leitfaden zu gewöhnlichen differentialgleichungen aus ... · soll die Übersicht bewahren und...
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Leitfaden zu
gewöhnlichen Differentialgleichungen
aus
„Praktische Mathematik I für TPH“
Lukas Császár
Wien 2012
Version 1
L e i t f a d e n z u D G L Einleitung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 2 von 32
L e i t f a d e n z u g e w ö h n l i c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n
a u s „ P r a k t i s c h e M a t h e m a t i k I f ü r T P H “
Verzeichnis:
1 Einleitung .......................................................................................................................... 4
1.1 Allgemeine Information ...........................................................................................................4
1.2 Danksagung ..............................................................................................................................4
1.3 Allgemeines über Differentialgleichungen ..............................................................................4
1.3.1 Linearität ....................................................................................................................................... 5 1.3.2 Rang und Ordnung ........................................................................................................................ 5 1.3.3 Eindeutige Lösung (Anfangswertproblem) ................................................................................... 5 1.3.4 Inhomogenität ............................................................................................................................... 5 1.3.5 Verwendete Symbole und Schreibweisen ..................................................................................... 5
2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung ................................................................. 7
2.1 Separation der Variablen ..........................................................................................................7
2.2 Multiplikation mit integrierendem Faktor ................................................................................7
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung ................................................................. 9
3.1 Allgemeine Lösung und Vorgangsweisen ................................................................................9 3.1.1 Das Superpositionsprinzip ............................................................................................................. 9 3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz ....................................................................................................................... 9 3.1.3 Sinus und Kosinus ....................................................................................................................... 10 3.1.4 x^(α)⋅y^(β) .................................................................................................................................. 10 3.1.5 Polynome n-ten Grades ............................................................................................................... 10
3.2 Lösung der allgemeinen homogenen DGL ............................................................................10 3.2.1 Das charakteristische Polynom ................................................................................................... 11 3.2.2 Fallunterscheidung ...................................................................................................................... 11
3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL ..............................................12 3.3.1 Mithilfe eines Ansatzes ............................................................................................................... 12 3.3.2 Variation der Konstanten ............................................................................................................ 12
3.4 Anschreiben der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der Konstanten ..................................13
3.5 Die Wronksi-Determinante ....................................................................................................14
4 Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen ............................................................... 15
4.1 Theorie ...................................................................................................................................15
4.2 Lösungsschema ......................................................................................................................16 4.2.1 Aufsuchen des Potentials ............................................................................................................ 16 4.2.2 Aufstellen der Lösung ................................................................................................................. 17 4.2.3 Aufsuchen einer bestimmten Lösung (Trajektorien) ................................................................... 17
4.3 Die Integrabilitätsbedingung und damit verbundene Problemlösungen ................................17 4.3.1 Nachweis einer exakten DGL...................................................................................................... 18 4.3.2 Aufsuchen eines integrierenden Faktors – DGL exakt machen .................................................. 18
5 Beispiele ........................................................................................................................... 19
5.1 Beispiele zu Kapitel 2 – Lineare DGL 1. Ordnung ................................................................19 5.1.1 Separation der Variablen I ........................................................................................................... 19 5.1.2 Separation der Variablen II ......................................................................................................... 19 5.1.3 Multiplikation mit integrierendem Faktor I ................................................................................. 20 5.1.4 Multiplikation mit integrierendem Faktor II (Newton’sches Abkühlungsgesetz) ....................... 21
5.2 Beispiele zu Kapitel 3 – Lineare DGL 2. Ordnung ................................................................22 5.2.1 Homogene DGL I – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung ....................................... 22 5.2.2 Homogene DGL II – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung ...................................... 23
L e i t f a d e n z u D G L Einleitung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 3 von 32
5.2.3 Inhomogene DGL mit Ansatz für die Partikulärlösung ............................................................... 23 5.2.4 Inhomogene DGL mit Variation der Konstanten ........................................................................ 25 5.2.5 Wronksi-Determinante ................................................................................................................ 27
5.3 Beispiele zu Kapitel 4 – Nichtlineare, exakte DGL ...............................................................28 5.3.1 Die allgemeine Lösung einer nichtlinearen, exakten DGL ......................................................... 28 5.3.2 Überprüfen der Integrabilitätsbedingung .................................................................................... 29 5.3.3 Integrierender Faktor ................................................................................................................... 30 5.3.4 Integrierender Faktor mithilfe eines Ansatzes ............................................................................. 30
6 Verweise ........................................................................................................................... 32
L e i t f a d e n z u D G L Einleitung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 4 von 32
1 Einleitung
1.1 Allgemeine Information
Vervielfältigung und Druck nur zu privaten Zwecken erlaubt. Bei Weitergabe an Dritte dürfen
nur anfallende Kopierkosten verrechnet werden.
Dieser Text soll die anfänglichen Schwierigkeiten mit den Differentialgleichungen (DGL) der
Vorlesungsübung „Praktische Mathematik I“ im ersten Semester beiseiteschaffen, indem ich –
ohne viel Theorie oder viele Herleitungen zu verwenden – die wichtigsten Methoden zum
Lösen einfacher DGL vorstelle. Dieser Leitfaden beinhaltet die wichtigsten Typen und
Lösungsmethoden von/für einfachen DGL, wie sie einem im 1. Semester unterkommen und
erklärt zum größten Teil die Ansätze aus dem Skript, allerdings reduziert auf die
praxisorientierten Teile. Es ist daher vielleicht von Vorteil zuerst die Einleitung des Skriptes,
dann diesen Leitfaden zu lesen und anschließend die Vorgehensweise und die Erklärungen im
Skript nachzuvollziehen.
Sämtliche Verweise auf das Skript „Praktische Mathematik I“ beziehen sich auf die
Version von 2011.
Der erste Teil dieses Leitfadens liefert ausschließlich theoretische Erklärungen der
verschiedenen Vorgangsweisen. Zu jedem wichtigen Schritt wird dann auf ein Beispiel
verwiesen, das sich im Kapitel 5 befindet und die eben erklärten Mechanismen vorführt. Dies
soll die Übersicht bewahren und diesen Text auch als „Exzerpt“ brauchbar machen.
Die Beispiele sollen immer dann bearbeitet werden, wenn im Fließtext darauf hingewiesen
wird. Die Verweise im Text sind als Hyperlinks verwendbar und bei jedem Beispiel gibt es
einen Hyperlink (Pfeil), der einen zum entsprechenden Theorie-Abschnitt zurück/weiter
befördert.
Falls jemandem Fehler auffallen sollten oder jemand gute Ergänzungen oder Ähnliches
einbringen möchte, bitte ich um Kontaktaufnahme über lukas.csaszar@student.tuwien.ac.at.
1.2 Danksagung
Matthias Zens für die Beantwortung vieler inhaltlicher Fragen, Erklärungen und für das
Korrekturlesen. Gabriele Schranz-Kirlinger für die Korrektur des vierten Kapitels über die
nichtlinearen DGL. Armin Kopetzky für einen authentischen Feldversuch und nützliche
Anregungen.
1.3 Allgemeines über Differentialgleichungen
Prinzipiell möchte ich hier nicht auf genaue Definitionen und Theorie eingehen, sondern die
Lösungsmethoden und -werkzeuge präsentieren. Für tiefergehende theoretische Hintergründe
bitte das Skript und andere Quellen zurate ziehen. Die Grundeigenschaften der DGL, die zum
Verständnis dieses Leitfadens notwendig sind, werde ich natürlich beschreiben.
L e i t f a d e n z u D G L Einleitung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 5 von 32
DGL sind Gleichungen, die nicht nur die Funktion y sondern auch deren Ableitungen y ,
y ,… beinhalten.
Die DGL gilt gemeinhin als gelöst, wenn eine Lösungsfunktion y aufgefunden wurde
(wenn man von einer trivialen Lösung wie 0y absieht), die die DGL erfüllt.
