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Kapitel 6
Mehrstufige Zufallsexperimente
Kapitel 6
Mehrstufige Zufallsexperimente
Kapitel 6 © Beutelspacher
Januar 2005Seite 2
InhaltInhalt
6.1 Mehrstufige Experimente
6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
6.1 Mehrstufige Experimente
6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Kapitel 6 © Beutelspacher
Januar 2005Seite 3
6.1 Mehrstufige Experimente6.1 Mehrstufige Experimente
Grundvorstellung:
Viele Experimente werden der Reihe nach (in Stufen) ausgeführt.
Dabei können die Experimente einer Stufe von den Experimente der
vorigen Stufen abhängen oder nicht.
Grundmodellierung:
= 1 2 3 ... n,
dabei ist i die Ergebnismenge der i-ten Stufe.
Grundvorstellung:
Viele Experimente werden der Reihe nach (in Stufen) ausgeführt.
Dabei können die Experimente einer Stufe von den Experimente der
vorigen Stufen abhängen oder nicht.
Grundmodellierung:
= 1 2 3 ... n,
dabei ist i die Ergebnismenge der i-ten Stufe.
Kapitel 6 © Beutelspacher
Januar 2005Seite 4
BeispielBeispiel
In einer Urne seien eine rote und drei blaue Kugeln enthalten.
Man zieht zufällig eine der Kugeln und legt dann diese
und eine weitere Kugel der gezogenen Farbe in die Urne zurück.
Nun zieht man ein zweites Mal.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine rote Kugel zu ziehen?
Modellierung: = 1 2 mit 1 = 2 = {r, b}.
Das Ereignis „beim zweiten Mal eine rote Kugel“ ist
A = {(r , r), (b , r)}.
In einer Urne seien eine rote und drei blaue Kugeln enthalten.
Man zieht zufällig eine der Kugeln und legt dann diese
und eine weitere Kugel der gezogenen Farbe in die Urne zurück.
Nun zieht man ein zweites Mal.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine rote Kugel zu ziehen?
Modellierung: = 1 2 mit 1 = 2 = {r, b}.
Das Ereignis „beim zweiten Mal eine rote Kugel“ ist
A = {(r , r), (b , r)}.
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Januar 2005Seite 5
Bestimmung der WahrscheinlichkeitenBestimmung der Wahrscheinlichkeiten
Frage: Was ist p() für = (a1, a2) A?
1. Stufe: Die Wahrscheinlichkeit für r ist ¼, die für b ist ¾.
2. Stufe: Im Fall a1 = r enthält die Urne vor dem zweiten Ziehen
2 rote und 3 blaue Kugeln.
Also ist die Wahrscheinlichkeit für rot = 2/5.
Im Fall a1 = b enthält die Urne vor dem zweiten Ziehen
1 rote und 4 blaue Kugeln.
Also ist die Wahrscheinlichkeit für rot = 1/5.
Frage: Was ist p() für = (a1, a2) A?
1. Stufe: Die Wahrscheinlichkeit für r ist ¼, die für b ist ¾.
2. Stufe: Im Fall a1 = r enthält die Urne vor dem zweiten Ziehen
2 rote und 3 blaue Kugeln.
Also ist die Wahrscheinlichkeit für rot = 2/5.
Im Fall a1 = b enthält die Urne vor dem zweiten Ziehen
1 rote und 4 blaue Kugeln.
Also ist die Wahrscheinlichkeit für rot = 1/5.
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Januar 2005Seite 6
ÜbergangswahrscheinlichkeitenÜbergangswahrscheinlichkeiten
Daraus ergibt sich
p(r, r) = 1/42/5 = 2/20, p(r, b) = 1/4 3/5 = 3/20,
p(b, r) = 3/41/5 = 3/20, p(b, b) = 3/4 4/5 = 12/20.
Erster Faktor: Wahrscheinlichkeit für das erste Experiment
Zweiter Faktor: Wahrscheinlichkeit für den Ausgang des zweiten
Experiments aufgrund des Ausgangs des ersten Experiments
Diese „zweiten Faktoren“ heißen Übergangswahrscheinlichkeiten.
Es ergibt sich: P(A) = p(r, r) + p(b, r) = 2/20 + 3/20 = ¼.
