la magia de la aritmetica y algebra
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Aritmética y Algebra
Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO
TACNA - PERU
Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATEROLic. VICTOR YAPUCHURA PLATEROLic. VICTOR YAPUCHURA PLATEROLic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO
Aritmética y AlgebraAritmética y AlgebraAritmética y Algebra
ii Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG
DERECHOS RESERVADOS – COPYRIGHT Centro Pre Universitariode la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann – Tacna
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema dealmacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedi-miento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cual-quier otro sin autorización previa y por escrito del Centro Pre Universita-rio
Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.
utorización previa y por escrito del Centro Pre Universit
Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.
almacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedmiento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cua
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miento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cua
Jorge Basadre Grohmann
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Jorge Basadre GrohmannCOPYRIGHT Centro Pre Universitario
Jorge Basadre Grohmann – Tacna
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COPYRIGHT Centro Pre UniversitarioTacna
COPYRIGHT Centro Pre Universitario
Indice iii
INDICEPäg.
ITEORÍA DE CONJUNTOS1. Conjunto 12. Relación de pertenencia 13. Determinación de conjuntos 14. Clases de conjuntos 15. Relaciones entre conjuntos 26. Representación grafica de conjuntos 37. Operaciones entre conjuntos 4
Problemas resueltos (conjuntos) 6Problemas propuestos 13
IISISTEMA DE NUMERACIÓN1. Base de un sistema de numeración 152. Sistema decimal: 153. Principales sistemas de numeración 154. Escritura de un número de cualquier sistema de numeración 165. Escritura literal de los números 166. Número capicúa 167. Descomposición polinómica de un número 168. Descomposición en bloques 179. Conversión de números a diferentes bases 1710. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad 1911. Casos especiales de conversión. 19Problemas resueltos (sistemas de numeración) 20Problemas propuestos 25CUATRO OPERACIONES 261. Suma o adición 262. Resta o Sustracción 263. Multiplicación 284. División: 28
Problemas resueltos (cuatro operaciones) 29Problemas propuestos 34Problemas propuestosProblemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos
4. División:
Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos
Sustracción
Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos
Sustracción3. Multiplicación4. División:
CUATRO OPERACIONESCUATRO OPERACIONES1. Suma o adición2. Resta o Sustracción3. Multiplicación4. División:
Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos
10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad11. Casos especiales de conversión.Problemas resueltos (sistemas de numeración)Problemas propuestosCUATRO OPERACIONES
Conversión de números10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad11. Casos especiales de conversión.Problemas resueltos (sistemas de numeración)Problemas propuestosCUATRO OPERACIONES1. Suma o adición
Sustracción
Descomposición polinómica de un número
a diferentes bases10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad
Descomposición polinómica de un número
a diferentes bases
Descomposición polinómica de un número
Escritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura literal de los números
Descomposición polinómica de un númeroDescomposición en bloques
a diferentes bases10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad
Problemas resueltos (sistemas de numeración)
Escritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónPrincipales sistemas de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeración
4
6
112
iv Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG
IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROSI. DIVISIBILIDAD: 36
1) Divisibilidad de Números: 362) Notación y representación de los múltiplos de un número: 363) Operaciones y Propiedades: 374) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales 375) Criterios de divisibilidad 40
II. NÚMEROS PRIMOS 431. Conceptos Básicos 432. Teorema Fundamental de la Aritmética 453. Estudio de los Divisores de un número entero (N) 45
III. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 461. Máximo Común Divisor (MCD) 462. Mínimo Común Múltiplo (MCM) 483. Propiedades de MCD y MCM 494. Casos especiales 49
Problemas resueltos (propiedad de los números) 50Problemas propuestos 56
IVNÚMEROS FRACCIONARIOS1. Clasificación 58
A. Por comparación de sus términos 58B. Por su denominador: 59
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios 613. Número Decimal 61
Problemas resueltos (números fraccionarios) 63Problemas propuestos 70
VRAZONES Y PROPORCIONESI. RAZONES 72II. PROPORCIONES 72
Proporción Aritmética 72Proporción Geométrica 73
Promedio: 74Propiedades 75Problemas resueltos (razones – proporciones y promedios) 76Problemas propuestos 85Problemas resueltos (razonesProblemas propuestos
Promedio:PropiedadesProblemas resueltos (razonesProblemas propuestos
Proporción AritméticaProporción Geométrica
Promedio:PropiedadesProblemas resueltos (razonesProblemas resueltos (razonesPropiedadesProblemas resueltos (razonesProblemas propuestos
Proporción AritméticaProporción Geométrica
Problemas resueltos (razones
II. PROPORCIONESProporción AritméticaProporción Geométrica
RAZONES Y PROPORCIONESRAZONES Y PROPORCIONES
II. PROPORCIONESProporción AritméticaProporción Geométrica
Problemas resueltos (razonesProblemas propuestos
Problemas resueltos (números fraccionarios)
RAZONES Y PROPORCIONES
Problemas resueltos (números fraccionarios)
RAZONES Y PROPORCIONES
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios
Problemas resueltos (números fraccionarios)
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios
A. Por comparación de sus términos
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios
5056
4949
50
Indice v
VIREGLA DE TRES1. Regla de 3 simple: 872. Regla de 3 Compuesta 88PORCENTAJES 89Aplicación: 90
Problemas resueltos (regla de tres y porcentajes) 91Problemas propuestos 97
VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES YVALOR NUMÉRICOTeoría de exponentes 99Leyes de exponentes 99Ecuaciones exponenciales 101
Problemas resueltos 101Problemas propuestos 108
VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,PRODUCTOS NOTABLES.2. Grado de expresiones algebraicas 1103. Polinomios especiales 1114. Operaciones con expresiones algebraicas 112Productos notables 112
a) Binomio al cuadrado: 112b) Producto de una suma por su diferencia 112c) Binomio al cubo 113d) Trinomio al cuadrado 113e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma 113
o diferencia de cubos. 113f) Producto de dos binomios que tienen un término común 113g) Identidades de Legendre 113h) Identidades de Lagandre 113
Problemas resueltos 113Problemas propuestos 120Problemas propuestosProblemas resueltosProblemas propuestos
Identidades de Lagandre
Problemas resueltosProblemas propuestos
Identidades de Lagandre
Problemas resueltos
Producto de dos binomios que tienen un término comúnProducto de dos binomios que tienen un término comúnIdentidades de Legendre
h) Identidades de Lagandre
Problemas resueltosProblemas propuestos
nomio al cubonomio al cuadrado
Producto de un binomio por un trinomio queda una sumao diferencia de cubos.Producto de dos binomios que tienen un término comúnIdentidades de LegendreProducto de dos binomios que tienen un término común
Producto de una suma por su diferencianomio al cubonomio al cuadrado
Producto de un binomio por un trinomio queda una sumaProducto de un binomio por un trinomio queda una sumao diferencia de c bos.Producto de dos binomios que tienen un término comúnIdentidades de LegendreIdentidades de Lagandre
expresiones algebraicas
Producto de una suma por su diferencia
braicas
Producto de una suma por su diferencia
expresiones alg
Grado de expresiones algebraicasGrado de expresiones algebraicas
expresiones alg braicas
Producto de una suma por su diferencia
Producto de un binomio por un trinomio queda una suma
POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,
braicas
POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,
101108
9999101
979197
vi Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG
IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLESI. División algebraica 122Definición 122Casos de la División: 122Método de Ruffini 124Teorema del resto 124Cocientes notables 124Determinación de un termino cualquiera de un C.N. 125
Problemas resueltos 126Problemas propuestos 132
XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOSFactorización 134Métodos de factorización 1341.- factor común 1342. Método de identidades 1353. Método del aspa 136
a) Aspa simple 136b) Aspa doble 137
4. Método de divisores binomios 1385. Método de artificio de calculo 139
a) Reducción a diferencia de cuadrados 139b) Método de sumas y restas 140c) Cambio de variable: 140
Problemas resueltos 141Problemas propuestos 145
XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓNI. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios 147II. Fracciones algebraicas 147III Simplificación de fracciones 148
Operaciones con fracciones algebraicas 148* suma y resta: 148* multiplicación y división : 148
Problemas resueltos 149Problemas resueltos
* suma y resta:* multiplicación y división :
Problemas resueltos
Simplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas* suma y resta:* multiplicación y división :
Problemas resueltos
Fracciones algebraicasSimplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas
* multiplicación y división :
Fracciones algebraicaSimplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas
SIMPLIFICACIÓNMáximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinFracciones algebraicaSimplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas* suma y resta:* multiplicación y división :
MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCI
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polin
MÁXIMO COMÚN DIVISOR MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCI
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polin
Simplificación de fracciones
Reducción a diferencia de cuadrados
134135136
134134134135
126
Indice viiProblemas propuestos 156
XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONESI. Radicación de expresiones algebraicas 158
Leyes de signos 158Raíz de un monomio 158Raíz cuadrada de un polinomio 159Radicales dobles 160Racionalización 161
II. Verdadero valor de fracciones algebraicas 164III. Ecuaciones 166
Clasificación de las ecuaciones 166Ecuaciones de primer grado 167Ecuaciones de segundo grado 167Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado 168Propiedades de las raíces 168Formación de una ecuación de segundo grado.- 168
IV. Desigualdades e inecuaciones 168Método de los puntos críticos para resolver inecuaciones: 168
Problemas resueltos 171Problemas propuestos 178
XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESValor absoluto 180Relaciones 1821. Pares ordenados, producto cartesiano 1822. Relación 1823. Dominio y rango de relaciones 1834. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 183Funciones 1831. Funciones: 1832. Dominio y rango de una función 1843. Gráfica de funciones 185Composición de funciones 187
Problemas resueltos 187Problemas propuestos 189BIBLIOGRAFÍA 191ProblemasBIBLIOGRAFÍA
Problemas resueltosProblemasBIBLIOGRAFÍA
Composición de funciones
Problemas resueltospropuestos
Composición de funciones
Problemas resueltos
2. Dominio y rango de una función2. Dominio y rango de una función3. Gráfica de funcionesComposición de funciones
Problemas resueltosProblemas propuestosBIBLIOGRAFÍA
Dominio y rango de relaciones4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesi
2. Dominio y rango de una función
Dominio y rango de relaciones4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesi
1. Funciones:2. Dominio y rango de una función3. Gráfica de funcionesComposición de funciones
1. Pares ordenados, producto cartesiano
VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES
1. Pares ordenados, producto cartesiano
4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesi
VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES
do de los puntos críticos para resolver inecuacido de los puntos críticos para resolver inecuaciones:
Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado
168168
167167168168
161164166166167
159160161
PRESENTACIÓN
El Centro Pre-Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Groh-mann que inició sus actividades el 04 de enero de 1988 gracias al empuje desus autoridades y un grupo de docentes
Joven estudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universi-dad es que se ha preparado este texto, que nos ha demandado bastante es-fuerzo humano y material, y que es posible que contenga errores, pero cree-mos que es así como se avanza, y en el camino se irán corrigiendo. Ahora teplanteamos el reto de que sepas responder ante este esfuerzo
Ing. Salomón Ortiz QuintanillaJefe del Centro Pre-Universitario de la UNJBG
se irán corrigiendo. Ahora te
tudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universi-
- 1 -
ITEORIA DE CONJUNTOS
1. CONJUNTO
Agrupación de elementos que tienen características similares. Para simbolizarconjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del con-junto se simbolizan con letras minúsculas: a, b, c, ...... por ejemplo:
upecA ,,,2. RELACION DE PERTENENCIA
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella.
Ejm: Si edcbaA ,,,,
Ag
Af
Ac
Aa
3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
a) Extensión: Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y ca-da uno de sus elementos.
Ejm: Si 4,3,2,1A
b) Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.
Ejm: Si 4, xx
xA
4. CLASES DE CONJUNTOS
b) Conjunto Unitario: Conjunto que tiene un solo elemento.
U
4. CLASES DE CONJUNTOS
b) Conjunto Unitario:
4. CLASES DE CONJUNTOS4. CLASES DE CONJUNTOS
b) Conjunto Unitario:
xx
4. CLASES DE CONJUNTOS
sus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.
Ejm: Si
Comprensión:Comprensión:sus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.
Ejm: Si A
4. CLASES DE CONJUNTOS
Conjunto Unitario:
da uno de sus elementos.
4,3,2,1
Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.
Un conjunto está determinado por comprensión cuando
Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y cda uno de sus elementos.
4A
Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.
3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y cUn conjunto está por extensión cuando se observa todo y c
3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
g
3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y c
A
A
f
A
A
A
A
A
A A
A A
A A
racterísticas similares. Para simbolizarconjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del con-
racterísticas similares. Para simbolizarn-
2 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm:
5
6x4,
A
xxA
c) Conjunto Vacío: Conjunto que no tiene elementos.
Ejm:
A
xxA 5x4,
d) Conjunto Finito: Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-de contar desde el primero hasta el ùtlimo.
Ejm:
501,.....,5,4,3A
501x3,xxA
e) Conjunto Infinitivo: Cuyo número de elemento en ilimitado
....9,8,7,65xNxA
f) Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demásconjuntos, simbolizados por la letra U.
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Inclusión: Se dice que A esta incluido en el conjunto B BA ,
cuando todo elemento de A, pertenece a B.Ejm: Sea
6,43,
6,5,4,3,2,1
B
A
Luego AB pero BA
cuando todo elemento de A, pertenece a B.cuando todo elemento de A, pertenece a B.Ejm: Sea
Inclusión: Se dice que A est
cuando todo elemento de A, pertenece a B.Ejm: Sea
conjuntos, simbolizados por la letra
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se dice que A esta incluido en el conjunto Ba incluido en el conjunto B
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se dice que A est
Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demásconjuntos, simbolizados por la letra
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a incluido en el conjunto B
cuando todo elemento de A, pertenece a B.
7,6
Es aquel conjunto que contiene todos los demás
....9
Cuyo número de elemento en ilimitadoCuyo número de elemento en ilimitado
,8,76
Es aquel conjunto que contiene todos los demás
Cuyo número de elemento en ilimitadoCuyo número de elemento en ilimitadoCuyo número de elemento en ilimitado
Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se puEs aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-
Teoría de Conjuntos 3
b) Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos ele-mentos.
Ejm: Sea
c,b,3,
3,c,b,
aB
aAC = 4,3,2,1
Luego BA pero CA
c) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienenningún elemento en común.
Ejm:
8,76,5,
4,3,2,1
B
AA y B son disjuntos
d) Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que espotencia del conjunto A.
Ejm: Si: A = 4,3,2 Hallar la potencia del conjunto A.
Entonces
AdelsSubconjuto
,4,3,2,4,3,4,2,3,2,4,3,2)A(P
Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 23 = 8 subconjuntos
=>
Donde:n(A): número de elementos A
6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Diagramas de Venn – Euler: Consiste en graficar mediante círculos, elipses,rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjun-
número de subconjuntos de A=2n(A)
Diagramas de Vennrectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conju
6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Diagramas de Venn
6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Diagramas de VennDiagramas de Vennrectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conju
n(A): número de elementos A
6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Donde:n(A): número de elementos ADonde:n(A): número de elementos A
6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
Diagramas de Venn
n(A): número de elementos A
Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 2
n(A): número de elementos A
Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 2
número de subconjuntos de A=2
Subconjuto
,3,
Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:
s
3,4 AdelsSubconjuto
4,34,23,2,4
Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 23Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:
= 8 subconjuntos
2
Hallar la potenciHallar la potenci
es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que eses posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es
Hallar la potencia del conjunto A.
324
Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es
a del conjunto A.
Conjunto formado por todos los sub conjuntos que
A y B son disjuntos
Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es
a del conjunto A.
A y B son disjuntos
Conjunto formado por todos los sub conjuntos que
A y B son disjuntosA y B son disjuntos
Conjunto formado por todos los sub conjuntos que
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen
4 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
tos dados.
U
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Unión B)(A : Conjunto que tiene como elementos a aquellos que
pertenecen al conjunto A y/o a B.
B x AxxBA
Propiedad:
BAB*
BAA*
ABBA*
b) Intersección ( BA ): Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).
B xAxxBA
Propiedad:
B)A(B)(A*
BB)(A*
AB)(A*
ABBA*
c) Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A perono al conjunto B.
B xAxxBA
U
U
no al conjunto B.
A
Diferencia (Ano al conjunto B.
c) Diferencia (Ano al conjunto B.
BA
Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A perono al conjunto B.Diferencia (Ano al conjunto B.
B
x
Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).
B x
Conjunto que tiene como elementos aquelloselementos comunes a ambos).que pertenecen al conjunto A y B. (
Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).
B
Propiedad:
Conjunto que tiene como elementos aquellos
A
Conjunto que tiene como elementos aquellosConjunto que tiene como elementos aquellos
A
BA
A
Conjunto que tiene como elementos aquelloselementos comunes a ambos).
B A
Teoría de Conjuntos 5
Propiedad:
AB)A(B)(A*
BB)(A*
AB)(A*
ABB*A
d) Diferencia Simétrica (A B): Conjunto que tiene como elementos aaquellos que pertenecen al conjunto ( BA ) pero no al conjunto( BA ).
BA xBAxxBA
Propiedad:
A A*
BAB A
disjuntossonB A ySi*
)BA(B)(A*
ABB A*
e) Complemento de un conjunto (A’), (Ac): Conjunto cuyos elementos per-tenecen al universo pero no al conjunto A.
A x UA' xx
Propiedad:
U'*
A)'(A'*
A'A*
UA'A*
Observación:
'')'(*
'')'(*
BABA
BABA
U
U
U
(A
Observación:*
Observación:
(*
(*
BA
AObservación:
')' AObservación:
)'
)'
AB
BA
x
un conjunto (A’), (Atenecen al universo pero no al conjunto A.
x
un conjunto (A’), (Atenecen al universo pero no al conjunto A.
un conjunto (A’), (Atenecen al universo pero no al conjunto A.
un conjunto (A’), (Atenecen al universo pero no al conjunto A.
A x x
A
AB
A*
A
B)
A A
BAB A
sonB A ySi
c): Conjunto cuyos elementos petenecen al universo pero no al conjunto A.
disjuntos
)BA
A
disjuntosson
)BA
A
Conjunto que tiene como elementos a
6 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Nota: El cardinal de un conjunto es número de elementos que tiene unconjunto
* B)n(An(B)n(A)B)n(A*
)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn
PROBLEMAS RESUELTOS (CONJUNTOS)
1. Si: A={ 1, {2}, 3} señale la expresión falsa:A) {2} A B) {{2}} A C) 3 A D) {1,3} A E) {1, {2}} A
Sol.
Elementos1
{2}3
En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un ele-mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto.
Entonces:{2} A es verdadero{{2}} A es verdadero3 A es verdadero{1,3} A es falso por que {1, 3} no es un elemento de A.{1, {2}} A es verdadero
Rpta.: ( D )
2. Sea 331 2mZmmxM . Determinar el cardinal de
P(M).A) 16 B) 18 C) 20 D) 32 E) 24
Solución:Si m = -3 x = (-3+1)2 = 4Si m = -2 x = (-2+1)2 = 1Si m = -1 x = (-1+1)2 = 0Si m = 0 x = (0+1)2 = 1Si m = 1 x = (1+1)2 = 4Si m = 2 x = (2+1)2 = 9Si m = 1Si m = 2Si m = 1Si m = 2
3-2 x = (
Si m = -1 x = (Si m = 0Si m = 1
Si m =Si m =
B) 18
Solución:Si m = -3Si m = -Si m =Si m = 0Si m = 1Si m = 2
x = ( 3+1)x = (
1 2m
C) 20
Zmm
B) 18 C) 20
x = (-3+1)
es falso por que {1,es verdaderoes falso por que {1,es verdadero
es verdaderoes verdaderoes falso por que {1,es verdadero
3m
es falso por que {1, 3} no es un el
mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un comento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un co
es falso por que {1, 3} no es un el
mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un coEn total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un elEn total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un elmento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto.En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un ele-e-
Teoría de Conjuntos 7
Por tanto : M = { 0, 1, 4, 9}
16224Mn
MPn
Rpta.: A
3. De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-tas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódi-co y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es latercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personasleen periódicos?
A) 24 B) 27 C) 31 D) 35 E) 39
72
5
2
3x12
6 x
15Libros
Revistas (25) Periódicos
De la fig:12 + 5 + 2 + 6 + 3x + x + 15 = 72
25 + 4x + 15 =724x = 72 – 40
4x = 32x = 8
leen periódicos:7 + 4x = 7 + 4 x 8= 7 + 32 = 39
Rpta.: (E)
4. Si : 01452
xxZxA
¿Cuántos elementos tiene P(A)?A) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3¿Cuántos eA) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3
4. Si :4. Si :
¿Cuántos e¿Cuántos e¿Cuántos eA) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3
Rpta.: (
Zx
Rpta.: (
xA
¿Cuántos elementos tiene P(A)?
leen periódicos:leen periódicos:
25 + 44x
leen periódicos:
E)
+ x + 15 = 72+ 15 =72
40
+ 15 = 72
LibrosLibros
12 + 5 + 2 + 6 + 3x + + 15 = 72+ 15 =72
40
Libros
y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódco y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es latercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personas
De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódi-
co y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es la
8 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sol.:x2 + 5X – 14 = 0
( x + 7 ) ( x – 2 ) = 0x = -7 x = 2
A = {-7 , 2}
422
)(APn
Rpta.: (B)
5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos:
01
11
1
06
2
2
xxRxA
x
xRxB
xxRxA
Son unitarios?A) A y B B) A y C C) B y C D) Sólo A E) Sólo BSol.:
*
023
06
062
xx
xx
xx
23 xx
4x R*
11
111
1
11
1
11
1
2
2
x
xx
xx
x
x
x
*
2x
x
x
x
0
x
x
023
62
xx
2x
4
6
066
D) Sólo A
06
6
D) Sólo AD) Sólo AD) Sólo A E) Sólo BE) Sólo B
Teoría de Conjuntos 9
2x R
*
Rx
x
xx
2
311.2
1.1.411
012
C
Rpta. : A
6. Si: Zy,Zxyx20yxyxA 222 ,,
Hallar el número de elementos del conjunto A.A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4Sol.:*
245
045
020
20
20
22
22
24
222
222
y
yy
yy
yy
yy
y xyx
no
Si : y = 2 x = 4y = -2 x = 4
A = { (4,2) (4, -2)}
n(A) = 2Rpta. : ( C )
7. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?7. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?
A = { (4,2) (4,
¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?
A = { (4,2) (4,
= 2
=y = 2
A = { (4,2) (4,
n(A) = 2
¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?
y
no
x = 4x = 4
y
y
= 2 = 42
A = { (4,2) (4, -2)}
y Zy
10 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
A B
C
A) (A B) - C B) C (A B)’C) (A B) - C D) A B CE) (A B) C’
Sol.:
A
8
B
C
14 7
3 62
5
U
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}
Parte sombreada = {2, 6}
* (A B) – C = ???A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}(A B) – C = {1, 4, 5, 7} No
* (A B)= {3, 4, 5}(A B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}C (A B)’ = {2, 6} Si
Los demás no son.Rpta. B
8. Si: A B y A D=Si: A B y A
Los demásRpta. B
Si: A
Los demás
8.
Los demásRpta. B
Si: A B y A
B)= {3, 4, 5}B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}
B)’ = {2, 6} Sino son.
(A B)= {3, 4, 5}(A B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}
B)(A B) – C = {1, 4, 5, 7} No
(A B)= {3, 4, 5}(A B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}C (A B)’ = {2, 6} Si
Los demás no son.
B y A
B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}
C = ???B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C = {2, 3, 6}C = {1, 4, 5, 7} NoC = {1, 4, 5, 7} No
Parte sombreada = {2, 6}
C = ???B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C = {2, 3, 6}C = {1, 4, 5, 7} No
B)= {3, 4, 5}B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}
Teoría de Conjuntos 11
Simplificar: DABBDA ''
A) A B B) A C) B D) E) D BSol.:Gráficamente:
U
A
BD
Entonces: DABBDA ''
B
B
ABBA '
Rpta. ( C )
9. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:* Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos
de C = P(A) P(B) es 12.
* Si 1n1-Z,n1nA 2 entonces el n(A) es 3
* Si A B = , entonces A = B =
A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVVSol.:* Como: n (A) = 2 n[P(A)] = 22 = 4
n(B) = 3 n[P(B)] = 23 = 8
Para que P(A) P(B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en estecaso comparten el conjunto vacío.
Falso11184
1PmPnn BAC )()()(
* Determinación de A:*
184
P A)(
Determinación de A:
caso comparten el conjunto vacío.n C)(
Para que Pcaso comparten el conjunto vacío.
4
PnC)
Determinación de A:
n (A)
n[P(B)] = 2
P(B)
caso comparten el conjunto vacío.sea máximo deberían ser disjuntos, pero en este
A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV
(A) = 2
(B) = 3 ] = 23 = 8
Para que P(A) (B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en estecaso comparten el conjunto vacío.
Pm B(
entonces el n(A) es 3
A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV
entonces el n(A) es 3
A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV
, entonces A =
Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosP(B) es 12.
1n entonces el n(A) es 3
, entonces A = B =
A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV
] = 22
Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos
entonces el n(A) es 3
Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosSi : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosHallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosHallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos
entonces el n(A) es 3
Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosSi : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos
12 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
,- A,,
nZnnA
01010
111011
111
222
2
,,
;
n(A) = 2 Falso
* A B = cuando A y B son conjuntos disjuntos. Por tanto nonecesariamente A = B =
FalsoEn conclusión es: FFFRpta.: B
10. Para a, b Z ; F y G son conjuntos tales que G . F G es un conjuntounitario:F = {a2 + 2b , b2 + 1} yF G = {a + 4b , b + 1 – 3a}Hallar F BA) B){0} C) {10} D) {1} E) {-1}
Sol.:
Si F G es unitario, entonces F también es unitario, así:a2 + 2b = b2 + 1
a = b - 2b + 1a = ( b - 1 )
2 2
2 2
a = b-1 ......... 1
a = -b + 1 ......... 2Además, de F G:a + 4 b = b + 1 – 3a 4a + 3 b = 1 …………….
de
27
134333
75
72 ba
a
ba
ba
No cumple las condiciones dadas a, b Z.No cumple las condiciones dadas a, b
a
No cumple las condiciones dadas a, b
7
a
No cumple las condiciones dadas a, b75b
No cumple las condiciones dadas a, b
2
1
27
1333
72
a
ba
b
No cumple las condiciones dadas a, b
a = -b + 1 ......... 2
4a + 3 b = 1 …………….
a = b-1 ......... 1
a = -b + 1 ......... 2
a = b-1 ......... 1
G es unitario, entonces F también es unitario, así:
a = b-1 ......... 1
a = -b + 1 ......... 2
4a + 3 b = 1 …………….
G es unitario, entonces F también es unitario, así:
D) {1}D) {1}
G es unitario, entonces F también es unitario, así:
D) {1} E) {-1}
G es un conjuntoG es un conjuntoG es un conjunto
Teoría de Conjuntos 13
de y :
1023
1314
GFa
b
bb
Rpta.: ( C )
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen,24 parecieran ciegos por que no miran a la pizarra; de éstos últimos 5no hablan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguencon la mirada la clase en la pizarra?A) 6 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5
2. 200 personas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, nata-ción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losque practican únicamente dos de los deportes es el doble de los quepractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican los cuatro deportes?.A) 12 B) 10 C) 8 D) 15 E) 17
3. Sean los conjuntos 4;3;2;1A y 3;2B entonces se dice que Ay B son:
A) Iguales B) Comparables C) Equivalentes D) Disjuntos E) N.A.
4. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gus-tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gustan manzanay piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas en-cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10% B) 15% C) 8% D) 12% E) N.A.
5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba laEn una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la
cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10%cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10%
5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la
tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% guy piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas ecuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.
B) 15%
tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% guy piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas e
El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo queEl resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que60% gustan manzana,tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% guy piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas ecuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10% B) 15%
En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la
y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas e
B) Comparables C) Equivalentes
El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gu
El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que
os conjuntos A
B) Comparables C) Equivalentes
El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gu
tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gu
D) 15 E) 17
4;3 y
E) 17
B
otras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personasotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican los cuatro deportes?.
D) 15 E) 17
3 y 3;2B
B) Comparables C) Equivalentes
practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personasotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personasotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas
los deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; loslos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losente dos de los deportes es el doble de los que
practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas
E) 17
los deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losente dos de los deportes es el doble de los que
practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas
rsonas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, natción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; los
rsonas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, natción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; los
ente dos de los deportes es el doble de los quepractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican a
rsonas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, natción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; los
blan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguen
rsonas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, nata-ción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres de
De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen,mos 5
14 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
matemática, 50 eran mujeres que si les gustaba; si el número de hom-bres que gustaban de la matemática es la tercera parte de las mujeresque no gustaban de la matemática, ¿A cuántos les gustaban la ma-temática?A) 30 B) 50 C) 55 D) 60 E) N.A.
6. Si: 4;3;2;1A . El enunciado verdadero es:
A) )(4 AP B) A2 C) A3;2 D) A3 E) A2;1
7. Si X, Y y Z son conjuntos tales que ZYX . Simplificar:)()()()( XYZYXZYZX
A) X B) Z C) Y D) U E)
8. De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y53 no siguen el curso de Aritmética; si 27 alumnos, no siguenAritmética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno detales cursos.
A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 26
9. A y B conjuntos tal que: 17)( BAn ; 256)( BAPn ;
4)( ABPn ; Hallar: BAPn (A) 2 B) 4 C) 28 D) 64 E) 32
10. Dado los siguientes conjuntos iguales:
1;1
2;4
27;8
2;1
yzD
yC
xB
xxA
Calcular E = x + y + z.A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11A) 7Calcular E = x + y + z.A) 7Calcular E = x + y + z.
C) 9
;1 y
Calcular E = x + y + z.B) 8
1;1
2;
yz
y
Calcular E = x + y + z.A) 7 B) 8Calcular E = x + y + z.
Dado los siguientes conjuntos iguales:
2
Dado los siguientes conjuntos iguales:
27
Calcular E = x + y + z.
B
E) 32
Dado los siguientes conjuntos iguales:
D) 64
1717) ;
B
E) 32
Dado los siguientes conjuntos iguales:
( BAP 256)( BAPn
mética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno dee Aritmética; si 27 alumnos, no siguen
mética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno de
De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra ye Aritmética; si 27 alumnos, no siguen
mética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno de
De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y
mética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno de
De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra ye Aritmética; si 27 alumnos, no siguen
- 15 -
IISISTEMA DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad, conel fin de buena lectura y escritura de los números.
1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓNSe llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman paraformar una unidad del orden superior.
Ejem. )(nabcd SistemadelBase:n
2. SISTEMA DECIMAL:Cuando la base del sistema es diez
Ejm: 3524
3. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION
BASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES23456789
101112...
BinariosTernarioCuaternarioQuinarioSenarioEptalOctalNonarioDecimalUndecimalDuodecimal...
0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β...
α =10β=12
=12
.
.
.
Duodecimal
.
12.
10101112
.
.
DecimalUndecimalDuodecimal..
SenarioEptalOctalNonarioDecimalUndecimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
OctalNonarioDecimalUndecimalDuodecimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β
QuinarioSenario
0, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 5
0, 10, 1, 2
CIFRAS DISPONIBLES0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION
CIFRAS DISPONIBLES
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIONPRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION
CIFRAS DISPONIBLES
Se llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman para
16 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
4. ESCRITURA DE UN NUMERO DE CUALQUIER SISTEMA DE NUMERA-CION
Base 10: 345, 32 etcBase 2 : 10(2), 1101(2) etcBase 6 : 321(6), 4251(6) etcBase 12: 97(12), 59 (12) etc
5. ESCRITURA LITERAL DE LOS NÚMEROS
:ab número de 2 cifras (10, 11, .........., 99)
:abc número de 3 cifras (100, 101, 102 ...., 999)
:aa número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99)
:27ab número de 4 que comienzan en 27.
