matematicko modeliranje u biologiji - naslovnicaweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmub/exp.pdf · uvod...

MATEMATICKO MODELIRANJEU BIOLOGIJI

1 / 68

prof.dr.sc. Miljenko Marušic

miljenko.marusic@math.hr

WWW: https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmub/

Predavanja:

ponedjeljak 8-10 (A101)utorak: 12-14 (P003)

Predavanja i vježbe nisu odvojeni.

Konzultacije:

utorak: 10-12

2 / 68

Uvod Sadržaj kolegija

Sadržaj kolegija.

Matematicki modeli

Eksponencijalni modelLogisticki modelModeli rasta tumora (von Bertalanffy, Gompertz,...)Rast s ogranicenjemModel bioreaktora (’chemostat’ model)Lotka-Volterrin model (model grabežljivac-plijen)Kompartmentalni modeliEpidemiološki modeli (SIS, SIR, criss-cross...)

3 / 68

Uvod Sadržaj kolegija

Matematicki sadržaj

Preduvjet: derivacija, integralDiferencijalne jednadžbeRješavanje diferencijalnih jednadžbiNumericko rješavanje diferencijalnih jednadžbiMetoda najmanjh kvadrata (odredivanje parametara modela)EkvilibrijStabilnost ekvilibrijaParcijalne derivacijeSvojstvene vrijednosti linearnog operatora

Programiranje: programski paket ’Mathematica’

4 / 68

Uvod Ocjenjivanje

Ocjenjivanje

1. kolokvij 50 b2. kolokvij 50 bDomace zadace (po 5 b)Zadaju se jednom tjedno.Predaju se sljedeci ponedjeljak u 8:15.Seminarski rad (do 20 bodova) - samo za studente koji imajupreko 40 bodovaPopravni kolokvij (najveca ocjena je 2)

5 / 68

Uvod Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi

matematika

biologija

6 / 68

MODELI RASTA

7 / 68

Eksponencijalni model Eksponencijalna funkcija

1.1. EKSPONENCIJALNI MODEL

1.1.1. Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija:

exp : R→ R,

(Opca) eksponencijalna funkcija:

expa : R→ R,

a - baza eksponencijalne funkcije, a > 0 i a 6= 1.

Oznaka:expa(x) = ax

8 / 68

Graf eksponencijalne funkcije.

1 2 3 4

9 / 68

Definicija eksponencijalne funkcije.

exp(x) = ex .

Red potencija:

exp x =∞∑

ilif ′(x) = f (x), f (0) = 1,

iliexp x = lim

n→∞

Svojstvo:ex+y = ex ey

10 / 68

Motivacija za eksponencijalnu funkciju.

Za n ∈ N:an = a · a · . . . · a

Želimo svojstvo f (x + y) = f (x)f (y) proširiti na N0:

an = an+0 = ana0 ⇒ a0 = 1.

Isto svojstvo proširimo na Z:

1 = a0 = an−n = ana−n ⇒ a−n =1an ,

te na Q:

a = a1 = an 1n = a

1n+...+

)n⇒ a

1n = n√

11 / 68

Svojstvof (x + y) = f (x)f (y)

jednoznacno definira eksponencijalnu funkciju na Q.Možemo li to svojstvo proširiti na R?

Teorem (1)Za dani a ∈ R, a ≥ 0, postoji jedinstvena neprekidna funkcija f : R→ Rkoja zadovoljava f (x + y) = f (x)f (y) za sve x , y ∈ R i f (1) = a.

Teorem (2)Za dani a ∈ R, a ≥ 0, postoji jedinstvena monotona funkcija f : R→ Rkoja zadovoljava f (x + y) = f (x)f (y) za sve x , y ∈ R i f (1) = a.

Definicija

Funkciju iz Teorema 1 (2) za a = f (1) > 0 i a 6= 1 nazivamoeksponencijalna funkcija. Broj a nazivamo bazom eksponencijalnefunkcije.

12 / 68

1. Domaca zadaca

Dokažite teoreme 1. i 2.

