matemática – unidade 3. educação a distância – ead professor: flávio brustoloni matemática
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Matemática – Unidade 3
Educação a Distância – EaD
Professor: Flávio Brustoloni
Matemática
Cronograma: Turma ADG0096
Matemática
Data Atividade
20/102º Encontro
1ª Avaliação Disciplina
06/10 1º Encontro
27/103º Encontro
2ª Avaliação Disciplina
10/114º Encontro
3ª Avaliação Disciplina (FINAL)
06/10 1º Encontro
20/102º Encontro
1ª Avaliação Disciplina
Objetivos desta Unidade:• Compreender a importância do uso de modelos matemáticos na área
de Administração e Economia, como recurso para tomada de decisões;
1/44
• Reconhecer diferentes tipos de modelos: linear, quadrático, exponencial, bem como algumas de suas aplicações;
• Identificar as funções custo, lucro e receita, enquanto modelos lineares e polinomiais de grau 2;
• Reconhecer, sob a ótica matemática, conceitos como depreciação linear e ponto de nivelamento;
Unidade 3
APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
2/44
TÓPICO 1
Modelos Lineares
3/44
1 Introdução
Os modelos econômicos muitas vezes envolvem questões como fixação de
preços, controle de custos e otimização de lucros. O lucro de uma empresa, por exemplo, pode ser expresso em função do preço de venda de um produto, o que nos permite representar algebricamente
esta relação, fazendo uso de funções matemáticas.
(Estamos na página 125 da apostila)4/44
Tópico 1
2 Vantagens dos Modelos Matemáticos
Os modelos matemáticos servem para representar simplificações da
realidade. Sua vantagem reside nisto; manipular simuladamente as
complexas e difíceis situações reais através do uso de técnicas
matemáticas.
(Estamos na página 125 da apostila)5/44
Tópico 1
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
Função Custo (C):
(Estamos na página 126 da apostila)6/44
Tópico 1
C = CF + CV
Onde:C = CustoCF = Custo FixoCV = Custo Variável
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
Função Receita (R):
(Estamos na página 126 da apostila)7/44
Tópico 1
R(x) = p.x
Onde:R = ReceitaR(x) = Função Receita x produtos vendidosp = Preço de mercadox = Quantidade de mercadorias vendidas
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
Função Lucro (L):
(Estamos na página 127 da apostila)8/44
Tópico 1
L(x) = R(x) – C(x)
Onde:L = LucroL(x) = Função Lucro x produtos vendidosR(x) = Função Receita x produtos vendidos C(x) = Função Custo x produtos vendidos x = Produtos vendidos
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
(Estamos na página 127 da apostila)9/44
Tópico 1
Exemplo 1: o custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00
e o custo variável por unidade é $ 10,00. Então a função custo total é
dada por:
C(x) = 5.000 + 10x
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
(Estamos na página 127 da apostila)10/44
Tópico 1
C(x) = 5.000 + 10xY
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700
X1800
C(x)
GRÁFICO 22 – GRÁFICO DA FUNÇÃO CUSTO
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
(Estamos na página 127 da apostila)11/44
Tópico 1
Supondo que este mesmo produto seja vendido a $ 15,00, a função
receita será dada por:
R(x) = 15x
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
(Estamos na página 127 da apostila)12/44
Tópico 1
R(x) = 15x
GRÁFICO 23 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITAY
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700
X1800
C(x)
Y
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700
X1800
C(x)
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
(Estamos na página 128 da apostila)13/44
Tópico 1 GRÁFICO 24 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA e CUSTO NO MESMO SISTEMA DE EIXOS
Ponto de Nivelamento
LUCRO
PREJUÍZO
RECEITA
CUSTO
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
(Estamos na página 129 da apostila)14/44
Tópico 1
15x = 5000 + 10x15x – 10x = 50005x = 5000x = 5000 / 5x = 1000
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau
(Estamos na página 129 da apostila)15/44
Tópico 1
A função lucro, por sua vez, é determinada através da diferença entre
a receita e o custo, ou seja:
L(x) = 15x – (5000 + 10x)L(x) = 15x – 5000 – 10x
L(x) = 5x - 5000
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo
(Estamos na página 129 da apostila)16/44
Tópico 1
Nas funções custo, receita e lucro, a variável x geralmente representa a
quantidade de determinado produto.Se o produto em questão for divisível (por
exemplo, número de camisetas produzidas / vendidas), os valores de x serão 0, 1, 2, 3, ..., e o gráfico será um
conjunto de pontos alinhados.
