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Instituto 9-028 Prof. “Susana Estela Quiroga”. “Profesorado de Educación Primaria” Profesoras: Lara, Lorena- Salgado, Silvana
“La educación es el pasaporte para el futuro, el mañana pertenece a aquellos que se preparan para él hoy”. Malcolm X.
PROFESORAS: SALGADO, Silvana – LARA, Lorena
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CÓMO TRABAJAR EN MATEMÁTICAS
SOBRE TODO TRATA DE ENTENDER
¿Cómo se hace para tratar de entender? Aquí tienes un refrán que te recuerda
la fórmula: “Oigo, y olvido. Veo y recuerdo. Hago y entiendo”.
SABER MATEMÁTICAS ES SABER HACER COSAS CON LO QUE APRENDES
Por eso cuando estudias matemáticas debes tener constantemente tu lapicera
en acción. Repite ejemplos, haz los ejercicios, invéntate otros.
DIBUJA A TU MODO
Representa a tu modo las gráficas, imágenes y esquemas que el texto te va
proporcionando. Hazte tú mismo las que te puedan ayudar a dominar lo que
lees.
LA PREGUNTA ES EL ANZUELO PARA PESCAR EN EL MAR DE LAS IDEAS.
Pregunta. Quien pregunta aprende. Pregunta cuanto antes puedas, aquello que
no entiendas bien. Al profesor, a tus compañeros. Lo que te parezca entender,
coméntalo para asegurarte de que lo entiendes bien.
PARA QUÉ LA MEMORIA EN MATEMÁTICAS
No trates de memorizar nada antes de haber entendido bien a fondo. No trates
de memorizar nada antes de haber experimentado un buen rato con los
objetos que tienes delante. Observa con atención los diferentes pasos por los
que procedes. Esto es lo más interesante que has de tratar que quede en tu
memoria.
APLICA FRECUENTEMENTE LO QUE HAS APRENDIDO
No dejes que las cosas se te oxiden por no usarlas. Cada semana trata de
activar, hacer ejercicios, problemas que tiene que ver con las cosas que esa
semana has aprendido.
MEMORIZA LO QUE ES DE USO CONSTANTE
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Te vendrá bien aprender de memoria alguna que otra fórmula sencilla y de uso
constante, pero nunca trates de retener fórmulas complicadas en la cabeza. Te
equivocarás con frecuencia.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
El conjunto de números naturales N está constituido por los números 1, 2, 3, 4, 5,…,
100,…, n,…, con los cuales contamos, ordenamos y realizamos las operaciones de
adición y multiplicación, siendo el resultado de estas operaciones también un número
natural, no ocurre lo mismo con la sustracción y con la división. Es un conjunto
ordenado, es posible representar a los números naturales en una recta, eligiendo
como origen el cero, que puede ser incluido también en el conjunto, usando en ese
caso el símbolo N0 para denotarlo.
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características:
Es un conjunto infinito.
Tiene primer elemento, no tiene último elemento.
Todo número natural tiene un sucesor, es decir, cada número natural, tiene un
consecutivo.
Todo número natural, salvo el uno, tiene antecesor.
Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por
eso se dice que el conjunto es DISCRETO.
PROPIEDADES:
PROPIEDAD ADICIÓN (+) MULTIPLICACIÓN (.)
De cierre (interna) a + b es un número natural
Ejemplo: 2 N; 3 N y
2 + 3 N
a . b es un número natural
Ejemplo: 2 N; 3 N y
2 . 3 N
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo: 2; 3 y 5 y se verifica que
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
(a . b) . c = a . (b . c)
Ejemplo: 2; 3 y 5 y se verifica que
(2 . 3) . 5 = 2 . (3 . 5) 6 . 5 = 2 . 15
30 = 30
Conmutativa a + b = b + a
Ejemplo: 2 y 3 N y se verifica que
2 + 3 = 5 y 3 + 2 = 5
a . b = b . a
Ejemplo: 2 y 3 N y se verifica que
2 . 3 = 6 y 3 . 2 = 6
Elemento Neutro Existe el 0 (cero) que verifica a + 0 = 0 + a = a
Existe el 1 (uno) que verifica a . 1 = 1 . a = a
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Ejemplo: 2 N y se verifica que 2 + 0 = 0 + 2 = 2
Ejemplo: 2 N y se verifica que
2 . 1 = 1 . 2 = 2
Distributiva del producto respecto de la suma
a . (b + c) = a . b + a . c
Ejemplo: 2, 3 y 5 N y se verifica que 5 . (2 + 3) = 5 . 2 + 5 . 3
5 . 5 = 10 + 15 25 = 25
❖ POTENCIACIÓN:
Es una multiplicación reiterada. Por ejemplo: 4.4.4.4.4.4= 46
De forma general podemos decir que:
an = a . a . a . a . … . a
n-veces
las propiedades de la potenciación de números naturales son:
Producto de potencias de igual base:
an . am = an+m
Cociente de potencias de igual base:
an : am = an-m
Distributiva:
an . bn = (a . b)n
Potencia de otra potencia:
(an)m = an.m
a0 = 1 y a1 = a
SUSTRACCIÓN:
Estamos acostumbrados a pensar en la sustracción como la operación inversa de la
adición. Sin embargo, cuando estamos trabajando con los números naturales, la resta
no siempre tiene solución dentro de este conjunto. O sea, que la ley de cierre no
siempre se cumple cuando restamos.
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Por ejemplo: 2; 3 N pero 2 – 3 N. por este motivo, no puede ser considerada una
operación en N.
