kesİklİ zaman dİnamİĞİ ve fark denklemlerİ · yaparak) yeni fark denklemleri elde edelim....

KESKESİİKLKLİİ ZAMAN ZAMAN

DDİİNAMNAMİĞİİĞİ VE VE

FARK FARK

DENKLEMLERDENKLEMLERİİ

Fark Denklemlerine Fark Denklemlerine İİlilişşkin Temel Kavramlar ve kin Temel Kavramlar ve

İşİşlemcilerlemciler

y=f(x) fonksiyonunun türevini şöyle tanımlamıştık:

( ) ( )( )0 0

lim limx x

f x x f x yx x x x∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆=

+ ∆ − ∆

∆x ’in limit davranışı yerine, belirli bir miktarda değiştirildiğini

kabul edelim ve y ’nin değişimini buna göre yeniden yazalım.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x f x y x x y x y x+ ∆ − = + ∆ − = ∆

∆ simgesine, fark ifark işşlemcisilemcisi diyoruz. Yukarıda yazdığımız son

ifade, ∆x aralığına karşılık oluşan y aralığını belirlemektedir.

Şimdi ∆x aralığını h birim kabul ederek, sırasıyla birinci sıra,

ikinci sıra,…,n. sıra farkların nasıl yazılabileceğine bakalım.

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y x y x h y x

y x y x h y x y x

y x h y x h y x h

∆ = + −

∆ ∆ = ∆ + − ∆ = ∆

∆ + = + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y x y x h y x h y x h y x

y x h y x h y x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∆ = + − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + − + +

Bu süreci bir adım daha öteye götürelim.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 2 3

y x y x h y x

y x h y x h y x h

y x h y x h y x

y x y x h y x h y x h y x

⎡ ⎤∆ ∆ = ∆ + − ∆⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤− + − + +⎣ ⎦

∆ = + − + + + −

Şimdi bu süreci genel olarak n. sıra fark için yazalım.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 10 1

... 1 11

n ny x y x nh y x n h

ny x h y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + − + + −⎜ ⎟−⎝ ⎠

Burada,

! !n nm m n m

⎛ ⎞=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Sürekli zaman dinamiğini incelerken, y′(t), y″(t) gibi türevleri

zamanın sonsuz küçük değişimi çerçevesinde değerlendirmiş

olduk. Ancak zamandaki değişim yeterince küçük değilse, y(t)

değişkenin zamana bağlı değişimlerini diferansiyel ile

tanımlamak doğru olmayacaktır. Bunun yerine, fark denklemlerifark denklemleri

olarak ifade edebileceğimiz bir başka yöntemi kullanırız.

Çözüm yöntemimiz değişmekle birlikte, amacımız

değişmemektedir. Amaç, y değişkeninin veri değişim kalıbından

hareketle, y(t) yörüngesinin elde edilmesidir. Zamana bağlı farkı

şöyle tanımlayacağız:

1t t ty y y yt +

∆→ ∆ ≡ −

y ’nin değişim kalıpları şu şekilde olabilir:

2 , 0.1t t ty y y∆ = ∆ =

Bu tip denklemlere, fark denklemlerifark denklemleri denir.

1 12 ya da 2 ya da 2t t t t ty y y y y+ +∆ = − = = +

Birinci dereceden fark denklemini genel olarak şöyle yazabiliriz:

( )1 1t t t ty y y f y+ +∆ ≡ − =

Eğer doğrusalsa, fark denklemi doğrusal, aksi durumda

doğrusal değildir. Bunun için bazı örnekler yazalım.

( )tf y

y ry k y

− − =

Doğrusal

Doğrusal Değil

Şimdi genel olarak aşağıdaki dinamik fark denklemini dikkate

alalım.

( )1 ,t ty f t y+ = Örneğin, ( )1t ty th y+ =

Bu örnekte olduğu gibi, dinamik fark denklemi sistemi yalnızca

h(yt) ’nin bir fonksiyonu ise, buna otonom sistem; aynı zamanda t

’nin de bir fonksiyonuysa, otonom-olmayan sistem diyoruz.

Otonom-olmayan

Otonom

Şimdi de tüm y terimlerinin eşitliğin solunda toplandığı birinci

sıradan fark denklemini dikkate alalım:

( )1t ty ay g t+ + =

Bu denklemde g(t)≡0 ise sistem homojen, aksi durumda homojen

değildir.

Şimdiye kadar birinci sıradan fark denklemlerini dikkate aldık. m.

Sıradan bir fark denklemini genel olarak şöyle yazabiliriz.

( )1 2, , ...,t m t m t m ty f y y y+ + − + −=

Örneğin ikinci sıra doğrusal fark denklemini şöyle yazabiliriz:

( )2 1t t ty ay by g t+ ++ + =

Bazı örnekler şu şekilde verilebilir:

− − =

Birinci sıra doğrusal homojen

0 İkinci sıra doğrusal homojen

Birinci sıra doğrusal homojen-olmayan

6 İkinci sıra doğrusal homojen-olmayan

BaBaşşlanglangııçç DeDeğğeri Sorunu:eri Sorunu:

Bir fark denkleminin belirli çözümünün elde edilebilmesi için, bir

başlangıç değerinin bilinmesi gereklidir. Örneğin şu fark

denklemini dikkate alarak, buradan bir dizi (yinelemeler

yaparak) yeni fark denklemleri elde edelim.

( ) ( )( ) ( )

t t t t

y f y f f y f y

Yukarıdaki denklemlerden ilki, birinci sıra fark denklemidir ve

belirli çözümün elde edilebilmesi için bir tane başlangıç

koşuluna; alttaki ise ikinci sıra diferansiyel denklemdir ve belirli

çözüm için iki tane başlangıç koşuluna gerek duyar. t=0

aldığımızda, ilk denklemi birbirini izleyen bir sıralamayla şöyle

ifade edebiliriz.

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

0 0 0 0

2 30 0 0 0

, , , , ...

y f y f f y f f f y

y f y f y f y

( )1 0, ( 0 )t ty f y y t iken+ = =

Biçimindeki ifade, yinelemeli dizimsel denklemyinelemeli dizimsel denklem (recursive

equation) olarak anılmaktadır. Bu denklemden yinelemeler

yoluyla elde edilen her bir terim, y ’nin y0 ’dan başlayarak

izleyeceği yolu belirler.

Birinci Derece Fark Denklemlerinin Birinci Derece Fark Denklemlerinin ÇöÇözzüümmüü

1. Yinelemeli 1. Yinelemeli ÇöÇözzüüm Ym Yööntemi:ntemi:

İki ardışık dönem arasındaki değişimin kalıbı veri ise, buradan

hareketle izleyen ardışık dönemler arasındaki değişimler de

belirlenebilir. Bu yönteme yineleme (iterasyon) denir.

ÖÖrnek 1:rnek 1:

yy y+ +

=y’nin başlangıç değeri:

y’nin değişim kalıb :

Bu bilgilere göre, yinelemeler yaparak fark denklemini

belirleyelim:

2 1 0 0 0

3 2 0 0 0

2 2 2 4

2 4 2 6 3.2

y y y y y

y y y y

y y t t

= + = + + = + = +

= ++ =

ÖÖrnek 2:rnek 2:1717

( ) ( )

( )( ) ( )

0.9 0.9

0.90.9 t

y y y y

1818ÖÖrnek 3:rnek 3:

1 00 ,t t

t t tny ym

y ny y y

+⎛ ⎞= → ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎟

⎜⎝ ⎠

yy00==AA ve ve ((nn//mm)=)=bb alalıırsak, bu rsak, bu çöçözzüümmüü şşu genel biu genel biççime dime döönnüüşşttüü--

rebilirizrebiliriz..

tty Ab=

Bunun, Bunun, yytt==AeAertrt ile aynile aynıı bibiççimde olduimde olduğğuna dikkat edelim.una dikkat edelim.