Za one koji žele više: Pokažite da je neprekidnost nužan uvjet zajedinstvenost, tj. konstruirajte funkciju koja zadovoljavaf (x + y) = f (x)f (y) za sve x , y ∈ R a nije neprekidna.

13 / 68

Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model

1.1.2. Diskretni eksponencijalni model

Promatramo stanice od kojih se svaka dijeli tocno nakon vremena Td .Pocnemo s jednom stanicom

0 Td 2Td 3Td

14 / 68

Nakon vremena Td ona ce se podijeliti i imat cemo dvije stanice

0 Td 2Td 3Td

15 / 68

Nakon vremena 2Td svaka od njih ce se podijeliti i imat cemo 4 stanice

0 Td 2Td 3Td

16 / 68

Nakon vremena 3Td imat cemo 8 stanica

0 Td 2Td 3Td

17 / 68

0 Td 2Td 3Td

18 / 68

Broj stanica utrenutku ti = i · Td je: 1,2,4,8,16, . . ..

(Geomterijski rast. )

N - velicina populacije,Ni := N(ti) = 2i .

Eksponencijalna funkcija.Eksponencijalni rast.

Drugaciji zapis:

Ni - velicina populacije u trenutku tiNakon proteka vremena Td populacija ce se udvostruciti:

Ni+1 = 2Ni .

Diferencijska jednadžba.19 / 68

Rješenje diferencijske jednadžbe:

Ni = 2Ni−1 = 22Ni−2 = . . . = N02i .

Rješenje jednadžbe nije jedinstveno.Uz zadanu pocetnu vrijednost N0 u trenutku t0 rješenje ce bitijedinstveno.

20 / 68

Thomas Robert Malthus (1766-1834)

- Engleski ekonomist i demograf

- Prvi upotrijebio eksponencijalnu funkciju kao opis za rast populacije.

- Malthusijev rast

- ”An Essay on the Principle of Population” (1798)

21 / 68

Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela

1.1.3. Izvod eksponencijalnog modela

- Pretpostavka da se sve stanice dijele u istom trenutku je nerealana.

- Realisticnije: stanice su izmiješane i dijele se u razlicitim vremenima.

- Vrijeme nakon kojeg se stanice podijele ( Td ) nije isto za sve stanice.

- Vrijeme udvostrucenja (karakteristicno za svaku vrstu stanica) jeprosjecno vrijeme nakon kojeg se stanice podijele.

Pretpostavka

Sve stanice se dijele tocno nakon vremena Td .

- Vrijeme udvostrucenja (prosjecno vrijeme nakon kojeg se stanicedijele) ne treba biti nepromijenjivo u odnosu na vrijeme.

- Npr. ovisi odostupnost hranjivih sastojaka.

22 / 68

Funkcija prirasta

G(N(t),h) = N(t + h)− N(t).

G ne ovisi direktno o vremenu t .

U bilo kojem trenutku t pocnemo promatrati prirast populacije velicineN, nakon proteka vremena h prirast je isti.

- Promatramo sustav na koji ne utjecu vanjski faktori.

Pojednostavljeni zapis: N = N(t).

Prvo promatramo ovsnost funkcije prirasta G o velicini populacije.

Za fiksirani h definiramo funkciju

gh(N) = G(N,h).

23 / 68

Populaciju podijelimo na dvije populacije velicine M i N.

Svaka od njih nastavi rasti pod istim uvjetima:

G(N(t),h) = N(t + h)− N(t) i G(M(t),h) = M(t + h)−M(t).

S druge strane, možemo ove dvije populacije promatrati kao jednu:

G(N(t) + M(t),h) = N(t + h) + M(t + h)− N(t)−M(t)) == G(N(t),h) + G(M(t),h),

odnosnogh(N + M) = gh(N) + gh(M).

Analogno, podijelom populacije velicine m N na m jednakih dijelovadobivamo da je

gh(mN) = m gh(N).

24 / 68

Odavdje slijedi

gh(N) = gh

⇒ gh

gh (N) .

Ovime smo pokazali da za svaki r ∈ Q, r = mn , vrijedi

gh (rN) = rgh (N) .

gh linearna funkcija, ali samo nad Q.