Daraus ergibt sich
p(r, r) = 1/42/5 = 2/20, p(r, b) = 1/4 3/5 = 3/20,
p(b, r) = 3/41/5 = 3/20, p(b, b) = 3/4 4/5 = 12/20.
Erster Faktor: Wahrscheinlichkeit für das erste Experiment
Zweiter Faktor: Wahrscheinlichkeit für den Ausgang des zweiten
Experiments aufgrund des Ausgangs des ersten Experiments
Diese „zweiten Faktoren“ heißen Übergangswahrscheinlichkeiten.
Es ergibt sich: P(A) = p(r, r) + p(b, r) = 2/20 + 3/20 = ¼.
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Januar 2005Seite 7
BaumdiagrammBaumdiagramm
r b
r b r b
Start
1/4 3/4
2/5 3/5 1/5 4/5
2/20 3/20 3/20 12/20
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Januar 2005Seite 8
PfadregelnPfadregeln
An jeder Verbindung findet man die entsprechende
Übergangswahrscheinlichkeit.
1. Pfadregel (Multiplikationsregel): Um die Wahrscheinlichkeit
eines Elementarereignisses zu erhalten, multipliziert man die
Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad zu .
2. Pfadregel (Additionsregel): Um die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses A zu erhalten, addiert man die Wahrscheinlichkeiten
aller Ereignisse A.
An jeder Verbindung findet man die entsprechende
Übergangswahrscheinlichkeit.
1. Pfadregel (Multiplikationsregel): Um die Wahrscheinlichkeit
eines Elementarereignisses zu erhalten, multipliziert man die
Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad zu .
2. Pfadregel (Additionsregel): Um die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses A zu erhalten, addiert man die Wahrscheinlichkeiten
aller Ereignisse A.
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Januar 2005Seite 9
FormalisierungFormalisierung
1. Startverteilung: Es gibt Wahrscheinlichkeiten
p1(ai), ai 1 mit p1(a1) + p1(a2) + ... = 1.
2. Für alle ai 1 gibt es Übergangswahrscheinlichkeiten
p2(bj ai), bj 2 mit p2(b1 ai) + p2(b2 ai) + ... = 1.
3. Für alle ai 1, bj 2 gibt es Übergangswahrscheinlichkeiten
p3(ck ai, bj), ck 3 mit p3(c1 ai, bj) + p3(c2 ai, bj) + ... = 1.
Usw.
1. Pfadregel: Für = (ai, bj, ck, ...) gilt
p() = p1(ai) p2(bj ai) p3(ck ai, bj) ...
1. Startverteilung: Es gibt Wahrscheinlichkeiten
p1(ai), ai 1 mit p1(a1) + p1(a2) + ... = 1.
2. Für alle ai 1 gibt es Übergangswahrscheinlichkeiten
p2(bj ai), bj 2 mit p2(b1 ai) + p2(b2 ai) + ... = 1.
3. Für alle ai 1, bj 2 gibt es Übergangswahrscheinlichkeiten
p3(ck ai, bj), ck 3 mit p3(c1 ai, bj) + p3(c2 ai, bj) + ... = 1.
Usw.
1. Pfadregel: Für = (ai, bj, ck, ...) gilt
p() = p1(ai) p2(bj ai) p3(ck ai, bj) ...
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Januar 2005Seite 10
ProduktexperimenteProduktexperimente
• Idee: Das j-te Experiment wird „unabhängig“ von den ersten j–1
Experimenten durchgeführt.
• Vorstellung: (a) Experimente räumlich und zeitlich getrennt.
(b) Experimente gleichzeitig.
• Beispiel: Mehrfaches Würfeln
• Mathematische Beschreibung:
Für = (ai, bj, ck, ...) gilt
p() = p1(ai) p2(bj ai) p3(ck ai, bj) ...
• Idee: Das j-te Experiment wird „unabhängig“ von den ersten j–1
Experimenten durchgeführt.
• Vorstellung: (a) Experimente räumlich und zeitlich getrennt.
(b) Experimente gleichzeitig.
• Beispiel: Mehrfaches Würfeln
• Mathematische Beschreibung:
Für = (ai, bj, ck, ...) gilt
p() = p1(ai) p2(bj ai) p3(ck ai, bj) ...
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Januar 2005Seite 11
6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Idee: Verwertung von Teilinformationen,
„Lernen aus Erfahrung“
• In der Regel: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses,
das feststeht – das wir aber nicht kennen.