19192. Genel 2. Genel ÇöÇözzüüm Ym Yööntemi:ntemi:

Şimdi birinci dereceden fark denkleminin genel olarak çözümünü

arayalım. Birinci derece fark denklemi şu biçimdedir:

1t ty ay c+ + =

Genel çözüm, iki bileşenin toplamından oluşur:

t p cy y y= +

Önce tamamlayıcı fonksiyona (yc) bakalım. Yukarıdaki örnekleri

dikkate alarak, yytt==AbAbtt olduğunu düşünelim. Buna göre;

tty Ab ++ =

ve ifadelerini ’daki

yerlerini yazalım ve denklemi yeniden düzenleyelim.

tty Ab= 1

ty Ab ++ = 1 0t ty ay+ + =

11 0 0

t tt t

y ay Ab aAb

Ab a b

Ab a b b a

y Ab y A a

++ + = → + =

≠ → + = → = −

= → = −Tamamlayıcı

Fonksiyon

Şimdi de özel çözümü (yp) araştıralım. En basit durum olarak yt=k

biçimini düşünelim. Buna göre yt+1=k olur. Bunları genel denk-

lemdeki yerlerine yazalım.

y ay c k ak c

+ + = → + =

Özel Çözüm

Ancak a=−1 olursa, özel çözüm tanımsız hale gelir. Bu durumda

yeni bir çözüm aramamız gerekir. Örneğin yt=kt olduğunu kabul

edelim. Buna göre, yt+1=k(t+1) olur. Bunları genel denklemdeki

yerlerine yazalım.

1 ( 1)

y ay c k t akt c

cy kt ct at at

+ + = → + + =

= = = = −+ +

Özel Çözüm

Yukarıdaki iki olası özel çözümü de dikkate alarak, fark

denkleminin genel çözümlerini yazalım:

cy A a aa

y A a ct a

= − + ≠ −+

= − + = −

Yukarıdaki genel çözümler, başlangıç değeri de bilindiğinde,

belirli çözümler olarak yazılabilir. t=0 iken yt=y0 başlangıç

değerini dikkate alalım.

cy A aa

c ct y A A ya a

c cy y a aa a

= − ++

= → = + → = −+ +

⎛ ⎞= − − + ≠ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Belirli çözümün a=−1 durumu:

{0 1ty y ct a= + = −

ÖÖrnek 4:rnek 4:

1 075 1 ,4t ty y y+ − = = fark denklemini çözelim.

t t t tt

y AbAb Ab Ab b

⎫= ⎪ − ≡ −⎬= ⎪⎭

Ab b b

− = → =

= Tamamlayıcı Fonksiyon

Şimdi de özel çözümü elde edelim. Önce yt=k durumunu

deneyelim.

15 1 5 14

y k y k

y y k k k y

− = → − = → = = pÖzel

Çözüm

Şimdi özel çözümle tamamlayıcı fonksiyonu birleştirerek, (belirli

olmayan) genel çözümü yazalım:

( ) 154

tt c p ty y y y A= + → = −

Belirli çözümü elde edebilmek için, genel çözümde t=0 yazarak

A’yı belirleyelim.

01 7 7 10 24 4 4 4

t y A A= → = − = → = + =

A’yı genel çözümdeki yerine yazarak, belirli çözüme ulaşmış

oluruz:

( ) ( )1 15 2 54 4

t tt ty A y= − → = −

Belirli

Çözüm

Bu çözümün doğruluğunu sınamak için t=0 ’ı aşağıdaki denkleme

yazarak y0≡y0 denkliğini araştırırız. Bu denklik, başlangıç

koşulunun sağlandığını gösterir.

( )0 1 1t

tc cy y a

a a⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

İkinci olarak, yukarıdaki yt denklemini yt+1 için yeniden düzenleriz

ve yt ve yt+1 denklemlerini ‘deki yerlerine yazarız. c≡c sağlanırsa,

çözüm doğrudur.

3030Dengenin Dinamik Dengenin Dinamik İİstikrarstikrarıı

Eğer fonksiyonumuz sürekliyse, dengenin dinamik istikrarı,

tamamlayıcı fonksiyonu oluşturan Aert terimine bağlıdır. Kesikli

bir süreçte ise bunun karşılığı Abt terimidir. b ’nin alacağı

değerlere göre, bt ’nin yörüngesi (izleyeceği yol) şöyle oluşur:

ise salınımsız, ıraksak

ise salınımsız, yakınsak

1’de tüm t ’ler için sabit

0 etrafında dalgalı; ne yakınsak ne de ıraksak

ert teriminin yakınsaklığı r ’nin işaretine bağlıyken, bt teriminin

yakınsaklığı b ’nin mutlak değerinin büyüklüğüne bağlıdır. A ’nın

büyüklüğü ise bt değerini şişirici ya da söndürücü etki yapar.

Ayrıca A ’nın işareti bir yansıma etkisi yaratabilir. A terimi ölçek

etkisi yaratır, ancak bt yörüngesini etkilemez.

Özel entegral (yp) ise, fonksiyonun eksenlerden uzaklığını

belirler, yakınsama ya da ıraksama üzerinde bir etkisi yoktur.

Genel olarak yt=Abt+yp süreci ancak ve ancak ise yakın-

saktır.

ÖÖrnek 5:rnek 5:

ty ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

fonksiyonu nasıl bir yörüngeye sahiptir.

olduğundan, yörünge salınımlıdır. Salınım +9 etra-

fında sönerek ilerler, +9’a yakınsar. Hareketin salınımlı olması,

b’nin önünde yer alan (−) işaretinden kaynaklanmaktadır.

45 1b = − <

ŞŞekil 6.1. ekil 6.1.

6.006.507.007.508.008.509.009.50

10.0010.50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Zaman (t )

ty ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

ÖÖrnek 6:rnek 6:

( )3 2 4tty = + fonksiyonu nasıl bir yörüngeye sahiptir.

olduğundan, yörünge salınımlı ve yakınsak değildir.

t=0 iken y0=7 değerinden başlayarak, zaman içinde 4 değerinden

giderek uzaklaşır.

2 1b = >

ŞŞekil 6.2. ekil 6.2.

1 2 3 4 5 6

Zaman (t )

( )3 2 4tty = +

ÖÖrrüümcek Amcek Ağığı ((CobwebCobweb) Modeli) Modeli

Üreticilerin, kararlarını bir dönem önceki fiyata göre oluştur-

dukları bir doğrusal arz ve talep modeli düşünelim.

Q P −

= α − β α β >

= −γ + δ λ δ >

Her dönem, arz-talep dengesinin sağlandığı süreci belirlemeye

çalışacağız.

d st t

t t t t

P P P P

α − β = −γ + δ

δ α + γβ + δ = α + γ + =

β βya da

Bu durumda denklem biçimindedir.

β,δ>0 olduğu sürece, a≠−1 olacaktır. Bu bilgiyi kullanarak Pt ’yi

yazabiliriz.

1t ty ay c+ + =

tt t t

cy A aa

cy ay c a y A aa

P P P A

= − ++

+ = ≠ − → = − ++

α + γ⎛ ⎞δ α + γ δ β+ = → = − +⎜ ⎟ δβ β β⎝ ⎠ +

* *0 0

P A P A

t P A P A P P

P P P P

α + γ⎛ ⎞ ⎛ ⎞δ δ α + γβ= − + → = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟δβ β β + δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

= → = + → = −

⎛ ⎞δ= − − +⎜ ⎟β⎝ ⎠

Yukarıdaki çözüm, arz ve talep dengesinin zaman içerisinde

izleyeceği yol konusunda bilgi vermektedir. P* terimi, modelin

uzun dönem piyasa denge fiyatını (ya da dönemlerarası

dengesini) göstermektedir.

(P0−P*) teriminin işareti, süreç denge fiyatına yakınsaksa,

yakınsamanın alttan mı yoksa üstten mi gerçekleşeceğini

belirlemektedir.

(δ/β) teriminin önündeki işaret (−) olduğundan, süreç P* fiyatı

etrafında salınımlı bir hareket çizer. Salınımın P* fiyatına

yakınsak mı ıraksak mı olacağını, bu terimin sayısal büyüklüğü

belirler. (δ/β)>1 ise süreç ıraksak, (δ/β)<1 ise yakınsaktır. Burada

arz eğrisinin, da talep eğrisinin eğimini göstermektedir. Mutlak

değer olarak arz eğrisinin eğimi, talep eğrisi eğiminden küçük

olduğu sürece denge salınımlı bir süreçten sonra yeniden

gerçekleşir.