Uocimo: funkcija G je monotona (rastuca) s obzirom na N i h.

Veca populaciju→ veci prirast

⇒ G monotona po varijabli N a gh je monotona (rastuca) funkcija. 25 / 68

Monotonost po varijabli h:

veci protek vremena→ veci i prirast.

Neka je sada a ∈ R proizvoljan.

Q je gust u skupu R ⇒za proizvoljni δ > 0 postoje r1, r2 ∈ Q takvi da je r1 < a < r2,|a− r1| < δ i |a− r2| < δ.

gh monotona ⇒

gh(ay)−aGh(y) ≤ gh(r2y)−agh(y) = r2gh(y)−agh(y) = (r1−a)gh(y).

Slicno,

gh(ay)−agh(y) ≥ gh(r1y)−agh(y) = r1gh(y)−agh(y) = (r1−a)gh(y).

26 / 68

Dakle,

|gh(ay)− agh(y)| ≤ max{|r1 − a|, |r2 − a|}|gh(y)| ≤≤ δ|gh(y)|

za svaki δ > 0.⇒ gh(ay)− agh(y) = 0,

odnosno⇒ gh(ay) = agh(y)

za proizvoljni a ∈ R. .

gh je linearna funkcija → G je linearna u varijabli N:

gh(N) = aN = a(h)N.

Uocimo: gh ovisi o h te a mora ovisiti o h.

27 / 68

Funkcija prirasta:

N(t + h)− N(t) = G(N(t),h) = a(h)N(t).

N(t + h) = a(h)N(t) + N(t) = (1 + a(h))N(t) = b(h)N(t).

Prirast populacije nakon proteka vremena h1 + h2:

N(t + h1 + h2) = b(h1 + h2)N(t).

S druge strane,

N(t + h1 + h2) = b(h2)N(t + h1) = b(h1)b(h2)N(t).

Izjednacimo desne strane:

b(h1 + h2) = b(h1)b(h2).

G monotona funkcija u varijabli h ⇒ b monotona funkcija.28 / 68

b je eksponencijalna funkcija:

b(h) = eαh

iN(t + h) = eαh N(t).

Posebno, ukoliko stavimo t = 0 i h = t , dobivamo izraz za N:

N(t) = N(0) eαt .

- eksponencijalni model

- model-funkcija

- N(0) i α parametri modela

29 / 68

Umjesto: stanice se dijele tocno nakon vremena Td

Može: sve stanice imaju istu vjerojatnost diobe i ta vjerojatnost se nemijenja s vremenom.

⇒ U populaciji s relativno velikim brojem stanica prosjecno vrijemediobe ce biti konstantno.

Izvod eksponencijalnog modela iz ove pretpostavke u poptpunosti jeisti kao i prethodni izvod. (Uocimo da ukoliko populaciju podijelimo nadvije skupine, u obje skupine vrijedi ista pretpostavka o jednakojvjerojatnosti diobe.)

30 / 68

Eksponencijalni model Taylorov razvoj funkcije prirasta

1.1.4. Taylorov razvoj funkcije prirasta

Taylorov teorem srednje vrijednosti:

f (x + h) = f (x) + f ′(x)h +12

f ′′(x)h2 + . . .+1k !

f (k)(x)hk +

(k + 1)!f (k+1)(ζ)hk+1.

Za k = 2:

f (x + h) = f (x) + f ′(x)h +12

f ′′(x)h2 +O(h3).

Funkciju f smo aproksimirali polinomom:

f (x + h) = a + bh + ch2 +O(h3) = P2(h) +O(h3).

31 / 68

Funkcija prirasta

G(N(t),h) = N(t + h)− N(t)

ovisi o dvije varijable: N i h.

G(N,h) = P2(N,h) +O.

(O sadrži trece potencije i više)

’Zanemarimo’ O:

G(N,h) = a + bh + cN + dh2 + ehN + fN2.

32 / 68

1. Za N = 0 (nema populacije) prirast je 0 G(0,h) = 0, ∀h ⇒

0 = G(0,h) = a + bh + dh2, ∀h

⇒ a = b = d = 0

Sada jeG(N,h) = cN + ehN + fN2.

