kuliah ke-9 & 10_pa
Post on 18-Jun-2015
170 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 11
VARIABEL RANDOMVARIABEL RANDOM
Random Variables = Chance Variables = Stochastic Variables = Variate
VARIATE
UNIVARIATE
BIVARIATE
MULTIVARIATE
YANG MENENTUKAN MACAM/CORAK DARI VRD ATAU
VRK
X : R{ X() : } Range dari X = RX
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 22
VARIABEL RANDOMVARIABEL RANDOM
EKSPEKTASI
pmf
VRD
FINITE
Nilai-nilai yangmungkin dari
VARIABLE RANDOM
COUNTABLE INFINITE UNCOUNTABLE
VRK
MIXRV
CDF
Grafik
Sifat
Peluang
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 33
KONSEP VARIABEL RANDOMKONSEP VARIABEL RANDOM
Salah satu gagasan yang mendasar dalam probabilitas dan statistika adalah variabel random. Variabel random adalah fungsi dari outcome suatu random eksperimen, dalam bahasa matematis :Variabel random X adalah fungsi yang domainnya sample space ,sedangkan range spacenya Rx subset dari gugus bilangan real.
Secara matematis ditulis : X : RVisualisasinya sebagai berikut : RE
SAMPLE SPACE
RANGE SPACE
RX R
X(2)
1
2
.
.
n
X
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 44
VARIABEL RANDOM DISKRETVARIABEL RANDOM DISKRET
RE : MENGUNCALKAN SMUL, TIGA KALI
= { TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH }
Variabel Random X yang mencacah banyaknya “ heads (h)” dalam RE seperti kondisi diatas :X (TTT) = 0 X (THT) = 1 X (HHT) = 2 X (THH) = 2X (TTH) = 1 X (HTT) = 1 X (HTH) = 2 X (HHH) = 3
Definisi : Variabel Random X adalah fungsi berharga real yang didefinisikan pada sample space
Nilai fungsi disetiap sample point dinyatakan dengan lambang X()Himpunan nilai-nilai { X() : } disebut range/range space, diberi lambang RX pada contoh diatas RX = { 0, 1, 2, 3 }Ini menunjukan salah satu dari contoh VRD. Dinamakan VRD, karenan RS mengambil harga-harga bilangan bulat.
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 55
FUNGSI DISTRIBUSIFUNGSI DISTRIBUSI
VR X DIDEFKAN PADA PS (, S, P)
X : R
E = { : X () x } SProbabilitas dari event E disebut fungsi distribusi kumulatif dari X (cumulative distribution function), atau fungsi distribusi dari X (distribution function), atau fungsi kumulatif dari X (cumulative function),yang dinyatakan dengan lambang F(x). Dengan demikian : F(x) = P (X x), atau F(x) = P [X() x]Sifat-sifat F(x) :
1. 0 ( ) 1F x x R 3. ( )F x fungsi tidakturun
4. ( )F x kontinukawan
2. lim ( ) 1 lim ( ) 0x x
F x dan F x
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 66
KLASIFIKASI VARIABLE RANDOMKLASIFIKASI VARIABLE RANDOM
VR X
DISKRET(discrete)
MIX R V
KONTINU(continuous)
JIKA RANGE/RS
FINITE ATAUCOUNTABLE
JIKA RANGE/RSUNCOUNTABL
E
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 77
FUNGSI PROBABILITAS DARI VRDFUNGSI PROBABILITAS DARI VRD
