limit fungsi matematika
Post on 03-Apr-2018
271 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
1/13
LIMIT FUNGSI
1 Teorema
1. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flim axaxax +=+ 4.
[ ] )x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax
=
2. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flim axaxax = 5. )x(g
axlim
)x(fax
lim
)x(g
)x(f
axlim
=
dengan 0)x(glimax
3. )x(flim.c)x(f.clim axax = , c = konstanta 6. [ ]
n
ax
n
ax)x(flim)x(flim
=
2 Bentuk Tak Tentu
Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :
1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,
misalnya :63
04
, .
2. Bentuk tak terdefinisi: yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :5
0
3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :00
1, , ,
Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuktertentu.
3 Limit Fungsi Aljabar
Jika diketahui fungsif(x) dan nilaif(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a
f x f a
=
Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x
x x
+ = + = + =3
2 22 3 2 3 9 6 15
2. lim ( )x
x xx
++
++
= = =0
5 70 0
5 0 707
2 2
0
Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi AljabarBentuk Tak Tentu yaitu :( )00 1, ,
dan .
3.1 Bentuk ( )00Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan
penyebutnya, kemudian mencoret faktor yang sama, lalu substitusikan
nilai x = a.
Irvan Dedy, S.Pd Page 1 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
2/13
Catatan :1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh
dibagi dengan (x a)
2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 03. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum
difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.
Contoh :
1. lim lim lim( )( )
( )( )x
x x
x x
x x
x xx
xx
+
+
+
+= = = =
3
5 6
9 3
3 2
3 33
2
3
3 2
3 3
1
6
2
2
2. lim lim( )
( ) ( )x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
+
+
+
+
+
+
+
+= = = =
0
5
4 2
5
4 2 0
5
4 2
0 0 5
0 4 0 2
52
3 2
3 2
2
2
2
2
2
2
3.
( )lim lim lim ( ) ( )( )x
x x
x xx
x x
x
x x
x x x
x x
x x x
+
+
+ +
+ +
+
+ + = =
1
3 5 1
1
3 5 1
1
3 5 1
3 5 1 1
3 5 1
1 3 5
2
2
2
2
2
2
2
2 2
lim lim lim( )
( )( )
( )( )
(
( )x
x x
x x x x
x x
x x x x x
x
x x
+
+ +
+ + +
+ += =
1
5 4
1 3 5 1 1
1 4
1 1 3 5 1 1 1
2
2 2 2 2
( )1 4
1 1 4 4
32 2 2
38
38
+ +
+
= = = ( ) ( )
3.2 Limit Bentuk ( )Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut
dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : limx
ax
= 0 .
Contoh :
1.
2
1
12
6
0012
006
12
6
limlimx8x7x12
x5x2x6lim
2x
8
x
7
2x
5
x
2
x
3x
x8
3x
2x7
3x
3x12
3x
x5
3x
2x2
3x
3x6
x23
23
x
==+
+=
+
+
=
+
++
+
+
2.
02
0
002
000
2limlim
x4xx2
x3x7x6lim
2x
4
x
1
3x
3
2x
7
x
6
x
4x
2x4
4x
3x
4x
4x2
4x
x3
4x
2x7
4x
3x6
x234
23
x
==+
+=
+
+
=
+
+
=+
+
Irvan Dedy, S.Pd Page 2 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
3/13
3. ==+
+=
+
+
=
+
+
=+
+
0
5
000
0055
limlim7x4x2
2x3x5lim
4x
7
2x
4
x
2
4x
2
2x
3
x
4x
7
4x
2x4
4x
3x2
4x
2
4x
2x3
4x
4x5
x23
24
x
Kesimpulan:
Jika f x a x a x an n
n( ) .....= + + +
0 1
1
g x b x b x bm m m( ) .....= + + +
0 1
1
maka: 1. lim( )
( )x
f x
g x
a
b
= 00
untukn = m
2. lim( )
( )x
f x
g x
= 0 untukn < m
3. lim( )
( )x
f x
g x
= atau - untukn > m
4. limx
x x x
x x x
+
+= =2 7
6 2 8
26
13
5 4 3
5 3 2 (kesimpulan (1))
5. limx x x xx x x ++ + =10 8 7
12 5 22 312 0 (kesimpulan (2))
6. limx
x x
x x x
+
+ = 3 6 2
2 7
7 4
6 4 3 (kesimpulan (3))
3.3 Limit Bentuk ( )
Limit ini umumnya memuat bentuk akar:
Cara Penyelesaian :1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !
)x(g)x(f
)x(g)x(f
x)x(g)x(f
)x(g)x(f
xlim)x(g)x(flim
+
+
+
=
2. Bentuknya berubah menjadi ( )3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)
Contoh:
1. =+++
1x4x2x6xlim 22x
=
+++
++++
++++
1x42x2x62x
1x42x2x62x22
x
1x4x2x6xlim
==++++
++++
+++
1x42x2x62x
1x10
x1x42x2x62x
)1x42x()2x62x(
xlimlim
5lim210
11
10
1x42xx2x2
1x10
x===
++
Irvan Dedy, S.Pd Page 3 of 13 SMA Dwiwarna
pangkat tertinggi pembilang 1,pangkat tertinggi penyebut 1,
sebab xx2 =
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
4/13
2. =
+=+
++
++ x32xx2x2
x32xx2x2222
x
22
xx3xxx2limx3xxx2lim
==++
++
+
x32xx2x2
x42x
xx32xx2x2
)x32x)(x2x2(
xlimlim
Secara umum:
=++++
rqxpxcbxaxlim 22x
1)b q
a
2
jika a =p
2) jika a >p
3) - jika a
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
5/13
2. lim limtan
tanx
xx
x
xx
= =
0 01
Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:
b
a
bxsin
axtan
0xbxtan
axsin
0xbxtan
axtan
0xbxtan
ax
0xbx
axtan
0xbxsin
ax
0xbx
axsin
0x
limlimlimlimlimlimlim =======
Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika
f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )x a
f x f a
=
Contoh :
1. ( )lim sin cos sin cosx
x x
+ = + = + =0
2 0 0 0 1 1
2. 21
0201
21cos3
21sin2
21cos
21sin
xcos3xsin2xcosxsin
21x
lim ===+
+
+
Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :
( )00 0, , . .
4.1 Limit Bentuk ( )00
1. 43
x4tan
x3sin
0x
lim =
2.32
32
xsinxsin
x3sin2
0xxsinx3x2sin2
0xxsin.x3
)x2sin21(1
0xxsin.x3x2cos1
0x)1.(.limlimlimlim =====
3.)ax(
)ax(21sin
21
axax
)ax(21sin).ax(
21cos2
axaxasinxsin
ax).ax(cos2limlimlim
+
+=
acos).aa(cos2 21
21 =+=
4.2 Limit BentukLimit bentuk( ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 .Contoh :
)x2
sin(
xsin.2
sin
2x
xcosxsin1
2x
xcosxsin
xcos1
2x
2x
limlim)(lim)xtanx(seclim
===
( ))x
2sin(
)x2
(21sin
221
2x)x2
sin(
)x2
(21sin)x
2(
21cos2
2x
.xcos2limlim
+
+==
( ) 0cos].[cos221
21
2221 ==+=
4.3 Limit Bentuk
( )0.
Limit bentuk( )0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 .Contoh :
( ) =
===
xsinlimlimlimxtan).1x(lim
21
)x1(21sin
)1x(
1x)x21
21sin(
x21sin)1x(
1xx21cos
21)(sin1(
1x21
1x
( )
==
2
211
21
211 sin
Irvan Dedy, S.Pd Page 5 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
6/13
5 Limit Deret Konvergen
Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio
(pembanding) : 1 < r < 1.Teorema :
r1
aS
=
S: jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen
a : U1 : suku pertama
r: rasio, yaitu rU
U= 2
1
Contoh :
1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :
a) 2 11
2
1
4+ + + + ..... b) 3 1 13
19
+ + .....
Jawab : a) S
a
r= = = =
1
2
1
2
12
12 4 b) S
a
r= = = =
1
3
1
3 9
413 43( )
2. Hitung limit berikut :
a) ( )n41
161
41
n...1lim ++++
b) =
n
1i
i
n3.2lim
Jawab : a) ( )lim ...n
arn
+ + + + = = =1 14
116
1
4 11
1
431
4
b) 2....lim3.2lim3132
321
32
r1a
n3
292
32
1i
n
1i
i
n====
+++=
==
3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....
Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + ..... 32
96
9,0
6,0
1,01
6,0
r1a =====
b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +
338
9924
99,0
24,0
01,01
24,0
r1a ====
4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku
bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !
Jawab : S ar= =12 121 ...... (1)U2 + U4 + U6 + ... = 4
ar + ar3 + ar5 + ... = 4
( ) ( )arr
a
r
r
r1 1 12 4 4
+= = ...... (2)
( )
21
r1r12
r1r
r4r8
r44r124412:(2)dan(1)Dari
==
+===++
Irvan Dedy, S.Pd Page 6 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
7/13
Persamaan (1) :ar
a a1 1
12 12 612
= = =
Rasio =12 dan suku pertama = 6
5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya
dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempatsisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar
ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !
Jawab :
6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi
Definisi : Fungsif(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya
jika lim ( ) ( )x a
f x f a
= .
Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsif(x) kontinu di x = a, yaitu :
1. f(a) terdefinisi (ada)
2.lim ( )x a
f x terdefinisi ada
3. lim ( ) ( )x a
f x f a
=
Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu
(tak sinambung) di x =a.
Perhatikan gambar berikut :
Irvan Dedy, S.Pd Page 7 of 13 SMA Dwiwarna
RD C
S Q
52
52
55 P BA
Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2.
Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2.
Rasio luas =50
10012
=
Jumlah semua bujursangkar =a
1 5150
1
1 200 = = cm2
y
f(a)f(x)
xa
f(x) kontinu di x = a,
sebab
1.
y
f(a)
f(x)
xa
f(x) diskontinu di x = a,
sebab tidak ada
2.
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
8/13
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa fungsi 3)(2 += xxxf kontinu dix = 1
Jawab : 1) f( )1 1 1 3 12= + = f(1) terdefinisi
2) ( 13113xxlim)x(flim 221x1x =+=+= lim ( )x f x1 terdefinisi
3) lim ( ) ( )x
f x f
=1
1 Jadi fungsi f x x x( ) = + 2 3 kontinu di x =1.
2. Selidiki apakah fungsi f x xx
( ) = 2 9
3kontinu di x = 3
Jawab : 1) f( )3 3 93 3
0
0
2
= =
(tidak terdefinisi)
Karenaf(3) tak terdefinisi, makaf(x) diskontinu di x = 3
3. Selidiki apakah fungsi
=
=
2untuk,4
2untuk,)( 2
42
x
xxf x
x
kontinu di x = 2
Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)2)
( ) 31111xxlimlimlim)x(flim 221x1x
)1x2x)(1x(
1x1x13x
1x1x=++=++===
++
(terdefinisi)
3) )1()(lim1
fxfx
, berartif(x) diskontinu di x = 1
KETENTUAN
Untuk x
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
9/13
l i m x = 1 l i m x = 1
x 0 sin x x 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 bx x 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 sin bx x 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x 0 tg bx x 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90 - x)ctg x = tg (90 - x)
sin ax = 2 sin ax cos axcos ax = 1- 2 sin ax
cosx = 1 - sinx
HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =x pxn + qxn-1 + ...
untuk m > n ;a/p untuk m =n ;0 untuk m < n
l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f
x
untuk a > d ;b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara
mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x g(x) x a g(x)
Irvan Dedy, S.Pd Page 9 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
10/13
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x 3
2. l i m 3x - 2 = (*) Uraikanx 2x + 1
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = (*) Uraikan
x 10x + 9
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = - 1 - 0 = =x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar denganx 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
Irvan Dedy, S.Pd Page 10 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
11/13
7. l i m (3x - 9x2 + 4x) = - (*) Hilangkan tanda akar
x
l i m (3x - 9x2 + 4x ) = 3x - 9x2 + 4x = (*) Hilangkan tanda
x 3x - 9x2 + 4x akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x 3x + (9x2 + 4x) x 3x + 3x [1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x 3 + 3(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)x 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 22x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin 2x) = 2 sin x = sin x = tg x = 02 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x 0 3x 0
2 sin (x) = sin (x) . sin (x) = 1 . 1 . 1 = 13 . 4 . (x) 6 (x) (x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x 0 x - a 0
2 cos (x+a) sin (x-a) = cos (x+a) . sin (x-a) =x - a (x - a )
cos (x+a) . 1 = cos (a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
Irvan Dedy, S.Pd Page 11 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
12/13
Sifat limit fungsi matematika, kalo kurang lengkap tolong dikomen aja
Limit ln log dan bilangan e
Limit trigonometri sederhana, sin x dan tan x saja yang bisa dipakai
Irvan Dedy, S.Pd Page 12 of 13 SMA Dwiwarna
-
7/28/2019 Limit Fungsi matematika
13/13
Cara menyelesaikan limit sederhana dengan menghilangkan faktor (x-a), dalil LHopital,
dan mengalikan akar sekawan
Irvan Dedy, S.Pd Page 13 of 13 SMA Dwiwarna
top related