2. Za h = 0 (nema proteka vremena) prirast je 0 G(N,0) = 0, ∀N⇒

0 = G(N,0) = cN + fN2, ∀N

⇒ c = f = 0

Sada jeG(N,h) = ehN =: αhN.

33 / 68

G(N,h) = αhN.

N(t + h)− N(t) = αhN(t).

N(t + h)− N(t)h

= αN(t). / limh→0

N ′(t) = αN(t).

Diferencijalna jednadžba

Funkcija N0 eαt zadovoljava jednadžbu.

Je li to jedino rješenje?

34 / 68

Eksponencijalni model Primjena eksponencijalnog modela

1.1.5. Primjena eksponencijalnog modela

Implicitna pretpostavka: neograniceni pristup hrani

Primjenjljivo u pocetnoj fazi rasta.

Eksponencijalna funkcija je neogranicena!

35 / 68

PrimjerRast tumorskih stanica (prikazan je volumen).

10 20 30 40 50 60 70

10 000

15 000

20 000

10 20 30 40 50 60 70

36 / 68

Izaberemo prvih 5 podataka:

5 6 7 8

Podaci se poklapaju s eksponencijalnom krivuljom!

37 / 68

Vrijeme udvostrucenja

Funkcija:N(t) = N0 eαt

Td - vrijeme udvostrucenja

N(t + Td) = 2N(t)

N0 eα(t+Td ) = 2N0 eαt

eαt eαTd = 2 eαt

eαTd = 2

α =ln 2Td

38 / 68

ZadatakInicijalni rast populacije stanica je opisan modelom:

N(t) = 15.2 e1.1t .

Odredite vrijeme udvostrucenja stanica.

Rješenje.

Td =ln 2α

=ln 21.1

= 0.63

39 / 68

ZadatakU modeliranju radioaktivnog raspada, iz pretpostavke da svaki atomima istu vjerojatnost raspada, jednostavo se dobije eksponencijalnimodel. U ovom slucaju, umjesto vremena udvostrucenja govorimo ovremenu poluraspada.Nakon 500 godina, uzorak radija-226 se smanjio na 80.4% njegoveoriginalne mase. Odredite vrijeme poluraspada za radij-226.

Rješenje.N(t) = N0 e−αt

N(t) = N0 e−αt = 0.804N0 ⇒

α = − ln 0.804t

= − ln 0.804500

= 0.000436312019606341

T1/2 =ln 2α

0.000436312019606341= 1588,65020767782

40 / 68

Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri

1.2. Diferencijalne jednadžbe1.2.1. Definicija i primjeri

Eksponencijalni model:y(t) = N0 eαt

iliy ′(t) = αy(t), N(0) = N0, ∀t

Model opisan diferencijalnom jednadžbom!

Interpretacija derivacije:

- tangenta (Leibniz)

- brzina (Newton)

41 / 68

Definicija

Neka je zadana funkcija f : [a,b]× R→ R. tada jednadžbu oblika

y ′(t) = f (t , y(t)) ∀t ∈ [a,b]

nazivamo obicna diferencijalna jednadžba (ODJ).Funkciju y : [a,b]→ R koja zadovoljava ovu jednadžbu nazivamorješenjem (obicne) diferencijalne jednadžbe.

- Koristit cemo kraci naziv: diferencijalna jednadžba

- Uobicajeno je ispustiti argument t kod zapisa funkcije y

- ∀t ∈ [a,b] se takoder ispušta (podrazumijeva se maksimalnadomena):

y ′ = f (t , y)

42 / 68

Primjeri.

Primjer 1.y ′(t) = αy(t)

⇒ f (t , y(t)) = αy(t) ⇒ f (t , y) = αy

Krace:y ′ = αy

Primjer 2. Je li funkcija y(x) = ex rješenje jednadžbe

y ′ = y?

y(x) = ex ⇒ y ′(x) = ex

y ′ = y ⇔ ex = ex

Vrijedi ∀x(∈ R).

