le basi fondamentali

LE BASI FONDAMENTALI• INSIEMI• INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali,

reali e complessi)• SISTEMI DI COORDINATE • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA• FUNZIONI TRIGONOMETRICHE• EQUAZIONI• DISEQUAZIONI• PERCENTUALI

INSIEMI

INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi

detti elementi dell’insieme.

Un insieme è definito quando viene dato un criterio

non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto

appartiene o no all’insieme

Simbologia

Gli insiemi sono indicati con lettere

maiuscole, eventualmente munite di indici:

A, B, X, Y, A1, A2, B1…

gli elementi degli insiemi con lettere

minuscole, eventualmente munite di indici:

a, b, x, a1, a2, y1 …

Rappresentazione di un insieme

Un insieme A si può rappresentare:

• elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme

Esempio: A = {a, b, c, d}

• Indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme

Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

I Diagrammi di Eulero-Venn

Servono per rappresentare graficamente un insieme.

Esempio:

a b c d

Il simbolo di appartenenza:

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive:

si legge “a appartiene ad A".

Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive:

b Asi legge “b non appartiene ad A".

ALCUNI SIMBOLI

contenuto in senso lato contenuto in senso stretto; contenente in senso lato; contenente in senso stretto; U insieme universale insieme vuoto per ogni esiste non esiste ; (oppure :) tale che

implica, segue che deriva, discende da se e solo se (in inglese iff, if and only if)

CONFRONTO TRA INSIEMI

Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:

B A (oppure A B)

e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A"

("A contiene o è uguale a B")

se ogni elemento di B è un elemento di A

b B b A

CONFRONTO TRA INSIEMI

Insieme vuoto :

Insieme privo di elementi

(qualunque sia A)

Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive:

oppure

se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se

aA : a B

OPERAZIONI TRA INSIEMI

• UNIONE

• INTERSEZIONE

• DIFFERENZA

• COMPLEMENTAZIONE

• PRODOTTO CARTESIANO

UNIONE TRA INSIEMI

• L'unione di due insiemi A e B è l'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e B

• L’unione di A e B si scrive:A B = {x : x A e/o x B }

Se A = B A B = ASe A B A B = B

UNIONE TRA INSIEMI

• Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

UNIONE TRA INSIEMI

• Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A B = {0, 1, 2, 3}

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

• L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B

• L'intersezione di A e B si scrive:A B = {x : x A e xB }

Se A = B A B = ASe A B A B = ASe A B = A e B si dicono disgiunti.

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A B = {1, 2}

DIFFERENZA TRA INSIEMI

• La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B:

• La differenza di A e B si scriveA B = A \ B = {x : x A e x B }

Se A = B A \ B =Se A B A \ B =

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A \ B = {0}

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}B \ A = {3}

INSIEME COMPLEMENTARE

• Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale.

• sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x U e x A }

• EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}

0 3 5 1 2

• EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}CUA =U \ A = {0, 3, 5}

PRODOTTO CARTESIANO

• Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x)

• Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B

A B = {(x, y) : x A, y B} 24

PRODOTTO CARTESIANO

Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}

A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

ESERCIZI

• Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}

• Calcolare:A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A B = {2, 4}

A \ B = {1, 3, 5}B \ A = {6}

INSIEMI NUMERICI

• NATURALI

• INTERI O RELATIVI

• RAZIONALI

• IRRAZIONALI

• REALI

• COMPLESSI

I NUMERI NATURALIN={1, 2, 3, 4, 5,…..}

• Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni.

• Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni:1) Addizione 2) Moltiplicazione3) Relazione di “minore o uguale”

(m<n (se e solo se) p N: m+p=n)

I NUMERI NATURALI• m, n, p N Le operazioni di addizione e

moltiplicazione godono delle proprietà:- Associativa:

(m + n) + p = m + (n + p)(m • n) • p= m • (n • p)

- Commutativa:m + n = n + mm • n = n • m

- Distributiva:m • (n + p)= m • n + m • p

- Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 • m = m

I NUMERI INTERI• L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto

all’addizione e alla moltiplicazione.• Non è però chiuso rispetto alla sottrazione: sistema algebrico dei numeri interi.

Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}

Z+ = {+1, +2, +3, …} = NZ- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ Z - {0}

I NUMERI INTERI

Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:

4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:

0 Z : x + 0 = x, xZ

5) Esiste l’opposto:

xZ, y Z : x + y = 0,

6) Chiuso rispetto alla sottrazione:

x – y = x + (-y)31

I NUMERI RAZIONALI

• PROBLEMA:Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovveroZ non è chiuso rispetto alla divisione

Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}

• ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.

NUMERI RAZIONALI

• Q è denso:

q1, q2 Q, q Q : q = (q1+ q2)/2

0-2 -1 321

• N e Z sono discreti:

NUMERI REALI

• PROBLEMA:

non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 !

• Numeri reali: R = Q dove è l’insieme dei numeri irrazionali

NUMERI REALISupponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che:

p2/q2=2p2=2 q2

p è pari, p = 2k22 k2 = 2 q2

2 k2 = q2

ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

NUMERI REALI

• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, :

Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale.

Non vale il viceversa!

NUMERI COMPLESSI

• Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo.

• Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:

NUMERI COMPLESSI

• Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo:

• L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.

NUMERI COMPLESSI• Siano dati due numeri complessi

• SOMMA:

• DIFFERENZA:

• PRODOTTO:

biaz dicv

idbcaidcibavz )()()()(

icbdadbca

idbicbidacaidcibavz

)()( 2

NUMERI COMPLESSI

Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero:

• Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):

dicv v

vdcdicdicvv 22)()(

NUMERI COMPLESSI

• QUOZIENTE:

ibaidcibavz

GLI INSIEMI NUMERICI

• Sussiste una precisa relazione di inclusione:

N Z Q R C

RELAZIONI e CORRISPONDENZE

Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano:

R X x Y = (x,y): xX, yYL’insieme costituito dai primi (secondi)

elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.

FUNZIONE

Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y.

Noi consideriamo X, Y R , cioè funzioni reali di una variabile reale.

RELAZIONE TRA 2 INSIEMI

FUNZIONE TRA DUE INSIEMI

SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA

Sia data una retta r, si fissi:

1) Un verso positivo di percorrenza

2) Un punto O detto Origine

3) Un segmento u detto unità di misura

ur- r+ r

ASSE DELLE ASCISSE• Preso un punto P sull’asse delle ascisse,

a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P

• Viceversa, xP R ! P r : x= xP .

• Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna:

1) Un verso positivo di percorrenza2) Una unità di misuraSi ottiene così un sistema di riferimento

cartesianoOrtogonale / obliquo Monometrico / dimetrico

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

• Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)

(+ , +)

(- , +)

(- , -)

(+ , -)50

ESEMPIO

1P=(2,1)

P=(-2,-1)

3P=(-2,3)

P=(2,-2)-2

GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA

• Si consideri il seguente grafico:

• I punti sulla retta hanno coordinate:

1A 1P 1B

),(,, yxPyxByxA BBAA

• Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente):

• Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha:

• Ponendo:

• Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale):

AB yya

)( AB xxb

ABBA xyxyc

0 cbyax

LE CONICHE

LA CIRCONFERENZA

• L’equazione della circonferenza di centro

• e raggio r è data da:

• Dove i coefficienti sono dati da:

• Se C=O l’equazione assume l’espressione:

CC yxC ,

022 yxyx

Cx2 Cy2222 ryx CC

222 ryx

GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA

52.50-2.5-5

L’ELLISSE

• L’equazione dell’ellisse con fuochi

• e gli assi lunghi a e b è espressa da:

• dove a > c e dove

0,0, 21 cFcF

222 cab

GRAFICO DELL’ELLISSE

1F 2F O

L’IPERBOLE

• L’equazione dell’iperbole con fuochi

• e gli assi lunghi a e b è espressa da:

