koło naukowe matematyków uniwersytet rzeszowski

Koło Naukowe MatematykówUniwersytet Rzeszowski

Wybrane zastosowania

komputera

w

matematyce wyższej

Krzysztof Gąsior

VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMówVI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów

„Matematyka często przeplata się z informatyką

i wiele problemów rozwiązywanych

za pomocą

komputerów to problemy matematyczne”

Cel

jak ważnym narzędziem współczesnego

matematyka jest komputer;

niektórych zastosowania programów

komputerowych do rozwiązywania wybranych

problemów matematycznych.

Pokazanie:

Tematyka

programu Matematica 6 w równiach różniczkowych;

programowania w języku Java do wyznaczenia liczby relacji w

zbiorze n elementowym;

programu Excel do rozwiązania problemu dywersyfikacji

poziomu ryzyka inwestycyjnego.

Zastosowanie:

Równie różniczkowe rzędu

pierwszego zagadnienie

początkowe Cauch’egoZadanie 1. Rozwiązać zagadnienie początkowe

Cauch’ego:

Równie różniczkowe rzędu

pierwszego zagadnienie

początkowe Cauch’egoRozwiązanie:

Układ równań różniczkowych -

niejednorodnych

Zadanie 2. Znajdź całkę ogólną układu niejednorodnego:

Układ równań różniczkowych -

niejednorodnychRozwiązanie numer 1:

Układ równań różniczkowych -

niejednorodnych

Rozwiązanie numer 2:

Równanie różniczkowe cząstkowe

niejednorodneZadanie 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania:

Równanie różniczkowe cząstkowe

niejednorodneRozwiązanie:

Układ równań różniczkowych

cząstkowychZadanie 4. Narysuj rozwiązanie układu równań różniczkowych cząstkowych:

przy następujących warunkach:

Układ równań różniczkowych

cząstkowych

Układ równań różniczkowych

cząstkowych

Uwaga

Teoria równań różniczkowych cząstkowych jest mniej

rozwinięta niż teoria równań różniczkowych zwyczajnych,

w szczególności, nie ma odpowiednika twierdzenia

Cauchy'ego-Kowalewskaiej, mówiącego nam o istnieniu i

jednoznaczności rozwiązania dla problemu Cauch’ego.

Oznacza to, że Mathematica może rozwiązać jedynie

symbolicznie podzbiór równań różniczkowych. Konkretnie,

DSolve może znaleźć rozwiązanie ogólne dla słabo liniowych i

nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.

Więcej informacji John D. Carter, „A Review of Mathematica 6”, Mathematics

Department Seattle University, Seattle 2007.

Harald Höller, „ Einführung in das Arbeiten mit Mathematica

6.0, Interaktive Nutzung von Mathematica 6”, 2007.

Wolfram Mathematica: Documentation Center.

G. Drwal, „Mathematica 5”, Gliwice 2004.

J. Niedoba, W. Niedoba, „Równia różniczkowe zwyczajne i

cząstkowe, zadanie z matematyki”, Kraków 2001.

Co zrobić, jeżeli nie możemy

znaleźć gotowego programu

rozwiązującego nasz problem

matematyczny?

hm, hm.

W oparciu o wiedzę dziedzinową

można stworzyć algorytm rozwiązania

i zaimplementować go w znanym języku

programowania.

Terminologia Algorytm Algorytm jest przepisem na rozwiązanie

postawionego zadania, będącym określonym

układem elementarnych instrukcji wraz z

porządkiem ich wykonania.

Implementacja algorytmu Implementacja algorytmu jest realizacją tego

algorytmu w postaci programu na komputerze dla

konkretnych danych.

Relacje

Relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu

kartezjańskiego zbioru.

Reprezentacja relacji

Relacje można reprezentować przy pomocy:

• listy;

• macierzy binarnej;

• grafu skierowanego.

pełna rozumiemy ;

Relacje

Przez relacje:

Interpretacja macierzowa

pusta rozumiemy ;

identyczności rozumiemy

Działania na macierzach binarnych

Rodzaje relacji:

• zwrotną, gdy ;

• symetryczną, gdy ;

• przechodnią, gdy ;

• równoważności, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia;

• quasi porządku, gdy jest zwrotna i przechodnia;

Poszukiwanie liczby relacji

Rozwiązanie problemu wyznaczenia

liczby relacji, będzie polegało na

generowaniu kolejnych macierzy od relacji

pustej do pełnej i testowanie ich pod

względem własności relacyjnych.

Poszukiwanie liczby relacji

Jeżeli przez n oznaczymy liczbę

elementów w zbiorze, to ilość wszystkich

relacji, będzie wynosić .

Czy macierz spełnia własność?

StartStart

BigInteger count = new BigInteger („0”);BigInteger l = new BigInteger („0”);boolean [][] macierz;

l <

Generuj macierz

Czytaj(n);macierz = new boolean[n][n];

Zwiększ zmienną count o jeden;

NIE

TAK

TAK

Część programu odpowiedzialna za

zliczanie ilości relacji danego typu.

Metody weryfikujące

Metody weryfikujące

Metody weryfikujące

Część programu odpowiedzialna za

generowanie kolejnych macierzy.

…

Przykład działania dla relacji przechodnich w zbiorze 2 elementowym.

