¦lgebra linear 02 aula 01-02-produto vetorial
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PRODUTO VETORIAL PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )( OU EXTERNO )
Para definirmos um vetor é preciso designarmos Para definirmos um vetor é preciso designarmos seu seu módulomódulo, , direçãodireção e e sentidosentido..
Definiremos agora um novo vetor, denominado Definiremos agora um novo vetor, denominado produto vetorialproduto vetorial dos vetores e : dos vetores e :u
v
DIREÇÃO :DIREÇÃO : Perpendicular ao plano que Perpendicular ao plano que contém os vetores e .contém os vetores e .u
v
SENTIDO :SENTIDO : Dado pela Dado pela Regra da Mão Regra da Mão Direita Direita ..
v x
uMÓDULO :MÓDULO : Posteriormente Posteriormente falaremos. falaremos.
REGRA DA MÃO REGRA DA MÃO DIREITADIREITA
v x
u u
vθ
Suponhamos que Suponhamos que se queira obterse queira obter
Coloque o Coloque o dedodedo indicadorindicador apontado para o apontado para o vetor e o vetor e o dedo médiodedo médio apontado para o apontado para o vetor . vetor . O O polegarpolegar dará o dará o sentido de sentido de
: v xu
u
v
v xu
REGRA DA MÃO REGRA DA MÃO DIREITADIREITA
Suponhamos que Suponhamos que se queira obterse queira obter
Coloque o Coloque o dedodedo indicadorindicador apontado para o apontado para o vetor e o vetor e o dedo médiodedo médio apontado para o apontado para o vetor . vetor . O O polegarpolegar dará o dará o sentido de sentido de
: u x v
u
v
u x v
u x v
θ
v
u
j
ik
yy
zz
xx
)0 , 0 , 1(=i
)0 , 1 , 0(=j
)1 , 0 , 0(=k
VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS NOS EIXOS NOS EIXOS
COORDENADOSCOORDENADOS
j
ik
yy
zz
xx
)0 , 0 , 1(=i
)0 , 1 , 0(=j
)1 , 0 , 0(=k
PRODUTOS PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS
VETORES UNITÁRIOSVETORES UNITÁRIOS
===
ji x
ik x
kj x
k
j
i
−=−=−=
jk x
ij x
ki x
i
k
j
j
ik
yyzz
xx
)0 , 0 , 1(=i
)0 , 1 , 0(=j
)1 , 0 , 0(=k
PRODUTOS PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS
VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS por ELES MESMOSpor ELES MESMOS
PRODUTOS PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS
VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS por ELES MESMOSpor ELES MESMOS
===
0k x
0j x
0i x
k
j
i
++==++==
kfjeidfedv
kcjbiacbau
...),,(
...),,(
)kf.je.i)x(d.kc.jb.i(a.v x ++++=u
PRODUTO VETORIAL PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )( OU EXTERNO )
kxia.f.jxia.e.ixia.d.v x ++=ukxjb.f.jxjb.e.ixjb.d.
+++kxkc.f.jxkc.e.ixkc.d.
+++kb.d.-ja.f.-ic.e.-ka.e.jd..i..bv x ++= cfu
Dados :Dados :
PRODUTO VETORIAL PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )( OU EXTERNO )
fed
cba
kji
v
=xu
ked
baj
fd
cai
fe
cbxu
...v +−=
vuxu
^v =kb.d.-ja.f.-ic.e.-ka.e.jd..i..bv x ++= cfu
Embora o produto vetorial Embora o produto vetorial não seja um não seja um determinante, é conveniente determinante, é conveniente e prático assim considerá-lo.e prático assim considerá-lo.
Demonstra-se que :Demonstra-se que :
fed
cba
kji
v
=xu
Pela Pela Regra da Mão DireitaRegra da Mão Direita ou pela ou pela troca da troca da segunda com a terceira linhasegunda com a terceira linha do determinante do determinante acima, concluímos facilmente que :acima, concluímos facilmente que :
u x v-v x =u
θsen.. vuvxu =
O Produto O Produto Vetorial não Vetorial não é é comutativo.comutativo.
fed
cba
kji
v
=xu
PRODUTO VETORIAL DE UM PRODUTO VETORIAL DE UM VETOR POR ELE MESMOVETOR POR ELE MESMO
Sabemos que :Sabemos que : Para dois vetores Para dois vetores EQUIPOLENTES, EQUIPOLENTES, teríamos, por teríamos, por hipótese, que :hipótese, que :
uv =
0
cba
cba
kji
==uxu
Determinantes Determinantes com com filas filas paralelas iguaisparalelas iguais, , são sempre são sempre iguais a iguais a zerozero..
