makalahsetengahputaran 150615043829 lva1 app6891
Post on 09-Mar-2016
31 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 1/43
1
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB VIISETENGAH PUTARAN
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 2/43
2
BAB VII
SETENGAH PUTARAN
Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu
setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu
sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.
Definisi
Sebuah setengah putaran pada suatu titik adalah suatu padanan yang
didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :1. Apabila ≠ maka = ′ sehingga titik tengah ruas garis ′̅ .
2. =
Setengah putaran adalah suatu transformasi
Bukti:
Akan dibuktikan Bijektif.
Untuk membuktikan Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu Surjektif dan Injektif.
(1) Akan dibuktikan Surjektif
Untuk menunjukkan Surjektif, akan ditunjukkan ∃ ∈ ∋ = ′ Ambil sebarang ∈
∈ ∋ =
= , = =
Jadi,
∀
∈ ∃
= =
Jika ≠ maka A menjadi sumbu ruas garis ′ , berarti = ′ Jadi, Surjektif
(2) Akan dibuktikan Injektif
Missal ≠
Kasus I
= =
Untuk
= maka
= = ′………………..1*)
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 3/43
3
Untuk = maka = = ′…………………2*)
Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh ≠
Kasus II
≠ ≠
Ambil sebarang , ∈ ≠
≠ , ≠ , , ,
Sehingga = dan = ′ Andaikan =
Karena =
Maka = = = ′ Sehingga diperoleh = ′ dan ᒐ =
Menurut teorama, “Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis”
Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ≠
Pengandaian ≠ = harus dibatalkan.
Jadi, ≠
Jadi Injektif
Dari (1) dan (2) maka diperoleh Surjektif dan Injektif
Karena Surjektif dan Injektif, maka Bijektif
Karena Bijektif, maka adalah suatu transformasi.
Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.
Teorema 7.1
Andaikan sebuah titik, dan dua garis tegak lurus yang berpotongan di
. Maka = .
Bukti :
Diketahui sebuah titik, dan ℎ dua garis tegak lurus yang berpotongan di .
a)
Kasus I : ≠
Karena ⊥ ℎ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan
sebagai sumbu X dan ℎ sebagai sumbu Y. sebagai titik asal.
Ambil titik ∈
Perhatikan Gambar 7.2
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 4/43
4
Ditunjukkan bahwa untuk setiap berlaku =
Andaikan , ≠ dan = ,
Karena = ′′ maka titik tengah ′ sehingga
0,0 = 2 ,
2
Diperoleh = 0 ⟺ = dan〱 = 0 ⟺ =
Artinya〱 = , ………………………………………………(1)
Komposisi pencerminan
= [] = ,
= ,
Artinya = , ……………………………………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _ = .
Jadi, =
b)
Kasus II : =
Menurut Definisi, = ……………………………………………(1*)
= = ……………………………………………….(2*)
Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh = .
Jadi, = .
Teorema 7.2
Jika dan dua garis yang tegak lurus maka =
Bukti
′,
, P(x,y)
ℎ
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 5/43
5
a) Kasus I : ≠
Karena ≠ , maka = .
= = ᒐ(,) = , =〰
.
diperoleh = =
Jadi, =
b)
Kasus II : =
Karena = , maka = =
= =
Sehingga diperoleh = .
Jadi, = .
Teorema 7.3
Jika setengah putaran, maka − = .
Bukti
Andaikan dan ℎ dua garis yang tegak lurus maka = dengan
titik potong antara dan ℎ.
− = −− = −.
Karena − = dan − = maka = −.
Karena ⊥ ℎ, maka menurut teorema 7.2, = .
Sedangkan menurut teorema 7.1, = て .
Sehingga diperoleh − = = = .
Jadi, − = .
Teorema 7.4
Jika = , dan = , maka = , .
Bukti
a) Kasus I : ≠
Misalkan " = , dan = " maka titik tengah " sehingga
diperoleh
, = +
, +
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 6/43
6
Maka+
= dan+
= sehingga diperoleh
+ = ⟺ = 2 ⟺ = 2 ……………………………..(1*)
+ = ⟺ = 2 ⟺ = 2 ………………………………(2*)
Dari persamaan (1*) dan (2*) maka , = 2 , 2 Karena = ", maka = , = 2 , 2 Jadi, = 2 , 2 .
b)
Kasus II : =
Karena = , maka , = , artinya = dan = .
⍞ = = = ,
, = (2 , 2 )
= (2 , 2 )
Jadi, = 2 , 2 .
7.2 Lanjutan Setengah Putaran
Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan.
Definisi refleksi atau pencerminan ialah
1. g A A A M g ,
2. ' P P M g , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis ' PP
Jelas bahwa g A yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan
petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.
DefinisiA dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A
Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g
memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g
itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (S p), maka satu-satunya
titik varian adalah P, sebab S p(P) = P dan S p(X) = X’ dengan P X dan P titik
tengah ruas garis ' XX .
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 7/43
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 8/43
8
QA = AQ ( karena A titik tengah QQ )Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)
sehingga ∆APQ′ ≅ ∆AQP′ Karena ∆APQ ≅ ∆AQP maka PQ = QP
Karena PQ = QP maka g′ ∕∕ g
Jadi, //
Contoh
Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g
atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik
tengah ruas garis XY .
Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar
h A g A ,
Ditanya : tentukan semua XYgahtitik ten, AhY g X
Jawab :
Ambil g P
Jika P S P A' maka g S g A' melalui P’ dan PA=AP’, g’//g
Jika g’ memotong h di Y
Tarik YA memotong g di X
Maka X dan Y pasangan titik yang dicari
Ilustrasi :
Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang
memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan g S g A' tapi hS h A''
apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut
A
g’
gP
P’
Y
X
h
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 9/43
9
Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar
h A g A , ,
Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.
Bukti :
Ambil ℎ, ℎ, ∉ ℎ
Karena ∉ ℎ, ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ
ℎ′ akan memotong di titik , sehingga ∈ ℎ′ karena ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ, maka = ∈ ℎ
Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong,
Maka dan satu-satunya pasangan .
sehingga ∈ ℎ, ∈ , ∈ , ∈ ℎ, ∈ , ∈
jadi, dan satu-satunya pasangan.
Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar
h A g A , , hS h A''
Ditanya : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X
dan Y.
Bukti :
Teorema 7.6
Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki
titik tetap
Bukti :
Misal B AV B A ,,
ℎ ℎ′ ′
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 10/43
10
Akan dibuktikan B AS S tidak memiliki titik tetap
Misal g = AB
h AB di A, k AB di B
Akan ditunjukkan B AS S = k h M M
Karena h g A M M S , k g B M M S
Maka B AS S = k g h g M M M M
k h
k h
k g g h
k g g h
k g h g
k g h g
M M
M I M
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
Akan ditunjukkan B AS S tidak memiliki titik tetap
Misal X titik varian B AS S
Jadi B AS S (X) = X sehingga X X M M k h
Jadi
2... )(
1... )(
X M X M M M
X M X M M M
hk hh
hk hh
Dari (1) dan (2) diperoleh
X M X M X IM X M k hk h
Misal 1 X X M k
(i) Kasus 1 ( 1 X X )
Misal k h X X 1
Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya
memiliki satu sumbu maka h=k
Hal ini tidak mungkin sebab B A
(ii) Kasus 2 (1 X X )
Misal1 X X
Maka Mh(X)=X dan Mk (X)=X
Jadi X h X k X din berpotongakh,,
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 11/43
11
Hal ini tidak mungkin sebab h//k
Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga
X X S S X M X M B Ak h atau .
Jadi, B AS S tidak memiliki titik tetap.
Ilustrasi teorema 7.6
Teorema 7.7
Jika B A adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang
memetakan A pada B
Bukti :
Dipunyai B A
Akan dibuktikan B AS T dengan T titik tengah ruas garis AB
Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga B A B AS D ESdan
Jadi A AS D ES
Maka AS AS S D D D E
11 S
Karena S-1D=SD maka AS A D ES
Jadi jika E D , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari E DS S
Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A
pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah
ruas garis AB
Teorema 7.8
Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik
Dipunyai titik V P
g
h k
A B
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 12/43
12
Akan dibuktikan
(1)
g sebuah garis g g S P //
(2) I S S P P dengan I transformasi identitas
Bukti :
(1)
Jelas SP(g) = g’ suatu garis.
Misal g B g A ,
Maka ',' g B g A dan PA = PA’, PB = PB’
Karena PA = PA’, PB = PB’, dan '' PB Am APBm sehingga
B PA PAB ' ( s sd s)
Jelas BAP m P A Bm ''
Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi
(2)
Karena A AS AS S p p p ' , maka g I g S S g A P P
Jadi, I S S P P .
Hal ini berarti SP bersifat involuntorik
Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat
involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu
dilatasi yang bersifat involutorik.
Ilustrasi :
Teorema 7.9
Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik,
maka H AT H T A 1
Bukti :
B
A
B’
A’
P
SP(g)=g’
g
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 13/43
13
Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik
Akan dibuktikan H AT H T A 1
Ambil
H T A
Jadi X T A H X
maka X X I X T T X T T AT 111
Jadi, H AT 1
Ambil H AT 1
Hal ini berarti HTAatau1 H T AT T
Contoh :
Dipunyai : 164, 22 y x y x E
Misal A = (4,-3) dan C = (3,1)
g adalah sumbu X
Ditanya : Selidiki apakah E S M A c g
Jawab :Jelas g c g cc g M S M S S M 111
Ambil P = (x,y)
Jelas y x P M y x P g ,,
Jelas y x y x P S c 2,61.2,3.2
Jadi y x y xS P M S P S M c g cc g
2,6,1
Sehingga 1,232,463,4
11
c g c g S M AS M
Karena E AS M c g
1,21
maka berarti bahwa E S M A c g
Jadi, E S M A c g
Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan
apabila persamaan himpunan tela diketahui.
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 14/43
14
Menurut teorema 7.9, H AT H T A 1 . Jika transformasi T adalah
E S M c g dengan 164, 22 y x y x E , maka
E P S M E S M P c g c g 1
. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan
sebelumnya, jika y x P , maka y x P S M c g
2,61
Jadi, 164,2,6 221
y x y x y x E P S M c g
Jadi haruslah 1624622 y x
Hal ini berarti bahwa 03616124, 22 y x y x y x P E S M P c g
Sehingga diperoleh fakta bahwa 03616124 22 y x y x adalah persamaan
peta E oleh transformasi c g S M .
Latihan Soal halaman 68
1.
Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda.
Lukis :
a.
b. ∋ =
c.
d.
e.
Lukisan :
a. ᒐ
b.
∋ =
B
P
A
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 15/43
15
c.
d.
e.
2. Diket : garis dan titik , ∉
Ditanya :
a) Lukisan garis = dan mengapa sebuah garis?
b) Buktikan bahwa //.
Jawab :
==
B
P
A
R
B
P
A
R
B
P
A
B
P
A
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 16/43
16
a. =
Karena sebuah garis, maka juga merupakan sebuah garis
(isometri).
b. ′∕ ∕
Bukti :
∈ , ∈
karena ∈ maka A titik tengah dengan =
karena ∈ maka A titik tengah dengan =
Perhatikan ∆′ ∆′ Untuk membuktikan bahwa ′∕ ∕ maka harus ditunjukkan
∆′ ∆′ adalah kongruen.
< = < (sudut bertolak belakang)
= ′ ( karena A titik tengah )
= ( karena A titik tengah )
Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)
sehingga ∆′ ≅ ∆′ Karena ∆ ≅ ∆ maka = Karena = maka ′ ∕∕
3.
Diket : ∆ dan jajargenjang , K terletak diluar daerah ∆
dan diluar jajargenjang . Ditanya :
a) Lukisan ∆
b)
Titik J ∋ =
Jawab :
a)
Lukisan ∆
PQ
= =
A
=
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 17/43
17
b) =
4. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris
Lukis :
a)
Garis dan ℎ sehingga = dan =
b)
Garis dan sehingga − = dan =
Lukisan :
a) = dan = て
b) − = dan @ =
5.
Diket : A = (2,3)
Ditanya:
a. SA( C ) apabila C = (2,3)
b. SA( D ) apabila D = (-2,7)
c.
SA( E ) apabila E= (4,-1)
d. SA( P ) apabila P = (x,y)
Jawab:
W X
YZ
C’ A’
B’
K
B
CA
ℎ
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 18/43
18
a. C = (2,3)
SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3)
= (2,3)
b.
D = (-2,7)
SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7)
= (6,-1)
c.
E= (4,-1)
SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1))
= (0,7)
d.
P = (x,y)
SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y)
= (4-x, 6-y)
6.
Diket : B = (1, -3)
Tentukan :
a. SB(D) apabila D (-3, 4)
b. E apabila SB(E) = (-2, 5)
c. SB(P) apabila P = (x, y)
Jawab :
a.
D (-3, 4)
SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4)
= (5, -10)
b. SB(E) = (-2, 5)
Misal E = (x, y)
Maka, 2.1 - x = -2 2.(-3) - y = 5
⇔2 – x = -2 ⇔ -6 - y = 5⇔ x = 4 ⇔ y = -11
jadi, E = (4, -11)
c.
P= (x, y)
SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y)
= (2 - x, - 6 - y)
7.
Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6)
a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6)
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 19/43
19
= (2, 6)
SDSB(B) = SD(2,6)
= (2.0 - 2, 2.(-3) – 6)
= (-2, -12)
b. K = (1, -4)
SB(K) = (2.2-1, 2.6 - (-4)
= (3, 16)
SDSB(K) = SD(3,16)
= (2.0 - 3, 2.(-3) - 16)
= (-3, -22)
c.
SD(K) = (2.0 - 1, 2.(-3) - (-4))
= (-1, -2)
SBSD(K) =SB(-1, -2)
= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))
= (5, 14)
d. Menurut teorema 7.3
jika SA setengah putaran, maka S-1A = SA
maka, SD-1
(K) = SD(K) = (-1,-2)
Dan, SB-1(K) = SB(K)
Sehingga, (SDSB)-1 (K) = SB-1SD
-1 (K)
= SB-1(-1, -2)
= SB(-1, -2)
= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))
= (5, 14)
e.
P = (x, y)SB(P) = (2.2 – x, 2.6 – y)
= (4 – x, 12 – y)
SDSB(P) = SD(4 – x, 12 – y)
= (2.0 – (4 – x), 2.(-3) – (12 – y))
= ( - 4 + x, - 6 – 12 + y)
=(x - 4, y - 18)
8. Diket :
C = 4,3
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 20/43
20
= , | =
Tentukan :
a. 2,1
b. jika ,
c. −, apakah = = ᒐ?
Jawab :
a. 2,1 = (2. 4 2,2.3—1)
= 10,7
= 7,10
b.
,
= 2. 4 , 2 . 3
= 8 , 6
= 6, 8
c. − = (−−)
Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh − = dan
− = , sehingga diperoleh
− = (−−)
= ()
= 騴 ,
= ,
= (2. 4—),2.3—
= 8, 6
9.
a. SK = SJ
Misal K = x, y, A = a, b, J = u, v
SK = 2 a x , 2 b y
SK = 2 a u , 2 b v
Karena SK = SJ sehingga
2a x = 2a u
⇔ x = u
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 21/43
21
⇔ x = u
dan
2b y = 2b v
⇔ y = v
⇔ y = v
Sehingga Kx, y = Ju, v
Jadi K = J b. SD = SD
Misal = ,
= ,
= ,
Karena SD = SD
maka 2 ,2 = 2 , 2 diperoleh 2 = 2
⇔ 2 = 2
⇔ =
dan 2 = 2
⟺ 2 = 2
⟺ =
Karena = dan =
Maka , = ,敡 sehingga =
Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu =
c. SE = E ⟹ Misal Aa, b,Ex,y
SE = 2a x, 2b y
Karena SE = E maka
2a x, 2b y = x, y
diperoleh
2a x = x
⟺ 2a = 2x
⟺ a = x
dan
2b y = y
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 22/43
22
⟺ 2b = 2y
⟺ b = y
Sehingga Aa, b = Ex, y
Jadi A = E
10. a) Dipunyai : A B B A S S S S B A ,
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Ambil ),(,,,, y x P V d c BV ba A
1... 22,22
22,22
2,2
yd b xca
yd b xca
yd xcS A
2... 22,22
22,22
22,22
2,2
yd b xca
ybd xac
ybd xac
yb xaS B
Dari (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa
A B B A S S S S
yd b xca yd b xca
22,2222,22
Jadi, A B B A S S S S B A , merupakan pernyataan yang salah
b) Dipunyai : setiap setengah putaran adalah suatu isometric langsung
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Menurut definisi suatu transformasi isometric langsung apabila
transformasi itu mengawetkan orientasi.
Ambil tiga titik tak segaris f eC d c Bba A ,,,,, dan tiga titik tersebut
membentuk segitiga ABC
Akan ditunjukan ABC orientasinya sama dengan A’B’C’ dengan
A’=T(A),B’=T(B), C’=T(C)
Misal P(x,y) titik pusat setengah putaran
P S S B A
P S S A B
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 23/43
23
c) Dipunyai : hS S g S S h g B A B A
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
d) Dipunyai : AB B A BS B AS A A B 2, 1111
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Ambil 2211 ,,, y x B y x A
2
21
2
21 y y x x AB
2121221
1212111
2,2,2,2,
y y x x y xS BS B y y x x y xS AS A
A A
B B
AB3
3
99
3333
2222
2222
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
2112
2
2112
2
2112
2
211211
y y x x
y y x x
y y x x
y y y y x x x x
y y y y x x x x B A
Jadi, AB B A BS B AS A A B 3, 1111
Jadi, AB B A BS B AS A A B 2, 1111 merupakan pernyataan salah
e) Dipunyai : P P S g g S P A g P g A A A ,,,
Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar
Jawab :
Jelas g AP
Ambil A(a,b), P(x,y)
Akan ditunjukan bahwa P P S g g S A A ,
y x P P S
g P yb xa P S
A
A
, Jadi,
'2,2
Karena g A , maka g g S g P P S g A AS A A A ',
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 24/43
24
Jadi, P P S g g S P A g P g A A A ,,, merupakan pernyataan
salah.
11. Diket: A = 1,0
Ditanya: Tentukan persamaan garis-garis dan ℎ sehingga
3,4 ∈ dan =
Jawab:
= ⇒ ⊥ ℎ ⇒ . = 1 ⟺ = 1
misal ⟹ =
ℎ ⟹ =
titik potong g dan h ada di A1,0
A titik potong g dan h
B3,4 ∈ g
Sehingga A dan B ∈ g
Persamaaan garis g melalui A1,0 dan B3,4
g: y y
y y = x x
x x
⇔ y 40 4 = x 3
1 3
⇔ y 44 = x 3
4
⟺ y 4 = x 3
⟺ y = x 1 ⟹ m = 1
Karena m. m = 1 dan m = 1 maka m = 1
h melalui 1,0 dan bergradien -1
y y = mx x
y 0 = 1x 1
y = x 1
Jadi g: y = x 1
h: y = x 1
13. Diketahui : titik V B A , , garis g
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 25/43
25
Titik R,S,T berbeda dan tak segaris sehingga ganda (R,S,T)
memiliki orientasi positif
Ditanya : Apakah dapat dikatakan tentang peta ganda tersebut oleh
transformasi :
a. SA
b. SA SB
c.
MgSA
d. SAMgSB
e. S-1A
f.
(MgSB)-1
Selesaian :
14. Diketahui:tiga titik A, B, C
Buktikan:− =
Bukti:
Adb − =
− = −−
Menurut teorema 7.3 “ ℎ , − = ”
Jadi S− = S dan S− = S
Karena − = 〱 − =
Maka − = −− =
Jadi, terbukti bahwa SS− = SS
15. Diketahui : MgSA, MgSAMh, SAMh,SB, T-1SA dengan T suatu transformasi
sebarang
Ditanya : tentukan dan sederhanakan balikannya
Selesaian :
a) hh g g h g A g A A g M I M M M M M S M S S M 11111
b) I S S S S S S S M M M S M A A A A A A Ah g h A g 111111
c) Ah B Ah Bh A B Bh A Bh A S M S S M S M S S S M S S M S 11111111
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 26/43
26
g B g hh B Ah B M S M M M S S M S 11
Jadi, g B Bh A M S S M S 1
T S T S S T A A A 11111
16. a. Apabila A=(0,0), B=(-4,1), tentukanlah K sehinga = 6,2
b. Apabila = , nyatakan kootdinat P dengan koordinat-
koordinat R
Penyelesaian:
a.
Diket : A=(0,0), B=(-4,1)
Ditanya : tentukanlah K sehinga = 6,2
Jawab :
Misal = ,
= 6,2
⇔ , = 6,2
⇔ 2. 4 , 2 . 1 = 6,2
⇔ 8 , 2 = 6,2
⇔ 2. 0 8,2.0 2 = 6,2
⇔ 8 , 2 = 6,2 ⇒ 8 = 6 ⇔ = 2
2 = 2 ⇔ = 4
Jadi, 2,4
b. Diket : =
Ditanya : nyatakan kootdinat P dengan koordinat-koordinat R
Jawab :
17. Diket: Titik 1,4
Garis = ,| = 2 1
Garis ℎ = ,| = 4
Ditanya:
a.
Persamaan = ?
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 27/43
27
b. Persamaan ℎ = ℎ?
c. Persamaan ?
d. Apakah titik 5,6 terletak pada ? jelaskan !
Jawab:
a. Ambil titik 1,1 ∈
曯 = 昹 , ∈ , = ′ Maka ∈
= 2. 1 1 , 2 . 4 1
= 3,7 = ∈ ′ Menurut teorema 7.5 maka ∕/
sehingga = = 2
jadi, persamaan ′ melalui ′3,7 dengan =2
=
7 = 2— 3
騴 7 = 2 6
= 2〰 13
Jadi, = , | = 2 13 b.
Kasus I
Ambil titik =
1,4 ∈ ℎ
Sh = h, H ∈ h, dan SH = H′ Maka H′ ∈ h′ SH = 2. 1 1,2.44
= 1,4 = H ∈ h′ Menurut teorema 7.5 maka h ∕/h
sehingga mh = mh = 4
jadi, persamaan h′ melalui G′1,4 dengan m = 4
y y = mx x
y 4 = 4x 1
y 4 = 4x 4
y = 4x
Jadi, h = x, y|y = 4
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 28/43
28
Kasus II
Ambil titik ≠
1, 4 ∈ ℎ
Sh = h, H ∈ h, dan SH = H′ Maka H′ ∈ h′ SH = 2. 1 1,2.44
= 3,12 = H ∈ h′ Menurut teorema 7.5 maka h ∕/h
sehingga mh = mh = 4
jadi, persamaan h′ melalui G′3,12 dengan m = 4
y y = mx x
y 12 = 4x 3
y 12 = 4x 12
y = 4x
Jadi, h = x, y|y = 4
c. Sumbu ⇒ = 0 ⇒
Ambil titik 1,0 ∈ dan S = ′ Maka S = = 2. 1 1 , 2 . 4 0 = 3,8
Sehingga ∈ g′ Karena //′ ⇒ = = 0
Persamaan himpunan melalui 3,8 dengan = 0
=
⇔ 8 = 0 3
⇔ = 8
Jadi, persamaan himpunan adalah = 8
d. = = , ᒐ|@ = 2 13
= 5 = 2. 5 13 = 3 ≠ 6
Jadi 5,6 tidak terletak pada
18. Diket: C = x,y|x y 3 = 4
= , | =
3,2
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 29/43
29
Ditanya: Apakah 2,5 ∈ ?
Jawab:
= ,| 3 = 4 dengan pusat 0,3 dan berjari-jari 2
3,2
= = 2.30,2.23 = 6,1
= ′ adalah lingkaran dengan pusat M6,1, jari-jari 2
Sehingga = , | 6 1 = 4
=
⟺ 6,1 = 1,6
Jadi M1,6 adalah pusat lingkaran C
= 1 6 = 4
Jadi, MSC = C = x 1 y 6 = 4
Jika x = 2, dan y = 5
Maka 21 5 6 = 1 1 = 1 1 = 2 ≠ 4
Jadi, D2,5 ∉ MSC
20. Diket :
= , | = 5 7
= 3,2
Ditanya : = ?Jawab:
Ambil sebarang titik , ∈
= 1 ⇒ = 5 7 = 2
Misal 1,2, ∈
= 2. 3—1,2.22
= 6 1 , 4 2
= 5,2 = ′ ⟹ ′ ∈ ′
//′ ⟹ = ′ = 5
俎 =
⇔ 2 = 5 5
⇔ 2 = 5 25
⇔ = 5 27
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 30/43
30
Jadi, = = ,| = 5 27
Tugas halaman 74
1.
Diketahui : titik A dan B, garis ∋ ∉ , ∉
Lukis :
a. =
b. Garis ∋쭔 =
c. Garis ℎ ∋ ℎ = ℎ
Lukisan :
a. = 逜
b. Garis ∋ =
=
′ = ㉹
棨
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 31/43
31
c. Garis ℎ ∋ ℎ = ℎ
2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis
g dan h.
Lukis :
a. ℎ
b.
昰 ∋ ℎ =
Lukisan :
a. ℎ
b. ∋ ℎ =
3.
Diketahui : = {, │2 5 = 4} dan = 1,4
Ditanya :
a. apakah 1,6 ∈ =
b. persamaan ′ Jawab :
a. ∶ 2 5 = 4
Karena = dan = 1,4 ∉ maka menurut teorema 7.5, //′.
ℎ
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 32/43
32
Untuk mengetahui apakah 1,6 ∈ = maka harus dicari
= , lalu diselidiki apakah , ∈
Menurut teorema 7.4 maka
= 2.1—1,2.4 6 ⇔ , = 2 1 , 8 6
⇔ , = 1,2
Maka diperoleh = 1, = 2
Substitusikan nilai dan ke persamaan
Diperoleh 2.1 5.2 = 2 10 = 8
Karena , tidak memenuhi persamaan maka , = ∉
maka ∉ =
b. Untuk menentukan persamaan ′ maka dihitung gradien ′ dan diambil
salah satu titik ∈ , misalnya = 7,2
Maka = 2.17,2.42
⇔ = 2 7 , 8 2
⇔ = 5,6
Karena ∈ dan = maka ∈ ′. ∶ 2 5 = 4 maka gradient adalah
= sehingga //′ maka gradien = gradien =
7 = 25 2
⇔ = 7 25 2
5 . 2
⇔ = 7 2
5 4
5
⇔ = 25 31
5
⇔ 5 = 2 31
⇔ 2 5 = 31
Jadi, persamaan garis ′ adalah 2 5 = 31.
4.
Diketahui : = {, │3 2 = 4} dan = 2,1
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 33/43
33
Ditanya :
a. ∋ = 3, ∈ =
b. Persamaan ′ c.
Persamaan ℎ ∋ ℎ =
Jawab :
a. Untuk menentukan maka diambil titik = , ∈ sehingga
2. 2 = 3
⇔ 4 = 3
⇔ = 7
Substitusikan = 70 pada persamaan maka 3 2 = 4
⇔ 3. 7 2 = 4
⇔ 21 2 = 4
⇔ 2 = 25
⇔ = 252
Maka = , = 7,
Karena = 7,
dan = 2,1 maka menurut teorema 7.4 maka
= 2.2—7,2.1 252
⇔ 3, = 4 7,2 252
⇔ 3, = 3, 215
Sehingga diperoleh =
b. Untuk menentukan persamaan
′ maka harus ditentukan gradien
′
Karena = maka menurut teorema 7.5 //′ sehingga gradien
= gradien ′ ∶ 3 2 = 4 maka gradien adalah
sehingga gradien〱 =
Berdasarkan jawaban soal a, maka = 3, ∈
Sehingga persamaan ᒐ′ adalah
3 =
3
2 —
21
5
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 34/43
34
⇔ = 32 21
5 3
⇔ = 3
2 3
2. 21
5
⇔ = 32 63
10
⇔ 10 = 15ㄎ 63
⇔ 15 10 = 63
Jadi, persamaan ′ adalah 15 10 = 63.
c. _ℎ = maka − = ℎ
Menurut teorema 7.3 ᒐ− = sehingga − = = ℎ
Dari jawaban soal b, = artinya = = ℎ sehingga
diperoleh = ℎ
maka persamaan ℎ = persamaan ′ yaitu 15 10 = 63
Jadi, persamaan ℎ adalah 15 10 = 63.
5.
Diketahui : kurva = {, │@ = } dan titik = 3,1
Ditanya :
a.
Apakah = 3,7 ∈ =
b. Persamaan kurva ′ Jawab :
a. Untuk menyelidiki apakah = 3,7 ∈ = maka harus dihitung
Misalkan = , sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh
= 2.33,2.1—7
⇔ , = 6 3 , 2 7
⇔ , = 3,9
Maka = 3, = 9
Substitusikan , = 3,9 ke persamaan
diperoleh 9 = 3 memenuhi persamaan maka , ∈
Karena = , ∈ dan = maka ∈ ′ Jadi, = 3,7 ∈ =
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 35/43
35
b. Untuk menentukan persamaan ′ maka harus ditentukan koordinat titik
puncak kurva ′ Karena
= {, │ =
} maka titik puncak
adalah
0,0 dan titik
fokus kurva adalah 0,
Misalkan titik puncak adalah titik maka = 0,0 sehingga menurut
teorema 7.4,
= 2.30,2.10 = 6,2
Karena ∈ dan = maka ∈ ′ dan karena adalah
titik puncak尠 maka = 6,2 titik puncak ′.
Misalkan titik fokus adalah maka = 0, sehingga menurut
teorema 7.4,
= 2.3 0,2.1 = 6,
Karena ∈ dan = maka ∈ ′ dan karena adalah titik
fokus maka _ = 6, titik fokus ′
Sehingga diperoleh titik puncak ′ adalah 6,2 dan titik puncak ′ adalah
6, maka kurva ′ menghadap ke bawah sehingga persamaan kurva ′
adalah
6 = 4. 14 2
⇔ 12 36 = 2
⇔ = 12《 38
Jadi, persamaan kurva = adalah = 12 38.
6. Diketahui : k S M k xC y y x g A y y xk A g x ',6,,0,,0,2,, 1
Ditanya : a) nilai x sehingga 'k C ; b) persamaan 'k
Selesaian :
a) Ambil P(m,n)
nmnm M nm M nmS M P S M g g A g A g ,4,4,22,
Hal ini berarti bahwa
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 36/43
36
x x
x x M
x x M
x xS M k S M g g A g A g
1,4
1,4
1,22
1,
Maka6161 x
x yc
,623
614 c x
Jadi, nilai x sehingga 'k C adalah6
23
b) Misal 'k D
Untuk nilai x = 1, maka '1,31
1,14 k D
Maka untuk mencari persaman 'k dapat diperoleh dari dua titik yaitu
1,3dan6,623 DC
176
2366
5
236
5
6
6
23186
236
5
6
6
233
6
23
61
6
12
1
12
1
x y
x y
x y
x
y
x y
x x
x x
y y
y y
7. Diketahui : Q titik tengah PR
Ditanya : Buktikan bahwaQ R P Q S S S S
Bukti :
Ambil A(x,y), P(a,b), R(c,d), Q(e,f)
Karena Q titik tengah PR , maka d b f cae 21
21 ,
ybd b xaca yb xaS y xS S AS S Q P Q P Q 22,222,2,21
21
yd b xca ,
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 37/43
37
a. yd bd xcac yd b xcaS y xS S AS S RQ RQ R 2,22,2,21
21
yd b xca 3,3 Nilai ∋ = , 6 ∈ =
b. Persamaan
′
Jawab :
a. Untuk menyelidiki apakah ∋ = , 6 ∈ = maka harus
diambil
b. Untuk mencari persamaan ′ maka
8.
Diketahui : = 2,1, = {, │ = }, ℎ = {, │ = 3 2}
Ditanya : persamaan garis = ℎ
Jawab :
Ambil titik 2,4 ∈ ℎ
Maka = 2,4 = 4,2 =
Karena ℎ = ℎ,騴 ∈ ℎ, = ′ Maka ′ ∈ ℎ′ Mencari titik potong garis dan garis ℎ
ℎ: = 3 2
: =
Titik potong garis _ dan garis ℎ adalah
=
3 2 =
2 = 2
= 1
Maka, = 1
Jadi, titik potong garis dan garis ℎ adalah di 1,1
Karena ℎ = ℎ
Maka 1,1 ∈ ℎ Sehingga garis ℎ melalui titik 4,2 dan titik 1,1
=
1 2 2 = 1 4 4
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 38/43
38
1 2 = 3
4
3 6 = 4
3 = 2
3 2 = 0
Jadi persamaan ℎ: 3 2 = 0
Ambil titik = 7,3 ∈ ℎ
Maka = 7,3
= 2.27,2. 1 3
= 3,5 =
Karena = ℎ
Atau = ℎ, ∈ ℎ dan =
Maka ′ ∈
Sehingga melalui = 3,5 dan //ℎ dengan =
=
5 = 13 3
5 = 13 1
ᒐ = 13 4
3 = 12
Jadi persamaan garis = ℎ adalah 3 = 12.
9.a)Diketahui : garis g dan h
Ditanya : buktikan jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik
tetap
Bukti :
Misal A A ''
Jelas ''' A A M A M M g h g
Karena g//h maka A A '' sehingga ' A A M M h g
Hal ini sebuah kontradiksi
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 39/43
39
Maka pengandaian harus dibatalkan.
Karena menurut definisi A dinamakan titik tetap transformasi T apabila
berlaku T(A)=A dan sebuah setengah putar SA hanya memiliki satu titik tetap
yaitu A, sedangkan jika g//h diperoleh fakta bahwa ' A A M M h g dan
Ah g S A M M maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.
Jadi, jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.
9.b)Diketahui : garis g, titik g A
Ditanya : buktikan SAMg tidak memiliki titik tetap
Bukti :
10. Diketahui : ∆, garis dan sebuah titik ∉ , diluar daerah ∆.
Tentukan semua pasangan titik dan dengan ∈ , ∈ ∆ sehingga
titik tengah ̅ ?
Jawab:
11.
Diketahui : lingkaran dan . Salah satu titik potongnya adalah .
∈ dan ∈
Ditanya : Lukisan ruas garis ̅ sehingga A titik tengah ruas garis ̅ ?
Jelaskan lukisan tersebut?
Jawab :
A titik tengah ̅ , berarti =
Jadi, = atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua.
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 40/43
40
12. Diketahui: titik dan garis , ∈
Ditanya :
a. Buktikan bahwa transformasi adalah sebuah refleksi pada suatu garis
dan garis mana yang menjadi sumbu refleksi ini?
b. Jika tegak lurus ℎ di titik dan tegak lurus di titik B, buktikan
bahwa = ?
Jawab :
a. Ambil sebarang titik ∈
Diperoleh Ó = ′ Tarik garis ℎ ⊥ yang melalui A
Tarik garis ′′ yang memotong garis ℎ dititik B,
sehingga = =
Lihat ∆ ∆
= (berhimpit)
= ′ (Refleksi)
< =<㌱′ (Siku-Siku)
Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S)
Sehingga dapat disimpulkan ∆ ≅ ∆
Salah satu akibatnya =
Lihat ∆ ∆′′
〰 = (berhimpit)
′ = ′′ (setengah putaran)
ℎ =〰 =
= = ′′ = ′′
Karena = = , maka =
Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S)
Maka dapat disimpulkan ∆ ≅ ∆′′
′′
′
ℎ
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 41/43
41
Akibatnya =
Karena O merupakan titik tengah ′′, maka = ′′ merupakan
refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik ⊥ .
Jadi, merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah
garis yang melalui A tegak lurus dengan . b.
Ambil garis tegak lurus ℎ di titik dan tegak lurus di titik .
Adb =
Menurut teorema 7.1 : “andaikan A sebuah titik, dan ℎ dua garis tegak
lurus yang berpotongan di A, maka = 筽 ”
Maka = dan =
Sehingga =
Karena = , maka diperoleh:
= =
Sehingga
ᒐ = = = = =
Jadi terbukti bahwa =
13. Diketahui : , , tak segaris
Ditanya:
a.
Pilih sebuah titik dan lukislah titik = !
b. Jika titik tengah ̅ , lukislah = !
c. Perhatikan hubungan antara dan . Apakah dugaan kita mengenai
jenis transformasi ?
Jawab:
h
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 42/43
42
a.
b.
c. Karena = = − maka transformasi merupakan
transformasi identitas.
14. Diketahui : ∆, ∠ = 90°
15.
Diketahui : = 0,0, = 3,1
Ditanya :
a) = jika = 2,4
b) = jika = , ᒐ c) Apa yang dapat kami katakan tentang ,′,
Jawab :
a)
Menurut teorema 7.4 maka
= ()
⇔ = 2.3—2, 2. 1 4
⇔ = 6 2 , 2 4
⇔ = 8,6
⇔ = 2.08,2.0—6
⇔ = 0 8 , 0 6
⇔ = 8,6
Jadi, = 〱 = 8,6
b)
Menurut teorema 7.4 maka
= 〱
⇔ = 2.0,2.0
⇔ = 0 , 0
⇔ = ,
⇔ = 2.3 , 2. 1—
A
B
CP ' P
'' P '' P
M
' M
'' M
7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891
http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 43/43
⇔ = 6 , 2
⇔ = 6, 2
Jadi, = = 6, 2
c)
Karena = 2,4 dan = 8,6
Maka persamaan :
〱
=
⇔ 2 8 2 = 4
6 4 ⇔ 26 = 4
2
⇔ 6 = 2 4 24 ⇔ = 13 10
3
Karena = ,〱 dan = 6, 2
Untuk tidak membuat rancu,dimisalkan titik = , dan = 6, 2
Maka persamaan :
=
⇔ 6 =
2 ⇔ 6 =
2
⇔ 6 = 2 2 6 ⇔ = 13 1
3
Karena = 0,0 = 3,1
Maka persamaan :
=
⇔ 03 0 = 0
1 0 ⇔ 3 =
1
⇔ 3 = ⇔ = 13
Dari persamaan – persamaan di atas, dapat dikatakan bahwa persamaan
, , dan mempunyai gradien yang sama, yaitu
16.
Buktikan :17. Diketahui : ∆ dan sebuah titik ∈ ̅
Lukis : di dalam ∆, sebuah ∆0 yang kelilingnya paling pendek
top related