1.3.1 Linearität
Eine DGL ist linear, wenn die Lösungsfunktion y und ihre Ableitungen nicht in
gemeinsamen Produkten vorkommen und sie nur den Exponenten 1 haben. Andernfalls sind
sie nichtlinear. Eine typische lineare DGL stellt sich zum Beispiel in der Form
dycybay dar. Die Koeffizienten a , b , … können selbst Funktionen sein.
Nichtlinearität erkennt man zum Beispiel an Termen wie 2yyy , yy , 2
1
yy und so fort.
Die unabhängige Variable ist von diesen Einschränkungen nicht betroffen.
1.3.2 Rang und Ordnung
Der Rang einer DGL wird durch die höchste auftretende Ableitung der Lösungsfunktion y
bestimmt. Diese Zahl entspricht der auch der sogenannten Ordnung der DGL.
1.3.3 Eindeutige Lösung (Anfangswertproblem)
Eine spezielle Lösung erhält man durch das Ermitteln der auftretenden Integrationskonstanten
durch gegebene Anfangs-/Randbedingungen. Man spricht von der Lösung eines
Anfangswertproblems.
1.3.4 Inhomogenität
Eine DGL die zum Beispiel die Form 0 pyy hat, nennt man homogen. Eine DGL der
Form fpyy nennt man inhomogen. f heißt Inhomogenität. Wichtig ist dabei, dass in
der Inhomogenität weder y , noch eine Ableitung davon vorkommen. Natürlich kann f auch
eine Funktion sein.
1.3.5 Verwendete Symbole und Schreibweisen
Für die gesuchte Lösungsfunktion wird hier stets y verwendet. Diese Funktion ist natürlich
immer abhängig von einer unabhängigen Variable x oder t , also )(xyy oder )(tyy .
Die Namensgebung ist natürlich willkürlich. Mir erschien )(xy als
„Standardschreibweise“ im 2. und 4. Kapitel angebracht. Im 3. Kapitel (dessen Inhalt im
Skript anhand von mechanischen Schwingungen erklärt wird) erschien mir )(ty
naheliegender.1
1 In diesem Abschnitt verwende ich )(xy .
L e i t f a d e n z u D G L Einleitung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 6 von 32
ydx
dy - d y und dx können der Einfachheit halber (mathematisch nicht korrekt,
physikalisch schon ) als Terme für Äquivalenzumformungen verwendet werden.
Mit y wird in der Physik häufig die Ableitung einer Funktion nach der Zeit t bezeichnet,
also dt
dyy .
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 7 von 32
2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
Diese DGL zeichnen sich neben den bereits erwähnten Merkmalen dadurch aus, dass nur die
erste Ableitung der Funktion y auftritt.
DGL, die sich in der Form ayy oder in ähnlicher Weise präsentieren sind erster
Ordnung, linear und außerdem homogen. Das bedeutet, sie können durch Umformungen stets
auf die Form 0 ayy gebracht werden, was die Homogenität gleich erkennen lässt. Das
Vorzeichen von a spielt hier natürlich keine Rolle.
2.1 Separation der Variablen
Diese Lösungsmethode ist auf einfache homogene DGL anwendbar und sieht vor, den
Funktionsausdruck y zu separieren, sprich, ihn von allen anderen Elementen der DGL zu
trennen und alleine hinter dem = stehen zu haben. Die Lösung eines solchen Beispiels ist stark
von seiner Form abhängig. Fixer Bestandteil ist allerdings die Integration beider Seiten an
einem gewissen Punkt der Umformungen, um dx
dyy loszuwerden. Wegen der Integration
müssen Konstanten angeschrieben werden, die aber in einer einzigen zusammengefasst
werden. Sind Anfangsbedingungen gegeben, können so die Konstanten bestimmt werden.
Man erhält dann eine eindeutige Lösung der DGL und hat ein sogenanntes
Anfangswertproblem gelöst. Ansonsten erhält man eine allgemeine Lösung, in der noch
unbekannte Konstanten stehen.
Siehe hierzu Beispiel 5.1.1, S.19.
Diese Methode kann auch bei nichtlinearen DGL unverändert angewandt werden. Um dies zu
zeigen dient folgendes Beispiel. Dass es sich dabei nicht um eine lineare DGL handelt sei nur
der Korrektheit halber erwähnt und ist jetzt nicht weiter wichtig.
Siehe jetzt Beispiel 5.1.2, S.19.
2.2 Multiplikation mit integrierendem Faktor
Die nun folgende Methode empfehle ich als Alternative zu der im Skript vorgeführten
„Variation der Konstanten“ bei einfachen, linearen DGL erster Ordnung. Meiner Meinung
nach ist sie intuitiver und leichter nachzuvollziehen. Nach bereits erfolgter Einarbeitung kann
sich ja auch die „Skript-Methode“ angeeignet werden – siehe hierzu S.98ff im Skript.
Die Methode der Multiplikation mit einem integrierenden Faktor ist bei DGL der Form
qpyy
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 8 von 32
anwendbar.2 Multiplikation mit einem noch zu bestimmenden Faktor )(xu (im Folgenden nur
mehr mit u bezeichnet) liefert die Gleichung qupuyuy . Nach näherer Betrachtung
erkennt man in der linken Seite der Gleichung Ähnlichkeit mit dem Ergebnis der Produktregel
der Differentiation, wenn gilt, dass puu ist, denn puyuyyuuyyu )( .3 Lässt
sich also ein u auffinden, das diese Anforderungen erfüllt, so kann die linke Seite zu )( yu
vereinfacht werden, was die nachfolgende Integration vereinfacht.
Es gilt also puu , sprich pudx
du . Umformen ergibt pdxdu
u
1 und Integration beider
Seiten liefert pdxu)ln( .4 Auflösen nach u mithilfe der Exponentialfunktion liefert für u
schlussendlich pdxu eue )ln(
.
Eingesetzt in die mit u multiplizierte und vereinfachte DGL ergibt sich daher quyu )( ,
wobei ich der Übersicht halber im Moment für u noch nicht einsetze. In der Rechnung wäre
es an dieser Stelle ja schon ausgewertet. Integration beider Seiten liefert dann quCyu
und weiter
u
qu
u
Cy
, mit
pdx
eu ,
wobei rechts unbedingt die Integrationskonstante anzuschreiben ist.5 y ist hierbei die
gesuchte Lösung der DGL. Oft ist der Ansatz schneller im konkreten Fall gemacht, als dass
man sich die Endformel hier merkt. Der wichtigste Teil dieser Methode ist pdx
eu .
Das Beispiel 5.1.3, S.20 wird den eben dargestellten Sachverhalt sicherlich verdeutlichen.
Alternativ kann natürlich auch die im Skript eingeführte Methode verwendet werden (so wird
das Beispiel auch in der Testlösung gerechnet).
Beispiel 5.1.4, S.21 ist ein Beispiel, das auch im Skript gerechnet wird. Ich möchte es hier mit
der eben erklärten Methode noch einmal durchführen – es gibt immer mehrere Lösungswege.
Auch bei Verwendung der Skript-Methode empfiehlt sich vor allem zu Beginn das aktive
Durchführen des Ansatzes und nicht nur das bloße Einsetzen in die gegebene Formel.
2 Wobei p und q als Koeffizienten durchaus auch von x abhängig sein können, also )(xpp und
)(xqq .
3 Dies setzt natürlich voraus, dass die Funktion p differenzierbar ist, doch das sei zu diesem Zeitpunkt
vorausgesetzt. 4 Die Integrationskonstanten werden nachher zu einer einzigen zusammengefasst.
5 Die Formulierung ist hier mathematisch leicht unkorrekt, da die Konstante erst nach der Integration auftritt;
aber sie darf auf keinen Fall vergessen werden, daher diese Schreibweise.
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 9 von 32
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
Diese DGL zeichnen sich neben den bereits erwähnten Merkmalen dadurch aus, dass nur bis
zu zwei Ableitungen der Funktion y auftreten und es keine Produkte der Ableitungen gibt.