6. NÚMERO CAPICÚA:Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenigual por ambos lados” .
Ejem. 44, 121, 363, 4554, 31213, etc
7. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus ci-fras de dicho número.
Sea:cifrasm
xyz.......abcdN (n)
Descomponiendo en forma polinómica es:
znynxncnbnaNmmm
............2321
Ejm:* 3123(4) = 3 x 43 + 1 x 42 + 2 x 4 + 3
* cnbnaabc n ..)(2
* babaab 1010.* ab
Ejm:
ab
3123(4) = 3 x 4
)
nbnmm
.1
* 3123
* abc n)(
aab
Descomponiendo en forma polinómica es:
nm
cifrasm
.......abcd
Descomponiendo en forma polinómica es:
ncmm
.32
Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cEs expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cEs expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cDESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cDESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus c
Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenNúmero cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenNúmero cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leen
número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99)
Sistema de Numeración 17
8. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:Se llamará “bloque” a un grupo de cifras.Ejm.
Descompongamos abcd en bloques
cdababcd2
10.
Descompongamos abab en bloques
cdababab2
10
9. CONVERSIÓN DE NÚMEROS A DIFERENTES BASESa) CASO 1: De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema de-
cimal)Ejm: Convertir 321, al sistema decimal
Por descomposición polinómica321(5) = 3x52 + 2x5+1 = 75+10+1 = 86321(5) = 86Por Ruffini
5
3 2 1
15 85
3 17 86
321(5) = 86
b) CASO 2: Del sistema Decimal a un sistema de base “n”Ejm:
Convertir 329 al sistema quinarioPor divisiones sucesivas
32’9655
55
51515
1310
302925
4 03
2
)(52304329
Convertir 329 al sistema quinarioPor divisiones sucesivas
32’930
5
Del sistema Decimal a un sistema de base “n”
Convertir 329 al sistema quinarioPor divisiones sucesivas
32’930
29
321(5)
Del sistema Decimal a un sistema de base “n”
= 86
Del sistema Decimal a un sistema de base “n”
3
321(5) = 86
Del sistema Decimal a un sistema de base “n”
Convertir 329 al sistema quinarioPor divisiones sucesivas
15 85
86
2 1
15 85
17
+ 2x5+1 = 75+10+1 = 86Por descomposición polinómica
+ 2x5+1 = 75+10+1 = 86
De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema dDe un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema dDe un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema de-
18 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
c) CASO 3: De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde.10mn
- El primer paso, es transformar la base “n” a base 10.- El segundo paso, es transformar el número obtenido a base “m”
Ejm: Convertir 341 (5) a base 3
- 341 (5) = 3x52 + 4 x 5 + 1 = 75+20+1=96 341(5) = 96-
96=10120(3)
9696 32
30 10 9 3
3
33
330
21 1
0
341(5) = 10120 (3)
Reglas PrácticasTodas las cifras son menores que la base: cifra < Base
Ejm: )(823 ba 8b8a
Si un número se expresa en dos sistemas distintos:
341(5) = 10120(3)
Vemos que:A número Mayor Base Mayor
A número Menor Base Menor
Es decir: 203(n) = 104 (m) => n < m
Base n Base m
Base 10
A número Menor
Es decir:
Vemos que:Vemos que:
Es decir:
(5) = 10120
A número Mayor
A número Menor
341
Si un número se expresa en dos sistemas distintos:
341(5)
Vemos que:A número Mayor
A número Menor
(3)
Todas las cifras son menores que la base:
)(823 ba
Si un número se expresa en dos sistemas distintos:Si un número se expresa en dos sistemas distintos:
Todas las cifras son menores que la base:
Ejm: 3a
Si un número se expresa en dos sistemas distintos:
= 10120(3)
= 10120
Todas las cifras son menores que la base:
310
(5) = 10120 (3)
Todas las cifras son menores que la base:
31
3 3 3 3
331
96=10120(3)
341341(5) = 96
Sistema de Numeración 19
10. CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUELA UNIDAD
CASO 1: De base “n” a base 10
43210 ndncnbnaabcd n ...., )(
Ejm: Convertir: 0,32(n) a base 10
0,32(4) = 3 x 4-1+2 x 4-2
8
7
16
14
16
2124
2
4
32
875,032,0 )4(
CASO 2: De base 10 a base n
Convertir: 0,390625 a base 4
Se multiplica sólo la parte decimal
0.390625 x 4 = 1,56250,5625 x 4 = 2,250,25 x 4 = 1,00
(4)0,1210,390625
11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN.
a) De base n a base nk
Dado el número en base n se le separa en grupos de K cifras a par-tir de la derechatir de la derecha
CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN
De base n a base nDado el número en base n se
CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN
a) De base n a base nDado el número en base n setir de la derecha
0,25 x 4 =
0,390625
0.390625 x 4 =0,5625 x 4 =0,25 x 4 =
0,390625
CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN
Se multiplica sólo la parte decimal
0.390625 x 4 = 1,5625,25
Se multiplica sólo la parte decimalSe multiplica sólo la parte decimal
Convertir: 0,390625 a base 4
Se multiplica sólo la parte decimal
0.390625 x 4 = ,5625
Convertir: 0,390625 a base 4
base n
Convertir: 0,390625 a base 4
Se multiplica sólo la parte decimal
20 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm: Expresar 10011101(2) a base 8
Vemos que 8 = 23 ; se separa en grupos de 3 cifras
Base 2:)(2
532
10101110
Base 8: 235(8)
b) De base nk a base nDado el número en base nk de cada cifra se obtiene k cifras al con-vertirse a base n.
Ejm: Convertir: 325 (8) a base 2
101
5
010
2
011
3
325 (8) = 011010101 (2)
PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)
1. ¿Cómo se representa )(234 n en base (n-1)?
A) 297 B) 279 C) 269 D) 299 E) 287
Sol.:
1° Transformamos )(234 n a base decimal.
4.3.22342
)( nnn
2° El número 4322
nn transformamos a base n-1El número
234
2°
234
2° El número
Transformamos 234
3.22
n
TransformamosTransformamos
2234 )(n
22
n
)(n
234
C) 269 D) 299 E) 287
)(234 n en base (n
97 B) 279 C) 269 D) 299 E) 287
)(234 n a base decimal.
PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)
en base (n-
PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)
-1)?
PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)
(2)
PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)
Sistema de Numeración 21
2n + 3n + 4 n - 1
- 2n + 2n 2n + 5 n-1
5n + 4 -2n + 2 2
- 5n + 5 7
9
2
2
)(234 n = )1(279 n Rpta. : B
2. Si : 850)(nabab ; hallar : (a + b) . n
A) 25 B) 30 C) 45 D) 35 E) 15
Sol.: 850)(nabab
850)1()(
850)(
850
2
2
23
nban
babbann
banbnan
( + ) ( +1) = 17 50an b n2
x
n a b= 7 = 2 = 3
(a + b) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35
Rpta.: ( D )
3. Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impa-res consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7
10 y dar como respuesta la suma de sus cifr
3.res consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifr
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7
Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impres consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifr
Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impres consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en baseSi un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impres consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifr
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7
Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases imp
= 7 = 2 = 3n a b
(a + b) x
n a b= 7 = 2 = 3n a bn a b
) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35
Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases imp
( + ) ( +1) = 17 50( + ) ( +1) = 17 50
= 7 = 2 = 3
( + ) ( +1) = 17 50
850)1
( + ) ( +1) = 17 50( + ) ( +1) = 17 50( + ) ( +1) = 17 50
= 7 = 2 = 3
= ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35
850
850
850
850
22 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sol.:
0)3(01224
12882144
1)12(22)12(
201102
22
22)12()12(
nn
nn
nnnn
nn
nn
3n
entonces: 51249102102 )7()12( n
615cifras Rpta. D
4. La suma de dos cifras que forman un número es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el númeroprimitivo; ¿cuál es el cuadrado de dicho número?
A) 2025 B) 2601 C) 2704 D) 2809 E) 2916
Sol.: Sea el número ab
Entonces: problemadeldatos9
9
abba
ba
11
99910910
ba
ab
ab
baab
abpba
Por tanto: a = 5 b = 4
Finalmente: 29165422
ab Rpta. E
5. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 35. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?
Finalmente: ab
Por tanto:Por tanto:
Finalmente:
¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3
11
99
b
ab
9109
ba
b
a
a
a = 5 b = 4
datosab
problemadel problema
E) 2916E) 2916
problemadeldatos
E) 2916E) 2916
resultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número
E) 2916
o es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número
o es igual a 9. Si al número
Rpta. D
o es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número
Sistema de Numeración 23
A) 10 B) 15 C) 30 D) 25 E) 20
Sol.: Por dato, tenemos:
)(1234 nabc
Entonces:
3534,,.......13,12,11,n
n10,.....35n
n12341234n
n1234n
nabcn
1000abc100
32
32
3n
2
nnn
.....,
)(
)()()(
número de términos = 251
1035Rpta : D
6. Si: )()()( 888 cba2abc . Hallar a + b + c
A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10
Sol.:
)()()(
)()()(
)()(
)()()(
888
888
88
888
abccbaabc
cbaabcabc
cba2abc
cba2abc
Por propiedad:b = 7a + c = 7
a + b + c = 14 Rpta. C
7. ¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
;6b5y7a3;545 (a)(8))(b
A) 252 (6) B) 545 (6) C) 209 (6) D) 134 (6) E) 425 (6)A) 252
7.
A) 252
¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
;
¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
a + c = 7a + c = 7a + b + c
¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
545 )(b
A) 252 (6)
¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
)(8
Por propiedad:
()8 abc
Por propiedad:
a + c = 7= 14
¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
E) 10
Rpta : DRpta : DRpta : D
24 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sol.: Analizando tenemos:
b8ab5
;6b5y7a3;545 (a)(8))(
a
b
Obtenemos: 5 < b < a < 8b= 6 a = 7
Luego:
* menornúmero20956.46.55452
)6(
* 50738.78.7372
)8(a
* 34157.67.6562
)7(b
209 = 545 (6) Rpta. B
8. Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferen-cia de sus cifras.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Sol.:
Por dato :baba
baab
6610)(6
4 = 5a b
a = 5b = 4
a – b = 1 Rpta. A
9. Una persona nació en el año ab19 y en el año 1985, tiene (a + b) años.¿En qué año tendrá ab años?A) 1995 B) 1999 C) 2002 D) 2020 E) 2000Sol.: Por dato:
47
211851019001985
191985
191985
b
a
ba
baba
baab
baab
b
a
4b
211101900ba
a
aab191985
a
.: Por dato:.: Por dato:
7118519001985191985
19
a
ab
baab
b
Una persona nació en el año¿En qué año tendrá ab años?
B) 1999 C) 2002C) 2002
b
Una persona nació en el año ab19¿En qué año tendrá años?
B) 1999 C) 2002
b
Rpta. ARpta. A
y en el año 1985, tiene (
Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la difereUn número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la difereUn número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferen-
Sistema de Numeración 25
200228197419 abab Rpta. C
10. Si 400803 (m) = 300034342 (n) y m + n = 14 . Hallar (m - n)A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
Sol.:Analizando:
8 < m 4 < n además n < m
Entonces: 4 < n < m m > 8m = 9n = 5
m – n = 4 Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Se sabe que: )8()( 162 bba c . Calcular: a + b + c.A) 12 B) 15 C) 14 D) 16 E) 13
2. El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si elnumeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta de mul-tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:A) 11+n B) 11-n C) 7+n D) 7-n E) 2n
3. Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E)15
4. Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 enlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220 B) 130 C) 147 D) 215 E) 420
5. La base del sistema de numeración en que )4)(2( ccc se escribeLa base del sistema de numeración en que5.5. La base del sistema de numeración en que
Determine cuantlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220 B) 130
Determine cuantlos cuales una cifra se repite exactamente dos veces
respuesta la suma en base 10 de sus cifras.A) 2
Determine cuantlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220
La base del sistema de numeración en que
Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 en
B) 11
Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.
B) 5respuesta la suma en base 10 de sus cifras.
C) 6
tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:B) 11-n
Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.
B) 5 C) 6
Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 en
El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si eleral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta
tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:C) 7+n
El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si eleral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta
tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:
El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si eleral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta
C) 14C) 14
El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si eleral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta
tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:D) 7
Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar como
eral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta
. Calcular: a + b + c.D) 16
El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si el
. Calcular: a + b + c.D) 16 E) 13
El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si eleral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta
alcular: a + b + c.E) 13
alcular: a + b + c.
26 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
con tres cifras iguales es:A)8 B)4 C)5 D) 7 E) 11
6. Si )9()( 1cmaba c Calcular el valor de b sabiendo que m>5.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
7. Si ;0000 nnmmnn calcular nm expresado en base 5.A)21 B) 22 C)34 D) 44 E)32
8. Hallar “a + b + c”. Si:)()9( 722 caba
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
9. Si se cumple que: TAMET .Calcular TEAME
A) 64526 B) 62565 C) 46526 D) 46256 E) N.A.
10. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dece-nas?A) 72 B) 60 C) 24 D) 36 E) 48
CUATRO OPERACIONES
1. Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantida-des en una sola.
Sumandos
naaaaS ......321
2. Resta o Sustracción: Operación inversa a la suma.
Suma Total
Resta o SustracciónResta o Sustracción2. Resta o SustracciónResta o SustracciónResta o Sustracción
Suma o adiciónSuma o adicióndes en una sola.
Resta o Sustracción
CUATRO OPERACIONES
Operación que tiene por finalidad reunir varias cantidOperación que tiene por finalidad reunir varias cantid
CUATRO OPERACIONES
Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantid
D) 36C) 24
dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las decdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec
D) 36
CUATRO OPERACIONES
erentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec
E) 48
dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las decdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las decerentes se pueden formar con los
dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec
D) 46256
erentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec
E) 48
E) N.A.
erentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec
E) N.A.E) N.A.
erentes se pueden formar con los
Sistema de Numeración 27
Propiedad:
M+S+D=2M
Si: mnpcbaabc
Se cumple que:
n = 9m + p = 9
Complemento Aritmético de un número natural: Es lo que le falta a éste serigual a la unidad del orden inmediato superior de su mayor orden.
Ejm.C.A. (45) = 100 – 45 = 55C.A. (950) = 1000 – 950 = 50
C.A. ( abc ) = 1000 – abcEn general:
C.A. xyz......abc10)xyz.........abc( m
cifrasm
Otro método: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un número, serestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.
Ejm:
C.A. 694782830521
109
)(
C.A. 3686109
)(
C.A. ( abcd ) = ))()()(( dcba 10999
M – S = D
Minuendo SustraendoDiferencia
Ejm:Ejm:
: para hallar el C.A a parrestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.
C.A. 30521
: para hallar el C.A a parrestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.
C.A. 30521(
xyz.........cifras
: para hallar el C.A a par
10abc
abcabc
)xyz.........abc m
m
: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un númrestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros al
abc
950 = 50
abc
950 = 50
abc
abcm
ad del orden inmediato superior de su mayor oEs lo que le falta a éste ser
ad del orden inmediato superior de su mayor oEs lo que le falta a éste serEs lo que le falta a éste ser
28 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
3. Multiplicación: Operación donde:Dada dos cantidades multiplicando y multiplicador se halla una tercerallamada producto.
4. División:
D: Dividendod: divisorc: cocienter: residuo
También
Clases de División:b) División exacta: Cuando el residuo es cero
Ejm.
c) División Inexacta:Por defecto:
Donde 0 < r < d
D__r
d
D = dc + r
D__0
d
c
D = dc
880
4
2
8 = 4 x 2
D__r
d
c
D = dc+r
Multiplicando MultiplicadorProducto
__d
c
Por defecto:División Inexacta:Por defecto:
D__r
2
División Inexacta:
0
8 = 4 x 2
D = dc
8 = 4 x 2
Cuando el residuo es cero
Sistema de Numeración 29
Ejm.
Por exceso:
Donde 0 < re < dEjm.
Propiedad:
1° : r + re = d2° : rmax = d – 13° : rmin = 1
PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)
1. La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?
a) x + 5 b) x – 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x – 8
Sol.
M – S = D M – 5 – (S + 3) = DifM – S = X M – 5 – S – 3) = Dif
M – S – 8 = Dif
X – 8 = Dif .
Rpta. ( e )
38362
6
6
38 = 6x6+2
D__re
d
c+1
D = d(c+1) – re
3842- 4
6
6+1
38 = 6(6+1) – 4
M
S = DS = X
M – S = DM – S = X –
y se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?
a) x + 5 b) x – 5 c) x + 8
La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?
a) x + 5 b) x 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x
M – 5 – (S + 3) = DifM – 5
PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)
La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?
PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)
La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendo
PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)
La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?
d) x + 2 e) x
PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)
30 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
2. Si la suma de 2 números es 56 y su cociente es 5 con residuo 2. ¿Cuál esla suma de sus cifras del producto de dichos números?
a) 6 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16
Sol. Sean los números a y b
Por dato:
a + b = 56 ...... (1)
además: c = 5 y residuo = 2
D = dc + rA = 5b + 2 ........... (2)
De (1) y (2):
a + b = 565b + 2 + b = 566b = 54
b = 9 a = 47
47 x 9 = 423
9324cifras
Rpta. ( b )
3. Hallar las 3 últimas cifras de las suma:
S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)
a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810
Sol.
Tenemos la suma:Tenemos la suma:
.
Tenemos la suma:Tenemos la suma:
a) 610 b) 801 c) 106 d) 601a) 610 b) 801 c) 106 d) 601
Tenemos la suma:
Hallar las 3 últimas cifras de las suma:
S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)
a) 610 b) 801 c) 106 d) 601
Hallar las 3 últimas cifras de las suma:
S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)
a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810
Rpta. ( b )Rpta. ( b )
Sistema de Numeración 31
016..........
sumandos40
77777...7
................
................
7777
777
77
7
En las unidades: 7 . 40 = 280, colocamos cero y llevamos 28En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.
Rpta. (a)
4. Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lasuma de las cifras del dividendo y del divisor.
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29Sol: Sean abc y de los números
*
abc de
25 1125de.11abc ... (1)
*
abc de
19
1000 - 1000 -7
19)de100(7abc-1000 ..... (2)
Reemplazando ec. (1) y (2):1000 - 11 de - 25 = 700 - 7 de + 19
4 de = 256
de = 64
Entonces: 729abc
2892746cifras Rpta. (d)
de
Reemplazando ec. (1) y (2):
cifras
19
Reemplazando ec. (1) y (2):1000 -
Reemplazando ec. (1) y (2):de
1000 -7
Reemplazando ec. (1) y (2):1000 - 11 de
4
de.11 25abc
los números
25deabc
de
1000
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29los números
vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lavuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lando y del divisor.
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29los números
25 ... (1)
vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la
Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesAl dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la
Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la
En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.
Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se les
32 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
5. Hallar la suma de las cifras del producto:
cifras40
99....999438P
a) 360 b) 270 c) 180 d) 90 e) 450
Sol.
Dando forma a P:P = 438 x ( 1........001000
cifras40
)
P = 438 43800...0000cifras40
Entonces:43800 ... 0000 –
438
cifras37
99562...99437
Portando:
26527x9734cifras
= 360Rpta. (a)
6. Halle a+b+c+m+n , si9
nmmmm2abc
a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 23
Sol.
9
nmmmm2abc
mmmm = 9. 2abc
Es decir:mmmmn
9x2cba
a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)
* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 18m
* 9xc+1=??? Debe terminar en 83c
* 9xb+2=??? Debe terminar en 84b
* 9xa+3=??? Debe terminar en 85a n = 4
a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)
Es decir:
a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)
mmmm
9xba
= 9. 2abc
Es decir:mmmmn
9x2cb
a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)
9
nmmmm
* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 1
Rpta. (a)Rpta. (a)
Sistema de Numeración 33
7. Hallar la suma en base 10 de: 23(n) + 35(n)+....+155(n), si los sumandosestán en progresión aritmética.a) 608 b) 1216 c) 2432 d) 4864 e) 1824Sol.
Por def. de P.A.:
30(n) – 23(n) = 35(n) – 30(n)
3n – 2n – 3 = 3n + 5 – 3n
n = 8
Entonces convirtiendo a base 10: S = 19+24+29+34+ .... +109
1216S
19.2
10919S
195
14109términosde#
Rpta. (b)
8. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28Sol.
Sea: P = a x b
Por dado: (a+9)(b+9) = P+549ab + 9a + 9b + 81 = ab + 5499a + 9b = 468a+b = 52
Entonces:
70a2
18b-a
52ba
a = 35 b = 17 Rpta. (d)
9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.
70a2
b
a = 35
Entonces:Entonces:
-a
a
a
Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.
ab + 9a + 9b + 81 = ab + 59a + 9b = 468a+b = 52
(a+9)(b+9) = P+549ab + 9a + 9b + 81 = ab + 59a + 9b = 468a+b
18
52b
ab + 9a + 9b + 81 = ab + 5
a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28
ab + 9a + 9b + 81 = ab + 549
n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.
Rpta. (b)
n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28
n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.
n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.
34 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
¿En cuánto excede el número 76543 al menor de los dos números?a) en 61103 b) en 61983 c) en 31103 d) en 62103 e) en 60103Sol.
Sean a y b los números ( a > b )2a = 60000 a = 30000además 30000 – b = 14560 b = 15440Nos piden: 76543 – 15440 = 61103 Rpta. (a)
10. Si mnp4baab4 y 4wbaab , entonces 2ª + 3b es:
a) 17 ó 22 b) 20 ó 32 c) 18 ó 52 d) 32 ó 20 e) 19 ó 21Sol. De: 4wbaab se obtiene
10a + b – 10 b – a = 10 w + 49a – 9b = 10w + 49(a – b) = 10w + 4Tanteando: a – b = 6 w = 5
cumple)(no39
cumple)(si28
cumple)(si17
5 w6b-a
Además mnp4baab4 n = 9 m + p = 9
Reemplazando:2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22
Rpta. (a)
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si al producto de dos números le incrementamos su cociente, re-sulta 18. Hallar la suma de dichos números.A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
2. Hallar a+b+c+m+n Si:
cbamnabc 1 , dondeca
b
b
ca
A) 27 B) 29 C) 31 D) 30 E) 28
mn1
A) 27
Hallar a+b+c+m+n Si:
abc
Hallar a+b+c+m+n Si:
abc 1
A) 27 B) 29
Hallar a+b+c+m+n Si:
cba
B) 8
Si al producto de dos números le incrementamos su cocSi al producto de dos números le incrementamos su cocsulta 18. Hallar la suma de dichos números.A) 6 B) 8
Hallar a+b+c+m+n Si:
cbamn
PROBLEMAS PROPUESTOS
Si al producto de dos números le incrementamos su cocsulta 18. Hallar la suma de dichos números.Si al producto de dos números le incrementamos su coc
2a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22
PROBLEMAS PROPUESTOS
Si al producto de dos números le incrementamos su cocsulta 18. Hallar la suma de dichos números.
C) 10
2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=222a+3b=2(7)+3(1)=14+3=17
n = 9 m + p = 9
2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22
Rpta. (a)
n = 9 m + p = 9n = 9 m + p = 9
Sistema de Numeración 35
3. Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 8 veces la suma desus cifras.A) 9 B) 10 C) 72 D) 27 E) 13
4. Calcular la suma de las cifras del producto:)99...999)(77...777(
1010 cifrascifras
A) 90 B) 70 C) 80 D) 20 E) 772
5. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciaren ellas el contenido de un barril de 225 litros.A) 220 B) 250 C) 280 D) 300 E) N.A.
6. El cociente del producto de tres números consecutivos, entre susuma es 16. El número intermedio es:A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. Si )()(1234.. nn abcdAC y 40032 )6(n
Hallar dcba
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
8. La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuen-do es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.A) 8434 B) 7651 C) 217 D) 5802 E) 7634
9. El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300 B) 367 C) 357 D) 643 E) 721
10. Si TRESSIETECA )( . Calcular )( SIESCA
A) 73 B) 75 C) 77 D) 12 E) 16A) 7310.10. Si
A) 73
B) 367
SIETE
El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300
El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300
Si SIETECA(A) 73
do es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.
B) 7651
El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado
La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuedo es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.A) 8434 B) 7651 C) 217
El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado
C) 7
La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minues triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético de
D) 9
La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minue
C) 7
y) y n
C) 7 D) 9
La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minues triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético de
400)3232
medio es:D) 9
40032 )6(n
D) 9 E) 11
E) 10
El cociente del producto de tres números consecutivos, entre suEl cociente del producto de tres números consecutivos, entre su
E) 10
E) N.A.
El cociente del producto de tres números consecutivos, entre su
jantes serán necesari
E) N.A.
Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175jantes serán necesarias para vaciar
E) N.A.
El cociente del producto de tres números consecutivos, entre su
as para vaciar
- 36 -
IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROS
I. DIVISIBILIDAD: Parte de teoría de números que estudia las condi-ciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro.
1) Divisibilidad de Números:Un número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al di-vidir el primero entre el segundo el cociente es otro entero y el residuocero.
- Cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo- Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número
entero positivo.
2) Notación y representación de los múltiplos de un número:Si A es múltiplo de B lo representamos:
A = k B donde k = { ....., -2,-1, 0, 1, 2, ....}
A =o
B (notación Leibniz)
Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuopor defecto:Ejm.
Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuandoestá contenido un número entero y exacto de veces.Ejm: Los divisores de 6 son:
6
1236
A__r
B
c
A = B.c + r
A =o
B + r
Ejm: Los divisores
6
Ejm: Los divisores
Se dice que un número B (módulo) esSe dice que un número B (módulo) esestá contenido un número entEjm: Los divisores
1
Se dice que un número B (módulo) esestá contenido un número ent
c
Se dice que un número B (módulo) esSe dice que un número B (módulo) esestá contenido un número entEjm: Los divisores de 6 son:
1
A =
B.c
Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), seSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuo
A = + r
Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuopuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuoSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), seSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), seSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), se
(notación Leibniz)
Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuoSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), se
1, 0, 1, 2, ....}
Notación y representación de los múltiplos de un número:
1, 0, 1, 2, ....}
Notación y representación de los múltiplos de un número:
Un número entero negativo puede ser múltiplo de un númeroUn número entero negativo puede ser múltiplo de un número
Notación y representación de los múltiplos de un número:
Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número
i-
Propiedad de los Números 37
3) Operaciones y Propiedades:
aaaooo
* Si : 5a =o7 => a =
o
7
aaaooo
* Si : 21a =o
35
aaaooo 3 a =
o
5 => a =o
500aka
aaoko
enteroaao
babaooo
.
Ejm: 2623142o
6
4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales
a) Sabemos por álgebra que:
2o
22o
2oo
222 babababaabab2aba
3o
33o
3ooo
32233 babababaaabab3ba3aba
- En general: ko
k raba Si K Z+ ó k0k0
rara si k Z+
-imparesK
paresKo
oo
k
kk
rn
rnrn
Ejm:
* Todo número es múltiplo de la base en la cualestá escrito más la última cifra.
dncnbnaabcd 23n ...)(
dnnnooo
dnabcdo
n)(
Ejm:
r-
En general:En general:
-o
n
Ejm:
n
ok ab Si K
3 ab
En general: krba
o
n
2b
ab3
2o
ba
Sabemos por álgebra que:
2oo
2 abaababo
32 abab
a
Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y RestosDivisibilidad aplicada al Binomio de Newton y RestosDivisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos
o
Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales
d
Potenciales
d
dn
* Todo número es múltiplo de la base en la cual* Todo número es múltiplo de la base en la cual
38 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
96o96o
317317
123o123o
5656
128o128o
5656
1616o128o
OBSERVACIÓN
cbancnbnanoooo
Ejm: Calcular el residuo de dividir 7129635
Sol:
5r57277
272177
27177
27177
9277
337
37
37129
oo
ooo
o0o
o2110o
211o
22113o
635o
635o635
))((
b) Restos PotencialesSe llama restos potenciales a todos a todos residuos que dejan las po-tencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de ce-
Restos PotencialesSe llama restos potencialetencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de c
b) Restos PotencialesSe llama restos potenciale
b) Restos PotencialesSe llama restos potencialeSe llama restos potencialetencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de c
572
21o
))(
Restos Potenciales
77o
oo
77
17
77
o
oo(
Restos PotencialesSe llama restos potencialetencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de c
27
2
71
o
211
27
271
27
9
o
o0
o
129 7
Propiedad de los Números 39
ro) al ser divididos entre otro “m” (módulo).
Potencias Sucesivasde N
Resultados en
funciónom
Residuos
N0 om +1 1
N1 om + r1
r1
N2 om + r2
r2 Restos Potenciales
N3 om + r3
r3
N4 om + r4
r4
Ejm: Calcular la restos potenciales de 5 respecto al módulo 9.Sol.:
5r5919595
1r1929595
gaussiano
2r2949595
4r4979795
8r8935979595
7r797185
5r59505
1r19105
7
ooo7
6
ooo6
5
ooo5
4
ooo4
3
oooo3
2
o2
1
o1
0
o0
g = 6 Donde g: gaussiano
95o
7
56
g = 6
959
79
oo
o
9
2959
495
7975
5
oo
5
o
359
r
o
2r
9o
r
r8935
7r7
5r
oo
1rr
stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.
40 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
CONCLUSIÓN:
residuor
ExponenteE
2r;56
4r;46
8r;36
7r;26
5r;16
1r;6
95
o
o
o
o
o
o
o
E
E
E
E
E
E
rE
Ejm.: Si : r95o
226
46226o
E
4r
5) CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteanticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.
a) Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero 0 cifra par.Ejm.:
86,4,2,0,d2o
abcd
3528
b) Divisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.Ejm.:
50,d5o
abcd
325
c) Divisibilidad por 4: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman unnúmero múltiplo de 4.Ejm.:
96.......,16,12,08,04,00,de4o
abcde
3243232432
Ejm.:número múltiplo de 4.Ejm.:
32432
Divisibilidad por 4número múltiplo de 4.
4o
abcde
Divisibilidad por 4número múltiplo de 4.
325
Divisibilidad por 4número múltiplo de 4.Ejm.:
abcde
32432
ivisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.
5o
Cuando termina en cero cinco.
d5o
abcd
Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un
2,0,
Cuando termina en cero cinco.
86,
Cuando termina en cero 0 cifra par.Cuando termina en cero 0 cifra par.
4,2,0,d
Cuando termina en cero cinco.
anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.
Cuando termina en cero 0 cifra par.
anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteanticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.
Cuando termina en cero 0 cifra par.
8
Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteConjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite
Propiedad de los Números 41
d) Divisibilidad por 25: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o formanun número múltiplo de 25.Ejm.:
7550,25,00,de52o
abcde
87975
e) Divisibilidad por 2n ó 5n: Es divisible por 2n ó 5n si sus “n” últimas ci-fras son ceros o forman un número que sea divisible por 2n ó 5n res-pectivamente.
Ejm.:
Si: n = 3 2o3abcdef
oo
8defsi8abcdef
o
8230523
Nota: Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros oforman un número que sea divisible por 8.
f) Divisibilidad por 3: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:
3fedcba3oo
abcdef
*
365433333456oo
o
321
g) Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.Ejm.:
Si:
9fedcba9oo
abcdef
965493939456oo o
9273945639456
9o
abcdef
Ejm.:Si:
g) Divisibilidad por 9Ejm.:
Si:
abcdef
39456
Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
Ejm.: * Si:
a
Cuando la suma de susCuando la suma de susEjm.: * Si:Ejm.: * Si:
b
sible por 8.
Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:
cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:
Cuando la suma de susCuando la suma de sus
Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros oUn número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros osible por 8.
Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:
cb
Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros o
cifras es un múltiplo de 3.
Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros o
defsi
si sus “n” últimas ci-res-
42 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
h) Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras
impar menos la suma de sus cifras de orden par deberá ser cero oo
11.Ejm.:
Si: 11fdbgeca11abcdefgoo
097531524688365472951
i) Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus ci-fras (de derecha a izquierda) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 ..........
respectivamente, deberá ser 0 óo
7 .Ejm.:
Si:
132
-
1321
7o
gfedcba
o
73232 gfed)cba - (
Si :o
7760493636
132
-
132132
636394067
27 – 38 + 32 = 21 =o
7
j) Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, .......... respec-tivamente, deberá ser múltiplo de 13.Ejm.:
Si:
13413413
13o
hgfedcba
33
dcb
tivamente, deberá ser múltiplo de 13.
Si:
Divisibilidad por 13cifras (de derecha a izquierda) por 1,tivamente, deberá ser múltiplo de 13.Ejm.:
Si:
1
ba
27 – 38 + 32 = 21 =
Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1,tivamente, deberá ser múltiplo de 13.
Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1,
38 + 32 = 21 =
Divisibilidad por 13 Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1,tivamente, deberá ser múltiplo de 13.
2 21 2
-
1321
940
3
36
77
663
1 ..........
Propiedad de los Números 43
o
133)43()43( abcdefg h -
Si :
1341
134655o
o
1339-43-4)52081(4 -
II. NUMEROS PRIMOS
1. Conceptos Básicos
a) Número Primo o Primo Absoluto:
Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divi-sores la unidad y el mismo.
Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc
2
3
1
12
3
Es decir Divisores
Divisores
b) Números Compuestos:
Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc
Es decir
Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc
Es decir
Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc
Números Compuestos
Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc
Es decir
Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc
3
Números Compuestos
31
3
Números Compuestos:
Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc
Divisores
Divisores
DivisoresDivisores
Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc
Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos div
Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc
Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos div
44 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
4 4 84Divisores Divisores Divisores1 1 1
2 2 2
4 3 46 8
Nota: La cantidad de divisores de un número compuesto N es:
1primoscompuestoN
cdcdcd
c) Números Primos entre si (PESI):
Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único di-visor común la unidad.Ejm.
4 y 9 (divisor común 1)8, 12 y 15 (divisor común 1)27, 45, 36, 1 (divisor común 1)
Nota:Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma
160
; lo contrario no siempre se cumple.Números primos más famosos, descubiertos por personalida-des (universidades) notables.
- Lucas en 1877 publicó: 2127 – 1, que tiene 39 cifras.- “Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.
Todo número par, es la suma de los números primos.Algo aparentemente cierto.
122n
es primo. FERMAT.- Fórmula de cálculo de los números primos. n2 –n+41
valido únicamente para n y 40n
Regla para determinar si un número es primo o no:
Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y apli-cando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.
Ejm.
¿ 139 es primo ?¿ 139 es primo ?
iguales a dicha aproximación.
Ejm.
cando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.
Ejm.
¿ 139 es primo ?
Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplcando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.
Se extrae la raíz ccando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o
Regla para determinar si un número es primo o no
Se extrae la raíz ccando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.
uadrada aproximadamente del numeral dado y aplcando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o
Fórmula de cálculo de los números primos. n
valido únicamente para
Regla para determinar si un número es primo o noRegla para determinar si un número es primo o no
Algo aparente
1 es primo. FERMAT.Fórmula de cálculo de los números primos. n
valido únicamente para
Regla para determinar si un número es primo o no
uadrada aproximadamente del numeral dado y apl
Lucas en 1877 publicó: 2“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.Todo número par, es la suma de los números primos.
mente cierto.
es primo. FERMAT.
“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.Todo número par, es la suma de los números primos.
mente cierto.
“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.
ros primos más famosos, descubiertos por personalidros primos más famosos, descubiertos por personaliddes (universidades) notables.
Lucas en 1877 publicó: 2127
“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.Todo número par, es la suma de los números primos.
mente cierto.
es primo. FERMAT.Fórmula de cálculo de los números primos. n
127
“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.Todo número par, es la suma de los números primos.
; lo contrario no siempre se cumple.ros primos más famosos, descubiertos por personalid
1, que tiene 39 cifras.
ros primos más famosos, descubiertos por personalidros primos más famosos, descubiertos por personalid; lo contrario no siempre se cumple.
ros primos más famosos, descubiertos por personalid
Todo número primo mayor que 3 siempre es de la formaTodo número primo mayor que 3 siempre es de la forma
; lo contrario no siempre se cumple.ros primos más famosos, descubiertos por personalid
127 – 1, que tiene 39 cifras.“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.
Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma
ros primos más famosos, descubiertos por personalid
Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma
Propiedad de los Números 45
........,11139
Entonces:
139 =0
2 + 1
139 =0
3 + 1
139 =0
5 + 4
139 =0
7 + 6
139 =0
11 + 7
Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.
2. Teorema Fundamental de la Aritmética
“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el pro-ducto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,esta descomposición es única”.Llamado también “Descomposición canónica”
CBAN .. Donde : A, B, C, ......: Factores primos
,, , ..... : Exponentes
Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360
15
154590
180360
533222
=> 360 = 23 . 32 . 5
3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)
a) Cantidad de divisores de un número:Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previa-
a) Cantidad de divisores de un númeroEs igual al producto de los exponentes de sus factores primos previ
3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)
a) Cantidad de divisores de un númeroEs igual al producto de los exponentes de sus factores primos previ
Estudio de los Divisores de un número entero (N)
15 5
3
Estudio de los Divisores de un número entero (N)
Cantidad de divisores de un númeroEs igual al producto de los exponentes de sus factores primos previ
=> 360 = 2 . 5
Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360
=> 360 = 23 . 32
Donde : A, B, C, ......: Fac
,,Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360
Donde : A, B, C, ......: Fac
Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360
Llamado también “Descomposición canónica”
Donde : A, B, C, ......: Fac
, , ..... : Exponentes
Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360
Donde : A, B, C, ......: Fac
, ..... : Exponentes
Llamado también “Descomposición canónica”
tores primos
Llamado también “Descomposición canónica”Llamado también “Descomposición canónica”Llamado también “Descomposición canónica”
vo mayor que uno, se puede descomponer como el prvo mayor que uno, se puede descomponer como el prtes entre sí, elevados a ciertos exponentes,
Llamado también “Descomposición canónica”
Donde : A, B, C, ......: Factores primos
, ..... : Exponentes
vo mayor que uno, se puede descomponer como el prtes entre sí, elevados a ciertos exponentes,
Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.
vo mayor que uno, se puede descomponer como el prtes entre sí, elevados a ciertos exponentes,
Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.
vo mayor que uno, se puede descomponer como el pr
Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.
46 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
mente aumentados en la unidad.
).........)()(()( 111cd N
Obs: cd(n) = cdcompuesto + cdprimos+1
b) Suma de divisores de un Número:Esta dado pro:
.......1
1
1
1
1
1 111
)( C
C
B
B
A
Asd
N
c) Producto de los divisores de un número compuestoEsta dado por:
)(
)(
Ncd
NNPd
d) Suma de las inversas de los Divisores de un númeroEsta dado por:
N
SdSId
N
N
)(
)(
Hallar Cd(N), Sd(N) , Pd(N) y SId(N) de 12
12 = 22 . 3
cd(N) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6
Sd(N) = 282
8.
1
7
13
13.
12
12 23
Pd(N) = 17281212 36
SId(N) =3
7
12
28
III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
1. Máximo Común Divisor (MCD): Se llama MCD de un conjunto de doso más números enteros positivos, al entero que cumple dos condicio-Máximo Común Divisor (MCD)o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condici
III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
1.
III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
1. Máximo Común Divisor (MCD)Máximo Común Divisor (MCD)o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condici
3
III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
=12
28(N) = 12126
SId(N) =3
7
12
28
III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO
Máximo Común Divisor (MCD)
= ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6
2.
1
7
1
132
1728
= ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6
282
8.
7
13
3.
1
1
1728123
de 12y SId(N)(N) de 12
Suma de las inversas de los Divisores de un númeroSuma de las inversas de los Divisores de un número
Propiedad de los Números 47
nes:- Es un divisor común de todos- Es el mayor posible
Ejm:
NUMEROS Divisores12 1, 2, 3, 4, 6, 1218 1, 2, 3, 6, 9, 18
Entonces: MCD (12,18) = 6
Determinación del MCD
i) Por descomposición canónica: MCD es igual al producto de los facto-res primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.
Ejm:A = 22. 32 . 5B = 23. 34 . 52
MCD (A, B) = 22. 32 . 5
ii) Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factorescomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscasólo los factores comunes”.
Ejm.
3-296
181632
MCD (12,18) = 2 x 3 = 6
iii) Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sistemáticoque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.
Ejm. MCD (18,12) = ???
1 2
18 12 66 0
MCD
=> MCD(18, 12) = 6
Ejm. MCD (18,12) = ???
1
12
Ejm. MCD (18,12) = ???
que se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.
Ejm. MCD (18,12) = ???
186 0
Ejm. MCD (18,12) = ???
Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sisque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.que se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces el
2
Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sisque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.
Ejm. MCD (18,12) = ???
318
comunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscacomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscalo los factores comunes”.
32
MCD (12,18) = 2 x 3 = 6
Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscacomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscacomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscaPor descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se busca
. 5. 5
Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscaPor descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscaPor descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se busca
ción canónica: MCD es igual al producto de los factres primos comunes elevados a los menores exponentes p
ción canónica: MCD es igual al producto de los factres primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.
ción canónica: MCD es igual al producto de los facto-sibles.
48 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm2: Hallar MCD de 984 y 264
iv)
MCD (984, 264) = 24
2. Mínimo Común Múltiplo (MCM)Se halla MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivosal entero que cumple dos condiciones:
- Es un múltiplo de todos- Es el menor posible.
Ejm:
NUMEROS Divisores12 12, 24, 36, 48, 60, 72 ....18 18, 36, 54, 72,
Entonces: MCD (12,18) = 36
Determinación de MCM
i) Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fac-tores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expo-nentes posibles.
Ejm:A = 22. 35 . 5B = 23. 34 . 52
MCD (A, B) = 23 . 35 . 5 2
ii) Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30
3 1 2 1 2984 264 192 72 48 24
192 72 48 24 0MCD
Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30
Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30
Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30
A = 2B = 2
MCD (A, B) = 2
Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factores
MCD (A, B) = 2
A = 22. 3B = 23. 34 .
MCD (A, B) = 2MCD (A, B) = 2
Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.
Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores exptores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores exp
Propiedad de los Números 49
1-1-15-1-15-4-15-4-315-12-930-24-18
54332
MCM = 2 x 3 x 3 x 4 x 5MCM (18, 24, 30) = 360
3. Propiedades de MCD y MCM
Si A y B son PESI, entonces: MCD(A, B) = 1Si A y B son PESI, entonces: MCM(A, B) = A . BEl producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de suMCD y MCM. Es decir
MCD(A,B) . MCM(A,B) = A.B
Sea: A = k Donde: , son PESIB = k
Entonces:MCD(A,B) = kMCM(A,B) = k
Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto dedichos enteros no es alterado.
Es decir:MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]
4. Casos especiales
MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a-b es 1 ó 2.MCD(a, b) = MCD(a b, m) donde m = MCM(a, b)
MCD(a, b, a+b) =2d
b)ab(adonde d = MCD(a, b)MCD(a, b, a+b) =MCD(a, b, a+b) =
MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y aMCD(a, b) = MCD(a
MCD(a, b, a+b) =
MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a
Casos especialesCasos especiales
MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y aMCD(a, b) =
MCD(a, b, a+b) =
Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a
MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]
Casos especiales
por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto deros no es alterado.
MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]
Casos especiales
MCD(a y a+b) = MCD (a y b)
Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de
ros no es alterado.
Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto deSi un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos
MCM(A,B) = k
Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de
MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]
Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos
son PESIson PESI
Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos
El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de suEl producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de suEl producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su
50 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
PROBLEMAS RESUELTOS (PROPIEDAD DE LOS NUMEROS)
1. Si: 13)2b(bb0aa , Hallar: a+b.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 17 e) 18
Solución
134134
13)2(bbb0aa
-
0
132bb3b40a3a402b6a7
b62a7
4 5Entonces:
5
4
b
a9ba Rpta. c
2. Hallar a + b Si: 56a58ab4
a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10
Solución
8
56584 aab
7
Un número es 8 cuando las tres últimas cifras es 8 .
858a
8a580580
58a
a580
Un número es 8 cuando las tres últimas cifras esUn número es
584 aab
Un número es
8
8
8
56
d) 8
8
5658a
7
e) 10e) 10
ba 9ba Rpta. c
Propiedad de los Números 51
8a48
84a4a
Además es 7 cuando:
7a58ab4
2 3 1 2 3 1- +
7a2410ba38
7226 ba
7b826
718 b
4b
8ba Rpta. d
3. Hallar el resto al dividir 71050 entre .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Solución
71050
5010 = 5050 3737
= 25252 27737
= 227277 2425 .
= 2177227 883 ..
= 2772177 ).(
= 27Por tanto el resto es 2. Rpta. bPor tanto el resto es 2.
=
= 7
=
=
7
= 37
237 7
c) 3
5010 = 503
=25
7
277 25
entre
d) 4 e) 5
7 .10
Rpta. dRpta. d
71050 entre
d) 4 e) 5
52 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
4. Hallar “n”, Si nN 1626 tiene 40 divisores.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1Solución
n1626Nn43223N ...
nnN 43.2.2.3141 3.2 nnN
por cantidad de divisores(n+1+1)(4n+1+1) = 40
(n+2)(4n+2) = 402(n+2)(2n+1) = 40
(n+2)(2n+1) = 20(n+2)(2n+1) = 4x5
2n Rpta. a
5. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48y que su suma es 288.a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144Solución
Sean A y B los números:
.
.
kB
kAPESIsonsi ,:
Entonces:MCD(A,B) = 48
k = 48
288BA
6
288)(48
288)k(
288kk
5 155 1
6
288)
288)
B
6
)(48
288)k(
288k
)(
)k(
MCD(A,B) = 48k = 48
288
288
288
son PESI
e) 144
PESIson
Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48
Propiedad de los Números 53
A = k = (48)(5) = 240B = k = (48)(1) = 48
A - B = 240 – 48 = 192 Rpta. b
6. Si )7(1019 ...2 bra Hallar “r”
a) 2 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8
Solución
)7(1019 ...2 bra Todo número es múltiplo de la base en la cual
está escrito más la última cifra.
r721019
rx 72 23393
r72.2 23393
r74.17 339
r74).17(
r747
r = 4 Rpta. c
7. Si 37a
ab , 57b
ab ; Hallar el residuo de dividir 7ab
aba) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8Solución
37a
ab10
1037
aab
5521002773737
aab
107
aba
ab
10aab
0aab
3 ,b) 5 c) 6
bab
b) 5 c) 6 d) 7Solución
37
Rpta. c
; Hallar el residuo de dividire) 8
Rpta. c
Todo número es múltiplo de la base en la cualTodo número es múltiplo de la base en la cual
54 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
= 235 2.27277
= 4774).17(7
= 47
470a
ab ..........
57b
ab .............
Multiplicando y :
5747.0 ba
abab
2070 ba
ab
67ab
ab
r = 6 Rpta. c
8. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.¿Cuántas páginas tiene el libro?a) 524 b) 512 c) 534 d) 547 e) 564
Solución
Sea el número de páginas: abc y 600500 abc
67
45
23
abc
67 6
45
Sea el número de páginas:Sea el número de páginas: abc
2
e) 564d) 547
El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrse cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobr
d) 547 e) 564
500
El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrse cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. SiEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. SiEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si
Rpta. c
El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. SiEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si
Propiedad de los Números 55
677
455
233
abc
17
15
13
abc
1)7;5;3(MCMabc
1105abc
1105tabc t = 5, porque 600500 abc
1)5(105abc
524abcRpta. a
9. Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 ve-ces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menorde dichos números.a) 10 b) 14 c) 20 d) 12 e) 16
Solución
Sean los números:
.
.
kB
kAPESIsonsi ,:
AB = 12 MCM(A;B)k .k = 12 k
k = 12
A + B = 6 MCD(A;B)A + B = 6 MCD(A;B)
AB = 12 MCM(A;B).k = 12 k
k =
.k
k
.
.
kB
kA
AB = 12 MCM(A;B)k .k
A + B = 6 MCD(A;B)
Sean los números:
si :
c) 20
Sean los números:
si ,:
Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 vu suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor
d) 12
Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 vu suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor
e) 16
Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 vu suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor
Rpta. aRpta. a
Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 vu suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor
d) 12 e) 16
u suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menorHallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 vHallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 v
u suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor
abc 600abc
56 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
k + k = 6k+ = 6
5 1= 5 y = 1
A = (12)(5) = 60B = (12)(1) = 12
El menor es 12 Rpta. d
10. Hallar “k” sabiendo que: kN )30.(15 tiene 191 divisores que no son
primos. A) 10 B) 14 C) 20 D) 12 E) 16Solución
kN )30.(15kN )5.3.2.(5.3kkkN 2.3.5.5.3
11 5.3.2 kkkN
Sabemos que: 1)( primoscompuestoN CdCdCd
1)( compuestoprimosN CdCdCd
(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291
294)2)(1( 2kk22 7.6)2)(1( kk
k=5Rpta: b
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Siº
13abc ,º
9ab yº
7ac . Hallar cba .A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
2. Hallar dos números enteros sabiendo que su máximo común divisores 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar elHallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar elHallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el
abc
A) 12
2. Hallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el
º
9 yB) 13
Hallar dos números enteros s
13 , ab
PROBLEMAS PROPUESTOSº
13abcº
9ab
B) 13
Hallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el
ac
PROBLEMAS PROPUESTOS
)(
)(1 k
k=5
PROBLEMAS PROPUESTOSº
ac
(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291
294276
compuesto
(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291compuestoprimos Cd
(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291
2942
2
primos
1
Cd 1primosCd
1compuesto
E) 16
tiene 191 divisores que no son
E) 16
Propiedad de los Números 57
menor.A) 120 B) 144 C) 132 D) 162 E) 148
3. Si el número )...432)(432)(432(N (n factores), tiene 130 divi-sores.Hallar “n”.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. ¿Cuántos divisores tendrá el número 22 )18)(18()12)(12(N ?A) 50 B) 60 C) 90 D) 100 E) 120
5. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de nN 30 ,sea el doble del número de divisores de nxM 1815 .A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
6. La cifra de las unidades del número 13401 , es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltiplos de3 ni de 7.A) 480 B) 408 C) 264 D) 288 E) 272
8. La suma de los cuadrados de dos números es 676 y uno de los núme-ros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los números.A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 24
9. Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 menos uno, entonces dicha edad es:A) 52 B) 69 C) 72 D) 36 E) N.A.
10. Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A5 y B5 ?
A) 330 B) 310 C) 300 D) 341 E) 319divisores tendrá el MCD de A
A) 330
sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A
10. Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A
A) 330
B) 69
Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A
Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,
Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 mA) 52 B) 69
Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A
A) 330
B) 14
Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 menos uno, eSi la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas
nos uno, e
La suma de los cuadros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los núm
B) 14
Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 m nos uno, e
B) 69 C) 72
C) 264
rados de dos números es 676 y uno de los númros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los núm
D) 288
rados de dos números es 676 y uno de los núm
C) 264
De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt
C) 264 D) 288
rados de dos números es 676 y uno de los númros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los núm
D) 22
De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt
D) 4
De los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt
D) 288 E) 272
E) 5
De los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt
, es:
E) 9
, es:E) 5
Hallar el valor de “n” para que el número de divisores den18
Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de Nn .
E) 9
n30 ,
- 58 -
IVNUMEROS FRACCIONARIOS
Se denomina fracción (llamada también, número fraccionario quebrado onúmero quebrado), a una o varias partes de la unidad dividida en cualquiernúmero de partes iguales.Los términos de una fracción son: numerador y denominador:
f= aabb
NumeradorDenominador
1. Clasificación: Se puede clasificar en:
A. Por comparación de sus términos:
a) Fracciones propias:Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es decir:
1b
a
Ejm. etc13
7,
7
2,
5
3
b) Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:
1b
a
Ejm. etc6
13,
5
9,
3
4
c) Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella enFracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en
c)c) Fracciones iguales a la unidad:Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en
6
13,
5
9,
3
Fracciones iguales a la unidad:
Ejm.4
la que el numerador es mayor que el denominador es decir:la que el numerador es mayor que el denominador es decir:
1b
a
Ejm.9
,3
4
Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en
Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:la que el numerador es mayor que el denominador es decir:
13
Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:
que el numerador es menor que el denominador es deque el numerador es menor que el denominador es deSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es deque el numerador es menor que el denominador es deSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es deSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en la
Números Fraccionarios 59
la que el numerador y el denominador son iguales, es decir: 1b
a
Ejm. etc7
7,
8
8,
5
5
B. Por su denominador:
a) Fracciones ordinarias o comunes:Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.
Es decir n,10b:si;b
a n
Ejm. etc,5
7,
3
14,
17
5
b) Fracciones Decimales:Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.
Es decir n,10b:si;b
a n
Ejm. etc,1000
63,
100
12,
10
7
c) Por la comparación de los denominadores:a) Fracciones Homogéneas:
Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:
fdb:sif
e,
d
c,
b
a
Ejm. etc6
13,
6
1,
6
7,
6
5
b) Fracciones Heterogéneas:Son aquellas cuyos denominadores son diferentes: Es de-cir:
Ejm.
b)b)
5
Fracciones HomogéneasSon aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:
f
e,
d
c,
asi
Por la comparación de los denominadoresFracciones HomogéneasSon aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:
f
e
d,
b
a
5
etc,1000
Por la comparación de los denominadoresFracciones Homogéneas
Por la comparación de los denominadores
1000etc
1000
63
Por la comparación de los denominadoresFracciones Homogéneas:Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:
Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.
Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.
60 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
fdb:sif
e,
d
c,
b
a
Ejm. etc5
2,
7
4,
3
5
d) Por la Relación de los Divisores de sus Términos:a) Fracciones Reductibles:
Son aquellas fracciones donde numerador y denominadorse pueden simplificar .
Es decirb
a
kb
kasi 1k
Ejm : *3
2
12
8*
3
2
39
26
b) Fracciones Irreductibles:Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.
Es decir: :b
asi a, b no tienen divisor común.
Ejm. etc53
16,
31
15,
7
3
NOTA:Se llama fracción equivalente, cuando una fracción esequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:Ejm.
*15
9
5
3
*5
1
20
4
Se llama Número Mixto, a aquel que tiene parte entera yparte fraccionaria.parte fraccionaria.
20
4
Se llama
*
*
Se llamaparte fraccionaria.
1
Se llamaequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:
15
9
Se llama fracción equivalenteequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:Ejm.
*155
3
1
etc
fracción equivalente
53etc
53
16
fracción equivalente, cuando una fracción esequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sus
si a, b no tienen divisor común.si a, b no tienen divisor común.
acciones donde los términos son PESI.
si a, b no tienen divisor común.
acciones donde los términos son PESI.acciones donde los términos son PESI.
Son aquellas fracciones donde numerador y denominador
Números Fraccionarios 61
Ejm: tc5
37,
8
36,
5
43 e
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios:
1° El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD delos numeradores entre el MCM de los denominadores.
2° El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numera-dores entre el MCD de los denominadores.
3. Número Decimal:Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y
parte decimal.
Ejm.
14,325Parteentera
Comadecimal
Partedecimal
Clasificación de los Números Decimalesa) Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de ci-
fras.Ejm: 0,2 ; 0,325 etc
b) Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de ci-fras.
Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc
Los Números Decimales Inexactos pueden ser:
i) Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente des-pués de la coma decimal.Ejm:
0,3333 ....... = 0,3
0,878787.... = 0,87
ii) Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma decimal.
ii) Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma d
pués de la coma decimal.
0,3333 ....... =
0,878787.... =
pués de la coma decimal.Ejm:
i) Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente depués de la coma decimal.Ejm:
0,3333 ....... =
0,878787.... =
Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma d
Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc
Los Números Decimales Inexactos pueden ser:
Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente depués de la coma decimal.Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente de
Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc
Los Números Decimales Inexactos pueden ser:
Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente depués de la coma decimal.
Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de c
Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc
Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de cNúmeros Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de cNúmeros Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de c
Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc
Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de c
Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de cClasificación de los Números Decimales
Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de cClasificación de los Números Decimales
Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de c
Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de c
Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de cNúmeros Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de c
neal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y
El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numer
neal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y
El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numera-
62 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm:
0,3424242 .... = 0,342
0,345333 ....... = 0,3453
Conversión de Decimales a Fracción
a) Números Decimales Exactos:La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididaentre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.
Si abc,01000
abcabc0,
Ejm.
*100
3232,0
*1000
452452,0
b) Números Decimales Inexactos:i) Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado por
las cifras del periodo dividido entre tantos nueves como cifras ten-ga el periodo.
Si: 0,abc 0,abc999
abc
Ejm:
0,32 =99
32
0,4 =9
4
ii) Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica en-tre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte no periódicas.
Si: 0,abc 0,abc990
aabc
Ejm:
Si: 0,abc
Ejm:
Si: 0,abc
Ejm:
Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica etre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte
Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica etre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos
Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica etre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte
0,abc
tre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos
99
9
4
Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado por
99
32
=9
Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica e
999
dido entre tantos nueves como cifras te
999
abc
Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado pordido entre tantos nueves como cifras tedido entre tantos nueves como cifras tedido entre tantos nueves como cifras te
Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado pordido entre tantos nueves como cifras te
Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado pordido entre tantos nueves como cifras te
Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado pordido entre tantos nueves como cifras te
Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado pordido entre tantos nueves como cifras te
Números Fraccionarios 63
0,342 =990
339
990
3342
0,385 =900
437
900
48485
PROBLEMAS RESUELTOS (NUMEROS FRACCIONARIOS)
1. Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simpleexpresión se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se leresta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?
A) 34 B) 5
3 C) 21 D) 9
4 E) 32
Solución:
Sea la fracción:b
a
Por dato:b
a
b
a
bb
ba
4
4
b
a
b
ba 2
5
4
a + 4b = 104b =9a
a = 4b = 9
9
4
b
a
Rpta: D
2. Los 53 de un barril más 6 litros, son de petróleo; y los 3
2 menos 15
litros, son de agua.¿Cuántos litros son de agua?
A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6A)15
2.
A) 2
de un barril más 6 litros, son de petróleo
litros, son de agua.¿Cuántos litros son de agua?
3Los 53 de un barril más 6 litros, son de petróleo
litros, son de agua.¿Cuántos litros son de agua?
2 B) 2
b = 9
4b =9a
a = 4b = 9
b
a
ba + 4b = 10
b
a2
a + 4b = 10
Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simpleexpresión se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se leresta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?
64 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Solución
PetróleoB 653 Donde: B es el contenido total del barril.
aguaB 1532
Entonces:Petróleo + agua = B
B15B3
26B
5
3
B93
B2
5
B3
Multiplicando la Ec. anterior por 15:
9B + 10B - 135 = 15B4B = 135
4
135B
152
45Agua
154
135
3
2Agua
15B3
2Agua
2
15Agua
Rpta. A
3. Si la fracción generatrizab
1genera el número decimal ba )1(0,0 .
Hallar el valor de “a+b”.A) 10 B) 9 C) 11 D) 12 E) 8
Solución:
baab
)1(0,01
Solución:
A) 10
Solución:
Hallar el valor de “a+b”.C) 11
Hallar el valor de “a+b”.B) 9
Si la fracción generatriz
Hallar el valor de “a+b”.A) 10 B) 9 C) 11
Solución:
2
Si la fracción generatrizab
1genera el número decimalSi la fracción generatriz
abgenera el número decimal
Hallar el valor de “a+b”.
Rpta. A
Números Fraccionarios 65
999
)1(1 ba
ab
999)1(. baab
2737)1(. baab
a = 3 b = 7
a + b = 10 Rpta. A
4. Hallar S, Si: ......7
2
7
1
7
2
7
1
7
2
7
165432
S
A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6
Solución:
......7
2
7
1
7
2
7
1
7
2
7
165432
S
S
S ......7
2
7
1
7
2
7
127
7
14322
SS 949
1
SS 949
48
9S
16
3S
Rpta. B
5. Si se cumple:
5207
8;
14
5;
7
13 kkkMCM Calcular k + 1
A) 6 B) 4 C) 8 D) 7 E) 9A) 6
5.
A) 6
Si se cumple:
5;
7
13 kkMCM
Si se cumple:Si se cumple:
13MCM
B) 4
S 9
48
9
S9
48S
777 2 7
214
2
77
S
......2
7
13
............
66 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Solución:
5207
8;
14
5;
7
13 kkkMCM
520)7;14;7(
)8;5;13(
MCD
kkkMCM
5207
.8.5.13 k
5207
520k
k = 7k + 1 = 8
Rpta. C
6. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dostérminos, su denominador?
A) 41 B) 132 C) 51 D) 135 E) 92Solución:
Sea la fracción:b
a
b
a
bb
ba3
b
a
b
ba 3
2aba 6ab 5
5
1
b
a
Rpta. C
7. A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C en 4 días; A y C en 5 días.¿En cuántos días pude hacerlo A trabajando sólo?
A) 1735 B) 17100 C) 17143 D) 17120 E) ..AN1735 B)
A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude haceA y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude hace
A) 35 B)100
A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude haceA y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude hace
100
ba
ab 5
1
bbab 6a5
5b
a
b
E) 2
¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos
Rpta. C
¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos
Números Fraccionarios 67
Solución:
Analizando sobre lo que hacen en 1 día:
A + B =3
1……
B + C =4
1…….
A + C =5
1…….
Sumando miembro a miembro las Ec. , y :
2A + 2B + 2C =60
47
120
47
4/1
CBA
120
47
4
1A
4
1
120
47A
120
17A
Para “A”:
1 día ---------------120
17de la obra
x --------------- 1
120
171
x
17
120x
Rpta . D
8. Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:Hallar8. Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:
Para “A”
x
x
120
44
120
17
---------------
68 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
271413
7777N
A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 9
Solución
271413
7777N
33333
7777N
333333
37777N Multiplicando por 3 al numerador y denominador
99999
23331N
23331,0N
diferentescifras = 2 + 3 + 1 = 6.
Rpta. B
9. Si 1,01
TAy ARITME
T
A,0
Hallar el valor de: M + E + R + I
A) 24 B) 12 C) 140 D) 18 E) 22
Solución
9
11
TAA + T = 9
Analizando: ARITMET
A,0
Vemos que A < T y además es equivalente a periódico puro.Podemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B
es:
Vemos quePodemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B
es:
Analizando:
Vemos que
Analizando:
Vemos quePodemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B
es:
T
A0
A < T
9
1
9
1
T
Analizando:A
Vemos que A < TPodemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B
C) 140
A + T = 9
C) 140 D) 18
A + T = 9
ARITME0 ARITME,0
Hallar el valor de: M + E + R + I
E) 22
= 2 + 3 + 1 = 6.
Rpta. BRpta. B
Multiplicando por 3 al numerador y denom nador
Números Fraccionarios 69
A = 2 y B = 7
Entonces: 285714,07
2
R = 8I = 5M = 1E = 4
M + E + R + I = 1 + 4 + 8 +5 = 18.Rpta. D
10. Las fraccionesbb
aa;
).(.
).(.
abAC
baACson equivalentes, además la fracción
propiaa
bes irreductible.
Hallar: a – b
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 3
Solución
).(.
).(.
abAC
baAC
bb
aa
ab
ba
bb
aa
100
100
)100.()100.( babbabaa
Entonces tenemos que : a + b = 10
Comoa
bes irreductible y b<a obtenemos que:
a = 7b = 3
a – b = 7 – 3 = 4. Rpta. C
b = 3
aa
Entonces tenemos que :
Como
bb
aa
100.(aa
Entonces tenemos que :
Como
a = 7b = 3
).(
)
ab
ba
ab
ba
C .(.
).(.
abAC
baAC
100
100.(bb
E) 3
son equivalentes, además la fracciónson equivalentes, además la fracciónson equivalentes, además la fracción
Rpta. D
70 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Tres hermanos hacen una colecta para reunir fondos. El primerocolectó 5/24; el segundo 3/10 y el tercero 1/5. ¿Qué fracción aúnles falta?.A) 24/7 B) 1/24 C) 5/7 D) 7/24 E) N.A.
