matematika ekonomi

MATEMATIKA EKONOMI

yenny_khairina@yahoo.com

FUNGSI

FUNGSI

FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABARATAU TRANSSEDEN

FUNGSI RASIONALFUNGSI IRRASIONAL

FUNGSI PANGKATFUNGSI POLINOMFUNGSI LINIERFUNGSI KUADRATFUNGSI KUBIKFUNGSI BIKUADRAT

FUNGSI EKSPONENFUNGSI LOGARITMAFUNGSI TRIGONOMETRIFUNGSI HIPERBOL

FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + … + 12X11) 1/11

FUNGSI POLINOM : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + …+ 12X11

FUNGSI LINIER : Y = 1 + 2X

FUNGSI KUADRAT : Y = 1 + 2X – 3X2

FUNGSI KUBIK : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3

FUNGSI PANGKAT : Y = X n , n = bulat positif

FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X

FUNGSI LOGARITMA : Y = n Log X

FUNGSI HIPERBOLA : Y = X n , n = riil negatif

PENERAPAN FUNGSI LINIER

Fungsi linier merupakan suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli ekonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier.

Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan

bisnis antara lain :

a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar

b. Keseimbangan Pasar dua Macam Produk

c. Pengaruh Pajak dan Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar.

d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan Analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even Point)

e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan

f. Model Penentuan Pendapatan Nasional

KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBUKemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,

ΔY Y2 – Y1

Kemiringan = m = atau ΔX X2 – X1

YY

YY

XX

X X

0 0

0 0

(a) Kemiringan positif (b) Kemiringan negatif

(c) Kemiringan nol (d) Kemiringan tak tentu

BENTUK UMUM FUNGSI LINIER

Y=a0 + a1X

di mana a1 ≠ nol.

Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik potong (slope-intercept). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, dapat disebut sebagai eksplisit, dimana variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

Metode Dua Titik Y – Y1 Y2 – Y1

=

X – X1 X2 – X1

Y

0X

A (X2, Y2)

A (X1, Y1)

A (X, Y)

Menentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6)Penyelesaian : X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 =

6

Y – Y1 Y2 – Y1

X – X1 X2 – X1

Y – 2 6 – 2 X – 3 4 – 3

Y – 2 = (X – 3)

Y – 2 = 4 (X – 3) Y = 4 X – 12 Y = 4 X - 10

=

=

6 – 2

4 – 3

Y

X

Y = 4X - 10

Persamaan garis Y = 4x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3.

0

5

1 2 3

(0,-10)

METODE SATU TITIK DAN KEMIRINGAN

Y – Y1 = m (X – X1)Contoh Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3

Penyelesaian :

Diketahui (X1, Y1) = (6, 4) dan m = - 2/3

Y – Y1 = m (X – X1)Y – 4 = -2/3 (X – 6)Y = -2/3X + 4 + 4Y = -2/3X + 8

Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.

0

2

4

6

8

Y

X

(0,8)

(12,0)

Y = - 2/3 X + 8

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Y Y

YY

XX

X X

0 0

0 0

(a) Berpotongan (b) Sejajar

(c) Berimpit (d) Tegak Lurus

a1 ≠ b1

ao ≠ b0

a1 = b1

ao ≠ b0

a1 = b1

ao = b0

a1 .b1 = -1

ao ≠ b0

SISTEM PERSAMAAN LINIER

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL

1. METODE ELIMINASIContoh 5.1.Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :

3X – 2Y = 7

2X – 4Y = 10

Penyelesaian :1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan

Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10

3. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi,

6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 + 8X + 0 = 24 X = 3

4. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,3 (3) -2Y = 7 - 2Y = 7 – 9 Y = 1

(5.1)

(5.2)

2. METODE SUBSTITUSI

Contoh 5.2.3X – 2Y = 7(5.1)2X + 4Y = 10(5.2)

Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi,2X = 10 – 4YX = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)

Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi,

3 (5 – 2Y) – 2Y = 7 15 – 6Y – 2Y = 7

15 – 8Y = 7 -8Y = 7 – 15

Y = 1

Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1)’, sehingga memperoleh hasil,

3X – 2 (1) = 7 3X = 7 + 2

X = 3

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3.1).