• •A B

ŞŞekil 6.3. ekil 6.3. ÖÖrrüümcek Amcek Ağığı Modeli: YakModeli: Yakıınsak nsak

SSüürereçç δ < β

4343ŞŞekil 6.4. ekil 6.4. ÖÖrrüümcek Amcek Ağığı Modeli: Iraksak SModeli: Iraksak Süürereçç

δ > β

4444ŞŞekil 6.5. ekil 6.5. ÖÖrrüümcek Amcek Ağığı Modeli: YakModeli: Yakıınsak Snsak Süürereçç

• •A B

δ = β

4545ŞŞekil 6.6. ekil 6.6. ÖÖrrüümcek Amcek Ağığı Modeli: YakModeli: Yakıınsak Snsak Süürereçç

• •A B

δ < β

Uyumcu Fiyat BekleyiUyumcu Fiyat Bekleyişşlerileri

Üreticilerin uyarlamalı fiyat beklentisine sahip oldukları bir

piyasa modeli düşünelim. Arz ve talep denklemleri ile uyarlama

süreci aşağıda tanımlanmıştır.

* * *1 1 1

d st t t t

t t t t

Q P Q P

P P P P− − −

= α − β = −γ + δ

= + η − < η ≤

Burada η, beklenti uyum katsayısı; , t. dönem için beklenen

fiyattır.

Bu bilgiler ışığında Pt ’yi birinci sıra fark denklemi olarak yazalım.

*d st t t tQ Q P P= → α −β = −γ + δ

Burada değerini, uyarlama denkleminden elde ederek yerine

yazalım. Ancak denklemde terimi kalacağından, bunu da

benzer biçimde yazalım.

*1tP −

* *1 1t t t tP P P P− −

α + γ β α + γ β= − = −

δ δ δ δve

( )* * *1 1 1t t t tP P P P− − −= + η −

( )( ) ( )

( ) ( )

− −

α + γ β α + γ β⎡ ⎤− = η + − − η⎢ ⎥δ δ δ δ⎣ ⎦

⎡ ⎤α + γ − η β − ηβ α + γ− = − + η−⎢ ⎥δ δ δ δ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤α + γ η η δ + β= + −⎢ ⎥

δ β⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤η δ + β α + γ η+ − =⎢ ⎥

β δ⎢ ⎥⎣ ⎦

a≠−1 olduğundan yukarıdaki birinci sıra doğrusal fark denk-

leminin çözümü şöyle olur:

⎛ ⎞⎜ ⎟η δ + β⎛ ⎞α + γ α + γ

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟δ + β β δ + β⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−a>0 olduğundan, uyarlamalı bekleyişler modelinde dengeye

geliş süreci δ, β, η katsayılarının değerlerine bağlıdır.

HarrodHarrod--DomarDomar BBüüyyüüme Modelime Modeli

Harrod-Domar büyüme modelini daha önce entegral konusu

içerisinde, sürekli dinamik sürece sahip bir sistem çerçevesinde

incelemiştik. Şimdi bu modeli kesikli dinamik süreç olarak ele

alalım, çözelim ve sürecin hangi koşullar altında yakınsak-

ıraksak olduğunu belirleyelim.

I v Y Y

0 ve 1 salınımsız genişleyen

2 daralan salınımlı0 ve 2 genişleyen salınımlı

2 sabit salınımlı

t t t t t

S I sY v Y Y

v vY Y Y Yv s v s

vv v sv s

v sv v s v s

= → = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

> > ⇒ > →−

> →⎧⎪> < ⇒ < →⎨⎪ = →⎩

BileBileşşik Faizik Faiz

Bileşik faiz konusunu daha önce üstel fonksiyonlar içerisinde

sürekli dinamik bir sürece göre incelemiştik. Burada kesikli

sürece göre yeniden ele alalım ve genel olarak bileşik faiz

sürecindekine benzer durumlarda birikim sürecine bakalım.

Örneğin bir bankaya yatırılan A kadar bir paranın, r faiz

oranından, yılda m yinelemeli olarak t yıl sonra sağlayacağı

toplam geliri şöyle yazabiliriz:

trP Am

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Şimdi genel olarak bir Y değişkeni için katlamalı birikim sürecini

yazalım:

( ) 11t tY r Y −= +

Ayrıca biriken bu değere (gelire) her dönem ek bir ödemenin de

(at) yapıldığını varsayarak birikim sürecini yeniden yazalım:

( ) 1 11t t tY r Y a− −= + +

Ya da daha genel olarak bunu bir fark denklemi (yinelenen

denklem, recursive equation) olarak yazalım:

1 1t t tY a bY− −= +

Bu süreci karşılayan çok sayıda örnek durum vardır. Bir canlı

neslinin sürmesi gibi. Birikim süreci üstel olarak ilerler, ancak av

olabilenler nedeniyle üstel artıştan eksilmeler oluşur. Benzer

biçimde, insan nüfusu da üstel biçimde artar. Göçler, doğal

afetler, salgın hastalıklar gibi dışsal etmenler bu süreci etkiler.

Şimdi bu süreci aşama aşama açık biçimde yinelenen denklemleryinelenen denklemler

olarak yazalım.

22 1 1 1 0 0 1 0 0

2 2 33 2 2 2 1 0 0 2 1 0 0

2 13 1 2 3 0 0

t tt t t

tt k t

Y a bY

Y a bY a b a bY a ba b Y

Y a bY a b a ba b Y a ba b a b Y

Y a ba b a b a b Y

Y b a b Y

− −

−− − −

−− −

= + = + + = + +

= + = + + + = + + +

= + + + + +

= +∑

Burada olası iki durumu dikkate alarak inceleyelim. Birincisi, tüm

k ’ler için ak=a ; ikincisi, tüm k ’ler için ak=a ve b=1.

Birinci Durum: tüm k’ler için ak=a

Bu durumda yinelemeli denklem ve çözümü aşağıdaki gibi olur:

ttt k t t

Y a bY

bY a b b Y Y a b Yb

−− −

⎛ ⎞−= + = +⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ya da

Denge durumunda tüm t’ler için olacaktır. Buna göre,tY Y=

1aY a bY Y

b= + → =

Birinci durum için bunu yeniden düzenleyelim:

a abY b Yb b

a aY b Yb b

⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Bu sonuca göre,

ise, sistem dengeden uzaklaştığında, yeniden dengeye

dönülecektir, yani süreç yakınsaktır.

ise, yakınsama durağan (salınımsız); ise

yakınsama salınımlı bir süreç izler.

ise, süreç dengeden uzaklaşan bir seyir izler, yani

ıraksaktır.

0 1b< < 1 0b− < <

İkinci Durum: tüm k ’ler için ak=a ve b=1

Bu durumda yinelemeli denklem ve çözümü aşağıdaki gibi olur:

Y a Y Y at Y

−− −

= + = +∑ ya da

Bir yatırımcı başlangıçta bankaya 10000 YTL yatırmıştır ve her yıl

250 YTL de yatırmaktadır. Yıllık %5 faiz üzerinden 5 yıl sonraki

toplam birikimi ne olur?

( )( ) ( ) ( )

10000 , 250 , 1 1.05

250 1.05

1 1.05250 1.05 10000 14144.20

1 1.05

t k t t t

Y a a b r

Y a bY Y Y

bY a b Yb

− −

= = = = + =

= + → = +

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + =⎜ ⎟−⎝ ⎠

Birinci SBirinci Sııradan Doradan Doğğrusal Olmayan Fark Denkleminde rusal Olmayan Fark Denkleminde

Dengenin Dinamik Dengenin Dinamik İİstikrarstikrarıı

Yukarıda doğrusal olan birinci sıra fark denklemlerinin, belirli bir

denge durumundan uzaklaşma sonrasında yeniden dengeye

gelip gelemeyeceği durumları ve koşulları inceledik. Ancak

doğrusal olmayan sistemler için bunu belirlemek bu kadar kolay

değildir. Bu tür sistemlerde dinamik süreçler daha karmaşık

salınımlara sahiptir. Bunu görebilmek için aşağıdaki ikinci derece

birinci sıradan bir fark denklemini dikkate alalım.

21t t ty ay by+ = −

İlk olarak sabit değerleri (denge değerlerini, y*) belirleyelim.

