*m07140211m* tavaszi idŐszak višja raven emelt szint

Izpitna pola 11. feladatlap

*M07140211M*

Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki:Kandidat prinese s seboj nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirko, računalo brez grafičnega zaslona in brez možnosti

računanja s simboli, šestilo in dva trikotnika, lahko tudi ravnilo.Kandidat dobi dva ocenjevalna obrazca in dva konceptna lista.

Engedélyezett segédeszközök: a jelölt töltőtollat vagy golyóstollat, ceruzát, radírt, csak műveleteket végző zsebszámológépet,körzőt és 2 háromszögvonalzót vagy vonalzót hoz magával.

A jelöt két értékelőlapot és két vázlatlapot is kap.

MATEMATIKA

SPOMLADANSKI ROKTAVASZI IDŐSZAK

Sobota, 2. junij 2007 / 90 minut2007. június 2., szombat / 90 perc

Višja ravenEmelt szint

Ta pola ima 20 strani, od tega 4 prazne.A feladatlap terjedelme 20 oldal, ebből 4 üres.

Državni izpitni center

Š i f r a k a n d i d a t a :A j e l ö l t k ó d s z á m a :

Navodila kandidatu so na naslednji strani.A jelöltnek szóló útmutató a következő oldalon olvasható.

ÁLTALÁNOS ÉRETTSÉGI VIZSGASPLOŠNA MATURA

© RIC 2007

2 M071-402-1-1M

NAVODILA KANDIDATU

Pazljivo preberite ta navodila. Ne izpu{~ajte ni~esar!

Ne obra~ajte strani in ne za~enjajte re{evati nalog, dokler Vam nadzorni u~itelj tega ne dovoli.

Prilepite kodo oziroma vpi{ite svojo {ifro (v okvir~ek desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalna obrazca).

V tej izpitni poli je 12 nalog, re{ujete vse, in sicer na strani, kjer je besedilo naloge. Ocenjevalci ne bodo pregledovali konceptnih listov.

Pi{ite z nalivnim peresom ali s kemi~nim svin~nikom. ^e se zmotite, napisano pre~rtajte. Grafe funkcij ri{ite s svin~nikom. Pazite, da bo Va{ izdelek pregleden in ~itljiv. Pri re{evanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vmesnimi ra~uni in sklepi.

Na strani 3 in 4 je standardna zbirka zahtevnej{ih formul, ki jih ni treba znati na pamet. Morda si boste s katero med njimi pomagali.

Re{itev v izpitni poli ni dovoljeno zapisovati z navadnim svin~nikom. ^e ste nalogo re{evali na ve~ na~inov, nedvoumno ozna~ite, katero re{itev naj ocenjevalec to~kuje.

Vsako nalogo skrbno preberite. Re{ujte premi{ljeno. Zaupajte vase in v svoje sposobnosti.

[tevilo to~k, ki jih lahko dose`ete je 80.

@elimo vam veliko uspeha.

ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK Figyelmesen olvassa el ezt az útmutatót! Semmit se hagyjon ki! Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg ezt a felügyelő tanár nem engedélyezi! Ragassza vagy írja be kódszámát (a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe és az értékelőlapokra)! Ez a feladatlap 12 feladatot tartalmaz. Mindegyiket oldja meg, éspedig azon az oldalon, ahol a feladat található! Az értékelők a vázlatlapokat nem nézik át! Töltőtollal vagy golyóstollal írjon! A rossz válaszait húzza át! A függvénygrafikonokat ceruzával rajzolja be! Ügyeljen arra, hogy munkája áttekinthető és olvasható legyen! A feladat megoldásának világosan és korrekten kell mutatnia az eredményhez vezető utat, a köztes számításokkal és következtetésekkel együtt! A 3. és 4. oldalon található azoknak a képleteknek a standard gyűjteménye, amelyeket nem kell fejből tudnia, de egy részük talán segítségére lesz a feladatok megoldásában. A feladatlapra nem szabad ceruzával írni a megoldásokat!. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egyértelműen jelölje, melyik megoldást értékeljék! Figyelmesen olvassa el mindegyik feladatot, majd megfontoltan oldja meg őket! Bízzon önmagában és képességeiben! Összesen 80 pont érhető el. Eredményes munkát kívánunk!

M071-402-1-1M 3

Formule

( )( )2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2....n n n n n n na b a b a a b a b a b ab b+ + − − − −+ = + − + − + − + n •

• Evklidov in višinski izrek v pravokotnem trikotniku: , , 21

a ca= 21

b cb= 21 1cv a b=

2a b cs + +=4

abcRS

= Sr s=, , • Polmera trikotniku očrtanega in včrtanega kroga:

• Kotne funkcije polovičnih kotov: 1 cossin 2 2

x x−= ± 1 coscos 2 2xx += ± sintan 2 1 cos

x xx= +; ;

• Kotne funkcije trojnih kotov: , cos 3sin 3 3 sin 4 sinx x x= − 33 4 cos 3 cosx x x= −

• Adicijski izrek:

( )

( )