Sin embargo podemos definir esta “casi” operación de la siguiente manera:
Dados los números naturales a, b y c decimos que:
a – b = c b + c = a
Se verifica que:
m = n (m – n) = 0
m n (m – n) N*
m n (m – n) N
DIVISIÓN:
Dividir es repartir en partes iguales. La división 30 2 = 15 se interpreta como un
reparto de 30 elementos (dividendo) entre 2 partes (divisor) de manera que a cada una
le corresponde 15 elementos (cociente).
Cuando trabajamos con números naturales pueden ocurrir dos cosas:
1. que una vez efectuado el reparto no sobren elementos. En este caso a la
división la llamamos exacta. (resto cero)
2. cuando no es posible un reparto exacto y sobran algunos elementos, la división
se llama entera. En este tipo de división, además de un cociente obtenemos un
resto. Un ejemplo de este caso: 28 3 = 9 . 3 + 1; aquí podemos formar 3
grupos de 9 elementos y sobra 1 elemento, llamado resto.
Por este motivo, decimos que la división no es cerrada respecto de la división, pues en
algunos casos (división exacta), el resultado cae dentro del conjunto de los naturales y
en otros casos (división entera) no.
❖ RADICACIÓN:
En el caso de los números naturales la extracción de raíces sólo tiene sentido cuando el
radicando es una potencia perfecta. O sea: √16 = 4 tiene sentido en los naturales pues
42 = 16. De la misma forma tenemos, por ejemplo: √83
= 2 pues 23 = 8.
Las propiedades de la radicación de los números naturales son semejantes a la de la
potenciación:
P1: √𝑎 . 𝑏𝑛
= √𝑎𝑛
. √𝑏𝑛
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P2 : √𝑎
𝑏
𝑛 =
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛
P3: √ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛 .𝑚
P4: ( √𝑎𝑛
)n = a
CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
Vimos que con los números naturales no era siempre posible hacer la
sustracción y la división. Como solución a la resta, se define el conjunto de los
números enteros.
Los números enteros también son infinitos.
Al conjunto de los números enteros los denotamos con la letra Z. Así:
Z = {……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,……}
Si excluimos al cero del conjunto de los enteros lo indicamos Z* = {…-2, -1, 1, 2,
3, …}
Podemos representarlos en una recta, así:
-3 -2 -1 0 1 2 3
Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos.
Si un número natural “a” es menor que otro “b”, entonces –a es mayor que –b.
Si a b, entonces –b -a. Por ejemplo: 5 7, entonces -7 -5.
Propiedades de las operaciones con números enteros.
✓ Todo número entero a tiene un opuesto (-a), de tal modo que a + (-a) = 0. Con
esta propiedad podemos definir la resta así: a – b = a + (-b)
✓ las propiedades de las operaciones con números enteros son:
Si a, b y c son números enteros, se verifica:
PROPIEDAD ADICIÓN (+) MULTIPLICACIÓN (.)
De cierre (interna) a + b es un número entero
a . b es un número entero
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Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Conmutativa a + b = b + a
a . b = b . a
Elemento Neutro
Es el 0 (cero), pes, a + 0 = 0 + a = a
Es el 1 (uno), pues, a . 1 = 1 . a = a
Elemento simétrico
El opuesto de a es –a, pues, a + (-a) = 0
No tiene
Distributiva del producto respecto de la suma
a . (b + c) = a . b + a . c
Reglas prácticas para operar con los números enteros
Para sumar números positivos y negativos, agrupamos los unos y los otros,
restamos los resultados y ponemos el signo del que tenga mayor valor
absoluto. Por ejemplo:
7 – 5 -11 + 15 – 17 +3 = 7 + 15 + 3 – 5 -11 – 17 = (7 + 15 + 3) – (5 + 11 + 17) = 25 – 33
= -8
Si un paréntesis va precedido por el signo menos, podemos suprimirlo
cambiando el signo de todos los sumandos que haya adentro. Por ejemplo:
3 – 5 + 8 – (4 – 13 + 6 – 11) – (-3) = 3 – 5 + 8 – 4 + 13 – 6 + 11 + 3 =
= (3 + 8 +13 + 11 + 3) – (5 + 4 + 6) = 23
Para multiplicar números enteros recordemos la regla de los signos
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Signos de los factores Signo del resultado Ejemplo
+ . + + 5 . 7 = 35
+ . - - 3 . (-5) = -15
- . + - (-3) . 4 = -3 . 4 = -12
- . - + (-6) . (-7) = 6 . 7 = 42
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES
El conocimiento de los números fraccionarios es anterior, en muchos siglos, al de los
números negativos y nació de la necesidad de la vida cotidiana para las cuales se
necesita medir, comprar, vender, pesar, etc.
El campo de los números enteros resulta insuficiente, pues el cociente entre dos
números enteros no siempre es otro entero. El cociente a : b de dos números enteros
a y b, solamente será un entero cuando b sea divisor de a. Pero si no es así será un
NÚMERO FRACCIONARIO.
Un número fraccionario tiene muchos símbolos para ser representado.
El conjunto de los números enteros unido al conjunto de todas las fracciones
constituye el conjunto de los NÚMEROS RACIONALES, al que denotamos por Q.
Definición:
Un número racional 𝑎
𝑏 es el cociente de dos números enteros a y b, con b 0,
siendo “a” el numerador y “b” el denominador.
Una fracción es IRREDUCIBLE, cuando el numerador y el denominador son números
primos entre sí.
☺ Q es un conjunto DENSO: entre dos números racionales hay infinitos números
racionales.
☺ Q no tiene sucesores o antecesores.
☺ Las cuatro operaciones elementales son cerradas, es decir, el resultado
obtenido es siempre un número racional.
El número racional 𝑎
𝑏 indica que dividimos en b partes iguales al todo y tomamos a de
esas partes.
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Dado 4
5 éste nos indica que se ha dividido el todo en 5 partes iguales y se han tomado 4
de ellas.
