matematika szigorlat - analizis i-ii
Post on 07-Jun-2015
2.741 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Szigorlati tételek analízisből
(Matematika I. – II.)
2005. Készítette: Müller Szabolcs Műszaki Informatika szak VENK
1
Tartalomjegyzék
1. Halmaz fogalma, műveletek halmazokkal. Valós számok tulajdonságai. Az abszolút érték és azonosságai. Az intervallum és a környezet fogalma. Leképezések, függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvények alaptulajdonságai. Elemei függvények osztályozása, inverz függvény fogalma. Algebrai függvények: racionális függvények, irracionális függvények. ............................................................................. 4
2. Transzcendes függvények: trigonometrikus függvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvény. Trigonometrikus függvények differenciálása. Trigonometrikus függvények inverzének differenciálása (arsinx, arccosx, arctgx). ............................... 20
3. Sorozatok fogalma, tulajdonságai. Sorozatok konvergenciája, a határérték egyértelműsége (unicitás tétel). Műveletek konvergens sorozatokkal: {an+bn};
{ }; {anac ⋅ n-bn}{ }; { }; {2na nn ba ⋅
n
n
ba
} sorozatok határértéke. Torlódási pont
fogalma, Bolzano-Weierstrass tétel. ............................................................................... 29
4. Bernoulli egyenlőtlenség, {qn} sorozat határértéke. Az {n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11 } sorozat
határértéke. Egyenlőtlenségekre vonatkozó határértéktételek, Rendőr elv. Sorozatok szuprémuma, infimuma. Konvergencia kritériumok (felülről korlátos sorozatok szuprémuma, alulról korlátos sorozatok infimumára vonatkozó tétel, monoton sorozatra vonatkozó tétel.) .............................................................................................. 37
5. Függvények folytonossága, műveletek folytonos függvényekkel. Folytonos függvények tulajdonságai. Függvények határértéke, féloldali határértékek, a
végtelenben vett határérték, a határérték kiterjesztése végtelenre. A x
xsin és
xxcos1− függvények határértéke. .................................................................................. 42
6. A differenciálhányados értelmezése, a deriváltfüggvény. A differencia- és differenciálhányados, féloldali differenciálhányados. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata. A differenciálhányados függvény. Általános differenciálási szabályok: ; és az )(xfc ⋅ )()( xgxf ± függvény differenciálása. A hatványfüggvény differenciálása................................................................................................................... 54
7. Általános differenciálási szabályok: )()( xgxf ⋅ ; és az )()(
xgxf függvény differenciálása.
Az összetett függvény és az inverz függvény differenciálási szabálya. Az ex; ln x; ax; loga x; f(x)g(x) függvények differenciálása............................................................... 64
8. Középérték-tételek (Rolle, Lagrange, és Cauchy-féle középérték tételek) ................. 71
9. Differenciálható függvények vizsgálata. Magasabb rendű differenciálhányados. Összefüggések a különböző differenciálhányados függvények és a monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexiós pont között (az ide vonatkozó szükséges és elegendő feltételre vonatkozó tételek)............................................................................................. 75
10. Numerikus sorok. Sorok konvergencia kritériumai. .................................................... 90
11. Taylor-sor, Maclaurin-sor. Egy-két nevezetes függvény hatványsora. .................... 106
12. Többváltozós függvények és tulajdonságaik. Többváltozós függvények vizsgálata. 112
2
13. A Reimann-integrál fogalma és tulajdonságai. A határozott integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek. Az integrálhatóság feltételei........................................................... 129
14. Az integrálfüggvény tulajdonságai. A primitív függvény fogalma. Newton-Leibniz formula. .......................................................................................................................... 145
15. A helyettesítéssel való integrálás szabályai. Parciális integrálás szabálya. Transzcendens és trigonometrikus függvények integrálása...................................... 149
16. Az integrálszámítás alkalmazásai. Terület, térfogat, ívhossz kiszámítása............... 165
17. Racionális törtfüggvények integrálása. ....................................................................... 175
18. A differenciálegyenlet fogalma. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet és megoldása....................................................................................................................... 185
19. Elsőrendű differenciálegyenletekre visszavezethető egyenletek és megoldásuk. .... 195
20. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek. .............................................................. 196
21. Alaprendszer keresése................................................................................................... 222 Kiegészítés: A görög ABC................................................................................................... 223 Irodalomjegyzék .................................................................................................................. 223
3
1. Halmaz fogalma, műveletek halmazokkal. Valós számok tulajdonságai. Az abszolút érték és azonosságai. Az intervallum és a környezet fogalma. Leképezések, függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvények alaptulajdonságai. Elemei függvények osztályozása, inverz függvény fogalma. Algebrai függvények: racionális függvények, irracionális függvények.