2 * * *21

t t ty ay by y ay by

ybyy ay aa yb

+ = − → = −

⎧ =⎛ ⎞ ⎪= − → ⎨⎜ ⎟ −=⎝ ⎠ ⎪⎩

Bu iki sabit değer ve Şekil 6.7.’de gösterilmiştir. 21t t ty ay by+ = −

6363ŞŞekil 6.7. Doekil 6.7. Doğğrusal Olmayan Birinci Srusal Olmayan Birinci Sııra Fark Denklemira Fark Denklemi

* 0y =

( )1* aby −=

21t t ty ay by+ = −

1t ty y+ =

Şimdi bu süreci a ve b ’ye özel değerler vererek inceleyelim.

Şekil 6.8.’de a=2 ve b=1 durumu çizilmiştir. a ve b ’ye bu

değerlerin dışında, şekillerde yer alan her iki eğrinin

kesişmesine olanak vermeyen değerler de atanabilir. Buna

değerlere göre, denge noktaları y*=0 ve y*=1 ’dir. Temel sorumuz,

denge değerlerinden herhangi birinden bir sapma meydana

geldiğinde, kararlı bir dengenin yeniden sağlanıp

sağlanamayacağıdır.

* 0y =

* 1y =

21 2t t ty y y+ = −

•E0y

Örneğin Şekil 6.8.’de gösterildiği gibi, herhangi bir şokla y denge

değerinin (y*) y0’a kaydığını düşünelim. Süreç şöyle çalışacaktır:

21 0 0

22 1 1

t t ty y y

+ = −

y0 1’den küçük olduğundan, yinelemeli süreçte her bir sonraki y

değeri, bir öncekinden büyük değer alacağından, süreç y*=1 ’e

doğru kararlıdır (yakınsak).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ty

Yukarıdaki sayısal durumu, Şekil 6.9. ile izleyebiliriz. Bu süreç

yakınsaktır ya da dinamik süreç kararlıdır diyebiliriz. Şimdi

sürecin yakınsaklıkla sonuçlanmadığı bir başka sayısal örneği

dikkate alalım: a=3.2 ve b=0.8

21 0 0

22 1 1

3.2 0.8

t t ty y y

+ = −

ŞŞekil 6.10. Doekil 6.10. Doğğrusal Olmayan Birinci Srusal Olmayan Birinci Sııra Fark Denklemira Fark Denklemi

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0ty

Bu sistemin denge noktasını (y*) şöyle belirleriz:

* 1 3.2 1 2.750.8

ayb− −

Bu sistemi y0 gibi denge dışı bir noktadan dinamik sürece

bırakırsak, belirli bir dönemden sonra 2.05 ve 3.20 sayıları

arasında sonsuza kadar gidip gelen kararsız bir seyir izleyeceğini

görebiliriz. Yani sistem, denge değeri olan 2.75 değerine kararlı

bir dönüş yapamamaktadır. Buna iki nokta arasında salınma

diyebiliriz.

Sürecin kararlı olup olmayacağına farklı bir bakış açısıyla da

yaklaşabiliriz. Örneğin fark denklemini dikkate alalım.

Bunun a gibi bir denge noktası olsun. Ayrıca yt+1 terimini y, yt

terimini de x ile karşılayalım. Belirli bir (a,a) noktası yakınlığında

bu eşitliğin açılımını şöyle yazabiliriz.

1 ( )t ty f y+ =

( )( ) 1 ( ) ( )y a f a x a y a f a f a x′ ′ ′− = − = − +⎡ ⎤⎣ ⎦ya da

Bu denklem, eğimi f′(a) olan doğrusal bir denklemdir. Şekil 6.11.

ile gösterilmiştir.

( )y f x=

y x= 1 ( ) ( )y a f a f a x′ ′= − +⎡ ⎤⎣ ⎦

Yukarıda yaptığımız işlemler, kararlılık süreci incelemesini bir

doğrusal modele indirgemiştir. Bu doğrusal denklemin eğiminin

mutlak değeri, 450 ’lik doğrunun eğiminden (ki 1’e eşittir)

küçükse, dinamik süreç kararlı, aksi halde kararsızdır. Bunu

genel olarak yazalım:

′ < ⇒

′ = ⇒

′ > ⇒

dinamik süreç kararlıdır.

dinamik süreç belirsizdir.

dinamik süreç kararsızdır.

ÖÖrnek 8:rnek 8:

21 2t t ty y y+ = −

İlk olarak doğrusal olmayan bu birinci sıra fark denkleminin

denge değerlerini (y* ya da a) belirleyelim.

a a aa=⎧

= − → ⎨ =⎩

İkinci olarak, yukarıda verilen doğrusal olmayan fark denklemini

y=f(x) biçimine dönüştürelim ve f′(x)’i belirleyelim.

1 ( ) ( )

( ) 2 ( ) 2 2

(0) 2 , (1) 0

y a f a f a x

y f x x x f x x

′ ′= − +⎡ ⎤⎣ ⎦

′= = − → = −

′ ′= =

olduğundan, a=0 kararsızdır.

olduğundan, a=1 kararlıdır.

İİkinci Skinci Sııradan Fark Denklemleriradan Fark Denklemleri

Doğrusal-homojen olmayan ikinci sıra fark denklemini genel

olarak şöyle yazabiliriz:

2 1 1 2t t ty a y a y c+ ++ + =

Birinci sıra fark denklemlerinde yaptığımız gibi, bunun çözümü

de tamamlayıcı fonksiyon ve özel çözümden oluşacaktır.

t c py y y= +

7777ÖÖzel zel ÇöÇözzüümm

İlk olarak özel çözüm kısmını ele alalım. En basit çözüm olarak

yt’nin bir sabit sayı olacağını düşünerek başlarız.

ty k k a k a k c

= → + + =

olduğu sürece,1 21 0a a+ + ≠

1 21pcy k

a a= =

+ +özel çözüm olacaktır.

ÖÖrnek 9:rnek 9:

3 , 4 , 6

+ +− + =

= − = =

+ + = ≠

= =+ +

1+a1+a2=0 olursa, yt=k çözümü tanımsız hale gelir. Bu durumda

yt=kt çözümünü deneriz.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 1 2

, 1 , 2

y kt y k t y k t

y a y a y c

k t a k t a k t c

= = + = +

+ + + + =

1 2 11

1 0 22

1 022p

cka a t a

ca a k aa

a acy kt taa

=+ + + +

+ + = ⇒ = ≠ −+

+ + =⎛ ⎞ ⎧= = ⎨⎜ ⎟ ≠ −+ ⎩⎝ ⎠

ÖÖrnek 10:rnek 10:

1 , 2 , 12

cy t ta

+ ++ − =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

1+a1+a2=0 ve a1=−2 olursa, yt=kt çözümü tanımsız hale gelir. Bu

durumda yt=kt2 çözümünü deneriz.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 221 2

2 1 1 2

2 2 21 2

, 1 , 2

y kt y k t y k t

y a y a y c

ck t a k t a k t c k

acy ta

= = + = +

+ + + + = → =

= −⎧⎛ ⎞= ⎨⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎩

8383Şimdi yukarıda elde ettiğimiz özel çözümün üç olası durumunu

özetleyelim.

{ 1 21 2

cy k a aa a

a acy kt taa

acy ta

= = + + ≠+ +

+ + =⎛ ⎞ ⎧= = ⎨⎜ ⎟ ≠ −+ ⎩⎝ ⎠

= −⎧⎛ ⎞= ⎨⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎩

8484TamamlayTamamlayııccıı FonksiyonFonksiyon

Tamamlayıcı fonksiyonu bulmak için, ikinci sıra doğrusal fark

denkleminin genel biçimini homojen duruma indirgeyeceğiz.

2 1 1 2 0t t ty a y a y+ ++ + =

Birinci derece doğrusal fark denkleminin tamamlayıcı

fonksiyonunu biçiminde belirlemiştik. Burada da bunu

deneyelim. Buna göre,

tty Ab=

1 21 2,t t

t ty Ab y Ab+ ++ += =

Bunları homojen denklemdeki yerlerine yazalım ve düzenleyelim.

2 1 1 2

2 11 2

21 1 2

y a y a y

Ab a Ab a Ab

Ab b a b a

a a ab

≠ ⇒ + + =

− +=

Yukarıdaki ikinci derece denklemin köklerine ilişkin üç farklı

olası durum vardır.

