kpss matematik - pegem.neteditörler : kenan osmanoğlu / kerem köker kpss matematik isbn...
Post on 11-Jan-2020
20 Views
Preview:
TRANSCRIPT
2014
kpss
yeni konularla
yeni sorularla
yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır
akıcı
ayrıntılı
güncel
konu anlatımları
örnekler
yorumlar
uyarılar
pratik bilgiler
ösym tarzında özgün sorularve açıklamaları
2013 kpss’de
soru85
matematiksayısal akıl yürütme
mantıksal akıl yürütme
Editörler : Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker
KPSS Matematik
ISBN 978-605-364-522-1
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğrafl arının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
16. Baskı: Eylül 2013, Ankara
Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül EroğluDizgi-Grafi k Tasarım: Didem Kestek
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret A.Ş.
Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak No: 7
Şaşmaz/ANKARA
(0312-278 34 84)
Yayıncı Sertifi ka No: 14749Matbaa Sertifi ka No: 16102
İletişim
Karanfi l 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
E-ileti: pegem@pegem.net
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla
hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
MATEMATİK
- Temel Kavramlar,
- Sayılar,
- Bölme-Bölünebilme Kuralları,
- Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK,
- Birinci Dereceden Denklemler,
- Rasyonel Sayılar,
- Üslü Sayılar,
- Köklü Sayılar,
- Çarpanlara Ayırma,
- Eşitsizlik – Mutlak Değer,
- Oran – Orantı,
- Problemler,
- Kümeler,
- İşlem - Modüler Aritmetik,
- Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık
- Tablo ve Gra) kler
bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular
- çözümlü testler ve
- cevaplı testlere;
yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Editörler: Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker
SUNU
1. BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR ...............................................2Küme..........................................................................2Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin Gösterilişi ...............................................2Boş Küme ..................................................................3Sayı Kümeleri ............................................................3Tek - Çift Tamsayılar .................................................4Tam Sayılarda İşlemler .............................................4İşlem Önceliği ...........................................................6Rasyonel Sayılar .......................................................6Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6Harfl i İfadeler.............................................................8Denklemler ................................................................9Çözüm Kümesi Bulma ..............................................9İkili..............................................................................10Sıralama.....................................................................10Eşitsizlik ....................................................................11Oran – Orantı.............................................................11Ortak Paranteze Alma ..............................................12Çözümlü Test – 1 ......................................................13Cevaplı Test – 1 .........................................................17Cevaplı Test – 2 .........................................................19
2. BÖLÜM
SAYILAR ....................................................................22Sayı Kümeleri ............................................................22Doğal Sayılar .............................................................23Tam Sayılar ................................................................26Tek ve Çift Tam Sayılar .............................................27Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................29Ardışık Sayılar...........................................................31Asal Sayı....................................................................36Aralarında Asal Sayılar ............................................36Basamak Analizi .......................................................37Çözümleme ...............................................................42Faktöriyel...................................................................44Sayma Sistemleri ......................................................47Çözümlü Test – 1 ......................................................54Çözümlü Test – 2 ......................................................58Çözümlü Test – 3 ......................................................62Cevaplı Test – 1 .........................................................66Cevaplı Test – 2 .........................................................68Cevaplı Test – 3 .........................................................70
Cevaplı Test – 4 .........................................................72
Cevaplı Test – 5 .........................................................74
Cevaplı Test – 6 .........................................................76
Çıkmış Sorular ..........................................................78
3. BÖLÜM
BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI ..................82Bölme.........................................................................82
Bölünebilme Kuralları ..............................................86
2 ile Bölünebilme ................................................86
3 ile Bölünebilme ................................................86
4 ile Bölünebilme ................................................87
5 ile Bölünebilme ................................................88
7 ile Bölünebilme ................................................89
8 ile Bölünebilme ................................................89
9 ile Bölünebilme ................................................89
10 ile Bölünebilme ..............................................91
11 ile Bölünebilme ..............................................91
Çözümlü Test - 1 .......................................................93
Cevaplı Test - 1 .........................................................97
Cevaplı Test - 2 .........................................................99
Çıkmış Sorular ..........................................................101
4. BÖLÜM
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK .......103Asal Çarpanlara Ayırma ...........................................104
Bir Tam Sayının Bölenleri ........................................105
Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı ....................107
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ..........................108
En Küçük Ortak Kat (EKOK) ..............................111
Çözümlü Test ...........................................................116
Cevaplı Test - 1 .........................................................120
Cevaplı Test - 2 .........................................................122
Cevaplı Test - 3 .........................................................124
Çıkmış Sorular ..........................................................126
5. BÖLÜM
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER .....................127Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ....128
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler .....131
Denklem Sistemi .......................................................131
Yok Etme Metodu ................................................131
Yerine Koyma Metodu ........................................132
Özel Denklemler........................................................133
Çözümlü Test ...........................................................136
Cevaplı Test - 1 .........................................................140
Cevaplı Test - 2 .........................................................142
Çıkmış Sorular ..........................................................144
İÇİNDEKİLER
vi
6. BÖLÜM
RASYONEL SAYILAR ...............................................145Kesir ve Kesir Türleri ...............................................146
Kesir.....................................................................146
Basit Kesir ...........................................................146
Bileşik Kesir ........................................................146Tam Sayılı Kesir ..................................................147Sabit Kesir ...........................................................148Denk Kesir ...........................................................148
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ................................149Toplama İşlemi ....................................................149Çıkarma İşlemi ....................................................150Çarpma İşlemi .....................................................150Bölme İşlemi .......................................................150Kuvvet Alma ........................................................150İşlem Önceliği .....................................................151
Ondalık Kesirler ........................................................154Ondalık Sayılarda Dört İşlem ...................................155Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................157Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma .........160Çözümlü Test - 1 .......................................................161Çözümlü Test - 2 .......................................................165Cevaplı Test - 1 .........................................................169Cevaplı Test - 2 .........................................................171Çıkmış Sorular ..........................................................173
7. BÖLÜM
EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER ...............................175Basit Eşitsizlikler ......................................................176
Özellikleri.............................................................176Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .....................................179
Kapalı Aralık ........................................................179Yarı Açık Aralık ....................................................179Açık Aralık ...........................................................180
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....180Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi .............................181Mutlak Değer .............................................................183
Özellikleri.............................................................185Çözümlü Test – 1 ......................................................189Çözümlü Test – 2 ......................................................193Cevaplı Test – 1 .........................................................197Cevaplı Test – 2 .........................................................199Cevaplı Test – 3 .........................................................201Çıkmış Sorular ..........................................................203
8. BÖLÜM
ÜSLÜ SAYILAR .........................................................205Özellikleri.............................................................206
Üslü Sayılarda Dört İşlem ........................................209
Toplama – Çıkarma .............................................209
Çarpma ................................................................210
Bölme...................................................................212
Çözümlü Test - 1 .......................................................215
Çözümlü Test – 2 ......................................................219
Cevaplı Test - 1 .........................................................223
Cevaplı Test - 2 .........................................................225
Çıkmış Sorular ..........................................................227
9. BÖLÜM
KÖKLÜ SAYILAR ......................................................229
Köklü Sayıların Özellikleri........................................230Köklü Sayılarda Dört İşlem ......................................234
Toplama-Çıkarma ................................................235Çarpma ................................................................235Bölme...................................................................236
Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması .......238Eşlenik .......................................................................239İç İçe Sonlu Kökler ...................................................241İç İçe Sonsuz Kökler.................................................242
A 2 B∓ Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması ............244Köklü Sayılarda Sıralama.........................................246Köklü Sayılarda Denklem Çözme ............................247Çözümlü Test -1 ........................................................248Cevaplı Test - 1 .........................................................252Cevaplı Test - 2 .........................................................254