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo
(Estamos na página 130 da apostila)17/44
Tópico 1
Ct(x)
x
5000
FIGURA 8 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO DISCRETO
3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo
(Estamos na página 130 da apostila)18/44
Tópico 1
Ct(x)
x
5000
FIGURA 9 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO CONTÍNUO
4 Depreciação Linear
(Estamos na página 130 da apostila)19/44
Tópico 1
Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem
diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se
depreciação.
Assim, o gráfico do valor em função do tempo é uma curva decrescente.
4 Depreciação Linear
(Estamos na página 130 da apostila)20/44
Tópico 1
Exemplo: O valor de uma máquina hoje é de R$ 10.000,00, e estima-se que daqui a 6 anos seja R$ 1.000,00.
a) Qual o valor da máquina daqui a x anos?
b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?
4 Depreciação Linear
(Estamos na página 131 da apostila)21/44
Tópico 1
Para determinar a expressão que expressa o valor da máquina daqui a x anos, vamos considerar os pontos conhecidos A(0, 10000) e B(6, 1000) e determinar a função dos coeficientes da função y = ax+b.0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
V(x)
A
B
4 Depreciação Linear
(Estamos na página 131 da apostila)22/44
Tópico 1
y = ax+b
0a + b = 10.0006a + b = 1.000
0a = 0, logo b = 10.000
6a + 10.000 = 1.0006a = 1.000 - 10.0006a - 9.000a = -9.000 / 6a = 1.500
V(x) = -1.500x + 10.000
4 Depreciação Linear
(Estamos na página 132 da apostila)23/44
Tópico 1
A depreciação é resultante da diferença entre o valor inicial do bem e a função
que determina sua variação de valor no decorrer do tempo x:
D(x) = V0 – V(x)
4 Depreciação Linear
(Estamos na página 132 da apostila)24/44
Tópico 1
D(x) = V0 – Vx
D(x) = 10000 – (-1500x + 10000)
D(x) = 10000 + 1500x – 10000
D(x) = 1500x
Como a variável x é expressa em anos, a função que determina a depreciação D(x) para x anos, apresenta
uma desvalorização anual do equipamento correspondente a R$ 1.500,00.
TÓPICO 2
Modelos Polinomiais
25/44
2 Oferta e Demanda
(Estamos na página 137 da apostila)26/44
Tópico 2
Uma equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e a quantidade demandada. O gráfico da equação de demanda é chamado de
curva de demanda.
Função Demanda: p = f(x)
Função Oferta: p = f(x)
2 Oferta e Demanda
(Estamos na página 137 da apostila)27/44
Tópico 2
Uma função demanda p = f(x) onde p mede o preço por unidade
e x o número de unidades, é geralmente uma função
decrescente de x, enquanto a função oferta é geralmente uma
função decrescente de x.
2 Oferta e Demanda
(Estamos na página 138 da apostila)28/44
Tópico 2
Pre
ço
P
0 Q
Ofe
rtaD
em
an
da
Q u a n tid a d e
3 Função Receita e Lucro Quadráticas
(Estamos na página 139 da apostila)29/44
Tópico 2
Exemplo: “A função de demanda de um produto é p(x) = 10 – x, e a
função custo é c(x) = 20 – x. Vamos obter:
a)A função receita e o preço que a maximiza;
b) A função lucro e o preço que a maximiza.