Diese Gleichungen zu lösen erfordert meist zwei Arbeitsschritte – das Aufsuchen der Lösung
der homogenen Gleichung und das Finden einer partikulären Lösung der DGL. Beide Schritte
werden vorgeführt. Ist eine DGL von Haus aus homogen, so entfällt der zweite Schritt. Eine
lineare DGL 2. Ordnung hat im Allgemeinen die Form dcyybya , wobei die
Koeffizienten und die Inhomogenität durchaus von x abhängen können.
3.1 Allgemeine Lösung und Vorgangsweisen
3.1.1 Das Superpositionsprinzip
Die allgemeine Lösung einer DGL besteht immer aus der Summe der Lösung Hy der
homogenen Gleichung und (irgend)einer Partikulärlösung Py und stellt sich wie folgt dar:
PH yyy .
Auch für die linearen DGL 1. Ordnung (generell für lineare DGL) aus dem vorigen Kapitel
gilt dieses Prinzip.
Zur Erinnerung, die homogene Gleichung kommt durch Weglassen der Inhomogenität
zustande. Beim Aufsuchen der Partikulärlösung muss die Inhomogenität wieder
„mitgenommen“ werden.
Für die Lösung der homogenen Gleichung (der eingangs erwähnte „erste Arbeitsschritt“) wird
immer der im Abschnitt „3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz“ vorgeführte Rechenweg verwendet.
Die in den folgenden Unterpunkten umrissenen Ansätze helfen beim Aufsuchen der wichtigen
partikulären Lösung. Ihre tatsächliche Anwendung wird durch die gelieferten Beispiele erklärt
– sinnvollerweise ist natürlich zuerst das Kapitel „3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung
der inhomogenen DGL“ durchzuarbeiten.
3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz
Der Ansatz tCey ist immer einzusetzen, wenn es um die Suche nach der Lösung des
homogenen Problems geht, die ja für die allgemeine Lösung vonnöten ist. Seine Anwendung
wird in den folgenden Kapiteln geschildert. Er bietet den Vorteil eigentlich immer eingesetzt
werden zu können. Die Herleitung dieses Ansatzes findet man im Skript.
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 10 von 32
Die folgenden zwei Ansätze sind jetzt noch nicht so wichtig, ich möchte sie hier nur
erwähnen, um sie später (ohne sie einschieben zu müssen) aufgreifen zu können. Sie helfen
auf der Suche nach einer partikulären Lösung (dem „zweiten Arbeitsschritt“).
3.1.3 Sinus und Kosinus
Sinus und Kosinus (sind eigentlich auch „ e -Ansätze“) sind naheliegend, wenn zum Beispiel
das Vorzeichen wechselt oder die Inhomogenität diese Winkelfunktionen beinhaltet.
Erklärende Beispiele werden im Laufe des Textes geliefert.
3.1.4 x^(α)⋅y^(β)
Bei yx handelt es sich weniger um einen Ansatz zur Ermittlung einer Partikulärlösung als
um eine Möglichkeit die Rechnung mit den später behandelten nichtlinearen DGL zu
erleichtern. Beispiele und Erklärungen folgen später.
3.1.5 Polynome n-ten Grades
Auch kann der Ansatz
n
i
i
iP xay0
hilfreich (ein Polynom n -ten Grades) sein, wenn die
Inhomogenität selbst ein Polynom vom Grad n ist. Die einzelnen ia können durch einen
Koeffizientenvergleich ermittelt werden.
3.2 Lösung der allgemeinen homogenen DGL
Wie schon erwähnt, verwendet man hier den Ansatz tCey , um das homogene Problem zu
lösen. Die homogene Gleichung ist ganz einfach die gegebene DGL dcyybya ohne
der Inhomogenität d , also
0 cyybya .
Als ersten Schritt bildet man die Ableitungen des Ansatzes, um sie dann in die homogene
DGL einzusetzen, also:
t
t
t
Cey
Cey
Cey
2
C ist hierbei noch nicht die durch Randbedingungen zu bestimmende Integrationskonstante,
sondern zeigt auf, dass jede Ableitung der Funktion y (Lösung der homogenen DGL)
proportional zu ihrer Stammfunktion ist.
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL hat die Form tt
H eCeCyCyCy 21
212211
.
Wie es dazu kommt wird im Folgenden geschildert.
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 11 von 32
3.2.1 Das charakteristische Polynom
Setzt man die soeben angeschriebenen Ableitungen in die gegebene DGL ein, so erhält man
02 ttt CecCebCea . Da 0C und 0te für alle t, ℝ, lässt sich tCe
kürzen und man erhält:
02 cba ,
das sogenannte charakteristische Polynom der homogenen DGL. Die Werte für lassen
sich durch die (große) Lösungsformel berechnen. Der Term unter der Wurzel (Diskriminante)
acb 42 bringt eine wichtige Fallunterscheidung mit sich.
Siehe hierzu jetzt Beispiel 5.2.1, S.22.
3.2.2 Fallunterscheidung
1. Fall: 042 acb
Man erhält aus der quadratischen Gleichungen zwei unterschiedliche Werte 2,1 . Es ergibt
sich als gesuchte homogene Lösung also:
tt
H eCeCy 21
21
mit t
ey 1
1
und t
ey 2
2
.
6
2. Fall: 042 acb
Man erhält aus der quadratischen Gleichung nur einen einzigen Wert . Da die homogene
Lösung aus zwei linear unabhängigen Funktionen 1y und 2y bestehen muss, schreibt man in
2y ein zusätzliches t und erhält damit als homogene Lösung:
tt
H teCeCy 21
mit tey 1 und ttey 2 .
Das vorangestellte t ist die einfachste Möglichkeit 1y und 2y linear unabhängig zu machen.7
3. Fall: 042 acb
Hier tritt ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen auf. Dieser Fall ist in diesem Rahmen
nicht relevant und im Skript auf S.108 nachzulesen.
Nach der Fallunterscheidung hat man die allgemeine Lösung der homogenen DGL gefunden.
War die zu lösende DGL von Haus aus nur homogen, so ist das die gesuchte Lösung. Sind
Anfangsbedingungen gegeben/bekannt, so können nun noch die Konstanten 1C und 2C
berechnet werden und das Beispiel ist gelöst.
Siehe hierzu die Fortsetzung des Beispiels Beispiel 5.2.1, S.22.
6 Diese Bezeichnungen werden später wichtig.
7 Motiviert wird diese Wahl durch eine „physikalische“ Herangehensweise im Zuge der mechanischen
Schwingungen. Näheres hierzu im Demtröder (Experimentalphysik I) auf S.363, rechts. Das ist an dieser Stelle
aber nicht weiter relevant.
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 12 von 32
Ein weiteres Beispiel: Beispiel 5.2.2, S.23.
Im Fall einer inhomogenen DGL geht es nun weiter.
3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL
Im Falle einer inhomogenen DGL ist der erste Schritt jetzt getan und wir suchen nun nach
einer partikulären Lösung. Wichtig! Die Konstanten der homogenen Lösung in diesem
Fall noch nicht bestimmen!
Es bieten sich mehrere Möglichkeiten. Zum Ersten ein Schema (Variation der Konstanten),
das zwar in fast allen Fällen Erfolg verspricht, allerdings mit aufwendiger Rechnung und
komplizierten Integralen einhergehen kann und andererseits die Anwendung von
Lösungsansätzen. Diese ergeben sich aufgrund der Form der vorliegenden DGL, werden also
durch die Inhomogenität motiviert, oder sind manchmal im Beispiel auch angegeben. Die
Allergrundlegendsten wurden bereits erwähnt.
3.3.1 Mithilfe eines Ansatzes
Die Ansätze )sin()cos( tBtAyP und t
P ey sind die gängigsten und
vielversprechendsten für die einfacheren DGL. Der Ansatz t
P ey kann natürlich nicht nur
für die homogene Lösung verwendet werden, sondern auch für die partikuläre Lösung.
Ihre Anwendung wird durch die Gestalt der vorliegenden DGL und deren Inhomogenität
motiviert. Vom Prinzip her werden wieder die erforderlichen Ableitungen der Ansätze
gebildet und dann in die inhomogene DGL eingesetzt. Ein Koeffizientenvergleich liefert
dann meistens Werte für die noch unbestimmten Koeffizienten bzw. Exponenten der
verwendeten Ansätze und man kommt oft sehr schnell zu einer Partikulärlösung.
