matematicke metode fizike ii - akademska 2012/2013.g....(matematicke metode fizike ii)ˇ 9....

Hermitski operatori

〈u,Av〉 = 〈Au, v〉 ⇒ A – hermitski operator, A = A†.Može se pokazati da sve u, v ∈ C2[a,b] koje zadovoljavaju homogenerubne uvjete vrijedi:〈u,Lv〉 = 〈Lu, v〉Posljedice za regularni S-L problem:

Sve vlastite vrijednosti S-L problema su realne.Dvije vlastite funkcije koje odgovaraju istoj vlastitoj vrijednosti serazlikuju samo za konstantan faktor. Za svaku vlastitu vrijednostpostoji realna vlastita funkcija.Dvije vlastite funkcije koje odgovaraju razlicitim vlastitimvrijednostima su medusobno ortogonalne i linearno nezavisne.Vlastite vrijednosti cine beskonacan niz λ1 < λ2 < ... < λn < ... zakoje vrijedi λn →∞ kada n→∞.Vlastite funkcije cine potpun ortogonalan skup: svaka kvadraticnointegrabilna funkcija f ∈ L2[a,b] može se razložiti u red povlastitim funkcijama.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 1 / 11

Vlastite funkcije S-L problema

limN→∞

‖f −N∑

k=0ckuk‖ = 0 – konvergencija u srednjem.

ck =

∫ b

af (x)u∗k (x)ρ(x)dx

ako su funkcije uk normirane na 1.Parsevalova jednakost (ako uk cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 = ‖f‖2 =

∫ ba |f (x)|2ρ(x)dx

Besselova nejednakost (ako uk ne cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 ≤ ‖f‖2

Ortogonalnost:∫ b

a ρ(x)y∗i (x)yj(x)dx = ‖yj‖δij

Potpunost: ρ(x ′)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = ρ(x)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = δ(x − x ′)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 2 / 11

Vlastite funkcije S-L problema

limN→∞

‖f −N∑

k=0ckuk‖ = 0 – konvergencija u srednjem.

ck =

∫ b

af (x)u∗k (x)ρ(x)dx

ako su funkcije uk normirane na 1.Parsevalova jednakost (ako uk cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 = ‖f‖2 =

∫ ba |f (x)|2ρ(x)dx

Besselova nejednakost (ako uk ne cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 ≤ ‖f‖2

Ortogonalnost:∫ b

a ρ(x)y∗i (x)yj(x)dx = ‖yj‖δij

Potpunost: ρ(x ′)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = ρ(x)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = δ(x − x ′)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 2 / 11

Vlastite funkcije S-L problema

limN→∞

‖f −N∑

k=0ckuk‖ = 0 – konvergencija u srednjem.

ck =

∫ b

af (x)u∗k (x)ρ(x)dx

ako su funkcije uk normirane na 1.Parsevalova jednakost (ako uk cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 = ‖f‖2 =

∫ ba |f (x)|2ρ(x)dx

Besselova nejednakost (ako uk ne cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 ≤ ‖f‖2

Ortogonalnost:∫ b

a ρ(x)y∗i (x)yj(x)dx = ‖yj‖δij

Potpunost: ρ(x ′)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = ρ(x)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = δ(x − x ′)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 2 / 11

Vlastite funkcije S-L problema

limN→∞

‖f −N∑

k=0ckuk‖ = 0 – konvergencija u srednjem.

ck =

∫ b

af (x)u∗k (x)ρ(x)dx

ako su funkcije uk normirane na 1.Parsevalova jednakost (ako uk cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 = ‖f‖2 =

∫ ba |f (x)|2ρ(x)dx

Besselova nejednakost (ako uk ne cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 ≤ ‖f‖2

Ortogonalnost:∫ b

a ρ(x)y∗i (x)yj(x)dx = ‖yj‖δij

Potpunost: ρ(x ′)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = ρ(x)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = δ(x − x ′)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 2 / 11

