kalkulus bab 2
Post on 01-Jan-2016
561 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
BAB 2. DIFERENSIAL (TURUNAN)
,
A. Aturan Pencarian Turunan
.
A. Aturan Pencarian Turunan (Cont.)
Teorema 5. Aturan Jumlah
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan . (f + g)’(x)= f’(x) + g’(x) D[f(x) + g(x) =Df(x)+Dg(x)⇨ Teorema 6. Aturan Selisih
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan
(f - g)(x)= f’(x) - g’(x) D[f(x) - g(x)] = Df(x) - Dg(x)⇨
Contoh soal Diferensial Teorema 1 - 6
.
Jawaban contoh soal Diferensial
.
Soal Latihan/Kuis/PR
.
Aturan Pencarian Turunan (Cont.)
.
Contoh soal Diferensial Teorema 7 – 8
•
Jawaban Contoh soal Diferensial Teorema 7 – 8
•
Soal Latihan/Kuis/PR Teorema 7 – 8
B. Persamaan Diferensial
.
Persamaan Diferensial (cont.)
•
Soal Latihan/kuis/PR Persamaan Diferensial
.
C. Persamaan Diferensial Orde 1
.
Contoh Soal Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
.
Jawaban Soal Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
.
Soal Latihan/Kuis/PR
.
2. Persamaan Diferensial Homogen Orde 1
- Suatu persamaan diferensial dengan bentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
dikatakan homogen bila kedua koefisien M dan N fungsi homogen
dengan derajat yang sama.
- Definisi fungsi homogen :
bila suatu fungsi f mempunyai bentuk :
f(tx,ty) = tn f(x,y)
untuk n ∈ R maka f dikatakan sebuah fungsi homogen derajat ke-n.
----- Cont.
*) Suatu persamaan diferensial dengan bentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
dikatakan homogen bila kedua koefisien M dan N fungsi homogen
dengan derajat yang sama.
**) Definisi fungsi homogen :
bila suatu fungsi f mempunyai bentuk :
f(tx,ty) = tn f(x,y)
untuk n R maka f dikatakan sebuah fungsi homogen derajat ∈ ke-n
Misalnya
.
Metode Penyelesaian
Suatu persamaan diferensial homogen
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Dapat diselesaikan dengan substitusi aljabar, dengan substutusi
y= ux atau x = vy, dimana u dan v adalah variabel baru yg dapat
menyederhanakan persamaan tersebut menjadi persamaan
diferensial terpisah orde 1.
Contoh Soal Persamaan Homogen Orde 1
1. Hitunglah (x2 + y2)dx + (x2 - xy) dy = 0
Jawaban Soal Diferensial Homogen Orde 1
.
3. Persamaan Diferensial Eksak
.
Contoh Soal Diferensial Eksak
.
Soal Latihan/kuis/PR
1. Selesaikan solusi PD : y dx + x dy = 0
2. Carilah solusi PD: (2x + 3y - 2)dx+(3x - 4y+1)dy= 0
Kerjakan dengan teliti dan benar !
BAB 3. BARISAN dan DERET ARITMETIKA
Sebelum membahas lebih jauh tentang Barisan, tinjau dulu Notasi Sigma. Karena Notasi Sigma merupakan dasar (pondasi) dari pem- bahasan Barisan dan Deret. » Pembahasan materi kuliah tentang Barisan dan Deret terbagi atas . 2 golongan besar : Barisan & Deret Aritmetika dan Barisan & . Deret Geometri. 1. NOTASI SIGMA
Penulisan penjumlahan dari bilangan adakalanya memiliki keteratur- an tertentu, sehingga memudahkan utk menuliskan dalam bentuk yang paling sederhana. Cara penulisan seperti itu disebut notasi sigma.
Misalnya :
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 , bisa dituliskan dalam bentuk
{3(1)-1} + {3(2)-1 + {3(3)-1}+{3(4)-1}+{3(5)-1}+{3(6)-1}
Berdasarkan keteraturan dan ke-terurutan : (3i – 1)
.
Jawaban Contoh soal Notasi Sigma
•
Soal Latihan/kuis/PR
.
Sifat-sifat Notasi Sigma
.
Contoh soal merubah batas bawah limit
.
Jawaban contoh soal merubah batas bawah
Soal Latihan/kuis/PR merubah batas bawah/atas
.
2. BARISAN ARITMETIKA
Definisi :
Suatu barisan dengan suku ke-n dinyatakan dalam bentuk Un : U1, U2, U3,… Un disebut barisan aritmetika bila memenuhi syarat :
U2 – U1 = U3 – U2 = …..= Un – Un-1 = konstan
Nilai konstan ini disebut beda dari barisan tersebut, dilambangkan
dengan huruf b
a. Suku ke-n dari barisan Aritmetika
Jika suku pertama barisan aritmetika dilambangkan a dan
bedanya b, maka suku ke-n dinyatakan :
a, a + b, a +2b, a +3b….a +(n – 1)b
Berdasarkan keteraturan itu, maka suku ke-n dapat dirumuskan : . Un = a + (n – 1)b
b. Suku tengah barisan Aritmetika
Contoh soal Barisan Aritmetika
1. Bila diketahui barisan aritmetika : 3, 7, 11, 15,…… . Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-30 ?
2. Barisan aritmetika : 3, 8, 13, …., 283. Carilah suku tengah barisan itu dan suku ke berapa suku tengahnya itu ?
3. Di antara bilangan 21 dan 117 disisipkan 11 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dan suku ke-10 dari barisan itu ?
4. Barisan Aritmetika : 2, 7, 12, 17, 22, 27. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-37 ?
5. Suatu Barisan Aritmetika, suku ke-12 sama dengan 29, sedangkan suku ke-21 sama dengan 56. Tentukan rumus suku ke-n barisan itu ?