Fungsi KuadratBentuk umum dari fungsi kuadrat adalah

y = a x2 + bx + c Maka,

a

D

a

bxay

42

2

D = b2 – 4ac

Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA

x

a + a -

x1 x2

x1 x2

a

D

a

b

4,

2

Titik Maksimum dan titik Minimum Fungsi Maksimum dan minimum fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a

y = a x2 + bx + c

Titik Maksimum didapat jika a , dan titik maksimumnya

Titik Miminum didapat jika a , dan titik minimumnya

Titik Ekstrem Parabola

a

D

a

b

4,

2

x

a +a -

x1 x2

x1 x2

Titik x1,2 dapat dicari dengan:a

Db

2

x

a + a -

x1 x2

x1 x2

x

a + a -

-b/2a

x

a + a -

-b/2a

x

x

Definit Positif Definit Negatif

Jika D , maka parabola memotong sb x pada titik (x1,0) dan (x2,0)

Jika D = 0 , maka parabola menyinggung sb x pada titik

0,

2a

b

Jika D , maka parabola TIDAK memotong sb x

Posisi Parabola

FUNGSI PERMINTAAN

Qdx,t = ƒ (Px,t, Py,t, Yt, PeX,t+1,St)

Dimana Qdx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.

Px,t = Harga produk X dalam periode t.

Py,tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.

Yt = Pendapatan konsumen dalam periode t.

Pex,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode

mendatang t + 1.St = Selera dari konsumen pada periode t.

Qdx = ƒ(Px)

Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,

Qx = a – bPx

DimanaQx = Jumlah produk X yang diminta

Px = Harga produk Xa dan b = Parameter

X

(0,P)

(Q,0)

Qd = a - bp

P

0

Hukum Permintaan

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri)

Qd

P

0

Qd = a - bP

b

a/b

Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:

Qx = f (Px)Qx = a – b Px

dimana:Qx = Jumlah produk x yang dimintaPx = Harga produk xa dan b = parameter

Penyelesaian :

Diketahui: P1 = 100; P2 = 75; Q1 = 10; Q2 = 20Q – Q1 Q2 – Q1

P – P1 P2 – P1

Q – 10 20 – 10P – 100 75 – 100

(Q – 10) = 10/-25 (P-100)

(Q – 10) = 40 – 2/5 P

Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0

Kurva permintaan ini ditunjukkanoleh Gambar disamping.0

25

50

75

100

P

Q

(0,125)

(50,0)

Q = 50 – 2/5 P

Contoh

Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya?

10 20 30 40 50

=

=

FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS

Q

p

0

D

Q

p D

0

FUNGSI PENAWARAN

Qsx,t = ƒ(Px,t , Tt , PF,t , PR,t , Pex,t+1)

Dimana Qsx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.

Px,t = harga produk X dalam periode tTt = Teknologi yang tersedia dalam periode tPF,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode tPR,t = harga produk lain yang berhubungan dalam

periode tPe

x,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1

Qsx = g (Px)

Dimana Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen

Px = Harga produk X

Qsx = a + bP

P

Q0

Qs = a + bP

- a/b

S

Hukum Penawaran

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan)

Qd

P

Qs = -a + bP

-a

dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkanPx = Harga produk xa dan b = parameter

0

Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:Qx = f (Px)Qx = -a + b Px

a/b

Contoh

Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagramPenyelesaian :

Diketahui: P1 = 500; P2 = 700; Q1 = 60; Q2 = 100Q – Q1 Q2 – Q1

P – P1 P2 – P1

Q – 60 100 – 60P – 500 700 – 500

(Q – 60) = 40/200 (P-500)

(Q – 60) = -100 +1/5 P

Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0

Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar

0

100

P

Q

(0,125)

(50,0)

(60, 500)

100

200

300

400

500

600

700

80604020

=

=

Q = -40 + 0,2P

FUNGSI PENAWARAN KHUSUS

Q

p

0

S

Q

p

0

S

KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK

Q

p

0

Pe E (Qe, Pe)

Qd

Qe

Qs

Contoh Jika fungsi permintaan dan penawaran

dari suatu barang ditunjukkan oleh :

Qd = 6 – 0,75 PQs = -5 + 2P

a)Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?

b)Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!

