lección 2. estacionariedad y raíces unitarias - uah.es · esperanza nula sería un paseo...

Modelos Econométricos

Lección 2. Estacionariedad y raíces

unitarias

Presentado por Juan Muro

Motivación

La no estacionariedad, en general, de las series económicas en el tiempo provoca consecuencias estadísticas no deseadas (regresiones espúreas, inconsistencia de MCO, desconocimiento de la distribución asintótica de los estimadores MCO).

Esta cuestión ocupó el trabajo de los económetras durante, principalmente, la década de los 90 del siglo pasado.

J. Muro

Tendencias en series temporales

La observación de variables económicas en el tiempo nos indica la presencia de tendencias: un comportamiento regular de las series temporales, que puede ser fácilmente descrito(crecimiento continuo, decrecimiento continuo, fases prolongadas de crecimiento y decrecimiento alternadas). Ej. Pib, inflación, consumo….

La presencia de tendencias es indicativa de no estacionariedad.

J. Muro

Tendencias en series temporales

Una variable es estacionaria si su valor esperado y su varianza (finita) son invariantes a lo largo del tiempo y su autocovarianza solamente depende del desfase temporal.

J. Muro

Tendencias en series temporales

Las series con tendencia se clasifican en dos tipos, según la transformación necesaria para convertir la serie no estacionaria en su transformada estacionaria :◦ TSP: tendencia determinista

◦ DSP: tendencia estocástica

Regresión frente al tiempo (TSP); diferencia (DSP).

Ejemplos.

J. Muro

Tendencias en series temporales

6

8

10

12

14

16

18

20

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Consumption per capita

J. Muro

Tendencias en series temporales

J. Muro

-4

0

4

8

12

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

Inflation

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

Log of per capita consumption

Tendencias en series temporales

Expresiones formales◦ TSP: tendencia determinista

◦ DSP: tendencia estocástica

J. Muro

𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛽

𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛼 + 𝑢𝑡

Tendencias en series temporales

Las tendencias deterministas no producen malas consecuencias estadísticas aunque suelen predecir muy mal.

Ejercicio: estimar un modelo de una variable macroeconómica con tendencia y comparar las predicciones con las observaciones reales.◦ Use, por ejemplo, la variable cnsmptn de los

gráficos anteriores.

J. Muro

Tendencias estocásticas y raíces

unitarias Las tendencias estocásticas son la regla en

Econometría. La búsqueda de raíces unitarias es

constante. Para ello se usan contrastes de raíces unitarias.

Formalmente

Si ut es una variable aleatoria con esperanza nula sería un paseo aleatorio con deriva (α), “random walk with drift”.

J. Muro

𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛼 + 𝑢𝑡

Tendencias estocásticas y raíces

unitarias Reciben el nombre de raíces unitarias

porque en la ecuación

La presencia de tendencia estocástica hace que β=1.

Con sustituciones recursivas la expresión anterior es igual a

J. Muro

𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡

𝑌𝑡 = 𝛼𝑡 + 𝑢𝑡

Tendencias estocásticas y raíces

unitarias Se puede demostrar que en presencia de

raíces unitarias la varianza de la serie crece sin límite. Esto provoca problemas en la consistencia y en la normalidad asintótica de los estimadores.

Ej. En un paseo aleatorio con deriva el valor esperado y la varianza son E(Yt)=αt; var(Yt)=tσu

2.

J. Muro

Un ejemplo de regresión espúrea

El llamado problema de la regresión espúrea, muy usual en series con raíces unitarias, se produce porque se rechaza , muy frecuentemente, la hipótesis nula de no relación entre las variables aunque esa relación no exista (con elevados R2).

Ej. ¿ Hay ilusión monetaria ? Murray (2005).

J. Muro

Un ejemplo de regresión espúrea

Para contrastar si hay ilusión monetaria hacemos una regresión ingenua entre el log del consumo per cápita en USA frente a la inflación para el periodo 1948–1998.

Si no hay ilusión monetaria la inflación no tendrá efecto sobre el consumo en términos reales.

Incluimos también una tendencia temporal.

J. Muro

J. Muro

TABLE 18.2 The Log of Consumption Regressed on the

Log of Inflation and a Time Trend. Murray (2005).

J. Muro

Un ejemplo de regresión espúrea

El estadístico de Durbin–Watson es 0.58 (valor de referencia 2 si no hay autocorrelación). Usamos Newey-West (errores estándar).