Vlastite funkcije S-L problema

limN→∞

‖f −N∑

k=0ckuk‖ = 0 – konvergencija u srednjem.

ck =

∫ b

af (x)u∗k (x)ρ(x)dx

ako su funkcije uk normirane na 1.Parsevalova jednakost (ako uk cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 = ‖f‖2 =

∫ ba |f (x)|2ρ(x)dx

Besselova nejednakost (ako uk ne cine potpun skup):∞∑

k=0|ck |2 ≤ ‖f‖2

Ortogonalnost:∫ b

a ρ(x)y∗i (x)yj(x)dx = ‖yj‖δij

Potpunost: ρ(x ′)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = ρ(x)∑k

y∗k (x ′)yk (x) = δ(x − x ′)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 2 / 11

Primjeri jednacina važnih fizikalnih problema

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 3 / 11

Osobine Greenove funkcije

Ly(x) = f (x) L = P(x) d2

dx2 + Q(x) ddx + R(x)

LG(x , x ′) = δ(x − x ′)

Greenova funkcija zadovoljava polaznu diferencijalnu jednacinu,ali sa delta funkcijom δ(x − x ′) na desnoj strani.Kada se posmatra kao funkcija od x , G(x , x ′) zadovoljava zadane(homogene) rubne uvjete za y(x).Sama Greenova funkcija je neprekidna u tacki x = x ′, ali njen prviizvod ima prekid dG(x ,x ′)

dx

∣∣∣x=x ′+0

− dG(x ,x ′)dx

∣∣∣x=x ′−0

= 1P(x ′) .

Uz odgovarajucu Greenovu funkciju, rješenje nehomogene diferenci-jalne j-ne Ly(x) = f (x) jednostavno nalazimo kaoy(x) =

∫ ba G(x , x ′)f (x ′)dx ′.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 4 / 11

Osobine Greenove funkcije

Ly(x) = f (x) L = P(x) d2

dx2 + Q(x) ddx + R(x)

LG(x , x ′) = δ(x − x ′)

Greenova funkcija zadovoljava polaznu diferencijalnu jednacinu,ali sa delta funkcijom δ(x − x ′) na desnoj strani.Kada se posmatra kao funkcija od x , G(x , x ′) zadovoljava zadane(homogene) rubne uvjete za y(x).Sama Greenova funkcija je neprekidna u tacki x = x ′, ali njen prviizvod ima prekid dG(x ,x ′)

dx

∣∣∣x=x ′+0

− dG(x ,x ′)dx

∣∣∣x=x ′−0

= 1P(x ′) .

Uz odgovarajucu Greenovu funkciju, rješenje nehomogene diferenci-jalne j-ne Ly(x) = f (x) jednostavno nalazimo kaoy(x) =

∫ ba G(x , x ′)f (x ′)dx ′.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 4 / 11

Osobine Greenove funkcije

Ly(x) = f (x) L = P(x) d2

dx2 + Q(x) ddx + R(x)

LG(x , x ′) = δ(x − x ′)

Greenova funkcija zadovoljava polaznu diferencijalnu jednacinu,ali sa delta funkcijom δ(x − x ′) na desnoj strani.Kada se posmatra kao funkcija od x , G(x , x ′) zadovoljava zadane(homogene) rubne uvjete za y(x).Sama Greenova funkcija je neprekidna u tacki x = x ′, ali njen prviizvod ima prekid dG(x ,x ′)

dx

∣∣∣x=x ′+0

− dG(x ,x ′)dx

∣∣∣x=x ′−0

= 1P(x ′) .

