lineare algebra prof. dr. e. larek8.6.20091 außerdem bieten determinanten einfache...
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Lineare Algebra
Prof. Dr. E. Larek 8.6.2009 1
Außerdem bieten Determinanten einfache Kontrollmöglichkeiten bestimmter Eigenschaften.
Bei der exakten und übersichtlichen Beschreibung des mathematischen Grundgerüstes können einige wichtige Sachverhalte einfacher mit Determinanten erklärt werden.
Lineare Algebra
1. Determinanten1.1 Berechnungsvorschriften1.2 Rechenregeln für
Determinanten1.3 Anwendungen
Prof. Dr. E. Larek best with Office 2007 8.6.2009 2
DeterminanteEiner Anordnung von Zahlen in einem
quadratischen Schema wird nach einer bestimmten Rechenvorschrift ein Zahlenwert zugeordnet.
Prof. Dr. E. Larek 8.6.2009 3
12352
32342
104396
65264
42132
=> 24
Diese Zahl nennt man Determinante.
Determinante
Die Ordnung n der Determinante wird durch die Anzahl der Reihen (Zeilen oder Spalten) bestimmt.
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12352
32342
104396
65264
42132
1 2 3 4 5 => n = 5
Unterdeterminante
Die Unterdeterminante Uik n-1-ter Ordnung entsteht durch Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte einer Determinante.
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12352
32342
104396
65264
42132
1252
3242
10496
4232
23
U
Adjunkte
Eine Adjunkte Aik ist eine mit dem Faktor (-1)i+k multiplizierte Unterdeterminante Uik n-1-ter Ordnung.
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A Uiki k
ik ( )1
Entwicklungssatz von Laplace
Die Determinante n-ter Ordnung wird bestimmt, indem man für eine bestimmte Reihe (Zeile oder Spalte) die Produkte aus den einzelnen Elementen und den zugehörigen Adjunkten aufsummiert.
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D a A a Urk rkk
nr k
rk rkk
n
1 11( )
Rechenregeln
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Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn eine Zeile (oder Spalte) Linearkombination anderer Zeilen (oder Spalten) ist.
Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn zwei Zeilen (oder Spalten) Übereinstimmen.
Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn eine Zeile (oder Spalte) nur die Elemente O enthält.
RechenregelnEine Determinante wird mit dem
Faktor k multipliziert, indem man alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) mit dem Faktor k multipliziert.
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Eine Determinante ändert das Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen (oder Spalten) miteinander vertauscht.
RechenregelnEine Determinante ändert ihren
Wert nicht, wenn man alle Elemente an der Hauptdiagonalen spiegelt (stürzt oder transponiert).
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Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man sie rändert.
RechenregelnEine Determinante ändert ihren
Wert nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) eine mit einem Faktor k multiplizierte andere Zeile (oder Spalte) entsprechend addiert.
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RechenregelnSind alle Elemente aik oberhalb (oder
unterhalb) der Hauptdiagonalen einer Determinante null, so berechnet sich der Wert der Determinante aus dem Produkt aller Elemente der Hauptdiagonalen aii .
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HauptminorenDie Unterdeterminanten
, , , ... ,
werden Hauptabschnittsdeterminanten (oder auch Hauptminoren) der Determinante A genannt.
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11a2221
1211
aa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
nnn
n
aa
aa
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