makalah translasi
Post on 24-Jul-2015
1.987 Views
Preview:
TRANSCRIPT
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB X
KONSEP GESERAN ( TRANSLASI )
disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Rombel 05
Dosen pengampu Bapak Iwan Junaedi
Oleh
Kelompok 7
1. Nur Sholeh 41014091
2. Nur Solikhah 4101409125
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2012
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
B
X
Y
h
B’’B’
N
g
A A’’A’
PEMBAHASAN
GESERAN ( TRANSLASI )
A. Ketentuan dan sifat – sifat
Materi sebelumnya tentang pengertian ruas garis berarah yang selanjutnya
dilanjutkan dengan penyelidikan transformasi . Pada bab setengah putaran telah
diperoleh kesimpulan bahwa setiap setengah putaran dapat ditulis sebagai
hasilkali dua refleksi ( pencerminan ), yaitu jika A adalah sebuah titik serta g dan
h dua garis yang tegak lurus di A maka SA = MgMh. Dalam babi ni akan dibahas
hasilkali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
Teorema 10.1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B
maka AA } = BB ¿ dengan A” = MhMg(A) dan B” = MhMg (B).
Bukti :
Kondisi diatas dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Ambil titik A dan B sebarang dengan A ≠ B dan A∉g , A∉h , B∉g , B∉h.
Andaikan A= (a1, a2) dan B = (b1, b2)
Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adalah titik tengah A B¿
Andaikan persamaan garis h adalah x = h, k≠0.
Ambil titik P(x,y), p∉h
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
Diperoleh Mh(P)=P’, sehingga PP' memotong h di titik Q. Karena h:x=k, dan
P(x,y) maka titik potong Q=(k,y) dengan Q adalah titik tengah
Karena Q(k,y) dan P(x,y), maka dimisalkan P’=(x1,y1) maka diperoleh
Q=( x1+x
2,
y1+ y
2 )↔k , y=( x1+x
2,
y1+ y
2 )Sehingga
x1+x
2=k
↔ x1+x=2 k
↔ x1=2k−x
y1+ y
2= y
↔ y1+ y=2 y
↔ y1= y
Jadi, Mh(P)=P’=(2k-x,y)
Karena garis g adalah sumbu koordinat y maka Mg(P)=P”=(-x,y)
Jadi M h M g ( p )=M h [ M g ( p ) ]¿ M h [ (−x , y ) ]¿ (2 k−(−x ) , y )
(2k+x , y )
Karena A=(a1 , a2 )dan B=(b1 , b2)
Maka
A} = {M} rsub {h} {M} rsub {g} left (A right ¿
¿ M h [M g ( A ) ]¿ M h (−a1 , a2 )
¿ (2 k+a1 , a2 )dan
B} = {M} rsub {h} {M} rsub {g} left (B right ¿
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
¿ M h [M g (B ) ]¿ M h (−b1 , b2 )
¿ (2 k+b1 , b2)Karena N titik tengah A B¿ ,
Maka N=( (2 k+a1)+b1
2,
a2+b2
2 )Jika N=( 2k+a1+b1
2,a2+b2
2 ) dan A=(a1 , a2 )
Maka SN ( A )=(2( 2 k+a1+b1
2 )−a1 , 2( a2+b2
2 )−a2)¿ (2 k+b1 , b2)
= B”
Maka
Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya
oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah. Jadi hasil transformasi
MhMg adalah seakan – akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan
searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).
Definisi
Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah
AB sehingga setiap titik P pada bidang P’ dengan G(P) = P’ dan PP' = AB
Teorema 10.2 :
Apabila AB=CD maka GAB=GCD
Bukti :
Dipunyai AB=CD
Ambil x sembarang
GAB ( x )=x1 dan GCD ( x )=x2
Maka x x1=AB dan x x2=CD
Karena AB=CD maka x x1=x x2
Artinya x1 = x2
Jadi GAB=GCD
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
C
DC”
P”
P
h
g
A
B
nhg
A B C|| ||
Jadi jika AB=CD maka GAB=GCD
Teorema 10.3 :
Andaikan g dan g dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak
lurus pada g maka C∈g dan D∈h .Apabila AB=2 CD maka GAB=M h M g.
