logica e problemi di logica · logica una proposizione è legge logica, se e solo se: nella sua...

LOGICAE

PROBLEMI DI LOGICA

Un’inferenza è

una successione di n proposizionitale che

se le prime n – 1 proposizioni fossero vere,allora la n-ma proposizione sarebbe vera.

queste prime n – 1 proposizioni sono dette

la n-ma proposizione è detta

PREMESSE

CONCLUSIONE

Schema di inferenza

Successione dischemi di proposizione

che garantiscela validità dell’inferenza

Schema di inferenza

ELENCO DELLE PREMESSE

CONCLUSIONE

Schemi sillogistici. Esempi:

Ogni N è POgni M è N

Ogni M è P

Nessun N è PQualche N è M

Qualche M non è P

Gli Stoici scopronoaltri

schemi di inferenzavalidi

Se piove, allora la strada è bagnata

Piove

La strada è bagnata

Se piove, allora la strada è bagnata

La strada non è bagnata

Non piove

Il Modus Ponens

Se p, allora q

p

q

Il Modus Tollens

Se p, allora q

non q

non p

MA NON

Se p, allora q

non p

non q

ERRORE !!!

Infatti …

Se piove, allora la strada è bagnata

Non piove

La strada non è bagnataE R R O R E !!!

Magari è bagnata, perché è stata lavata

I Modi stoici e la relativa fallacia sono al centro del

Wason selection task(o four-card problem)

il rompicapo logico inventato da Peter Cathcart Wason nel 1966

Wason selection task

«Le carte che hanno un numero pari su una faccia hanno l’altra faccia rossa»

Per controllare la verità della frase quali carte si devono girare?

Wason selection task

«Le carte che hanno un numero pari su una faccia hanno l’altra faccia rossa»

L’otto e la carta marrone

Wason selection task

Le carte che hanno un numero pari su una faccia hanno l’altra faccia rossa

Se la carta x ha un numero pari su una faccia, allora x ha l’altra faccia rossa

E dunque:

Se la carta x non ha una faccia rossa, allora x non ha un numero pari sull’altra

La logica studiala validità delle inferenze

rese possibili dal significato di alcune parole non legate a uno specifico campo semantico, ma di impiego generale (dette costanti logiche):

p.es. “ogni”, “il”, “oppure”, “non”.

tra queste parole:

Le parole che servono per generare proposizioni da altre proposizioni: iCONNETTIVI

P.es: “non”, “se …, allora …”, “e”(nella grammatica o avverbi o congiunzioni)

studiati dalla

LOGICA PROPOSIZIONALE

tra queste parole:

Parole che accompagnano nomi, aggettivi e verbi dentro la proposizione specificandola quantitativamente: iQUANTIFICATORI

P.es: “ogni”, “qualche”, “nessuno”(nella grammatica aggettivi o pronomi indefiniti)

studiati dalla

LOGICA DEI PREDICATI

I connettivi studiati dalla logica proposizionale

somigliano per significato a certi avverbi e congiunzioni del linguaggio ordinario, ma con una differenza importante: sono tutti

VEROFUNZIONALI

Connettivi verofunzionali

Sono connettivi che per il loro significato generano una proposizione il cui valore di verità dipende solo dal valore di veritàdelle proposizioni cui si applicano …

… ma non dal senso delle proposizioni cui si applicano.

p.es.

La congiunzione “e” del linguaggio ordinario è già verofunzionale nel suo uso comune

“e”, connettivo verofunzionale

Il “Copernico” è un liceo e ha più di mille studenti

VERO perché entrambi i congiunti sono veri

Il “Copernico” è un liceo e il numero 5 è maggiore di 3

VERO perché entrambi i congiunti sono veri

Il “Copernico” è un liceo e il numero 5 è minore di 3

FALSO perché uno dei congiunti è falso

ma non è verofunzionale …p.es.