Birinci Durum (Birinci Durum (İİki Reel Kki Reel Köök, k, bb11 ve ve bb22):):

1 1 2 2t t

cy A b A b= +

21 1 2

1 2 1,2

41 , 2

21 , 2

t t ty y y

a a aa a b

+ ++ − =

− += = → =

= = −

( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2 1 21 2 2

t t tc

y A b A b

y A A A A

= + − = + −

Bu durumda tamamlayıcı fonksiyon belirsiz bir çözüme sahiptir.

Belirsiz olmanın nedeni, A1 ve A2 terimlerinin değerlerinin

bilinmemesidir. Gerekli başlangıç koşulları verildiğinde,

terimlerinin değerleri bulunarak, belirli çözüme ulaşılabilir. y0=4

ve y1=1 olduğunu bildiğimizi varsayalım.

00 1 2 1 2

11 1 2 1 2

0 1 0 11 2

23 , 1

3 2 tc

y A A A A

y y y yA A

= + − = +

= + − = −

+ −= = = =

= + −

Tamamlayıcı fonksiyonun grafiği şöyle olacaktır (Şekil.6.12.).

8989Genel çözümün limitteki davranışı, baskın olan karakteristik

köke bağlıdır. Örneğin ise, 1 2b b>

21 1 2 2 1 1 2

2 21 2

1 lim 0

lim lim

t t tc c

by A b A b y b A A

b bb b

→∞

→∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + → = + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞> ⇒ > → =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b1 ’in değerine bağlı şu olası altı durumla karşılaşabiliriz:

1. b1>1 ise sonsuza gider: sistem kararsızdır.

2. b1=1 ise sabit bir düzeyde kalır.

3. 0≤b1<1 ise tekdüze biçimde sıfıra yakınsar; sistem karar-

lıdır.

4. −1<b1≤0 ise sıfıra yakınsayacak biçimde sıfır etrafında

dalgalanır; sistem kararlıdır.

1 1tA b

5. b1=−1 ise, iki değer arasında salınır.

6. b1<−1 ise, genişleyen bir salınım hareketi yapar.

1 1tA b

ŞŞekil 6.12. ekil 6.12. İİkinci Skinci Sııra Dora Doğğrusal Fark Denklemirusal Fark Denklemi

-600-400

200400

600800

10001200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

İİkinci Durum (Tek Reel Kkinci Durum (Tek Reel Köök, k, bb):):

Bu durum, olduğunda gerçekleşmektedir. Buna göre,

ikinci derece denklemin çözümünde tek reel kök elde

edilmektedir. Bunu dikkate alarak, tamamlayıcı fonksiyonu

yeniden yazalım.

21 24a a=

1 2 1 2 3t t t t

y A b A b y A A b A b= + → = + =

Burada yok ettiğimiz sabit terimlerden birini, daha önce

yaptığımız gibi, modelde gösterebilmek için olarak dikkate

almalıyız. Çünkü ancak ve ancak bu durumda

özdeşliği sağlanabilmektedir.

4tA tb

2 1 1 2 0t t ty a y a y+ ++ + =

Buna göre yc ,

3 4t t

cy A b A tb= +

( ) ( )

21 1 2

1 2 1,2

41 , 2

a a aa a b

y A A t

+ ++ + =

− += = → =

= = = −

= − + −

( ) ( ) ( ) ( )

0 2 3 4

51 , 2 1 ,3

53 3 3 33

t t t tc c

y y A A

y A A t y t

= − −

= = ⇒ = = −

= − + − → = − − −

ÜçüÜçüncncüü Durum (KarmaDurum (Karmaşışık Kk Köökler):kler):

Bu durum, olduğunda gerçekleşmektedir. Elde edilen

kökler sanaldır.

21 24a a<

2 2a aa

b h vi h v⎧ −⎪= = − =⎨⎪⎩

Buna göre, tamamlayıcı fonksiyon;

( ) ( )1 2 1 2t tt t

c cy A b A b y A h vi A h vi= + → = + + −

Bunu, De Moivre Teoremi yoluyla trigonometrik biçimde yazalım.

2 22 2 1 2 1

a a aR h v a

a ah vCos SinR R aa

+ −= + = =

−θ = = θ = = −

De Moivre Teoremine göre (diferansiyel denklemler bölümünde

kanıtı verilmişti);

( ) ( ) ( )t th vi R Cos t iSin t⎡ ⎤= θ θ⎣ ⎦∓ ∓

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

y R A Cos t iSin t A Cos t iSin t

y R A A Cos t A A i Sin t

y R A Cos t A Sin t

⎡ ⎤= θ + θ + θ − θ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= + θ + − θ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= θ + θ⎣ ⎦

1−0 1

1b h vi= +

1−0 1

2b h vi= − 1b h vi= +

2b h vi= −1b h vi= +

2b h vi= −

ŞŞekil 6.13. Sanal Kekil 6.13. Sanal Kööklerkler

b1 ve b2 simetrik sanal köklerse, kosinüs fonksiyonunu

salınımından ötürü, yt fonksiyonu da salınımlı hareket eder. R ’ye

bağlı olarak üç farklı tipte salınım görebiliriz (Şekil 6.13.):

100100

1. R=1: b1 ve b2 kökleri birim çemberin üzerinde yer alır, yt sabit

genlikte bir salınıma sahiptir (Şekil 6.14.a).

2. R>1: b1 ve b2 kökleri birim çemberin dışında yer alır, yt

genişleyen bir salınıma sahiptir, sistem karasızdır (Şekil

6.14.b).

3. R<1: b1 ve b2 kökleri birim çemberin içinde yer alır, yt daralan

bir salınıma sahiptir, sistem kararlıdır (Şekil 6.14.c).

101101ŞŞekil 6.14a. Sanal Kekil 6.14a. Sanal Köökler: kler: RR=1=1

2 1 0 10 , 1 , 2t t ty y y y y+ +− + = = =

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

33 3ty Cos t Sin tπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

102102ŞŞekil 6.14b. Sanal Kekil 6.14b. Sanal Köökler: R>1kler: R>1

R=1.095

-10-8-6-4-202468

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

( ) ( ) ( )1.095 0.5 1.39 0.65 1.39tty Cos t Sin t⎡ ⎤= +⎣ ⎦

2 1 0 10.4 1.2 0 , 0.5 , 0.8t t ty y y y y+ +− + = = =

103103

ŞŞekil 6.14c. Sanal Kekil 6.14c. Sanal Köökler: R<1kler: R<1

R=0.894

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

( ) ( ) ( )0.89 1.68 2.36 1.68tty Cos t Sin t⎡ ⎤= +⎣ ⎦

2 1 0 10.2 0.8 0 , 1 , 2t t ty y y y y+ ++ + = = =

2 1 0 1

4 16 26 , 1 , 24 , 16 , 26

4 48 0

t t ty y y y ya a c

+ +− + = = =

= − = =

− = − <

Buna göre, iki farklı sanal kök vardır.

42 , 2 3

1 3,2 2 3

a aah v

h vCos SinR R

−= − = = =

π⎧θ = = θ = = θ =⎨⎩

105105

( ) ( )5 6

5 643 3

y R A Cos t A Sin t

y A Cos t A Sin t

⎡ ⎤= θ + θ⎣ ⎦

⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Yukarıda ilk olarak tamamlayıcı fonksiyonu belirledik. Şimdi özel

çözümü elde edelim.

{ 1 21 2

26 21 4 16

cy k a aa a

= = + + ≠+ +

= =− +

106106

Şimdi tamamlayıcı fonksiyonu ve özel çözümü birlikte yazarak,

belirli olmayan genel çözümü gösterelim. Dışsal olarak başlangıç

değerleri (y0 ve y1) verilirse, burada yer alan A5 ve A6

bilinmeyenlerini de belirleyerek, belirli genel çözüme ulaşabiliriz.

y0=1 ve y1=2 olarak verildiğini kabul edelim.

5 64 23 3

y A Cos t A Sin t

⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

107107

y0=1 ve y1=2 olarak verilen başlangıç değerlerini dikkate

alabilmek için, belirli olmayan genel çözümdeki t yerine sırasıyla

0 ve 1 değerlerini uygulayalım ve elde edeceğimiz iki denk-

lemden A5 ve A6 ’yı çözelim.