Wir setzen Beispiel 5.2.2, S.23 fort.8
3.3.2 Variation der Konstanten
Die Methode der Variation der Konstanten ist aufwendiger als die Verwendung von
geeigneten Ansätzen, aber manchmal leider unumgänglich. Wieder gilt: die genaue Theorie
sei dem Skript zu entnehmen – ein Ansatz wird dort aber nicht hergeleitet, sonder fällt quasi
vom Himmel (Skript S.109, (5.28))…durch Verwirrung also nicht beirren lassen, das
Verständnis kommt später einmal .
Um eine partikuläre Lösung ermitteln zu können, nimmt man an, die Konstanten seien
Veränderliche und schreibt die folgenden zwei Gleichungen als Ansatz:
dcycy
cycy
2211
2211 0
8 Dieses Beispiel ist im Inhaltsverzeichnis als Beispiel 5.2.3 „Inhomogene DGL mit Ansatz für die
Partikulärlösung“ angeführt.
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 13 von 32
Zur Erinnerung: 2,1y sind die „Teilfunktionen“ der homogenen Lösung und d die
Inhomogenität der DGL. Die „variierten Konstanten“ sind hier bewusst kleingeschrieben, um
sie von denen in der homogenen Lösung zu unterscheiden. 1c , 2c , 1c und 2c sind ab hier nun
abhängig von t , anders als die Konstanten 1C und 2C der homogenen Lösung (die –
nochmal! – noch nicht ermittelt wurden!).
Das obige lineare Gleichungssystem ist lösbar ( 2,1y und ihre Ableitungen sind bekannt und
linear unabhängig – siehe dazu später „3.5 Die Wronksi-Determinante“, S.14)
Lösen des Gleichungssystems liefert Ausdrücke für 1c und 2c .
Man erhält die gesuchten 1c und 2c nun mittels Integration9:
dtcc
dtcc
22
11
Ein letzter Ansatz bringt uns nun zu der gesuchten Partikulärlösung (auch hier sei für
Hintergrundinformation auf das Skript verwiesen):
2211 ycycyP
Alle ermittelten Werte eingesetzt ergibt dies die Partikulärlösung. Noch einmal: 2,1y kommen
aus der homogenen Lösung. 1c und 2c (die schon berechnet wurden) und 1C und 2C haben
nichts miteinander zu tun.
Siehe zu diesem Verfahren: Beispiel 5.2.4, S.25.
3.4 Anschreiben der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der
Konstanten
Sind nun die beiden Arbeitsschritte „homogene Lösung“ und „Partikulärlösung“ getan, so
wird die allgemeine Lösung der DGL entsprechend dem Superpositionsprinzip PH yyy
angeschrieben:
P
y
ttyeCeCy
H
21
21
.
Achtung! Beachte: Die allgemeine Lösung hat die Gestalt P
tt yteCeCy 21 , falls die
Fallunterscheidung nur einen Wert für ergeben hat.
Sind Anfangsbedingungen gegeben, so können die Konstanten 1C und 2C noch berechnet
werden. Hierzu ist oftmals auch noch eine Ableitung der allgemeinen Lösung notwendig, was
aber nicht weiter schlimm ist. Nun wird auch klar, warum man die Konstanten nicht schon
9 Auch hier werden die Integrationskonstanten in den bereits vorhandenen zusammengefasst, sprich, hier nicht
angeschrieben.
L e i t f a d e n z u D G L Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 14 von 32
vorher bestimmen durfte: Die Partikulärlösung wäre dazumal noch nicht berücksichtigt
gewesen und ein falsches Ergebnis die Folge.10
Wir schreiben nun die endgültige Lösung von Beispiel 5.2.2, S.24 (eigentlich Beispiel 5.2.3)
an.
3.5 Die Wronksi-Determinante
Die beiden Lösungen 2,1y der homogenen DGL und ihre Ableitungen müssen linear
unabhängig sein, damit man die beschriebenen Berechnungen durchführen kann. Man
bezeichnet ein solches linear unabhängiges System 21, yy als Fundamentalsystem der DGL.
Die lineare Unabhängigkeit von 1y und 2y lässt sich mithilfe der sogenannten Wronksi-
Determinante überprüfen. Sie ist die Determinante der sogenannten Fundamentalmatrix
21
21
yy
yyY und wenn gilt 0)det( Y für irgendein beliebiges t aus dem
Definitionsbereich, so sind 1y und 2y linear unabhängig.
Das Fundamentalsystem bildet die Basis des Funktionenraumes, der die Lösungen der DGL
enthält.
Siehe dazu Beispiel 5.2.5, S.27.
10
Dieses Problem stellt sich bei einer homogenen DGL nicht, da in diesem Fall keine Partikulärlösung benötigt
wird.
L e i t f a d e n z u D G L Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 15 von 32
4 Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen
Nichtlineare DGL werfen schon viel größere Probleme auf als lineare DGL und die
elementaren Lösungsverfahren sind nicht mehr ganz so einfach. Daher konzentriere ich mich
in diesem Teil nur auf einen besonderen Typ von nichtlinearen, nämlich die exakten DGL.
Diese sind in der Praktischen Mathematik I von Relevanz.
Nichtlineare DGL erkennt man unter anderem daran, dass gemischte Produkte von y und
ihren Ableitungen auftreten.
Im Skript wird noch ein weiterer Typ nichtlinearer DGL behandelt – die separablen DGL
(siehe Skript S.166ff). Sie fanden jedoch in (Test)beispielen eigentlich keinen Platz und daher
soll die im Skript angeführte Theorie genügen. Außerdem ist eine separable DGL auch eine
exakte DGL.
Separable DGL haben die allgemeine Form 0)()( yyqxp .
4.1 Theorie
Eine typische exakte DGL stellt sich in dieser Form dar:
0),(),( yyxqyxp
Hierbei hängen die Koeffizientenfunktionen ),( yxp und ),( yxq von x und y ab, was die
Probleme mit sich bringt (das sind die eingangs erwähnten „gemischten Produkte“). Steht auf
der einen Seite der Gleichung die 0, so sind ),( yxq all diejenigen Terme, die mit y
multipliziert werden und ),( yxp die übrigen.11
Eine DGL ist nun exakt, wenn es eine Funktion ),( yx gibt, deren partielle Ableitungen
folgende Bedingungen erfüllen12
:
),( yxpx
x
),( yxq
yy
13
),( yx ist die Stammfunktion (entspricht dem Potential) des zweidimensionalen
Vektorfeldes (Gradientenfeldes) )),(),,((),(),( yxqyxpqpyxF . ),( yx ist außerdem ein
Skalarfeld.14
Wie lässt sich nun das Skalarfeld ),( yx ermitteln?
Man betrachte zur Herleitung die zu Beginn erwähnte separable (und damit auch exakte)
DGL 0)()( yyqxp .
11
Einfaches Beispiel zur Veranschaulichung: 0)1( yxxyyq
p
.
12 Die genauere Theorie im Skript S.121 – dies ist eine praxisbezogene Abhandlung.
13 Also )),(),,((),( yxqyxpyx .
14 Vgl. Kapitel 3 im Skript.
L e i t f a d e n z u D G L Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 16 von 32
Sei )(xP die Stammfunktion von )(xp und )(yQ die von )(yq , dann kann ),( yx
geschrieben werden als
)()(),( yQxPyx .
Dies lässt sich durch Bilden der partiellen Ableitungen verifizieren: Bildet man ),( yx , so
entfällt nach partieller Ableitung nach x der y -abhängige Term )(yQ und man erhält )(xp
als erste Komponente von ),( yx . Analog erhält man den Term )(yq nach partieller
Ableitung nach y als zweite Komponente von ),( yx . Vgl. dazu noch einmal mit dem
Beginn dieses Abschnitts. Dort steht bei den beiden Koeffizientenfunktionen eine
Abhängigkeit von x und y . Das kommt daher, dass bei den partiellen Ableitungen die
jeweils andere Variable konstant gehalten wird.