Çıkmış Sorular ..........................................................256
10. BÖLÜM
ÇARPANLARA AYIRMA ............................................259
Ortak Parantez Yöntemi .....................................260Gruplandırma Yöntemi .......................................260ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması .......261
Özdeşlikler ................................................................263İki Kare Farkı .......................................................263Tam Kare İfadeler ................................................265
III. Dereceden Özdeşlikler ........................................268Çözümlü Test – 1 ......................................................270Çözümlü Test – 2 ......................................................274Cevaplı Test – 1 .........................................................278Cevaplı Test – 2 .........................................................280
Çıkmış Sorular ..........................................................282
11. BÖLÜM
ORAN – ORANTI ......................................................285Oran .....................................................................286
Orantı ...................................................................286
Orantının Özellikleri............................................286
Orantı Türleri .............................................................288
Doğru Orantı .......................................................288
Ters Orantılı Çokluklar .......................................290
Bileşik Orantı ......................................................291
Ortalamalar................................................................292
Aritmetik Ortalama .............................................292
Geometrik Ortalama ...........................................293
Çözümlü Test - 1 .......................................................295
Çözümlü Test - 2 .......................................................299
Cevaplı Test - 1 .........................................................303
Cevaplı Test - 2 .........................................................305
Çıkmış Sorular ..........................................................307
vii
12. BÖLÜM
PROBLEMLER ..........................................................309Denklem Kurma Problemleri ...................................310
Yaş Problemleri.........................................................316
Yüzde Problemleri ....................................................319
Faiz Problemleri ........................................................321
Kâr – Zarar Problemleri ............................................322
Karışım Problemleri..................................................325
İşçi Problemleri .........................................................328
Havuz Problemleri ....................................................330
Hareket Problemleri..................................................331
Çözümlü Test - 1 ......................................................337
Çözümlü Test - 2 ......................................................341
Çözümlü Test - 3 ......................................................345
Çözümlü Test - 4 .......................................................349
Çözümlü Test - 5 ......................................................353
Çözümlü Test - 6 ......................................................357
Çözümlü Test - 7 ......................................................361
Çözümlü Test - 8 ......................................................365
Çözümlü Test - 9 ......................................................369
Cevaplı Test – 1 .........................................................373
Cevaplı Test – 2 .........................................................375
Cevaplı Test – 3 .........................................................377
Cevaplı Test – 4 .........................................................379
Cevaplı Test – 5 .........................................................381
Cevaplı Test – 6 .........................................................383
Cevaplı Test – 7 .........................................................385
Cevaplı Test – 8 .........................................................387
Çıkmış Sorular ..........................................................389
13. BÖLÜM
KÜMELER ..................................................................397Küme..........................................................................398
Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ...............398
Kümelerin Gösterimi ..........................................398
Küme Çeşitleri ....................................................399
Kümelerde İşlemler ............................................400
Alt Küme ..............................................................403
Küme Problemleri ...............................................405
Çözümlü Test ...........................................................407Cevaplı Test ..............................................................411Çıkmış Sorular ..........................................................413
14. BÖLÜM
İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ..............................415Bağıntı .......................................................................416
Fonksiyon ..................................................................416
İşlem ..........................................................................417
İşlem Tabloları .....................................................419İşlemin Özellikleri ...............................................419
Modüler Aritmetik .....................................................423Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................424Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............428
Çözümlü Test – 1 ......................................................429Çözümlü Test – 2 ......................................................433Cevaplı Test – 1 .........................................................437Cevaplı Test – 2 .........................................................439
Çıkmış Sorular ..........................................................441
15. BÖLÜM
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ....443Saymanın Temel Kuralları ........................................444
Toplama Kuralı ....................................................444Çarpma Yolu ile Sayma ......................................444Saymanın Temel İlkesi .......................................444
Permütasyon (Sıralama) ..........................................446Tekrarlı Permütasyon .........................................447Dairesel Permütasyon ........................................448
Kombinasyon (Gruplama) .......................................449Olasılık .......................................................................454
Olasılık Fonksiyonu ...........................................454Olasılık Hesabı ....................................................455Koşullu Olasılık...................................................459Bağımsız ve Bağımlı Olasılık .............................460
Çözümlü Test – 1 ......................................................461Çözümlü Test – 2 ......................................................465Çözümlü Test – 3 ......................................................469Cevaplı Test – 1 .........................................................473Cevaplı Test – 2 .........................................................475Çıkmış Sorular ..........................................................477
16. BÖLÜM
TABLO VE GRAFİKLER ............................................479Tablo ve Yorumlama .................................................480Grafi k ve Yorumlama ................................................484
Çizgi Grafi k..........................................................484Sütun Grafi ği .......................................................486Daire Grafi ği ........................................................486
Çözümlü Test – 1 ......................................................489Çözümlü Test – 2 ......................................................492Cevaplı Test – 1 .........................................................496Cevaplı Test – 2 .........................................................499Çıkmış Sorular ..........................................................501
17. BÖLÜM
SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ ..........................507Sayı Örüntüleri .........................................................511Sayı Dizileri ...............................................................511Tablo ve Şekil Soruları .............................................513Akıl Yürütme ve Mantık Soruları .............................522Görsel Yetenek ..........................................................530Çözümlü Test ...........................................................536Cevaplı Test – 1 .........................................................547Cevaplı Test – 2 .........................................................549Cevaplı Test – 3 .........................................................551Çıkmış Sorular ..........................................................553
ÖSYM SORULARI
MATEMATİK
2013PEGEM AKADEMİ SORULARI
31.
4 287
3 265
:
:
-
-
e
e
o
o
işleminin sonucu kaçtır?
A) 117
B) 119
C) 97
D) 910 E)
913
32. , , ,0 001 0 01 0 1 110 100 1000
+ + ++ +
işleminin sonucu kaçtır?A) 107 B) 106 C) 105 D) 104 E) 103
33. 2 2 2 2
2 2 2 25 6 7 8
5 6 7 8
+ + +
+ + +− − − −
işleminin sonucu kaçtır?A) 27 B) 211 C) 213 D) 2-9 E) 2-12
34. ( !) ( !)
( !) ( !)
4 3
4 32 2
2 2
−
+
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1519
B) 1517
C) 1513
D) 1219
E) 1213
31.
31 5
6 31
41
:
−
+c m
işleminin sonucu kaçtır?
A) 43- B) 2
1- C) 21 D) 4
3 E) 2
Genel Yetenek Genel Kültür 15 Deneme Deneme 8 / 31. Soru
3. , , ,, , ,0 1 0 02 0 004
0 01 0 002 0 0004+ +
+ +
işleminin sonucu kaçtır?A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) 100
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 3. Soru
4. , , ,, , ,
1 0 2 0 02 0 0020 4 0 04 0 004− − −
+ +
işleminin sonucu kaçtır?A) 0,5 B) 0,1 C) 0,2 D) 0,4 E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 4. Soru
15. 2 2 22 2 2
22 2123
45 46 47
+ +
+ +
işleminin sonucu kaçtır?
A) 88 B) 410 C) 810
D) 222 E) 225
Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 14 / 15. Soru
4. ! !! !
8 710 9
+−
işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 27 / 4. Soru
MATEMATİK
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
2013
MATEMATİK
35. x3 2 3− − =
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?A) 6 B) 4 C) 2 D) -8 E) -10
36. ( )
a ab b
a ab
a b
a b2 2
4 3
4 4
2:
+ +
−
−
+
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) ( )a b
a b2+
− B)
( )a b
a 12+
− C)
( )
a b
b a b2 2+
−
D) ( )
a b
a a b2 2+
+ E)
a b
a b2 2
2
+
+
37. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemlerix y x y x
x yyx
y
x :
T
= +
= +
biçiminde tanımlanıyor.
( )a a 2 8x T =
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 31
B) 32
C) 1
D) 2 E) 3
9. x 1 4 6+ + = eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) -4 B) -3 C) -2 D) 0 E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sayısal Soru Bankası / Test 39 / 9. Soru
8. x 3 5 2− − = eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?A) -4 B) 0 C) 6 D) 10 E) 12
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 192 / 8. Soru
8. ab b
a aba b
a ab b2 2
4 3
2 2
2 2|
+
+
−
− +
^ hifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) b
a ab2
2 - B)
bab a
2
2- C)
ba ab
2
2 +
D) b
a b2
- E)
ba b
2+
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 275 / 8. Soru
13. Reel sayılar kümesinde tanımlı “” ve “” işlemleri2 3
2 2
aob a ba b a 2ab b
= −
= + +
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, (3o2) (5o3) kaçtır?A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 73 / 13. Soru
3. Tam sayılar kümesi üzerinde,x y x yx y x y
323
= +
= -
4
işlemleri tanımlanıyor.Buna göre, ( )2 3 434 işleminin sonucu kaçtır?A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 217 / 3.Soru
ÖSYM SORULARI
MATEMATİK
201338. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 ek-
lenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.
Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.
Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölü-nen sayı en az kaçtır?A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 E) 81
40. x, y, z gerçel sayıları için
xy3z5 > 0
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre,
I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0
II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0
III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0
önermelerinden hangileri doğrudur?
