la teoría cuántica moderna; -...
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1
V. La teoría cuántica moderna;
Schröedinger y el átomo de
hidrógeno
Alejandro Solano Peralta
MECÁNICA ONDULATORIA
DE SCHRÖEDINGER
La teoría cuántica
moderna;
2
de Broglie y la dualidad onda
partículaEn 1924, Louis De Broglie sugirió que la materia (electrones, protones, neutrones, átomos y moléculas, y en general a todas las partículas materiales) tiene una naturaleza dual.
– E = h (Planck, 1900)
– E = mc2 (Einstein, 1905)
p
h
mc
h
Confirmada experimentalmente por:
•Sir George Pajet Thomson & A. Reid utilizando una delgada lamina de metal
•Clinton J. Davisson & Lester Germer al difractar un haz de electrones sobre Ni (cristal)
se les premio concediéndoles el premio Nobel de Física en 1927
Heisenberg y el Principio de
incertidumbreEn 1927 Werner Karl Heisenberg* establece el
“principio de incertidumbre”:
• Es imposible determinar tanto posición y
momento de un electrón simultáneamente.
Si una cantidad es conocida entonces la
determinación de la otra cantidad será
imposible.
Werner
Heisenberg
*Ganador del premio Nóbel en física 1932 por la creación de la mecánica cuántica
DP Dx h
DE Dt h / 4p
3
Mecanica cuántica
• Mecánica ondulatoria de
Schrödinger; en 1926 Schrödinger trata de describir el comportamiento del electrón en
términos de ecuaciones diferenciales similares a las que
gobiernan el movimiento ondulatorio (de ahí que se le conozca como teoría ondulatoria
de la materia)
• Mecánica matricial, propuesto por
W. Heisemberg en 1925 y
formalizado por Max Born y
Pascual Jordan en 1926, donde se
emplean matrices para representar
las variables de un sistema
Paul Adrien
Maurice Dirac
Postulados del modelo de
Schroedinger1. Para cada sistema de N partículas existe una función, , la
cual es una función matemática que depende de las
coordenadas de las N partículas y del tiempo y que contiene
toda la información acerca del sistema. A esta función se le
suele denominar función de estado (función de onda) del
sistema ()
)t,z,y,x,,z,y,x,z,y,x NNN222z11
4
Postulados del modelo de
Schroedinger2. Para cada observable físico (x, p, E, L,) existe un operador
lineal y hermitiano que aplicado a la función de onda me da
el valor de la propiedad por la función de onda, es decir, la
medición de este observable resulta ser un miembro del
conjunto de valores propios del operador.
)x(E)x(H
Operador
FunciónObservable (cte)
(Ecuación de valores propios)
¿qué es un operador matemático
Postulados del modelo de
Schroedinger3. Si en el instante t se realiza una medición para localizar la
partícula asociada entonces la probabilidad P(x,t) dx de
encontrar a la partícula en una coordenada entre x y x + dx
es igual a , es decir
en este caso se dice que la función está normalizada.
1dx)t,x()t,x(*dx)t,x(P
5
Plausibilidad de la ecuación de
SchroedingerSchrödinger t rata de describir el comportamiento del electrón en
términos de ecuaciones diferenciales similares a las que gobiernan el
movimiento ondulatorio. Entonces, es posible describ ir una función
que describa su comportamiento, Tal como la función que describe la
propagación de una onda sinusoidal:
Moviendose a una velocidad;
)
υt
λ
xπ2senAtx,
v
Ecuacion gral. de
onda
2
2
22
2
tv
1
x
Ecuacion gral. del
movimiento ondulatorio
Plausibilidad de la ecuación de
Schroedinger
¿Cuál es esa función?
Esta función debe ser consistente con:
= h / mv (de Broglie)
E = h (Planck)
ETotal = Ek + V (Clásica)
Donde;
Ek =1/2 mv2
6
Plausibilidad de la ecuación de
Schroedinger
¿Cuál es esa función?
Esta función debe ser consistente con:
= h / mv (de Broglie)
E = h (Planck)
ETotal = Ek + V (Clásica)
Debe cumplir ciertos requisitos matemáticos como lo son:
•Ser finita
•Continua
•Univaluada
•Cuadrado integrable
•Ser lineal
Una función que cumpla
estas condiciones, se
dice está bien
condicionada
Plausibilidad de la ecuación de
SchrödingerUna partícula libre moviéndose en el eje x,
fue propuesta por Schrodinger, por ello se le conoce como Ecuación de
Schroedinger,
Pero, considerando únicamente la posición de la partícula
) )
)t
t,xit,x)t,x(V
x
t,x
m2 2
22
)t()x()t,x(
) ) )x(Ex)x(V
dx
xd
m2 2
2
Ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo
7
Plausibilidad de la ecuación de
SchrödingerUna forma simplificada de escribir la ecuación de Schroedinger es por
medio de un operador.
