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Lei de LittleLei de Little
Recursos limitadosRecursos limitados
Geração de filasGeração de filas
Tomada de decisõesTomada de decisões
Ferramentas simplesFerramentas simples
Lei de LittleLei de Little
Otimização de recursosOtimização de recursos
Lei de LittleLei de Little
Lei de Little Parâmetros de uma Fila
L: número médio de usuários no sistema LQ: número médio de usuários na fila
W: tempo médio que um usuário permanece no sistema
WQ: tempo médio que um usuário permanece na fila
LQ
L LS
Lei de Little
Idéia de custo:
Cada usuário que entra ao sistema paga uma
quantia de dinheiro, de acordo a certa regra. Identidade de custo: Velocidade média com que o sistema ganha dinheiro = taxa média
de chegada ao sistema multiplicada pela quantia paga por cada usuário.
S
S S
Lei de Little
Definições:Vs: velocidade média com que o sistema ganha
dinheiro
a: taxa média de chegada de usuários ao sistema
: quantia paga por cada usuário
Identidade de custo em termos matemáticos:S aV
Lei de Little Demonstração intuitiva da identidade de custo:
T: período de observação
$(T): quantia média ganha pelo sistema em [0,T]
N(T): número de usuários que entra no sistema em [0,T]
Lei de Little
Tem-se que:
$(T) = Vs T (1)
$(T) = N(T). (2)
N(T) a.T (3)
De (1), (2) e (3), tem-se que:
Portanto: asV
TTV as
Lei de Little
Aplicações de identidade de custo: regra 1
Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no sistema.
[$/ut]
W[$/pessoa] Sistema
Lei de Little
Definição:
D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro
W: quantia paga por um usuário (já que ele está há W unidades de tempo no sistema)
Então, da igualdade de custo :
]/[$ utWD a
Lei de Little
Aplicações da identidade de custo:
outro enfoque
Ponto de vista do “caixa” à entrada do sistema, que observa que há L usuários no sistema.
L usuários
Sistema
Lei de LittleLei de Little
Definição:
D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro [$/ut]
L: número médio de usuários no sistema
Cada usuário paga 1$ por unidade de tempo. Então:
Juntando ambos pontos de vista:
L Wa
]/[$1. utLD
Aplicações da identidade de custo: regra 2
Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está na fila.
Definição:
Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro.
Wq: quantia paga por um usuário (já que está há W unidades de tempo na fila)
Então, valor que corresponde aos pagamentos feitos pelos usuários: ]/[$ utWD qaq
Lei de LittleLei de Little
Lei de LittleLei de Little Aplicações da identidade de custo: outro
enfoque
Ponto de vista do “caixa” à entrada da fila, que observa que há N usuários na fila.
Definição:
Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro
Lq: número médio de usuários na fila
Resumo da regra:
Juntando ambos pontos de vista:
]/[$1. utD Lqq
qaq WL
Aplicações da identidade de custo: regra 3
Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no servidor.
Definição:
E[s]: tempo médio em que cada usuário está no servidor
Ls: número médio de usuários em serviço
Então, da igualdade de custo:
Lei de Little
S
][sEL aS
Lei de LittleLei de Little
Aplicações da identidade de custo: outro enfoque
Ponto de vista do “caixa” à entrada da zona de serviço, que observa que há N usuários em serviço.
Definição:
Ds: velocidade com que o serviço ganha dinheiro
Ls: número médio de usuários em serviço
Então, da igualdade de custo :
Juntando ambos pontos de vista:
]/[$1. utLD ss
][sEL as
Lei de LittleLei de Little
Aplicações da Lei de LittleAplicações da Lei de Little
Transmissão de pacotesTransmissão de pacotes
: taxa média de chegada de pacotes a uma rede de computadores
Nq: número médio de pacotes esperando na fila
: tempo médio de transmissãoX
Pacotes em espera
Pacotes emtransmissão
destinofonteLinha de transmissão
Pode ser modelado por:
X
N q
Pergunta 1: qual é o tempo médio de
permanência de um pacote na fila?
Aplicando a Lei de Little:
Pergunta 2: qual é o número médio de pacotes na linha de transmissão?
Seja o número de pacotes na linha de transmissão. Pela Lei de Little:
N qW
Transmissão de pacotesTransmissão de pacotes
X
Rede de computadoresRede de computadores
1,2,…,n: taxa de chegada de pacotes aos n nós
N: número médio de pacotes dentro da rede
1
2
Linha de transmissão
1
i
n
Rede de computadores
2
i
n
Pergunta: qual é o atraso médio de um pacote?