Representación en la recta numérica:
0
Fracciones Equivalentes:
Dos fracciones son equivalentes o iguales si representan la misma cantidad.
Si multiplicamos (o dividimos) el numerador y el denominador de una fracción por un
mismo número, distinto de cero, obtenemos una fracción equivalente a la dada.
Ejemplo: 2
5 y
4
10 representan la misma cantidad
4
10
2
5
Si ambas fracciones representan la misma cantidad, entonces:
2
5 =
4
10 2 . 10 = 5 . 4
2
5 = 0,4
4
10 = 0,4
Dos fracciones 𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑 son equivalentes, si y sólo si, a . d = b . c
Se llama razón entre dos números reales, “a” y “b”, donde b 0, al
cociente exacto del primero por el segundo. El primero recibe el
nombre de antecedente y el segundo consecuente.
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Comparación de fracciones
Dadas dos fracciones 𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑, tal que b 0 y d 0 se define el siguiente orden en el
conjunto de los números naturales: 𝑎
𝑏
𝑐
𝑑 a . d b . c, de la misma manera se
definen para “”, “” y “”.
Por ejemplo: 3
4 <
3
2 3 . 2 4 . 3
Dadas dos fracciones 𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑, puede resultar:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑 ó
𝑎
𝑏 =
𝑐
𝑑 ó
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
Una fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa.
Dadas dos fracciones positivas de igual denominador, es mayor la que tiene
mayor numerador. Por ejemplo: 12
5
7
5
Dadas dos fracciones positivas de igual numerador es mayor la que tiene menor
denominador. Por ejemplo: 8
3
8
5
Dadas dos fracciones positivas con distinto denominador y numerador, se
llevan a fracciones equivalentes con igual denominador (o numerador) para
hacer la comparación. Por ejemplo:
Dadas dos fracciones negativas es mayor aquella cuyo valor absoluto es menor.
Por ejemplo:
Todo número racional puede expresarse como una expresión decimal exacta o
periódica.
Las expresiones decimales exactas y periódicas, pueden expresarse en forma de
fracción.
OPERACIONES EN Q
ADICIÓN:
☺ La adición de varias fracciones con igual denominador es la fracción con
el mismo denominador que aquellas y el numerador es la suma de los
numeradores. 𝑎
𝑏 +
𝑐
𝑏 =
𝑎+𝑐
𝑏
Ejemplo: 4
3 +
7
3 =
4+7
3 =
11
3
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☺ Si las fracciones tienen distinto denominador, se buscan fracciones
equivalentes a las dadas que tengan igual denominador y después se
suman de la forma indicada anteriormente. 𝑎
𝑏 +
𝑐
𝑑 =
𝑎+𝑐
𝑏.𝑑
Ejemplo: 2
3 +
5
4 =
8
12 +
15
12 =
8+15
12 =
23
12
MULTIPLICACIÓN:
☺ La multiplicación de varias fracciones es otra fracción que tiene como
numerador el producto de los numeradores y como denominador el
producto de los denominadores. 𝑎
𝑏 .
𝑐
𝑑 =
𝑎 . 𝑐
𝑏 . 𝑑
Ejemplo: 3
2 .
1
4 =
3 . 1
2 . 4 =
3
8
DIVISIÓN:
☺ La división entre dos fracciones es otra fracción que surge al multiplicar
la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.
Una fracción 𝑎
𝑏 tiene inversa a 0 y su inversa es:
𝑏
𝑎
Luego: 𝑎
𝑏 :
𝑐
𝑑 =
𝑎
𝑏 .
𝑑
𝑐 =
𝑎 . 𝑑
𝑏 . 𝑐
Ejemplo: 4
3 :
1
5 =
4
3 .
5
1 =
4 . 5
3 . 1 =
20
3
NÚMEROS ENTEROS.
Las temperaturas inferiores a 0º C, los números de los subsuelos de un edificio y las
fechas de los acontecimientos históricos ocurridos antes de la era cristiana, no se
pueden escribir con los números naturales. Para representar esos casos se debe
recurrir a los números negativos, que junto con el cero y los positivos forman el
conjunto de los números enteros.
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Marquen con una cruz la opción correcta.
1. En una recta numérica, “m” representa el número:
o m 5000
2500 1250 1000
2. El cociente entre 78 y 0 es:
0 78 no existe
3. El resultado de √144 + 30 + 31 es:
16 18 14
4. El número 40 es divisible por:
Tres Dos y cinco Sólo por cinco
5. Un cálculo equivalente a 3.5 + 42 es:
5+5+5+2.5 5 +4.4 5+5+5+4.4
6. En la división exacta 𝑎: 𝑏 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0, 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎:
𝑏. 𝑐 = 𝑎 𝑎. 𝑐 = 𝑏 Ninguna de las opciones
7. El resultado de (16 + 2): 9 + 3. (2 − 1) es:
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6 5 7
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA INICIAL
Observen los datos de la tabla y respondan:
a) ¿En qué ciudad se registró la
temperatura más baja?
b) ¿En qué ciudad se registró la
temperatura más alta?
c) ¿Cuántos grados de diferencia se
registran entre la máxima y la mínima en Miami?
d) ¿Cuántos grados de diferencia se registran entre la máxima y la mínima en Madrid?
e) ¿Cuántos grados de diferencia se registran entre las mínimas de Paris y Madrid?
1) Escriban el número entero que corresponde a cada situación.
a) El freezer tiene una temperatura de 12º bajo cero.
b) Un avión se desplaza a 8000 m de altura.
c) Esteban debe $200 a su amigo.
d) La napa del agua se encuentra a 8m de profundidad.
e) Se encontraron artesanías cuyo origen se calcula del año 500 a.C.