4.2 Lösungsschema
Die nun gelieferten Informationen machen eine Bearbeitung des Problems möglich. Wird die
Funktion ),( yx ermittelt, so hat man die DGL gelöst – man spricht dabei vom ersten
Integral der DGL. Für das Potential gilt .),( constcyx 15
Zur Erinnerung: Die DGL hat die Form 0),(),( yyxqyxp . Dies entspricht natürlich
0),(),( dx
dyyxqyxp , also umgeformt auch 0),(),(
)()(
yq
q
xp
p
dyyxqdxyxp .
4.2.1 Aufsuchen des Potentials
Im Endeffekt gestaltet sich das methodische Aufsuchen des Potentials nicht anders als schon
im Kapitel 3 im Skriptum.
)()(),( yQxPyx soll zusammengesetzt werden.
!
)()()()(
)()()()(
xCyQdyyqyQ
yCxPdxxpxP
Die beiden Integrale mit ihren Integrationskonstanten müssen ident sein. Daher werden die
Konstanten )(yC und )(xC so gewählt, dass beide Integrale dieselben Terme beinhalten.
),( yx lässt sich nun endlich anschreiben16
!
Das vorgeführte Beispiel 5.3.1, S.28 macht dieses Lösungsverfahren mit Sicherheit
verständlich.
15
Wenn die totale Ableitung 0 ist, muss das Potential (Stammfunktion) konstant sein. 16
Nicht beide Integrationsergebnisse anschreiben, wie )()(),( yQxPyx fälschlicherweise vermuten
lässt. Durch die gewählten Integrationskonstanten sind sie ja ident.
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© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 17 von 32
4.2.2 Aufstellen der Lösung
Die weiter oben angeschriebene Bedingung .),( constcyx ist auch gleichzeitig die
Lösung der DGL, wenn nun für ),( yx das soeben ermittelte Ergebnis eingesetzt wird. Die
Lösungsfunktionen der DGL entsprechen Niveaulinien (Äquipotentiallinien) mit c als
Niveauwert. c hat hier die Rolle einer Integrationskonstante und man spricht bei ),( yx
vom ersten Integral der exakten DGL. Die Lösung einer exakten DGL ist äquivalent zur
Bestimmung der Äquipotentiallinien des Gradientenfeldes )),(),,((),( yxqyxpyxF .
Wichtig! Die Niveaulinien berühren oder schneiden sich niemals, das heißt, durch jeden
Punkt verläuft nur eine einzige Lösungsfunktion.
Siehe hierzu den zweiten Teil von Beispiel 5.3.1, S.29.
4.2.3 Aufsuchen einer bestimmten Lösung (Trajektorien)
Wird die Gleichung cyx ),( nun nach entweder x oder y aufgelöst17
, so erhält man
einen gewohnten Ausdruck für eine Funktion ),( cyx oder ),( cxy . Eine einzelne, ganz
spezielle (sogenannte) Lösungstrajekorie erhält man, wenn man c so wählt, dass die erhaltene
Kurve durch eine bestimmten Punkt läuft. Dies ist eine häufige Fragestellung in Beispielen.
Soll also die Trajektorie angegeben werden, die durch den Punkt 00 , yx verläuft, so
werden diese Werte einfach in die Gleichung cyx ),( eingesetzt und das zugehörige c
ausgedrückt. Im Falle einer quadratischen Gleichung (als Lösungsformel), muss das soeben
ermittelte c noch einmal in die Lösungsfunktion eingesetzt werden, um das Vorzeichen vor
der Wurzel acb 42 zu bestimmen. Ansonsten stimmt das Ergebnis nicht, denn nur eines
der beiden Vorzeichen kann die Gleichung erfüllen, es sei denn 042 acb .
Dieser Schritt wird in der Fortsetzung von Beispiel 5.3.1 (2. Teil), S.29 vorgeführt.
4.3 Die Integrabilitätsbedingung und damit verbundene
Problemlösungen
Nur wenn die sogenannte Integrabilitätsbedingung qx
py
!
erfüllt ist, existiert eine
Stammfunktion (Potential) des gegebenen Vektorfeldes (Gradientenfeldes) der Form
)),(),,((),( yxqyxpyxF wie es in einer DGL 0),(),( yyxqyxp vorkommt. Ist die
Bedingung erfüllt, so handelt es sich um eine exakte DGL.
17
Meist verwendet man einfache algebraische Umformungen, wenn eine Variable ohne Potenz vorkommt, oder
die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen, falls eine der beiden Variablen zur 1. und 2. Potenz
vorkommt.
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4.3.1 Nachweis einer exakten DGL
Soll nun gezeigt bzw. untersucht werden, ob es sich bei der vorliegenden DGL um eine exakte
DGL handelt, so macht man sich dies durch Überprüfen der Integrabilitätsbedingung
plausibel. Es gilt:
qx
py
!
.
Man führt wie eben angeführt die partiellen Ableitungen durch. Ist die Gleichung erfüllt, so
liegt eine exakte DGL vor. Andernfalls nicht. Die Theorie dahinter wird im Kapitel 3 im
Skript geliefert.
Siehe dazu Beispiel 5.3.2, S.29.
Dieser Schritt wird normalerweise natürlich zu Beginn des Beispiels durchgeführt, da man ja
herausfinden möchte, ob sich die gegebene DGL mithilfe des vorgeführten Verfahrens lösen
lässt. Jedoch habe ich es nicht als sinnvoll erachtet, die Integrabilitätsbedingung einzuführen
bevor ein grundlegendes Verständnis für die exakten DGL durch die Beispiele gegeben ist.
4.3.2 Aufsuchen eines integrierenden Faktors – DGL exakt machen
Es kann nun gut sein, dass die Untersuchung der Integrabilitätsbedingung ein negatives
Ergebnis liefert, sich die DGL aber durch eine einfache Operation zu einer exakten DGL
machen lässt. Man spricht hier von der Anwendung eines integrierenden Faktors. Die
Gleichung multipliziert mit einem Faktor ergibt (wie die Integrabilitätsbedingung dann
beweist) eine exakte DGL, die sich nach unserem Schema lösen lässt. Diesen Faktor zu finden
ist nur nicht immer offensichtlich.
Eine typische Aufgabenstellung beinhaltet schon eine unbestimmte Variable in der Gleichung,
die durch Überprüfen der Integrabilitätsbedingung und Auflösen nach dieser Variablen
ermittelt werden kann.
Siehe dazu Beispiel 5.3.3, S.30.
Im Falle einer „nackten“ DGL in „polynomialer“ Gestalt ist der schon in „3.1.4 x^(α)⋅y^(β)“
erwähnte Ansatz hilfreich. Die Gleichung wird mit dem Faktor yx multipliziert.
Anschließend wird die Integrabilität untersucht und mithilfe eines Koeffizientenvergleichs
werden passende und ermittelt. Der resultierende Term ist dann der integrierende
Faktor, der die DGL exakt und damit für uns elementar lösbar macht.
Siehe hierzu nun Beispiel 5.3.4, S.30.
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 19 von 32
5 Beispiele
5.1 Beispiele zu Kapitel 2 – Lineare DGL 1. Ordnung
5.1.1 Separation der Variablen I
[Skript, Aufgabe 5.3, S.145]
Man berechne die allgemeine Lösung )(xy der DGL yey mittel Separation der
Variablen.
Anders angeschrieben ergibt sich yedx
dy 1 .
Man versucht nun alle Terme mit y auf einer Seite und die restlichen auf der anderen Seite
zu haben. Daher dxedy y . Integration ergibt dxdye y und weiter Cxe y . Die
Integrationskonstante nicht vergessen! Um y zu separieren verwenden wir den natürlichen
Logarithmus: )ln()ln(
1
Cxey .18
Die allgemeine Lösung der DGL lautet also )ln( Cxy . Ist eine Anfangsbedingung
gegeben, kann C durch Einsetzen der gegebenen Werte ermittelt werden. ↑
5.1.2 Separation der Variablen II
[Nachtest WS09/10, Gruppe bunt, Bsp. 2a]
Gegeben sei die nichtlineare DGL x
yxy
2
ln mit der Anfangsbedingung 1)( ey .19
Gesucht ist die Lösung )(xy mittels Trennung der Variablen. Hinweis: Auftretende Integrale
lassen sich mittels Substitution lösen.