Ao sistema chegam
pacotes por unidade de tempo. Aplicando a Lei de Little:
Além disso,
onde
Ni: número médio de pacotes no nó i
Ti: atraso médio de pacotes no nó i
ni ......21
n
iiNT
1
/
Rede de computadoresRede de computadores
i i iN T
Um concentrador de dados possui 40 terminais a ele conectados. Cada terminal gera pacotes com comprimento médio de 680 bits. 40 bits de informação de controle são agregados a cada pacote antes deste ser transmitido ao enlace de saída, que tem capacidade de 7200 b/s.20 dos terminais geram um pacote cada 10 seg. em média.
10 dos terminais geram um pacote cada 5 seg. em média.
10 dos terminais geram um pacote cada 2.5 s em média.
CONCENTRADOR
TERMINAL
TERMINAL
TERMINAL
TERMINAL
Análise de outro concentradorAnálise de outro concentrador
20 terminais: um pacote a cada 10 s em média
10 terminais: um pacote a cada 5 s em média
10 terminais: um pacote a cada 2.5 s em média
Modelo: as estatísticas de entrada tem distribuição de Poisson.
seg/pacotes8251
1051
10101
20
seg1.07200
406801
0 8.
Análise de outro concentradorAnálise de outro concentrador
22
22
1
2)(
TE
4.2)1(2
11
)(
seg4.0)1(2)(
)(
22
2
nE
TEWE
0
1)(
2
22
TE seg2.0)( WE
Análise de outro concentradorAnálise de outro concentrador
4.2)( nE
Linha de transmissãoLinha de transmissão
K: período de chegada de um pacote à linha
K: tempo de transmissão do pacote ( < 1)
P: atraso de processamento e propagação do pacote
Partida dosegundopacote
1
2
3
K 2K 3K
K+P
Chegadado primeiro
pacote
Chegada dosegundopacote
Partida doprimeiropacote
t
N(t)
K K+P 2K
Pergunta 1: qual é a taxa de chegada de
pacotes ao sistema?
Como os pacotes chegam com períodos iguais, sua taxa de chegada será:
1
K
Linha de transmissãoLinha de transmissão
Pergunta 2: qual é o número de pacotes no
sistema?
Cada pacote permanece dentro do sistema:
De acordo com a Lei de Little tem-se que:
T K P
N TP
K
Linha de transmissãoLinha de transmissão
Observação 1:
N(t) é determinístico e variável no tempo.
Observação 2:
A Lei de Little é correta, caso interprete-se N(t) como uma média no tempo, ou seja:
t
dNN
t
t
0)(
lim
Linha de transmissãoLinha de transmissão
Sistema fechado com K servidoresSistema fechado com K servidores
Considere um sistema de uma fila com K servidores e com N ( K) usuários (seja na fila ou em serviço). O sistema está sempre cheio, isto é, o sistema começa com N usuários e quando um usuário sai do sistema é imediatamente substituído por um novo usuário.
Tempo meio de serviço = E[x].
Pergunta : T = ?
Calcular T em função do tempo médio de serviço E[x]
Aplicando a Lei de Little ao sistema:
Aplicando a Lei de Little ao servidor:
Eliminando das duas equações anteriores se chega a :
N T
K E x [ ]
TNE x
K
[ ]
Sistema fechado com K servidoresSistema fechado com K servidores
Sistema fechadoSistema fechado
K: número de servidores no sistema
T: tempo médio de um usuário no sistema
N: número de usuário no sistema (N K)
: tempo médio de serviço por usuário
X
1
2
K
i
N-Kusuários
servidores
Hipóteses:
sistema começa com N usuários sistema fechado
Qual é o tempo médio que um usuário permanece no sistema?
Aplicando a Lei de Little no sistema:
(1)N T
Sistema fechadoSistema fechado
Considerando-se que todos os servidores estão
sempre ocupados, aplicando a Lei de Little ao subsistema do servidor:
(2)
de (i) e (ii) tem-se que:
K X
TNXK
Sistema fechadoSistema fechado
Controle de fluxo pela janelaControle de fluxo pela janela
X
N: largura da janela para cada sessão
: taxa de chegada de pacotes ao sistema
T: atraso médio de cada pacote
Transmissor Receptor
0
1
2
34
N
.
.
Hipóteses:
A sessão sempre tem pacotes para enviar. Os acks de resposta têm duração desprezível. Quando o pacote i chega a destino, o pacote i+N
é imediatamente introduzido na rede.
Análise pela Lei de Little:
Se T aumenta, então diminui Para máximo fixo um incremento no tamanho
da janela somente incrementa o atraso T
Controle de fluxo pela janelaControle de fluxo pela janela
N T
Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado
Arquitetura:
Computador
R
P
T1
T2
TN
D
Parâmetros do sistemaParâmetros do sistema
N: número de terminais R: tempo médio de pensar em cada terminal P: tempo médio de processamento de cada
tarefa D: tempo médio desde que um trabalho é submetido
ao computador até que termine sua execução T = R+D: tempo médio de uma tarefa no sistema : throughput do sistema
Condição de sistema fechado:
N = constante no sistema
Condição máxima de utilização:
Sempre existe um usuário com uma tarefa quando outro acaba de ser atendido.