• Idee: Verwertung von Teilinformationen,
„Lernen aus Erfahrung“
• In der Regel: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses,
das feststeht – das wir aber nicht kennen.
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Januar 2005Seite 12
Beispiele 1, 2Beispiele 1, 2
Beispiel 1. In einer Urne sind zwei rote, zwei schwarze und zwei
blaue Kugeln. Eine Person zieht zufällig Kugeln (ohne Zurücklegen).
Sie teilt einer anderen Person (per Telefon) mit, wann sie zum ersten
Mal eine blaue Kugel zieht.
Angenommen, das ist beim dritten Mal.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Kugeln
rot waren?
Beispiel 2. „Ziegenproblem“: Der Kandidat zeigt auf Tür 1, der
Moderator öffnet Tür 3 (Ziegentür). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass Tür 2 die Autotür ist?
Beispiel 1. In einer Urne sind zwei rote, zwei schwarze und zwei
blaue Kugeln. Eine Person zieht zufällig Kugeln (ohne Zurücklegen).
Sie teilt einer anderen Person (per Telefon) mit, wann sie zum ersten
Mal eine blaue Kugel zieht.
Angenommen, das ist beim dritten Mal.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Kugeln
rot waren?
Beispiel 2. „Ziegenproblem“: Der Kandidat zeigt auf Tür 1, der
Moderator öffnet Tür 3 (Ziegentür). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass Tür 2 die Autotür ist?
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Januar 2005Seite 13
Beispiel 3Beispiel 3
Beispiel 3. Weit entfernt werden zwei Würfel geworfen. Per Telefon
erhalten wir die Nachricht „Augensumme mindestens 8“.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der
Würfel eine Sechs zeigt?
Bemerkung: Bei allen Experimenten geht es um die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das feststeht – aber uns
unbekannt ist.
Beispiel 3. Weit entfernt werden zwei Würfel geworfen. Per Telefon
erhalten wir die Nachricht „Augensumme mindestens 8“.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der
Würfel eine Sechs zeigt?
Bemerkung: Bei allen Experimenten geht es um die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das feststeht – aber uns
unbekannt ist.
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Januar 2005Seite 14
Erste mathematische ModellierungErste mathematische Modellierung
Wir betrachten ein Zufallsexperiment .
Wir wissen nur, dass ein Ereignis B eingetreten ist,
dass also B ist.
Ziel: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines
Ereignisses A unter der Bedingung B.
Wir schreiben dafür P(AB).
Wir betrachten ein Zufallsexperiment .
Wir wissen nur, dass ein Ereignis B eingetreten ist,
dass also B ist.
Ziel: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines
Ereignisses A unter der Bedingung B.
Wir schreiben dafür P(AB).
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Januar 2005Seite 15
Motivation durch relative HäufigkeitenMotivation durch relative Häufigkeiten
Man könnte sich vorstellen, den Wert P(AB) dadurch anzunähren,
dass man viele Versuche durchführt:
rn(AB) = (Anzahl der Versuche, in denen A und B eintritt) :
(Anzahl der Versuche, bei denen B eintritt)
Anders geschrieben:
rn(AB) = rn(A B) / rn(B).
Man könnte sich vorstellen, den Wert P(AB) dadurch anzunähren,
dass man viele Versuche durchführt:
rn(AB) = (Anzahl der Versuche, in denen A und B eintritt) :
(Anzahl der Versuche, bei denen B eintritt)
Anders geschrieben:
rn(AB) = rn(A B) / rn(B).
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Januar 2005Seite 16
DefinitionDefinition
Definition. Sei (, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum,
und seien A, B Ereignisse mit P(B) > 0.
Dann heißt
P(AB) = P(A B) / P(B)
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A
unter der Bedingung (Hypothese) B.
Schreibweise: PB(A) = P(AB)
Definition. Sei (, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum,
und seien A, B Ereignisse mit P(B) > 0.
Dann heißt
P(AB) = P(A B) / P(B)
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A
unter der Bedingung (Hypothese) B.
Schreibweise: PB(A) = P(AB)
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Januar 2005Seite 17
Einfache EigenschaftenEinfache Eigenschaften
6.2.1 Hilfssatz. (a) 0 PB(A) 1 für alle A .
(b) PB() = PB(B) = 1.