Jawaban Contoh soal Barisan Aritmetika
Jawaban Contoh soal Barisan Aritmetika (cont.)
Soal Latihan/kuis/PR Barisan Aritmetika
1. Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke-n serta suku ke-27,
dari barisan aritmetika : 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 …
2. Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke-n serta suku ke-19 . dari barisan aritmetika : 50, 42, 34, 26, 18, ….
3. Diketahui barisan aritmetika, suku ke-27 adalah 46 dan suku
ke-43 adalah 88. Tentukan rumus dari suku ke-n dari barisan Aritmeti- . ka itu ?
4. Diketahui jumlah suku ke-tiga dan suku ke-tujuh dari suatu barisan . aritmetika adalah 34. Bila suku ke-10 adalah 42
Kerjakan dengan teliti dan benar !
3. DERET ARITMETIKA
Definisi Deret (cont.)
3. Jika a adalah suku pertama, Un dan Ut ,suku tengah, maka :
Sn = n .Ut
Contoh Soal Deret Aritmetika
1. Bila diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 11 dan . suku ke-11= 32, tentukan jumlah n suku pertamanya ?
2. Diketahui suatu data statistik: x1, x2, x3,….x20 mempunyai rata-rata . x0 = 31. Bila data itu diubah menjadi : (x1+55), (x2+52), (x3+49), . (x4 +46) .... dst. Carilah nilai rata-rata baru ?
3. Diberikan deret Aritmetika : 1 + 3 + 5 + 7 + …Tentukan jumlah 20 . suku pertama dari deret itu ?
4. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kurang dari 100 yg habis . dibagi 5 ?
Jawaban Contoh Soal Deret Aritmetika
Jawaban Contoh Soal Deret Aritmetika (cont.)
Soal Latihan/kuis/PR Deret Aritmatika
1. Diketahui jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika adalah . Sn = 4n2 - 32n. Tentukan suku ke-n dari barisan itu ?
2. Diketahui barisan aritmetika : log2, log4, log8,…..
Carilah jumlah 19 suku pertamanya ?
3. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret Aritmetika :
50 + 47 + 44 + 41 + ….
4. Diketahui deret Aritmetika dengan suku ke-5 sama dengan tiga kali . suku ke-3. Bila U9 + U10 + U11 + U12 = 68, tentukan jumlah 12 suku . pertamanya ?
Kerjakan dengan teliti dan benar !
BAB 4. BARISAN dan DERET GEOMETRI
Barisan Geometri (cont.)
Contoh soal Barisan Geometri
Jawaban Contoh soal Barisan Geometri
.
Jawaban Contoh soal Barisan Geometri (cont.)
.
Jawaban Contoh soal Barisan Geometri (cont.)
.
Soal latihan/kuis/PR Barisan Geometri
2. Deret Geometri
.
Contoh soal Deret Geometri
1. Diketahui deret : 2, 6, 18, ….Un Tentukan rumus suku ke-n ?
2. Diberikan deret : 2, 6, 18, 54, 162, 486, …Un Tentukan jumlah n suku pertamanya dan hitung jumlah 9 suku pertamanya ?
3. Dalam suatu Deret Geometri diketahui U1 = 512 dan U4 = 64. Tentukan rasio dari deret geometri itu ?
4. Diberikan deret geometri dengan U4 = 64 dan U1 = 512. Hitunglah jumlah tujuh suku pertamanya ?
Jawaban Contoh soal Deret Geometri
.
Soal Latihan/kuis/PR Deret Geometri
1. Suku pertama dari suatu barisan adalah 64, sedangkan suku ke-empat besarnya 1. Tentukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertamanya ?
2. Jumlah n suku pertama dari Deret Geometri adalah Sn = 3.2n – 1. Tentukan rumus suku ke-n dan nilai dari suku ke-5 ?
3. Suku pertama dari Deret Geometri adalah 4 dan jumlah delapan suku pertamanya sama dengan tujuhbelas kali jumlah 4mpat suku pertamanya. Tentukan rasio deret geometri itu ?
4. Dalam suatu Deret Geometri diketahui U1 = 512 dan U4 = 64. Hitunglah jumlah delapan suku pertama dari deret itu ?
2. Deret Geometri Tak-hingga
Definisi
Bila suku suatu Deret Geometri tak dibatasi banyaknya sampai suku tertentu saja, maka deret geometri itu disebut deret geometri tak-hingga. Berdasarkan rasionya, deret geometri tak-hingga dibedakan atas :
1. Deret Geometri tak-hingga yang konvergen Jika rasio deret geometri tak-hingga itu memenuhi – 1 < r < 1 atau . | r | < 1.
2. Deret Geometri tak-hingga yang divergen Jikla rasio deret geometri tak-hingga itu memenuhi r ⩽ -1 atau r ⩾ 1.
Contoh soal Deret Geometri tak-hingga
Tentukan rasio dari deret geometri : uji konvergensi
1. 24, 12, 6, 3, ….
2. 36, -12, 4, …..
3. 6, 18, 54, ……
4. 3, 9, 27, ….
5. 16, 8, 4, …..
6. ½, 1, 2, 4, …..
Jawaban Contoh Soal Deret Geometri tak-hingga
.
Nilai Limit Deret Geometri tak-hingga
Contoh soal Nilai limit Deret Geometri tak-hingga
1. Tentukan batas-batas nilai dari x agar deret geometri berikut konvergen : 1 + x + x2 + x3 + x4 + ….
2. Tentukan nilai dari deret geometri berikut : 24 + 12 + 6 + ……
Jawaban Contoh soal Nilai limit Deret Geometri tak-hingga
.
Soal latihan/kuis/PR Nilai limit Deret Geometri tak-hingga
.
top related