l i c z b y
Post on 07-Jan-2016
33 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ur. 22 kwietnia 1692 - zm. 5 grudnia 1770
- matematyk szkocki
Zajmował się teorią szeregów nieskończonych
i teorią krzywych algebraicznych trzeciego stopnia
oraz opracował wzór Abrahama de Moivre’a na silnię n!
Liczby Stirlinga zostały wprowadzone przez Jamesa Stirlinga w dziele „Methodus Differentialis” wydanym w Londynie w roku 1730.
- wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu
wartość silni.
Wzór ten daje dobre przybliżenie
dla dużych liczb n.
Formalnie:
dzielimy na:
- opisują ilość sposobów na rozmieszczenie n liczb w k cyklach, oznaczane są symbolem
lub rzadziej używanym symbolem:
Czytamy:
„k cykli n”
Na przykład istnieje 11 różnych sposobów na stworzenie 2 cykli z 4 elementów ( s(4,2)):
[1,2,3] [4], [1,2,4] [3], [1,3,4] [2], [2,3,4] [1],[1,3,2] [4], [1,4,2] [3], [1,4,3] [2], [2,4,3] [1],
[1,2] [3,4], [1,3] [2,4], [1,4] [2,3].
Cykl singletowy (tzn. cykl składający się tylko z jednego elementu) zasadniczo odpowiada zbiorowi singletowemu (zbiór tylko z jednym elementem). Podobnie, 2-cykl odpowiada 2-zbiorowi, ponieważ [A, B] = [B, A], tak jak {A, B} = {B, A}. Ale istnieją różne 3-cykle: [A, B, C] i [A, C, B]. Zauważmy, że 11 par cykli można uzyskać z poprzednio podanych (liczby drugiego rodzaju) siedmiu par zbiorów poprzez stworzenie dwóch cykli z każdego 3-elementowego zbioru.
Przykład 1. Liczba sposobów podziału n obiektów na k niepustych, rozłącznych bloków z cyklicznym uporządkowaniem elementów na każdym bloku.
Przykład 2. Liczba sposobów rozsadzenia n osób przy dokładnie k okrągłych stolikach, jeśli przy stolikach może siedzieć nieograniczona liczba osób i liczy się sposób ich usadzenia przy danym stoliku (czyli to, kto obok kogo siedzi)/elementy zbioru-osoby cykle permutacji-stoliki/Dla lepszego rozróżnienia liczb odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju rozpatrzmy sytuację:Mamy prostokątne stoliki ustawione w rzędzie. Sadzamy przy nich osoby tak, że wszystkie siedzą po tej samej stronie wszystkich stołów (czyli tworzą 'siedzący' szereg). Wtedy: to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna osoba) takich, że przy lewym końcu stolika (z perspektywy siedzących) siedzi najstarsza spośród osób przy tym stoliku, a pozostałe osoby siedzą w dowolnej kolejności po jej prawej stronie. to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna osoba) takich, że osoby przy każdym stoliku siedzą w kolejności od najstarszej (przy lewym końcu stolika) do najmłodszej (przy prawym końcu).
przy założeniach Przyjmuje się, że jeżeli k > n, to
Pochodzenie wzoru rekurencyjnego:
Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga pierwszego rodzaju ilość rozmieszczeń n–liczb w k–cyklach, łatwo jest pokazać pochodzenie rekurencyjnej zależności między nimi. Wystarczy wybrać dowolną liczbę i rozpatrzyć ilość pozostałych cykli. Jeżeli ta liczba była w cyklu, składającym się z jednego elementu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k-1–cyklach, zaś dodanie jednej cyfry następuje w jeden sposób, poprzez stworzenie nowego cyklu. Jeżeli liczba była w liczniejszym cyklu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k–cyklach, zaś dodatkową liczbę można wstawić do dowolnego cyklu w dowolny sposób, czyli "obok" każdej liczby, a liczb jest n-1, co oznacza n-1–sposobów umieszczenia liczby w tym przypadku. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można ustawić w 0 cykli na 0 sposobów, oraz 1 liczbę w 1 cyklu na 1 sposób.
Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju bywają także definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie potęg malejących (silni dolnej) na zwyczajne potęgi:
Przy zamianie normalnych potęg na potęgi rosnące (silnię górną) występuje zależność:
s(n,k)=(n-1) s(n-1,k)+s(n-1,k-1)
11=3 * 3 + 2
Po zastosowaniu podstawowych rekurencji
oraz
(liczby Stirlinga pierwszego rodzaju) (liczby Stirlinga drugiego rodzaju)
poza ich kombinatoryczne znaczenie, czyli uznając, że są prawdziwe dla wszystkich n,k całkowitych przy dodatkowym założeniu S(0,k) = s(0,k) = [k=0] i S(n,0) = s(n,0) =[n=0] otrzymujemy trójkąt Stirlinga dla cykli, który pojawia się powyżej trójkąta Stirlinga dla podzbiorów (i odwrotnie!) za to oba rodzaje liczb Stirlinga powiązane są wyjątkowo prostą zależnością:
s(n,k) = S(-k,-n), dla całkowitych k, n.
