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Technische Mechanik II
Kinematik des Massenpunktes
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.
Fachbereich Mechatronik und MaschinenbauHochschule Bochum
WS 2009/2010
Kinematik des Massenpunktes
Übersicht
1. Kinematik des Massenpunktes◦ Eindimensionale Punktbewegung
◦ Ebene Punktbewegung
- Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor
- Bewegung auf kreisförmiger Bahn
- Darstellung in Polarkoordinaten
◦ Räumliche Punktbewegung
- Frenet-Serret-Gleichungen
- Darstellung in Zylinderkoordinaten
2. Kinematik des starren Körpers
3. Kinetik des Massenpunktes
4. Kinetik des starren Körpers
5. Stossprobleme
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 1/10
Grundlegende Begriffe
Kinematik
Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung derBewegungszustände von Körpern
Bewegung
Zeitliche Ortsänderung eines Körpers relativ zu einem Bezugssystem
Massenpunkt
Idealisierung eines realen Körpers, nach der die gesamte Masse desKörpers in einem Punkt vereinigt ist
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 3/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 2/10
Grundlegende Begriffe (Forts.)
Bahnkuve
Ortsraumkurve, entlang der sich ein Massenpunkt bzw. derSchwerpunkt eines Körpers bewegt
x
y
x
z
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 4/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 3/10
Grundlegende Begriffe (Forts.)
s-t-Diagramm
Grafische Darstellung des zurückgelegten Weges als Funktion derZeit: s = s(t)
t [s]
s [m]
∆t
∆s
∆t
∆s
Gleichförmige Bewegung
t [s]
s [m]
∆t
∆s
∆t
∆s
Ungleichförmige BewegungProf. Dr. U. Zwiers BTM2 5/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 4/10
Grundlegende Begriffe (Forts.)
∆s
∆t
t [s]
s [m]
Durchschnittsgeschwindigkeit
v =∆s
∆t
Augenblicksgeschwindigkeit
v(t0) = lim∆t→0
s(t0 + ∆t) − s0
∆t︸ ︷︷ ︸
=ds
dt
∣∣∣∣t=t0
Geschwindigkeit
Differentialquotient des Weges nach der Zeit: v =ds
dt
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 6/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 5/10
Grundlegende Begriffe (Forts.)
v-t-Diagramm
Grafische Darstellung der Geschwindigkeit eines bewegten Objektsals Funktion der Zeit: v = v(t)
t [s]
v[
ms
]
Gleichförmige Bewegung
t [s]
v[
ms
]
∆t
∆v
∆t
∆v
Gleichmäßig beschleunigteBewegung
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 7/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 6/10
Grundlegende Begriffe (Forts.)
∆v
∆t
t [s]
v[
ms
]
Durchschnittsbeschleunigung
a =∆v
∆t
Augenblicksbeschleunigung
a(t0) = lim∆t→0
v(t0 + ∆t) − v0
∆t︸ ︷︷ ︸
=dv
dt
∣∣∣∣t=t0
Beschleunigung
Differentialquotient der Geschwindigkeit nach der Zeit: a =dv
dt
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 8/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 7/10
Grundaufgaben
Grundaufgabe der geradlinigen Bewegung
Berechnung der zwei verbleibenden Größen, wenn eine der vierGrößen t, s, v, a als Funktion einer der anderen Größen gegeben ist
Definitionsgleichungen v =ds
dt, a =
dv
dt
Kombinationsmöglichkeiten t s v a
t – t(s) t(v) t(a)
s s(t) – s(v) s(a)
v v(t) v(s) – v(a)
a a(t) a(s) a(v) –
Es gibt insgesamt 12 Grundaufgaben!
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 9/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 8/10
Grundaufgaben (Forts.)
Fall I: Ort, Geschwindigkeit oder Beschleunigung als Funktionder Zeit: s(t), v(t) oder a(t)
s(t)
ddt
(·)v(t) =
dsdt
ddt
(·)a(t) =
dvdt
=d2sdt2
s(t)=s0+∫
v(t) dt
∫
(·)dtv(t)
ddt
(·)a(t) =
dvdt
s(t)=s0+∫
v(t) dt
∫
(·)dtv(t)=v0+
∫a(t) dt
∫
(·)dta(t)
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 10/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 9/10
Grundaufgaben (Forts.)
Fall II: Geschwindigkeit als Funktion des Ortes: v(s)
t(s)=t0+∫
1v(s)
ds
∫
(·)dsv(s)
dds
(·) dsdt
a(s) =vdvds
Fall III: Beschleunigung als Funktion des Ortes: a(s)
t(s)=t0+∫
1v(s)
ds
∫
(·)dsv(s)=
√
v20+2
∫a(s) ds
∫
(·)dsa(s)
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 11/23
Kinematik des Massenpunktes
Eindimensionale Punktbewegung 10/10
Grundaufgaben (Forts.)
Fall IV: Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit: a(v)
s(v)=s0+∫
v
a(v)dv
t(v)=t0+∫
1a(v)
dv
∫
(·)dv
∫ (·)dv
a(v)
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 12/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 1/9
Ortsvektor
Gewähltes Bezugssystem
Rechthändiges kartesisches Koordinatensystem (raumfest)
Darstellungsmöglichkeiten
~rp(t) = xp(t)~ex + yp(t)~ey
~rp(t) =
[xp(t)yp(t)
]
~rp
Bahnkurve
yp
xp x
y
~ey
~ex
Länge/ Betrag des Ortsvektors: rp = |~rp| =√
x2p + y2
p
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 13/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 2/9
Geschwindigkeitsvektor
Punktbewegung von j1 nach j2
Sehnenvektor:∆r =
[x2 − x1
y2 − y1
]
Geschwindigkeit
– mittlere: v =∆r
∆t=
x2 − x1
t2 − t1y2 − y1
t2 − t1
– aktuelle: v = lim∆t→0
∆r
∆t=
dr
dt=
dx
dtdy
dt
~r1
~r2
y2
x2
y1
x1
∆~r
∆s
12
x
y
~ey
~ex
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 14/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 3/9
Geschwindigkeitsvektor (Forts.)