( ) ( )0 5 6 5

1 32 2

0 0 2 1 1

4 2 23 3

y A Cos A Sin A

y A Cos A Sin

⎡ ⎤= + + = → = −⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

108108

5 6 6 51 3 10 , 12 2 3

A A A A+ = → = = −

Buna göre, belirli çözüm:

14 23 33

tty Cos t Sin t

⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

R=4>1 olduğundan, başlangıçta meydana gelebilecek bir

dengeden uzaklaşma, sistemin ıraksak, yani dengeden uzaklaşan

bir seyir izlemesine neden olacaktır.

109109

YYüüksek Dereceden Fark Denklemlerine Genellemeksek Dereceden Fark Denklemlerine Genelleme

1 1 1 1...t n t n n t n ty a y a y a y c+ + − − ++ + + + =

biçiminde bir (t+n) derecesinden doğrusal fark denkleminde özel

çözüm ve tamamlayıcı fonksiyonun belirlenmesinde şöyle hareket

ederiz.

Özel çözüm için yt=kt , yt=kt2 gibi çözümleri deneriz.

Tamamlayıcı fonksiyonda ise, karşımıza, çözülmesi gereken n.

dereceden bir karakteristik denklem çıkar.

110110

11 1... 0n n

n nb a b a b a−−+ + + + =

Bu karakteristik denklemin, n tane karakteristik kökü (eigen

values) vardır: bi , i=1,…,n

Tamamlayıcı fonksiyonun çözümü, köklerin özelliklerine bağlıdır.

1. Köklerin tümü farklı ve reel ise:

c i ii

y A b=

111111

1 2 ... nb b b b= = = =2. Tek reel kök varsa:

2 11 1 3 ...t t t n t

c ny A b A tb A t b A t b−= + + + +

3. Kökler sanal ise:

( ) ( )( )1t

c n ny R A Cos t A Sin t−= θ + θ

Ai terimlerinin belirlenerek, belirli çözüme ulaşabilmek için, n tane

başlangıç koşulu gereklidir.

3 2 17 1 1 98 8 32t t t ty y y y+ + +− + + =

İlk olarak özel çözümü elde edelim.

7 1 1 9 328 8 32

t t t t t

y k y y y y k

k k k k y k

+ + += → = = = =

− + + = → = =

113113

Şimdi de tamamlayıcı fonksiyonu bulalım. Bunun için

karakteristik denklemi yazalım:

3 21 2 3

7 1 1 08 8 32

1 1 1 02 2 8

1 1,2 8

b a b a b a

+ + + =

− + + =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = = − İki reel kökün aynı

olduğuna dikkat.

114114

Üç reel kökten ikisinin aynı olduğunu dikkate alarak tamamlayıcı

fonksiyonu yazalım:

1 2 31 1 12 2 8

cy A A t A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Karakteristik köklerin mutlak değerleri 1’den küçük olduğundan,

süreç, uzun dönemli dengeyi (sabit nokta) gösteren yp=32

değerine yakınsar. Yani kararlı bir süreç vardır.

115115

Örnek 14’te üçüncü dereceden bir fark denkleminin karakteristik

köklerini belirleyerek denklemi çözdük ve kararlılığını gördük.

Ancak genel olarak n. derecen bir denklemin karakteristik

köklerinin belirlenmesi bu kadar kolay değildir. Schur Teoremi,

kökler belirlenmeksizin, sürecin kararlı olup olmadığını

sınamamızı sağlar.

116116

SchurSchur Teoremi:Teoremi:

10 1 1... 0n n

n na b a b a b a−−+ + + + =

biçimindeki polinomun kökleri ancak ve ancak aşağıdaki n tane

determinantın tümü pozitif ise 1’den küçük olur.

0 1 01 2

, ...0

a a aa a a a aa a a a a

∆ = ∆ =

117117

0 00 0

0 0 0...

0 00 0

n n nn

a a a aa a a a

a a aa a a a

a a a a

− −

2 13 2 12t t ty y y+ ++ + =

Bu fark denkleminin kararlı bir sürece sahip olup olmadığına,

Schur teoremi yoluyla bakalım.

Burada, 0 1 22 , 1 , 3 , 2n a a a= = = =

1 23 0

a aa a

∆ = = = − <

∆1 pozitif olmadığından, ∆2 ’ye bakmaya gerek olmadan, sürecin

kararsız olduğunu söyleyebiliriz.

2 11 1 26 6t t ty y y+ ++ − =

Bu fark denkleminin kararlı bir sürece sahip olup olmadığına,

Schur teoremi yoluyla bakalım.

Burada, 0 1 21 12 , 1 , ,6 6

n a a a= = = = −

11 356 01 3616

a aa a

−∆ = = = >

120120

1 10 1 6 6

1 11 0 6 6

2 1 10 1 6 6

1 11 0 6 6

0 1 00 1 0

0 0 10 0 1

1176 01296

a a aa a aa a a

− −−

∆ = =−

∆ = >

∆1>0 ve ∆2>0 olduğundan, bu fark dengeli yakınsaktır, yani

süreç kararlıdır.

121121SamuelsonSamuelson ÇÇarpanarpan--HHıızlandzlandııran Modeli (1939)ran Modeli (1939)

t t t t

Y C I G

I v C C v

= + α < α <

= − >

Yukarıdaki denklemlerden yararlanarak, yatırımlarla gelir

arasındaki bağlantıyı oluşturalım.

( ) ( )1 2 1 2t t t t tI v Y Y v Y Y− − − −= α −α = α −

122122It ve Ct denklemlerini, milli gelir özdeşliğindeki yerlerine yazarak

düzenleyelim.

( )0 1 1 2 0

1 2 0 01

t t t t

Y C Y v Y Y G

Y v Y vY C G

− − −

− −

= + α + α − +

− α + + α = +

Bu, ikinci sıradan doğrusal bir fark denklemidir. Bunu çözelim.

( )1 2 0 0

a v a v c C G

C GcY Ya a

= −α + = α = +

+= = =

+ + − α

Özel çözüm çarpandır ve uzun

dönemli dengeyi göstermek-

tedir.

123123Tamamlayıcı fonksiyona ilişkin üç olası durum vardır.

1. Durum:1. Durum:

( )( )( )

221 2 2

44 1 41

va a v vv

> → −α + > α → α >+

2. Durum:2. Durum:

( )( )( )

221 2 2

44 1 41

va a v vv

= → −α + = α → α =+

3. Durum:3. Durum:

( )( )( )

221 2 2

44 1 41

va a v vv

< → −α + < α → α <+

124124Fark denkleminin karakteristik köklerini belirleyelim.

( )( ) ( )( )

2 21 2

21 1 2

b a b a b v b v

a a ab

v v vb

+ + = → − α + +α =

− +=

− −α + −α + + α=

Yakınsaklık b1 ve b2’ye, b1 ve b2 de α ve v değerlerine bağlıdır.

Ayrıca iki ayrı karateristik kökün toplam ve çarpım özelliğinden

yararlanarak, köklerin işaretlerini belirleyelim.

125125

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

b b a v b b a v

b b b b b b v v

+ = − = −α + = = α

− − = − + + = − −α + + α

= − α

< α < ⇒ < − − <

Bu sonuca göre, her iki kök de reeldir ve birbirinden farklıdır. Bu

durumu dikkate alarak tamamlayıcı fonksiyonu ve genel çözümü

yazabiliriz.

126126*

1 1 2 2t t

tY A b A b Y= + +

Köklerin her ikisinin de farklı ve pozitif işaretli olduklarını

bilmekle birlikte, sayısal büyüklüklerini bilmiyoruz. Şu olası

durumlar söz konusudur:

2 10 1 0 1 ; 1b b v< < < → < α < α <

2 10 1 1b b< < = → α =

2 10 1 1b b< < < → α >

2 11 1b b= < → α =

1 0 1 ; 1b b v2 1< < → < α < α >

127127

Bu olası durumlar arasında koşulunu sağ-

layan, 1 ve 5 numaralı durumlardır. Birinci durumda yakınsaklık,

beşinci durumda ıraksaklık oluşur.

Eğer tek reel kök varsa, olur. Süreç yine dalgalı

değildir. α ve v pozitif olduklarından, kesin olarak b>0’dır. Buna

göre şu üç olası durumla karşılaşabiliriz:

( ) ( )1 20 1 1 1b b< − − <

( )1 2b v= α +

0 1 0 1 ; 1b v< < → < α < α <

1 1b = → α =

1 0 1 ; 1b v> → < α < α >

128128

Bu olası durumların arasından koşulunu 1 ve 3 numaralı

durumlar sağlamaktadır. Birinci durumda yakınsaklık, üçüncü

durumda ıraksaklık oluşur.