- opisują ilość sposobów podziału zbioru n elementowego na k niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, które w sumie dają cały zbiór, zatem opisują ilość k-blokowych partycji zbioru n. (NIEUJEMNE)
Liczby Stirlinga II rodzaju oznaczane są symbolem:
Czytamy:
"k podzbiorów n"
lub: S(n, k)
Spełniają one związek rekurencyjny postaci:
przy założeniach
Przyjmuje się, że jeżeli k > n, to :
Ilekroć poniżej będziemy mówiły o przypisywaniu ludzi do stolików lub do pokoi, to przyjmujemy, że:-osoby są rozróżnialne;-pokoje są rozróżnialne, np. ponumerowane;-stoliki są nierozróżnialne, tzn. identyczne
Przykład 1. Liczba rozmieszczeń n różnych przedmiotów (np. kulek, każda innego koloru) do m identycznych pudełek, gdy zajętych jest dokładnie k pudełek równa się Podobnie : n osób możemy rozsadzić przy dokładnie k stolikach na sposobów, jeśli przy stoliku może siedzieć nieograniczona liczba osób i sposóbich usadzenia przy danym stoliku nie ma znaczenia.
Przykład 2. Liczba będąca iloczynem n różnych liczb pierwszych może być przedstawiona w postaci iloczynu k różnych czynników (niekoniecznie będących liczbami pierwszymi) na sposobów.
Przykład 3. Rozważmy permutacje n liczb. Każda permutacja może byćprzedstawiona w postaci iloczynu rozłącznych cykli. Weźmy tylko te permutacje, których cykle (a konkretnie elementy tych cykli) są uporządkowane w pewien konkretny sposób, np. w porządku rosnącym. Permutacji n liczb spełniających tewłasność i rozkładających się na k cykli jest
Niekiedy liczby Stirlinga drugiego rodzaju są
definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie
normalnych potęg na potęgi malejące (silnię dolną).
Zachodzi wówczas zależność:
" x do m-tej ubywającej "
Dla wykładników mniejszych od 0 silnię dolną definiuje się jako:
m czynników
Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga drugiego rodzaju ilość sposobów podziału zbioru n–elementowego na k–podzbiorów niepustych, łatwo jest uzasadnić rekurencyjną zależność. Rozpatrzymy zbiór n–liczb, i wybierzmy jedną z nich. Jeżeli ta liczba stanowiła jednoelementowy podzbiór, to pozostałe n-1–liczb będzie podzielone na k-1–podzbiorów, zaś jedną liczbę można dodać na jeden sposób, jako kolejny podzbiór. Jeżeli liczba była elementem liczniejszego podzbioru, to pozostałe n-1–liczb zostało podzielone na k–podzbiorów, zaś dodatkową liczbę można dołączyć do każdego z podzbiorów, których jest k. Można to więc w tym przypadku zrobić na dokładnie k–sposobów. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można podzielić na 1 podzbiór na 1 sposób, a także na n–podzbiorów na 1 sposób.
Za pomocą funkcji tworzących udowodnimy teraz jawny wzór na
k
n
* Niech - oznacza liczbę k blokowych partycji zbioru n elementowego, czyli ilość możliwości podziału zbioru n elementowego na k niepustych podzbiorów.
Mamy zbiór n elementowy, musimy utworzyć k niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, które w sumie dadzą nam nowy n elementowy zbiór. Rozpatrzmy np. pierwszy element:
1. może być on sam w którymś podzbiorze, a wtedy reszta (n-1 elementów) będzie rozłożona w k-1 niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, czyli na sposobów.
2. albo być w którymś z k podzbiorów, które zostały wcześniej podzielone na k niepustych podzbiorów, czyli sposobów jest
Sumując te dwa przypadki otrzymujemy:
(1)
( Rekurencja obejmuje również ujemne wartości jak i np. przypadki kiedy k>n, ale wtedy naturalnie =0 )
),( knf
)1,1( knf
),1( knfk
),1()1,1(),( knfkknfknf
),( knf
* Funkcje tworząceMamy możliwość wyboru czy będziemy obliczać funkcję tworzącą po zmiennej k czy n czy k i n jednocześnie (funkcje tworzące wielu zmiennych). My zajmiemy się tylko drugą z nich.Niech:
k
k
k
kn y
k
nyknfyA ),()(
n
n
n
nk x
k
nxknfxB ),()(
kn
kn
kn
kn yxk
nyxknfyxC
,,
),(),(
Funkcja )(xBkCzyli zgodnie z zasadą mnożymy (1) stronami przez i sumujemy po wszystkich n.