Halmaz fogalma
Valamely halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy hozzátartozik-e a szóban forgó halmazhoz („eleme”a halmaznak). Megj.: A halmaz: alapfogalom. Ez azt jelenti,hogy nem definiáljuk, más szavakkal körülírt fogalomként használjuk. Középiskolai tanulmányainkra visszaemlékezve ugyancsak definíció nélkül, alapfogalomként használtuk például a pont, a sík fogalmát is.
Műveletek halmazokkal Megj.: Három olyan műveletet értelmezünk, amelyek segítségével adott halmazokból meghatározott elemeket tartalmazó újabb halmazokat állíthatunk elő. Def.: Az A és B halmaz egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csakis azok az elemek alkotnak, amelyek az A vagy B halmazok legalább egyikének elemei. Megj.:
Def.: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csakis azok az elemek alkotnak, amelyek A-nak is és B-nek is elemei.
4
Megj.:
Def.(speciális eset): Ha az A és B halmazoknak nincs közös eleme, azaz ha
akkor azt mondjuk, hogy az A és a B diszjunkt (leválasztott, szétválasztott, feldarabolt, ízekre szedett) halmazok. Def.: Az A és B halmazok különbségén azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem. Megj.:
5
Valós számok tulajdonságai Megj.: A valós számok halmaza kiemelt fontosságú a matematikai analízisben. Ugyanis az analízis lépten-nyomon felhasználja a valós számok halmazát, annak tulajdonságait. Mi ismertnek tételezzük fel a valós számok halmazát, és a középiskolai gyakorlatnak megfelelően R-rel jelöljük. A következőkben felsorolásra kerülnek a valós számok azon legfontosabb tulajdonságai, amelyek feltételezéséből már levezethetők a további műveleti szabályok és tulajdonságok. Ezek a tulajdonságok valójában a valós számok ún. axiómái, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk, a valós számok halmazát éppen ezek határozzák meg egyértelműen. I. axióma: A valós számok halmazán értelmezve van két művelet, az összeadás és a szorzás művelete, azaz bármely két a, b valós számhoz egyértelműen hozzá van rendelve azok a + b-vel, illetve a b-vel jelölt ugyancsak valós összege, illetve szorzata. 1. Az összeadás a. kommutatív (felcserélhető), azaz bármely két a, b valós számra igaz, hogy:
a + b = b + a; b. asszociatív (csoportosítható, tetszőlegesen zárójelezhető), azaz bármely három a, b, c valós számra igaz, hogy:
(a + b) + c = a + (b + c). 2. A szorzás a. kommutatív, azaz bármely két a, b valós számra igaz, hogy:
ab = ba;
b. asszociatív, azaz bármely három a, b, c valós számra igaz, hogy:
(ab)c = a(bc). 3. A szorzás az összeadásra nézve disztributív (szétosztott, kiosztott, elosztott), azaz bármely három a, b, c valós számra igaz, hogy:
(a + b)c = ac + bc.
