370543
Legendre-ren polinomioen oinarri ortogonalaren garapenarekin erealderatu dezakegu:
3x = α jPj(x)j=0
∞
∑ ; α j =1
Pj (x)2 3x
−1
1
∫ Pj (x)dx ; Pj(x)2=
22j+1
3x = α jPj(x)j=0
∞
∑ ≈α01+α1x+α2
3x2 −12
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
α0 ≈1.2136523
α2 =1
P2(x)2 3x
−1
1
∫ P2(x)dx=52
3x2 −12
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ 3
x
−1
1
∫ dx
; α1 ≈1.2370543
α2 =52
3xx2
ln3−
2xln2 3
+2
ln3 3
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
−1
1⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ≈0.438184
; α2 ≈0.438184
y3(x) =1.21365+1.2370543x+0.4381843x2 −1
2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
y3(x) =0.99456+1.2370543x+0.6572769x2
Legendre-ren polinomioen oinarri ortogonalaren garapenarekin erealderatu dezakegu:
y(x) =1+
43x+
23x2 ≈1+1.
) 3 x+0.
) 6 x2
(interpolazio-polinomioa)
y2(x)=1+ln(3)x+ln2(3)
2x2 ≈1+1.0986123x+0.6034745x2
(Mac Laurin-en seriearen garapena)
y3(x) =0.99456+1.2370543x+0.6572769x2
(Legendre-ren polinomioen oinarriaren garapena)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Interpolazio-polinomioa
Mac Laurin-en garapena
Legendre-ren polinomioenoinarriaren garapena
top related