Bukti :
Ambil titik P sebarang
Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P)
Akan dibuktikan P’=P”
Menurut definisi geseran
Karena = , maka =
Berhubung C∈g maka M h M g (C )
¿ M h [M g (C ) ]¿ M h (C )
¿C
Ini berarti D titik tengah , sehingga =
Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh =
Jadi = , maka P’=P”
Jadi GAB(P)=MhMg(P)
Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg
Teorema 10.4
Jika GAB sebuah geseran maka (GBA )-1 = GBA
Bukti:
Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)
Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)
Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)
Maka setiap geseran memiliki balikan
Perhatikan gambar berikut:
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
Dari uraian diatas
Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)
=Mh[Mg(A)]
=Mh(A)
=B
GAB(A)=MnMh(A)
=Mn[Mh(A)]
=Mn(B)
=B
Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh
Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)
=Mh[Mn(B)]
=Mh(B)
=A
GBA(B)=MgMh(B)
=Mg[Mh(B)]
=Mg(A)
=A
Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh
Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1
= Mh-1
Mn-1
= MhMn
=GBA
Jadi (GAB)-1=GBA
B. Hasilkali Geseran
Setiap geseran dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi. Dalam subbab
ini akan diperlihatkan bahwa setiap geseran dapat diuraikan sebagai hasilkali dua
setengah putaran.
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
C
D
g
k
m
A
B
D
g
m
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )
C
g
k
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )
Teorema 10.5
Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB =
2 CD maka GAB = SCSD
Bukti :
Andaikan g = CD , k g di C, m g di D
Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena AB = 2 CD maka GAB =
MmMk sedangkan SD = MmMg
dan SC = MgMk
Jadi :
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
SCSD = (MmMg)(MgMk)
= Mm (MgMg) Mk
= Mm I Mk
= MmMk
Jadi GAB = SCSD
Teorema 10.6
Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah
putaran.
Bukti :
Andaikan GAB suatu geseran.
Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga = .
Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah , berarti = 2 .
Menurut teorema 10. 5,
GAB=SDSC
GABSC=SDSCSC
GABSC=SD[SCSC]
GABSC=SD I
GABSC=SD
Jadi komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah
putaran.
Akibat :
Andaikan SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka
SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC
Bukti :
Diperoleh berturut-turut SCSB=GZBC
SCSBSA=GZBC SA
Ambil titik X sebarang
Misal GZBC SA=SX
Sehingga diperoleh 2 = 2 atau =
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
(Sifat asosiatif hasil kali transformasi)
(Transformasi identitas)
Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan
titik D maka diperoleh
GZBC SA=SX
SCSBSA= SD dengan AD=BC
Jadi, jika SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan
D sebuah titik sehingga AD=BC
Teorema 10.7
Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi
Bukti :
Andaikan dua buah geseran yaitu dan
Diperoleh GAB=B dan GBC (B )=C
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A
Diperoleh
GBC GAB ( A )=GBC [GAB ( A ) ]¿GBC (B )
¿C
Andaikan titik E sebarang
Diperoleh GAB ( E )=E '
Berarti EE '=AB
GBC ( E ' )=E ¿
Berarti E ' E ' '=BC
Jika GBCdikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh
GBC GAB (E )=GBC [GAB ( E ) ]¿GBC ( E ' )
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
A
B
C E
E’
E’’
¿ E
Berarti EE ' '=AC sehingga diperoleh GEE } left (E right ) = E =G AC ¿
Jadi GBC GAB=GAC
Atau
Pembuktian menggunakan teorema 10.5
Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2 dan titik R sehingga 2
Diperoleh
Jika dikomposisikan dengan maka diperoleh
(assosiatif)
(Identitas transformasi)
(Identitas transformasi)
Karena 2 maka diperoleh
Jadi
Teorema 10. 8
Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b)
dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai
T(P)=(x+a,y+b) maka T=GOA.
Bukti :
Ambil titik P(x,y) dengan T(P) = (x+a,y+b)
Missal GOA(P) = P’, berarti
Diperoleh P’= (x+a-0,y+b-0) = (x+a,y+b)
Jadi T(P) = P’= GOA(P), P V
Ini berarti T = GOA.
Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7
Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH
Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan dan
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh
GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d)
Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)
Karena maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d)
Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh
GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]
= GKH(x+a,y+b)
= ((x+a)+c,(y+b)+d)
= (x+(a+c),y+(b+d))
Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik
(a+c,b+d).
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
C. SOAL LATIHAN
TUGAS I
1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.
a. Lukislah
b. Lukislah
c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan
d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga
2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :
a. Garis h sehingga
b. Garis k sehingga
c. Garis m sehingga m’
d. Titik C sehingga
3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis
– garis trersebut.
a. Lukislah titik B sehingga
b. Lukislah titik C sehingga
4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar
Lukislah :
a.
b. Garis h sehingga g
c.
d.