“poiché”, nel significato ordinario:

Infatti NON BASTA NEPPURE che i due congiunti siano veri per rendere vero il composto

Il numero 18 è pari, poiché è divisibile per due

Il numero 18 è pari, poiché ha un successore

I connettivi basilari• , “non”: proposizione generata vera s.se

quella cui si applica è falsa.• , “e”: proposizione generata vera s.se

le due cui si applica sono vere.• , “o”: proposizione generata vera s.se

almeno una delle due cui si applica è vera.• , “implica”, “se …, allora”: proposizione generata

falsa s.se l’antecedente è vero e falso ilconseguente.

• , “equivale”, “se e solo se”: proposizione generatavera s.se le due cui si applica hanno lostesso valore di verità

Il significato di un connettivo verofunzionale

è definito interamente dalla sua tavola di veritàp p

V F V

F V F

Negazione:

Congiunzione:

p q p q

V V V V V

V F V F F

F V F F V

F F F F F

Disgiunzione:

p q p q

V V V V V

V F V V F

F V F V V

F F F F F

Implicazione:

p q p q

V V V V V

V F V F F

F V F V V

F F F V F

Equivalenza:

p q p q

V V V V V

V F V F F

F V F F V

F F F V F

Gli alberi di BethUn albero di Beth è un diagramma formato da• una sequenza ramificata di proposizioni, in cui• la radice è rappresentata da una certa proposizione,• ad ogni proposizione seguono le sue conseguenze

logiche,• proposizioni di significato disgiuntivo danno luogo a

una ramificazione che conduce ai due disgiunti,• un ramo si chiude quando compare la negazione di una

proposizione precedente nella sequenza.

Un esempio

Regole di costruzione

congiunzionep q

|p, q

(p q)/ \

p q

disgiunzionep q/ \

p q

(p q)|

p, q

implicazionep q/ \

p q

(p q)|

p, q

negazione p

|p

Leggi logiche proposizionali

sono proposizioni sempre vere in virtù del significato logico dei connettivi

alcune delle più notevoli

• Modus Tollens: ((pq) q) (p)• Terzo escluso: p (p) • Doppia negazione: ( (p)) p• Leggi di De Morgan: ( (p q)) ((p) (q))

( (p q)) ((p) (q))

Metodi di controllo logico

Metodi per controllare:• se una certa proposizione è una legge logica;• se una certa inferenza è logicamente valida.

Due fondamentali:• il metodo della tavola di verità;• il metodo dell’albero di Beth.

Individuazione di una legge logica

Una proposizione è legge logica, se e solo se:

Nella sua tavola di verità la colonna del connettivo principale contiene solo valori VERO

Tutti i rami dell’albero di Beth che ha la propria radice nella negazione della proposizione sono CHIUSI

Controllo della validità logica di un’inferenza

L’implicazione

(p1 … pn) q

è legge logica

l’inferenza dalle premesse p1 … pnalla conclusione q è logicamente valida, se e solo se:

Che si usi la tavola di verità o l’albero di Beth

Un esempio

p q ( (p q) (( p) ( q)V V F V V V V F V F F VV F V V F F V F V V V FF V V F F V V V F V F VF F V F F F V V F V V F

La seconda legge di De Morgan controllata attraverso la tavola di verità

Un altro esempioIl modus Tollens controllato con l’albero di Beth

I quantificatori fondamentali

• , il quantificatore universale: “per ogni”• , il quantificatore esistenziale: “c’è almeno un”

Si impiegano associati a variabili per contare gli individui che godono del predicato:

x P Per ogni x, P di x Tutti gli individui sono P

x Qx C’è un x, Q di x Qualche individuo è Q

L’idea del quantificatore

È dovuta al matematico tedesco Gottlob Frege (1848-1925)

I simboli usati per i quantificatori

all’americano Charles Sanders Peirce (1839-1914)

e all’italiano Giuseppe Peano (1858-1932)

Sono introdotti formalmente

• con gli schemi di inferenza:

x PxPa

Pax Px

Sono introdotti formalmente

e/o con gli assiomi:• (x Px) Pa• Pa (x Px)

Interdefinibilità per mezzo della negazione

x Px x (Px)x Qx x (Qx)

Quantificatori annidati • Cambiando l’ordine dei quantificatori cambia il senso

dell’enunciato:

• P.es:

y x y > xx y y > x

Quantificatori annidati

Quantificatori annidati

Quantificatori annidati

x y y > x Per ogni numero c’è unnumero maggiore

y x y > x C’è un numero che èmaggiore di ogni numero

Quantificatori annidati La disposizione dei quantificatori nella definizione di limite di Cauchy

lim f(x) = lx a

x ( >0 >0 a– < x < a+ ) (l– < f(x) < l+ )

Per ogni esiste un tale che per ogni x, se e sono positivi e x è compreso tra a– e a+ , allora f(x) è compreso tra l– e l+ .