Die DGL kann geschrieben werden als x
yx
dx
dy 2
ln .
Die Trennung der Variablen sieht vor y von den anderen Termen zu separieren. Nach
wenigen Umformungen ergibt sich daher die Form dxxx
dyy ln
112
. Integration beider
Seiten dx
xxdy
y ln
112
ergibt links y
dyy
112
und rechts mittels Substitution
Cudu
ux
dxdu
xudx
xxln
1ln
ln
1.
18
yyeye y 1)ln()ln(
19 e ist die Eulersche Zahl.
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 20 von 32
Rückeinsetzen von xu ln ergibt Cx lnln für die rechte Seite.
Schließlich ergibt Cxy
lnln1
nach y aufgelöst:Cx
y
lnln
1.
Durch die Anfangsbedingung 1)( ey kann auch noch ein eindeutiges C bestimmt werden. In
die Lösung eingesetzt werden logischerweise 1y und ex und man erhält
Ce
0
1
lnln
11 , also
C
11 . Für die Konstante erhält man also 1C .
Die Lösung des Beispiels lautet daher 1lnln
1
xy . ↑
5.1.3 Multiplikation mit integrierendem Faktor I
[2. Haupttest WS10/11, Gruppe weiß, Bsp. 2a]
Gesucht sei die allgemeine Lösung )(xy der DGL 21
1
1 xx
yy
mit 1x .
Im ersten Schritt wird die Gleichung auf
die gewünschte Form qpyy
gebracht.
yx
1
1
qp
xy
xy
21
1
1
1
Multiplikation mit integrierendem Faktor u .
ux
uyx
uy21
1
1
1
Die Gestalt der Produktregel )( yupuyuy motiviert den
Ansatz puu und weiter
pdx
eu .
xeeu xdx
x
1)1ln(1
1
Einsetzen in die Gleichung ergibt:
uu
xx
xy )1(1
1))1((
2
2)2(1 x kann auch als )1)(1( xx geschrieben werden
und durch Kürzen und anschließende Integration ergibt sich:
dxx
xy
1
1)1(
Durch die Integration fällt links einfach die Ableitung weg und
rechts ergibt sich:
Cxxy )1ln()1( Achtung auf das Vorzeichen bei der Integration, Konstante
nicht vergessen!
x
x
x
Cy
1
)1ln(
1 ist die gesuchte Lösung. ↑
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 21 von 32
5.1.4 Multiplikation mit integrierendem Faktor II
(Newton’sches Abkühlungsgesetz)
[Skript, Beispiel 5.2, S.101 – Newton’sches Abkühlungsgesetz]
UkTkTT mit )(tTT , k als materialabhängige Proportionalitätskonstante und
UT als Umgebungstemperatur. UT ist eine konstante Inhomogenität.
Es sei die Anfangsbedingung 0)0( TT gegeben. Gesucht ist die Lösung der DGL.
Im ersten Schritt wird die Gleichung auf die
gewünschte Form qpyy gebracht. kT
q
U
p
kTTkT Multiplikation mit integrierendem Faktor u .
ukTkuTuT U Der Ansatz
pdt
eu liefert:
ktkdt
eeu Einsetzen in die Gleichung und Integration ergibt:
dtekTTe kt
U
kt
Cek
dte ktkt 1
(Konstante!) und daher
CeTTe kt
U
kt Da 0kte ergibt Division durch kte
kt
U CeTT
Durch die Anfangsbedingung 0)0( TT kann C
ermittelt werden. Für 0TT und 0t eingesetzt
ergibt sich ( 10 e )
CTT U 0 → UTTC 0 Eingesetzt in die allgemeine Lösung ergibt sich
kt
UU eTTTT )( 0 als eindeutige Lösung der DGL. ↑
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 22 von 32
5.2 Beispiele zu Kapitel 3 – Lineare DGL 2. Ordnung
5.2.1 Homogene DGL I – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung
[2. Haupttest WS10/11, Gruppe weiß, Bsp. 2b]
Gegeben ist die DGL 04
93 yyy . Die Anfangsbedingungen lauten 2)0( y und
0)0( y . Man ermittle die allgemeine Lösung.
Es handelt sich um eine homogene DGL. Erster Schritt ist die Bestimmung des
charakteristischen Polynoms mithilfe des Ansatzes tCey und seinen Ableitungen.
04
93 yyy
t
t
t
Cey
Cey
Cey
2
eingesetzt ergibt
04
932 ttt CeCeCe
Da 0tCe kann durch
tCe dividiert
werden und man erhält:
04
932 das charakteristische Polynom. ↑
0
2
2,14
9
4
)3(
2
3
Fortsetzung: Mit der kleinen Lösungsformel
erhält man die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms. Die
Diskriminante ist 0! Daraus folgt:
2
32,1
In diesem Beispiel liegt also Fall 2 vor. Die
Lösung des homogenen Problems ist also:
tt
H teCeCy 21
tt
teCeC 2
3
22
3
1
Im Fall 2 darf keinesfalls auf das zusätzliche
t im zweiten Term 2y vergessen werden!
Da es sich von Haus aus um ein homogenes Problem handelt und Anfangsbedingungen
gegeben sind, können die Integrationskonstanten noch bestimmt werden.
ttt
tt
teCeCeCy
teCeCy
2
3
22
3
22
3
1
2
3
22
3
1
2
3
2
3
mit
0)0(
2)0(
y
y
Die Ableitung der ermittelten Lösung wird
für die Konstantenbestimmung benötigt.
(Beim Ableiten muss für den zweiten Term
die Produktregel verwendet werden!)
Einsetzen der gegebenen Werte in die
entsprechenden Gleichungen ergibt:
21
1
2
30
2
CC
C
→ 3
2
2
1
C
C
Einsetzen der Konstanten in die Lösung
ergibt
tt
teey 2
3
2
3
32 das gesuchte Ergebnis. ↑
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 23 von 32
5.2.2 Homogene DGL II – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung
[2. Haupttest WS09/10, Gruppe 1, Bsp. 3] 1.Teil
Gegeben ist die lineare inhomogene DGL zweiter Ordnung )2cos(4 tyy zusammen mit
den Anfangsbedingungen 20
1)0( y und
5
19)0( y . Gesucht sei die eindeutige Lösung
dieser DGL.
Man startet (laut dem vorgestellten Lösungsschema) mit der Suche nach der Lösung der
homogenen Gleichung, weshalb ich das Beispiel noch in diesem Abschnitt beginne.
04 yy
ist das homogene Problem. Die Inhomogenität )2cos( t
wird schlicht und einfach weggelassen. Man verwendet
wie immer den tCey -Ansatz mit seinen Ableitungen
und setzt entsprechend ein.
042 tt CeCe → 042 Man erhält wieder das charakteristische Polynom. Diesmal
mit folgenden Nullstellen:
4
0
2
1
Die 2,1 sind unterschiedlich und entsprechen daher
Fall 1. Man erhält
tttt
H eCeCeCeCy 4
2
1
0
12121
t
H eCCy 4
21
als homogene Lösung. Da die ursprüngliche DGL
inhomogen war, dürfen die Konstanten noch nicht
bestimmt werden, denn das Beispiel ist noch nicht gelöst.
Wir fahren mit Theorie fort. ↑
5.2.3 Inhomogene DGL mit Ansatz für die Partikulärlösung
[2. Haupttest WS09/10, Gruppe 1, Bsp. 3] 2. Teil
Gegeben ist die lineare inhomogene DGL zweiter Ordnung )2cos(4 tyy zusammen mit
den Anfangsbedingungen 20
1)0( y und
5
19)0( y . Gesucht sei die eindeutige Lösung
dieser DGL.
)2cos(4 tyy
Fortsetzung von Beispiel 5.2.2: Links steht die
inhomogene DGL aus der Angabe.