Uz odgovarajucu Greenovu funkciju, rješenje nehomogene diferenci-jalne j-ne Ly(x) = f (x) jednostavno nalazimo kaoy(x) =

∫ ba G(x , x ′)f (x ′)dx ′.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 4 / 11

Osobine Greenove funkcije

Ly(x) = f (x) L = P(x) d2

dx2 + Q(x) ddx + R(x)

LG(x , x ′) = δ(x − x ′)

Greenova funkcija zadovoljava polaznu diferencijalnu jednacinu,ali sa delta funkcijom δ(x − x ′) na desnoj strani.Kada se posmatra kao funkcija od x , G(x , x ′) zadovoljava zadane(homogene) rubne uvjete za y(x).Sama Greenova funkcija je neprekidna u tacki x = x ′, ali njen prviizvod ima prekid dG(x ,x ′)

dx

∣∣∣x=x ′+0

− dG(x ,x ′)dx

∣∣∣x=x ′−0

= 1P(x ′) .

Uz odgovarajucu Greenovu funkciju, rješenje nehomogene diferenci-jalne j-ne Ly(x) = f (x) jednostavno nalazimo kaoy(x) =

∫ ba G(x , x ′)f (x ′)dx ′.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 4 / 11

Osobine Greenove funkcije

Ly(x) = f (x) L = P(x) d2

dx2 + Q(x) ddx + R(x)

LG(x , x ′) = δ(x − x ′)

Greenova funkcija zadovoljava polaznu diferencijalnu jednacinu,ali sa delta funkcijom δ(x − x ′) na desnoj strani.Kada se posmatra kao funkcija od x , G(x , x ′) zadovoljava zadane(homogene) rubne uvjete za y(x).Sama Greenova funkcija je neprekidna u tacki x = x ′, ali njen prviizvod ima prekid dG(x ,x ′)

dx

∣∣∣x=x ′+0

− dG(x ,x ′)dx

∣∣∣x=x ′−0

= 1P(x ′) .

Uz odgovarajucu Greenovu funkciju, rješenje nehomogene diferenci-jalne j-ne Ly(x) = f (x) jednostavno nalazimo kaoy(x) =

∫ ba G(x , x ′)f (x ′)dx ′.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 4 / 11

Greenova funkcija: razvoj po vlastitim f-jama

L = −p(x) d2

dx2 − p′(x) ddx + q(x) + odgovarajuci rubni uvjeti

Ly(x) = f (x) (∗)

Ako znamo rješenja yk (x) odgovarajuceg problema sa vlastitimvrijednostima Ly(x) = λρ(x)y(x), možemo f-ju y(x) iz (∗) razviti poodgovarajucem potpunom skupu vlastitih funkcija y(x) =

∑k

ckyk (x). Iz

y(x) =

∫ b

aG(x , x ′)f (x ′)dx ′;

dobivamo

G(x , x ′) =∑

n

yn(x)y∗n (x ′)λn‖yn‖2

.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 5 / 11

Greenova funkcija: razvoj po vlastitim f-jama

L = −p(x) d2

dx2 − p′(x) ddx + q(x) + odgovarajuci rubni uvjeti

Ly(x) = f (x) (∗)

Ako znamo rješenja yk (x) odgovarajuceg problema sa vlastitimvrijednostima Ly(x) = λρ(x)y(x), možemo f-ju y(x) iz (∗) razviti poodgovarajucem potpunom skupu vlastitih funkcija y(x) =

∑k

ckyk (x). Iz

y(x) =

∫ b

aG(x , x ′)f (x ′)dx ′;

dobivamo

G(x , x ′) =∑

n

yn(x)y∗n (x ′)λn‖yn‖2

.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 5 / 11

Greenova funkcija: razvoj po vlastitim f-jama

L = −p(x) d2

dx2 − p′(x) ddx + q(x) + odgovarajuci rubni uvjeti

Ly(x) = f (x) (∗)

Ako znamo rješenja yk (x) odgovarajuceg problema sa vlastitimvrijednostima Ly(x) = λρ(x)y(x), možemo f-ju y(x) iz (∗) razviti poodgovarajucem potpunom skupu vlastitih funkcija y(x) =