Problema: encontrar os valores máximos e mínimos de e T.
Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado
ModeloModeloTime sharing:
T
B1 / P
CPU
TERMINAL1
TERMINAL2
TERMINALN
R
R
R
D
P
R
A
Análide: devido à hipotese, sempre existem N terminais que estão processando. Aplicando a Lei de Little entre os pontos (A) e (B):
Atraso mínimo de um trabalho
Dmin = P Atraso máximo de um trabalho
Dmax = NP
N T/
Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado
Conclusão
P D NP
Portanto,
R + P T R + NP (1)
Aplicando a Lei de Little em (1)
(2)
Como o processamento de uma tarefa demora P, tem-se que:
(3)
N
R NP
N
R P
1
P
Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado
Combinando (2) e (3), obtem-se:
(4)
Usando-se a Lei de Little, chega-se aos limites de tempo para o sistema
(5)
N
R NP p
N
R P
min{ , }
1
max{ , }NP RP T R NP
Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado
Atraso máximo e mínimo do Atraso máximo e mínimo do sistemasistema
R+P
T
NÚMERO DE TERMINAIS N
R
1
NP
R+NP
zona de operação
Throughput máximo e mínimoThroughput máximo e mínimo
NÚMERO DE TERMINAIS
TH
RO
UG
HP
UT
1 / P
1 + R / P
Processos de nascimento e Processos de nascimento e mortemorte
Ek-1 EkEk+1
k-1 k
k k+1
Processos de nascimento e Processos de nascimento e mortemorte
É o caso especial de uma cadeia de Markov na qual as únicas transições permitidas (ou possíveis) a partir de um estado Ek, são aos estados Ek-1 ou Ek+1, se estes estados existem.
Ek+1
Ek-1
Ek
Ek
DefiniçõesDefinições
Nascimento: transição ao estado adjacente superior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode chegar no máximo um usuário ao sistema).
Morte: transição ao estado adjacente inferior
(hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode sair no máximo um usuário do sistema).
DefiniçõesDefinições Razão de nascimento: número médio de nascimentos por
unidade de tempo. Esta razão é dependente do estado, isto é, para o estado k: kqk,k+1
Razão de morte: número médio de mortes por unidade de tempo quando o sistema está num determinado estado k: kqk,k-1
Como a EBG estabelece que qk,i = 0
Então: qk,k = - (k + k)
Ek
Ek-1
Ek
Ek+1
t+tt
Deseja-se obter: P N( + ) = Ekt t
Solução dos PNMSolução dos PNM
Evolução temporal de um PNM no intervalo (t, t+t):
Solução dos PNMSolução dos PNM
Hipótese: quando se está no estado E0, não é possível uma morte (0 = 0), mas é possível um nascimento (0 0) (exemplo: geração espontânea)
Solução dos PNMSolução dos PNM
Logo, as possibilidades de estar no estado Ek no instante t + t, a partir do estado no instante t, são:
Ek
Ek-1
Ek
Ek+1
t+tt
1 morte
Não mudou
1 nascimento
B1(k,t) = P[um nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek]
= k t + o(t)
D1(k,t) = P[uma morte em (t,t+t) | N(t)=E k]
= k t + o(t)
B0(k,t) = P[nenhum nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek]
= 1 - k t + o(t)
D0(k,t) = P[nenhuma morte em (t,t+t) | N(t)=E k]
= 1 - kt + o(t)
DefiniçõesDefinições
DefiniçõesDefinições
Sejam:
k(t) = P[N(t) = Ek]
pi,j(t,t+t) = P[N(t+t) = Ej | N(t) = Ei], para |i-j| < 1
Logo:
pk,k(t,t+t) = B0(k,t) D0(k,t) + o(t)
pk-1,k(t,t+t) = B1(k,t) D0(k,t) + o(t)
pk+1,k(t,t+t) = B0(k,t) D1(k,t) + o(t)
Desenvolvendo:
pk,k(t,t+t) = 1 - (k + k)t + o(t)
pk-1,k(t,t+t) = k t + o(t)
pk+1,k(t,t+t) = k t + o(t)
DefiniçõesDefinições
Solução dos PNMSolução dos PNM
Pelo teorema das probabilidades totais, tem-se que:
Ek
Ek-1
Ek
Ek+1
t+tt
1 morte
Não muda
1 nascimento
k k k,k
k-1 k-1,k
k+1 k+1,k
o( ) , k 1
( ) ( ) ( , )
( ) ( , )
( ) ( , )
t t t p t t t
t p t t t
t p t t t t
0 0 0,0
1 1,0 o( , k 0
( ) ( ) ( , )
( ) ( , ) )
t t t p t t t
t p t t t t
Solução dos PNMSolução dos PNM Substituindo, agrupando e tomando ,
obtém-se:
Além disso,
t 0
1k ),()()()()(
1+k1+k 1-k1-k kk k k tttdt
td
0k ,)()()(
11 00 0 ttdt
td
0 ,1)(0
k
tt
k
Logo,obtém-se o seguinte sistema:
d t
dtt t t
k
k k k k-1 k-1 k+1 k+1
( ) , k 1 ( ) ( ) ( ) ( )
d t
dtt t
0
0 0 1 1
( ) , k 0 ( ) ( )
k ( ) 1 k
t
Solução dos PNMSolução dos PNM
Para uma cadeia de Markov qualquer:
Para um PNM, tem-se que:
Observa-se que esta equação coincide com a da transparência anterior.