6
Megjegyzés szintjén kerülnek leírásra a 4-es és 5-ös pontba foglaltak:
4. A valós számok halmazának van a. zéruseleme, azaz létezik olyan 0 R szám, hogy minden valós a-ra:
a + 0 = a; b. egységeleme, azaz létezik olyan 1 R szám, hogy minden valós a-ra:
1 a = a. 5. A valós számok halmazában a. Minden valós a-hoz létezik olyan a* R, amelyre:
a + a* = 0. Ezen a*-t a ellentettjének nevezzük, és –a-val jelöljük. b. Minden 0-tól különböző valós a-hoz létezik olyan a** R, amelyre:
a a** = 1. Ezen a**-t a reciprokának nevezzük, és 1/a-val jelöljük. (Megj.: a zéruselem, az egységelem, az ellentett és a reciprok egyértelműen meghatározott.)
II. axióma: A valós számok körében értelmezhető ún. nagyságrendi reláció (viszony), azaz bármely két a, b valós számra az alábbi relációk közül pontosan egy érvényes:
a < b a = b b < a. Ez a reláció a. tranzitív (átmeneti, tárgyas), azaz bármely három a, b, c valós számra ha a < b és b < c, akkor a < c; b. továbbá bármely három a,b,c valós számra, ha a < b, akkor a + c < b + c; ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc. III. axióma: A következő tulajdonság, az ún. archimedesi axióma, a pozitív valós számoknak azon tulajdonságát fejezi ki, hogy bármilyen pozitív számnak elég nagy természetes számmal vett szorzata nagyobb lehet bármelyik pozitív számnál, azaz minden a és b pozitív valós számhoz található olyan n természetes szám, amelyre b < na.
7
IV. axióma: Az utolsónak említendő tulajdonság az ún. teljességi axióma, miszerint ha A valós számok felülről korlátos nem üres részhalmaza, akkor létezik egy egyértelműen meghatározott valós szám, amely A felső határa. Ha pedig A alulról korlátos, akkor létezik alsó határa és ez valós. Megj.: a következőkben olyan fogalmak kerülnek ismertetésre, melyek a valós számokkal kapcsolatosak. Elsőként a valós számok abszolút értékének fogalmával foglalkozunk.
Az abszolút érték és azonosságai Def.: Az a valós szám (a R) szimbólummal jelölt abszolút értékének nevezzük a következőképpen értelmezett nemnegatív valós számot:
Az abszolút érték megadott definíciója alapján könnyen igazolhatók a következő összefüggések tetszőlegesen választott a és b valós számokra:
Az intervallum és a környezet fogalma Megj.: A valós számoknak az analízisben gyakran használt, a számegyenesen jól szemléltethető részhalmazai, az ún. intervallumok (köztesértékek). Def.: Intervallumok az
Feltételek valamelyikét kielégítő x valós számok halmazát nevezzük. Részletesebben: azt a halmazt, amelynek eleme az összes olyan x valós szám, amelyre teljesül az
Nevezzük. Az a és b pontokat végpontoknak, az intervallum többi pontját belső pontnak nevezzük. Ha a = b, akkor elfajult (beteges, kóros) intervallumról beszélünk.
8
Az intervallumok szemléltetése
Leképezések, függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet
9
Mi csak az ún. valós függvényekkel foglalkozunk, azaz olyan függvényekkel, amelyek értékkészlete (a B halmaz) a valós számok valamely nem üres részhalmaza.
10
Függvények alaptulajdonságai
1. Függvények megadása Megj.: elsősorban egyváltozós valós függvényekről lesz szó, amikről már tettem említést az előzőekben. Ugyanígy hasonlóan az értelmezési tartományról és értékkészletről is.
Megj.: A függvényeket többféleképpen adhatjuk meg. Pl.:
11
2.Koordinátatranszformációk
12
13
3. Függvénytani alapfogalmak Megj.: A következőkben felsorolásra, definiálásra kerülnek azok a legegyszerűbb fogalmak, amelyek a függvények vizsgálata során leggyakrabban előfordulnak.