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

x y x y x y

x y x y x y

+ = +

+ = −

( ) tan tantan

1 tan tanx y

x yx y

++ =−

• Faktorizacija: sin sin 2 sin cos2 2

x y x yx y + −+ = sin sin 2 cos sin2 2x y x yx y + −− =,

cos cos 2 cos cos2 2x y x yx y + −+ = cos cos 2 sin sin2 2

x y x yx y + −− = −,

( )sintan tan

cos cosx y

x yx y

±± =

( )sincot cot

sin siny x

x yx y±

± =,

• Razčlenitev produkta kotnih funkcij: ( ) ( )[ ]1sin sin cos cos2x y x y x y=− + − −

( ) ( )[ ]1cos cos cos cos2x y x y x y= + + −

( ) ( )[ ]1sin cos sin sin2x y x y x y= + + −

• Razdalja točke od premice : (0 0 0,T x y ) 0ax by c+ − =

( ) 0 00 2 2,

ax by cd T p

a b

+ −=

+

• Ploščina trikotnika z oglišči , , : ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y

( )( ) ( )( )2 1 3 1 3 1 2 112S x x y y x x y y= − − − − −

2 2 2, ; ee a b aaε= − = >• Elipsa: b 2 2 2, ee a b aε= + = , a je realna polos • Hiperbola:

, 02p

G⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

• Parabola: , gorišče 2 2y p= x

• Integrala:

2 2d 1 arc tanx x C

a ax a= +

+∫ 2 2

d arc sinx x Caa x

= +−

∫,

4 M071-402-1-1M

Képletek

( )( )2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2....n n n n n n na b a b a a b a b a b ab b+ + − − − −+ = + − + − + − + n•

• A derékszögű háromszög magasságtétele és befogótétele: , , 21a ca= 2

1b cb= 2

1 1cv a b=

2a b cs + +=4

abcR S= Sr s=• A háromszög köré írt kör és a háromszögbe írt kör sugara: , ,

• A félszögek szögfüggvényei:

1 cossin 2 2x x−= ± 1 coscos 2 2

xx += ± sintg 2 1 cosx x

x= + ; ;

• A szög háromszorosának szögfüggvényei: , 3sin 3 3 sin 4 sinx x x= − 3cos 3 4 cos 3 cosx x x= −

• Addíciós tételek: ( )

( )

( )

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tg tgtg

1 tg tg

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

+ = +

+ = −

++ =

−

• Tényezőkre bontás:

sin sin 2 sin cos2 2x y x yx y + −+ = sin sin 2 cos sin2 2

x y x yx y + −− =,

cos cos 2 cos cos2 2x y x yx y + −+ = cos cos 2 sin sin2 2

x y x yx y + −− = −,

( )sintg tg cos cos

x yx y x y

±± =

( )sinctg ctg sin sin

y xx y x y

±± =,

• A szögfüggvények szorzatának felbontása:

( ) ( )[ ]1sin sin cos cos2x y x y x y=− + − − ;

( ) ( )[ ]1cos cos cos cos2x y x y x y= + + − ;

( ) ( )[ ]1sin cos sin sin2x y x y x y= + + −

• A pont távolsága az egyenestől: (0 0 0,T x y ) 0ax by c+ − =

( ) 0 00 2 2,

ax by cd T p

a b

+ −=

+

• Az , , csúcsú háromszög területe: ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( 3 3,C x y )( )( ) ( )( )2 1 3 1 3 1 2 1

12S x x y y x x y y= − − − − −

2 2 2 , ; ee a b aaε= − = > b• Ellipszis:

2 2 2, ee a b aε= + =• Hiperbola: , az a valós féltengely

, 02p

G⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

• Parabola: , fókuszpont 2 2y p= x

• Integrálok:

2 2d 1 arctgx x Ca ax a

= ++∫ 2 2

d arc sinx x Caa x

= +−

∫,

M071-402-1-1M 5

01. Ali je število 12 deljivo z naslednjimi števili? Obkrožite DA ali NE. 345678900

Osztható-e az 12 szám a lenti számokkal? Karikázza be az IGEN vagy NEM szót! 345678900

(5 točk pont)

DA NE Število je deljivo z 1 . A szám osztható 1 -gyel. IGEN NEM

DA NE Število je deljivo z 2 . A szám osztható 2 -vel. IGEN NEM

DA NE Število je deljivo s . 3A szám osztható -mal. IGEN NEM 3

DA NE Število je deljivo s . 4A szám osztható -gyel. IGEN NEM 4

DA NE Število je deljivo s . 5A szám osztható 5 -tel. IGEN NEM

DA NE Število je deljivo s . 6A szám osztható 6 -tal. IGEN NEM

DA NE Število je deljivo z 9 . A szám osztható 9 -cel. IGEN NEM

DA NE Število je deljivo z 10 . A szám osztható 10 -zel. IGEN NEM

DA NE Število je deljivo s . 25A szám osztható 25 -tel. IGEN NEM

DA NE Število je deljivo s 10 . 0A szám osztható 10 -zal. IGEN NEM 0

6 M071-402-1-1M

02. Narišite premici z enačbama in ter izračunajte ploščino trikotnika, ki ga premici oklepata z ordinatno osjo.

3y =− 2y x= − + 3

3Ábrázolja az és egyenletű egyeneseket, és számítsa ki azon háromszög területét, amelyet a két egyenes és az ordinátatengely határol be!