d t
dtt
( )( ) Q
Q =
0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
0 0 0
0 0
0 0
0 0
( )
( )
( )
Solução dos PNMSolução dos PNM
Um processo de Poisson é um processo de nascimento puro, onde:
k k kk
As equações anteriores são reduzidas a:
Condição inicial:
d t
dtt t
k
k k-1
( ) , k 1 ( ) ( )
d t
dtt
0
0
( ) , k 0 ( )
0 ( )0 1
ExemploExemplo
Resolvendo, se tem que:
0
- = e( )t t
1
- = e( )t t t
k
k- =
( )e( )
!t
t
kt
Logo, por indução obtém-se:
Processo de Poisson
ExemploExemplo
Q = 0
kk 1
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
Em estado estacionário (t) é independente do tempo, logo (tvai ser representado somente por
A EBG se reduz a:
Além disso:
k 1 k
0k ,0 1100
Solução de um PNM em equilíbrio
Logo:
1k ,)(0 1+k1+k 1-k1-kkk k
Solução de um PNM em equilíbrio
O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira:
Fluxo que sai = Fluxo que entra
Ek-1 EkEk+1
k
k-1 k
k+1
Solução de um PNM em equilíbrio
O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira:
(k+k)k = Fluxo que entra
Ek-1 EkEk+1
k
k-1 k
k+1
Solução de um PNM em equilíbrio
O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira:
(k+k)k = k-1k-1 + k+1k+1
Ek-1 EkEk+1
k
k-1 k
k+1
Reorganizando-se:
Por outro lado, definindo-se gk como:
1+k1+kkkkk1-k1-k
1+k1+kkkk g
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
Reconhecendo gk na EBG:
com:
k-1 k-1 k k k k k+1 k+1
gk k k k+1 k+1
gk
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
Reconhecendo gk na EBG :
com
k-1 k-1 k k k k k+1 k+1
gk-1 gk =
gk k k k+1 k+1
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
Reconhecendo gk na EBG :
logo,
k-1 k-1 k k k k k+1 k+1
gk é constante com respeito a k
gk-1 gk=
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
Além disso, num PNM:
Da EBG para o estado 0, se vê que g0 = 0. Juntando-se com a equacao que diz que gk+1 = gk, tem-se que:
gk = 0 k 0
2
E 0 E1
1
0 1-1
0
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
Além disso, num PNM:
de onde
2
E 0 E1
1
0 1-1
0
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
g-1 0
Além disso, num PNM:
de onde
2
E 0 E1
1
0 1-1
0
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
g-1 0 k k k+1 k+1
A equação anterior corresponde a uma equação de balanço local (EBL), isto é:
Equação de balanço local
Ek+2
k+1
Ek-1 EkEk+1
k
k-1 k
k+1
k
=k k
k+1 k+1
Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo:
20
E 0 E1
10
01
32
3003
E3 E2
Equação de balanço localEquação de balanço local
Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo:
20
E 0 E1
10
01
32
3003
E3 E2
Equação de balanço localEquação de balanço local
Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo:
20
E 0 E1
10
01
32
3003
E3 E2
Equação de balanço localEquação de balanço local
32
23
=32 23
Logo, segundo a EBL:
Ek+2
k+1
Ek-1 Ek Ek+1
k
k-1 k
k+1
k
=k k
k+1 k+1
A EBL estabelece que, em estado estacionário,o FLUXO entre dois estados adjacentes é IGUAL
Equação de balanço localEquação de balanço local
É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que:
Para: k = 0: , k = 1:
k k k+1 k+1
10 0
1
21 1
2
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que:
Para: k = 0: , k = 1:
Por indução:
k k k+1 k+1
10 0
1
21 1
2
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
ki
ii
k
010
1
Além disso:
Logo:
k k
0
1
0
10
1
1
1
1
i
ii
k
k
Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio
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