Un esempio dai test 2012 (n.31)Simona afferma: “In ogni corso di laurea in Medicina e Chi-rurgia c'è almeno uno studente che ha superato tutti gli esami delprimo anno”. Se tale affermazione è falsa, allora sicuramente …

A) c'è almeno un corso di laurea in Medicina e Chirurgia in cuinessuno studente ha superato tutti gli esami del primo anno.

B) in tutti i corsi di laurea in Medicina e Chirurgia nessunostudente ha superato tutti gli esami del primo anno.

C) in ogni corso di laurea in Medicina e Chirurgia c'è almeno unostudente che non ha superato alcun esame del primo anno.

D) c'è almeno un corso di laurea in Medicina e Chirurgia in cui c'èalmeno uno studente che non ha superato alcun esame del primoanno.

E) c'è almeno un corso di laurea in Medicina e Chirurgia in cui almeno uno studente ha superato tutti gli esami del primo anno.

Un esempio dai test 2012 (n.31)

x y z Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo - anno

(x y z Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo------------------- anno)x (y z Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo ----------------- anno)x y (z Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo -- anno)x y z (Nel corso x lo studente y ha superato l’esame z del primo ----------------- anno)

La frase di Simona:

La sua negazione e proposizioni equivalenti:

I problemi relativi alle cause

Sono spesso analizzabili in termini di implicazione quantificata.

Si consideri l’esempio seguente, Test 2013 n.3:

Un esempio• Di solito Laura pota le rose nel mese di novembre, ma lo scorso

anno ha dimenticato di farlo. Ha aspettato, invece, che terminasse il gelo invernale per poi potarle nel mese di marzo. Quest’estate Laura ha avuto la più abbondante fioritura di rose che si fosse mai vista nel suo giardino. Quindi, il gelo fa bene alle rose. Quale delle seguenti risposte costituisce il passaggio logico errato nel brano precedente?

• A) Si presuppone che il gelo abbia causato l’abbondante fioritura di rose.

• B) Si presuppone che non ci siano gelate nel mese di marzo.• C) Si presuppone che le rose debbano essere potate.• D) Si presuppone sulla base di un solo caso che una tarda potatura

faccia bene a tutte le piante in generale.• E) Si presuppone che il mese di novembre e il mese di marzo

siano gli unici mesi in cui si può effettuare la potatura.

Un esempio• Gli estensori del test ritengono che la conclusione

“Il gelo fa bene alle rose” sia tratta scorrettamente dalle premesse “Laura ha aspettato che terminasse il gelo invernale per potare le rose nel mese di marzo” e “Quest’estate Laura ha avuto la più abbondante fioritura di rose che si fosse mai vista nel suo giardino”.

• Tradurre formalmente in termini di implicazione quantificata può aiutarci a comprendere meglio.

Un esempio

• La frase “Il gelo fa bene alle rose” ha un significato causale e la potremmo rendere con: x (x pota le rose dopo il gelo x ha una fioritura abbondante).

• Le due premesse potrebbero essere rese da: 1) Laura pota le rose dopo il gelo; 2) Laura ha una fioritura abbondante.

Un esempio

• Vediamo bene che le leggi della quantificazione non autorizzano a trarre la conclusione: x (x pota le rose dopo il gelo x ha una fioritura abbondante),

• ma solo quella più modesta: x (x pota le rose dopo il gelo x ha una fioritura abbondante).