2. Simplificar:34,023,0
3,02,0E ; el resultado es:
A) 15/43 B) 20/34 C) 25/34 D) 30/34 E) N.A.
3. ¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomina-dor de la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?A) 2/5 B) 3/5 C) 5/2 D) 5/3 E) 1/5
4. Hallar ...7
2
7
1
7
2
7
1
7
2
7
165432
S
Se obtiene:A) 3/8 B) 3/16 C) 1/16 D) 3/32 E) 1/32
5. Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:43/5a ; 31/4b ; 17/2c ; 73/10d
A) a,c,d,b B) a,c,b,d C) d,b,c,a D) c,a,b,d E) a,b,d,c
6. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de
la formaba
ab?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. ¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayo-res que 4/5 cuyos denominadores sean 120 y además dichas frac-ciones sean irreductibles?A) 5 B) 8 C) 11 D) 13 E) 15ciones sean irreductibles?A) 5
¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyosciones sean irreductibles?A) 5
¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyos denominadores sean 120 y además dichas fraciones sean irreductibles?
B) 8
¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyos
ba
B) 2
¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyosciones sean irreductibles?
B) 8
¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y may
¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de
C) 3
¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de
ba?
B) 2 C) 3
¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y may
Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:17 ; d
C) d,b,c,a D) c,a,b,d
¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de
/10D) c,a,b,d
2Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:
17/2 7310d
C) d,b,c,a D) c,a,b,d E) a,b,d,c
¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de
Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:
E) a,b,d,c
D) 3/32 E) 1/32
Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:
D) 3/32
...
D) 3/32 E) 1/32
Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:73
E) 1/5
¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomin la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?
¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomin la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?
Números Fraccionarios 71
8. Si:
período
ba2857148,0
75Hallar a + b
A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 13
9. Calcular el valor de X en:(0,6969...)X + (0,43838...)X = 1,13636...A) 4/13 B) 6/13 C) 9/13 D) 7 E) 1
10. Una fracción de denominador 11 genera un decimal con un perio-do de dos cifras que difieren 5 unidades. Hallar la suma de lostérminos de dicha fracción si es la mayor posible.A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 2E) 2
Una fracción de denominador 11 genera un decimal con un perio-
- 72 -
VRAZONES Y PROPORCIONES
I. RAZONES:
Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia opor medio de un cociente.
1. Razón Aritmética: Es la razón por diferencia
Antecedente – consecuente = Razón Aritmética s
Ejm. 12 – 4 = 8
2. Razón Geométrica: Es la razón por cociente
GeométricaRazónuenteseccon
eAntecedent
Ejm. 34
12
II. PROPORCIONES: Es la comparación de dos razones iguales ya seanaritméticas o geométricas.1. Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas.
Sabiendo que: a – b = r y c – d = r
Entonces: a – b = c – d
Donde:
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentesa y c: antecedentesb y d: consecuentes
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentes
a y d: extremos
Entonces: a
Donde:
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas d
b = r y c
c – d
Es la comparación de dos razones iguales ya sean
Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas d
b = r y c – d = rSabiendo que: a – b = r y c
– b = c
Es la comparación de dos razones iguales ya sean
Es la igualdad de dos razones aritméticas d
Es la comparación de dos razones iguales ya seanEs la comparación de dos razones iguales ya sean
Es la igualdad de dos razones aritméticas d
n por cocienten por cociente
: Es la razón por diferencia
Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o
Razones y Proporciones 73
Clases de proporción Aritmética
i) Proporción Aritmética Continua: Los términos medios son igua-les.
Ejm. 8 – 6 = 6 – 4 Donde:6: Media aritmética de 8 y 44: Tercera diferencial de 8 y 4
ii) Proporción Aritmética Discreta: Los cuatro términos son diferen-tes.
Ejm: Donde:
12 – 8 = 6 – 2 2: cuarta diferencial.
2. Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas
dadas sabiendo que: kb
ay k
d
c
Entonces:d
c
b
aDonde:
a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
Clases de proporción Geométrica
i) Proporción Geométrica Continua: Cuando los términos medios soniguales.
Ejm.9
3
3
1Donde:
alproporcionTercera:9 y1
alproporcionMedia:3
ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son diferen-tes:
Ejm.5
20
3
12Donde: alproporcionCuarta:5Ejm.Ejm.
Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son difere
12
ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son difere
Ejm.3
ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son diferetes:
Ejm.3
12
Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son difere
Proporción Geomiguales.
Donde:3
Clases de proporción Geométrica
Proporción Geométrica Continua: Cuando los términos medios soniguales.
9
31Donde:
y1
b y d: consecuentes
Clases de proporción Geométrica
b y d: consecuentes
b y c: mediosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
Clases de proporción Geométrica
étrica Continua: Cuando los términos medios son
b y d: consecuentes
a y d: extremos
a y c: antecedentesb y d: consecuentes
b y c: mediosb y c: mediosa y d: extremosb y c: mediosa y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes
: Es la igualdad de dos razones geométricas: Es la igualdad de dos razones geométricas
Los cuatro términos son diferen-n-
74 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Propiedades de Proporción Geométrica
Si:d
c
b
aes una proporción Geométrica;
Entonces:
*d
dc
b
ba
*cd
c
ab
a
*db
db
ca
ca
*d
c
b
a
db
ca
Serie de Razones Geométricas Iguales:
Se llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.Sean:
kb
a.......
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
4
4
3
3
2
2
1
1
Donde:a1, a2, a3, ....an : antecedentesb1, b2, b3, ....bn : consecuentes
k : constante de proporcionalidadSe cumple que:
* kb.......bbb
a.......aaa
n321
n321
* n
n321
n321 kb.........b.b.b
a........a.a.a
PROMEDIO:
Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la carac-terística ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor.Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara
rística ser mayor que el mEs un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara
rística ser mayor que el m
PROMEDIO:
Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la carateEs un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara
rística ser mayor que el mEs un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara
32 ........b.
PROMEDIO:
Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cararística ser mayor que el m
b.......
.......
n
n
n
n kb
a.
k : constante de proporcionalidad
kb
a
n3
n
n
n
3
b........
.......
: antecedentes: consecuentes
k : constante de proporcionalidadk : constante de proporcionalidad
: antecedentes: consecuentes
bn
: antecedentes: consecuentes
k : constante de proporcionalidad
kan
llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.
kn
llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.
Razones y Proporciones 75
CLASES
MEDIA ARITMÉTICA (Ma).- Es aquel promedio que proviene dela suma de “n” cantidades divididas entre “n”.
n
aaaaMa n...321
Para 2 números a y b:2
baMa
MEDIA GEOMÉTRICA (Mg).- Es aquel promedio que provienende la raíz enésima del producto de “n” cantidades.
nnaaaaMg ..... 321
Para 2 números a y b: abMg
MEDIA ARMONICA (Mh).- Es la inversa de la media aritméticade las inversas de las “n” cantidades dadas.
naaaa
nMh
1...
111
321
Para 2 números a y b:ba
abMh
2
PROPIEDADES
Sean varios Sean varios números; se calcula la Ma, Mg y Mh dedichos números; siempre:
Ma > Mg > Mh
dichos números; siempre:dichos números; siempre:
PROPIEDADES
Sean varios Sean varios núdichos números; siempre:
PROPIEDADES
Para 2 números a y b:
PROPIEDADES
Sean varios Sean varios núdichos números; siempre:
Ma > Mg > Mh
aa 32
Para 2 números a y b: Mh
a...
1
3
Para 2 números a y b: Mh
tidades dadas.tidades dadas.Es la inversa de la media aritméticaMEDIA ARMONICA (Mh).- Es la inversa de la media aritmética
de las inversas de las “n” cantidades dadas.tidades dadas.Es la inversa de la media aritmética
tidades dadas.Es la inversa de la media aritmética
ab
Es la inversa de la media aritméticatidades dadas.
Es aquel promedio que provienenEs aquel promedio que provienenEs aquel promedio que provienen
76 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sean 2 números, y hallando su Ma y Mh siempre:A x B = Ma x Mh
Se cumple:
Mg = MhMa.
La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2números A y B está dado por:
)(4
)( 2
MgMa
BAMgMa
PROBLEMAS RESUELTOS (RAZONES – PROPORCIONES Y PROMEDIOS)
1. Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se al-tere. Hallar el mayor de los números.
A) 143 B) 169 C) 134 D) 196 E) 186
SoluciónSean los números a y b.
13
11
b
a
kb
ka
13
11
Por dato del problema:
13
11
2
143
b
a
13
11
13.2
14311
k
k
112
)13(11
k
k
kk 21313k
13.2
11
(11 k
11
k
Por dato del problema:
13
11143
b
Por dato del problema:
13
11
2b
a
11143k
D) 196D) 196
k
E) 186
Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se
E) 186
Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se
PROPORCIONES Y PROM
Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,
PROPORCIONES Y PROM
Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se
EDIOS)
Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,
PROPORCIONES Y PROMEDIOS)
2
Razones y Proporciones 77
Entonces: El mayor es: b = 13kb = 13.(13)b = 169
Rpta. B2. La razón geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si
se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de di-chos números?A) 24 B) 25 C) 28 D) 29 E) 31
SoluciónSean los números a y b: donde b es mayor que a.
a + b = 65por dato:
a
b
b
a
17
17
por propiedad:a
ab
b
ba
17
1717
a
ba
b
ba
17
ab 1717ab
Además:a + b = 65
a + a + 17 = 652a = 48
a = 24b = 41
menor número es 24
3. Cuál es la diferencia entre los extremos de una proposición continúa, sila suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferen-cia de los dos primeros términos es 3?A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16Solución
Sea la proporción:d
b
b
aa – d = ???Sea la proporción:Sea la proporción:
la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?
B) 10Solución
la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?A) 9
Cuál es la diferencia entre los extremos de una propla suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?A) 9 B) 10Solución
Sea la proporción:
cia de los dos primeros términos es 3?
Cuál es la diferencia entre los extremos de una prop
menor número es 24
Cuál es la diferencia entre los extremos de una propla suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?
a + b = 65a + a + 17 = 65
2a = 4824
a + b = 65a + a + 17 = 65
17a
a + b = 65a + a + 17 = 65
2a = 48
a
a
a
17
a
78 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Datos: 362 dba y 3ba
ba
3ba
ba
a = 2b
d
b
b
a
d
db
b
ba
b
ba
db
dba 2
b
bb
db
236
336
db
12db
d
b
b
a
d
db
b
ba
b
ba
db
dbba
b
bb
db
da 2
b
bb
db
da 2
112
da
12daRpta. C
12da
112
a
a
db
a
12
da
a
b
b
d
2
b
bb2
d
bb
db
2
bd
d 2
bb
Razones y Proporciones 79
4. Si:2
1
S
O
O
N
D
U, 15SN y 14OD .
Hallar: ONU
A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13
Solución
Multiplicando 2° y 3° razón:2
2
1
.
.
SO
ON
4
1
S
N
4
41
S
SN
4
515
S
12S
3N
Sabemos que:
2
1
O
N
D
U
2
1
OD
NU
2
1
14
3U4U
Además:
2
1
S
O
Además:
D
U
U
N
2
1N
123N
80 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
2
1
12
O6O
13634ONU Rpta. E
5. Si: 2kf
e
d
c
b
a2
2
k
Rbde (R>0)
Hallar acf
A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13Solución
2kf
e
d
c
b
a, 2.kfe
Por dato:2
2
k
Rbde
2
22..
k
Rkfbd
4
2
.k
Rfbd
Entonces:422 ... kbdffdkbkacf
= Rkk
R 22
2
Rpta. E
6. Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 200 D) 500 E) 600Solución
kcba
8544
A) 20 B) 300 C) 2Solución
54
número menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 2
c
Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 2
Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 2Solución
ba
5
A) 20 B) 300 C) 200
=k
R2
Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar el
2 .dkbk
kR 2
2
=
Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 200
bdf 4.kbdf
Razones y Proporciones 81
kc
kb
ka
8
5
4
Por dato:850cba
850854 kkk
85017k
50k
El menor es: 200)50(44ka
Rpta. C
7. La media geométrica de dos números es 26 ; sabiendo que su mediaarmónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se pi-de encontrar los números.
A) 10 y 12 B) 11 y 13 C) 12 y 6 D) 11 y 12 E) 10 y 11
Solución
Sean los números a y b:
Por dato:
1
26
xM
xM
M
a
h
g
Donde:
aritméticamediaM
armónicamediaM
geométricamediaM
a
h
g
:
:
:
Entonces:
26gM
26ab22
26ab
72ab
Propiedad: abMM ah .
98)1.(
72)1.(
xx
xx
8x
Entonces:
ab 6
Entonces:
gM
ab2
ab
ab
1
Donde:Donde:
Sean los números a y b:Sean los números a y b:
26
x
x Donde:
M
MM h :
mediaM g : media
D) 11 y 12
mediaM
mediaM
h
g
:
D) 11 y 12D) 11 y 12
armónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se p
D) 11 y 12
armónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se p
E) 10 y 11
; sabiendo que su media
Rpta. C
; sabiendo que su mediaarmónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se p
; sabiendo que su media
82 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
2
baM a
21
bax
29
ba
18ba
Resumiendo: 1872 baab
6
12
b
aó
12
6
b
a
Rpta. C
8. Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y una
media geométrica de .1203 Además, se sabe que el producto bc = 30.La media armónica de estos números es:
A) 73320 B) 75350 C) 74360 D) 35075 E)
36073
Solución:
5aM
15
53
cba
cba
3 120gM
33 120abc
120abc
30bc
Entoces: 120abc
12030.a
4a
12030
Entoces:
abc
M gM
3 abc
abc
bc
Entoces:
15cb
120
120
15
5
ba
c
3 120M
3 120
D)74 D) 75 350
Además, se sabe que el producto bc = 30.
Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y una
Además, se sabe que el producto bc = 30.
E)
Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y una
Además, se sabe que el producto bc = 30.
Rpta. CRpta. C
Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y una
Además, se sabe que el producto bc = 30.
Razones y Proporciones 83
reemplazando b + c = 11
Resumiendo: 3011 bccb
5
6
c
bó
6
5
c
b
Finalmente:
cba
hM111
3
abacbc
abcM h
3
242030
)120(3hM
74
360hM Rpta. C
9. La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediageométrica en 936. Hallar la suma de las cifras del número.A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19Solución:Sea N = a3 el número buscado. Su raíz cúbica de a3 es : aDel enunciado:
936MgMa
936.2
33
aaaa
9362
23
aaa
9362
2 23 aaa
18722 23 aaa
1872)12( 2 aaa22 1213)1( xaa
13a
2
)12a2)1(a
3a
3
2
aa
2 2a
2( 2aa
(aa
1872
2aa
9362a
.a
9362
9362aa
1872
936936
el número buscado. Su raíz cúbica de ael número buscado. Su raíz cúbica de a
ma de las cifras del número.ma de las cifras del número.A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
el número buscado. Su raíz cúbica de a
ma de las cifras del número.
es : a
La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediaLa Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediama de las cifras del número.
19
La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su media
Rpta. CRpta. C
La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su media
84 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
N = a3
N = 133 = 2197
Finalmente: 197912cifras
Rpta. E
10. Sabiendo quea
a
a
a
b
a
a
a 1
y que la suma de los términos de esta propor-ción es 144. Calcular el valor de la media proporcional.A) 16 B) 27 C) 32 D) 9 E) 25
Solución:
???aa
*a
a
a
a
b
a
a
a 1
a
a
a
a
b
a
a
aa .
aa aba.
a
ab
aa
* Por dato del problema:1441 aaaa baaa
1442.a
aaaa
aaa
1441
2a
aa a
144122
a
aaa a
a
12
a
a
a 2a a
2aa a
Por dato del problema:ab
144a
a a
Por dato del problema:144
1442a
a a
1441
r-
Razones y Proporciones 85
144)1(
.2
a
aa a
222 4.3)1.(aa aa
==> a = 3
2733aaRpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el me-nor?A)90 B)75 C)60 D)40 E)45
2. Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo quecobra y lo que gasta esta en la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe ga-nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?A)18 B)36 C)64 D)72 E)74
3. La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor delos números?A)15 B)10 C)16 D)4 E)14
4. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción con-tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?A)9 B)10 C)12 D) 14 E) 16
5. Si: b+c=a+54 ydcba
11753
Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70
5.5.
Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70
B)10 C)12 D) 14 E) 16
Si: b+c=a+54 y
y la diferencia de los primeros términos es 3?A)9
tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumatinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?A)9 B)10 C)12 D) 14 E) 16
Si: b+c=a+54 y
Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70
A)15 B)10 C)16 D)4 E)14
¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción cotinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la suma
A)15 B)10 C)16 D)4 E)14
¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción cotinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?
B)10 C)12 D) 14 E) 16
La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de
A)15 B)10 C)16 D)4 E)14
La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor deLa suma , la diferencia y el producto de dos números están en la
D)72
La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de
A)15 B)10 C)16 D)4 E)14
La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de
en la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe gnar Juan para que sea el doble de lo que gasta?
E)74nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?
Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queLo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queen la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe g
nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?D)72 E)74
La suma , la diferencia y el producto de dos números están en la
Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queen la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe g
E)45E)45
Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queen la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe g
s son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el m
s son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el m
s son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el me-
86 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
6. En un aula de CEPU del canal 04 antes del receso el número dehombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después delreceso, hay 8 varones y 4 mujeres menos con lo cual la razón dehombres a mujeres es 7/4. Hallar cuantas mujeres habían antesdel receso.A)15 B)16 C)18 D)19 E)20
7. La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene másde 59 años. ¿cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas?A)51 B)50 C)53 D)52 E)54
8. La media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticade los 25 números.A)27 B)50 C)60 D)54 E)N.A.
9. Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media ge-ométrica y por su media armónica se obtiene 256.A)6 B)4 C)8 D)12 E)6,5
10. Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad secumple:Ma3 x Mh3 = 4096¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10
= 4096¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10
Si para 2 números enteros diferentes entSi para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad seSi para 2 números enteros diferentes ent
métrica y por su media armónica se obtiene 256.métrica y por su media armónica se obtiene 256.
Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad sere sí y de la unidad se
parte de su producto, por su media aritmética, por su media gmétrica y por su media armónica se obtiene 256.métrica y por su media armónica se obtiene 256.métrica y por su media armónica se obtiene 256.
parte de su producto, por su media aritmética, por su media gmétrica y por su media armónica se obtiene 256.
Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaHallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media g
métrica y por su media armónica se obtiene 256.
re sí y de la unidad se
Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media gHallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media g
aritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticaLa media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticaLa media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritmética
La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene más
- 87 -
VIREGLA DE TRES
La Regla de tres puede ser: simple o compuesta.
1. Regla de 3 simple:
Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (Incógni-ta). Puede ser:
- Directa- Indirecta
a) Regla de 3 simple Directa:
Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pro-porcionales.
Método 1: Aplicando la definición de magnitud directamente propor-cional.
A
BCx
x
C
B
A
Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en“aspa”.
A ----- BC ----- x
Ax = BCA
BC x
b) Regla de 3 Simple Inversa
Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente pro-porcionales.
Método 1: Aplicando la definición de magnitud inversamente propor-cional.Método 1cional.Método 1cional.
Regla de 3 Simple Inversa
Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente prporcionales.
Regla de 3 Simple Inversab) Regla de 3 Simple Inversa
Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente prporcionales.
Método 1:
----- x
Ax = BC xA
BC
----- Bx
Ax = BCA
BC x
Regla de 3 Simple Inversa
Una vez planteado el problema la multiplicación será enUna vez planteado el problema la multiplicación será en
A
BC
Una vez planteado el problema la multiplicación será enUna vez planteado el problema la multiplicación será en
Aplicando la definición de magnitud directamente propoAplicando la definición de magnitud directamente propoAplicando la definición de magnitud directamente propo
Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pr
Aplicando la definición de magnitud directamente propo
Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente prEs el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pr
Aplicando la definición de magnitud directamente propo
Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente prEs el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pr
da (Incógnda (Incógni-
88 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
C
ABx.xC.BA
Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será ensentido paralelo.
A ----- BC ----- x
AB = C xC
AB x
Método Práctico:
Si las cantidades proporcionales van de más a màs o de menos a me-nos, la regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más laRegla es Inversa.Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-to. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entreel otro dato del problema.
x =
x =
BC
AB
A
C
Directa:
Inversa:
A B
C X
2. Regla de 3 Compuesta
Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitu-des y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitu-des mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar elvalor desconocido de la segunda serie de valores.
Método 1: “Ley de los signos”
Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma columna.Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente resultado.Si son directamente proporcionales arriba (-) y abajo (+)Si son inversamente proporcionales arriba (+) y abajo (-)
magnitudes con el siguiente rSi son directamente proporcionalesSi son inversamente proporcionales
misma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente r
Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente rmagnitudes con el siguiente rSi son directamente proporcionalesSi son inversamente proporcionales
: “Ley de los signos”
Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente r
: “Ley de los signos”
Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una
lor desconocido de la segunda serie de valores.lor desconocido de la segunda serie de valores.
Método 1: “Ley de los signos”
Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente rSi son directamente proporcionales
Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitdes y una segunda serie de “nes mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar ellor desconocido de la segunda serie de valores.lor desconocido de la segunda serie de valores.
Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitdes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnites mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar ellor desconocido de la segunda serie de valores.
: “Ley de los signos”
x = ABC
A
x = AB
A
Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnit1” valores correspondientes a las magnit
BC
upuesto y se dividen entreSi es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro d
upuesto y se dividen entre
; si van de más a menos o de menos a más la
Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dupuesto y se dividen entre
; si van de más a menos o de menos a más la
Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-upuesto y se dividen entre
dades proporcionales van de más a màs o de menos a m; si van de más a menos o de menos a más la
dades proporcionales van de más a màs o de menos a m; si van de más a menos o de menos a más la
Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-upuesto y se dividen entre
e-
Regla de Tres 89
El valor de la incógnita está dado por un quebrado donde el numeradores el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es elproducto de los términos que tienen (-).
Método 2: “De las Rayas””
Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:
1º. Causa o Acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones quetiene para realizarla.Ejm. Obreros, máquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc
2º. Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra.Ejm. días, horas diarias, raciones diarias, etc.
3º. Efecto: La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones quepone el medio para la realización del trabajo.Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.
Acción
Serie 1:
Serie 2:
Hombres*
* * *
* **
* * *
* *
*
*
Circunstancia Efecto
Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran enuna misma raya.
PORCENTAJES
Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.
NOTACIÓN: 5% =100
5
5 % indica que cada 100 unidades se consideran 5.Una cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%Una cantidad disminuida en 10% representa 90%
Una cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%Una cantidad disminuida en 10% representa 90%
Una cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%Una cantidad disminuida en 10% representa 90%
5% =100
5 % indica que cada 100 unidadesUna cantidad total representada el 100%
NOTACIÓN:
con relación a 100 unidades.con relación a 100 unidades.
NOTACIÓN 5% =
5 % indica que cada 100 unidadesUna cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%
100
Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadLlamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.
100
5
roductos de los valores que se encuentran enroductos de los valores que se encuentran en
*
Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran enroductos de los valores que se encuentran en
*
Efecto
*
* *
Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.
Efecto
Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.
Efecto
Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.
La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones queLa obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones que
Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.
La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones que
zadores de la obra o acción y condiciones que
Ejm. Obreros, máquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc
zadores de la obra o acción y condiciones que
90 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Ejm.* ¿Cuál es el 5% de 600?
5% . 600 = 30600.100
5
* ¿Qué porcentaje de 2000 representa 50?x % . 2000 = 50
502000.100
x
x =20
50
x = 2.5
Aplicación:
a) Descuentos sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de undescuento.
%100100
D100D100D100d
1n321 ........
Donde: D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivon : número total de descuento.du : descuento único
b) Aumentos Sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de unaumento.
%100100
A100A100A100a
1n321 ........
Donde: A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.a : descuento único
Problemas de Porcentaje Relativos a las Ventas
Pv = Pc + G sDonde:
= Pc +Donde:
Problemas de Porcentaje Relativos a las VentasProblemas
Pv = Pc
de Porcentaje Relativos a las Ventas
+ GDonde:
: descuento único
de Porcentaje Relativos a las Ventas
A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.a
de Porcentaje Relativos a las Ventas
G s
100
A1001n
2
A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.
A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivo
Aumentos Sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de un
100A1
2A1
A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.
: descuento único
úmero total de descuento.: descuento único
: Cuando una cantidad se le aplica más de un: Cuando una cantidad se le aplica más de un
: descuento único
D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivoúmero total de descuento.
: descuento único
: Cuando una cantidad se le aplica más de un
úmero total de descuento.
100 %100........
D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivoúmero total de descuento.
Cuando una cantidad se le aplica más de unCuando una cantidad se le aplica más de unCuando una cantidad se le aplica más de unCuando una cantidad se le aplica más de un
Regla de Tres 91
PV : precio de ventaPC: precio de costo
G: ganancia
Pv = Pc - P sDonde:
Pv : precio de ventaPc: precio de costo
P: pérdida
Pc +Gastos + Ganancias = Pv s
Ganancia bruta – gastos = Ganancia Neta d
P. fijado - Descuentos = Pv s
PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)
1. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
Sol.
6 Caballos ----------- 15 días R3SI9 caballos ----------- x
x = 109
156.
x = 10
Rpta. (b)
2. La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabajo en 90 minutos; ¿Enque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h
Sol.
Del enunciado:
Sol.
Del enunciado:
que tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 hque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h
Sol
Del enunciado:
La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h
La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trab
Rpta. (b)
La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h
La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trab
10
10
La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éste
R3SI15 días15 días R3SI
Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos másSeis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más
PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)
Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más
PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)
Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más
PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)
Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más
PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)
92 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Luis : rapidez 1Carlos: rapidez 4Juan: rapidez 12
Rapidez Tiempo12 -------------- 90 min R3SI5 -------------- x
x = min5
90.12
x =min60
h1.min
5
90.12
x = 3,6 h
3. Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70hombres y la puede terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la primera y los5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?
a) 50/3 d b) 20 d c) 21 d d) 22,5 d e) 24 d
Sol.
* Primera cuadrilla
50 h -------------- 30 días R3SI
h)50(4
3--------- x
x =50.
4
330.50
x = 40 días
=> En 1 días4
3de la ladrillera hará:
40
1de la obra.
4. Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multiplicarpor:a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2
Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe mult
1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2
Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multpor:
=> En 1 días
4. Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multpor:a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2
4de la ladrillera hará:
Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe mult
x = 40 días
=> En 1 días
x = 40 días
=> En 1 días4
3
Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe mult
x
30 días R3SI30 días R3SI30 días R3SI
a) 50/3 d b) 20 d c) 21 d d) 22,5 d e) 24 d
terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la prim5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?
hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la prim
5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?
Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70
era y los
Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70
terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la prim ra y los
Regla de Tres 93
Sol.
Sea : x el número que se debe multiplicar al radio.Sabemos que: A = r2
Entonces por dato el problema:
A + 125%A = (x.r)2
225% A = .x2.r2
10
15x
100
225x
x.AA.100
225
x.r.A.100
225
2
22
=> x =2
3 Rpta. (c)
* Segunda cuadrilla
70 h -------------- 60 días R3SI
h)70(6
5--------- x
x =
70.6
505.70
x = 60 días
=> En 1 días6
5de la ladrillera hará:
60
1de la obra.
Luego: En 1 día ambas partes harán:
24
1
120
5
120
23
60
1
40
1de la obra
40
1
6040
=> En 1 días6
Luego: En 1 día ambas partes harán:
=> En 1 días
x = 60 díasx = 60 días
=> En 1 días
Luego: En 1 día ambas partes harán:
60
1
de la ladrillera hará:
x = 60 días
5de la ladrillera hará:
60 días R3SI60 días R3SI
94 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Finalmente:
1 día ----------24
1de la obra
x ----------- 1 obra
24
11
x =====> x = 24 días
Rpta. E
5. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimientoserán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m delado?a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9
Sol.
22 480.5.10..8400.6.8.2. rrx
2
2
400.6.8.2
480.5.10..8
r
rx
x = 6 obreros
Rpta. A
6. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tone-ladas de carbón ¿Cuántas toneladas serían necesarias para mantener tra-bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428
Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428
Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?ladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428
Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?
Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428
400
2x
x = 6 obreros
2 8400
6.8.2
10..8
r
r
x = 6 obreros
48024802480
rán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m de
Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento
rán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m de
Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento
rán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m decuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento
Regla de Tres 95
Sol.
Luego:50.9.85.8.10.15.5 x
10.15.5
50.9.85.8x
x = 408 ToneladasRpta. B
7. En una empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,asisten a al colegio nocturno. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %del personal asiste al colegio nocturno?A) 42% B) 30% C) 38% D) 36% E) 34%
Sol
Supongamos que el total de alumnos sea 100.
El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80
Asisten al colegio nocturnoFemenino: 30%(20) = 6Masculino: 40%(80) = 32
Total 38 personas
y 38 de 100 es el 38%
Rpta. C
8. 351 es el 27% de:A) 1340 B) 1250 C) 1300 D) 1200 E) 2700A) 1340
8. 351 es el 27% de:8. 351 es el 27% de:A) 1340
y 38 de 100 es el 38%
351 es el 27% de:
y 38 de 100 es el 38%y 38 de 100 es el 38%
351 es el 27% de:
Asisten al colegio nocturnoFemenino: 30%(20) = 6Masculino: 40%(80) = 32
Total 38 personasTotal 38 personas
Asisten al colegio nocturnoFemenino: 30%(20) = 6Masculino: 40%(80) = 32
Total 38 personas
y 38 de 100 es el 38%
El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80El 20% es personal femenino: 20
Supongamos que el total de alumnos sea
El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80
Supongamos que el total de alumnos sea 100.
E) 34%E) 34%
Supongamos que el total de alumnos sea 100.
empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,no. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %
empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,no. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %
empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,no. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %
empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,no. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %
96 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
Sol.
351 = 27%(X)
X.100
27351
X27
)100(351
X = 1300Rpta. C
9. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. ¿Cuál es dicha cantidad?A) 1150 B) 1200 C) 1000 D) 1050 E) 1100
Sol.
Sea la cantidad: X
X - 13%X = 957100%X - 13%X = 957
87%X = 957
957.100
87X
1100X
Rpta. E
10. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidofabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defec-tuosos hay en los 1000 productos?A) 50 B) 90 C) 45 D) 46 E) 40
Sol
Total : 1000
* Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600
Total : 1000
Sol
Total : 1000
* Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600
C) 45B) 90
abricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defeabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defetuosos hay en los 1000 productos?
B) 90 C) 45
Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600
En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidoquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el
abricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defetuosos hay en los 1000 productos?
quina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que elabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defe
Rpta. E
En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidofabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el
abricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defetuosos hay en los 1000 productos?
C) 45 D) 46
En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sido
E) 1100Una cantidad disminuida en su 13% es 957. ¿Cuál es dicha cantidad?
E) 1100
Regla de Tres 97
de los cuales son defectuosos: 5%(600) = 5/100(600) = 30
* Fueron fabricados por B: 400de los cuales son defectuosos: 4%(400) = 4/100(400) = 16
Entonces, en total hay: 30 + 16 = 46 defectuosos
Rpta. D
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran6 obreros. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para terminarla obra?A)36 B)12 C)48 D)24 E)15
2. 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 2480m de una obraen 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 120 obreros traba-jando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra.A)22 B)30 C)18 D)16 E)20
3. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d E)N.A.
4. Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constituidos por:A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
5. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días . En esemomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32
6. Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que por-Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que
terminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32terminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32
6. Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que
obreros han hmomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32
15 obreros han hmomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en
A)18 B)19 C)20 D)21 E)22A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
15 obreros han hmomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32
Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que
momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en
Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constA)18 B)19 C)20 D)21 E)22A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constA)18 B)19 C)20 D)21 E)22
eros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días . En ese
Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d
Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, en
Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.
E)N.A.cuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d E)N.A.
Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5
Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paraUn barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga para
en 15 días. ¿Cuántos días se requieren paraen 15 días. ¿Cuántos días se requieren parajando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra.
Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.
eros trabajando 8 horas diarias construyenque 120 obreros trab
de la misma obra.
eros trabajando 8 horas diarias construyeneros trabajando 8 horas diarias construyen 480que 120 obreros trab
de la misma obra.
de una obra
s. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para teEn 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se ret
s. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para te
de una obra
ranminar
98 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG
centaje aumenta su área?A)100% B)200% C)400% D)300% E)50%
7. Un futbolista patea 17 penales y acierta todos. ¿Cuántos penales másdeberá patear y fallar todos, para que su eficiencia sea del 85%?A)4 B)3 C)2 D)5 E)6
8. Vicente tenía s/.240.00 luego va al mercado y gasta el 50% de lo quegastó. ¿Qué porcentaje del total gastó?A)33,3...% B)40,05% C)35,33% D)50% E)20%
9. Al precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%,10% y 20%. ¿Cuál es el descuento único que equivale a estos 3 des-cuentos sucesivos?A)37% B)41% C)32,5% D)20,8% E)31,60%
10. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.A)700 B)0,2 C)1 D)120 E)10
El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%
ale a estos 3 deAl precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%,
ale a estos 3 de
- 99 -
VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONESEXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO
TEORÍA DE EXPONENTES
La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de expo-nentes que existen entre ellos, mediante leyes.
LEYES DE EXPONENTES
1. Producto de Bases Iguales
nmnm aaa .
2. Cocientes de Bases iguales
nm
n
m
aa
a
3. Potencia de un Producto
nnnbaab .
4. Potencia de cociente
n
nn
b
a
b
a
5. Potencia negativa de un cociente
nn
a
b
b
a
b
5.
b
a
Potencia negativa de un cociente
nb
Potencia negativa de un cociente
a
n
a
b
nb
a
b
Potencia negativa de un cocientePotencia negativa de un cociente
Potencia de cocientePotencia de cociente
n
Potencia de un ProductoPotencia de un Producto
La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de expo-
100 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG
6. Exponente cero
10a donde a 0
7. Exponente negativo
n
n
aa
1
8. Potencia de potencia
nmnm aa .
OBS:
mnrs
srnm aa
9. Raíz de una potencia
n
m
n m aa
10. Raíz de un producto
nnn baab .
11. Raíz de un cociente
n
n
n
b
a
b
a
12. Potencia de radical
n mpp
n m aa n an
Potencia de radical12. Potencia de radical
pn ma
Potencia de radical
mpa
Potencia de radical
n b
a
Potencia de radical
Raíz de un cocienteRaíz de un cociente
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 101
13. Radical de radical
mnm n aa
OBS:
mnrsm n r s aa
14. Introducción de un factor a un radical
n mnnn mnnm bababa ..
ECUACIONES EXPONENCIALESSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solu-ción se debe tener cuenta:
Por igualdad de bases:
yx aa yx Si x 0, x 1
Igualdad en el exponente:
xx ba ba Si x 0
Nota: no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se ob-tengan fuera del conjunto de los números reales.
Igualdad Base y Exponente
xa xa => xa Si a 0, a 1
PROBLEMAS:
1. REDUCIR:
aa a
a
R2
1
44
2A) 2 B) -2 C) 1 D) –1 E) 0a
a
REDUCIR:
R
PROBLEMAS:
1.
aa
R2 4
REDUCIR:
PROBLEMAS:
xa xa =>
PROBLEMAS:
REDUCIR:a 1
4
2
tengan fuera del c
Igualdad Base y Exponente
x
no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se otengan fuera del conjunto de los núm
Igualdad Base y Exponente
=> xa Si a
0
no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se oonjunto de los núm
Si x
Igualdad en el exponente:
Si x 0
no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se oonjunto de los números reales.
1
pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la sol
NCIALESSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la sol
102 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG
Sol:
aa
a
a
R2
2
22
1
2.2
2
aa a
a
R2 2
1
2
2
a
a
a
a
R
2
2
1
2
2
222
2.2 a aa
a
R Rpta ( a )
Nota: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpli-ficar por Ejemplo:
Si: a = 1
22
4
8
4
24
4
44
233
13
2
xR
2. RESOLVER:
15,0
)04,0(55
)2,0( xx
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Sol:Transformando
155
1
10
22,0
22
55
1
25
1
100
404,0
22,0
Transformando
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Transformando
04,0
,0(
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
)04,0( x
5
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4
2
4
832
: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpl: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpl: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpli-
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 103
=>
2
1
5.01
5.5
)5( x
= 12 )5( x
225,1
5.0
55
5 xx
5,15,05 x = 225 x
– x – 1 = – 2x + 2
x = 3 Rpta. ( c )
3. Simplificar:
)2(2
)2(223
4
n
nn
R
A) 2n B) 2n+1 C) 3n-1 D) 7/8 E) N.A.
Sol:
3
4
2.2.2
2.22.2n
nn
R
3
4
2.2.2
)22(2n
n
R
16
216R
16
14R
8
7R Rpta. ( d )
16
14R
32.
16
216
3
)2
16R
14
D) 7/8 E) N.A.D) 7/8 E) N.A.
104 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG
4. Resolver: 22
1xx
x
Sol:
2
2
1xx
x
2.2
1
4
1xx
x
4
2.
4
1xx
x
4
2.
4
1xx
x
2
1.
4
1xx
x
2
1.
2
1
4
1
4
1xx
x
.4
1
4
1
4
1xx
x
=>4
1x Rpta ( c )
5. Calcular a qué exponente se debe
elevar 18 para obtener: 254
A) 2/3 B) 3/4 C) 1/2 D) 4/3 E) 2/5
Sol:
Sea el exponente: x
18x = 254
22.32.3 22 x
2
1
2
332 2.32.3 xx
4
3
2
32 2.32.3 xx
4
3x
6. Hallar el valor de:
2 2 6252 1 2
2 22 8
n nn
A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1
2 22 1n
6. Hallar el valor de:6. Hallar el valor de:
A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1
Rpta ( c )Rpta ( c )
4
3
22.
4
3x
423
.3
4
3
2
3
2.3
2
1
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 105
Sol:
222.2
2222 1
22.2.2
82.2.2
8 625625
nn
nnn
=
4.28
22.22
)625(
nn
n
=4.2.32
28
625n
n
=4.28
28
625n
n
= 5625)625( 44
1
Rpta ( d )
7. Calcular el valor numérico de:
2
11
11
ba
ba
ab
ab
ba
baE para ab = 2 y ba = 0,5
A) 16 B) 14 C) 8 D) 12 E) 10
Sol:
2
..
..
ba
ba
aabb
aabb
ba
baE sabemos que 0,5 =2-1
2
)()(
)()(ba
ba
aabb
aabb
ba
baE
21 1
)()(
)()(ba
ba
aabb
aabb
ba
baE
)(
)abb
bb
a
aE
(
( baE
(b
()
)abb
b
ba )()(
(a
aa
b
ba
b
1
(a ab
emos que 0,5 =2
2
mos que 0,5 =2sabemos que 0,5 =2mos que 0,5 =2-1
= 0,5
106 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG2
212
2
112
1
)2()2(
)2()2(1-
1
E
2
22
1
2
12
22
22E
2
4
12
2
14
E
2
4
1242
124
E
2
2
4E
2
16E
E = 8 Rpta. ( c )
8. Simplificar:
........546
434322 xxxE n factores.
Sabiendo que: xnnnn )3)(2)(1( 316
A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096
Sabiendo que:
A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096
Sabiendo que:Sabiendo que:
A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096
. 6x
nn(
. 4x
8. Simplificar:
.434
322 xx
Sabiendo que:
A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096
......
Rpta. ( c )Rpta.
54
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 107
Sol:Sabemos que:
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1) (n+2) =4
)3)(2)(1( nnnn
Además por dato del problema
)3)(2)(1(
3
16 nnnnx
............ 5.4.64.3.43.2.2 xxxE
...........6.4.54.3.43.2.2xE
....5.4.34.3.23.2.12xE
4
)3)(2)(1(.2
nnnn
xE
2
)3)(2)(1( nnnn
xE
Reemplazando el valor de x:
2
)3)(2)(1(
)3)(2)(1(
3
16
nnnn
nnnnE
2
3
16E
316E
34E
64E Rpta ( c )EE
16
316E
34E
64
2
3
16
Reemplazando el valor de x:
2
)(1 n )3
Reemplazando el valor de x:)(2( nnn
108 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG
9. Calcular el valor de “n” en laecuación:
4242 33.
3
1 1n
n
A) 2 B) 4 C) –1/2 D) 6 E) 3Sol.:
4242 33.
3
1 1n
n
4
4221 33.3
1
n
n
4
4221 33
1
n
n
4
4221 1
nn
422
2.44 n
n
422.24 nn
4422.2 nn
82n
322n
3nRpta. E
10. Indicar el valor no entero que tomax, de manera que se cumpla la igual-dad:
1
3
2
8
)2(
8
4x
x
x
x
A) 1/3 B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3Sol.
Reduciendo ambos miembros tene-mos:
13
3)2(2
3
2
2
2
2
2x
x
x
x
13
3)2(2
3
2
2
2
2
2x
x
x
x
1 3342 32 22 x xx x
1
33
42
32
22 x
x
x
x
1
33
42
32
x
x
x
x
Resolviendo:
4
5x v 3x
Por dato del problema x
Entonces4
5x
Rpta.: C
PROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar el valor de “x” en: 14 48 xx es:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
2. Simplificar:
75
53
33
33nn
nn
A) 27 B) 3 C) -9 D) 9 E) -8A) 27 B) 3A) 27
Simplificar:
A) 27 B) 3
3
3
3n
B) 11
Simplificar:
Hallar el valor de “x” en:Hallar el valor de “x” en:A) 10 B) 11 C) 12
Simplificar:
3B) 3
PROBLEMAS PROPUESTOSHallar el valor de “x” en: 8x 4
PROBLEMAS PROPUESTOSHallar el valor de “x” en: 4
C) 12 D) 13
x
Por dato del problema
x
Por dato del problema
Entonces
Rpta.: C
Por dato del problema
Resolviendo:5
Resolviendo:Resolviendo:
3
42 xx
x
Resolviendo:
4
5
1
32 1
33
2 x
x
33x
323x
Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 109
3. Resolver:2/31 2xx
A) 1 B) 1/2 C) –1/2 D) -1 E) 3/2
4. Hallar 4 2a , si:
2
1
16
4a x
xxx
x
a
A) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8
5. Resolver: 15,0
)04,0(55
)2,0( xx
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 56. Efectuar
642
642
222
222nnn
nnn
M
A) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A.7. Resolver
24822222 4321 xxxxx
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
8. Hallar: 5x + 10, si:42 84 39
xx
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9. Hallar el valor de 46nmM ;
Si 422 nnn ;
33mmmmm =27.
A) 40 B) 41 C) 38 D) 3 E) 36
10. Calcular “n” si:Si: 33
)12(
21 32...2.2.2factoresn
nnn
A) 201 B) 121 C) 34 D) 64 E) 83factores
n
B) 1212(
2.2 nn
Calcular “n” si:Si:
)12(
1 2.22factoresn
nn
A) 201
4 ; m
B) 41 C) 38
Hallar el valor de M3mmmm
B) 41 C) 38
Calcular “n” si:332 32
D) 4
4 ;
E)
483x
D) 4 E)
E) 9
5
E) N.A.E) N.A.
- 110 -
VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS
ESPECIALES, OPERACIONES, PRO-DUCTOS NOTABLES.
1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término:Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alge-braicos. Recibe el nombre de binario cuando tiene 2 términos, trinomiocuando tiene 3 términos.
a) Grado de un monomio:
Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes detodas sus variables.Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable refe-rida a dicho monomio.
Ejm:M (x,y,z) = 3x5y7z3
GA = 5 + 7 + 3 = 15
GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 3
b) Grado de un Polinomio:
Grado absoluto (G.A): Está dado por el término que tiene mayor gra-do absoluto.Grado Relativo (G.R.): Está dado por el término de mayor exponentede la variable referida en dicho polinomio.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p
Grado absoluto (G.A):do absoluto.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p
Grado absoluto (G.A):do absoluto.do absoluto.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p
Grado de un Polinomio
Grado absoluto (G.A):
Grado Relativo (G.R.):
Grado de un Polinomio
(z)(z)
Grado de un Polinomio
Grado absoluto (G.A):do absoluto.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p
= 5= 7
GA = 5 + 7 + 3 = 15
= 5(y) = 7
= 3
Grado de un Polinomio:
Está dado por el exponente de la variable refEstá dado por el exponente de la variable refEstá dado por el exponente de la variable ref
Está dado por la suma de los exponentes de
Está dado por el exponente de la variable ref
Está dado por la suma de los exponentes de
Está dado por el exponente de la variable ref
Está dado por la suma de los exponentes de
Está dado por el exponente de la variable ref
rio cuando tiene 2 términos, trinomioPolinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alg
rio cuando tiene 2 términos, trinomio
Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término:Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alg
rio cuando tiene 2 términos, trinomioe-
.
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 111
Ejm:P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5
P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5
grado=10 grado=11 grado= 9 grado=5
G.A. = 11
GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 4
Nota: El valor numérico de un polinomio es el valor que toma dicho polino-mio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variables.
Ejm: sea P(x) = x2 + 2x – 1Hallar P(2)
P(2) = 22 + 2.2 – 1 = 7
2. POLINOMIOS ESPECIALES
c) Polinomios Ordenados: Son los que presentan un “orden” ascenden-te o descendente en los exponentes de una de las variables que setoma como base.
Ejm:P(x) = 8x5 – 2x3 + x – 3P(x,y) = 5x7y2 – 3x2y10 + 7x9y12
d) Polinomios completos: Son los que tienen todos los exponentes(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.
Ejm:P(x) = x4 – 2x2 + x + 10 +x3
P(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y3
e) Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus térmi-nos son iguales:Ejm:P(x,y) = x2 + 2xy + y2
P(x,y,z) = 6x3 + 5xy2 – 1/5 xyzP(x,y) = xP(x,y,z) = 6xP(x,y) = xP(x,y,z) = 6x
Polinomios Homogéneos:nos son iguales:
P(x,y) = x
P(x,y) = 4x
Polinomios Homogéneos:nos son iguales:
Ejm:P(x) = xP(x) = xP(x,y) = 4x
e) Polinomios Homogéneos:nos son iguales:Ejm:P(x,y) = xP(x,y,z) = 6x
Polinomios Homogéneos:
(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.
2x2 + x + 10 +x2y + 7xy+ x + 10 +x3
Polinomios completos:(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.
P(x) = x4 – 2x + x + 10 +xP(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y
Polinomios Homogéneos:
y12
Son los que tienen to(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) de
Son los que tienen to
+ 7x3+ 7x9y
Son los que tienen to(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.
te o descendente en los exponentes de una de las variables que sete o descendente en los exponentes de una de las variables que seSon los que presentan un “orden” ascende
te o descendente en los exponentes de una de las variables que seSon los que presentan un “orden” ascende
te o descendente en los exponentes de una de las variables que seSon los que presentan un “orden” ascende
te o descendente en los exponentes de una de las variables que se
mio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variao-o-
112 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
f) Polinomios Idénticos: Son aquellos que se caracterizan por que sustérminos semejantes tienen iguales coeficientes.
Ejm: ax2 + bx + cx mx2 + nx + p
a = mb = nc = p
g) Polinomios Idénticamente Nulos: Son aquellos que se caracterizanpor que todos sus coeficiente son idénticos a cero. Ejm:
P(x) = ax2 + bx2 +cx + d
a = 0 b = 0 c = 0 d = 0
3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
h) Suma y Resta: Para sumar o restar expresiones algebraicas sesuma o se resta términos semejantes.
Nota: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte li-teral afectada por los mismos exponentes.
i) Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicar expresio-nes algebraicas significa obtener una expresión denominada PRO-DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.
Propiedades de la Multiplicación:i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los facto-res.ii) El término independiente del producto es igual al producto de lostérminos independientes de los factores.
PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el reconoce fácilmente.
i) Binomio al cuadrado:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
j) Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a – b) = a2 – b2Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a
(a
j) Producto de una suma por su diferencia
(a + b)(a –
j) Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a – b) = a
operaciones, por esto se el rBinomio al cuadrado
+ 2ab + b2ab + b2
Producto de una suma por su diferencia
operaciones, por esto se el rBinomio al cuadrado
= a2
PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el r
Binomio al cuadrado(a + b)22 = a2 + 2ab + b
b)2 = a2 – 2ab + b
Producto de una suma por su diferenciab) = a
pendiente del producto es igual al producto de lostérminos independientes de los factores.
PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar
conoce fácilmente.Son productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar
i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los fact
pendiente del producto es igual al producto de lostérminos independie tes de los factores.
PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el reconoce fácilmente.
Binomio al cuadrado:
i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los fact
pendiente del producto es igual al producto de los
i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factPropiedades de la Multiplicación:
gebraicas significa obtener una expresión denominada PRgebraicas significa obtener una expresión denominada PRDUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.
Propiedades de la Multiplicación:i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los fact
pendiente del producto es igual al producto de lostes de los factores.
DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.
Multiplicación de expresiones algebraicas:gebraicas significa obtener una expresión denominada PR
DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.gebraicas significa obtener una expresión denominada PR
DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.gebraicas significa obtener una expresión denominada PRgebraicas significa obtener una expresión denominada PR
Multiplicación de expresiones algebraicas:
: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte ltes.
Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicar expresigebraicas significa obtener una expresión denominada PR
DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.
: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte l
Multiplicar expresi
: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte l
o restar expresiones algebraicas se
: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte l
Multiplicar expresi
o restar expresiones algebraicas se
: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte li-
o restar expresiones algebraicas se
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 113
k) Binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
l) Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
m) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o dife-rencia de cubos.
(a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3
n) Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 +(a+b)x +ab
o) Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)
(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab
p) Identidades de Lagandre
(ax + by)2 + (bx – by)2 = (x2 + y2)(a2+b2)
(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)
PROBLEMAS RESUELTOS
1. El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x2m . yn+2 – mx2n . y 4m es:
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 10
Sol:2
42
1
22 ....),(
Grado
mn
Grado
nm yxmyxmyxP(P
Sol
P
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1P(x, y) = m.x
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
Sol:
), myx
ay)
MAS RESUELTOS
El grado del polinomio homogéneo.n+2
El grado del polinomio homogéneo.El grado del polinomio homogéneo.
ay)2 + (cx
MAS RESUELTOS
El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x2m
El grado del polinomio homogéneo.El grado del polinomio homogéneo.. yn+2 – mx2n
El grado del polinomio homogéneo.El grado del polinomio homogéneo.
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
= (x2
+ (cy
+ y2)(a
Identidades de Lagandre
by)2 = (x2 + y )(a2+b
+ (cy – bz)
+b
Producto de dos binomios que tienen un término comúnProducto de dos binomios que tienen un término común
Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o dife-
114 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
Grado 1 = Grado 22m + n + 2 = 2n + 4m
2 = n + 2m
grado = 2m + n + 2grado = 2 + 2 = 4 Rpta ( a )
2. Si 15 xy;2
111
yx. Hallar
33
11
yxE
a) 1/4 b) 1/40 c) 1/10 d) 1/20 e) 1/80
Sol:
xyyxyxE
yxyyxxyxE
yyxxyxE
yxE
31111
1.
1.3
11.
1.2
111
11.
1111
11
2
22
22
33
|
60
1215.
2
1
15
3
4
1
2
1E
40
1
60
3.
2
1E // Rpta ( b )
3. ¿Cuál es el valor que asumeyx
y
xy
yx
xy
yxR
3
2222
Si:yxyx
411
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) N.A.a) 2 b) 3 c) 1 d) 4
Si:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4
Si:x
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4
que asume
y
4
¿Cuál es el valor
6060
¿Cuál es el valor que asume
yxy
11
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4
que asume R
2
1//
60
15.
40
1Rpta ( b )
que asumex
R
xy
yx.
x
11.3
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 115
Sol:De la condición:
yxyx
411
0)(
02
42
4
4
22
22
2
yx
yxyx
xyyxyx
xyyx
yxxy
yx
y x
yx
y
x
yx
xy
yxR
3
2
2
222
4222
1
2
32
4
2
2
322
2
y
y
y
y
y
yR Rpta. ( d )
4. Si: 3444 nn aa , entonces nn aa es:a) –2 b) 5 c) – 4 d) 2 e) 3.
Sol:
34..2..2 224224 nnnnnn aaaaaa
6
36
342
22
222
222
nn
nn
nn
aa
aa
aa
6.2.2 22 nnnnnn aaaaaa
622nn aana aa
6
.2 nn aa
2n aa 22
22
n
n
aa
aa
22na
2na
a
36
3422
2n a
6
36
3422
2
n
na
na4 d) 2 e) 3.
n
n es:4 d) 2 e) 3.
, entonces
2
, entonces aa es:4 d) 2 e) 3.
. 2na
223
422
1
es:
116 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
42nn aa 2nn aa Rpta ( d )
5. El grado del Polinomio es:
P(x) = :n términos.............111 852 xxx
a) 220 b) 520 c) 610 d) 1220 e) 1610Sol:
Grado = 2 + 5 + 8 + ............ 20 términos y de razón 3
Para hallar la suma:
59
)3)(19(2
)1(1
n
n
n
a
a
rnaa
21 naa
S n
)10)(61(2
20.592
S
S
S = 610
grado = 610 Rpta ( c )
6. Si P(x+3) = 6x – 25830)8)(( xxFP Hallar el valor de
)4(FE
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9Solución* P(x+3) = 6x – 2
P(x-3+3) = 6(x-3) – 2P(x) = 6x – 20Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 ………. (1)
P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28
Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48
P(xP(x) = 6xReemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28
3) – 2
Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)
P(x+3) = 6x –3+3) = 6(x
B) 3B) 3Solución
P(x+3) = 6x – 2P(x-3+3) = 6(x-3)P(x) = 6x – 20Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28
58 Hallar el v
D) 7 E) 9
Hallar el v
C) 5 E) 9
S = 610
Rpta ( c )
S = 610S = 610
Rpta ( c )
alor de
S = 610S = 610
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 117
* Por dato del problema:P(F(x)+8) = 30x + 58 ………… (2)
Igualando (1) y (2):6F(x) + 28 = 30x + 58
6F(x) = 30x + 30F(x) = 5x + 5
Entonces: F(4) = 5(4) + 5 = 25
Finalmente:
25
)4(
E
FE
5ERpta. C
7. Si el monomio 5 346 2..9.3 mm xxxx es 8, el valor de “m” es:
A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 16Solución
5 346 2..9.3 mm xxxx
30155
46G.A.
mm
Por dato del problema:
830155
46
mm
multiplicando por 30 la ecuación anterior:240224180 mm
363m
12mRpta. D
8. Sabiendo que 79
9 a
x
x
a, el valor de la expresión 4
9
49 a
x
x
aes:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 2A) 3
Sabiendo que8. Sabiendo que
A)
Sabiendo que9x
a
m
Sabiendo que
B) 4
30multiplicando por 30 la ecuación anterior:
240mm
36
30
m
multiplicando por 30 la ecuación anterior:2402m
363m
12Rpta. D
multiplicando por 30 la ecuación anterior:
E) 16
es 8, el valor de “m” es:es 8, el valor de “m” es:
118 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
SoluciónSupongamos que:
4
9
49 a
x
x
aE Hallaremos E.
2
4
9
49
2
a
x
x
aE
2
4
9
4
9
49
2
49
2 ..2a
x
a
x
x
a
x
aE
a
x
x
aE
9
92 2
a
x
x
aE
9
92 2
29
9
22 2a
x
x
aE
299
9
2
9
22 ..22a
x
a
x
x
a
x
aE
a
x
x
aE
9
9
22 22
229
9
22
a
x
x
aE
27222E
922E
232E
5E
Rpta. C
9. Si3 3 3 ...4.24.244 xM a , su grado es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.4 xa
B) 2Si M9. Si
44M a
A) 1 B) 2
Rpta. C
9
23
5
3 3.24.2
22
2
aa
2
x2
9x
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 119
Solución
El grado de M es: 3 3 3 ...4.24.24
Supongamos que:
3 3 3 ...4.24.24E Hallaremos E.
33 3 ...4.24.24
E
E
3 .24 EE
EE 243
Dando valores a E, obtenemos que:
E = 2
Rpta. B
10. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:
...32)( 2312 cba xxxxP posee 2c términos; hallar “a+b+c”.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16.Solución
Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c-1.
...32)(
32
2
22
3
12
12
c
c
c
b
c
a xxxxP
Del tercer término obtenemos:232 cc
5c
Del segundo término obtenemos:223 cb
5b
Del segundo término obtenemos:1212 ca
4a
Por lo tanto: 14cba
Rpta: CPor lo tanto:Por lo tanto:
c
a
Del segundo término obtenemos:12a
4
Del segundo término obtenemos:212 ca
4a
Por lo tanto:
do término obtenemos:2c
5
Del segundo término obtenemos:
do término obtenemos:2c
5b
Del segundo término obtenemos:1
Del tercer término obtenemos:
...
Del tercer término obtenemos:
Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2cComo posee 2c términos, Entonces es de grado 2c
posee 2c térm
Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:
posee 2c términos; hallar “a+b+c”.
Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c
nos; hallar “a+b+c”.nos; hallar “a+b+c”.
120 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar m/n si el polinomio:)72(3);( 1612 nmnm yxyxyxP es homogéneo.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) N.A.
2. Sabiendo que xb
a
bax
baxP , Calcular:
)3/5(
)3()2(
P
PP
A) 1/4 B) 2 C) 3 D) 5/4 E) 3/4
3. Si 31
2
aa el valor de
33 1
aa es:
A) 1 B) 6 C) 0 D) -1 E) 2
4. Si 22 abba yxuyx son tres términos consecutivos de un poli-nomio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecien-temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”de “u”.A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7
5. La expresión: xabxabxba baba )(.).( 462 ; reducida a unmonomio es:A) x B) 2x3 C) ax4 D) -3x2 E) 5x
6. Sea
nn
nn
yxyxyxyx
yxyxyxyxM
11...
111111
))...()()((
3322
3322
. La suma de
los grados relativos de M es:
A)2
)1(nnB) )1(nn C) )1(nn D)
2
)1(nn
E) N.A.2
los grados relativos de M es:
A)n
los grados relativos de M es:
A)2
(nn
E) N.A.
xy 2
los grados relativos de M es:
x
1
yx
xM
1
(
los grados relativos de M es:)1
B)
y
C) ax4
y )(22
xb ).62
B) 2x3 4 D) -
xyxy
11
)()( 32
E) 7
xab 4
D) 4
temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”
D) 4 E) 7
bx ba (
E) 5x
io P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecietemente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”
io P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecietemente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”
son tres términos consecutivos de un polio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecie
temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”
son tres términos consecutivos de un polio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecie
temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”
son tres términos consecutivos de un polio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecie
Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 121
7. Hallar el valor de “n”:
n
a
b
ba
ba
3 2/1 36
2/1 4/1 3361
.
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7
8. Siendo: 72
3
3
2
a
m
m
a, calcular 4
2
3
3
24
a
m
m
a
A)3 B)4 C)5 D)1 E) 4 7
9. La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:ab bab baa y
a
byx
b
aybxaxyxP
213312);( , es:
A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) N.A.
10. Efectuar el producto:
244
3
1
1
1
1 x
xx
x
x
x; Si x = 2, se tiene:
A) 0 B) 3-16x C) 3 D) 3+16x E) N.A.C) 3 D) 3+16x
; Si x = 2, se tiene:2 ; Si x = 2, se tiene:
C) 3 D) 3+16x
; Si x = 2, se tiene:
E) N.A.
; Si x = 2, se tiene:
D) 3+16x E) N.A.
y
E) N.A.
aby , es:
E) N.A.
del polinomio homogéneo:del polinomio homogéneo:
- 122 -
IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL
RESTO, COCIENTES NOTABLESI. DIVISION ALGEBRAICA
Definición: La división Algebraica es una operación que consiste en obtenerun cociente “q(x)” a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo“D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate deuna división inexacta.
)()().()( xrxqxdxD División inexacta
)().()( xqxdxD División exacta
Casos de la División:1) Cuando se trata de dos monomios:
Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefi-cientes y finalmente se dividen las letras aplicando teoría de exponen-tes.
Ejm: Dividir:263
82
1085
2
16
32
zyxE
zyx
zyxE
2) Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos siguientes:
a) Método Normalb) Método de los coeficientes separados.c) Método de Hornerd) Método de Ruffini.
Ejm: Dividir12
67942
23
xx
xxx
a) Método NormalOrdenando previamente tenemosMétodo NormalOrdenando previamente tenemos
Ejm: DividirEjm: Dividir
a) Método NormalMétodo NormalOrdenando previamente tenemos
Método de HornerMétodo de Ruffini.
942
3
x
xx
Método de HornerMétodo de
Método NormalMétodo Normalb) Método de los coeficientes separados.c) Método de Hornerd) Método de
Ejm: Dividir4
Método Normal
Ruffini.
Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos s
Método NormalMétodo de los coeficientes separados.
E
Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos s
Método NormalMétodo de los coeficientes separados.Método de Horner
Ruffini.
26
2
85
16
z
yx
yx
n las letras aplicando teoría de exponen las letras aplicando teoría de expone
82
1085
16
32
zyx
zx
Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefn las letras aplicando teoría de exponen las letras aplicando teoría de exponen las letras aplicando teoría de expone
Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefn las letras aplicando teoría de expone
Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefn las letras aplicando teoría de expone
Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefn las letras aplicando teoría de expone
Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coef
“D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate de
División, teorema del resto, cocientes notables 123
4x- 4x
- xx
- 9x+8x
+ 3x- 2x
x - 5
4x - 1
x+ 7x - 6 - 4x
- 6+ 1
- 2x + 13
3
2
2
2
2
2
q(x) = 4x – 1
R(x) = x – 5
b) Métodos de coeficientes separadosSólo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos. 4 -9 7 - 6 1 - 2 1- 4 8 - 4 4 -1
-1 3 -6 1 - 2 1
1 -5
q(x) = 4x – 1
R(x) = x – 5
c) Método de Horner:
Tenemos que dividir
signosucambiase
2
23
12
6794
xx
xxx
1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4-1 - 2 1
4 -1 1 - 5
cociente residuo
-1
q(x) = 4x – 1R(x) = x – 5
1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4 1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4 1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4-1 - 2 1
Tenemos que dividirTenemos que dividirTenemos que dividir
se
x
-1
3 9x 72
23
2
94
x
xx
signos.
124 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
METODO DE RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando eldivisor es un binomio de primer grado.
Ejm: Dividir:2
932 23
x
xxx
Procedimiento
x + 2 = 0x = – 2
1 - 2 3 9
-2 - 2 8 - 22
1 - 4 11 - 13
cociente
Resto
q(x) = x2 – 4x + 11
Resto = - 13
TEOREMA DEL RESTOEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarla división.“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de laforma “ bax ” es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuando
se reemplaza en él, pora
b ”.
Ejm:
Hallar el resto en:8
8)7()5( 32
y
yx
y + 8 = 0y = -8
Resto = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3 + 8R = (-3)2 + (-1)3 + 8R = 9 – 1 + 8R = 16
COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos particulares de divisionesexactas.Se denominan cocientes notables a ciertos casos partCOCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos partexactas.
COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos partCOCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos partexactas.
R = (R = 9R = 16
COCIENTES NOTABLES
Resto = (R = (R = 9R = 16
COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos part
1 + 8
5
y
Resto = (-8 + 5)
8
()5 2
y
y
Resto = ( 8 + 5)2
R = (-3)2Resto = (Resto = (
+ (-1)38 + 5)8 + 5)
1 + 8
que adquiere dicho polinomio cuandoque adquiere dicho polinomio cuandoérico“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la
rico que adquiere dicho polinomio cuando
8
“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la
Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar
“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la
Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar
“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de laque adquiere dicho polinomio cuando
Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar
División, teorema del resto, cocientes notables 125
De tal forma que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo.