Funkcija y(x) = ex je rješenje dane diferencijalne jednadžbe.43 / 68

Funkcija y(x) = 2 ex je takoder rješenje diferencijalne jednadžbey ′ = y :

y(x) = 2 ex ⇒ y ′(x) = 2 ex

y ′ = y ⇔ 2 ex = 2 ex .

Rješenje nije jedinstveno!

Štoviše, i y(x) = c ex je takoder rješenje za svaki c ∈ R!

y(x) = c ex ⇒ y ′(x) = c ex

y ′ = y ⇔ c ex = c ex .

44 / 68

Primjer 3. Je li funkcija y(x) = e2x rješenje jednadžbe

y ′ = y?

y(x) = e2x ⇒ y ′(x) = 2 e2x

y ′ = y ⇔ e2x = 2 e2x

Ne vrijedi ∀x(∈ R).

Funkcija y(x) = e2x nije rješenje dane diferencijalne jednadžbe.

45 / 68

Diferencijalna jednadžba y ′ = f (t , y)ne treba imati rješenje

ako ima rješenje, rješenje ne treba biti jedinstveno

Može se dodati dodatni uvjet (jednadžba) oblika

- y(a) = y0 - pocetni (inicijalni) uvjet→ inicijalni (Cauchyjev)problem za ODJ.

- uvjet koji obuhvaca ponašanje u rubovima intervala, npr.y(a) + αy(b) = β → rubni uvjet→ rubni problem za ODJ.

Analogno se definiraju diferencijalne jednadžbe višeg reda (sderivacijama višeg reda):

y (k) = f(

t , y , y ′, . . . , y (k−1))

46 / 68

Primjer 4. Odredimo rješenje inicijalnog problema za ODJ

y ′ = y , y(1) = 1.

Jedno rješenje jednadžbe y ′ = y je oblika

y(x) = c ex .

Konstantu c odredimo tako da je zadovoljen pocetni uvjet

y(1) = 1.

⇒ 1 = y(1) = c e1 = c e

⇒ c = e−1

⇒ y(x) = e−1 ex = ex−1

47 / 68

Primjer 5. primjeri diferencijalnih jednadžbi

y ′ = 2y − 1y ′ = ty + sin ty ′ = sin(xy)

y ′ =t − yt2 + 1

y ′ = t ey , y(0) = 1y ′ = ay − ty ′′ = 2y + 3xy ′ − 4x2.

48 / 68

ZadatakProvjerite jesu li funkcije

y = t2

y = t et

y = sin trješenja diferencijalnih jednadžbi

y ′ = 2√

yy ′ = tyy ′ = y

49 / 68

Rješenje.

1. Funkcija y = t2 ⇒ y ′ = 2ty ′ = 2

√y ⇔ 2t = 2

√t2 = 2|t |

t = |t | za t ≥ 0⇒ y = t2 je rješenje ODJ za t ≥ 0.

y ′ = ty ⇔ 2t = t t2 = t3

(ne vrijedi ∀t ∈ R, niti na nekom intervalu) ⇒ y nije rješenje.

y ′ = y ⇔ 2t = t2

(ne vrijedi ∀t ∈ R, niti na nekom intervalu) ⇒ y nije rješenje.

50 / 68

2. Funkcija y = t et ⇒ y ′ = et +t et

y ′ = 2√

y ⇔ et +t et = 2√

t et ⇒ y nije rješenje.

y ′ = ty ⇔ et +t et = t t et = t2 et ⇔ 1 + t = t2

⇒ y nije rješenje.

y ′ = y ⇔ et +t et = t et ⇔ et = 0

⇒ y nije rješenje.

3. Funkcija y = sin t ⇒ y ′ = cos t

y ′ = 2√

y ⇔ cos t = 2√

sin t ⇒ y nije rješenje.

y ′ = ty ⇔ cos t = t sin t ⇒ y nije rješenje.

y ′ = y ⇔ cos t = sin t ⇒ y nije rješenje.

51 / 68

Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi

1.2.2. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Promatramo diferencijalnu jednadžbu

y ′ = f (t , y).