Traduzione degli schemi di enunciato aristotelici

Approssimativamente:• x (Px Qx) Tutti i P sono Q• x (Px Qx) Nessun P è Q• x (Px Qx) Qualche P è Q• x (Px Qx) Qualche P non è Q

Ma con la precisazione che gli enunciati aristotelici non prevedono termini vuoti, sempre:

x Px

Problemi di sillogisticaTest 2007, n.1: Nessun minerale è animato – qualche esistente è animato – dunque .............................. non è minerale.

S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:

A) qualche esistente; B) ogni animato; C) qualche minerale; D) ogni esistente; E) ogni minerale.

Test 2007, n.2: Tutti i piccioni mangiano le fave – alcuni uccelli non mangiano le fave – dunque ...................... non sono piccioni .

S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:

A) alcuni uccelli; B) le fave; C) alcuni piccioni; D) alcune fave; E) tutti gli uccelli.

Il sillogismo

• ogni enunciato ha una delle quattro forme previste;

• i termini che compaiono sono tre;• uno di essi (termine medio) compare in entrambe

le premesse ed è assente nella conclusione;• degli altri (termini estremi), nella conclusione

funge da soggetto quello comparso nella premessa minore, da predicato quello comparso nella maggiore.

Un sillogismo è un’inferenza costituita da tre enunciati, due premesse (maggiore e minore) e una conclusione, con le seguenti caratteristiche:

Il sillogismo

Gli schemi di sillogismo validi si possono dividere in quattro gruppi (figure), tre dovute ad Aristotele, una individuata nel Medioevo, secondo la disposizione del termine medio nelle premesse.

Le figure del sillogismoPrima figura Seconda figura Terza figura Quarta figura

Il termine medio è soggetto nella premessa maggiore, predicato nella minore.

Il termine medio è predicato in entrambe le premesse.

Il termine medio è soggetto in entrambe le premesse.

Il termine medio è predicato nella premessa maggiore, soggetto nella minore.

M PS MS P

P MS MS P

M PM SS P

P MM SS P

Le figure del sillogismoPrima figura Seconda figura Terza figura Quarta figura

Barbara Celarent Darii Ferio (Barbari) (Celaront)

Cesare Camestres Festino Baroco (Cesaro) (Camestros)

Darapti Disamis Datisi Felapton Ferison Bocardo

Bramantip Camenes Dimaris Fesapo Fresison (Calemos)

Le vocali indicano il tipo di enunciato: A, universale affermativo; E, universale negativo; I, particolare affermativo; O, particolare negativo. I nomi tra parentesi indicano gli schemi ottenibili banalmente da altri della medesima figura per riduzione della quantità della conclusione: se Amn è vero, allora anche Imn è vero; se Emn è vero, allora anche Omn è vero.

L’esecuzione grafica del sillogismo

• Per rappresentare graficamente i termini, glienunciati e la loro concatenazione nel sillogismo,si può impiegare il metodo dovuto al matematicosvizzero Leonhard Euler (Eulero) e perfezionatopoi da altri, tra cui l’inglese John Venn. La rappre-sentazione deve convogliare tutta e solo l’informa-zione contenuta nel termine e nell’enunciato,senza nulla aggiungervi, affinché la rappresenta-zione possa consentire l’esecuzione del sillogismocon mezzi grafici.

L’esecuzione grafica del sillogismoSi stabiliscono perciò le seguenti convenzioni interpretative:• Ogni termine di ciascun enunciato formante il sillogismo è

rappresentato da un ovale.• All’interno di un ovale, o dell’area chiusa da uno o più ovali,

non ci può essere più di un punto.• Un punto all’interno dell’area chiusa da uno o più ovali

indica che il sottoinsieme rappresentato da quell’area chiusa non è vuoto, senza nulla precisare circa il numero degli elementi contenuti.

• Un punto sul confine tra due o più aree chiuse indica che il sottoinsieme rappresentato da una di tali aree non è vuoto.

• L’area chiusa da uno o più ovali che non contenga alcun punto indica che il sottoinsieme rappresentato da quell’area chiusa può essere tanto vuoto quanto non vuoto.