Kökler sanal ise, yörünge dalgalıdır. Yakınsamanın oluşup

oluşmayacağı, R teriminin değerine bağlıdır.

0 1< α <

ÖÖrnek 17:rnek 17:129129

Aşağıdaki modelden hareketle, gelirin zaman içindeki seyrini

gösteren denklemi elde edelim.

50 0.75

4 , 0t t

I Y Y v

− −

= − >

130130

Hızlandıran modeli 1950’de John Hicks tarafından yeniden ele

alınmıştır. İktisadi dalgalanmalar çerçevesinde konuya yaklaşan

Hicks, g hızında büyüyen otonom yatırımları modele katmıştır.

Hicks’in modelini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

( ) ( )

1 0 1 2

tt t t

tt t t t

I I g v C C

Y Y I g v Y Y

− − −

= + + −

= α + + + α − α

131131

( ) ( )1 2 01 1 tt t tY v Y vY I g− −= α + − + +

Bu ikinci sıra fark denklemi, Samuelson modelinden farklı olarak,

hareketli bir denge milli gelir düzeyine sahiptir. t döneminde

denge gelir düzeyini Y*(1+g)t , (t-1) döneminde Y*(1+g)t-1 ve …

olarak kabul edelim. Yukarıdaki denklemi denge için yeniden

yazalım.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2* * *01 1 1 1 1t t t tY g v Y g vY g I g− −

+ −α + + + + = +

132132

Eşitliğin her iki yanını (1+g)t-2 terimiyle bölelim, ve yeniden

düzenleyelim.

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 2* * *0

1 1 1 1

Y g v Y g vY I g

g v g v

+ − α + + + = +

+ − α + + +

Statik durumda (g=0), dengenin ’a indirgendiğine

dikkat edelim.

( )*0 1Y I= − α

133133

İkinci sıra fark denkleminin tamamlayıcı fonksiyonunu

yazabilmek için karakteristik kökleri belirleyelim.

( ) ( )( )

21 1 2

a a ab

a v a v

v v vb

− +=

= α + = α

−α + α + − α=

134134

Tamamlayıcı fonksiyonu ve özel çözümü bir arada yazarak, belirli

olmayan genel çözüme ulaşırız.

( )( ) ( )( )

5 1 6 2 2

1 1 1t t

I gY A b A b

g v g v

+= + +

+ −α + + +

Hicks’in bu modelinde de dengenin kararlı olup olmayacağı,

teriminin işaretine ve Samuelson modelinde

sıraladığımız bir dizi koşula bağlıdır.

( )( )21 4v vα + − α

135135

EnflasyonEnflasyon--İşİşsizlik sizlik İİlilişşkisikisi

P T U h

d j pdt

dU k m pdt

= α − − β + π

π= − π

= − −

Bekleyişlere Dayalı Phillips İlişkisi

Uyarlamalı Bekleyişler

Para Politikası

Bu modelde üç içsel değişken vardır: p, π, U.

Modeki fark denklemleri biçiminde yeniden yazalım.

136136

, , 0 , 0 1

t t t t

P T U h h

U U k m P k

= α − − β + π α β > < ≤

π − π = − π < ≤

− = − − >

Modeli çözebilmek için ilk olarak tümünü tek bir değişkene

(P’ye) indirgeyeceğiz. Bunun için aşağıdaki işlemleri yapalım.

137137

( ) ( )

( ) ( ) ( )

11 1 1

t t t t t t

t t t t

t t t t t

t t t t t t

P P U U h

U U k m P

P P k m P hj P

P T U h h P T U

k P j h P j U km j T

− = −β − + π − π

− = − −

π − π = − π

− = −β − + − π

= α − − β + π → π = − α + + β

⎡ ⎤+ β − − − + β = β + α −⎣ ⎦

138138Son olarak Ut’yi de denklemden kaldırabilmek için, denklemi bir

dönem ileri götürerek yazarız ve farkını alırız. Bu fark sonucu

oluşan yeni denklemdeki ( ) terimi yerine, karşılığını

yazarak yeniden düzenleriz. Artık fark denklemi tümüyle P ’ye

bağlı bir hale gelmiş olur.

1t tU U+ −

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 1

1 1 1 0

t t t t t t

k P j h P j U km j T

k P P j h P P j U U

+ + + +

⎡ ⎤+ β − − − + β = β + α −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + β + − − − β = −β − α −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ β − = − − − + + β − =⎣ ⎦

( )1 1t t tU U k m P+ +− = − −

139139

( )( )( )

( )( ) ( )2 1

1 11 1 11 1 1t t t

j hhj j k j kmP P Pk k k+ +

⎡ ⎤− −+ + − + β β⎣ ⎦− + =+ β + β + β

1a 2a c

Bu, ikinci sıra doğrusal fark denklemidir. Şimdi sırasıyla özel

çözüm ve tamamlayıcı fonksiyonu bularak, genel çözümü elde

edelim. Özel çözüm, P ’nin uzun dönemdeki denge değerini verir.

1 21cP m

a a= =

140140

Tamamlayıcı fonksiyon ise, ve terimlerine bağlı olarak üç

olası durumda ortaya çıkabilir.

21a 24a

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 4 1 1 1

1 1 01

1 10,1

hj j k j h k

hjb b a jk

j hb b a

>⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + β = − − + β⎣ ⎦ ⎣ ⎦<

++ = − = + − >

− −= = ∈

141141

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

1 1 1 01

0 1 , 0 1

jkb b b b b bk

β− − = − + + = >

< < < <

Her iki kök de pozitif olduğundan, süreç salınımlı değildir. Ayrıca

0 ile 1 arasında yer aldığından yakınsaktır.

Tek reel kök varsa (b), süreç salınımsız ve yakınsaktır.

Kökler sanalsa, yakınsaklık için olmalıdır.1R <

142142

2 12 2 12

1 (1 ) 0,11

a aaR h v a

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −= ∈

DoDoğğrusal Olmayan Fark Denklemlerine Dorusal Olmayan Fark Denklemlerine Doğğrusal rusal

YaklaYaklaşışımm

143143

Tipik bir doğrusal olmayan fark denklemini bir gecikme için şöyle

yazabiliriz.

( )1 1t t t tx x x g x− −− = ∆ =

Bu fark denklemini, yinelemeli (recursive) biçimde yazalım. Bu

biçimde yazmak, grafik anlatımı oluşturmada kolaylık

sağlamaktadır.

( )( )

t t t t t

x g x x x f x

− − −= + → =

144144

Şekil 6.15’de doğrusal olmayan bir fark denklemi gösterilmiştir.

45 derecelik açıyla gelen doğrusu, tüm t değerlerine karşılık

eşitliğini belirlemektedir. denklemi ile 45

derecelik doğrunun kesiştiği üç farklı noktada denge değerleri

(sistemin sabit noktaları) elde edilmektedir. Bu noktalar -1, 0 ve

1’dir.

Şekil 6.15’i türevlenebilir - sürekli biçimde çizdiğimize dikkat

edelim. Buradan, fark denklemine bir bağlantı oluşturmaya

çalışmaktayız.

1t tx x −= 31t tx x −=

145145ŞŞekil 6.15. Doekil 6.15. Doğğrusal Olmayan Fark Denklemlerine rusal Olmayan Fark Denklemlerine

DoDoğğrusal Yaklarusal Yaklaşışımm

-1 -0.5 0.5 1

( ) 31 1t t tx f x x− −= =

1t tx x −=

*1 1x = − *

3 1x =*2 0x =

146146

Her bir denge noktasının kararlılık özelliklerini ortaya

koyabilmek için, bu denge değerlerinde birinci sıra Taylor

açılımını yaparız.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 1 2 1t t tf x f x f x x x R x x− − −′= + − +

Açılımın kalan terimini (R2) dikkate almayalım.

( ) ( ) ( ) ( )* * *1 1t tf x f x f x x x− −′= + −

147147

Kararlılık koşullarını daha önce diferansiyel denklemler

bölümünde şöyle yazmıştık:

′ < ⇒

′ > ⇒

′ = ⇒

kararlı bir denge noktasıdır. *x

kararlı bir denge noktası değildir. *x

kararlılık süreci belirsizdir.