Ukoliko se funkcija f može rastaviti na produkt oblika

f (t , y) = g(t)h(y)

jednadžba glasiy ′ = g(t)h(y)

odnosnoy ′

h(y)= g(t).

Funkcije s lijeve i desne strane su jednake⇒ neodredeni integrali(skupovi primitivnih funkcija) su jednaki:∫

h(y)dt =

∫g(t)dt .

52 / 68

Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi∫y ′

h(y)dt =

∫g(t)dt .

Teorem o supstituciji: y ′dt = dy∫dy

∫g(t)dt .

Oznacimo primitivne funkcije s H i G:

H ′(y) =1

h(y)i G′(t) = g(t).

Sada jeH(y) = G(t) + C

C-neodredena konstanta.

Ako je H bijekcija, tada

y = H−1 (G(t) + C) .

53 / 68

Rješavanje diferencijalne jednadžbe⇔ racunanje neodredenogintegrala

- Metoda separacije varijabli

ZadatakProvjerite da je

y(t) = H−1 (G(t) + C) .

rješenje diferencijalne jednadžbe

y ′ = f (x , y).

54 / 68

Rješenje.

Derivacija inverzne funkcije:(f−1(y)

1f ′(f−1(y))

Derivacija kompozicije funkcija:

(f (g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x).

y ′(t) =(

H−1 (G(t) + C))′

=G′(t)

H ′(H−1 (G(t) + C)

=G′(t)

H ′(y(t))=

h(y(t))

= g(t)h(y(t)) = f (t , y(t)).

55 / 68

Primjer 6.Riješite diferencijalnu jednadžbu

y ′ = αy .

Rješenje.

Separacija varijabli:

y ′ = αy = g(t)h(y) ⇒ g(t) = α, h(y) = y

y= α ⇒

∫y ′

∫αdt ⇒

∫dyy

dt = αt + C

⇒ ln |y | = αt + C ⇒ |y | = eαt+C = C1eαt , C1 > 0

⇒ y = C2eαt , C2 ∈ R

56 / 68

ZadatakRiješite diferencijalne jednadžbe

1 y ′ = y + 12 y ′ = y2 et , y(0) = 13 y ′ = y2t

Rješenje.

y ′ = y + 1 ⇔ y ′

y + 1= 1 ⇔

y + 1=

∫dt ⇔

ln(y + 1) = t + C ⇔ y + 1 = et+C ⇔ y = Cet − 1

57 / 68

2.y ′ = y2 et ⇔ y ′

y2 = et ⇔∫

dyy2 =

∫et dt ⇔

−1y= et +C ⇔ y =

−1et +C

Pocetni uvjet

y(0) = 1 ⇒ 1 =−1

e0 +C=−1

1 + C⇒ C = −2

y =−1

et −2=

12− et

y ′ = y2t ⇔ y ′

y2 = t ⇔∫

dyy2 =

∫tdt ⇔

−1y=

2+ C ⇔ y =

−1t2

2 + C=−2

t2 + C=

2C − t2

58 / 68

Kod modela rasta diferencijalna jednadžba ne ovisi eksplicitno ovremenu t .

Argument je isti kao kod funkcije prirasta:

- Ukoliko eksperimente zapocnemo s populacijom iste velicine urazlicitim vremenima, rast treba biti isti.

Modeli rasta:y ′ = f (y)

- Autonomna diferencijalna jednadžba

59 / 68

Napomena. Eksponencijalni model y ′ = αy smo mogli dobiti polazeciod pretpostavke da je rast opisan diferencijalnom jednadžbomy ′ = f (t , y).

Istim argumentom kao i za funkciju prirasta pokažemo da f ne ovisieksplicitno o t : f (t , y) ≡ f (y).

Takoder, podjelom populacije na više dijelova pokažemo da je flinearna funkcija, tj. f (y) = αy .

60 / 68

Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbiI ako diferencijalna jednadžba ima rješenje, to rješenje cesto nemožemo eksplicitno izraziti.

Metoda separacija varijabli je samo jedna od mnogih metoda.