L’esecuzione grafica del sillogismo

Dato il senso attribuito a ciascuna forma di enunciato e le convenzioni interpretative, le quattro forme risultano rappresentabili nella maniera seguente:

L’esecuzione grafica del sillogismo• Dopo aver rappresentato l’enunciato che funge da premessa

maggiore, si rappresenta nel medesimo diagramma quello che funge da minore, aggiungendo all’ovale del termine medio e al punto di questo l’ovale del nuovo termine estremo ed eventualmente un nuovo punto.

• Si aggiunge un nuovo punto solo se non se ne trova uno già tracciato nell’area chiusa che lo dovrebbe ospitare.

• Per quanto riguarda il rapporto spaziale tra il nuovo estremo e quello già rappresentato, si fa in modo che il nuovo ovale intersechi l’ovale dell’estremo già rappresentato e tocchi col confine il punto di questo, se l’area chiusa dove deve essere tracciato il nuovo ovale lo consente.

• A questo punto la conclusione del sillogismo può essere letta nel diagramma costruito, ricavandola dal rapporto spaziale tra i due termini estremi.

Esempio: Celarent

EMP

ASM

ESP

Esempio: Celarent

Esempio: Celarent

Esempio: Celarent

Esempio: Celarent

I problemi di identificazione (Zebra puzzles)

• Un certo numero di elementi• Diversi nelle proprietà• Proprietà suddivise per campi• Si devono identificare gli elementi

elencandone le proprietà

Un esempio

• Il copilota, figlio unico, guadagna meno di tutti.• Carlo, marito della sorella di Bruno, guadagna più

del pilota.

Qual è l’identità di ciascuno?

Alberto, Bruno e Carlo formano un equipaggio di volo svolgendo le funzioni uno di pilota, uno di copilota e uno di ingegnere.

Il metodo delle griglie multiple

Alberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota

Copilota

Ingegnere

Massimo

Medio

Minimo

Una griglia per ogni combinazione di campi

Qui:campo nome, campo ruolo, campo stipendio

Le regole del metodo

• Riportare le informazioni circa identità e distinzione tracciando segni opposti (p.es. + e -).

• Quando una riga (o colonna) contiene un segno +, inserire segni – in tutte le altre caselle della riga (o colonna).

• Quando una riga (o colonna) contiene una sola casella vuota e poi solo segni –, segnare un + nella casella che è vuota.

• Se tutte le righe eccetto una hanno il loro + e tutte le colonne eccetto una hanno il loro +, segnare il + mancante nella casella in cui si incrociano la riga incompleta e la colonna incompleta.

Le regole del metodo• Se sappiamo che il segno + della colonna M si trova

nella riga S o nella riga T e che il segno + della colonna N si trova ugualmente nella riga S o nella riga T, segnare un - in tutte le caselle della colonna M fuori della riga S e della riga T, in tutte le caselle della colonna M fuori della riga S e della riga T, in tutte le caselle della riga S fuori della colonna M e della colonna N, e in tutte le caselle della riga T fuori della colonna M e della colonna N.

• Per transitività riportare l’identità risultante da due tabelle anche nella terza tabella.

• Per transitività riportare la distinzione risultante da due tabelle anche nella terza tabella.

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota – –Copilota – +Ingegnere

Massimo

Medio

Minimo –

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota – – –Copilota – – – +Ingegnere –Massimo

Medio

Minimo –

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota – – + –Copilota – – – +Ingegnere + – –Massimo

Medio –Minimo – –

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota – – + –Copilota – – – +Ingegnere + – –Massimo +Medio –Minimo + – –

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota – – + –Copilota – – – +Ingegnere + – –Massimo +Medio + –Minimo + – –

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota – – + –Copilota – – – +Ingegnere + – –Massimo – – +Medio – + –Minimo + – –

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota + – – + –Copilota + – – – +Ingegnere + + – –Massimo – – +Medio – + –Minimo + – –

L’esempioAlberto Bruno Carlo Massimo Medio Minimo

Pilota – + – – + –Copilota + – – – – +Ingegnere – – + + – –Massimo – – +Medio – + –Minimo + – –

Il metodo dell’albero

I problemi di identificazione possono essere affrontati anche con schemi grafici simili agli alberi di Beth:

• si riportano in sequenza i dati e le informazioni che via via se ne possono dedurre;

• si aprono biforcazioni in corrispondenza di ogni dato di forma disgiuntiva;

• si chiudono i rami nei quali emergono contraddizioni.

