m hessiana f convexo
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Matematicas EmpresarialesTema 3: Optimizacion sin restricciones. Convexidad
Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sinrestricciones
Philippe Bechouche
Departamento de Matematica AplicadaUniversidad de Granada
phbe@ugr.es
Doble Grado en Administracion y Direccion de Empresas y DerechoCurso 2012-2013
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 1 / 27
1 Objetivos
2 Conjuntos convexos
3 Funciones convexas y concavas
4 Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
5 ¿Que hemos aprendido hoy?
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 2 / 27
Objetivos
1 Objetivos
2 Conjuntos convexos
3 Funciones convexas y concavas
4 Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
5 ¿Que hemos aprendido hoy?
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 3 / 27
Objetivos
Objetivos de esta leccion
1 Saber reconocer los conjuntos convexos.
2 Determinar cuando una funcion de varias variables es convexa oconcava.
3 Determinar cuando una funcion convexa o concava tiene mınimos omaximos absolutos.
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 4 / 27
Conjuntos convexos
1 Objetivos
2 Conjuntos convexos
3 Funciones convexas y concavas
4 Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
5 ¿Que hemos aprendido hoy?
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 5 / 27
Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Definicion
Un conjunto A de Rn se dice convexo si para todo x , y de A se tiene que
λx + (1− λ)y ∈ A , ∀λ ∈ [0, 1]
Interpretacion: Los puntos λx + (1− λ)y cuando λ recorre el intervalo[0, 1] forman el segmento que une x con y . Por tanto estamos diciendo que
A es convexo si para todo par de puntos de A, el segmento que los uneesta incluido en A
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 6 / 27
Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Definicion
Un conjunto A de Rn se dice convexo si para todo x , y de A se tiene que
λx + (1− λ)y ∈ A , ∀λ ∈ [0, 1]
Interpretacion: Los puntos λx + (1− λ)y cuando λ recorre el intervalo[0, 1] forman el segmento que une x con y . Por tanto estamos diciendo que
A es convexo si para todo par de puntos de A, el segmento que los uneesta incluido en A
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 6 / 27
Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Conjunto convexo Conjunto no convexo
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Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Ejemplo:
En R2 (y tambien en Rn) cualquier producto de intervalos (por ejemplo[2, 3)× (−1, 2]) es convexo.
Ejemplo:
Las bolas abiertas o cerradas son convexas.
Ejemplo:
Los semiplanos abiertos o cerrados son convexos.
Ejemplo:
El conjunto {(x , y) ∈ R2 : 1 ≤ x 2 + y2 ≤ 4} no es convexo.
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Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Ejemplo:
El conjunto {(x , y) : y ≥ x 2} es convexo
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3
4
5
¿ Su interior es convexo?¿Es {(x , y) : y ≤ x 2} convexo?
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Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Ejemplo:
El conjunto {(x , y) : y = x 2} no es convexo
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3
4
5
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Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Propiedad
La interseccion de conjuntos convexos es convexa
Aplicacion: Podemos usar este resultado para garantizar que el conjunto
{x , y) ∈ R2 : x + y < 3, 2x − 5y > 2, x 2 + y2 < 91}
es convexo.
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 11 / 27
Conjuntos convexos
Conjuntos convexos
Propiedad
La interseccion de conjuntos convexos es convexa
Aplicacion: Podemos usar este resultado para garantizar que el conjunto
{x , y) ∈ R2 : x + y < 3, 2x − 5y > 2, x 2 + y2 < 91}
es convexo.
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 11 / 27
Funciones convexas y concavas
1 Objetivos
2 Conjuntos convexos
3 Funciones convexas y concavas
4 Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
5 ¿Que hemos aprendido hoy?
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Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Definicion
Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice convexa si
f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≤ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D
Convexa: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≤ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)
Definicion
Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice concava si
f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≥ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D
Concava: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≥ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)
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Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Definicion
Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice convexa si
f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≤ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D
Convexa: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≤ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)
Definicion
Una funcion f : D ⊂ Rn −→ R siendo D convexo se dice concava si
f (λx 0 + (1− λ)x 1) ≥ λf (x 0) + (1− λ)f (x 1) , ∀x 0, x 1 ∈ D
Concava: f evaluada en el segmento que une x 0 con x 1 es ≥ segmentoque une f (x 0) con f (x 1)
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 13 / 27
Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Ejemplo visual de funcion convexa
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Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Ejemplo visual de funcion concava
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Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Sea una funcion de varias variables f : D ⊂ Rn → R siendo D un abiertoconvexo. Entonces
f es convexa en D ⇐⇒ Hessf (x ) es semidefinida positiva o definidapositiva ∀x ∈ D .
f es concava en D ⇐⇒ Hessf (x ) es semidefinida negativa o definidanegativa ∀x ∈ D .
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Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Ejemplo 1
f : R2 → R, f (x , y) = x 2 + y2 − 2xy
Hf (x , y) =
(2 −2−2 2
)⇒ D1 = 2 > 0
D2 = 0
La matriz Hessiana es semidefinida positiva en todo R2.Por tanto f (x , y) es convexa en todo R2.