Primitivnu funkciju cesto ne možemo opisati pomocu’jednostavnih’ funkcija.

Ako i odredimo primitivnu funkciju kod metode separacije varijabli,to ne znaci da cemo moci odrediti njezin inverz.

Novi pristup: racunati numericko (približno) rješenje ODJ umjestoegzaktnog.

61 / 68

Promatramao inicijalni problem

y ′ = f (t , y), y(0) = y0.

Osnovna ideja - Taylorov polinom:

y(t + h) = y(t) + y ′(t)h +y ′′(ζ)

Zanemarimo kvadratni clan:

y(t + h) ≈ y(t) + y ′(t)h.

Ako je y rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = f (t , y), tada je

y(t + h) ≈ y(t) + h · f (t , y(t)).

62 / 68

Inicijalni problem:y ′ = f (t , y), y(0) = y0.

Tražimo rješenje na intervalu [0,a].

n - zadan

Interval [0,a] podijelimo na n jednakih djelova:

h =an, ti = i · h, i = 0,1,2, . . . ,n.

Poznati su t0 i y0 (pocetni uvjet).Racunamo aproksimaciju rješenja u x1:

y1 = y0 + h · f (t0, y0)

Sljedeci korak:y2 = y1 + h · f (t1, y1)

itd.63 / 68

Metoda:yi+1 = yi + h · f (ti , yi), i = 0,1, . . .

- Eulerova metoda

PrimjerEulerovom metodom aproksimirajte rješenje inicijalnog problema

y ′ = y , y(0) = 1,

u tocki x = 1 koristeci podjelu na 5 intervala.

64 / 68

Rješenje.Interval [0,1].

n = 5 ⇒ h = 0.2

i ti yi f (ti , yi) yi+1

0 0.0 1.000 1.000 1.2001 0.2 1.200 1.200 1.4402 0.4 1.440 1.440 1.7283 0.6 1.728 1.728 2.0744 0.8 2.074 2.074 2.4885 1.0 2.488

65 / 68

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

66 / 68

y(t + h) smo aproksimirali s linearnim clanom Taylorovog reda

Najjednostavnija metoda

Bolje aproksimacije → bolje metode

Najpoznatije:Runge-Kuttine metodelinearne višekoracne metode

67 / 68

2. Domaca zadaca

Eulerovom metodom riješite inicijalni problem

y ′ = 2y − y2, y(0) = 0.1

na intervalu [0,5].Usporedite dobivenu aproksimaciju s egzaktnim rješenjem.Nacrtajte aproksimaciju i egzaktno rješenje.

Dodatak. Kako se ponaša pogreška s povecanjem broja podintervala?

68 / 68

matematicko modeliranje u biologiji - naslovnicaweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmub/exp.pdf · uvod...

Documents

nabavno poslovanje · 9.4.2019. 1 nabavno poslovanje doc....

opis kolegija (preddiplomski studij) naziv kolegija latinski...

naziv kolegija uvod u psihologiju - unizd.hr planovi/i....

opis kolegija

kako odrediti ishode u enja kolegija? -...

diplomski sveuČiliŠni studij grafiČke · modele za...

sveučilište u splitu - pmfst.unist.hr · preduvjeti za...

struktura kolegija

sveuČiliŠte j - unios · web view2020/04/16 · sadržaj...

kolegij ‘inŽenjerstvo povrŠina’ - fkit.unizg.hr · pdf...

opis kolegija (preddiplomski studij) - ff.sum.ba...

nastavni materijal iz kolegija talijanski jezik b i ·...

izvedbeni plan nastave kolegija - unipu.hr filekorelativnost...

e-kolegij: pisanje na engleskom jeziku - srce.unizg.hr ·...

turinys - kauno kolegija

izvedbeni plan nastave kolegija fonetika i … · izvedbeni...

filozofski fakultet u rijeci · 2018-02-16 · vrijeme za...

izvedbeni plan nastave kolegija lutkarstvo i scenska ... ·...

alytaus kolegija aiškinamasis raštas prie 2013 m. 9...

objektno orijentirano programiranje - bib.irb.hr ·...