14
Megj.: Az ilyen függvényeket közös néven monoton függvényeknek nevezzük. Értelmezésszerűen megkülönböztetünk szigorú és tágabb értelemben monoton függvényeket. A monotonitás definiálható az értelmezési tartomány valamely részintervallumán is. Ekkor a szóban forgó intervallumon monoton függvényről beszélünk.
Megj.:
15
Megj.:
16
4. Függvények folytonossága 5. Műveletek folytonos függvényekkel 6. Függvények határértéke 7. Folytonos függvények kiterjesztése intervallumokra. Megj.: az utolsó négy pont a későbbiekben kerülnek megfogalmazásra.
Elemi függvények osztályozása, inverz függvény fogalma Megj.: Elemi függvények az olyan képlettel megadható függvények, amelyek az , az és az függvényekből az alábbi „műveletek” véges sok alkalmazásával felírhatók:
o konstanssal való szorzás, o összeadás, szorzás, osztás, o függvény leszűkítésének képzése, o inverz függvény képzése, o összetett függvény képzése.
Az elemi függvényeket a következőképpen csoportosíthatjuk (osztályozhatjuk): I. Algebrai függvények 1. Racionális függvények a. Racionális egész függvények b. Racionális törtfüggvények 2. Irracionális függvények II. Transzcendens függvények Megj.: Nagyon sok nem elemi függvény is létezik, ilyen például a már említett abszolútérték-függvény és előjelfüggvény is. Def.: Legyen olyan függvény, amely az értelmezési tartomány és értékkészlet elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít. Ekkor inverz függvényének azt az függvényt nevezzük, amelynek értelmezési tartománya és
Megj.: A definíció alapján az és függvényeknél az értelmezési tartomány és az értékkészlet szerepet cserél, ez azt jelenti, hogy e függvények ábrázolása esetén a tengelyek szerepe is cserélődik. Az x és y tengely szerepcseréje a koordináta-rendszer y = x egyenesre vonatkozó tükröződését jelenti. Ezek után nem nehéz belátni, hogy az és grafikonjai egymás tükörképei, és a tükröződés tengelye az y = x egyenes. Valamely pont koordinátái a pont helyzetét jellemző számok.
17
Algebrai függvények: racionális függvények, irracionális függvények Meg.: Algebrai (betűszámtani, számelméleti) függvényekről beszélünk akkor, ha a függvénykapcsolatot kifejező (explicit – világosan kifejezett vagy implicit – nem kifejtett, rejtett) formula (képlet, szabály) az függvényt és a valós számokat használva kizárólag algebrai műveletekből épül fel. Algebrai műveleten az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás, az egész kitevős hatványozás és a gyökvonás véges számú alkalmazását értjük. Az algebrai függvények lehetnek racionális (ésszerű, célszerű, értelmes) vagy irracionális (értelmetlen, ésszerűtlen) függvények. 1. Racionális függvények azok, amelyek képletében csak a négy alapművelet és az egész kitevős hatványozás fordul elő. a. Racionális egész függvények a
Megj.: Könnyen igazolhatjuk, hogy a racionális egész függvények mindenütt folytonosak. b. Racionális törtfüggvények azok a függvények, amelyek két polinom (többtagú, azaz több összeadandó tagból álló kifejezés) hányadosaként állnak elő.
Megj.: Belátható, hogy a racionális törtfüggvény mindenütt folytonos.
18
2. Irracionális függvények Megj.: Néhány speciális irracionális függvény kerül megnézésre.
19
2. Transzcendes függvények: trigonometrikus függvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvény. Trigonometrikus függvények differenciálása. Trigonometrikus függvények inverzének differenciálása (arsinx, arccosx, arctgx).
A nem algebrai elemi függvényeket transzcendens (érzékfeletti, a megismerés határain túli, megfoghatatlan, magasabbrendű) függvényeknek nevezzük. Ezek ismert osztályai például a trigonometrikus (szögfüggvénytani) és az exponenciális (hatványkitevős) függvények.