Así, si se define el operador Hamiltoniano
entonces la ecuación queda simplificada de la siguiente manera:
) ) )x(Ex)x(V
dx
xd
m2 2
2
V(x)xd
d
m2H
2
2
)x(E)x(H
Tarea 9• El operador Â=(d/dx – 3) es aplicable a las siguentes
funciones;
f (x) = e –x
f (x) = e x cos x
¿Son propias del operador? Si es así, indicar el valor propio
• Aplique el operador 2/ x2 sobre las funciones;
(x,t) = e-xt
(x,t) = sen(x-t)
¿Alguna de ellas es propia del operador?
8
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V = a V = 0 V = a
0 a
x
))x(E
dx
xd
m2 2
2
)ψ(x)
mE2
xd
xψd22
2
))x(m
dx
xfd 2
2
2
) )mxcosBmxsenAψ(x)
Condiciones a la frontera;
x = 0; (x) = 0
x = a; (a) = 0
f(x) = A sen (mx)
f(x) = B cos (mx)
x
a
nπsensen(mx) ; n +
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V = a V = 0 V = a
0 a
x
x
a
nπsenAEx
a
nπsenA
xd
d
m2 2
2
))x(E
dx
xd
m2 2
2
)
x
a
nπsenAx ; n +
9
1dxxa
nsenAdx)x(
1dx)x()x(*dx)x(P
a
0
2
2
p
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V = a V = 0 V = a
0 a
x
)
x
a
nπsenAx
Postulado 3;
condicion de
normalización
2/1
a
2A
¿Y cuanto vale A?
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V = a V = 0 V = a
0 a
x
x
a
nπsen
a
2ψ(x)
2/1
; n +
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(
x)
x / a
n = 1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(
x)
x / a
n = 2nodo
(x)=0
10
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V = a V = 0 V = a
0 a
x
x
a
nπsen
a
2ψ(x)
2/1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2 (x)
(x)
(
x)
x / a
n = 2
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en una caja de
potencial
V = a V = 0 V = a
0 a
x
; n +
2
22
a
n
m8
hE
E(h2/8ma)
n = 11
n = 24
n = 39
n = 416
Diagrama de
niveles de energía
11
Tarea 10
• Calcule la probabilidad de que una partícula
este en el intervalo (0, a/4) cuando se
encuentre en el primer estado cuántico.
• ¿cuál seria la probabilidad de encontrar a la
partícula en el punto x=a/2 para n =1
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en un cubo de potencial
) z)y,ψ(x,Ezy,x,ψzyxm2 2
2
2
2
2
22
Etot = Ex + Ey + Ez
) ) z)y,ψ(x,EEEzy,x,ψzyxm2
zyx2
2
2
2
2
22
)z)y,ψ(x,
mE2
x
zy,x,ψ2
x
2
2
Por ser una función lineal )z)y,ψ(x,
mE2
y
zy,x,ψ2
y
2
2
)z)y,ψ(x,
mE2
z
zy,x,ψ2
z
2
2
12
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• Partícula en un cubo de potencial
Etot = Ex + Ey + Ez
2
2x
2
xa
n
m8
hE
2
2z
2
2y
2
2x
2
to talc
n
b
n
a
n
m8
hE
nx, ny, nz +
¿Cuál es la forma de la función
de onda?
• El átomo de hidrógeno
) ) )z,y,x(Ez,y,xz,y,xVzyxm2 2
2
2
2
2
2
e
2
)
222
2
0
Ne
2
zyx
Ze
επ4
1
r
Zectezy,x,V
13
Átomo de Hidrógeno),,(),,(ˆ zyxEzyxH
) ) ,,,, rzyx
)r
ZerV
2
04
1
p
)
222
2
0
Ne
2
zyx
Ze
επ4
1
r
Zectezy,x,V
Átomo de Hidrógeno),,(),,(ˆ zyxEzyxH
) ) ,,,, rzyx
Tarea 11; Buscar la conversión de
coordenadas cartesianas (x,y,z) a
coordenadas polares (r,,)
14
Ecuación de Schroedinger (1925)
) ) ) )zyxttzyxVzyxt
t
zyxti ,,,,,,,,,
m2
,,, 22
2; Nabla cuadrado; operador laplaciano
)(esféricas sin
1sin
sin
11
as)(cartesian
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
22
rrrr
rr
zyx
Átomo de Hidrógeno),,(),,(ˆ zyxEzyxH
) ) ,,,, rzyx
) ) ),,(,,,,2 2
2
2
2
2
22
zyxEzyxzyxVzyxme
) ) ) ),,r(E,,rrVm2
2
e
2
15
Formulación moderna de la ec. De
Schroedinger
) ) ) ) )ttVttdt
dit ,r
m2
pH
i; es la unidad imaginaria
ħ; constante de planck generalizada
Ĥ; es el operador Hamiltoniano dependiente del tiempo
p; Es el impulso (observable)
r; Es la posición (observable)
Erwin Schrödinger (1926), «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms
and Molecules», Phys. Rev. 28, 1049.