• dove a < c e dove

0,0, 21 cFcF

222 acb

GRAFICO DELL’IPERBOLE

2F1F x

IPERBOLE EQUILATERA• Se a=b l’equazione l’iperbole viene

denominata equilatera e la sua equazione è:

• Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha:

• ovvero

222 ayx

2axy kxy

GRAFICO DELL’IPERBOLE EQUILATERA

543210-1-2-3-4-5

LA PARABOLA• L’equazione della parabola con il vertice

nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c

• è espressa da:

• Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma:

0 axaxay

GRAFICO DELLA PARABOLA

ANGOLO

• Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.

ANGOLO ORIENTATO

• Verso positivo di rotazione antiorario

• La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo.

SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI

• SESSAGESIMALE:

grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro.

• RADIANTE

RADIANTE

• L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.

Misura in radianti di un angolo

• È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio:

• Angolo giro = 2r / r = 2• Angolo piatto = r / r = • Angolo retto =

Misura in radianti di un angolo

• Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:

360 : 2 = s : r

Ex: 360 : 2 = : r

r = 76

Le funzioni trigonometriche: seno e coseno

rHP Psin

rOH Pcos

La funzione:Tangente trigonometrica

AT Ttan

sintan

f(x) = sin (x)

A=(1,0)

Funzione seno

• Dominio R

• Codominio [-1, 1]

• Periodica di periodo 2

y = cos (x)

/2 /2) x

A=(1,0)

Funzione coseno

• Dominio R

• Codominio [-1, 1]

• Periodica di periodo 2

y = tan (x)

-/2 /2 /2)A

y T /2

Funzione tangente

• Dominio = R \ /2 + k k Z

• Codominio = R

• Periodica di periodo

Relazione tra seno e coseno

sin2(x) + cos2(x) = 1

)(cos1)sin( 2 xx

)(sin1)cos( 2 xx

Relazione tra seno e coseno• Esempi:

cos (x) = ½ x [0, /2]

32/11)sin( 2 x

21)cos( x

2)sin(

Relazione tra seno, coseno e tangente

• sin2(x) + cos2(x) = 1

1)(tan1

)(tan1

1)(cos

)(tan1

1)cos(

Valori in archi particolari : /6

Valori in archi particolari: /3

Valori in archi particolari: /4

COORDINATE POLARI

• P ha coordinate cartesiane (1, 1)

Le coordinate polari di P sono:

Nell’esempio:91

OP POxasse ˆ

COORDINATE POLARI

• Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:

• si osservi che:

cosx siny

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

• Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.

• Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:

)sin(cossincos iiibaz

• Dato il numero complesso z:

e il numero complesso v :

Il prodotto tra z e v è:

)sin(cossincos iiibaz

)sin(cossincos iiidcv

)sin()cos(

sincoscossinsinsincoscos

)sin(cos)sin(cos

• In particolare se z=v si ottiene:

e in generale:

detta Formula di De Moivre.

2sin2cos22 iz

ninz nn sincos

CALCOLO LETTERALE

• Perché?

È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

POTENZE

• Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a

an = a • a • … • a n volte

Esempio:

32 = 3 • 3

(-2)2 = (-2) • (-2) = 4

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Dati a, b R, m, n N

• a n + m = a n a m,

• a -n = 1 / a n

• a n - m = a n: a m, n m, se n = m, a 0

• (a:b) n = a n: b n, b 0

• (ab) n = a n b n,

• (a n) m = a n m,

• a 0= 1,99

ESERCIZI

32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6

(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2

(8)0=13-4 = 1 / 34

(- 2)2 •(-2)3 = -32

RADICALI

• Si dice radice n-sima (n N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive: nb a

mn mna a

La radice ennesima (n N) della potenza am si scrive:

PROPRIETA’ DEI RADICALI

kn km na a

mn m na a

m nm n a a

n nm n ma b a b

nnn abba

ESERCIZI

34 3 4a a

2 23 2 32 3 2 3

3 62 a a

54 5 4a a

333 842

• ADDIZIONE• SOTTRAZIONE• PRODOTTO

PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è

possibile stabilire il risultato con pochi calcoli

• DIVISIONE

OPERAZIONI TRA POLINOMI

DIFFERENZE DI QUADRATI

(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)

Esempi:

(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)

(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)

(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)

(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =

[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]

QUADRATO DI UN BINOMIO

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

(x - y)2= x2 - 2xy + y2

Esempi:

(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2

(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2

((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4

CUBO DI UN BINOMIO

(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Esempi:

(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3

(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3

(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI

(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)

(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)

Esempi:

(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)

(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)

(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 -

(x - 2) y2 + y4)]108

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

• Mediante l’uso dei prodotti notevoli

• Raccoglimenti a fattore comune:

Esempio:

6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)

• Raccoglimenti parziali successivi:

Esempio:

9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)

DIVISIONE TRA POLINOMI• Prenderemo in considerazione solo polinomi in

una variabile

• Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 .

• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:

P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

ESEMPIO

2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +12x5 – 2 x4 + 2 x2

2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x4 – 2 x3 +2

x – x3 - 2 x2 - x + 1 – x3 + x2 - 1

2 x2 +2 x -1

- 3 x2 - x + 2

(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)

ESEMPIO

(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2)

P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.

ESEMPIO:

(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)

20 x4 + 10 x3 - 20 x2

– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32 5x2 -6x + 8

– 24 x3 - 12 x2 + 24 x

32 x2 + 16 x - 32 32 x2 + 16 x - 32

\\ \\ \\

20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4

REGOLA DI RUFFINI

• Divisione di un polinomio per un binomio

• Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero .

P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R

REGOLA DI RUFFINI

Coefficienti P1(x)

Coefficienti e termine noto P2(x)

Termine noto P1(x)

ESEMPIO

(x2 - 1) : (x + 2)

x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3

REGOLA DEL RESTO

• Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a

R= P1(-a)

Esempio:

(x2 - 1) : (x + 2)

P1(-2) = 3117

OSSERVAZIONE• Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore

del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1.

• Nell’esempio precedente:P1(x)=(x2 - 1) si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:

P1(+1) = 0

quindi P1 è divisibile per (x - 1)

P1(-1) = 0

quindi P1 è divisibile per (x + 1)118

ESEMPIO

x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)

P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6

P1(±1) 0

P1(2) = 0

1 3 -6-7

1 5 3 0

EQUAZIONI

• Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale

• Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile

f(x) = g(x)

• La variabile è detta incognita dell’equazione120

SOLUZIONI • I particolari valori di x per cui questa è verificata

sono detti soluzioni dell’equazione

• Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni.

• Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x.

• Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile

• Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

• Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a 0.• Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene

l’incognita e si divide per il coefficiente di x:ax=-b (ax)/a=-b/ada cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è:x = - b / a Esempio:

2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2

EQUAZIONI DI 2o GRADO

• Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

a x2 + b x + c = 0

con a, b, c coefficienti numerici e a 0.

SPURIA: a x2 + b x = 0

x(a x + b) = 0

x = 0 x = - b / a

PURA: a x2 + c = 0

COMPLETAa x

2 + b x + c = 0

> 0 2 soluzioni reali e diverse 2

b b acx

= 0 2 soluzioni reali e coincidenti

nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi)