(c) PB(A1 A2) = PB(A1) + PB(A2), falls A1, A2 disjunkte Ereignisse
sind.
Beweis. (a) Wegen A B B ist P(A B) P(B), also P(AB) =
P(A B) / P(B) 1. (c) PB(A1A2) = P((A1A2) B) / P(B) = P((A1B) (A2B)) / P(B) =
[P(A1B) + P(A2B)] / P(B) = P(A1B) / P(B) + P(A2B) / P(B) =
PB(A1) + PB(A2).
6.2.1 Hilfssatz. (a) 0 PB(A) 1 für alle A .
(b) PB() = PB(B) = 1.
(c) PB(A1 A2) = PB(A1) + PB(A2), falls A1, A2 disjunkte Ereignisse
sind.
Beweis. (a) Wegen A B B ist P(A B) P(B), also P(AB) =
P(A B) / P(B) 1. (c) PB(A1A2) = P((A1A2) B) / P(B) = P((A1B) (A2B)) / P(B) =
[P(A1B) + P(A2B)] / P(B) = P(A1B) / P(B) + P(A2B) / P(B) =
PB(A1) + PB(A2).
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Januar 2005Seite 18
SpezialfallSpezialfall
Für gilt
pB() = p() P(B)–1, falls w B
pB() = 0 sonst.
D.h. man stellt sich vor, dass für alle die Wahrscheinlichkeit
p() um den Faktor P(B) –1 vergrößert wird, und sonst = 0 gesetzt
wird.
Für gilt
pB() = p() P(B)–1, falls w B
pB() = 0 sonst.
D.h. man stellt sich vor, dass für alle die Wahrscheinlichkeit
p() um den Faktor P(B) –1 vergrößert wird, und sonst = 0 gesetzt
wird.
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Januar 2005Seite 19
Lösung 1. BeispielLösung 1. Beispiel
Wir nummerieren die Kugeln mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 durch, wobei
1, 2: rot, 3, 4: blau, 5, 6: schwarz.
Wir betrachten die Ereignisse
A = {(a1, a2, a3) {a1, a2} = {1,2}} („die beiden ersten Kugeln sind rot“)
B = {(a1, a2, a3) a3 {3,4}, a1, a2 {1,2,5,6}} („beim dritten Wurf
zum ersten Mal eine blaue Kugel“).
Wir interessieren uns für P(AB).
Wir nummerieren die Kugeln mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 durch, wobei
1, 2: rot, 3, 4: blau, 5, 6: schwarz.
Wir betrachten die Ereignisse
A = {(a1, a2, a3) {a1, a2} = {1,2}} („die beiden ersten Kugeln sind rot“)
B = {(a1, a2, a3) a3 {3,4}, a1, a2 {1,2,5,6}} („beim dritten Wurf
zum ersten Mal eine blaue Kugel“).
Wir interessieren uns für P(AB).
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Januar 2005Seite 20
Lösung 1. BeispielLösung 1. Beispiel
Es gilt Es gilt
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Januar 2005Seite 21
Das ZiegenproblemDas Ziegenproblem
Wir modellieren das Ziegenproblem wie folgt:
Sei = {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3}. Ein Element = (a1, a2, a3)
interpretieren wir so: a1 ist die Nummer der Autotüre, a2 die Nummer
der vom Kandidaten gewählten Tür, a3 die vom Moderator geöffnete
Tür.
Für die Wahrscheinlichkeiten nehmen wir an:
p1(j) = 1/3, denn das Auto wird zufällig auf eine der Türen verteilt.
p2(k j) = 1/3, denn der Kandidat wählt rein zufällig eine Tür.
Es gilt p() = p(a1, a2, a3) = p1(a1) p2(a2 a1) p3(a3 a1, a2).
Wir modellieren das Ziegenproblem wie folgt:
Sei = {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3}. Ein Element = (a1, a2, a3)
interpretieren wir so: a1 ist die Nummer der Autotüre, a2 die Nummer
der vom Kandidaten gewählten Tür, a3 die vom Moderator geöffnete
Tür.
Für die Wahrscheinlichkeiten nehmen wir an:
p1(j) = 1/3, denn das Auto wird zufällig auf eine der Türen verteilt.
p2(k j) = 1/3, denn der Kandidat wählt rein zufällig eine Tür.