El estadístico t de log(inflation) es 3.07

Rechazamos la nula de que la inflación no determina el consumo real.

Nuestra regresión aparentemente nos dice que hay ilusión monetaria.

Figure 18.2 Forecast and Actual Values of GDP,

Consumption, Investment, and Inflation 1948–1998. Murray

(2005)

J. Muro

Lecture 25:

Time Series Data:

New Threats

to Consistency

(Chapter 18.1–18.4)

J. Muro

Contrastes de raíces unitarias

La ecuación de referencia es

El contraste es H0: 𝛽1= 1 (y 𝛽2= 0). No se puede utilizar el procedimiento habitual (t de student) de contraste.

Los contrates desarrollados, Dickey-Fuller(1979,1981), ADF, etc. , se llaman contrastes de raíces unitarias.

𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽1𝑌𝑡−1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡

J. Muro

¿Tiene la serie una raíz unitaria (no

estacionaria en media en su componente

regular)?

Gráfico lineal: Creciente o decreciente, con pauta regular: síntoma

de no estacionariedad en media.

Pauta irregular: síntoma de estacionariedad en media.

Se suele decir que las series estacionarias retornan a

la media después de sufrir un shock.

Ejemplo: AR(1) con |β|<1.

Yt=α+ βYt-1+ εt.

E[Yt]=E[α Σ βi]+E[βt Y0]+ E[Σ βi εt-i]= α/(1- β).

Var[Yt]=E[(Σ βi εt-i)2 ]=σ2/(1- β2).

J. Muro

¿Hay una raíz unitaria en la serie?

Correlograma: Función de autocorrelación con caída lenta o lineal

y función de autocorrelación parcial con primer

valor cercano a la unidad (raíz unitaria): no

estacionariedad en media.

J. Muro

Contrastes de raíces unitarias

◦Dickey-Fuller◦ Phillips-Perron◦KPSS

J. Muro

Contraste de Dickey-Fuller

La ecuación inicial se hace

El contraste es H0: (𝛽1−1)= 0, frente a la hipótesis alternativa de una única cola de que sea menor que cero.

En esta situación, la distribución del estadístico t es asimétrica. Los valores de la distribución se encuentran tabulados para muchas especificaciones distintas (con término independiente, tendencia..)

∆𝑌𝑡= 𝛼 + (𝛽1−1)𝑌𝑡−1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡

J. Muro

Dickey-Fuller test

Dickey-Fuller (1979, 1981).

Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria (serie no

estacionaria en media).

Intuición: En

∆yt = α + β yt-1 + εt

El contraste de β = 0 es equivalente al contraste de al menos una

raíz unitaria.

Se puede añadir una tendencia temporal (series con

clara tendencia creciente o decreciente) o eliminar la

constante (para series con media claramente nula).

Es un contraste de una sola cola (valores negativos).

J. Muro

Contrastes de raíces unitarias

En EViews se encuentran numerosos contrastes de raíces unitarias y los procedimientos de utilización de dichos contrastes.

Ej. Trabajemos con la especificación ingenua anterior sobre la existencia o no de ilusión monetaria.

J. Muro

Contrastes de raíces unitarias

Veamos en primer lugar si las variables incluidas en el modelo tienen tendencias estocásticas. Por ejemplo, para la inflación.

Usaremos el contraste ADF.

J. Muro

Augmented Dickey-Fuller (ADF) test

¿Qué sucede si en la ecuación auxiliar del contraste DF hay autocorrelación?

Estadístico ADF se distribuye bajo la hipótesis nula como una t alterada. Tablas proporcionadas por MacKinnon(1991).

J. Muro

Augmented Dickey–Fuller test para una

tendencia estocástica en la variable InflationNull Hypothesis: INFLATION has a unit root

Exogenous: Constant

Lag Length: 2 (Automatic - based on SIC, maxlag=10)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.740500 0.4048

Test critical values: 1% level -3.577723

5% level -2.925169

10% level -2.600658

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(INFLATION)

Method: Least Squares

Date: 02/05/15 Time: 18:15

Sample (adjusted): 1952 1998

Included observations: 47 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

INFLATION(-1) -0.170227 0.097803 -1.740500 0.0889

D(INFLATION(-1)) 0.141354 0.128788 1.097567 0.2785

D(INFLATION(-2)) -0.232109 0.129759 -1.788761 0.0807

C 0.538282 0.440348 1.222402 0.2282

R-squared 0.188942 Mean dependent var -0.135877

Adjusted R-squared 0.132357 S.D. dependent var 1.716628

S.E. of regression 1.598994 Akaike info criterion 3.857892

Sum squared resid 109.9416 Schwarz criterion 4.015351

Log likelihood -86.66045 Hannan-Quinn criter. 3.917145

F-statistic 3.339056 Durbin-Watson stat 1.372456

Prob(F-statistic) 0.027905

J. Muro

Phillips-Perron test

Phillips-Perron (1988).

Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria (serie no estacionaria en media).

Se corrige la inconsistencia de la matriz de varianzas y covarianzas calculada mediante un procedimiento alternativo al ADF (fundado en Newey-West).

J. Muro

KPSS test

Hipótesis nula : Varianza del término de paseo aleatorio es nula (Estacionariedad o estacionariedad en tendencia).

Estadístico: KPSS= T-2ΣSt2/s2.

Donde St suma de residuos MCO de la variable frente a una constante y tendencia temporal; s2 estimador de varianza de los errores.

La distribución bajo la nula del estadístico KPSS no es estándar y los autores facilitan el nivel crítico de rechazo para distintos niveles de significación.

J. Muro

Contrastes de raíces unitarias

◦Aplicación empírica: Elegir constante, constante y tendencia

temporal o nada. Depende del tipo de serie considerada.

Elegir el número de retardos de la variable dependiente (∆yt ) a incluir en la regresión del contraste. Se incluyen para garantizar que al realizar el contraste se han eliminado las correlaciones existentes superiores al orden 1.

J. Muro

Contrastes de raíces unitarias

Un análisis de la regresión inicial nos dice que la regresión es espúrea por lo que no podemos concluir que exista ilusión monetaria. No hay evidencia empírica que lo avale con la especificación adoptada.

Regresión espúrea, ¿qué hacer?

Las variables con tendencia estocástica no tienden a regresar al valor esperado después de sufrir un shock. El uso de una regresión en ese caso produce resultados equivocados.

La primera propuesta para resolver el tema, sugerencia que en el día de hoy resulta relevante, es la de Granger y Newbold (1976).

J. Muro

Granger y Newbold

La regresión en niveles representa el comportamiento a largo plazo de las variables. Si las variables tienen una tendencia estocástica (una raíz unitaria) su diferencia puede ser estacionaria.

Realicemos regresiones en diferencias para eliminar la no estacionariedad aún a costa de perder la perspectiva a largo plazo.

J. Muro

Granger y Newbold

Las variables en diferencias sí vuelven hacia la media cuando sufren un shock.

Pro supuesto, utilizar diferencias cuando estas no son adecuadas ocasiona también problemas (sobrediferencias).

¿Cuántas diferencias deben tomarse?

J. Muro

Orden de integración

Una variable estacionaria se dice que es integrada de orden 0, I(0).

Si la variable tiene una raíz unitaria (no estacionaria) es al menos I(1).

Si la variable tiene dos raíces unitarias se dice que es I(2).

El grado de integración de una variable indica el número de diferencias necesarias para convertirla en estacionaria.

J. Muro

Orden de integración

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de integración de la variable riqueza? Bajo el supuesto de que la riqueza es la acumulación del ahorro en varios periodos. El resultado no sería evidente.

Ejemplo: ¿Cuál es el orden de integración de las variables de nuestra regresión sobre la ilusión monetaria?

J. Muro

J. Muro

Estimación de una ecuación que relaciona los cambios en el consumo (logs) en términos de los cambios en la inflación

Dependent Variable: D(LOGCONS,1,0)

Method: Least Squares

Date: 02/05/15 Time: 19:03

Sample (adjusted): 1950 1998

Included observations: 49 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D(INFLATION,1,0) -0.001427 0.001347 -1.059364 0.2948

C 0.021778 0.002585 8.423839 0.0000

R-squared 0.023321 Mean dependent var 0.021721

Adjusted R-squared 0.002540 S.D. dependent var 0.018116

S.E. of regression 0.018093 Akaike info criterion -5.146616

Sum squared resid 0.015386 Schwarz criterion -5.069399

Log likelihood 128.0921 Hannan-Quinn criter. -5.117320

F-statistic 1.122252 Durbin-Watson stat 1.537751

Prob(F-statistic) 0.294848