ESEMPI

2 x2 - 7 x + 3 = 0

= 49 – 24 > 0

x1=1/2 x2=3

ESEMPI

25x2 + 10x +1 = 0

= 25 – 25 = 0

1,25 1

x2 - 3 x + 8 = 0

= 9 – 32 < 0

non ha soluzioni in R.126

RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI

a x2 + b x + c = 0

2 20b c

x x x sx pa a

1 24 4 2

b b ac b b ac b bs x x

a a a a

2 2 2 2

b b ac b b ac b b ac cp x x

a a aa

ESERCIZI

• Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5:

assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4 x - 5 = 0

x1 = 1 x2 = -5• Determinare a meno di un coefficiente di

proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10

x2 + (3/10) x - 1/10 = 0

FATTORIZZAZIONE

a x2 + b x + c = 0

> 0 a · (x - x1) · (x - x2)

2) = 0 a · (x - x1)2

non è possibile in R

IL SEGNO DEL TRINOMIO

Caso 1 ( 2121 ,, xxRxx )

0)( 22 xp

asignxpsign ))(( 2

asignxpsign ))(( 2 asignxpsign ))(( 2

0)( 12 xp

Caso 2 ( 2121 ,, xxRxx )

21 xx asignxpsign ))(( 2 asignxpsign ))(( 2

0)()( 2212 xpxp

Caso 3 ( Rxx 21, )

asignxpsign ))(( 2

“Il polinomio di secondo grado cbxaxxp 2

2 )( assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente a del termine 2x , all’esterno dell’intervallo delle radici. Il polinomio assume valori che hanno segno opposto rispetto al coefficiente a del termine 2x , all’interno dell’intervallo delle radici”.

DISEQUAZIONI

• Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:

f(x) g(x)

SOLUZIONI

• Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:I = D(f) D(g)

• Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1)

• Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione (ex: x2 +1 > 0)

• Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x2 + 2 < 0)

ESEMPIO

-2x > 24

x < -12

INTERVALLI DELLA RETTA

• Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b:

• [ a , b ] ={xR: a x b} chiuso• ] a , b ] ={xR: a < x b}=( a,b] chiuso a destra• [ a , b [ ={xR: a x < b}=[a,b) chiuso a

sinistra• ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto

INTERVALLI DELLA RETTA

• ] - , b ] = {xR: x b} = ( - , b ]

• ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b )

• [ a , + [ = {xR: x a} = [ a , + )

• ] a , + [ = {xR: x > a} = ( a , + )138

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

a x+b >0 con a e b numeri reali e a 0.

Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!),

Si isola il termine che contiene l’incognita x :

Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a

x>-b/a se a>0

x<-b/a se a<0

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

• a x2 + b x + c > 0

a, b, c reali, a 0

Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.

ESEMPIO

• 4 x2 + 12 x + 9 > 0

= 36- 36 = 0

1,26 3

• S = xR \ {-3/2}

ESEMPIO

3 x2 + 5 x – 2 < 0

= 25 +24 = 49 > 0

1,25 49

x1 = -2 x2= 1/3S = {xR: -2 < x < 1/3}

ESEMPIO

3 x2 + 5 x – 2 > 0

= 25 +24 = 49 > 0

1,25 49

x1 = -2 x2= 1/3S = {xR: x< -2 } {xR: x> 1/3}

ESEMPIO

3 x2 - x + 2 < 0

= 1 – 24 < 0

DISEQUAZIONI FRATTE

• I = D(f) D(g) {xR: g(x) 0}

1) Studio segno numeratore

2) Studio segno denominatore

3) Uso regola segni

4) Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata

ESEMPIO

(x - 4) +--

(x + 3) + +-

146(x - 4)/(x+3)

Continuazione ESEMPIO

S = {xR: x < -3} {xR: x > 4}

N.B. I = {xR: x 3}

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

• Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni.