Trigonometrikus függvények és inverzeik
20
Megj.:
21
22
23
24
Exponenciális és logaritmus függvény
25
26
Trigonometrikus függvények differenciálása (sin x, cos x, tg x, ctg x)
27
Trigonometrikus függvények inverzének differenciálása (arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctg x)
A következő tételben a trigonometrikus függvények inverzeinek (megfordítottjainak) – a ciklometrikus (körmértékes) függvényeknek – a deriváltfüggvényeit adjuk meg.
28
3. Sorozatok fogalma, tulajdonságai. Sorozatok konvergenciája, a határérték egyértelműsége (unicitás tétel). Műveletek konvergens sorozatokkal: {an+bn},
{ }; {anac ⋅ n-bn}{ }; { }; {2na nn ba ⋅
n
n
ba
} sorozatok határértéke. Torlódási pont
fogalma, Bolzano-Weierstrass tétel. Megj.: Korábban általánosságban megadásra került a függvény fogalma. Amennyiben az ott adott megfogalmazásban szereplő A és B halmazok a valós számok nem szükségképpen különböző részhalmazai, akkor egyváltozós valós függvényekről beszélünk. Először – mint speciális egyváltozós valós függvények – a számsorozatok kerülnek taglalásra.
Sorozatok fogalma
29
Sorozatok tulajdonságai
Megj.:
Megj.:
30
Sorozatok konvergenciája
Megj.: A következőkben két egymással ekvivalens (egyenértékű) definíció kerül közlésre e témában.
Megj.: A fenti két definíció („pontos” meghatározás, értelmezés) egyenértékű (megegyezik, azonos, egyforma, egyenlő). Ezt a következő tételben (szabály, kifejezés, tömör meghatározás) bizonyítjuk is.
31
Megj.:
A határérték egyértelműsége (unicitás tétel)
Megj.: A következő tételben a határérték egyértelműsége (unicitása) kerül bizonyításra.
Megj.: A sorozat tagjai a tagok számának növekedésével egy bizonyos véges meghatározott értékhez közelednek (l. Határérték), akkor azt mondjuk, hogy a sorozatból képezett végtelen sor, illetőleg végtelen szorzat, végtelen lánctört összetartó v. konvergens. Ehhez még csak azt tesszük hozzá, hogy e határértéknek a végtelen szorzat esetében a 0-tól is különbözőnek kell lennie. E határértéket magát az illető végtelen sor, stb. értékének nevezzük. Minden más esetben a végtelen sor széttartó v. divergens.
32
Megj.: A következő részletek még a sorozatok konvergenciájához tartozik. A soron következő tételek a konvergens sorozatoknak két fontos tulajdonságát mondják ki.
Megj.:
33
Torlódási pont fogalma
Megj.: Az előző tétel alapján nyilvánvaló, hogy valamely sorozat elemeiből véges sokat elhagyva illetve hozzávéve, a sorozat konvergenciája nem változik. A sorozatok egy másik, a határértékhez közelálló, de azzal nem azonos jellemzője a torlódási pont. Az alábbiakban ezzel ismerkedünk meg.
Megj.:
Bolzano – Weierstass tétel
34
Megj.:
35
Műveletek konvergens sorozatokkal
({an+bn}, { nac ⋅ }, {an-bn}{ }, {2na nn ba ⋅ }, {
n
n
ba
} ) sorozatok határértéke
Tétel: Legyen{ és }na { }nb konvergens sorozat, , , és aan → bbn → R∈c tetszőleges. Ekkor { }, { } és {nac ⋅ nn ba ± }nn ba ⋅ sorozat is konvergens, és
acac n ⋅→⋅ ,
baba nn ±→± ,
baba nn ⋅→⋅ .
Továbbá ha , akkor 0≠b⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
n
n
ba is konvergál, és
ba
ba
n
n → .