2) Completen la siguiente tabla.
p q |𝑝| |𝑞| -p -q
-5 -10
8 -7
0 -3
-1 10
2.a. Respondan verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a) Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto.
CIUDAD Tº MÁXIMA (ºC)
Tº MÍNIMA (ºC)
Londres 13 -6
París 19 -3
Miami 24 19
Madrid 12 -6
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b) Existe un número que es su propio opuesto.
c) El opuesto de un número entero es siempre negativo.
d) El valor absoluto de un número entero a veces es negativo.
e) El opuesto del opuesto de un número entero es siempre en mismo número.
3. Resuelvan los siguientes cálculos:
a) 17 − (−8) =
b) −100 + (−90) =
c) −85 + (−19) + (−2) =
d) 4. (−4) =
e) −15: (−5) =
f) (−2). (−2). (−2) =
g) 15.1 ∶ 5 =
4. Resuelvan los siguientes cálculos combinados:
a) (−3)5: (−3)2 − [45: (−9) + 7]2 − 5. (−3) =
b) √164
− (82 + 60): (−5) − [(−2)3]2 =
c) (−1)7. √−83
. √−2435
+ √(62 + 4.6)=
d) (20. 23). (−4) + √100 + (−3)2 =
FRACCIONES Y EXPRESIONES DECIMALES
El resultado de una medición, en general, no se puede expresar con un número entero.
Por ejemplo, la estatura de una persona o la longitud de un objeto son cantidades que
se escriben habitualmente con números que tienen coma. Todo número racional se
puede expresar como fracción o como expresión decimal. De acuerdo con cada
situación en particular, puede resultar más cómodo adoptar una de estas formas de
escritura.
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Marquen con una cruz la opción correcta.
1. El mínimo común múltiplo entre 6 y 15 es:
15 90 30
2. El 25 % de 500 es :
120 125 250
3. La parte del entero que se representó en el dibujo es el
número:
0,2 2 0,02
4. El cociente entre dos números enteros:
Siempre es un número entero
Nunca es un número estero
En algunos casos es un número entero
5. El resultado del cálculo 3,2 . 1000 es:
3200 320 ninguna de las opciones
6. Una expresión equivalente a 42. 4.4 𝑒𝑠:
43 44 45
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA INICIAL
Se realizó una encuesta para averiguar el tipo de transporte con el cual los
alumnos se trasladan al colegio.
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Resuelvan:
a) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?
b) Escriban como fracción la parte total que se traslada en colectivo.
c) ¿Qué porcentaje de los encuestados se traslada en bicicleta?
d) ¿Qué porcentaje de los encuestados no se traslada en auto?
ACTIVIDADES:
1. Escriban la fracción irreducible que representa la parte pintada en cada figura.
2. Resuelvan los siguientes cálculos y expresen el resultado como fracción irreducible.
a) −3
8− (−
1
8) = b)
2
5− (
2
5−
3
5) +
1
5=
c) 1
3− (−
1
7) + (−3) = d)
7
5 .
4
5=
e) 8
4∶
1
2= f)
8
8∶ 4 =
SITUACIONES PARA RESOLVER
3. Ramiro gastó en el kiosco $ 2,50 en un chupetín, $ 6,50 en un chocolate y $10 en un
sándwich. Compró también una gaseosa de $11,80.
0
20
40
60
colectivo bicicleta auto
Can
tid
ad d
e p
ers
on
as
Tipo de transpporte
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a) ¿Cuánto gastó en total?
b) Si pagó con $50. ¿Cuánto recibió de vuelto?
4. Catalina y Mateo están jugando a las cartas. Catalina obtuvo en la primera ronda
320 puntos y en la segunda ronda 250 puntos. Mateo obtuvo 140 puntos en la primera
ronda y 280 en la segunda. Hasta ahora ¿Quién va ganando?
5. Se desea vender un producto con un recargo del 40% sobre el costo del mismo. Si
dicho costo es de $420, ¿Cuál es el precio de venta?
6. El precio de lista de un artículo es $120; por pago al contado, su precio es de $
98,40. ¿Cuál es el porcentaje de descuento?
7.Un fabricante envasa alfajores en bolsas de una docena cada una. Necesita 126
bolsas para envasar la totalidad de los alfajores. Si ahora desea envasarlos en bolsas de
una docena y media cada una. ¿Cuántas bolsas usará para la misma cantidad de
alfajores?
GEOMETRÍA
MEDIR
Es comparar con un patrón que el hombre establece como referencia. Todo lo que se
puede medir recibe el nombre general de Magnitud. A los efectos de favorecer los
intercambios comerciales y el entendimiento en lo que se refiere a las distintas
magnitudes, desde muy antiguo el hombre se vio en la necesidad de crear unidades
que resultaran comunes a los distintos países. Surgió así el SISTEMA INTERNACIONAL
DE MEDIDAS (SI) cuya misión es la de establecer reglas para las distintas unidades, sus
múltiplos y submúltiplos, estableciendo una reglamentación con carácter universal.
SIMELA (SISTEMA MÉTRICO LEGAL ARGENTINO): acepta y toma las unidades, múltiplos
y submúltiplos del SISTEMA INTERNACIONAL (SI). Se tiene así un sistema único.