• La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione:

• S = S1 S2 … Sn

• se S = {} allora il sistema è impossibile

ESEMPIO

S = x {xR: (-½) < x 3}

-1/2 3

(x – 3)

(2x + 1)

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R R+:

f(x)=ax

N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x

CASO a > 1 f(x)=ex

-1 1/e

-2 1/e2

-21/e2

CASO a > 1 confronto tra basi diverse

x-2 1 2-1

y = ex

y = 2x

-1 1/2

-2 1/22

y = 2x

CASO a > 1

• Dominio R

• Codominio R+

• Passa per (0,1)

• Monotona crescente

• Se la base aumenta è più ripida

CASO a < 1 f(x)=(1/e)x

2 1/e2

CASO a < 1 confronto tra basi diverse

2 1/22y = (1/e)x

y = (1/2)x

-2 1 2-1

CASO a < 1

• Dominio R

• Codominio R+

• Passa per (0,1)

• Monotona decrescente

• Se la base aumenta è meno ripida

LOGARITMI

Siano a un numero reale positivo, a 1,e b un numero reale positivoallora esiste un numero reale c tale che:

ac = bTale numero c si dice logaritmo in base a di be si indica con il simbolo:

c=logab

log logb baaa b a b

ESEMPI

log28 = 3

log22 = 1

log51 = 0

log(1/3)3 = -1

log381 = 4

log1010000 = 4

log2(1/4) = - 2

Esercizi

Determinare la base:

logx7 = -1x = 1/7

logx49 = 2x = 7

logx(1/1000) = -3x = 10

logx(41/3) = -2/3

x = ½

BASI DEL LOGARITMO

• Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero,

e = 2,7182….)

• Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log”

• Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).

FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE

• Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,

log ( )log ( )

log ( )d

a,d R+ \ {1} c R+

ESEMPI

3og(10) 1

og (10)og(3) og(3)

4ln( ) 2

og ( )ln(4) ln(4)

3og(5)

og (5)og(3)

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

• PROPRIETA’ DEL PRODOTTO

• PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE

• PROPRIETA’ DELLA POTENZA

PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi:

loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2

a R+ \ {1} x1, x2 R+

Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4

PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:

Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore:

loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2

a R+ \ {1} x1, x2 R+

Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3

PROPRIETA’ DELLA POTENZA:

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base:

loga(x= loga x

a R+ \ {1} x R+ R

Esempio: loga(2= loga 2

ESERCIZIO

1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] =

Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] =

Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}

FUNZIONE LOGARITMICA

Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+ R:

f(x)=logaxx > 0

E’ la funzione inversa della funzione esponenziale:

x = ay y = logax

Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

Caso a > 1 y=ln(x)

1/e -1

Caso a > 1 confronto tra basi diverse

y = log2x

y = lnx

Caso a > 1

• Dominio R+

• Codominio R

• Passa per (1,0)

• Monotona crescente

• Se la base aumenta è meno ripida

Caso a < 1 y=log(1/e)x

Caso a < 1 confronto tra basi diverse

y = log(1/e)(x)

y = log(1/2)(x)

Caso a < 1

• Dominio R+

• Codominio R

• Passa per (1,0)

• Monotona decrescente

• Se la base aumenta è più ripida

LE PERCENTUALI

• Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore.

• Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.

LE PERCENTUALI

• I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€.

• I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€

• Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi.

• Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.

LE PERCENTUALI

• La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale:

(100.000-75.000)/75.000 =33,33%

• La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno:

(400.000-250.000)/250.000 =60%177

LE PERCENTUALI• L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due

anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità:

75.000/250.000 =0,30 =30%

100.000/400.000=0,25=25%• L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:• (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9%

che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!

LE PERCENTUALI

• GLI SCONTI SUCCESSIVI

• Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi:

e ; ovvero:

uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%.

• Si vuole determinare lo sconto complessivo.179

€1000 p

%101 s %202 s

LE PERCENTUALI

• Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:

• Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa:

• Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%

€90€100*%10€1001 p

€72€90*%20€902 p

LE PERCENTUALI

• Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo:

• Sconto%

€90€100*%10€1001 p

€72%)201%)(101(*100

%)101(*100*%20%)101(*1002

%2828,072,01

%)201(*%)101(110

LE PERCENTUALI• Nel caso degli sconti successivi

lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente:

ksss ...,,, 21

)1(*...*)1(*)1(1 21 ksssS

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