Jest relacją przechodniąNie jest relacją przechodnią

? ? ? ?

Czy macierz spełnia własność?

StartStart

BigInteger count = new BigInteger („0”);BigInteger l = new BigInteger („0”);boolean [][] macierz;

l <

Generuj macierz

Czytaj(n);macierz = new boolean[n][n];

Zwiększ zmienną count o jeden;

NIE

TAK

Wypisz wynik poszukiwań

TAK

NIE

Metoda wypisująca wynik.

Wszystkich relacji przechodnich w

zbiorze 2 elementowym jest 13.

Czy macierz spełnia własność?

StartStart

BigInteger count = new BigInteger („0”);BigInteger l = new BigInteger („0”);boolean [][] macierz;

l <

Generuj macierz

Czytaj(n);macierz = new boolean[n][n];

Zwiększ zmienną count o jeden;

NIE

TAK

Wypisz wynik poszukiwań

Stop

NIE

TAK

Wyniki

Ilość elementówIlość elementów

w zbiorzew zbiorze

Ilość relacjiIlość relacji

ZwrotnychZwrotnych SymetrycznychSymetrycznych PrzechodnichPrzechodnich

1 1 2 2

2 4 8 13

3 64 1 024 171

4 4 096 32 768 3 994

5 1 048 576 2 097 152 154 303

… … … …

Wyniki

Ilość elementów Ilość elementów w zbiorzew zbiorze

Ilość relacjiIlość relacji

równoważnościrównoważności quasi quasi porządku porządku

1 1 1

2 2 4

3 5 29

4 15 355

5 52 6942

… … …

Uwaga

Program działa prawidłowo dla n mniejszych od .

Aby zwiększyć zakres działania naszego programu należy

zmienić typ zmiennych sterujących wykonywanie

programu z int na BigInteger.

Więcej inforamcji

Wiej informacji na tematy związane z teorią relacji będzie można uzyskać:

G otz Pfeier, „Counting Transitive Relations”, Department of

Mathematics National University of Ireland, Galway.

M. Malec, „Elementy wstępu do teorii relacji, część 1”, AGH, Kraków

1998.

J. A. Szrejder, „Równość, podobieństwo, porządek”, WNT, Warszawa

1975;

Z. Moszner, O teorii relacji, PZWS, Warszawa 1967.

Problem dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego

Przykład. Klient biura maklerskiego chce zainwestować na

giełdzie 80.000 zł przy następujących kryteriach:

ograniczenie rocznego ryzyka maksymalnie do 700 zł;

zapewnienie rocznego zysku netto co najmniej 6.000 zł;

Problem dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego

FirmaFirma

AkcjiAkcji RocznaRoczna stopa stopa

zwrotuzwrotuCenaCena RyzykoRyzyko

Kowalski S. A. 25 zł 0,50 zł 12%

Tuptuś S. A. 50 zł 0,25 zł 10%

Terminologia DywidendaDywidenda – część zysku wypłacana

akcjonariuszom przypadająca na jedna akcję.

Dywersyfikacja portfela (portfolio Dywersyfikacja portfela (portfolio

diversification) diversification) - świadome działanie inwestora,

zmierzające do zróżnicowania portfela papierów

wartościowych w celu zminimalizowania ryzyka lub

maksymalizacji zysków.

Programowanie ilorazoweRozpatrzmy zadanie poszukiwania maksimum następującej funkcji:

0

x

bAx

mnm

n

aa

aa

A

...

.........

...

1

111

nx

x

x ...1

nb

b

b ...1

nc

c

c ...1

nd

d

d ...1

Model matematyczny

max (funkcja celu)

ryzyka

Ograniczenie:

zysku

wkładu własnego

nieujemność

=SUMA.ILOCZYNÓW(E3:E4;F3:F4)

=SUMA.ILOCZYNÓW(E3:E4;C3:C4)

=SUMA.ILOCZYNÓW(E3:E4;B3:B4)

=B8/B7

Maksymalny roczny zysk netto przy w/w

kryteriach z tytułu nabycia 800 akcji firmy

Kowalski S.A. oraz 1200 akcji firmy

Tuptuś S.A. wynosi 6 804,00 zł.

Więcej informacji Zbigniew Łucki, „Matematyczne techniki zarządzania, skrypt

wykładowy”, źródła w formacie elektronicznym.

Stanisław Krawczyk, „Programowanie Matematyczne, Zbiór

zadań”, Warszawa, PWE 19878.

Wiesław Grabowski, „Programowanie matematyczne”,

Warszawa PWE 1980.

Gerald Knight, „Excel. Analiza danych biznesowych”, Gliwice,

Helion 2006.

Excel – pomoc.

PodsumowanieUżywane pogramy

Matematica 6, Wolfram.

Excel 2007, Microsoft.

Darmowe:

JCreator LE vs. 3.5 LE, Xinox Software.

Mój program.

Podsumowanie Komputer nie w pełni wyręcza nas w rozwiązywaniu problemów

matematycznych;

Zawsze należy zweryfikować uzyskane rozwiązane;

W przypadku, gdy nie posiadamy gotowego programu w oparciu

o wiedzę dziedzinową (nie tylko matematyczną) i umiejętność

programowania możemy napisać własny program;

Wasze uwagi i spostrzeżenie odnośnie tego zagadnienia.