A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I
D) Yalnız II E) Yalnız III
12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.
m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 44 / 12. Soru
3. Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.
Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır?A)151 B)153 C) 157 D) 160 E)163
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru
1. x < 0 < y olmak üzere,
I. x2 < y2
II. x3 < y
III. x + y < 0
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III
D) I ve II E) I, II ve III
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 36 / 1. Soru
2. x, y reel (gerçel) sayılar
x < y
ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur?
I. a 0 için a x a y> ⋅ > ⋅
II. a 0< için a x a y⋅ > ⋅
III. a 0< için x a y a+ > +
IV. a 0> için x ya a<
V. 2 2x y<
A) I ve III B) I ve II C) I, II ve IV
D) II, III ve IV E) II ve IV
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 118 / 2. Soru
MATEMATİK
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
2013
MATEMATİK
41. x
2 3
1
3 2
1
2 12
++
++
+=
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1 2+ B) 1 2 2+ C) 2 2+
D) 2 3+ E) 3 2
45. Üç saat süren bir yarışta, bir otomobilin her bir saatlik zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir.
1.saat
10203040506070
2.saat 3.saatZaman
Tur sayısı
Bu otomobil, yarışın son bir saatinde sabit hızla ilerlediğine göre, yarışın başlangıcından 135 daki-ka sonra toplam kaç tur tamamlamıştır?A) 125 B) 130 C) 145 D) 150 E) 170
14. 32
331
331
++
−−
işleminin sonucu kaçtır?A) 33 B) 32 C) 3 D) 3− E) 32−
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 139 / 14. Soru
18. 2 3
2
2 3
2
-++
işleminin sonucu kaçtır?A) 1 B) 2 C) 2 3 D) 5 E) 8
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 186 / 18.Soru
4. - 6. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ
Aşağıdaki tabloda, bir fabrikadaki aynı malı üreten 5 farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı gösterilmiştir.
( )Zaman dk
Mal sayısı(adet)
A B C D E
10 12 15 20 25
125
110
90
6040
Mal sayısı (adet)
4. Birim zamanda en çok mal üreten makine hangisidir?A) A B) B C) C D) D E) E
5. Hangi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı eşittir?
A) B ve D B) A ve C C) D ve E
D) C ve E E) B ve E
6. B ve C makinelerinin 1 saatte ürettiği toplam malı, D makinesi kaç saatte üretir?A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 488 / 4, 5 ve 6. Soru
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
MATEMATİK
201347. Aşağıda A, B, C, D ve E şehirlerinden geçen yol hattı
gösterilmiş ve bu yol hattına göre şehirler arasındaki bazı uzaklıklar kilometre olarak tabloda verilmiştir.
BC
CD
E
BA
130170
D
E
A
D ile E şehirleri arasındaki uzaklık, A ile C şehirleri arasındaki uzaklığın 2 katından 20 km eksiktir.
Buna göre, A ile E şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir?A) 230 B) 235 C) 240 D) 245 E) 250
1. - 3. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.
DİKKAT! SORULARI BİRBİRİNDEN BAĞIMSIZ OLARAK CEVAPLAYINIZ.
Aynı yol üzerinde bulunan K, L, M, N, P kentleri ara-sındaki yolların uzunluklarını km türünden gösteren bir tablo hazırlanmıştır. Aşağıda bu uzunlukların bazıları verilmiştir.
LMN 140 310P
K L M NTablonun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasın-daki yolun uzunluğudur.
Örneğin K ile N kentleri arasındaki yolun uzunluğu 140 km dir.
1. N ile P kentleri arasındaki yolun uzunluğu, N ile K arasındaki yolun uzunluğundan kaç km fazladır?A) 370 B) 380 C) 385 D) 390 E) 395
2. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı M, P, K, N, L şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir?
A) 1540 B) 1555 C) 1580
D) 1600 E) 1625
3. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı P, L, K, N, M şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir? A) 240 B) 250 C) 320 D) 335 E) 380
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 475 / Örnek Soru
MATEMATİK
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
2013
MATEMATİK
28. - 30. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.
100
200
300
400
500
2003 2004 2005 20062002 2007
ki i say s
gelen ö renci
giden ö renci
y llar
Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversi-tede okumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden üniversite okumak için ilçe dışına giden öğrencilerin sayılarını yıllara göre göstermektedir.
28. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı ara-sındaki fark hangi yıl en fazladır?
A) 2003 B) 2004 C) 2005
D) 2006 E) 2007
29. 2002-2007 yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu ilçeden üni-versite okumak için yılda orta-lama kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir?
A) 200 B) 250 C) 300
D) 350 E) 400
30. İlçede bulunan üniversitede okumak için gelen-lerin sayısı hangi yıl, bir önceki yıla göre % 50 azalmıştır?
A) 2002 B) 2003 C) 2004
D) 2006 E) 2007
Genel Yetenek Genel Kültür 30 DenemeDeneme 9 / 28, 29 ve 30. Soru
53. Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzde-lerinin zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal grafiklerde verilmiştir.
10
10Zaman (dk)
75
15
Derinlik(m)
7 10
100
Doluluk(%)
Zaman (dk)
72
50
CihanLevent
Levent, 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün yüzde kaçını kullanmıştır?
A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 14
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
MATEMATİK
201338. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 ek-
lenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.
Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.
Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölü-nen sayı en az kaçtır?A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 E) 81
40. x, y, z gerçel sayıları için
xy3z5 > 0
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre,
I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0
II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0
III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0
önermelerinden hangileri doğrudur?
A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I
D) Yalnız II E) Yalnız III
12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.
m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 44 / 12. Soru
3. Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.
Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır?A)151 B)153 C) 157 D) 160 E)163
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru
1. x < 0 < y olmak üzere,
I. x2 < y2
II. x3 < y
III. x + y < 0
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III
D) I ve II E) I, II ve III
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 36 / 1. Soru
2. x, y reel (gerçel) sayılar
x < y
ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur?
I. a 0 için a x a y> ⋅ > ⋅
II. a 0< için a x a y⋅ > ⋅
III. a 0< için x a y a+ > +
IV. a 0> için x ya a<
V. 2 2x y<
A) I ve III B) I ve II C) I, II ve IV
D) II, III ve IV E) II ve IV
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 118 / 2. Soru
MATEMATİK
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
2013
MATEMATİK
59.
A A'
B'
C'
D'
B
3
2CD
Kenar uzunlukları 2 cm ve 3 cm olan ABCD dikdört-geninde
• A noktasının B noktasına göre simetriği alınarak A' noktası
• B noktasının C noktasına göre simetriği alınarak B' noktası
• C noktasının D noktasına göre simetriği alınarak C' noktası
• D noktasının A noktasına göre simetriği alınarak D' noktası elde ediliyor.
A', B', C' ve D' noktalarının birleştirilmesiyle A'B'C'D' dörtgeni oluşturuluyor.
Buna göre, dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?A) 30 B) 28 C) 24 D) 18 E) 16
60.
OA
B
C
D
E
x
ABCDE düzgün beşgenm(BOD) = x
O noktası, beşgenin köşelerinden geçen bir çem-berin merkezi olduğuna göre, x kaç derecedir?A) 110 B) 128 C) 136 D) 144 E) 152
12. A D
B C
T
KS
R
R
L
F
E
ABCD paralelkenar doğru parçalarıdır. L, E, F, K bulunduk-ları kenarların orta noktaları ve taralı alan 16cm2'dir.
Yukarıda verilenlere göre A(ABCD) kaç cm2'dir?
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 345 / 12. Soru
13 � �
��
�
� �
�
�
�� ABCD ve EFGH kareDFBH EC
AG=
=5 55 5? ?? ?
B, G, H ile A, F, G noktaları doğrusalAD cm10=
GB cm6=
Yukarıda verilenlere göre, A EFGH] g kaç cm2 dir?A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 266 / 13.Soru
11.