Es gilt p() = p(a1, a2, a3) = p1(a1) p2(a2 a1) p3(a3 a1, a2).
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Januar 2005Seite 22
Das Ziegenproblem IIDas Ziegenproblem II
Wir nehmen an, dass der Moderator im Fall, dass ihm zwei Türen
zur Auswahl stehen, zufällig eine der beiden wählt. Das bedeutet:
p3(h j, k) = 1, falls j, k, h die drei Zahlen 1, 2, 3 sind.
p3(h j, k) = 1/2, falls j = k, aber h j.
p3(h j, k) = 0 in allen anderen Fällen.
Das bedeutet
p(j, k, h) = 1/9, falls j, k, h die drei Zahlen 1, 2, 3 sind.
p(j, k, h) = 1/18, falls j = k, aber h j.
p(j, k, h) = 0 in allen anderen Fällen.
Wir nehmen an, dass der Moderator im Fall, dass ihm zwei Türen
zur Auswahl stehen, zufällig eine der beiden wählt. Das bedeutet:
p3(h j, k) = 1, falls j, k, h die drei Zahlen 1, 2, 3 sind.
p3(h j, k) = 1/2, falls j = k, aber h j.
p3(h j, k) = 0 in allen anderen Fällen.
Das bedeutet
p(j, k, h) = 1/9, falls j, k, h die drei Zahlen 1, 2, 3 sind.
p(j, k, h) = 1/18, falls j = k, aber h j.
p(j, k, h) = 0 in allen anderen Fällen.
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Januar 2005Seite 23
Das Ziegenproblem III: Die GewinnwahrscheinlichkeitenDas Ziegenproblem III: Die Gewinnwahrscheinlichkeiten
Schließlich definieren wir:
Aj = {(a1, a2, a3) a1 = j} („das Auto ist hinter der Türe j“)
Wk = {(a1, a2, a3) a2 = k} („der Kandidat wählt Türe k“)
Mh = {(a1, a2, a3) a3 = h} („der Moderator öffnet die Türe h“)
Wir interessieren uns zum Beispiel für die Wahrscheinlichkeit
P(A2 W1 M3), d.h. die Wahrscheinlichkeit, das Auto hinter Tür 2
zu finden, falls der Kandidat Tür 1 gewählt und der Moderator Tür 3
geöffnet hat (Erfolg der Wechselstrategie).
Schließlich definieren wir:
Aj = {(a1, a2, a3) a1 = j} („das Auto ist hinter der Türe j“)
Wk = {(a1, a2, a3) a2 = k} („der Kandidat wählt Türe k“)
Mh = {(a1, a2, a3) a3 = h} („der Moderator öffnet die Türe h“)
Wir interessieren uns zum Beispiel für die Wahrscheinlichkeit
P(A2 W1 M3), d.h. die Wahrscheinlichkeit, das Auto hinter Tür 2
zu finden, falls der Kandidat Tür 1 gewählt und der Moderator Tür 3
geöffnet hat (Erfolg der Wechselstrategie).
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Januar 2005Seite 24
Das Ziegenproblem IVDas Ziegenproblem IV
P(A2 W1 M3) = P(A2 W1 M3) / P(W1 M3) =
= p(2, 1, 3) / [p(2, 1, 3) + p(1, 1, 3)] = 1/9 / [1/9 + 1/18] = 2/3.
(Beachte, dass W1 M3 = {(2,1,3), (1,1,3)}, da das Ereignis (3,1,3)
nicht möglich ist.)
Andererseits ist
P(A1 W1 M3) = P(A1 W1 M3) / P(W1 M3) =
= p(1, 1, 3) / [p(2, 1, 3) + p(1, 1, 3)] = 1/18 / [1/9 + 1/18] = 1/3.
Mit anderen Worten: Die Wechselstrategie verdoppelt die
Gewinnchancen!
P(A2 W1 M3) = P(A2 W1 M3) / P(W1 M3) =
= p(2, 1, 3) / [p(2, 1, 3) + p(1, 1, 3)] = 1/9 / [1/9 + 1/18] = 2/3.
(Beachte, dass W1 M3 = {(2,1,3), (1,1,3)}, da das Ereignis (3,1,3)
nicht möglich ist.)