Forma General:ax
ax mm
donde Zm
CASO 1:ax
ax mm
es cociente notable cuando “m” es impar
CASO 2:ax
ax mm
es cociente notable cuando “m” es par
CASO 3:ax
ax mm
no es cociente notable
CASO 4:ax
ax mm
es cociente notable para cualquier valor de “m”
Desarrollo de C.N. :ax
ax 55
= x4 – x3a + x2a2 – xa3 + a4
DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.
Forma General :
ax
ax mm
= xm-1 + xm-2a + xm-3a2 + … + am-1
t(k) = (signo) xm-k . ak-1
Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es posi-tivo.Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan unlugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.
.Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan unlugar
Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (x
Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (xtivo.Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan unlugar par son
Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (x
t(k) = (signo) x
Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (x
Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan un
+ xm-2a + x+ x a + xm-3a2 + … +
= (signo) xm-k . ak-1
DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.
m-1
a + x2a2 –x33a + x – xa3 + a
DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.
4
es cociente notable para cualquier valor de “m”es cociente notable para cualquier valor de “m”es cociente notable para cualquier valor de “m”es cociente notable para cualquier valor de “m”
126 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
ejemplo:Hallar el t(40) en el desarrollo del C.N. :
23
100150
ax
ax
solución:
23
502503 )()(
ax
ax
t
PROBLEMAS:
1. El resto de la división:
1
163).2().1( 21
x
nxnxnnx nnn
a) 17 b) 13 c) 15 d) 21 e) 19
SoluciónPor teorema del resto tenemos que: x = 1
1631).2(1).1(1. 21 nnnnR nnn
16321 nnnnR
13R Rpta. B
2. Hallar el residuo de:
1
32
450100
x
xxx
a) 4 b) 20 c) 71 d) 110 e) N.A.b) 20
Hallar el residuo de:
a) 4 b) 20
Hallar el residuo de:Hallar el residuo de:
n
13
Hallar el residuo de:
Por teorema del resto tenemos que: x = 1
).1(1 nn
32 n
Por teorema del resto tenemos que: x = 1
1).1 1n1.n n
1621 n
d) 21
Por teorema del resto tenemos que: x = 1
e) 19
1x
d) 21 e) 19
Por teorema del resto tenemos que: x = 1
).
32xn 163).2 nx
División, teorema del resto, cocientes notables 127
Solución
1
32
450100
x
xxx=
1
32
22252502
x
xxxtomamos x2 = y
=1
322550
y
yyy
Por teorema del resto y = 1
R = 150 + 125 – 12 +3R = 1 + 1 – 1 + 3R = 4 Rpta. A
3. El resto de la división :
ax
axax
2
)( 777
a) 128a7 b) –127a7 c) 127a7 d) –126a7 e)126a7
SoluciónPor teorema del resto:
==> 777 )2(2 aaaaR777 128 aaaR
77 127aaR77 127aaR
7126aR Rpta. E
4. Para que la expresión:mn
mn
yx
yx33
sea cociente notable y su se-
gundo término en su desarrollo sea x2y2. Hallar nm.a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.a) 1 b) 4
4.
gundo término en su desarrollo sea xa) 1 b) 4
Para que la expresión:
gundo término en su desarrollo sea xa) 1 b) 4
Para que la expresión:Para que la expresión:
gundo término en su desarrollo sea xa) 1 b) 4
Para que la expresión:
a7 127a
7126a
a7 127a
7127aR
126R
Para que la expresión:
2( a7a
7a
Por teorema del resto:7 777 )( aa
7a
7c) 127a7 d) –126a–126a7
128 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
SoluciónSabemos que: 1
)( .. kkm
k BAsignot |1223
)2(mn yxt
mn yxt .)2(
mn yxyx .. 22
Entonces n = 2 , m = 2.422mn Rpta. B
5. Determinar el valor de “m” para que el cocientemm
mm
yx
x32
516
sea
cociente notable.a) 3 b) –3 c) 2 d) – 4 e) 4Solución
Por propiedadm
m
m
m 5
32
16
m
m
m
m 5
32
16
532
16
m
m
)32(516 mm
151016 mm
m4164m Rpta. E
6. Hallar el resto de dividir)1)(2(
7)1()2( 20002001
xx
xx
a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2x-4 e) 2x+4Solución
Sabemos que: D(x) = d(x).q(x) + R(x)Como el divisor es de segundo grado entonces, el residuo tiene laSabemos que:Como el divisor es de segundo grado e
Solución
Sabemos que:
a)Solución
Sabemos que:Sabemos que:Como el divisor es de segundo grado e
Hallar el resto de dividir
1 c) 3x+2 d) 2x
Hallar el resto de dividir
3 b) 2x
Hallar el resto de dividir
a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2xSolución
Sabemos que: D(x)
1 c) 3x+2 d) 2x
Hallar el resto de dividir
m
1510m
4 Rpta. E
Hallar el resto de dividir(x
División, teorema del resto, cocientes notables 129
forma de:R(x) = ax + bReemplazando:
baxxqxxxx )().1)(2(7)1()2( 20002001
Si x = 2 : ba 2.07)1(0 2000
ba27182 ba ........ (*)
Si x = 1 : ba 1.070)1( 2001
ba716ba .........(**)
Resolviendo (*) y (**):82 ba
6ba
a = 2 b = 4
Por lo tanto: R(x) = 2x +4 Rpta. E
7. Hallar el resto en:
54
7)2(3)2(5)2(4)2(2
3246382
xx
xxxx
a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) x-1Solución
=54
7)2(3)2(5)2(4)2(2
3246382
xx
xxxx
=144
7)2(3)2(5)2(4)2(2
3246382
xx
xxxx
=1)2(
7)2.()2(3)2(5)2.()2(4)2(2
2122312412
x
xxxxxx
Hacemos que (x + 2)2 = yHacem
=(
Hacem
2(4 x
os que (x + 2)
)412
=
4)2(41
x
Hacemos que (x + 2)
2
)2(x
)2 82
a) x+2 b) 2x+1 c) 2x
=(4)( 82 x
(4)2( xx
5x1 d) x+1 e) xd) x+1 e) x
2 54
)2(5 24
x
x
a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) xd) x+1 e) x
2x
Rpta. E
)2(3 324 x
Rpta. E
130 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
=1
7)2.(35)2.(4 123141
y
xyyxyy
Por el teorema del resto: y = -1
7)2).(1(3)1(5)2.()1(4)1(Re 123141 xxsto
7)2(35)2(41Re xxsto
7635841Re xxsto
1Re xsto Rpta. E
8. Hallar “m” para el polinomio x3 + x2 - 3mx + 5 al dividirlo entre x–1 dé como resto el doble de dividirlo entre x – 2.a) 27 b) 21 c) 18 d) 9 e) 3Solución
Aplicando teorema del resto a:
1
5323
x
mxxxx =1: 53111 mR
mR 371
2
5323
x
mxxxx =2: 56482 mR
mR 6172
Por dato del problema: R1 = 2R2
7 – 3m = 2(17 – 6m)7 – 3m = 34 – 12m
9m = 27m = 3 Rpta. E
9. Hallar el resto de dividir )6)(5)(4)(3)(2)(1( xxxxxx
entre 1172 xx
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5A) 1entreA) 1
Hallar el resto de dividir
11C) 3
Hallar el resto de dividir2
Hallar el resto de dividir
entre 72 xx
B) 2
7
m = 3
Por dato del problema: R7 – 3m = 2(177 – 3m = 34
9m = 27m = 3
Hallar el resto de dividir (x
x =2:
= 2R2= 2R3m = 2(17
2
172
x =2: 2R
R 172
3m = 2(17 – 6m)12m
6
37
4
11
111R
mR 31
648 m
5m 53
División, teorema del resto, cocientes notables 131
Solución
117
)6)(5)(4)(3)(2)(1(2 xx
xxxxxx
Multiplicando lo indicado tenemos:
117
)127)(107)(67(2
222
xx
xxxxxx
Hacemos que xx 72 = y
=11
)12)(10)(6(
y
yyy
Por el teorema del resto: y = -11)1211)(1011)(611(Re sto
)1)(1)(5(Re sto
5Re sto Rpta. E
10. Calcular el valor numérico del término central del cociente nota-ble originado al dividir:
44
100100
)()(
)()(
yxyx
yxyxpara x = 3, y = 22 .
A) 1 B) 2 C) 100 D) 200 E) 10000Solución
44
100100
)()(
)()(
yxyx
yxyx=
44
254254
)()(
)()(
yxyx
yxyx
El término central ocupa el 132
125término, entonces k = 13.
Aplicando la Ec.:Aplicando la Ec.:
El término central ocupa el
Aplicando la Ec.:
4 ()
(
xy
El término central ocupa el
(
(
x
yx
A) 1A) 1 B) 2Solución
4
100
)(
)(
yx
yx
El término central ocupa el
Aplicando la Ec.:
)y
4 )(
(
yx
x
C) 100 200
ble originado al dividir:
44
100
))
)
yy
ypara x = 3, y =
B) 2 C) 100 D)Solución
100)yx
Calcular el valor numérico del término central del cociente notCalcular el valor numérico del término central del cociente not
)1)(
Calcular el valor numérico del término central del cociente not
para x = 3, y =
11)(1111
)1211)(10
132 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG1
)( .. kkm
k BAsignot |113413254
)13( )(.)( yxyxt
124124)13( )(.)( yxyxt
4848)13( ).()( yxyxt
48)13( )).(( yxyxt
4822)13( yxt
Reemplazando los valores de “x” e “y”4822
)13( )22()3(t
4889481
1Rpta. A
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si: P(x)= (x+2)30 +3x – 192, hallar el resto de1)3)(x(x
)(xP
A) 3x – 91 B) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.
2. Calcular A+B si la división12
2522
234
xx
BAxxxxes exacta.
A)146 B)164 C)116 D)46 E)16
3. Hallar el término 21 en el siguiente cociente notable:20
2
11
2
x
xx.
A) x+1 B) x C) x2+1 D) x2-1 E) x-1
4. Señalar "m" para que222
732
mm
mm
ba
basea un cociente notable. De m2 +
m+1.
Señalar "m" para queSeñalar "m" para que
A) x+1 B) x C) x
4. Señalar "m" para que
m+1.
+1 D) x
Señalar "m" para que
Hallar el término 21 en el siguiente cociente
A) x+1 B) x C) x
Hallar el término 21 en el siguiente cociente
A) x+1 B) x C) x2+1 D) x
Señalar "m" para que
1 E) x
Calcular A+B si la división
A)146 B)164 C)116 D)46 E)16
Hallar el término 21 en el siguiente cociente
Calcular A+B si la división
A)146 B)164 C)116 D)46 E)16
Hallar el término 21 en el siguiente cociente
1 E) x
) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x
3
191 E
2
) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x
192, hallar el resto de
) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.
12
25 2
x
Axx
191 E) N.A.
llar el resto de(x 3)(x
x
PROBLEMAS PROPUESTOS
192, hallar el resto de3)(x(x
(xP
191 E) N.A.
División, teorema del resto, cocientes notables 133
A)4 B)12 C)7 D)21 E)No es C.N.
5. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio Q (x) si se sabe que esde tercer grado, su coeficiente principal es 1, es divisible por (x-2)(x+1) ycarece de término cuadrático?A) 4 B) –5 C) 7 D) –4 E) 9
6. Calcular el 7mo. Término del cociente:25
3075
yx
yx
A) 1540 yx B) 1240 yx C) 2040 yx D) 3040 yx E) 1218 yx
7. Dado el cociente notablecb
a
yx
yx 12
, el término de lugar “k” de su
desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c = 20y a3 + c3 = 5840. Calcular k.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. Cuando el polinomio DCxBxAxx 23415 se divide entre35 2 xx , se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de
uno en uno a partir del primer término y un residuo de 2x-9. HallarA+B-C+2DA) 7 B) -6 C) 12 D) -7 E) 0
9. El resto de dividir)1)(3(
1923)2( 2
xx
xx n
, es:
A) 3x-91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x-191 E) x+9
10. Hallar el resto en:1
)1(2
122
xx
xx nn
A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) N.A.A) 0
Hallar el resto en:
B) 1 C) 3
Hallar el resto en:Hallar el resto en:
A) 0 B) 1 C) 3
El resto de dividir
91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x
1(x
El resto de dividir(
(
x
x
91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x
Hallar el resto en:)1(
2
2
x
x n
7 E) 0
3x
-7 E
, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deen uno a partir del primer término y un re
7 E) 0
)1
192, es:
Bx
, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deen uno a partir del primer término y un residuo de 2x
, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deCxBxAx 23
, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deen uno a partir del primer término y un residuo de 2x
D se divide entre, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de
desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c =
Cx se divide entre, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de
desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c =
, el término de lugar “k” de su, el término de lugar “k” de su
desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c =
, el término de lugar “k” de su
- 134 -
XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS
MÉTODOSFACTORIZACIÓN
Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multipli-cación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizarsignifica convertir una suma algebraica en producto de factores.
METODOS DE FACTORIZACIÓN
1.- FACTOR COMÚN: El factor común puede ser de tres tipos:factor común monomiofactor común polinomiofactor común por agrupación
a) Factor Común Monomio: Cuando el factor común a todos los térmi-nos del polinomio es un monomio.
ejemplo: Factorizar:
15a2b + 10a4b2 – 20a4b4
el factor común es: 5a2b15a2b + 10a4b2 – 20a4b4 = 5a2b (3 + 2a2b – 4a2b3)
b) Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es unpolinomio.ejemplo: Factorizar:
5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z)el factor común es: xy – z5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) = (xy – z) (5a – 3b + 4)
c) Factor Común por agrupación: Se busca agrupar términos de modo
5a (xy
Factor Común por agrupación:c)
5a (xy
Factor Común por agrupación:
Factoriza
5a (xy – z) – 3b (xyel factor común es: xy
z)
polinomio.ejemplo:
Factor Común Polinomio:polinomio.ejemplo: Factoriza
5a (xyel factor común es: xy5a (xy – z)
Factorizar:
el factor común es: 5a15a2b + 10a
Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es un
15a2b + 10a
el factor común es: 5ab + 10a4b
Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es un
Factorizar:
20a4b
: Cuando el factor común a todos los térmmio.
b4
b
: Cuando el factor común a todos los térm: Cuando el factor común a todos los térm: Cuando el factor común a todos los térm
: El factor común puede ser de tres tipos:: El factor común puede ser de tres tipos:
Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplcación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizar
División, teorema del resto, cocientes notables 135
que vuelva a aparecer un factor común en todo el polinomio.
ejemplo: Factorizar:xy – zy + xw – zw
agrupamos de la forma siguiente:
xy - zy + xw - zw
y(x – z) + w(x – z)(x – z) (y + w)
2. METODO DE IDENTIDADES
a) Diferencia de Cuadrados: Es una diferencia de cuadrados perfectos.
a2n – b2n = (an + bn) (an – bn)
Ejemplo: Factorizar: x6 – y8
x6 – y8 = (x3)2 – (y4)2
= (x3 + y4) (x3 – y4)
b) Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la siguiente forma:
a2m + 2ambn + b2n = (am + bn)2 a2m – 2ambn + b2n = (am – bn)2 s
ejemplo: Factorizar: x8 + 6x4y2 + 9y4
x8 + 6x4y2 + 9y4 = (x4)2 + 2 . x4 . 3y2 + (3y2)2
= (x4 + 3y2)2
c) Suma o diferencia de cubos: Tiene dos cubos perfectos:
a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ambn + b2n)
a3m – b3n = (am – bn) (a2m + ambn + b2n)
Suma o diferencia de cubosSuma o diferencia de cubosc) Suma o diferencia de cubos
a3m
a3m
Factorizar:
x
Suma o diferencia de cubos
: Tiene la siguiente forma:
8 + 6x
: Tiene la siguiente forma:
2m – 2a
= (x
Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la siguiente forma:
a2m 2am
+ 6x4y2 + 9y
2 + 9y
: Tiene la siguiente forma:
mbn
)2 – (y+ y4) (x
: Tiene la siguiente forma:
= (x= (x= (x= (x= (x3)2 (y4(y(y )2
= (x3 + y ) (x3 – y
: Tiene la siguiente forma:
n
: Es una diferencia de cuadrados perfectos.: Es una diferencia de cuadrados perfectos.: Es una diferencia de cuadrados perfectos.
136 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
8x - 2x - 32
2x 1
4x -3
4x
- 6x
- 2x
ejemplo: Factorizar: x9 + 8
x9 + 8 = (x3)3 + 23 = (x3 + 2) [(x3)2 – x3 . 2 + 22]
= (x3 + 2) (x6 – 2x3 + 4)
3. METODO DEL ASPA
c) Aspa Simple: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
ax2n bxn cx2n bxn c
PROCEDIMIENTO:Descomponemos los extremos en dos expresiones que multiplica-das los vuelve a reproducir.Luego multiplicar en aspa y sumamos estos productos. Este últimodebe coincidir con el término central.Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.
ejemplo: Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x - 3
)34()12()( xxxP
d) Aspa Doble: Se aplica para factorizar polinomios de la forma:
ax2n bxnyn cy2n dxn eyn f
Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algúntérmino se completa con coeficiente cero. También el método de aspatér
o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún
mino se completa con coeficiente cero. También el
Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar
ax
Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algúntér
o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún
mino se completa con coeficiente cero. También el
: Se aplica para factorizar polin
cy2ncy
decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar
Aspa Doble: Se aplica para factorizar polin
bxn
Aspa Doble: Se aplica para factorizar polin
2n bxnyn
decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún
2()(xP 12(( xP
: Se aplica para factorizar polin
2x 1
4x -3 - 6x
2x 12x 1
4x -3 - 6x
- 2x
4x
2x - 3
Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.
tos productos. Este último
Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.
tos productos. Este último
Descomponemos los extremos en dos expresiones que multipDescomponemos los extremos en dos expresiones que multip
tos productos. Este último
a-
División, teorema del resto, cocientes notables 137
doble se aplica para algunos polinomios de 4to. grado.Ejemplo: Factorizar: E = 6x2 + 7xy – 3y2 + 11x – 11y – 10
6x + 7xy - 3y + 11x - 11y - 102 2
3x - y -2
2x 3y 5
III III
Verificando los términos
I IIIII 9xy- 2xy
+7xy
: - 5y- 6y
-11y
: 15x- 4x
11x
:
Luego la expresión factorizada es:
E = (3x – y – 2) (2x + 3y + 5)
Aspa Doble Especial: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de laforma general:
ax4 bx3 cx2 dx e
PROCEDIMIENTO:
Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus facto-res primos con signos adecuados.Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta ma-nera se obtiene un término de 2do. grado.A este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al tercer término.
Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer términodel polinomio, se descompone en sus factores en forma conveniente.ejemplo: Factorizar: E = x4 – 10x3 + 19x2 – 18x + 9del polinomio, se descompone en sus factores en forma convenieejemplo:del polinomio, se descompone en sus factores en forma convenieejemplo:
Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta mnera se obtiene un término de 2do. grado.
esultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al te
Con este otro término de 2do. grado coldel polinomio, se descompone en sus factores en forma convenie
Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta mnera se obtiA este r
Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factSe descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta mnera se obtiA este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al te
Con este otro término de 2do. grado coldel polinomio, se descompone en sus factores en forma convenieejemplo:
ne un término de 2do. grado.esultado se le debe sumar algebraicamente otro término de
PROCEDIMIENTO:
Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.
dx
PROCEDIMIENTO:
Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta m
ne un término de 2do. grado.
: Se usa para factorizar p: Se usa para factorizar p: Se usa para factorizar p
y – 2) (2x + 3y + 5)
: Se usa para factorizar p
Luego la expresión factorizada es:
2) (2x + 3y + 5)
Luego la expresión factorizada es:Luego la expresión factorizada es:
2) (2x + 3y + 5)
: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de la
Luego la expresión factorizada es:
- 6y- 5y- 6y
-11y
- 4x
11x
:III 15x- 4x
:
138 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
solución:x - 10x + 19x - 18x + 94
x 9
x 1
3 2
2
2
9x
x
10x
2
2
2
Se observa que falta: 19x2 – 10x2 = 9x2
Se descompone 9x2 en factores en forma conveniente y se verifica el 2do. y4to. término.
X X
- X 1X
- 9 92
2
I II
Verificando los términos:
- XX X
X
X X
- 9 - 9- 9
- 10 - 18
3I II
La expresión factorizada es:
E = (x2 – 9x + 9)(x2 – x + 1)
4. MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fac-tores de primer grado de forma:
x B ; A x BEs decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entonces P(x) es divisible por (x – a)
Procedimiento:- Se determina por lo menos un cero del polinomio- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o
factor.- El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor ob-
factor.El otro facto
Se determina por lo menos un cero del pol- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o
Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entoProcedimiento:
- Se determina por lo menos un cero del pol- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o
factor.- El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor o
Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 ento
Se determina por lo menos un cero del polDe acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o
Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entoProcedimiento:
Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte faPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fatores de primer grado de forma:
Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entoProcedimiento:
Se determina por lo menos un cero del polDe acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o
El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor o
Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 ento
x + 1)
MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fatores de primer grado de forma:Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte faMÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fatores de primer grado de forma:
x B ; AEs decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 ento
X
- 9- 18
- 9- 9
- 18
II
XX
- 9- 9
1
División, teorema del resto, cocientes notables 139
tenido mediante la regla de RUFFINI.Ejm:Factorización: P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6Sol:
Se determina los posibles ceros del Polinomio para valores de: x =1, 2, 3, 6
Para x = – 1P(-1) = (-1)3 + 6(-1)2 + 11(-1) + 6 = – 1 + 6-11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡
Luego (x + 1) es el factor del polinomioDividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:
1 6 11 6-1 -1 -5 -6 1 5 6
Luego el polinomio factorizado es: ( x – 1)(x2 +5x + 6)
Finalmente (x – 1)(x + 3)(x + 2)
5. METODO DE ARTIFICIO DE CALCULOa) Reducción a diferencia de cuadrados
Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una di-ferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de talmanera que se complete el trinomio cuadrado perfecto.Ejm: Factorización E = 49x4 + 5x2y4 + y8
Solución:Se observa que los extremos son cuadrados perfectosEntonces:E = 49x4 + 5x2y4 + y8
E = (7x2)2 + (y4)2 + 5x2y4
E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 – 14x2y2 + 5 x2y4
E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 + 5 x2y4
E = ( 7x2 +y4)2 – 9x2y4
E = ( 7x2 +y4)2 – (3xy2)2
E = ( 7x2 +y4 + 3xy2 ) ( 7x2 + y4 – 3xy2 )E = ( 7x
E = ( 7x
E = ( 7x
+ 2.7 x
+y4)2 –
E = ( 7x2 +y4)2
E = (7x
E = ( 7x
E = (7xE = (7x )
E = (7x2)2 + 2.7 x
E = ( 7x2 +y
E = ( 7x
E = ( 7x2 +y
2
+ (y4)2 + 5x
+ 2.7 x2. y4 + ( y4)
+ 5x2y4y + y
E = (7x ) + (y + 5x2y4y
E = (7x2)2 + 2.7 x + ( y4
+ 2.7 x2. y4 + ( y
+ 5x
Se observa que los extremos son cuadrados perfectosSe observa que los extremos son cuadrados perfectos
ferencia de cuadrados sumando y referencia de cuadrados sumando y remanera que se complete el trinomio cuadrEjm: Factorización E = 49x4manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr
+ 5x2manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr
y4y
Se observa que los extremos son cuadrados perfectos
4
Se observa que los extremos son cuadrados perfectos
Consiste en transformar una expresión (trinomio en gentando una misma expresión de tal
manera que se complete el trinomio cuadrado perfecto.do perfecto.ferencia de cuadrados sumando y referencia de cuadrados sumando y reConsiste en transformar una expresión (trinomio en genferencia de cuadrados sumando y re
Reducción a diferencia de cuadradosConsiste en transformar una expresión (trinomio en genferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de talmanera que se complete el trinomio cuadr do perfecto.
4manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr
+ y8manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr
Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una dtando una misma expresión de tal
+5x + 6)
Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una d
+5x + 6)+5x + 6)
Dividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:
11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡
140 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
b) Método de Sumas y RestasConsiste en sumar y restar una Misma cantidad de tal manera que seforme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor:
x2 + x + 1 ó x2 – x + 1
algunas veces también se completa el PolinomioEjm: Factorizar : E = x5 + x – 1
Solución:Sumando y restando x2
]1)1()[1(
)1()1)(1(
)1()1(
)1(
1
22
222
232
225
225
xxxxE
xxxxxxE
xxxxE
xxxxE
xxxxE
)1)(1( 232 xxxxE
c) Cambio de Variable:
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obten-ga una forma de factorización mas simple.
Ejm:Factorizar:
38)242)(32(
38)6)(4)(3)(1(22 xxxxE
xxxxE
haciendo: x2 – 2x = a
)52)(222(
)5)(22(
11027
387227
38)24)(3(
22
2
2
xxxxE
aaE
aaE
aaE
aaE
( 2x
E
2(
(
xE
aE
E
)5)(
110
72
a
a
27a
haciendo: x2haciendo: x
222
)(22
27
7227
24)(3(
2
2
x
a
aa
aaE
aa
2)(3
)(2 xx
x
2x = a38
)242)(32
)(4
xx
x
2x = a
38
38)24
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obterización mas simple.
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obterización mas simple.
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obterización mas simple.
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obteConsiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obteConsiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obteConsiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obte
División, teorema del resto, cocientes notables 141
PROBLEMAS:
1. Factorizar: 1)1)(2()1)(2)(3( xxxxxx
a) 2)3)(1( xx b) )3)(2( xx c) )1()2( 2 xx d) )3()1( 2 xx
e) 22 )3()1( xx
Solución
(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1)(x+1)[(x+3)(x+2) + x+2 + 1]
(x+1)[x2+5x+6+x+3]
(x+1)[x2+6x+9]
(x+1)(x+3)2 Rpta. A
2. Factorizar: x3 + y3 – 3xy +1a) (x+y+1)(x+y)2
b) (x+y+1)(x+y+1)2 c) (x+y+1)(x2-xy+y2-x-y+1)d) (x+y+1)(x2+y2-x-y+1) e) (x+y+1)(x2+y2-xy-x-y)
Solución1333 xyyx
133333 223223 xyxyyxyxyyxx
xyxyyxyx 3331)( 223
xyxyyxyx 3331)( 223
)1(31)( 3 yxxyyx
)1(31)()()1( 2 yxxyyxyxyx
xyyxyxyxyx 312)1( 22
)1)(1( 22 yxyxyxyx Rpta. C
3. Uno de los términos independientes de los factores simples de:6104 245 xxxxE es:
a) –2 b) 4 c) 3 d) 6 e) –3a)
3.
a) 2 b)
)(
Uno de los términos independientes de los factores simples de:4 45 x
2 b) 4 c
y
Uno de los
yx(
)(1( yx
Uno de los5xE
2 b) 4 c
31 xy
)() 2yx
xy22
yx3 2
(3 yxxy
(()1 2 xy
yx)1 22
)( 22 yxyx
3xy3
3
y3 23 yxy
xyxy 2
xy
2
+1) e) (x+y+1)(x2+y+1) e) (x+y+1)(x +y
33 2xy
c) (x+y+1)(xx-y)
c) (x+y+1)(xc) (x+y+1)(x2-xy+yxy-x y)
-y+1)y+1)
142 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
Solución
Por método de RUFFINI tenemos:1 4 0 -10 -1 6
1 1 5 5 -5 -6
1 5 5 -5 -6 /1 1 6 11 6
1 6 11 6 /-1 -1 -5 -6
1 5 6 /-2 -2 -6
1 3 /
Entonces E = (x-1)2(x+1)(x+2)(x+3)El términos independientes buscado es 3. Rpta. C
4. Factorizar: E = x2-y2+y(x-y)+x(x+y)+xya) (2x+y)(2y-x) b) (2x-y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)(2x+y)(x+y) e) N.A.Solución
xyyxxyxyyxE )()(22
xyxyxyxyyxE 2222
xyyxE 322 22
xyxyyxE 422 22
)2(2)2( xyyyxxE
)2)(2( yxyxE Rpta. B
5. Calcular el término independiente de uno de los factores de:504)4)(6)(7)(5( xxxx
A) 9 B) 18 C) 6 D) 2 E) 12)(
A) 9 B) 18
Calcular el término independiente de uno de los factores de:(x
A) 9
Calcular el término independiente de uno de los factores de:Calcular el término independiente de uno de los factores de:)(5x
A) 9 B) 18
2
Calcular el término independiente de uno de los factores de:)(x
)(yx
)2( yxx
)(2( xyxE
Calcular el término independiente de uno de los factores de:)(7)( xx
B) 18 C)
y
xy3
xyxy4
2y
y)
xy 2
y
xyy 42 2
)2(2 xyy
)y
y)
xy
y)+x(x+y)+xyy)+x(x+y)+xyy)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)
xy
xy
y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)y)+x(x+y)+xyy)+x(x+y)+xyy)+x(x+y)+xy
El términos independientes buscado es 3.
y)+x(x+y)+xyy)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)
Rpta. CRpta. C
División, teorema del resto, cocientes notables 143
Solución504)4)(6)(7)(5( xxxx =
Multiplicando lo indicado tenemos:504)42)(20( 22 xxxx
Hacemos que xx 2 = y504)42)(20( yy
504840622 yy
336622 yy
)6)(56( yy
Reemplazando el valor de y)6)(56( 22 xxxx
)2)(3)(7)(8( xxxx
Rpta. D.
6. Un factor de: )464(12 432232 yxyyxyxx
A) 221 yxy B) 122 yx C) 221 yxy D) 2221 yxy
E) 122 2yxy
Solución
)464(12 432232 yxyyxyxx =
= )464(12 43223442 yxyyxyxxxx
)464(12 43223424 yxyyxyxxxx422 )()1( yxx
2222 )()1( yxx2222 )()1(.)()1( yxxyxx
222222 21.21 yxyxxyxyxx222 21221 yxyxyxy
Rpta. A7. El factor de grado uno respecto a “x” en
3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH es:A) x-y B) x+y-z C) y+z D) x-y+z E) x+z
(H
A) x
7.7. El factor de grado uno respecto a “x” en;( yx
A) x-y
El factor de grado uno respecto a “x” enEl factor de grado uno respecto a “x” en);; zy
1
(x2(x )
x2(x
2 )1x
)12 1x
4xy4x
1
y4
y 4 32 xyy
4(1 4 xx
4( 4x4)yx
3
yyx
C) 21 yxy
)4y =3
3xy2 D) 1
)Rpta. D.
)4 43 yxy
D) 21 xy
Rpta. D.Rpta. D.
144 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
Solución3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH
3223);;( yzyzxxyzxzyxH2233);;( zyzxxyzyxzyxH
)())(();;( 2222 yxxyzyxyxyxzyxH
))(();;( 22 zyxyxyxzyxH
Rpta. D
8. Un factor de P(a;b) = 2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2, es:A) 2a +3b – 1 B) 3a – 2b +1 C) a – b – 1 D) 2a + b –2 E) a + 3b – 2
Solución2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 22a2 + 5ab –3b2–3a+5b–2
Comprobando:
aaa
bbb
ababab
34
523
56
Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3b – 2)Rpta. E
9. Al factorizar el polinomio 44 814);( yxyxP , y evaluar uno de
sus factores para x = y = 2 , se tiene:A) 8 B) –8 C) 22 D) –2 E) 34Solución
44 814);( yxyxP224224 3681364);( yxyyxxyxP
22222 36)92();( yxyxyxP2222 )6()92();( xyyxyxP
xyyxxyyxyxP 692.692);( 2222
)y
yxP );(
(xP
P
(P
; yxP
);( yxP (
xyP 2)(
81236 yx
2 92 yx
4) x
4
–
2() xy22( x
B) –8ución
4);( xyx44);( xyxP
2
2
Al factorizar el polinomio
sus factores para x = y =C) 22 D) –2 E) 34
Por lo tanto los factores son: (2a
Al factorizar el polinomio P
sus factores para x = y = 2 , se tiene:8 C) 22 2 E) 34
481y
Por lo tanto los factores son: (2aPor lo tanto los factores son: (2a –Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3bRpta. E
44x
2 E) a + 3b
División, teorema del resto, cocientes notables 145
evaluando los factores para x = y = 2
* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx
= 1012184
* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx
= 3412184Rpta. E
10. Hallar la suma de los términos independientes de los factores de:1014744 22 bababa
A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13Solución
1014744 22 bababa = 1014744 22 bababa
= 10272 2baba
Haciendo a+2b=x= 1072 xx
= )2)(5( xx
Reemplazando el valor de x= 2252 baba
Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; lasuma es 7.
Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Factorizar: 656128 23 xxx
A) 3)52( x B) 3)132( x C) )1344)(52( 2 xxx D) 3)52( x
E) )1344)(52( 2 xxx
2. La suma de los términos independientes de los factores de:P = (x+1)(x+4)(x-3)(x-6) + 38 es:A) 27 B) –27 C) 22 D) –22 E) N.A.A) 27
La suma de los términos independientes de los factores de:P
2. La suma de los términos independientes de los factores de:P = (x+1)(x+4)(xA) 27
x
La suma de los términos independientes de los factores de:= (x+1)(x+4)(x
5x
3)52( x
E) 4)(52( xx
La suma de los términos independientes de los factores de:= (x+1)(x+4)(x
B)
PRO
12 23 x
132( x C)
PROBLEMAS PROPUESTOS
Factorizar: 68 3 xx3 B) 3)132( x
)1342 x
Rpta. B
BLEMAS PROPUESTOS
Rpta. B
Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la
Rpta. B
BLEMAS PROPUESTOS
Reemplazando el valor de x2b
Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; laPor tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la=
)(5)(5Reemplazando el valor de x= 5 aba
Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la
)Reemplazando el valor de x
2b
x
Haciendo a+2b=x10
)2Reemplazando el valor de x
2
2
7a
102b
1014b
Hallar la suma de los términos independientes de los factores de:
146 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
3. Si: 3333 )()()()( cabacabaR . Hallar la suma de loscoeficientes de uno de los factores.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
4. Al factorizar la expresión pqqxpyxyzzxyE )()( 23 ; uno delos factores es:A) zyx 22 B) qzxy2 C) qzxy2 D) pyzx2 E) xyz - q
5. Factorizar 3333)();:( zyxzyxzyxP , e indique el númerode factores lineales primos.A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
6. Factorizar 1234)( 246 nnnnnF , e indicar el producto de loscoeficientes de uno de los factores.A) 8 B) 7 C) 3 D) 6 E) 9
7. Si )32(3)4)(1()( 22 yyyyT , entonces la suma de los facto-res es:A) 2y2-4 B)2y-4 C) y2+2y+5 D) y-5 E) N.A.
8. Uno de los factores de P(x) = x2 + x – 1 es:A) x2-x+1 B) x2+x+1 C) x2-x-1 D) x3-x2-1 E) x3+x2+1
9. En el polinomio 4222 24)(14)();( yyxxyyxxyxP , señaleuno de los factores primos.A) x+4y B)x+3y C) x+2y D) x-y E) N.A.
10. Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6x-65, la suma de los coeficientes deuno de los factores es:A) –1 B) –2 C) –3 D) 20 E) N.A.A) –
los factores es:C) –3
los factores es:B)
Al factorizar E(x) = 8xuno de los factores es:
1 B) –2 C) D) 20
(x
los factores primos.C) x+2y
3 12x2
);( yx
los factores primos.B)x+3y C) x+2y
Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6xlos factores es:
D) 20
x – 1 es:
2)
1 es:D) x3-
Uno de los factores de P(x) = x2
D) y-D) y 5
2 + x 1 es:x-1 D) x -x
22 14xy
-1
E) N.A.E) N.A.E) N.A.
, entonces la suma de los fact, entonces la suma de los fact
E) N.A.
2 1
, entonces la suma de los fact, entonces la suma de los fact
, e indicar el producto de los, e indicar el producto de los, e indicar el producto de los, e indicar el producto de los
indique el número
- 147 -
XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO
COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓN
I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINO-MIOS
Máximo común divisor: Para determinar el MCD se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXPO-NENTE.
Mínimo Común Divisor : Para determinar el MCM se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con suMAYOR EXPONENTE.Ejm : Hallar el MCD y MCM de Ay B
1)(y5)(x8)(x
5)(x8)(x1)-(x93
357
B
A
Sol :
1)(y5)(x8)(x1)-(xB)(A,
5)(x8)(xB)(A,957
33
MCM
MCD
II. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomina-dor donde este último es a lo menos de primer grado.Por ejemplo
6
7*
y-
32*
5
52
-x
x
x -x
**5 -x
y-
3 5
x
x
Por ejemplo
2x
Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomindor donde este últPor ejemplo
6
7
32*
2
x
-x
(A,MCM
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denominmo es a lo menos de primer grado.
Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomin
B)(A,
(A,
MCM
FRACCIONES ALG BRAICAS
Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomindor donde este último es a lo menos de primer grado.
1)
8)(x7
(x
(y
3
1)(y
5)3
8)(x
5)(x8)(x 33
CM de Ay B
: Para determinar el MCM se factorizan las exprsiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con susiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su
: Para determinar el MCM se factorizan las exprsiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su
: Para determinar el MCM se factorizan las expr
siones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXP
: Para determinar el MCM se factorizan las exprsiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su
Para determinar el MCD se factorizan las expsiones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXP
: Para determinar el MCM se factorizan las expr
Para determinar el MCD se factorizan las exp
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLIN
Para determinar el MCD se factorizan las expsiones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXP
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINO-
Para determinar el MCD se factorizan las expre-
SIMPLIFICACIÓNNES,
SIMPLIFICACIÓN
148 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
III. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Para simplificar una fracción se fac-toriza el numerador y el denominador y se elimina los factores comunesque aceptan.
Ejm : Simplificar :
a
x -E
xa
x -E
ax
x -xE
2
2
3)-(2
2)-(x)3(6a-2
652
Operaciones con Fracciones algebraicas :* Suma y Resta:
Tener presente los siguiente:- Simplificar las fracciones si es necesario.- Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de
los denominadores.- Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y
se multiplica por el numerador respectivo.- Finalmente simplificar la fracción obtenida.
* Multiplicación y División :Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores ydenominadores y luego multiplicar estos entre si.Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa co-mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 1. :
Efectuar12x-
3
1-
222 xx
Solución :
2
2
2
2
1)-(1)(
15
1)-(1)(
332-2
1)-(1)(
1)(31)-(2
1)-(
3
1)-(1)(
2
xx
x
xx
xx
xx
xx
xxx
Ejemplo 2.Efectuar :
2xy-
y2xyx*
xy-
2-2
22
2
2
xx
yxy
Solución :
2
2
2
x
y)(x
2y)-(y)(
y)(x)2-(
2y)-(
y)(x*
y)(
)2-(
y
xxxx
yxy
xxxx
yxy
1)(x (1)(x
2
1
1)-
3
1)
x
2-
1)
21)-(
15
(1)(
3-2
1)-(1)(
(31)-(
x
x
xx
xx
xx
x
2
1)
1)-(
3
x
2x-2x
2
2
1)
1)(
1)
3
1)-(
x
x
mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 2.Efectuar :
denominadores y luego multiplicar estos entre si.denominadores y luego multiplicar ePara dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que amo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.
Ejemplo 2.Efectuar :
2-2x
xy
mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 2.
Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores ytos entre si.
Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que amo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que a
tos entre si.tos entre si.Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y
tos entre si.
nalmente simplificar la fracción obtenida.nalmente simplificar la fracción obtenida.
Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores ytos entre si.
Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que amo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.
Ejemplo 2.
Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y
mún denominador entre cada denominador y
Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de
mún denominador entre cada denominador y
Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y
Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de
mún denominador entre cada denominador y
Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador deSe halla el MCM determinando el mínimo común denominador de
mún denominador entre cada denominador y
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 149
PROBLEMAS:
1. Hallar el Máximo Común Divisor de:234 6xxxA y xxxxB 12167 234
a) x2(x+1) b) x(x+2) c) x(x+2)2 d) x+2 e) x2
Solución
)2)(3()6(6 222234 xxxxxxxxxA223234 )2)(3()12167(12167 xxxxxxxxxxxB
MCD(A,B) = x(x+2)Rpta.B
2. Calcularnmc
mkaE
b
b
, siendo )4(3 11 mn yxA ;
)8(2 11 mn yxB . Además el MCM de A y B es 4ycxa y el MCD
de A y B es .5 bykx
a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15Solución
1111 12)4(3 mnmn yxyxA1111 16)8(2 mnmn yxyxB
MCD(A,B) = 114 mn yx por dato del problema
MCD(A,B) = .5 bykx
Entonces : 114 mn yx = bykx5
k = 4n – 1 = 5 ==> n = 6m – 1 = b
MCM(A,B) = 1148 mn yx por dato del problema
MCM(A,B) = 4ycxa
Entonces : 1148 mn yx = 4ycxa
c = 48= 48
MCM(A,B) =
Entonces :
MCM(A,B) =
Entonces :
c = 48
1 = bMCM(A,B) =
MCM(A,B) = cxa
48x
m – 1 = bn – 1 = 5 =m 1 = b
MCM
MCM(A,B) =
Entonces : 48
(A,B) =
ykx14 mn yx
1 = 5 ==> n = 6
MCD(A,B) =
.5 bykx14x = kx
1 = 5 ==> 6
(A,B) =
my
1 mn y por da
m 1my1116 mn yx
1mnx por dato del probl
a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15
demás el MCM de A y B es
a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15
4 y el MCD
1) ;
4ya y el MCD
150 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
n + 1 = a ==> 6 + 1 = a ==> a = 7m + 1 = 4 ==> m = 3reemplazando en la Ec. : m – 1 = b
3 – 1 = b ==> b = 2
Por tanto:nmc
mkaE
b
b
6348
3472
2
E
45
48E
15
16E Rpta. E
3. Simplificar:22
2
)()1(
1
xbbx
bM
a)x1
1b)
21
1
xc)
21
1
xd)
x1
1e)
1
1
x
Solución
)1)(1(
1 2
xbbxxbbx
bM
)1)(1(
1 2
xbbxxbbx
bM
4. Simplificar a su mínima expresión:
2
222
xxy
yxy
xy
yxE
a) x2 b) x – 2y c) x d)xy
yxy 22e)
y
x
Solución
)(
)(22
xyx
yxy
xy
yxE
xy
Solución
E
a) x
Solución
2
xy
xE
2y c) x d)b) x – 2y c) x d)
y
xyxy
b) x 2y c) x d)
Solución
2y
2y c) x d)
Simplificar a su mínima expresión:
2
2
x
yxy
bbx
Simplificar a su mínima expresión:2
xxy
xy
2y c) x d)xy
bx
bx
x)(
b
1)( bbx
)
2
xb
b
xxe)
1x
)x
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 151
)(
)(22
xyx
xyy
xy
yxE
x
y
xy
yxE
22
xy
yyxE
222
xy
xE
2
y
xE Rpta. E
5. Si la expresiónqnx
qmxE
2
, es igual a 1; hallar el valor de
mq
nF
2
, sabiendo que “x” toma un solo valor.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8Solución
Por dato del problema: 12
qnx
qmx
qnxqmx 2
022 qnxmx
La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grado, y tambiénpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, entonces:
Para que “x” tenga una solución debe cumplir: 042 acb
Reemplazando tenemos:
02..4)( 2 qmn
mqn 82
Finalmente:mq
nF
2
Finalmente:Finalmente:
Reemplazando tenemos:Reemplazando tenemos:
Para que “x” tenga una solución debe cu
Reemplazando tenemos:
Finalmente:
La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, e
Para que “x” tenga una solución debe cu
por dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, e
Para que “x” tenga una solución debe cu
La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, e
Para que “x” tenga una solución debe cu
Reemplazando tenemos:
nx
mx 2
2 nx
nx
Por dato del problema:2
qnx
qmx
qnxqmx 2
2qnx
ior tiene la forma de Ecuación de segundo gr
e) 8
abiendo que “x” toma un solo valor.abiendo que “x” toma un solo valor.
e) 8
1
abiendo que “x” toma un solo valor.abiendo que “x” toma un solo valor.
igual a 1; hallar el valor de
abiendo que “x” toma un solo valor.
igual a 1; hallar el valor deigual a 1; hallar el valor de
152 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
mq
mqF
8
8F Rpta. E
6. Descomponer en fracciones parciales:
cz
C
bz
B
az
A
zzz
zz
652
261523
2
. La suma “A + B + C”
es igual a:a) 5 b) 2 c) 1 d) –2 e) –1Solución
cz
C
bz
B
az
A
zzz
zz
)2)(3)(1(
26152
231)2)(3)(1(
26152
z
C
z
B
z
A
zzz
zz
)2)(3)(1(
)3)(1()2)(1()2)(3(
)2)(3)(1(
26152
zzz
zzCzzBzzA
zzz
zz
)3)(1()2)(1()2)(3(26152 zzCzzBzzAzz
Dando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos:Si z = 1 : -1 + 15 – 26 = A(-2)(3)
-12 = -6AA = 2
Si z = 3: -9 + 45 – 26 = B(2)(5)10 = 10B
B = 1Si z = -2: - 4 – 30 – 26 = C(-3)(-5)
- 60 = 15CC = -4
Entonces: A + B + C = 2 +1 – 4= -1 Rpta. E
7. Sean P(x) = Ax2 + 2x – B; Q(x) = Ax2 – 4x + B. Si: (x-1) es elSean P(x) = Ax
Entonces: A + B + C = 2 +1
7. Sean P(x) = Ax
Entonces: A + B + C = 2 +1Entonces: A + B + C = 2 +1Entonces: A + B + C = 2 +1
Sean P(x) = Ax
– 30 – 26 = C- 60 = 15C
26 = C(60 = 15C
9 + 45 – 26 =10 =
B =- 4 – 26 = C(
60 = 15CC =
26 = A(-2)(3)6A
26 = B(2)(5)
26 = A(12 =
Dando valores a “z” en la Ec. anterior t26 = A( 2)(3)12 = -6A
226 = B(2)(5)
)(1 z
nemos:(B
)(1)(1 zz
)21(zB
Dando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos:
)(z
(z
)(1
)2)(3
)2)(z
)(1
)(1 z 3)(z
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 153
MCD de P y Q, hallar el cociente B/A.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Solución
Sean: 1),(4)(
2)(2
2
xQPMCDBxAxxQ
BxAxxP
Entonces P y Q son divisibles por x-1Entonces x – 1 = 0
x = 1* En P(x)A(1)2 + 2(1) – B = 0A – B = -2 ……. (1)* En Q(x)A(1)2 - 4(1) + B = 0A + B = 4 …….. (2)
Resolviendo Ec. (1) y (2):A – B = -2A + B = 42A = 2
A = 1B = 3
Por lo tanto 31
3
A
B
3A
B
Rpta C
8. Efectuar y simplificar:2233
2
yxyx
x
yx
xy. El numerador es:
A) x(y-x) B) x(x+y) C) x-y D) x+y E) xy(x-y)Solución.
2233
2
yxyx
x
yx
xy=
2222 ))((
2
yxyx
x
yxyxyx
xy
xx
Solución.xy
A) x(ySolució
Efectuar y simplificar:
A) x(y-x)Solución
3
2
y
xy
B) x(x+y)
Efectuar y simplificar:2
A
B
Efectuar y simplificar:x
B) x(x+y)
3
Rpta C
154 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
=))((
)(222 yxyxyx
yxxxy
=))((
222
2
yxyxyx
xyxxy
=))(( 22
2
yxyxyx
xxy
=))((
)(22 yxyxyx
xyx
El numerador es: x(y-x)Rpta. A
9. Hallar M + N para que se tenga:35152
62 y
N
y
M
yy
y
A) 11/8 B) 3/8 C) 7/4 D) 1 E) –3/8Solución.
35152
62 y
N
y
M
yy
y
)3)(5(
)5()3(
152
62 yy
yNyM
yy
y
)3)(5(
53
)3)(5(
6
yy
NNyMMy
yy
y
Simplificando denominadores tenemos:NNyMMyy 536
NMyNMy 53)(6Entonces:
M + N = 1-3M +5N = -6
653
333
NM
NM
8N = -3
8
3N
5NM
N
8N =
3M +5N =3M
M + N = 1-3M +5N =
3
3
M
NM
Ny
MyN 3)
M + N = 1
Simplificando denominadores tenemos:Ny 5
NMN 5
M + N = 13M +5N = -6
3
)3
5N
Simplificando denominadores tenemos:
)3
)3y
NNy
Simplificando denominadores tenemos:
)
y 3y
N
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 155
8
11M
Por lo tanto: 18
8
8
3
8
11NM
1NM
Rpta. D
10. Reducir la expresión:
yx
y
yx
yx
yxyx
xy
K
2
21
8
8
24
82
33
33
22
A) 28 B) –8 C) 12 D) –6 E) 2Solución
yx
y
yx
yx
yxyx
xy
K
2
21
8
8
24
82
33
33
22
yx
yyx
yx
yx
yxyx
xyyxyx
K
2
22
8
8
24
8248
33
33
22
22
yx
yx
yx
yx
yxyx
yxyx
K
2
2
)2(
)2(
24
248
33
33
22
22
yx
yx
yyxxyx
yyxxyx
yxyx
yxyx
K
2
2
).2)2)((2(
).2)2)((2(
24
)24(2
22
22
22
22
yx )((2(
x)2(
(
x
xK
2(
2(
(
x
xy
xyx
xy
2
2
24
4
3
3
2
yx
y
y
yx
yxyx
xy
2)
)2(
4
24
33
3
2
x4(2 2
yy
xy
yy
y
xy
2
82
156 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
yx
yx
yxyxyx
yxyxyx
yxyx
yxyx
K
2
2
)24)(2(
)24)(2(
24
)24(2
22
22
22
22
)2)(24)(2)(24(
)2)(24)(2)(24(22222
2222
yxyxyxyxyxyx
yxyxyxyxyxyxK
Simplificando la Ec. Anterior tenemos:
2K
Rpta. E
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. El MCD de ;)( 22yxy 322 32 yxyyx ; 43 ayyax ; 32 yyx ;es:A)x(x+y) B)x(x-y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.
2. Efectúe y simplifique:abb
aba
abb
ababa
2
2
2
222 )( . El denomi-
nador es:A) 22 ba B) 22 ba C) 22 ab D)a+b E)a(a-b)
3. Simplifique .1212
11
nn
nn
xyyx
xyyxE
A) nn yx B) nn yx C)1nn yx D)
1nn yx E)
21nn yx
4. Reducir la expresión:
x
E
33
33
33Reducir la expresión:Reducir la expresión:cir la expresión:
B)y B)1ny
cir la expresión:
12n
n
yx
yx
ny C)
2
1
n
n
xy
xyy
B) n yx C)
2a D)a+b E)a(aD)a+b E)a(a
a
abb2)
22 a D)a+b E)a(aD)a+b E)a(a
y) E)N.A.
b
aab2
2abab2
y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.
abb
ab
ab
ab 2
ay3 yax 4ayy ; 3y ;
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 157
A)32
)2(2
x
xB)
32
)2(3
x
xC)
32
2
x
xD)
3
2
x
xE)
32
2
x
x
5. Sabiendo que A(n+p)=m; C(m+n)=p; B(p+m)=n; reducir a su
mínima expresión:12ABC
BCACABJ
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
6. Calcular: T W Si:
...
11
1
ba
b
aT y
...
11
1
ab
a
bW
A) a B) b C) a/b C) 2a E)2b
7. Calcular el MCD de 673 aaM y 32 24 aaN
A) 3(a+1) B) (a+1)(a+3) C) (a+1)(a+2) D) a+1E) a2+1
8. Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x3 y3 z2; C(x)= 6x4
A) zyx 3312 B) 23412 zyx C) 23472 zyx D) 22436 zyx E) N.A.
9. ;4)1( 626 xxAB 222 4)1(),(
),(xx
BAMCD
BAMCM. Uno de los
factores del MCD(A,B) es:A) x+1 B) x-1 C) x2-x-1 D) x2+x+1 E) x2+x-1
10. Simplificar la expresión:xx
xxxxE
16
481633
234
.
A) x+2 B) x-3 C) x+4 D) x-5 E) x2-3
la expresión:
B) x-3
Simplifica
A) x+1A) x+1
10. Simplificar la expresión:
A) x+2
la expresión:
factores del MCD(A,B) es:B) x 1 C) x2-x
;4 62 x
factores del MCD(A,B) es:B) x-1 2-x-1
la expresión:
2z C)
(AMCM
72x
)
4x
Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3xHallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x
34 zy C) 72 y
(),
),
BA
BA
3z; B(x;y;z) = 4xz; B(x;y;z) = 4xHallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x
C) (a+1)(C) (a+1)(
Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x
234 zyx D)
C) (a+1)(a+2)
z; B(x;y;z) = 4x
N 24aN
C) (a+1)(a+2) D) a+13
D) a+1
...
- 158 -
XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR,
ECUACIONES E INECUACIONES
I. RADICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”,llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dad“A”, llamada radicando.En general :
nrArn A
Leyes de Signos :
real) valor tienenoraizesta(imaginaria*
r*
r*
r*
par
par
impar
impar
A
A
A
A
Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentesde las letras entre el índice de la raíz.
Ejm 1. : Hallar 4 82016 zy16x
Signo radical
raízradicandoíndice
Ejm 1. : Hallar
del signo, luego la raíz del cde las letras entre el índice de la raíz.
Raíz de un monomiodel signo, luego la raíz del cde las letras entre el índice de la raíz.
Ejm 1. : Hallar 4
imaginaria
: Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentesde las letras entre el índice de la raíz.
imaginaria
Raíz de un monomio
imaginariaparA
Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del cde las letras entre el índice de la raíz.
16
raizesta(estaimaginaria
r
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 159
2544 82016 zy2xzy16x
Ejm 2. : Hallar 3 31812 zy27x
zy3x-zy27 643 31812x
Raíz Cuadrada de un polinomioProcedimiento :- Se ordena y se completa- Se agrupa de 2 en 2 los términos, empezando por la derecha.- Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser
un solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polino-mio.
- Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y sellama polinomio dado, eliminándose la primera columna.
- Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pri-mer termino de la raíz.
- El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segun-do término con signo cambiado sumándose el producto a los dos términosque se habían bajado.
- Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio : 420-2910- 234 xxxxSolución :
(2)2)10x-(2x
10x-2x)5x-x(2
(-5x)5x)-x2(
2x)x(2
25x- x
___
4-20x4x-
420x-4x0
25-10-
2910-0
x-
420-2910-
2
22
2
22
2
2
2
23
23
4
234
xx
xx
xxxx
0
10
10
x
0
4
10-
10-0
x- 4
-
10 3x
Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :
25
2910
2910-
23
2
xx
x
Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :
Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :
Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
la raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segudo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térmdo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térm
Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :4x
el grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
raíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segudo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térmdo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térmla raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segula raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho seguraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segu
El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segudo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térm
Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.
Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segu
Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pr
do, eliminándose la primera columna.Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pr
Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segu
Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y se
Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pr
un solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polin
Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y se
Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede serun solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polin
Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y se
Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pr
Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede serun solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polino-
Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y se
Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser
160 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
25x- x420x-29x10x-x 2234
Radicales Dobles:
Son aquellos en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por lasoperaciones de suma o resta.
Forma general : BA
Transformación de radicales dobles en radicales simples :
Caso1 : Radicales de la forma BAEste caso se podrá transformar en radicales simples solo si :
cierto,esestosiexacta,raízesCDondeCB-2A
Entonces :
2
CA
2
CAB
2
CA
2
CAB
A
A
Ejm : Descomponer en radicales simples : 32Solución : A = 2 ; B = 3
Entonces :
Por tanto :
1
3-43-2
B-2
2
C
C
AC
2
1
2
332
2
12
2
1232
Por tanto :
1
32
C
Por tanto :
C
1C
2
3
B-2A
Ejm : Descomponer en radicales simples :
3-43-22
AC
Ejm : Descomponer en radicales simples : 2
2
3
A
2
C
Ejm : Descomponer en radicales simples : 32
C
C
2
CA
2
cierto,
Este caso se podrá transformar en radicales simples solo si :
cierto,
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 161
Caso 2 : Radicales de la forma : baab2ba
Ejm. 1. : Descomponer en radicales simples : 21210
Solución : 21210 tiene la forma de segundo caso entonces buscamosdos números que sumados sea 10 y multiplicados 21. dichos números quecumplen son 7 y 3. entonces :
3721210
Ejm. 2. : Descomponer en radicales simples : 12011Solución :
12011 = 30 x411
=6X556
30211
= 56
Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples : 21624Solución :
21624 = 21624
= 22.(8)24
= 64.2224
=16x8816
128224
= 816
= 4 + 24x
= 4 + 22
RACIONALIZACION
Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equi-valente que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos
que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos
Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equvalenteSe llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientes
RACIONALIZACION
Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equLlamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equvalente que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos
RACIONALIZACION
Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equ
RACIONALIZACIONRACIONALIZACION
Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equque sea racional.
Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientes
==
24
224 64.22
= 24
= 24
= 24
816
224
64.2
216
2.(8)
Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples : 1624
21624
22.(8)
216
6X5
16
162 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
1er Caso .- cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:
n ka
A
Procedimiento:Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una expresión
de la forma: n kna que recibe el nombre de FACTOR RACIONALIZANTE
Es decir:
n kn
n kn
kn
kn a
a
a
A
a
A.
=n kkn
a kn
a
aA
=a
aA
a
aAkn
n
n n
n kn
Ejem : Racionalizar3 3
3
33
3 3
3
3 23
3
3 2
3 2
39
3
93
3
93
3.3
93
3
3.
3
3
2do Caso.- Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se ra-cionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De la
forma:ba
A
Ejm. : Racionalizar :27
3
27
322 27
273
2727
273
27
3
7
3
Ejm. : Racionalizar :Ejm. : Racionalizar :7
7
Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se rcionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De la
Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se rcionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De la
2
3
3 2
2
3
3
Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se r
3
3
3
933
Ejem : Racionalizar3 3
3 233
3
3.3
33.
Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se rcionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De la
3
3 939
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 163
5
273
27
273
3er caso : Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyosradicales son de tercer orden.
33 ba o 3 233 2 babaNota.- Recordemos que
3322 babababa
3322 babababa
Ejm.:
Racionalizar:33 25
7E
3 2333 233 2
3 2332
3
33 22.5525
)22.55(7
25
7E
=3 33 3
3 233 2
25
22.557
=7
)41025(7
25
410257
333333
333 41025
4to Caso: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índi-
ces iguales pero mayores que 3, de forma: nn ba
Ejem. Racionalizar
55 310
14E
10E
Ejem. Racionalizar
5 10E
Ejem. RacionalizarEjem. Racionalizar
: Cuand
ces iguales pero mayores que 3, de fo
Ejem. Racionalizar
5 3
14
3 25
o el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índ
ces iguales pero mayores que 3, de fo
o el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índ
5
33 25
: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índ
ces iguales pero mayores que 3, de fo
(7 253
7
1025(4 33
4
10
22
10 33
)22
164 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
45
355
25
255
354555
45
355
25
255
35
45
33.10310310.10310
33.103.103.101014E
5555
45355252553545
310
33.103.103.101014E
7
33.103.103.10101445355252553545
E
Simplificando:
)81270900300010000(2 552555E
II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuaroperaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indeterminado.Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermina-ción.Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:
,25
1522
2
x
xxE para x = 5
Solución:Sustituyendo x = 5 en la fracción
0
0
255
155.252
2
E , es indeterminado
factorizando el numerador y denominador tenemos
25
1522
2
x
xxE
55
35
xx
xxE
x
x
E
5
5
xxE
factorizando el numerador y denominador tenemos
25
15factorizando el numerador y denominador tenemos
22
2
255
5.22
factorizando el numerador y denominador tenemos
25
1522
2
x
xx
35 x
Sustituyendo x = 5 en la fracción
0, es indeterminado, es indeterminado
Sustituyendo x = 5 en la fracción
0
155, es indeterminado
factorizando el numerador y denominador tenemos
para x = 5
Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:
para x = 5
Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indeterminPara evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin
esto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuaresto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar/0 que es un resultado no definido o indeterminado.
Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin
esto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar/0 que es un resultado no definido o indeterminado.
Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin
Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para
II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar
/0 que es un resultado no definido o indeterminado.Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin
BRAICAS
Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar
BRAICAS
Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 165
5
3
x
xE
Reemplazando nuevamente tenemos:
10
8
55
35E
5
4E
Ejm. 2: Hallar el verdadero valor de la fracción:
2
122
x
xxE , para x = 4
Solución: sustituyendo x = 4 en la fracción tenemos0
0E
2
122
x
xxE
2.2
2.34
xx
xxxE
4
2342
x
xxxE
4
234
x
xxxE
23 xxE
Reemplazando seremos:E = ( 4 + 3 ) ( 2 + 2)E = ( 7 ) ( 4 ) = 28
Reemplazando seremos:Reemplazando seremos:
xE
Reemplazando seremos:
E
E
Reemplazando seremos:
3
4 xx
4
x
x
4
3
x
xxE
2x
x
2 2.
2.3
x
x
2
2
sustituyendo x = 4 en la fracción teenemos0
00
166 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
III. ECUACIONES
Es una igualdad de dos expresionesalgebraicas que queda satisfechasolo para algunos valores asignadosa sus letras.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONESA. Según que sus incógnitas estén
afectadas o no de radicales lasecuaciones pueden ser:
1. Ecuaciones Racionales.-cuando sus incógnitas no estánafectadas de radicales.
2
1
5
1 xx
2. Ecuaciones Irracionales.-Cuando al menos una de susincógnitas está afectada de ra-dical
3xx
B. Según el número de Raíces osoluciones, las ecuaciones pue-den ser:
1. Ecuaciones Compatibles.-Cuando tienen solución. a suvez pueden ser:
- Compatibles Determinadas:Cuando el número de raíces eslimitado
Ejm:25
3xx
10x
- Compatibles Indeterminadas:cuando el número de raíces eslimitado:
Ejm.:
54254)12( xxxx
33 xx
2. Ecuaciones Incompatibles oabsurdas.- cuando no tiene so-lución
Ejm.:
610)3(35)13( xxxxx
65
C. Según el tipo de coeficientes:
1. Ecuaciones numéricas:Cuando los coeficientes sonnúmeros
Ejm: 0652 xx
2. Ecuaciones Literales.- cuan-do al menos uno de sus coefi-cientes es letra
Ejm.: dcxbax , dondex es la incógnita
D. Según el grado:1. Primer grado 915x2. Segundo grado
0652 xx
3. Tercer grado: 083x
3
limita
Ejm:5
3
10x
Cuando el número de raíces esCuando el número de raíces es
vez pueden ser:
Compatibles DetermiCuando el número de raíces es
ado
2
xx
patibles.Cuando tienen solución. a su
nadas:
soluciones, las ecuaciones pu
patibles -Cuando tienen solución. a su
nadas:Cuando el número de raíces es
2.
Ejm:
núm
Ejm: x
2. Ecuaciones Literales.do al menoscie
Ecuaciones numérCuando los coeficientes son
rosCuando los coeficientes sonCuando los coeficientes son
1.
Según el tipo de coeficieSegún el tipo de coeficie
Ecuaciones numérCuando los coeficientes sonnúmeros
52 xx
Según el tipo de coeficie
Ecuaciones numéricas:Cuando los coeficientes son
Según el tipo de coeficien
cas:
)3 10) x
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 167
ECUACIONES DE PRIMERGRADOFormula General
Siendo a y b coeficientes, x es laincógnita. La solución es
Ejm: Resolver: 482xxSolución:
x
x
xxx
xx
xx
8816
8168
8168
84
84
22
222
2
Reemplazando x = 3 en la ecuaciónanterior llegamos 2 = 4
La ecuación es incompatible.