L’esempio

Il metodo delle tessere

• Alcuni problemi di identificazione sono relativi a elementi caratterizzati da un certo ordine di disposizione spaziale.

• Talvolta è opportuno affrontarli completando la griglia logica per composizione di tessere spaziali nelle quali sono riportati i dati.

Un esempio• Su un tavolo ci sono nove carte rovesciate che

vanno dall’asso al nove, disposte su tre file di tre carte ciascuna. Individuare la loro posizione, sapendo che:

• Il 2 è sopra il 4.• Il 4 è a sinistra del 3.• Il 3 è nella stessa colonna del 9.• Il 5 è più in basso dell’8.• Il 5 si trova tra il 6 e il 9.• L’8 e il 7 stanno in quest’ordine nella stessa fila.• Nessuno dei due occupa la colonna del 5.

Un esempio

Si tratta di completare una griglia spaziale come la seguente:

Un esempioAlcuni dati possono essere incorporati in tessere come le seguenti:

6 5 9

2

4

8 74 3

Un esempioConsiderati gli altri dati, è chiaro che le tessere possono essere composte tra loro solo nel modo seguente:

6 5 9

24 3

8 71

Problemi con mentitori

Una categoria di problemi di logica molto frequentata, presente anche nei test di ammissione, è quella in cui si deve scegliere tra alternative, basandosi su un numero limitato di risposte fornite da interlocutori, dei quali però non si sa se mentano o dicano la verità.

Il problema-paradigmaÈ quello che circola in versioni più o meno simili alla

seguente:

Un esploratore percorre una regione abitata da due popoli indigeni, fisicamente indistinguibili, l’uno formato da persone sempre sincere, l’altro da sistematici mentitori.

Si trova ad un bivio e deve decidere se la strada che porta al villaggio è quella di destra o quella di sinistra.

Può ricevere aiuto solo dall’indigeno che siede presso il bivio e deve prendere la decisione dopo avere ottenuto risposta a una sola domanda.

Quale domanda può servire a risolvere il suo problema?

Il metodo della metadomanda controfattuale

• I problemi con mentitori possono essere spesso risolti con l’uso di metadomande controfattuali, cioè:

• domande relative ad altre domande,• che non vengono effettivamente poste, ma

che potrebbero esserlo.

L’esempio

• Nel nostro esempio la domanda potrebbe essere:• “Se io chiedessi a uno del tuo popolo se la

strada per il villaggio è quella di destra o quella di sinistra, lui che cosa risponderebbe?”

• Notare: è una domanda intorno alla risposta che verrebbe data a una domanda che potrebbe essere posta, ma al momento non lo è.

L’esempio• Nel nostro caso, supponiamo che la risposta

giusta sia: “Quella di destra”. I casi sono due.• Se l’interlocutore è dei sinceri, uno del suo

popolo direbbe correttamente: “Quella di destra”. E lui, riportando a sua volta correttamente la risposta dei suoi, risponderà: “Quella di destra”.

• Se l’interlocutore è dei bugiardi, uno del suo popolo direbbe: “Quella di sinistra”. E lui, mentendo a sua volta circa la risposta dei suoi, risponderà: “Quella di destra”.

L’esempio• NOTARE: La stessa risposta verrà data sia che

l’interlocutore sia sincero o bugiardo.• Dire il vero a proposito di una risposta vera e

mentire a proposito di una menzogna producono lo stesso effetto: una risposta vera.

• RISULTATO: Non importa se l’interlocutore è sincero o mente,

• la sua risposta indicherà comunque la strada giusta !

L’esempio• Il nostro problema potrebbe essere risolto anche

attraverso altre domande, p.es. chiedendo:• “Se io chiedessi a uno dell’altro popolo se la

strada per il villaggio è quella di destra o quella di sinistra, lui che cosa risponderebbe?”

• In questo caso, però, dovremmo avere l’accortezza di prendere la strada opposta a quella indicata.

• Sempre comunque è necessario ricorrere a una metadomanda controfattuale.

The Hardest Logic Puzzle Ever• È il più intricato nella famiglia dei problemi con mentitori. Fu

pubblicato da George Boolos nel 1996 su The Harvard Review ofPhilosophy. Ecco i suoi termini:

• I tre dèi A, B e C si chiamano, non necessariamente in questoordine, True, False e Random.

• True dice sempre la verità, False mente sempre, Random dice ilvero o il falso indifferentemente e a caso.

• Devi determinare l’identità di A, B e C attraverso tre domande cuisia possibile rispondere con un sì o un no; ciascuna domanda deveessere posta a un dio solo e deve essere una domanda di cui i tredèi conoscano la risposta.

• Gli dèi capiscono l’italiano, ma risponderanno nella lingua deglidèi, in cui le parole per sì e no sono ‘da’ e ‘ja’, ma tu non sai qualein particolare significhi sì e quale no.

• Buon divertimento e coraggio !!!• (Ne avrete bisogno)

Problemi epistemici

• In questi problemi ci sono dei personaggi che, a loro volta, devono risolvere un problema di logica, ragionando sui dati a loro disposizione.

• Noi dobbiamo trovare la soluzione del loro pro-blema, ragionando sul fatto che, mentre alcuni di loro non sono riusciti a risolvere il problema, altri, successivamente, ci sono riusciti, precisa-mente sapendo in più solo che i primi non aveva-no modo di trovare la soluzione.

Anche questa una categoria di problemi di logica molto frequentata e presente anche nei test di ammissione:

Il problema-paradigmaÈ quello che circola in versioni del genere seguente:Tre prigionieri saranno liberati solo se potranno essere certi del colore del cappello

che sarà posto sulla loro testa.

Sanno che i tre cappelli verranno prelevati da un cesto che ne contiene tre rossi e due verdi.

Dopo che sono stati bendati, sulla testa di ognuno viene posto un cappello preso dal cesto.

Viene tolta la benda al primo, che, visti i cappelli degli altri due, dichiara di non poter risolvere il problema e viene riportato in cella.

Tolta la benda al secondo, questi guarda il cappello del terzo, dichiara che nemmeno lui può risolvere il problema e viene riportato in cella.

A questo punto il terzo, senza che possa veder niente, è sicuro del colore del suo cappello.

Qual è il colore del cappello del terzo?

Il metodo iterativoQuesti problemi possono essere risolti solo se• Si riesce ad avere un elenco completo delle situazioni che

ciascuno dei personaggi può trovarsi di fronte al principio.• Si individua la situazione in cui il primo sarebbe in grado di

risolvere il problema.• Si modifica l’elenco del secondo, scartando la situazione che

avrebbe consentito al primo di risolvere il problema.• Si individua la situazione in cui il secondo sarebbe in grado di

risolvere il problema.• Si modifica l’elenco del terzo, scartando le situazioni che

avrebbero consentito ai primi due di risolvere il problema.• Si ripete la procedura con gli altri personaggi.• Alla fine l’elenco aggiornato dell’ultimo deve contenere una sola

possibile situazione.

L’esempioNel nostro caso:• Il primo personaggio avrebbe potuto risolvere il

problema solo se avesse visto due cappelli verdi. Ma non ha potuto.

• Il secondo e il terzo dunque hanno due cappelli rossi o uno verde e uno rosso.

• Sapendo del fallimento del primo, perciò, il secondo personaggio avrebbe potuto risolvere il problema se avesse visto un cappello verde. Ma non ha potuto.

• Dunque il terzo ha un cappello rosso.

Per finireNei test sono comparsi anche• problemi di orientamento spaziale,• problemi di genealogia,• problemi di calendario.

È chiaro che in tutti questi casi è assolutamente opportuno aiutare l’intuizione logica con schemi e diagrammi grafici.