nx
n
n
n
nn
n
xknfkxknfxknf ),1()1,1(),(
n
n
n
nk xknfkxxknfxxB 11 ),1()1,1()(
)()()( 1 xkxBxxBxB kkk
)(1
)( 1 xBkx
xxB kk
dla k>0 (przyjmujemy B0 (x)=1) (2)
Zauważamy iż (2) można zapisać jako :
Wyciągnijmy xk i rozłóżmy na ułamki proste
Szukamy teraz współczynników Ai , jeśli pomnożymy przez 1-rx i podstawimy
za , wszystkie
po prawej wyzerują się i znajdziemy Ar
k
i
i
ix
A
kxxx 1 )1()1)...(21)(1(
1
rx
1
k
rii
ir ix
rxAA
kxxx
rx
1 )1(
)1(
)1)...(21)(1(
)1(
)!()!1(
11
rkr
rA
krk
r
Wróćmy do funkcji tworzącej
Szukamy współczynników przy xn w rozwinięciu funkcji , zauważmy że w liczniku występuje xk czyli właściwie szukamy współczynników przy xn-k funkcji
)1)...(21)(1( kxxx
x k
)1)...(21)(1(
1
kxxx Zapiszmy to formalnie:
)1)...(21)(1(
),(kxxx
xxknf
kn
=
)1)...(21)(1(
1
kxxxx kn
k
r
rkn
rx
Ax
1 )1(=
k
r
krkkn
rxrkr
rx
1
1
)1(
1
)!()!1(1
Szukamy współczynnika przy zmiennej x, wszystko co jej nie zawiera to jakby stała czyli można zapisać:
A teraz, wiemy że czyli
k
r
knk
rk
rxx
rkr
r
1
1
)1(
1
)!()!1(1
nn iix
x )1(
1 knkn iix
x )1(
1Zatem:
No i mamy jawny wzór na liczbę k-blokowych partycji zbioru n-elementowego:
k
nknf ),( =
k
r
nrk
rkr
r
1 )!(!1
S(n,k)=S(n-1,k-1)+k S(n-1,k)
7= 1+2*3
Uzasadnienie:
Z każdego n-elementowego zbioru można stworzyć n!/n = (n-1)! różnych n-cykli, n>0. (Istnieje n! permutacji, a każdy n-cykl występuje n razy, bo każdy z jego elementów może być wypisany jako pierwszy.) Zatem otrzymujemy tezę.
Jest to znacznie więcej niż którą otrzymaliśmy w przypadku liczb podzbiorowych Stirlinga.
Uzasadnienie:
Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów. Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami, albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom)
Zatem: s(n,n) = S(n,n) , co daje 1.
Uzasadnienie:
Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów. Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami, albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom). Zatem: s(n,n) = S(n,n) oraz s(n,n-1) = S(n,n-1), co w każdym z przypadków daje 1.
(Liczba sposobów ustawienia n obiektów w n-1 cykli lub podzbiorów odpowiada liczbie sposobów wybrania dwóch obiektów, które będą w tym samym cyklu lub podzbiorze.)
Uzasadnienie:
Ponieważ każda permutacja definiuje układ cykli (i odwrotnie, każdy układ cykli permutację), jest liczbą permutacji n obiektów, które zawierają dokładnie k cykli. Jeżeli zsumujemy ją po wszystkich k, dla całkowitych i nieujemnych n musimy otrzymać całkowitą liczbę permutacji.
Np.: 6+11+6+1=24=4!
Związek liczb Stirlinga i liczb Bella
Liczba Bella dla liczby naturalnej n (ozn: Bn) to liczba podziałów zbioru {1,...,n}.
Bn = S(n,k)
1
1
2
5
15
52
203
877
4140
21147
Związek pomiędzy liczbami Stirlinga II rodzaju i funkcjami z X na Y
Niech X i Y będą zbiorami skończonymi, |X|= n i |Y| = m.
Ile jest wszystkich funkcji całkowitych ze zbioru X w Y ?
|X|
|Y|
Ile jest różnych funkcji całkowitych różnowartościowych ?
m*(m-1)*...*3*2*1
Ile jest funkcji całkowitych z X na Y ?
Zauważmy, że jeśli mamy podział zbioru X na k części, to przypisując tym częściom elementy zbioru Y określamy funkcję z X na Y.
Niech Y będzie zbiorem cztero-elementowym.
X:
1 2 3 4Każdy taki podział determinuje funkcję na zbiór Y określoną jako
f(x)= y1, jeśli x jest elementem niebieskim, f(x)= y2, jeśli x jest czerwony, f(x)= y3, jeśli x jest żółty,
f(x)= y4 , jeśli x jest zielony.
Mamy dokładnie S(n,k) różnych
podziałów zbioru X na k części.
2 3 4 1
k! różnych przypisań wartości
PRZYGOTOWAŁY:
• Edyta Kordowska
• Katarzyna Młodzikowska
• Agnieszka Potaś
top related