Átomo de Hidrógeno
) ) ) ),,r(E,,rrVm2
2
e
2
sen
senr
1
senr
1
rr
rr
122
2
22
22
),,(),,(ˆ rErH
Numero
cuántico
Valor Descripción
n 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . Principal
l 0, 1, 2, . . . , n-1 Azimutal o de forma
ml -l, -l+1, . . , 0, . . . , +l-1, +l Magnético
) ) ) ) mmllnmln rR,,r
Todos los numero cuánticos son números enteros y sus valores no pueden elegirse al azar
16
Átomo de Hidrógeno - Energía
1 2
-50
-15
-10
-5
0
E (
eV
)
Z
)
p
222
0
4
e
2
n
1
24
emZE
Diagrama de los niveles de energía del átomo de hidrógeno
(Z=1) y del ion He+ (Z=2)
Átomo de Hidrógeno - función de
onda ()Las funciones de onda del hidrógeno reciben también el nombre de
orbitales atómicos simbolizados como:
así mismo la notación que se usa para designar el momento angular es:
Valor de l Símbolo Definición
0 s exacto (sharp)
1 p principal
2 d difuso
3 f fundamental
4 g . . .
5 h . . .
Así, un orbital 1s es la función de onda 100 con n = 1, l = 0 y m = 0
nl
17
Átomo de Hidrógeno – función de
onda ()
Expresiones matemáticas de las funciones de onda normalizadas para el átomo de hidrógeno
Números
cuánticos
Función
de onda Simbología Eigen-función
n l m
1 0 0 100 1s
2 0 0 200 2s
2 1 0 210 2pz
2 1 +1 21+1 2px, y
0a/rZ
2/3
0
100 ea
Z1
p
0a2/rZ
0
2/3
0
200 ea
rZ2
a
Z
24
1
p
p
cose
a
rZ
a
Z
24
10a2/rZ
0
2/3
0
210
p ia2/rZ
0
2/3
0
121 esenea
rZ
a
Z
8
10
Átomo de Hidrógeno – función de
onda ()
• Tarea 12;
– Graficar, en hojas de papel polar, las funciones de onda (n,l) para los orbitales 1s, 2p y 3d
18
Átomo de Hidrógeno – función
de onda ()Función de onda radial
Orbitales s Orbitales p
Orbital rmax (a0) nodos
1s 1 a
2s 0.8 0.53
5.2
Átomo de Hidrógeno – función
de onda ()Funciones de densidad radial y de probabilidad radial para el orbital 1s
orbital 1s
Calcular la probabilidad de encontrar al
electrón en una esfera de radio r y
espesor dr.
V = 4πr3/3
R2(r)dV = 4πr2 R2(r)dr
que se denomina función de
probabilidad radial (o función de
distribución radial).
19
Átomo de Hidrógeno – función
de onda ()Funciones de densidad radial y de probabilidad radial
orbital 1s orbitales 2s y 2p
Probabilidad de encontrar al electrón(3er. Postulado del modelo mecánico cuántico)
El orbital es una abstracción matemática que se
puede relacionar con la región en la cual es más
probable encontrar el electrón, y esta región puede
tener forma.
REEMPE; región de espacio energética de manifestación probabilística
electrónica
No se puede saber dónde está el electrón en un momento dado, pero sí cuál sería la
probabilidad de encontrarlo en algún lugar
Diagrama de contorno,
P(x) = 90%
Postulado por Max
Born en 1930
20
Dependencia radial de los orbitales
hidrogenoides
(condición de Born)
0.8
2.0
)drrRrdrrdd 22
0
2
0
22 4sin p p p
Dependencia angular de los orbitales
hidrogenoides
21
Átomo de Hidrógeno - Energía
)
p
222
0
4
e
2
n
1
24
emZE
Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno,
(Z=1)
Ocupación de los orbitales
E. C. Stoner (1924) encontro las ocupaciones de:
Ocupación de e- subcapa
2 s
6 p
10 d
14 f
A. Lande
) )L
g B
g = factor de Lande o giromagnético
B= magneton de Bohr
e
Bm
eh
p
4
22
Bibliografía
• L O S A L A M O S N A T I O N A L L A B O R A T O R Y, Operated by the
University of California for the US Department of Energy,
http://pearl1.lanl.gov/periodic/default.htm
• environmentalchemistry.com; información
• http://environmentalchemistry.com/yogi/periodic/
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