2na = an an a a =
Megj.: Ez azt jelenti, hogy konvergens sorozatok esetén a határérték képzés és az alapműveletek végrehajtásának sorrendje felcserélhető.
36
4. Bernoulli egyenlőtlenség, {qn} sorozat határértéke. Az {n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11 } sorozat
határértéke. Egyenlőtlenségekre vonatkozó határértéktételek, Rendőr elv. Sorozatok szuprémuma, infimuma. Konvergencia kritériumok (felülről korlátos sorozatok szuprémuma, alulról korlátos sorozatok infimumára vonatkozó tétel, monoton sorozatra vonatkozó tétel.)
Bernoulli-egyenlőtlenség
{qn} sorozat határértéke
37
38
Az {n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11 } sorozat határértéke
39
40
Egyenlőtlenségekre vonatkozó határértéktételek, Rendőrelv
Sorozatok szuprémuma, infimuma
Megj.:
Konvergencia kritériumok (felülről korlátos sorozatok szuprémuma, alulról korlátos sorozatok infimumára vonatkozó tétel, monoton sorozatra vonatkozó tétel)
Megj.:
41
5. Függvények folytonossága, műveletek folytonos függvényekkel. Folytonos függvények tulajdonságai. Függvények határértéke, féloldali határértékek, a
végtelenben vett határérték, a határérték kiterjesztése végtelenre. A x
xsin és
xxcos1− függvények határértéke.
Függvények folytonossága Megj.:
42
Megj.:
43
Műveletek folytonos függvényekkel
Megj.:
44
45
Megj.:
Folytonos függvények tulajdonságai
1. *Fokozatos változás
*Tétel: „Fokozatos változás tulajdonsága”
( ) ( )KxfkxxxKxfkCf x <<+−∈∀>∃⇒<<∧∈ )(:),(:0)( 0000δδδ .
2. Műveletek folytonos függvényekkel
Tétel: Legyen , tetszőleges. 0
)(),( xCxgxf ∈ R∈cEkkor , ,)(xfc ⋅ )()( xgxf ± )()( xgxf ⋅
0xC∈ .
Továbbá, ha , akkor 0)( 0 ≠xg0)(
)(xC
xgxf∈ .
46
3. Folytonos függvények összetétele
Def.: Legyen és )(::)( xfxRDxf ff α→ )(::)( xgxRDxg gg α→ adott függvények.
Ekkor ))((::))(( xgfxRDxfg fgfg αο οο → függvény összetett függvény , ahol { }fgfg DxgDxD ∈∈= )(:ο , { }))((::))(( xgfyDxyDgfR fgfgfg =∈∃== οοο
Az f(x)-et külső függvénynek, míg g(x)-et belső függvénynek nevezzük.
Tétel: Legyen . Ekkor )( 00)(,)( xgx CxfCxg ∈∈
0))(())(( xCxgfxfg ∈=ο .
4. Folytonos függvények invertálhatósága
Def.: f(x) függvény kölcsönösen egyértelmű), ha 212121 )()(:, xxxfxfDxx f =⇒=∈∀ .
Def.: Legyen adott kölcsönösen egyértelmű függvény. )(::)( xfxRDxf ff α→
Ekkor )(::)( xfxDRRDxf ffffα=→= függvény az f(x) inverz függvénye , ha
xxffDx f =∈∀ ))((: ill. yyffRy f =∈∀ ))((: .
Megj.: Ezért szokás a kölcsönös egyértelműséget invertálhatóságnak is mondani.
Megj.: Invertálható függvény )(xf )(xf inverze is invertálható, és )()( xfxf = .
Tétel: Szigorúan monoton, folytonos függvény invertálható, inverze is ugyanolyan értelemben szigorú monoton és folytonos, azaz
[ ] [ ])(),(, )()()()()( bfafszigszigba CxfxfxfxfCxf ∈∧↑∧∃⇒↑∧∈ , ill.
[ ] [ ])(),(, )()()()()( afbfszigszigba CxfxfxfxfCxf ∈∧↓∧∃⇒↓∧∈ .