14 3t tx x −= −

Birinci sıra doğrusal olmayan fark denklemini dikkate alalım.

Denge noktalarını belirleyebilmek için, bu denklemde

durumunu denge sürecinde göz önünde bulundurarak,

ikinci derece bir denklem olarak yeniden yazalım ve karakteristik

köklerini bulalım.

1t tx x −=

* *1 2

4 3 4 3 0

t tx x x x

= − → − + =

149149

Şimdi denge noktalarındaki doğrusal yaklaşımı (birinci sıra

Taylor açılımını) elde edelim.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

* * *1 1

* *1 1

2 4 3 1 2 4 3 2

1 2 1 1 2

x f x f x f x x x

f x x f x x

− −

−−

− −

′= = + −

′ ′= − → = = − =

= + − = − +

150150

olduğundan sistem kararsızdır. Yani Şekil

6.16’daki A denge noktasından bir uzaklaşma meydana

geldiğinde, yeniden aynı denge noktasına dönüş olmaz. Şimdi

ikinci denge noktasını (şekilde B noktası) ele alalım. Yukarıdaki

benzer işlemleri bu nokta için de yaptığımızda

sonucunu elde ederiz. Bu sonuç, bu denge noktası

civarındaki bir dengeden uzaklaşmanın, kararlı hareketlerle

yeniden aynı denge noktasına dönüleceğini göstermektedir.

( )*1 2 1f x′ = >

( )* 22 3 1f x′ = >

151151

1 2 3 4 5

ŞŞekil 6.16. Doekil 6.16. Doğğrusal Olmayan Fark Denklemlerine rusal Olmayan Fark Denklemlerine

DoDoğğrusal Yaklarusal Yaklaşışım (m (ÖÖrnek 18)rnek 18)1t tx x −=

14 3t tx x −= −•

( ) 21

* *1 2

3.2 0.8

0 , 2.75

t t t t

y f y y y

+ = = −

İkinci denge değeri etrafında doğrusal açılımı yaparak

kararlılığın oluşup oluşmayacağını inceleyelim.

153153

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

* * *1

* * * *2 2 2

2.75 , 3.2 1.6 1.2

2.75 1.2 2.75

6.05 1.2

y f y f y f y y y

y f y f y y

y f y y

′= = + −

′= = = − = −

= = − −

Bu birinci sıra doğrusal(laştırılmış) fark denkleminin çözümünü

yapalım.

154154

( ) ( )

6.05 1.2 1.2 6.05

, 1 01 1

2.75 1.2 2.75

t t t ta c

y y y y

c cy y a aa a

+ += − → + =

⎛ ⎞= − − + + ≠⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= + − −

Çözümden görüldüğü gibi, süreç genişleyen bir salınıma sahiptir

(Şekil 6.18).

DoDoğğrusal Yaklarusal Yaklaşışım (m (ÖÖrnek 19)rnek 19)

1 2 3 4 5

21 3.2 0.8t t ty y y+ = −

1t ty y+ =

*1 0y = *

2 2.75y =

DoDoğğrusal Yaklarusal Yaklaşışım (m (ÖÖrnek 19)rnek 19)

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

( ) ( )02.75 1.2 2.75tty y= + − −

157157

SolowSolow BBüüyyüüme Modelinin Fark Denklemleriyle me Modelinin Fark Denklemleriyle İİfade fade

EdilmesiEdilmesi

Solow büyüme modelini daha önce diferansiyel denklemler

bölümünde ele almıştık. Burada kesikli zaman sürecinde modele

nasıl bakılabileceğini göreceğiz. Üretim fonksiyonunu tanım-

layarak başlayalım.

( )1t ty f k −= 11

,t tt t

Y Ky k

L L−

−− −

158158

( ) ( )

t t t t t t t

t t t t t

t tt t tt t

t t t t

t t t tt t t

K I K K I K K

S I sY K K

K KsY K Lsy k

L L L L

L L L Lsy k k n

sy k n k

− − −

−−

− − −

−−

− − −

= + − δ → = − − δ

= → = − − δ

− − δ ⎛ ⎞= → = − − δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ −= − − δ = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + − − δ

159159

( ) ( ) ( )

t tt t t

n k k sf k

k sf kk k h k

− −

− −−

+ − − δ =

− δ += → =

Üretim fonksiyonunu birinci dereceden Cobb-Douglas olarak

dikkate alalım ve son denklemi yeniden yazalım.

, 0 , 0 1

y f k Ak A

k sAkk

α− −

= = > < α <

− δ +=

160160

Ulaştığımız son denklem, birinci sıradan doğrusal olmayan bir

fark denklemidir. Bunu çözebilmek için, denge kişi başına

sermaye (k*) değeri etrafında birinci sıra Taylor açılımını yaparız

(yani denklemi doğrusallaştırırız).

( ) ( )

, 0 , 0 1

t tt t

y f k Ak A

k sAkk h k

α− −

= = > < α <

− δ += =

( ) ( ) ( ) ( )* * *1 1t t tk h k h k h k k k− −′= = + −

161161

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

k sA kh k

sA kh k

sA kk h k k k

− δ +=

− δ + α′ =

⎡ ⎤− δ + α⎢ ⎥= + −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦*k

162162

( ) ( ) ( )1*

sA kk k k k

⎡ ⎤− δ + α⎢ ⎥= + −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

* * *1 1

1t t t t

k k k k k k k

k k k k

− −= + β − → −β = − β

= + β −

163163

Modeldeki parametrelere sayısal değerler vererek, süreci

izleyebiliriz. Örneğin aşağıdaki değerleri alalım:

5 , 0.25 , 0.1 , 0.02 , 0A s n= α = = = δ =

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 *1

0.25* **

0.25* * *

1 0 0.1 5

1 0.02

0.5 0.02 11.2

t tt t t

k sAkk h k k k t

α− −

− δ += = = ∀

− +=

= → =

164164

Yukarıda kabul ettiğimiz parametre değerleri yanında,

ekonominin başlangıçtaki işçi başına sermaye stokunu da k0=20

varsayalım. Buna göre, kt sürecini yeniden yazalım ve grafik

olarak ifade edelim.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10.02 , 11.2 , 20

11.2 8.8 0.02t tt t

sA kk k

k k k k k

α−− δ + α

β = = = =+

= + β − → = +

165165ŞŞekil 6.19. Fark Denklemi Yoluyla ekil 6.19. Fark Denklemi Yoluyla SolowSolow BBüüyyüüme Modelime Modeli

045•*k

( )1t tk h k+ =

1t tk k+ =

166166ŞŞekil 6.20. Fark Denklemi Yoluyla ekil 6.20. Fark Denklemi Yoluyla SolowSolow BBüüyyüüme Modelime Modeli

( )11.2 8.8 0.02 ttk = +

kesİklİ zaman dİnamİĞİ ve fark denklemlerİ · yaparak) yeni fark denklemleri elde edelim....

Documents

preterm eylem- nÖron koruma · neonatal mortalite,...

fark yaratan eğitimler_kutluyıldızhan

· fark basing kontrollÜ solenoid sürücü filtrelerin...

teknoloji ile sosyal fark yaratabilmek

mikro v14 serisi ile işinizde fark yaratınmikro...

Özel yeteneklİlerİn fark edİlmesİ...

fark denklemlerİ Üzerİne bİr...

fark yok tamamlayici saĞlik sİgortasi

fark yaratan markalar!... yalıtımda 26 yıllık...

fark yaratanlar€¦ · dünya gazetesi zerrin koyunsağan...

parametrik doğru denklemleri 1

büyük fark advertising

adel sap ile iş süreçlerinde fark yaratti(abh)

2021 tyt matematik konuları sinavtime.com fark · 2020....

lyotard: fark ve ÇokluĞun anlatisi postmodernite …

kÜltÜr Ünİversİtesİ sap İle fark yaratiyor /...

akışkanlar mekaniği-bernoulli denklemleri problem...

fark basınç ölçüm cihazı

Çukurova ÜnĠversĠtesĠ fen bĠlĠmlerĠ enstĠtÜsÜ ·...

Çelİk İŞlendİĞİnde fark yaratmali’’ - … · dem...