Penyelesaian:a) Syarat keseimbangan Qd = Qs

Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75P = -11 P = 4 Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam

salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,

Q = 6 – 0,75 (4)Q = 6 – 3Q = 3Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).

b)Menggambarkan keseimbangan pasar :Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0)

Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8)

Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0) Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)

Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar

Q

p

0

2,5

E (3, 4)

(6, 0)

1

Qs = -5 + 2P

2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8(0, 8)

Qd = 6 – 0,75P

Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran

Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)

Untuk setiap p ada satu nilai Q. Grafik fungsi turun.

Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)

Untuk setiap p ada satu nilai Q. Grafik fungsi naik.

Fungsi Kuadrat pada Fungsi Permintaan dan Penawaran

QQ

P P

Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut:

Latihan

1.Pd = -Q2 + Q + 2 dan Ps = Q2 + Q - 2

Jawab:

Q

P

2,2

2

2

Pd

Ps 2

-2

-2 1-1 20

KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK

Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain. Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya. Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas.Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) hargaproduk lain yang saling berhubungan.

Notasi fungsi permintaan menjadi: Qdx = a0 - a1Px + a2Py

Qdy = b0+ b1Px - b2Py

Sedangkan fungsi penawarannya:Qsx = -m0 + m1Px + m2Py

Qsy = -n0 + n1Px + n2Py

Dimana:Qdx= Jumlah yang diminta dari produk XQdy= Jumlah yang diminta dari produk YQsx= Jumlah yang ditawarkan dari produk XQsy= Jumlah yang ditawarkan dari produk YPx= Harga produk X Py = Harga produk Ya0,b0,m0,n0 = konstanta

SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA:

Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy

Contoh :

Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut:

Qdx = 5 -2Px + PyQdy = 6 + Px – Py

Qsx = -5 + 4Px - PyQsy = -4 - Px + 3Py

dan

Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar

Penyelesaian:Syarat keseimbangan

pasar :Qsx = Qdx

-5 + 4Px – Py = 5 - 2Px + Py 4Px + 2Px – Py – Py = 5 + 56Px – 2Py = 10 …(1) Qsy = Qdy-4 – Px + 3Py = 6 + Px – Py-Px – Px + 3Py + Py = 6 +

4-2Px + 4Py = 10- Px + 2Py = 5 …(2)

(1)Dan (2) 6Px – 2Py = 10- Px + 2Py = 5

5Px = 15

Px = 3 Py = 4 Qsx = 3 Qsy = 5

MEx = ( 3, 3 )

MEy = ( 5, 4 )

KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT)

Contoh :

Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini :

Pd = 24 – 3Q2

Ps = Q2 + 2Q + 4

Penyelesaian :

Syarat keseimbangan pasar adalah Pd = Ps

24 – 3Q2 = Q2 + 2Q + 44Q2 + 2Q - 20 = 0

Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai P, yaitu

P = 24 – 3(2)P = 24 – 12 = 12

83242

,Q8

)}20)(4)(4{(42 Q

2,12,1

28

182Q

1

memenuhitidak5,28

182Q

1

Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pd = 24 – 3 Q2 dan fungsi penawaran Ps = Q

2 + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat digambarkan seperti dibawah. s

Q2

(3,19)

P =24 – 3Q

2,83

0

4

1

8

16

24

P

20

12 E (2,12)

P =q2 + 2Q + 4

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDIPADA KESEIMBANGAN PASAR

Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula.

