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Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Fundamental, 7º AnoConjuntos dos números inteiros relativos: operações

multiplicação e divisão / resolução de situações-problema

Matemática, 7º Ano do Ensino FundamentalNúmeros Inteiros Relativos

1. Introdução: Multiplicação de números inteiros

Os números inteiros positivos foram os primeiros trabalhados pela humanidade e tinham como finalidade contar objetos, animais, enfim, elementos do contexto histórico no qual se encontravam.

Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros não negativos recebe o nome de conjunto

dos números naturais. Sendo ele,

N={0,1,2,3,4,5,6…}

Já o conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos,

constituindo o seguinte conjunto:

z={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}

Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano

da humanidade, por exemplo, medir temperatura, contar dinheiro, marcar as

horas, etc. Sua importância é indiscutível.

z={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}

José comprou uma bicicleta, que pagará em 5 prestações (parcelas) de R$ 45,00 cada. Qual é o valor da dívida de José?

Multiplicação de Números Inteiros Relativos

Para calcular a dívida de José, podemos escrever:

5 parcelas

225)45()45()45()45()45(

Podemos fazer também uma multiplicação:

Observamos que a dívida de José é:

225 reais.

225)45.(5

Esse problema da dívida de José foi resolvido através de uma multiplicação de dois números (5 e – 45).

Situações que exemplificam multiplicação de dois números inteiros

1) Quando multiplicamos dois números positivos, o resultado é um número positivo.

Exemplo: Qual é o valor de (+2) . (+7) ?

Uma das ideias da multiplicação é (adição de parcelas iguais):

14 apenasou 14)7()7()7.(2

2) Quando multiplicamos dois números inteiros, um positivo por um negativo, o resultado é um número negativo.Exemplo: Qual é o valor de (+2) . (-8) ?

Aplicando a ideia de adição de parcelas iguais, teremos:

16)8()8()8.(2

3) Quando multiplicamos dois números inteiros, um negativo por um positivo, o resultado é um número negativo.Exemplo: Qual é o valor de (-2) . (+8) ?

(- 2) é o oposto de (+ 2), ou seja, - 2 = - (+2):

16)16()8).(2(

4) Quando multiplicamos dois números inteiros negativos, o resultado é um número positivo.Exemplo: Qual é o valor de (-2) . (-8) ?

(- 2) é o oposto de (+ 2), ou seja, - 2 = - (+2):

16)16()8).(2(

4.(-5) 3.(-5) 2.(-5) 1.(-5) 0.(-5) (-1).(-5) (-2).(-5) (-3).(-5)

-20 -15 -10 -5 0 5

+5 +5 +5 +5 +5 +5

OBSERVAÇÃO: os números da sequência -20,-15,-10,-5,0,5,10 e 15

apresentam um padrão: crescem de 5 em 5.

Quadro-resumo da multiplicação com números inteirosFatores Sinal do produto

Sinais iguais Positivo (+)

Sinais diferentes Negativo (-)

Um dos fatores é zero O produto é zero

2. Exemplos de Aplicação

1) Descobrir os fatores da questão.

O produto de dois números inteiros distintos e de mesmo sinal é + 9.

Os divisores naturais de 9 são: 1, 3 e 9. Dos fatores - 9, - 3, -1, + 1, + 3, + 9.

Escolhemos dois que sejam distintos e de mesmo sinal; assim, temos: -9 e -1; +1 e +9

Resposta: + 150

2) Ana Maria resolveu fazer umas economias, guardando R$ 150,00 por mês. Começou em abril e seguiu até o mês de setembro.

Responda: Qual a representação, na forma de um número inteiro com o seu respectivo sinal, do valor guardado mensalmente por Ana Maria?

Com a chegada do mês de setembro, quanto Ana Maria guardou? Faça as operações utilizando números inteiros com seus respectivos sinais.

(+5).(+150)= +750

3. Introdução: divisão de números inteiros

José comprou uma bicicleta, que custou R$ 225,00, em 5 prestações iguais. Quanto José pagou em cada prestação?

Divisão de Números Inteiros Relativos

Analisando a compra de José, verificamos que ele pagou 45 reais em cada parcela, ou seja, “pagou” - 45.

Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public License.

Podemos representar a compra de José da seguinte forma: cálculo (-225) : 5 = - 45

Usando a operação inversa, temos de

responder à seguinte pergunta:

Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

Por qual número devemos

multiplicar (+45) para obter (-225)

O número é (-45), pois (-45) . (+5) = - 225

.(+5)= - 225

Então, (-225) : (+5) = -45

1) Na divisão de um número negativo por um positivo, o resultado é negativo.

O número é (-45), pois (-45) . (+5) = - 225

.(+5)= - 225

Então, (-225) : (+5) = -45

2) Na divisão de um número negativo por um negativo, o resultado é positivo.

O número é (5), pois (5) . (-5) = -25

.(-5)= -25

Então, (-25) : (-5) = 5

3) Na divisão de um número positivo por um negativo, o resultado é negativo.

O número é (-5), pois (-5) . (-5) = 25

.(-5)= 25

Então, (25) : (-5) = -5

4) Na divisão de zero por um número positivo ou negativo, o resultado é zero.

O número é (0), pois (0) . (5) = 0

.(5)= 0

Então, (0) : (5) = 0

Situações que exemplificam divisão com números inteiros

Quadro-resumo da divisão com números inteiros

Divisor e dividendo Sinal do quociente

Sinais iguais Positivo (+)

Sinais diferentes Negativo (-)

Dividendo é zero O quociente é zero

4. Exemplos de Aplicação

1) Rosana deseja comprar um carro zero, no valor de R$ 24.000,00, mas somente tem disponível a quantia de R$ 20.000,00. Dividindo em 5 parcelas iguais, quanto fica cada parcela do valor restante?

24 000,00 – 20 000,00 = 4 000,00

4 000,00 : 5 = ? Fazendo o inverso, temos:

O valor é 800,00 . 5 = 4 000,00

Logo, 4 000,00 : 5 = R$ 800,00

5. Exercícios de Aplicação

1) Efetue as multiplicações: a) ( + 5 ) . ( + 3 )

b) ( + 4 ) . ( – 5 )

c) ( – 8 ) . ( + 4 )

d) ( – 6 ) . ( – 7 )

e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 )

f) ( – 5 ) . ( – 6 ) . ( – 2 )

2) Determine o sinal de cada produto:

a) +.+.+.+

b) -.-.-.-.

c) +.-.+.-

d) +.+.-.+.-.-

3) Efetue as divisões: a) ( + 15 ) : ( + 3 )

b) ( + 20 ) : ( – 4 )

c) ( – 35 ) : ( + 7 )

d) ( – 40 ) : ( – 5)

e) (+ 51 ) – 3 )

f) ( – 77 ) : ( + 11 )

g) 500 : ( – 25 )

4) Qual é o sinal de um produto

a) que tem dois números positivos?

b) que tem dois números negativos?

c) que tem um número positivo e outro negativo?

5) Marcos tem 120 bolas de gude e pretende dividi-las de formas iguais em 5 caixas de papelão. Qual a quantidade em cada caixa?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Projeto Araribá: matemática: ensino fundamental/ Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editora execultiva Juliane Matsubara Barroso. – 3. ed. – São Paulo: Moderna, 2010. p. 37 - 43.

< http://apeedpedroiv.no.sapo.pt/professor.gif>. Acesso em 24 jun. 2012, 23:36:41

<http://educadormatematico.wordpress.com/category/numeros-inteiros/>. Acesso em 25 jun. 2012, 00:31:18.

<http://2.bp.blogspot.com/-Ro7c_s5Ntw0/Tv8cGNcs1lI/AAAAAAAAARY/ATA0vTxZkMY/s1600/080914_professor_policial.jpg >. Acesso em 24 jun. 2012, 23:27:52.

<http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-inteiros.htm>. Acesso em 26 jun. 2012, 11:23:31.

Tabela de Imagens

n° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se conseguiu a informação Data do Acesso

22 | 23 Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU

Lesser General Public License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crystal_Clear_app_tutorials.png

13/09/2012

24 ao 30

David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nuvola_apps_edu_miscellaneous_(no_words).svg

13/09/2012

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