Die homogene Lösung wurde bereits ermittelt:
t
H eCCy 4
21
.
Im nächsten Schritt wird eine Partikulärlösung mithilfe
des folgenden Ansatzes20
ermittelt:
20
In diesem Testbeispiel war der Ansatz freundlicherweise angegeben. Aber eine Inhomogenität mit
Winkelfunktionen motiviert natürlich auch einen entsprechenden Ansatz.
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 24 von 32
)sin()cos( tBtAyP
Die Konstanten A und B sollen nun ermittelt werden
und eine partikuläre Lösung liefern. wird
entsprechend der vorliegenden Inhomogenität gewählt;
in diesem Fall also 2 . Py und die Ableitungen
stellen sich wie folgt dar:
)2sin(4)2cos(4
)2cos(2)2sin(2
)2sin()2cos(
tBtAy
tBtAy
tBtAy
P
P
P
Wie auch bei der homogenen Lösung werden die
Partiklärlösungsansätze einfach in die ursprüngliche
DGL )2cos(4 tyy (mit Inhomogenität!)
eingesetzt und man erhält
)2cos())2cos(2)2sin(2(4)2sin(4)2cos(4 ttBtAtBtA
PP yy
und ausmultipliziert
)2cos()2cos(8)2sin(8)2sin(4)2cos(4 ttBtAtBtA .
Ein Koeffizientenvergleich liefert:
für )2cos( t → 184 BA
für )2sin( t → 084 AB
Lösen dieses Gleichungssystems liefert folgende Werte
für die gesuchten Koeffizienten:
20
1A und
10
1B
Rückeingesetzt in den ursprünglichen Ansatz ergibt sich
als Partikulärlösung nun:
)2sin(10
1)2cos(
20
1ttyP
Wir setzen nun mit Theorieabschnitt „3.4 Anschreiben
der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der
Konstanten“, S.13 fort. ↑
Zuvor ermittelte homogene Lösung:
t
H eCCy 4
21
Fortsetzung: Nach dem Superpositionsprinzip bleibt uns
für die allgemeine Lösung der DGL nur mehr das
korrekte Anschreiben entsprechend PH yyy :
P
H
y
y
t tteCCy )2sin(10
1)2cos(
20
14
21
ist die gesuchte allgemeine Lösung!
Da Anfangsbedingungen gegeben sind ist es zudem
möglich, eine eindeutige Lösung anzuschreiben. Dieser
Schritt darf erst jetzt erfolgen und keinesfalls früher in
der Rechnung, weil dort die partikuläre Lösung noch
nicht mitberücksichtigt würde!
20
1)0( y und
5
19)0( y sind gegeben.
Offensichtlich wird zum Bestimmen der Konstanten
auch die Ableitung der allgemeinen Lösung benötigt.
Sie lautet:
)2cos(5
1)2sin(
10
14 4
2 tteCy t
0)0sin( und 1)0cos( gestalten das Auswerten
der Konstanten recht bequem. Es ergibt sich durch
Einsetzen der gegebenen Anfangsbedingungen in die
entsprechenden Gleichungen:
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 25 von 32
20
1)0( y →
20
1
20
121 CC
5
19)0( y →
5
14
5
192 C
Lösen des Gleichungssystems liefert
11 C und 12 C und die eindeutige Lösung der DGL zu den gegebenen
Anfangsbedingungen lautet daher:
)2sin(10
1)2cos(
20
11 4 ttey t
21
↑
5.2.4 Inhomogene DGL mit Variation der Konstanten
Zu lösen ist die inhomogene lineare DGL zweiten Grades 1 tyy unter Verwendung der
Methode der Variation der Konstanten.
PH yyy
Gemäß dem Superpositionsprinzip müssen die homogene
Lösung Hy und eine partikuläre Lösung Py ermittelt
werden. Das homogene Problem lautet:
0 yy Gemäß dem gewohnten Ansatz tCey für die homogene
Lösung erhält man:
02 tt CeCe → 012 Auswerten des charakteristischen Polynoms durch einfache
Äquivalenzumformungen liefert folgende Nullstellen
1
1
2
1
und die Lösung des homogenen Problems lautet daher:
tt
H eCeCy 21
Nun folgt das Aufsuchen der partikulären Lösung mit der
vorgestellten Methode der „Variation der Konstanten“. Die
folgenden beiden Ansätze leiten das Verfahren ein:
dcycy
cycy
2211
2211 0
Wobei gilt tey 1 ,
tey 2 und 1 td (die
Inhomogenität). Die Ableitungen der Teilfunktionen 2,1y
werden auch benötigt.
t
t
ey
ey
2
1
Eingesetzt in das angesetzte Gleichungssystem ergibt sich
nun das lösbare Gleichungssystem in zwei Variablen.
1
0
21
21
tcece
cece
tt
tt
Addieren beider Gleichungen liefert einen Ausdruck für 1c .
12 1 tcet → tetc )1(
2
11 Rückeinsetzen in die erste der beiden Gleichungen ergibt
21
Wir fahren nun mit dem zuvor übersprungenen Abschnitt „3.3.2 Variation der Konstanten“, S.12 fort.
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 26 von 32
0)1(2
12 ceete ttt Vereinfachungen aufgrund von 1 tt ee liefern
0)1(2
12 cet t und schlussendlich für 2c :
tetc )1(2
12
Um mit dem letzten Ansatz/Schritt 2211 ycycyP
fortfahren zu können, müssen die 2,1c erst mittels
Integration ausgerechnet werden. Beide Integrale lassen sich
sehr ähnlich durch partielle Integration lösen.
dtetdtcc t)1(2
111
Das erste Integral lässt sich zerlegen und damit leichter
bewältigen.
te
tt dtedtte2
1
Der erste Teil lässt sich durch partielle Integration lösen.
Achtung auf die Vorzeichen!!
tt
vu
t
uv
t
vu
t etedtetedtte
Eingesetzt, addiert und herausgehoben ergibt sich für 1c
daher:
ttttt eteeete 22
1
2
1 →
tetc )2(2
11
Ganz ähnliche Rechenschritte liefern auch ein Ergebnis für
2c . Wieder gilt: Achtung Vorzeichen!!
dtetdtcc t)1(2
122 Wieder wird zerlegt und vereinfacht:
te
tt dtedtte2
1 Der erste Teil wird wieder durch partielle Integration gelöst.
tt
vu
t
uv
t
vu
t etedtetedtte
Fertiges Auswerten durch Einsetzen ergibt
02
1 ttt eete → ttec
2
12
und 2,1c wurden hiermit angeschrieben. Die beiden Terme
werden nun in 2211 ycycyP eingesetzt und man
erhält nach Vereinfachen von
tttt
P eteeety2
1)2(
2
1 die gewünschte Partikulärlösung.
222
1
2
1)2(
2
1 ttt →
)1( tyP
Gemäß dem Superpositionsprinzip lautet die gesuchte
allgemeine Lösung der DGL daher22
:
)1(21 teCeCyyy tt
PH 23
↑
22
Da keine Anfangsbedingungen bekannt sind, lassen sich die Konstanten 2,1C nicht genauer bestimmen.
23 Wir fahren nun wieder „geordnet“ mit „3.5 Die Wronksi-Determinante“, S.14 fort.
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 27 von 32
5.2.5 Wronksi-Determinante
An diesem Punkt greife ich Beispiel 5.2.1, S.22 noch einmal auf.
Die Lösung der DGL 04
93 yyy haben wir bereits berechnet.
Sie lautet 21
2
3
2
3
32y
t
y
t
teey .
Man zeige nun, dass ein Fundamentalsystem 21, yy vorliegt.
21
21
yy
yyY mit 0)det( Y bedeutet, dass 1y und 2y linear unabhängig sind und ein
Fundamentalsystem der DGL darstellen.
In diesem Beispiel gilt
t
t
ey
ey
2
3
1
2
3
1
2
3
und
tt
t
teey
tey
2
3
2
3
2
2
3
2
2
3
.