Ortsvektor als Fkt. der Bogenlänge: r(t) = r(s(t))
⇒ v(t) =dr
dt=
dr
ds
ds
dt
? Bahn-geschwindigkeit
Grenzwert des Vektorbetrags: lim2→1
∣∣∣∣
∆r
∆s
∣∣∣∣=
∣∣∣∣
dr
ds
∣∣∣∣= 1
⇒ Tangenteneinheitsvektor: et =dr
ds
Der Geschwindigkeitsvektor liegt tangential zur Bahn und sein Betragist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit: v = v et
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 15/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 4/9
Beschleunigungsvektor
Komponenten-Schreibweise: a =dv
dt=
d2r
dt2=
d2x
dt2
d2y
dt2
Alternative Darstellung: a = vdet
dt+
dv
dtet
? Bahn-/ Tangential-beschleunigung
Tangentenvektor als Fkt. der Bogenlänge: et(t) = et(s(t))
⇒ vdet
dt= v2 det
ds
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 16/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 5/9
Beschleunigungsvektor (Forts.)
1
~et1
~et2
∆~et
∆ϕ
|∆et| ≈ 1 · ∆ϕ
|∆s| ≈ ′ · ∆ϕ
∆s12
x
y
~et1
O
∆ϕ
~et2
′
O′
Krümmungsradius
Bahnkurve
~ey
~ex
Grenzübergang: lim2→1
∣∣∣∣
∆et
∆s
∣∣∣∣=
∣∣∣∣
det
ds
∣∣∣∣=
1
Orientierung in Richtungder Bahnnormalen
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 17/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 6/9
Beschleunigungsvektor (Forts.)
Darstellung in kartesischen und natürlichen Koordinaten
x
y
P
~ay
~ax
~a
O
~ey
~ex x
y
P
~aO
~et~en ~at~an
a = ax + ay a = an + at =v2
en +
dv
dtet
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 18/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 7/9
Bewegung auf kreisförmiger Bahn
Bogenlänge (r = const) s(t) = rϕ(t)
Bahngeschwindigkeit v(t) = rϕ
Tangentialbeschleunigung at(t) = rϕ
Normalbeschleunigung an(t) =v2(t)
rx
y
O
ϕ
s~en
~et
~r
P
Winkelgeschwindigkeit: ω =dϕ
dt= ϕ
Winkelbeschleunigung: α =d2ϕ
dt2= ϕ
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 19/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 8/9
Bewegung auf kreisförmiger Bahn (Forts.)
x y
z
~r
~v
ϕ
~ω
Position r = r
[cos ϕ
sin ϕ
]
Geschwindigkeit v = rω
[− sinϕ
cos ϕ
]
Beschleunigung a = rα
[− sinϕ
cos ϕ
]
+ rω2
[− cos ϕ
− sinϕ
]
︸ ︷︷ ︸
et
︸ ︷︷ ︸
en
Winkelgeschwindigkeitsvektor
Vektor, dessen Betrag der Winkelgeschwindigkeit entsprichtund der parallel zur Drehachse und senkrecht zu Bahnebenegerichtet ist, so dass gilt: v = ω × r
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 20/23
Kinematik des Massenpunktes
Ebene Punktbewegung 9/9
Darstellung in Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten x, y
Polarkoordinaten r, ϕ
Basisvektoren er =
[cos ϕ
sin ϕ
]
eϕ =
[− sinϕ
cos ϕ
]
x
y
ϕ
~r
~er~eϕ
~vϕ
~vr
~aϕ
~ar
~v~a
Position r = r er
Geschwindigkeit v = r er + rϕeϕ
Beschleunigung a = (r − rϕ2)er + (rϕ + 2rϕ)eϕ
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 21/23
Kinematik des Massenpunktes
Räumliche Punktbewegung 1/2
Frenet-Serret-Gleichungen
Raumkurve mit natürlichem Koordinatensystem
Tangenteneinheitsvektor et =dr
ds
Normaleneinheitsvektor en =1
κ
det
ds
Binormaleneinheitsvektor eb = et × en
x y
z
~et
~en
~eb
~r
det
ds= κ en
den
ds= τ eb − κ et
deb
ds= −τ en
Krümmung κ =
∣∣∣∣
det
ds
∣∣∣∣
Torsion τ =
∣∣∣∣
deb
ds
∣∣∣∣
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 22/23
Kinematik des Massenpunktes
Räumliche Punktbewegung 2/2
Darstellung in Zylinderkoordinaten
Kartesische Koordinaten x, y, z
Zylinderkoordinaten ρ, ϕ, z
Basisvektoren eρ =
cos ϕ
sinϕ
0
, ez =
001
eϕ =
− sinϕ
cos ϕ
0
x
y
z
~ez
~eϕ
~eρ
ϕ
ρ
z
P
~r
Position r = ρ eρ + z ez
Geschwindigkeit v = ρ eρ + ρϕeϕ + z ez
Beschleunigung a = (ρ − ρϕ2)eρ + (ρϕ + 2ρϕ)eϕ + z ez
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 23/23
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