A
B
C D
E
F
αK95°
ABCDEF düzgün altıgenin-de [KF] açıortay,
°( )KDEm 95=%
Yukarıdaki verilenlere göre ( )FKDm α =% kaç dere-cedir?A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 95Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 110 / 11. Soru
TEMEL KAVRAMLAR� KÜME
� KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
� KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
� BOŞ KÜME
� SAYI KÜMELERİ
� TEK - ÇİFT TAMSAYILAR
� TAM SAYILARDA İŞLEMLER
� İŞLEM ÖNCELİĞİ
� RASYONEL SAYILAR
� RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
� DENKLEMLER
� ÇÖZÜM KÜMESI BULMA
� İKİLİ
� SIRALAMA
� EŞİTSİZLİK
� ORAN ORANTI
� ORTAK PARANTEZE ALMA
“Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.”
John Von Neumann
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Çıkmış Soru Ağacı
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2
KÜME
Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir.
Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.
Örnek
“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur
Örnek
“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenme-miştir.
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara küme-nin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler “! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise “! ”sembolü ile gösterilir.
Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin ele-man sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir.
Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır.
Örnek
1 sayısı A kümesinin elemanı ise A1 d
2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise A2!
şeklinde gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
1) Liste Yöntemi
Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parante-zi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir.
Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır.
Örnek
, , , , ,A a b c d e f= " "" , , , kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Çözüm:
A kümesinin elemanlarını yazacak olursak
, , , , ,a A b A c A d e A f A! ! ! ! !" ", ,
olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.
Dolayısıyla ( )s A 5= bulunur.
Örnek
”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme-
nin elaman sayısı kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Çözüm:
“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun.
Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından
, , ,A P E G M= " ,olur. Dolayısıyla ( )s A 4= bulunur.
Örnek
A Kerem= " , kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm:
Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi in-
celeyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için
kümenin eleman sayısı ( )s A 1= bulunur.
2) Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirti-
lerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özel-
lik yöntemi ile gösterilişi denir.
Örnek
Yüzden küçük doğal sayıların kümesi
,A x lx x N1001 != " ,
şeklinde gösterilir.
Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yete-neğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir.
Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.
TEMEL KAVRAMLAR
3
3) Venn Şeması
Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gös-terilişi denir.
Örnek
, , ,A a b c d= " ,kümesini venn şeması ile gösterilişi şekil-deki gibidir.
Aa
b
c
d
BOŞ KÜME
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir.
Örnek
“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir
Not
Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir.
Örnek
, ,A a b c= " , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse
A kümesi değişmez.
, , , , , ,A a b c b a c c a b gibi= = =" " ", , ,
RAKAM:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.
SAYI:
Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
Örnek
3 hem rakam hem de bir sayıdır.
16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.
348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.
-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.
SAYI KÜMELERİ
1) Sayma Sayıları Kümesi
, , , .....1 2 3" , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kü-menin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " "N+ ile gösterilir.
2) Doğal Sayılar Kümesi
, , , , .....0 1 2 3" , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir
3) Tam Sayılar Kümesi
........, , , , , , , .......3 2 1 0 1 2 3- - -" , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir.
Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edi-lir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;
a) Negatif Tam Sayılar Kümesi
Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluştur-duğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " "Z- ile gösterilir.
..............., , ,Z 3 2 1= − − −− " , dir.
Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıy-la en büyük negatif tam sayı " "1- dir.
b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi
Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturdu-ğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " "Z+ ile gösterilir.
, , , .........Z 1 2 3=+ " , dir.
Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıy-la en küçük pozitif tam sayı " "1 dir.
c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir.
4) Rasyonel Sayılar Kümesi
a ve b birer tam sayı ve b 0! olsun. İki tam sayının bö-lümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
Rasyonel sayılar kümesi " "Q ile gösterilir.
Örnek
, , , , ,...52
1917
136 14 1
-- birer rasyonel sayıdır.
4
5) İrrasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir.
Örnek
, , , ...5 2 375 - birer irrasyonel sayıdır.
6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.
Reel sayılar kümesi " "R ile gösterilir.
'R Q Q,= şeklinde ifade edilir.
TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
a) Tek tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n 1- veya n2 1+ şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi ..... , , , , , ,...5 3 1 1 3 5- - -" ,şeklinde ifade edilir.
b) Çift tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi ... , , , , ,....4 2 0 2 4- -" , şeklinde ifade edilebilir.
TAM SAYILARDA İŞLEMLERToplama işlemi
a) Aynı işaretli sayıların toplanması
İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı de-ğerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir.
Örnek
32 14 29+ + işleminde
Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur.
Buradan 32 14 29 75+ + = bulunur.
Örnek
45 11 73- - - işleminde
Sayıların hepsi negatif ( )- olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " "- olur.
Buradan ( )45 11 73 45 11 73 129− − − =− + + =− bulunur.
b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması
İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri bü-yük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir.
Örnek
65 93− + işleminde
Sayıların biri (-) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 652 olduğundan olur.
Buradan 65 93 28− + = bulunur.
Örnek
124 175- işleminde
Sayılar zıt işaretli ve 175 1242 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( )- işareti verilir.
Buradan 124 175 51− =− bulunur.
NotToplama işleminde sayıların yerlerini değiş-tirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani
.a b b a d rý− = − +
Örnek
354 195− + işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işle-min sonucunu değiştirmez.
Buradan 354 195 195 354 159− + = − =− bulunur.
Not
İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işare-ti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.
Örnek
36 73 86 118− + − işleminde
iki tane pozitif ( )+ , iki tane negatif ( )- sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzen-lenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.
.bulunur
36 73 86 118 36 86 73 118122 191
69
− + − = + − −
= −
=−
Çıkarma İşlemi
Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı ay-nen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar top-lanır.
Örnek
48 19 48 ( 19) 2933 76 33 ( 76) 43141 ( 214) 141 (214) 355
- = + - =- = + - = -- - = + =
5
Çarpma İşlemi
Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır.
Uyarı!Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.Yani ( ) ( )
( ) ( )+ ⋅ + = +- ⋅ - = +
Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.Yani ( ) ( )- ⋅ + = -
( ) ( )+ ⋅ - = -
Not
Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır.
Örnek
( 5) ( 23) 115( 12) (11) 132(18) (12) 216
- ⋅ - =- ⋅ = -
⋅ =
Bölme İşlemi
Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür.
Not
Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.Yani ( ) : ( )
( ) : ( )+ + = +- - = +
Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.Yani ( ) : ( )- + = -
( ) : ( )+ - = -
Örnek
( 68) : (17) 4(120) : (12) 10( 111) : (37) 3( 180) : ( 15) 12
- = -=
- = -- - =
Uyarı!Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir.
Örnek
84 21( 84) : (16)16 4
- = - = - (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse)
100 20( 100) : ( 35)35 7
- - = = (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse)
Kuvvet Alma
Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana ya-zılıp çarpılır. Yani an
sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir. n tane
Örnek
24 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır.
Buradan 4
4 tan e
2 2 2 2 2 16= ⋅ ⋅ ⋅ =
bulunur.
Örnek
(-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır.
Buradan 3
3 tan e
( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 27- = - ⋅ - ⋅ - = -
bulunur.
Not1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
Örnek
4 4
7 7
( 5) 5 5 5 5 5 625( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 128- = = ⋅ ⋅ ⋅ =
- = - = - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = -
Örnek
3 2 3( 4) ( 7) ( 5)- + - - - işlemindenegatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ne-gatiftir.
3 2 3Buradan ( 4) ( 7) ( 5) ( 64) (49) ( 125)64 49 12564 174
110 bulunur.
- + - - - = - + - -= - + += - +=
6
Uyarı!Bir sayının kuvveti (üssü) negatif ise önce tabandaki sayı ters çevrilerek kuvveti po-zitif hale getirilir. Sonra işlem yapılır. Yani
n n nn 1 a ba , gibi (a 0, b 0)
a b a
-
- = = ≠ ≠
Örnek
33
3
55
5
22
2
1 1 1 1(4)4 4 4 4 4 64
1 1 1 1( 2)2 ( 2) ( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) 32
1 1 1 1( 5)5 ( 5) ( 5)( 5) 25
-
-
-
= = = = ⋅ ⋅
- = - = = = - - - - - - -
- = - = = = - - -
Not1) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti
1’dir.
2) Bütün tam sayıların birinci kuvveti kendisidir.
Örnek
00 0 0
11 1
3(8) 1, ( 27) 1, (2009) 1, 18
1 13 3, ( 5) 5,5 5
= - = = =
= - = - - = -
İŞLEM ÖNCELİĞİ
Parantezlerle ayrılmış ifadelerde önce parantez içindeki işlemler yapılır.
Parantez içerisinde,
(i) Kuvvet alınır.
(ii) Çarpma işlemi veya bölme işlemi yapılır.
(iii) Toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılır.
Örnek
12 ( 15) : 5 4- - - ifadesinde
İşlem önceliğine göre önce bölme işlemi sonra çıkarma işlemi yapılır.
O halde 12 ( 15) : 5 4 12 ( 3) 412 3 415 411bulunur.
- - - = - - -= + -= -=
Örnek
3 2 4( 2) 2 ( 2)- - - - ifadesinde
Önce kuvvet alınıp sonra toplama işlemi yapılır.3 2 4O halde ( 2) 2 ( 2) 8 4 16
28 bulunur.- - - - = - - -
= -
Örnek
[ ]15 ( 10) : (5) 1 : 2 3+ - + + ifadesinde
Önce parantez içindeki işlemler yapılır.
[ ] [ ]O halde 15 ( 10) : (5) 1 : 2 3 15 2 1 : 2 314 : 2 37 310 bulunur.
+ - + + = - + +
= += +=
Örnek
[ ] [ ]018 : ( 3) 3 ( 2) 2004 13 2007- + ⋅ - - ⋅ + ifadesinde
Önce parantez içindeki işlemler yapılır.
[ ] [ ]
[ ]
0
(sýfýrdan farklýbütünsayýlarýn sýfýrýncýkuvveti 1 dir.)
O halde 18 : ( 3) 3( 2) 2004 13 2007
6 6 112 113 bulunur.
- + - - ⋅ +
= - - -
= - -= -
(sıfırdan farklı bütün) sayıların sıfırıncı kuvvetli 1’dir.
RASYONEL SAYILAR
a ve b birer tam sayı, b 0≠ olmak üzere ab
şeklinde yazı-
labilen sayılara rasyonel sayı (kesir) denir.
ab
kesrinde a’ya pay, b’ye payda denir.
RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
Toplama ve Çıkarma İşlemi
Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken ortak payda aynen yazılır. Payları toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır.
a c a cO halde ,b b ba c a c dir.b b b
++ =
-- =
7
Örnek
3 11 58 8 8
+ - ifadesinde
Paydaları eşit olduğu için payları toplanır ve çıkarılır.
3 11 5 3 11 5 14 5O halde8 8 8 8 8
9 bulunur.8
+ - -+ - = =
=
NotRasyonel sayıların paydaları farklı ise önce pay-dalar en küçük katında eşitlenir. Sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
Örnek
3 2 14 3 6
+ + ifadesinde paydalar birbirinden farklıdır.
Bundan dolayı önce kesirlerin paydaları en küçük ortak katları olan 12 de birleştirilir.
O halde(3) (4) (2)
3 2 1 9 8 2 194 3 6 12 12
+ ++ + = = bulunur.
Örnek
1 745 10
- + ifadesinde
Tam sayıların paydaları 1 olarak alınıp işlem yapılır. Do-layısıyla paydalar en küçük katları yani 10 da birleştirilir.
O halde(10) (2)
4 1 7 40 2 7 47 2 45 91 5 10 10 10 10 2
- + -- + = = = = bulunur.
Çarpma İşlemi
Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, payda-lar çarpılıp paydaya yazılır.
Yani a c a cb d b d
⋅⋅ =
⋅dir.
Uyarı!Rasyonel Sayılarda çarpma işleminden önce sayılar sadeleşebiliyorsa mutlaka sa-deleştirilmelidir.
Örnek
1032
1435: ifadesinde
Önce sadeleştirme işlemleri yapılırsa
O halde 3216
10 2
35⋅
7
14 7
16 82
= = bulunur.
Bölme İşlemiRasyonel sayılar bölünürken birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır.
Yani a c a d a d:b d b c b c
⋅= ⋅ =
⋅dir.
Örnek
64 24:21 35
ifadesinde
Birinci kesir yani 6421
aynen yazılır ikinci kesir yani 2435
ters çevrilir çarpılır.
O halde64 24 64:21 35
=8
213
35⋅
5
243
8 5 403 3 9
= ⋅ = bulunur.
Not
Tam sayılarda verilen işlem önceliği rasyonel sa-yılarda da geçerlidir.
Örnek
3 2 134 6 2
- ⋅ + ifadesinde
Önce çarpma işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemi yapılırsa,
(4) (2)
3 2 1 6 13 34 6 2 24 2
3 1 11 4 2
12 1 24
14 14
13 bulunur.4
- ⋅ + = - +
= - +
- +=
-=
=
Örnek
1 1 3 5:4 4 8 8
- + ifadesinde
Önce bölme işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılırsa
1 1 3 5 1 1:4 4 8 8 4 4
- + = -8
⋅2
(6) (8) (3)
53 8
1 2 54 3 8
6 16 1524
5 bulunur.24
+
= - +
- +=
=
8
HARFLİ İFADELER
Bir reel sayı ve a, b, c, x, y, z,… gibi harflerle yazılan ifadelere harfli ifadeler denir.
Örnek
2 2 283x, 17ab, x y z , 4x 5y 2z,...9
- + -
ifadeleri birer harfli ifadedir.
3x ifadesi 3 ve x den oluşan bir harfli ifadedir. -17ab ifadesi -17, a ve b den oluşan bir harfli ifadedir.
TERİM:
Bir harfli ifadede toplama (+) veya çıkarma (-) işlemi ile ayrılan kısımlara terim denir.
Örnek
8x + 13y - 4z ifadesinde 8x birinci terim, 13y ikinci terim -4z üçüncü terim olur.
KATSAYI: Bir harfli ifadenin her bir teriminde bulunan reel sayıya bulunduğu terimin katsayısı denir.
Örnek
3a + 7b + 5c ifadesinde
Birinci terimin katsayısı 3,
İkinci terimin katsayısı 7,
Üçüncü terimin katsayısı 5’tir.
BİLİNMEYEN:
Bir harfli ifadenin her bir teriminde kullanılan x, y, z, a, b, c, … gibi harflere bilinmeyen denir.
Örnek
3x ifadesinin katsayısı 3 ve bilinmeyeni x’dir.
8 ab ifadesinin katsayısı 8 ve bilinmeyenleri a ve b’dir.
BENZER TERİM:
Bir harfli ifadede bilinmeyenler ve bilinmeyenin kuvvetleri eşit ise bu terimlere benzer terim denir. Benzer terimle-rin katsayıları farklı olabilir.
Örnek
4a + 5b2 - 3a - 7b2 ifadesinde
4a ile -3a benzer terim,
5b2 ile -7b2 benzer terimdir.
Örnek
3x + 4xy + 6yx + x2 ifadesinde
4xy ile 6yx benzer terimdir.
3x ile x2 benzer terim değildir.
HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER
Toplama ve Çıkarma İşlemi
Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken benzer olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.
Örnek
3x 7x 2x (3 7 2)x 8x+ - = + - = dir.
Örnek
4a 9b 2a b 4a 2a 9b b6a 8b dir.
+ + - = + + -= +
Örnek
2 3 2 3 2 2 3 3
2 3
x y 5x 3x y 2x x y 3x y 5x 2x2x y 3x dir.
+ - - = - + -
= - +
Çarpma İşlemi
Harfli ifadeler çarpılırken önce katsayıları çarpılır. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri toplanır.
Örnek
1 1 2
2 3 2 3 5
2 4 2 1 4 3 4
5 4 4 5 4 4 9 4
3x 5x 15x 15x8x 6x 48x 48x7x 5xy 35x y 35x y
12x 4x y 48x y 48x y
+
+
+
+
⋅ = =
⋅ = =
⋅ = ⋅ = ⋅
- ⋅ ⋅ = - ⋅ = -
Örnek
2 3 2x(x x 2) x x 2x+ + = + +
2 2(x 3)(2x 5) 2x 5x 6x 15 2x 11x 15+ + = + + + = + +
Bölme İşlemi
Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Son-ra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır.
Örnek
77 3 4
3
16x 2x 2x8x
-= =
3 2 2 1
4 4 3
60x y y 4y415x y x x
-
-
-= - = -
⋅
9
Kuvvet Alma
Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır.
Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuv-vetler çarpılır.
Örnek
2 2 2 2
3 3 3 3 3 9
(3x) 3 x 9x( 5x ) ( 5) (x ) 125 x
= ⋅ =
- = - ⋅ = - ⋅
Uyarı!2 2 2(x y) x y+ ≠ + şeklinde yazılamaz. Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma konusu içerisinde anlatılacaktır.
DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a ve b birer reel sayı olmak üzere ax b 0+ = şeklinde yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinme-yenli denklem denir.
Örnek
3x 7 18+ = birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
4(x 3) 5 2x 18- + = - birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denkle-mi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü ya da kökü denir.
Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çö-züm kümesi denir.
Çözüm Kümesi Bulunurken;
1) Payda eşitlemesi yapılır.
2) Parantezler dağıtılır.
3) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin diğer tarafına alınır.
4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölü-nür.
Uyarı!Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir ta-rafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir.
Örnek
5x 4 11- = ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek için
5x 4 11- = denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır.
Buradan 155x 4 11 5x 15 x 35
- = ⇒ = ⇒ = = bulunur.
Örnek
3(x 2) 4x 3+ = - ifadesindeki
denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin de-ğeri yani x in değeridir.
( )
.
O halde x x x xx x
x bulunur
3 2 4 3 3 6 4 36 3 4 3
9
&
&
+ = − + = −
+ = −
=
Örnek
x x 83 5
+ =
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 15 B) 15 C) { }15- D) { }15 E) { }15, 15-
Çözüm:Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların paydaları eşitlenmelidir.
(15)(5) (3)
x x 8 5x 3x 1203 5 1 15 15
8x 120120x 15 dir.
8
++ = ⇒ =
⇒ =
⇒ = =
Buradan çözüm kümesi { }15 bulunur.
Örnekx 3x 9
2-
- = ise x kaçtır?
A) 22 B) 21 C) 19 D) 17 E) 15
Çözüm:
Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa
(2) (2)
x x 3 9 2x (x 3) 181 2 1 2 2
2x x 3 18x 3 18x 18 3 15 bulunur.
- - -- = ⇒ =
⇒ - + =⇒ + =⇒ = - =
10
Örnek
x 3 2x 1 54 3 12- -
- = ise x kaçtır?
A) -1 B) -2 C) 185
- D) 215
- E) -5
Çözüm:Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa,
(3) (1)(4)
x 3 2x 1 5 3(x 3) 4(2x 1) 54 3 12 12 12
3x 9 8x 4 55x 5 55x 10
10x 2 bulunur.5
- - - - -- = ⇒ =
⇒ - - + =⇒ - - =⇒ - =
⇒ = = --
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c birer reel sayı olmak üzere,
ax by c 0+ + = şeklinde yazılan denklemlere birinci de-receden iki bilinmeyenli denklemler denir.
Örnek
3x 2y 6+ = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denk-lemdir.
x y 15 3 9
+ = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir.
İKİLİa ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan ifadelere ikili denir.
(a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin ikinci bileşeni denir.
Örnek
(3, 4) ifadesinde birinci bileşen 3 ve ikinci bileşen 4’tür.
ÇÖZÜM KÜMESİ:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri (x, y) ikilisi şeklindedir.
Çözüm kümesi { }(x, y) şeklinde yazılır.
İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabil-mesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek yeterlidir.
Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şe-kilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplana-rak bilinmeyenlerden biri yok edilir.
Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak di-ğer bilinmeyenin değeri bulunur.
Örnek
x y 8x y 14
+ =- = denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken
y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri yok etmek daha kolaydır.
x y+ 8
x y+
=
- 14
2x 22x 11 dir.
=
==
x y 14 11 y 14 11 14 y3 y dir.
- = ⇒ - = ⇒ - =⇒ - =
Buradan çözüm kümesi { }(11, 3)- bulunur.
Örnek
x 3y 132x y 6
+ =+ =
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) { }1, 4 B) { }1 C) { }4 D) ( ){ }1, 4 E) ( ){ }4, 1
Çözüm:
Birinci denklem -2 ile çarpılırsa ve ikinci denklemle top-lanırsa x bilinmeyeni yok edilir.
2/ x 3y 132x y 6
2x
- + =+ =
- 6y 26
2x+
- = -
y 6
5y 2020y 4 dür.5
+ =
- = --
= =-
Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılır-sa x 3y 13 x 12 13 x 1+ = ⇒ + = ⇒ = olur.
Burada çözüm kümesi { }(1, 4) bulunur.
SIRALAMA
> (büyük), ≥ (büyük ve eşit)
< (küçük), ≤ (küçük ve eşit)
sembolleriyle yazılan ifadelere eşitsizlik denir.
x > y ifadesi x büyük y
x < y ifadesi x küçük y
şeklinde okunur.
11
Örnek
x > 3, 3'ten büyük sayıları
x ≥ 3, 3 ve 3'ten büyük sayıları
x < 4, 4'ten küçük sayıları
x ≤ 4, 4 ve 4'ten küçük sayıları ifade eder.
Not
1) Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfır-dan uzaklaştıkça büyür. 18 13, 29 37...gibi> <
2) Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. 3 7, 103 93- > - - < -
Örnek
18 ile 13 sayıları sıralarken sıfıra uzaklıklarına bakılmalı-dır. Sıfıra yakın olan sayı 13 küçük, 18 büyüktür.
Yani 18 13> dür.
-13 ile -8 sayılarını sıralarken 0 (sıfır)’a olan uzaklıkla-rına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı yani -8 büyük, -13 küçüktür.
Yani -8 > -13 tür.
EŞİTSİZLİK
a, b birer reel sayı olmak üzere ax b 0+ > şeklinde yazı-lan ifadelere eşitsizlik denir.
Eşitsizlikler denklemlerdeki çözüm yöntemlerine benzer şekilde çözülür.
Eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayı aralıkları şeklinde-dir.
Örnek
x 5 13+ < eşitsizliğinde
x 5 13 x 13 5 x 8+ < ⇒ < - ⇒ < bulunur.
Örnek
2(x 3) 3x 4+ < + eşitsizliğinde ifadeyi düzenleyecek olursak2(x 3) 3x 4 2x 6 3x 4
6 4 3x 2x2 x bulunur.
+ < + ⇒ + < +⇒ - < -⇒ <
Örnek
x 1 x 4 12 3 4- -
- ≥ eşitsizliğinde çözüm aralığı bulunurken
öncelikle payda eşitlemesi yapılır ve ifade düzenlenirse
(6) (3)(4)
x 1 x 4 1 6(x 1) 4(x 4) 32 3 4 12 12
6x 6 4x 16 32x 10 32x 7
7x bulunur.2
- - - - -- ≥ ⇒ ≥
⇒ - - + ≥⇒ + ≥⇒ ≥ -
⇒ ≥ -
ORAN – ORANTI
Aynı türden çoklukların bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
a'nın b'ye oranı ab
şeklinde gösterilir.
ORANTIİki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
ab
ve cd
ayrı ayrı birer orandır. Bu oranlar eşitlenirse
a cb d
= bir orantı olur.
Özellikler
1. a cb d
= şeklinde verilen bir orantıda a d b c⋅ = ⋅ dir.
2. a c kb d
= = ise a b k= ⋅ ve c d k= ⋅ dır.
3. Bir orantıda her bilinmeyen karşısında bulunan reel sayının bir katıdır.
Yani;a cb d
= ise a c k ve b d k (k R) dir.= ⋅ = ⋅ ∈
Örnek
a 3b 5
= orantısında
a'nın karşısında 3 olduğundan a 3 k= ⋅
b'nin karşısında 5 olduğundan b 5 k= ⋅ dır.
Örnek
4x = 9y → orantısında yx
49= yazılabilir.
x in karşısında 9 olduğundan x 9 k= ⋅
y nin karşısında 4 olduğundan y 4 k= ⋅ dır.
12
Örnek
2x y 5 xisex y 3 y
+=
- oranını hesaplayabilmek için
Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılırsa
.
.
x yx y
x y x y
x y dir
O halde yx
yy
bulunur
235 6 3 5 5
88
8
&
&
−+
= + = −
=−
= =−
Örnek
3x 4 3x 5 2
+=
- ifadesinde
Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılır denklem dü-zenlenirse3x 4x 5
+=
-3 2(3x 4) 3(x 5)2
6x 8 3x 153x 23
23x bulunur.3
⇒ + = -
⇒ + = -⇒ = -
⇒ = -
ORTAK PARANTEZE ALMAVerilen ifadelerde ortak olan en küçük kuvvetli terimi pa-ranteze alma işlemine ortak paranteze alma denir.