ECUACIONES DE SEGUNDOGRADOEstas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la formasiguiente:
Resolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:
Se resuelve mediante dos formas:
a) Resolución por factorización
Ejm: Resolver 0452 xx
04
014
x
xx
4x 1x
b) Resolución por fórmula GeneralSea la ecuación:
02 cbxax
Entonces
FormulaGeneral
Ejm.: Resolver 0452 xx
Identificando: a=1; b= -5: c=4
2
352
16255
1.2
4.1.4255
2
42
x
x
x
a
acbbx
4,1., SC
0bax
a
bx
3x
02 cbxax
01x
a
acbbx
2
42
12
2
2
35
42
8
2
35
x
x
Se resuelve mediante dos formas:
segundo grado con una incógnita:
Se resuelve mediante dos formas:
Resolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:
Se resuelve mediante dos formas:
Resolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:
Se resuelve mediante dos formas:
Resolución de una ecuación deResolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:
Se resuelve mediante dos formas:
2ax
Resolución de una ecuación de
Estas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la forma
ECUACIONES DE SEGUNDO
Estas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la formaEstas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la forma
02 cbx
ECUACIONES DE SEGUNDO
5ble.
5
2
x
x
xReemplazando x = 3 en la ecuación
ble.
2
2a2
bb
Identificando: a=1; b=
14255
42
2525
a
acb2
x
Identificando: a=1; b=
Ejm.: ResolverEjm.: Resolver x
Identificando: a=1; b=
4
FormulaGeneral
04
ac4Formula
eneralneral
168 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
Discusión de las raíces de la Ecuación de Segundo grado
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, dependen del valordel Discriminante ( ).Donde =b2 – 4acAnalicemos los 3 casos:
a) sí 0 , las dos raíces son reales y desiguales
b) si ,0 las dos raíces son iguales y reales
c) si ,0 las dos raíces son complejas y conjugadas
Propiedades de las Raíces.- Dada la Ec. 02 cbxax sus raíces son:
a
acbbx
2
42
1a
acbbx
2
42
2
Entonces:
a)a
bxx 21
b)a
cxx 21.
Formación de una Ecuación de segundo grado.-
Sea 1x y 2x raices de ecuación
Entonces la ecuación se formará así:
021212 xxxxxx
IV. DESIGUALDADES E INECUACIONES
Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se establece entre dos númerosreales y que nos indica que tienen diferente valor.
Si: bababa /, ó ba
Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presenta pormedio de Intervalos.medio de Intervalos.Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presemedio de Intervalos.Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se prese
reales y que nos indica que tiene
Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presemedio de Intervalos.
Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se estreales y que nos indica que tiene
b
Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se estreales y que nos indica que tiene
DESIGUALDADES E I
Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se estreales y que nos indica que tiene
Si: ba,
Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se prese
Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se estn diferente valor.
0
DESIGUALDADES E INECUACIONESECUACIONES
2x
DESIGUALDADES E I
Entonces la ecuación se formará así:
ECUACIONES
Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se est
Formación de una Ecuación de segundo grado.Formación de una Ecuación de segundo grado.-Formación de una Ecuación de segundo grado.Formación de una Ecuación de segundo grado.
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 169
1. Clases de Intervalos:
Intervalo abierto: bxa . ba, ó ba, ó ba,
Intervalo cerrado: bxa ba,
Intervalos mixtos: bxa ba, ó ba, ó ba,
bxa ba, ó ba, ó ba,
2. Inecuaciones de 1er grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma
0bax ó 0bax
3. Inecuaciones de 2do grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma
02 cbxax ó 02 cbxax
4. Inecuaciones de grado Superior: Son aquellas cuyo grado es mayoro igual que tres.
OBSERVACIÓN: para resolver inecuaciones de 2do grado y grado superior serecomienda usar el método de puntos críticos.
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES:
Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociente, y queluego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas:
* 021 naxaxax puede ser 0,0,0 donde ia son diferentes
entre si
0.......
.......
21
21
m
n
bxbxbx
axaxaxtambién 0,0,0 donde ia y ib
son todos diferentes entre si
Nota: En lugar de ax puede ser acx pero 0cNota: En lugar de
son tson t
Nota: En lugar de
.......2
odos diferentes entre si
Nota: En lugar de
1
1
xb
x
21
21
bxbx
axax
son todos diferentes entre si
Nota: En lugar de
x
luego de reducirla por factor
nax
Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cocieluego de reducirla por factorización se obtie
02 xa pue
....... n
b
ax
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER I
Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociezación se obtie
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER I
Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cocie
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER I
todo de puntos críticos.
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER I
Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociezación se obtiene una de las formas:
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER I
ecuaciones de 2dotodo de puntos críticos.todo de puntos críticos.todo de puntos críticos.
ecuaciones de 2dotodo de puntos críticos.
ecuaciones de 2do grado y grado superior setodo de puntos críticos.
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER I
grado y grado superior se
Son aquellas cSon aquellas cuyo grado es mayor
grado y grado superior se
yo grado es mayor
Son aquellas que pueden reducirse a la
yo grado es mayor
Son aquellas que pueden reducirse a la
Son aquellas que pueden reducirse a laSon aquellas que pueden reducirse a la
170 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
PROCEDIMIENTO:1. Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada uno de los facto-
res, ordenando en forma creciente sobre la recta real.2. Se coloca entre estos VALORES CRITICOS los signos (+) y (-) en for-
ma alternada de derecha a izquierda.3. La solución de la inecuación estará dada por:
Zonas Positivas: Si el sentido de la última desigualdad es óZonas Negativas: Si el sentido de la última desigualdad es ó
4. Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad esó de lo contrario no serán parte de la solución
OBSERVACIÓN:En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) sea
positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundomiembro figure el cero
Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-presentan “Puntos Críticos”
Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por launidad
En el cociente 0b
alos valores críticos provenientes del
denominador no forman parte de la solución (son abiertos)
Sea Zn
0002 abba n 000.2 abba n
000.2 abba n 000.2 abba n
0012 abba n 00.12 abba n
0012 abba n 0012 abba n
Ejemplo 1:
Resolver: 07
402223
xx
xxx
Solución:
7
542
07
402223
xx
xxx
xx
xxx3 xx
Resolver:
Solución:
ab
0ab
23 xx 22x
00ab
0
Resolver:7
22
xx
x
.bn
.2 bn
b0
denominador no forman parte de la solución (son abie
0 02 ba n
00 b12 ba n
2a
0
es críticos prov
denominador no forman parte de la solución (son abiertos)
los valor
Si las raíces son imaginarios, el trinomio se ree
los valores críticos prov
denominador no forman parte de la solución (son abie tos)
0
Si las raíces son imaginarios, el trinomio se ree
enientes del
Si las raíces son imaginarios, el trinomio se ree
o) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces r
Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por la
nientes del
o) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-
plaza por la
sitivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo
o) no es factorizable, se resolverá como
En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) seasitivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo
o) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-
sitivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo
Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad es
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 171
Valores críticos 2, 4, -5, 0, -7
-7 -5 0 2 4
Como la inecuación es “ ” se toma los “negativos”
4,20,57,x
Ejm. 2
Resolver: 65x
x
Solución:
05
65
05
305
05
305
05
306
05
56
065
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
Valores críticos : 6 y 5
5 6Tomamos los negativos:
PROBLEMAS RESUELTOS:
1. Transformar a radicales simples:3 3610
6,5.. xSC
Transformar a radicales simples:3 10
1.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Transformar a radicales simples:
610
PROBLEMAS RESUELTOS
Transformar a radicales simples:
PROBLEMAS RESUELTOS
x
Tomamos los negativos:
PROBLEMAS RESUELTOS
Transformar a radicales simples:
6
6,5.. xS
Tomamos los negativos:
Valores críticos : 6 y 5
5Tomamos los negativos:
6
172 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
a) 13 b) 23 c) 15 d) 13 e) 15Solución
yx33 108103610
A = 10 B = 108 Sabemos que A = 4x3-3.x.C , y = x2-C
3 2 BAC3 108100C
C = -2CxxA ..34 3
10 = 4x3 - 3x(-2)4x3 + 6x –10 = 02x3 + 3x –5 = 0por tanteo x = 1
y = x2 - Cy = 12 – (-2)y = 3
Por lo tanto:
3136103
= 1 + 3 Rpta. D
2. Racionalizar:224
2333
3
a) 123 b) )14(3 c) 143 d) )12(3 e) 123
Solución
222
23323
3
Hacemos x3 2 ==> 2 = x3
Reemplazando tenemos:Reemplazando tenemos:
233
Reemplazando tenemos:
2
Solución
2
12 b)Solución
22
233
3
Reemplazando tenemos:
22
233
3
)1
Racionalizar:24
23
)14(3 c) 3
Rpta. DRpta. DRpta. D
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 173
)1)(1)(42)(2(
)1)(42(3
)1)(2(
3
2
322
22
2 xxxxxx
xxxxx
xx
x
xx
x
)1)(2(
)444222(3333
223234
xx
xxxxxxxxx
)1)(8(
)423(333
234
xx
xxxxx
)1)(8(
)423(333
2345
xx
xxxxx
)1)(8(
)423..(333
23323
xx
xxxxxxx
)12)(82(
)422.322(3 22 xxxx
)3)(6(
)66(3 x
18
)1(18 x
)1(x
)12(3 Rpta. D
3. La solución de la Inecuación:01892 xx es:
a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)
Solución
01892 xx
(x-6)(x-3)<0puntos críticos: 3 y 6
+ - +
3 6
Como la inecuación es < se toma los negativos.C.S. = (3,6) Rpta. BComo la inecuación es < se toma los negatC.S. = (3,6)Como la inecuación es < se toma los negatC.S. = (3,6)
+
6)(xpuntos críticos: 3 y 6
+
Como la inecuación es < se toma los negatC.S. = (3,6)
0183)<0
puntos críticos: 3 y 6
a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)
9x
6)(x-3)<0puntos críticos: 3 y 6
La solución de la Inecuación:
a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)es:
La solución de la Inecuación:
a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)
Rpta. DRpta. D
174 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
4. En 21
xx ; el valor de x correcto es:
a) x>0 b) x<0 c) x = 0 d) x>2 e) x>2Solución
21
xx
021
xx
0212
x
xx
10)1( 2
xx
x
01
x
0x Rpta. B
5. Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:
53
1
3
52 xxpara ;5x
a) [1/3;3] b) [-5;7] c) <-5;0] d) [-5;7> e) [0;7]
SoluciónMultiplicando por 3:2x – 5 < 1 – x + 15
3x < 21x < 7
Entonces: 7;5x Rpta B.
6. Determinar el valor de “m” para que la ecuación02 22 mmxx tenga raíces iguales.
a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2
SoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la for-SoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la fo
a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2
Determinar el val2x
a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2
SoluciónSoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la fo
Determinar el valor de “m” para que la ecu02m tenga raíces iguales.
a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2
Determinar el val
Entonces: x
Determinar el val2 2mmx
a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2
or de “m” para que la ecu
Multiplicando por 3:x + 15
Rpta B.
Multiplicando por 3:
7;5 Rpta B.
or de “m” para que la ecu
5;0] d) [ 5;7> e) [0;7]5;0] d) [
;5
5;0] d) [-5;7> e) [0;7]
Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:Obtenga el conjunto solución de la siguieObtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:
5;7> e) [0;7]
te inecuación:te inecuación:
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 175
ma: ax2+bx+c=0.Se cumple: b2 – 4ac = 0
b2 = 4ac(2m)2 = 4.1.m2
4m2 = 4m2
m puede tomar cualquier número real.Rpta. A
7. Efectuar:625
6
1228
34
1829
23E
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) N.A.Solución
625
6
1228
34
1829
23E
232326263636
625
6
1228
34
1829
23
xxxx
E
23
6
26
34
36
23E
)23)(23(
)23(6
)26)(26(
)26(34
)36)(36(
)36(23E
23
)23(6
26
)26(34
36
)36(23E
1
)23(6
4
)26(34
3
)36(23E
)23(6)26(3)36(2E
1218618612E
0E
Rpta. D
6E
(2E
12E
0E
18
36
3
)36(2
)3
3
36
4)3
3
(23
(3)36
186
)(2
6(
6(3
2
6
4
32
)26)(26
6(34
2
)26
)
5232
5x
2
6
(
)2
23
6x
62
6
176 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
8. Calcular el verdadero valor de 2422
x
xE , cuando x = 0.
A) 0 B) 2 C) 1 D) 4 E) 6Solución
2422
x
xE
2422
2222
xx
xxE
2422
2222
xx
xE
2422
22
xx
xE
2422 xx
xE
2422
1
xE
22
24
xE
Reemplazando el valor de x
22
24E
22
24E
2ERpta. B
9. La diferencia de las raíces de la Ecuación 016,232 xx , es:A) 3 B) 0 C) 0,6 D) 1,5 E) 2,16B) 0La diferencia de laA) 3
9. La diferencia de laA) 3 B) 0La diferencia de las raíces de la Ecuación
C) 0,6
222
La diferencia de laB) 0 C) 0,6
Rpta. B
Reemplazando el valor de x
2
Rpta. B
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 177
Solución.
016,232 xx
0100
21632 xx
0100
21632 xx
025
5432 xx
multiplicando la Ec. Anterior por 25.0547525 2 xx
0)65)(95( xx
5
9x
5
6x
Por tanto: 6,05
3
5
6
5
9
Rpta. 0,6
10. Hallary
xen
10
20
yxyx
yxyx
A) 4/5 B) 5/4 C) 3/4 D) 4/3 E) 125
Solución
10
20
yxyx
yxyx
302 yx
15yx
225yx ......... (1)Tenemos:Tenemos:Tenemos:
x
x
2 x
yx
2 y
Tenemos:
10
20
y
yx
B) 5/4 C) 3/4
10
20
yx
y
30
yx
D) 4/3 E) 125
10
E) 125
yx
yx
D) 4/3 E) 125
Rpta. 0,6Rpta. 0,6Rpta. 0,6
20
178 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
10
20
yxyx
yxyx
Multiplicando por –1 a la segunda Ecuación:
10
20
yxyx
yxyx
102 yx
5yx
25yx .......... (2)De la Ec. (1) y (2):
25
225
yx
yx
2502x
125x
100y
Por lo tanto:4
5
100
125
y
x
4
5
y
x
Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determinar el valor de “x” en: 4253 42 xx
A) x<3 B) x<4 C) 1<x<2 D) x>4 E) x>3
2. Al Reducir: 627292547 ; se obtiene ba ; a>b.
Hallar a+b.A) 12 B) 14 C) 9 D) 11 E) 15
3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:3. ” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:
Hallar a+b.A) 12
Al Reducir
Hallar a+b.A) 12
3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:
25
C) 9
: 7
B) x<4B) x<4
Al Reducir: 47
Hallar a+b.B) 14 C) 9
” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:
9
PROBLEMAS PROPUESTOS
Determinar el valor de “x” en:C) 1<x<2 D) x>4
PROBLEMAS PROPUESTOS
Determinar el valor de “x” en: 32 x
B) x<4 C) 1<x<2 D) x>4
9
pta. BRpta. BR
Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 179
7)4()3(
)4()3(22
33
xx
xx; Hallar el valor de 2a+3b.
A) –8 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3
4. Al racionalizara
abba, se obtiene:
A) bab4 B) bab C) ab D) ab E) bb4
5. El conjunto de solución de:1
20
1
1
1
12x
x
x
x
x
x, es:
A) 5 B) 4 C) 0 D) 4 E) 5
6. Resolver: 0235 2 xx . El intervalo solución es:A)<-7;5] B)[-7;5> C)<-7;5> D)[-7;-5] E)N.A.
7. Resolver: 31
12
x
x. El intervalo de solución es:
A)[-2;-1> B)<-2;-1> C) <-2;-1] D) [-2;-1] E)N.A.
8. Hallar el verdadero valor dex
xxH
33 11, cuando x=0.
A) 0 B) C) D) 2/3 E) 3/2
9. Hallar el verdadero valor de4
83 x
xpara x = 64, es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. Resolver: 62
2
xx
x
A) 2,x B) ,3x C) ,32,x
D) 3,x E) ,2xD)A) x
10.
A)D)
2
2
x
2
Resolver:
B) 2
10. Resolver:2
x
x
2,x
6
Hallar el verdadero valor de
C) 3 D) 4
Hallar el verdadero valor de
B) 2 C) 3 D) 4
HHallar el verdadero valor de
2;
Hallar el verdadero valor dex
H3 1
C) D) 2/3
8
D) [
1
1]
l intervalo de solución es:
1] D) [-2;-1]
xx 3 1
l intervalo de solución es:
D)[-7;l intervalo solución es:
7;-5]
l intervalo de solución es:
E)N.A.
E)N.A.
E)
E)N.A.
b
- 180 -
XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y
FUNCIONES
VALOR ABSOLUTO:
1. VALOR ABSOLUTO.- Se llama Valor Absoluto de un número real xa un número no negativo, definido por:
0,
0,
xsix
xsixx
2. TEOREMAS:
Para todo x, y tenemos:
a) 00 xx
b) xx
c) yxxy
d) 22xx
e) 22 xx
f) xx 2
3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
bx bxóbxyb 0
Lo anterior establece que el universo dentro del cuál se resolveráestá determinado por la condición b>0, y se resolverá primero.Ejemplo:
Resolver: 425 xxResolver:
está determinado por la coEjemplo:
Resolver:
Lo anterior establece que elestá determinado por la coEjemplo:
Resolver: x
Lo anterior establece que eltá determinado por la co
Lo anterior establece que el
ECUACIONES CON V
b b
Lo anterior establece que eltá determinado por la co
Ejemplo:
5x
x
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOLOR ABSOLUTOECUACIONES CON V LOR ABSOLUTO
bxy0
Valor absoluto, relaciones y funciones 181
SoluciónEl universo está determinado:
2x – 4 > 02x > 4x > 2
===> ,2[x
425425 xxóxx
139 xóx
319 xóx
=> 31,9
Observamos que Universo9 y Universo31
Por lo tanto el conjunto de solución es:C.S. = {9}
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Sean : Rax, , entonces:
)()0( axayaax
axóaxax
TEOREMAS:
Dados a y b en los reales, se cumple:- 0))(( bababa
- 0))(( bababa
Ejemplo:
Resolver: 5x
Solución:Como 5 > 0 entonces:
- 5 < x < 5
C.S. = 5,5x
Como 5 >Solución
Ejemplo:Ejemplo:
Resolver:
Solución:Como 5
C.S. =
ba
Resolver: x
b
b
Ejemplo:
Resolver: 5x
Dados a y b en los reales, se cumple:Dados a y b en los reales, se cumple:Dados a y b en los reales, se cumple:)(( aba
( ba
Dados a y b en los reales, se cumple:
)axa
a
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
)
182 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
RELACIONES
1. Pares ordenados, Producto Cartesiano:Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera
componente y segunda componente respectivamente. Se denota por (a,b).
El producto cartesiano A x B; se define:
A x B = { (a,b) / a A y b A }
Donde A y B son dos conjuntosEjm:
Sean A = { 1,2, 4 } B = { a, b }
Entonces:A x B = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (4,a) (4,b)}
Nota: si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos res-pectivamente, entonces el producto cartesiano tiene m x n elementos.
2. Relación:
Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama unaRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.
R es una relación de A en B R A x B 2
Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA.Ejm: Sean A = { 2, 3, 5 } B = {1, 2 }
A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaciones de A en B.R1 = { (5,2)}R2 = { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }R3 = { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.
Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }
Dadas las relaciones:R1 = { (x,y) A x A / x < y }R2 = { (x,y) A x A / x +y = 5 }
A x A / x < y }= { (x,y) A x A / x +y = 5 }
Dadas las relaciones:= { (x,y)= { (x,y)
Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }
Dadas las relaciones:R1 = { (x,y)R2 = { (x,y)
A x A / x < y }A x A / x +y = 5 }
= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.
Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }
= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.
Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }
= { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.
Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }
Dadas las relaciones:A x A / x < y }A x A / x +y = 5 }
A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaci
= { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }
A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaci
= { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.
: Una relación de A y B es llamada también RELACION BB = {1, 2 }
A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}
: Una relación de A y B es llamada también RELACION B: Una relación de A y B es llamada también RELACION B
de A en B
: Una relación de A y B es llamada también RELACION BB = {1, 2 }
A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}
: Una relación de A y B es llamada también RELACION B
Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares oRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.
A x B
Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares oRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama unaRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.
R A B 2
: Una relación de A y B es llamada también RELACION B
denados se llama una
ucto cartesiano tiene m x n elemesi los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos re
ucto cartesiano tiene m x n eleme
denados se llama una
si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos reucto cartesiano tiene m x n elementos.
si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos res-ucto cartesiano tiene m x n eleme tos.
Valor absoluto, relaciones y funciones 183
Hallar R1 R2
Sol:
A x A = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) }
R1 = { (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) }R2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)}
Por tanto: Hallar R1 R2 { (1,4)(2,3) }
3. Dominio y rango de Relaciones
Sea R una relación de A en B; es decir R A x B:Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primerascomponentes de los pares ordenados de R.Se llama RANGO de la relación R al conjunto de todas las segundascomponentes de los pares ordenados de R.
Ejm. Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}
Entonces:Dom (R) = { 1, 2, 3, 4 }Rang (R) = { 1, 2, 3 }
4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
La distancia entre dos puntos R = (x1, y1) y T = (x2, y2) denotado por d =d(R,T) es:
212
212 yyxxd
FUNCIONES
1. Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente.Se distingue lo siguiente:
Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos noSe distingue lo siguiente:
1. Funciones
FUNCIONES
1. FuncionesUna función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos noSe distingue lo siguiente:
Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cual
FUNCIONESFUNCIONES
Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos no
La distancia entre dos puntos R = (x
d
Distancia entre dos puntos en el plano ca
La distancia entre dos puntos R = (x
2xd
Distancia entre dos puntos en el plano ca
Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}
Entonces:
Distancia entre dos puntos en el plano cartesi
, y1) y T = (x
Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}
NGO de la relación R al conjunto de todas las segundasNGO de la relación R al conjunto de todas las segundasdos de R.
Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}
NGO de la relación R al conjunto de todas las segundas
Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primerasres ordenados de R.
Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras
NGO de la relación R al conjunto de todas las segundas
Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras
NGO de la relación R al conjunto de todas las segundas
Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras
184 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
- Conjunto de partida- Conjunto de llegada- Regla de correspondencia.
Ejm: Dados :
A = { 1, 3, 5 }B = { 3, 7, 1 }
Hallar y graficar la función f = A B definida por y = 2x +1
Solución:
si x = 1 y = 3si x = 3 y = 7si x = 5 y = 11
f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
gráficamente
1
3
A
f
B
5
3
7
11
2. Dominio y rango de una función
Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros componentes de los paresordenados de dicha función, Dom(f) = { x A, y B / y = f(x) } ARango Rang(f): Es el conjunto de segundos componentes de los paresordenados de dicha función. Rang(f) = { y B / x Dom f A } B
Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
Dom(f) = {1, 3, 5} Rang(f) = {3, 7, 11}Dom(f) = {1, 3, 5}
Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
Dom(f) = {1, 3, 5}
orden
Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
Dom(f) = {1, 3, 5}
Rango Rang(f): Es el conjudos de dicha función.
Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
dos de dicha función, Dom(f) = { xRango Rang(f): Es el conju
dos de dicha función.
Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros compordenados de dicha función, Dom(f) = { xRango Rang(f): Es el conjuordenados de dicha función.
Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}
Dom(f) = {1, 3, 5}
Rango Rang(f): Es el conjudos de dicha función.
Dominio y rango de una función
Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros compdos de dicha función, Dom(f) = { x
Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros comp
5
Dominio y rango de una f ción
Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros compdos de dicha función, Dom(f) = { x
Rango Rang(f): Es el conjunto de segundos comp
7
11
7
11
BB
3
Valor absoluto, relaciones y funciones 185
3. Gráfica de funcionesSi f es una función (de valor) real de una variable real se llama laGRAFICA de f al conjunto de pares ordenados de f cuando es consi-derado como un conjunto de puntos del plano.
Ejm:
Trazar la gráfica de la siguiente función:
f = { (x, y) x / y = x2 + 1 }
y hallar el Dominio y Rango de f.
Sol:
x ....... -2 -1 0 1 2 .......
y ....... 5 2 1 2 5 .......
1
1- 1
2
2- 2
3
4
5
y
x
Dom (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z
Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }
Ejm 2: Trazar la gráfica de la siguiente función
f = { (x, y) R x R / y = x2 + 1 }f = { (x, y)
Ejm 2: Trazar la gráfica de la sEjm 2: Trazar la gráfica de la s
f = { (x, y)
Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }
Ejm 2: Trazar la gráfica de la s
m (f) = { ........
Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }
Dom (f) = { ........
Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }
Ejm 2: Trazar la gráfica de la s
f = { (x, y)
Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }
- 2
1, 0, 1, 2, ........ } = Z
- 1- 2
m (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z
Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }
1
2
3
4
5
..............
186 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
Hallar el dominio y rango de fSol:
Dom(f) = RRang(f) = [1, + >
x -2 -1 0 1 2
y 5 2 1 2 5
1
1- 1
2
2- 2
3
4
5
y
x
La PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FUNCIONES REALES de una variablereal; es una función real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lomás en un punto.
Ejm:y y
x x
no es función no es función
a) b)
y y
x x
si es función si es función
c) d)
Nota:Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.
si es funciónNota:Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,
si es funciónNotaAl trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.
si es funciónsi es función
Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.
x
no es funciónno es función
y
no es función
x
ta a la gráfica de f a loCIONES REALES de una variable
ta a la gráfica de f a lo
Valor absoluto, relaciones y funciones 187
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La función compuesta fog es aquella función tal qe:Dom(fog) = {(x Dom g / g(x) Dom f}
(fog)(x) = f(g(x)) su regla de correspondencia
PROBLEMAS RESUELTOS:
1. Si f(x) = x2 + 2x + c; f(2) = 0, Entonces el valor de c es:a) 4 b) –4 c) 8 d) –8 e) 7Solución
f(2) = 22 + 2.2 + c = 04 + 4 + c = 0
c = -8 Rpta. D
2. Si [g(x)]2 + 2[g(x)] + 2 = x2 – 8x + 17. Determine g(x).a) x-5 b) x+17 c) x d) x-8 e) x2
Solución
[g(x)]2 + 2[g(x)] + 1 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 = x2 – 8x + 16[g(x) + 1]2 = [x – 4]2
g(x) + 1 = x – 4g(x) = x – 5 Rpta. A
3. Hallar f(0) Si f(2x-1) = xa) –1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1Solución:
f(2x-1) = xTomamos 2x-1 = y
2x = y + 1
2
1yx
1) = xTomamosf(2x-1) = xTomamos
1 b)1 b) 0 cSolución:
f(2xf(2x 1) = xTomamos
Hallar f(0) Si f(2x-1) = x1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1) ½ d) 2 e) 1
4
Hallar f(0) Si f(2x-1) = x1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1
Solución:
8x + 16
Rpta. A
8x + 162
+ 2[g(x)] + 1 + 1 = x+ 2[g(x)] + 1 + 1 = x8x + 17
8x + 16
Rpta. A
8x + 178x + 178x + 17
8 e) x
– 8x + 17
8x + 17. D
8 Rpta. D
8x + 17. Determine g(x).termine g(x).
188 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
Entonces:
2
1)(
yyf
2
10)0(f
2
1)0(f Rpta. C
4. Si la relación R = {(1,2a); (2,7); (5,1); (1,3a-5); (7,9)} es una fun-ción, la suma de los elementos del rango de dicha función es:
a) 22 b) 15 c) 27 d) 16 e) 10
Solución
Mediante unicidad(1,2a) = (1,3a-5)2a = 3a –5 ==> a = 5
Sustituyendo el valor de a.R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}
Rango = {10, 7, 1, 9}
91710Elemento = 27 Rpta. C
5. Sea la función .6)( 2 xxxf Hallar ).()( fRangfDom
a) <0;5/2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [-2;0> e) [-2;0]
Solución
Observamos que se debe cumplir:
-x2 + x + 6 > 0x2 - x - 6 < 0
(x – 3)(x + 2) < 0
Observamos que se debe cumplir:
Solución
a) <0;5/2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [
Solución
Observamos que se debe cumplir:
)(xf
2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [
17
2 xxSea la función (xf
2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [
= 27
R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}
Rpta. C
n-
Valor absoluto, relaciones y funciones 189
Puntos críticos: 3 y –2
+ - +
-2 3
Entonces: Dom(f) = [-2;3]
Para hallar el rango:Tabulando y graficando tenemos.
Rang(f) = [0,5/2]
Por tanto:)()( fRangfDom = [-2;3] [0,5/2]
= [0,5/2]
Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si12
12)(
x
xxf y
12
2)(
x
xxg . Hallar:
)1().2(1
)1()2(
gf
gfE
A) –7/3 B) 3/7 C) –21 D) 21 E) –3
2. Dado2
1)(
xxf y 1)( 2 xxxg , hallar fog(3).
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Resolver xx 1836
A) 2,3 B) 3,3 C) 7,2 D) 3 E) 2,1
Resolver
A)
3. Resolver
A) 3
B) 2
x 36
B)
(fDado )(xf
A) 1 B) 2
Resolver 6
2 B)
B) 3/7 C)
1y g
)1C) –21
2)
x)(xg
C) 3 D) 4
1x
x. Hallar:
2
2
x
x. Hallar:
E) –3
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
. Hallar:
PROBLEMAS PROPUESTOS
190 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG
4. Dada la función 2)( xxf , hallar )()( fRanfDom .
A) [0,+ > B) [-2,+ > C) [2,+ > D) <0,+ > E) N.A.
5. Sabiendo que xxxxG 273)3( 23 , calcular G(-7).A) –370 B) –170 C) 170 D) 370 E) 2170
6. La gráfica de 12)( xxF pasa por los puntos:A) (3,1); (0,3); (4,5) B) (10,-1); (2,1); (1,2) C) (-1,2);(2,-1);(2,10)D) (-4,2); (0,1) E) N.A.
7. Hallar el dominio y el rango dexx
xxxf
1,
1,23)(
2
A) (2,3) y (- ,2) B) (1, ) y (-3, ) C) (- , ) y (- , ) D) R y R+
E) N.A.
8. Si 8,6,4,2A y sea R una relación en A, definida por R = {(x,y)/
y es un múltiplo de x, x≠y}. Hallar la suma de los elementos deRang(R).A) 18 B) 26 C) 6 D) 12 E) N.A.
9. Resolver 8215 xx
A) –3<x<1 B) –3<x<1 C) –4<x<2 D) –3<x<1 E)N.A.
10. Resolver 41
13
x
x
A) –5 ó 3/7 B) 5 C) –3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.11
5 ó 3/7 B) 5 C)
4
3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.
4
5 ó 3/7 B) 5 C) –
3<x<1
3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.
C) –4< 2
E) N.A.E) N.A.
C) <x<2 D)
y sea R una relación en A, definida por R =y sea R una relación en A, definida por R =
Hallar la suma de los elementos de
E) N.A.
y sea R una relación en A, definida por R =
Hallar la suma de los elementos de
y sea R una relación en A, definida por R =
) y (
y sea R una relación en A, definida por R =
Hallar la suma de los elementos de
) D) R y R
{(x,y)/
) D) R y R) D) R y R
1);(2,10)
- 191 -
BIBLIOGRAFÍA
TEORÍA ELEMENTAL DE LOS NÚMEROS William Le VequeARITMÉTICA (Curso Superior) Rey PastorPROBLEMAS DE ARITMÉTICA García ArduraTEORÍA DE LOS NÚMEROS Ruiz Arango, IsidroARITMÉTICA Farfán Alarcón, Oscar RaúlÁLGEBRA Goñi Galarza, JuanÁLGEBRA (Tomo I) Quijano Hiyo, JorgeÁLGEBRA (Tomo II) Quijano Hiyo, JorgeMATEMÁTICA BÁSICA Venero B. ArmandoÁLGEBRA Lehman, CharlesLehman, Charles
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