∑k

ckyk (x). Iz

y(x) =

∫ b

aG(x , x ′)f (x ′)dx ′;

dobivamo

G(x , x ′) =∑

n

yn(x)y∗n (x ′)λn‖yn‖2

.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 5 / 11

Greenova funkcija

Korisna generalizacija

Ly(x)− µρ(x)y(x) = f (x) (∗∗)

Razvit cemo y(x) i f (x) po potpunom skupu normiranih vlastitihfunkcija yn(x) za koje Lyn(x) = λnρ(x)yn(x) uz odgovarajuce rubneuvjete. y(x) =

∑n

cnyn(x);

ρ(x)∑n

(λn − µ)cnyn(x) = ρ(x)∑n

yn(x)∫ b

a y∗n (x ′)f (x ′)dx ′ ⇒

cn =∑n

∫ ba f (x ′)y∗n (x ′)dx ′

λn−µ , y(x) =∫ b

a∑n

yn(x)y∗n (x ′)λn−µ f (x ′)dx ′.

G(x , x ′) =∑

n

yn(x)y∗n (x ′)λn − µ

.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 6 / 11

Greenova funkcija

Korisna generalizacija

Ly(x)− µρ(x)y(x) = f (x) (∗∗)

Razvit cemo y(x) i f (x) po potpunom skupu normiranih vlastitihfunkcija yn(x) za koje Lyn(x) = λnρ(x)yn(x) uz odgovarajuce rubneuvjete. y(x) =

∑n

cnyn(x);

ρ(x)∑n

(λn − µ)cnyn(x) = ρ(x)∑n

yn(x)∫ b

a y∗n (x ′)f (x ′)dx ′ ⇒

cn =∑n

∫ ba f (x ′)y∗n (x ′)dx ′

λn−µ , y(x) =∫ b

a∑n

yn(x)y∗n (x ′)λn−µ f (x ′)dx ′.

G(x , x ′) =∑

n

yn(x)y∗n (x ′)λn − µ

.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 6 / 11

Greenova funkcija

Korisna generalizacija

Ly(x)− µρ(x)y(x) = f (x) (∗∗)

Razvit cemo y(x) i f (x) po potpunom skupu normiranih vlastitihfunkcija yn(x) za koje Lyn(x) = λnρ(x)yn(x) uz odgovarajuce rubneuvjete. y(x) =

∑n

cnyn(x);

ρ(x)∑n

(λn − µ)cnyn(x) = ρ(x)∑n

yn(x)∫ b

a y∗n (x ′)f (x ′)dx ′ ⇒

cn =∑n

∫ ba f (x ′)y∗n (x ′)dx ′

λn−µ , y(x) =∫ b

a∑n

yn(x)y∗n (x ′)λn−µ f (x ′)dx ′.

G(x , x ′) =∑

n

yn(x)y∗n (x ′)λn − µ

.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 6 / 11

Greenova funkcija prinudnih oscilacija

Specijalan slucaj - kontinuiran skup vlastitih vrijednosti i beskonacaninterval.Primjer: Greenova funkcija prinudnih oscilacija y + ω2

oy = F (t):

G(t − τ) =1

2π

∞∫−∞

e−iω(t−τ)

ω2o − ω2

dω;

y(t) =1

2π

∞∫−∞

dτF (τ)G(t − τ).

OpcenitoLG(~r ,~r ′) = δ(~r −~r ′) uz odgovarajuce rubne uvjete.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 7 / 11

Greenova funkcija prinudnih oscilacija

Specijalan slucaj - kontinuiran skup vlastitih vrijednosti i beskonacaninterval.Primjer: Greenova funkcija prinudnih oscilacija y + ω2

oy = F (t):

G(t − τ) =1

2π

∞∫−∞

e−iω(t−τ)

ω2o − ω2

dω;

y(t) =1

2π

∞∫−∞

dτF (τ)G(t − τ).

OpcenitoLG(~r ,~r ′) = δ(~r −~r ′) uz odgovarajuce rubne uvjete.