5. Véges zárt intervallumon folytonos függvények
Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.
Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélsőértékeit.
*Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény a minimuma és maximuma közötti minden értéket felvesz. Sőt, lesz olyan első ill. utolsó hely, ahol az adott értéket felveszi.
*Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény egyenletesen folytonos.
47
Függvények határértéke Megj.:
48
Megj.:
Féloldali határértékek
49
A végtelenben vett határérték, a határérték kiterjesztése végtelenre
Megj.:
Megj.:
50
A x
xsin és x
xcos1− függvények határértéke
51
52
Megj.:
Megj.:
Az első függvény határértékének bizonyítási elvével hasonlóan levezethető a második függvény határértéke is.
53
6. A differenciálhányados értelmezése, a deriváltfüggvény. A differencia- és differenciálhányados, féloldali differenciálhányados. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata. A differenciálhányados függvény. Általános differenciálási szabályok: ; és az )(xfc ⋅ )()( xgxf ± függvény differenciálása. A hatványfüggvény differenciálása.
A differenciálhányados értelmezése, a deriváltfüggvény
A differenciál(különbségi,eltérési)számítás kialakulását geometriai (mértani) és fizikai (természettani) (főleg mechanikai - mozgástani) problémák váltották ki, illetve siettették. Ezek közül két alapvetőt emelünk ki:
A differencia- és differenciálhányados
54
55
Megj.:
56
Féloldali differenciálhányados Megj.: Az alábbiakban feltesszük, hogy a szóban forgó függvény a vizsgált hely megfelelő féloldali környezetében értelmezve van.
Megj.:
Megj.:
57
Megj.:
A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata Megj.:
58
59
60
A differenciálhányados-függvény
Megj.:
Megj.:
61
Általános differenciálási szabályok: )(xfc ⋅ ; és az )()( xgxf ± függvény differenciálása
Megj.:
62
A hatványfüggvény differenciálása Bev.:
Megj.:
63
7. Általános differenciálási szabályok: )()( xgxf ⋅ ; és az )()(
xgxf függvény differenciálása.
Az összetett függvény és az inverz függvény differenciálási szabálya. Az ex; ln x; ax; loga x; f(x)g(x) függvények differenciálása.
Általános differenciálási szabályok: )()( xgxf ⋅ ; és az )()(
xgxf függvény differenciálása
Megj.:
64
Megj.:
65
Az összetett függvény és az inverz függvény differenciálási szabálya
Megj.:
66
67
Az ex; ln x; ax; loga x; f(x)g(x) függvények differenciálása
68
Megj.: Ezek a már említett függvények a logaritmus(arányszám)- és az exponenciális függvény differenciálása nevű témakörbe tartoznak. A következő deriválási szabály nem általános, mivel csak bizonyos típusú függvényekre vonatkozik, ismerete mégis sokszor hasznos. (Az utoljára levezetett függvény a speciális differenciálási szabályok témakörébe tartozik, illetve logaritmikus differenciálásnak is nevezik a matematikában.) A logaritmus az a hatványkitevő, amelyre egy adott számot emelni kell, hogy egy másik adott számot nyerjünk. Így pl. 52=5x5=25, tehát 5log 25=2. A logaritmust tehát felfoghatjuk, mint a hatványozás inverz műveletét.
69
Megj.:
70
8. Középérték-tételek (Rolle, Lagrange, és Cauchy-féle középérték tételek)
Megj.:
71
72
73
74
Megj.:
Az egzisztencia matematikai jelentése lét, létezés.
9. Differenciálható függvények vizsgálata. Magasabb rendű differenciálhányados. Összefüggések a különböző differenciálhányados függvények és a monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexiós pont között (az ide vonatkozó szükséges és elegendő feltételre vonatkozó tételek).