VR sering dipakai untuk mendiskripsikan EVENTS
EVENT AND ONLY EVENTHAVE A PROBABILITY
EVENT { X = x } probabilitasnya dinyatakan P ( X = x )DEFINISI : Jika X adalah VRD, selanjutnya dikaitkan dengan bilangan
P ( X = xi ) untuk setiap outcome xi RX, i = 1, 2, . . . n, dimana pX (xi) memenuhi :
11. ( ) 0X ip x
11
2. ( ) 1Xi
p x
1 1 1( ) ( ) ( 1)X X Xp x F x F x
1 1( ) ( ) ( )i
X X i Xx x
F x P X x p x
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 88
PROBABILITY MASS FUNCTIONPROBABILITY MASS FUNCTION
FUNGSI pX DISEBUT FUNGSI PROBABILITAS (probability function) atau
FUNGSI PROBABILITAS MASSA/pmf (probability mass function) atau
HUKUM PROBABILITAS DARI VR (probability law)
KOLEKSI DARI PASANGAN [ (xi, pX (xi)), i= 1,2, . . . ] DISEBUT
DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI X (probability distribution)
FUNGSI pX BIASANYA DINYATAKAN DALAM BENTUK : TABULASI,
GRAFIK ATAU MODEL MATEMATIS
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 99
MIX RVMIX RV
Dengan menggunakan bentuk sederhana dari : Lebesque Decomposition Theorem, FX(x) dapat ditulis sebagai jumlah dari dua fungsi sbb:
FX (x) = GX (x) + HX (x)
f. kontinu f. tangga
HX (-) = 0
Jika GX (x) = 0 ∀x, maka X disebut VRDJika HX (x) = 0 , maka X disebut VRK
Kapan X disebut VRC ?
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1010
PROBABILITY DENSITY FUNCTIONPROBABILITY DENSITY FUNCTION
Bagi VRK, fungsi yang menyatakan peranan sama dengan Probability Mass Function disebut pdf (fungsi padat peluang)
Definisi : Variabel random X dikatakan VRK, jika fungsi distribusinya adalah fungsi kontinu sbb :
Dimana ;
Fungsi fX (x) disebut probability density fungsi (pdf) dari VRX. Ingat teorema dasar kalkulus
( ) ( )x
Xxx
d dF f t dt f x
dx d
( ) ( )x
X XF x f t dt
2. ( ) 1Xf t dt
1. ( ) 0Xf t
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1111
PROBABILITY DENSITY FUNCTIONPROBABILITY DENSITY FUNCTION
UNTUK SUATU INTERVAL (a, b)
Untuk VR X maka berlaku hubungan berikut ini :
( ) ( ) ( )b a
X XP a X b f t dt f t dt
( ) ( ) ( )b b
X X Xa a
f t dt f t dt f t dt
( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b P a X b P a X b
( )b
Xa
f t dt
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1212
KAITAN ANTARA PELUANG SUATU EVENT KAITAN ANTARA PELUANG SUATU EVENT DENGAN FDCDENGAN FDC
EVENTEVENT PROBABILITAS EVENTPROBABILITAS EVENT
{ X = a }{ X = a } Tinggi loncatan dari grafik F(x) di x = aTinggi loncatan dari grafik F(x) di x = a
{ a < X }{ a < X } 1 – F(a)1 – F(a)
{ a { a X } X } 1 – F(a) + P{ X = a }1 – F(a) + P{ X = a }
{ X { X b } b } F(b)F(b)
{ X < b }{ X < b } F(b) - P{ X = b }F(b) - P{ X = b }
{ a < X { a < X b } b } F(b) - F(a)F(b) - F(a)
{ a < X < b }{ a < X < b } F(b) - F(a) - P{ X = b }F(b) - F(a) - P{ X = b }
{ a { a X X b } b } F(b) - F(a) + P{ X = a }F(b) - F(a) + P{ X = a }