MEDIDAS DE LONGITUD
Km hm dam m dm cm mm
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MEDIDAS DE MASA
t q mg kg hg dag g dg cg mg
MEDIDAS DE CAPACIDAD
Kl hl dal l dl cl ml
MEDIDAS DE SUPERFICIE
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
MEDIDAS DE VOLUMEN
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
MEDIDAS AGRARIAS
hm2 dam2 m2
hectárea área centiárea
MEDIDAS DE EQUIVALENCIA
Capacidad Volumen Peso
1 kl 1 m3 1t
1l 1 dm3 1 kg
1ml 1 cm3 1g
MEDIDAS DE TIEMPO
1 día = 24 horas …. 1 hora= 60 minutos …. 1 minuto= 60 segundo
Otras unidades son:
La semana: 7 días el año común: 365 días la década: 10 años
La quincena: 15 días el año bisiesto: 366 días el siglo: 100 años
El mes: 30 días el lustro: 5 años el milenio: 1000 años
ÁNGULOS
ANGULOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS. CLASIFICACIÓN
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Un ÁNGULO es la región del plano delimitada por dos semirrectas de origen en común
llamado vértice.
m
mpr p mpr (convexo)
(Cóncavo)
r
El plano queda dividido en dos ángulos: uno cóncavo y el otro convexo.
Un ángulo es cóncavo cuando su amplitud es mayor que 180° y menor que 360°, si no,
es convexo.
Los ángulos convexos también se clasifican según su amplitud.
Amplitud Clasificación
∝̂= 𝟎° Nulo
0° ˂ ∝̂ ˂ 𝟗𝟎° Agudo
∝̂= 𝟗𝟎° Recto
𝟗𝟎°˂ ∝̂ ˂𝟏𝟖𝟎° Obtuso
∝̂= 𝟏𝟖𝟎° Llano
∝̂= 𝟑𝟔𝟎° Un giro
ACTIVIDADES
1) Enumera los ángulos interiores de las siguientes figuras y clasifica.
Figura 1:
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Figura 2:…………………………………………………………………………………………………………………………
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Figura 3:
……………………………………………………………………………………………………………………………….
2) Si un reloj marca las 12.30 hs, ¿Qué forman ambas agujas?
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 90°
�̂� es el complemento de �̂�
∝̂ + �̂� = 90° ∝̂ y �̂� son complementarios
�̂� es el complemento de �̂�
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180°
�̂� es el suplemento de �̂�
∝̂ + �̂� = 180° ∝̂ y �̂� son suplementarios
�̂� es el suplemento de �̂�
ACTIVIDADES
1) Calcular y hallar.
a) El complemento de un ángulo de 27° 37’ 41’’
b) el suplemento de un ángulo de 138° 11´ 36´´
c) La mitad de un ángulo de 61°47´18´´
d) El triple del complemento de un ángulo de 49°27´51´´
ÁNGULOS ADYACENTES Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y los otros dos lados son semirrectas opuestas. 𝜶 𝜷
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando sus lados son semirrectas opuestas. 𝜶 𝜷
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𝜶 ̂ 𝒚 �̂� son adyacentes Los ángulos adyacentes son suplementarios.
𝜶 ̂ 𝒚 �̂� son opuestos por el vértice Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
ACTIVIDADES
1) Calculen la amplitud de todos los ángulos de cada figura.
a) β b)
102° 36` 40`` δ
2) Planteen el cálculo y resuelvan.
a) La mitad del complemento de un ángulo de 27° 9` 16``.
b) El cuádruplo del suplemento de un ángulo de 141° 15``.
c) La quinta parte del complemento de un ángulo de 71° 45 minutos.
3) Coloquen V (verdadero) o F (Falso) según corresponda en cada caso.
a) Un ángulo llano es igual al doble de un recto
b) La suma de dos ángulos obtusos es un ángulo convexo.
c) El complemento de un ángulo nulo es un ángulo recto.
d) La mitad de un ángulo obtuso es un ángulo agudo.
e) La diferencia entre un ángulo llano y uno agudo es un ángulo obtuso.
f) El doble de un ángulo agudo es mayor que un ángulo recto.
g) El suplemento de un ángulo obtuso es un ángulo agudo.
h) La mitad de un ángulo cóncavo es un ángulo obtuso.
α
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TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Completen con el nombre de los elementos del triángulo.
a
b c
Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la amplitud de sus
ángulos.
Escaleno: Los tres lados de distintas medidas
Según sus lados
Isósceles: por los menos dos lados de igual longitud.
Equilátero: Los tres lados de igual longitud.
Rectángulo: Un ángulo recto.
Según sus ángulos Oblicuángulo: Un ángulo Obtuso.
Acutángulo: Los tres ángulos agudos.
ACTIVIDADES
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1) Clasifiquen según sus lados y ángulos cada uno de los siguientes triángulos.
a) b) c)
2) Calculen y respondan.
a) Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 114 cm, ¿Cuál es la longitud de cada
uno de sus lados?
b) Si el perímetro de un triángulo isósceles es de 127 cm y el lado desigual mide 53cm,
¿Cuál es la longitud de cada uno de sus lados de igual longitud?
c) Hallar la amplitud de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si el ángulo
exterior a uno de ellos mide 117° 38` 42``.
d) En un triángulo isósceles cada uno de sus dos lados iguales es 5cm más largo que el
lado desigual y su perímetro es de 76cm. Hallar la longitud de cada lado.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILATEROS
Los cuadriláteros se clasifican según la cantidad de lados opuestos paralelos.
Paralelogramo: dos pares de lados opuestos paralelos.
Trapecio: Un par de lados opuestos paralelos.
Trapezoide: ningún par de lados opuestos paralelos.
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
Lados Opuestos iguales Opuestos iguales
Todos iguales Todos iguales
Ángulos Opuestos iguales y los no opuestos suplementarios
Todos iguales
Opuestos iguales y los no opuestos suplementarios
Todos iguales
Diagonales Se cortan en un punto medio
Son iguales
Son perpendiculares y bisectrices de los
Iguales y perpendiculares
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ángulos que intersecan
ACTIVIDADES
1) Coloquen V (Verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso.
a) Todos los cuadrados son rectángulos.
b) Algunos rectángulos son paralelogramos.
c) Todos los rombos son cuadrados.
d) Algunos paralelogramos son rectángulos.
2) Calculen la amplitud de los ángulos interiores y exteriores de un paralelogramo
cuyos ángulos no opuestos difieren en 50°.
3) Calculen la longitud de cada lado de un paralelogramo cuyo perímetro es de 160 cm
y sus lados no opuestos difieren en 8 cm.
4) Calculen la longitud de la diagonal 𝒂𝒄̅̅̅̅ del rombo abcd de 140 cm de perímetro y
𝒃𝒅̅̅ ̅̅ = 𝟒𝟐𝒄𝒎.
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
Los paralelos de un trapecio de denominan base. La base media es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. La base media es paralela a las bases e igual a su semisuma. Los ángulos que comparten los lados no paralelos son suplementarios.
a b r p d c
PROPIEDADES DEL ROMBOIDE
Un Romboide tiene dos pares de lados consecutivos iguales. Las diagonales son perpendiculares. La diagonal principal es bisectriz de los ángulos que interseca y mediatriz de la diagonal secundaria.
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ACTIVIDADES
1) Hallen la base “x” en el siguiente trapecio.
a) 19cm
x cm
xcm
2) Calculen el perímetro de un trapecio rectángulo cuya altura es 24cm y sus bases
miden 7cm y 17cm.
3) Calculen el perímetro de un romboide cuyos lados no iguales miden 19cm y 26cm.
4) Calculen la amplitud de los ángulos interiores de un romboide cuyos ángulos iguales
tienen una amplitud de 127° cada uno y los otros dos difieren en 12°
5) Coloquen V (verdadero) o F (Falso) según corresponda en cada caso.
a) un paralelogramo que tiene todos sus lados iguales es un cuadrado.
b) Un rombo que tiene todos sus ángulos iguales es un rectángulo.
c) Todos los cuadrados son rombos.
d) un trapecio con sus cuatro lados distintos es un trapezoide.
e) Un paralelogramo puede tener todos sus lados distintos.
f) En un trapecio las bases deben ser distintas.
g) Un romboide tiene las diagonales perpendiculares.
h) Un romboide tiene los lados opuestos paralelos.
PERÍMETROS Y ÁREAS
ACTIVIDADES
1) Hallen la expresión reducida del perímetro y el área de cada figura.
13cm
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a) b)
3n
2n 7n
c) 3n+2 d) 5n
5n 5n 2n+ 5
7n
12n
2) Calculen el área de las siguientes figuras.
a) Un cuadrado de 104 cm de perímetro.
b) Un rectángulo cuya base es el doble que la altura y tiene 78 cm de perímetro.
c) Un cuadrado de 12 cm de diagonal (Aplicando propiedad pitagórica)
d) Un círculo cuya longitud de circunferencia es de 157 cm (𝝅 ≅ 𝟑, 𝟏𝟒).
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
VARIABLE, POBLACIÓN, MUESTRA
Estadística
La Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener
determinada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de
encuestas y se los puede organizar a través de tablas y gráficos para poder entenderlos
y utilizarlos mejor.
Población y muestra
Se denomina población al conjunto de individuos (personas, animales, plantas, cosas,
etc.) que se pretende estudiar estadísticamente. Cuando es difícil estudiar toda la
población, se selecciona una parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser
representativa, es decir debe elegirse de manera tal que del estudio estadístico se
obtengan resultados muy próximos a los que se obtendrán con toda la población. La
muestra es un subconjunto de la población.
Variables estadísticas
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Cada uno de los temas que se estudia de una población o muestra se denomina
variable estadística. Por ejemplo, si se hace una encuesta para averiguar las alturas de
los alumnos de primer año, la variable es “altura de los alumnos de primer año”.
Las variables se clasifican en:
Cualitativas: se miden a partir de datos no numéricos. “Comida preferida de los
alumnos de primer año”.
Cuantitativas: se miden a partir de datos numéricos. Se clasifican en CONTINUAS (se
pueden medir) y DISCRETAS (se pueden contar).
ACTIVIDADES
1) Marquen con una X el tipo de variable en estudio.
Cuantitativa (Discreta- Continua) Cualitativa Cuantitativa (Discreta- Continua)
La edad de los empleados de una empresa.
Cantidad de hijos de las familias de cierto barrio.
Buscador de Internet que utilizan los alumnos de una escuela.
Modelo de automóvil más vendido durante el último año.
Peso de cada uno de los jugadores de un equipo de fútbol.
Película más vista durante el mes de febrero.
Altura de los estudiantes de un curso de secundaria.
2) Lean atentamente y respondan.
Una empresa de programación de juegos para computadora quiere crear un nuevo
producto. Para ello, realiza una encuesta entre los usuarios, de entre 12 y 20 años,
registrados en su sitio web para saber qué tipo de juegos prefieren. Entre las
opciones están los juegos de acción, de estrategia, de cartas, de búsqueda y de
carreras. La encuesta fue respondida por 125 chicos de entre 12 y 14 años, 132
chicos de entre 15 y 17 años y 93 chicos de entre 18 y 20 años.
a. ¿Cuál es la población a la que estará destinado el juego?¿Cuál fue la muestra?
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.
3) Respondan y expliquen las respuestas.
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a. ¿Cuál es el primer paso del trabajo estadístico?
b. La muestra, ¿es parte de la población?
c. Si se quiere conocer el lugar preferido para el viaje de egresados de los 80
alumnos del último año (repartidos en 3 cursos), ¿cuál puede ser una muestra
representativa?
d. Una variable, ¿puede ser cualitativa y cuantitativa a la vez?
