legi de compozitie
Post on 29-Jan-2016
119 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Fie M o mulțime nevidă.Se numește lege de compoziție internă(operaţie internă binară,operaţie internă) o funcţie
f : M x M M .
1.Fixând o lege de compoziţie pe M, se alege pentru aceasta un anumit simbol.Atunci când nu există unul clasic(+,*) alegem pentru comoditate unul din simbolurile:T,/,v,etc.
2.Fie ,T o lege de compoziţie.Rezultatul operării lui x și y ĩl vom nota cu xTy (citim “ x compus cu y”)
,x y M
1. Adunarea numerelor pe N, Z, Q, R
2. Ĩnmulţirea numerelor pe N, Z, Q, R
3. Adunarea matricilor
4. Ĩnmulţirea matricilor
5. xTy=x+y+2 , unde xєR
6. xoy=xy-5x-5y+30 , unde , [5, )x y
Definiţie: Fie M o mulţime nevidă și “*” o lege de compoziţie pe M. O submulţime H a lui M este parte stabilă a lui M ĩn raport cu legea “*” dacă:
i) H este o mulţime nevidă
ii) ,x y H x y H
Fie mulţimea și legea de compoziţie “o”.
Tabla legii are forma:
a11=a1*a1
a12=a1*a2
…
a21=a2*a1
a22=a2*a2
…
an1=an*a1
an2=an*a2
1, 2 3{ , ,..., }nM a a a a
Fie legea de compoziţie x*y=min(x,y) și H={1,2,3,4}.
Se cere : a) Ĩntocmiţi tabla legii
b) Este H parte stabilă a mulţimii nr. reale ĩn raport cu legea de compoziţie “*”?
a)
b) H este parte stabilă a mulţimii nr. reale ĩn raport cu “*” deoarece toate elementele din tabla legii aparțin mulţimii H.
Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie “o” definită prin:
xoy=xy+5x+5y+20.
Arătaţi ca H=[-5,∞) este parte stabilă a mulţimii numerelor reale ĩn raport cu legea de compoziţie “o”.
Trebuie să arătăm că
,x y H xoy H
[ 5, ) 5 5 0
[ 5, ) 5 5 0
( 5)( 5) 0 5 5 25 0 5
5 5 20 5 5 [ 5, )
x H x x x
y H y y y
x y xy x y
xy x y xoy xoy xoy H
1. Comutativitatea
2. Asociativitatea
3. Elementul neutru
4. Simetrizabilitatea elementelor
Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” este comutativã
dacã xoy=yox , Ѵx,yϵM.
Exemplu: Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Este “o” comutativã?
“o” comutativã xoy=yox
xoy=x+y+4
yox=y+x+4=x+y+4 “o” comutativã
Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” este asociativã dacã: (xoy)oz=xo(yoz) , Ѵx,y,zϵM.
Exemplu: Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Este “o” asociativã?
“o” asociativã (xoy)oz=xo(yoz)
(xoy)oz=(x+y+4)oz=x+y+4+z+4=x+y+z+8
xo(yoz)=xo(y+z+4)=x+y+z+4+4=x+y+z+8”o”asoc.
Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M.Spunem ca “o” adimite element neutru dacã
astfel încât xoe=eox=x ,
Observaţii:1.Dacã o lege de compoziţie “o” are pe M un element neutru atunci el este unic.
2.Dacã xoe=x atunci “e” este element neutru la stânga.
3.Dacã eox=x atunci “e” este element neutru la dreapta
Me Mx
Exemplu:Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Aflaţi elementul neutru al legii de compoziţie.
astfel încât xoe=eox=x ,
xoe=x+e+4=x e=-4
eox=e+x+4=x e=-4
Me Mx
Definiţie:Fie M o mulţime nevidã şi “o” o lege de compoziţie pe M care admite element neutru, notat e.Un element se numeşte simetrizabil dacã
astfel încât .
Observaţie:Dacã “o” asociativã atunci x’ din definiţie este unic şi se numeşte simetricul lui x.
Mx
Mx ' eoxxxox ''
Exemplu:Se considerã pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie: xoy=x+y+4.Elementul neutru al legii este e=-4.Aflaţi elementele simetrizabile.
astfel încât
xox’=x+x’+4=-4 x’=-8-x
x’ox=x’+x+4=-4 x’=-8-4
Mx ' eoxxxox ''
top related