3 Função Receita e Lucro Quadráticas
(Estamos na página 139 da apostila)30/44
Tópico 2
R(x) = p . x
R(x) = (10-x) . x
R(x) = 10x – x2
y = ax + b
a = -1, b = 10
Xv = -(b / 2a)
Xv = -(10 / 2.(-1))
Xv = 5
3 Função Receita e Lucro Quadráticas
(Estamos na página 139 da apostila)31/44
Tópico 2
p(x) = 10 – x
x = 5
p(x) = 10 – 5
p(x) = 5
3 Função Receita e Lucro Quadráticas
(Estamos na página 139 da apostila)32/44
Tópico 2
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 10x – x2 – (20 + x)
L(x) = 10x – x2 – 20 – x
L(x) = -x2 + 9x - 20
3 Função Receita e Lucro Quadráticas
(Estamos na página 139 da apostila)33/44
Tópico 2
Xv = -(b / 2a)
Xv = -(9 / 2.(-1))
Xv = 4,5
p(x) = 10 – 4,5 p(x) = 5,5
TÓPICO 3
Modelos Exponenciais
34/44
1 Introdução
(Estamos na página 143 da apostila)35/44
Tópico 3
O modelo exponencial se apresenta como alternativa para descrição ou previsão de
determinados fenômenos. A função exponencial é uma das funções matemáticas
mais utilizadas em estudos ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das
necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de
poluentes.
2 Modelo de Crescimento Exponencial
(Estamos na página 143 da apostila)36/44
Tópico 3
Exemplo 1: Suponhamos que uma população tenha hoje 40.000 habitantes e que haja um
crescimento populacional de 2% ao ano. Assim:
• Daqui a 1 ano o número de habitantes será:
y1 = 40.000 + (0,02) . 40.000 = 40.000 . (1 + 0,02)
• Daqui a 2 anos o número de habitantes será:
• Daqui a 3 anos o número de habitantes será:
y2 = y1 + (0,02).y1 = y1.(1 + 0,02) = 40.000 . (1 + 0,02)2
y3 = y2 + (0,02).y2 = y2.(1 + 0,02) = 40.000 . (1 + 0,02)3
2 Modelo de Crescimento Exponencial
(Estamos na página 144 da apostila)37/44
Tópico 3
Podemos concluir que:
y = 40.000. (1,02)x
Taxa de crescimento
da cidade
Quantidade inicial de
habitantes
Taxa de crescimento anual (2%)
Variável Tempo (anos)
y = y0. (1 + k)x
2 Modelo de Crescimento Exponencial
(Estamos na página 144 da apostila)38/44
Tópico 3
Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a 30.000, qual será a taxa
de crescimento anual?
30.000 = 20.000.(1 + k)10
30.00020.000
= (1 + k)10
1,5 = (1 + k)10
1,5 = 1 + k10
2 Modelo de Crescimento Exponencial
(Estamos na página 144 da apostila)39/44
Tópico 3
Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a 30.000, qual será a taxa
de crescimento anual?
1 + k = 1,0414
k = 0,0414 (.100)
k = 4,14%
A taxa de crescimento será de 4,14% para que daqui a 10 anos, a população desta cidade seja de 30.000 habitantes.
3 Juros Compostos
(Estamos na página 145 da apostila)40/44
Tópico 3
Exemplo 1: Consideremos um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos à taxa de
10% ao ano. Significa que:
Ano Capital Juros Montante
01 1.000,00 100,00 1.100,00
02 1.100,00 110,00 1.210,00
03 1.210,00 121,00 1.331,00
3 Juros Compostos
(Estamos na página 145 da apostila)41/44
Tópico 3
Podemos concluir que:
M = C.(1 + i)n
Montante
Capital inicial
Taxa de Juros
Variável Tempo
3 Juros Compostos
(Estamos na página 146 da apostila)42/44
Tópico 3
Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual
a taxa mensal de juros desta aplicação?
1.061,36 = 1.000.(1 + k)4
1.061,361.000
= (1 + k)
1,06136 = (1 + k)
1,06136 = 1 + k
4
4
4
3 Juros Compostos
(Estamos na página 146 da apostila)43/44
Tópico 3
Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual
a taxa mensal de juros desta aplicação?
1 + k =
k = 0 (.100)
k = 1,5%
1,015
k = 1,015 - 1
,015
A taxa mensal de juros será de 1,5% para que,
daqui a 4 meses, o montante seja de
R$ 1.061,36.
4 Decaimento Exponencial de Vendas
(Estamos na página 147 da apostila)44/44
Tópico 3
Se S0 é o número de vendas no último mês após a interrupção dos esforços promocionais, então um bom modelo
matemático para S(t) é:
S(t) = S . e0- t
Parabéns!!! Terminamos a Unidade.
PRÓXIMA AULA:
Matemática
4º Encontro da Disciplina3ª Avaliação da Disciplina
(AVALIAÇÃO FINAL)
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