matematika i zobrazeníklufova/vyukamat2011_12/zs/pred10_zs.pdfspeciální druhy zobrazení def....
Post on 21-Jan-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matematika I
Zobrazení
RNDr. Renata Klufová, Ph. D.
Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích
EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Zobrazení
Def. Nech» X,Y jsou neprázdné mno¾iny.
Relaci f : X → Y nazveme zobrazením, jestli¾e ke ka¾dému
x ∈ X existuje právì jedno y ∈ Y tak, ¾e [x, y] ∈ f .
Je-li [x, y] ∈ f , pak slo¾ku x nazýváme vzorem a slo¾ku y
obrazem a u¾íváme zápis y = f(x), který èteme:
þy je obrazem x pøi zobrazení fÿ.
de�nièní obor zobrazení f . . . D(f)
obor hodnot . . . H(f)
X1 ⊂ X . . . . obrazem X1 . . . mno¾ina obrazù v¹ech prvkù z X1
f(X1) = {y : [x, y] ∈ f, ∀x ∈ X1}c© Klufová 2011
Poèet zobrazení
Vìta o poètu zobrazení.
Jsou-li X,Y koneèné neprázdné mno¾iny, které mají p, q prvkù,
potom poèet v¹ech zobrazení z X do Y je qp.
Dùkaz:
Zvolme pevnì zadání mno¾iny X výètem prvkù.
Libovolné zobrazení lze popsat výètem obrazù tìchto prvkù.
Potøebujeme urèit poèet v¹ech mo¾ných uspoøádaných p-tic
majících na ka¾dém místì libovolný prvek mno¾iny Y . . . .
kartézský souèin:
Y × Y × ...× Y︸ ︷︷ ︸p−krát
= qp
c© Klufová 2011
Poèet zobrazení
Urèete poèet v¹ech zobrazení z mno¾iny A = {1,2,3} do mno¾iny
B = {v, w} a pak je znázornìte gra�cky.
uzlový graf zobrazení - z ka¾dého prvku de�nièního oboru musí
vést právì jedna ¹ipka
c© Klufová 2011
Rùzné zápisy zobrazení
U nekoneèných de�nièních oborù se pou¾ívají zápisy:
• explicitní - návod k získání obrazu - napø. f : y = x3 nebo
f : x→ x3
• implicitní - podmínka pro vzory a obrazy - napø.
G(x, y) = 2x+5y − 7
c© Klufová 2011
Speciální druhy zobrazení
Def. Zobrazení f : X → Y nazýváme
• injekcí (prostým zobrazením) ⇔ þka¾dý prvek oboru hodnot
má nejvý¹e jeden vzorÿ
• surjekcí (zobrazením na) ⇔ þka¾dý prvek oboru hodnot má
alespoò jeden vzorÿ, tj. f(X) = Y
• bijekcí (vzájemnì jednoznaèným zobrazením) ⇔ þka¾dý
prvek de�nièního oboru má právì jeden obraz a ka¾dý prvek
oboru hodnot má právì jeden vzorÿ - zobrazení je zároveò
injekcí a surjekcí
• konstantou ⇔ f(X) je jednoprvková mno¾ina
c© Klufová 2011
Speciální druhy zobrazení - uzlové grafy
• injekce (prosté zobrazení) - ¾ádné dvì ¹ipky se þnesejdouÿ
ve stejném obrazu
• surjekce (zobrazení na) - ¹ipky vedou ke v¹em prvkùm oboru
hodnot
• bijekce (vzájemnì jednoznaèné zobrazení) - z ka¾dého vzoru
vede právì jedna ¹ipka, v ka¾dém obraze konèí právì jedna
¹ipka
• konstanta - v¹echny ¹ipky konèí ve stejném bodì.
c© Klufová 2011
Poèty jednotlivých typù zobrazení
Vìta o poètech dle typù zobrazení.
Pro neprázdné mno¾iny X,Y mající p, q prvkù je poèet
• injekcí z X do Y : I =
{0 p > q
q!(q−p)! p < q
• surjekcí z X do Y :
S =
{0 p < q(qq
)· qp −
(q
q−1)· (q − 1)p +
(q
q−2)· (q − 2)p − . . .+ (−1)q−1
(q1
)· 1p p > q
• bijekcí z X do Y : B =
{0 p 6= qp! p = q
• konstant z X do Y : K = q
c© Klufová 2011
Poèty jednotlivých typù zobrazení -
pøíklad
Jsou dány mno¾iny T = {a, b, c, d, e}, Q = {♣,♥,♠}.
(a) Zjistìte poèet v¹ech zobrazení, injekcí, surjekcí, bijekcí a konstant z T doQ.
(b) Vyjádøete v %, jakou èást v¹ech zobrazení z T do Q tvoøí injekce, surjekce,bijekce a konstanty.
(c) Vyjádøete v %, jakou èást v¹ech zobrazení z Q do T tvoøí injekce, surjekce,bijekce a konstanty.
c© Klufová 2011
Speci�cké vlastnosti operací se
zobrazeními
Vìta (o operacích). Jsou dána zobrazení f : A→ B, g : B → C.
Potom platí
• Ka¾dá restrikce de�nièního oboru zobrazení f na neprázdnou
podmno¾inu je opìt zobrazení.
• Inverzní relace f−1 je zobrazením právì tehdy, kdy¾ f je
bijekce (f−1 je pak také bijekcí).
• Slo¾ená relace g ◦ f je také zobrazení (g ◦ f : A→ C) a platí:
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
c© Klufová 2011
Pøíklad 1
Je relace σ daná kartézským grafem zobrazením?
c© Klufová 2011
Pøíklad 2
Jsou dána dvì zobrazení f1 : x→ 3x+2, f2 : x→ 3− 2x.
Proveïte jejich: (a) inverzi, (b) slo¾ení.
c© Klufová 2011
Aplikace
• evidence obyvatel
• kuleèník
• kartogra�e, geodézie
• ¹ifrování zpráv
c© Klufová 2011
top related