matematica o arte? gruppo 3 le permutazioni permutare n oggetti significa cambiare lordine in cui...
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MATEMATICA O ARTE?MATEMATICA O ARTE?
Gruppo 3
Le Permutazioni• Permutare n oggetti significa cambiare
l’ordine in cui tali oggetti sono disposti.
1234
3214
Definizione di gruppo• In generale si dice gruppo
un insieme dotato di un’operazione che gode delle seguenti proprietà
• ASSOCIATIVA
• IDENTITA’
• INVERSO
• Anche le permutazioni sono un Gruppo
• 1234 1234
• 1234 4321
Simmetrie di figure geometriche
• Classificazioni delle isometrie del piano. (Chasles, 1831)
• Riflessioni (o ribaltamenti);
• Rotazioni;
• Traslazioni;
• Glissoriflessioni.
Simmetrie dei triangoli e quadrati
Che cos’è un reticolo?
• Un reticolo è un insieme di punti del piano (o dello spazio) “indotto” dal gruppo generato da due traslazioni associate a vettori indipendenti.
Classificazione dei reticoli piani
• Le simmetrie di un reticolo piano dipendono dalla forma del parallelogramma di base, o cella elementare.
Sistemi regolari di punti
E’ un insieme di punti ottenuto ripetendo uno stesso insieme di punti lungo i filari di un reticolo ad intervalli uguali al periodo di identità del filare. Esempi sono le tassellazioni o tappezzerie nel piano e cristalli nello spazio.
I Fregi
• Sono un gruppo di isometrie che contiene solo una:
• Traslazione;
• Rotazioni;
• Riflessioni.
• In totale sono 7.
Esempio di fregio
Tassellazioni nel piano
• I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni sono 17.
• Un tipo di tassellazioni che permette di coprire il piano sono le tassellazioni di Penrose che non contengono simmetrie al loro interno.
TassellazioneTassellazione di Penrosedi Penrose
Applicazione nell’arte: Escher
Isometrie nello spazio
• Riflessioni rispetto a un piano;• Rotazioni;• Traslazioni;• Glissoriflessioni;• Glissorotazioni;• Riflessioni rotatorie.• I gruppi associati a queste simmetrie sono 230
Il tetraedro
Ha esattamente 24 simmetrie
E ci sono 4 rotazioni di 120°,
4 di 240°, 3 rotazioni di 180°, 6 riflessioni e l’identità, 6 riflessioni rotatorie ad uno dei 3 assi di rotazione
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