matematica - conjuntos

CONJUNTOS

NOÇÕES BÁSICAS

Os componentes de um conjunto são chamados de elementos.

Por exemplo, no conjunto dos números pares positivos menores

que 9, os elementos são 2, 4, 6 e 8.

REPRESENTAÇÃO

Costuma-se representar um conjunto nomeando os elementos

um a um, colocando-os entre chaves e separando-os por vírgu-

la. Nesse caso, dizemos que o conjunto está representado em

extensão.

Para nomear um conjunto usamos geralmente uma letra

maiúscula.

A = {2, 4, 6, 8}

A representação em extensão pode ser usada para conjuntos

finitos ou infinitos.

Exemplos:

Conjunto dos números ímpares positivos:

B = {1, 3, 5, ...} conjunto infinito

Conjunto dos números pares positivos menores que 200:

C = {2, 4, 6, ..., 198} conjunto finito

Também podemos representar um conjunto por meio de uma

figura chamada diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês,

1834 – 1923).

n(A) = 5 Lê-se: o número de elementos de A é igual

a cinco.

o Quando é dada uma propriedade característica dos elementos

de um conjunto, dizemos que ele está representado por

compreensão.

A = {x/x é um número par menor que 9}

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos

elementos. Se dois conjuntos A e B são iguais, indicamos por

A = B.

A negação da igualdade é indicada por A ≠ B (A é diferente

de B).

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

pertence

não pertence

Exemplo: Dado o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}, temos:

6 A

5 A

CONJUNTO UNIVERSO

Em muitas situações é importante estabelecer o conjunto U ao qual

pertencem os elementos de todos os conjuntos considerados. Esse

conjunto é chamado de conjunto universo. Assim:

Quando estudamos a geometria plana, o conjunto universo é

formado por todos os pontos de um dado plano.

Quando estudamos a população humana, o conjunto universo é

constituído de todos os seres humanos.

Para descrever um conjunto A por meio de uma propriedade

característica p de seus elementos, devemos mencionar, de modo

explícito ou não, o conjunto universo U no qual estamos

trabalhando:

A = {x U/ x tem a propriedade p} ou

A = {x/x tem a propriedade p}.

CONJUNTO UNITÁRIO

Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único

elemento.

Exemplo:

O conjunto P = {x/x é um número primo par e positivo}

P = {2}

CONJUNTO VAZIO

Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento.

Representa-se por { } ou .

Exemplo:

Seja A o conjunto dos números primos menores que 2.

A =

SUBCONJUNTOS (RELAÇÃO DE INCLUSÃO)

Consideremos os conjuntos A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}.

Observe que qualquer elemento de A também é elemento de B.

Nesse caso, dizemos que A está contido em B ou A é

subconjunto de B. Indica-se: A B.

Podemos dizer também que B A.

B contém A

Veja os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6}

Observe que:

A B Lê-se: A não está contido em B.

B A Lê-se: B não contém A.

Observações:

1. Se A B e B A, então A = B.

2. Os símbolos , , e são utilizados para relacionar

conjuntos.

3. Para todo conjunto A, tem-se que A A.

4. Para todo conjunto A, tem-se que A.

CONJUNTO DAS PARTES

Se considerarmos um conjunto A finito, é possível construirmos

um novo conjunto cujos elementos sejam todos os subconjuntos

possíveis de A. Esse novo conjunto formado é denominado

conjunto das partes de A e representamos por P(A).

P(A) = {x/x A}

Exemplo: Dado o conjunto A = {1, 3, 5}, então:

P(A) = { , {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}.

Observação:

Para calcular o número de elementos de P(A), basta utilizar a

expressão 2n, onde n é o número de elementos de A.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

União A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os

elementos que pertencem a A ou a B.

A B = {x/x A ou x B}.

Em diagramas: A B

A B = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} A B = {a, b, c, d, e, f} A B = A

Exemplo:

Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Então:

A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B.

A B = {x/x A e x B}.

Em diagramas: A B

A B =

A B = {c, d} E F = E

Exemplo:

Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Então:

A B = {0, 2, 4}

Diferença

A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos

elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.

A – B = {x/x A e x B}.

Em diagramas: A – B

A – B = {a, b}

A – B = A A – B = {2, 10}

Exemplo:

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}. Então:

A - B = {1, 3, 5}

Em diagrama:

Se B A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em

relação a A e indica-se por CA B.

CA B = A – B

Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então CA B = A – B

= {0, 1, 4}.

Em diagrama:

RELAÇÃO ENTRE A UNIÃO E A INTERSECÇÃO

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Exemplo:

Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemática,

210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias.

Pergunta-se:

a) Quantos alunos estudam apenas Matemática?

b) Quantos alunos estudam apenas Física?

c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física?

d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?