Andererseits ist
P(A1 W1 M3) = P(A1 W1 M3) / P(W1 M3) =
= p(1, 1, 3) / [p(2, 1, 3) + p(1, 1, 3)] = 1/18 / [1/9 + 1/18] = 1/3.
Mit anderen Worten: Die Wechselstrategie verdoppelt die
Gewinnchancen!
Kapitel 6 © Beutelspacher
Januar 2005Seite 25
Die Formel von der totalen WahrscheinlichkeitDie Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
6.2.2 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit. Seien A1, A2,
…, As Ereignisse, die paarweise disjunkt sind, und für die A1 A2
… As = gilt. Dann gilt für jedes Ereignis B:
P(B) = P(A1)P(B A1) + P(A2)P(B A2) + …+ P(As)P(B As).
Beweis für s = 2.
P(B) = P( B) = P((A1 A2) B) = P((A1 B) (A2 B))
= P(A1 B) + P(A2 B) = P(A1)P(B A1) + P(A2)P(B A2).
6.2.2 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit. Seien A1, A2,
…, As Ereignisse, die paarweise disjunkt sind, und für die A1 A2
… As = gilt. Dann gilt für jedes Ereignis B:
P(B) = P(A1)P(B A1) + P(A2)P(B A2) + …+ P(As)P(B As).
Beweis für s = 2.
P(B) = P( B) = P((A1 A2) B) = P((A1 B) (A2 B))
= P(A1 B) + P(A2 B) = P(A1)P(B A1) + P(A2)P(B A2).
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Januar 2005Seite 26
Die Formel von BayesDie Formel von Bayes
6.2.3 Formel von Bayes (Thomas Bayes 1702-1761). Seien P(A) >
0, P(B) > 0. Dann gilt:
P(A B) = P(A) P(B A) / P(B).
Beweis. Da P(A) > 0 und P(B) > 0, existieren die bedingten
Wahrscheinlichkeiten P(B A) und P(A B), und nach Definition
gelten:
P(A B) = P(A B) P(B) und P(A B) = P(B A) P(A).
Zusammen folgt
P(A B) P(B) = P(A B) = P(B A) P(A).
6.2.3 Formel von Bayes (Thomas Bayes 1702-1761). Seien P(A) >
0, P(B) > 0. Dann gilt:
P(A B) = P(A) P(B A) / P(B).
Beweis. Da P(A) > 0 und P(B) > 0, existieren die bedingten
Wahrscheinlichkeiten P(B A) und P(A B), und nach Definition
gelten:
P(A B) = P(A B) P(B) und P(A B) = P(B A) P(A).
Zusammen folgt
P(A B) P(B) = P(A B) = P(B A) P(A).
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Januar 2005Seite 27
Das Simpson-ParadoxDas Simpson-Paradox
Vor einigen Jahren trat an der University of Berkeley in Kalifornien
folgendes Phänomen auf:
- Unter je 1000 Bewerbern wurde weniger Frauen als Männer
zugelassen,
- in jedem Fach wurden Frauen gegenüber Männern prozentual
bevorzugt.
Vor einigen Jahren trat an der University of Berkeley in Kalifornien
folgendes Phänomen auf:
- Unter je 1000 Bewerbern wurde weniger Frauen als Männer
zugelassen,
- in jedem Fach wurden Frauen gegenüber Männern prozentual
bevorzugt.
Kapitel 6 © Beutelspacher
Januar 2005Seite 28
Simpson-Paradox: BeispielSimpson-Paradox: Beispiel
Wir machen uns das an einem Beispiel klar. Die Universität möge
nur zwei Fächer haben.
Männer Frauen
Bewerber zugelassen Bewerberinnen zugelassen
Fach 1 900 720 (80%) 200 180
(90%)
Fach 2 100 20 (20%) 800 240
(30%)
Summe 1000 740 1000 420
Wir machen uns das an einem Beispiel klar. Die Universität möge
nur zwei Fächer haben.
Männer Frauen
Bewerber zugelassen Bewerberinnen zugelassen
Fach 1 900 720 (80%) 200 180
(90%)
Fach 2 100 20 (20%) 800 240
(30%)
Summe 1000 740 1000 420
Kapitel 6 © Beutelspacher
Januar 2005Seite 29
Stochastische UnabhängigkeitStochastische Unabhängigkeit
Wir wollen ausdrücken, dass das Eintreten eines Ereignisses B
keinen Einfluss auf das Eintreten eines Ereignisses A hat.