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 7 / 11

Specijalne funkcije

Gama funkcija

Γ(n) =

∞∫0

xn−1e−xdx , n > 0

Γ(n + 1) = nΓ(n); Γ(n + 1) = n!

Γ(n) = 2

∞∫0

y2n−1e−y2dy ⇒ Γ(1

2) = 2

∞∫0

e−y2dy =

√π

Γ(n + 1) =√

2πn nne−n(

1 +1

12n+

1288n2 + ...

)= n!

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 8 / 11

Specijalne funkcije

Gama funkcija

Γ(n) =

∞∫0

xn−1e−xdx , n > 0

Γ(n + 1) = nΓ(n); Γ(n + 1) = n!

Γ(n) = 2

∞∫0

y2n−1e−y2dy ⇒ Γ(1

2) = 2

∞∫0

e−y2dy =

√π

Γ(n + 1) =√

2πn nne−n(

1 +1

12n+

1288n2 + ...

)= n!

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 8 / 11

Specijalne funkcije

Gama funkcija

Γ(n) =

∞∫0

xn−1e−xdx , n > 0

Γ(n + 1) = nΓ(n); Γ(n + 1) = n!

Γ(n) = 2

∞∫0

y2n−1e−y2dy ⇒ Γ(1

2) = 2

∞∫0

e−y2dy =

√π

Γ(n + 1) =√

2πn nne−n(

1 +1

12n+

1288n2 + ...

)= n!

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 8 / 11

Specijalne funkcije

Gama funkcija

Γ(n) =

∞∫0

xn−1e−xdx , n > 0

Γ(n + 1) = nΓ(n); Γ(n + 1) = n!

Γ(n) = 2

∞∫0

y2n−1e−y2dy ⇒ Γ(1

2) = 2

∞∫0

e−y2dy =

√π

Γ(n + 1) =√

2πn nne−n(

1 +1

12n+

1288n2 + ...

)= n!

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 8 / 11

Specijalne funkcije

Gama funkcija

Γ(n)Γ(1− n) =π

sin nπ

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 9 / 11

Specijalne funkcije

Gama funkcija

Opcenito, i za negativne n

n! = (n+m)!(n+m)(n+m−1)···(n+1)

Integralna reprezentacija∫C

e−zzνdz = (e2πiν − 1)ν!

ν necijeli broj⇒ 0 je tacka grananja.(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 10 / 11

Specijalne funkcije

Beta funkcija

B(m,n) =

1∫0

xm−1(1− x)n−1dx

B(m,n) = 2

π/2∫0

cos2m−1 ϕ sin2n−1 ϕdϕ

B(m,n) =

∞∫0

yn−1dy(1 + y)n+m

B(m,n) =Γ(m)Γ(n)

Γ(m + n)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 11 / 11

Specijalne funkcije

Beta funkcija

B(m,n) =

1∫0

xm−1(1− x)n−1dx

B(m,n) = 2

π/2∫0

cos2m−1 ϕ sin2n−1 ϕdϕ

B(m,n) =

∞∫0

yn−1dy(1 + y)n+m

B(m,n) =Γ(m)Γ(n)

Γ(m + n)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 11 / 11

Specijalne funkcije

Beta funkcija

B(m,n) =

1∫0

xm−1(1− x)n−1dx

B(m,n) = 2

π/2∫0

cos2m−1 ϕ sin2n−1 ϕdϕ

B(m,n) =

∞∫0

yn−1dy(1 + y)n+m

B(m,n) =Γ(m)Γ(n)

Γ(m + n)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 11 / 11

Specijalne funkcije

Beta funkcija

B(m,n) =

1∫0

xm−1(1− x)n−1dx

B(m,n) = 2

π/2∫0

cos2m−1 ϕ sin2n−1 ϕdϕ

B(m,n) =

∞∫0

yn−1dy(1 + y)n+m

B(m,n) =Γ(m)Γ(n)

Γ(m + n)

(Matematicke metode fizike II) 9. predavanje 11 / 11