5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
A
B D
P
g
C
a. R
b. R
c. R
6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah :
a. Jika maka
b. Setiap translasi adalah suatu involusi
c. dengan
d. Apabila M titik tengah , maka
e. Apabila g’ (g), maka g’ // g
7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)
a. Tentukan C’
b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan
sehingga
9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang
membawa A ke B.
a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)
b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)
10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :
a. jika P = (x,y)
b. Titik D sehingga
c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
TUGAS II
1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P
a. Tentukan GABSC(P)
b. Tentukan SCGAB (P)
c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB
b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE
c. Tentukan F sehingga GABSC = SF
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :
a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE
b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X
4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b).
Tentukan S-1 (P)
b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang
bersangkutan?
a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan
b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan
c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)
d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)
Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G
7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.
8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat-
koordinat, buktikan :
a. SBSA adalah suatu translasi
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
A B
C
A B=GAB(A) A’=GAB(B)
A B
C C’=GAB(C)
A B
g hGAB(A) =BMhMg(A)=B } GAB=MhMg
hg
A B
C
hg
A B
b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka = 2
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap
b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa
10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)
a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)
b. L = . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)
D. JAWABAN
TUGAS I
1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris
a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)
b. Lukislah GAB(C)
c. Lukislah garis-garis g dan h dengan A∈ g dan GAB=MhMg
d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga C∈ g dan sehingga GAB=MhMg
2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g¿ AB.
a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
GAB(A)= BMhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB
A
gk
B
GAB(A)= BMgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B } MgMk=GAB
m
A
m’
B
A B C
b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB
c. Garis m sehingga m’ = GAB(m)
GAB (m) = B
m’ = B
d. Titik C sehingga GBA(C) = B
GAB(C) = B
3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
m’ = GAB(m)
AB
P
C
D
g h
A Mg(A)=A’ B= Mh(A’)
g h
C= Mg(A’ ) A Mh(A)=A’
P
P’
P”
a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB
Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B
b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC
Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C
4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g
Lukislah !
a) GCD GAB (P)
GAB (P) = P’ dimana PP’ = AB
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
P’
P”
P
h’ = GDC (h)
h
g = GABGDC (h)
P
P’
P”
P”’ = G3AB (P)
GCD (P) = P” dimana P’P” = CD
b) GCD GBA (P)
GBA (P) = P’ dimana PP’ = BA
GCD (PP) = P” dimana P’P” = CD
c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g
d) G3AB (P)
5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:
a. GABGCD(P)=R
b. SAGBC(P)=R
c. (GAB)-1 Mg(P)=R
Penyelesaian:
…..
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:
a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)
Bukti:
Dipunyai GAB=MgMh.
Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).
Jadi GAB ≠ MhMg.
Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg
b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)
Bukti:
Misal: GAB=MhMg.
Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1
= Mg-1Mh
-1
= MgMh
≠ GAB.
Jadi GAB bukan suatu involusi.
c. GABGAB= GCD dengan (Benar)
Bukti:
Ambil sembarang titik P.
Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.
Karena GAB(P)=P2 maka
GAB(P2)=P4 maka dan
GABGAB(P)=P4 maka
Sehingga , akibatnya P4=P5 .
Jadi GABGAB(P)= GCD(P).
Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.
d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)
e. Apabila g’ = (g), maka g’//g ( Benar)
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
Jawab :
Jelas g dan h dan jarak antara g dan h
Persamaan garis
Jadi
Misal A ∈ g maka persamaan garis g
Jarak antara g dan h , A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint
AB )
)
Jadi C(-1,5)
Persamaan garis h AB dan melalui C(-1,5)
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
Jadi g : y =
h : y =
8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).
a. Tentukan C '=GAB (C ).
Penyelesaian:
Karena C '=GAB (C ) maka
Jelas
Sehingga x2−2=−4⇔ x2=−2 dan y2−4=−4⇔ y2=0 .
Jadi C '=GAB (C )=(−2,0 ).
b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C∈g dan sehingga
MhMg= GAB.
Penyelesaian:
Jelas
mAB=y2− y1
x2−x1
=−1−3−5+1
=−4−4
=1 .
Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan g⊥ AB, h⊥ AB .
Sehingga diperoleh
Karena g//h maka mg=mh=−1 .
Misal garis h melalui titik D maka
Sehingga diperoleh
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
CC '=AB⇔CC ' 2=AB2
⇔( x2−x1 )2+( y2− y1 )
2=( x2−x1 )2+( y2− y1 )
2
⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=(−5+1)2+(−1−3)2
⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=(−4 )2+(−4 )2
mAB⋅mg=−1⇔1⋅mg=−1⇔mg=−1.
CD=12
AB
⇔CD 2=14
AB2
⇔( x2−x1 )2+( y2− y1 )
2=14[ ( x2−x1 )
2+( y2− y1)2 ]
⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=14(−5+1 )2+1
4(−1−3)2
⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=(12⋅−4 )2+(1
2⋅−4 )2
Jadi x2−2= 12⋅−4⇔ x2=0 dan y2−4= 1
2⋅−4⇔ y2=2.
Jadi titik D(0,2).
Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan mg=−1 adalah
y− y1=m( x−x1 )⇔ y−4=−1( x−2 )⇔ y−4=−x+2⇔ y=−x+6
dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan mh=−1 adalah
y− y1=m( x−x1 )⇔ y−2=−1( x−0)⇔ y−2=−x⇔ y=−x+2.
9. Diket A(2,1), B(5,-3)
Ditanyakan
a.
misal maka
sehinggga
dan
Jadi C’(7,-2)
b. dengan
misal
maka sehingga
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
dan
Jadi
10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.
a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).
Jawab:
Jelas GAB ( A )=B
⇔GAB (2 ,−1)=(3,4 )⇔(2+a ,−1+b)=(3,4 ) .
Sehingga 2+a=3⇔a=1 dan −1+b=4⇔b=5.
Jadi GAB (P )=GAB ( x , y )=( x+1 , y+5 ) .
b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).
Jawab:
Misal titik D( x1 , y1) maka
GAB ( D)=(1,3)⇔GAB ( x1 , y1)=(1,3)⇔( x1+1 , y1+5)=(1,3) .
Sehingga x1+1=1⇔x1=0 dan y1+5=3⇔ y1=−2.
Jadi titk D(0,-2).
c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga h=GAB( g ).
Jawab:
h=GAB (g )=GAB ( y+2 x=4 )⇔ y+5+2( x+1 )=4⇔ y+5+2 x+2=4⇔2 x+ y=−3 .
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
TUGAS II
1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P
a) Tentukan GABSC(P)
Penyelesaian :
GABSC(P)=GAB[SC(P)]
=GAB(P’) dengan C adalah titik tengah
=P” dengan
b) Tentukan SCGAB(P)
Penyelesaian :
SCGAB(P)=SC[GAB(P)]
=SC(P’) dengan
=P” dengan C titik tengah
c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X
Penyelesaian :
Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD
Ambil titik X sebarang
GABSC(X)=SD(X)
Diperoleh SD(X)=X, berartti X=
Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti
Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)
= GAB[SC(X)]
=GAB(D’) dengan C titik tengah D’, berarti
=D dengan
=X
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
Jadi titik X adalah titik tengah dimana
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana,
2
b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE
Penyelesaian :
Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C
dimana,
c) Tentukan F sehingga GABSC=SF
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti
dimana,
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :
a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE
b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X
4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). Tentukan S-1(P).
Penyelesaian :
Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P)
=(x+a,y+b)
b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.
Penyelesaian :
Ambil titik P sebarang
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
Misal G1=GAB dan G2=GCD
G1G2(P)=G1[G2(P)]
=G1(P’) dengan
=P” dengan
Jadi, ………(1)
G2G1(P)=G2[G1(P)]
=G2(P’) dengan
=P” dengan
Jadi, ………(2)
Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB
G1G2=G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan?
a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.
Penyelesaian :
b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan
Penyelesaian :
c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.
Penyelesaian :
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).
Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G
Penyelesaian :
SDSC(P)=G(P)
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)
Misalkan D(a,b)
[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)
2a-(2-x)=x+2
2a=x+2+2-x
2a=4
a=2
2b-(-14-y)=y+3
2b=y+3-14-y
2b=-11
b=-5,5
Jadi titik D(2,-5,5)
7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-
koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.
Penyelesaian :
Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])
=(4+x,y-8)
Apabila B titik tengah maka,
x=-1
y=18
Jadi koordinat D=(-1,18)
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-koordinat.
Buktikan :
a) SBSA adalah suatu translasi
Penyelesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
SBSA(P)=SB[SA(P)]
=SB(2a1-x,2a2-y)
=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)
=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka =
Penyeleesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
=( b1–a1,b2-a2)
=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]
=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]
=2( b1–a1,b2-a2)
=2
Jadi terbukti =
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap
Penyelesaian :……….
b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
Penyelesaian :……….
c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA
Penyelesaian :………
10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)
a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)
Penyelesaian :
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)
=SA(-6-x,10-y)
=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)
=(10+x,-8+y)
Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)
b) L={(x,y)| x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L).
Penyelesaian :
L= x2+y2=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2
SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]
=SA(-6,10)
=[2.2-(-6),2.1-10]
=(10,-8)
Jadi L’={(x,y)|(x-10)2+(y+8)2=4}
Bab X Konsep Translasi ( Geseran )
top related