RECOLECCIÓN Y ORGANIZACIÓN DE DATOS. TABLAS
Para realizar un estudio estadístico, es necesario usar una serie de herramientas y
técnicas que permitan recolectar la información necesaria. Entre los principales
instrumentos de recolección de datos se encuentran las encuestas, los
cuestionarios, las entrevistas. También se puede recolectar información mediante
la observación directa o experimentos. Luego, los datos obtenidos se pueden
organizar en tablas.
ACTIVIDADES
1) Resuelvan.
Martín hizo una encuesta entre sus compañeros de colegio acerca del cuál es el
club favorito de fútbol de cada uno de ellos y obtuvo los siguientes datos.
River, River, River, Boca, Boca, Racing, Independiente, Racing, River, Boca,
River, River, Boca, Boca, San Lorenzo, Huracán, Racing, Independiente, Boca,
San Lorenzo, Racing, San Lorenzo, Gimnasia, Vélez, River, River, Boca, San
Lorenzo.
a. Completen la tabla.
Equipos River Boca Racing San Lorenzo Independiente otros
Cantidad de compañeros
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.
c. ¿Cuál es el club con mayor cantidad de simpatizantes?
d. ¿Cuántos clubes tienen al menos tres simpatizantes? ¿Cuáles?
2) Completen la tabla y respondan.
El profesor de Matemática está preparando un informe sobre los alumnos de
primer año para presentar junto con la planilla de notas. Las siguientes fueron
obtenidas por los alumnos al finalizar el año.
10 9 9 8 8 8 5 5 4 4 10 8 8 6 6 6 6 8 7 7 10 9 3 6 6 6 10 5
a. Completen la tabla.
Notas 10 9 8 7 6 5 4 3
Cantidad de
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alumnos
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.
c. ¿Cuántos alumnos hay en el curso?
d. Si se aprueba con al menos 7 puntos, ¿cuántos alumnos
aprobaron?¿Cuántos desaprobaron?
e. ¿Cuántos alumnos obtuvieron 8 puntos como mínimo?
f. Si la nota obtenida está entre 4 y 6, los alumnos deben rendir la materia en
diciembre y si es menor que 4, deben rendir en marzo; ¿cuántos alumnos
deben rendir en cada instancia?
FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS
Se denomina frecuencia absoluta (se escribe f) al número de veces que se
repite cada valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es el total
de encuestados.
Se denomina frecuencia relativa (se escribe 𝑓𝑟 ) al cociente entre la frecuencia
absoluta y el total de elementos que forman la muestra. La suma de las
frecuencias relativas es 1.
Si a cada frecuencia relativa expresada en forma decimal se la multiplica por
100, se obtiene el porcentaje de la variable.
𝒇𝒓 =𝒇
𝒏 n es el número de elementos que forman la muestra
Entre los alumnos de primer año de una escuela se tomó una muestra de diez
alumnos para averiguar cuántas materias tenían con calificación debajo de seis.
Los resultados fueron: 0 0 3 4 3 5 4 3 6 5
Cantidad de materias
𝑓 𝑓𝑟 Frecuencia Porcentual
𝑓% 0 2 2
10= 0,2
20%
3 3 3
10= 0,3
30%
4 2 2
10= 0,2
20%
5 2 2
10= 0,2
20%
6 1 1
10= 0,1
10%
Total 10 1 100%
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ACTIVIDADES
1) Resuelvan
Los chicos de 1° año tuvieron que elegir el nombre que los representará en una
competencia intercolegial. Las opciones fueron nombres de pueblos originarios
de la Argentina: Toba (T), Mapuche (M), Wichí (W) y Diaguitas (D). De la
votación se obtuvieron las siguientes respuestas.
M - M – M – W – W – W – M – D – D – T – M – T – D – M – M – M – D – M – M –
W – W – D – D – M – W – M – W – M – T – D – M – M – W – W – W – W – D – T
– T – W.
a. Completen la tabla de frecuencias.
Nombre 𝑓 𝑓𝑟 𝑓%
Toba
Mapuche
Wichí
Diaguitas
Total
b. ¿Qué nombre resultó ganador? ¿Cómo cuenta? ¿Qué porcentaje obtuvo?
c. ¿Qué pueblos obtuvieron como máximo diez votos?
2) Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es posible que la suma total de las frecuencias relativas sea 1,4?
b. ¿Qué significa que un valor de la variable en estudio tenga frecuencia
absoluta igual a 3?
c. Si en un caso de porcentaje de un valor de la variable es 27%, ¿significa
que la frecuencia relativa correspondiente es 2,7?
d. ¿Puede suceder que para un valor de la variable el porcentaje sea
125%?
GRÁFICOS
En muchas situaciones, los datos se pueden leer con mayor facilidad a
través de gráficos. El tipo de gráfico puede variar según la información que
se quiere brindar.
Gráfico circular
Los gráficos circulares o de sectores sirven para mostrar la distribución de
respuestas en relación con el total de resultados obtenidos.
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Se realizó una encuesta para conocer la opinión de 20 personas sobre un
nuevo chocolate.
Es un círculo dividido en sectores. Cada sector representa una parte del total de los
datos. El ángulo central de cada sector se puede obtener, por ejemplo, usando una
regla de tres:
100% 360°
10% 𝑥 = 10 % .360°
100% = 36° corresponde a Excelente.
Gráfico de barras
Los gráficos de barras sirven para comparar la cantidad de datos que corresponden
a cada valor de la variable. Para confeccionar un gráfico de barras, en el eje
horizontal se representan los distintos valores de la variable y en vertical, las
frecuencias absolutas. Luego, se construyen rectángulos del mismo ancho cuya
altura coincide con la frecuencia absoluta del valor de la variable.
2; 10%
4; 20%
4; 20%
10; 50%
Excelente
Regular
Malo
Bueno
0
2
4
6
8
10
12
Excelente Regular Malo Bueno
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Pictogramas
Los pictogramas son gráficos donde se representan cantidades a través de dibujos.
Cada dibujo representa una determinada cantidad.
ACTIVIDADES
1) Resuelvan.
Luego del estreno de una película se realizó una encuesta para conocer la opinión
de los espectadores. Las respuestas fueron las siguientes.
Opinión Excelente Muy buena Buena Regular Mala
Cantidad de personas
20 15 10 15 5
a. ¿De qué tipo de variable se trata? ¿A cuántas personas se encuestó?
b. Realicen un gráfico circular con los datos de la tabla.
2) Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.
Mascota preferida
Cantidad de personas
Perro 30
Gato 24
Peces 8
Aves 10
a. Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.
b. ¿A cuántas personas se encuestó para obtener la información anterior?
Media o promedio, mediana y moda
Promedio
El promedio, también llamado media aritmética (se escribe �̅�), es el resultado de
dividir la suma de todos los valores de la variable por la cantidad de valores que
forman la muestra.
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Se registraron las ventas diarias de gaseosas de 600 ml en determinado quiosco,
durante una semana y se obtuvieron los siguientes datos: 20, 16, 17, 23, 20, 26, 25.
�̅� = 16+17+20+20+23+25+26
7 =
16+17+2.20+23+25+26
7= 21
Moda
La moda (se escribe 𝑀𝑜) es el valor de la variable que aparece más veces, es decir, la
que tiene mayor frecuencia.
En el ejemplo anterior, 𝑀𝑜 = 20.
Mediana
La mediana (se escribe 𝑀𝑒) es el valor de la variable que está ubicada en el lugar
central luego de ordenar todos los datos de menor a mayor. La mediana divide la
muestra de tal forma que deja igual cantidad de datos a su izquierda que a su derecha.
Cuando la cantidad de datos es un número par, la mediana es igual al promedio de los
valores centrales.
Cuando la cantidad de datos n es un número impar, 𝑛+1
2 y nos da el lugar donde se
encontrará a la mediana.
Se deben ordenar las cantidades de gaseosas vendidas en forma creciente o
decreciente.
16 17 20 20 23 25 26
Mediana
ACTIVIDADES
1) Calculen el promedio, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes
grupos de datos.
a. 36, 38, 40, 40, 38, 38, 38, 42, 38, 36, 42, 36, 38, 36
�̅� = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 =
b. 32, 29, 42, 34, 34, 40, 28
�̅� = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 =
20
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2) Juliana, Pablo y Ana han recibido las notas de sus dos primeras evaluaciones.
Juliana obtuvo 7 y 6, Pablo 8 y 5 y Ana, 9 y 6.
a. Si Juliana quiere tener un promedio de 8 y todavía debe rendir dos
evaluaciones más, ¿qué notas tendrá que obtener para alcanzar el
promedio deseado?
b. A Pablo le falta rendir una sola evaluación, ¿puede alcanzar un promedio de
9 con las notas que ya tiene?
c. Si Ana rinde dos evaluaciones más y obtiene un promedio de 7, ¿cuáles son
las notas que obtuvo?
3) Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si la variable es cualitativa, ¿se pueden calcular las tres medidas anteriores?
b. La moda, ¿es el mayor valor que alcanza la variable?
c. ¿Cuál es la medida que divide los datos obtenidos en dos grupos?
d. El promedio, ¿siempre es representativo de los datos?
EXPERIMENTOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD
Experimentos aleatorios
Existen situaciones en donde no se puede anticipar cuál será el resultado. A este tipo
de situaciones, que dependen del azar, se las llama experimentos aleatorios.
Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles
de un experimento. Cada uno de los resultados que forman el espacio muestral se
denomina suceso.
Experimento: tirar un dado y observar el resultado.
Espacio muestral: 1,2,3,4,5,6
Para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, se pueden usar, por
ejemplo, diagramas de árbol y tablas.
En una bolsa se colocan fichas con números de tres cifras distintas formadas por los
dígitos 1, 2, 3. ¿Cuál es el espacio muestral?
1
2
3
3
2
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El espacio muestral está formado por los números: 123, 132, 231, 213, 321, 312.
Probabilidad
En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese
número puede ser 0,1 o cualquier número comprendido entre el 0 y el 1.
Probabilidad de un suceso (p) =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Se tira un dado:
-Todas las caras de un dado tienen la misma probabilidad de salir.
-Es más probable que salga un número par que un divisor de 3.
-Es seguro que salga un número natural menor que 7.
-Es imposible, por ejemplo, que salga el número 10.
ACTIVIDADES
1) Marquen con una X los sucesos que son aleatorios.
a. El número que saldrá al tirar un dado
b. Próximo partido de un campeonato.
c. Que llueva dentro de dos días.
3
2
3
1
1
1
2
2
1
3
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d. Ganar la lotería.
2) Escriban el espacio muestral en cada caso.
a. Se tira un dado.
b. Se tiran dos dados y se suman los puntos.
c. Se lanzan dos monedas.
3) Lean atentamente y calculen la probabilidad en cada caso.
En la ruleta, los números van del 0 al 36 inclusive (el cero está pintado de color
verde y del resto de los números, la mitad son rojos y la mitad, negros).
Calculen la probabilidad de que al arrojar una bola resulte alguno de los
siguientes casos.
a. Un número par.
b. Un número de color rojo.
c. Un número menor que 22.
d. Un múltiplo de 5.
e. Un número mayor que 40.
f. Un número menor o igual que 36.
4) Respondan y expliquen las respuestas.
a. Elegir qué remera usar, ¿es un experimento aleatorio?
b. ¿Puede el resultado de una probabilidad ser 3?
c. ¿En qué caso la probabilidad es igual a 0?
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