3y =− 2y x= − +

(6 točk/pont)

x

y

1

1

0

M071-402-1-1M 7

03. Dani sta kompleksni števili in . Izračunajte , , 1 3 4iz = + 2 1 iz = − 1 2z z+ 21z 1 2z z⋅ in . 1z

Adott két komplex szám: és . Számítsa ki: , , 1 3 4iz = + 2 1 iz = − 1 2z z+ 21z 1 2z z⋅ és ! 1z

(8 točk/pont)

8 M071-402-1-1M

04. Izračunajte najmanjšo višino v trikotniku s stranicami , in . 6,5 cma = 7, 5 cmc =7 cmb =

Számítsa ki az , és oldalú háromszögben levő legkisebb magasságot!

6,5 cma = 7, 5 cmc =7 cmb =

(6 točk/pont)

M071-402-1-1M 9

3 1 1322 3 2x x+ +− ⋅ =05. Rešite enačbo .

3 1 1322 3 2x x+ +− ⋅ =Oldja meg a egyenletet!

(5 točk/pont)

10 M071-402-1-1M

06. Iz števk 1 sestavljamo trimestna števila z različnimi števkami. ,2, 3, 4, 7, 9

Állítson össze az 1 számjegyekből különböző háromjegyű számokat! ,2, 3, 4, 7, 9

a) Koliko števil lahko sestavimo? Hány számot tudunk összeállítani?

b) Koliko lihih števil lahko sestavimo? Hány páratlan számot tudunk összeállítani?

c) Koliko števil, večjih od in manjših od 500 , lahko sestavimo? 300Hány olyan számot tudunk összeállítani, amelyek nagyobbak -nál és kisebbek -nál? 300 500

(6 točk/pont)

M071-402-1-1M 11

07. Točke ( )0, 0A , , so oglišča trikotnika. Narišite točke v koordinatni sistem. Izračunajte dolžino stranice

( )7, 0B (3, 3C )

a BC= , velikost kota in skalarni produkt . Dolžino stranice in skalarni produkt izračunajte natančno, kot pa zaokrožite na minute.

AB AC⋅ABCβ =

Az ( )0, 0A , és pontok egy háromszög csúcsai. Rajzolja meg a pontokat a koordinátarendszerben. Számítsa ki az

( )7, 0B (3, 3C )a BC= oldal hosszát, a szög nagyságát,

és az AB skaláris szorzatot! Az oldal hosszát és a skaláris szorzatot számítsa ki pontosan, a szöget pedig kerekítse percekre!

ABCβ =

AC⋅

(7 točk/pont)

x

y

1

1

0

12 M071-402-1-1M

4yx

=08. Krivulja z enačbo ima dve tangenti z naklonskim kotom 13 . Zapišite enačbi teh

tangent.

5°

4yx

=Az egyenletű görbének két 13 hajlásszögű érintője van. Írja fel mindkét érintő

egyenletét!

5°

(8 točk/pont)

M071-402-1-1M 13

09. Izračunajte abscisi presečišč grafov funkcij in ter ploščino lika, ki ga grafa omejujeta.

( ) 22f x x x= + ( ) 2 1g x x x= + +

Számítsa ki az és függvénygrafikon metszéspontjainak az abszcisszáit, és azon síkidom területét, amelyet a két grafikon határol be!

( ) 22f x x x= + ( ) 2 1g x x x= + +

(8 točk/pont)

14 M071-402-1-1M

( ) 3sin cossin2x x

x

π2 − −

10. Naj bo sin . Poenostavite izraz in ga zapišite kot enočlenik. 2 0x ≠

( ) 3sin cossin 2x x

x

π2 − −

Legyen . Egyszerűsítse a sin 2 0x ≠ kifejezést, és írja fel ezt egytagú

kifejezésként!

(6 točk/pont)

M071-402-1-1M 15

11. Izračunajte prvi člen in količnik naraščajočega geometrijskega zaporedja, če je in . Zapišite prve štiri člene tega geometrijskega zaporedja.

2 3 12a a+ =

4 3 18a a− =

Számítsa ki a növekvő mértani sorozat első tagját és hányadosát, ha és ! Írja fel ezen mértani sorozat első négy tagját!

2 3 12a a+ =

4 3 18a a− =

(8 točk/pont)

16 M071-402-1-1M

( )2

12 3

xf xx x

+=+ −

12. Narišite graf funkcije (brez uporabe odvoda). Zapišite presečišči grafa s

koordinatnima osema, pola in enačbo vodoravne asimptote.

( )2

12 3

xf xx x

+=+ −

Rajzolja meg az függvény grafikonját (a derivált alkalmazása nélkül)! Írja

fel a grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjait, a pólusokat és a vízszíntes aszimptota egyenletét!

(7 točk/pont)

x

y

1

1

0

M071-402-1-1M 17

PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

18 M071-402-1-1M

PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

M071-402-1-1M 19

PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

20 M071-402-1-1M

PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL