matematicĂ - mec.gov.md
Post on 06-Nov-2021
20 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CULTURII ŞI CERCETĂRII AL REPUBLICII MOLDOVA
CURRICULUM NAŢIONAL
MATEMATICĂClasele V-IX
• Curriculum disciplinar • Ghid de implementare
Chişinău, 2020
2
CURRICULUM DISCIPLINAR
Aprobat:- Consiliul Național pentru Curriculum, proces-verbal nr. 22 din 05.07.2019- Ordinul Ministerului Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019
COORDONATORI:Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECCValentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator
al managementului curricularValentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului de
lucru
EXPERŢI-COORDONATORI:Vladimir GUŢU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator generalAnatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,
expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și Tehnologii
GRUPUL DE LUCRU:Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, ChișinăuLudmila BAŞ, grad did. superior, IPLT „Constantin Stere”, SorocaAndrei BRAICOV, dr., conf. univ., US TiraspolIulia CABINA, grad did. doi, Gimnaziul „Sergiu Rădăuțan”, com. Iezărenii
Vechi, r. SângereiRoman COPĂCEANU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, HânceștiAliona LAŞCU, grad did. superior, LT „Mihai Eminescu”, Chișinău
Matematică : Curriculum național : Clasele 5-9 : Curriculum disciplinar : Ghid de implementare / Ministerul Educației, Culturii și Cercetării al Republicii Moldova ; coordonatori: Angela Cutasevici, Valentin Crudu, Valentina Ceapa; grupul de lucru: Ion Achiri (coordonator) [et al.]. – Chișinău : Lyceum, 2020 (F.E.-P. "Tipografia Centrală"). – 180 p. : fig., tab.
Referințe bibliogr.: p. 179-180 (62 tit.). – 2500 ex.ISBN 978-9975-3438-7-9.373.5.091:51(073)M 47
3
GHID DE IMPLEMENTARE
Elaborat în conformitate cu prevederile Curriculumului disciplinar, aprobat la ședința Consiliului Național pentru Curriculum, prin ordinul Ministerului Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019
COORDONATORI:Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECCValentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator
al managementului curricularValentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului de
lucru
EXPERŢI-COORDONATORI:Vladimir GUŢU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator generalAnatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,
expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și Tehnologii
GRUPUL DE LUCRU:Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, ChișinăuAliona LAŞCU, grad did. superior, LT „Mihai Eminescu”, Chișinău
4
PRELIMINARII
Curriculumul la disciplina Matematică, precum și manualul școlar, ghidul metodolo-gic, softurile educaționale etc. fac parte din ansamblul de produse/documente curricu-lare și reprezintă o componentă esențială a Curriculumului Naţional.
Elaborat în conformitate cu prevederile Codului Educaţiei al Republicii Moldova (2014), ale Cadrului de referinţă al Curriculumului Naţional (2017), ale Curriculumului de bază: sistem de competenţe pentru învăţământul general (2018), dar și cu Recoman-dările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene, privind competenţele-cheie din perspectiva învăţării pe parcursul întregii vieţi (Bruxelles, 2018), Curriculumul la disciplina Matematică reprezintă un document reglator, care vizează prezentarea in-terconexă a demersurilor conceptuale, teleologice, conținutale și metodologice, accen-tul fiind pus pe sistemul de competențe restructurat precum un nou cadru de referință al finalităților educaționale.
Curriculumul şcolar de Matematică pentru clasele V-IX reprezintă instrumentul di-dactic și documentul normativ principal, ce descrie condițiile învățării și performanțele proiectate la matematică în învățământul gimnazial, exprimate în competențe, unități de competență, conținuturi și activități de învățare și evaluare.
Curriculumul la disciplina Matematică fundamentează și ghidează activitatea cadrului didactic, facilitează abordarea creativă a demersurilor de proiectare didactică de lungă și de scurtă durată, dar și de realizare propriu-zisă a procesului de predare – învățare – evaluare.
Disciplina Matematică, prezentată/valorificată în plan pedagogic în curriculumul dat, are un rol important în formarea/dezvoltarea personalității elevilor, în achiziționarea unor competențe necesare pentru învățarea pe tot parcursul vieții, dar și pentru inte-grarea într-o societate bazată pe cunoaștere.
În procesul de proiectare a Curriculumului la disciplina Matematică s-a ținut cont de:abordările postmoderne și tendințele dezvoltării curriculare pe plan național și
pe cel internațional;necesitățile de adaptare a curriculumului disciplinar la așteptările societății, la
nevoile elevilor, dar și la tradițiile școlii naționale;valențele disciplinei în formarea competențelor transversale și a celor specifice;necesitățile asigurării continuității și interconexiunii dintre ciclurile învățămân-
tului general: educaţia timpurie, învăţământul primar, învăţământul gimnazial și învăţământul liceal.
5
Curriculumul la disciplina Matematică cuprinde următoarele componente structura-le: Preliminarii, Repere conceptuale, Administrarea disciplinei, Competențe specifice disciplinei, Unități de învățare (unități de competență, unități de conținut, activități și produse de învățare recomandate), Repere metodologice de predare – învățare – evaluare, Bibliografia (Prezentul curriculum include şi finalităţi relevate explicit pentru fiecare clasă, reprezentând competenţele specifice disciplinei, manifestate gradual la etapa dată de învăţare, urmărind stabilirea obiectivelor de evaluare finală).
Curriculumul la disciplina Matematică are următoarele funcții:• de conceptualizare a demersului curricular specific disciplinei Matematică;• de reglementare și asigurare a coerenței dintre disciplina dată și alte discipline
din aria curriculară, dintre predare – învățare – evaluare, dintre produsele curri-culare specifice disciplinei Matematică, dintre componentele structurale ale cur-riculumului disciplinar, dintre standard și finalitățile curriculare;
• de proiectare a demersului educațional/contextual (la nivel de clasă concretă);• de evaluare a rezultatelor învățării etc. Curriculumul la disciplina Matematică se adresează cadrelor didactice, autorilor de
manuale, evaluatorilor, metodicienilor, altor persoane interesate, însă beneficiarul prin-cipal al acestui document este elevul, având un statut specific în acest sens.
Totodată, Curriculumul la disciplina Matematică orientează cadrul didactic spre organizarea procesului de predare – învățare – evaluare în baza unităților de învățare (unități de competență – unități de conținuturi – activități de învățare).
6
I. REPERE CONCEPTUALE
Codul Educaţiei al Republicii Moldova, prin Art. 11. determină: „Educația are ca finalitate principală formarea unui caracter integru şi dezvoltarea unui sistem de competențe care include cunoştințe, abilități, atitudini şi valori ce permit participarea activă a individului la viața socială şi economică.” [1].
Scopul major al educației matematice în perioada școlarității obligatorii este atât formarea și dezvoltarea gândirii logice, cât și formarea și dezvoltarea competențelor școlare pentru a realiza dezvoltarea deplină a personalității absolventului gimnaziului și a-i permite accesul la următoarea treaptă a învățământului și/sau integrarea socială a acestuia.
Competenţa şcolară este un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori dobândite, formate și dezvoltate prin învățare, a căror mobilizare permite identificarea și rezolvarea diferitor probleme în diverse contexte și situații.[2]
Achizițiile finale, în termeni de competențe, nu sunt niște liste de conținuturi dis-ciplinare care trebuie memorate. Pentru formarea unei competențe este necesar ca elevul:
- să stăpânească un sistem de cunoştinţe fundamentale în funcție de problema pe care va trebui să o rezolve;
- să posede deprinderi și capacități pe care să le utilizeze/să le aplice conștient și logic în situații simple/standarde, realizând astfel funcţionalitatea cunoştinţelor obținute;
- să rezolve diferite situații-problemă, conștientizând cunoștințele funcționale;- să rezolve probleme, inclusiv din viața cotidiană, manifestând comportamente
conform achizițiilor finale, adică valorificând competenţa formată.Proiectarea Curriculumului la disciplina Matematică a fost ordonată de principiile:• principiul asigurării continuității la nivelul claselor și al ciclurilor;• principiul învățării centrate pe elev în corelație cu mediul său de viață;• principiul centrării pe aspectul formativ; • principiul corelației transdisciplinare – interdisciplinare (eșalonarea optimă a
conținuturilor matematice corelate cu disciplinele ariei curriculare și alte discipli-ne, asigurându-se coerența pe verticală și pe orizontală);
• principiul abordării sistemice și al dezvoltării graduale a competențelor; • principiul creării unui mediu favorabil educației de calitate;• principiul centrării clare a tuturor componentelor curriculare pe rezultatele
finale – competenţe specifice matematicii şi unităţi de competenţă la matema-tică.
7
O astfel de proiectare strategică orientează curriculumul școlar și procesul educațional spre achizițiile finale – competențe pe care elevii ar trebui să le manifeste/demonstreze în urma parcurgerii unor anumite experiențe în formare/învățare.
Curriculumul la disciplina Matematică pentru gimnaziu și, în ansamblu, procesul educațional la matematică în învățământul general este fundamentat pe principiile:
I. Principiul constructiv (al structuralității), care vizează procesul de reluare siste-matică a informațiilor, a conceptelor de bază ca pe un aspect esențial al predă-rii – învățării. În contextul acestui principiu, învățământul matematic modern se realizează concentric în spirală, fiind axat pe noțiunea (conceptul) matematică și formarea, la finalizarea școlarizării, a unor structuri ale gândirii specifice mate-maticii.
II. Principiul formativ, care vizează formarea directă a personalității elevului în pro-cesul educațional la matematică.
În aspectul formării și dezvoltării competenței interpersonale, civice, morale și a competenței culturale, Curriculumul şcolar la Matematică vizează formarea la elevi, în procesul educațional la matematică, a următoarelor valori și atitudini:formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în aborda-
rea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme în situaţii reale şi/sau modelate;
manifestarea curiozităţii şi a creativităţii în elaborarea strategiilor, a problemelor, a planurilor de activitate, în rezolvarea şi realizarea acestora;
manifestarea tenacităţii, a perseverenţei, a capacităţii de concentrare, a încre-derii în forţele proprii, a tendinţei spre realizarea potenţialului intelectual, a responsabilităţii pentru propria formare;
încurajarea iniţiativei şi disponibilităţii de a aborda sarcini variate;manifestarea independenţei în gândire şi acţiune;dezvoltarea simţului estetic şi critic;dezvoltarea unei gândiri deschise, creative şi a unui spirit de obiectivitate, de
imparţialitate şi de toleranţă;aprecierea rigorii, a ordinii şi a eleganţei în arhitectura rezolvării unei probleme,
în aplicarea unei metode, a unui algoritm sau a construirii unei teorii;formarea şi dezvoltarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu re-
levant pentru viaţa socială şi profesională;stimularea unor atitudini favorabile faţă de ştiinţă şi faţă de cunoaştere în general;utilizarea terminologiei aferente matematicii în situaţii de comunicare;susţinerea propriilor idei şi puncte de vedere prin argumentare şi/sau formulări
de întrebări; cooperarea în calitate de membru al unui grup;angajarea în discuţii critice şi constructive asupra unui subiect matematic;
8
adoptarea punctelor de vedere diferite şi orientarea în vederea formării propriei viziuni.
Unitățile de competență sunt achiziții care trebuie să fie dobândite de către elevi la finele compartimentului studiat sau la finele anului de studii. Ele servesc și ca ele-mente/pași în formarea competențelor specifice, care vor fi evaluate formativ și/sau sumativ la finele unității de învățare și/sau la finele anului de studii.
Unitățile de conținut constituie instrumente care contribuie la dobândirea achiziții-lor determinate de unitățile de competență proiectate, la formarea competențelor spe-cifice disciplinei și a celor transversale.
Activitățile și produsele de învățare recomandate prezintă o listă deschisă de con-texte semnificative de manifestare a unităților de competență proiectate pentru forma-re/dezvoltare și evaluare în cadrul unității respective de învățare. Cadrul didactic are libertatea și responsabilitatea să valorifice această listă în mod personalizat, la nivelul proiectării și realizării lecțiilor, dar și să o completeze în funcție de specificul clasei con-crete de elevi, de resursele disponibile etc.
Axarea învățământului pe formarea competențelor nu anulează conceptul de obiec-tiv, ci invers, presupune valorificarea acestuia la nivelul proiectării didactice de scurtă durată, corelând acele componente ale unității de învățare, care se vizează prin lecția dată.
Curriculumul este construit astfel încât să nu limiteze libertatea profesorului în proiectarea activităților didactice. În condițiile formării competenţelor specifice și ale dobândirii de către elevi a achizițiilor determinate de unitățile de competență (sub-competenţe), în condițiile parcurgerii integrale a conținuturilor obligatorii în cadrul aceleiași clase, profesorul are dreptul:
• să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut, dacă nu este afectată logica științifică sau didactică;
• să repartizeze timpul efectiv pentru parcurgerea unităților de conținut în funcție de pregătirea matematică a elevilor la etapa respectivă a învățământului;
• să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;
• să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete din clasă.
Manualele de matematică elaborate în baza acestui curriculum urmează să fie in-tegrate în concepția curriculumului și să respecte cerințele specifice: de a fi accesibile elevilor, de a fi funcționale, operaționale și de a îndeplini, prioritar, nu numai funcția informativă, dar și cea formativă, de învățare prin studiere, cercetare și descoperire independentă, de stimulare, de autoinstruire, de autoevaluare și, în final, de formare a competențelor.
9
II. ADMINISTRAREA DISCIPLINEI
Statutul disciplinei Aria curriculară Clasa Nr. de ore pe săptămână Nr. de ore pe an
Obligatorie Matematică şi ştiințe
VVIVIIVIIIIX
44444
136136136136132
III. COMPETENȚE SPECIFICE DISCIPLINEI
1. Operarea cu numere reale pentru a efectua calcule în diverse contexte, manifestând interes pentru rigoare şi precizie.
2. Exprimarea în limbaj matematic a unui demers, a unei situaţii, a unei soluţii, formu-lând clar şi concis enunţul.
3. Aplicarea raţionamentului matematic la identificarea şi rezolvarea problemelor, do-vedind claritate, corectitudine şi concizie.
4. Investigarea seturilor de date, folosind instrumente, inclusiv digitale, şi modele matematice, pentru a studia/explica relaţii şi procese, manifestând perseverenţă şi spirit analitic.
5. Explorarea noţiunilor, a relaţiilor şi a instrumentelor geometrice pentru rezolvarea problemelor, demonstrând consecvenţă şi abordare deductivă.
6. Extrapolarea achiziţiilor matematice pentru a identifica şi a explica procese, feno-mene din diverse domenii, utilizând concepte şi metode matematice în abordarea diverselor situaţii.
7. Justificarea unui demers sau a unui rezultat matematic, recurgând la argumentări, susţinând propriile idei şi opinii.
10
IV. U
NIT
ĂȚI
DE
ÎNVĂ
ȚAR
E
Clas
a a
V-a
Uni
tăți
de c
ompe
tenț
ăU
nită
ți de
con
ținut
Activ
ități
şi p
rodu
se d
e în
văța
re re
com
anda
te1.
1. Id
entifi
care
a și
aplic
area
în
situa
ții re
ale
și/sa
u m
odel
ate
a te
rmin
olog
iei a
fere
nte
no
țiuni
i de
num
ăr, m
ulțim
e,
divi
zibili
tate
.1.
2. Id
entifi
care
a, sc
riere
a,
citir
ea n
umer
elor
nat
ural
e în
co
ntex
te v
aria
te.
1.3.
Rep
reze
ntar
ea p
e ax
ă,
clas
ifica
rea,
com
para
rea,
or
dona
rea
şi ro
tunj
irea
num
erel
or n
atur
ale.
1.4.
Apl
icar
ea a
lgor
itmilo
r, a
prop
rietă
ților
ope
rații
lor,
pent
ru e
fect
uare
a și
optim
izare
a ca
lcul
elor
cu
num
ere
natu
rale
.1.
5. A
flare
a co
mpo
nent
ei
necu
nosc
ute
în c
adru
l op
eraț
iilor
de
adun
are,
sc
ăder
e, în
mul
țire
și
împă
rțire
cu
num
ere
natu
rale
.
I. M
ulțim
ea n
umer
elor
nat
ural
e •
Scrie
rea
și ci
tirea
num
erel
or n
atur
ale
în si
stem
ul ze
cim
al d
e nu
mer
ație
. Re
prez
enta
rea
num
erel
or n
atur
ale
pe
axă
• Co
mpa
rare
a și
ordo
nare
a nu
mer
elor
na
tura
le. R
otun
jirea
num
erel
or n
atur
ale
• Ad
unar
ea n
umer
elor
nat
ural
e.
Prop
rietă
ți•
Scăd
erea
num
erel
or n
atur
ale
• În
mul
țirea
num
erel
or n
atur
ale.
Pr
oprie
tăți.
Fac
toru
l com
un•
Împă
rțire
a nu
mer
elor
nat
ural
e•
Împă
rțire
a cu
rest
• N
oțiu
nea
de p
uter
e cu
exp
onen
t nat
ural
a
unui
num
ăr n
atur
al. P
ătra
tul ș
i cub
ul
unui
num
ăr n
atur
al•
Ord
inea
efe
ctuă
rii o
pera
țiilo
r și f
olos
irea
para
ntez
elor
• Re
zolv
area
pro
blem
elor
în m
ulțim
ea
num
erel
or n
atur
ale,
util
izând
:-
met
oda
redu
cerii
la
unita
te;
- m
etod
a m
ersu
lui i
nver
s•
Mul
țimi.
Mod
uri d
e de
finire
a m
ulțim
ilor.
Rela
ții d
e ap
arte
nenț
ă. C
ardi
nalu
l m
ulțim
ii fin
ite
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
a n
umer
elor
nat
ural
e în
con
text
e va
riate
;-
scrie
re și
citi
re a
num
erel
or n
atur
ale
în si
stem
ul ze
cim
al
de n
umer
ație
;-
repr
ezen
tare
a n
umer
elor
pe
axă,
ord
onar
e și
com
para
re
a nu
mer
elor
nat
ural
e;-
rotu
njire
a n
umer
elor
nat
ural
e;-
efec
tuar
e a
oper
ațiil
or c
u nu
mer
e na
tura
le, r
espe
ctân
d or
dine
a op
eraț
iilor
și u
tilizâ
nd p
aran
teze
;-
utiliz
are
a pr
oprie
tățil
or o
pera
țiilo
r stu
diat
e cu
num
ere
natu
rale
pen
tru
optim
izare
a ca
lcul
elor
în d
iver
se
cont
exte
;-
aplic
are
a al
gorit
mul
ui d
e afl
are
a co
mpo
nent
ei
necu
nosc
ute
în c
adru
l ope
rații
lor d
e ad
unar
e, sc
ăder
e,
înm
ulțir
e, îm
părț
ire (t
erm
enul
nec
unos
cut,
desc
ăzut
ul,
scăz
ător
ul, f
acto
rul n
ecun
oscu
t, de
împă
rțitu
l, îm
părț
itoru
l);-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
, inc
lusiv
din
via
ța c
otidi
ană,
car
e co
nduc
la u
tiliza
rea
ope
rații
lor m
atem
atice
cu
num
ere
natu
rale
, inc
lusiv
ele
men
te d
e or
gani
zare
a d
atel
or;
- re
zolv
are
a pr
oble
mel
or în
mul
țimea
num
erel
or n
atur
ale,
in
clus
iv a
pro
blem
elor
de
mișc
are,
util
izând
met
odel
e st
udia
te;
- sc
riere
și c
itire
a m
ulțim
ilor;
- de
term
inar
e a
card
inal
ului
une
i mul
țimi;
11
1.6.
Tran
spun
erea
une
i situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e în
lim
baj m
atem
atic,
rezo
lvar
ea
prob
lem
ei o
bțin
ute
și in
terp
reta
rea
rezu
ltatu
lui,
uti
lizân
d ca
lcul
ul c
u nu
mer
e na
tura
le, m
ulțim
ile și
di
vizib
ilita
tea.
1.7.
Util
izare
a cr
iterii
lor d
e di
vizib
ilita
te c
u 10
, 2 și
5 în
re
zolv
area
pro
blem
elor
.1.
8. Ju
stific
area
și a
rgum
enta
rea
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
cu
num
ere
natu
rale
.
• Di
vizo
r. M
ulțim
ea d
ivizo
rilor
unu
i num
ăr
natu
ral
• M
ultip
lu. M
ulțim
ea m
ultip
lilor
unu
i nu
măr
nat
ural
• Cr
iterii
le d
e di
vizib
ilita
te c
u 10
, 2 și
5.
Num
ere
pare
și n
umer
e im
pare
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:pr
oprie
tate
a co
mut
ativă
, pro
prie
tate
a as
ocia
tivă,
pro
prie
tate
a di
strib
utivă
a
înm
ulţir
ii fa
ţă d
e ad
unar
e (s
căde
re),
mul
ţime,
ele
men
t, ap
arţin
e/nu
apa
rţin
e,
mul
ţime
vidă
, car
dina
lul u
nei m
ulţim
i, di
vizo
r, m
ultip
lu, c
riter
iu d
e di
vizib
ilita
te,
num
ăr p
ar/im
par,
pute
re, e
xpon
ent,
bază
, m
etod
a re
duce
rii la
uni
tate
, met
oda
mer
sulu
i inv
ers.
- ap
licar
e a
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or a
fere
nte
noțiu
nii
de n
umăr
, m
ulțim
e, d
ivizi
bilit
ate,
incl
usiv
în
situa
ții d
e co
mun
icar
e;-
tran
scrie
re a
mul
țimilo
r din
tr-u
n m
od d
e de
finire
în a
ltul;
- st
abili
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nui e
nunț
mat
emati
c;-
com
plet
are
a su
cces
iuni
i de
num
ere
asoc
iate
con
form
re
gulil
or id
entifi
cate
prin
obs
erva
re și
/sau
indi
cate
;-
dete
rmin
are
a că
rei m
ulțim
i de
num
ere/
obie
cte
îi ap
arțin
e nu
măr
ul/o
biec
tul d
at;
- id
entifi
care
a d
ivizo
rilor
și a
mul
tiplil
or u
nui n
umăr
na
tura
l dat
;-
aplic
are
și uti
lizar
e a
crite
riilo
r de
divi
zibili
tate
în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or;
- ju
stific
are
și ar
gum
enta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute.
• Ce
rcet
area
caz
urilo
r con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la n
umer
e na
tura
le, m
ulţim
i, di
vizib
ilita
te şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a lu
crăr
ilor p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
num
erel
or n
atur
ale,
a m
ulţim
ilor.
• In
vesti
gare
a sit
uaţii
lor r
eale
şi/s
au m
odel
ate
priv
ind
mul
ţimea
num
erel
or n
atur
ale,
mul
ţimile
şi re
laţii
le d
e
divi
zibili
tate
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
num
erel
or n
atur
ale,
a m
ulţim
ilor ş
i a d
ivizi
bilit
ăţii
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
–
eval
uare
a nu
mer
elor
nat
ural
e, a
mul
ţimilo
r şi a
di
vizib
ilită
ţii.
Pr
odus
e re
com
anda
te:
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;
răs
puns
ul o
ral;
r
ăspu
nsul
scris
;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
12
it
emul
scris
rezo
lvat
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
s
chem
a el
abor
ată;
p
lanu
l de
idei
ela
bora
t;
pro
iect
ul „
Mul
țimi î
n ju
rul m
eu”;
p
roie
ctul
„Ax
a ev
enim
ente
lor d
in v
iața
mea
”;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
2.1.
Rec
unoa
şter
ea și
apl
icar
ea
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r af
eren
te n
oțiu
nii d
e fr
acție
or
dina
ră, n
umăr
zeci
mal
fin
it, în
div
erse
con
text
e.2.
2. Id
entifi
care
a și
re
prez
enta
rea
în d
iver
se
form
e a
frac
țiilo
r ord
inar
e și
a nu
mer
elor
zeci
mal
e fin
ite.
2.3.
Rep
reze
ntar
ea p
e ax
ă,
clas
ifica
rea,
com
para
rea,
or
dona
rea
frac
țiilo
r ord
inar
e și
a nu
mer
elor
zeci
mal
e fin
ite.
2.4.
Util
izare
a al
gorit
milo
r și a
pr
oprie
tățil
or o
pera
țiilo
r pe
ntru
efe
ctua
rea
și
optim
izare
a ca
lcul
elor
cu
frac
ții o
rdin
are
și cu
nu
mer
ele
zeci
mal
e fin
ite,
rotu
njire
a nu
mer
elor
ze
cim
ale
finite
.
II. F
racț
ii or
dina
re. N
umer
e ze
cim
ale
• Fr
acții
. Noț
iune
a de
frac
ție. F
racț
ii su
buni
tare
, ech
iuni
tare
, sup
raun
itare
. Re
prez
enta
rea
frac
țiilo
r cu
ajut
orul
uno
r de
sene
• Sc
oate
rea
într
egul
ui d
in fr
acție
. In
trod
ucer
ea în
treg
ului
în fr
acție
• Fr
acții
ech
ival
ente
. Am
plifi
care
a și
simpl
ifica
rea
frac
țiilo
r•
Aduc
erea
frac
țiilo
r la
acel
ași n
umito
r (u
nul d
intr
e nu
mito
ri es
te m
ultip
lul
celu
ilalt
num
itor)
• Re
prez
enta
rea
frac
țiilo
r pe
axa
num
erel
or•
Com
para
rea
frac
țiilo
r cu
acel
ași n
umito
r sa
u cu
ace
lași
num
ărăt
or•
Adun
area
și sc
ăder
ea fr
acții
lor c
u ac
elaș
i nu
mito
r, ad
unar
ea și
scăd
erea
frac
țiilo
r al
căr
or c
el m
ai m
ic n
umito
r com
un se
po
ate
calc
ula
prin
obs
erva
re d
irect
ă sa
u pr
in în
cerc
ări s
impl
e, u
tilizâ
nd
ampl
ifica
rea
și sim
plifi
care
a fr
acții
lor
• În
mul
țirea
frac
țiilo
r•
Inve
rsul
une
i fra
cții.
Împă
rțire
a fr
acții
lor
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- sc
riere
, citi
re și
repr
ezen
tare
a fr
acții
lor o
rdin
are,
a
num
erel
or ze
cim
ale;
- ap
licar
e a
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or a
fere
nte
noțiu
nii
de fr
acție
ord
inar
ă, n
umăr
zeci
mal
, inc
lusiv
în si
tuaț
ii de
co
mun
icar
e;-
iden
tifica
re și
cla
sifica
re a
num
erel
or î
n sit
uații
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
ampl
ifica
re și
sim
plifi
care
a fr
acții
lor;
- co
nstr
uire
a și
ruril
or d
e fr
acții
ech
ival
ente
prin
am
plifi
care
, sim
plifi
care
, sco
ater
ea în
treg
ului
din
frac
ție,
intr
oduc
erea
într
egul
ui d
in fr
acție
; -
stab
ilire
a v
alor
ii de
ade
văr a
une
i pro
poziț
ii;-
repr
ezen
tare
a fr
acții
lor o
rdin
are,
a n
umer
elor
zeci
mal
e fin
ite p
e ax
a nu
mer
elor
;-
ordo
nare
, com
para
re a
frac
țiilo
r, a
num
erel
or ze
cim
ale
finite
;-
înca
drar
e a
frac
țiilo
r, a
num
erel
or ze
cim
ale
finite
într
e do
uă n
umer
e na
tura
le c
onse
cutiv
e;-
calc
ul c
u fr
acții
și n
umer
e ze
cim
ale
finite
;-
aplic
are
în c
alcu
le a
alg
oritm
ilor ș
i a p
ropr
ietă
ților
ad
ecva
te, r
espe
ctân
d or
dine
a ef
ectu
ării
oper
ațiil
or;
- ro
tunj
ire a
rezu
ltate
lor u
nor c
alcu
le c
u nu
mer
e ze
cim
ale
finite
;
13
2.5.
Det
erm
inar
ea c
ompo
nent
ei
necu
nosc
ute
în c
adru
l op
eraț
iilor
de
adun
are,
sc
ăder
e, în
mul
țire,
împă
rțire
(te
rmen
nec
unos
cut,
desc
ăzut
, scă
zăto
r, fa
ctor
ul
necu
nosc
ut, d
eîm
părț
itul,
împă
rțito
rul)
cu fr
acții
or
dina
re și
cu
num
ere
zeci
mal
e.2.
6. Tr
ansp
uner
ea u
nei s
ituaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate
în
limba
j mat
emati
c, re
zolv
area
pr
oble
mei
obț
inut
e,
utiliz
ând
num
ere
natu
rale
, fr
acții
ord
inar
e, n
umer
e ze
cim
ale
finite
, rap
ortu
l și
inte
rpre
tare
a re
zulta
telo
r ob
ținut
e.
2.7.
Ela
bora
rea
plan
ului
de
idei
, priv
ind
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
real
e și/
sau
mod
elat
e, u
tilizâ
nd fr
acții
or
dina
re și
/sau
num
ere
zeci
mal
e.2.
8. R
ezol
vare
a tip
urilo
r de
prob
lem
e st
udia
te, u
tilizâ
nd
met
odel
e ad
ecva
te.
• Afl
area
une
i fra
cții
dint
r-un
num
ăr
natu
ral
• N
oțiu
nea
de n
umăr
zeci
mal
. Num
ere
zeci
mal
e fin
ite: s
crie
rea
frac
țiilo
r cu
num
itori
pute
ri al
e lu
i 10
sub
form
ă de
num
ăr ze
cim
al. S
crie
rea
și ci
tirea
nu
mer
elor
zeci
mal
e fin
ite•
Com
para
rea,
ord
onar
ea, r
epre
zent
area
pe
axă
a n
umer
elor
zeci
mal
e fin
ite.
Rotu
njiri
• Ad
unar
ea a
dou
ă sa
u m
ai m
ulte
num
ere
zeci
mal
e fin
ite. S
căde
rea
a do
uă n
umer
e ze
cim
ale
finite
• În
mul
țirea
unu
i num
ăr ze
cim
al fi
nit c
u 10
, 100
, 100
0; în
mul
țirea
cu
un n
umăr
na
tura
l; în
mul
țirea
a d
ouă
num
ere
zeci
mal
e fin
ite•
Împă
rțire
a nu
mer
elor
zeci
mal
e fin
ite la
10
, 100
, 100
0•
Ridi
care
a un
ui n
umăr
zeci
mal
fini
t la
pătr
at și
la c
ub•
Ord
inea
efe
ctuă
rii o
pera
țiilo
r•
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or, u
tilizâ
nd:
met
oda
redu
cerii
la u
nita
te, m
etod
a
mer
sulu
i inv
ers
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:fr
acţie
subu
nita
ră, f
racţ
ie e
chiu
nita
ră,
frac
ţie su
prau
nita
ră, f
racţ
ii ec
hiva
lent
e,
ampl
ifica
re, s
impl
ifica
re, f
racţ
ie in
vers
ă,
num
ăr ze
cim
al fi
nit,
frac
ţii o
rdin
are
- re
zolv
are
a pr
oble
mel
or, i
nclu
siv a
cel
or d
in v
iața
co
tidia
nă, c
are
cond
uc la
util
izare
a op
eraț
iilor
stud
iate
(in
clus
iv u
tilizâ
nd e
lem
ente
de
orga
niza
re a
dat
elor
);-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
de
aflar
e a
unei
frac
ții d
intr
-un
num
ăr n
atur
al, u
tilizâ
nd u
nită
țile
frac
ționa
re;
- ca
lcul
are
a va
lorii
unu
i rap
ort d
intr
e do
uă m
ărim
i de
acel
ași f
el, d
intr
e do
uă m
ărim
i dife
rite;
- re
zolv
are
a pr
oble
mel
or d
e m
ișcar
e;-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
, util
izând
: met
oda
redu
cerii
la
unita
te, m
etod
a m
ersu
lui i
nver
s;-
justi
ficar
e a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute,
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri, su
sțin
ând
prop
riile
idei
și o
pini
i.•
Cerc
etar
ea c
azur
ilor c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
frac
ţiile
ord
inar
e, la
num
erel
e ze
cim
ale
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea fr
acţii
lor o
rdin
are
şi a
num
erel
or ze
cim
ale
în
prac
tică.
• In
vesti
gare
a sit
uaţii
lor r
eale
şi/s
au m
odel
ate
priv
ind
aplic
area
frac
ţiilo
r ord
inar
e, a
num
erel
or ze
cim
ale
în d
iver
se
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d uti
lizar
ea f
racţ
iilor
or
dina
re şi
a n
umer
elor
zeci
mal
e în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea fr
acţii
lor o
rdin
are
şi a
num
erel
or ze
cim
ale
în
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
frac
ţiilo
r ord
inar
e şi
a nu
mer
elor
zeci
mal
e.
14
2.9.
Justi
ficar
ea re
zulta
telo
r ob
ținut
e în
cal
cule
cu
frac
ții
ordi
nare
și c
u nu
mer
e ze
cim
ale,
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri și
susț
inân
d pr
oprii
le id
ei și
opi
nii.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
r
ăspu
nsul
ora
l;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
it
emul
scris
rezo
lvat
;
răs
puns
ul sc
ris;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
sch
ema
ela
bora
tă;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
pla
nul d
e id
ei;
p
roie
ctul
„N
umer
ele
zeci
mal
e în
via
ța n
oast
ră”;
jo
cul „
Dom
inou
l fra
cțiil
or e
chiv
alen
te”;
p
roie
ctul
„Fr
acții
le în
muz
ică”
;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
3.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea în
di
vers
e co
ntex
te, i
nclu
siv în
co
mun
icar
e, a
ter
min
olog
iei
afer
ente
noț
iuni
lor
geom
etric
e și
unită
ților
de
măs
ură
stud
iate
.3.
2. Id
entifi
care
a, c
arac
teriz
area
pr
in d
escr
iere
a un
or
confi
gura
ții g
eom
etric
e,
a un
or fi
guri,
cor
puri
geom
etric
e și
elem
ente
ale
ac
esto
ra în
situ
ații
real
e
și/sa
u m
odel
ate.
3.3.
Util
izare
a in
stru
men
telo
r ge
omet
rice
pent
ru a
măs
ura
sau
a co
nstr
ui/d
esen
a co
nfigu
rații
geo
met
rice
în
dive
rse
cont
exte
.
III. E
lem
ente
de
geom
etrie
şi
uni
tăți
de m
ăsur
ă•
Figu
ri ge
omet
rice:
pun
ct, d
reap
tă,
segm
ent,
sem
idre
aptă
, ung
hi, t
riung
hi,
patr
ulat
er, p
enta
gon,
cer
c (p
reze
ntar
e pr
in d
escr
iere
și p
rin d
esen
); el
emen
te
ale
figur
ilor g
eom
etric
e (la
turi,
vâr
furi,
un
ghiu
ri, c
entr
u, ra
ză, c
oard
ă, d
iam
etru
), in
terio
r, ex
terio
r. N
otaț
ii•
Inst
rum
ente
geo
met
rice:
rigl
a ne
grad
ată,
rig
la g
rada
tă, c
ompa
s, e
cher
, ban
dă.
Dese
nare
a fig
urilo
r geo
met
rice
și ef
ectu
area
măs
urăr
ilor l
ungi
mii,
util
izând
in
stru
men
te g
eom
etric
e•
Drep
te c
oncu
rent
e. D
rept
e pe
rpen
dicu
lare
. Dre
pte
para
lele
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
, des
crie
re v
erba
lă și
în sc
ris a
noț
iuni
lor
geom
etric
e st
udia
te, u
tilizâ
nd te
rmin
olog
ia și
not
ațiil
e re
spec
tive;
- re
prez
enta
re a
figu
rilor
geo
met
rice
stud
iate
, util
izând
in
stru
men
tele
de
dese
n, in
stru
men
te T
IC;
- ap
licar
e a
repr
ezen
tăril
or fi
guril
or g
eom
etric
e st
udia
te în
re
zolv
area
pro
blem
elor
;-
cons
truc
ție a
dre
ptel
or p
erpe
ndic
ular
e și
a ce
lor p
aral
ele
utiliz
ând
rigla
și e
cher
ul;
- co
nfec
ționa
re d
in d
iferit
e m
ater
iale
a fi
guril
or
geom
etric
e st
udia
te și
efe
ctua
re a
măs
urăr
ilor,
utiliz
ând
inst
rum
ente
ade
cvat
e sit
uație
i;-
recu
noaș
tere
în si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate
a el
emen
telo
r une
i figu
ri ge
omet
rice:
latu
ri, v
ârfu
ri,
ungh
iuri,
cen
tru,
rază
, coa
rdă,
dia
met
ru, i
nter
ior,
exte
rior;
15
3.4.
Con
fecț
iona
rea
din
dife
rite
mat
eria
le a
figu
rilor
ge
omet
rice
plan
e și
a co
rpur
ilor
stud
iate
.3.
5. D
eter
min
area
per
imet
relo
r, a
ariil
or (p
ătra
tulu
i, dr
eptu
nghi
ului
) și a
vo
lum
elor
(cub
ului
, cu
boid
ului
), ef
ectu
ând
rotu
njiri
ale
măs
urilo
r un
or o
biec
te d
in v
iața
co
tidia
nă, u
tilizâ
nd si
stem
ul
inte
rnaț
iona
l și/s
au c
el
națio
nal d
e m
ăsur
i.3.
6. Ef
ectu
area
tran
sfor
măr
ilor
mul
tiplil
or și
ale
su
bmul
tiplil
or u
nită
ților
din
sis
tem
ul in
tern
ațio
nal d
e m
ăsur
i pen
tru
lung
ime,
arie
, vo
lum
, mas
ă, ti
mp.
3.7.
Ana
lizar
ea și
inte
rpre
tare
a re
zulta
telo
r obț
inut
e pr
in
rezo
lvar
ea u
nor p
robl
eme
prac
tice
cu re
ferir
e la
figu
rile
geom
etric
e și
la c
orpu
rile
stud
iate
.3.
8. U
tiliza
rea
unită
ților
de
măs
ură
stud
iate
în re
zolv
area
pr
oble
mel
or d
in d
iver
se
dom
enii.
• Co
rpur
i geo
met
rice:
cub
, par
alel
ipip
ed
drep
tung
hic
(cub
oid)
, pira
mid
ă, sf
eră,
ci
lindr
u ci
rcul
ar d
rept
, con
circ
ular
dre
pt
(des
crie
re, e
vide
nție
re a
ele
men
telo
r: vâ
rfur
i, m
uchi
i, ba
ză, c
entr
u, ra
ză,
gene
rato
are)
• U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u lu
ngim
e (k
m, m
, dm
, cm
, mm
); tr
ansf
orm
ări.
Lung
imea
unu
i seg
men
t, a
unei
lini
i fr
ânte
. Per
imet
rul t
riung
hiul
ui și
al
patr
ulat
erul
ui•
Uni
tăți
de m
ăsur
ă uz
uale
pen
tru
supr
afaț
ă (k
m2 , m
2 , dm
2 , cm
2 , ha,
ar)
; tr
ansf
orm
ări.
Aria
păt
ratu
lui ș
i a
drep
tung
hiul
ui (f
ără
dem
onst
rații
)•
Uni
tăți
de m
ăsur
ă uz
uale
pen
tru
volu
m
(m3 , d
m3 , c
m3 );
tran
sfor
măr
i. Vo
lum
ul
cubu
lui ș
i al c
uboi
dulu
i (pa
rale
lipip
edul
ui
drep
tung
hic)
(făr
ă de
mon
stra
ții)
• U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u ca
paci
tate
(l, m
l); tr
ansf
orm
ări
• U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u m
asă
(t
, kg,
g, m
g); t
rans
form
ări
• U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u tim
p (s
, min
, oră
, ziu
ă, să
ptăm
ână,
lună
, an,
de
ceni
u, se
col,
mile
niu)
; tra
nsfo
rmăr
i•
Uni
tăți
mon
etar
e (n
ațio
nale
și
inte
rnaț
iona
le u
zual
e); t
rans
form
ări
- de
term
inar
e a
perim
etre
lor,
a ar
iilor
(păt
ratu
lui,
drep
tung
hiul
ui) ș
i a v
olum
elor
(cub
ului
, cub
oidu
lui)
și ex
prim
are
a ac
esto
ra în
uni
tăți
de m
ăsur
ă ad
ecva
te;
- an
aliză
și in
terp
reta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e pr
actic
e cu
refe
rire
la fi
guril
e ge
omet
rice
stud
iate
și la
uni
tățil
e de
măs
ură
rele
vant
e;-
efec
tuar
e de
tran
sfor
măr
i ale
mul
tiplil
or și
ale
su
bmul
tiplil
or p
rinci
pale
lor u
nită
ți di
n sis
tem
ul
inte
rnaț
iona
l de
măs
uri p
entr
u lu
ngim
e, a
rie, v
olum
, m
asă,
tim
p;-
aplic
are
în d
iver
se c
onte
xte
a un
itățil
or d
e m
ăsur
ă na
ționa
le și
/sau
spec
ifice
regi
unii;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s sau
a u
nui r
ezul
tat m
atem
atic
obțin
ut sa
u in
dica
t cu
figur
i geo
met
rice,
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri;
- in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr a
une
i afir
maț
ii, a
une
i pr
opoz
iții c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l con
trae
xem
plel
or.
• Ce
rcet
area
caz
urilo
r con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la fi
guril
e ge
omet
rice
plan
e şi
la
corp
urile
stud
iate
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea fi
guril
or g
eom
etric
e pl
ane
şi a
corp
urilo
r stu
diat
e
în p
racti
că.
• Re
aliza
rea
inve
stiga
ţiilo
r priv
ind
util
izare
a fig
urilo
r ge
omet
rice
plan
e şi
a co
rpur
ilor s
tudi
ate
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a pr
oiec
telo
r de
grup
/indi
vidu
ale,
incl
usiv
pro
iect
e ST
EM/S
TEAM
, priv
ind
aplic
area
figu
rilor
geo
met
rice
plan
e şi
a co
rpur
ilor
stud
iate
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
figur
ilor g
eom
etric
e pl
ane
şi a
corp
urilo
r stu
diat
e.
16
3.9.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
figu
ri, c
orpu
ri ge
omet
rice
și un
ități
de m
ăsur
ă,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări.
3.10
. Inv
estig
area
val
orii
de
adev
ăr a
une
i afir
maț
ii,
a un
ei p
ropo
ziții
cu
ajut
orul
exe
mpl
elor
, al
cont
raex
empl
elor
.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:se
mid
reap
tă, p
enta
gon,
vâr
f, la
tură
, ce
ntru
, raz
ă, c
oard
ă, d
iam
etru
, int
erio
r, ex
terio
r, dr
epte
per
pend
icul
are,
dre
pte
para
lele
, dre
pte
conc
uren
te, p
aral
elip
iped
dr
eptu
nghi
c, p
iram
idă,
cili
ndru
, sf
eră,
ge
nera
toar
e, b
ază,
muc
hii,
mili
litru
, m
iligr
ame,
kilo
met
ru p
ătra
t, m
etru
păt
rat
(cub
), de
cim
etru
păt
rat (
cub)
, cen
timet
ru
pătr
at (c
ub),
hect
ar, a
r.
Not
ațiil
e pe
ntru
figu
rile
geom
etric
e:
– tr
iung
hi,
< –
ungh
i, ǁ –
par
alel
, ꓕ
– p
erpe
ndic
ular
;A
– a
ria,
V –
vol
um,
C –
cer
c.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
r
ăspu
nsul
ora
l;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
r
ăspu
nsul
scris
;
des
enul
;
lucr
area
pra
ctică
real
izată
pe
tere
n „C
alcu
lare
a lu
ngim
ilor ș
i a
perim
etre
lor”
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
s
chem
a e
labo
rată
;
arg
umen
tare
a or
ală/
în sc
ris;
p
lanu
l de
idei
;
pro
iect
ul „G
eom
etria
în p
rodu
se c
ulin
are”
;
pro
iect
ul „
Elem
ente
de
geom
etrie
în p
oveș
tile
popu
lare
m
oldo
vene
ști”;
p
roie
ctul
STE
M „O
căl
ător
ie im
agin
ară
prin
Mol
dova
”;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
17
LA F
INEL
E CL
ASEI
a V
-a, E
LEVU
L PO
ATE:
•id
entifi
ca, c
iti, s
crie
, rep
reze
nta,
com
para
, ord
ona
și ro
tunj
i num
erel
e na
tura
le, f
racț
iile,
num
erel
e ze
cim
ale
finite
în c
onte
xte
dife
rite;
•id
entifi
ca, c
iti, s
crie
și re
prez
enta
o m
ulțim
e da
tă în
div
erse
mod
uri;
•de
term
ina
căre
i mul
țimi d
e nu
mer
e/ob
iect
e îi
apar
ține
num
ărul
/obi
ectu
l dat
;•
utiliz
a te
rmin
olog
ia a
fere
ntă
noțiu
nii
de n
umăr
nat
ural
, fr
acție
, nu
măr
zec
imal
fini
t, m
ulțim
e, d
ivizo
r, m
ultip
lu,
crite
riu d
e di
vizib
ilita
te, î
n co
ntex
te v
aria
te, i
nclu
siv în
com
unic
are;
•ef
ectu
a op
eraț
ii ar
itmeti
ce c
u nu
mer
e na
tura
le, f
racț
ii or
dina
re, n
umer
e ze
cim
ale
finite
; •
aplic
a pr
oprie
tățil
e op
eraț
iilor
arit
meti
ce p
entr
u a
efici
entiz
a ca
lcul
ele;
•
dete
rmin
a co
mpo
nent
a ne
cuno
scut
ă în
cad
rul o
pera
ției i
ndic
ate;
•re
zolv
a pr
oble
me,
incl
usiv
pro
blem
e de
mișc
are,
util
izând
met
odel
e st
udia
te;
•afl
a o
frac
ție d
intr
-un
num
ăr n
atur
al;
•se
lect
a, o
rgan
iza, i
nter
pret
a an
umite
dat
e di
n di
vers
e sit
uații
, pe
ntru
a r
ezol
va p
robl
eme,
incl
usiv
cel
e id
entifi
cate
din
via
ța
cotid
iană
, în
baza
a d
iver
se su
rse:
text
, tab
el, d
esen
, sch
emă,
dia
gram
ă et
c.;
•re
prez
enta
prin
des
en și
con
fecț
iona
din
dife
rite
mat
eria
le fi
guril
e ge
omet
rice
plan
e st
udia
te;
•ef
ectu
a m
ăsur
ări,
expr
ima,
rotu
nji ș
i com
para
rezu
ltate
le u
nor m
ăsur
ări,
utiliz
ând
unită
țile
de m
ăsur
ă ad
ecva
te p
entr
u lu
ngim
e,
supr
afaț
ă, v
olum
, cap
acita
te, m
asă,
tim
p, u
nită
ți m
onet
are
și tr
ansf
orm
ările
ace
stor
a.•
desc
rie fi
guril
e ge
omet
rice
plan
e, c
orpu
rile
geom
etric
e st
udia
te ș
i rec
unoa
ște
elem
ente
le lo
r (la
tură
, vâr
furi,
ung
hiur
i, ce
ntru
, ra
ză, c
oard
ă, d
iam
etru
, int
erio
r, ex
terio
r);
•de
term
ina
perim
etre
le, a
riile
(păt
ratu
lui,
drep
tung
hiul
ui) ș
i vol
umel
e (c
ubul
ui, p
aral
elip
iped
ului
dre
ptun
ghic
) și e
xprim
a ac
este
a în
uni
tăți
de m
ăsur
ă ac
cept
ate
în S
istem
ul In
tern
ațio
nal,
cât ș
i în
unită
ți na
ționa
le c
ores
punz
ătoa
re d
e m
ăsur
are;
•uti
liza
term
inol
ogia
și n
otaț
iile/
simbo
luril
e af
eren
te e
lem
ente
lor d
e ge
omet
rie st
udia
te în
con
text
e di
vers
e;•
justi
fica
un d
emer
s/re
zulta
t mat
emati
c, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri și
susț
inân
d pr
oprii
le id
ei și
opi
nii.
18
Clas
a a
VI-a
Uni
tăți
de c
ompe
tenț
ăU
nită
ți de
con
ținut
Activ
ități
şi p
rodu
se d
e în
văța
re re
com
anda
te1.
1. Id
entifi
care
a nu
mer
elor
na
tura
le, a
mul
țimii
divi
zoril
or, a
mul
tiplil
or
num
ărul
ui p
rim și
ai
num
ărul
ui c
ompu
s în
dive
rse
cont
exte
.1.
2. Id
entifi
care
a și
folo
sire
a te
rmin
olog
iei a
fere
nte
noțiu
nilo
r de
num
ăr,
mul
țime,
div
izibi
litat
e în
co
ntex
te d
iver
se, i
nclu
siv în
co
mun
icar
e.1.
3. A
plic
area
crit
eriil
or d
e di
vizib
ilita
te c
u 10
, 2, 5
, 3,
9 p
entr
u op
timiza
rea
calc
ulel
or.
1.4.
Util
izare
a de
scom
pune
rii
num
erel
or n
atur
ale
în p
rodu
s de
put
eri d
e nu
mer
e pr
ime,
a
prop
rietă
ților
put
erii
în
cont
exte
var
iate
.1.
5. A
plic
area
alg
oritm
ilor p
entr
u de
term
inar
ea c
.m.m
.d.c
., c.
m.m
.m.c
. a d
ouă
num
ere
natu
rale
în re
zolv
area
pr
oble
mel
or.
I. N
umer
e na
tura
le
• M
ulțim
ea n
umer
elor
nat
ural
e (N
, N*)
• Di
vizo
r. M
ultip
lu. N
umer
e pr
ime,
num
ere
com
puse
• Cr
iterii
le d
e di
vizib
ilita
te c
u 2,
3, 5
, 9, 1
0.
Num
ere
pare
și n
umer
e im
pare
• De
scom
pune
rea
num
erel
or n
atur
ale
în
prod
us d
e pu
teri
de n
umer
e pr
ime
(pe
exem
ple
conc
rete
)•
Divi
zor c
omun
al d
ouă
num
ere
natu
rale
. C.
m.m
.d.c
. al d
ouă
num
ere
natu
rale
. N
umer
e pr
ime
într
e el
e•
Mul
tipli
com
uni a
i dou
ă nu
mer
e na
tura
le. C
.m.m
.m.c
. al d
ouă
num
ere
natu
rale
• Pu
tere
a cu
exp
onen
t num
ăr n
atur
al.
Prop
rietă
țile
pute
rii cu
exp
onen
t nat
ural
: pr
odus
ul a
dou
ă p
uter
i cu
acee
aşi b
ază,
pu
tere
a pr
odus
ului
, cât
ul a
dou
ă pu
teri
cu
acee
aşi b
ază,
put
erea
une
i put
eri,
a0 , 1n
• N
oțiu
nea
de e
cuaț
ie. M
ulțim
ea so
luții
lor
ecua
ției
• Re
zolv
area
în N
a e
cuaț
iilor
de
tipul
: x
± a
= b;
a ·
x =
b (a
≠ 0
); x
: a =
b (a
≠ 0
); ax
+ b
= c
(a ≠
0,)
unde
a, b
și c
sunt
nu
mer
e na
tura
le, d
eter
min
ând
com
pone
nta
necu
nosc
ută
a op
eraț
iei
prez
ente
în e
cuaț
ie
•Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
-id
entifi
care
și a
plic
are
a te
rmin
olog
iei ș
i a n
otaț
iilor
af
eren
te n
oțiu
nilo
r de
num
ăr, m
ulțim
e, d
ivizi
bilit
ate,
in
clus
iv în
situ
ații
de c
omun
icar
e;-
dete
rmin
are
a că
rei m
ulțim
i de
num
ere
îi ap
arțin
e
num
ărul
dat
;-
iden
tifica
re a
num
erel
or n
atur
ale,
a d
ivizo
rilor
și a
m
ultip
lilor
unu
i num
ăr n
atur
al, a
num
erel
or p
rime/
com
puse
/prim
e în
tre
ele
în d
iver
se si
tuaț
ii;
-de
term
inar
e a
mul
țimii
divi
zoril
or, a
mul
tiplil
or u
nui
num
ăr n
atur
al;
-ap
licar
e a
algo
ritm
ului
de
desc
ompu
nere
a n
umer
elor
na
tura
le în
pro
dus d
e pu
teri
de n
umer
e pr
ime,
a
crite
riilo
r de
divi
zibili
tate
cu
2, 3
, 5, 9
, 10
în d
iver
se
cont
exte
; -
evid
enție
re a
ava
ntaj
elor
apl
icăr
ii cr
iterii
lor d
e di
vizib
ilita
te, a
pro
prie
tățil
or o
pera
țiilo
r cu
num
ere
natu
rale
în e
fect
uare
a ca
lcul
elor
cu
num
ere
natu
rale
;-
dete
rmin
are
a c.
m.m
.d.c
. și a
c.m
.m.m
.c a
dou
ă nu
mer
e na
tura
le.
-re
zolv
area
pro
blem
elor
sim
ple,
util
izând
rela
țiile
de
divi
zibili
tate
;-
efec
tuar
e a
oper
ațiil
or c
u pu
teri
cu e
xpon
ent n
atur
al,
utiliz
ând
prop
rietă
țile
pute
rii c
u ex
pone
nt n
atur
al;
-re
zolv
are
a ec
uații
lor s
impl
e, d
eter
min
ând
com
pone
nta
necu
nosc
ută
a op
eraț
iei p
reze
nte
în e
cuaț
ie;
-re
zolv
are
a pr
oble
mel
or p
rin a
lcăt
uire
a ec
uații
lor,
dete
rmin
ând
com
pone
nta
necu
nosc
ută
a op
eraț
iei
prez
ente
în e
cuaț
ie;
19
1.6.
Mod
elar
ea u
nei s
ituaț
ii sim
ple,
incl
usiv
din
via
ța
cotid
iană
, util
izând
rela
țiile
de
div
izibi
litat
e a
num
erel
or
natu
rale
, rez
olva
rea
prob
lem
ei o
bțin
ute
și
inte
rpre
tare
a re
zulta
telo
r.1.
7. R
ezol
vare
a ec
uații
lor î
n m
ulțim
ea N
, det
erm
inân
d co
mpo
nent
a ne
cuno
scut
ă a
oper
ație
i pre
zent
e în
ecu
ație
.1.
8. E
labo
rare
a pl
anul
ui d
e id
ei,
priv
ind
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
cu
num
ere
natu
rale
și re
zolv
area
pr
oble
mei
în c
onfo
rmita
te c
u pl
anul
ela
bora
t.1.
9. Ju
stific
area
și a
rgum
enta
rea
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
la
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or
și ef
ectu
ări d
e ca
lcul
e cu
nu
mer
e na
tura
le.
• Re
zolv
area
pro
blem
elor
prin
alc
ătui
rea
de e
cuaț
ii de
tipu
ri st
udia
te
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:nu
măr
prim
, num
ăr c
ompu
s, n
umer
e pr
ime
într
e el
e, c
.m.m
.d.c
., c.
m.m
.m.c
., de
scom
pune
rea
în fa
ctor
i prim
i, ec
uaţie
, so
luţie
, pro
dusu
l a d
ouă
put
eri c
u ac
eeaş
i ba
ză, p
uter
ea p
rodu
sulu
i, câ
tul a
dou
ă pu
teri
cu a
ceea
şi ba
ză, p
uter
ea u
nei p
uter
i, ec
uaţie
, sol
uţie
a e
cuaţ
iei,
mul
ţimea
so
luţii
lor u
nei e
cuaţ
ii.
-ju
stific
are
și ar
gum
enta
re a
rațio
nam
ente
lor m
atem
atice
și
a re
zulta
telo
r obț
inut
e la
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or.
•Ce
rcet
area
caz
urilo
r con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la n
umer
e na
tura
le şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a lu
crăr
ilor p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
num
erel
or n
atur
ale
în p
racti
că.
•Re
aliza
rea
inve
stiga
ţiilo
r priv
ind
utiliz
area
num
erel
or
natu
rale
în
dive
rse
dom
enii.
•Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea n
umer
elor
nat
ural
e în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a nu
mer
elor
nat
ural
e.
Prod
use
reco
man
date
:c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;r
ăspu
nsul
ora
l;e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;r
ăspu
nsul
scris
;p
robl
ema
rezo
lvat
ă;it
emul
scris
rezo
lvat
;s
chem
a e
labo
rată
;a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;p
lanu
l de
idei
;p
roie
ctul
„N
umer
e na
tura
le în
via
ța m
ea”;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
20
2.1.
Iden
tifica
rea,
scrie
rea,
ci
tirea
și a
plic
area
num
erel
or
într
egi î
n di
vers
e co
ntex
te.
2.2.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
noț
iuni
i de
num
ăr
într
eg în
situ
ații
real
e
și/sa
u m
odel
ate,
incl
usiv
în
com
unic
are.
2.3.
Com
para
rea,
ord
onar
ea și
re
prez
enta
rea
num
erel
or
într
egi p
e ax
a nu
mer
elor
.2.
4. A
plic
area
pro
prie
tățil
or
oper
ațiil
or st
udia
te c
u nu
mer
e în
treg
i în
efec
tuar
ea
calc
ulel
or în
situ
ații
real
e
și/sa
u m
odel
ate.
2.5.
Util
izare
a m
odul
ului
în
calc
ule
cu n
umer
e în
treg
i în
dive
rse
cont
exte
.2.
6. R
ezol
vare
a ec
uații
lor n
m
ulțim
ea Z
, util
izând
pr
oprie
tățil
e op
eraț
iilor
ar
itmeti
ce st
udia
te și
al
gorit
mul
de
dete
rmin
are
a co
mpo
nent
ei n
ecun
oscu
te
oper
ație
i ind
icat
e.2.
7. U
tiliza
rea
num
erel
or în
treg
i în
div
erse
dom
enii:
în v
iața
co
tidia
nă, î
n ec
onom
ie, î
n al
te d
iscip
line
școl
are.
II. N
umer
e în
treg
i.
Ope
rații
cu
num
ere
într
egi
• N
umăr
într
eg. M
ulțim
ea n
umer
elor
în
treg
i Z. R
epre
zent
area
pe
axă
a nu
mer
elor
într
egi.
Opu
sul u
nui n
umăr
în
treg
. Mod
ulul
unu
i num
ăr în
treg
(in
trod
us c
u aj
utor
ul d
istan
ței p
e ax
ă)•
Ord
onar
ea și
com
para
rea
num
erel
or
într
egi
• Ad
unar
ea n
umer
elor
într
egi.
Prop
rietă
ți (c
omut
ativi
tate
a, a
soci
ativi
tate
a,
elem
entu
l neu
tru)
• Sc
ăder
ea n
umer
elor
într
egi
• O
rdin
ea e
fect
uării
ope
rații
lor
• În
mul
țirea
num
erel
or în
treg
i. Pr
oprie
tăți
(com
utati
vita
tea,
aso
ciati
vita
tea,
el
emen
tul n
eutr
u, d
istrib
utivi
tate
a fa
ță
de a
duna
re și
scăd
ere)
• Fa
ctor
ul c
omun
• Îm
părț
irea
num
erel
or în
treg
i atu
nci c
ând
deîm
părț
itul e
ste
mul
tiplu
l îm
părț
itoru
lui
• Pu
tere
a un
ui n
umăr
într
eg c
u ex
pone
nt
num
ăr n
atur
al. P
ropr
ietă
țile
pute
rii u
nui
num
ăr în
treg
cu
expo
nent
nat
ural
• O
rdin
ea e
fect
uării
ope
rații
lor ș
i fol
osire
a pa
rant
ezel
or ro
tund
e, p
ătra
te•
Rezo
lvar
ea în
Z a
ecu
ațiil
or d
e tip
ul:
x ±
a =
b; a
x =
b (a
≠ 0
); x
: a =
b (a
≠ 0
);
ax +
b =
c (a
≠ 0
), de
term
inân
d co
mpo
nent
a ne
cuno
scut
ă a
oper
ație
i pr
ezen
te în
ecu
ație
•Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
-sc
riere
, citi
re, i
denti
ficar
e, o
rdon
are,
com
para
re și
re
prez
enta
re a
num
erel
or în
treg
i pe
axa
num
erel
or;
-ap
licar
e a
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or a
fere
nte
noțiu
nii
de n
umăr
într
eg, i
nclu
siv în
situ
ații
de c
omun
icar
e;-
dete
rmin
are
a că
rei m
ulțim
i de
num
ere
îi ap
arțin
e nu
măr
ul d
at;
-ca
lcul
cu
num
ere
într
egi ș
i apl
icar
e în
cal
cule
a
algo
ritm
ilor ș
i a p
ropr
ietă
ților
stud
iate
;-
utiliz
are
a m
odul
ului
num
ărul
ui în
treg
în d
iver
se
cont
exte
;-
aplic
are
a al
gorit
mul
ui d
e de
term
inar
e a
com
pone
ntei
ne
cuno
scut
e în
cad
rul o
pera
țiilo
r de
adun
are,
scăd
ere,
în
mul
țire,
împă
rțire
(ter
men
ul n
ecun
oscu
t, de
scăz
utul
, sc
ăzăt
orul
, fac
toru
l nec
unos
cut,
deîm
părț
itul,
împă
rțito
rul)
a nu
mer
elor
într
egi;
-ef
ectu
are
a op
eraț
iilor
cu
pute
ri cu
exp
onen
t nat
ural
în
mul
țimea
num
erel
or în
treg
i, uti
lizân
d pr
oprie
tățil
e pu
teril
or;
-ef
ectu
are
a ca
lcul
elor
cu
num
ere
într
egi,
iden
tifica
re și
re
spec
tare
a o
rdin
ii ef
ectu
ării
oper
ațiil
or și
util
izare
a
para
ntez
elor
;-
aplic
are
a nu
mer
elor
într
egi î
n di
vers
e do
men
ii, in
clus
iv
în fi
zică,
geo
grafi
e, ști
ințe
, bio
logi
e, e
cono
mie
etc
.;-
rezo
lvar
e în
Z a
ecu
ațiil
or, u
tilizâ
nd p
ropr
ietă
țile
oper
ațiil
or a
ritm
etice
stud
iate
și a
lgor
itmul
de
dete
rmin
are
a co
mpo
nent
ei n
ecun
oscu
te în
cad
rul
oper
ație
i ind
icat
e;
-in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr (
adev
ăr/f
als)
a u
nei
afirm
ații
simpl
e pr
in p
reze
ntar
ea u
nor e
xem
ple,
a u
nor
cont
raex
empl
e;-
justi
ficar
e și
argu
men
tare
a re
zulta
telo
r obț
inut
e.
21
2.8.
Justi
ficar
ea și
arg
umen
tare
a re
zulta
telo
r obț
inut
e în
ca
lcul
e cu
num
ere
într
egi.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:nu
măr
într
eg, n
umăr
poz
itiv,
num
ăr n
egati
v,
opus
ul, m
odul
ul u
nui n
umăr
într
eg, p
uter
ea
unui
num
ăr în
treg
.
•Ce
rcet
area
caz
urilo
r con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi
/sau
m
odel
ate
refe
ritoa
re la
num
ere
într
egi ş
i sol
uţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
•Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea n
umer
elor
într
egi.
•Re
aliza
rea
inve
stiga
ţiilo
r priv
ind
utiliz
area
num
erel
or în
treg
i în
div
erse
dom
enii.
•Re
aliza
rea
proi
ecte
lor d
e gr
up/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea
num
erel
or în
treg
i în
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
•Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
num
erel
or în
treg
i.
Prod
use
reco
man
date
:c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;r
ăspu
nsul
ora
l;e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;r
ăspu
nsul
scris
;p
robl
ema
rezo
lvat
ă;it
emul
scris
rezo
lvat
;s
chem
a el
abor
ată;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;p
lanu
l de
idei
;p
roie
ctul
„N
umer
e în
treg
i în
viaț
a m
ea”;
p
roie
ctul
„Ax
a ev
enim
ente
lor i
stor
ice
din
epoc
a an
tică”
;h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
22
3.1.
Iden
tifica
rea,
scrie
rea
în
dive
rse
form
e și
citir
ea
num
erel
or ra
ționa
le în
co
ntex
te v
aria
te.
3.2.
Rec
unoa
şter
ea și
apl
icar
ea
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
no
țiuni
lor d
e nu
măr
rațio
nal,
mul
țime
în
cont
exte
var
iate
, inc
lusiv
în
com
unic
are.
3.3.
Cla
sific
area
, com
para
rea,
or
dona
rea,
repr
ezen
tare
a pe
ax
ă și
rotu
njire
a nu
mer
elor
ra
ționa
le.
3.4.
Apl
icar
ea p
ropr
ietă
ților
st
udia
te a
le o
pera
țiilo
r cu
num
ere
rațio
nale
în
efec
tuar
ea d
e ca
lcul
e în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e.3.
5. U
tiliza
rea
mod
ulul
ui în
ef
ectu
area
cal
cule
lor
cu n
umer
e ra
ționa
le în
re
zolv
area
pro
blem
elor
.3.
6. E
labo
rare
a pl
anul
ui d
e id
ei p
rivin
d re
zolv
area
pr
oble
mel
or î
n m
ulțim
ea
num
erel
or ra
ționa
le și
re
zolv
area
pro
blem
ei în
co
nfor
mita
te c
u pl
anul
el
abor
at.
III. N
umer
e ra
ționa
le.
O
pera
ții c
u nu
mer
e ra
ționa
le
• N
umer
e ra
ționa
le. M
ulțim
ea Q
. Re
prez
enta
rea
pe a
xă a
num
erel
or
rațio
nale
. Opu
sul u
nui n
umăr
rațio
nal.
Inve
rsul
unu
i num
ăr ra
ționa
l nen
ul.
Mod
ulul
unu
i num
ăr ra
ționa
l (in
trod
us
cu a
juto
rul d
istan
ței p
e ax
ă)
• Sc
riere
a nu
mer
elor
rațio
nale
în d
iver
se
form
e. T
rans
form
area
unu
i num
ăr
zeci
mal
fini
t în
frac
ție o
rdin
ară
și in
vers
• Co
mpa
rare
a nu
mer
elor
rațio
nale
. Ro
tunj
irea
num
erel
or ra
ționa
le•
Adun
area
num
erel
or ra
ționa
le.
Prop
rietă
ți (c
omut
ativi
tate
a,
asoc
iativ
itate
a, e
lem
entu
l neu
tru)
• Sc
ăder
ea n
umer
elor
rațio
nale
. Ord
inea
op
eraț
iilor
și u
tiliza
rea
para
ntez
elor
• În
mul
țirea
num
erel
or ra
ționa
le.
Prop
rietă
ți (c
omut
ativi
tate
a,
asoc
iativ
itate
a, e
lem
entu
l neu
tru,
di
strib
utivi
tate
a fa
ță d
e ad
unar
e și
scăd
ere)
. Fac
tor c
omun
• Pu
tere
a un
ui n
umăr
rațio
nal c
u ex
pone
nt
num
ăr n
atur
al•
Împă
rțire
a nu
mer
elor
rațio
nale
• O
rdin
ea e
fect
uării
ope
rații
lor ș
i fol
osire
a pa
rant
ezel
or•
Aflar
ea fr
acție
i din
tr-u
n nu
măr
. Afla
rea
num
ărul
ui fi
ind
dată
frac
ția
•Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
-sc
riere
, citi
re, i
denti
ficar
e a
num
erel
or ra
ționa
le în
di
vers
e sit
uații
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
aplic
are
a te
rmin
olog
iei ș
i a n
otaț
iilor
afe
rent
e no
țiuni
lor
de n
umăr
rațio
nal,
mul
țime,
incl
usiv
în si
tuaț
ii de
co
mun
icar
e;-
tran
sfor
mar
e a
unui
num
ăr ze
cim
al fi
nit
în fr
acție
or
dina
ră și
inve
rs;
-or
dona
re, c
ompa
rare
și re
prez
enta
re p
e ax
ă a
num
erel
or
rațio
nale
;-
rotu
njire
a re
zulta
telo
r uno
r cal
cule
cu
num
ere
rațio
nale
;-
calc
ul c
u nu
mer
e ra
ționa
le u
tilizâ
nd p
ropr
ietă
țile,
or
dine
a op
eraț
iilor
, sem
nific
ația
par
ante
zelo
r, m
odul
ul
num
ărul
ui ra
ționa
l;-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
, prin
apl
icar
ea m
etod
ei a
decv
ate
și a
oper
ațiil
or st
udia
te c
u nu
mer
e ra
ționa
le;
-ev
iden
țiere
a a
vant
ajel
or fo
losir
ii pr
oprie
tățil
or
oper
ațiil
or c
u nu
mer
e ra
ționa
le;
-ap
licar
e a
algo
ritm
ului
de
dete
rmin
are
a co
mpo
nent
ei
necu
nosc
ute
în c
adru
l ope
rații
lor d
e ad
unar
e, sc
ăder
e,
înm
ulțir
e, îm
părț
ire (t
erm
en n
ecun
oscu
t, de
scăz
ut,
scăz
ător
, fac
tor n
ecun
oscu
t, de
împă
rțit,
împă
rțito
r) a
le
num
erel
or ra
ționa
le;
-re
zolv
are
a pr
oble
mel
or, a
situ
ațiil
or-p
robl
emă,
util
izând
afl
area
frac
ției d
intr
-un
num
ăr, a
flare
a nu
măr
ului
, fiin
d da
tă fr
acția
;-
scrie
re și
citi
re a
mul
țimilo
r, a
mul
țimilo
r de
num
ere;
-de
term
inar
e a
card
inal
ului
une
i mul
țimi fi
nite
;-
tran
scrie
re a
mul
țimilo
r din
tr-u
n m
od d
e de
finire
în a
ltul;
-de
term
inar
e a
căre
i mul
țimi d
e nu
mer
e/m
ulțim
i de
obie
cte
îi ap
arțin
e nu
măr
ul d
at/o
biec
tul d
at;
23
3.7.
Tran
spun
erea
une
i situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e în
lim
baj m
atem
atic,
rezo
lvar
ea
prob
lem
ei o
bțin
ute,
util
izând
nu
mer
e ra
ționa
le, m
ulțim
i, op
eraț
ii cu
mul
țimi,
și in
terp
reta
rea
rezu
ltate
lor
obțin
ute.
3.
8. R
epre
zent
area
mul
țimilo
r în
dive
rse
mod
uri ș
i efe
ctua
rea
oper
ațiil
or c
u m
ulțim
i în
cont
exte
var
iate
.3.
9. Ju
stific
area
și a
rgum
enta
rea
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
în
calc
ule
cu n
umer
e ra
ționa
le
în d
iver
se c
onte
xte.
3.10
. Inv
estig
area
val
orii
de
adev
ăr (a
devă
r/fa
ls) a
un
ei a
firm
ații
simpl
e pr
in
prez
enta
rea
unor
exe
mpl
e sa
u co
ntra
exem
ple.
• Re
zolv
area
pro
blem
elor
în m
ulțim
ea
num
erel
or ra
ționa
le•
Mul
țimi.
Mod
uri d
e de
finire
a m
ulțim
ilor.
Rela
ția d
e ap
arte
nenț
ă. M
ulțim
i ega
le.
Subm
ulțim
i. Ca
rdin
alul
mul
țimii
finite
• O
pera
ții c
u m
ulțim
i (re
uniu
nea,
inte
r-se
cția
, dife
renț
a)
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:nu
măr
raţio
nal p
oziti
v, n
umăr
raţio
nal
nega
tiv, o
pusu
l unu
i num
ăr ra
ţiona
l, in
vers
ul u
nui n
umăr
raţio
nal n
enul
, mul
ţimi
egal
e, su
bmul
ţime,
reun
iune
a m
ulţim
ilor,
inte
rsec
ţia m
ulţim
ilor,
dife
renţ
a m
ulţim
ilor.
-ef
ectu
are
a op
eraț
iilor
cu
mul
țimi (
reun
iune
a, in
ters
ecția
, di
fere
nța)
;-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
apl
icân
d m
ulțim
i, op
eraț
ii cu
m
ulțim
i;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r (ad
evăr
/fal
s) a
une
i afi
rmaț
ii sim
ple
prin
pre
zent
area
uno
r exe
mpl
e sa
u co
ntra
exem
ple;
-ju
stific
are
și ar
gum
enta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
și a
tehn
olog
iilor
util
izate
.•
Cerc
etar
ea c
azur
ilor c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
num
ere
raţio
nale
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
•Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea n
umer
elor
raţio
nale
în p
racti
că.
•Re
aliza
rea
inve
stiga
ţiilo
r ref
erito
are
la u
tiliza
rea
num
erel
or
raţio
nale
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a pr
oiec
telo
r de
grup
/indi
vidu
ale
priv
ind
aplic
area
nu
mer
elor
raţio
nale
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
•Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văța
rea
– ev
alua
rea
num
erel
or ra
ţiona
le.
Pr
odus
e re
com
anda
te:
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;r
ăspu
nsul
ora
l;e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;r
ăspu
nsul
scris
;p
robl
ema
rezo
lvat
ă;it
emul
scris
rezo
lvat
;s
chem
a el
abor
ată;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;p
lanu
l de
idei
;p
roie
ctul
„Ap
licaț
ii al
e nu
mer
elor
rațio
nale
în p
rofe
siile
pă
rințil
or”;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
24
4.1.
Iden
tifica
rea
rapo
arte
lor,
a pr
opor
țiilo
r și a
m
ărim
ilor d
irect
sau
inve
rs
prop
orțio
nale
în c
onte
xte
dive
rse.
4.2.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i afe
rent
e no
țiuni
lor d
e ra
port
, pr
opor
ție, p
roce
nt,
prop
orțio
nalit
ate
în
cont
exte
var
iate
, inc
lusiv
în
com
unic
are.
4.3.
Cla
sific
area
eve
nim
ente
lor
utiliz
ând
dive
rse
crite
rii.
4.4.
Rep
reze
ntar
ea u
nor d
ate
sub
form
ă de
tabe
le sa
u de
dia
-gr
ame
stati
stice
în v
eder
ea
cole
ctăr
ii, î
nreg
istră
rii, p
relu
-cr
ării
și pr
ezen
tării
ace
stor
a,
utiliz
ând,
incl
usiv,
rapo
arte
, pr
ocen
te.
4.5.
Ela
bora
rea
plan
ului
de
idei
, priv
ind
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
din
div
erse
do
men
ii în
car
e in
terv
in ra
-po
arte
, pro
porț
ii, p
roce
nte,
m
ărim
i dire
ct sa
u in
vers
pr
opor
ționa
le, m
edia
arit
me-
tică,
regu
la d
e tr
ei si
mpl
ă și
rezo
lvar
ea p
robl
emei
în c
on-
form
itate
cu
plan
ul e
labo
rat.
IV. R
apoa
rte
şi p
ropo
rții
• Ra
poar
te. Ș
iruri
de ra
poar
te e
gale
• Pr
opor
ții. P
ropr
ieta
tea
fund
amen
tală
a
prop
orție
i •
Aflar
ea u
nui t
erm
en n
ecun
oscu
t al
prop
orție
i•
Măr
imi d
irect
pro
porț
iona
le•
Măr
imi i
nver
s pro
porț
iona
le
• Re
gula
de
trei
sim
plă
• Pr
ocen
te. A
flare
a pr
ocen
telo
r din
tr-u
n nu
măr
dat
• Afl
area
unu
i num
ăr c
ând
cuno
aște
m
proc
ente
le d
in e
l•
Aflar
ea ra
port
ului
pro
cent
ual.
Prob
lem
e•
Elem
ente
de
orga
niza
re a
dat
elor
. Re
prez
enta
rea
date
lor p
rin ta
bele
și
grafi
ce. G
rafic
e cu
bar
e, g
rafic
e ci
rcul
are
• M
edia
arit
meti
că•
Elem
ente
de
prob
abili
tăți.
Eve
nim
ente
: sig
ure,
pos
ibile
, im
posib
ile (p
rin e
xem
ple
simpl
e)
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ra
port
, rap
oart
e eg
ale,
şir d
e ra
poar
te
egal
e, p
ropo
rţie
, măr
imi d
irect
pr
opor
ţiona
le, m
ărim
i inv
ers p
ropo
rţio
nale
, re
gula
de
trei
sim
plă,
pro
cent
, eve
nim
ent,
even
imen
t sig
ur, e
veni
men
t pos
ibil,
ev
enim
ent i
mpo
sibil,
gra
fic c
u ba
re, g
rafic
ci
rcul
ar, m
edia
arit
meti
că.
•Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- sc
riere
, citi
re, i
denti
ficar
e a
rapo
arte
lor,
a pr
opor
țiilo
r și
a m
ărim
ilor d
irect
sau
inve
rs p
ropo
rțio
nale
în d
iver
se
situa
ții;
- uti
lizar
e a
term
inol
ogie
i afe
rent
e no
țiuni
lor d
e pr
opor
ție, r
apor
t, pr
ocen
t, pr
opor
ționa
litat
e di
rect
ă,
prop
orțio
nalit
ate
inve
rsă
în si
tuaț
ii di
vers
e, in
clus
iv în
ce
le d
e co
mun
icar
e;-
calc
ular
e a
rapo
arte
lor a
dou
ă m
ărim
i de
acel
ași f
el, a
do
uă m
ărim
i di
ferit
e și
utiliz
are
a ac
esto
ra în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
; -
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
, inc
lusiv
din
via
ța c
otidi
ană,
în
care
inte
rvin
rapo
arte
, pro
porț
ii, p
roce
nte,
măr
imi d
irect
sa
u in
vers
pro
porț
iona
le, m
edia
arit
meti
că și
regu
la d
e tr
ei si
mpl
ă;-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
de
calc
ular
e a
conc
entr
ație
i so
luție
i;-
repr
ezen
tare
a u
nor d
ate
sub
form
ă de
tabe
le și
/sau
de
diag
ram
e st
atisti
ce în
ved
erea
col
ectă
rii, î
nreg
istră
rii,
prel
ucră
rii și
pre
zent
ării
aces
tora
, util
izând
num
ere
rațio
nale
, inc
lusiv
, rap
oart
e, p
roce
nte;
- cl
asifi
care
a e
veni
men
telo
r util
izând
div
erse
crit
erii;
- ju
stific
are
și ar
gum
enta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
și a
tehn
olog
iilor
util
izate
.•
Cerc
etar
ea c
azur
ilor c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
rapo
arte
şi p
ropo
rţii
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
•Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea ra
poar
telo
r şi a
pro
porţ
iilor
în p
racti
că.
•Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d uti
lizar
ea ra
poar
telo
r şi
a pr
opor
ţiilo
r în
dive
rse
dom
enii.
25
4.6.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t sim
plu,
susț
iner
ea
prop
riilo
r ide
i și v
iziun
i, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri.4.
7. In
vesti
gare
a va
lorii
de
adev
ăr (a
devă
r/fa
ls) a
un
ei a
firm
ații
simpl
e pr
in
prez
enta
rea
unor
exe
mpl
e sa
u co
ntra
exem
ple.
•Re
aliza
rea
proi
ecte
lor d
e gr
up/in
divi
dual
e, in
clus
iv p
roie
cte
STEM
/STE
AM, p
rivin
d ap
licar
ea ra
poar
telo
r şi a
pro
porţ
iilor
în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a ra
poar
telo
r şi a
pro
porţ
iilor
. Pr
odus
e re
com
anda
te:
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;r
ăspu
nsul
ora
l;e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;r
ăspu
nsul
scris
;p
robl
ema
rezo
lvat
ă;it
emul
scris
rezo
lvat
;s
chem
a el
abor
ată;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;p
lanu
l de
idei
;p
roie
ctul
„Ra
poar
te și
pro
porț
ii în
cul
inăr
ii”;
p
roie
ctul
STE
AM „
Rapo
arte
și p
ropo
rții
în p
ictu
ră și
ar
hite
ctur
ă”;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.5.
1.Id
entifi
care
a (s
pațiu
) în
situa
ții re
ale
și/sa
u m
odel
ate
și cl
asifi
care
a în
func
ție d
e di
vers
e cr
iterii
a fi
guril
or
geom
etric
e st
udia
te.
5.2.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i afe
rent
e
noțiu
nilo
r geo
met
rice
stud
iate
în d
iver
se c
onte
xte,
in
clus
iv în
com
unic
are.
5.3.
Car
acte
rizar
ea u
nor
confi
gura
ții g
eom
etric
e,
utiliz
ând
term
inol
ogia
și
nota
țiile
spec
ifice
.
V. F
igur
i şi c
orpu
ri ge
omet
rice
•Fi
guri
geom
etric
e: p
unct
, dre
aptă
, pla
n,
sem
ipla
n, se
gmen
t, se
mi-d
reap
tă, l
inie
fr
ântă
(pre
zent
are
prin
des
crie
re și
de
sen)
•
Lung
imea
segm
entu
lui.
Segm
ente
co
ngru
ente
. Con
stru
cția
unu
i seg
men
t co
ngru
ent c
u ce
l dat
. Mijl
ocul
se
gmen
tulu
i•
Triu
nghi
, pat
rula
ter (
pătr
at, d
rept
ungh
i, pa
rale
logr
am, r
omb,
trap
ez) (
prez
enta
re
prin
des
crie
re și
des
en).
Perim
etru
l tr
iung
hiul
ui, p
erim
etru
l pat
rula
teru
lui
•Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
-id
entifi
care
, des
crie
re v
erba
lă și
în sc
ris, u
tilizâ
nd
term
inol
ogia
și n
otaț
iile
resp
ectiv
e al
e fig
urilo
r și a
le
corp
urilo
r geo
met
rice
stud
iate
;-
repr
ezen
tare
a fi
guril
or g
eom
etric
e pl
ane
stud
iate
și
a co
nfigu
rații
lor g
eom
etric
e, u
tilizâ
nd in
stru
men
te d
e de
sen,
inst
rum
ente
TIC
și a
plic
area
repr
ezen
tăril
or
resp
ectiv
e în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or;
-de
term
inar
e a
lung
imilo
r de
segm
ente
, a p
erim
etre
lor,
a lu
ngim
ii ce
rcul
ui, a
arii
lor (
pătr
atul
ui, d
rept
ungh
iulu
i, di
scul
ui) ș
i a v
olum
elor
(cub
ului
, par
alel
ipip
edul
ui
drep
tung
hic)
și e
xprim
area
ace
stor
a în
uni
tăți
de m
ăsur
ă ad
ecva
te;
26
5.4.
Util
izare
a in
stru
men
telo
r de
des
en (e
cher
, rap
orto
r, co
mpa
s, ri
glă)
pen
tru
repr
ezen
tare
a în
pla
n a
unor
co
nfigu
rații
geo
met
rice,
a
rela
țiilo
r din
tre
figur
i;5.
5. C
onfe
cțio
nare
a di
n di
ferit
e m
ater
iale
a fi
guril
or p
lane
și
a co
rpur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te.
5.6.
Cal
cula
rea
și es
timar
ea
măs
urilo
r de
ungh
iuri,
a
lung
imilo
r, a
perim
etre
lor,
a ar
iilor
, a v
olum
elor
(pen
tru
figur
ile g
eom
etric
e st
udia
te,
incl
usiv,
a o
biec
telo
r rea
le
din
activ
itate
a co
tidia
nă),
folo
sind
rețe
le d
e pă
trat
e,
form
ulel
e cu
nosc
ute,
in
stru
men
tele
ade
cvat
e,
siste
mul
inte
rnaț
iona
l și/s
au
cel n
ațio
nal d
e m
ăsur
i. 5.
7. E
xtra
pola
rea
achi
zițiil
or
geom
etric
e do
bând
ite,
utiliz
ând
dive
rse
repr
ezen
tări
geom
etric
e, p
entr
u
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or
prac
tice
simpl
e re
ferit
oare
la
per
imet
re, a
rii, v
olum
e și,
dac
ă es
te c
azul
, util
izând
tr
ansf
orm
area
con
vena
bilă
a
unită
ților
de
măs
ură.
•Po
ligon
. Ele
men
te a
le p
olig
onul
ui (l
atur
i, vâ
rfur
i, un
ghiu
ri, d
iago
nale
), in
terio
r, ex
terio
r. Pe
rimet
rul p
olig
onul
ui•
Aria
păt
ratu
lui,
a dr
eptu
nghi
ului
(făr
ă de
mon
stra
ție)
•U
nghi
uri.
Măs
ura
în g
rade
a u
nghi
urilo
r. Ra
port
orul
și a
plic
area
lui l
a ca
lcul
ul
măs
urii
ungh
iulu
i. Co
nstr
uire
a cu
aj
utor
ul ra
port
orul
ui a
unu
i ung
hi a
vând
o
măs
ură
dată
•Ca
lcul
e cu
măs
uri d
e un
ghiu
ri (g
rade
, m
inut
e, se
cund
e)•
Clas
ifica
rea
ungh
iuril
or: u
nghi
uri
ascu
țite,
obt
uze,
dre
pte,
co
mpl
emen
tare
, sup
lem
enta
re, o
puse
la
vârf,
adi
acen
te•
Ung
hiur
i con
grue
nte.
Con
stru
irea
cu
ajut
orul
rigl
ei și
a c
ompa
sulu
i a u
nui
ungh
i con
grue
nt c
u ce
l dat
•Bi
sect
oare
a un
ghiu
lui.
Cons
trui
rea
cu
ajut
orul
rapo
rtor
ului
a b
isect
oare
i unu
i un
ghi
•Dr
epte
con
cure
nte,
dre
pte
para
lele
și
perp
endi
cula
re•
Med
iato
area
unu
i seg
men
t. Co
nstr
uire
a cu
aju
toru
l rig
lei ș
i a e
cher
ului
a
med
iato
arei
segm
entu
lui
•Li
nie
curb
ă. C
erc.
Disc
. Ele
men
te a
le
cerc
ului
(cen
tru,
rază
, dia
met
ru, c
oard
ă),
inte
rior,
exte
rior.
Num
ărul
. L
ungi
mea
ce
rcul
ui. A
ria d
iscul
ui (f
ără
dem
onst
rație
)
-co
nfec
ționa
re d
in d
iferit
e m
ater
iale
a c
orpu
rilor
și
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te;
-uti
lizar
e a
rapo
rtor
ului
la c
onst
ruire
a un
ui u
nghi
avâ
nd o
m
ăsur
ă da
tă, l
a co
nstr
uire
a bi
sect
oare
i unu
i ung
hi ;
-uti
lizar
e a
rigle
i și a
com
pasu
lui l
a co
nstr
uire
a un
ghiu
lui
cong
ruen
t cu
cel d
at;
-uti
lizar
e a
rigle
i și a
ech
erul
ui la
con
stru
irea
drep
telo
r pa
rale
le, a
cel
or p
erpe
ndic
ular
e și
a m
edia
toar
ei u
nui
segm
ent;
-uti
lizar
e a
com
pasu
lui p
entr
u co
nstr
uire
a ce
rcur
ilor î
n di
vers
e co
nfigu
rații
;-
aplic
are
a pr
oprie
tățil
or fi
guril
or și
cor
puril
or g
eom
etric
e st
udia
te în
div
erse
dom
enii;
-an
aliză
și in
terp
reta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e pr
actic
e cu
refe
rire
la fi
guril
e/co
rpur
ile g
eom
etric
e st
udia
te și
la u
nită
țile
de m
ăsur
ă re
leva
nte;
-in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr (
adev
ăr/f
als)
a u
nei
afirm
ații
simpl
e pr
in p
reze
ntar
ea u
nor e
xem
ple,
co
ntra
exem
ple;
-ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t mat
emati
c ob
ținut
sa
u in
dica
t cu
figur
i/cor
puri
geom
etric
e, re
curg
ând
la
argu
men
tări.
•Ce
rcet
area
caz
urilo
r con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la fi
guril
e ge
omet
rice
plan
e şi
la
corp
urile
stud
iate
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
•Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea fi
guril
or g
eom
etric
e pl
ane
şi a
corp
urilo
r stu
diat
e în
pra
ctică
.•
Real
izare
a in
vesti
gaţii
lor p
rivin
d uti
lizar
ea fi
guril
or
geom
etric
e pl
ane
şi a
corp
urilo
r stu
diat
e în
div
erse
dom
enii.
27
5.8.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t sim
plu,
susț
iner
ea
prop
riilo
r ide
i și v
iziun
i, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri.5.
9. In
vesti
gare
a va
lorii
de
adev
ăr (a
devă
r/fa
ls) a
un
ei a
firm
ații
simpl
e pr
in
prez
enta
rea
unor
exe
mpl
e sa
u co
ntra
exem
ple.
•Cu
b, p
aral
elip
iped
dre
ptun
ghic
(cub
oid)
, pi
ram
idă,
cili
ndru
circ
ular
dre
pt, c
on
circ
ular
dre
pt. D
esfă
șura
ta c
orpu
lui
geom
etric
stud
iat.
Sfer
ă, c
orp
sfer
ic.
Elem
ente
ale
cor
puril
or (f
ețe,
muc
hii,
vârf
uri,
baze
, cen
tru,
rază
, dia
met
ru,
gene
rato
are)
•Vo
lum
ul c
ubul
ui și
al c
uboi
dulu
i (fă
ră
dem
onst
rație
)
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:pa
rale
logr
am, r
omb,
trap
ez, u
nghi
, ung
hiur
i as
cuţit
e, o
btuz
e, d
rept
e, c
ompl
emen
tare
, su
plem
enta
re, o
puse
la v
ârf,
adia
cent
e,
bise
ctoa
re, m
edia
toar
e, d
iago
nală
, ra
port
or, g
rade
, min
ute,
secu
nde,
inte
rior,
exte
rior,
diam
etru
, coa
rdă,
num
ărul
,
lung
imea
cer
culu
i, ar
ie, p
iram
idă,
cili
ndru
ci
rcul
ar d
rept
, con
circ
ular
dre
pt, s
feră
, cor
p sf
eric
, gen
erat
oare
.N
otaț
iile
pent
ru fi
guril
e ge
omet
rice:
m (<
B) –
măs
ura
ungh
iulu
i B,
o – g
rad,
ʹ –
min
ute,
ʺ–
secu
nde,
Þ –
con
grue
nt.
•Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea fi
guril
or g
eom
etric
e pl
ane
şi a
corp
urilo
r stu
diat
e în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a fig
urilo
r geo
met
rice
plan
e şi
a co
rpur
ilor s
tudi
ate.
Pr
odus
e re
com
anda
te:
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;r
ăspu
nsul
ora
l;r
ăspu
nsul
scris
;p
robl
ema
rezo
lvat
ă;it
emul
scris
rezo
lvat
;s
chem
a el
abor
ată;
d
esen
ul re
aliza
t;a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;p
lanu
l de
idei
;p
roie
ctul
„Cor
puri
geom
etric
e în
con
stru
cțiil
e di
n lo
calit
atea
m
ea”;
L
ucra
rea
prac
tică
pe te
ren
„Cal
cula
rea
arie
i ter
enul
ui d
e jo
acă/
tere
nulu
i spo
rtiv”
;L
ucra
rea
de la
bora
tor „
Dete
rmin
area
val
orii
num
ărul
ui
”;H
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
T
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
28
LA F
INEL
E CL
ASEI
A V
I-a, E
LEVU
L PO
ATE:
•
iden
tifica
, citi
, scr
ie, r
epre
zent
a, co
mpa
ra și
ord
ona
num
ere
natu
rale
, num
ere
într
egi, n
umer
e ra
ționa
le în
tr-o
varie
tate
de
cont
exte
, in
clus
iv în
com
unic
are;
•de
term
ina
căre
i mul
țimi d
e nu
mer
e, o
biec
te a
parț
ine
num
ărul
, obi
ectu
l dat
;•
iden
tifica
, citi
, scr
ie și
repr
ezen
ta o
mul
țime
dată
în d
iver
se m
odur
i;•
aplic
a cr
iterii
le d
e di
vizib
ilita
te c
u 2,
3,
5, 9
, 10
, de
scom
pune
rea
în f
acto
ri pr
imi,
num
erel
e pr
ime
și co
mpu
se la
rez
olva
rea
prob
lem
elor
, inc
lusiv
din
via
ța c
otidi
ană;
•uti
liza
term
inol
ogia
și n
otaț
iile
afer
ente
noț
iuni
lor
de n
umăr
nat
ural
, num
ăr în
treg
, num
ăr ra
ționa
l, ra
port
, pro
porț
ie, p
roce
nt,
mul
țime,
div
izor,
mul
tiplu
, crit
eriu
de
divi
zibili
tate
, ele
men
telo
r de
geom
etrie
stud
iate
în c
onte
xte
dive
rse;
•ef
ectu
a op
eraț
iile
de a
duna
re, s
căde
re, î
nmul
țire,
împă
rțire
, rid
icar
e la
put
ere
cu e
xpon
ent n
umăr
nat
ural
cu n
umer
e di
n m
ulțim
ile
de n
umer
e st
udia
te;
•ap
lica
prop
rietă
țile
oper
ațiil
or a
ritm
etice
stud
iate
pen
tru
a efi
cien
tiza
calc
ule
cu d
iver
se n
umer
e;
•re
zolv
a ec
uații
sim
ple,
util
izând
pro
prie
tățil
e op
eraț
iilor
arit
meti
ce s
tudi
ate
și al
gorit
mul
de
dete
rmin
are
a co
mpo
nent
ei
necu
nosc
ute
în c
adru
l ope
rație
i ind
icat
e, în
mul
țimile
de
num
ere
stud
iate
;•
rezo
lva
prob
lem
e uti
lizân
d m
etod
e st
udia
te, p
robl
eme
de a
flare
a fr
acție
i din
tr-u
n nu
măr
, de
aflar
e a
num
ărul
ui fi
ind
dată
frac
ția,
de a
flare
a p
% d
intr
-un
num
ăr, d
e afl
are
a un
ui n
umăr
cân
d cu
noaș
tem
pro
cent
ele
din
el, d
e afl
are
a ra
port
ului
pro
cent
ual;
•in
vesti
ga p
robl
eme,
situ
ații-
prob
lem
ă, în
car
e se
sol
icită
apl
icar
ea o
pera
țiilo
r ar
itmeti
ce,
a m
etod
elor
de
rezo
lvar
e în
văța
te,
orga
niza
rea
date
lor
sub
form
ă de
tab
ele
și/sa
u di
agra
me
stati
stice
în v
eder
ea c
olec
tării
, înr
egist
rării
, pre
lucr
ării
și pr
ezen
tării
ac
esto
ra, u
tilizâ
nd n
umer
e ra
ționa
le, i
nclu
siv, r
apoa
rte,
pro
cent
e;•
repr
ezen
ta p
rin d
esen
și c
onfe
cțio
na d
in d
iferit
e m
ater
iale
figu
rile
geom
etric
e pl
ane
stud
iate
;•
dete
rmin
a pe
rimet
rul p
olig
oane
lor,
lung
imile
cerc
ului
, arii
le (p
ătra
t, dr
eptu
nghi
, disc
) și v
olum
ele
(cub
, par
alel
ipip
ed d
rept
ungh
ic)
utiliz
ând
form
ule
cuno
scut
e, S
istem
ul In
tern
ațio
nal ș
i/sau
cel
naț
iona
l de
măs
uri;
•op
era
cu m
ăsur
i de
ungh
iuri:
gra
de, m
inut
e, se
cund
e;•
utiliz
a in
stru
men
tele
de
dese
n la
cons
trui
rea
drep
telo
r par
alel
e, a
cel
or p
erpe
ndic
ular
e, a
med
iato
arei
unu
i seg
men
t, a
cerc
ului
în
dive
rse
confi
gura
ții;
•uti
liza
rapo
rtor
ul la
măs
urar
ea și
cons
trui
rea
ungh
iuril
or, l
a co
nstr
uire
a bi
sect
oare
i unu
i ung
hi; r
igla
și co
mpa
sul l
a co
nstr
uire
a un
ui
ungh
i con
grue
nt c
u ce
l dat
;•
aplic
a te
rmin
olog
ia și
not
ațiil
e af
eren
te fi
guril
or și
cor
puril
or g
eom
etric
e st
udia
te în
div
erse
con
text
e;
•in
vesti
ga v
aloa
rea
de a
devă
r (ad
evăr
/fal
s) a
une
i afir
maț
ii sim
ple
prin
pre
zent
area
uno
r exe
mpl
e sa
u co
ntra
exem
ple.
•ju
stific
a un
dem
ers/
rezu
ltat m
atem
atic,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
susț
inân
d pr
oprii
le id
ei și
opi
nii.
29
Clas
a a
VII-a
Uni
tăți
de c
ompe
tenț
ăU
nită
ți de
con
ținut
Activ
ități
şi p
rodu
se d
e în
văța
re re
com
anda
te1.
1. Id
entifi
care
a și
aplic
area
te
rmin
olog
iei a
fere
nte
noțiu
nii d
e nu
măr
real
în
dive
rse
cont
exte
, inc
lusiv
în
com
unic
are.
1.2.
Iden
tifica
rea
și cl
asifi
care
a în
func
ție d
e di
vers
e cr
iterii
al
e el
emen
telo
r mul
țimilo
r nu
mer
ice
N, Z
, Q, I
, R.
1.3.
Com
para
rea,
ord
onar
ea,
pozi
ționa
rea
pe a
xă,
repr
ezen
tare
a în
div
erse
fo
rme
a nu
mer
elor
real
e.1.
4. C
alcu
lare
a ră
dăci
nii p
ătra
te
din
num
ere
real
e ne
nega
tive,
uti
lizân
d di
vers
e m
etod
e.1.
5. E
xplic
itare
a m
odul
ului
or
icăr
ui n
umăr
real
și
aplic
area
pro
prie
tățil
or
mod
ulul
ui în
div
erse
co
ntex
te.
1.6.
Efe
ctua
rea
oper
ațiil
or
(adu
nare
a, sc
ăder
ea,
înm
ulțir
ea, î
mpă
rțire
a,
ridic
area
la p
uter
e cu
ex
pone
nt n
atur
al, c
alcu
lare
a ră
dăci
nii p
ătra
te),
cu n
umer
e re
ale,
util
izând
pro
prie
tățil
e ac
esto
ra.
I. N
umer
e re
ale
• M
ulțim
ea n
umer
elor
rațio
nale
Q.
Incl
uziu
nileN
ZQ
⊂⊂
• N
umer
e ze
cim
ale.
Num
ere
zeci
mal
e pe
riodi
ce•
Repr
ezen
tare
a nu
mer
elor
rațio
nale
pe
axă
• N
oțiu
nea
de ră
dăci
nă p
ătra
tă d
intr
-un
num
ăr ra
ționa
l nen
egati
v. Ca
lcul
area
ră
dăci
nii p
ătra
te d
in n
umer
e ra
ționa
le
nene
gativ
e, u
tilizâ
nd c
alcu
lato
rul ș
i/sau
es
timar
ea/r
otun
jirea
• N
oțiu
nea
de n
umăr
iraț
iona
l•
Noț
iune
a de
num
ăr re
al•
Mul
țimea
num
erel
or re
ale.
Incl
uziu
nile
N
ZQ
R⊂
⊂⊂
• O
pera
ții c
u m
ulțim
ile N
, Z, Q
, R și
su
bmul
țimile
lor (
reun
iune
a, in
ters
ecția
, di
fere
nța,
pro
dusu
l sca
lar (
cu d
ouă
mul
țimi fi
nite
))•
Mod
ulul
num
ărul
ui re
al.
Prop
rietă
ți:
aa
aa
aa
≥≥
==
02
22
;;
;
ab
ab
a ba b
b=
=≠
;,
.0
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
a n
umer
elor
nat
ural
e, în
treg
i, ra
ționa
le,
irațio
nale
, rea
le în
div
erse
con
text
e;-
ordo
nare
, com
para
re și
repr
ezen
tare
a n
umer
elor
real
e pe
axa
num
erel
or;
- sc
riere
a n
umer
elor
real
e în
div
erse
form
e;-
tran
sfor
mar
e a
num
erel
or ze
cim
ale
perio
dice
în fr
acții
or
dina
re și
inve
rs;
- ex
plic
itare
a e
xpre
siilo
r cu
mod
ul, u
tilizâ
nd d
efini
ția
mod
ulul
ui;
- de
term
inar
e a
căre
i mul
țimi d
e nu
mer
e, o
biec
te îi
ap
arțin
e nu
măr
ul, o
biec
tul d
at;
- ap
licar
e a
term
inol
ogie
i și s
imbo
luril
or a
fere
nte
noțiu
nii
de n
umăr
real
și m
ulțim
e, in
clus
iv în
com
unic
are;
- re
spec
tare
a o
rdin
ii ef
ectu
ării
oper
ațiil
or, a
sem
nific
ație
i pa
rant
ezel
or și
util
izare
a p
ropr
ietă
ților
ope
rații
lor î
n ef
ectu
area
cal
cule
lor î
n m
ulțim
ea R
;-
calc
ul c
u nu
mer
e și
apl
icar
e în
cal
cule
a a
lgor
itmilo
r și a
pr
oprie
tățil
or a
decv
ate;
- tr
ansf
er și
ext
rapo
lare
a so
luții
lor u
nor p
robl
eme
pent
ru
rezo
lvar
ea a
ltora
, util
izând
num
ere
real
e și
mul
țimi;
- co
mpl
etar
e și
com
pune
re a
uno
r suc
cesiu
ni d
e nu
mer
e co
nfor
m re
gulil
or id
entifi
cate
sau
date
;-
argu
men
tare
a re
zulta
telo
r obț
inut
e în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
;-
aplic
are
a m
ulțim
ilor n
umer
ice
stud
iate
și a
su
bmul
țimilo
r ace
stor
a în
div
erse
dom
enii;
- in
trod
ucer
e a
fact
orilo
r sub
radi
cal,
scoa
tere
a fa
ctor
ilor
de su
b ra
dica
l;
30
1.7.
Apl
icar
ea n
umer
elor
real
e și
a m
ulțim
ilor n
umer
ice
stud
iate
în d
iver
se si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate.
1.8.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu n
umer
e re
ale,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări
simpl
e.
• Ad
unar
ea, s
căde
rea,
înm
ulțir
ea,
împă
rțire
a, ri
dica
rea
la p
uter
e cu
ex
pone
nt n
atur
al. P
ropr
ietă
ți•
Prop
rietă
țile
radi
calil
or:
ab
aba
b=
≥≥
,,
;0
0ab
aba
b=
≥≥
,,
;0
0.
a ba b
ab
=≥
≥,
,;
00
a
a2=
;
a
aa
()=
≥2
0,
.
• In
trod
ucer
ea fa
ctor
ilor s
ub ra
dica
l, sc
oate
rea
fact
orilo
r de
sub
radi
cal
• Co
mpa
rare
a, o
rdon
area
și re
prez
enta
rea
pe a
xă a
num
erel
or re
ale
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:nu
măr
iraţ
iona
l, nu
măr
real
, num
ăr ze
cim
al
perio
dic,
rădă
cina
păt
rată
a u
nui n
umăr
ne
nega
tiv, r
adic
al, v
aloa
rea
rădă
cini
i pă
trat
e, ra
dica
li (te
rmen
i) as
emen
ea,
intr
oduc
erea
fact
orilo
r sub
radi
cal,
scoa
tere
a fa
ctor
ilor d
e su
b ra
dica
l.
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t mat
emati
c ob
ținut
sau
indi
cat c
u nu
mer
e re
ale,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări.
•
Cerc
etar
ea c
azur
ilor c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
num
ere
real
e şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a lu
crăr
ilor p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
num
erel
or re
ale
în p
racti
că.
• Re
aliza
rea
inve
stiga
ţiilo
r priv
ind
utiliz
area
num
erel
or re
ale
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a pr
oiec
telo
r de
grup
/indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
nu
mer
elor
real
e în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a nu
mer
elor
real
e.Pr
odus
e re
com
anda
te:
c
azul
cer
ceta
t cu
aplic
ații
prac
tice;
e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
a
lgor
itmul
apl
icat
;
jocu
l did
actic
„Do
min
o”;
s
ofism
e re
zolv
ate
(cu
num
ere)
;
con
trae
xem
plul
pre
zent
at;
p
roie
ctul
: ,,M
etod
e al
tern
ative
de
calc
ular
e a
valo
rii
rădă
cini
i păt
rate
din
tr-u
n nu
măr
real
”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
31
2.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
în d
iver
se c
onte
xte
a te
rmin
olog
iei a
fere
nte
calc
ulul
ui a
lgeb
ric.
2.2.
Efe
ctua
rea
de a
dună
ri,
scăd
eri,
înm
ulțir
i, îm
părț
iri și
rid
icăr
i la
pute
re c
u ex
pone
nt
natu
ral a
le n
umer
elor
real
e re
prez
enta
te p
rin li
tere
în
dive
rse
cont
exte
.2.
3. Id
entifi
care
a în
enu
nțur
i di
vers
e a
form
ulel
or
înm
ulțir
ii pr
escu
rtat
e și
utiliz
area
ace
stor
a pe
ntru
op
timiza
rea
calc
ulel
or.
2.4.
Cal
cula
rea
valo
rii n
umer
ice
a ex
pres
iei a
lgeb
rice,
util
izând
ca
lcul
ul a
lgeb
ric.
2.5.
Des
com
pune
rea
unei
ex
pres
ii al
gebr
ice
în p
rodu
s de
fact
ori,
utiliz
ând
form
ulel
e în
mul
țirii
pres
curt
ate
și m
etod
ele
stud
iate
.2.
6. A
naliz
a re
zolv
ării
unei
pr
oble
me,
situ
ații-
prob
lem
ă cu
cal
cul a
lgeb
ric în
con
text
ul
core
ctitu
dini
i rez
ulta
tulu
i/ re
zulta
telo
r.2.
7. Ju
stific
area
rezu
ltate
lor
obțin
ute
cu c
alcu
l alg
ebric
, su
sțin
ând
prop
riile
idei
și
viziu
ni, r
ecur
gând
la
argu
men
tări.
II. C
alcu
l alg
ebric
• N
umer
e re
ale
repr
ezen
tate
prin
lite
re.
Expr
esii
alge
bric
e•
Ope
rații
cu
num
ere
real
e re
prez
enta
te
prin
lite
re (a
duna
rea,
scăd
erea
, în
mul
țirea
, îm
părț
irea,
ridi
care
a la
pu
tere
cu
expo
nent
nat
ural
)•
Form
ulel
e în
mul
țirii
pres
curt
ate:
abc
abac
±(
)=+
;
abcd
acad
bcbd
+(
)+
()=
++
+;
ab
aab
b±
()
=±
+2
22
2;
abab
ab
−(
)+
()=
−2
2.
• De
scom
pune
rea
unei
exp
resii
alg
ebric
e în
pro
dus d
e fa
ctor
i: sc
oate
rea
fact
orul
ui
com
un, a
plic
area
form
ulel
or d
e ca
lcul
pr
escu
rtat
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:nu
mer
e re
ale
repr
ezen
tate
prin
lite
re,
coefi
cien
tul n
umer
ic, p
arte
a lit
eral
ă,
term
eni a
sem
enea
, exp
resie
alg
ebric
ă,
valo
area
exp
resie
i alg
ebric
e, fo
rmul
ele
înm
ulţir
ii pr
escu
rtat
e, p
ătra
tul s
umei
, pă
trat
ul d
ifere
nţei
, dife
renţ
a pă
trat
elor
, de
scom
pune
rea
în p
rodu
s de
fact
ori,
tran
sfor
măr
i ide
ntice
.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
și u
tiliza
re în
con
text
e di
vers
e a
term
inol
ogie
i af
eren
te n
oțiu
nii d
e nu
măr
real
repr
ezen
tate
prin
lite
re;
- ca
lcul
are
a va
lorii
num
eric
e a
expr
esie
i alg
ebric
e;
- ef
ectu
are
de a
dună
ri, sc
ăder
i, în
mul
țiri,
împă
rțiri
și
ridic
ări l
a pu
tere
cu
expo
nent
nat
ural
ale
num
erel
or re
ale
repr
ezen
tate
prin
lite
re în
div
erse
con
text
e;-
iden
tifica
re în
enu
nțur
i div
erse
a fo
rmul
elor
cal
culu
lui
pres
curt
at;
- uti
lizar
e a
form
ulel
or c
alcu
lulu
i înm
ulțir
ii pr
escu
rtat
e pe
ntru
opti
miza
rea
uno
r cal
cule
;-
desc
ompu
nere
a u
nei e
xpre
sii a
lgeb
rice
în p
rodu
s de
fact
ori,
utiliz
ând
scoa
tere
a fa
ctor
ului
com
un, g
rupa
rea
și fo
rmul
ele
calc
ulul
ui p
resc
urta
t;-
sele
ctar
e și
siste
mati
zare
din
mul
țimea
de
info
rmaț
ii cu
lese
sau
indi
cate
a d
atel
or n
eces
are
pent
ru re
zolv
area
pr
oble
mei
de
calc
ul a
lgeb
ric în
div
erse
situ
ații;
- ju
stific
are
și ar
gum
enta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute,
ef
ectu
ând
calc
ule
cu n
umer
e re
ale
repr
ezen
tate
prin
lit
ere.
• C
erce
tare
a ca
zuril
or c
oncr
ete
din
dive
rse
dom
enii
refe
ritoa
re la
cal
culu
l alg
ebric
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
id
entifi
cate
.•
Rea
lizar
ea in
vesti
gaţii
lor p
rivin
d uti
lizar
ea ca
lcul
ului
alg
ebric
în
div
erse
dom
enii.
• A
plic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a ca
lcul
ului
alg
ebric
.Pr
odus
e re
com
anda
te:
e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
jo
cul d
idac
tic „C
ine
recu
noaș
te fo
rmul
a?”;
p
lanu
l de
idei
ela
bora
t;
alg
oritm
ul a
plic
at;
c
ontr
aexe
mpl
ul p
reze
ntat
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
32
3.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
noț
iuni
i de
func
ție
în d
iver
se c
onte
xte.
3.2.
Defi
nire
a un
ei fu
ncții
uti
lizân
d m
odul
sint
etic,
an
aliti
c, g
rafic
. 3.
3. Id
entifi
care
a și
form
ular
ea
exem
plel
or si
mpl
e de
co
resp
onde
nțe
care
sunt
fu
ncții
din
div
erse
dom
enii,
in
clus
iv d
in v
iața
coti
dian
ă.3.
4. R
epre
zent
area
în d
iver
se
mod
uri:
anal
itic,
tabe
lar,
grafi
c, p
rin d
iagr
ame
a un
ei
func
ții și
util
izare
a ac
esto
r re
prez
entă
ri în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
.3.
5. D
educ
erea
pro
prie
tățil
or
func
ției d
e gr
adul
I (z
erou
, se
mn,
mon
oton
ie) p
rin
lect
ura
grafi
că și
/sau
an
aliti
că.
3.6.
Util
izare
a pr
oprie
tățil
or
func
țiilo
r în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
, a si
tuaț
iilor
-pr
oble
mă,
în st
udiu
l și
expl
icar
ea u
nor p
roce
se
fizic
e, c
him
ice,
bio
logi
ce,
soci
ale,
eco
nom
ice,
m
odel
ate
prin
func
ții.
III.
Func
ții•
Sist
emul
car
tezia
n de
coo
rdon
ate
în
plan
. Axe
. Orig
inea
sist
emul
ui, c
adra
ne,
absc
isă, o
rdon
ată
• Co
ordo
nate
le p
unct
ului
. Ide
ntific
area
în
sist
emul
car
tezia
n de
coo
rdon
ate
a pu
nctu
lui,
cuno
scân
d co
ordo
nate
le lu
i. Id
entifi
care
a co
ordo
nate
lor p
unct
ului
da
t în
siste
mul
car
tezia
n de
coo
rdon
ate.
Di
stan
ța d
intr
e do
uă p
unct
e di
n pl
an•
Noț
iune
a de
func
ție. D
omen
iul d
e de
finiți
e, c
odom
eniu
(în
baza
exe
mpl
elor
sim
ple)
. Fun
cții
cu d
omen
iul d
e de
finiți
e fin
it, in
finit
• M
odur
i de
defin
ire a
func
ției
• N
oțiu
nea
grafi
cul f
uncţ
iei
• Fu
ncția
de
grad
ul I.
Fun
cția
con
stan
tă.
Repr
ezen
tare
a gr
afică
. Pro
prie
tăți
(mon
oton
ie, s
emnu
l fun
cție
i, ze
rou,
pa
nta
drep
tei)
• Pr
opor
ționa
litat
e di
rect
ă. R
epre
zent
area
gr
afică
. Pro
prie
tăți
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:sis
tem
ul c
arte
zian
de c
oord
onat
e în
pla
n,
axe
de c
oord
onat
e, a
xa a
bsci
selo
r, ax
a or
dona
telo
r, or
igin
ea si
stem
ului
car
tezia
n de
coo
rdon
ate,
cad
rane
, abs
cisă
, ord
onat
ă,
coor
dona
tele
pun
ctul
ui, d
epen
denţ
e fu
ncţio
nale
, fun
cţie
, mod
sint
etic
de d
efini
re
al fu
ncţie
i, m
od a
naliti
c de
defi
nire
al
func
ţiei,
argu
men
tul f
uncţ
iei,
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- re
prez
enta
re a
pun
ctel
or în
sist
emul
car
tezia
n de
coo
rdon
ate,
fiin
d da
te c
oord
onat
ele
lui,
și de
de
term
inar
e a
coor
dona
telo
r unu
i pun
ct re
prez
enta
t;-
cons
trui
re a
uno
r exe
mpl
e de
cor
espo
nden
țe c
are
sunt
fu
ncții
;-
aplic
are
în c
onte
xte
dive
rse,
incl
usiv
în c
omun
icar
e, a
te
rmin
olog
iei ș
i a n
otaț
iilor
afe
rent
e no
țiuni
i de
func
ție;
- sc
riere
, citi
re, e
xem
plifi
care
a n
oțiu
nilo
r: co
resp
onde
nțe
care
sunt
func
ții, f
uncț
ie, l
ege
de c
ores
pond
ență
, do
men
iu d
e de
finiți
e (fi
nit,
infin
it), c
odom
eniu
, mul
țime
de v
alor
i, ta
bel d
e va
lori,
dia
gram
ă, g
rafic
;-
repr
ezen
tare
în m
odur
ile a
naliti
c, si
nteti
c, g
rafic
a u
nor
core
spon
denț
e și/
sau
func
ții;
- uti
lizar
e a
prop
rietă
ților
func
țiilo
r stu
diat
e în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
, a si
tuaț
iilor
-pro
blem
ă, în
stud
iere
a un
or
proc
ese
fizic
e, c
him
ice,
bio
logi
ce, e
cono
mic
e, so
cial
e m
odel
ate
prin
func
ții;
- ap
licar
e a
prop
orțio
nalit
ății
dire
cte
în d
iver
se d
omen
ii,
incl
usiv
în v
iața
coti
dian
ă;-
asoc
iere
a u
nei p
robl
eme/
situa
ții-p
robl
emă
cu u
n m
odel
m
atem
atic
de ti
p fu
ncție
;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
func
ții, r
ecur
gând
la a
rgum
entă
ri.•
Cerc
etar
ea c
azur
ilor c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
func
ţiile
stud
iate
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea fu
ncţii
lor s
tudi
ate
în p
racti
că.
• Re
aliza
rea
inve
stiga
ţiilo
r priv
ind
aplic
area
func
ţiilo
r stu
diat
e în
div
erse
dom
enii.
33
3.7.
Apl
icar
ea p
ropo
rțio
nalit
ății
dire
cte
în d
iver
se d
omen
ii,
incl
usiv
în v
iața
coti
dian
ă.3.
8. Ju
stific
area
unu
i dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
func
ții, r
ecur
gând
la
argu
men
tări.
valo
are
inde
pend
entă
, val
oare
dep
ende
ntă,
do
men
iu d
e de
finiţi
e, ta
bel d
e va
lori,
co
dom
eniu
, leg
ea d
e co
resp
onde
nţă,
m
ulţim
ea d
e va
lori,
repr
ezen
tare
gra
fică,
fu
ncţie
num
eric
ă, fu
ncţie
de
grad
ul I,
fu
ncţie
con
stan
tă, p
ropo
rţio
nalit
ate
dire
ctă,
gr
aficu
l fun
cţie
i, m
onot
onie
, fun
cţie
stric
t cr
escă
toar
e, fu
ncţie
stric
t des
cres
căto
are,
se
mnu
l fun
cţie
i, ze
roul
func
ţiei,
pant
a dr
epte
i.
• Re
aliza
rea
proi
ecte
lor d
e gr
up/in
divi
dual
e, in
clus
iv p
roie
cte
STEM
/STE
AM, p
rivin
d ap
licar
ea fu
ncţii
lor s
tudi
ate
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văța
rea
– ev
alua
rea
func
ţiilo
r stu
diat
e.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat c
u ap
licaț
ii pr
actic
e;
inve
stiga
ția „T
impu
l util
izat p
entr
u re
aliza
rea
tem
ei d
e ac
asă
în d
ecur
s de
o să
ptăm
ână”
;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
pro
iect
ul re
aliza
t „Fu
ncții
în fi
zică”
;
pro
iect
ul re
aliza
t „Pr
opor
ționa
litat
ea d
irect
ă în
via
ța
cotid
iană
”
alg
oritm
ul a
plic
at;
m
odel
ul d
e fu
ncție
ela
bora
t;
gra
ficul
tras
at a
l fun
cție
i;
dia
gram
a el
abor
ată;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
p
roie
ctul
STE
M ,,
Varia
ția c
arac
teris
ticilo
r met
eo p
entr
u o
perio
adă
de 3
luni
în lo
calit
atea
de
baști
nă”:
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.4.
1. Id
entifi
care
a și
aplic
area
te
rmin
olog
iei a
fere
nte
noțiu
nilo
r de
ecua
ție și
in
ecua
ție în
div
erse
con
text
e.4.
2. U
tiliza
rea
prop
rietă
ților
re
lații
lor d
e eg
alita
te, d
e in
egal
itate
la e
fect
uare
a
tran
sfor
măr
ilor e
chiv
alen
te.
IV. E
cuaț
ii. In
ecua
ții
• N
oțiu
nea
de e
cuaț
ie c
u o
necu
nosc
ută.
So
luția
ecu
ație
i. M
ulțim
ea so
luții
lor
ecua
ției
• Ec
uații
ech
ival
ente
. Tra
nsfo
rmăr
i ec
hiva
lent
e
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- re
zolv
are
a ec
uații
lor ș
i a in
ecua
țiilo
r de
grad
ul I
cu o
ne
cuno
scut
ă și
a ce
lor r
educ
tibile
la a
cest
ea;
- ef
ectu
are
a tr
ansf
orm
ărilo
r ech
ival
ente
pen
tru
a ob
ține
ecua
ții, i
necu
ații
echi
vale
nte
cu c
ele
date
;-
tran
spun
ere
a un
ei p
robl
eme,
a u
nei s
ituaț
ii-pr
oble
mă
în
limba
jul e
cuaț
iilor
, al i
necu
ațiil
or, r
ezol
vare
a p
robl
emei
ob
ținut
e și
inte
rpre
tare
a re
zulta
tulu
i;
34
4.3.
Rez
olva
rea
ecua
țiilo
r de
grad
ul I,
a in
ecua
țiilo
r de
gr
adul
I și
a ce
lor r
educ
tibile
la
ace
stea
, util
izând
tran
s-fo
rmăr
ile e
chiv
alen
te.
4.4.
Ana
lizar
ea re
zolv
ării
unei
ec
uații
, a u
nei i
necu
ații
în
cont
extu
l cor
ectit
udin
ii, a
l sim
plită
ții, a
l cla
rităț
ii și
al
sem
nific
ație
i rez
ulta
telo
r.4.
5. E
fect
uare
a de
reun
iuni
și
inte
rsec
ții c
u in
terv
ale
num
eric
e și
repr
ezen
tare
a pe
axa
num
erel
or a
re
zulta
telo
r obț
inut
e.4.
6. T
rans
pune
rea
unei
pr
oble
me,
a u
nei s
ituaț
ii pr
oble
mă
în li
mba
jul
ecua
țiilo
r și/s
au a
l in
ecua
țiilo
r de
grad
ul I
cu
o ne
cuno
scut
ă, re
zolv
area
pr
oble
mei
obț
inut
e și
inte
rpre
tare
a re
zulta
tulu
i.4.
7. C
rear
ea şi
rezo
lvar
ea u
nor
prob
lem
e în
baz
a un
ui m
odel
da
t: ec
uație
, ine
cuaț
ie.
4.8.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
și/s
au
indi
cat c
u in
egal
ități,
ec
uații
, ine
cuaț
ii, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri, e
xem
ple,
co
ntra
exem
ple.
• Ec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
(a
x +
b =
0, a
, b
R, a
≠ 0
) și r
educ
tibile
la
ace
stea
. Mul
țimea
solu
țiilo
r ecu
ație
i de
gra
dul I
, exi
sten
ța, u
nici
tate
a so
luție
i•
Rezo
lvar
ea u
nor p
robl
eme,
incl
usiv
cu
conț
inut
pra
ctic,
cu
ajut
orul
ecu
ațiil
or•
Ineg
alită
ți nu
mer
ice.
Pro
prie
tăți
• In
terv
ale
de n
umer
e re
ale.
Re
prez
enta
rea
lor p
e ax
ă. O
pera
ții c
u in
terv
ale
(reu
niun
ea, i
nter
secț
ia)
• N
oțiu
nea
de in
ecua
ție c
u o
necu
nosc
ută.
In
ecua
ții e
chiv
alen
te•
Inec
uații
de
grad
ul I
de ti
pul:
ax +
b <
0;
ax +
b ≤
0; a
x +
b >
0; a
x +
b ≥
0, a
≠ 0
, a,
b
R și
redu
ctibi
le la
ace
stea
. M
ulțim
ea so
luții
lor i
necu
ație
i de
grad
ul I
și re
prez
enta
rea
ei p
e ax
ă
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ec
uaţie
de
grad
ul I
cu n
ecun
oscu
tă,
mul
ţimea
solu
ţiilo
r ecu
aţie
i, ec
uaţii
ec
hiva
lent
e, tr
ansf
orm
ări e
chiv
alen
te,
inte
rval
de
num
ere
real
e, in
terv
al în
chis,
de
schi
s, in
terv
al se
miîn
chis,
inec
uaţie
cu
o ne
cuno
scut
ă, in
ecua
ţii e
chiv
alen
te, s
oluţ
ie
a in
ecua
ţiei,
mul
ţimea
solu
ţiilo
r ine
cuaţ
iei,
dom
eniu
l val
orilo
r adm
isibi
le (D
VA) a
l ec
uaţie
i.
- ap
licar
e a
prop
rietă
ților
func
țiilo
r în
rezo
lvar
ea u
nor
ecua
ții, i
necu
ații;
- cr
eare
și re
zolv
are
a un
or p
robl
eme
simpl
e în
baz
a un
ui
mod
el d
at: e
cuaț
ie, i
necu
ație
;-
efec
tuar
e de
reun
iuni
și in
ters
ecții
cu
inte
rval
e nu
mer
ice,
fo
losin
d re
prez
entă
rile
pe a
xa n
umer
elor
;-
tran
spun
ere
a pr
oble
mel
or c
u te
xt în
lim
baj m
atem
atic
în
cont
extu
l rez
olvă
rii e
cuaț
iilor
, ine
cuaț
iilor
de
grad
ul I
cu o
ne
cuno
scut
ă sa
u re
ducti
bile
la a
cest
ea;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat c
u in
egal
ități,
ecu
ații,
inec
uații
, rec
urgâ
nd la
arg
umen
tări,
ex
empl
e, c
ontr
aexe
mpl
e.•
Cerc
etar
ea c
azur
ilor c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
ecu
aţiil
e, in
ecua
ţiile
stud
iate
şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a in
vesti
gaţii
lor p
rivin
d ap
licar
ea e
cuaţ
iilor
, in
ecua
ţiilo
r stu
diat
e în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea e
cuaţ
iilor
, ine
cuaţ
iilor
stud
iate
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
țare
a –
eval
uare
a ec
uaţii
lor,
inec
uaţii
lor s
tudi
ate.
Pr
odus
e re
com
anda
te:
c
azul
cer
ceta
t cu
aplic
ații
prac
tice;
e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
a
lgor
itmul
apl
icat
;
pla
nul d
e id
ei e
labo
rat;
p
roie
ctul
real
izat „
Aplic
area
ecu
ațiil
or d
e gr
adul
I cu
o
necu
nosc
ută
în d
iver
se d
omen
ii”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
35
5.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
figu
rilor
geo
-m
etric
e st
udia
te în
div
erse
co
ntex
te.
5.2.
Cla
sific
area
figu
rilor
ge
omet
rice
stud
iate
în b
aza
a
div
erse
crit
erii.
5.3.
Rep
reze
ntar
ea în
pla
n a
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te,
utiliz
ând
inst
rum
ente
le
de d
esen
și a
plic
area
re
prez
entă
rilor
resp
ectiv
e în
re
zolv
area
pro
blem
elor
. 5.
4. A
plic
area
pro
prie
tățil
or
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te
în d
iver
se d
omen
ii.5.
5. T
rans
pune
rea
unei
pro
ble-
me,
a u
nei s
ituaț
ii-pr
oble
mă
în li
mba
jul g
eom
etric
, rez
ol-
vare
a pr
oble
mei
obț
inut
e și
inte
rpre
tare
a re
zulta
tulu
i.5.
6. A
lege
rea
repr
ezen
tăril
or
geom
etric
e ad
ecva
te în
ve
dere
a op
timiză
rii ca
lcul
elor
cu
măs
uri d
e un
ghiu
ri.5.
7. S
elec
tare
a și
sist
emati
zare
a di
n m
ulțim
ea d
e in
form
ații
cule
se sa
u in
dica
te a
da
telo
r nec
esar
e pe
ntru
re
zolv
area
pro
blem
ei d
e ge
omet
rie în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e, re
zolv
area
pr
oble
mei
obț
inut
e/da
te.
V. N
oțiu
ni g
eom
etric
e.
Reca
pitu
lare
şi c
ompl
etăr
i
• El
emen
te d
e lo
gică
mat
emati
că.
Noț
iune
a de
pro
poziț
ie. P
ropo
ziții
gene
rale
și p
artic
ular
e (p
e ex
empl
e sim
ple)
. Neg
area
une
i pro
poziț
ii (p
e ex
empl
e sim
ple)
. Val
oare
a de
ade
văr
(ade
văr/
fals)
a u
nei p
ropo
ziții.
Exe
mpl
e sim
ple
de u
tiliza
re a
ope
rato
rilor
logi
ci
„și”,
„sa
u”, „
nu”,
„dac
ă –
atun
ci”,
a te
rmen
ilor „
cel m
ult”
, „ce
l puț
in”,
„uni
i”,
„toț
i”, „
oric
are
ar fi
”, „e
xist
㔕
Noț
iuni
geo
met
rice
fund
amen
tale
(p
unct
, dre
aptă
, pla
n, d
istan
ța d
intr
e do
uă p
unct
e, m
ăsur
a un
ghiu
lui)
• Dr
eapt
ă. P
unct
e co
linia
re. S
emid
reap
tă.
Segm
ent
• U
nghi
. Defi
niție
, not
ații,
ele
men
te.
Clas
ifica
rea
ungh
iuril
or: u
nghi
uri
ascu
țite,
dre
pte,
obt
uze,
ung
hiur
i opu
se
la v
ârf,
ungh
iuri
adia
cent
e, u
nghi
uri
com
plem
enta
re, u
nghi
uri s
uple
men
tare
. M
ăsur
a un
ghiu
lui.
Calc
ule
cu m
ăsur
i de
ungh
iuri
(gra
de, m
inut
e, se
cund
e)
• Pr
opoz
iții m
atem
atice
. Noț
iuni
le d
e de
finiți
e, a
xiom
ă, te
orem
ă, ip
otez
ă,
conc
luzie
, dem
onst
rație
, con
seci
nță
• Te
orem
a re
cipr
ocă.
Exe
mpl
u,
cont
raex
empl
u•
Met
oda
redu
cerii
la a
bsur
d•
Drep
te p
aral
ele.
Crit
erii
de p
aral
elism
• Dr
epte
per
pend
icul
are.
Dist
anța
de
la u
n pu
nct l
a o
drea
ptă
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- ex
ersa
re c
u el
emen
tele
de
logi
că m
atem
atică
stud
iate
;-
iden
tifica
re și
apl
icar
e a
term
inol
ogie
i afe
rent
e el
emen
telo
r de
logi
că m
atem
atică
stud
iate
; -
clas
ifica
re și
com
para
re a
figu
rilor
geo
met
rice
stud
iate
;-
repr
ezen
tare
în p
lan
a fig
urilo
r geo
met
rice
stud
iate
, uti
lizân
d in
stru
men
tele
de
dese
n, c
alcu
lato
rul ș
i apl
icar
e a
repr
ezen
tăril
or re
spec
tive
în re
zolv
area
pro
blem
elor
;-
aplic
are
a pr
oprie
tățil
or fi
guril
or g
eom
etric
e st
udia
te în
di
vers
e do
men
ii;-
crea
re și
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
în b
aza
unui
m
odel
geo
met
ric in
dica
t;-
anal
iză și
inte
rpre
tare
a re
zulta
telo
r obț
inut
e pr
in
rezo
lvar
ea u
nor p
robl
eme
prac
tice
cu re
ferir
e la
figu
rile
geom
etric
e st
udia
te și
la u
nită
țile
de m
ăsur
ă re
leva
nte;
- co
nstr
uire
a u
nor s
ecve
nțe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv,
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
de
dem
onst
rație
;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii, in
clus
iv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or, a
l dem
onst
rații
lor.
• Ce
rcet
area
caz
urilo
r con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la fi
guril
e ge
omet
rice
stud
iate
şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a lu
crăr
ilor p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
figu
rilor
geo
met
rice
stud
iate
în p
racti
că.
• Re
aliza
rea
inve
stiga
ţiilo
r priv
ind
utiliz
area
figu
rilor
ge
omet
rice
stud
iate
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a pr
oiec
telo
r de
grup
/indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
fig
urilo
r geo
met
rice
stud
iate
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te.
36
5.8.
Apl
icar
ea tr
ansf
orm
ărilo
r ge
omet
rice
stud
iate
(s
imet
ria fa
ță d
e un
pun
ct,
simet
ria fa
ță d
e o
drea
ptă)
pe
ntru
a id
entifi
ca și
a
expl
ica
feno
men
e, p
roce
se.
5.9.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
și/s
au
indi
cat c
u fig
uri g
eom
etric
e,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
ex
empl
e, c
ontr
aexe
mpl
e.
• Si
met
ria fa
ță d
e un
pun
ct, s
imet
ria fa
ță
de o
dre
aptă
. Pro
prie
tăți
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:pr
opoz
iţie,
pro
poziţ
ie p
artic
ular
ă, p
ropo
ziţie
ge
nera
lă, n
egar
ea u
nei p
ropo
ziţii,
ope
rato
ri lo
gici
„și
”, „s
au”,
„nu”
, „da
că –
atu
nci”
, te
rmen
ii „o
ricar
e ar
fi”,
„exi
stă”
, de
finiţi
e,
axio
mă,
teor
emă,
crit
eriu
, ipo
teză
, co
nclu
zie, d
emon
stra
ţie, c
onse
cinţ
ă,
teor
ema
reci
proc
ă, u
nghi
uri i
nter
ne a
ltern
e,
ungh
iuri
inte
rne
de a
ceea
şi pa
rte
a se
cant
ei,
ungh
iuri
exte
rne
alte
rne,
ung
hiur
i ext
erne
de
ace
eaşi
part
e a
seca
ntei
, ung
hiur
i co
resp
onde
nte,
axi
oma
lui E
uclid
, sim
etria
fa
ţă d
e un
pun
ct, c
entr
ul d
e sim
etrie
, sim
etria
faţă
de
o dr
eapt
ă, a
xă d
e sim
etrie
.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
p
robl
emă
rezo
lvat
ă;
pla
nul d
e id
ei;
d
esen
ul;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
lucr
area
pra
ctică
pe
tere
n ,,C
alcu
lare
a m
ăsur
ilor
ungh
iuril
or”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
pro
iect
ul „
Sim
etria
în a
rte”
;
pro
iect
ul „
Sim
etria
în n
atur
ă”;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
6.1.
Rec
unoa
şter
ea tr
iung
hiur
ilor
cong
ruen
te și
a c
azur
ilor d
e co
ngru
ență
a tr
iung
hiur
ilor
în c
onte
xte
dive
rse.
6.2.
Rep
reze
ntar
ea p
rin
dese
n a
figur
ilor s
tudi
ate
și co
nfec
ționa
rea
din
dife
rite
mat
eria
le a
figu
rilor
ge
omet
rice
și a
rela
țiilo
r st
udia
te.
6.3.
Tra
nspu
nere
a în
lim
baj
spec
ific
geom
etrie
i a u
nor
prob
lem
e, a
uno
r situ
ații-
prob
lem
ă și
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
obț
inut
e.
VI. T
riung
hiur
i con
grue
nte
• Tr
iung
hi. D
efini
ție, e
lem
ente
, cla
sifica
rea
triu
nghi
urilo
r•
Rela
ția d
e co
ngru
ență
. Seg
men
te
cong
ruen
te. U
nghi
uri c
ongr
uent
e•
Triu
nghi
uri c
ongr
uent
e. C
azur
ile d
e co
ngru
ență
a tr
iung
hiur
ilor
• Co
nstr
ucția
(util
izând
rigl
a și
com
pasu
l) a
triu
nghi
urilo
r dup
ă ca
zuril
e LU
L, U
LU, L
LL•
Ineg
alită
ți în
triu
nghi
• Cr
iterii
le d
e co
ngru
ență
pen
tru
triu
nghi
urile
dre
ptun
ghic
e (c
u de
mon
stra
ție)
• M
etod
a tr
iung
hiur
ilor c
ongr
uent
e
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
a se
gmen
telo
r, a
ungh
iuril
or, a
triu
nghi
urilo
r co
ngru
ente
în c
onfig
uraț
ii ge
omet
rice
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
stab
ilire
a re
lație
i de
cong
ruen
ță d
intr
e do
uă tr
iung
hiur
i, uti
lizân
d cr
iterii
le d
e co
ngru
ență
;-
aplic
are
a cr
iterii
lor d
e co
ngru
ență
a tr
iung
hiur
ilor,
a m
etod
ei tr
iung
hiur
ilor c
ongr
uent
e în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
div
erse
;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t în
con
text
ul c
ongr
uenț
ei tr
iung
hiur
ilor,
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri, d
emon
stra
ții, e
xem
ple,
con
trae
xem
ple;
- re
zolv
are
a pr
oble
mel
or si
mpl
e de
dem
onst
rație
, de
cons
trui
re a
uno
r sec
venț
e sim
ple
de ra
ționa
men
t de
ducti
v;
37
6.4.
Ela
bora
rea
plan
ului
de
rezo
lvar
e a
prob
lem
ei
refe
ritoa
re la
util
izare
a m
etod
ei tr
iung
hiur
ilor
cong
ruen
te, a
pro
prie
tățil
or
triu
nghi
urilo
r în
cont
exte
va
riate
și re
zolv
area
pr
oble
mei
în c
onfo
rmita
te c
u pl
anul
.6.
5. A
plic
area
caz
urilo
r de
cong
ruen
ță a
triu
nghi
urilo
r în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or.
6.6.
Ana
liza
și in
terp
reta
rea
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e pr
actic
e cu
refe
rire
la fi
guril
e ge
omet
rice
și la
uni
tățil
e de
m
ăsur
ă st
udia
te.
6.7.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu tr
iung
hiur
i, re
curg
ând
la
argu
men
tări,
dem
onst
rații
. 6.
8. C
onst
ruire
a un
or se
cven
țe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv.
6.9.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații,
pr
opoz
iții,
incl
usiv
cu
ajut
orul
exe
mpl
elor
, al
cont
raex
empl
elor
.
• Bi
sect
oare
a un
ui u
nghi
. Pro
prie
tate
a bi
sect
oare
i (cu
dem
onst
rație
). Co
nstr
ucția
bise
ctoa
rei u
nui u
nghi
cu
ajut
orul
rigl
ei și
a c
ompa
sulu
i•
Med
iato
area
unu
i seg
men
t. Pr
oprie
tate
a m
edia
toar
ei (c
u de
mon
stra
ție).
Cons
truc
ția m
edia
toar
ei u
nui s
egm
ent c
u aj
utor
ul ri
glei
și a
com
pasu
lui
• Li
nii i
mpo
rtan
te în
triu
nghi
. Med
iana
în
triu
nghi
. Bise
ctoa
rea
triu
nghi
ului
. În
ălțim
ea tr
iung
hiul
ui. M
edia
toar
ea
triu
nghi
ului
. Pro
prie
tăți
• Su
ma
măs
urilo
r ung
hiur
ilor u
nui
triu
nghi
. Teo
rem
a un
ghiu
lui e
xter
ior
(cu
dem
onst
rație
)•
Prop
rietă
țile
triu
nghi
ului
isos
cel
(cu
dem
onst
rație
)•
Prop
rietă
țile
triu
nghi
ului
ech
ilate
ral
(cu
dem
onst
rație
)•
Lini
a m
ijloc
ie în
triu
nghi
. Pro
prie
tăți
(c
u de
mon
stra
ție)
• Tr
iung
hiul
dre
ptun
ghic
. Pro
prie
tățil
e tr
iung
hiul
ui d
rept
ungh
ic: l
ungi
mea
m
edia
nei c
ores
punz
ătoa
re ip
oten
uzei
, pr
oprie
tate
a tr
iung
hiul
ui d
rept
ungh
ic c
u un
ung
hi d
e 30
o (cu
dem
onst
rație
)
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:re
laţia
de
cong
ruen
ţă, t
riung
hiur
i con
gru-
ente
, caz
uri d
e co
ngru
enţă
LUL,
ULU
, LLL
a
triu
nghi
urilo
r, tr
iung
hi d
rept
ungh
ic, c
atet
ă,
ipot
enuz
ă, u
nghi
ext
erio
r, lin
ii im
port
ante
în
triu
nghi
, med
iana
triu
nghi
ului
, bise
ctoa
-re
a tr
iung
hiul
ui, m
edia
toar
ea tr
iung
hiul
ui,
înăl
ţimea
triu
nghi
ului
, lin
ia m
ijloc
ie în
tri-
ungh
i.
- in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr a
une
i afir
maț
ii, a
une
i pr
opoz
iții;
- cr
eare
și re
zolv
are
a un
or p
robl
eme
simpl
e, în
baz
a un
ui
mod
el g
eom
etric
indi
cat.
• Ce
rcet
area
caz
urilo
r con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la tr
iung
hiur
i şi c
ongr
uenţ
a ac
esto
ra şi
so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
lucr
ărilo
r pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea tr
iung
hiur
ilor c
ongr
uent
e în
pra
ctică
.•
Real
izare
a in
vesti
gaţii
lor p
rivin
d uti
lizar
ea tr
iung
hiur
ilor ş
i a
triu
nghi
urilo
r con
grue
nte
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
triu
nghi
urilo
r în
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
triu
nghi
urilo
r.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
pla
nul d
e id
ei e
labo
rat;
d
esen
ul;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
dem
onst
rația
;
lucr
area
pra
ctică
pe
tere
n „C
alcu
lare
a di
stan
țelo
r pân
ă la
un
punc
t ina
cces
ibil,
a în
ălțim
ii un
ui o
biec
t”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
38
Anex
ăpr
ivin
d no
tații
le şi
sim
bolu
rile
figur
ilor g
eom
etric
e
Punc
t – A
,B,C
, ...;
Drea
ptă
– a,
b,c,
... sa
u AB
, CD
, ...;
Plan
– �
��
,,
,...
sau
(ABC
), sa
u (A
,a),
sau
(AB,
C);
Se
mip
lan
– [a
,C,
(a,C
;Se
mid
reap
tă –
[AB,
(AB;
Se
gmen
t – [A
B], (
AB),
[AB)
, (AB
];Lu
ngim
ea se
gmen
tulu
i – A
B;
Ung
hi –
< A
BC;
Măs
ura
ungh
iulu
i – m
(< A
BC);
Triu
nghi
–
ABC
;
Ce
rc –
C(O
;r) s
au C
(A;A
B);
Arc
de c
erc
– »
AB sa
u »
ALB;
Lung
imea
arc
ului
de
cerc
– l »
AB;
Măs
ura
arcu
lui d
e ce
rc –
m(»
AB);
Disc
– D
(O; r
);Pe
rimet
ru –
PAB
C; P
ABC
D;
Sem
iper
imet
ru –
p;
Aria
– A
ABC; A
ABC
D; A
l; A b
; At;
Volu
mul
– V
;În
ălțim
ea –
ha , hAB [
]; h
– pe
ntru
figu
ri ge
omet
rice
M
edia
na –
ma s
au m
AB [];
plan
e, H
– p
entr
u co
rpur
i geo
met
rice;
Bise
ctoa
rea
– b a
sau bAB [
];
M
edia
toar
ea –
µa
sau µAB [
].
39
LA F
INEL
E CL
ASEI
A V
II-a,
ELE
VUL
POAT
E:•
iden
tifica
, scr
ie, c
iti,
repr
ezen
ta p
e ax
ă, co
mpa
ra și
ord
ona
num
ere
natu
rale
, înt
regi
, raț
iona
le, i
rațio
nale
, rea
le în
div
erse
situ
ații;
• ef
ectu
a op
eraț
ii cu
num
ere
real
e (a
duna
re, s
căde
re, î
nmul
țire,
împă
rțire
, rid
icar
e la
put
ere
cu e
xpon
ent n
atur
al, e
xtra
ge ră
dăci
na
pătr
ată)
în d
iver
se si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate;
• ap
lica
prop
rietă
țile
stud
iate
ale
mod
ulul
ui u
nui n
umăr
real
în d
iferit
e co
ntex
te p
entr
u a
efec
tua
oper
ațiil
e so
licita
te;
• ap
lica
prop
rietă
țile
stud
iate
ale
rădă
cini
i păt
rate
în d
iferit
e co
ntex
te;
• uti
liza
form
ulel
e de
cal
cul p
resc
urta
t pen
tru
optim
izare
a tr
ansf
orm
ărilo
r alg
ebric
e;•
recu
noaș
te în
div
erse
con
text
e fu
ncția
și e
lem
ente
le e
i;•
repr
ezen
ta g
rafic
, ana
litic
func
ția d
e gr
adul
I;•
form
ula
exem
ple
de fu
ncții
de
grad
ul I
din
dive
rse
dom
enii,
incl
usiv
din
via
ța c
otidi
ană;
• re
zolv
a pr
oble
me
simpl
e di
n vi
ața
cotid
iană
, util
izând
ecu
ații/
inec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
;•
iden
tifica
și a
plic
a el
emen
tele
de
logi
că m
atem
atică
stud
iate
în d
iver
se c
onte
xte;
• id
entifi
ca în
div
erse
con
figur
ații
noțiu
nile
geo
met
rice
fund
amen
tale
;•
sele
cta
pere
chile
de
triu
nghi
uri c
ongr
uent
e în
div
erse
situ
ații;
• uti
liza
met
oda
triu
nghi
urilo
r con
grue
nte
în re
zolv
area
pro
blem
elor
;•
utiliz
a pr
oprie
tățil
e st
udia
te a
le tr
iung
hiur
ilor,
incl
usiv
ale
triu
nghi
ului
dre
ptun
ghic
, în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or d
in d
iver
se d
omen
ii;•
repr
ezen
ta p
e de
sen,
util
izând
inst
rum
ente
le d
e de
sen
și in
stru
men
tele
TIC
, figu
rile
geom
etric
e st
udia
te;
• de
term
ina
perim
etru
l triu
nghi
ului
, lun
gim
ea li
niei
mijl
ocii,
util
izând
pro
prie
tățil
e/fo
rmul
ele
învă
țate
;•
utiliz
a in
stru
men
te g
eom
etric
e la
con
stru
irea
drep
telo
r par
alel
e, a
cel
or p
erpe
ndic
ular
e, a
ung
hiur
ilor,
a bi
sect
oare
i unu
i ung
hi,
a m
edia
toar
ei u
nui s
egm
ent;
• re
cuno
aște
în m
ediu
l înc
onju
răto
r figu
ri sim
etric
e fa
ță d
e un
pun
ct, f
ață
de o
dre
aptă
;•
iden
tifica
și a
plic
a în
div
erse
situ
ații
tran
slația
și p
ropr
ietă
țile
aces
teia
;•
iden
tifica
și u
tiliza
term
enii
spec
ifici
și n
otaț
iile
afer
ente
con
cept
elor
de
num
ăr n
atur
al, î
ntre
g, ra
ționa
l, ira
ționa
l, re
al, s
peci
fici
ecua
ției,
inec
uație
i, ca
lcul
ului
alg
ebric
, fu
ncție
i și e
lem
ente
lor
de g
eom
etrie
stu
diat
e și
simbo
luril
or m
atem
atice
afe
rent
e în
co
ntex
te d
iver
se;
• in
vesti
ga v
aloa
rea
de a
devă
r (Ad
evăr
/Fal
s) a
une
i afir
maț
ii, a
une
i pro
poziț
ii, in
clus
iv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l con
trae
xem
plel
or;
• ju
stific
a un
rezu
ltat,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
dem
onst
rații
, sus
ținân
d pr
oprii
le o
pini
i și i
dei.
40
Clas
a a
VIII-
a
Uni
tăți
de c
ompe
tenț
ăU
nită
ți de
con
ținut
Ac
tivită
ți şi
pro
duse
de
învă
țare
reco
man
date
1.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i afe
rent
e
num
ărul
ui re
al în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e.1.
2. R
ecun
oaşt
erea
în d
iver
se
enun
țuri
și ex
empl
ifica
rea
în
dive
rse
cont
exte
a n
umer
elor
re
ale,
a p
uter
ilor,
a ra
dica
lilor
și
a pr
oprie
tățil
or a
cest
ora.
1.3.
Ord
onar
ea, c
ompa
rare
a și
repr
ezen
tare
a nu
mer
elor
re
ale
pe a
xă.
1.4.
Apl
icar
ea m
odul
ului
nu
măr
ului
real
și a
pr
oprie
tățil
or a
cest
uia
în
dive
rse
situa
ții.
1.5.
Ale
gere
a fo
rmei
de
repr
ezen
tare
a u
nui n
umăr
re
al și
util
izare
a al
gorit
milo
r pe
ntru
opti
miza
rea
calc
ulul
ui
cu n
umer
e re
ale.
1.6.
Ope
rare
a cu
num
ere
real
e pe
ntru
efe
ctua
rea
calc
ulel
or c
u nu
mer
e re
ale
în d
iver
se c
onte
xte,
util
izând
pr
oprie
tățil
e op
eraț
iilor
st
udia
te și
ale
sem
nific
ațiil
or
para
ntez
elor
.
I. N
umer
e re
ale.
Rec
apitu
lare
şi c
ompl
etăr
i
• M
ulțim
ea n
umer
elor
real
e. M
odul
ul
num
ărul
ui re
al. P
ropr
ietă
ți:
a aa
aa
abab
a ba b
b
≥ ≥ = = =≠
0
0
22
; ;
;
;
,.
• O
pera
ții c
u nu
mer
e re
ale
• Pu
teri
cu e
xpon
ent n
atur
al. P
ropr
ietă
ți (c
u de
mon
stra
ție)
• Pu
teri
cu e
xpon
ent î
ntre
g. P
ropr
ietă
ți•
Rădă
cină
păt
rată
. Ext
rage
rea
rădă
cini
i pă
trat
e. E
stim
area
prin
rotu
njire
a
valo
rii ră
dăci
nii p
ătra
te•
Prop
rietă
ți al
e ră
dăci
nii p
ătra
te•
Intr
oduc
erea
fact
orul
ui su
b ra
dica
l. Sc
oate
rea
fact
orilo
r de
sub
radi
cal
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:pu
tere
cu
expo
nent
într
eg, r
egul
ile d
e ca
lcul
cu
put
eri c
u ex
pone
nt în
treg
.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
în d
iver
se c
onte
xte
a nu
mer
elor
nat
ural
e,
într
egi,
rațio
nale
, ira
ționa
le, r
eale
, a p
uter
ilor,
a ra
dica
lilor
și a
pro
prie
tățil
or a
cest
ora;
- ap
licar
e a
term
inol
ogie
i afe
rent
e nu
măr
ului
real
în
situa
ții re
ale
și/sa
u m
odel
ate,
incl
usiv
în c
omun
icar
e;-
ordo
nare
, com
para
re și
repr
ezen
tare
a n
umer
elor
real
e pe
axă
;-
scrie
re a
num
erel
or re
ale
în d
iver
se fo
rme;
- de
term
inar
e a
mul
țimii
de n
umer
e, d
e ob
iect
e că
reia
îi
apar
ține
num
ărul
, obi
ectu
l dat
;-
calc
ul c
u nu
mer
e re
ale
și ap
licar
e în
cal
cule
a a
lgor
itmilo
r și
a pr
oprie
tățil
or st
udia
te;
- ef
ectu
are
de ro
tunj
iri și
esti
măr
i în
calc
ule
cu n
umer
e re
ale,
cu
măr
imi;
- ev
iden
țiere
a a
vant
ajel
or fo
losir
ii pr
oprie
tățil
or
oper
ațiil
or c
u nu
mer
e re
ale;
- re
zolv
are
a pr
oble
mel
or și
a si
tuaț
iilor
-pro
blem
ă,
utiliz
ând
num
ere
real
e și
oper
ații
cu n
umer
e re
ale;
- ju
stific
are
și ar
gum
enta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
și a
tehn
olog
iilor
de
calc
ul u
tiliza
te;
- fo
rmar
e a
obișn
uinț
ei d
e a
verifi
ca d
acă
o pr
oble
mă
este
sa
u nu
det
erm
inat
ă, in
vesti
gând
val
oare
a de
ade
văr a
re
zulta
tulu
i obț
inut
;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat m
atem
atic
obțin
ut
sau
indi
cat c
u nu
mer
e re
ale,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
de
mon
stra
ții.
41
1.7.
Cla
sific
area
în fu
ncție
de
div
erse
crit
erii
a el
emen
telo
r mul
țimilo
r nu
mer
ice
N, Z
, Q, R
.1.
8. In
vesti
gare
a va
lorii
de
adev
ăr a
une
i afir
maț
ii,
a un
ei p
ropo
ziții
cu
num
ere
real
e, in
clus
iv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or.
1.9.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu n
umer
e re
ale,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
dem
onst
rații
.
• Ce
rcet
area
stud
iilor
de
caz r
efer
itoar
e la
num
ere
real
e şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or lu
crăr
i pra
ctice
priv
ind
aplic
area
num
erel
or
real
e în
pra
ctică
.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
utiliz
area
num
erel
or
real
e în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e pr
ivin
d ap
licar
ea n
umer
elor
real
e în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a nu
mer
elor
real
e.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat c
u ap
licaț
ii pr
actic
e;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
alg
oritm
ul a
plic
at;
c
ontr
aexe
mpl
ul p
reze
ntat
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.2.
1. Id
entifi
care
a și
aplic
area
te
rmin
olog
iei a
fere
nte
ca
lcul
ului
alg
ebric
în
cont
exte
div
erse
.2.
2. Ef
ectu
area
de
adun
ări,
scăd
eri,
înm
ulțir
i, îm
părț
iri și
rid
icăr
i la
pute
re c
u ex
pone
nt
natu
ral a
le n
umer
elor
real
e re
prez
enta
te p
rin li
tere
.2.
3. Id
entifi
care
a în
enu
nțur
i di
vers
e a
form
ulel
or
calc
ulul
ui p
resc
urta
t și
utiliz
area
ace
stor
a pe
ntru
sim
plifi
care
a un
or c
alcu
le.
II. C
alcu
lul a
lgeb
ric•
Num
ere
real
e re
prez
enta
te p
rin li
tere
• O
pera
ții c
u nu
mer
e re
ale
repr
ezen
tate
pr
in li
tere
• Fo
rmul
e de
cal
cul p
resc
urta
t:
ab
aab
b
abab
ab
ab
aab
a bb
a
±(
)=
±+
−(
)+
()=
−
±(
)=
±+
±
22
2
22
33
22
3
2 33
; ;
;
333
22
±=
±(
)+
()
baba
abb
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
și a
plic
are
a te
rmin
olog
iei a
fere
nte
calc
ulul
ui
alge
bric
în c
onte
xte
dive
rse;
- cr
eare
și re
zolv
are
a un
or p
robl
eme
utiliz
ând
liter
e în
lo
cul n
umer
elor
nec
unos
cute
; -
efec
tuar
e de
adu
nări,
scăd
eri,
înm
ulțir
i, îm
părț
iri și
rid
icăr
i la
pute
re c
u ex
pone
nt n
atur
al a
le n
umer
elor
re
ale
repr
ezen
tate
prin
lite
re în
div
erse
con
text
e;-
iden
tifica
re în
enu
nțur
i a fo
rmul
elor
cal
culu
lui p
resc
urta
t și
utiliz
are
a ac
esto
ra p
entr
u sim
plifi
care
a un
or c
alcu
le;
- de
scom
pune
re a
une
i exp
resii
alg
ebric
e în
pro
dus d
e fa
ctor
i util
izând
, inc
lusiv
, for
mul
ele
calc
ulul
ui p
resc
urta
t;-
tran
sfor
mar
e a
expr
esiil
or a
lgeb
rice
utiliz
ând
elem
ente
le
de c
alcu
l alg
ebric
stud
iate
;
42
2.4.
Des
com
pune
rea
unei
ex
pres
ii al
gebr
ice
în p
rodu
s de
fact
ori,
utiliz
ând
met
oda
adec
vată
.2.
5. A
naliz
a re
zolv
ării
unei
pr
oble
me,
a u
nei s
ituaț
ii-pr
oble
mă
în c
onte
xtul
co
recti
tudi
nii,
al si
mpl
ității
, al
cla
rităț
ii și
al se
mni
ficaț
iei
rezu
ltate
lor.
2.6.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii pr
ivin
d ca
lcul
ul a
lgeb
ric, i
nclu
siv
cu a
juto
rul e
xem
plel
or,
al c
ontr
aexe
mpl
elor
, al
dem
onst
rații
lor.
• M
etod
e de
des
com
pune
re în
fact
ori:
- de
scom
pune
rea
în fa
ctor
i fol
osin
d fa
ctor
ul c
omun
;-
desc
ompu
nere
a în
fact
ori f
olos
ind
met
oda
grup
ării;
- de
scom
pune
rea
în fa
ctor
i fol
osin
d
form
ulel
e de
cal
cul p
resc
urta
t•
Tran
sfor
măr
i ide
ntice
ale
exp
resii
lor
alge
bric
e
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:cu
bul s
umei
, cub
ul d
ifere
nţei
, sum
a cu
buril
or,
dife
renţ
a cu
buril
or.
- in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr a
une
i afir
maț
ii, a
une
i pr
opoz
iții p
rin d
emon
stra
ții, c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
dive
rse
dom
enii
refe
ritoa
re la
cal
culu
l alg
ebric
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
util
izare
a ca
lcul
ului
al
gebr
ic în
div
erse
dom
enii.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
calc
ulul
ui a
lgeb
ric.
Prod
use
reco
man
date
:
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
alg
oritm
ul a
plic
at;
c
ontr
aexe
mpl
ul p
reze
ntat
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.3.
1. Id
entifi
care
a în
div
erse
en
unțu
ri și
aplic
area
în
con
text
e va
riate
a
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
noț
iuni
i de
șir,
func
ție.
3.2.
Cla
sific
area
șiru
rilor
, a
func
țiilo
r în
func
ție d
e di
vers
e cr
iterii
.3.
3. Id
entifi
care
a și
desc
riere
a un
or și
ruri,
a u
nor
depe
nden
țe fu
ncțio
nale
în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e.
III. Ş
iruri.
Fun
cții
• N
oțiu
nea
de și
r num
eric
• M
odur
i de
defin
ire a
unu
i șir
• Cl
asifi
care
a șir
urilo
r (șir
uri fi
nite
, șiru
ri in
finite
, șiru
ri m
onot
one)
• N
oțiu
nea
de fu
ncție
. Dep
ende
nțe
func
ționa
le. M
odur
i de
defin
ire a
func
ției
• Gr
aficu
l fun
cție
i•
Func
ția d
e gr
adul
I. P
ropr
ietă
ți (z
erou
, se
mn,
mon
oton
ie).
Pant
a dr
epte
i•
Func
ția c
onst
antă
• Pr
opor
ționa
litat
ea d
irect
ă
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- uti
lizar
e a
regu
lilor
dat
e pe
ntru
a c
onst
rui ș
iruri;
- co
nstr
uire
a u
nor e
xem
ple
de d
epen
denț
e fu
ncțio
nale
, fu
ncții
;-
iden
tifica
re și
apl
icar
e în
con
text
e di
vers
e, in
clus
iv
în c
omun
icar
e, a
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r afe
rent
e no
țiuni
i de
șir, f
uncț
ie;
- sc
riere
, citi
re, e
xem
plifi
care
a n
oțiu
nilo
r şir,
dep
ende
nţă
func
ţiona
lă, f
uncţ
ie, l
ege
de c
ores
pond
enţă
, dom
eniu
de
defi
niţie
(fini
t, in
finit)
, cod
omen
iu, m
ulţim
e de
val
ori,
tabe
l de
valo
ri, d
iagr
amă,
gra
fic;
- re
prez
enta
re în
div
erse
mod
uri (
anal
itic,
sint
etic,
gra
fic) a
un
or c
ores
pond
ențe
și/s
au fu
ncții
;
43
3.4.
Rep
reze
ntar
ea în
div
erse
m
odur
i (an
aliti
c, si
nteti
c,
grafi
c) a
uno
r cor
espo
nden
țe
și/sa
u fu
ncții
în sc
opul
ca
ract
eriză
rii a
cest
ora.
3.5.
Ext
rapo
lare
a fu
ncții
lor
stud
iate
și a
pro
prie
tățil
or
aces
tora
pen
tru
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
, a si
tuaț
iilor
-pr
oble
mă
din
dive
rse
do
men
ii.3.
6. D
educ
erea
pro
prie
tățil
or
func
ției s
tudi
ate
(zer
ouri,
se
mn,
mon
oton
ie) p
rin
lect
ura
grafi
că și
/sau
an
aliti
că.
3.7.
Util
izare
a fu
ncții
lor ș
i a
șirur
ilor s
tudi
ate
în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or,
a sit
uații
lor-p
robl
emă,
în
stud
iere
a și
expl
icar
ea u
nor
proc
ese
fizic
e, c
him
ice,
bi
olog
ice,
eco
nom
ice,
ist
oric
e, so
cial
e și/
sau
antr
epre
noria
le.
3.8.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii pr
ivin
d șir
urile
nu
mer
ice
și fu
ncții
le, i
nclu
siv
cu a
juto
rul e
xem
plel
or,
al c
ontr
aexe
mpl
elor
, al
dem
onst
rații
lor.
• Fu
ncția
de
form
a:
fR
Rfx
k xkR
:,
,∗
∗∗
→()=
∈
Pr
oprie
tăți
(sem
n, m
onot
onie
)•
Func
ția ra
dica
l: fR
Rfx
x:
,.
++
→()=
Pr
oprie
tăți
(zer
ou, s
emn,
mon
oton
ie)
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:şir
num
eric
, şir
num
eric
fini
t, şir
num
eric
in
finit,
form
ula
term
enul
ui d
e ra
ngul
n
al şi
rulu
i, şir
num
eric
stric
t cre
scăt
or,
şir n
umer
ic c
resc
ător
, şir
num
eric
stric
t de
scre
scăt
or, ş
ir nu
mer
ic d
escr
escă
tor,
şir
num
eric
con
stan
t, şir
num
eric
mon
oton
, ec
uaţia
gra
ficul
ui fu
ncţie
i, pr
opor
ţiona
litat
e in
vers
ă, h
iper
bolă
, fun
cţie
radi
cal.
- le
ctur
ă gr
afică
/ana
litică
și d
eter
min
are
a pr
oprie
tățil
or
func
ției;
- ap
licar
e a
prop
rietă
ților
func
țiilo
r în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
;-
utiliz
are
a fu
ncții
lor ș
i a și
ruril
or st
udia
te în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
, a si
tuaț
iilor
-pro
blem
ă di
n di
vers
e do
men
ii,
incl
usiv
pen
tru
stud
iere
a și
exem
plifi
care
a un
or p
roce
se
fizic
e, c
him
ice,
bio
logi
ce, e
cono
mic
e, is
toric
e, so
cial
e;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat m
atem
atic
obțin
ut
sau
indi
cat c
u st
udiu
l șiru
rilor
, al f
uncț
iilor
, rec
urgâ
nd la
ar
gum
entă
ri, la
dem
onst
rații
;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a u
nei
prop
oziți
i cu
ajut
orul
dem
onst
rații
lor,
al e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
şiru
rile,
la fu
ncţii
le st
udia
te şi
so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
lucr
ări p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
func
ţiilo
r stu
diat
e în
pra
ctică
.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
apl
icar
ea şi
ruril
or, a
fu
ncţii
lor s
tudi
ate
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
incl
usiv
pr
oiec
te S
TEM
/ STE
AM, p
rivin
d ap
licar
ea şi
ruril
or, a
fu
ncţii
lor s
tudi
ate
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
şirur
ilor,
a fu
ncţii
lor s
tudi
ate.
Pr
odus
e re
com
anda
te:
in
vesti
gația
,,Sc
him
bare
a te
mpe
ratu
rii a
erul
ui în
tr-o
să
ptăm
ână”
;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
alg
oritm
ul a
plic
at;
44
g
rafic
ul tr
asat
al f
uncț
iei;
p
roie
ctul
STE
M „
Func
ții în
spor
t”;
p
roie
ctul
„Fu
ncții
în fi
zică”
;
dia
gram
a el
abor
ată;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.4.
1. Id
entifi
care
a în
div
erse
en
unțu
ri și
aplic
area
în
div
erse
con
text
e a
te
rmin
olog
iilor
, a n
otaț
iilor
af
eren
te n
oțiu
nilo
r de
ecua
ție, i
necu
ație
, sist
em.
4.2.
Eva
luar
ea și
ana
lizar
ea
rezo
lvăr
ii un
ei e
cuaț
ii, a
une
i in
ecua
ții, a
unu
i sist
em în
co
ntex
tul c
orec
titud
inii,
al
simpl
ității
, al c
larit
ății
și al
se
mni
ficaț
iei r
ezul
tate
lor.
4.3.
Rez
olva
rea
tipur
ilor s
tudi
ate
de e
cuaț
ii, in
ecua
ții, s
istem
e în
div
erse
con
text
e.4.
4. T
rans
pune
rea
unei
pr
oble
me,
a u
nei s
ituaț
ii-pr
oble
mă
în li
mba
jul
ecua
țiilo
r, al
inec
uații
lor ș
i/sa
u al
sist
emel
or, r
ezol
vare
a pr
oble
mei
obț
inut
e și
inte
rpre
tare
a re
zulta
tulu
i.
III. E
cuaț
ii. In
ecua
ții. S
istem
e
• N
oțiu
nea
de e
cuaț
ie d
e gr
adul
I cu
o
necu
nosc
ută.
Rec
apitu
lare
și c
ompl
etăr
i•
Noț
iune
a de
ecu
ație
de
grad
ul I
cu
două
nec
unos
cute
. Rep
reze
ntar
ea
geom
etric
ă a
ecua
ției d
e gr
adul
I cu
dou
ă ne
cuno
scut
e. P
anta
dre
ptei
• N
oțiu
nea
de si
stem
de
două
ecu
ații
de g
radu
l I c
u do
uă n
ecun
oscu
te.
Tran
sfor
măr
i ech
ival
ente
• M
etod
e de
rezo
lvar
e a
siste
mel
or
de d
ouă
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
dou
ă ne
cuno
scut
e (m
etod
a re
duce
rii, m
etod
a su
bstit
uție
i, m
etod
a gr
afică
)•
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or c
u te
xt c
u aj
utor
ul e
cuaț
iilor
și/s
au a
l sist
emel
or d
e ec
uații
• In
egal
ități
num
eric
e. P
ropr
ietă
ți.•
Inte
rval
e de
num
ere
real
e.
Ope
rații
cu
inte
rval
e (r
euni
unea
, int
erse
cția
)•
Noț
iune
a de
inec
uație
de
grad
ul I
cu o
ne
cuno
scut
ă•
Rezo
lvar
ea in
ecua
țiilo
r de
grad
ul I
cu o
ne
cuno
scut
ă
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
în d
iver
se e
nunț
uri ș
i apl
icar
e în
div
erse
co
ntex
te a
term
inol
ogiil
or, a
not
ațiil
or a
fere
nte
noțiu
nilo
r de
ecu
ație
, ine
cuaț
ie, s
istem
;-
aflar
e a
solu
țiilo
r ecu
ațiil
or li
niar
e, a
le in
ecua
țiilo
r cu
o ne
cuno
scut
ă, a
le si
stem
elor
de
ecua
ții și
inec
uații
în
dive
rse
cont
exte
;-
repr
ezen
tare
gra
fică
a so
luții
lor e
cuaț
iilor
de
grad
ul I
cu
una
și cu
dou
ă ne
cuno
scut
e;-
efec
tuar
e a
tran
sfor
măr
ilor e
chiv
alen
te p
entr
u a
obțin
e ec
uații
, ine
cuaț
ii, si
stem
e ec
hiva
lent
e cu
cel
e da
te;
- re
zolv
are
a sis
tem
elor
de
două
ecu
ații
de g
radu
l I
cu d
ouă
necu
nosc
ute
prin
div
erse
met
ode:
met
oda
redu
cerii
, met
oda
subs
tituț
iei,
met
oda
grafi
că;
- tr
ansp
uner
e a
unei
pro
blem
e, a
une
i situ
ații-
prob
lem
ă în
lim
baju
l ecu
ațiil
or, a
l ine
cuaț
iilor
și/s
au a
l sist
emel
or,
rezo
lvar
e a
prob
lem
ei o
bțin
ute
și in
terp
reta
re a
re
zulta
tulu
i;-
crea
re și
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
în b
aza
unui
m
odel
dat
: ecu
ație
, ine
cuaț
ie, s
istem
;-
efec
tuar
e de
reun
iuni
și in
ters
ecții
cu
inte
rval
e nu
mer
ice
și re
prez
enta
re p
e ax
ă a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu in
egal
ități,
ecu
ații,
inec
uații
, sist
eme
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri, d
emon
stra
ții, e
xem
ple,
con
trae
xem
ple;
45
4.5.
Obț
iner
ea d
e ec
uații
, in
ecua
ții, s
istem
e, u
tilizâ
nd
tran
sfor
măr
ile e
chiv
alen
te,
rezo
lvar
ea e
cuaț
iilor
, a
inec
uații
lor ș
i a si
stem
elor
ob
ținut
e.4.
6. C
rear
ea și
rezo
lvar
ea u
nor
prob
lem
e sim
ple
în b
aza
unui
mod
el d
at: e
cuaț
ie,
inec
uație
, sist
em.
4.7.
Apl
icar
ea p
ropr
ietă
ților
func
țiilo
r în
rezo
lvar
ea u
nor
ecua
ții, a
uno
r ine
cuaț
ii, a
un
or si
stem
e.4.
8. U
tiliza
rea
tipur
ilor s
tudi
ate
de e
cuaț
ii, in
ecua
ții și
sis
tem
e, p
entr
u a
rezo
lva
prob
lem
e di
n di
vers
e do
men
ii: fi
zică,
chi
mie
, ec
onom
ie e
tc.
4.9.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t mat
emati
c ob
ținut
sa
u in
dica
t cu
ineg
alită
ți,
ecua
ții, i
necu
ații,
sist
eme
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
la
dem
onst
rații
, exe
mpl
e,
cont
raex
empl
e.
• N
oțiu
nea
de si
stem
de
inec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
• Re
zolv
area
sist
emel
or d
e in
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ec
uaţie
cu
două
nec
unos
cute
, sol
uţie
a
ecua
ţiei c
u do
uă n
ecun
oscu
te, d
omen
iul
valo
rilor
adm
isibi
le a
le u
nei e
cuaţ
ii cu
dou
ă ne
cuno
scut
e, g
rafic
ul e
cuaţ
iei,
drea
pta
solu
ţiilo
r ecu
aţie
i, sis
tem
de
două
ecu
aţii
cu d
ouă
necu
nosc
ute,
solu
ţie a
sist
emul
ui
de d
ouă
ecua
ţii c
u do
uă n
ecun
oscu
te,
mul
ţimea
solu
ţiilo
r sist
emul
ui d
e ec
uaţii
, sis
tem
e ec
hiva
lent
e, m
etod
a su
bstit
uţie
i, m
etod
a re
duce
rii, m
etod
a gr
afică
, sist
em
de in
ecua
ţii d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă,
solu
ţie a
sist
emul
ui d
e in
ecua
ţii d
e gr
adul
I c
u o
necu
nosc
ută,
mul
ţimea
solu
ţiilo
r sis
tem
ului
de
inec
uaţii
de
grad
ul I
cu o
ne
cuno
scut
ă.
- uti
lizar
ea ti
puril
or st
udia
te d
e ec
uații
, ine
cuaț
ii și
siste
me,
pen
tru
a re
zolv
a pr
oble
me
din
div
erse
dom
enii;
- ap
licar
e a
prop
rietă
ților
func
țiilo
r în
rezo
lvar
ea u
nor
ecua
ții, i
necu
ații,
sist
eme
în d
iver
se c
onte
xte.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii r
eale
şi/s
au
mod
elat
e re
ferit
oare
la e
cuaţ
iile,
inec
uaţii
le, s
istem
ele
stud
iate
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d ap
licar
ea e
cuaţ
iilor
, a
inec
uaţii
lor,
a sis
tem
elor
stu
diat
e în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea e
cuaţ
iilor
, a in
ecua
ţiilo
r, a
siste
mel
or st
udia
te în
sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a ec
uaţii
lor,
inec
uaţii
lor,
siste
mel
or s
tudi
ate.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
a
lgor
itmul
apl
icat
;
gra
fice
tras
ate
pent
ru si
stem
e de
ecu
ații;
p
roie
ctul
„Ap
licaț
ii al
e ec
uații
lor,
ale
inec
uații
lor,
ale
siste
mel
or d
e ec
uații
în d
iver
se d
omen
ii”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
46
5.1.
Iden
tifica
rea
în d
iver
se
enun
țuri
și ap
licar
ea
în d
iver
se c
onte
xte
a te
rmin
olog
iei,
a no
tații
lor
afer
ente
noț
iuni
i de
ecua
ție d
e gr
adul
II c
u o
necu
nosc
ută.
5.2.
Eval
uare
a și
anal
izare
a re
zolv
ării
unei
ecu
ații
de g
radu
l II î
n co
ntex
tul
core
ctitu
dini
i, al
sim
plită
ții,
al c
larit
ății
și al
sem
nific
ație
i re
zulta
telo
r.5.
3. Tr
ansp
uner
ea u
nei
prob
lem
e, a
une
i situ
ații-
prob
lem
ă în
lim
baju
l ec
uații
lor d
e gr
adul
II c
u o
necu
nosc
ută
sau
redu
ctibi
le
la a
cest
ea, r
ezol
vare
a pr
oble
mei
obț
inut
e și
inte
rpre
tare
a re
zulta
tulu
i. 5.
4. C
lasi
ficar
ea e
cuaț
iilor
de
gra
dul I
I în
func
ție d
e
dive
rse
crite
rii.
5.5.
Rez
olva
rea
ecua
țiilo
r de
grad
ul II
în d
iver
se c
onte
xte,
uti
lizân
d m
etod
a ra
ționa
lă.
5.6.
Apl
icar
ea re
lații
lor l
ui V
iete
în
rezo
lvar
ea și
cre
area
ec
uații
lor d
e gr
adul
II.
V. E
cuaț
ii de
gra
dul I
I
• N
oțiu
nea
de
ecua
ţie d
e gr
adul
II c
u o
necu
nosc
ută
• Re
zolv
area
ecu
ațiil
or d
e fo
rma
ax
ca
acR
20
0+
=≠
∈,
,,
• Re
zolv
area
ecu
ațiil
or d
e fo
rma
ax
bxa
abR
20
0+
=≠
∈,
,,
• Re
zolv
area
ecu
ațiil
or d
e fo
rma
axm
xn
aR
+(
)+
()=
∈∗
0,
• Re
zolv
area
ecu
ațiil
or d
e gr
adul
II c
u o
necu
nosc
ută,
form
a co
mpl
etă
• Re
zolv
area
ecu
ațiil
or d
e gr
adul
II, f
orm
a re
dusă
• Re
lații
le d
intr
e so
luții
și c
oefic
ienț
i: te
orem
a lu
i Vie
te; r
ecip
roca
teor
emei
lui
Viet
e•
Desc
ompu
nere
a în
pro
dus d
e fa
ctor
i ai
expr
esie
i de
form
a ax
bxca
abcR
20
++
≠∈
,,
,,
• Re
zolv
area
pro
blem
elor
prin
apl
icar
ea
ecua
țiilo
r de
grad
ul II
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ec
uaţie
de
grad
ul II
cu o
nec
unos
cută
; co
eficie
nţii
ecua
ţiei d
e gr
adul
II cu
o
necu
nosc
ută;
ecu
aţie
de
grad
ul II
, for
ma
inco
mpl
etă;
ecu
aţie
de
grad
ul II
, for
ma
redu
să; d
iscrim
inan
tul e
cuaţ
iei d
e gr
adul
II cu
o
necu
nosc
ută;
del
ta; f
orm
ula
de re
zolv
are
a ec
uaţie
i de
grad
ul II
; rel
aţiil
e lu
i Vie
te.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
în d
iver
se e
nunț
uri ș
i apl
icar
e în
div
erse
co
ntex
te a
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r afe
rent
e no
țiuni
i de
ecua
ție d
e gr
adul
II c
u o
necu
nosc
ută;
- re
cuno
aște
re în
div
erse
con
text
e a
com
pone
ntel
or e
cuaț
iei
de g
radu
l II;
- cl
asifi
care
a e
cuaț
iilor
de
grad
ul II
în fu
ncție
de
dive
rse
crite
rii;
- id
entifi
care
și re
zolv
are
a di
ferit
or ti
puri
de e
cuaț
ii de
gra
dul
II cu
o n
ecun
oscu
tă și
redu
ctibi
le la
ace
stea
în c
onte
xte
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
desc
ompu
nere
în fa
ctor
i a e
xpre
siei d
e fo
rma
axbx
ca
abcR
20
++
≠∈
,,
,,
și ap
licar
e a
aces
tor ti
puri
de d
esco
mpu
neri
în re
zolv
area
pro
blem
elor
;-
tran
spun
ere
a un
ei p
robl
eme,
a u
nei s
ituaț
ii-pr
oble
mă
în li
mba
jul e
cuaț
iilor
de
grad
ul II
cu
o ne
cuno
scut
ă sa
u re
ducti
bile
la a
cest
ea, r
ezol
vare
a pr
oble
mei
obț
inut
e și
inte
rpre
tare
a re
zulta
tulu
i;-
aplic
are
a ec
uații
lor d
e gr
adul
II la
stud
iul a
ltor d
iscip
line;
- so
luțio
nare
și c
rear
e d
e ec
uații
de
grad
ul II
cu
o ne
cuno
scut
ă, u
tilizâ
nd te
orem
a lu
i Vie
te și
/sau
reci
proc
a te
orem
ei lu
i Vie
te;
- in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr ș
i/sau
justi
ficar
e a
unui
de
mer
s/re
zulta
t mat
emati
c ob
ținut
sau
indi
cat c
u ec
uații
, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri, d
emon
stra
ții, e
xem
ple,
co
ntra
exem
ple.
•
Cerc
etar
ea u
nor c
azur
i con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la e
cuaţ
iile
de g
radu
l II s
tudi
ate
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d ap
licar
ea e
cuaţ
iilor
de
grad
ul II
stud
iate
în d
iver
se d
omen
ii.
47
5.7.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu e
cuaț
ii, re
curg
ând
la
argu
men
tări,
dem
onst
rații
.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, in
clus
iv
proi
ecte
priv
ind
aplic
area
ecu
aţiil
or d
e gr
adul
II st
udia
te în
sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a ec
uaţii
lor d
e gr
adul
II st
udia
te.
Pr
odus
e re
com
anda
te:
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
alg
oritm
ul a
plic
at;
c
ontr
aexe
mpl
ul p
reze
ntat
;
pro
iect
ul „
Aplic
ații
ale
ecua
ției d
e gr
adul
doi
în d
iver
se
dom
enii”
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.6.
1. R
ecun
oaşt
erea
în d
iver
se
cont
exte
și a
plic
area
în
dive
rse
situa
ții a
ele
men
telo
r de
logi
că m
atem
atică
st
udia
te.
6.2.
Rec
unoa
şter
ea în
div
erse
co
ntex
te și
apl
icar
ea
în d
iver
se si
tuaț
ii a
term
inol
ogiil
or și
a n
otaț
iilor
af
eren
te fi
guril
or g
eom
etric
e st
udia
te.
6.3.
Iden
tifica
rea,
des
crie
rea
verb
ală
și în
scris
, util
izând
te
rmin
olog
ia și
not
ațiil
e re
spec
tive,
a n
oțiu
nilo
r ge
omet
rice
stud
iate
în
dive
rse
cont
exte
.
VI. F
igur
i geo
met
rice
plan
e.Re
capi
tula
re şi
com
plet
ări
• El
emen
te d
e lo
gică
mat
emati
că:
enun
ţ, pr
opoz
iţie
(sim
plă,
com
pusă
), de
finiţi
e, a
xiom
ă, te
orem
ă, co
nsec
inţă
, te
orem
a re
cipr
ocă,
ipot
eză,
con
cluz
ie,
dem
onst
raţie
, val
oare
a de
ade
văr,
cont
raex
empl
u•
Triu
nghi
uri.
Clas
ifica
rea
triu
nghi
urilo
r. Li
niile
impo
rtan
te în
triu
nghi
. Pro
prie
tăți
• Ce
rcul
. Ele
men
tele
c
ercu
lui.
Disc
ul.
Elem
ente
le d
iscul
ui•
Poziț
ia re
lativ
ă a
unei
dre
pte
față
de
un
cerc
/disc
• U
nghi
la c
entr
u. A
rce
de c
erc
• U
nghi
însc
ris în
cer
c
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- re
cuno
aște
re în
div
erse
con
text
e și
aplic
are
în d
iver
se
situa
ții a
ele
men
telo
r de
logi
că m
atem
atică
stud
iate
;-
iden
tifica
re, d
escr
iere
ver
bală
și în
scris
, util
izând
te
rmin
olog
ia și
not
ațiil
e re
spec
tive,
a n
oțiu
nilo
r ge
omet
rice
stud
iate
în d
iver
se c
onte
xte;
- cl
asifi
care
și c
ompa
rare
a fi
guril
or g
eom
etric
e st
udia
te;
- re
prez
enta
re în
pla
n a
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te,
utiliz
ând
inst
rum
ente
le d
e de
sen,
inst
rum
ente
le T
IC
și ap
licar
e a
repr
ezen
tăril
or re
spec
tive
în re
zolv
area
pr
oble
mel
or;
- an
aliză
și in
terp
reta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e pr
actic
e cu
refe
rire
la fi
guril
e ge
omet
rice
stud
iate
și la
uni
tățil
e de
măs
ură
rele
vant
e;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
figu
ri g
eom
etric
e, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
;
48
6.4.
Cla
sific
area
și c
ompa
rare
a fig
urilo
r geo
met
rice
stud
iate
în
func
ție d
e di
vers
e cr
iterii
.6.
5. R
epre
zent
area
în p
lan
a fig
urilo
r geo
met
rice
stud
iate
, uti
lizân
d in
stru
men
tele
de
dese
n, in
stru
men
tele
TIC
și
aplic
area
repr
ezen
tăril
or
resp
ectiv
e în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
. 6.
6. A
plic
area
figu
rilor
ge
omet
rice
stud
iate
și a
pr
oprie
tățil
or a
cest
ora
în
dive
rse
dom
enii,
în
situa
ții
real
e și/
sau
mod
elat
e.6.
7. Ju
stific
area
unu
i dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
figu
ri ge
omet
rice,
re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
. 6.
8. C
onst
ruire
a un
or se
cven
țe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv.
6.9.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii re
ferit
oare
la
figu
rile
geom
etric
e st
udia
te, i
nclu
siv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:dr
eapt
ă ex
terio
ară
cerc
ului
, dre
aptă
ta
ngen
tă la
cer
c, d
reap
tă se
cant
ă la
ce
rc, u
nghi
la c
entr
u, a
rc m
ic d
e ce
rc,
arc
mar
e de
cer
c, c
apet
ele
arce
lor,
arce
co
mpl
emen
tare
, măs
ura
unui
arc
, ung
hi
însc
ris în
cer
c.
- co
nstr
uire
a u
nor s
ecve
nțe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv,
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
de
dem
onst
rație
;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii, in
clus
iv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or;
- ap
licar
e a
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te și
a p
ropr
ietă
ților
ac
esto
ra în
div
erse
dom
enii,
incl
usiv
în v
iața
coti
dian
ă.•
Cerc
etar
ea u
nor c
azur
i con
cret
e di
n sit
uaţii
rea
le şi
/sau
m
odel
ate
refe
ritoa
re la
figu
rile
geom
etric
e st
udia
te şi
so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
lucr
ări p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
figu
rilor
geo
met
rice
stud
iate
în p
racti
că.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d uti
lizar
ea fi
guril
or
geom
etric
e st
udia
te în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, in
clus
iv
proi
ecte
STE
M/ S
TEAM
, priv
ind
aplic
area
figu
rilor
ge
omet
rice
stud
iate
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
pla
nul d
e id
ei e
labo
rat;
d
esen
ul;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
dem
onst
rația
;
lucr
area
pra
ctică
pe
tere
n „D
eter
min
area
figu
rilor
ge
omet
rice
în c
urte
a șc
olii”
;
pro
iect
ul S
TEAM
„Ap
licaț
ii al
e fig
urilo
r geo
met
rice
în
desig
n”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
mod
ele
ale
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol/u
nita
te d
e în
văța
re;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
49
7.1.
Iden
tifica
rea
în d
iver
se
situa
ții și
apl
icar
ea
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
ase
măn
ării
triu
nghi
urilo
r.7.
2. Id
entifi
care
a tr
iung
hiur
ilor
asem
enea
în c
onfig
uraț
ii ge
omet
rice
real
e și/
sau
mod
elat
e.7.
3. S
tabi
lirea
rela
ției d
e as
emăn
are
dint
re d
ouă
triu
nghi
uri p
rin d
iver
se
met
ode.
7.4.
Apl
icar
ea m
etod
ei
asem
ănăr
ii tr
iung
hiur
ilor l
a re
zolv
area
uno
r pro
blem
e pr
actic
e și/
sau
din
dive
rse
dom
enii.
7.5.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t în
con
text
ul a
sem
ănăr
ii tr
iung
hiur
ilor,
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri, d
emon
stra
ții.
7.6.
Con
stru
irea
unor
secv
ențe
sim
ple
de ra
ționa
men
t de
ducti
v.7.
7. E
labo
rare
a pl
anul
ui d
e id
ei
priv
ind
rezo
lvar
ea u
nor
prob
lem
e pr
actic
e, a
plic
ând
met
oda
triu
nghi
urilo
r as
emen
ea și
rezo
lvar
ea
prob
lem
ei în
con
form
itate
cu
plan
ul e
labo
rat.
VII.
Triu
nghi
uri a
sem
enea
• Se
gmen
te p
ropo
rțio
nale
• Te
orem
a lu
i Tha
les
• Tr
iung
hiur
i ase
men
ea•
Teor
ema
fund
amen
tală
a a
sem
ănăr
ii•
Crite
rii d
e as
emăn
are
a tr
iung
hiur
ilor
• Cr
iterii
de
asem
ănar
e a
triu
nghi
urilo
r dr
eptu
nghi
ce•
Aplic
ații
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ra
port
ul a
dou
ă se
gmen
te, s
egm
ente
pr
opor
ţiona
le, t
eore
ma
lui T
hale
s,
triu
nghi
uri a
sem
enea
, coe
ficie
ntul
de
asem
ănar
e, te
orem
a fu
ndam
enta
lă a
as
emăn
ării,
crit
eriil
e de
ase
măn
are
a do
uă
triu
nghi
uri,
crite
riile
de
asem
ănar
e a
două
tr
iung
hiur
i dre
ptun
ghic
e.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
în d
iver
se si
tuaț
ii și
aplic
are
a te
rmin
olog
iei ș
i no
tații
lor a
fere
nte
asem
ănăr
ii tr
iung
hiur
ilor;
- id
entifi
care
a tr
iung
hiur
ilor a
sem
enea
în c
onfig
uraț
ii ge
omet
rice
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
stab
ilire
a re
lație
i de
asem
ănar
e di
ntre
dou
ă tr
iung
hiur
i uti
lizân
d cr
iterii
le d
e as
emăn
are;
- ap
licar
e a
crite
riilo
r de
asem
ănar
e a
triu
nghi
urilo
r în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or d
iver
se, i
nclu
siv d
in v
iața
co
tidia
nă;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
în c
onte
xtul
ase
măn
ării
triu
nghi
urilo
r, re
curg
ând
la
argu
men
tări,
exe
mpl
e, c
ontr
aexe
mpl
e, d
emon
stra
ții;
- re
zolv
are
a pr
oble
mel
or si
mpl
e de
dem
onst
rație
, de
cons
trui
re a
uno
r sec
venț
e sim
ple
de ra
ționa
men
t de
ducti
v;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a u
nei
prop
oziți
i;-
crea
re și
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
în b
aza
unui
m
odel
geo
met
ric in
dica
t;-
elab
orar
e a
unor
pla
nuri
de a
cțiu
ni p
entr
u re
zolv
area
un
or p
robl
eme
din
prac
tică,
util
izând
met
oda
triu
nghi
urilo
r ase
men
ea.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
triu
nghi
uri a
sem
enea
şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or lu
crăr
i pra
ctice
,incl
usiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea tr
iung
hiur
ilor a
sem
enea
în p
racti
că.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d uti
lizar
ea tr
iung
hiur
ilor
asem
enea
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
triu
nghi
urilo
r ase
men
ea în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.
50
7.8.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații,
pr
opoz
iții c
u as
emăn
area
tr
iung
hiur
ilor,
incl
usiv
cu
aju
toru
l exe
mpl
elor
, al
con
trae
xem
plel
or, a
l de
mon
stra
ției.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
triu
nghi
urilo
r ase
men
ea.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
pla
nul d
e id
ei;
d
esen
ul;
m
odel
e al
e fig
urilo
r geo
met
rice;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
dem
onst
rația
;
pro
iect
ul „
Aplic
ații
ale
asem
ănăr
ii tr
iung
hiur
ilor î
n co
nstr
ucții
”;
lucr
area
pra
ctică
pe
tere
n „A
plic
ații
ale
asem
ănăr
ii tr
iung
hiur
ilor î
n ac
tivita
tea
prac
tică”
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l su
mati
v re
zolv
at.
8.1.
Rec
unoa
şter
ea și
des
crie
rea
elem
ente
lor u
nui t
riung
hi
drep
tung
hic
în c
onfig
uraț
ii ge
omet
rice
real
e și/
sau
mod
elat
e.8.
2. A
plic
area
rela
țiilo
r met
rice
într
-un
triu
nghi
dre
ptun
ghic
pe
ntru
det
erm
inar
ea u
nor
elem
ente
ale
ace
stui
a.8.
3. Id
entifi
care
a și
aplic
area
în
div
erse
con
text
e a
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
triu
nghi
ului
dr
eptu
nghi
c și
a re
lații
lor
met
rice
stud
iate
.
VIII.
Rel
ații
met
rice
în tr
iung
hiul
dr
eptu
nghi
c
• Pr
oiec
ții o
rtog
onal
e pe
o d
reap
tă•
Teor
ema
înăl
țimii
(cu
dem
onst
rație
)•
Teor
ema
cate
tei (
cu d
emon
stra
ție)
• Te
orem
a lu
i Pita
gora
(cu
dem
onst
rație
). Ap
licaț
ii•
Elem
ente
de
trig
onom
etrie
în tr
iung
hiul
dr
eptu
nghi
c: si
nusu
l, co
sinus
ul, t
ange
nta
și co
tang
enta
unu
i ung
hi a
scuț
it•
Valo
rile
sinus
ului
, ale
cos
inus
ului
, ale
ta
ngen
tei ș
i ale
cot
ange
ntei
pen
tru
ungh
iuril
e de
30o , 4
5o , 60o
• Re
zolv
area
triu
nghi
ului
dre
ptun
ghic
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
a tr
iung
hiur
ilor d
rept
ungh
ice
și a
elem
ente
lor a
cest
uia
în c
onfig
uraț
ii ge
omet
rice
real
e
și/sa
u m
odel
ate;
- ap
licar
e a
rela
țiilo
r met
rice
într
-un
triu
nghi
dre
ptun
ghic
pe
ntru
det
erm
inar
ea u
nor e
lem
ente
ale
ace
stui
a;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
rela
ții m
etric
e în
triu
nghi
ul d
rept
ungh
ic, r
ecur
gând
la
argu
men
tări,
dem
onst
rații
;-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
sim
ple
de d
emon
stra
ție, d
e co
nstr
uire
a u
nor s
ecve
nțe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv;
- ca
lcul
are
și uti
lizar
e a
valo
rilor
sinu
sulu
i, al
e co
sinus
ului
, al
e ta
ngen
tei ș
i ale
cot
ange
ntei
ung
hiul
ui d
e 30
o , 45o , 6
0o
în re
zolv
area
pro
blem
elor
;
51
8.4.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t ob
ținut
sau
indi
cat c
u re
lații
met
rice
în tr
iung
hiul
dre
ptun
ghic
, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
. 8.
5. C
onst
ruire
a un
or se
cven
țe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv
în c
onte
xtul
re
lații
lor m
etric
e în
triu
nghi
ul
drep
tung
hic.
8.6.
Cal
cula
rea
și uti
lizar
ea în
di
vers
e do
men
ii al
e va
loril
or
sinus
ului
, ale
cos
inus
ului
, ale
ta
ngen
tei ș
i ale
cot
ange
ntei
un
ghiu
lui d
e 30
o , 45o , 6
0o .8.
7. E
xtra
pola
rea
rela
țiilo
r m
etric
e st
udia
te și
a
elem
ente
lor d
e tr
igon
omet
rie p
entr
u re
zolv
area
pro
blem
elor
din
di
vers
e do
men
ii.8.
8. In
ițier
ea și
real
izare
a un
or
inve
stiga
ții/e
xplo
rări
utiliz
ând
achi
zițiil
e m
atem
atice
re
ferit
oare
la tr
iung
hiur
ile
drep
tung
hice
, inc
lusiv
în
dom
eniu
l ant
repr
enor
ial.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:pr
oiec
ţia o
rtog
onal
ă a
unei
figu
ri pe
o
drea
ptă,
teor
ema
înăl
ţimii,
med
ia
geom
etric
ă, te
orem
a ca
tete
i, te
orem
a lu
i Pi
tago
ra, r
ecip
roca
teor
emei
lui P
itago
ra,
sinus
ul u
nui u
nghi
asc
uţit,
cos
inus
ul u
nui
ungh
i asc
uţit,
tan
gent
a un
ui u
nghi
asc
uţit,
co
tang
enta
unu
i ung
hi a
scuţ
it.
- in
ițier
e și
real
izare
a u
nor i
nves
tigaț
ii/ex
plor
ări u
tilizâ
nd
achi
zițiil
e m
atem
atice
refe
ritoa
re la
triu
nghi
urile
dr
eptu
nghi
ce în
div
erse
dom
enii.
- ex
trap
olar
e a
rela
țiilo
r met
rice
în tr
iung
hiul
dre
ptun
ghic
st
udia
te și
a e
lem
ente
lor d
e tr
igon
omet
rie p
entr
u re
zolv
area
pro
blem
elor
din
div
erse
dom
enii.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
rela
ţiile
met
rice
în tr
iung
hiur
ile
drep
tung
hice
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
lucr
ări p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
rela
ţiilo
r met
rice
în tr
iung
hiur
ile d
rept
ungh
ice
în
prac
tică.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d uti
lizar
ea re
laţii
lor
met
rice
în tr
iung
hiur
ile d
rept
ungh
ice
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
rela
ţiilo
r met
rice
în tr
iung
hiur
ile d
rept
ungh
ice
în
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
rela
ţiilo
r met
rice
în tr
iung
hiur
ile d
rept
ungh
ice.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
pla
nul d
e id
ei;
d
esen
ul;
m
odel
ele
figur
ilor g
eom
etric
e;
arg
umen
tare
a or
ală/
în sc
ris;
d
emon
stra
ția;
p
roie
ctul
„Ap
licaț
ii al
e re
lații
lor m
etric
e în
con
stru
cții”
;
lucr
area
pra
ctică
pe
tere
n „C
onst
rucț
ia tr
iung
hiur
ilor
drep
tung
hice
util
izând
rela
țiile
met
rice
stud
iate
”;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
52
9.1.
Iden
tifica
rea,
cla
sific
area
în
func
ție d
e di
vers
e cr
iterii
și re
prez
enta
rea
în p
lan
a p
atru
late
relo
r, a
polig
oane
lor.
9.2.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r af
eren
te n
oțiu
nilo
r de
polig
on p
atru
late
r în
dive
rse
cont
exte
.9.
3. A
plic
area
pro
prie
tățil
or
triu
nghi
urilo
r și a
le
patr
ulat
erel
or în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
, a si
tuaț
iilor
-pr
oble
mă
din
dive
rse
dom
enii.
9.4.
Tra
nspu
nere
a un
ei
prob
lem
e, a
une
i situ
ații-
prob
lem
ă re
ferit
oare
la
patr
ulat
ere
și/sa
u po
ligoa
ne
în li
mba
jul g
eom
etric
, re
zolv
area
pro
blem
ei
obțin
ute
și in
terp
reta
rea
rezu
ltatu
lui.
9.5.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații/
prop
oziți
i cu
cara
cter
ge
omet
ric re
ferit
oare
la
patr
ulat
ere
și po
ligoa
ne.
9.6.
Con
stru
irea
unor
secv
ențe
sim
ple
de ra
ționa
men
t de
ducti
v în
con
text
ul
patr
ulat
erel
or st
udia
te.
IX. P
atru
late
re. P
olig
oane
• N
oțiu
nea
de p
olig
on. P
olig
oane
con
vexe
. El
emen
te•
Noț
iune
a de
pat
rula
ter.
Elem
ente
. Pa
trul
ater
e co
nvex
e•
Para
lelo
gram
ul. E
lem
ente
, pro
prie
tăți,
cr
iterii
• Pa
rale
logr
ame
parti
cula
re:
- dr
eptu
nghi
ul, e
lem
ente
, pro
prie
tăți,
cr
iterii
;-
rom
bul,
elem
ente
, pro
prie
tăți,
crit
erii;
-
pătr
atul
, ele
men
te, p
ropr
ietă
ți, c
riter
ii•
Trap
ezul
, ele
men
te, c
lasifi
care
, pr
oprie
tăți
• Li
nia
mijl
ocie
a tr
apez
ului
. Pro
prie
tate
a lin
iei m
ijloc
ii (c
u de
mon
stra
ție)
• N
oțiu
nea
de p
olig
on re
gula
t. El
emen
te.
Polig
oane
regu
late
: triu
nghi
ul e
chila
tera
l, pă
trat
ul, h
exag
onul
regu
lat
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:po
ligon
con
vex,
hex
agon
, crit
eriil
e pa
rale
logr
amul
ui, t
rape
z, b
azel
e tr
apez
ului
, la
turi
late
rale
(nep
aral
ele)
ale
trap
ezul
ui,
trap
ez is
osce
l, tr
apez
dre
ptun
ghic
, în
ălţim
ea tr
apez
ului
, dia
gona
la tr
apez
ului
, lin
ia m
ijloc
ie a
trap
ezul
ui, p
olig
on re
gula
t, he
xago
n re
gula
t.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- cl
asifi
care
a fi
guril
or g
eom
etric
e st
udia
te;
- re
prez
enta
re în
pla
n a
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te,
utiliz
ând
inst
rum
ente
le d
e de
sen,
și/s
au in
stru
men
te
TIC
și ap
licar
ea re
prez
entă
rilor
resp
ectiv
e în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
;-
aplic
are
a pa
trul
ater
elor
, a p
olig
oane
lor ș
i a p
ropr
ietă
ților
ac
esto
ra în
div
erse
dom
enii;
- an
aliză
și in
terp
reta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e di
n pr
actic
ă cu
refe
rire
la
figur
ile g
eom
etric
e st
udia
te și
la u
nită
țile
de m
ăsur
ă re
leva
nte;
- co
nstr
uire
a u
nor s
ecve
nțe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv,
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
de
dem
onst
rație
;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii, in
clus
iv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t mat
emati
c ob
ținut
sau
indi
cat c
u tr
iung
hiur
i, pa
trul
ater
e, p
olig
oane
, rec
urgâ
nd
la a
rgum
entă
ri, d
emon
stra
ții.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
pat
rula
tere
şi p
olig
oane
stud
iate
şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a lu
crăr
ilor p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
pat
rula
tere
lor ş
i a p
olig
oane
lor s
tudi
ate
în
prac
tică.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d ap
licar
ea p
atru
late
relo
r şi
a po
ligoa
nelo
r stu
diat
e în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea p
atru
late
relo
r şi a
pol
igoa
nelo
r stu
diat
e în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.
53
9.7.
Ela
bora
rea
plan
ului
de
rezo
lvar
e a
prob
lem
ei
refe
ritoa
re la
pat
rula
tere
le
și po
ligoa
nele
stud
iate
în
cont
exte
var
iate
și re
zolv
area
pr
oble
mei
în c
onfo
rmita
te c
u pl
anul
.9.
8. Ju
stific
area
unu
i dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
pat
rula
tere
, pol
igoa
ne,
susț
inân
d pr
oprii
le id
ei
și vi
ziuni
, rec
urgâ
nd la
ar
gum
entă
ri, d
emon
stra
ții.
Prod
use
reco
man
date
:
pro
blem
a re
zolv
ată;
d
emon
stra
ția;
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;
inve
stiga
ția „
Polig
oane
regu
late
în te
hnic
ă”;
s
chem
a el
abor
ată;
a
lgor
itmul
apl
icat
;
jocu
l TAN
GRAM
;
puz
zle g
eom
etric
;
pla
nul d
e id
ei;
p
roie
ctul
„Po
ligoa
ne și
pat
rula
tere
în d
esig
n”;
lu
crar
ea p
racti
că p
e te
ren
„Apl
icaț
ii al
e pa
trul
ater
elor
și a
le
polig
oane
lor î
n cu
rtea
școl
ii”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
10.1
. Rec
unoa
şter
ea și
apl
icar
ea
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r af
eren
te n
oțiu
nilo
r de
vect
or și
tran
slație
în
dive
rse
cont
exte
.10
.2. I
denti
ficar
ea și
apl
icar
ea
tran
slație
i în
situa
ții re
ale
și/sa
u m
odel
ate.
10.3
. Rec
unoa
şter
ea u
nor
elem
ente
de
geom
etrie
ve
ctor
ială
în d
iver
se
cont
exte
.10
.4. O
pera
rea
cu v
ecto
ri în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e.
X.
Vec
tori
în p
lan
• Tr
ansla
ția. P
ropr
ietă
ți. A
plic
ații
• N
oțiu
nea
de v
ecto
r. Cl
asifi
care
a ve
ctor
ilor.
Mod
ulul
vec
toru
lui
• O
pera
ții c
u ve
ctor
i: su
ma
(reg
ula
triu
nghi
ului
, reg
ula
para
lelo
gram
ului
), di
fere
nța,
pro
dusu
l vec
toru
lui c
u un
nu
măr
, des
com
pune
rea
vect
orul
ui d
upă
doi v
ecto
ri ne
colin
iari
• Ap
licaț
ii (în
geo
met
rie, î
n fiz
ică,
în v
iață
)
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
și a
plic
are
a te
rmin
olog
iei,
a no
tații
lor
afer
ente
noț
iuni
i de
vect
or, n
oțiu
nii d
e tr
ansla
ție în
di
vers
e co
ntex
te;
- ap
licaț
ii al
e tr
ansla
ției î
n sit
uații
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
iden
tifica
re a
uno
r ele
men
te d
e ge
omet
rie v
ecto
rială
în
dive
rse
cont
exte
;-
efe
ctua
re a
ope
rații
lor c
u ve
ctor
i;-
apl
icar
e a
vect
orilo
r și a
pro
prie
tățil
or lo
r în
dive
rse
dom
enii,
incl
usiv
în re
zolv
area
pro
blem
elor
pra
ctice
.•
Cerc
etar
ea u
nor c
azur
i con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la v
ecto
ri şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d uti
lizar
ea v
ecto
rilor
în
dive
rse
dom
enii.
54
10.5
. Ext
rapo
lare
a ve
ctor
ilor ș
i a
prop
rietă
ților
lor p
entr
u re
zolv
area
pro
blem
elor
din
di
vers
e do
men
ii, in
clus
iv
prob
lem
e di
n fiz
ică
și di
n pr
actic
a co
tidia
nă.
10.6
. Jus
tifica
rea
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
vec
tori,
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri, d
emon
stra
ții.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:tr
ansla
ţia, s
egm
ent o
rient
at, v
ecto
r nul
, ve
ctor
i ega
li, m
odul
ul (l
ungi
mea
) vec
toru
lui,
vect
ori c
olin
iari,
adu
nare
a ve
ctor
ilor,
rezu
ltant
a ve
ctor
ilor,
regu
la tr
iung
hiul
ui,
regu
la p
aral
elog
ram
ului
, scă
dere
a ve
ctor
ilor,
înm
ulţir
ea v
ecto
rilor
cu
un n
umăr
re
al, d
esco
mpu
nere
a ve
ctor
ului
dup
ă do
i ve
ctor
i nec
olin
iari,
vec
tori
unita
ri.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea v
ecto
rilor
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
vect
orilo
r.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
inve
stiga
ția „V
ecto
rii în
via
ța m
ea”;
p
lanu
l de
idei
ela
bora
t;
des
enul
;
arg
umen
tare
a or
ală/
în sc
ris;
p
roie
ctul
„Vec
torii
în fi
zică”
.
pro
iect
ul „T
rans
lația
în d
esig
n”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
55
LA F
INEL
E CL
ASEI
A V
III-a
, ELE
VUL
POAT
E:•
iden
tifica
, scr
ie u
tilizâ
nd d
iver
se fo
rme,
citi
, com
para
și o
rdon
a nu
mer
e re
ale
în d
iver
se si
tuaț
ii și
cont
exte
;•
efec
tua
oper
ațiil
e st
udia
te cu
num
ere
real
e, in
clus
iv o
pera
țiile
cu n
umer
e re
ale
repr
ezen
tate
prin
lite
re, î
n sit
uații
mod
elat
e și/
sau
real
e;•
tran
sfor
ma
expr
esii
alge
bric
e, u
tilizâ
nd fo
rmul
ele
de c
alcu
l pre
scur
tat ș
i met
odel
e de
des
com
pune
re în
fact
ori s
tudi
ate;
•id
entifi
ca în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e șir
uri n
umer
ice
și de
pend
ențe
func
ționa
le;
•cl
asifi
ca și
ruri,
func
ții, e
cuaț
ii, in
ecua
ții, s
istem
e, fi
guri
geom
etric
e st
udia
te în
func
ție d
e d
iver
se c
riter
ii da
te sa
u se
lect
ate;
•ex
trap
ola
prop
rietă
țile
șirur
ilor ș
i ale
func
țiilo
r stu
diat
e pe
ntru
a re
zolv
a pr
oble
me
din
dive
rse
dom
enii;
•in
vesti
ga v
aloa
rea
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a u
nei p
ropo
ziții,
incl
usiv
cu
ajut
orul
exe
mpl
elor
, al c
ontr
aexe
mpl
elor
;•
justi
fica
un d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
dem
onst
rații
; •
iden
tifica
în e
nunț
uri ș
i apl
ica
în d
iver
se c
onte
xte
term
inol
ogiil
e și
nota
țiile
afe
rent
e no
țiuni
lor m
atem
atice
stud
iate
;•
iden
tifica
și re
zolv
a în
div
erse
con
text
e tip
urile
stud
iate
de
ecua
ții, i
necu
ații
și sis
tem
e;•
iden
tifica
în d
iver
se c
onte
xte
și de
scrie
ver
bal ș
i/sau
în s
cris,
util
izând
term
inol
ogia
și n
otaț
iile
resp
ectiv
e, n
oțiu
nile
geo
met
rice
stud
iate
și p
ropr
ietă
țile
aces
tora
;•
clas
ifica
și c
ompa
ra fi
guril
e ge
omet
rice
stud
iate
în fu
ncție
de
dive
rse
crite
rii;
•re
prez
enta
în p
lan
figur
ile g
eom
etric
e st
udia
te, u
tilizâ
nd in
stru
men
tele
de
dese
n, c
alcu
lato
rul,
inst
rum
ente
le T
IC ș
i apl
ica
repr
e-ze
ntăr
ile re
spec
tive
în re
zolv
area
pro
blem
elor
; •
calc
ula
măs
uri d
e un
ghiu
ri (u
tilizâ
nd ra
port
orul
, ele
men
tele
de
trig
onom
etrie
, crit
eriil
e de
ase
măn
are
stud
iate
), lu
ngim
i de
seg-
men
te, p
erim
etre
ale
figu
rilor
, arii
ale
păt
rate
lor ș
i ale
dre
ptun
ghiu
rilor
în si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate;
•
aplic
a cr
iterii
le și
pro
prie
tățil
e fig
urilo
r geo
met
rice
stud
iate
în d
iver
se c
onte
xte;
•id
entifi
ca în
div
erse
con
text
e și
utiliz
a tr
ansla
ția în
div
erse
dom
enii,
incl
usiv
în re
zolv
area
pro
blem
elor
pra
ctice
;•
iden
tifica
în d
iver
se c
onte
xte
și uti
liza
vect
orii
și op
eraț
iile
cu v
ecto
ri în
div
erse
dom
enii,
incl
usiv
în r
ezol
vare
a pr
oble
mel
or
prac
tice;
•in
vesti
ga v
aloa
rea
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a u
nei p
ropo
ziții
utiliz
ând
exem
ple,
con
trae
xem
ple;
•ju
stific
a un
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri, d
emon
stra
ții, s
usțin
ând
prop
riile
idei
și o
pini
i.
56
Clas
a a
IX-a
Uni
tăți
de c
ompe
tenț
ăU
nită
ți de
con
ținut
Activ
ități
şi p
rodu
se d
e în
văța
re re
com
anda
te1.
1. Id
entifi
care
a, c
lasi
ficar
ea
în fu
ncție
de
dive
rse
crite
rii
și re
prez
enta
rea
în d
iferit
e fo
rme
a el
emen
telo
r m
ulțim
ilor N
, Z, Q
, R.
1.2.
Iden
tifica
rea
și uti
lizar
ea
term
inol
ogie
i afe
rent
e no
țiuni
i de
num
ăr re
al în
di
vers
e co
ntex
te.
1.3.
Ope
rare
a cu
num
ere
real
e pe
ntru
efe
ctua
rea
calc
ulel
or
în si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate.
1.4.
Apl
icar
ea a
lgor
itmilo
r de
calc
ul c
u nu
mer
e re
ale
în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or, a
op
eraț
iilor
cu
num
ere
real
e și
a pr
oprie
tățil
or a
cest
ora
în
dife
rite
situa
ții.
1.5.
Apl
icar
ea m
odul
ului
nu
măr
ului
real
și a
pr
oprie
tățil
or a
cest
uia
în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or.
1.6.
Exp
lora
rea
estim
ărilo
r și a
ro
tunj
irilo
r pen
tru
verifi
care
a co
recti
tudi
nii u
nor c
alcu
le
cu n
umer
e re
ale
în d
iver
se
cont
exte
.
I. M
ulțim
ea n
umer
elor
real
e.
Reca
pitu
lare
şi c
ompl
etăr
i•
Noț
iune
a de
num
ăr re
al. R
epre
zent
area
nu
mer
elor
real
e pe
axă
. Inc
luziu
nile
N
ZQ
R⊂
⊂⊂
• M
odul
ul n
umăr
ului
real
. Pro
prie
tăți:
aa
a
aa
a
abab
a ba b
b
≥≥
==
= =≠
0
0
22
2
;; ;
;
,.
• Co
mpa
rare
a nu
mer
elor
real
e. O
pera
ții
aritm
etice
cu
num
ere
real
e. P
ropr
ietă
ți•
Pute
ri cu
exp
onen
t înt
reg.
Pro
prie
tăți
• Ra
dica
li de
ord
inul
doi
. Pro
prie
tăți.
Ra
ționa
lizar
ea n
umito
rilor
de
form
a
aba
b,
±
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ra
ţiona
lizar
e.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
a n
umer
elor
nat
ural
e, în
treg
i, ra
ționa
le,
irațio
nale
, rea
le, p
uter
i, ra
dica
li și
a pr
oprie
tățil
or
aces
tora
în d
iver
se c
onte
xte;
- sc
riere
a n
umer
elor
real
e în
div
erse
form
e;-
dete
rmin
are
a că
rei m
ulțim
i de
num
ere
îi ap
arțin
e nu
măr
ul d
at;
- ca
lcul
cu
num
ere
real
e și
aplic
are
în c
alcu
le a
mod
ulul
ui,
a al
gorit
milo
r și a
pro
prie
tățil
or st
udia
te;
- or
dona
re, c
ompa
rare
și re
prez
enta
re a
num
erel
or re
ale
pe a
xă;
- ef
ectu
are
de e
stim
ări ș
i rot
unjir
i în
calc
ule
cu n
umer
e, c
u m
ărim
i;-
aplic
are
a nu
mer
elor
real
e în
div
erse
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
rezo
lvar
e a
prob
lem
elor
și a
situ
ațiil
or-p
robl
emă,
uti
lizân
d nu
mer
e re
ale
și op
eraț
ii cu
num
ere
real
e;-
justi
ficar
e și
argu
men
tare
a re
zulta
telo
r obț
inut
e și
a te
hnol
ogiil
or d
e ca
lcul
util
izate
;-
form
are
a ob
ișnui
nței
de
a ve
rifica
dac
ă o
prob
lem
ă es
te
sau
nu d
eter
min
ată,
inve
stigâ
nd v
aloa
rea
de a
devă
r a
rezu
ltatu
lui o
bțin
ut;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu
num
ere
real
e, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri, d
emon
stra
ții.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u
mod
elat
e re
ferit
oare
la n
umer
e re
ale
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
lucr
ări p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
num
erel
or re
ale
în p
racti
că.
57
1.7.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu n
umer
e re
ale,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
dem
onst
rații
.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d uti
lizar
ea n
umer
elor
re
ale
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
num
erel
or re
ale
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
num
erel
or re
ale.
Pr
odus
e re
com
anda
te:
e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;
sch
ema
ela
bora
tă;
s
ofism
e m
atem
atice
rezo
lvat
e;
alg
oritm
ul a
plic
at;
c
ontr
aexe
mpl
ul p
reze
ntat
;
inve
stiga
ția „
Pute
rile
în d
iver
se d
omen
ii”;
p
roie
ctul
„N
umer
ele
real
e în
via
ța m
ea”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
2.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i și a
not
ațiil
or
afer
ente
noț
iuni
i de
rapo
rt
alge
bric
în d
iver
se c
onte
xte.
2.2.
Det
erm
inar
ea v
alor
ilor
num
eric
e al
e un
or e
xpre
sii
alge
bric
e pe
ntru
dife
rite
valo
ri al
e va
riabi
lelo
r.2.
3. U
tiliza
rea
de a
nalo
gii î
n ef
ectu
area
ope
rații
lor c
u fr
acții
ord
inar
e și
rapo
arte
al
gebr
ice.
II. R
apoa
rte
alge
bric
e
• N
oțiu
nea
de ra
port
alg
ebric
. Dom
eniu
l va
loril
or a
dmisi
bile
(DVA
)•
Ampl
ifica
rea,
sim
plifi
care
a ra
poar
telo
r al
gebr
ice
• O
pera
ții a
ritm
etice
cu
rapo
arte
alg
ebric
e•
Iden
titat
e. E
xpre
sii id
entic
ega
le•
Tran
sfor
măr
i ide
ntice
ale
exp
resii
lor
alge
bric
e•
Dem
onst
rația
uno
r ide
ntită
ți sim
ple
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- d
eter
min
are
a va
loril
or n
umer
ice
ale
unor
exp
resii
al
gebr
ice
pent
ru d
iferit
e va
lori
ale
varia
bile
lor;
- a
plic
are
a al
gorit
milo
r de
calc
ul, u
tilizâ
nd p
ropr
ietă
țile
oper
ațiil
or c
u ra
poar
te a
lgeb
rice;
- e
fect
uare
de
tran
sfor
măr
i ide
ntice
ale
exp
resii
lor
alge
bric
e în
dom
eniu
l val
orilo
r adm
isibi
le a
le a
cest
ora;
- id
entifi
care
și a
plic
are
a te
rmin
olog
iei a
fere
nte
noțiu
nii
de ra
port
alg
ebric
în d
iver
se c
onte
xte;
- d
eter
min
are
a DV
A a
expr
esiil
or a
lgeb
rice
și a
rapo
arte
lor
alge
bric
e;-
apl
icar
e a
rapo
arte
lor a
lgeb
rice
în d
iver
se d
omen
ii.
58
2.4.
Apl
icar
ea a
lgor
itmilo
r de
calc
ul, u
tilizâ
nd p
ropr
ietă
țile
oper
ațiil
or c
u ra
poar
te
alge
bric
e în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
.2.
5. E
fect
uare
a de
tran
sfor
măr
i id
entic
e al
e ex
pres
iilor
al
gebr
ice
în d
omen
iul
valo
rilor
adm
isibi
le a
cest
ora.
2.6.
Eva
luar
ea şi
ana
liza
unei
pr
oble
me,
a u
nei s
ituaț
ii-pr
oble
mă
în c
onte
xtul
co
recti
tudi
nii,
al si
mpl
ității
, al
cla
rităț
ii și
al se
mni
ficaț
iei
rezu
ltate
lor.
2.7.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu c
alcu
l alg
ebric
, rec
urgâ
nd
la a
rgum
entă
ri, d
emon
stra
ții.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ra
port
alg
ebric
, num
ărăt
orul
rapo
rtul
ui,
num
itoru
l rap
ortu
lui,
dom
eniu
l val
orilo
r ad
misi
bile
(DVA
), id
entit
ate,
exp
resii
iden
tic
egal
e, tr
ansf
orm
ări i
denti
ce.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
dive
rse
dom
enii
refe
ritoa
re la
cal
culu
l alg
ebric
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
utiliz
area
cal
culu
lui
alge
bric
în d
iver
se d
omen
ii.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a ca
lcul
ului
alg
ebric
.
Prod
use
reco
man
date
:
răs
puns
ul o
ral;
r
ăspu
nsul
scris
;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
sch
ema
ela
bora
tă;
a
lgor
itmul
apl
icat
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
3.1.
Rec
unoa
şter
ea și
apl
icar
ea
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r af
eren
te n
oțiu
nii d
e fu
ncție
în
div
erse
con
text
e.3.
2. Id
entifi
care
a un
or
depe
nden
țe fu
ncțio
nale
în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e, in
clus
iv d
e tip
ul
func
ției d
e gr
adul
II.
3.3.
Tra
nspu
nere
a în
lim
baju
l fu
ncții
lor a
dife
ritor
situ
ații
din
viaț
a co
tidia
nă și
din
alte
do
men
ii.
III. F
uncț
ii
• N
oțiu
nea
de fu
ncție
. Mod
uri d
e de
finire
a
unei
func
ții•
Grafi
cul f
uncț
iei.
Lect
ură
grafi
că.
Tran
sfor
măr
i ale
gra
ficel
or fu
ncții
lor:
tran
slația
par
alel
ă cu
axe
le d
e co
ordo
nate
•
Prop
rietă
ți al
e fu
ncție
i (ze
rour
i, m
onot
onie
, sem
n, e
xtre
me)
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- co
nstr
uire
a u
nor e
xem
ple
de d
epen
denț
e fu
ncțio
nale
, fu
ncții
;-
apl
icar
e în
con
text
e di
vers
e, in
clus
iv în
com
unic
are,
a
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r af
eren
te n
oțiu
nii d
e fu
ncție
;-
repr
ezen
tare
în d
iver
se m
odur
i (an
aliti
c, si
nteti
c, g
rafic
) a
unor
cor
espo
nden
țe și
/sau
func
ții;
- d
educ
ere
anal
itică
/prin
lect
ură
grafi
că a
pro
prie
tățil
or
unei
func
ții;
- tr
asar
e a
grafi
celo
r fun
cțiil
or;
- u
tiliza
re a
alg
oritm
ului
de
stud
iu a
l fun
cțiil
or st
udia
te
în re
zolv
area
pro
blem
elor
, a si
tuaț
iilor
-pro
blem
ă,
în st
udie
rea
unor
pro
cese
fizic
e, c
him
ice,
bio
logi
ce,
econ
omic
e, so
cial
e m
odel
ate
prin
func
ții;
59
3.4.
Tra
sare
a gr
aficu
lui u
nei
func
ții, i
nclu
siv a
l une
i fun
cții
de g
radu
l II,
și de
duce
rea
prop
rietă
ților
func
ției
(zer
ouri,
sem
n, m
onot
onie
, ex
trem
e) p
rin le
ctur
a gr
afică
și/
sau
anal
itică
.3.
5. A
plic
area
pro
prie
tățil
or
func
ției d
e gr
adul
II în
re
zolv
area
ecu
ațiil
or, a
in
ecua
țiilo
r, a
prob
lem
elor
, a
situa
țiilo
r-pro
blem
ă,
în st
udiu
l uno
r pro
cese
fiz
ice,
chi
mic
e, b
iolo
gice
, ec
onom
ice,
soci
ale,
m
odel
ate
prin
func
ții.
3.6.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu re
ferir
e la
func
ții,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
de
mon
stra
ții.
• Fu
ncția
de
grad
ul II
. Caz
uri p
artic
ular
e al
e fu
ncție
i de
grad
ul II
. Gra
ficul
func
ției
de g
radu
l II.
Prop
rietă
țile
func
ției d
e gr
adul
II: z
erou
ri, m
onot
onie
, sem
n,
extr
eme
• Fu
ncția
fR
Rfx
x:
,→
()=
3. G
rafic
ul
și pr
oprie
tățil
e e
i (ze
rou,
mon
oton
ie,
sem
n)
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:fu
ncţia
de
grad
ul II
, gra
ficul
func
ţiei d
e gr
adul
II, p
arab
ola,
ram
urile
par
abol
ei,
vârf
ul p
arab
olei
, axa
de
simet
rie a
pa
rabo
lei,
tran
slaţia
par
alel
ă a
grafi
culu
i în
rapo
rt c
u ax
ele
de c
oord
onat
e, p
unct
e de
ex
trem
, ext
rem
ele
func
ţiei.
- tr
ansp
uner
e în
lim
baju
l fun
cțiil
or a
dife
ritor
situ
ații
din
viaț
a co
tidia
nă și
din
alte
dom
enii;
- in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr a
une
i afir
maț
ii, a
un
ei p
ropo
ziții,
incl
usiv
cu
ajut
orul
exe
mpl
elor
, al
cont
raex
empl
elor
.•
Cerc
etar
ea u
nor c
azur
i con
cret
e di
n sit
uaţii
rea
le şi
/sau
m
odel
ate
refe
ritoa
re la
func
ţiile
stu
diat
e şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or lu
crăr
i pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea fu
ncţii
lor s
tudi
ate
în p
racti
că.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d ap
licar
ea fu
ncţii
lor
stud
iate
în d
iver
se d
omen
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
func
ţiilo
r stu
diat
e în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a fu
ncţii
lor s
tudi
ate.
Prod
use
reco
man
date
:
răs
puns
ul o
ral;
r
ăspu
nsul
scris
;
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
in
vesti
gația
„El
emen
te a
le g
rafic
elor
func
țiilo
r stu
diat
e în
co
nstr
ucții
le d
in lo
calit
ate”
;
gra
ficel
e tr
asat
e;
alg
oritm
ul a
plic
at;
p
roie
ctul
„Fu
ncții
le în
tehn
ică”
;
pro
iect
ul „
Func
țiile
în a
rte”
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
60
4.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
term
inol
ogie
i, a
nota
țiilo
r af
eren
te n
oțiu
nilo
r de
ecua
ție, i
necu
ație
, sist
em d
e ec
uații
, sist
em d
e in
ecua
ții,
în d
iver
se c
onte
xte.
4.2.
Rez
olva
rea
ecua
țiilo
r, a
in
ecua
țiilo
r și/s
au a
sis
tem
elor
de
tipur
ile
stud
iate
4.3.
Tra
nspu
nere
a un
ei
prob
lem
e, a
une
i situ
ații-
prob
lem
ă în
lim
baju
l ec
uații
lor ș
i/sau
al s
istem
elor
de
ecu
ații,
rezo
lvar
ea
prob
lem
ei o
bțin
ute
și in
terp
reta
rea
rezu
ltatu
lui.
4.4.
Sel
ecta
rea
și ap
licar
ea
met
odei
ade
cvat
e de
re
zolv
are
a ec
uații
lor,
a in
ecua
țiilo
r și a
sist
emel
or d
e ec
uații
/inec
uații
. 4.
5. A
plic
area
ecu
ațiil
or și
a
siste
mel
or d
e ec
uații
la
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or.
4.6.
Cre
area
şi re
zolv
area
uno
r pr
oble
me
simpl
e în
baz
a un
ui m
odel
dat
: ecu
ație
, in
ecua
ție, s
istem
.4.
7. Ju
stific
area
unu
i dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
refe
rire
la e
cuaț
ii,
inec
uații
, sist
eme,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
dem
onst
rații
.
IV. E
cuaț
ii, in
ecua
ții, s
istem
e
• N
oțiu
nea
de e
cuaț
ie.
Tran
sfor
măr
i ech
ival
ente
• Ec
uații
de
form
a ax
babR
+=
∈0,
,
• Ec
uații
de
grad
ul II
cu
o ne
cuno
scut
ă.
Rela
ții în
tre
solu
ții și
coe
ficie
nți
• Ec
uații
rațio
nale
cu
o ne
cuno
scut
ă•
Sist
eme
de d
ouă
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
do
uă n
ecun
oscu
te•
Met
ode
de re
zolv
are
a sis
tem
elor
de
dou
ă ec
uații
de
grad
ul I
cu d
ouă
necu
nosc
ute
(met
oda
redu
cerii
, met
oda
subs
tituț
iei,
met
oda
grafi
că)
• Re
zolv
area
pro
blem
elor
cu
text
cu
ajut
orul
ecu
ațiil
or și
/sau
al s
istem
elor
de
ecu
ații
• In
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă•
Inec
uații
de
grad
ul II
cu
o ne
cuno
scut
ă•
Met
oda
inte
rval
elor
• Si
stem
e de
inec
uații
de
grad
ul I
cu o
ne
cuno
scut
ă•
Inec
uații
rațio
nale
cu
o ne
cuno
scut
ă
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ec
uaţii
raţio
nale
cu
o ne
cuno
scut
ă,
inec
uaţii
raţio
nale
cu
o ne
cuno
scut
ă,
met
oda
inte
rval
elor
.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
și a
plic
are
a te
rmin
olog
iei,
a no
tații
lor
afer
ente
noț
iuni
lor d
e ec
uație
, ine
cuaț
ie, s
istem
de
ecua
ții, s
istem
de
inec
uații
;-
dete
rmin
are
a so
luții
lor e
cuaț
iilor
, ale
inec
uații
lor,
ale
siste
mel
or d
e tip
urile
stud
iate
;-
efec
tuar
e a
tran
sfor
măr
ilor e
chiv
alen
te p
entr
u a
obțin
e ec
uații
, ine
cuaț
ii, si
stem
e ec
hiva
lent
e cu
cel
e da
te;
- de
term
inar
e a
solu
țiilo
r sist
emel
or d
e do
uă e
cuaț
ii de
gr
adul
I cu
dou
ă ne
cuno
scut
e pr
in d
iver
se m
etod
e:
met
oda
redu
cerii
, met
oda
subs
tituț
iei,
met
oda
grafi
că;
- tr
ansp
uner
e a
unei
pro
blem
e, a
une
i situ
ații-
prob
lem
ă în
lim
baju
l ecu
ațiil
or, a
l ine
cuaț
iilor
și/s
au a
l sist
emel
or,
rezo
lvar
ea p
robl
emei
obț
inut
e și
inte
rpre
tare
a re
zulta
tulu
i;-
dete
rmin
are
a so
luții
lor e
cuaț
iilor
rațio
nale
cu
o ne
cuno
scut
ă;-
aplic
are
a m
etod
ei in
terv
alel
or la
rezo
lvar
ea in
ecua
țiilo
r ra
ționa
le c
u o
necu
nosc
ută;
- cr
eare
și re
zolv
are
a un
or p
robl
eme
simpl
e în
baz
a un
ui
mod
el d
at: e
cuaț
ie, i
necu
ație
, sist
em.
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat c
u in
egal
ități,
ecu
ații,
inec
uații
, rec
urgâ
nd la
arg
umen
tări,
ex
empl
e, c
ontr
aexe
mpl
e.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
ecu
aţiil
e, in
ecua
ţiile
, sist
emel
e st
udia
te şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
aplic
area
ecu
aţiil
or, a
in
ecua
ţiilo
r, a
siste
mel
or st
udia
te în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea e
cuaţ
iilor
, a in
ecua
ţiilo
r, a
siste
mel
or st
udia
te în
sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Aplic
area
jocu
rilor
did
actic
e în
pre
dare
a –
învă
ţare
a –
eval
uare
a ec
uaţii
lor,
a in
ecua
ţiilo
r, a
siste
mel
or st
udia
te.
61
Prod
use
reco
man
date
:
exe
rciți
ul re
zolv
at;
p
robl
ema
rezo
lvat
ă;
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
s
chem
a e
labo
rată
;
pla
nul d
e id
ei;
s
ofism
e m
atem
atice
rezo
lvat
e;
g
rafic
e tr
asat
e;
alg
oritm
ul a
plic
at;
p
roie
ctul
„Ec
uații
, ine
cuaț
ii, si
stem
e în
fizic
ă, c
him
ie”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
5.1.
Iden
tifica
rea
și ap
licar
ea
în d
iver
se c
onte
xte
a te
rmin
olog
iei ș
i a n
otaț
iilor
af
eren
te n
oțiu
nilo
r stu
diat
e di
n st
atisti
că m
atem
atică
, te
oria
pro
babi
lităț
ilor ș
i ca
lcul
fina
ncia
r.5.
2. S
orta
rea,
cla
sific
area
da
telo
r, a
obie
ctel
or, a
ev
enim
ente
lor p
e ba
za
unor
crit
erii
și id
entifi
care
a cr
iterii
lor î
n fu
ncție
de
care
se a
lege
o m
ulțim
e de
ob
iect
e, d
ate,
feno
men
e,
even
imen
te.
5.3.
Sel
ecta
rea
din
mul
țimea
da
telo
r cul
ese
a in
form
ațiil
or
rele
vant
e pe
ntru
rezo
lvar
ea
prob
lem
ei în
situ
ații
real
e
și/sa
u m
odel
ate.
V. E
lem
ente
de
stati
stică
mat
emati
că şi
de
teor
ia p
roba
bilit
ățilo
r.
Elem
ente
de
calc
ul fi
nanc
iar
• Co
lect
area
, org
aniza
rea
și re
prez
enta
rea
grafi
că a
dat
elor
în ta
bele
de
date
st
atisti
ce, d
iagr
ame,
gra
fice
stati
stice
• In
terp
reta
rea
date
lor
• N
oțiu
nea
de e
veni
men
t•
Clas
ifica
rea
even
imen
telo
r•
Dete
rmin
area
pro
babi
lităț
ii pr
oduc
erii
unui
eve
nim
ent,
folo
sind
rapo
rtul
: nr
. caz
uri f
avor
abile
/nr.
cazu
ri po
sibile
• El
emen
te d
e ca
lcul
fina
ncia
r: pr
ocen
te,
dobâ
nzi,
TVA,
pre
ț, c
redi
t, bu
get,
buge
t fa
mili
al, b
uget
per
sona
l
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- ev
iden
țiere
și c
lasifi
care
a d
iferit
or ti
puri
de e
veni
men
te;
- ap
licar
e în
div
erse
situ
ații,
incl
usiv
în c
omun
icar
e, a
te
rmin
olog
iei ș
i a n
otaț
iilor
afe
rent
e no
țiuni
lor s
tudi
ate;
- so
rtar
e, c
lasifi
care
, rep
reze
ntar
e gr
afică
a d
atel
or, a
ob
iect
elor
, a e
veni
men
telo
r pe
baz
a un
or c
riter
ii;-
sele
ctar
e di
n m
ulțim
ea d
atel
or c
ules
e a
info
rmaț
iilor
re
leva
nte
pent
ru re
zolv
area
pro
blem
ei în
situ
ații
real
e
și/sa
u m
odel
ate;
- de
term
inar
e a
prob
abili
tății
pro
duce
rii u
nui e
veni
men
t, fo
losin
d ra
port
ul: n
r. ca
zuri
favo
rabi
le/n
r. ca
zuri
posib
ile;
- or
gani
zare
și re
prez
enta
re, u
tilizâ
nd, i
nclu
siv,
inst
rum
ente
le T
IC, a
dat
elor
din
div
erse
dom
enii;
- in
terp
reta
re a
dat
elor
în d
iver
se c
onte
xte;
-
aplic
are
a el
emen
telo
r de
calc
ul fi
nanc
iar î
n sit
uații
real
e și/
sau
mod
elat
e;-
expl
orar
e și
cara
cter
izare
a u
nor s
ituaț
ii cu
car
acte
r loc
al
și/sa
u gl
obal
util
izând
ele
men
tele
stati
stici
i mat
emati
ce,
prob
abili
stice
, ele
men
tele
de
calc
ul fi
nanc
iar s
tudi
ate.
62
5.4.
Iden
tifica
rea
în si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate
a ev
enim
ente
lor.
5.5.
Det
erm
inar
ea p
roba
bilit
ății
prod
ucer
ii un
ui e
veni
men
t, fo
losin
d ra
port
ul: n
r. ca
zuri
favo
rabi
le/n
r. ca
zuri
posib
ile.
5.6.
Cla
sific
area
eve
nim
ente
lor î
n fu
ncție
de
șans
a pr
oduc
erii
lor (
even
imen
t sig
ur,
prob
abil,
pos
ibil,
impo
sibil)
și
estim
area
șans
ei p
rodu
cerii
un
ui e
veni
men
t.5.
7. A
plic
area
ele
men
telo
r de
ca
lcul
fina
ncia
r în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e.5.
8. O
rgan
izare
a, re
prez
enta
rea
și in
terp
reta
rea
date
lor
din
dive
rse
dom
enii,
uti
lizân
d el
emen
te a
le
stati
stici
i mat
emati
ce și
/sau
pr
obab
ilisti
ce, i
nstr
umen
te
TIC.
5.9.
Exp
lora
rea
și ca
ract
eriza
rea
unor
situ
ații
cu c
arac
ter
loca
l și/s
au g
loba
l util
izând
el
emen
tele
stati
stici
i m
atem
atice
, pro
babi
listic
e,
elem
ente
le d
e ca
lcul
fin
anci
ar st
udia
te.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ta
belu
l de
date
stati
stice
, dia
gram
e pr
in
cerc
uri,
diag
ram
e pr
in p
ătra
te, d
iagr
ame
stru
ctur
ale,
eve
nim
ent a
leat
or, e
veni
men
te
elem
enta
re, e
veni
men
te e
gal p
osib
ile,
defin
iţia
clas
ică
a pr
obab
ilită
ţii,
prob
abili
tate
a ev
enim
entu
lui a
leat
oriu
, el
emen
te d
e ca
lcul
fina
ncia
r, do
bânz
i, TV
A,
preţ
, cre
dit,
buge
t, bu
get f
amili
al, b
uget
pe
rson
al.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
ele
men
tele
stati
stici
i mat
emati
ce,
prob
abili
stice
, ele
men
tele
de
calc
ul fi
nanc
iar s
tudi
ate
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
iden
tifica
te.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d a
plic
area
ele
men
telo
r st
atisti
cii m
atem
atice
, pro
babi
listic
e, e
lem
ente
lor d
e ca
lcul
fin
anci
ar st
udia
te în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea e
lem
ente
lor s
tatis
ticii
mat
emati
ce, p
roba
bilis
tice,
el
emen
telo
r de
calc
ul fi
nanc
iar s
tudi
ate
în si
tuaţ
ii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
• Ap
licar
ea jo
curil
or d
idac
tice
în p
reda
rea
– în
văţa
rea
– ev
alua
rea
elem
ente
lor s
tatis
ticii
mat
emati
ce, p
roba
bilis
tice,
el
emen
telo
r de
calc
ul fi
nanc
iar s
tudi
ate.
Prod
use
reco
man
date
:
caz
ul c
erce
tat,
cu a
plic
ații
prac
tice;
e
xerc
ițiul
rezo
lvat
;
pro
blem
a re
zolv
ată;
a
lgor
itmul
apl
icat
;
inve
stiga
ția „
Even
imen
tele
în v
iața
mea
”;
p
roie
ctul
„Bu
getu
l fam
iliei
și b
uget
ul p
erso
nal”.
p
roie
ctul
„St
atisti
ca în
pro
fesii
le p
ărin
ților
”;
d
iagr
ama
stati
stică
ela
bora
tă;
p
roie
ctul
„St
atisti
ca în
eco
nom
ie”;
p
roie
ctul
„Fi
nanț
ele
în v
iața
mea
”;
gra
fice
stati
stice
ela
bora
te;
s
onda
je st
atisti
ce re
aliza
te;
a
rgum
enta
rea
oral
ă/în
scris
;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
63
5.10
. Jus
tifica
rea
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
ele
men
tele
stati
stici
i m
atem
atice
, pro
babi
listic
e,
elem
ente
le d
e ca
lcul
fin
anci
ar st
udia
te, s
usțin
ând
prop
riile
idei
și v
iziun
i, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
.6.
1. Id
entifi
care
a și
aplic
area
te
rmin
olog
iei,
a no
tații
lor
afer
ente
noț
iuni
lor d
e ce
rc și
di
sc în
div
erse
con
text
e.6.
2. R
ecun
oaşt
erea
în
situa
ții
real
e și/
sau
mod
elat
e a
ce
rcur
ilor,
a di
scur
ilor ș
i a
elem
ente
lor l
or.
6.3.
Con
stru
irea
în p
lan,
uti
lizân
d in
stru
men
tele
de
dese
n, in
stru
men
tele
TIC
, a
cerc
urilo
r, a
disc
urilo
r și a
el
emen
telo
r ace
stor
a.6.
4. A
plic
area
cer
culu
i, a
disc
ului
, a p
ropr
ietă
ților
și
a el
emen
telo
r ace
stor
a în
re
zolv
area
pro
blem
elor
din
di
vers
e do
men
ii.6.
5. T
rans
pune
rea
unei
pr
oble
me,
a u
nei s
ituaț
ii-pr
oble
mă
refe
ritoa
re la
cer
c,
disc
în li
mba
jul g
eom
etric
, re
zolv
area
pro
blem
ei
obțin
ute
și in
terp
reta
rea
rezu
ltatu
lui.
VI. C
ercu
l. Di
scul
. Rec
apitu
lare
şi
com
plet
ări
• Ce
rcul
. Disc
ul. E
lem
ente
• Po
ziția
rela
tivă
a un
ei d
rept
e fa
ță d
e un
ce
rc/d
isc•
Ung
hi la
cen
tru.
Ung
hi în
scris
în c
erc.
Arc
de
cer
c •
Tang
enta
la c
erc.
Pro
prie
tăți
• Pr
oprie
tate
a co
arde
lor e
gal d
epăr
tate
de
cent
rul c
ercu
lui
• Pr
oprie
tate
a ar
celo
r cup
rinse
într
e co
arde
par
alel
e
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ta
ngen
ta la
cer
c.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
, des
crie
re v
erba
lă și
în sc
ris a
figu
rilor
ge
omet
rice
stud
iate
;-
clas
ifica
re și
com
para
re a
figu
rilor
geo
met
rice
stud
iate
;-
repr
ezen
tare
în p
lan
a fig
urilo
r geo
met
rice
stud
iate
, uti
lizân
d in
stru
men
tele
de
dese
n și/
sau
inst
rum
ente
TI
C și
aplic
area
repr
ezen
tăril
or re
spec
tive
în re
zolv
area
pr
oble
mel
or;
- ap
licar
e a
prop
rietă
ților
cer
curil
or și
ale
disc
urilo
r în
dive
rse
dom
enii;
- an
aliză
și in
terp
reta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e di
n pr
actic
ă cu
refe
rire
la
cerc
uri ș
i disc
uri;
- co
nstr
uire
a u
nor s
ecve
nțe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv,
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
de
dem
onst
rație
;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
cerc
uri ș
i disc
uri r
ecur
gând
la a
rgum
entă
ri, d
emon
stra
ții;
- in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr a
une
i afir
maț
ii, a
une
i pr
opoz
iții c
u aj
utor
ul d
emon
stra
țiilo
r, al
exe
mpl
elor
, al
cont
raex
empl
elor
.•
Cerc
etar
ea u
nor c
azur
i con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la c
erc
şi di
sc şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei
iden
tifica
te.
64
6.6.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii cu
car
acte
r ge
omet
ric, r
efer
itoar
e la
ce
rc, d
isc.
6.7.
Con
stru
irea
unor
secv
ențe
sim
ple
de ra
ționa
men
t de
ducti
v, în
con
text
ul
cerc
ului
, al d
iscul
ui.
6.8.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu c
ercu
ri și
disc
uri,
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
de
mon
stra
ții.
• Re
aliza
rea
unor
lucr
ări p
racti
ce, i
nclu
siv p
e te
ren,
priv
ind
aplic
area
cer
curil
or şi
a d
iscur
ilor î
n pr
actic
ă.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
apl
icar
ea c
ercu
rilor
şi
a di
scur
ilor î
n di
vers
e do
men
ii.•
Real
izare
a un
or p
roie
cte
de g
rup/
indi
vidu
ale,
priv
ind
aplic
area
cer
curil
or şi
a d
iscur
ilor î
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.
Prod
use
reco
man
date
:
pro
blem
a re
zolv
ată;
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;
inve
stiga
ția „C
ercu
l și d
iscul
în v
iața
mea
”;
sch
ema
ela
bora
tă;
p
lanu
l de
idei
ela
bora
t;
alg
oritm
ul a
plic
at;
p
roie
ctul
„Cer
cul ș
i disc
ul în
arh
itect
ură”
.
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.7.
1. Id
entifi
care
a și
aplic
area
în
div
erse
con
text
e a
term
inol
ogie
i afe
rent
e no
țiuni
i de
arie
și d
e ca
lcul
al
ariil
or fi
guril
or.
7.2.
Rec
unoa
şter
ea în
div
erse
co
ntex
te și
util
izare
a fo
rmul
elor
de
calc
ul a
l ar
iilor
triu
nghi
ului
, ale
pa
trul
ater
elor
, ale
disc
ului
în
rezo
lvar
ea p
robl
emel
or.
VII.
Arii
• N
oțiu
nea
de a
rie
• Ar
ia p
ătra
tulu
i, dr
eptu
nghi
ului
• Ar
ia p
aral
elog
ram
ului
• Ar
ia ro
mbu
lui
• Ar
ia tr
iung
hiul
ui (A
= 0
,5 a
h; fo
rmul
a lu
i He
ron)
• Ar
ia tr
apez
ului
• Ar
ia tr
iung
hiul
ui e
chila
tera
l•
Aria
hex
agon
ului
regu
lat
• Lu
ngim
ea c
ercu
lui.
Aria
disc
ului
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- re
prez
enta
re în
pla
n a
figur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te,
utiliz
ând
inst
rum
ente
le d
e de
sen
și/s
au in
stru
men
te
TIC
și ap
licar
e a
repr
ezen
tăril
or re
spec
tive
în re
zolv
area
pr
oble
mel
or d
e ca
lcul
de
arii;
- ca
lcul
are
a ar
iilor
figu
rilor
geo
met
rice
stud
iate
în d
iver
se
cont
exte
;-
anal
iză și
inte
rpre
tare
a re
zulta
telo
r obț
inut
e pr
in
rezo
lvar
ea u
nor p
robl
eme
prac
tice
cu re
ferir
e la
figu
rile
geom
etric
e st
udia
te și
la u
nită
țile
de m
ăsur
ă re
leva
nte
ariil
or;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat c
u ar
ii al
e fi
guril
or g
eom
etric
e re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
;
65
7.3.
Util
izare
a fo
rmul
elor
de
calc
ul a
l arii
lor fi
guril
or
geom
etric
e st
udia
te în
re
zolv
area
pro
blem
elor
, a
situa
țiilo
r-pro
blem
ă di
n di
ferit
e do
men
ii (fi
zică,
te
hnic
ă, c
onst
rucț
ii).
7.4.
Cal
cula
rea
ariil
or în
situ
ații
real
e și/
sau
mod
elat
e.7.
5. E
labo
rare
a pl
anul
ui d
e re
zolv
are
a pr
oble
mei
re
ferit
oare
la c
alcu
lul
ariil
or în
con
text
e va
riate
și
rezo
lvar
ea p
robl
emei
în
conf
orm
itate
cu
plan
ul.
7.6.
Inve
stiga
rea
valo
rii d
e ad
evăr
a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii re
ferit
oare
la
arii.
7.7.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat c
u ar
ii al
e fig
urilo
r ge
omet
rice
stud
iate
, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
.
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ar
ia u
nei fi
guri,
form
ula
lui H
eron
, aria
tr
iung
hiul
ui, a
ria p
aral
elog
ram
ului
, aria
ro
mbu
lui,
aria
trap
ezul
ui, a
ria tr
iung
hiul
ui
regu
lat,
aria
hex
agon
ului
regu
lat.
- co
nstr
uire
a u
nor s
ecve
nțe
simpl
e de
rațio
nam
ent
dedu
ctiv,
rezo
lvar
e a
unor
pro
blem
e sim
ple
de
dem
onst
rație
;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii, in
clus
iv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii r
eale
şi/s
au
mod
elat
e re
ferit
oare
la a
riile
figu
rilor
stud
iate
şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or lu
crăr
i pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, p
rivin
d ap
licar
ea a
riilo
r în
prac
tică.
• Re
aliza
rea
unor
inve
stiga
ţii p
rivin
d ap
licar
ea a
riilo
r în
dive
rse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea a
riilo
r în
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate.
Prod
use
reco
man
date
:
pro
blem
a re
zolv
ată;
d
emon
stra
ția;
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;
inve
stiga
ția „
Ariil
e în
sala
de
clas
ă”;
s
chem
a el
abor
ată;
p
lanu
l de
idei
;
alg
oritm
ul a
plic
at;
p
roie
ctul
„Ar
iile
în v
iața
mea
”;
pro
iect
ul „
Ariil
e în
art
e”;
lu
crar
ea p
racti
că p
e te
ren
„Cal
cula
rea
ariil
or în
cur
tea
școl
ii”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
66
8.1.
Iden
tifica
rea
în d
iver
se
enun
țuri
și c
lasi
ficar
ea în
fu
ncție
de
dive
rse
crite
rii a
po
liedr
elor
stud
iate
.8.
2. R
ecun
oaşt
erea
și a
plic
area
în
div
erse
con
text
e a
term
inol
ogie
i afe
rent
e po
liedr
elor
stud
iate
.8.
3. C
alcu
lare
a ar
iilor
, a
volu
mel
or p
olie
drel
or,
utiliz
ând
form
ulel
e co
resp
unză
toar
e și/
sau
de
sfăș
urăr
ile a
cest
ora.
8.
4. A
plic
area
pol
iedr
elor
pen
tru
a id
entifi
ca și
a e
xplic
a pr
oces
e, fe
nom
ene
din
dive
rse
dom
enii.
8.5.
Tra
nspu
nere
a un
ei si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate
re
ferit
oare
la p
olie
dre
în li
mba
jul g
eom
etric
, re
zolv
area
pro
blem
ei
obțin
ute
și in
terp
reta
rea
rezu
ltatu
lui.
8.6.
Ela
bora
rea
plan
ului
de
rezo
lvar
e a
prob
lem
ei
cu p
olie
dre
și re
zolv
area
pr
oble
mei
în c
onfo
rmita
te c
u pl
anul
ela
bora
t.8.
7. In
vesti
gare
a va
lorii
de
adev
ăr a
une
i afir
maț
ii, a
un
ei p
ropo
ziții
refe
ritoa
re la
po
liedr
e.
VIII.
Pol
iedr
e
• Pr
isma
și el
emen
tele
ei (
vârf,
muc
hie,
ba
ză, f
ață
late
rală
, înă
lțim
e, d
iago
nală
). Cl
asifi
care
a pr
ismel
or (p
rism
ă dr
eapt
ă,
prism
ă ob
lică,
pris
mă
regu
lată
, pa
rale
lipip
ed, p
aral
elip
iped
dre
ptun
ghic
, pa
rale
lipip
ed d
rept
, cub
). De
sfăș
urat
a su
praf
eței
une
i pris
mei
dre
pte
• Ar
ia su
praf
ețel
or și
vol
umul
pris
mei
dr
epte
• Pi
ram
ida
și el
emen
tele
ei (
vârf,
muc
hie,
ba
ză, f
ață
late
rală
, înă
lțim
e, a
pote
mă)
. Cl
asifi
care
a pi
ram
idel
or (p
iram
idă
drea
ptă,
pira
mid
ă ob
lică,
pira
mid
ă re
gula
tă, t
etra
edru
, tet
raed
ru re
gula
t).
Desf
ășur
ata
supr
afeț
ei u
nei p
iram
ide
• Ar
ia su
praf
ețel
or și
vol
umul
pira
mid
ei
regu
late
(triu
nghi
ular
e, p
atru
late
re,
hexa
gona
le)
• Tr
unch
iul d
e pi
ram
idă.
Ele
men
te.
Clas
ifica
re
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:pr
ismă,
pris
mă
drea
ptă,
pris
mă
oblic
ă, p
rism
ă re
gula
tă, p
aral
elip
iped
, pa
rale
lipip
ed d
rept
, aria
late
rală
a u
nei
prism
e, a
ria to
tală
a u
nei p
rism
e dr
epte
, vo
lum
ul p
rism
ei d
rept
e, a
pote
mă,
pira
mid
ă dr
eapt
ă, p
iram
idă
oblic
ă, p
iram
idă
regu
lată
, tet
raed
ru, t
etra
edru
regu
lat,
aria
la
tera
lă a
pira
mid
ei re
gula
te, a
ria to
tală
a
pira
mid
ei re
gula
te, v
olum
ul p
iram
idei
re
gula
te, t
runc
hi d
e pi
ram
idă.
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
, des
crie
re v
erba
lă și
în sc
ris, u
tilizâ
nd
nota
țiile
resp
ectiv
e, a
pol
iedr
elor
stud
iate
și/s
au a
el
emen
telo
r ace
stor
a;-
repr
ezen
tare
în p
lan
a co
rpur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te,
utiliz
ând
inst
rum
ente
le d
e de
sen
și/sa
u in
stru
men
te
TIC
și ap
licar
e a
repr
ezen
tăril
or re
spec
tive
în re
zolv
area
pr
oble
mel
or d
e ca
lcul
de
arii
și/sa
u vo
lum
e;-
calc
ul a
l arii
lor s
upra
fețe
lor ș
i/sau
al v
olum
elor
po
liedr
elor
stud
iate
în si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate
din
dife
rite
dom
enii;
- an
aliză
și in
terp
reta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e pr
actic
e cu
refe
rire
la
polie
drel
e st
udia
te și
la u
nită
țile
de m
ăsur
ă re
leva
nte
ariil
or, v
olum
elor
;-
justi
ficar
e a
unui
dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
figu
ri ge
omet
rice
recu
rgân
d la
arg
umen
tări,
de
mon
stra
ții;
- in
vesti
gare
a v
alor
ii de
ade
văr a
une
i afir
maț
ii, a
un
ei p
ropo
ziții,
incl
usiv
cu
ajut
orul
exe
mpl
elor
, al
cont
raex
empl
elor
, al d
emon
stra
țiilo
r.•
Cerc
etar
ea u
nor c
azur
i con
cret
e di
n sit
uaţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e re
ferit
oare
la p
olie
dre
şi so
luţio
nare
a pr
oble
mei
id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
aplic
area
pol
iedr
elor
în
dive
rse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea p
olie
drel
or în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Real
izare
a un
or lu
crăr
i pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, şi
de
labo
rato
r priv
ind
calc
ulul
arii
lor ş
i al v
olum
elor
pol
iedr
elor
.
67
8.8.
Justi
ficar
ea u
nui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu p
olie
dre,
recu
rgân
d la
ar
gum
entă
ri, d
emon
stra
ții.
Prod
use
reco
man
date
:
pro
blem
a re
zolv
ată;
c
azul
cer
ceta
t cu
aplic
ații
prac
tice;
in
vesti
gația
„Po
liedr
ele
în c
asa
mea
”;
pla
nul d
e id
ei e
labo
rat;
s
chem
a el
abor
ată;
p
roie
ctul
„Po
liedr
ele
în c
onst
rucț
iile
din
loca
litat
e”;
lu
crar
ea d
e la
bora
tor „
Calc
ular
ea v
olum
elor
obi
ecte
lor,
avân
d fo
rma
unui
pol
iedr
u”;
m
atric
ea d
e as
ocie
re c
ompl
etat
ă;
har
ta c
once
ptua
lă e
labo
rată
la c
apito
l;
tes
tul s
umati
v re
zolv
at.
9.1.
Iden
tifica
rea
în d
iver
se
enun
țuri
și cl
asifi
care
a în
baz
a di
vers
elor
crit
erii
a co
rpur
ilor d
e ro
tație
st
udia
te.
9.2.
Rec
unoa
şter
ea și
apl
icar
ea
în d
iver
se c
onte
xte
a te
rmin
olog
iei a
fere
nte
corp
urilo
r de
rota
ție
stud
iate
.9.
3. C
alcu
lare
a ar
iilor
, a
supr
afeț
elor
, a v
olum
elor
co
rpur
ilor d
e ro
tație
, uti
lizân
d fo
rmul
ele
core
spun
zăto
are
și/sa
u
desf
ășur
ările
ace
stor
a.
9.4.
Apl
icar
ea c
orpu
rilor
de
rota
ție p
entr
u a
iden
tifica
și
a ex
plic
a pr
oces
e, fe
nom
ene
din
dive
rse
dom
enii.
IX. C
orpu
ri de
rota
ție
• N
oțiu
ne d
e ci
lindr
u. C
ilind
rul c
ircul
ar
drep
t și e
lem
ente
le lu
i (ra
ză, d
iam
etru
, ba
ză, s
upra
față
late
rală
, ge
nera
toar
e,
înăl
țime,
axă
de
simet
rie, s
ecțiu
ne
axia
lă).
De
sfăș
urat
a su
praf
eței
unu
i cili
ndru
ci
rcul
ar d
rept
• Ar
ia su
praf
ețel
or ș
i vol
umul
cili
ndru
lui
circ
ular
dre
pt•
Noț
iune
a de
con
. Con
ul c
ircul
ar d
rept
și
elem
ente
le lu
i (vâ
rf, b
ază,
supr
afaț
ă la
tera
lă, î
nălți
me,
gen
erat
oare
, axă
de
simet
rie, s
ecțiu
ne a
xial
ă). D
esfă
șura
ta
supr
afeț
ei c
onul
ui c
ircul
ar d
rept
•
Aria
supr
afeț
elor
și v
olum
ul c
onul
ui
circ
ular
dre
pt•
Trun
chiu
l de
con
circ
ular
dre
pt.
Elem
ente
• Re
zolv
area
exe
rciţi
ilor ş
i pro
blem
elor
de:
- id
entifi
care
, des
crie
re v
erba
lă și
în sc
ris, u
tilizâ
nd
nota
țiile
resp
ectiv
e, a
cor
puril
or d
e ro
tație
stud
iate
și/
sau
a el
emen
telo
r ace
stor
a;-
repr
ezen
tare
în p
lan
a co
rpur
ilor g
eom
etric
e st
udia
te,
utiliz
ând
inst
rum
ente
le d
e de
sen
și/sa
u in
stru
men
te
TIC
și ap
licar
ea re
prez
entă
rilor
resp
ectiv
e în
rezo
lvar
ea
prob
lem
elor
de
calc
ul a
l arii
lor ș
i/sau
al v
olum
elor
;-
calc
ul a
l arii
lor s
upra
fețe
lor ș
i/sau
al v
olum
elor
cor
puril
or
de ro
tație
stud
iate
în si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate
din
dife
rite
dom
enii;
- an
aliză
și in
terp
reta
re a
rezu
ltate
lor o
bțin
ute
prin
re
zolv
area
uno
r pro
blem
e pr
actic
e cu
refe
rire
la
corp
urile
de
rota
ție s
tudi
ate
și la
uni
tățil
e de
măs
ură
rele
vant
e ar
iilor
, vol
umel
or;
- ju
stific
are
a un
ui d
emer
s/re
zulta
t obț
inut
sau
indi
cat
cu c
orpu
ri de
rota
ție re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
;-
inve
stiga
re a
val
orii
de a
devă
r a u
nei a
firm
ații,
a
unei
pro
poziț
ii, in
clus
iv c
u aj
utor
ul e
xem
plel
or, a
l co
ntra
exem
plel
or, a
l dem
onst
rații
lor.
68
9.5.
Tra
nspu
nere
a un
ei si
tuaț
ii re
ale
și/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
cor
puril
e de
ro
tație
în li
mba
jul g
eom
etric
, re
zolv
area
pro
blem
ei
obțin
ute
și in
terp
reta
rea
rezu
ltatu
lui.
9.6.
Ela
bora
rea
plan
ului
de
rezo
lvar
e a
prob
lem
ei
cu c
orpu
rile
de ro
tație
și
rezo
lvar
ea p
robl
emei
în
conf
orm
itate
cu
plan
ul
elab
orat
.9.
7. In
vesti
gare
a va
lorii
de
adev
ăr a
une
i afir
maț
ii, a
un
ei p
ropo
ziții
refe
ritoa
re la
co
rpur
ile d
e ro
tație
, inc
lusiv
cu
aju
toru
l exe
mpl
elor
, al
con
trae
xem
plel
or, a
l de
mon
stra
țiilo
r.9.
8. Ju
stific
area
unu
i dem
ers/
rezu
ltat o
bțin
ut sa
u in
dica
t cu
cor
puri
de ro
tație
, re
curg
ând
la a
rgum
entă
ri,
dem
onst
rații
.
• Sf
era
și co
rpul
sfer
ic. E
lem
ente
(ce
ntru
, ra
ză, d
iam
etru
). Ar
ia su
praf
eței
sfer
ice.
Vo
lum
ul c
orpu
lui s
feric
Elem
ente
noi
de
limba
j mat
emati
c:ci
lindr
u ci
rcul
ar d
rept
, con
circ
ular
dre
pt,
trun
chiu
l de
con
circ
ular
dre
pt, s
upra
faţă
la
tera
lă, s
upra
faţă
tota
lă, a
xă d
e sim
etrie
, se
cţiu
ne a
xial
ă, c
orp
sfer
ic, d
esfă
şura
ta
cilin
drul
ui c
ircul
ar d
rept
, des
făşu
rata
co
nulu
i circ
ular
dre
pt.
• Ce
rcet
area
uno
r caz
uri c
oncr
ete
din
situa
ţii re
ale
şi/sa
u m
odel
ate
refe
ritoa
re la
cor
puril
e de
rota
ţie şi
solu
ţiona
rea
prob
lem
ei id
entifi
cate
.•
Real
izare
a un
or in
vesti
gaţii
priv
ind
aplic
area
corp
urilo
r de
rota
ţie în
div
erse
dom
enii.
• Re
aliza
rea
unor
pro
iect
e de
gru
p/in
divi
dual
e, p
rivin
d ap
licar
ea c
orpu
rilor
de
rota
ţie în
situ
aţii
real
e şi/
sau
mod
elat
e.•
Real
izare
a un
or lu
crăr
i pra
ctice
, inc
lusiv
pe
tere
n, şi
de
labo
rato
r priv
ind
calc
ulul
arii
lor ş
i al v
olum
elor
cor
puril
or d
e ro
taţie
.
Prod
use
reco
man
date
:
pro
blem
a re
zolv
ată;
c
azul
cer
ceta
t, cu
apl
icaț
ii pr
actic
e;
inve
stiga
ția „C
orpu
rile
de ro
tație
în c
asa
mea
”;
alg
oritm
ul a
plic
at;
s
chem
a el
abor
ată;
p
lanu
l de
idei
;
pro
iect
ul „C
orpu
rile
de ro
tație
în c
onst
rucț
iile
din
loca
litat
e”.
p
roie
ctul
„Cor
puril
e de
rota
ție în
art
e”;
lu
crar
ea d
e la
bora
tor „
Calc
ular
ea v
olum
elor
obi
ecte
lor,
avân
d fo
rma
unui
cor
p ro
tund
”;
mat
ricea
de
asoc
iere
com
plet
ată;
h
arta
con
cept
uală
ela
bora
tă la
cap
itol;
t
estu
l sum
ativ
rezo
lvat
.
69
LA FINELE CLASEI a IX-a, ELEVUL POATE:• identifica, scrie, reprezenta, compara și ordona numere reale în diverse situații și
contexte;• efectua în diverse contexte operațiile cu numere reale: adunarea, scăderea,
înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere cu exponent întreg;• utiliza terminologia aferentă noțiunii de număr real în diverse contexte, inclusiv în
comunicare;• aplica operațiile cu numere reale și proprietățile acestora în situații reale și/sau mo-
delate;• aplica estimări și rotunjiri pentru verificarea corectitudinii unor calcule cu numere
reale în diverse contexte;• identifica dependențe funcționale, inclusiv de tipul funcției de gradul II, în diverse
domenii;• utiliza terminologia și notațiile aferente noțiunii de funcție în situații reale și/sau
modelate;• trasa graficul unei funcții și interpreta grafice obținute și/sau date;• aplica proprietățile funcțiilor studiate în rezolvarea ecuațiilor, a inecuațiilor în studiul
și explicarea unor procese fizice, chimice, biologice, economice, sociale, modelate prin funcții.
• justifica un demers/rezultat obținut sau indicat recurgând la argumentări, demonstrații;
• rezolva ecuațiile, inecuațiile, sistemele de tipurile studiate;• identifica și aplica terminologia, notațiile aferente noțiunilor de ecuație, inecuație,
sistem de ecuații, sistem de inecuații în diverse contexte;• transpune o situație reală și/sau modelată în limbajul ecuațiilor, al inecuațiilor, al
sistemelor de ecuații, al sistemelor de inecuații; rezolva problema obținută și inter-preta rezultatele;
• identifica tipul ecuației/inecuației și/sau sistemului de ecuații/inecuații, selecta me-toda adecvată de rezolvare și aplicarea ei la rezolvarea acestora;
• sorta și clasifica date, obiecte, evenimente pe baza unor criterii; • determina probabilitatea producerii unui eveniment, folosind raportul: nr. cazuri fa-
vorabile/nr. cazuri posibile;• clasifica evenimente în funcție de șansa producerii lor (eveniment sigur, probabil,
posibil, imposibil) și estima șansa producerii unui eveniment;• organiza și reprezenta date în tabele de date statistice, diagrame, grafice statistice; • aplica elementele de calcul financiar studiate în rezolvarea unor probleme din diver-
se domenii, inclusiv din domeniul antreprenorial;
70
• identifica, clasifica în baza diverselor criterii și reprezenta în plan triunghiuri, patru-latere, cercuri, discuri, poliedre, corpuri rotunde și elemente ale acestora, utilizând instrumentele de desen;
• aplica proprietățile triunghiurilor, ale patrulaterelor, ale cercurilor, ale discurilor, ale poliedrelor și ale corpurilor rotunde în rezolvarea problemelor din diverse domenii;
• transpune o situație reală și/sau modelată referitoare la triunghiuri, patrulatere, cer-curi, discuri, poliedre și la corpuri rotunde în limbajul geometric; rezolva problema obținută, justifica și interpreta rezultatul;
• aplica criteriile de congruență ale triunghiurilor și criteriile de asemănare ale triun-ghiurilor în rezolvarea problemelor în situații reale și/sau modelate;
• recunoaște în diverse enunțuri, utiliza în rezolvarea problemelor din diferite dome-nii (fizică, geografie, biologie, istorie etc.) formulele de calcul al ariilor triunghiului, patrulaterelor, discului, suprafețelor poliedrelor, corpurilor rotunde și al volumelor poliedrelor și corpurilor de rotație;
• reprezenta adecvat în plan figurile geometrice plane și corpurile geometrice studiate în vederea calculării lungimilor de segmente, a măsurilor de unghiuri, a ariilor și a volumelor;
• investiga valoarea de adevăr a unei afirmații, a unei propoziții.
71
VI. REPERE METODOLOGICE DE PREDARE – ÎNVĂȚARE – EVALUARE
Cadrele didactice își pot alege metodele și tehnicile de predare și își pot adapta prac-ticile pedagogice în funcție de ritmul de învățare și de particularitățile elevilor. Profesorii au obligația de a stabili obiective și de a organiza și desfășura activități de învățare care să ofere posibilități de progres şcolar pentru toți elevii, incluzând băieții și fetele, copiii cu dizabilități, cu deficiențe psihomotorii sau cu cerințe medicale speciale, cei prove-nind din diverse medii culturale și sociale, elevii aparținând diferitor etnii etc.
Reconsiderarea finalităților și a conținuturilor învățământului, axarea pe formarea competențelor este însoțită de reevaluarea și înnoirea strategiilor, a tehnologiilor și a metodelor folosite în practica educațională la Matematică. Acestea vizează următoarele aspecte:
• aplicarea strategiilor, a tehnologiilor, a metodelor centrate pe elev, pe activizarea structurilor cognitive și operatorii ale elevilor, pe exersarea potențialului psihofi-zic și intelectual al acestora, pe transformarea elevului în coparticipant la propria formare;
• folosirea unor metode care să favorizeze relația nemijlocită a elevului cu obiecte-le cunoașterii, prin recurgere la modele concrete;
• accentuarea caracterului formativ al strategiilor, al tehnologiilor, al metodelor utilizate în activitatea de predare – învățare – evaluare, acestea asumându-și o intervenție mai activă și mai eficientă în cultivarea potențialului individual, în dezvoltarea capacităților de a opera cu informațiile asimilate, de a aplica și de a evalua cunoștințele dobândite, de a investiga ipoteze și de a căuta soluții adecva-te de rezolvare a problemelor sau a situațiilor-problemă;
• îmbinarea și alternanța sistematică a activităților bazate pe efortul individual al elevului (documentarea în baza diverselor surse de informație, observația pro-prie, exercițiul personal, instruirea programată, experimentul și lucrul individual, tehnica muncii cu fișe etc.) cu activitățile ce solicită efortul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuțiilor, asaltului de idei, studiului de caz etc.;
• însușirea unor metode de informare şi de documentare independentă, utilizând tehnologiile informaționale și comunicaționale adecvate (TIC), inclusiv rețeaua Internet, care oferă deschidere spre autoinstruire, spre învățare continuă.
72
Prin realizarea curriculumului se vor crea condiții favorabile fiecărui elev pentru a-și forma și dezvolta competențele într-un ritm individual, pentru a-și transfera cunoștințele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta.
Profesorul de matematică va desfășura procesul educațional la matematică utilizând clasificarea tipurilor de lecții în funcție de criteriul competenței. [5]
În cadrul predării – învățării matematicii e necesară crearea unor condiții favorabi-le antrenării elevilor pe calea căutărilor, a cercetării, care să favorizeze învățarea prin problematizare și descoperire. De asemenea, este esențială asigurarea unor condiții favorabile privind transferul cunoştințelor matematice dobândite și conștientizate în diverse domenii, inclusiv în viața cotidiană și în domeniul determinat de aria curricula-ră. În acest sens, profesorul de matematică va utiliza orice posibilitate de a exemplifica aplicațiile matematicii în fizică, chimie, biologie, informatică, în viața cotidiană și în alte domenii. Astfel, cadrul didactic:
• va ţine cont de posibilităţile oferite de către manualele şcolare la matematică privind realizarea conexiunilor intra- şi interdisciplinare (probleme integrative, situaţii-problemă prezente în textul manualului, itemi integrativi, prezenţi în pro-bele de evaluare incluse în manual etc.);
• va selecta din culegerile de probleme şi exerciţii şi va propune elevilor probleme cu conţinut interdisciplinar;
• va selecta din materialele didactice şi metodice probleme integrative şi le va propune elevilor în cadrul diverselor manifestări matematice (ore, activităţi extraşcolare, olimpiade etc.);
• va realiza, de comun acord cu profesorul de fizică/chimie/biologie/informatică/alte discipline, ore integrative;
• va organiza sistematic, în cadrul orelor şi în cadrul altor activităţi educaţionale, situaţii-problemă cu conţinut interdisciplinar şi/sau aplicativ;
• va organiza, în cadrul studierii matematicii, activităţi practice pe teren şi lucrări de laborator, lucrări grafice cu aspect interdisciplinar şi/sau aplicativ.
• va realiza, de comun acord cu profesorii de alte discipline, proiecte de tip STEM şi STEAM.
În măsura posibilităților, orele de matematică vor fi asistate de calculator.Fiecare elev are dreptul la succes şcolar și la atingerea standardelor educaționale.
Profesorii au obligația de a stabili sarcini de învățare adaptate nivelului elevilor, astfel încât fiecare elev să realizeze progrese conform posibilităților sale. În acest context:
• pentru elevii aflați în risc de eșec școlar, profesorii au obligația de a realiza activități de învățare diferențiate, adaptând curriculumul școlar al anului de stu-diu la posibilitățile de învățare ale acestora;
73
• pentru elevii cu CES, profesorii au obligația de a realiza activități de învățare individualizate, în funcție de tipul curriculumului implementat din perspectiva Planului Individual;
• pentru elevii cu aptitudini matematice, profesorii au obligația de a stabili sarcini de învățare de nivel ridicat, care să le asigure progresul.
Rolul fundamental al evaluării constă în asigurarea unui feedback permanent și co-respunzător, necesar atât actorilor procesului educațional, cât și factorilor de decizie și publicului larg. Așadar, în procesul educațional integrat predare – învățare – evaluare, componenta evaluare ocupă un loc nodal, de importanță atât psihopedagogică, pro-fesională, cât și socială. În contextul formării și dezvoltării competențelor, evaluarea educațională se va fundamenta pe următoarele principii, stipulate în Cadrul de referinţă al curriculumului naţional [2]:evaluarea este un proces permanent, dimensiunea esenţială a procesului
educaţional şi о practică efectivă în şcoală;evaluarea stimulează învăţarea, formarea şi dezvoltarea competenţelor;evaluarea se axează pe necesitatea de a compara pregătirea elevilor cu
competenţele specifice, cu unităţile de competenţă (subcompetenţele) ale fiecă-rei discipline de studiu şi cu obiectivele (operaţionale) fiecărei lecţii;
evaluarea se fundamentează pe standarde educaţionale de stat – standarde de competenţă (eficienţă) – orientate spre ceea ce va şti, ce va şti să facă şi cum va fi elevul la finalizarea şcolarizării sale;
evaluarea implică utilizarea unei mari varietăţi de metode (tradiţionale şi moder-ne);
evaluarea este un proces reglator, care determină calitatea activităţilor şcolare;evaluarea trebuie să-i conducă pe elevi spre о autoapreciere corectă şi spre о
îmbunătăţire continuă a performanţelor şcolare.În procesul educațional la matematică profesorul va aplica: a) evaluarea iniţială, re-
alizând funcția prognostică; b) evaluarea curentă, realizând funcția formativă; c) evalu-area finală (sumativă), realizând funcția diagnostică. Evaluările sumative (finale), reali-zate la finele capitolului/unității de învățare/anului de învățământ, vor demonstra dacă sunt dobândite achizițiile determinate de unitățile de competență preconizate pentru compartimentul/clasa respectivă.
Prin examenul de absolvire a gimnaziului la matematică se va evalua dacă au fost formate competențele specifice matematicii, preconizate pentru treapta gimnazială de învățământ, și dacă au fost atinse standardele de eficiență la matematică.
Fixând de fiecare dată obiectivele lecției, profesorul le va corela cu competențele specifice, cu unitățile de competență respective. Probele de evaluare utilizate la
74
clasă vor conține itemi și sarcini prin intermediul cărora se vor evalua, prioritar, nu doar cunoștințe și capacități separate, ci formarea competențelor. Exemple de astfel de itemi și sarcini profesorul le poate selecta din ghidurile metodologice, din culegerile de teste la matematică și din programa la matematică pentru examenul de absolvire a gimna-ziului.
În contextul principiilor evaluării, prioritară și dominantă în procesul lecției/activității educaționale este evaluarea curentă – evaluarea formativă. Succesul lecției rezidă în atingerea obiectivelor preconizate. În acest sens, secvența Evaluare este obli-gatorie pentru fiecare lecție de matematică și în cadrul acesteia se va evalua nivelul de atingere a obiectivelor lecției.
Evaluarea va implica utilizarea, în ansamblu, a diverselor forme, metode și tehnici. În contextul evaluării formării competențelor, prioritare vor deveni metoda proiectelor, investigația, probele practice, lucrările de laborator şi grafice, testarea şi realizarea testelor docimologice integrative. Este binevenită evaluarea asistată de calculator. Evaluările realizate la matematică vor include în mod obligatoriu și itemi rezolvarea că-rora necesită conexiuni interdisciplinare, transdisciplinare. Vor fi propuse spre realizare și proiecte integrative, inclusiv proiecte de tip STEM și STEAM, ca metode de evaluare.
Este important ca fiecare elev, profesor și părinte/tutore să conștientizeze că evalu-area în orice circumstanțe trebuie să fie obiectivă.
75
GHID DE IMPLEMENTARE
A CURRICULUMULUI DISCIPLINAR
76
Introducere
Dacă un copil nu poate învăţa în modul în care îi predăm, trebuie să îi predăm în modul în care el poate învăţa…
Ignacio Estrada
Dezvoltarea Curriculumului școlar la Matematică pentru gimnaziu derivă din nece-sitatea:
- racordării curriculumului şcolar la cerinţele Codului Educației al Republicii Mol-dova (2014) şi la Recomandările Parlamentului European și ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe par-cursul întregii vieți (Bruxelles, 2018);
- corelării sistemului de competenţe specifice matematicii cu prevederile deter-minate de definiţia modernizată a competenţei şcolare, formulată în Cadrul de Referință a Curriculumului Național; [1]
- descongestionării informaţionale a conţinuturilor şcolare la matematică;- majorării interesului şi motivaţiei elevilor pentru studiul matematicii. Obiectivul major al educației matematice în gimnaziu rezidă atât în formarea și dez-
voltarea gândirii logice, cât și în formarea și dezvoltarea competențelor școlare pentru a valorifica potențialul intelectual personal maxim și cel creativ al elevului.
În practica educațională din Republica Moldova se implementează a IV-a generație de Curriculum la Matematică. Dezvoltarea/reconceptualizarea curriculară la Matemati-că implică apariția unor întrebări. Prezentul ghid oferă răspunsuri la multe dintre între-bările ce apar la etapa actuală despre procesul educațional la Matematică și implemen-tarea curriculumului dezvoltat în gimnaziu. În lucrare sunt prezentate răspunsuri atât la aspectele inovative, strategice, teoretice, cât și la cele aplicative ale predării – învățării – evaluării matematicii în gimnaziu în contextul implementării Curriculumului elaborat.
Profesorul are dreptul să abordeze creativ cele recomandate prin prezentul Ghid. Desigur, în final, el e cel care-și selectează și determină strategiile și tehnologiile pentru a obține succesul în atingerea obiectivelor preconizate, în realizarea prevederilor deter-minate de unitățile de competență și în formarea competențelor.
Prin realizarea Curriculumului la Matematică pentru gimnaziu trebuie să se creeze condiții favorabile fiecărui elev pentru a-și forma și a-și dezvolta competențele într-un ritm individual, pentru a transfera cunoștințele matematice dobândite în diverse dome-nii, inclusiv în viața cotidiană și în domeniul determinat de aria curriculară.
Responsabilitatea educațională a profesorului de Matematică și ponderea matema-ticii ca disciplină școlară sunt majore. De faptul cum elevii însușesc matematica depind în mare măsură succesele acestora la studiul multora dintre celelalte discipline școlare. Așadar, profesorul de Matematică va ține cont în permanență atât de specificul mate-maticii „ca regină a tuturor științelor”, cât și de faptul că Matematica este disciplina care asigură, totodată, studierea conștientizată a tuturor disciplinelor școlare.
Implementarea prevederilor Curriculumului elaborat va contribui eficient la majora-rea calității învățământului matematic în gimnaziu.
77
1. Care sunt elementele de noutate ale Curriculumului la disciplina Matematică
pentru gimnaziu?
1.1. Conceptul teoretic Elaborat în conformitate cu prevederile Codului Educației al Republicii Moldova
(2014), Cadrului de referință al Curriculumului Național (2017), Curriculumului de bază: sistem de competențe pentru învățământul general (2018), dar și cu Recomandă-rile Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018), Curricu-lumul la disciplina Matematică reprezintă un document reglator, care are în vedere prezentarea interconexă a demersurilor conceptuale, teleologice, conținutale și meto-dologice, accentul fiind pus pe sistemul de competențe ca un nou cadru de referință al finalităților educaționale.
Curriculumul școlar la Matematică are ca obiectiv fundamental implementarea po-liticilor educaționale vizate de Codul Educaţiei al Republicii Moldova (2014), care, prin Articolul 11, determină: „Educația are ca finalitate principală formarea unui caracter integru și dezvoltarea unui sistem de competențe care include cunoștințe, abilități, atitudini și valori ce permit participarea activă a individului la viața socială și econo-mică.” [2]
În acest context a fost reconceptualizată definiția noțiunii competență școlară: Competența şcolară este un sistem integrat de cunoştințe, abilități, atitudini şi va-
lori dobândite, formate şi dezvoltate prin învățare, a căror mobilizare permite identi-ficarea şi rezolvarea diferitor probleme în diverse contexte şi situații. [7]
Este important ca atât profesorii, cât și elevii și părinții să conștientizeze esența noțiunii competență şcolară ca un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori, nu ca un ansamblu.
Axarea accentului pe formarea abilităților necesită conștientizarea de către profe-sori, elevi și părinți a conceptului abilitate:
ABILITATE – capacitatea de a face totul cu uşurinţă şi iscusinţă; dibăcie; îndemânare; măiestrie.
CAPACITATE – posibilitatea de a lucra într-un domeniu, de a realiza ceva; posibilita-tea de a realiza ceva într-un domeniu de activitate; proprietate de a pătrunde în esenţa lucrurilor. [54]
În procesul de proiectare a Curriculumului la disciplina Matematică, s-a ținut cont de:
78
• abordările postmoderne și tendințele dezvoltării curriculare pe plan național și pe cel internațional;
• necesitățile de adaptare a Curriculumului disciplinar la așteptările societății, la nevoile elevilor, dar și la tradițiile școlii naționale;
• valențele disciplinei în formarea competențelor transversale, transdisciplinare și a celor specifice;
• necesitățile asigurării continuității și conexiunii dintre ciclurile învățământului general: educaţie timpurie, învăţământ primar, învăţământ gimnazial şi învăţă-mânt liceal.
Curriculumul la Matematică pentru gimnaziu și, în ansamblu, procesul educațional la Matematică în învățământul general rămân fundamentate pe următoarele principii:
I. Principiul constructiv (al structuralității), care vizează procesul de reluare siste-matică a informațiilor, a conceptelor de bază ca pe un aspect esențial al predă-rii – învățării. În contextul acestui principiu, învățământul matematic modern se realizează concentric în spirală, fiind axat pe noțiunea (conceptul) Matematică și pe formarea, la finalizarea școlarizării, a unor structuri ale gândirii specifice ma-tematicii.
II. Principiul formativ, care vizează formarea directă a personalității elevului în pro-cesul educațional la Matematică.
Sistemul de valori și atitudini, care se preconizează a fi formate în cadrul procesului educațional la matematică, este prezentat în Curriculum la p. 4. Profesorul de matema-tică este obligat, pentru fiecare lecție, să formuleze, inclusiv în proiectul didactic, pen-tru a fi operaționalizat în cadrul lecției, cel puțin un obiectiv de formare a atitudinilor și valorilor.
Unitățile de competență, fixate în Curriculum, determină achizițiile care trebuie să fie dobândite de către elevi la finele compartimentului studiat sau la finele anului de studii. Ele servesc și ca elemente/pași în formarea competențelor specifice. Achizițiile respective vor fi evaluate formativ și/sau sumativ la finele unității de învățare (a capito-lului, a modulului) și/sau la finele anului de studii.
Unitățile de conținut sunt instrumente care contribuie la dobândirea de către elevi a achizițiilor determinate de unitățile de competență proiectate și la formarea competențelor specifice disciplinei și a celor transversale/transdisciplinare.
Activitățile de învățare și produsele școlare recomandate prezintă o listă deschisă de contexte semnificative de manifestare a unităților de competență proiectate pentru formare/dezvoltare și evaluare în cadrul unității respective de învățare. Cadrul didactic are libertatea și responsabilitatea să valorifice această listă în mod personalizat la nive-lul proiectării și realizării lecțiilor, dar și să o completeze în funcție de specificul clasei concrete de elevi, de resursele disponibile etc. [4]
79
Curriculumul la disciplina Matematică fundamentează și ghidează activitatea ca-drului didactic, facilitează abordarea creativă a demersurilor de proiectare didactică de lungă durată și de scurtă durată, dar și de realizare propriu-zisă a procesului de predare – învățare – evaluare.
1.2. Sistemul de competențe
Profesorul va conștientiza că achizițiile finale în termeni de competențe nu sunt niște liste de conținuturi disciplinare care trebuie memorate. Pentru ca un elev să-și formeze o competență este necesar ca el:
• să stăpânească un sistem de cunoştinţe fundamentale în funcţie de problema care va trebui rezolvată în final;
• să posede deprinderi şi capacităţi de utilizare/aplicare în situaţii simple/standar-de pentru a le înţelege, realizând astfel funcţionalitatea cunoştinţelor obţinute;
• să rezolve diferite situaţii-problemă, conştientizând astfel cunoştinţele funcţiona-le în viziunea proprie;
• să rezolve situaţii semnificative în diverse contexte care prezintă anumite proble-me din viaţa cotidiană, manifestând comportamente/atitudini conform achiziţii-lor finale, adică să manifeste competenţa.
Curriculumul este fundamentat pe competențele-cheie/transversale, stabilite în Codul Educaţiei pentru sistemul de învățământ din Republica Moldova:
a) competenţe de comunicare în limba română;b) competenţe de comunicare în limba maternă; c) competenţe de comunicare în limbi străine;d) competenţe în matematică, în ştiinţe şi tehnologie;e) competenţe digitale;f) competenţa de a învăţa să înveţi;g) competenţe sociale şi civice;h) competenţe antreprenoriale şi spirit de iniţiativă;i) competenţe de exprimare culturală şi de conştientizare a valorilor culturale. [2]Prioritare pentru învățământul matematic sunt competențele-cheie a), d), e), f) și h).Competențele specifice sunt deduse din competențele-cheie/transversale și repre-
zintă un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu pe întreaga perioadă de școlarita-te de gimnaziu.
La disciplina Matematică pentru gimnaziu sunt preconizate 7 competențe specifice:1. operarea cu numere reale pentru a efectua calcule în diverse contexte, manifes-
tând interes pentru rigoare şi precizie;
80
2. exprimarea în limbaj matematic a unui demers, a unei situaţii, a unei soluţii, for-mulând clar şi concis enunţul;
3. aplicarea raţionamentului matematic la identificarea şi rezolvarea problemelor, dovedind claritate, corectitudine şi concizie;
4. investigarea seturilor de date, folosind instrumente, inclusiv digitale, şi modele matematice, pentru a studia/explica relaţii şi procese, manifestând perseverenţă şi spirit analitic;
5. explorarea noţiunilor, relaţiilor şi instrumentelor geometrice pentru rezolvarea problemelor, demonstrând consecvenţă şi abordare deductivă;
6. extrapolarea achiziţiilor matematice pentru a identifica şi a explica procese, fe-nomene din diverse domenii, utilizând concepte şi metode matematice în aborda-rea diverselor situaţii;
7. justificarea unui demers sau rezultat matematic, recurgând la argumentări, susţinând propriile idei şi opinii. [4]
Acestea corelează cu cele 4 competențe specifice matematicii pentru învățământul primar, dezvoltându-le:
1. identificarea şi utilizarea conceptelor matematice şi a limbajului matematic în situaţii de învăţare şi cotidiene, dând dovadă de corectitudine şi coerenţă;
2. aplicarea operaţiilor aritmetice şi a proprietăţilor acestora în contexte variate, manifestând atenţie şi interes pentru calcul corect, raţional, fluent;
3. rezolvarea problemelor pe baza utilizării achiziţiilor matematice, dând dovadă de gândire critică în adoptarea unui plan pertinent de rezolvare;
4. realizarea demersurilor explorativ-investigative pentru soluţionarea/formularea unor situaţii de problemă/probleme, manifestând curiozitate şi creativitate în integrarea achiziţiilor matematice cu cele din alte domenii.
Recomandările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018) stabilesc 8 competențe-cheie:
1. competenţe de alfabetizare;2. competenţe lingvistice;3. competenţe în domeniul matematicii, ştiinţei, tehnologiei şi ingineriei;4. competenţe digitale;5. competenţe personale, sociale şi de învăţare;6. competenţe civice;7. competenţe antreprenoriale;8. competenţe de sensibilizare şi expresie culturală.
81
1.3. Sistemul de conținuturi
Referitor la sistemul de conținuturi propuse spre studiere în Curriculumul dezvoltat la Matematică pentru gimnaziu, în comparație cu curriculumul modernizat, s-au efectuat următoarele modificări:
Clasa Conținuturi omise Conținuturi inclusea V-a I. Mulțimea numerelor naturale
• Rezolvarea, în mulțimea numerelor naturale, a ecuațiilor de tipul: x ± a = b; a ± x = b; x × a = b, (a ≠ 0, a – divizor al lui b); x : a = b (a ≠ 0); a : x = b (x ≠ 0, b – divizor al lui a) utili-zând proprietățile operațiilor aritmetice studi-ate și algoritmul de determinare a componen-tei necunoscute în cadrul operației indicate
• Compunerea de ecuații simple și probleme care conduc la utilizarea operațiilor studiate (inclusiv elemente de organizare a datelor)
• Sistemul de numerație zecimal• Propoziții adevărate și false în baza exemplelor
simple• Operații cu mulțimi: intersecție, reuniune• Probleme de aritmetică (metoda figurativă)
I. Mulțimea numerelor naturale• Rotunjirea numerelor naturale• Cardinalul mulțimii finite
II. Fracții ordinare. Numere zecimale• Metoda figurativă• Noțiunea de raport
II. Fracții ordinare. Numere zecimale• Înmulțirea fracțiilor• Inversa unei fracții. Împărțirea
fracțiilor• Rezolvarea problemelor utilizând
metoda reducerii la unitate, meto-da mersului invers
III. Elemente de geometrie şi unități de măsură• Măsurarea și estimarea unor lungimi,
perimetre și arii, folosind diferite etaloane• Unități de măsură uzuale pentru masă
(q – chintal).
III. Elemente de geometrie şi unități de măsură
• Unități de măsură uzuale pentru timp (deceniul, mileniul)
a VI-a I. Numere naturale• Rezolvarea problemelor prin metoda figurati-
vă, metoda falsei ipoteze, metoda reducerii la unitate, metoda mersului invers.
I. Numere naturale• Puterea cu exponent număr na-
tural. Proprietățile puterii cu ex-ponent natural: produsul a două puteri cu aceeași bază, puterea produsului, câtul a două puteri cu aceeași bază, puterea unei puteri, a0, 1n
• Noțiunea de ecuație. Mulțimea soluțiilor ecuației
• Rezolvarea problemelor prin alcă-tuirea de ecuații de tipuri studiate
82
II. Numere întregi. Operații cu numere întregi
• Proprietățile puterii unui număr întreg cu exponent natural
III. Numere raționale. Operații cu numere raționale
• Noțiunea de număr rațional negativ• Mulțimile Q+, Q– • Aproximări• Numere zecimale periodice simple și compuse• Media aritmetică• Rezolvarea în Q a ecuațiilor de tipul: x ± a = b;
ax = b (a ≠ 0); x : a = b (a ≠ 0); ax + b = 0 (a ≠ 0), determinând componenta necunoscu-tă a operației prezente în ecuație
• Propoziții generale și particulare (în baza exemplelor simple din viață). Negarea unei propoziții (în baza exemplelor simple). Valoarea de adevăr (adevăr/fals) a unei propoziții. Exemple simple de utilizare a operatorilor logici „și”, „sau”, „nu”, „dacă – atunci”, a termenilor „cel mult”, „cel puțin”, „unii”, „toți”, „oricare ar fi”, „există”
III. Numere raționale. Operații cu numere raționale
• Rezolvarea problemelor în mulțimea numerelor raționale
IV. Rapoarte şi proporții• Șiruri de rapoarte egale• Alcătuirea unei proporții pe baza celei date (în
baza exemplelor simple)• Rezolvarea în Q a ecuațiilor referitoare
la aflarea termenului necunoscut al unei proporții
IV. Rapoarte şi proporții• Media aritmetică (transfer de la
compartimentul III)
V. Figuri şi corpuri geometrice• Instrumente geometrice (rigla gradată, rigla
negradată, compas, echer, raportor) și utiliza-rea lor pentru a desena diferite configurații
V. Figuri şi corpuri geometrice• Segmente congruente. Construcția
unui segment, congruent cu cel dat. Mijlocul segmentului
• Triunghi, patrulater (pătrat, drept-unghi, paralelogram, romb, trapez) (prezentare prin descriere și desen)
• Calcule cu măsuri de unghiuri (gra-de, minute, secunde).
• Unghiuri complementare, supli-mentare, opuse la vârf, adiacente
• Unghiuri congruente. Construirea, cu ajutorul riglei și al compasului, a unui unghi congruent cu cel dat
• Bisectoarea unghiului. Construirea, cu ajutorul raportorului, a bisectoa-rei unui unghi
• Mediatoarea unui segment. Con-struirea, cu ajutorul riglei și al eche-rului, a mediatoarei segmentului
83
a VII-a I. Numere raționale. Recapitulare şi completări• Noțiune de număr rațional• Modulul numărului rațional și proprietățile lui:
; ; | a |2 = a2 = | a2 |;
;
• Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere cu exponent natural în Q. Proprietăți
II. Numere reale• Calcularea rădăcinii pătrate din numere
raționale nenegative, utilizând algoritmul• Submulțimi ale mulțimii numerelor reale.
Intervale de numere reale, reprezentarea lor pe axă
I. Numere reale• Numere zecimale periodice• Calcularea rădăcinii pătrate din
numere raționale nenegative, utili-zând estimarea/rotunjirea
II. Calcul algebric• Descompunerea unei expresii al-
gebrice în produs de factori: scoa-terea factorului comun, aplicarea formulelor de calcul prescurtat
IV. Rapoarte algebrice• Noțiunea de raport algebric (fracție algebrică).
Domeniul valorilor admisibile (DVA)• Operații aritmetice cu rapoarte algebrice• Identitate. Expresii identic egale• Transformări identice ale expresiilor algebrice• Demonstrația unor identități simple
V. Funcții• Funcții definite pe R cu valori în R• Corespondențe care sunt funcții (în baza
exemplelor simple din activitatea cotidiană)
III. Funcții• Funcția constantă
VI. Ecuații, inecuații• Soluția ecuației• Transformări echivalente
VII. Noțiuni geometrice. Recapitulare şi completări
• Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment. Mijlocul unui segment. Construcția unui segment congruent cu cel dat
• Bisectoarea unui unghi. Proprietatea bisectoarei. Construirea bisectoarei cu ajutorul riglei și al compasului
• Triunghiul. Definiție, elemente, clasificarea triunghiurilor
• Relația de perpendicularitate• Cercul. Definiție, elemente
VII. Noțiuni geometrice. Recapitulare şi completări
• Elemente de logică matematică. Noțiunea de propoziție. Propoziții generale și particulare (în baza exemplelor simple). Negarea unei propoziții (în baza exemplelor simple). Valoarea de adevăr (adevăr/fals) a unei propoziții. Exemple simple de utilizare a operatorilor logici „și”, „sau”, „nu”, „dacă – atunci”, a termenilor „cel mult”, „cel puțin”, „unii”, „toți”, „oricare ar fi”, „există”
84
VIII. Triunghiuri congruente• Construcția (utilizând rigla și compasul) a
unghiului congruent cu cel dat, a mediatoarei unui segment, a perpendicularei dusă la o dreaptă
• Distanța de la un punct la o dreaptă
VI. Triunghiuri congruente• Triunghiul. Definiție, elemente,
clasificarea triunghiurilor• Triunghiuri congruente• Inegalități în triunghi• Bisectoarea unui unghi. Proprieta-
tea bisectoarei. Construcția bisec-toarei unui unghi cu ajutorul riglei și compasului. (Transfer de la com-partimentul VII din Curriculumul modernizat)
• Mediatoarea unui segment. Pro-prietatea mediatoarei. Construcția mediatoarei unui segment cu aju-torul riglei și compasului
• Linii importante în triunghi. Bisec-toarea triunghiului. Înălțimea triun-ghiului. Mediatoarea triunghiului. Proprietăți
a VIII-a I. Recapitulare şi completări. Puteri şi radicali• Mulțimi de numere• Operații cu mulțimi (reuniunea, intersecția,
diferența, produsul cartezian)• Extragerea rădăcinii pătrate (algoritmul și
calculatorul)• Raționalizarea numitorului unui raport
I. Numere reale. Recapitulare şi completări
• Estimarea prin rotunjire a valorii rădăcinii pătrate
II. Calculul algebric. Transformări ale expresiilor algebrice
• Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere
• Rapoarte algebrice• Operații cu rapoarte algebrice
II. Calcul algebric• Numere reale reprezentate prin
litere
III. Şiruri. Funcții III. Şiruri. Funcții• Funcția constantă
V. Ecuații de gradul II• Rezolvarea problemelor prin aplica-
rea ecuațiilor de gradul IIVI. Elemente de teoria probabilităților şi
statistică matematică• Noțiunea de eveniment• Clasificarea evenimentelor• Determinarea probabilității producerii unui
eveniment, folosind raportul: nr. cazuri favorabile/nr. cazuri posibile
• Proprietățile probabilității• Elemente de statistică matematică: populația
statistică, unități statistice, caracteristica statistică
• Organizarea și reprezentarea grafică a datelor în tabele de date statistice, diagrame, grafice statistice
85
VII. Figuri geometrice plane. Recapitulare şi completări
• Metoda reducerii la absurd • Unghiuri. Clasificarea unghiurilor• Triunghiuri. Elemente. Linia mijlocie.
Proprietăți
VI. Figuri geometrice plane.Recapitulare şi completări
• Triunghiuri. Liniile importante în triunghi. Proprietăți
VIII. Relații metrice în triunghiul dreptunghic
• Rezolvarea triunghiului dreptunghicIX. Patrulatere. Poligoane• Noțiunea de poligon regulat. Ele-
mente. Poligoane regulate: triun-ghiul echilateral, pătratul, hexago-nul regulat
X. Vectorii în plan• Coordonatele vectorului• Produsul scalar al vectorilor, fiind date
coordonatele vectorilor. Proprietăția IX-a I. Mulțimea numerelor reale.
Recapitulare şi completări• Submulțimi• Intervale de numere reale
II. Monoame. Polinoame. Fracții algebrice
• Noțiunea de monom cu una sau mai multe nedeterminate. Operații cu monoame
• Noțiunea de polinom de una sau mai multe nedeterminate. Operații cu polinoame (aduna-rea, scăderea, înmulțirea, ridicarea la putere cu exponent natural)
• Forma canonică a unui polinom de o singură nedeterminată. Gradul unui polinom de o sin-gură nedeterminată
• Împărțirea polinoamelor de o singură nede-terminată. Teorema împărțirii cu rest pentru polinoame
• Împărțirea la binomul X – a• Teorema lui Bezout (cu demonstrație)• Descompunerea polinoamelor în factori ire-
ductibili (metoda factorului comun, metoda grupării, aplicarea formulelor de calcul pre-scurtat, descompunerea în factori a trinomului de gradul II, metode combinate)
• Noțiunea de rădăcină a unui polinom de o singură nedeterminată
• Rădăcini multiple• Noțiune de fracție algebrică• Amplificarea și simplificarea fracțiilor• Operații cu fracții algebrice (adunarea, scăde-
rea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere cu exponent întreg)
II. Rapoarte algebrice• Noțiunea de raport algebric. Dome-
niul valorilor admisibile (DVA)• Operații aritmetice cu rapoarte
algebrice• Identitate. Expresii identic egale• Transformări identice ale
expresiilor algebrice• Demonstrația unor identități simple
86
III. Funcții• Aplicații ale funcției de gradul II și ale proprie-
tăților acesteia (inclusiv la rezolvarea inecuații-lor de gradul II)
III. Funcții• Lectura grafică
IV. Ecuații, inecuații, sisteme• Relații între soluții și coeficienți
V. Unghiuri, triunghiuri, patrulatere. Recapitulare şi completări
• Unghiuri. Clasificarea unghiurilor. Proprietăți• Triunghi. Elementele triunghiului. Clasificarea
triunghiurilor• Congruența triunghiurilor• Asemănarea triunghiurilor• Patrulatere • Patrulatere particulare: paralelogramul, drept-
unghiul, rombul, pătratul, trapezul• Proprietăți. Criterii• Poligoane convexe. Elemente. Noțiunea de
poligon regulat. Triunghiul regulat, pătratul, hexagonul regulat
V. Elemente de statistică matematică şi de teoria probabilităților. Elemente de calcul financiar
• Colectarea, organizarea și reprezen-tarea grafică a datelor în tabele de date statistice, diagrame, grafice statistice
• Interpretarea datelor• Noțiunea de eveniment• Clasificarea evenimentelor• Determinarea probabilității produ-
cerii unui eveniment, folosind rapor-tul: nr. cazuri favorabile/nr. cazuri posibile
• Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA, preț, credit, buget, buget familial, buget personal
VI. Cercul• Triunghi înscris în cerc• Triunghi circumscris unui cerc• Patrulater înscris în cerc • Patrulater circumscris unui cerc
87
1.4. Sistemul de activități de învățare şi evaluare
Sistemele de activități de învățare fixate în Curriculum sunt recomandabile pentru profesor. Realizarea însă a acestora facilitează dobândirea de către elevi a achizițiilor determinate prin unitățile de competență, formulate pentru fiecare compartiment conținutal. Profesorul are dreptul să completeze aceste sisteme cu alte tipuri de activități de învățare, în funcție de preferințele personale și pregătirea matematică a elevilor.
Lista produselor preconizate pentru a fi obținute de către elevi, ca rezultat al activităților realizate, de asemenea, este una recomandabilă. Profesorul, utilizând Referenţialul de evaluare [11], poate gestiona și cu alte produse în procesul educațional la matematică. Semnificative pentru formarea competențelor-cheie/transversale și competențelor transdisciplinare și pentru realizarea conexiunilor interdisciplinare/transdisciplinare sunt proiectele STEM și STEAM. Profesorul de matematică, de comun acord cu profesorii de alte discipline, va realiza cu elevii săi astfel de proiecte. Proiecte de acest tip sunt descrise în ultima secvență din prezentul Ghid.
Profesorul de matematică va ține cont de faptul: competența se manifestă prin acțiune și se materializează în produse. Prin activitățile de învățare și produsele propu-se, Curriculumul ghidează profesorul spre formarea la elevi a competențelor specifice matematicii.
1.5. Alte elemente de noutate
Curriculumul dezvoltat la Matematică conține și alte elemente de noutate:• Pentru fiecare clasă, la fiecare compartiment conținutal, este prezentată lista de ter-
meni matematici noi, care vor fi însușiți de către elevi în cadrul studierii temelor respective. Profesorul va fi atent să nu exagereze cu un număr mare de termeni, preconizați pentru studiere în cadrul lecției. Și în cadrul evaluărilor interne și/sau externe nu se permite utilizarea altor termeni, diferiți de cei indicați în Curriculum și în manualele de matematică.
• Curriculumul include și finalități prezentate după fiecare clasă (La finele clasei, ele-vul poate) și care reprezintă aspecte ale competențelor specifice disciplinei, mani-festate gradual la etapa dată de învățare, care au și funcția de stabilire a obiectivelor de evaluare finale. Aceste finalități trebuie să fie aduse la cunoștința elevilor și a părinților/tutorilor acestora. Profesorul, în procesul de predare, dar mai accentuat, în procesul de evaluare, va ține cont de finalitățile respective, pentru a fi formate și evaluate.
88
• Sunt reiterate drepturile profesorului de matematică. Profesorul are dreptul:- să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut, dacă nu este afectată
logica științifică sau didactică;- să repartizeze timpul efectiv pentru parcurgerea unităților de conținut în funcție
de pregătirea matematică a elevilor la etapa respectivă a învățământului;- să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu
respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;- să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete
din clasă.
89
2. Care este rolul obiectivelor în formarea competențelor elevilor la Matematică?
2.1. Modalități (algoritmi) de operaționalizare a obiectivelor la Matematică
Pentru proiectarea și desfășurarea unei lecții este important să se formuleze corect obiectivele operaționale ale lecției sau obiectivele lecției. În sprijinul unei formulări corecte a obiectivelor operaționale, prezentăm două tehnici (modele) de operaționali-zare (formulare):modelul pedagogului american R. F. Mager, care stabileşte 3 parametri:
1. descrierea comportamentului final al elevului (verbul);2. determinarea condițiilor în care se va realiza comportamentul (condițiile);3. precizarea criteriului performanței acceptabile (criteriul reușitei).
Exemplu (clasa a VII-a). Elevul va fi capabil să descompună expresii algebrice date în produs de factori, utilizând formulele calculului prescurtat studiate.
Deci, cei 3 parametri sunt:1. să descompună – comportamentul elevului;2. în produs de factori, utilizând formulele calculului prescurtat studiate – condițiile;3. expresii algebrice date – criteriul reușitei; modelul pedagogului belgian G. De Landsheere, care stabileşte 5 parametri:
1. cine va produce comportamentul dorit (subiectul);2. ce comportament observabil va confirma că obiectivul este atins (verbul);3. care va fi produsul acestui comportament (performanța);4. în ce condiții trebuie să aibă loc comportamentul (condițiile);5. pe temeiul căror criterii ajungem la concluzia că produsul e satisfăcător
(criteriul reușitei).Exemplu (clasa a VII-a). Elevul va fi capabil să descompună în produs de factori, utili-
zând formulele calculului prescurtat, 5 din cele 7 expresii algebrice date, câte o expresie algebrică pentru fiecare dintre cele 5 formule studiate .
Deci, cei 5 parametri sunt: 1. elevul (subiectul);2. să descompună (verbul);3. expresii algebrice date (performanţa);4. în produs de factori, utilizând formulele calculului prescurtat (condițiile);5. 5 din cele 7 expresii algebrice date, câte o expresie algebrică pentru fiecare dintre
cele 5 formule studiate (criteriul reuşitei).Notă. Profesorul are dreptul să utilizeze în practică oricare dintre aceste modele de
formulare a obiectivelor operaționale.
90
2.2. Verbele care nu se utilizează la formularea obiectivelor educaționale
În definirea unui obiectiv, alegerea verbului este foarte importantă.Astfel, în loc să se apeleze la verbe intelectualiste ca cele de tipul „a cunoaşte”, „a
alege”, „a aprecia”, „a se familiariza”, „a sesiza” etc., atât de importante în comunicare, este de preferat să se recurgă la utilizarea unor verbe ce descriu acțiuni prin care elevii vor demonstra capacități. Este vorba de folosirea unor verbe ce desemnează compor-tamente direct observabile, „măsurabile” de tipul: a identifica, a denumi, a formula, a enumera, a clasifica, a rezuma, a descrie, a scrie, a rezolva, a desena, a explica, a selecta, a demonstra, a elabora, a experimenta, a defini, a preciza, a face distincţie, a scrie o formulă, a desena o diagramă, a reprezenta grafic, a formula în scris o judecată, a deduce concluzii asupra observărilor efectuate, a întocmi o listă a cauzelor şi a con-secinţelor, a întocmi un tablou al..., a trasa un grafic etc., inclusiv verbele indicate în taxonomia lui Bloom.
Profesorul va conștientiza că verbele să știe, să învețe, să afle, să cunoască, să poată, să perceapă, să priceapă, să înțeleagă, să posede, să stăpânească, să sesizeze, să însușească nu se vor utiliza la formularea obiectivelor lecției sau a unei activități educaționale.
2.3. Normele ce trebuie respectate la formularea obiectivelor operaționale ale activității didactice (lecției) la (de) Matematică
În acest context, indicăm câteva norme ce trebuie respectate în formularea obiecti-velor operaționale ale activității didactice (lecției):
• un obiectiv operațional trebuie să vizeze o singură operaţie pentru a permite măsurarea și evaluarea gradului său de realizare;
• un obiectiv operațional trebuie să fie exprimat în cuvinte cât mai puţine, pentru a înlesni referirea la conținutul său specific;
• obiectivele operaționale trebuie să fie integrate şi derivabile logic, oferind o ex-presie clară a logicii conținutului informativ și a situațiilor de învățare;
• obiectivele operaționale trebuie să fie clare, explicite şi comprehensibile (înţelese) atât pentru elev, cât și pentru profesor;
• obiectivele operaționale trebuie să fie accesibile majorității elevilor și să poată fi realizate într-un interval concret de timp;
• obiectivele operaționale nu trebuie să fie prea numeroase pentru activitatea di-dactică planificată. Sistemul de obiective proiectate pentru o lecție trebuie să includă:
cel puțin un obiectiv ce vizează dobândirea cunoştințelor (Ce va şti elevul?);
91
cel puțin două obiective ce se referă la aplicarea celor studiate, formarea pri-ceperilor, deprinderilor, abilităților, dezvoltarea capacităților (Ce va şti să facă elevul?) și
cel puțin un obiectiv care vizează atitudinile şi valorile (Cum va şti să fie elevul?).În ansamblu pentru o lecție de 45 de minute, sunt acceptate 4-6 obiective (operațio-
nale), iar unități de competență sunt acceptate 1-5 unități de competență.• Obiectivele operaționale trebuie să corespundă vârstei elevilor, pregătirii şi
achiziţiilor lor anterioare.
2.4. Metodologia convertirii unităților de competență în obiective
Obiectivele (operaționale) ale lecției trebuie să rezulte din unitățile de competență preconizate la compartimentul (capitolul, modulul) respectiv. De fiecare dată, elaborând proiectul didactic al unei lecții, profesorul, în conformitate cu proiectarea de lungă dura-tă, va constata care sunt unitățile de competență prioritare pentru lecția respectivă și le va converti în obiective (operaționale) ale acestei lecții. În continuare prezentăm câteva exemple de convertire a unităților de competență în obiective.
Exemplul 1. Clasa a V-a. Compartimentul II. Fracții ordinare. Numere zecimale.Fie Unitatea de competență 2.2. Identificarea și reprezentarea în diverse forme a
fracţiilor ordinare şi a numerelor zecimale finite.Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-
ționale.La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 – să identifice, în diferite situații reale și/sau modelate, fracțiile ordinare;O2 – să identifice, în contexte multiple, numerele zecimale finite;O3 – să reprezinte, în formele indicate, fracțiile ordinare date;O4 – să reprezinte, în diverse forme, numerele zecimale finite date.Din perspectiva formării competențelor, profesorul poate formula obiective com-
plexe (care conțin două sau mai multe verbe) pentru lecția respectivă. De exemplu: O5: Elevii vor fi capabili să identifice în situaţii reale şi/sau modelate fracţiile ordinare şi să le reprezinte în formele indicate sau Elevii vor fi capabili să identifice fracţiile ordinare şi numerele zecimale finite în situaţii reale şi/sau modelate şi să le reprezinte în formele indicate.
Exemplul 2. Clasa a VII-a. Compartimentul V. Noțiuni geometrice. Recapitulare şi completări.
Fie Unitatea de competență 5.3. Reprezentarea în plan a figurilor geometrice studiate, utilizând instrumentele de desen şi aplicarea reprezentărilor respective în re-zolvări de probleme.
Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-ționale.
92
La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 – să reprezinte în plan figurile geometrice (figurile geometrice fundamentale; un-
ghiurile; dreptele; alte figuri geometrice) studiate, utilizând instrumentele adecvate;O2 – să aplice reprezentările figurilor geometrice studiate (figurile geometrice funda-
mentale; unghiurile; dreptele; alte figuri geometrice) în rezolvarea problemelor.Notă. Profesorul va utiliza aceste formulări, de fiecare dată, la formularea obiective-
lor lecţiei în cadrul căreia se vor studia sau se vor aplica figurile geometrice respective studiate treptat.
Curriculumul la Matematică pentru învățământul gimnazial preconizează și unități de competență cu aspect atitudinal, de exemplu, unitățile de competență: 2.9 (clasa a V-a), 4.6, 5.8 (clasa a VI-a), 2.7 (clasa a VII-a), 9.8 (clasa a VIII-a) 5.10 (clasa a IX-a). Valo-rile și atitudinile, care în ansamblu trebuie să fie formate în cadrul studierii matematicii în gimnaziu, sunt fixate în curriculum la p. 6. [4]
Un ajutor esențial la formularea obiectivelor ce derivă din unitățile de competență, la selectarea verbelor adecvate, îi poate acorda profesorului de Matematică taxonomia lui Bloom.
Pedagogia modernă identifică 3 mari domenii de încadrare a obiectivelor:• domeniul cognitiv – asimilarea cunoștințelor, formarea deprinderilor și a capaci-
tăților intelectuale;• domeniul afectiv – formarea convingerilor, sentimentelor, atitudinilor;• domeniul psihomotor – elaborarea conduitelor motrice, a operațiilor manuale
etc. Verbele care indică comportamentele de învățare sunt prezentate mai jos, nivelurile
clasificării corespund taxonomiei lui Bloom:Categorii cognitive:A. Cunoaşterea – a identifica, a distinge, a recunoaște, a dobândi;B. Comprehensiunea (înțelegerea) – a traduce, a transforma, a exprima în cuvinte
proprii, a ilustra, a pregăti, a citi, a reprezenta, a schimba, a scrie din nou, a rede-fini (Transpunerea); a interpreta, a reorganiza, a rearanja, a diferenția, a distinge, a face, a stabili, a demonstra (Interpretarea); a estima, a introduce, a conchide, a prevedea, a diferenția, a determina, a extinde, a interpola, a extrapola, a completa (Extrapolarea);
C. Aplicarea – a aplica, a generaliza, a stabili legături, a alege, a dezvolta, a organiza, a utiliza, a se servi de, a transfera, a restructura, a clasifica;
D. Analiza – a distinge, a detecta, a identifica, a discrimina, a recunoaște, a categori-si, a deduce (Căutarea elementelor); a contrasta, a analiza, a compara, a distinge, a deduce (Căutarea relaţiilor); a analiza, a distinge, a detecta, a deduce (Căutarea principiilor de organizare);
93
E. Sinteza – a scrie, a povesti, a relata, a produce, a construi, a crea, a transmite, a modifica, a se documenta (Crearea unei opere personale); a propune, a planifica, a produce, a proiecta, a modifica, a specifica (Elaborarea unui plan de acţiune); a produce, a deriva, a dezvolta, a combina, a organiza, a sinteza, a clasifica, a deduce, a formula, a modifica (Derivarea unor relaţii abstracte dintr-un ansamblu);
F. Evaluarea – a judeca, a argumenta, a valida, a evalua, a decide, a considera, a compara, a standardiza.
Pentru domeniul afectiv (prezent și în procesul educațional la Matematică), taxono-mia include următoarele categorii și verbele respective:
A. Receptarea – a selecta, a alege, a transfera;B. Reacția – a se conforma, a interpreta, a realiza, a selecta, a reveni, a motiva;C. Valorificarea – a manifesta competenţă, preferinţă, angajare, pricepere, capacitate;D. Organizarea unui sistem de valori – a teoretiza, a defini un sistem de criterii pro-
prii, a se integra într-un univers superior de gândire şi de comportament;E. Interiorizarea valorilor etico-estetice – a se bucura de aprecierea celor din jur,
a evita şi a dezaproba excesele.Notă: Verbele evidențiate mai sus îl vor ajuta pe profesor la convertirea unităților de
competență în obiective.
94
3. Cum se realizează proiectarea de lungă durată la disciplina Matematică
în baza Curriculumului școlar?
3.1. Curriculumul ca sursă de proiectare didactică de lungă durată
La elaborarea proiectului didactic de lungă durată, profesorul utilizează:• Curriculumul la Matematică; • manualul;• ghidul profesorului la manual;• ghidul de implementare a Curriculumului la Matematică în gimnaziu;• reperele metodologice privind organizarea procesului educațional la disciplina
Matematică pentru anul respectiv de studiu.Notă. Profesorul va realiza, de regulă, proiectarea de lungă durată în baza manua-
lului de Matematică, utilizat la clasă. Manualul trebuie să corespundă Curriculumului școlar la disciplina Matematică.
Cerințe față de elaborarea proiectului de lungă durată (indiferent de modalitatea de proiectare) din perspectiva formării competențelor:
1. Pentru fiecare capitol, profesorul determină competențele specifice priorita-re pentru acest capitol și fixează indicatorii, conform Curriculumului, în prima rubrică.
2. Pentru fiecare secvență la conținuturi (capitol, modul), profesorul determină unitățile de competență care vor fi realizate prin conținutul concret și fixează indicatorii respectivi Curriculumului în rubrica a doua.
3. Pentru secvențele de conținuturi recapitulative în plan, se vor prevedea 1-2 ore, iar pentru conținuturi noi – cel puțin 2-3 ore pentru o unitate.
4. Fiecare capitol va conține, în mod obligatoriu, cel puțin o oră de sinteză a mate-riei din capitolul respectiv și o oră de sinteză integrativă a materiei din capitolele anterioare.
5. În proiectul de lungă durată se fixează orele de evaluare inițială și cele de evalua-re sumativă la capitol (modul), an.
6. Numerotarea lecțiilor în proiectarea realizată, indiferent de modul de proiectare, trebuie să fie una consecutivă.
7. Profesorul poate, în funcție de necesitate, să proiecteze și ore pentru analiza evaluărilor realizate.
95
Notă. După ce proiectul de lungă durată este aprobat ca document de lucru, profe-sorul are dreptul să efectueze modificări, fixându-le în rubrica Observații (în funcție de situația concretă creată în clasa de elevi).
Se recomandă următoarea repartizare a temelor pe clase și pe unități de timp:
Clasa Temele Nr. de orea V-a I. Mulțimea numerelor naturale
II. Fracții ordinare. Numere zecimaleIII. Elemente de geometrie şi unităţi de măsurăLa decizia profesorului
44463610
Total: 136 de orea VI-a I. Numere naturale
II. Numere întregi. Operații cu numere întregiIII. Numere raționale. Operații cu numere raționaleIV. Rapoarte și proporții V. Figuri și corpuri geometriceLa decizia profesorului
202230223210
Total: 136 de orea VII-a I. Numere reale
II. Calcul algebricIII. FuncțiiIV. Ecuații. InecuațiiV. Noțiuni geometrice. Recapitulare și completări VI. Triunghiuri congruente.La decizia profesorului
20142117223210
Total: 136 orea VIII-a I. Numere reale. Recapitulare şi completări
II. Calcul algebricIII. Şiruri. FuncţiiIV. Ecuații. Inecuații. Sisteme IV. Ecuaţii de gradul IIVI. Figuri geometrice plane. Recapitulare și completăriVII. Triunghiuri asemeneaVIII. Relații metrice în triunghiul dreptunghicIX. Patrulatere. PoligoaneX. Vectori în plan.La decizia profesorului
1310111816101313139
10Total: 136 ore
a IX-a I. Numere reale. Recapitulare și completăriII. Rapoarte algebriceIII. FuncțiiIV. Ecuații. Inecuații. SistemeV. Elemente de statistică Matematică și teoria probabilităților. Elemente de calcul financiarVI. Cercul. Discul. Recapitulare și completăriVII. AriiVIII. PoliedreIX. Corpuri de rotațieX. Recapitulare finală
1011152211
813101220
Total: 132 de ore
96
Notă:1. Repartizarea timpului de predare – învăţare – evaluare se determină pornind de la
4 ore pe săptămână.2. Repartizarea orelor pe teme şi stabilirea ordinii compartimentelor sunt orientative.3. Ordinea compartimentelor, în cadrul aceleiaşi clase, poate fi schimbată, dacă nu este
afectată logica ştiinţifică sau didactică.
97
3.2.
Pro
iect
area
did
actic
ă de
lung
ă du
rată
la M
atem
atică
3.2.
1. P
roie
ctar
ea te
mati
co-c
alen
daris
tică
Clas
a a
V-a
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nță
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i N
r. de
or
eDa
taO
bser
vații
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
; Pr
edar
e –
învă
țare
; Ev
alua
re.
Tota
l:
22 105 9 136
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
1.1,
1.2
, 1.3
1.1,
1.2
, 1.3
1.1,
1.2
, 1.4
, 1.5
1.1,
1.2
, 1.4
, 1.5
1.1
– 1.
51.
1 –
1.5
1.1
– 1.
51.
1, 1
.2, 1
.4, 1
.51.
1, 1
.2, 1
.4, 1
.51.
1, 1
.2, 1
.4, 1
.51.
1, 1
.2, 1
.4, 1
.51.
1, 1
.2, 1
.4, 1
.51.
1, 1
.2, 1
.3, 1
.4, 1
.51.
4, 1
.5, 1
.6, 1
.8
I. 1-2
3-5
6-7
8-9
10 11 1213
-14
15-1
617
-18
19-2
021
-22
23-2
425
-29
Mul
țimea
num
erel
or n
atur
ale
Scrie
rea
și ci
tirea
num
erel
or n
atur
ale.
Rep
reze
ntar
ea n
ume-
relo
r nat
ural
e pe
axa
num
eric
ă.Co
mpa
rare
a și
ordo
nare
a nu
mer
elor
nat
ural
e. R
otun
jirea
nu
mer
elor
nat
ural
e.Ad
unar
ea n
umer
elor
nat
ural
e.
Scăd
erea
num
erel
or n
atur
ale.
Oră
de
sinte
ză.
Eval
uare
iniți
ală.
Anal
iza e
valu
ării
iniți
ale.
Înm
ulțir
ea n
umer
elor
nat
ural
e.
Împă
rțire
a nu
mer
elor
nat
ural
e.Îm
părț
irea
cu re
st.
Noț
iune
a de
put
ere.
Pă
trat
ul și
cub
ul u
nui n
umăr
nat
ural
.O
rdin
ea e
fect
uării
ope
rații
lor ș
i fol
osire
a pa
rant
ezel
or.
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or în
mul
țimea
num
erel
or n
atur
ale,
uti
lizân
d:- m
etod
a re
duce
rii la
uni
tate
;- m
etod
a m
ersu
lui i
nver
s.
46 2 3 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 5
98
1.1
– 1.
6, 1
.81.
1 –
1.6,
1.8
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.7
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.7
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.7
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.7
1.1
– 1.
81.
1 –
1.8
1.1
– 1.
81.
1 –
1.8
30 31 3
2-34
35-3
637
-38
39-4
2
43 44 45 46
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
Mul
țimi.
Mod
uri d
e de
finire
a m
ulțim
ilor.
Divi
zor.
Mul
țimea
div
izoril
or u
nui n
umăr
nat
ural
.M
ultip
lu. M
ulțim
ea m
ultip
lilor
unu
i num
ăr n
atur
al.
Crite
riile
de
divi
zibili
tate
cu
10, 2
și
5. N
umer
e pa
re și
num
ere
impa
re.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
1 1 3 2 2 4 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
2.1,
2.2
, 2.3
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
2.1
- 2.5
2.1
– 2.
52.
1 –
2.5
2.2,
2.3
2.2,
2.3
, 2.4
2.1
– 2.
52.
1 –
2.5
2.1
– 2.
6
2.4,
2.5
, 2.6
, 2.7
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7
2.1,
2.2
2.1,
2.2
, 2.3
II.47
-48
49-5
051
-52
53-5
455
-56
57 58 5960
-61
62-6
364
-65
66-6
768
-69
70 7172
-73
74-7
5
Frac
ții o
rdin
are.
Num
ere
zeci
mal
eN
oțiu
nea
de fr
acție
. Re
prez
enta
rea
frac
țiilo
r cu
ajut
orul
uno
r des
ene.
Scoa
tere
a în
treg
ului
din
frac
ție. I
ntro
duce
rea
într
egul
ui în
fr
acție
.Fr
acții
ech
ival
ente
. Am
plifi
care
a și
simpl
ifica
rea
frac
țiilo
r.Ad
ucer
ea fr
acții
lor l
a ac
elaș
i num
itor.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
Repr
ezen
tare
a fr
acții
lor p
e ax
a nu
mer
elor
. Co
mpa
rare
a fr
acții
lor.
Adun
area
și sc
ăder
ea fr
acții
lor.
Înm
ulțir
ea fr
acții
lor.
Inve
rsa
unei
frac
ții. Î
mpă
rțire
a fr
acții
lor.
Aflar
ea u
nei f
racț
ii di
ntr-u
n nu
măr
. Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
Noț
iune
a de
num
ăr ze
cim
al.
Com
para
rea,
ord
onar
ea, r
epre
zent
area
pe
axă
a nu
mer
elor
ze
cim
ale
finite
. Rot
unjir
i.
47 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2
99
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
2.1,
2.2
, 2.3
2.4
, 2.5
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
, 2.7
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7,
1.3
, 1.4
, 1.6
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7
76-7
778
-79
80-8
182
-83
84-8
586
-89
90 91 92 93
Adun
area
și sc
ăder
ea n
umer
elor
zeci
mal
e fin
ite.
Înm
ulțir
ea n
umer
elor
zeci
mal
e fin
ite.
Împă
rțire
a nu
mer
elor
zeci
mal
e fin
ite la
10,
100
, 100
0.Ri
dica
rea
unui
num
ăr ze
cim
al fi
nit l
a pă
trat
și la
cub
.O
rdin
ea e
fect
uării
ope
rații
lor.
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or, u
tilizâ
nd:
- met
oda
redu
cerii
la u
nita
te;
- met
oda
mer
sulu
i inv
ers.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
2 2 2 2 2 4 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
3.1,
3.2
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.6
, 3.8
3.5,
3.6
, 3.8
, 3.9
, 3.1
0
3.1,
3.6
, 3.8
, 3.9
, 3.1
03.
5, 3
.6, 3
.7, 3
.8, 3
.93.
1, 3
.6, 3
.8, 3
.9, 3
.10
3.5,
3.6
, 3.7
, 3.8
, 3.9
3.1
– 3.
103.
1 –
3.10
3.1
– 3.
103.
1, 3
.6, 3
.83.
1, 3
.6, 3
.83.
1, 3
.5 –
3.1
0
III.
94-9
697
-99
100-
102
103-
105
106
107
108
109
110-
111
112
113-
114
115
116-
117
118
119
120
121-
122
123-
124
125-
126
Elem
ente
de
geom
etrie
şi u
nită
ți de
măs
ură
Figu
ri ge
omet
rice.
Inst
rum
ente
geo
met
rice
Drep
te c
oncu
rent
e. D
rept
e pe
rpen
dicu
lare
. Dre
pte
para
lele
.Co
rpur
i geo
met
rice.
Oră
de
sinte
ză.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
Uni
tăți
de m
ăsur
ă uz
uale
pen
tru
lung
ime.
Tra
nsfo
rmăr
i.Lu
ngim
ea u
nui s
egm
ent,
a un
ei li
nii f
rânt
e. P
erim
etru
l tr
iung
hiul
ui și
al
patr
ulat
erul
ui.
Uni
tăți
de m
ăsur
ă uz
uale
pen
tru
supr
afaț
ă. T
rans
form
ări.
Aria
păt
ratu
lui ș
i a d
rept
ungh
iulu
i.U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u vo
lum
. Tra
nsfo
rmăr
i.Vo
lum
ul c
ubul
ui și
al c
uboi
dulu
i.O
ră d
e sin
teză
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u ca
paci
tate
. Tra
nsfo
rmăr
i.U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u m
asă.
Tra
nsfo
rmăr
i.U
nită
ți de
măs
ură
uzua
le p
entr
u tim
p. T
rans
form
ări.
39 3 3 3 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
100
3.1,
3.5
– 3
.10
3.1
– 3.
103.
1 –
3.10
, 2.5
, 2.6
3.1
– 3.
103.
1 –
3.10
127-
128
129
130
131
132
Uni
tăți
mon
etar
e. T
rans
form
ări.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
2 1 1 1 11.
1 –
3.10
133-
136
Reca
pitu
lare
.4
Clas
a a
VI-a
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nță
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i N
r. de
or
eDa
taO
bser
vații
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
; Pr
edar
e –
învă
țare
;Ev
alua
re.
Tota
l:
17 112 7 136
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
1.1,
1.2
, 1.6
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.6
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.6
, 1.8
, 1.9
1.1,
1.2
,1.3
1.4
1.2,
1.4
, 1.6
, 1.8
, 1.9
1.2,
1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
1.2,
1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.6
, 1.8
, 1.9
1.1,
1.2
, 1.7
1.7,
1.6
, 1.8
, 1.9
I. 1 2 3-5 6 7-8
9-10
11-1
2
13-1
4
15-1
617
-18
Num
ere
natu
rale
M
ulțim
ea n
umer
elor
nat
ural
e (N
, N*)
.Di
vizo
r. M
ultip
lu. N
umer
e pr
ime,
num
ere
com
puse
.Cr
iterii
le d
e di
vizib
ilita
te c
u 2,
3, 5
, 9, 1
0.N
umer
e pa
re și
num
ere
impa
re.
Desc
ompu
nere
a nu
mer
elor
nat
ural
e în
pro
dus
de p
uter
i de
num
ere
prim
e.
Divi
zoru
l com
un a
dou
ă nu
mer
e na
tura
le. C
.m.m
.d.c
. a d
ouă
num
ere
natu
rale
.M
ultip
lii co
mun
i a d
ouă
num
ere
natu
rale
. C.m
.m.m
.c. a
dou
ă nu
mer
e na
tura
le.
Pute
rea
cu e
xpon
ent
num
ăr n
atur
al. P
ropr
ietă
țile
pute
rii c
u ex
pone
nt n
atur
al.
Noț
iune
a de
ecu
ație
. Rez
olva
rea
în m
ulțim
ea N
a e
cuaț
iilor
.Re
zolv
area
pro
blem
elor
prin
ecu
ații.
22 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2
101
1.1
– 1.
91.
1 –
1.9
1.1
– 1.
91.
1 –
1.9
19 20 21 22
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
2.1,
2.2,
2.5
,2.7
, 2.8
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
2.2
– 2.
5, 2
.7, 2
.82.
2 –
2.5,
2.7
, 2.8
2.2
– 2.
5, 2
.7, 2
.82.
2 –
2.5,
2.7
, 2.8
2.2
– 2.
5, 2
.7, 2
.8
2.2
– 2.
5, 2
.7, 2
.82.
1, 2
.2, 2
.6, 2
.82.
1 –
2.8
2.1
– 2.
8, 1
.72.
1 –
2.8
2.1
– 2.
8
II.23
-24
25-2
627
-28
29-3
031
-32
33-3
435
36-3
7
38-3
9
4041
-42
43 44 45 46
Num
ere
într
egi.
Ope
rații
cu
num
ere
într
egi
Num
ăr în
treg
. Mul
țimea
num
erel
or în
treg
i Z.
Mod
ulul
unu
i num
ăr în
treg
. O
rdon
area
și c
ompa
rare
a nu
mer
elor
într
egi.
Adun
area
num
erel
or în
treg
i. Pr
oprie
tăți.
Scăd
erea
num
erel
or în
treg
i. O
rdin
ea e
fect
uării
ope
rații
lor.
Înm
ulțir
ea n
umer
elor
într
egi.
Prop
rietă
ți.Fa
ctor
com
un.
Împă
rțire
a nu
mer
elor
într
egi.
Pute
rea
unui
num
ăr în
treg
cu
expo
nent
num
ăr n
atur
al.
Prop
rietă
țile
pute
rii.
Ord
inea
efe
ctuă
rii o
pera
țiilo
r și f
olos
irea
para
ntez
elor
.Re
zolv
area
în Z
a e
cuaț
iilor
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
24 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.5
3.1,
3.2
, 3.5
, 3.9
, 3.1
03.
1, 3
.2, 3
.3, 3
.53.
1, 3
.2, 3
.3, 3
.5
3.2,
3.4
, 3.5
, 3.6
3.2,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.
93.
2, 3
.4, 3
.5, 3
.9, 3
.10
III.
47-4
8
4950
-51
52-5
3
54-5
556
-57
58
Num
ere
rațio
nale
. Ope
rații
cu
num
ere
rațio
nale
Num
ere
rațio
nale
. Rep
reze
ntar
ea p
e ax
ă a
num
erel
or
rațio
nale
.M
odul
ul u
nui n
umăr
rațio
nal.
Scrie
rea
num
erel
or ra
ționa
le în
div
erse
form
e.
Com
para
rea
num
erel
or ra
ționa
le. R
otun
jirea
num
erel
or
rațio
nale
.Ad
unar
ea n
umer
elor
rațio
nale
. Pro
prie
tăți.
Scăd
erea
num
erel
or ra
ționa
le.
Ord
inea
ope
rații
lor ș
i util
izare
a pa
rant
ezel
or.
31 2 1 2 2 2 2 1
102
3.2,
3.4
, 3.5
, 3.6
3.2,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.8
, 3.9
3.2,
3.3
, 3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.8
, 3.9
3.4,
3.5
, 3.6
, 3.8
, 3.9
3.1
– 3.
6, 3
.8, 3
.93.
1 –
3.6,
3.8
, 3.9
3.6,
3.7
, 3.9
, 3.1
03.
1, 3
.2,
3.7,
3.8
, 3.9
3.1,
3.2
, 3.
7, 3
.8, 3
.93.
1 –
3.10
3.1
– 3.
10, 2
.4, 2
.6, 2
.73.
1 –
3.10
3.1
– 3.
10
59-6
061
62-6
364
-65
6667
-68
6970
-71
72-7
374 75 76 77
Înm
ulțir
ea n
umer
elor
rațio
nale
. Pro
prie
tăți.
Fac
tor c
omun
.Pu
tere
a un
ui n
umăr
rațio
nal c
u ex
pone
nt n
umăr
nat
ural
. Îm
părț
irea
num
erel
or ra
ționa
le.
Ord
inea
efe
ctuă
rii o
pera
țiilo
r și f
olos
irea
para
ntez
elor
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Aflar
ea fr
acție
i din
tr-u
n nu
măr
. Afla
rea
num
ărul
ui fi
ind
dată
fr
acția
.Re
zolv
area
pro
blem
elor
.M
ulțim
i. M
odur
i de
defin
ire a
mul
țimilo
r. O
pera
ții c
u m
ulțim
i.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
4.1,
4.2
4.1,
4.2
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.2,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.2,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.2,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.2,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.5,
4.6
, 4.7
4.2,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.1
– 4.
74.
1 –
4.7,
2.5
, 2.6
4.1
– 4.
74.
1 –
4.7
IV.
7879
-80
8182
-83
84-8
586
-87
88-8
990
91-9
293
-94
9596
-97
98 99 100
101
Rapo
arte
şi p
ropo
rții
Rapo
arte
. Șiru
ri de
rapo
arte
ega
le.
Prop
orții
. Pro
prie
tate
a fu
ndam
enta
lă a
pro
porț
iei.
Aflar
ea u
nui t
erm
en n
ecun
oscu
t al p
ropo
rție
i.M
ărim
i dire
ct p
ropo
rțio
nale
.M
ărim
i inv
ers p
ropo
rțio
nale
. Re
gula
de
trei
sim
plă.
Pr
ocen
te. A
flare
a pr
ocen
telo
r din
tr-u
n nu
măr
dat
. Afl
area
unu
i num
ăr c
ând
cuno
aște
m p
roce
ntel
e di
n el
.Afl
area
rapo
rtul
ui p
roce
ntua
l. Pr
oble
me.
Elem
ente
de
orga
niza
re a
dat
elor
. M
edia
arit
meti
că.
Elem
ente
de
prob
abili
tăți.
O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
24 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1
103
I. II. III.
IV. V. VI.
VII.
5.1,
5.2
, 5.3
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
,5.5
5.2,
5.6
, 5.7
, 5.8
, 5.9
5.
1, 5
.2, 5
.6, 5
.7,5
.85.
6, 5
.75.
6, 5
.7, 5
.8, 5
.95.
1,5.
2, 5
.3, 5
.4, 5
.75.
1,5.
2, 5
.3, 5
.4, 5
.75.
1 –
5.5,
5.7
, 5.8
, 5.9
5.1,
5.6
, 5.7
– 5.
95.
1, 5
.2, 5
.3, 5
.4, 5
.6
5.4,
5.5
,5.8
, 5.9
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
, 5.9
5.6,
5.7
, 5.8
, 5.9
5.1–
5.3
, 5.5
, 5.7
– 5.
95.
1, 5
.2, 5
.6, 5
.75.
1 –
5.9
5.1
– 5.
9, 4
.4, 4
.55.
1 –
5.9
5.1
– 5.
9
V. 102
103-
104
105-
106
107-
108
109
110-
111
112-
113
114
115-
116
117-
118
119
120-
121
122-
123
124
125-
126
127-
128
129-
130
131
132
133
134
135
Figu
ri şi
cor
puri
geom
etric
eFi
guri
geom
etric
e.
Lung
imea
segm
entu
lui.
Segm
ente
con
grue
nte.
Tr
iung
hi, p
atru
late
r. Pe
rimet
rul t
riung
hiul
ui, p
atru
late
rulu
i.Po
ligon
. Per
imet
rul p
olig
onul
ui.
Aria
păt
ratu
lui,
drep
tung
hiul
ui.
Ung
hiur
i. M
ăsur
a în
gra
de a
ung
hiur
ilor.
Calc
ule
cu m
ăsur
i de
ungh
iuri.
Clas
ifica
rea
ungh
iuril
or.
Ung
hiur
i con
grue
nte.
Bi
sect
oare
a un
ghiu
lui.
Eval
uare
sum
ativă
.Dr
epte
con
cure
nte,
dre
pte
para
lele
și p
erpe
ndic
ular
e.M
edia
toar
ea u
nui s
egm
ent.
Cons
trui
rea
med
iato
arei
se
gmen
tulu
i.Li
nie
curb
ă. C
erc.
Disc
. Ele
men
te.
Num
ărul
. L
ungi
mea
cer
culu
i. Ar
ia d
iscul
ui.
Corp
uri g
eom
etric
e.De
sfăș
urar
ea c
orpu
lui g
eom
etric
stud
iat.
Volu
mul
cub
ului
și a
l cub
oidu
lui.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
34 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 11.
1 –
5.9
136
Reca
pitu
lare
.1
104
Clas
a a
VII-a
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nță
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i N
r. de
or
eDa
taO
bser
vații
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
;Pr
edar
e –
învă
țare
;Ev
alua
re.
Tota
l:
25 104 7 136
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
1.1,
1.2
, 1.3
1.1,
1.2
, 1.3
1.3,
1.7
, 1.8
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.4,
1.6
, 1.7
, 1.8
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.5
1.4,
1.6
, 1.7
, 1.8
1.4,
1.6
, 1.7
, 1.8
1.3,
1.4
, 1.5
1.1
– 1.
81.
1 –
1.8
1.1
– 1.
81.
1 –
1.8
I. 1 2 3 4-5
6-7
8-9
10-1
1
12-1
3
1415
-16
17-1
8
19 20 21 22
Num
ere
real
eM
ulțim
ea n
umer
elor
rațio
nale
Q. I
nclu
ziuni
le N
ZQ
.N
umer
e ze
cim
ale.
Num
ere
zeci
mal
e pe
riodi
ce.
Repr
ezen
tare
a nu
mer
elor
rațio
nale
pe
axă.
Noț
iune
a de
rădă
cină
păt
rată
din
tr-u
n nu
măr
rațio
nal
nene
gativ
. N
oțiu
nea
de n
umăr
iraț
iona
l. N
oțiu
nea
de n
umăr
real
. M
ulțim
ea n
umer
elor
real
e.
Ope
rații
cu
mul
țimile
N, Z
, Q, R
și su
bmul
țimile
lor.
Mod
ulul
num
ărul
ui re
al.
Prop
rietă
ți.O
pera
ții c
u nu
mer
e re
ale:
adu
nare
a, s
căde
rea,
înm
ulțir
ea,
împă
rțire
a, ri
dica
rea
la p
uter
e cu
exp
onen
t nat
ural
. Pr
oprie
tățil
e ra
dica
lilor
.In
trod
ucer
ea f
acto
rilor
sub
rad
ical
, sc
oate
rea
fact
orilo
r de
su
b ra
dica
l. Co
mpa
rare
a, o
rdon
area
și re
prez
enta
rea
pe a
xă a
num
erel
or
real
e.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
22 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1
105
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
2.1,
2.2
, 2.4
2.1,
2.2
, 2.4
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.6
, 2.7
2.2,
2.3
, 2.5
, 2.6
, 2.7
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7
II.23
-24
25-2
728
-30
31-3
334 35 36 37
Calc
ul a
lgeb
ricN
umer
e re
ale
repr
ezen
tate
prin
lite
re. E
xpre
sii a
lgeb
rice.
Ope
rații
cu
num
ere
real
e re
prez
enta
te p
rin li
tere
.Fo
rmul
ele
înm
ulțir
ii pr
escu
rtat
e.De
scom
pune
rea
unei
exp
resii
alg
ebric
e în
pro
dus d
e fa
ctor
i.O
ra d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
15 2 3 3 3 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
3.1,
3.8
3.1,
3.8
3.1,
3.8
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.4,
3.5
, 3.6
, 3.7
, 3.8
3.4,
3.5
, 3.6
, 3.7
, 3.8
3.1
– 3.
83.
1 –
3.8
3.1
– 3.
83.
1 –
3.8
III.
38-4
041
-42
43-4
445
-46
47-4
849
-50
51-5
354
-56
57 58 59 60
Func
țiiSi
stem
ul c
arte
zian
de c
oord
onat
e în
pla
n.Co
ordo
nate
le p
unct
ului
.Di
stan
ța d
intr
e do
uă p
unct
e di
n pl
an.
Noț
iune
a de
func
ție.
Mod
uri d
e de
finire
a fu
ncție
i. N
oțiu
nea
grafi
cul f
uncţ
iei.
Func
ția d
e gr
adul
I. F
uncț
ia c
onst
antă
. Pr
opor
ționa
litat
e di
rect
ă.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
23 3 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1
106
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
4.1,
4.2
4.1,
4.2
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.4,
4.6
, 4.7
, 4.8
4.1,
4.2
, 4.5
4.1,
4.2
, 4,5
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1
– 4.
84.
1 –
4.8
4.1
– 4.
84.
1 –
4.8
IV.
61 6263
-65
66-6
768
-69
7071
-72
73-7
475 76 77 78
Ecua
ții. I
necu
ații
Noț
iune
a de
ecu
ație
cu
o ne
cuno
scut
ă. S
oluț
ia e
cuaț
iei.
Ecua
ții e
chiv
alen
te. T
rans
form
ări e
chiv
alen
te.
Ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă și
redu
ctibi
le la
ace
stea
. Re
zolv
area
pro
blem
elor
cu
ajut
orul
ecu
ațiil
or.
Ineg
alită
ți nu
mer
ice.
Pro
prie
tăți.
Inte
rval
e de
num
ere
real
e. O
pera
ții c
u in
terv
ale.
Noț
iune
a de
inec
uație
cu o
nec
unos
cută
. Ine
cuaț
ii ech
ival
ente
.In
ecua
ții d
e gr
adul
I și
redu
ctibi
le la
ace
stea
. O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
18 1 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.9
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.6
5.1,
5.3
, 5.6
, 5.7
, 5.9
5.1,
5.3
, 5.6
, 5.7
, 5.9
5.1,
5.3
, 5.6
, 5.7
, 5.9
5.1,
5.3
, 5.6
, 5.7
, 5.9
5.1,
5.3
, 5.6
, 5.7
, 5.9
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
, 5.9
5.1
– 5.
95.
1 –
5.9
5.1
– 5.
95.
1 –
5.9
V.79
-80
81-8
283
-84
85-8
6
87-8
8
89-9
091
92-9
394
-95
96-9
7
98 99 100
101
Noț
iuni
geo
met
rice.
Rec
apitu
lare
şi c
ompl
etăr
iEl
emen
te d
e lo
gică
Mat
emati
că. N
oțiu
nea
de p
ropo
ziție
. N
oțiu
ni g
eom
etric
e fu
ndam
enta
le.
Drea
ptă.
Sem
idre
aptă
. Seg
men
t.N
oțiu
nea
de u
nghi
. Cla
sifica
rea
ungh
iuril
or. M
ăsur
a un
ghiu
lui.
Prop
oziți
i mat
emati
ce. N
oțiu
nile
de
defin
iție,
axi
omă,
te
orem
ă, ip
otez
ă, c
oncl
uzie
, dem
onst
rație
, con
seci
nță.
Te
orem
a re
cipr
ocă.
Exe
mpl
u, c
ontr
aexe
mpl
u.M
etod
a re
duce
rii la
abs
urd.
Drep
te p
aral
ele.
Crit
erii
de p
aral
elism
.Dr
epte
per
pend
icul
are.
Dist
anța
de
la u
n pu
nct l
a o
drea
ptă.
Sim
etria
față
de
un p
unct
, cen
trul
de
simet
rie, s
imet
ria fa
ță
de o
dre
aptă
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
23 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1
107
I. II. III.
IV. V. VI.
VII.
6.2,
6.3
6.1,
6.2
, 6.3
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
, 6.5
6.1,
6.3
, 6.5
, 6.7
, 6.8
6.1,
6.3
, 6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
, 6.9
6.4,
6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.9
6.4,
6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.9
6.4,
6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.9
6.1
– 6.
9
VI.
102
103-
104
105-
106
107-
108
109-
110
111-
112
113-
114
115-
116
117-
118
Triu
nghi
uri c
ongr
uent
eTr
iung
hi. C
lasifi
care
a tr
iung
hiur
ilor.
Rela
ția d
e co
ngru
ență
. Seg
men
te c
ongr
uent
e. U
nghi
uri
cong
ruen
te.
Triu
nghi
uri c
ongr
uent
e. C
azur
ile d
e co
ngru
ență
a
triu
nghi
urilo
r.Co
nstr
ucția
(util
izând
rigl
a și
com
pasu
l) a
triu
nghi
urilo
r dup
ă ca
zuril
e LU
L, U
LU, L
LL.
Ineg
alită
ți în
triu
nghi
.Cr
iterii
le d
e co
ngru
ență
pen
tru
triu
nghi
urile
dre
ptun
ghic
e.M
etod
a tr
iung
hiur
ilor c
ongr
uent
e.Bi
sect
oare
a un
ui u
nghi
. Pro
prie
tate
a bi
sect
oare
i.M
edia
toar
ea u
nui s
egm
ent.
Prop
rieta
tea
med
iato
arei
.
34 1 2 2 2 2 2 2 2 26.
1, 6
.2, 6
.3, 6
.4, 6
.86.
4, 6
.5, 6
.6, 6
.7, 6
.96.
4, 6
.5, 6
.7, 6
.8, 6
.9
6.4,
6.5
, 6.7
, 6.8
, 6.9
6.4,
6.5
, 6.7
, 6.8
, 6.9
6.4,
6.5
, 6.7
, 6.8
, 6.9
6.2,
6.4
, 6.7
, 6.9
6.1
– 6.
9
6.1
– 6.
96.
1 –
6.9
6.1
– 6.
9
119
120-
121
122-
123
124-
125
126-
127
128
129
130-
131
132
133
134
135
Eval
uare
sum
ativă
.Li
nii i
mpo
rtan
te î
n tr
iung
hi. M
edia
na în
triu
nghi
. Bi
sect
oare
a tr
iung
hiul
ui. Î
nălți
mea
triu
nghi
ului
. Med
iato
area
tr
iung
hiul
ui. P
ropr
ietă
ți.Su
ma
măs
urilo
r ung
hiur
ilor u
nui t
riung
hi. T
eore
ma
ungh
iulu
i ex
terio
r. Pr
oprie
tățil
e tr
iung
hiul
ui is
osce
l.Pr
oprie
tățil
e tr
iung
hiul
ui e
chila
tera
l.Li
nia
mijl
ocie
în tr
iung
hi. P
ropr
ietă
ți.Tr
iung
hiul
dre
ptun
ghic
. Pro
prie
tățil
e tr
iung
hiul
ui
drep
tung
hic.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 11.
1 –
6.9
136
Reca
pitu
lare
fina
lă.
1
108
Clas
a VI
II-a
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nță
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i (M
odul
e)N
r. de
or
eDa
taO
bser
vații
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
; Pr
edar
e –
învă
țare
;Ev
alua
re.
Tota
l:
39 87 10 136
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
1.1,
1.3
, 1.4
, 1.7
1.1,
1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
1.2,
1.5
, 1.6
, 1.8
, 1.9
1.2,
1.5
, 1.6
, 1.8
, 1.9
1.2,
1.5
, 1.6
, 1.8
, 1.9
1.2,
1.5
, 1.6
, 1.8
, 1.9
1.3,
1.5
, 1.7
, 1.8
, 1.9
1.1
– 1.
91.
1 –
1.9
1.1
– 1.
91.
1 –
1.9
I. 1 2-3 4 5-6
7-8 9 10 11 12 13 14
Num
ere
real
e. R
ecap
itula
re şi
com
plet
ări
Mul
țimea
num
erel
or re
ale.
Mod
ulul
num
ărul
ui re
al.
Ope
rații
cu
num
ere
real
e.Pu
teri
cu e
xpon
ent n
atur
al. P
ropr
ietă
ți.Pu
teri
cu e
xpon
ent î
ntre
g. P
ropr
ietă
ți.Ră
dăci
nă p
ătra
tă. P
ropr
ietă
ți al
e ră
dăci
nii p
ătra
te.
Intr
oduc
erea
fact
orul
ui su
b ra
dica
l. Sc
oate
rea
fact
orilo
r de
sub
radi
cal.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
14 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
2.1,
2.2
, 2.3
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.5
, 2.6
2.3,
2.4
, 2.5
, 2.6
2.1
– 2.
62.
1 –
2.6
2.1
– 2.
6, 1
.5, 1
.6, 1
.72.
1 –
2.6
2.1
– 2.
6
II. 15
16-1
718
-19
20-2
122 23 24 25
Calc
ulul
alg
ebric
Num
ere
real
e re
prez
enta
te p
rin li
tere
. Ope
rații
cu
num
ere
real
e re
prez
enta
te p
rin li
tere
.Fo
rmul
e de
cal
cul p
resc
urta
t.M
etod
e de
des
com
pune
re în
fact
ori.
Tran
sfor
măr
i ide
ntice
ale
exp
resii
lor a
lgeb
rice.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
11 1 2 2 2 1 1 1 1
109
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.5
, 3.6
3.3,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.7
, 3.8
3.3,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.7
, 3.8
3.3,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.7
, 3.8
3.3,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.7
, 3.8
3.1
– 3.
83.
1 –
3.8,
2.3
, 2.5
3.1
– 3.
83.
1 –
3.8
III.
26-2
7
28 29 3031
-32
33 34 35 36 37
Şiru
ri. F
uncț
iiN
oțiu
nea
de și
r num
eric
. Mod
uri d
e de
finire
a u
nui ș
ir.
Clas
ifica
rea.
Noț
iune
a de
func
ție. M
odur
i de
defin
ire a
func
ției.
Func
ția d
e gr
adul
I. P
ropr
ietă
ți.Fu
ncția
con
stan
tă.
Prop
orțio
nalit
atea
dire
ctă.
Prop
orțio
nalit
atea
inve
rsă.
Func
ția ra
dica
l. Pr
oprie
tăți
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
12 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
4.1,
4.2
, 4.3
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.7
4.1,
4.3
, 4.5
, 4.7
4.2,
4.3
, 4.7
4.4,
4.5
, 4.6
, 4.7
, 4.8
, 4.9
4.1,
4.3
, 4.7
, 4.9
4.2,
4.3
, 4.5
, 4.6
, 4.7
, 4.9
4.1,
4.3
, 4.4
, 4.7
, 4.8
, 4.9
4.3,
4.5
, 4.6
, 4.7
, 4.8
, 4.9
4.1,
4.3
, 4.5
, 4.6
, 4.8
, 4.9
4.1
– 4.
94.
1 –
4.9
4.1
– 4.
94.
1 –
4.9
IV.
3839
-40
41
42-4
3
44-4
5
46 47 4849
-50
51-5
2
53 54 55 56
Ecua
ții. I
necu
ații.
Sist
eme
Noț
iune
a de
ecu
ație
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
.N
oțiu
nea
de e
cuaț
ie d
e gr
adul
I cu
dou
ă ne
cuno
scut
e.
Noț
iune
a de
sist
em d
e do
uă e
cuaț
ii de
gra
dul I
cu
două
ne
cuno
scut
e.
Met
ode
de re
zolv
are
a sis
tem
elor
de
două
ecu
ații
de g
radu
l I
cu d
ouă
necu
nosc
ute.
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or c
u te
xt c
u aj
utor
ul e
cuaț
iilor
și/s
au
siste
mel
or d
e ec
uații
. In
egal
ități
num
eric
e. P
ropr
ietă
ți.
Inte
rval
e de
num
ere
real
e. O
pera
ții c
u in
terv
ale.
Noț
iune
a de
inec
uație
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
.Re
zolv
area
inec
uații
lor d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă.
Noț
iune
a de
sist
em d
e in
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o
necu
nosc
ută.
Rez
olva
rea
siste
mel
or d
e in
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
19 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1
110
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.1,
4.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
4.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
4.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
5.6
, 5.7
5.2,
5.3
, 5.6
, 5.7
5.2,
5.3
, 5.4
, 5.5
, 5.6
, 5.7
5.1
– 5.
75.
1 –
5.7
5.1
– 5.
75.
1 –
5.7
V. 5758
-59
60-6
1 62
-63
64-6
566
-67
68-6
970 71 72 73
Ecua
ții d
e gr
adul
IIN
oțiu
nea
de e
cuaț
ie d
e gr
adul
II c
u o
necu
nosc
ută.
Rezo
lvar
ea e
cuaț
iilor
de
grad
ul II
, for
mel
e in
com
plet
e.Re
zolv
area
ecu
ațiil
or d
e gr
adul
II, f
orm
a co
mpl
etă.
Rezo
lvar
ea e
cuaț
iilor
de
grad
ul II
, for
ma
redu
să.
Rela
țiile
din
tre
solu
ții și
coe
ficie
nți.
Desc
ompu
nere
a în
pr
odus
de
fact
ori a
exp
resie
i de
form
a ax
2 + b
x +
c, a
0
, a,
b,c
R.
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or p
rin a
plic
area
ecu
ațiil
or d
e gr
adul
II.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
17 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
6.1,
6.2
, 6.7
, 6.8
, 6.9
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
, 6.5
, 6.6
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
, 6.5
6.3,
6.5
, 6.7
, 6.8
, 6.9
6.2,
6.3
, 6.4
, 6.5
, 6.6
6.2,
6.3
, 6.4
, 6.5
, 6.6
6.1
– 6.
96.
1 –
6.9,
3.5
, 3.7
6.1
– 6.
96.
1 –
6.9
VI.
74 75 76 77 7879
-80
81 82 83 84
Figu
ri ge
omet
rice
plan
e. R
ecap
itula
re şi
com
plet
ări
Elem
ente
de
logi
că M
atem
atică
.Tr
iung
hiur
i. Li
niile
impo
rtan
te în
triu
nghi
. Ce
rcul
. Disc
ul. E
lem
ente
.Po
ziția
rela
tivă
a un
ei d
rept
e fa
ță d
e un
cer
c/di
sc.
Ung
hi la
cen
tru.
Arc
e de
cer
c.U
nghi
însc
ris în
cer
c.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
11 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
7.1,
7.3
, 7.6
7.1,
7.2
, 7.3
, 7.4
, 7.5
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
, 7.7
, 7.8
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
, 7.7
, 7.8
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
, 7.7
, 7.8
7.3
– 7.
8
VII.
85 8687
-88
99-9
192
-93
94
Triu
nghi
uri a
sem
enea
Segm
ente
pro
porț
iona
le.
Teor
ema
lui T
hale
s.Tr
iung
hiur
i ase
men
ea. T
eore
ma
fund
amen
tală
a a
sem
ănăr
ii.Cr
iterii
de
asem
ănar
e a
triu
nghi
urilo
r. Cr
iterii
de
asem
ănar
e a
triu
nghi
urilo
r dre
ptun
ghic
e.Ap
licaț
ii al
e m
etod
ei tr
iung
hiur
ilor a
sem
enea
: luc
rare
pr
actic
ă.
14 1 1 2 3 2 1
111
7.1
– 7.
87.
1 –
7.8,
6.4
, 6.5
, 6.6
7.1
– 7.
87.
1 –
7.8
95 96 97 98
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
8.1,
8.4
, 8.5
8.1,
8.2
, 8.3
, 8.4
, 8.
8.1,
8.2
, 8.3
, 8.4
, 8.5
8.1,
8.2
, 8.6
, 8.7
, 8.8
, 8.
1, 8
.2, 8
.6, 8
.7
1.1
– 8.
88.
1 –
8.8
8.1
– 8.
8, 6
.5, 7
.48.
1 –
8.8
8.1
– 8.
8
VIII. 99
100-
101
102-
103
104-
105
106
107-
108
109
110
111
112
Rela
ții m
etric
e în
triu
nghi
ul d
rept
ungh
icPr
oiec
ții o
rtog
onal
e pe
o d
reap
tă.
Teor
ema
înăl
țimii,
teor
ema
cate
tei.
Teor
ema
lui P
itago
ra.
Elem
ente
de
trig
onom
etrie
în tr
iung
hiul
dre
ptun
ghic
.Va
loril
e sin
usul
ui, c
osin
usul
ui, t
ange
ntei
și c
otan
gent
ei
pent
ru u
nghi
urile
de
30˚,
45˚,
60˚.
Rezo
lvar
ea tr
iung
hiul
ui d
rept
ungh
ic.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
14 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
9.1,
9.2
, 9.3
9.1,
9.2
, 9.3
9.3,
9.4
, 9.5
, 9.6
, 9.7
, 9.8
9.3,
9.4
, 9.5
, 9.6
, 9.7
, 9.8
9.1,
9.2,
9.3,
9.5,
9.6
, 9.7
9.1,
9.2
, 9.4
, 9.6
, 9.8
9.1
– 9.
89.
1 –
9.8,
6.5
, 7.4
, 8.6
9.1
– 9.
89.
1 –
9.8
IX.
113
114
115-
116
117-
118
119-
120
121-
122
123
124
125
126
Patr
ulat
ere.
Pol
igoa
neN
oțiu
nea
de p
olig
on. N
oțiu
nea
de p
atru
late
r. El
emen
te.
Para
lelo
gram
ul. E
lem
ente
, pro
prie
tăți,
crit
erii.
Para
lelo
gram
e pa
rticu
lare
.Tr
apez
ul, e
lem
ente
, pro
prie
tăți,
crit
erii.
Lini
a m
ijloc
ie a
trap
ezul
ui.
Noț
iune
a de
pol
igon
regu
lat.
Elem
ente
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
14 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
10.1
, 10.
210
.1, 1
0.2,
10.
3, 1
0.5
10.1
, 10
.2,
10.3
, 10
.4,
10.5
, 10
.610
.1 –
10.
610
.1 –
10.
610
.1 –
10.
610
.1 –
10.
6
X. 127
128-
129
130-
131
132
133
134
135
136
Vect
ori î
n pl
an
Tran
slația
. Pro
prie
tăți.
Apl
icaț
ii.N
oțiu
nea
de v
ecto
r. M
odul
ul v
ecto
rulu
i.O
pera
ții c
u ve
ctor
i.Ap
licaț
ii a
le v
ecto
rilor
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
10 1 2 2 1 1 1 1 1
112
Clas
a a
IX-a
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nță
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i (M
odul
e)N
r. de
or
eDa
taO
bser
vații
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
; Pr
edar
e –
învă
țare
;Ev
alua
re.
Tota
l:
38 85 9 132
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
1.1,
1.2
, 1.6
, 1.7
1.1,
1.2,
1.4,
1.5,
1.6,
1.7
1.2,
1.3
, 1.4
, 1.6
, 1.7
1.2,
1.3
, 1.4
, 1.6
, 1.7
1.2,
1.3
, 1.4
, 1.6
, 1.7
1.2,
1.3
, 1.4
, 1.6
, 1.7
1.1
– 1
.71.
1 –
1.7
1.1
– 1.
7
I. 1 2 3 4-5
6-7 8 9 10 11
Mul
țimea
num
erel
or re
ale.
Rec
apitu
lare
şi c
ompl
etăr
iN
oțiu
nea
de n
umăr
real
. Rep
reze
ntar
ea n
umer
elor
real
e pe
ax
ă.
Mod
ulul
num
ărul
ui re
al. P
ropr
ietă
ți.O
pera
ții c
u nu
mer
e re
ale.
Pro
prie
tăți.
Pute
ri cu
exp
onen
t înt
reg.
Pro
prie
tăți.
Radi
cali
de o
rdin
ul d
oi. P
ropr
ietă
ți.
Rațio
naliz
area
num
itoril
or d
e fo
rma
a√b,
aä√b
. O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
11 1 1 1 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
2.1,
2.2
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
2.4,
2.5
, 2.6
, 2.7
2.4,
2.5
, 2.6
, 2.7
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7,
1.3
, 1.5
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7
II. 1213
-14
15-1
617
-18
19 20 21 22 23
Rapo
arte
alg
ebric
eN
oțiu
nea
de ra
port
alg
ebric
. Dom
eniu
l val
orilo
r adm
isibi
le.
Ampl
ifica
rea,
sim
plifi
care
a ra
poar
telo
r alg
ebric
e.O
pera
ții a
ritm
etice
cu
rapo
arte
alg
ebric
e.Id
entit
ate.
Tra
nsfo
rmăr
i ide
ntice
ale
exp
resii
lor a
lgeb
rice.
Dem
onst
rația
uno
r ide
ntită
ți sim
ple.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
12 1 2 2 2 1 1 1 1 1
113
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
3.1,
3.2
, 3.3
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.6
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.2
– 3.
63.
2 –
3.6
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.6
3.1
– 3.
63.
1 –
3.6,
1.4
, 1.5
, 2.5
3.1
– 3.
63.
1 –
3.6
III.
24 2526
-27
28-2
9
30-3
132
-33
34-3
5
36 37 38 39
Func
țiiN
oțiu
nea
de fu
ncție
. Mod
uri d
e de
finire
a u
nei f
uncț
ii.
Grafi
cul f
uncț
iei.
Tran
sfor
măr
i ale
gra
ficel
or.
Prop
rietă
ți ge
nera
le a
le fu
ncții
lor n
umer
ice.
Func
ția d
e gr
adul
II. C
azur
i par
ticul
are
ale
func
ției d
e
grad
ul II
.Gr
aficu
l fun
cție
i de
grad
ul II
. Pr
oprie
tățil
e fu
ncții
lor d
e gr
adul
II.
Sem
nul f
uncț
iei d
e gr
adul
II.
Func
ția f
: R →
R, f
(x) =
x3 . G
rafic
ul și
pro
prie
tățil
e ei
.O
ra d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
16 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
.VI
.VI
I.
4.1,
4.2
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.2,
4.3
, 4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.7
4.1
– 4.
74.
1 –
4.7,
3.4
, 3.5
4.1
– 4.
74.
1 –
4.7
IV.
40 4142
-43
44-4
5
46-4
7
48-4
950
-51
52-5
455
-56
57-5
859 60 61 62
Ecua
ții, i
necu
ații,
sist
eme
Noț
iune
a de
ecu
ație
. Tra
nsfo
rmăr
i ech
ival
ente
.Ec
uații
de
grad
ul II
cu
o ne
cuno
scut
ă.
Ecua
ții ra
ționa
le c
u o
necu
nosc
ută.
Sist
eme
de d
ouă
ecua
ții d
egr
adul
I cu
dou
ă ne
cuno
scut
e.
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or c
u aj
utor
ul e
cuaț
iilor
și/s
au a
l sis
tem
elor
de
ecua
ții.
Inec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
. In
ecua
ții d
e gr
adul
II c
u o
necu
nosc
ută.
M
etod
a in
terv
alel
or.
Sist
eme
de in
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă.
Inec
uații
rațio
nale
cu
o ne
cuno
scut
ă.O
ra d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
23 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1
114
I. II. III.
IV.
VI.
VII.
5.1,
5.2
, 5.8
, 5.9
, 5.1
05.
1, 5
.3, 5
.5, 5
.8, 5
.9, 5
.10
5.1,
5.3
, 5.5
, 5.8
, 5.9
, 5.1
05.
1, 5
.7, 5
.8, 5
.9, 5
.10
5.1
– 5.
105.
1 –
5.10
, 3.4
, 3.5
, 4.3
, 4.4
5.1
– 5.
105.
1 –
5.10
V.
63-6
465
-66
67-6
869
-70
71 72 73 74
Elem
ente
de
stati
stică
Mat
emati
că şi
de
teor
ia
prob
abili
tățil
or. E
lem
ente
de
calc
ul fi
nanc
iar
Cole
ctar
ea, o
rgan
izare
a și
repr
ezen
tare
a da
telo
r.N
oțiu
nea
de e
veni
men
t. Cl
asifi
care
a ev
enim
ente
lor.
Dete
rmin
area
pro
babi
lităț
ii pr
oduc
erii
unui
eve
nim
ent.
Elem
ente
de
calc
ul fi
nanc
iar.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
12 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
6.1,
6.2
, 6.3
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
, 6.5
, 6.7
6.2,
6.3
, 6.4
, 6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.2,
6.4
, 7.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.2,
6.4
, 7.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.1
– 6.
86.
1 –
6.8
6.1
– 6.
8
VI.
75 7677
-78
79 80 81 82 83
Cerc
ul. D
iscu
l. Re
capi
tula
re şi
com
plet
ări
Cerc
ul. D
iscul
. Ele
men
te.
Ung
hi la
cen
tru.
Ung
hi în
scris
în c
erc.
Arc
de
cerc
. Po
ziția
rel
ativă
a u
nei d
rept
e fa
ță d
e un
cer
c/di
sc. T
ange
nta
la c
erc.
Prop
rieta
tea
coar
delo
r ega
l dep
ărta
te d
e ce
ntru
l cer
culu
i.Pr
oprie
tate
a ar
celo
r cup
rinse
într
e co
arde
par
alel
e.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
9 1 1 2 1 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
7.1,
7.2
, 7.3
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
, 7.7
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
, 7.7
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
, 7.7
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
7.1
– 7.
77.
1 –
7.7
7.1
– 7.
7, 5
.2, 5
.3, 6
.47.
1 –
7.7
7.1
– 7.
7
VII.
8485
-86
87-8
990
-91
92 93 94 95 96 97
Arii
Noț
iune
a de
arie
. Aria
păt
ratu
lui,
drep
tung
hiul
ui.
Aria
triu
nghi
ului
. Aria
triu
nghi
ului
ech
ilate
ral. A
ria tr
iung
hiul
ui
drep
tung
hic
Aria
par
alel
ogra
mul
ui. A
ria ro
mbu
lui.
Aria
trap
ezul
ui.
Lung
imea
cer
culu
i. Ar
ia d
iscul
ui.
Aria
hex
agon
ului
regu
lat.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
14 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1
115
I. II. III.
IV. V. VI.
VII.
8.1,
8.2
, 8.4
8.3,
8.5
, 8.6
, 8.7
, 8.8
8.1,
8.2
, 8.4
8.3,
8.5
, 8.6
, 8.7
, 8.8
8.1
– 8.
88.
1 –
8.8
8.1
– 8.
8,5.
2,5.
3,7.
3, 7
.48.
1 –
8.8
VIII.
98-9
9 1
00-1
0110
2-10
310
4-10
510
610
710
810
9
Polie
dre
Prism
ă și
elem
ente
le e
i. Cl
asifi
care
. Ar
ia su
praf
ețel
or și
vol
umul
pris
mei
dre
pte.
Pira
mid
a și
elem
ente
le e
i. Cl
asifi
care
.Ar
ia su
praf
ețel
or și
vol
umul
pira
mid
ei re
gula
te.
Trun
chiu
l de
pira
mid
ă. E
lem
ente
. Cla
sifica
re.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
Eval
uare
sum
ativă
.
12 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
9.1,
9.2
, 9.3
, 9.4
9.4,
9.5
, 9.6
, 9.7
, 9.8
9.1,
9.2
, 9.3
, 9.4
9.4,
9.5
, 9.6
, 9.7
, 9.8
9.1,
9.2
, 9.3
, 9.4
9.1
– 9.
8
9.1
– 9.
89.
1 –
9.8
9.1
– 9.
8
IX.
110
111-
112
113-
114
115-
116
117
118-
119
120
121
122
Corp
uri d
e ro
tație
Noț
iune
a de
cili
ndru
. Cili
ndru
l circ
ular
dre
pt și
ele
men
tele
lu
i.
Aria
supr
afeț
elor
și v
olum
ul c
ilind
rulu
i circ
ular
dre
pt.
Noț
iune
a de
con
. Con
ul c
ircul
ar d
rept
și e
lem
ente
le lu
i.
Aria
supr
afeț
elor
și v
olum
ul c
onul
ui c
ircul
ar d
rept
.Tr
unch
iul d
e co
n ci
rcul
ar d
rept
. Ele
men
te.
Sfer
a și
corp
ul sf
eric
. Aria
supr
afeț
ei sf
eric
e. V
olum
ul c
orpu
-lu
i sfe
ric.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
13 1 2 2 2 1 2 1 1 1I. II. III
.IV
. V. VI.
VII.
Clas
a a
V-a:
2.1
– 2
.9Cl
asa
a VI
-a: 4
.1 –
4.7
Clas
a a
VII-a
: 1.1
– 1
.8,
2.1
– 2.
7, 3
.1 –
3.8
, 4.
1 –
4.8,
6.1
– 6
.9Cl
asa
a VI
II-a:
2.1
– 2
.6,
3.1
– 3.
8, 4
.1 –
4.9
, 5.
1 –
5.7,
7.1
– 7
.8, 8
.1 –
8.
8, 8
.1 –
9.8
, 10.
1 –
10.6
Clas
a a
IX-a
: 1.1
– 9
.8
123-
132
Reca
pitu
lare
fina
lă.
10
116
3.2.
2. P
roie
ctar
ea p
e un
ități
de în
văța
re
Capi
tolu
l/mod
ulul
pre
zent
at în
man
ual p
oate
fi co
nsid
erat
ca u
nita
te d
e în
văța
re. P
roie
ctar
ea p
e un
itate
de
învă
țare
poa
te fi
real
i-za
tă în
baz
a m
odel
ului
de
mai
jos.
În a
cest
tabe
l se
va p
reze
nta
sepa
rat fi
ecar
e le
cție
din
mod
ulul
/cap
itolu
l res
pecti
v.Cl
asa
a VI
II-a.
Uni
tate
a de
învă
țare
Șiru
ri. F
uncț
ii (1
2 or
e)
Indi
cato
riiN
r. cr
t.Su
biec
tul l
ecţie
iTi
pul
lecţ
iei
Tehn
olog
ii di
dacti
ceAc
tivită
ţi de
în
văţa
re
Recapitulare
Eval
uare
Forme
Metode
Resurse
În clasă
Acasă
Integrative
CSU
C
12 o
reIII
. Șiru
ri. F
uncț
iiI II III IV VI VII
3.1,
3.3
, 3.7
, 3.8
1.N
oțiu
nea
de și
r num
eric
. Mod
uri d
e de
finire
a u
nui ș
irI
3.2,
3.7
, 3.8
2.Cl
asifi
care
a șir
urilo
rII
3.1,
3.3
, 3.4
, 3.8
3.N
oțiu
nea
de fu
ncție
. Mod
uri d
e de
finire
a
func
ției
III
3.4,
3.5
, 3.6
, 3.7
4.Fu
ncția
de
grad
ul I.
Pro
prie
tăți.
Func
ția c
onst
antă
III
3.4,
3.5
, 3.6
, 3.7
5.Pr
opor
ționa
litat
ea d
irect
ăIII
3.4,
3.5
, 3.6
, 3.7
6.Pr
opor
ționa
litat
ea in
vers
ăI
3.4,
3.5
, 3.6
, 3.7
7.Pr
opor
ționa
litat
ea in
vers
ăII
3.1,
3.4
, 3.6
, 3.8
8.Fu
ncția
radi
cal.
Prop
rietă
ți Le
cție
mix
tă
3.1-
3.8
9.O
ră d
e sin
teză
IV
3.1-
3.8
10.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
IV
3.1-
3.8
11.
Eval
uare
sum
ativă
V
3.1-
3.8
12.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
IV
117
Not
e.
1. P
rofe
soru
l est
e în
dre
pt să
ela
bore
ze p
roie
ctar
ea te
mati
co-c
alen
daris
tică
sau
proi
ecta
rea
pe u
nita
te d
e în
văța
re la
disc
iplin
a de
st
udiu
.2.
Pro
iect
area
pe
unita
te d
e în
văța
re se
ela
bore
ază
în c
azul
func
ționă
rii u
nui m
anua
l sta
bil l
a di
scip
lina
resp
ectiv
ă și
poat
e fi
vala
bilă
pe
par
curs
ul în
treg
ii pe
rioad
e de
func
ționa
re a
ace
stui
man
ual.
Proi
ecta
rea
pe u
nita
te d
e în
văța
re, î
n fo
nd, r
epre
zintă
min
ipro
iect
e de
per
spec
tivă
ale
lecț
iilor
.3.
Pro
iect
area
pe
unita
te d
e în
văța
re n
u su
bstit
uie
proi
ectu
l did
actic
al l
ecție
i, de
oare
ce în
ace
astă
pro
iect
are
lipse
sc o
biec
tivel
e pr
econ
izate
pen
tru
a fi
atins
e în
cad
rul l
ecții
lor.
118
4. Care este specificul lecției de Matematică din perspectiva formării competențelor?
4.1. Cerințele față de o lecție de Matematică
Indiferent de tip, lecția de Matematică, pentru a fi o lecție modernă și adecvată învățământului formativ, trebuie să corespundă următoarelor caracteristici:
- să fie axată pe obiective şi, în final, pe formarea competenţelor;- să fie centrată pe elevi: activitatea profesorului în cadrul lecţiei constituie de
regulă 30%, iar activitatea elevilor – 70% din timpul ei;- să reflecte o materie de studiu raţional selectată de către profesor; - să fie axată pe metode optime de predare – învăţare – evaluare, corelate cu
mijloace eficiente de învăţământ;- să fie axată pe parteneriate de tipul profesor – elev, elev – elev; elev – profesor;- să fie fundamentată pe realizarea triadelor:- cunoştinţe – abilităţi – atitudini şi valori;- predare – învăţare – evaluare;- să fie bazată pe diversitatea formelor, metodelor şi tehnicilor de evaluare aplicate
în cadrul lecţiei;- să fie interesantă şi motivantă pentru elevi!
4.2. Clasificări ale tipurilor de lecții de Matematică
Din perspectiva formării competențelor, considerăm acceptabilă clasificarea tipuri-lor de lecții la Matematică conform criteriului competenței, criteriu care solicită anga-jarea unor priorităţi metodologice evidente la nivelul valorilor cognitive dobândite în cadrul lecţiei. [36]
Clasificarea tipurilor de lecții conform criteriului competenței:I. „lecţie de formare a capacităţilor de dobândire a cunoştinţelor” (vizează prioritar
formarea capacităților de dobândire a cunoștințelor);II. „lecţie de formare a capacităţilor de înţelegere a cunoştinţelor” (vizează prioritar
formarea capacităților de înțelegere a cunoștințelor dobândite anterior);III. „lecţie de formare a capacităţilor de aplicare a cunoştinţelor” (vizează prioritar
formarea capacităților de aplicare a cunoștințelor dobândite și înțelese anterior);IV. „lecţie de formare a capacităţilor de analiză-sinteză a cunoştinţelor” (vizează prio-
ritar formarea capacităților de analiză-sinteză a cunoștințelor dobândite, înțelese și aplicate anterior);
V. „lecţie de formare a capacităţilor de evaluare a cunoştinţelor” (vizează prioritar for-marea capacităților de evaluare critică a cunoștințelor dobândite, înțelese, aplicate și interpretate analitico-sintetic anterior).
119
Această clasificare a lecțiilor este valabilă pentru secvențe didactice extinse, de exemplu, în cadrul unei unități de învățare, al unui modul de studiu, al unui capitol.
Practica proiectării și dezvoltării curriculare a activității didactice confirmă impor-tanța lecţiei combinate (mixte), lecție centrată prioritar pe realizarea interdependen-ței obiective – conținuturi – metodologie – evaluare și a corelațiilor pedagogice pro-fesor – elev, elev – elev, elev – profesor. Însă, din perspectiva formării competențelor, lecţia combinată (mixtă) trebuie să dispară din practica educațională.
Fiecare dintre cele 5 tipuri de lecții și lecția combinată (mixtă) cuprind un ansamblu de secvențe – componentele structurale ale lecției. Vom utiliza Modelul secvențial de structurare a lecțiilor de Matematică:
I. Lecția de formare a capacităților de dobândire a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă; reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.3. Predarea-învățarea materiei noi.4. Consolidarea materiei și formarea capacităților (la nivel de reproducere).5. Evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.
II. Lecția de formare a capacităților de înțelegere a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă.3. Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.4. Consolidarea materiei și formarea capacităților:
a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv.
5. Evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.
III. Lecția de formare a capacităților de aplicare a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă.3. Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.4. consolidarea materiei și formarea capacităților:
120
a) la nivel productiv;b) la nivel de transferuri în alte domenii.
5. Evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.
IV. Lecția de formare a capacităților de analiză-sinteză a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă.3. Analiza-sinteza materiei teoretice studiate (sistematizarea, clasificarea, generali-
zarea).4. Analiza-sinteza metodelor de rezolvare studiate:
a) la nivel productiv, cu transferuri în alte domenii;b) la nivel creativ.
5. Evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.
V. Lecția de formare a capacităților de evaluare a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Instrucțiuni despre realizarea lucrării de evaluare.3. Realizarea lucrării de evaluare (testul, lucrarea practică, lucrarea de laborator,
proiectul, autoevaluarea etc.).4. Bilanțul lecției. Concluzii. 5. Anunțarea temei pentru acasă.
Lecțiile I-a – V-a formează sistemul de lecții clasificat după criteriul competenței. La necesitate, profesorul poate realiza și lecții combinate (mixte).
*. Lecția mixtă se structurează astfelSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă. Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.3. Predarea – învățarea materiei noi.4. Consolidarea materiei și formarea capacităților:
a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv, cu unele transferuri în alte domenii.
121
5. Evaluarea: a) curentă, fără aprecieri cu note pentru materia nouă;b) sumativă, cu aprecieri cu note pentru materia studiată anterior.
6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.
Observații:1. În structura lecției, secvențele „Bilanțul lecției” și „Anunțarea temei pentru acasă”
pot fi, la dorință, schimbate locurile între ele.2. În funcție de necesitate, verificarea temei pentru acasă poate fi a) cantitativă și
b) calitativă.Sunt aplicabile următoarele procedee de verificare a temei pentru acasă:realizarea unei lucrări de sine stătător, pe 5-7 minute, cu probleme similare cu
cele propuse pentru rezolvare acasă;realizarea unei lucrări de sine stătător, pe 5-7 minute, cu aceleaşi probleme care
au fost propuse pentru rezolvare acasă;discutarea numai a răspunsurilor la problemele rezolvate acasă;discutarea răspunsurilor la întrebarea Aveți întrebări la tema pentru acasă?; analiza colectivă (frontală) a rezolvărilor problemelor semnificative din tema
pentru acasă;schimbul caietelor;analiza metodelor aplicate în cadrul rezolvării exerciţiilor şi problemelor date
pentru acasă;verificarea reciprocă etc.
3. În cadrul secvenței Reactualizarea cunoştinţelor şi a capacităţilor prin intermediul unui sistem de întrebări și răspunsuri, elevii realizează o trecere organică la studie-rea materiei noi sau la consolidarea materiei studiate la lecțiile precedente.
4. Predarea – învățarea materiei noi se face prin metode optimale pentru clasa respec-tivă și, de regulă, prin crearea situației-problemă, fiind o continuare logică a activită-ților de la secvența precedentă.
5. Consolidarea materiei şi formarea capacităţilor pe parcursul realizării acestui sistem de lecții se efectuează pe următoarele niveluri (vezi structurile tipurilor de lecții de mai sus):a) nivelul reproductiv;b) nivelul productiv;c) transferuri în alte domenii;d) nivelul creativ.
6. Evaluarea cu note a rezultatelor școlare ale elevilor se va efectua, de regulă, în ca-drul lecțiilor de tipurile III-IV-V și la lecția mixtă (vezi structurile acestor tipuri de lecții).
122
7. Bilanţul lecţiei va conține: a) aspectul cantitativ și b) aspectul calitativ. Prin aspectul cantitativ se efectuează o sinteză a materiei studiate în cadrul lecției (de regulă, prin intermediul conversației, care include 3-4 întrebări de sinteză). În cadrul aspectului calitativ se formulează concluziile despre atingerea obiectivelor lecției și se evaluea-ză activitățile, în ansamblu, la care au luat parte elevii la lecție și unii elevi, în parti-cular.
8. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va ține cont de faptul că în agenda elevului sau pe caietul acestuia trebuie să fie prezente răspunsuri concrete la urmă-toarele întrebări:1. Ce trebuie de învăţat?2. Ce trebuie de recapitulat?3. Ce trebuie de rezolvat? Observație. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va oferi și unele explicații
succinte despre rezolvările posibile ale problemelor propuse. Important. Profesorul va respecta cerinţa referitoare la volumul temei pentru acasă
la Matematică: sarcinile date pentru acasă nu trebuie să constituie mai mult de 30% din numărul celor rezolvate în cadrul lecției.
Profesorul de Matematică are dreptul să utilizeze și alte modalități de structurare a lecției. De exemplu, lecția de Matematică poate fi structurată și utilizând:
• Cadrul ERRE, care include secvențele: 1. evocarea;2. realizarea sensului;3. reflecţia;4. extinderea.
Corelarea dintre Modelul secvențial și Modelul Cadrul ERRE se reprezintă astfel:I. Evocare:
- Salutul. Momentul organizatoric. Captarea inițială a atenției elevilor;- Formularea obiectivelor (în corelare cu tipul lecției);- Verificarea temei pentru acasă;- Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.
II. Realizarea sensului (această secvență este prezentă doar atunci când va fi studiată materia nouă în cadrul lecției):- Predarea – învățarea materiei noi (doar în cazul studierii materiei noi);
III. Reflecție:- Consolidarea materiei și formarea capacităților;- Aplicații;- Evaluarea atingerii obiectivelor preconizate;- Bilanțul lecției. Concluzii;- *Tema pentru acasă (în cazul lipsei secvenței Extinderea).
123
IV. Extindere/extensie:- Aplicații extinse. Conexiuni intra- și interdisciplinare. Realizarea proiectelor,
investigațiilor etc.- Prezentarea temei pentru acasă.
Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă. Este important să utilizăm corect Cadrul ERRE pentru structurarea lecției. [5]
Un model funcțional și eficient de structurare a lecției poate fi• modelul celor 5E, care include secvențele:
1. Angajarea (Engage);2. Explorarea (Exploration);3. Explicarea (Explain);4. Elaborarea (Elaborate);5. Evaluarea (Evaluate). [5].
Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă. Detalii despre aplicarea acestor modele şi alte modele posibile de structurare a lecțiilor de Matematică sunt prezentate în [5].
4.3. Metodologia elaborării unui proiect didactic la Matematică
Elaborarea proiectului didactic la Matematică se fundamentează pe următorul algoritm:Profesor ______________________________Disciplina de învățământ ________________Clasa ________________________________Data ________________________________Numărul lecției în sistemul de lecții (conform proiectării de lungă durată) _________ (De exemplu, 8/56, adică este lecția a 8-a din sistemul de lecții la capitolul/modulul/unitatea de învățare și lecția a 56-a din sistemul general de lecții la clasa respectivă) _________________________Numărul lecției conform orarului __________________________________________Durata lecției __________________________________________________________Capitolul/Modulul/Unitatea de învățare ____________________________________Subiectul lecției ________________________________________________________Unitățile de competență _________________________________________________
124
Obiectivele lecției: La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 _________________________________________________________________O2 _________________________________________________________________O3 _________________________________________________________________O4 _________________________________________________________________etc.
Tipul lecției ____________________________________________________________Tehnologii didactice:
a) Forme ____________________________________________________________b) Metode __________________________________________________________c) Mijloace de învățământ _____________________________________________
Evaluarea: a) Tipul evaluării _____________________________________________________b) Forme, metode, tehnici de evaluare; produse ___________________________
Scenariul lecției:
Notă. Scenariul lecției poate fi prezentat atât în formă tabelară, cât și în formă textuală.
Tabelul poate fi structurat în diverse moduri. a)
Nr.crt.
Secvențelelecției
Timp Obiectivelelecției
Activitateaprofesorului
Activitateaelevului
Evaluarea(de proces)
1.2.
etc.
b) Nr.crt.
Secvențelelecției Timp Obiectivele
lecțieiStrategiadidactică
Metode, procedee
Evaluarea(de proces)
1. 2.
etc.
Notă. În cazul prezentării textuale, scenariul se prezintă în formă de text, evidențiind secvențele structurale ale lecției și activitățile preconizate în cadrul acestor secvențe. Se va indica asupra cărora dintre obiective se va lucra la secvența respectivă și cât timp se preconizează pentru această secvență.
125
4.4. Exemplu de proiect didactic la Matematică
Profesor: Laşcu AlionaDisciplina de învățământ: MatematicăClasa: a VIII-aData:12.09Numărul lecției în modul (conform proiectării didactice de lungă durată): 6/6Durata lecției: 45 min.Capitolul/Unitatea de învățare: Numere reale. Recapitulare şi completări.Subiectul lecției: Puteri cu exponent întreg.
Unități de competență:1.2. Recunoaşterea, în diverse enunțuri, și exemplificarea, în diverse contexte, a
numerelor reale, a puterilor, a radicalilor și proprietăților acestora;1.5. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea algoritmilor
pentru optimizarea calculului cu numere reale;1.6. Operarea cu numere reale pentru efectuarea calculelor cu numere reale în di-
verse contexte, utilizând proprietățile operațiilor studiate și ale semnificațiilor parantezelor.
Obiectivele lecției: La finele lecției, elevii vor fi capabili:O.1. – să recunoască în diverse contexte puterile cu exponent întreg şi proprietăţile
studiate ale acestora;O.2. – să formuleze oral şi în scris regulile de calcul cu puteri cu exponent întreg şi să
le exemplifice în diverse contexte;O.3. – să reprezinte numerele reale în diverse forme utilizând puterile;O.4. – să opereze cu numere reale la efectuarea calculelor în contexte variate, utili-
zând proprietăţile puterilor;O.5. – să manifeste independenţă în gândire şi acţiune privind aplicarea în rezolvări
de probleme a puterilor cu exponent întreg. Tipul lecției: Lecție de formare a capacităților de aplicare a cunoștințelor.Tehnologii didactice:
1. Forme:- frontală;- în perechi;- individual;
2. Metode: - metoda exercițiului;- metoda lucrului cu manualul;- algoritmizarea;
126
3. Mijloace de învățământ:- I. Achiri, A. Braicov, O. Șpuntenco. Matematică. Manual. Clasa a VIII-a.
Ed. Prut Internațional. Chișinău, 2013;- Prezentarea Power Point (PPT);- Computerul;- Proiectorul sau tabla interactivă;- Fișe cu probleme, fișe cu cuvinte pentru obținerea regulilor de calcul cu
puteri, posterul cu sarcini.Evalurea: formativă, evaluare orală și în scris, evaluare reciprocă; produse: problemă rezolvată, răspuns oral, exercițiu rezolvat, poster; lucrare independentă cu aprecieri cu note.
127
Scen
ariu
l lec
ției
Nr.
crt.
Secv
ențe
lele
cție
iTi
mpu
lO
biec
tivel
eAc
tivita
tea
prof
esor
ului
Activ
itate
a el
evilo
rEv
alua
rea
1.2.
3.4.
5.6.
7.M
omen
t or
gani
zato
ric1
min
.Sa
lutu
l. Ve
rifica
rea
preg
ătirii
ele
vilo
r pe
ntru
lecț
ie.
Salu
tă p
rofe
soru
lVi
zual
Verifi
care
a te
mei
pen
tru
acas
ă
5min
.–
Care
a fo
st te
ma
pent
ru a
casă
?De
învă
țat:
§1,
secv
ența
1.2
, cap
i-to
lul 2
.De
rezo
lvat
: Ex.
11, 1
7, p
ag. 2
5.
La p
anou
l de
anun
țuri,
ele
vul
resp
onsa
bil
afișe
ază
tem
a pe
ntru
aca
să
și el
evii
se
auto
verifi
că.
– Ce
într
ebăr
i sun
t la
tem
a pe
ntru
ac
asă?
Dacă
est
e ca
zul,
elev
ii fo
rmul
ează
în
treb
ări.
Reac
tual
izare
a cu
noști
nțel
or
și ca
paci
tățil
or
9 m
in.
Se a
nunț
ă su
biec
tul ș
i obi
ectiv
ele
lecț
iei
– se
pro
iect
ează
pe
ecra
n pr
ezen
tare
a PP
T (S
lide1
)
Elev
ii de
schi
d ca
iete
le și
not
ează
da
ta, „
Tem
a în
cla
să“
și su
biec
tul
lecț
iei:
Pute
ri cu
exp
onen
t înt
reg.
O
3Ac
tivita
te fr
onta
lăSe
pro
iect
ează
pe
ecra
n sa
rcin
ile (S
lide
2, 3
, 4):
1. S
crie
ți în
form
ă de
put
ere
cu b
aza
10:
1000
00 =
0,
01 =
10
0 =
0,00
0001
=
0,00
01 =
0,
0000
0000
1 =
Elev
ii di
n râ
ndul
I ră
spun
d or
al în
la
nț, u
n el
ev a
jută
la n
otar
ea p
e ta
blă
a ră
spun
suril
or.
Eval
uare
oral
ă
2. S
crie
ți nu
mer
ele
sub
form
ă ze
cim
ală:
32,4
8 · 1
03 =
401
· 10–2
=
0,78
· 10
2 =
94,6
· 10
–4 =
128
O4
3. C
alcu
lați
oral
:10
6 · 1
0–8 =
(10–1
)–3 =
10
–2
102
=
102 · 1
0–3 · 10
=
Elev
ii di
n râ
ndul
al I
I-lea
răsp
und
în
lanț
.Ev
alua
reor
ală
4. C
alcu
lați:
1.
25
(2–3
· 16)
–4
2. 620
· 2–1
2
28 · 3
18
3. 6
· 10
–5 ·
1,2
· 103
Patr
u el
evi d
in râ
ndul
al I
II-le
a, la
ta
blă,
con
com
itent
rezo
lvă
sarc
ina,
ce
ilalți
scriu
în c
aiet
e.
1.
25
(2–3
· 16)
–4 =
29
2. 620
· 2–1
2
28 · 3
18 =
9
3. 6
· 10
–5 ·
1,2
· 103 =
7,2
· 10
–2
Eval
uare
re
cipr
ocă
O2
Activ
itate
în g
rup.
For
mul
ați r
egul
ile d
e ca
lcul
cu
pute
riFi
ecar
e gr
up d
e 4
pers
oane
(s
e gr
upea
ză e
levi
i de
la d
ouă
mes
e ve
cine
) prim
ește
fișe
cu
cuvi
nte,
pe
care
tre
buie
să le
ara
njez
e în
ord
ine
pent
ru a
obț
ine
o re
gulă
de
calc
ul.
Răsp
unsu
ri or
ale
4.Co
nsol
idar
ea
mat
erie
i și
form
area
ca
paci
tățil
or
10 m
inO
1,O
2,O
3,O
4, O
5
O1,
O4,
O5
Activ
itate
fron
tală
Regu
li de
cal
cul c
u pu
teri
întâ
lnim
nu
doar
la M
atem
atică
, dar
și la
alte
disc
i-pl
ine.
La
care
disc
iplin
e? În
cad
rul c
ărei
te
me
ați u
tiliza
t put
erile
?Si
gur,
ca e
xem
plu
ne p
ot se
rvi t
rans
-fo
rmăr
ile în
uni
tățil
e Si
stem
ului
In
tern
ațio
nal.
- Ca
re su
nt u
nită
țile
fund
amen
tale
ale
Si
stem
ului
Inte
rnaț
iona
l?-
Care
sunt
pre
fixel
e pe
ntru
mul
tiplii
un
ei u
nită
ți de
măs
ură
și ce
sem
nific
ă fie
care
?-
Care
sunt
pre
fixel
e pe
ntru
subm
ulti-
plii
unei
uni
tăți
de m
ăsur
ă și
ce se
m-
nific
ă fie
care
?
Elev
ii ră
spun
d la
într
ebăr
i.Ev
alua
re o
rală
129
Prop
une
elev
ilor u
rmăt
oare
le p
robl
eme:
1. D
iam
etru
l une
i glo
bule
roșii
din
sân-
ge e
ste
de 0
,007
mm
. Tra
nsfo
rmaț
i în
m (S
I) di
amet
rul u
nei g
lobu
le ro
șii
și sc
rieți
rezu
ltatu
l în
form
a a
· 10n ,
unde
0 <
a <
1 și
n
Z.
Câte
un
elev
rezo
lvă
la ta
blă,
rest
ul
elev
ilor s
criu
în c
aiet
e.0,
007
mm
=
7 · 1
0–3 m
m7
· 10–3
mm
=
7 · 1
0–3 ·
10–3
m =
0,7
· 10
–5 m
.
Prob
lem
e re
zolv
ate
2. V
olum
ul u
nei p
iese
din
dia
man
te
este
de
0,00
12 m
3 (d
ensit
atea
3,4
5 kg
/dm
3 ). De
term
inaț
i mas
a ac
este
i pi
ese.
Tran
sfor
măr
i:0,
0012
m3 =
12 ·
10–4
m3 =
1210
-4 · 1
03
= 12
· 10
–1 d
m3 .
m =
V ·
= 12
10–1
dm
3 · 3
,45
kg/d
m3
= 4,
14 k
g3.
Pen
tru
încă
lzire
a zil
nică
a u
nei c
a-m
ere
pe ti
mp
de ia
rnă
este
nec
esar
ă ca
ntita
tea
de c
ăldu
ră Q
= 0
,25·
106 kJ
. Câ
ți m
3 de
gaz n
atur
al se
con
sum
ă zil
nic,
dac
ă ra
ndam
entu
l sob
ei e
ste
de 6
0% și
se șt
ie c
ă pu
tere
a ca
loric
ă a
gazu
lui n
atur
al e
ste
de 4
,4 ·
107 J/
kg
(rand
amen
tul s
e ca
lcul
ează
dup
ă
form
ula
η =
Qu
m·
q).
Tran
sfor
măm
:0,
25·1
06 kJ =
0,2
5·10
6 ·103
J =
0,25
·109 J
η =
Qu
m·
q ⇒m
=
Qu
η· q
=0,
25·1
09 J0,
6 · 4
,4 ·
107 J/
kg=
0,09
469·
102 k
g
d 9
,5 k
g.
V =
m =
9,
5 kg
0,7
kg/m
3 d
13,6
m3
de g
az.
Activ
itate
în p
erec
hiPe
ecr
an se
pro
iect
ează
pro
blem
ele
Prob
lem
a 1:
Inim
a om
ului
face
apr
oxim
ativ
5000
de
bătă
i înt
r-o o
ră.
a) C
alcu
lați
num
ărul
de
bătă
i tim
p de
o
zi, ști
ind
că zi
ua d
urea
ză 2
4 de
ore
.b)
Cal
cula
ți nu
măr
ul d
e bă
tăi a
le in
i-m
ii un
ui o
m c
are
a tr
ăit 8
0 d
e an
i (c
onsid
eraț
i anu
l cu
365
de zi
le și
sc
rieți
rezu
ltatu
l în
form
a a
· 10n ,
unde
1 <
a <
10
și nZ
∈).
Disc
ută
în p
erec
hi și
rezo
lvă
prob
le-
mel
e pr
opus
e:5
· 103 · 2
4 =
1,2
· 105
bătă
i pe
zi.1,
2 · 1
05 · 36
5 · 8
0 =
3,50
4 · 1
09 bă
tăi
a in
imii
a un
ui o
m c
are
a tr
ăit 8
0 an
i.
Prob
lem
e re
zolv
ate
130
Prob
lem
a 2:
Ener
gia
cine
tică
a un
ui a
utot
urism
, la
o vi
teză
de
72 k
m/h
est
e eg
ală
cu 3
00 k
J. De
term
inaț
i mas
a în
tone
a v
ehic
ulul
ui
EmV
c�
� ��� ��
2
2.
Tran
sfor
măr
i :30
0 kJ
= 3
· 10
2 · 10
3 J =
3 ·
105 J.
Vkm
hms
ms
��
� ��
72
72
10
36
10
20
3 2/
/.
EmV
mE V
cc
��
��
2
22
2
23
10
210
15
10
5
2
3��
��
��
��
J ms
kg,
15
10
10
15
33
,,
.�
��
�t
t
10 m
in.
Activ
itate
în g
rup
(4 p
erso
ane
în g
rup
– se
gru
peaz
ă el
evii
din
dou
ă bă
nci
veci
ne).
Elev
ii pr
imes
c câ
te u
n po
ster
cu
două
pr
oble
me
prop
use
spre
rezo
lvar
e.Gr
upur
ile: 1
și 6
1.
Cre
ieru
l um
an e
ste
alcă
tuit
din
100
mili
arde
de
neur
oni.
Înce
pând
cu
vârs
ta d
e 30
de
ani,
aces
t num
ăr d
e ne
uron
i sca
de c
u ap
roxi
mati
v 10
0 00
0 pe
zi. C
âți n
euro
ni a
re u
n om
de
40 d
e an
i (se
con
sider
ă an
ul
cu 3
65 d
e zil
e și
rezu
ltatu
l scr
ieți-
l în
form
a ze
cim
ală,
apo
i în
form
a a
× 10
n , und
e 1
< a
< 10
,aQ
∈ șinZ
∈).
Disc
ută
și sc
riu re
zolv
ările
pe
post
ere.
100
mili
arde
= 1
011 ne
uron
i10
5 · 36
5 · 1
0 =
365
· 106
neur
oni
scad
în 1
0 an
i.10
11 –
365
· 106 =
996
35 ·
106 =
9,
9635
· 10
10 ne
uron
i.
Eval
uare
re
cipr
ocă
într
e ec
hipe
(sch
imb
de p
oste
re și
ve
rifica
re)
131
2. P
entr
u în
călzi
rea
unei
cam
ere
într
-o zi
de
iarn
ă es
te n
eces
ară
canti
tate
a de
că
ldur
ă eg
ală
cu 3
00 M
J. De
ce
mas
ă de
lem
ne u
scat
e es
te n
evoi
e pe
ntru
ac
east
a? C
ompa
rați-
o cu
mas
a de
pe-
trol
cu
care
pot
fi în
locu
ite le
mne
le.
(Put
erea
cal
oric
ă a
lem
nelo
r usc
ate
este
de
q
= 1
· 107 J
/kg,
iar a
pet
rolu
lui
q =
4,4
· 107 J
/kg,
iar p
uter
ea c
alor
ică
se c
alcu
leaz
ă du
pă fo
rmul
a q
Q m=
.)
Tran
sfor
măr
i: 30
0 M
J = 3
· 10
8 J
qQ m
mQ q
��
�.
mkg
mkg
lemneuscate
petrol
�� �
�
�� �
�
310
110
30
310
44
10
68
8 7
8
7,
,.
Prob
lem
e re
zolv
ate
Grup
urile
: 2 și
41.
Ara
njaț
i în
ordi
nea
cres
căto
are
a
mas
ei a
tom
ilor u
rmăt
oare
le
elem
ente
chi
mic
e:
• Al
umin
iu (A
l):
44
8 · 1
0–28 k
g•
Heliu
(He)
:
6,64
· 10
–27 k
g •
Fier
:
9,28
· 10
–26 k
g•
Aur (
Au):
3,
27 ·
10–2
5 kg.
He, A
l, Fe
, Au.
1. V
iteza
med
ie a
lum
inii
este
de
30
0 00
0 km
într
-o se
cund
ă. L
umin
a es
te a
lcăt
uită
din
foto
ni și
un
an-
lum
ină
core
spun
de d
istan
ței p
ar-
curs
e de
unu
l din
tre
aceș
ti fo
toni
tim
p de
un
an (3
65 d
e zil
e).
a) C
âți k
m îi
cor
espu
nd u
nui a
n-lu
min
ă?
Scrie
ți re
zulta
tul î
n fo
rma
a ×
10n ,
unde
1 <
a <
10,
aQ
∈ și
nZ
∈.
V =
3 · 1
05 km
/s;
1 an
lum
ină
= 3·
105 k
m/s
· 36
00 s
· 24
ore
· 36
5 zi
le =
946
08 ·
108 k
m/
an =
9,4
608
·1012
km
;
ts v
kmkm
s�
��
��
1496
10
310
498
6
8
5
,
/,
498,
6 se
cund
e 8,
3 m
inut
e.
132
b) D
istan
ța d
e la
cen
trul
Soa
relu
i la
cent
rul P
ămân
tulu
i est
e de
1,
496
·108 k
m. Î
n câ
te m
inut
e o
rază
de
lum
ină
emisă
de
Soar
e aj
unge
la
Păm
ânt?
Gr
upur
ile: 3
și 5
1. 1
m3 d
e ap
ă de
mar
e co
nțin
e
0,00
4 m
g de
aur
. Pe
Păm
ânt,
volu
mul
to
tal a
l ape
lor e
ste
apro
xim
ativ
1,
3 · 1
06 km
3 . Cal
cula
ți câ
te k
g de
aur
co
nțin
ape
le m
ărilo
r și a
le o
cean
elor
de
pe
Păm
ânt.
Tran
sfor
măr
i: 1,
3 · 1
06 km
3 = 1
,3 ·
1015
m3 ;
0,00
4 m
g =
4 · 1
0–3 m
g;1,
3 · 1
015 m
3 · 4
· 10
–3 m
g =
5,
2 · 1
012 m
g =
5,2
·1012
·10–6
mg
= 5,
2 · 1
06 kg.
2. S
avan
ții u
tilize
ază
în c
erce
tăril
e sa
le
unită
ți de
măs
ură
pent
ru c
orpu
ri ex
trem
de
mic
i. De
exe
mpl
u,
1
nano
met
ru (n
m) =
10–9
m,
ia
r 1 m
icro
met
ru (m
) = 1
0–6 m
,
1 pi
com
etru
(pm
) = 1
0–12 m
.Vi
rusu
l SID
A ar
e lu
ngim
ea d
e ap
roxi
mati
v 12
0 nm
, dia
met
rul u
nui
fir d
e pă
r est
e de
apr
oxim
ativ
8 pm
, ia
r în
mic
roel
ectr
onic
ă în
zile
le n
oast
re
cel m
ai m
ic tr
anzis
tor a
re lu
ngim
ea
de 0
,065
m. C
ine
dint
re a
cest
ea a
re
dim
ensiu
nea
cea
mai
mic
ă?
Viru
sul S
IDA:
12
0 nm
= 1
20 ·
10–9
m.
Firu
l de
păr:
8 ·1
07 pm
· 10
–12 m
= 8
·10–5
m.
Tran
zisto
r:0,
065 m
= 0
,065
· 10
–6 m
=
65 ·1
0–3 ·
10–6
= 6
5 · 1
0–9 m
.Tr
anzis
toru
l are
lung
imea
cea
mai
m
ică.
5.Ev
alua
rea
10 m
in.
O1,
O3,
O4,
O5
Lucr
are
inde
pend
entă
1. În
ast
rono
mie
, 1 p
arse
c es
te u
ni-
În a
stro
nom
ie, 1
par
sec
este
uni
-1
pars
ec e
ste
uni-
tate
a de
măs
ură
pen
tru
dist
anțe
fo
arte
mar
i înt
re a
ștri.
1 p
arse
c es
te
apro
xim
ativ
egal
cu
3,08
6 · 1
016 m
. Co
mpl
etaț
i ega
litat
ea:
2
pars
ec =
……
.. km
Elev
ii pr
imes
c fiș
a cu
sarc
inile
pr
opus
e și
tabe
lul d
e ră
spun
suri.
Vo
r rez
olva
inde
pend
ent s
arci
nile
și
vor c
olor
a ca
seta
cor
espu
nzăt
oare
ră
spun
sulu
i cor
ect.
Lucr
are
scris
ă
133
2. M
asa
unui
ato
m d
e Ca
rbon
est
e de
1,
99 ·
10–2
6 kg
. Cal
cula
ți m
asa
în
gram
e a
unei
mos
tre
de a
tom
i de
Carb
on, c
e co
nțin
6,0
22 ·
1020
atom
i. Sc
rieți
rezu
ltatu
l în
form
a a
· 10n ,
unde
1 <
a <
10 și
nZ
∈.
3. M
asa
unui
ato
m d
e cu
pru
este
de
1,05
· 10
–30 k
g. C
âți a
tom
i de
cupr
u su
nt în
147
g d
e cu
pru?
Scr
ieți
rezu
l-ta
tul î
n fo
rma
a · 1
0n , und
e 1
< a
< 10
și nZ
∈.
4. V
iteza
lum
inii
este
de
1,08
·10 9
km
/h.
Tran
sfor
maț
i vite
za în
m/s
(SI)
și sc
rieți
rezu
ltatu
l în
form
a a
· 10n ,
unde
1 <
a <
10
și nZ
∈.
6.Bi
lanț
ul
lecț
iei
3 m
in.
O2
O4
Bila
nţul
can
titati
v:-
Ce a
m re
aliza
t as
tăzi
la le
cție
?El
evii
răsp
und
oral
.
Răsp
unsu
ri or
ale
- Co
mpl
etaț
i fra
zele
:1.
A în
mul
ți cu
10n în
seam
nă a
mut
a vi
rgul
a cu
… p
oziți
i la
…2.
A în
mul
ți cu
10–n
înse
amnă
a m
uta
virg
ula
cu …
poz
iții l
a …
3. D
acă
înm
ulțe
sc u
n nu
măr
cu
103 ,
atun
ci o
bțin
un
rezu
ltat d
e …
ori
mai
…
ca
num
ărul
iniți
al.
4. D
acă
înm
ulțe
sc u
n nu
măr
cu
10–2
, at
unci
obț
in u
n re
zulta
t de
… o
ri m
ai
... c
a nu
măr
ul in
ițial
.Bi
lanţ
ul c
alita
tiv:
- Se
det
erm
ină
care
obi
ectiv
e au
fost
re
aliza
te la
lecț
ie.
- Se
form
ulea
ză c
oncl
uzii
priv
ind
activ
i-ta
tea
clas
ei d
e el
evi î
n an
sam
blu
și a
unor
ele
vi în
par
ticul
ar.
134
7.Te
ma
pent
ru
acas
ă2
min
.1.
De
reca
pitu
lat:
Capi
tolu
l 2, §
1,
secv
ența
1.2
.2.
De
rezo
lvat
: pag
. 24,
ex.
9; p
ag. 2
6,
ex. 2
0.M
ulțu
mes
c pe
ntru
lecț
ie.
La re
vede
re!
Not
ează
în a
gend
e sa
u în
cai
ete.
La re
vede
re!
135
4.5. Metodologia evaluării (autoevaluării) lecției asistate (realizate)
Lecția asistată (realizată) poate fi analizată și evaluată (аutoevaluată) în baza urmă-toarei scheme:
Schema evaluării (autoevaluării) lecției (SEL)I. Determinarea aspectelor fundamentale ale lecției:
1.1. locul lecției asistate (realizate) în sistemul de lecții la tema (modulul, unitatea de învățare, capitolul) respectivă (respectiv);
1.2. obiectivele lecției, corelate cu unitățile de competență selectate;1.3. tipul și structura lecției.
II. Analiza structurală a fiecărei secvențe (etape) a lecției:2.1. determinarea problemei didactice care se rezolvă la etapa respectivă a lecției;2.2. determinarea obiectivelor lecției asupra cărora se lucrează la etapa respectivă;2.3. selectarea materiei de studiu și repartizarea ei pe etape;2.4. evidențierea formelor, metodelor și procedeelor aplicate de către profesor la
fiecare etapă:a) formele de organizare a activităților elevilor (frontal, pe grupuri, individual);b) metodele și procedeele de predare – învățare;c) tipul, formele și metodele de evaluare a rezultatelor școlare ale elevilor;
2.5. realizarea feedbackului (evaluarea de proces) la fiecare secvență a lecției.III. Analiza particularităților didactice şi psihologice ale lecției (evaluarea activității
cadrului didactic):3.1. Sunt oare determinate și formulate corect obiectivele lecției? Sunt oare corect
corelate obiectivele cu unitățile de competență respective?3.2. Corespunde oare tipul lecției obiectivelor preconizate?3.3. Sunt oare corect determinate problemele didactice, care se rezolvă la etapele
respective ale lecției?3.4. Este oare argumentată selectarea materiei de studiu (conținutul științific) pen-
tru această lecție (corespunde oare conținutul lecției obiectivelor ei; este oare suficient volumul materiei de studiu pentru lecție)?
3.5. Sunt oare admise greșeli științifice în procesul lecției?3.6. Corespund oare formele de organizare a activităților elevilor, metodele și pro-
cedeele de predare – învățare – evaluare obiectivelor și conținutului lecției? Originalitatea formelor, metodelor și procedeelor aplicate în cadrul lecției.
3.7. Cum este realizată predarea – învățarea – evaluarea materiei noi (noțiunile, re-gulile, legitățile, formulele noi) (în cazul când aceasta este prezentă în cadrul lecției)?
3.8. Ce particularități specifice ale parteneriatelor profesor – elev, elev – elev, elev – profesor au fost evidențiate în cadrul lecției (adaptarea profesorului la
136
particularitățile de vârstă ale elevilor; abaterile nejustificate de la subiectul lec-ției; emoțiile pozitive și negative ale elevilor; captarea atenției elevilor pe par-cursul lecției; limbajul utilizat de către cadrul didactic; stimularea activităților de învățare a elevilor; folosirea ideilor și propunerilor elevilor ce vizează conți-nutul și desfășurarea lecției; motivația învățării; menținerea interesului elevilor pentru lecție)?
3.9. Mijloacele de învățământ (manualul, materialele și mijloacele didactice) au fost utilizate oportun și în corelare cu obiectivele lecției?
3.10. Care a fost ritmul lecției (sunt oare rețineri nejustificate în timpul lecției)? 3.11. Volumul temei pentru acasă, concretizarea și diferențierea ei. 3.12. În ce mod s-a realizat bilanțul lecției (cantitativ și calitativ)?
IV. Concluzii generale cu referire la lecție:1.1. Concluzii despre organizarea și desfășurarea lecției.1.2. Concluzii despre realizarea obiectivelor lecției.
V. Propuneri ce vizează înlăturarea lacunelor observate şi perfecționarea activității educaționale a cadrului didactic
VI. Aprecierea lecției şi a activității cadrului didacticAprecierea lecției și a activității profesorului se va efectua în funcție de numărul
de puncte acumulate la realizarea secvenței a III-a a acestei scheme. Pentru fiecare dintre pozițiile 3.1-3.12, scorul maxim este 10 puncte, iar cel minim – 1 punct. Sumând punctele acordate, se determină calitatea lecției și se apreciază activitatea profesorului astfel:
120-95 de puncte – lecţie foarte bună – nota 9 sau 10; 94-70 de puncte – lecţie bună – nota 7 sau 8;69-45 de puncte – lecţie satisfăcătoare – nota 5 sau 6;44-1 punct – lecţie nesatisfăcătoare – nota 4.
Important! Pentru о evaluare obiectivă a lecției asistate (inclusiv în procesul ates-tării cadrului didactic) se recomandă ca ea să fie apreciată de cel puțin 3 asistenți-specialiști (cadre didactice, inspectori, metodiști, manageri) în domeniul respectiv. Aprecierea finală se va efectua având la bază suma mediilor aritmetice a puncte-lor acordate de către fiecare asistent pentru fiecare dintre pozițiile 3.1.-3.12. ale prezentei scheme și în conformitate cu grila de evaluare indicată mai sus.
137
5. Ce strategii și tehnologii didactice pot fi aplicate în procesul educațional la Matematică
din perspectiva formării competențelor?
5.1. Strategii şi tehnologii didactice de formare a competențelor
Din perspectiva formării competențelor, activitatea profesională a profesorului de Matematică se va fundamenta pe Crezul instruirii active (Kees Both):
Ce aud – uit!Ce aud şi văd – îmi amintesc puțin!Ce aud, văd şi întreb sau discut cu cineva – încep să înțeleg!Ce aud, văd, discut şi fac – însuşesc şi mă deprind!Ce redau altcuiva – învăț!Ceea ce pun în practică – mă transformă!
Profesorul de Matematică se va ghida dupăALGORITMUL UNEI PREDĂRI AXATE PE MOTIVAŢIE:
Începeţi predarea printr-o situaţie amuzantă, un studiu de caz, o istorioară legată de teoria ce urmează a fi predată sau printr-o problemă de soluţionat;
Chestionaţi elevii asupra cunoştinţelor lor anterioare în legătură cu fenomenul ori teoria ce urmează a fi explicate;
Prezentaţi planul lecţiei sub formă de întrebări (acest mod de a prezenta materia îi obligă pe elevi să-şi focalizeze atenţia asupra aspectelor importante şi să caute să afle răspunsurile la întrebările puse);
Organizaţi cunoştinţele sub formă de scheme, care permit evidenţierea legăturilor dintre concepte;
Daţi exemple care să îi intereseze pe elevi;Utilizaţi analogiile (astfel îi determinăm pe elevi să stabilească legături între un
domeniu pe care îl cunosc şi altul nou).Recomandări ce vizează aplicarea strategiilor și tehnologiile de predare a matemati-
cii în învățământul gimnazial sunt formulate și în curriculum la secvența a IV-a. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare [4]. Profesorul de Matematică este obligat să ține cont de ele în practica educațională.
În lucrarea [40] sunt detaliat exemplificate următoarele metode active de predare-învățare a matematicii:
1. Asaltul de idei (Brainstormingul);2. Jocul didactic „Senecteca” (Brainstormingul pe echipe); 3. Jocul intelectual „Brain ring matematic”. Aceste metode pot fi aplicate cu succes în oricare dintre clasele a V-a-a IX-a.
138
În lucrarea [22] sunt exemplificate tehnicile Teambuilders (constituirea echipei), SINELG, Interviul în trei trepte, RAI, Presupunerea prin termeni, Echipe – Jocuri – Turnire, Mai multe capete la un loc, Rezolvare în lanț și metodele Jocurile didactice DOMINO, PUNCTE DE SPRIJIN, FIGURA-ŢINTĂ, PICTORI-GEOMETRI, GHICI FIGURA GEOMETRICĂ, TURNURI GEOMETRICE.
Aceste tehnici și metode pot fi utilizate la studiul diferitor teme din cursul gimnazial de Matematică, în funcție de conținuturile studiate.
În continuare propunem și alte exemple de utilizare a unor metode active de preda-re – învățare a matematicii în gimnaziu din perspectiva formării competențelor.
1. Crearea condițiilor favorabile antrenării elevilor pe calea căutărilor, cercetării, descoperirii este posibilă prin aplicarea metodei Studiul de caz. Această metodă oferă posibilitate elevilor să-și exprime liber opiniile referitoare la
cazul expus, dar și să aleagă cea mai bună soluție în urma dezbaterilor. Pentru această metodă sunt preconizate următoarele etape:
1. Selectarea cazului concret (inclusiv din activitatea cotidiană).Profesorul propune cazul/problema pentru discuție în funcție de nivelul de dezvol-
tare Matematică a elevilor și specificul vârstei acestora.2. Expunerea cazului de către profesor.Profesorul expune cazul pe înțelesul elevilor.3. Dezbaterea cazului de către elevi.Are loc o discuție între profesor și elevi prin care se realizează o analiză detaliată,
argumentată a cazului pentru descoperirea fenomenelor care au determinat cazul și a factorilor implicați.
4. Stabilirea variantelor de soluţionare.Elevii sunt stimulați de profesor prin întrebări provocatoare, întrebări care direcțio-
nează demersul soluționării cazului.5. Compararea variantelor de soluţionare.În funcție de modalitatea de organizare, se compară variantele de rezolvare.6. Alegerea soluţiei.Se aleg soluțiile cele mai bune/optime.7. Evaluarea.Profesorul face o evaluare a modului de rezolvare a situației respective.
2. Tehnica Matricea de asociereMatricea de asociere reprezintă un tabel cu două intrări, care oferă posibilitate să se
determine diverse asocieri dintre conceptele matematice și proprietățile acestora. Prin intermediul a astfel de matrice se realizează sinteza materiei studiate în cadrul unității de învățare sau de conținut. Completarea matricei poate fi individuală sau prin activități de grup. Se poate propune și ca temă pentru acasă. Tehnica poate fi utilizată la orele de sinteză.
139
De exemplu, la capitolul IX. Patrulatere. Poligoane (clasa a VIII-a) poate fi propusă elevilor spre completare următoarea Matrice de asociere:
Patrulaterul Elementele Proprietățile/Criteriile Reprezentarea în plan
Pătratul
Dreptunghiul
Paralelogramul
Rombul
Trapezul
3. METODA „BBB” (Batelle – Bilmappen – Brainwriting)Această metodă este cunoscută și sub denumirea de Brainwriting cu mapa de
imagini.Algoritmul utilizării acestei metode este următorul:1. Problema se prezintă frontal în faţa întregii clase. 2. Brainstorming (asaltul de idei) oral cu clasa.3. Clasei i se prezintă consecutiv câte o imagine, în contextul problemei puse în
discuţie.4. Brainstorming (asaltul de idei) individual (în linişte) inspirat de imaginile propuse,
prin care se îmbunătăţesc ideile din brainstormingul oral, ori se propun alte idei. Fiecare elev ia notiţe în caietul său.
5. Câţiva elevi citesc cu voce ideile lor.6. Clasa discută pentru a găsi şi alte variante.Avantaje: este valorificată asociația mintală liberă a fiecărui elev;se studiază ideile celorlalți colegi;se realizează stimularea prin imagini;este evitat blocajul unora, care nu lucrează bine față în față.
Imaginea Ce sugerează imaginea? Ce idei apar?
4. Tehnica Harta noțională/conceptualăÎncepând cu prima oră la capitolul respectiv și pe parcursul studiului acestuia, elevii
completează pe foi separate (A4) un tabel de sinteză axat pe noțiunea Matematică. În acest tabel se fixează toate aspectele matematice ce țin de noțiunea corespunzătoa-re. Exemple de hărți noționale pot fi găsite în manualele de Matematică pentru liceu.
140
Completând aceste hărți pentru fiecare capitol, la finele anului elevii vor obține un Atlas matematic la clasa respectivă. Hărțile noționale/conceptuale vor fi de folos la orele de sinteză, la recapitularea finală, la studiul altor capitole etc.5. Festivalul de teatru la Geometrie
Elevii sunt împărțiți în grupe a câte 5 „actori”. Fiecare grup trage la sorți câte un subiect (o temă). Grupului i se cere să scrie la subiectul (tema) respectiv un scenariu, astfel încât fiecare membru să aibă cel puțin 5-8 replici. Fiecare grup gândește mișcarea scenică, costumele și rechizitele. După prezentarea „spectacolului” de către fiecare grup, colegii pun întrebări, fac aprecieri despre producție, cea mai bună fiind premiată. În lucrarea Optimizarea învăţământului în contextual societăţii bazate pe cunoaştere. Materialele conferinței științifice internaționale 2-3 noiembrie 2012. IȘE, Chișinău, 2012, p.10.6. Jocul de „mimă” la Matematică
Clasa se împarte în două echipe. Pe rând fiecare echipă prezintă prin mimă un concept matematic: figură, grafic, funcție, ecuație etc. Cealaltă echipă va determina ce concept a fost prezentat prin mimă.7. Tehnica 3-2-1
Înainte de terminarea orei, elevilor li se cere să scrie pe foiță 3 termeni (concep-te) din temele învățate, 2 idei despre care ar dori să învețe mai mult în continuare și o capacitate, o pricepere sau o abilitate pe care consideră că au dobândit-o în urma activităților de predare – învățare. Strângând foițele, profesorul obține un feedback imediat în legătură cu eficiența lecției.8. Tehnica Tabelul lui Pitagora
Această tehnică ne oferă posibilitatea de a-l învăța pe elev să însușească conștient tăblița înmulțirii. Asociind liniile cu coloanele din Tabelul lui Pitagora, elevul va obține rapid rezultatul înmulțirii.
141
5.2. Probleme de Matematică şi rolul acestora în formarea competențelor
5.2.1. Problemele de Matematică de tip cascadă și rolul lor din perspectiva formării competențelor
Problemele de Matematică de tip cascadă contribuie eficient la formarea și dez-voltarea competențelor. Și viața de zi cu zi pune în fața noastră diverse probleme, a căror rezolvare necesită trecerea prin mai multe cascade. Din aceste considerente, în procesul educațional la Matematică se recomandă aplicarea și rezolvarea problemelor matematice, și nu numai, de tip cascadă.
Definiție. Problema de Matematică de tip cascadă este problema în care răspunsul la întrebarea (sarcina) următoare este în funcție de rezultatul obținut la pasul prece-dent (cascada precedentă).
De exemplu: Fie ecuația – 3x2 + x +2 = 0.1. Rezolvați în R ecuația.2. Reprezentați grafic funcția f de gradul doi, asociată ecuației date.3. Utilizând graficul de la p. 2, determinați intervalele de monotonie ale funcției f. 4. Scrieți o inecuație de gradul I, mulțimea soluțiilor căreia este intervalul pe care
funcția f este strict descrescătoare.Este un exemplu de problemă de Matematică de tip cascadă, structurată pe patru
cascade, care poate fi propusă în clasa a IX-a. Problemele de Matematică de tip cascadă pot fi structurate în cascadă liniară sau
cascadă ramificată. În exemplul de mai sus, problema propusă posedă o structurare în cascadă liniară.În continuare prezentăm un exemplu de problemă de tip cascadă ramificată:Fie � �� � � �� � � �ABC m A m B AB cm, , ,30 60 12
.1. Aflați lungimile laturilor triunghiului.2. Calculați perimetrul ABC.3. Calculați aria ABC.4. Aflați raza cercului înscris în ABC.5. Calculați lungimea cercului înscris în ABC.6. Determinați raza cercului circumscris ABC.7. Calculați aria discului cu raza obținută în p. 6.8. Aflați distanța dintre centrul cercului înscris în ABC şi centrul cercului circum-
scris acestui triunghi.Observațiе. Ramificarea se referă la cercurile înscris și circumscris ale triunghiului
dat.
142
În aspect didactic, problemele de Matematică de tip cascadă sunt eficiente la:• studierea materiei şi formarea competenţelor preconizate în Curriculumul la Ma-
tematică; • realizarea conexiunilor intra- şi interdisciplinare în cadrul studierii Matematicii;• organizarea şi realizarea recapitulării materiei studiate;• formarea şi dezvoltarea gândirii logice;• dezvoltarea interesului pentru Matematică;• dezvoltarea capacităţilor creative ale elevilor;• pregătirea pentru susţinerea examenelor la Matematică;• realizarea unor conexiuni intradisciplinare;• evaluarea rezultatelor şcolare la Matematică (cu o atenţie sporită).Sarcinile incluse în problema de Matematică de tip cascadă pot avea conexiuni cu
diverse teme matematice, ceea ce majorează șansele elevilor de a conștientiza esența materiei matematice studiate. Ele servesc ca surse importante de integrare a cunoștin-țelor și de formare a competențelor.
În cadrul orelor de sinteză sau în calitate de proiect, se va propune elevilor să com-pună probleme de Matematică de tip cascadă pe subiectele studiate.
Profesorul poate selecta probleme de tip cascadă și din Internet [51, 52].
5.2.2. Probleme integrative, care pot fi utilizate în procesul formării competențelor la treapta gimnazială
Realizarea conexiunilor intra- și interdisciplinare în procesul educațional la Mate-matică poate fi efectuată prin rezolvarea unor probleme integrative. Propunem, în con-tinuare, un set de probleme integrative, probleme de tip PISA, pe care profesorul le poate aplica cu succes în cadrul lecției sau propune elevilor pentru rezolvare acasă.
În aspect didactic, este semnificativ ca profesorul să recomande elevilor să compună (în cadrul unui proiect propus la Matematică) astfel de probleme.
Problema 1. Pinguinul
143
Pentru un film, se caută un erou – pinguin care are următoarele caracteristici: • înălțimea – între 0,75 m și 0,85 m;• greutatea – între 4,8 kg și 5,2 kg;• vârsta – mai puțin de zece ani.Găsește pinguinul ales. Argumentează alegerea.
Problema 2. Călătoria la vilăO familie de 4 persoane: mama, tata și 2 copii locuiește în Chișinău, dar au și o vilă
nu departe de oraș. Pentru a ajunge la vilă sunt două posibilități: cu autobuzul de rută, taxa pentru o călătorie fiind 15 lei într-o direcție, sau cu automobilul care consumă 5 l de benzină pentru o călătorie dus-întors și prețul unui litru de benzină este de 19 lei.
• Dacă pleacă doar tata la vilă, care modalitate este mai convenabilă? • Dar dacă pleacă toată familia?• Pentru câte persoane este mai rentabilă călătoria cu autobuzul?• Pentru câte persoane este mai rentabilă călătoria cu automobilul?
Problema 3. Podul
Podul de la Müngsten sau „Podul Împăratului Wilhelm” este cel mai înalt pod de cale ferată din Germania. El este amplasat pe râul Wupper, în apropiere de localitatea Müng-sten. Podul este din construcție metalică, are o greutate de 5000 de tone, o lungime de 465 m și o înălțime de 107 m, distanța dintre pilieri fiind de 170 m.
a) Să se schițeze parabola care modelează forma podului într-un sistem de coordo-nate, în care axa OX – nivelul pământului, iar axa OY – trece prin vârful parabolei.
b) Să se demonstreze că ecuația parabolei este de forma f(x) = ax2 + c, cu a < 0.c) În sistemul de coordonate parabola trece prin punctul de coordonate A (75; 26).
Să se determine valoarea lui a și să se scrie legea de corespondență corespunză-toare.
144
Problema 4. Simbolul Genevei
Simbolul Genevei este „Jetul de apă” – un havuz de 140 m înălțime. Apa este arun-cată în cerul albastru, apoi revine. Modelăm curba formată de jetul de apă cu parabola P, reprezentată în desen.
a) Să se determine la ce înălțime maximă ajunge jetul de apă.b) Să se determine funcția de gradul II, asociată acestei parabole.
Problema 5. Cost mediu minimal Întreprinderea Flora comercializează vase din porțelan. Ea confecționează anual
între 0 și 20 000 de vase. Costul total de producere f, exprimat în sute de euro, este stabilit în funcție de numărul de vase fabricate, în mii. Reprezentarea grafică de mai jos arată această dependență:
a) Care este costul de producere pentru 12000 de vase?b) Care este cantitatea maximală de obiecte care poate fi confecționată pentru ca
prețul de cost de producere să fie mai mic de 10000 de euro?
c) Costul mediu de producere h este indicat prin legea h xf xx
� � � � �.
• Să se calculeze h x� � .• Să se schițeze, în același sistem de axe, graficele funcțiilor care reprezintă cos-
tul de producere și costul mediu.• Să se estimeze numărul de vase care trebuie confecționat pentru a obține
costul mediu minimal.
145
Problema 6. Studierea beneficiului O întreprindere fabrică piese detașabile pentru automobile. Notăm cu x – numărul
de piese fabricate timp de o zi. Costul de producere, în sute de euro, pentru x piese se notează cu C(x) . Mai jos este reprezentat graficul funcției C pe intervalul [40; 80].
Numărul de pieseCu ajutorul graficului, să se răspundă la următoarele întrebări:1. Care este costul de producere a 60 de piese?2. Presupunem că, pe intervalul [40; 80], funcția C este definită de legea
C(x) = x2 – 79x + 1740. Pentru un cost de producere de 1440 euro, câte piese va confecționa întreprinderea?
3. Fiecare piesă este vândută cu 19 euro. Să se determine formula de calcul al venitului V(x) a întreprinderii pentru x piese.
4. Să se reprezinte grafic funcția V și funcția C în același sistem de axe.5. Beneficiul realizat de întreprindere, în funcție de numărul x de piese vândute,
este diferența dintre venitul și costul de producere: B(x) = V(x) – C(x). Care este numărul de piese pe care trebuie să-l producă întreprinderea pentru ca benefi-ciul să fie pozitiv?
6. Câte piese trebuie să confecționeze întreprinderea pentru ca beneficiul să fie maxim?
Problema 7. Prețul de echilibru
Prețul (în euro)
Num
ărul
de
prod
use
146
Un studiu al pieței a cercetat evoluția ofertei și cererii a unui produs în funcție de prețul său unitar, exprimat în euro.
Pentru un preț unitar de x €, conținut între 2 și 30, numărul de produse cerute pe piață este exprimat de legea f(x) = 0,05x2 – 4x + 80,8. Numărul de produse oferite este exprimat de funcția definită de legea g(x) = 2x + 6.
În desenul de mai sus sunt reprezentate graficele funcțiilor f și g.1. Să se identifice curbele corespunzătoare funcțiilor f și g.2. Să se determine numărul de produse oferite și numărul de produse cerute dacă
prețul produsului este de 12 euro.Numim preț de echilibru al produsului prețul pentru care cererea este egală cu oferta.3. Să se determine prețul de echilibru.4. Care este, în acest caz, numărul de produse cerute (și oferite)?
Problema 8. Instalații eoliene
Moara de vânt este o instalație ce permite transformarea energiei eoliene (ener-gia vântului) în energie mecanică de rotație. În acest scop, vântul pune în mișcare eli-cea morii. Astfel, morile de vânt utilizează puterea vântului pentru a produce energie electrică. Măsurările au arătat că pentru una din stațiile eoliene viteza vântului și can-titatea energiei electrice sunt dependente după legitatea f(x) = 0,067x3 (x – viteza vântului în m/s, y – cantitatea energiei electrice in kWh), dacă viteza vântului este între 2 m/s și 10 m/s.
1. Să se calculeze cantitatea energiei electrice ce se produce la viteza vântului de 3 m/s; 5 m/s și 6,5 m/s.
2. Să se reprezinte grafic funcția f.3. Performanța unei alte centrale eoliene este exprimată cu ajutorul formulei
g(x) = 0,12x3. Să se schițeze graficul dependenței g în același sistem de coordona-te cu dependența f pentru prima stație eoliană.
147
Problema 9. Prețul convenabil
Un giuvaier confecționează cercei în forma din desenul alăturat. Grosimea cercelului este de 2 mm. Partea de sus a cerceilor are forma unui triunghi echilateral cu latura l și este din aur, iar partea de jos este din argint.
1. Să se exprime volumul fiecărui metal necesar la confecționarea unui cercel în funcție de l.
2. Să se calculeze masa fiecărui metal necesar la confecționarea unui cercel, în funcție de l.
3. Să se calculeze prețul fiecărui metal necesar la confecționarea unui cercel, în funcție de l.
4. Care trebuie să fie latura triunghiului l pentru ca prețul materiei prime necesare pentru fabricarea unei perechi de cercei să nu depășească 30 euro?
Problema 10. Viteza medie Sergiu locuiește într-un oraș situat la d km distanță față de Bălți. El a decis să facă o
călătorie cu bicicleta spre Bălți, jumătate de traseu parcurgând-o cu viteza de 20 km/h, altă jumătate – cu viteza x km/h.
1. Să se arate că viteza medie V(x) pe întregul traseu este determinată de expresia
V x xx
� � ��40
20.
2. Dacă a doua jumătate a drumului a fost parcursă cu 15 km/h, care va fi viteza medie a biciclistului pe întregul traseu?
3. Să se determine cu ce viteză trebuie să se deplaseze Sergiu pe a doua parte a traseului ca viteza medie să fie 24 km/h?
4. Să se determine cu ce viteză trebuie să se deplaseze Sergiu pe a doua parte a traseului ca viteza medie să fie mai mare sau egală cu 15 km/h?
5. Să se arate că viteza medie nu poate depăși 40 km/h.
148
Problema 11. Tenisul viitorului
Tenismenul Yannick Nada a jucat contra unui perete din cărămidă inteligentă, crea-tă de nanotehnologiile contemporane. Cărămizile se înverzesc dacă viteza mingii este suficientă, adică energia cinetică a mingii, de viteză v este mai mare decât 4,6v + 34,2. În caz contrar, cărămizile devin roșii. Energia cinetică în funcție de viteza v și de masa m este dată de formula Ec = ½ mv2. Masa unei mingi de tenis este de 0,058 kg.
1. Yannick efectuează prima servire cu viteza de 35 m/s. Care este culoarea perete-lui?
2. După o încălzire, el efectuează o altă servire cu 45 m/s. Care este culoarea pere-telui?
3. Ce inecuație trebuie rezolvată pentru a determina viteza pentru care peretele devine verde?
4. Să se rezolve inecuația obținută. Care este viteza minimală? Să se exprime în m/s, apoi în km/h.
Problema 12. Impozit pentru teren
Deținătorii de terenuri cu orice titlu trebuie să achite în termen impozitul funciar și alte plăți pentru folosirea terenurilor. În Republica Moldova, cotele maxime ale im-pozitului funciar pentru o unitate de teren sunt stabilite în funcție de calitate, de des-tinație și de amplasarea lui. Impozitul funciar pentru terenurile utilizate în construcție este de 0,3 lei/m2 anual și de 0,1 lei/m2 anual pentru terenurile folosite în alte sco-puri. (http://lex.justice.md/viewdoc.php?id=310715HYPERLINK „http://lex.justice.md/ viewdoc.php?id=310715&lang=1”&HYPERLINK „http://lex.justice.md/viewdoc.php?id= 310715&lang=1”lang=1)
149
Petru a decis să construiască pe lotul său, care are suprafața totală de 793,5 m2, un depozit. Lungimea depozitului este de 2, 5 ori mai mare ca lățimea.
1. Utilizând schema alăturată, calculați lățimea și lungimea depozitului.2. Calculați aria suprafeței rămase după construcția depozitului.3. Ce taxă va plăti Petru pentru utilizarea pământului?
Problema 13. Campania socială
O clasă de 30 de elevi a hotărât să inițieze o campanie socială de colectare a ajutoa-relor pentru un centru de terapie intensivă din Chișinău. Ana propune să se scrie me-saje e-mail, în care se va anunța despre colectarea ajutorului și rugămintea de a trimite mesajul respectiv la încă două persoane. În prima etapă, elevii expediază mesajul la 60 de persoane.
1. Peste câte etape mesajul va ajunge la 25000 de utilizatori ai Internetului?2. Dacă presupunem că fiecare etapă durează aproximativ 3 ore, cât timp va lua
informarea celor 25000 de cetățeni?3. Unul dintre elevii clasei, întâmplător, trimite un virus împreună cu e-mailul. Câte
persoane teoretic vor suferi din cauza virusului? 4. Cât de repede (în ore) informația va ajunge la cei 25 000 de persoane, dacă
fiecare elev și, respectiv, fiecare recepționar al mesajului vor trimite anunțul la 3 persoane, dar nu la două?
Problema 14. Arborele genealogic
Într-un arbore genealogic, fiecare pereche de părinți are același număr de copii ca și perechea de părinți din prima generație.
150
1. Prima generație are 3 copii. Câți copii vor fi în total în a V-a generație?2. Câți copii vor fi în a III-a generație, dacă în I generație sunt 5 copii?3. Câți copii vor fi în a VI-a generație, dacă în a II-a generație sunt 16 copii?4. Să se alcătuiască arborele genealogic personal și să se determine numărul de
copii din generația din care faceți parte.
5.3. Crearea mediilor educaționale incluzive
În realizarea educației incluzive, profesorul de Matematică se va ghida de concepte-le determinate în Articolul 3. Noţiuni principale din Codul Educaţiei:
- plan educaţional individualizat (PEI) – instrument de organizare și realizare coor-donată a procesului educațional pentru beneficiarii cu cerințe educaționale spe-ciale;
- Curriculum adaptat – Curriculum la o disciplină școlară, în care se realizează co-relarea cu potențialul copilului sau al elevului cu cerințe educaționale speciale, finalitățile educaționale rămânând neschimbate;
- Curriculum modificat – Curriculum la o disciplină școlară, în care se modifică fi-nalitățile educaționale în funcție de potențialul copilului sau al elevului cu cerințe educaționale speciale. [2]
În funcție de tipul de CES, profesorul de Matematică, de comun acord cu Cadrul de sprijin și cu psihologul școlar, va elabora PEI și tipul respectiv de Curriculum. Structura Curriculumului adaptat/modificat va fi similară cu structura Curriculumului disciplinar la Matematică.
Crearea mediului școlar în cadrul lecției de Matematică necesită o atenție deosebită din partea atât a profesorului, cât și a elevilor. Este importantă crearea unor condiții de parteneriate funcționale între elevii cu CES și colegii de clasă.
În funcție de tipul de Curriculum și de finalitățile corespunzătoare tipului de CES, profesorul va elabora instrumentele de evaluare inițială, formativă și sumativă a elevilor respectivi.
Crearea mediului educațional incluziv în cadrul studierii matematicii este la maxi-mum personalizat elevului cu CES. Profesorul de Matematică va ține cont de faptul că fiecare elev cu CES este o personalitate, care necesită o atenție deosebită.
151
6. Cum se evaluează rezultatele școlare la Matematică din perspectiva Curriculumului?
6.1. Evaluarea rezultatelor şcolare din perspectiva formării competențelor
Structura acțiunii de evaluare pedagogică include 3 operații ierarhice funcționale la nivel de sistem și de proces: măsurarea – aprecierea – decizia:
- măsurarea reprezintă operația de evaluare care asigură consemnarea „unor ca-racteristici observabile” exprimate în termeni cantitativi (scor, cifre, statistici etc.) sau/și prin descrieri concentrate asupra unor zone restrânse de manifestare [16];
- aprecierea reprezintă operația de evaluare care implică interpretarea faptelor consemnate în funcție de anumite criterii calitative specific pedagogice, inde-pendente în raport cu instrumentele de măsură folosite în cadrul unei anumite metode sau a unor strategii didactice;
- decizia reprezintă operația de evaluare care asigură prelungirea aprecierii într-o notă școlară, caracterizare, hotărâre, recomandare etc., cu valoare de prognoză pedagogică.
Deci, evaluarea trebuie concepută ca o modalitate de ameliorare a predării și a învă-țării, de eliminare a eșecului și de realizare a unui progres constant în pregătirea fiecărui elev.
Rolul fundamental al evaluării constă în asigurarea unui feedback permanent și co-respunzător, necesar atât actorilor procesului educațional, cât și factorilor de decizie și publicului larg. Așadar, în procesul educațional integrat predare – învățare – evaluare, componenta evaluare ocupă un loc nodal, de importanță supremă, atât psihopedago-gică, profesională, cât și socială. Acest fapt este confirmat și de algoritmul procesului educațional modern:
Instrumente Succes Obiective noi ș.a.m.d.
InsuccesConți-nuturi
Tehno-logii
Obiective →
CompetențeEvaluarea
____________ Cauzele insuccesului
152
Evaluarea indică, de fiecare dată, dacă sunt atinse obiectivele preconizate și ce ob-ținem în rezultatul activității respective: succes sau insucces. În cazul unui insucces, se vor determina cauzele acestuia și activitatea se va relua astfel încât rezultatul final să fie un succes.
Următorul pas constă în formularea de obiective noi și procesul continuă, formând următoarea spirală educațională.
Procesul modern de evaluare a performanțelor școlare, axat pe principiile evaluării ([7]), este preconizat:
- să scoată în evidență succesul fiecărui elev, dar nu eșecul acestuia;- să informeze agenții educaționali, indicând ce să se predea și cum să se predea;- să fie multidimensional, concentrându-se atât asupra evoluției sociale și emoțio-
nale, cât și asupra evoluției cognitive; - să includă o relație de cooperare între profesor și elevi, între elevi;- să evidențieze importanța studiului, să promoveze succesul și studiul optim
pentru toți elevii;- să fie înțeles ușor atât de către toți elevii, cât și de către părinți, agenții
educaționali etc.Se evidențiază următoarele tipuri de evaluare, aplicabile în procesul educațional la
Matematică la etapa actuală:a) evaluarea inițială (prognostică);b) evaluarea curentă (formativă);c) evaluarea finală (sumativă).În contextul formării competențelor, prioritară este evaluarea curentă/formativă.În cadrul activităților educaționale, evaluarea este un proces care se realizează con-
tinuu și prin care se determină dacă au fost atinse obiectivele preconizate pentru etapa respectivă sau nu, dacă rezultatul este un succes sau un insucces.
În general, orice activitate evaluativă trebuie să se desfășoare în baza unei hărți teh-nologice bine determinate din start, care ar concretiza:
- contingentul care va fi evaluat;- tipul evaluării [inițială (prognostică), curentă (formativă), finală (sumativă)];- obiectivele evaluării (corelate cu unitățile de competență, competențele specifi-
ce matematicii și competențele-cheie);- tehnologiile de evaluare (forme, metode, tehnici, procedee, mijloace etc.);- timpul rezervat fiecărei activități de evaluare;- spațiul (locul) unde se va realiza evaluarea;- monitorizarea activității evaluative;- baza de date (teste, probe, lucrări practice/de laborator, proiecte etc.);- reflexia (compararea rezultatelor învățării cu obiectivele preconizate);- concluzii (diagnoza și prognoza);- decizii.
153
Este important ca fiecare profesor de matematică să înțeleagă că orice evaluare la matematică, inclusiv cea sumativă la nivel de stat, este axată pe determinarea nivelului de realizare a unităților competențelor și de formare a competențelor preconizate în Curriculumul școlar la Matematică [4].
În activitatea evaluativă, profesorul se va ghida de principiile evaluării rezultate-lor şcolare, de Standardele de eficiență a învățării Matematicii și de cerințele moder-ne referitoare la organizarea și desfășurarea acțiunilor evaluate, inclusiv stipulate în Curriculum la secvența a V-a. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare. Important este ca atât elevul, cât și profesorul să conștientizeze că evaluarea în orice circumstanțe trebuie să fie obiectivă.
Accentul se va pune pe evaluarea formativă în cadrul fiecărei lecții. Succesul lecției e în funcție de nivelul de atingere a obiectivelor preconizate.
Profesorul are libertatea să aplice acele forme, tehnici, metode și instrumente de evaluare care le consideră optimale pentru clasa respectivă, la tema respectivă etc. Strategiile de evaluare vor fi corelate cu cele propuse în Curriculumul dezvoltat, la rubri-ca Activități de învățare și produse școlare recomandate, pentru fiecare clasă.
Evaluarea sumativă la unitatea de învățare/capitolul/modulul, trimestrială și anuală, se va axa pe determinarea nivelului de dobândire a achizițiilor determinate de unităţile de competenţă respective, preconizate în Curriculum. În cadrul examenului de absolvire a gimnaziului se va determina care competențe, inclusiv competențele specifice disci-plinei Matematică, sunt formate și la ce nivel.
La realizarea evaluării finale a rezultatelor școlare la Matematică, la finele treptei de școlarizare se va ține cont de Standardele de eficienţă a învăţării Matematicii pentru gimnaziu.
6.2. Tehnologii de evaluare
Metodele de evaluare pot fi clasificate în raport cu diverse criterii. În funcție de cri-teriul istoric, metodele de evaluare se diferențiază în:
A. Metode tradiționale de evaluare: • Probe orale;• Probe scrise;• Probe practice;• Testarea.
B. Metode moderne, alternative şi complementare de evaluare:
• Observarea sistematică a comportamen-tului elevului față de activitatea școlară;
• Portofoliul;• Investigația;• Proiectul;• Autoevaluarea;• Evaluarea reciprocă; • Jocuri didactice evaluative.
154
a) Observarea sistematică a comportamentului elevului față de activitatea școlară este una dintre metodele eficiente de cunoaștere a personalității umane.
b) „Portofoliul” s-a impus din nevoia promovării unei metode de evaluare flexibile, complexe, integratoare, ca alternativă viabilă la modalitățile tradiționale. Semnifi-cația adoptării portofoliului ca metodă alternativă constă în faptul că oferă cadrului didactic și elevului deopotrivă o metodă care să îmbine pe deplin funcțiile formativă și informativă ale evaluării.
Portofoliul este un instrument complex de evaluare a rezultatelor școlare. Practic, portofoliul este o mapă care conține toate rezultatele obținute prin alte metode și tehnici de evaluare: probele scrise și practice, proiectele, autoevaluarea, eseurile, referatele, testele etc. Portofoliul reprezintă „cartea de vizită” a elevului, urmărindu-i progresul de la un trimestru la altul, de la un an școlar la altul, de la o treaptă de învățământ la alta. Fiecare elev are acces liber la portofoliul său, completându-l sis-tematic cu diverse rezultate ale evaluării. O dată pe semestru, profesorul realizează o apreciere globală a portofoliului, în conformitate cu criteriile comunicate elevilor din timp. Nota obținută la această apreciere poate deveni nota semestrială (sau anuală).
c) Investigația reprezintă o activitate ce durează nu mai mult de o oră (lecție) și poate fi descrisă precum urmează: elevul primește, prin instrucțiuni precise, o sarcină pe care trebuie să o înțeleagă și apoi să o rezolve demonstrând o gamă largă de cunoș-tințe și capacități. Investigația oferă elevului posibilitatea de a aplica în mod creativ cunoștințele și de a explora situații noi sau foarte puțin asemănătoare cu experiența sa anterioară.
d) Proiectul contribuie la transferul de cunoștințe în diverse domenii și la integrarea disciplinelor, cel puțin, în aria curriculară. Proiectul poate fi individual, realizat de un singur elev, sau colectiv, realizat de un grup de elevi. Modalitatea, în care ar putea fi realizat un proiect, ar fi următoarea: activitatea începe în clasă prin explicarea și înțelegerea sarcinii, prin încercarea rezolvării acesteia. Apoi activitatea continuă, pe parcursul a câteva zile sau săptămâni, în funcție de sarcină, în acest timp elevul (grupul de elevi) poate primi consultații de la profesor. Activitatea de cercetare se încheie în clasă prin prezentarea rezultatelor obținute în fața colegilor.Etapele realizării unui proiect includ:1. Alegerea temei și formularea problemei.2. Planificarea activității:stabilirea obiectivelor proiectului;formarea grupelor;alegerea subiectului în cadrul temei proiectului de către fiecare elev/grup;distribuirea responsabilităților în cadrul grupului;identificarea surselor de informare (manuale, proiecte mai vagi, cărți de speci-
alitate, reviste de specialitate, persoane sau instituții specializate în domeniu).
155
3. Cercetarea propriu-zisă.4. Elaborarea materialelor.5. Prezentarea rezultatelor cercetării și/sau a materialelor create.6. Evaluarea:
a) cercetării în ansamblu; b) modului de lucru; c) produsului realizat.
Metoda proiectelor reprezintă o metodă eficientă de evaluare a competențelor elevilor.
Exemple de teme de proiecte la Matematică:I. Proiecte teoretice:
1. Compunerea unei poveşti cu generic matematic2. Matematica în muzică3. Matematica în poezie4. Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode5. Compunerea de probleme la un subiect matematic indicat, inclusiv, probleme
integrative, probleme de tip cascadă etc.II. Proiecte aplicative:
1. Utilizarea procentelor în situaţii cotidiene2. Dependenţe funcţionale în activităţi practice3. Aplicaţii ale funcţiilor în tehnică4. Exemple de combinări de corpuri geometrice în construcţiile observabile în
localitatea respectivă5. Aplicaţii ale statisticii matematice în diverse activităţi cotidiene6. Formarea bugetului personal şi a celui familial7. Elemente de geometrie în construcţii8. Matematica în profesiile părinţilor9. Secţiunea de aur şi aplicaţii ale acesteia 10. Simetria în jurul nostru11. Amenajarea teritoriului şcolii, grădiniţei de copii, întreprinderii, satului etc.
III. Proiecte simulative: 1. Judecata figurilor geometrice2. Ședinţa Academiei de Știinţe3. Briefing-ul matematic4. Lecţia în şcoala lui Pitagora etc.
Notă. Proiectele elaborate, individuale sau de grup, vor fi susținute în cadrul unor lecții de evaluare – lecții de susținere a proiectelor. Din perspectiva formării compe-tențelor, metoda proiectelor ar putea deveni una dintre cele mai eficiente metode de evaluare.
156
e) Jocurile didactice evaluative, prin realizarea scenariilor respective, oferă posibili-tatea de a evalua atât activitatea individuală a elevului, cât și a grupului (echipei) de elevi. De exemplu, scenariile jocurilor evaluative la matematică „Next” și „Brain ring” sunt propuse în [22].
f) Autoevaluarea oferă elevilor încredere în sine și îi motivează pentru îmbunătățirea performanțelor școlare. Profesorul va ajuta elevii să-și dezvolte capacitățile autoe-valuative, să-și compare nivelul la care au ajuns cu obiectivele, competențele și stan-dardele educaționale și să-și impună un program propriu de învățare. Este absolut necesar de a-i învăța pe elevi să se autoevalueze adecvat pentru a lua decizii corecte în situațiile respective. Elevul, la etapa supusă autoevaluării, poate completa:
FIȘA DE AUTOEVALUARENr. crt. Rezultate obținute Dovezi asociate Îmi propun să.......
g) Evaluarea reciprocă îi va implica activ în procesul de evaluare a performanțelor șco-lare ale colegilor contribuind, în ansamblu, la formarea competențelor respective.Detalii referitoare la aplicarea acestor metode de evaluare profesorul va găsi în [17].
În continuare, propunem un ansamblu de tehnici şi procedee reflexive de evaluare şi autoevaluare, aplicabile în gimnaziu.Tehnica Gândește, perechi, prezintă. Elevii sunt împărțiți în perechi conform unei
anumite reguli sau în funcție de poziționarea în bănci/mese. Este o tehnică de partici-pare la discuții și de formulare, în pereche, a unei păreri, a unei definiții, de realizare a unei sarcini. Contribuie la organizarea unei reale participări a tuturor elevilor la activitatea preconizată. Timp de 3-5 minute ei meditează individual asupra sarcinii propuse. Fiecare membru al perechii își prezintă produsul său. Formulează o variantă comună, îmbinând ideile sau alegând o variantă mai reușită, cizelând-o. O prezintă în fața colegilor. La final sunt analizate aprecierile valorice despre prezentările făcute.
Grila lui Quintilian. Se formulează de către profesor întrebări în baza textului sau a unui subiect deschis: Formulează în scris răspunsuri! Compară cu răspunsul unui coleg! Discutați diferențele!
Întrebări Răspunsul propriu Răspunsul colegului
157
Tehnica Declar lumii întregi! În fața clasei (pe un scaun, la un microfon improvizat), elevii, pe rând, desprind esențialul din lecția desfășurată. Discursul începe cu enun-țul „Declar lumii întregi!”
Scrisoarea didactică. Dragi părinți/prieteni/colegi, ziua de azi a început ________, întrucât _____________. Am învățat să ____________________. Am să aplic cele studiate______________.
Metoda 3-2-1. Notați 3 idei importante, 2 argumente și o concluzie în baza informa-ției primite sau referitoare la lecția de matematică de astăzi/ieri etc.
Trei idei importante Două argumente O concluzie
Telegrama. Se scriu doar 3 cuvinte despre activitatea la lecție, pe care elevul le crede a fi cele mai importante.
Turul galeriei. Clasa se împarte în grupuri. Elevii discută un subiect și realizează sarci-na propusă pe un poster. Posterele cu produsele realizate se afișează pe pereții spa-țiului la o anumită distanță unul față de altul, pentru a permite circulația ulterioară a grupurilor. La semnalul profesorului, grupurile circulă prin sală, de la un poster la altul, le examinează și notează direct pe ele propunerile lor. După încheierea circula-ției, grupurile își examinează posterele și realizează o prezentare finală a produsului. Profesorul realizează o sinteză a rezultatelor obținute de elevi.
Topul. Alegeți 3 noutăți/concepte învățate azi la lecție. Scrieți aceste noutăți în case-tele de mai jos:
1. ; 2. ; 3. .
Graficul învățării:
Ce ai aflat nou? Expune-ți părerea! Unde vei utiliza aceste cunoştințe?
Jurnalul de gândire
Înainte de lecţie După lecție
Sentimente
Gânduri
Cum m-a schimbat această lecție?
158
Cadranele cu expresii lacunare
Puncte forte Puncte slabeReușit s-a dovedit a fi… Ceea ce impresionează…Am admirat în lucrarea dată… Apreciez… Este demn de admirat…
A fost neclar momentul… Vreau să precizez… Am o neclaritate… Mi s-a părut dificil de înțeles… E mai greu să înțeleg… Am depistat unele greșeli… M-a pus pe gânduri…
Recomandări FelicităriŢi-aş recomanda… Îţi propun să… Ar fi bine dacă… Sunt de părerea că… E bine să acorzi atenție la… Va trebui să ții cont de…
Lucrarea ta merită o apreciere înaltă…Te felicit pentru …Îţi doresc şi alte realizări frumoase… Sincere felicitări… Excelent și felicitări! Mă bucur pentru tine!
Corectarea în pereche. Se face schimb de caiete între elevi. Cel care primește caietul colegului sau al prietenului citește cu atenție creația, având ca suport de evaluare grila de evaluare scrisă pe tablă sau pe fișă.
În final, acesta va consemna pe caietul citit impresii, observații, recomandări, apoi va înapoia caietul discutând, dacă este cazul. La aplicarea acestei tehnici se observă atenția sporită acordată atât de cel care este dator să analizeze, cât și de cel care ia cunoștință de aprecierile primite. Astfel se realizează concomitent evaluarea acțiunii celuilalt și propria sa evaluare.
Corectarea în grup este un exercițiu eficient și atractiv, realizat în scopul formării ca-pacităților de autoevaluare ale elevilor. Grupurile sunt formate de către profesor sau pe linie preferențială. Autoaprecierea este dirijată, controlată, având ca element de referință faptul că o cunoaștere obiectivă a capacităților se poate realiza prin com-pletări reciproce, prin argumente convergente, prin aprecieri și informații antrenate de grup.
Fără mâini ridicate – când se așteaptă răspunsuri la anumite întrebări/solicitări ale cadrului didactic. Se lasă elevilor timp de gândire, apoi aceștia pot discuta în perechi sau în grupuri mici. Se solicită răspunsul de la un anumit elev, oferind însă posibilita-tea să se exprime și celor timizi, tăcuți sau neîncrezători în forțele proprii.
Semaforul – pentru stabilirea modului în care elevii înțeleg un nou concept sau sar-cină de lucru. Se pune la dispoziția lor un set de 3 cartonașe colorate în culorile semaforului, iar, la solicitarea cadrului didactic, ei ridică un cartonaș corespunzător: verde dacă înțeleg, galben dacă nu sunt siguri și roşu dacă nu înțeleg. Se poate relua secvența sau pot fi solicitați cei care au ridicat cartonașul verde să furnizeze explicații
159
colegilor, eventual într-o activitate pe grupuri mici, care să includă în același grup elevi ce au ridicat cele 3 tipuri de cartonașe. Folosind în acest mod învățarea prin cooperare, cadrul didactic oferă posibilitatea elevilor de a se implica activ în procesul de învățare, de a ajunge de sine stătător la soluții, intervenind cu indicații când aces-tea sunt solicitate sau când constată că un anumit grup nu avansează în activitate sau abordarea este greșită. Tehnica este preferențială în clasele a V-a-a VI-a.
Tehnica „Răspunsul la minut” sau a răspunsului scurt, la întrebări precise, clare, ce se adresează fiecărui elev, convenind cu elevii că răspunsurile la aceste întrebări nu se comentează sau corectează, permițând cadrului didactic să sesizeze ce parte din lecție/temă trebuie reluată sau clarificată. [8, 9]
Este importantă conștientizarea de către cadrele didactice și manageriale a corelării Metodă/Tehnică de evaluare – Instrument de evaluare – Produs – Criterii de evalu-are – Descriptori de evaluare – Note/Calificatife în cadrul realizării actului evaluativ.
6.3. TESTAREA – metodă de evaluare în bază de competențe
Testarea rămâne una dintre metodele eficiente de evaluare a nivelului de formare a competenţelor preconizate. Testele propuse vor conține mai puțini itemi axați pe eva-luarea unor cunoștințe sau capacități separate și mai mulți itemi integrativi, destinați evaluării competențelor fixate în Curriculum.
Testul, inclusiv testul docimologic, este un instrument eficient de evaluare la Ma-tematică. Elaborarea testului necesită respectarea unor algoritmi. Fiecare test include itemi/sarcini corelați/corelate cu următoarele domenii cognitive:A. Cunoaștere și înțelegere (recunoaşterea, reprezentarea şi asocierea simbolurilor,
termenilor, noțiunilor din conținut). Pentru a evalua acest domeniu, testele includ următoarele tipuri de itemi:I. Itemi obiectivi:
a) itemi cu alegere multiplă;b) itemi de tip pereche;c) itemi cu alegere duală (adevăr, fals; da, nu);d) itemi cu răspuns scurt (de completare) la nivel de cunoaştere şi înțelegere.
B. Aplicare (utilizarea procedeelor, a metodelor de rezolvare, a algoritmilor, a for-mulelor etc.).
Pentru a evalua acest nivel, testele includ următoarele tipuri de itemi:II. Itemi semiobiectivi:
a) întrebări, exerciții, probleme structurate de tip standard (cu argumentările re-spective);
b) itemi cu răspuns scurt la nivel de aplicare (cu argumentările respective);c) itemi cu alegere duală, cu argumentările respective, la nivel de aplicare; d) eseu structurat.
160
De regulă, aceste tipuri de itemi conțin unele indicații despre rezolvarea lor. Elevul este obligat să țină cont de aceste indicații.C. Integrare (rezolvarea problemelor nonstandard, rezolvarea situațiilor-problemă) Pentru a evalua acest domeniu, testele conțin itemi de tipul:III. Itemi subiectivi (cu răspuns liber):
- întrebări, exerciții, probleme nestructurate, situații de problemă ce verifică nive-lurile cognitive superioare;
- eseu nestructurat.Acești itemi se vor rezolva prin metodele alese de către elevi.
Important! Trebuie respectate următoarele cerințe referitoare la formularea itemului (sarcinii):
a) Formularea itemului este corectă dacă ea răspunde la întrebările: Ce? Cât? Cum? Adică:
- Ce trebuie să facă elevul?- Cât trebuie să facă elevul?- Cum trebuie să facă elevul?
b) Numărul de itemi (sarcini) se determină conform raportului 1:3, adică un elev rezolvă de 3 ori mai lent decât un matur.
Pentru a elabora testul respectiv, profesorul va ține cont de Harta tehnologică: 1. va selecta temele, conținuturile conform planificării tematico-calendaristice și
Curriculumului, care vor fi supuse testării;2. va determina obiectivele de evaluare corespunzătoare unităților de competență/
competențelor supuse evaluării;3. va elabora matricea de specificații a testului;4. va compune itemi de diferite tipuri în corelare cu matricea de specificații și obiec-
tivele de evaluare formulate;5 va rezolva testul elaborat pentru a determina dacă elevii vor putea să-l rezolve
în perioada respectivă de timp; în urma acestei activități, profesorul va corecta testul;
6. va elabora baremul de corectare;7. va elabora baremul de notare;8. va realiza administrarea testului ce include:
a) aprobarea testului și a baremelor respective la ședința catedrei/comisiei me-todice;
b) aprobarea testului și a baremelor respective de către administrația gimnaziu-lui/liceului;
c) editarea testului pentru fiecare elev, care va fi supus testării.
161
Important! Cadrele didactice și manageriale vor conștientiza că, în fond, competențele nu se evaluează. Competența se manifestă prin acțiune și se materializează în produse. Se evaluează produsul obținut (testul rezolvat, proiectul elaborat, problema rezolvată etc.). Curriculumul dezvoltat recomandă ansambluri de produse pentru fiecare clasă, la fiecare dintre compartimente.
Evaluarea sumativă la disciplina Matematică este semnificativă în 3 contexte:a) la etapa evaluării unităților de competență la finele parcurgerii unității de învățare,
a capitolului, a modulului (clasele a V-a-a IX-a).Testele sumative, aplicate în acest aspect de evaluare sumativă, vor fi elaborate în
baza următorului algoritm:
Matricea de specificaţii
Unitățile de competență (supuse evaluării)
Obiectivele de evaluare (corelate cu unitățile de competență selectate)
Itemii/Sarcinile(corelați/corelate cu obiectivele
de evaluare formulate)
Baremul de corectare
Testul/Proba de evaluare
Baremul de notare/Schema de convertire
Matricea de specificații asigură că testul elaborat va măsura nivelul de atingere a obiectivelor educaționale preconizate și va avea o bună validitate de conținut. Prin Ma-tricea de specificații se realizează corelarea dintre domeniile cognitive (Cunoaşterea şi înțelegerea, Aplicarea, Integrarea), domeniile/conținuturile care se testează și numărul de itemi/sarcini necesari pentru elaborarea acestui test. În baza Matricei de specifica-ții, se elaborează testul respectiv. După elaborarea testului se vor elabora Baremul de corectare și Baremul de notare/Schema de convertire.
162
Se recomandă aplicarea următorului Barem de notare/următoarei Scheme de con-vertire, determinat/ă de Referenţialul de evaluare [11]:
Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Punctaj
în %95-
100%87-94%
76-86%
61-75%
45-60%
31-44%
20-30%
11-19%
5- 10%
0- 4%
În continuare, pentru exemplificare, prezentăm realizarea acestui algoritm la elabo-rarea unui test sumativ pentru clasa a VIII-a, la Capitolul Numere reale. Recapitulare şi completări.
Unitățile de competență supuse evaluării:1.3. Ordonarea, compararea și reprezentarea numerelor reale pe axă.1.4. Aplicarea modulului numărului real și a proprietăților acestuia în diverse situații.1.5. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea algoritmilor
pentru optimizarea calculului cu numere reale.1.6. Operarea cu numere reale pentru efectuarea calculelor cu numere reale în diver-
se contexte, utilizând proprietățile operațiilor studiate și cele ale semnificațiilor parantezelor.
1.8. Investigarea valorii de adevăr a unei afirmații, propoziții cu numere reale, inclu-siv cu ajutorul exemplelor, contraexemplelor.
1.9. Justificarea unui demers sau rezultat obținut sau indicat cu numere reale, re-curgând la argumentări, demonstrații.
Obiectivele de evaluare: Elevii vor demonstra că sunt capabili:OE1 – să investigheze valoarea de adevăr a unei propoziții cu numere reale;OE2 – să compare două numere reale date;OE3 – să ordoneze numere reale;OE4 – să aplice proprietățile modulului numărului real pentru optimizarea calculelor
cu numere reale;OE5 – să utilizeze algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale;OE6 – să aplice proprietățile puterilor cu exponent întreg și ale radicalilor la efectu-
area calculelor cu numere reale;OE7 – să justifice un rezultat matematic obținut, utilizând argumentări.
163
Matricea de specificațiiNr.crt.
Domeniile cognitive
Temele studiate
Cunoaştere şi înțelegere Aplicare Integrare Total
1. Mulțimea numerelor reale. 1 sarcină1a)
1 sarcină1b) - 2 sarcini
18%2. Puteri cu exponent întreg.
Proprietăți. - 1 sarcină1c)
1 sarcină1d)
2 sarcini18%
3. Rădăcina pătrată. Proprietăți ale rădăcinii pătrate. - 3 sarcini
2a), 2b), 3a)4 sarcini
2c), 3b), 3c), 47 sarcini
64%
Total 1 sarcină9 %
5 sarcini46 %
5 sarcini45 %
4 itemi/11 sarcini
100%
Testul sumativTimp efectiv de lucru: 45 min.
Nr. Itemi Punctaj1.
Fie mulțimea A a b c d� � �, , , , unde a b c� � � � � �� �1 25
14
5
76
2, : , și
d � � �8 13.
a) Scrieți în casetă litera A, dacă propoziția este adevărată, sau litera F, dacă propoziția este falsă:„Valoarea numărului b este un număr întreg”
1 p.
b) Comparați valorile lui c și d. 3 p.
c) Calculați valoarea expresiei ba. 3 p.
d)Demonstrați că d
dd
d c
a��� ��
252
.
4 p.
2.Fie expresia E � � � �� � � �� �3 2 3 2 3 12 1 2
2
.
a) Explicitați modulul 3 2 3− .1 p.
b) Aflați valoarea expresiei E. 4 p.
c) Completați casetele cu două numere întregi consecutive astfel încât să obțineți o propoziție adevărată: < E < . Argumentați răspunsul!
5 p.
3. Un teren agricol are forma unui patrulater ABCD, reprezentat în desen.
164
a) Utilizând datele din desen (unitatea de măsură este m), determinați lungimea laturii AB, exprimată printr-un număr real.
4 p.
b) Determinați câți metri de gard este necesar pentru a îngrădi terenul. 2 p.
c) Determinați câte kg de semințe de trifoi sunt necesare pentru a însămânța acest teren, dacă consumul recomandat este de 17 g la m2.
3 p.
4. Impulsul unui corp este o mărime fizică definită ca fiind produsul dintre masă (în kg) și viteză (în m/s).Determinați impulsul unui electron cu masa 9,1 · 10–31 kg și care are viteza de 9 · 10 6 km/h. Scrieți răspunsul sub forma a · 10n, unde 1 < a < 10, iar n Z∈ .
4p.
2p.
Baremul de corectare/Schema de convertire
Item Răspunscorect Etapele rezolvării Punctaj
acordatScor
maxim Observații
1. a) F Punctele se acordă numai pentru com-pletarea corectă a casetei.
1 p. 1 p.
b)>
- determinarea lui c;- determinarea lui d;- răspunsul corect.
1 p.1 p.1 p.
3 p.
c)8
- determinarea lui a;- determinarea lui b;- răspunsul corect.
1 p.1 p.1 p.
3 p.
d) - 255 = (52)5 = 510;- (5–2)6 = 5–12;- 510 · 5–12 = 5–2;
- 5
55
2
3
�
� � � d .
1 p.1 p.1 p.
1 p.
4 p.
2. a) 2 3 3− - explicitarea modulului. 1 p. 1 p.
b) 4 3 8−
- aplicarea corectă a formulei pătratului diferenței;
- deschiderea corectă a parantezelor;- scoaterea factorului de sub radical;- răspunsul corect.
1 p.
1 p.1 p.1 p.
4 p.
c) –2 și –1
- determinarea valorii aproximative a expresiei E (câte 1 p. pentru fiecare aproximare);
- completarea corectă a casetelor (câte 1 p. pentru fiecare casetă).
3 p.
2 p.
5 p.
3. a) AB m= 5 3- 2 12 5 2 3 10 3� � � ;
- 75 5 3= ;
- AB m= 5 3 .
2 p.1 p.1 p.
4 p.
20 3m. - P � � �4 5 3 20 3. 2 p. 2 p.
165
b) 1,275 kg
- calcularea ariei suprafeței laterale a terenului: 75 m2;
- determinarea cantității necesare de semințe de trifoi în grame: 1275 g;
- transformarea cantității de semințe de trifoi în kg.
1 p.
1 p.
1 p.
3 p.
4. 2,275·10–24
Transformarea corectă a vitezei în m/s;- calcularea impulsului;- scrierea răspunsului în forma
a · 10n, unde 1 < a < 10, iar n Z∈ .
2 p.2 p.2 p.
6 p.
Total puncte 36 p.
Baremul de notareNota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Punctajulacumulat 36-35 34-32 27-31 22-26 16-21 12-15 8-11 5-7 3-4 1-2
b) la etapa evaluării interne inițiale a nivelului de formare a competențelor specifice la Matematică.Evaluările rezultatelor școlare în bază de competențe la Matematică se realizează
prin evaluările inițiale la etapele de trecere de la o treaptă de învățământ la alta. În acest context importante sunt evaluările inițiale realizate la începutul clasei a V-a (eva-luarea nivelului de formare a competenţelor specifice preconizate pentru învăţământul primar) și la începutul clasei a X-a (evaluarea nivelului de formare a competenţelor spe-cifice preconizate pentru învăţământul gimnazial).c) la etapa evaluării interne finale a nivelului de formare a competențelor specifice
la Matematică.Acestea sunt evaluările sumative la finele clasei a IX-a și la finele clasei a XII-a.Instrumentul de evaluare/Testul sumativ (docimologic) pentru evaluările b) și c)
trebuie să fie elaborat în baza următorului algoritm:
166
Din perspectiva evaluării în bază de competențe se modernizează Matricea de spe-cificații, axată pe domenii ale disciplinei Matematică, determinate de Standardele de eficienţă a învăţării, nu pe conținuturile parcurse în anul respectiv de învățământ:
Domeniicognitive
Domeniiale disciplinei
Cunoaştere şi înţelegere Aplicare Integrare Total
Domeniul I X X X Un item ce conține 3-6 sarcini
Domeniul II X X X Un item ce conţine 3-6 sarcini
Domeniul III X X X Un item ce conține 3-6 sarcini
Domeniul IV etc. X X X Un item ce conține 3-6 sarcini
Total 30% 40% 30% 100% Patru itemi ce conțin 12-24 de sarcini
Matricea de specificaţii
Standardele de eficiență a învățării Matematicii
Competenţele specifice (competențele-cheie/transversale)
subcompetențele
Indicatorii de competență din standarde/ Obiectivele de evaluare
Indicatorii de performanță
Testul sumativ (docimologic)
Itemii (structurați)
Baremul de corectare
Baremul de notare/Schema de convertire
167
Important! Pentru a realiza o evaluare în bază de competență, fiecare item inclus în testul docimologic trebuie să fie structurat astfel încât să includă, conform definiției competenței școlare, sarcini de cunoștințe, sarcini de abilități și sarcini de atitudini (integrare).
Pentru exemplificare, prezentăm un exemplu de Matrice de specificaţii și un Test docimologic pentru evaluarea finală (examen intern) la clasa a IX-a:
Matricea de specificații
Domenii cognitive
Domenii ale disciplineiMatematică
Cunoaştere şi înțelegere Aplicare Integrare Total
Algebra 5,3 %1 sarcină
(2a)
5,3 %1 sarcină (2b)
5,4%1 sarcină
(2c)
16 %1 item
(3 sarcini)Elemente de analiză Matematică
5,3 %1sarcină
(1a)
5,3 %1sarcină
(1b)
10,4 %2 sarcini(1c, 1d)
21 %1 item
(4 sarcini)Măsurare și măsuri. Elemente de geometrie metrică
5,2 %1 sarcină
(3a )
10,4 %2 sarcini(3b, 3c)
10,4 %2 sarcini(3d, 3e)
26 %2 itemi
(5 sarcini)Geometria în plan și în spațiu
10,6 %2 sarcini (4a, 5a)
10,6 %2 sarcini ( 4b, 5b)
15,8 %3 sarcini
(4c, 5c, 5d)
37 %2 itemi
(7 sarcini)Total 26,4 %
5 sarcini31,6 %
6 sarcini42 %
8 sarcini100 %
5 itemi/19 sarcini
168
Test sumativ (docimologic) (Examen intern)
Timp efectiv: 90 min. 1. Traiectoria de zbor a mingii de fotbal reprezintă o porțiune din graficul funcției
f R R f x x x: , .� � � � � �28 Axa Oy reprezintă distanța în metri, axa Ox – timpul în
secunde.a. Completați spațiul indicat cu unul din termenii „funcţie putere”, „funcţie liniară”,
„funcţie pătratică”, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată: „Funcţia f este o ____________________________”. 1 p. b. Reprezentați grafic funcția f. 6 p. c. Determinați câte secunde s-a aflat în zbor mingea. 2 p. d. Aflați la ce înălțime maximă s-a ridicat mingea. 2 p.
2. Sergiu a achitat pentru un caiet şi 3 pixuri suma de 19 lei, iar Dana a achitat pentru 3 caiete şi 2 pixuri, de acelaşi fel, suma de 22 de lei. a) Scrieți în casetă Da sau NU, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată: „Dana a achitat pentru cumpărătură de două ori mai mulţi bani decât Sergiu”.
2 p.b) Scrieți în casetă sistemul de ecuații, corespunzător datelor problemei
. Argumentați răspunsul! 6 p. c) Aflați prețul unui caiet și prețul unui pix. 5 p.
3. Un dreptunghi este confecționat din carton. Lungimea dreptunghiului este cu 8 cm mai mare decât lățimea, iar aria lui este egală cu 240 cm2.
169
a) Scrieți în casetă litera A, dacă propoziția este adevărată sau litera F, dacă ea este falsă:
„Dreptunghiul este un paralelogram”. 2 p.b) Aflați lungimea dreptunghiului. 6 p. c) Calculați perimetrul dreptunghiului. 3 p. d) Determinați dacă se poate decupa din acest
dreptunghi un pătrat cu latura de 10 cm. Argumentați răspunsul. 2p. e) Dar un pătrat cu aria egală cu 169 cm2? Argumentați răspunsul. 3 p.
4. Un strat de flori are forma unui trapez isoscel cu lungimile bazelor de 8 m, 18 m şi măsura unghiului ascuțit de 30°.
a) Completați astfel, încât propoziția obținută să fie adevărată „Trapezul isoscel este trapezul
_________________.” 2 p.b) Calculați lungimile laturilor necunoscute ale stratului de flori. 8 p. c) Aflați câți metri de gard sunt necesari pentru a îngrădi stratul de flori. 3 p. d) Pentru a semăna semințe de flori pe acest
strat, la 1 m2 sunt necesare 80 g de semințe. Determinați câte grame de semințe de flori
sunt necesare pentru a semăna toată suprafața stratului de flori. 6 p.
5. Un gospodar a adunat fânul într-o grămadă în formă de con circular drept cu raza bazei de 4 m şi generatoarea de lungime egală cu 5 m.
a) Încercuiți litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă:
„Baza conului circular drept este un cerc”. A / F 1 p. b) Calculați cu ce este egală aria suprafeței grămezii de fân. 4 p.c) Pentru a fi hrănit taurul din gospodărie în luna decembrie, gospodarul a luat fân din vârful grămezii. Fânul rămas avea forma unui
trunchi de con circular drept, cu înălțimea egală cu 1,2 m. Calculați volumul fânului folosit în luna decembrie (răspunsul de rotunjit până la zecimi). 5 p.
170
Exemple de teste la matematică, elaborate din perspectivele evaluării în bază de competențe, profesorul de matematică poate găsi în manualele de matematică pentru clasele a V-a, a VI-a și a IX-a. [19, 20, 21].
Pentru comparație, propunem un exemplu de Test docimologic, propus la examenul de absolvire a gimnaziului în anul 2019, în Franța:
Test docimologic (Le diplôme national du brevet)Franța, 2019
Timp efectiv: 120 min.Problema 1 (14 puncte):Nina și Clara au câte un program de calcul. Programul Ninei:Alege un număr.Scade din el 1.Înmulțește rezultatul cu -2.Adună 2.
Programul Clarei:Alege un număr.Înmulțește -l cu -1/2Adună 1 la rezultat.
1. Arătați că, dacă fetele aleg numărul inițial 1, atunci Nina va obține un rezultat mai mare de 4 ori decât rezultatul Clarei.
2. Ce număr trebuie să aleagă Nina pentru a obține rezultatul final 0?3. Nina îi spune Clarei: „Dacă noi vom alege același număr inițial, atunci întotdeauna
rezultatul meu va fi de 4 ori mai mare ca al tău”. Are ea dreptate?
Problema 2 (11 puncte):Tabelul de mai jos reprezintă emisiile de gaz cu efect de seră pentru Franța și Uniu-
nea Europeană, în milioane de tone de CO2 echivalente, între anii 1990 și 2013.
1990 (în mil. tone de CO2 echivalente)
2013 (în mil. tone de CO2 echivalente)
Franța 549,4 490,2Uniunea Europeană 5680,9
Sursa: Agenţia europeană pentru mediul înconjurător, 2015.
1. Între anii 1990 și 2013, emisiile de gaz cu efect de seră în Uniunea Europeană au scăzut cu 21%. Care este cantitatea de gaz cu efect de seră emise în 2013 de Uniunea Europeană? Aproximați răspunsul la zecimi de mil. tone de CO2 echivalente.
2. Franța și-a propus până în 2030 să-și micșoreze emisiile de gaz de 2/5 ori, compa-rativ cu 1990. Demonstrați că aceasta corespunde cu a micșora aproximativ cu 1/3 emisiile sale de gaz cu efect de seră, comparativ cu 2013.
171
Problema 3 (17 puncte):Un program permite unui robot să se deplaseze pe căsuțele unei
rețele. Fiecare căsuță vizitată se colorează în gri. La începutul progra-mului, toate căsuțele sunt albe, robotul se poziționează pe o căsuță de pornire notată cu „d” și ea este colorată în gri. Iată un exemplu de program și rezultatele care se obțin:
1W Robotul deplasează spre vest 1 căsuță d
2E 1W 2N Robotul deplasează 2 căsuțe spre est, apoi 1 căsuță spre vest și 2 căsuțe la nord
d
3 (1S 2E) Robotul repetă de 3 ori mișcarea: 1 căsuță spre sud, apoi 2 căsuțe spre est.
d
1. Iată un program:1W 2N 2E 4S 2W.
Pe rețelele de pătrățele din caietul vostru, realizați desenul care se obține la realiza-rea acestui program. Marcați cu „d” căsuța de pornire.2. Iată 2 programe:
Programul 1: 1S 3(1N 3E 2S)
d
Programul 2: 3(1S 1N 3E 1S) • Care program permite obținerea motivului din desenul alăturat?• Explicați de ce celălalt program nu permite obținerea motivului din desen?
3. Iată alt program:Programul 3: 4(1S 1E 1N)El permite obținerea următorului rezultat:
d
172
Rescrieți programul 3 modificând doar o singură instrucțiune, pentru a obține urmă-toarele:
d
Problema 4 (16 puncte):Pentru a construi un puț în grădina sa, Domnul Martin are
nevoie de 5 cilindri de beton cu următoarele caracteristici: • diametrul interior – 90 cm;• diametrul exterior – 101 cm;• înălțimea – 50 cm;• masa volumică a betonului – 2400 kg/m3.În remorca sa, el are loc pentru a pune 5 cilindri, dar nu poate transporta decât ma-
ximum 500 kg. Determinați numărul minim de călătorii tur-retur pentru a transporta acești 5 cilindri cu remorca sa.
Problema 5 (12 puncte):Figura alăturată este desenată fără riglă, cu mâna liberă și este
reprezentat un patrulater ale cărui diagonale se intersectează în punctul O. Se știe că OA = 3,5 cm și AB = 5 cm.
Ne interesează natura patrulaterului reprezentat în desen.1. Putem afirma că ABCD este un dreptunghi?2. Putem afirma că ABCD este un pătrat?Problema 6 (14 puncte):Tabelul de mai jos (document 1) reprezintă numărul automobilelor „cu motorină sau
benzină” care sunt în circulație în Franța în 2014.Document 1
Numărul de automobile în circulație (în mii)
Distanța medie parcursă al unui automobil (în km )
Motorină 19741 15430
Benzină 11984 8344
Sursa: INSEE
1. Verificați dacă numărul automobilelor „cu motorină sau benzină” puse în circulație în Franța, în 2014, este de 31725000.
2. Care este raportul dintre automobilele cu benzină în raport cu automobilele „cu mo-torină sau benzină” în circulație în Franța? Exprimați raportul în procente. Rotunjiți rezultatul la întregi.
3. La sfârșitul lunii decembrie 2014, în timpul unui joc televizat, a fost selectat alea-tor un automobil dintre cele „cu motorină sau benzină” puse în circulație în Franța. Proprietarului automobilului selectat i s-a propus să schimbe automobilul său pe un vehicul electric nou. Prezentatorul l-a sunat pe Hugo, proprietarul fericit al automo-bilului selectat. Iată extrasul convorbirii telefonice:
173
Document 2:
Prezentatorul: Bună ziua, Hugo! Ce vârstă are automobilul dumneavoastră?Hugo: Are 7 ani.Prezentatorul: Și câți kilometri parcurși?Hugo: Un pic mai mult de 100 000 km. Așteptați puțin, am o factură în garaj cu data de ieri... Așa, deci, am exact 103 824 km.Prezentatorul: Aaaa, deci, cred că aveți un vehicul cu motorină.
Cu ajutorul datelor conținute în documentul 1 și în docu-mentul 2, explicați:
a) de ce prezentatorul a considerat că Hugo are un vehicul cu motorină;
b) dacă este posibil ca automobilul lui Hugo să fie un vehicul cu benzină.
Problema 7 (16 puncte): În desenul alăturat, prin C1 și C2 sunt reprezentate graficele a două funcții. Una din-
tre funcții este funcția definită de f(x) = –2x + 8.1. Care este reprezentarea grafică a acestei funcții?2. Determinați f(3).3. Determinați argumentul pentru care valoarea funcției este 6.4. Foaia de calcul de mai jos permite să calculeze valorile funcției f:
A B C D E F G
1. x –2 –1 0 1 2 3
2. f(x)
Ce formulă poate fi introdusă în celula B2 înainte de a trece la celula G2? [53]
6.4. Proiecte STEM şi STEAM
Știința și tehnologia fac parte din viață noastră, iar a le folosi într-un mod care să aducă valoare e important. În loc de a avea copii care sunt doar consumatori de tehno-logie, am putea avea copii care o înțeleg și o folosesc într-un mod conștient sau chiar o creează. De aceea, astăzi, sistemul educațional din Republica Moldova are nevoie de noi provocări și abordări STEM, care ar putea reînvia interesul pentru studierea dis-ciplinelor precum Știință, Tehnologie, Inginerie și Matematică. Este necesar ca aceste
174
discipline să devină mai provocatoare, să stârnească imaginația și inspirația elevilor de azi, cetățenii lumii de mâine. Astfel, Educația STEM (Ştiințe, Tehnologie, Inginerie, Ma-tematică) devine o prioritate a învățământului internațional și național actual. STEM reprezintă un concept educațional ce se bazează pe ideea de educare a elevilor în 4 domenii: Știinţe, Tehnologii, Inginerie și Matematică. Disciplinele STEM sunt predate integrat, interdisciplinar, bazându-se pe legătura cu realitatea, pe observație directă, pe experiment, pe logică, pe experiența copiilor. De aceea unul din obiectivele priorita-re ale educației STEM este utilizarea cunoașterii disciplinare într-o abordare integrată, prin învățarea bazată pe probleme nonstandard și pe elaborarea de proiecte. Ca re-zultat, elevii sunt implicați în situații de învățare autentice, semnificative, care include proiectarea, realizarea, testarea, reflectarea și documentarea. Astfel:
• se dezvoltă gândirea critică și autocritică a elevului; • se încurajează inovația;• se dezvoltă capacitatea de a colabora și a comunica eficient cu ceilalți atunci când
abordează o problemă și când formulează soluții;• se produce înțelegerea prin experimentare;• sporește la elevi motivația pentru învățare.Scopul educației STEM este înțelegerea conceptelor, noțiunilor, procedurilor și for-
marea de abilități necesare pentru rezolvarea problemelor personale, sociale și globa-le, care implică integrarea științei, tehnologiei, ingineriei și matematicii. Exemple de activități care pot fi realizate în contextul educației STEM:
• aplicații practice;• experimente;• proiecte educaționale interdisciplinare: biologie, chimie, geografie, fizică, mate-
matică, informatică, tehnologie, arhitectură, meteorologie etc.;• activități creative legate de meșteșuguri și arte;• proiecte educaționale de cercetare ale elevilor în domeniile STEM;• vizite ale elevilor în institute, în muzee, în laboratoare de cercetare;• evenimente care promovează educația pentru științe și tehnologie (târguri,
expoziții, tabere, competiții pentru elevi).Proiectele STEM se raportează la standardele curriculare ale fiecărui domeniu co-
nex STEM (standarde naționale), care implică conținuturile corespunzătoare nivelului fiecărei discipline, fără a se izola de o disciplină, și potențând utilitatea integratoare a cunoașterii.
STEAM (Ştiințe, Tehnologia, Inginerie, Arte şi Matematică) este o nouă abordare a conceptului STEM, ce implică folosirea principiilor STEM împreună cu integrarea tuturor disciplinelor umaniste.
Proiectele STEM/STEAM sunt realizate în comun cu profesorii care predau discipline-le implicate în realizarea proiectului respectiv. Fiecare dintre acești profesori va acorda
175
asistența necesară elevilor la disciplina respectivă în procesul realizării proiectului. Tim-pul, rezervat pentru realizarea proiectului, diferă de la proiect la proiect: de la o săptămâ-nă, până la 2-3 luni. Susținerea proiectelor realizate poate fi publică, inclusiv cu participa-rea părinților. Evaluarea proiectului se face în raport cu următoarele criterii:
- validitatea proiectului vizează gradul în care acesta acoperă unitar și coerent, logic și argumentat tema propusă;
- completitudinea proiectului se reflectă în felul în care au fost evidențiate conexiu-nile și perspectivele interdisciplinare ale temei, competențele și abilitățile de ordin teoretic și practic și maniera în care acestea utilizează conținutul științific;
- elaborarea şi structurarea proiectului în ceea ce privește acuratețea, rigoarea și coerența demersului științific, logica și argumentarea ideilor, corectitudinea concluziilor;
- creativitatea vizează gradul de noutate pe care-l aduce proiectul în abordarea temei sau în soluționarea problemei;
- calitatea produsului obţinut şi eficienţa acestuia; - prezentarea şi susţinerea publică a proiectului. Proiectele STEM/STEAM eficient contribuie la realizarea conexiunilor interdiscipinare,
transdisciplinare.În continuare, propunem unele exemple de proiecte STEM/STEAM, pe niveluri de cla-
se, recomandate de Curriculumul la Matematică:
Clasa Semestrul I Semestrul al II-leaa V-a Planificăm o călătorie! (STEM)
Obiective:1. planificarea și reprezentarea traseului. Calcularea
lungimii traseului;2. estimarea cheltuielilor;3. elaborarea listei bagajelor-proviziilor (selectare,
estimare) etc.Domenii: Geografie; Matematică; Științe; Educație fizică.Produse finale:1. Traseul;2. Orar-itinerar;3. Devizul de cheltuieli; 4. Albumul cu imagini etc.
176
a VI-a Rapoarte şi proporții în pictură şi arhitectură (STEAM)Obiective:1. determinarea rolului ra-
poartelor și al proporțiilor în arte;
2. selectarea și clasificarea operelor de pictură și arhi-tectură în funcție de rapoar-tele și proporțiile utilizate;
3. evidențierea aspectelor es-tetice ale operelor de pictu-ră și arhitectură în funcție de aplicarea rapoartelor și proporțiilor.
Domenii: Matematică, Științe, Educație plastică, Educație tehnologică.Produse finale:1. Opere de pictură și arhitec-
tură selectate și clasificate în funcție de rapoartele și proporțiilor utilizate.
2. Prezentare Power Point cu evidențierea aspectelor estetice respective.
Să ne alimentăm sănătos! (STEM)Obiective:1. calcularea numărului de calorii pe care trebuie să
le consume o persoană în fiecare zi în funcție de vârstă, gen și grad de activitate fizică;
2. identificarea surselor sănătoase de proteine, fibre, calciu, vitamine, glucide etc.;
3. repartizarea pe prize alimentare;4. întocmirea unui meniu zilnic sănătos pentru mem-
brii familiei.Domenii: Biologie; Matematică; Științe; Informatică.Produse finale: 1. Tabel cu repartizarea pe mese și zile a meniurilor
(pentru o săptămână); 2. Prezentare Power Point.
a VII-a Apa în viața de zi cu zi (STEM)Obiectiv: examinarea calității apei și a altor probleme legate de apă (în localitatea de baștină). Domenii: Fizică; Geografie; Chimie; Biologie; Matematică; Informatică.Produse finale:1. componența chimică a apei; 2. reprezentări grafice; 3. recomandări pentru ridica-
rea calității apei; 4. modele de filtre pentru apă;
I. Variația caracteristicilor meteo (temperatura, umiditatea, cantitatea de precipitații și presiunea atmosferică) pentru o perioadă de trei luni în localitatea de baştină (STEM)
Obiective: 1. investigarea variației parametrilor meteo;2 vizite la stații meteorologice.Domenii: Geografie; Matematică; Fizică; Informatică.Produse finale:1. Reprezentări grafice;2. Prognoze;3. Tabele;4. Prezentare Power Point.
177
5. propuneri pentru sisteme de canalizare;
6. prezentare Power Point.
II. Geometria şi origami (STEAM)Obiective:1. abordarea matematicii prin intermediul
construcțiilor origami;2. evidențierea simetriei axiale a figurilor geometrice
studiate și a proprietăților figurilor geomеtrice studiate la crearea construcțiilor de origami;
3. utilizarea aplicației GeoGebra pentru modela-rea figurilor geometrice care se formează în construcțiile origami realizate.
Domenii: Matematică; Științe; Artă plastică, Informa-tică.Produse finale:1. Construcții origami;2. Imagini/fotografii/video cu construcțiile origami
create.a VIII-a I. Funcții în sport (STEM)
Obiective: 1. determinarea rolului
funcțiilor/reprezentărilor grafice ale funcțiilor în sport;
2. selectarea unor procese/activități din sport în core-lare cu aplicațiile funcțiilor respective/graficelor.
Domenii: Educație Fizică; Biolo-gie; Matematică; Informatică.Produse finale:1. Reprezentări grafice;2. Tabele;3. Recomandări;4. Prezentare Power Point/
Filme de scurt metraj/Video spoturi.
Aplicații ale figurilor geometrice în design (STEAM)Obiective:1. determinarea rolului figurilor geometrice în design
vestimentar/arhitectural/de landșaft;2. selectarea/clasificarea/crearea produselor de
design în funcție de figurile geometrice utilizate;3. evidențierea aspectelor estetice ale utilizării figuri-
lor geometrice în design.
Domenii: Matematică, Științe, Educație plastică, Educație tehnologică, Arte, Biologie.Produse finale:1. Fotografii/Desene/Imagini/Machete ale produse-
lor de design, clasificate în funcție de tipurile de figuri geometrice utilizate.
2. Prezentare Power Point/Expoziții de produse crea-te cu evidențierea aspectelor estetice respective.
178
a IX-a I. Funcțiile în tehnică (STEM)Obiective:1 determinarea rolului
funcțiilor în tehnică;2. selectarea și clasificarea
proceselor tehnice în core-lare cu aplicațiile funcțiilor respective.
Domenii: Matematică, Fizică, Chimie, Biologie, Informatică.Produse finale:1. Procese tehnice, prezentate
real sau virtual, în corelare cu funcțiile aplicate.
2. Prezentare Power Point.
I. Corpuri geometrice în construcțiile din localitatea mea (STEAM)
Obiective:1. determinarea rolului corpurilor geometrice în ar-
hitectură;2. selectarea și clasificarea construcțiilor (imaginilor)
din localitatea de baștină, în funcție de tipurile de corpuri geometrice utilizate;
3. evidențierea aspectelor estetice ale utilizării corpurilor geometrice în construcțiile edificiilor.
Domenii: Matematică, Biologie, Chimie, Fizică, Infor-matică, Educație plastică, Educație tehnologică, Arte.Produse finale:1. Fotografii/Desene/Imagini ale construcțiilor (ima-
ginilor) din localitatea de baștină, clasificate în funcție de tipurile de corpuri geometrice utilizate.
2. Crearea de machete ale construcțiilor cu aplicarea corpurilor geometrice studiate.
3. Prezentare Power Point cu evidențierea aspecte-lor estetice respective.
Domenii: Matematică, Informatica, Arte. Produse finale:1. Opere de artă (Imagini) selectate și clasificate.2. Prezentare Power Point cu evidențierea aspecte-
lor estetice respective.II. Figuri fractale în artă şi natură (STEAM)Obiective:1. determinarea noțiunii de figură fractală și a carac-
teristicelor sale;2. determinarea figurilor fractale remarcabile (triun-
ghiul lui Sierpinski, Fulgul de zăpadă a lui Koch, Mulțimea etc.) și a fractalilor în natură;
3. crearea propriilor figuri fractale, a propriei muzici fractale etc.;
4. utilizarea aplicației Geogebra (sau a altor aplicații și resurse TIC) la modelarea produselor create în contextul figurilor fractale.
Domenii: Matematică, Arte, Muzică, Biologie, Infor-matică.Produse finale:1. Galeria de imagini/desene/album foto a figurilor
fractale remarcabile și a figurilor fractale în natură.
2. Prezentări Power Point/filme în care sunt prezen-tate construcțiile fractale create.
Important! Proiecte STEM/STEAM. Elevii vor realiza cel mult câte unul pe semestru. Profesorul de matematică, de comun acord cu ceilalți profesori implicați în proces, va se-lecta proiectele respective din lista celor propuse în Curriculum sau va propune proiecte STEM/STEAM de alternativă.
Detalii referitoare la proiectele STEM și STEAM pot fi găsite de către profesor în sursele [46-50].
179
WEB-BIBLIOGRAFIE1. Cadrul de referinţă al curriculumului naţional. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării
Chișinău, Lyceum, 2017.2. Codul Educaţiei al Republicii Moldova. Chișinău, intrat în vigoare 23.11.2014.3. Cu privire la aprobarea Instrucţiunii privind managementul temelor pentru acasă, în învă-
ţământul primar, gimnazial şi liceal. Ordinul Ministrului Educației, Culturii și Cercetării, nr. 1249 din 22.08.2018.
4. Curriculum naţional. Disciplina Matematică. Clasele a V-a-a IX-a. Ministerul Educației, Cultu-rii și Cercetării al Republicii Moldova. Chișinău: Lyceum, 2019.
5. Educaţia centrată pe cel ce învață. Ghid metodologic. Coordonator Vl. Guțu. Chișinău: CEP USM, 2009.
6. Educaţia centrată pe elev. Ghid metodologic. Coordonatori T. Callo, A.Paniș – Chișinău: „Print-Caro” SRL, 2010.
7. Evaluarea criterială prin descriptori în învăţământul primar. Clasa a III-a. Ghid metodologic. Institutul de Științe ale Educației, 2017, 64 p.
8. Evaluarea în învăţământ: orientări conceptuale. Ghid metodologic. Coordonatori: Pâslaru V., Cabac V. Chișinău: I.Ș.E., 2002.
9. Metodologia privind implementarea evaluării criteriale prin descriptori. Clasa a III-a. Institutul de Științe ale Educației, 2017, 61 p.
10. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Vl. Guțu. Chișinău: CEP USM, 2009.11. Referenţialul de evaluare a competenţelor specifice formate elevilor. Ministerul Educației al
Republicii Moldova, Chișinău, 2014.12. Repere metodologice privind asigurarea continuităţii la nivelul claselor a IV-a şi a V-a din
perspectiva implementării Evaluării Criteriale prin Descriptori. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării. IȘE, Chișinău, 2018.
13. Standarde de eficienţă a învăţării. Ministerul Educației al Republicii Moldova. Chișinău, Lumina, 2012.
14. Standardele de dotare minimă a cabinetelor la disciplinele şcolare în instituţiile de învăţă-mânt secundar general (ordinul MECC nr. 193 din 26 februarie 2019).
15. Strategia Moldova Digitală 2020, publicată: 08.11.2013 în Monitorul Oficial al Republicii Moldova nr. 252-257, art.: 963.
16. Achiri I. Didactica matematicii. Chișinău, Prut, 2013.17. Achiri I. Jocuri didactice la Matematică. Chișinău: Lumina,1990.18. Achiri I. Sofisme matematice. Chișinău: Știința, 1992.19. Achiri I., Anastasiei M., Solomon N. ș.a. Metodica predării geometriei în învățământul
preuniversitar. Chișinău: Lumina, 1997.20. Achiri I., Bîrnaz N., Ciuvaga V. ș.a. Evaluarea curriculumului educaţional. Aria curriculară:
Matematică şi ştiinţe. Chișinău, CEP USM , 2018.21. Achiri I., Braicov A., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregătirea pentru
examenul de absolvire a gimnaziului la Matematică. Chișinău: Editura Prut, 2018;22. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O. Matematică. Manual. Clasa a IX-a. Chișinău: Editura Prut
Internațional, 2017.23. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O. Matematică. Manual. Clasa a VI-a. Chișinău: Editura Prut
Internațional, 2016.24. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O., Ursu L. Matematică. Ghid pentru profesori. Clasa a V-a.
Chișinău: Editura Prut Internațional, 2010.25. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O., Ursu L. Matematică. Manual. Clasa a V-a. Chișinău:
Editura Prut Internațional, 2015.26. Achiri I., Ceapa V., Copăceanu R., Șpuntenco O. Planşe la Matematică pentru gimnaziu.
Chișinău: Cartdidact, 2005.27. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregătirea pentru examenul de
absolvire a gimnaziului la Matematică. Chișinău: Editura Lyceum, 2018.28. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Matematică. Ghid de implementare a curriculumului
modernizat pentru treapta gimnazială de învățământ. Chișinău: Lyceum, 2011.
180
29. Achiri I., Cibotarenco E., Solomon A. ș.a. Metodica predării matematicii. Vol. I. Chișinău: Lumina, 1992.
30. Achiri I., Gaidargi Gh., Turlacov Z. ș.a. Metodica predării matematicii în învățământul preuni-versitar, metodica predării algebrei şi elementelor de analiză Matematică. Vol. II. Chișinău: Lumina, 1995.
31. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași, Polirom, 2013.32. Cabac V. Evaluarea prin teste în învățământ. Bălți: Universitatea de Stat „Alecu Russo”, 1999.33. Callo T., Paniș A. (coordonatori) Educaţia centrată pe copil. Ghid metodologic. Chișinău,
„Print-Caro”, 2010.34. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic pentru
formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.35. Cartaleanu T., Cosovan O., Goraș-Postică V. ș.a. Formare de competenţe prin strategii didac-
tice interactive. Chișinău: C.E. Pro Didactica, 2008.36. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic pentru
formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.37. Cartaleanu T., Lîsenco S., Sclifos L., ș.a. Formarea competenţelor prin strategii didactice
interactive. Chişinău: Centrul Educaţional PRO DIDACTICA, 2008.38. Cerghit I. Metode de învăţământ, ediția a IV-a. Iași, Editura „Polirom”, 2006.39. Ciolan, L. Învățarea integrată. Iași: Polirom, 2008.40. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea
cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.41. Cristea S. Dicţionar de pedagogie. Chișinău, Litera, 2000.42. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Chișinău: Editura Uniunii Scriitorilor, 2004.43. Guțu Vl., Pâslaru V. ș.a. Tehnologii educaţionale. Ghid metodologic. Chișinău: Editura Cartier,
1998.44. Minder M. Didactica funcţională. Obiective, strategii, evaluare (traducere). Chișinău, Editura
„Cartier educațional”, 2003.45. Minder M. Didactica funcţională: obiective, strategii, evaluare. Ch.: Cartier, 2003.46. Neagu M., Achiri I.. Evaluarea curriculumului şcolar proiectat. Ghid metodologic. Iași, Editura
PIM, 2008.47. Potolea D., Neacș I., Manolescu M. Metodologia evaluării realizărilor şcolare ale elevilor.
Ghid metodologic general. București, 2011.48. Radu I. T. Evaluarea în procesul didactic. Ed. a III-a, București: Editura Didactică și Pedagogi-
că, 2007, 288 p.49. Raileanu A., Achiri I., Prodan N. Matematică. Clasele a V-a - a IX-a. În: Matematică și științe.
Ghiduri metodologice. Chișinău: Grupul editorial Litera, 2000.50. Stoica A., Musteață S. Evaluarea rezultatelor şcolare. Ghid metodologic. Chișinău, 2003.51. Vogler J. Evaluarea în învăţământul preuniversitar. Iași: Polirom, 2000, 204 p.52. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: кн. для
учителя. М. Просвещение, 2005.53. https://centruldeparenting.ro/copilul-tau-are-competente-stem-afla-care-sunt-acestea-si-
cum-le-poti-dezvolta-prin-48-de-idei-distractive/54. http://www.tribunainvatamantului.ro/stem-o-necesitate-in-stransa-conexiune-cu-realita-
tea/55. https://creeracord.com/2018/10/26/rezolvarea-unei-probleme-stem-planul-de-lectie-nr-
1-in-pbl/56. https://www.schooleducationgateway.eu/ro/pub/latest/practices/steam-learning- science-
art.htm57. https://utm.md/blog/2016/10/12/prezentarea-conceptului-privind-educatia-stem/ 58. https://www.didactic.ro59. https://www.didactic.ro/materiale didactice/probleme-de-tip-cascada.60. https://ru.scribd.com/document/325217413/Probleme -de-Tip-Cascadă.61. https://www.mathovore.fr/asie-2019-brevet-de-maths-avec-sujet-et-corrige62. www.dexonline.ro
top related