Örnek
3x + 21 ifadesinde her iki terimde de ortak olan 3 çarpanı olduğundan ifade 3 parantezine alınabilir.
Buradan 3x 21 3(x 7)+ = + bulunur.
Örnek
3 23x 2x+ ifadesinde her iki terimde de ortak olan çarpan 2x olduğundan ifade 2x ortak parantezine alınabilir.
Buradan 3 2 23x 2x x (3x 2)+ = + bulunur.
Örnek
2 5 3 4x y x y+ ifadesinde her iki terimde de ortak olan çar-pan 2 4x y olduğundan ifade 2 4x y ortak parantezine alı-nabilir.
Buradan 2 5 3 4 2 4x y x y x y (y x)+ = + bulunur.
Örnek
98 47 96 47⋅ - ⋅ ifadesinde
47 çarpanı ortak olduğundan ifade 47 ortak parantezine alınabilir.Buradan 98 47 96 47 47(98 96)
47 294 bulunur.
⋅ - ⋅ = -= ⋅=
İki Kare Farkı Özdeşliği
x ve y birer reel sayı olmak üzere 2 2x y (x y) (x y)- = - ⋅ + dir.
Örnek
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
x 1 x 1 (x 1) (x 1)
x 4 x 2 (x 2) (x 2)
x 9 x 3 (x 3) (x 3)
4x 9 (2x) 3 (2x 3) (2x 3)
9x 16y (3x ) (4y) (3x 4y) (3x 4y)
x y ( x ) ( y ) ( x y ) ( x y )
- = - = - ⋅ +
- = - = - ⋅ +
- = - = - ⋅ +
- = - = - ⋅ +
- = - = - ⋅ +
- = - = - ⋅ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x y
x y x y x y x y
9 16 3 4 3 4 3 42 2 2 2
2 2:
:
− = − = − +
− = − = − +
Örnek
6103 972 2-
ifadesinde
Kesrin pay kısmı iki kare farkı olduğundan2 2103 97 (103 97) (103 97)6 6
6
- - ⋅ +=
=2006⋅
200 bulunur.=
Örnek
2 256 54 k 11- = ⋅ ifadesinde
eşitliğin sol tarafı iki kare farkı olduğundan2 256 54 k 11 (56 54) (56 54) 11 k
2 110
- = ⋅ ⇒ - ⋅ + = ⋅
⇒ ⋅10
11= kk 20 bulunur.
⋅⇒ =
Tam Kare Açılımları
x ve y birer reel sayı olmak üzere2 2 2
2 2 2
(x y) x 2xy y(x y) x 2xy y dir.
+ = + +
- = - +
Örnek
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
(x 1) x 2 x 1 1 x 2x 1
(x 2) x 2 x 2 2 x 4x 4
(x 3) x 2 x 3 3 x 6x 9
( x y) x 2 xy y
+ = + ⋅ ⋅ + = + +
- = - ⋅ ⋅ + = - +
+ = + ⋅ ⋅ + = + +
+ = + +
Örnek
( )
( )
( )
( )
x x x
x x x
x x y y x y
x x y y x y
4 4 1 2 1
9 12 4 3 2
4 4 2
2
2 2
2 2
4 2 2 4 2 2 2
6 3 3 6 3 3 2
+ + = +
− + = −
− + = −
− + = −
13
1. ( )3 3 4 211+ − +− c m işleminin sonucu kaçtır?
A) 67 B) 6
1 C) 61- D) 6
7- E) -2
2. ( ) :9 16 4 2− + −6 @ işleminin sonucu kaçtır?
A) 41- B) 0 C) 4
1 D) 31 E) 2
1
3. 4 - 2 : (1 ⋅ 3 - 15 : (-5)) işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 311 C) 4
17 D) 319 E) 7
22
4. -1 + 2 - 3 + 4 ... - 29 işleminin sonucu kaçtır?
A) 15 B) 14 C) -15 D) -25 E) -30
5. ( ) ( )
( )1 3 5
2 3 8 1 2 7- - - -
- - - - -6 @ işleminin sonucu kaçtır?
A) 35 B) 3
4 C) 32 D) 3
1 E) 41
6. ( ) ( ) ( ) ( ) : ( )1 2 3 4 5 3- - - - - - - - -6 @ işleminin sonu-cu kaçtır?
A) -5 B) 51- C) 5
1 D) 3 E) 5
7. ( ) ( ( ))3 2 2 3 132 1: :- - - - -6 @ işleminin sonucu kaçtır?
A) 196 B) 13 C) 131 D) 1 E) -13
8. 88 3
124-
- işleminin sonucu kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 16
9. (-3)0 ⋅ (-2)2 ⋅ (1 - 5)-1 işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 21 C) 0 D) 2
1- E) -1
10. (100 - 1)2 (100 - 2)2 ... (100 - 200)2 işleminin sonucu kaçtır?
A) -101! B) -100! C) 0 D) 101! E) 102!
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
14
11. : : :65
65
74
74
98
98+ + işleminin sonucu kaçtır?
A) 21 B) 4
1 C) 31 D) 2 E) 3
12. 31
41
51
31
41
21− − + − +c m işleminin sonucu kaçtır?
A) 51 B) 10
3 C) 52 D) 5
3 E) 54
13. :21 2
11 2
1
21
21−
+
−+ işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 34 C) 3
8 D) 3 E) 310
14. : ( )
:8 2 321 3 1
3 31
1 31
1:− +
+
+
−
−
J
L
KKKK
eN
P
OOOO
o işleminin sonucu kaçtır?
A) -8 B) -6 C) -4 D) 4 E) 8
15.
543
453
+ işleminin sonucu kaçtır?
A) 21 B) 20
29 C) 1029 D) 10
33 E) 1039
16. − +61
341
921
31:
J
L
KKKK
N
P
OOOO
işleminin sonucu kaçtır?
A) 213 B) 3
25 C) 447 D) 3
43 E) 329
17. :
32
53
71
72
56
34
2 1
− −
+ −−
c
c
m
mişleminin sonucu kaçtır?
A) 6 B) 4 C) 2 D) -3 E) -4
18. 11 2
11 1
1 21
1−−
+ ++
işleminin sonucu kaçtır?
A) 31 B) 3
2 C) 1 D) 23 E) 2
19. ,,
,,
,,
0 90 09
0 30 21
1 80 18 1− + +e o işleminin sonucu kaçtır?
A) 21 B) 3
2 C) 61 D) 3
2- E) 21-
20. ...1 21 1 3
1 1 41 1 12
1+ + + +c c c cm m m m işleminin sonucu
kaçtır?
A) 211 B) 2
13 C) 215 D) 8 E) 2
17
1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. A 9. E 10. C 11. E 12. B 13. C 14. A 15. E 16. C 17. E 18. B 19. A 20. B
15
1. ( )
.bulunur
3 3 4 21 3 3
1 4 21
310
29
620 27
67
( ) ( )2 3
1+ − + = + − +
= − =−
= −
− c c cm m m
Cevap D
2. : : .bulunur9 16 4 2 7 4 2 47 2 4
712
41
( )4
− + − = − = − = − = −6 @
Cevap A
3. : ( ) .bulunur4 2 3 3 4 62
14
62
622
311
( )6
− + = − = − = =
Cevap B
4. Verilen ifade 2 şerli gruplandırılırsa
...
... .bulunur
1 2 3 4 27 28 29
1 1 1 29 14 29 15tane14
1 1 1
− + − + + − + −
+ + + − = − = −
1 2 344 44
1 2 3444 444
SS
Cevap C
5. .bulunur1 3 52 3 8 1 2 7
32 3 2
34
34:
− + −− − + −
=−
−=
−−
=6 @
Cevap B
6. : ( ) : ( ) .bulunur1 2 3 4 5 3 15 3 5+ + + + − = − = −6 @Cevap A
7. ( ) ( ) .bulunur3 2 5 13 13 13 169 131 132 1 2 1: : : :+ = ==− −6 @
Cevap B
8. .bulunur88 3
124 8 8 4
4 8 44 7−
−= −
−= − =
Cevap A
9. ( ) ( ) ( ) .bulunur3 2 1 5 1 4 41 10 2 1: : : :− − − =
−= −−
Cevap E
10. ( ) ( ) ... ( ) ... ( )100 1 100 2 100 100 100 2000
2 2 2 2:− − − −1 2 3444 444
olduğundan ifadenin çarpımı 0’a eşittir.
Cevap C
11. İfadede bölme işlemleri yapılacak olursa
65
56 4
4 98
89
3: : :+ + =7
7 bulunur.
Cevap E
ÇÖZÜMLER
16
12. .bulunur31
41
51
31
41
21
51
21
102 5
103
( ) ( )2 5
− − − + + = − + =− +
=
Cevap B
13.
:
.bulunur
2
2321
21
21 2 3
121
12
12
31
11
36 1 3
38
( ) ( )3 3
:− + = − + = − + =− +
=
Cevap C
14. .bulunur4 37 1
31
31
32
18 1 8:− +
+
+=
−= −
J
L
KKKK
cN
P
OOOO
m
Cevap A
15.
.bulunur
543
453
3 45
53
41
415
203
2078
1039
( )5
: :+ = + = +
= =
Cevap E
16. Verilen ifade düzenlenip, payda eşitlemesi yapılırsa
.bulunur
61
43
29
13
122 9 54
13
447
( ) ( ) ( )2 3 6
: :− + =− +
=
J
L
KK
cN
P
OO
m
Cevap C
17. Verilen ifadenin payı -2 ortak parantezine alınacak olursa
: ( ) : ( ) .bulunur
32
53
71
2 71
53
32
2 2 21 2 2 41 :
− −
− − − += − = − = −−
c m
Cevap E
18. .bulunur1
211 1
231 2 1
232
32− + + = − + =
Cevap B
19. İfadedeki terimler ondalıklı sayılardan kurtarılacak olursa
.
.
olur
bulunur
909
3021
18018 1
101
107
101 1 10
5 1 21
− + +
− + + =−
+ =
c
c
m
m
Cevap A
20. İfade düzenlenip rasyonel sayılarda çarpma işlemi uygulanacak olursa
... .bulunur23
34
45
1213
213
: : =
Cevap B
17
1. A = {FENERBAHÇE} kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11
2. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez?
A) Tek doğal sayılar
B) 12’den küçük tam sayılar
C) 4 ile 5 arasındaki tam sayılar
D) Bazı doğal sayılar
E) Pozitif olmayan sayılar
3. A = {a, {b}, c, {d, e}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Eleman sayısı 4’tür.
B) a, A kümesinin bir elemanıdır.
C) b, A kümesinin bir elemanıdır.
D) {d, e}, A kümesinin bir elemanıdır.
E) c, A kümesinin bir elemanıdır.
4. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) En küçük rakam 1’dir.
B) En küçük pozitif tam sayı 0’dır.
C) En büyük negatif tam sayı -1’dir.
D) En küçük doğal sayı 1’dir.
E) En küçük tam sayı 1’dir.
5. Tam sayılar kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadeler-den hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Sıfır pozitif tam sayıdır.
B) Bütün doğal sayılar aynı zamanda tam sayıdır.
C) Sıfır negatif tam sayıdır.
D) İki tam sayının bölümü yine bir tam sayıdır.
E) Pozitif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının toplamı pozitiftir.
6. 12 - (-5 + 4) işleminin sonucu kaçtır?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
7. 18 : 6 - 4 ⋅ 2 + 3 işleminin sonucu kaçtır?
A) 21 B) 14 C) 8 D) -1 E) -2
8. 22 + 50 - (-1)4 + 118 işleminin sonucu kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
9. [8 - 3 - 15] - [6 - (3 - 2)] işleminin sonucu kaçtır?
A) -15 B) -10 C) -5 D) 5 E) 10
10. 32 - 3-2 işleminin sonucu kaçtır?
A) 980- B) 9
8- C) 8 D) 98 E) 9
80
CEVAPLI TEST - 1
18
11. ( )4 8 9 8 6 42 0 : :− + − −6 6@ @ işleminin sonucu kaçtır?
A) -1 B) -7 C) -14 D) -21 E) -24
12. : :3 2 5 3 611:- -6 @ işleminin sonucu kaçtır?
A) -2 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2
13.
21
4 84
1 :-
-
c m işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 21 C) 4
1 D) 81 E) 16
1
14. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3B) 2 + 2 + 2 = 23
C) 80 = 0
D) (-1)6 = 1
E) 3-2 = -9
15. 85
43
61+ − işleminin sonucu kaçtır?
A) 25 B) 24
29 C) 617 D) 24
25 E) 2423
16. 3518
2714
103
: - işleminin sonucu kaçtır?
A) 51- B) 10
1- C) 151- D) 20
1- E) 301-
17. :2120
4215
31+c m işleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 25 C) 2 D) 2
3 E) 1
18. :34
41
23
32− +c cm m işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 23 C) 1 D) 2
1 E) 31
19. 83
94
56
: : işleminin sonucu kaçtır?
A) 61 B) 5
1 C) 41 D) 3
1 E) 21
20. 3612
4816
7525+ + işleminin sonucu kaçtır?
A) 31 B) 2
1 C) 1 D) 2 E) 3
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. E 8. A 9. A 10. E 11. C 12. B 13. D 14. D 15. B 16. E 17. A 18. D 19. B 20. C
19
1. 12x - 5y + 7xy ifadesinin katsayılar toplamı kaçtır?
A) 24 B) 20 C) 16 D) 14 E) 10
2. A = 6x2 - 4y2 + 6xy - 5
B = 3y2 - 4x2 - 6xy + 7
olduğuna göre, A + B toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x2 + y2 + 2
B) 2x2 - y2 - 2
C) 2x2 - y2 + 2
D) x2 + 2y2 + 2
E) x2 - 2y2 + 2
3. x yx y
yx y
xx
510
24
2 2
4 3
5
2 6
6
6− + ifadesinin eşiti aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) 3x2y - 2x
B) x2y + 2
C) 2x2y - 2
D) 2x2y + 2
E) x2y
4. x - y = 8
x2 - y2 = 96
olduğuna göre, x + y nin değeri kaçtır?
A) 16 B) 14 C) 13 D) 12 E) 10
5. x = y + 4 olduğuna göre, x2 - 2xy + y2 nin değeri kaçtır?
A) 36 B) 32 C) 28 D) 20 E) 16
6. 43 ⋅ 64 + 43 ⋅ 36 işleminin sonucu kaçtır?
A) 43000 B) 4300 C) 430 D) 43 E) 4,3
7. 10052009 12 -
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2008 B) 2416 C) 3016
D) 3416 E) 4016
8. xy - xz = 32
y = z + 4
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16
9. x x47 5
−− = denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) -10 B) -9 C) -8 D) -7 E) -6
10. x - 2(3x - 1) = 4(x - 3) - 10x denkleminin kökü kaçtır?
A) -10 B) -12 C) -13 D) -14 E) -15
CEVAPLI TEST - 2
20
11. x - 2y = 4
2x + y = 13
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-den hangisidir?
A) ,6 1- -^ h" , B) ,6 1-^ h" , C) ,6 1-^ h" , D) ,1 6^ h" , E) ,6 1^ h" ,
12. x ve y doğal sayıdır.
x2 - y2 = 13 olduğuna göre, y kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
13. xx
23 4
34
−+
= olduğuna göre, x kaçtır?
A) -4 B) -3 C) -2 D) 3 E) 4
14. x x2 3
26
35>+ eşitsizliğini sağlayan en küçük tam
sayı değeri kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
15. x = -42
y = -35
z = -40
x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
A) z < y < x B) y < z < x C) y < x < z
D) x < y < z E) x < z < y
16. x ve y tam sayıdır.xy
814
<
< − olmak üzere x - y farkı en az kaçtır?
A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) 21
17. ba
53= ise
a ba b
3 −+
oranı kaçtır?
A) 4 B) 27 C) 3 D) 2 E) 2
3
18. 5x = 4y ise x yx y
2 2
2 2
+
− oranı kaçtır?
A) 257 B) 41
9 C) 2519 D) 41
9- E) 257-
19. a ba b3
37
−+
= olduğuna göre, ba oranı kaçtır?
A) 41 B) 2 C) 4 D) 4
17 E) 5
20. x y3 2= ve 2x + y = 32 olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?
A) 60 B) 66 C) 72 D) 84 E) 96
1. D 2. C 3. B 4. D 5. E 6. B 7. E 8. C 9. B 10. D 11. E 12. B 13. A 14. C 15. E 16. B 17. D 18. D 19. C 20. E
top related