Fungsi penawaran setelah pajak menjadi:Ps = f ( Q ) + t Qs = f ( P ) – t

Keseimbangan Sebelum Pajak (tax)

Pd = Ps

Keseimbangan Setelah Pajak (tax)

Pd = Ps + tax

0

(Q,P)

(Qt,Pt) S

St

Qd,Qs

P Demand

Pt

Qt

P

Q

Contoh:Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan

oleh P=15 - Q dan fungsi penawaran P= 0,5Q + 3. Terhadap produk ini pemerintah mengenakan

pajak sebesar Rp 3 per unit.a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan

pasar sebelum dan sesudah kena pajak ?b. Berapa besar pajak per unit yang

ditanggung oleh konsumen ?c. Berapa besar pajak per unit yang

ditanggung oleh produsen ?d. Berapa besar penerimaan pajak total oleh

pemerintah ?

Penyelesaian

a. Keseimbangan pasar sebelum kena pajak:

Pd = Ps 15 – Q = 0,5Q + 3

15 – 3 = 0,5Q + QQ = 8P = 7

ME = ( 8, 7 )

Keseimbangan pasar setelah pajak :Fungsi penawaran setelah pajak: P = 0,5Q + 3 + 3

P = 0,5Q + 6

sehingga keseimbangan pasar setelah pajak:

Pd = Pst

Keseimbangan pasar setelah pajak :

15 – Q = 0,5Q + 6

15 – 6 = 0,5Q + Q

Q = 6

P = 9

ME t = ( 6, 9 )

b. Besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, sebesar selisih harga keseimbangan setelah pajak dengan harga keseimbangan sebelum pajak yaitu: 9 - 7 = 2 per unit.

ME t = ( 6, 9 )

ME = ( 8, 7)

c. Besar pajak per unit yang ditanggung produsen, sebesar selisih tarif pajak per unit yang dikenakan dengan besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, yaitu: 3 - 2 = 1 per unit.

d. Besar penerimaan pajak total oleh pemerintah, adalah perkalian tarif pajak per unit dengan jumlah keseimbangan setelah pajak, yaitu: 3 x 6 = 18.

ME t = ( 6, 9 )

Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh Gambar :

Q

P

0

6E (8, 7)

8

St

SEt (6, 9)

3

12

15

9

62 4 10 12 14

P = 0,5 Q + 6

P = 0,5 Q + 3

P = 15 - Q

15

PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR

Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual; tidak seperti pajak spesifik.

Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P); Dikenakan pajak proporsional sebesar t% dari harga jual; Persamaan penawaran yang baru akan menjadi :

P = a + bQ + tP t : pajak proporsional dalam %

P – tP = a + bQ

(l – t)P = a + bQ

Pb

tl

b

aQQ

tl

b

tl

aP

atau

Contoh

Diketahui : permintaan; P = 12 – Q

penawaran; P = 2 + 0,25 Q t = 20%

Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak…?

Penyelesaian :

Sebelum pajak, Pe = 4 dan Qe = 8 ,

Sesudah pajak, fungsi permintaan tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P .

Fungsi penawaran sesudah pajak (t = 20% ):

P = 2 + 0,25 Q + 0,20 P

0,8P = 2 + 0,25 Q

Keseimbangan Pasar : Pd = Ps

Keseimbangan sesudah pajak: Q’e = 7,24 dan P’e = 127,24 = 4,76

Pajak diterima pemerintah dari setiap unit barang :

T=t x P’e = 0,20 7,24 = 1,45

QP8,0

25,0

8,0

2

QQ8,0

25,0

8,0

212

Kurvanya:

Pajak ditanggung konsumen: tk = P’e – Pe = 4,76 – 4 = 0,76 / barang

Total pajak t= 20%(P’e) =0,2*4,76 = 0,95 /unit barang Pajak ditanggung produsen : tp = t – tk = 0,95 – 0,76 =0,19 Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :

T=t P’e = 0,20 4,76 7,24 = 6,89

12

12

P

4

Q0 8

dQ

sQE76,4

24,7

sQ'

'E

Adanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi:

Ps = f(Q) – s

Qs = f( P + s )

Keseimbangan Sebelum Subsidi (tr) Pd = Ps

Keseimbangan Setelah Subsidi (tr) Pd = Ps - tr

Qd,Qs

P

ME

Me t

r

Q Qtr

P

Ptr

Demand

Diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran :

Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2P

Kepada produsen , pemerintah memberikan subsidi (transfer) sebesar tr = Rp1/unit barang

a. Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sebelum dan sesudah ada subsidi

b. Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut

c. Berapa tarif subsidi yang dinikmati konsumen

d. Berapa tarif subsidi yang dinikmati produsen

e. Berapa total subsidi yang ditanggung pemerintah

f. Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen

g. Berapa total subsidi yang dinikmati produsen

solusia. Market equilibrium

sebelum subsidi

11 – P = -4 + 2P

P = 5, Q = 6

b. Market equilibrium setelah subsidi

11 - Qd = 2 + 1/2Qs - 1

Qtr = 6,67, Ptr = 4,33

Qd,Qs

P

5

6 6,67

4,33

2

11

ME

MEtr

b.

1

0

c. Tarif subsidi yang dinikmati konsumen :

trk = ∆P = (5– 4,33) = Rp0,67

d. Tarif subsidi yang dinikmati produsen

trp = Tr - trk = Rp1-Rp0,67=Rp0,33

e. Total subsidi yang ditanggung pemerintah:

Tpe = Tr x Qtr = 1x6,67 = 6,67 f. Total subsidi yang dinikmati konsumen

Trk = ∆P x Qtr

= Rp0,67 x 6,67 = Rp4,47

g. Total subsidi yang dinikmati produsen Trp= Rp0,33 x 6,67 = Rp2,20

Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (revenue) atau TR (total revenue).

Rumus :R = PxQKeterangan :P = harga jual perunitQ = jumlah produk yg

dijual

R

Q

R = f(Q)

0

Contoh

Misalkan suatu produk dijual dengan harga Rp 5.000 perunit barang. Bagaimanakah fungsi penerimaannya ? Gambarkan fungsi penerimaan tersebut pada grafik

JAWAB :R = PxQ R = 5000Q

R = 5000Q

R

Q

FUNGSI BIAYAFungsi biaya diberi lambang C (cost) atau TC (total cost)Rumus :TC = FC + VCTC = FC + P.QKeterangan :FC = fix cost = biaya tetapVC = variabel cost = biaya yg berubah

0 Q

FC , VC, TC TC

VC

FC

Contoh

Sebuah perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000.000 dan biaya variabelnya Rp.3.000 per unit barang

Tentukan fungsi biayanya ? Gambarkan grafik fungsinya ?

Jawab :TC = 100.000.000 + 3000Q

TC

Q

TC

100.000.000

0

FUNGSI PENERIMAAN TOTAL (Bentuk Kuadrat) Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara per unit produk dengan jumlah produk yang dijual, atau rumusnya adalah,

TR = P . Qdimana : TR = Penerimaan Total

Q = Jumlah produk yang dijualP = Harga produk per unit

Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas ke kanan bahwa berarti harga P tidak tetap, maka penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi, bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – aQ, maka akan diperoleh persamaan penerimaan total,

TR = P . Q

TR = ( b – aQ) Q

TR = bQ – aQ2

Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 dan xxx. Karena puncak yang maksimum, yaitu :

Titik Puncak

Contoh

Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam satu diagram!

Penyelesaian :

TR = PQ

TR = (20 – 2Q)Q

TR = 20Q – 2Q2

TR = Maksimum

Jika TR = 0, maka 20Q – 2Q2 = 0

2Q (10–Q) = 0

Q1 = 0

Q2 = 10

Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di bawah.

)50,5(8

)400(,

4

20

)2(4

)20(,

)2(2

20 2

Q2

P =20 – 2Q

0

10

1

(0,20) 20

50

P, TR

40

308,30

TR = 20Q – 2Q2

3 4 5 6 7 8 9 10

(10,0)(0,0)

2,30

(5, 50)

ANALISA BREAK-EVEN

Break-even adalah suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun tidak rugiBreak-even: TR = TCUntung : TR > TCRugi : TR < TC

BEP

TR, TC

Rp

Qe 0

RUGI

LABA

Q

TR

TC

Contoh

Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel perunit Rp4.000 dan harga jualnya perunit Rp12.000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya Rp2.000.000. Tentukan jumlah unit produk yg harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok

Jawab :TR = TC12000Q = 2.000.000 + 4000Q 8000Q = 2.000.000Q = 250 TR = 12.000 Q = 12.000 (250) = 3.000.000

Grafik

VC = 4000Q

3

250 0

2 FC = 2jt

TC = 2jt + 4000Q

TR= 12000Q

BEP

TR, TC (dlm juta)

Q

KONSUMSI DANTABUNGAN

1. KONSUMSI Dilihat dari sisi penawaran dalam

perekonomian tertutup pendapatan yang diperoleh masyarakat (Y) hanya digunakan untuk tujuan komsumsi (C) dan Saving (S), atau :

Y = C + SBesarnya konsumsi ditentukan oleh pendapatan (Y).

Fungsi KonsumsiHubungan antara konsumsi (C) dan pendapatan (Y) disebut fungsi konsumsi.Secara matematis hubungan tsb ditulis sbb:

C = a + bY

Dimana : C = konsumsia = parameter, yang menunjukkan

konsumsi jika Y = 0b = parameter, yang menunjukkan tambahan konsumsi (ΔC) akibat adanya tambahan pendapatan (ΔY)Y = pendapatan Nasional

Hasrat Mengkonsumsi Marjinal dan Rata-rata

Hasrat mengkonsumsi / MPC (marginal propensity to consume) didefinisikan sbg perbandingan antara pertambahan konsumsi (ΔC) yang dilakukan dengan pertambahan pendapatan disposible (ΔY)

Nilai MPC dapat dihitung dengan formula :

(ΔC)

MPC =

(ΔY)

Hasrat mengkonsumsi rata-rata / APC (average propensity to consume), didefini-sikan, sbb:Perbandingan antara tingkat pengeluaran konsumsi (C) dengan tingkat pendapatan disposibel pada tingkat konsumsi tsb dilakukan (Y).

Nilai APC dapat dihitung dg formula C

APC = Y

TABUNGAN

Tidak semua pendapatan yang diperoleh langsung dikonsumsi pada periode yang sama. Sebagian diantaranya ada yang ditabung. Besarnya jumlah tabungan juga tergantung pada pendapatan. Makin tinggi jumlah pendapatan makin tinggi pula jumlah tabungan.

Fungsi Tabungan

Fungsi tabungan adalah suatu persamaan yang menggambarkan sifat hubungan diantara tingkat tabungan rumah tangga dalam perekonomian dengan pendapatan nasional perekonomian tersebut. Dari persamaan Y = C + S, dapat ditulis kembali menjadi :

S = Y – CJuga dari persamaan sebelumnya kita tahu

C = a + bY

Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut, maka hubungan antara tabungan dan pendapatan dapat dicari

S = Y – C = Y – a – bY = -a + (Y-bY) = -a + (1-b) Y

Hasrat menabung Marginal dan Rata-rata

Hasrat menabung / MPS (marginal propensity to Save). Dapat didefinisikan sebagai perbandingan di antara pertambahan tabungan (ΔS) dengan per-tambahan pendapatan disposibel (ΔY). Nilai MPS dapat dihitung dg rumus :

(ΔS)

MPS =

(ΔY)

Hasrat Menabung Rata-rataHasrat menabung rata-rata / APS (average propensity to save), menunjukkan perbandingan antara tabungan (S) dengan pendapatan disposibel (Y). Nilai APS dapat dihitung dg formula :

SAPS =

Y

Penentu-penentu Konsumsi dan TabunganBeberapa faktor yang menentukan atau yang mempengaruhi tingkat konsumsi dan tabungan adalah :1. Kekayaan yang telah terkumpul2. Tingkat bunga3. Keadaan perekonomian4. Distribusi pendapatan5. Tersedia tidaknya dana pensiun yang

mencukupi

KURVA FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGANC = a + bYd

Y = (a + bYd) + s

S = Y – (a + bYd) atau

S = -a + (a - b) Yd

MPS + MPC = 1

Dissaving

Saving

C.SC = Y

C = a + bY

a

0 YeY

E

- a

S = -a + (1 – b) Y

450

Contoh Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaanC = 15 + 0,75Yd, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar

(a) Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp 30 miliar?