{ a { a X < b } X < b } F(b) - F(a) + P{ X - a } - P{ X = b }F(b) - F(a) + P{ X - a } - P{ X = b }
ppXX(a) = P { X = a } = tinggi loncatan dari F(x) di x = a(a) = P { X = a } = tinggi loncatan dari F(x) di x = a
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1313
VR
VRD VRK
( ) ( )Xp x P X x
( ) 0
( ) 1x
Sifat pmf
p x
p x
( ) ( )b
a
P a X b f x dx pdfpmf
( ): ( )
( ) 0
dF xSifat pdf f x
dxf x
( ) 1,f x dx
( ) 0P X a
Cumullative dis. function
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1414
( ) ( )F x P X x
( ) ( )t x
F x p t
Grafiknya : Step Function
( ) ( )x
F x f t dt
Grafiknya : Fungsi kontinu
VR CAMPURANMIX - RV
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1515
Contoh Soal :Contoh Soal :
1. Pada RE menguncalkan SMUL tiga kali, diperoleh 1. Pada RE menguncalkan SMUL tiga kali, diperoleh
= { TTT, . . . HHH} yang terdiri 8 sample point yang bersifat = { TTT, . . . HHH} yang terdiri 8 sample point yang bersifat Equally likely. Jika X VR yang menyatakan banyaknya Equally likely. Jika X VR yang menyatakan banyaknya “HEADS”, maka; dapat dicari :“HEADS”, maka; dapat dicari :
a. P (X = 2), a. P (X = 2), b . P (X < 2)b . P (X < 2)
Jika A event yang menyatakan X = 2, maka jelas bahwa A Jika A event yang menyatakan X = 2, maka jelas bahwa A , kenapa?, kenapa?
a). A =( X = 2 ) = {a). A =( X = 2 ) = { : X ( : X () = 2} = { HHT, THH, HTH}) = 2} = { HHT, THH, HTH}
P (X=2) = P (A) = 3/8P (X=2) = P (A) = 3/8
b). Jika B event yang didefinisikan oleh (X<2), maka:b). Jika B event yang didefinisikan oleh (X<2), maka:
B = (X<2) = {B = (X<2) = { : X ( : X () < 2} = { HTT, THT, TTH, TTT}) < 2} = { HTT, THT, TTH, TTT}
P (X < 2 )= P (B) = 1/2P (X < 2 )= P (B) = 1/2
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1616
2. Diberikan fungsi distribusi :2. Diberikan fungsi distribusi :
Contoh Soal :Contoh Soal :
112 2
12
0 ; 0
( ) ; 0
1 ;
x
F x x x
x
Pertanyaan :Pertanyaan :a.a. Skets grafik F(x), periksa apakah F(x) memenuhi sifat dari fungsi Skets grafik F(x), periksa apakah F(x) memenuhi sifat dari fungsi
distribusidistribusib.b. Tentukan nilai dariTentukan nilai dari
c.c. Macam/corak dari VR ?Macam/corak dari VR ?1 1 14 4 4( ); (0 ); ( 0) (0 )P X P X P X dan P X
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1717
Solusi :Solusi :a. a.
Dari grafik F(x), terlihat bahwa Dari grafik F(x), terlihat bahwa 0 0 F(x) F(x) 1 1 F(x) juga merupakan fungsi yang tidak turunF(x) juga merupakan fungsi yang tidak turun F (-F (-) = 0 dan F () = 0 dan F () = 1) = 1 F(x) kontinu kananF(x) kontinu kananDengan demikian F(x) memenuhi sifat dari fungsi distribusiDengan demikian F(x) memenuhi sifat dari fungsi distribusi
0
1/2
1
1/2 1x
F(x)
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1818
b.b.