Die Fundamentalmatrix lautet daher
ttt
tt
teee
teeY
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3 und
ttttttttt
eteteeteeteeeY 33332
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3)det(
.
Wegen teY 3)det( und t sodass gilt 03 te wurde gezeigt, dass ein Fundamentalsystem
21, yy linear unabhängiger Funktionen 21, yy vorliegt. ↑
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 28 von 32
5.3 Beispiele zu Kapitel 4 – Nichtlineare, exakte DGL
5.3.1 Die allgemeine Lösung einer nichtlinearen, exakten DGL
[2. Haupttest WS09/10, Gruppe 2, Bsp. 1] 1. Teil
Gegeben ist die nichtlineare, exakte DGL 0)1(12 2 yexxe yy . Man bestimme das
zugehörige Skalarfeld ),( yx .
0)1(12 2 yexxe
q
y
p
y
bzw. 0)1()12( 2 dyexdxxe
q
y
p
y
Zuerst werden die Koeffizientenfunktionen
),( yxp und ),( yxq der Übersicht halber
markiert. Um das gesuchte Potential bzw.
Skalarfeld )()(),( yQxPyx
anschreiben zu können müssen wir die
Stammfunktionen von p und q ermitteln.
!
)()()()(
)()()()(
xCyQdyyqyQ
yCxPdxxpxP
Eingesetzt ergeben sich folgende
Stammfunktionen:
!
22
2
)()1()(
)()12()(
xCyexdyexyQ
yCxexdxxexP
yy
yy
Es bleiben noch die beiden
Integrationskonstanten so zu bestimmen, dass
die beiden Integrale ident sind.
xxC
yyC
)(
)(
Setzt man in den beiden obigen Integralen die
angeschriebenen Konstanten ein, so gilt
tatsächlich )()( yQxP wie gefordert.
yxexyx y 2),( Dies ist daher das gesuchte Skalarfeld, das alle
vorgestellten Bedingungen erfüllt.
Zur Probe können die partiellen Ableitungen gebildet werden. Es muss gelten:
),( yxpx
x
und ),( yxq
yy
.
),(12)( 2 yxpxeyxexxx
yy
und
),(1)( 22 yxqexyxexyy
yy
. □ ↑
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 29 von 32
[2. Haupttest WS09/10, Gruppe 2, Bsp. 1] 2. Teil
Man bestimme aus der Gleichung .),( constcyx die allgemeine Lösung der DGL in der
Form )(yxx . Man gebe außerdem diejenige Trajektorie an, die durch den Punkt
)0,2(),( yx ℝ2.
cyxexyx y 2),(
Ergibt sich aus dem zuvor ermittelten
Skalarfeld und der Angabe.
Die gesuchte allgemeine Lösung in der Form
)(yxx erhält man durch algebraisches
Umformen. Da 2x , x und ein unabhängiges
Glied vorliegen, bietet sich die Verwendung
der großen Lösungsformel an.
012
cba
y cyxex
a
acbbx
2
42 →
y
y
e
cyex
2
)(411
Ist die gesuchte allgemeine Lösung. ↑
y
y
e
cyex
2
)(411
Fortsetzung: Soll durch den Punkt
)0,2(),( yx ℝ2 verlaufen. Dazu muss
die Konstante c geeignet gewählt werden.
Einsetzen der gegebenen Werte für x und y
liefern folgende Gleichung:
2
411
2
)0(4112
0
0c
e
ce
Auflösen der Gleichung nach c liefert
schlussendlich:
ccc 48419413 → 2c
Nun ist nur noch die richtige
Rechenoperation zu wählen. Beides ist
logischerweise nicht möglich. Man sieht,
dass…
22
31
2
811
2
4112
c …das die Gleichung erfüllt.
y
y
e
yex
2
)2(411
Ist daher die gesuchte Trajektorie, die den
gegebenen Punkt enthält. ↑
5.3.2 Überprüfen der Integrabilitätsbedingung
Gegeben ist die nichtlineare DGL 0)1(12 2 yexxe yy . (Aus Beispiel 5.3.1)
Man zeige, dass es sich hierbei um eine exakte DGL handelt.
0)1(12 2 yexxeq
y
p
y
exakt? Dies ist anhand der Integrabilitätsbedingung qx
py
!
zu überprüfen.
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 30 von 32
!
2 )1(
)12(
y
y
exx
qx
xey
py Sind die partiellen Ableitungen ident, so liegt eine exakte
DGL vor. Es gilt:
yy
yy
xeexx
qx
xexey
py
2)1(
2)12(
2
Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt, die gegebene DGL
ist daher exakt. ↑
5.3.3 Integrierender Faktor
[2. Haupttest WS10/11, Gruppe weiß, Bsp. 1]
Gegeben sei die nichtlineare DGL 123
122
3
2
xyx
yxxyy
. Man gebe alle Werte für an,
sodass die vorliegende DGL exakt wird.24
01
123 222
3
y
xyx
yxxy
Multiplikation mit 2 und 123 22 xyx erspart
einem die Quotientenregel beim Bilden der partiellen
Ableitungen.
0)123()( 2232 yxyxyxxy
qp
Es muss gelten q
xp
y
!
, also
!
222
2232
26)123(
)13()(
xyxyxx
qx
xyyxxyy
py
Gleichsetzen und Ausdrücken von liefert den
gesuchten Wert für :
26)13( 222 xyxy
→ 213
)13(2
13
262
2
2
22
xy
xy
xy
xy
Für 2 wird die gegebene DGL also exakt.
↑
5.3.4 Integrierender Faktor mithilfe eines Ansatzes
[Skript, Aufgabe 5.6, S.145]
Man berechne die allgemeine Lösung der DGL 0)1( yxxyy mittels eines geeigneten
integrierenden Faktors a .
02 yxxyy
Ein Faktor a , der die Integrabilitätsbedingung
qx
py
!
erfüllt muss gefunden werden, um
die DGL exakt zu machen. Denn aufgrund von
24
Die Tests sind online verfügbar. Es empfiehlt sich das Beispiel zum Üben durchzurechnen. Die Lösungen sind
ebenfalls verfügbar. (Siehe Verweise)
L e i t f a d e n z u D G L Beispiele
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 31 von 32
1)(
21)( 2
xx
qx
xxyyy
py
ist die gegebene DGL nicht exakt – die
Integrabilitätsbedingung wird nicht erfüllt.
Multiplikation mit dem erwähnten Ansatz
yxa schafft hierbei Abhilfe.
0)( 2 yxyxxyyyx
qp
Erneutes Überprüfen der Integrabilitätsbedingung
liefert nun Werte für und :
Der Übersicht halber führe ich die partiellen
Ableitungen getrennt durch.
:py
)( 2xyyyx
y
211 yxyxy
11 )2()1( yxyx
:qx
)()( 1 yxx
xyxx
yx)1(
Gleichsetzen wie gewohnt ergibt in der Folge:
yxyxyx )1()2()1( 11 Kürzen des Faktors yx ergibt
)1()2(1 xy Ein Koeffizientenvergleich für xy liefert:
für xy → 02 → 2 Eingesetzt in die Gleichung lässt sich auch ein
ausdrücken.
1)22(12 xy → 0
Der integrierende Faktor lautet daher
20 yxyxa
2
1
y.
Neuerliches Prüfen der Integrabilitätsbedingung
muss erfüllen:
)(
1)(
12
!2
2x
yxxyy
yy
aa
also
2
!1
y
x
xx
yy
22
11
yy
Nach Multiplikation mit dem integrierenden
Faktor 2
1
ya wird die vorliegende DGL exakt
und kann nach der gewohnten Methode gelöst
werden. Sie hat die Form
0
12
yy
xx
y
qp
.
L e i t f a d e n z u D G L Verweise
© Lukas Császár, Wien 2012 Seite 32 von 32
6 Verweise
[1] Praktische Mathematik I für TPH, Wien 2011, M. Aurada, W. Auzinger, O. Koch,
C. Schmeiser, G. Schranz-Kirlinger
[2] Experimentalphysik I, 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2008, W. Demtröder
[3] http://www.othmar-koch.org/PrakMath1, Nachtests
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