O é conhecido O é conhecido como como vetor nulovetor nulo..
0 vetor
Com efeito, Com efeito, temos também temos também que : que :
0) x( =− uu
Por outro ponto de vista, Por outro ponto de vista, temos que : temos que :
θsen.. vuvxu =
Quando :Quando :
−=−⇒=⇒−
=⇒=⇒
º180sen..)( x º180 )( x
º0sen.. x º0 x
uuuuuu
ou
uuuuuu
θ
θ
Em ambos os casos, temos o módulo do Em ambos os casos, temos o módulo do produto vetorial igual a zero.produto vetorial igual a zero.
Logo, em ambos os casos, temos o produto Logo, em ambos os casos, temos o produto vetorial igual ao vetor nulo. vetorial igual ao vetor nulo.
Vetores de Vetores de mesma mesma direçãodireção terão para terão para produto vetorial, um produto vetorial, um vetor nulovetor nulo..
Vetores de Vetores de mesma mesma direçãodireção terão para terão para produto vetorial, um produto vetorial, um vetor nulovetor nulo..
IDENTIDADE DE LAGRANGE IDENTIDADE DE LAGRANGE IDENTIDADE DE LAGRANGE IDENTIDADE DE LAGRANGE
Sobre os Sobre os PRODUTOS PRODUTOS Escalar e Escalar e Vetorial, Vetorial, aprendemos que :aprendemos que : θsen.. vuvxu
=
θcos... vuvu =
Das Relações Das Relações Fundamentais da Fundamentais da Trigonometria, Trigonometria, temos que :temos que :
1cossen 22 =+ θθ
Logo :Logo : ( ) 2222 .v x . vuuvu =+
APLICAÇÕES do PRODUTO APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL VETORIAL
u
v
hNo cálculo da área No cálculo da área de de paralelogramosparalelogramos, , temos :temos :
h.uSP
=Temos também que :Temos também que : θ= sen.vh
θθ
Logo :Logo : θ= sen.v.uSP
Então:Então: vx uSP
=
APLICAÇÕES do PRODUTO APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL VETORIAL
u
v
hNo cálculo da No cálculo da área área de triângulosde triângulos, basta , basta dividir a área do dividir a área do paralelogramo por 2. paralelogramo por 2. Temos então que:Temos então que:
2
|v u|S
2
SS P
×=⇒= ∆∆
θθ
Uma barra homogênea Uma barra homogênea de seção reta uniforme de seção reta uniforme está articulada em A e está articulada em A e é mantida na horizontal é mantida na horizontal pelo fio ideal . A pelo fio ideal . A barra tem peso 100 N e barra tem peso 100 N e o corpo D pesa 250 N. o corpo D pesa 250 N. Qual a tração no fio Qual a tração no fio e as componentes e as componentes vertical e horizontal da vertical e horizontal da reação da articulação A?reação da articulação A?
AB
BC AA
BB
DD
CC
θθ
Dados :Dados :
==
m 6
m 8
AC
AB
AA
BB
DD
CC
θθ
O diagrama abaixo mostra O diagrama abaixo mostra esquematicamente as forças esquematicamente as forças presentes no sistema.presentes no sistema.
BBT
θθMM
4 m4 m
4 m4 m
AAxR
yR
100100250250
1010
θθ88
66
Da Da Trigonometria Trigonometria no triângulo no triângulo retângulo, temos:retângulo, temos:
==
==
5/410
8cos
5/310
6sen
θ
θ
Estabelecendo as Estabelecendo as condições de condições de equilíbrio, temos :equilíbrio, temos :
Estabelecendo as Estabelecendo as condições de condições de equilíbrio, temos :equilíbrio, temos :
===
∑∑∑
0
0
0
A
y
x
M
F
F
BBT
θθMM
4 m4 m
4 m4 m
AA
y R
100100 250250
===
∑∑∑
0
0
0
A
y
x
M
F
F
=+−−=−
=−−+
08.sen.82504100
0cos.
0250100sen.
θθ
θ
Txx
TR
TR
x
y
BBMM
4 m4 m
4 m4 m
AAxR
yR θsen.T
θcos.T
100100 250250xx
Vetor Vetor entrando no entrando no planoplano
Vetor saindo Vetor saindo do planodo plano
x
Resolvendo o Resolvendo o sistema, temos :sistema, temos :
N 500=TN 40=xRN 50=yR
A reação no A reação no ponto A é ponto A é obtida por :obtida por :
22yx RRR +=
N 645040 22 ≅+=R
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