31 1 1 14 4 4 2 4
31 1 1 14 4 4 2 4
1 12 2
1 14 4
( ) ( )
(0 ) ( ) (0)
( 0) ( 0) ( 0)
(0) (0 ) 0
(0 ) 0 ( 0)
1 1 3
4 2 4
P X F
P X F F
P X P X P X
F F
P X F F P X
c. VR X adalah VR- Campuranc. VR X adalah VR- Campuran
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1919
Contoh Soal :Contoh Soal :
3. Variabel Random X mempunyai fungsi distribusi :3. Variabel Random X mempunyai fungsi distribusi :
12
0 ; 0
( ) ; 0 1
; 1
x
F x x x
k x
Pertanyaan :Pertanyaan :a.a. Tentukan nilai kTentukan nilai kb.b. Macam / corak dari VR XMacam / corak dari VR Xc.c. Tentukan nilai dari :Tentukan nilai dari :
1 12 2( 1); ( 1) ( 2)P X P X dan P X
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2020
Solusi :Solusi :
. 0 ( ) 1, 1a Mengingat F x maka k
12
0 ; 0
. ( ) ; 0 1
1 ; 1
x
b F x x x
x
Coba buat sketsanya Coba buat sketsanya akan terlihat bahwa VR X akan terlihat bahwa VR X adalah VR- Campuranadalah VR- Campuran
31 1 12 2 4 4. ( 1) (1) ( ) 1c P X F F
3 31 1 1 12 2 4 4 2 4( 1) ( 1) ( 1) (1 )P X P X P X F ( 2) 1 ( 2)P X P X
1 (2) 1 1 0F
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2121
Soal - Soal :Soal - Soal :
1. Suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut :1. Suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut :
3 14 4 ; 0
( )0 ;
xx
p xx lainnya
Pertanyaan :Pertanyaan :a. Apakah p(x) merupakan pmf dari VR X ?a. Apakah p(x) merupakan pmf dari VR X ?b. Tentukan nilai dari P(X=2) ; P(X b. Tentukan nilai dari P(X=2) ; P(X 2) ; P (X 2) ; P (X 1) 1)
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2222
Soal - Soal :Soal - Soal :
2. Diketahui VR X dengan pdf sebagai berikut :2. Diketahui VR X dengan pdf sebagai berikut :
0 ;( )
; 0 1 ( konstanta)X
untuk x lainnyaf x
k x x k
Pertanyaan :Pertanyaan :a. Tentukan nilai dari ka. Tentukan nilai dari kb. Tentukan F(x) berikut gambarnyab. Tentukan F(x) berikut gambarnyac. Hitung P (1/4 < X c. Hitung P (1/4 < X 2) 2)
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2323
Soal - Soal :Soal - Soal :
3. Suatu RE, menguncalkan sebuah dadu. Andaikan X VR 3. Suatu RE, menguncalkan sebuah dadu. Andaikan X VR yang menyatakan : 1 bila angka yang muncul pada yang menyatakan : 1 bila angka yang muncul pada dadu adalah genap, dan 0 bila angka yang muncul pada dadu adalah genap, dan 0 bila angka yang muncul pada dadu ganjil.dadu ganjil.
Pertanyaan :Pertanyaan :
a. Range dari Xa. Range dari X
b. Tentukan P (X = 1) dan P (X=0)b. Tentukan P (X = 1) dan P (X=0)
4. Suatu RE menguncalkan smul tiga kali. Tentukan fungsi 4. Suatu RE menguncalkan smul tiga kali. Tentukan fungsi distribusinya!distribusinya!
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2424
Soal - Soal :Soal - Soal :
5. Periksa fungsi dibawah ini manakah yang pmf5. Periksa fungsi dibawah ini manakah yang pmf
319 ( 2) ; 0,1,2,3,4,5
. ( )0 ;
x xa q x
x lainnya
219 ( 2) ; 0,1,2,3,4,5
. ( )0 ;
x xb r x
x lainnya
2119 ( 2) ; 0,1,2,3,4,5
. ( )0 ;
x xc p x
x lainnya
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 2525
Soal - Soal :Soal - Soal :
6. Periksa fungsi dibawah ini mana yang merupakan pdf6. Periksa fungsi dibawah ini mana yang merupakan pdf
12
1
(2 1) 0 2( )
0
x untuk xf x
x lainnya
2
0 2( )
0
x untuk xf x
untuk x lainnya
23
0 2( )
0
x untuk xf x
untuk x lainnya
top related