-2 0 2
-2
0
2
0
10
20
30
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Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Ejemplo 2
f : R2 → R, f (x , y) = x 4 + y2
Hf (x , y) =
(12x 2 00 2
)⇒ D1 = 12x 2 ≥ 0
D2 = 24x 2 ≥ 0
Si x 6= 0, la matriz es definida positiva en todo R2.Si x = 0, la matriz es semidefinida positiva. (Comprobarlo).Por tanto, la funcion es convexa en todo R2.
-2-1
01
2
-2-1
0 1 2
0
5
10
15
20
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Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Ejemplo 3
f : R2 → R, f (x , y) = x 4 + y2 − 4xy
Hf (x , y) =
(12x 2 −4−4 2
)⇒ D1 = 12x 2 ≥ 0
D2 = 24x 2 − 16
El signo de D2 depende de x . Luego la matriz no es semidefinida positivani negativa en todo R2. Por tanto, la funcion no es ni convexa ni concavaen todo R2. Puede ser convexa o concava en algunos subconjuntos de R2.
-2-1
01
2
-2-1
0 1 2
0
5
10
15
20
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 19 / 27
Funciones convexas y concavas
Funciones de varias variables convexas y concavas
Ejemplo 4
f : (0,∞)× (0,∞)→ R, f (x , y) = ln(x ) + ln(y)
Hf (x , y) =
(− 1
x2 00 − 1
y2
)⇒
D1 = − 1x2 < 0
D2 =1
x2y2 > 0
Luego la matriz es definida negativa en todo el dominio (0,∞)× (0,∞).Por tanto, la funcion es concava en todo el dominio (0,∞)× (0,∞).
0
1
2
3
0
1
2
3
-4
-2
0
2
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 20 / 27
Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
1 Objetivos
2 Conjuntos convexos
3 Funciones convexas y concavas
4 Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
5 ¿Que hemos aprendido hoy?
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 21 / 27
Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
Mınimos absolutos de funciones convexas
Mınimos absolutos de funciones convexas
Sea D un conjunto abierto y convexo y f una funcion convexaf : D ⊂ Rn → R definida en D .Entonces se verifica alguna de las tres posibilidades siguientes:
f no tiene puntos crıticos ⇒ f no tiene extremos en D .
f tiene un unico punto crıtico en D ⇒ f tiene un unico mınimoabsoluto en ese punto crıtico.
f tiene infinitos puntos crıticos en D ⇒ todos ellos son mınimosabsolutos de f .
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Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
Maximos absolutos de funciones concavas
Maximos absolutos de funciones concavas
Sea D un conjunto abierto y convexo y f una funcion concavaf : D ⊂ Rn → R definida en D .Entonces se verifica alguna de las tres posibilidades siguientes:
f no tiene puntos crıticos ⇒ f no tiene extremos en D .
f tiene un unico punto crıtico en D ⇒ f tiene un unico maximoabsoluto en ese punto crıtico.
f tiene infinitos puntos crıticos en D ⇒ todos ellos son maximosabsolutos de f .
Philippe Bechouche Leccion 3.2: Extremos absolutos en programas sin restricciones 23 / 27
Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
Mınimos absolutos de funciones convexas
Ejemplo 1
f : R2 → R, f (x , y) = x 4 + x 2 + y2 + 2xy
Hf (x , y) =
(12x 2 + 2 2
2 2
)⇒ D1 = 12x 2 + 2 > 0
D2 = 24x 2 ≥ 0
La matriz Hessiana es definida o semidefinida positiva en R2, luego lafuncion es convexa en R2.Busquemos los puntos crıticos:
∂f
∂x(x , y) = 4x 3 + 2x + 2y = 0,
∂f
∂y(x , y) = 2y + 2x = 0
La unica solucion del sistema es x = 0, y = 0. Por lo tanto, esta funciontiene un unico punto crıtico en (0, 0).La funcion es convexa, por tanto (0, 0) es un mınimo absoluto de lafuncion f .
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Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
Maximos absolutos de funciones concavas
Ejemplo 2
f : (0,∞)× (0,∞)→ R, f (x , y) = ln(x ) + ln(y)
Hf (x , y) =
(− 1
x2 00 − 1
y2
)⇒
D1 = − 1x2 < 0
D2 =1
x2y2 > 0
La matriz Hessiana es definida negativa en (0,∞)× (0,∞), luego lafuncion es concava en (0,∞)× (0,∞).Busquemos los puntos crıticos:
∂f
∂x(x , y) =
1
x= 0,
∂f
∂y(x , y) =
1
y= 0
Este sistema no tiene solucion. Por lo tanto, esta funcion no tiene ningunpunto crıtico.La funcion es concava, por tanto no tiene ningun extremo absoluto.
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¿Que hemos aprendido hoy?
1 Objetivos
2 Conjuntos convexos
3 Funciones convexas y concavas
4 Extremos absolutos de funciones convexas y concavas
5 ¿Que hemos aprendido hoy?
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¿Que hemos aprendido hoy?
Resumiendo
Hemos aprendido lo que es un conjunto convexo.
Hemos aprendido que la concavidad o convexidad de una funcionviene determinada por la matriz hessiana:
definida o semidefinida positiva ⇔ convexa.definida o semidefinida negativa ⇔ concava.
Hemos aprendido que las funciones convexas y concavas solo tienenningun, uno o infinitos puntos crıticos.
Hemos aprendido que:
funcion convexa (concava)+
dominio convexo
⇒ los mınimos (maximos) relativosson de hecho absolutos.
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