(b) Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional?(c) Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan

secara bersama-sama!

Penyelesaian:a) Jika Yd = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30)

= 15 + 22,5 = 37,5 miliar

b) Yd = C + S atau S = Y – CS = Yd – (15 + 0,75Yd)S = -15 + 0,25 Yd

Gambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

c) Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0Jadi, 0 = -15 + 0,25 Yd

0,25Yd = 15 15Yd = = (15)(4) = 60 miliar 0,25C = 15 + 0,75 (60)C = 15 + 45 = 60 miliar

C.SY = C

E (60,60)

0 60Y

- 15

S = -15+ 0,25 Yd

C = 15 + 0,75 Yd

15

30

60

MODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONAL

Y = C + I + G + X – MC = a + BY

Dimana: Y = Pendapatan NasionalC = Konsumsi NasionalI = InvestasiG = Pengeluaran PemerintahX = EksporM = Impor

Y = a + bY + I0 + G0 + X0 – M0 atau (1-b)Y = a + I0 + G0 + X0 – M0

Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah : a + I0 + G0 + X0 – M0

Y = (1 – b)

b(a + I0 + G0 + X0 – M0)C = a + bY = a + (1 – b)

= a (1 – b) + b(a + I0 + G0 + X0 – M0) (1 – b)

a + b(a + I0 + G0 + X0 – M0)C = (1 – b)

Contoh 6.10Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut :Y = C + I + GC = 25 + 0,75YI = I0 = 50G = G0 = 25

(a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional!(b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate

Penyelesaian:Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi rumah tangga, C, maka nilainya adalah,

S = 0S = -25 + 0,25YO = -25 + 0,25Y0,25Y = 25Y = 100

Jika I = I0 = 50 miliar, makaY = C + IY = 25 + 0,75Y + 50Y - 0,75Y = 750,25Y = 75Y = 300

Jika I = I0 = 50 miliar; dan G = G0 = 25 miliar, makaY = C + I + GY = 25 + 0,75Y + 50 + 25Y = 100 + 0,75YY – 0,75Y = 1000,25Y = 100Y = 400

Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika ditambah lagi pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini dapat dilihat pada Gambar

Y = CY = C + I + GY = C + I

Y = 25 + 0,75Y

Y

6005004003002001000

400

300

200

100

75

25

E

E1

E11

C, S

Hitung Keuangan

Bunga Tunggal

Bunga Majemuk

Anuitas

1. Bunga Tunggal Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang

dipinjam dan jumlah yang dikembalikan. Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi

peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha.

Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase).

Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode

Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%. Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama:

Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) = Rp10.000,00 (1 +10%)

Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua:

Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) + (10% × Rp100.000,00)

= Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga:

Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00

+ 10% × Rp100.000,00

= Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-:

Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... + 10% × Rp100.000,00

= Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)

Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.

Keterangan : M = modal t = periode waktu dengan

tingkat suku bunga B = bunga Mt = besar modal pada akhir

periode r = tingkat suku bunga

B = M × t × r

M = M (1 + t × r)t

o

o

o

Contoh 1:Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan

a. besar bunga setiap bulannya;b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai

jangka waktu yang ditentukan.Jawab:Besar bunga dihitung setiap bulan.Diketahui r = 2%, M = Rp3.000.000,00, dan t = 12

bulan.a. Besar bunga setiap bulan adalah

B = M × 1 × r = Rp3.000.000,00 × 1 × 2% = Rp60.000,00

o

o

b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan adalah

M = M (1 + t × r)M = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%)

= Rp3.000.000,00(1,24) = Rp3.720.000,00

ot

12

Contoh

2: Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 30% per tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari)

Jawab:

Dari soal di atas diketahui M = Rp2.000.000,00, r = 30% per tahun, dan t = 60 hari =tahun.

a. Bunga B = M × t × r

= Rp2.000.000,00 × × 30%

= Rp100.000,00

o

o

6

1

b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalah

M = M (1 + t × r) = M + M × t × r = M + B = Rp2.000.000,00 +

Rp100.000,00 = Rp2.100.000,00

t o

o

o

2. Bunga Majemuk Bunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar

jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi.

Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat berbunga.

Adapun perhitungannya dapat kalian pahami

melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt ) dapat dihitung dengan cara berikut.

o

M = M + M × i = M (1 + i)

M = M (1 + i) = [M (1 + i)] (1 + i) = M (1 + i)

M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i)

. . . .

. . . .

. . . .

M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i)

Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1

2

3

1

2

o o o

o

o

o

o

o

2

2 3

t1t

1to

Keterangan : M0= modal

i = dasar bunga majemuk dengan tingkat suku bunga (dalam persen) per periode tertentu

Mt = besar modal pada periode ke-t

tot iMM )1(

Contoh 1:Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?

Jawab:

Diketahui M = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12 bulan.

Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah

M = M (1 + i)

M = Rp5.000.000,00(1 + 0,03)

= Rp5.000.000,00(1,42576)

= Rp7.128.800,00

o

ot

12

t

12

Contoh

2: Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3.

Jawab:Diketahui M = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2. Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi,

banyak periode pembungaannya dalam setahun ada = 3

kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlahmodal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah

o

4

12

M = M (1 + i)

M = Rp2.000.000,00(1 + 0,2) = Rp2.000.000,00(5,159780) = Rp10.319.560,00

ott

9

9

FUNGSI NON LINEAR1. Fungsi Kuadrat Y = f(X) = aX2 + bX + c Y Y

X X

Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:

- b - (b2 – 4ac) Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a

-b ± b2 – 4ac X1.2 = --------------------

2aContoh:Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan

- b - (b2 – 4ac) Koordinat Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a

Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:

Contoh :

Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan gambarkanlah parabolanya?

Penyelesaian :

Koordinat titik puncak

Untuk X = 0, maka Y = 12

Titik potong sumbu Y adalah (0,12)

Untuk Y = 0, maka X2 – 8X + 12 = 0

)4,4(

a

acb

a

b

4

4(,

2

2

4

4864(,

2

8

Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0). Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik puncak dan titik potong sumbu X dan Y, maka kurva parabolannya dapat digambarkan seperti 7.3.

Koordinat titik puncak =

Y

x(2,0)

2

(0,12) (8,12)

Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3

GGGGGGGGGG

a

acb

a

b

4

4(,

2

2

)1(4

)3)(1(42(,

)1(2

2 2

)4,1(4

16,

2

2

FUNGSI PANGKAT TIGA Polinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum :

Y = a0 + a1 X + a2X2 + a3X3

dimana : a3tidak sama dengan nol. fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar di samping.

Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3

Y

xa0

0

Contoh

Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P2, gambarkanlah fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram!

Penyelesaian :

Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64,0)

Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P2 = 0 atau

P = 4P – 32 = 0

(P + 8) (P – 4) = 0

P = -8 (Tidak memenuhi)

P = 4

Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8).

Koordinat titik puncak

)72,02(

a

D

a

b

4,

2

8

576,

4

8

Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 dapat digambarkan seperti di bawah.

Y

Q

(2,0)

2

(0,4)

(64,0)

Q =64 – 8P – 2P2

(72,-2)

3

4

1

-1

-2

8 16 24 32 40 48 56 64 72

P

KURVA INDEFERENS

Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi dari barang X dan Y yang dapat memberikan tingkat kepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen. Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utulitas yang berbentuk,

U = f (X, Y)dimana : U = Tingkat utilitas atau kepuasan total konsumen.

X = Jumah barang X yang dikonsumsi

X = Jumah barang Y yang dikonsumsi

Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti gambar dibawah.

F (X, Y) = U

B (X2, Y2)

A (X1, Y1)

X

Y

X2X10

Y2

Y1

f3 (X, Y) = U3

X

Y

X2X1

0

Y2

Y1

A C D

B

X3

f2 (X, Y) = U2

f1 (X, Y) = U1