Definition. Seien A und B Ereignisse. Wir nennen diese
stochastisch unabhängig, wenn P(A) = P(A B) gilt.
Beobachtung: P(A) = P(A B) P(A B) = P(A)P(B)
P(B) = P(B A).
(Beweis: P(A) = P(A B) P(A) = P(A B) / P(B)
P(A) P(B) = P(A B)
P(B) = P(A B) / P(A) P(B) = P(B A).)
Wir wollen ausdrücken, dass das Eintreten eines Ereignisses B
keinen Einfluss auf das Eintreten eines Ereignisses A hat.
Definition. Seien A und B Ereignisse. Wir nennen diese
stochastisch unabhängig, wenn P(A) = P(A B) gilt.
Beobachtung: P(A) = P(A B) P(A B) = P(A)P(B)
P(B) = P(B A).
(Beweis: P(A) = P(A B) P(A) = P(A B) / P(B)
P(A) P(B) = P(A B)
P(B) = P(A B) / P(A) P(B) = P(B A).)
Kapitel 6 © Beutelspacher
Januar 2005Seite 30
BeispieleBeispiele
1. Würfeln mit einem Würfel: A = {2,3}, B = {2,4,6}.
P(A) = 2/6 = 1/3, P(B) = 3/6 = 1/2, P(A B) = 1/6.
2. Zweimaliges Würfeln. A = Augensumme ist gerade, B = der erste
Wurf hat eine gerade Augenzahl
P(A) = 1/2, P(B) = 1/2, P(A B) = ¼.
1. Würfeln mit einem Würfel: A = {2,3}, B = {2,4,6}.
P(A) = 2/6 = 1/3, P(B) = 3/6 = 1/2, P(A B) = 1/6.
2. Zweimaliges Würfeln. A = Augensumme ist gerade, B = der erste
Wurf hat eine gerade Augenzahl
P(A) = 1/2, P(B) = 1/2, P(A B) = ¼.
Kapitel 6 © Beutelspacher
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Komplementäre EreignisseKomplementäre Ereignisse
6.2.4 Hilfssatz. Seien A und B unabhängige Ereignisse. Dann
sind auch A und B (= \ B) unabhängig.
Beweis. Es gilt
P(A B) = P(A \ (A B)) = P(A) – P(A B)
= P(A) – P(A) P(B)
= P(A) (1 – P(B)) = P(A) P(B).
6.2.4 Hilfssatz. Seien A und B unabhängige Ereignisse. Dann
sind auch A und B (= \ B) unabhängig.
Beweis. Es gilt
P(A B) = P(A \ (A B)) = P(A) – P(A B)
= P(A) – P(A) P(B)
= P(A) (1 – P(B)) = P(A) P(B).
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Verallgemeinerung der DefinitionVerallgemeinerung der Definition
Definition. Drei Ereignisse A, B, C werden stochastisch
unabhängig genannt, wenn folgende Gleichungen gelten:
P(A) P(B) = P(A B),
P(B) P(C) = P(B C),
P(A) P(C) = P(A C),
P(A) P(B) P(C) = P(A B C).
Entsprechend: Verallgemeinerung auf vier, fünf, … Ereignisse.
Definition. Drei Ereignisse A, B, C werden stochastisch
unabhängig genannt, wenn folgende Gleichungen gelten:
P(A) P(B) = P(A B),
P(B) P(C) = P(B C),
P(A) P(C) = P(A C),
P(A) P(B) P(C) = P(A B C).
Entsprechend: Verallgemeinerung auf vier, fünf, … Ereignisse.
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BeispielBeispiel
Viermaliger Münzwurf.
A = Kopf im ersten Wurf
B = Kopf im zweiten Wurf
C = Kopf im dritten Wurf
P(A) = P(B) = P(C) = 1/2.
P(A B) = P(B C) = P(A C) = 1/4.
P(A B C) = 1/8.
Viermaliger Münzwurf.
A = Kopf im ersten Wurf
B = Kopf im zweiten Wurf
C = Kopf im dritten Wurf
P(A) = P(B) = P(C) = 1/2.
P(A B) = P(B C) = P(A C) = 1/4.
P(A B C) = 1/8.
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