Differenciálható függvények vizsgálata (függvénydiszkusszió)
75
76
77
Magasabb rendű differenciálhányados
78
Megj.:
79
Összefüggések a különböző differenciálhányados függvények és a monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexiós pont között (az ide vonatkozó szükséges és elegendő feltételre vonatkozó tételek)
Bev.:
Megj.:
80
Megj.:
81
Megj.:
82
83
Megj.:
84
Megj.:
85
Megj.:
86
87
Megj.:
88
89
10. Numerikus sorok. Sorok konvergencia kritériumai.
Numerikus sorok
90
Konvergens és divergens számsorok
91
92
Sorok konvergencia kritériumai
Bez.:
93
94
Jeltartó és alternáló sorok
95
96
Műveletek számsorokkal
Megj.:
97
98
99
100
Konvergencia-kritériumok pozitív tagú sorokra
Megj.:
101
102
103
104
Megj.:
105
11. Taylor-sor, Maclaurin-sor. Egy-két nevezetes függvény hatványsora. Bev.:
Taylor-sor mint speciális hatványsor, Maclaurin-sor
Megj.:
106
107
Egy-két nevezetes függvény hatványsora
108
Megj.:
109
110
111
12. Többváltozós függvények és tulajdonságaik. Többváltozós függvények vizsgálata.
Megj.:
112
A többváltozós függvények megadási módjai
113
Megj.:
114
A többváltozós függvényekre vonatkozó alapfogalmak
Megj.:
115
116
Megj.:
117
A többváltozós valós függvények differenciálszámítása
Megj.:
118
119
Megj.:
A differenciálhatóság értelmezése
120
121
Megj.:
122
Megj.:
123
124
A többváltozós függvények differenciálszámításának alkalmazásai (szélsőérték-számítás)
Megj.:
125
126
127
128
13. A Reimann-integrál fogalma és tulajdonságai. A határozott integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek. Az integrálhatóság feltételei.
Bev.:
A határozott integrál
129
A Riemann-integrál fogalma
Megj.:
130
Megj.:
131
132
A határozott integrál tulajdonságai
Műveletek integrálható függvényekkel
Megj.:
133
Megj.:
134
135
Az integrálszámítás középértéktétele
Megj.:
136
137
Kiegészítés a határozott integrál tulajdonságaihoz
Formális tulajdonságok
] ,[)( baRxf ∈
• ∫ =a
a
dxxf 0)(
• ∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
• ],[],[],[ baRfbaba ′′∈⇒⊆′′
• , ahol ∫∫∫ +=b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( ],[ bac∈
138
Műveleti szabályok
Tétel: Legyen ] , c valós szám. ,[)( baRxf ∈
Ekkor ],[))(()( baRxfcxfc ∈⋅=⋅ és ∫∫ ⋅=⋅b
a
b
a
dxxfcdxxfc )()(
Tétel: Legyen . ],[)(),( baRxgxf ∈
Ekkor ],[))(()()( baRxgfxgxf ∈+=+ és ∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Tétel: Legyen . ],[)(),( baRxgxf ∈
Ekkor ],[))(()()( baRxgfxgxf ∈⋅=⋅
Tétel: Legyen , továbbá létezzen ],[)(),( baRxgxf ∈ mxgbaxm ≥∈∀> )(:],[:0 .
Ekkor ],[))(()()(
baRxgf
xgxf
∈=
Tétel: Legyen . ],[)( baRxf ∈
Ekkor ],[)( baRxf ∈ és ∫∫ ≥b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
A határozott integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek
139
140
Az integrálhatóság feltételei
Az integrálhatóság szükséges feltétele
141
142
Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele
Megj.:
143
144
14. Az integrálfüggvény tulajdonságai. A primitív függvény fogalma. Newton-Leibniz formula.
Megj.:
Megj.:
145
Az integrálfüggvény tulajdonságai
146
A primitív függvény fogalma
Megj.:
Newton-Leibniz formula
147
148
15. A helyettesítéssel való integrálás szabályai. Parciális integrálás szabálya. Transzcendens függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.
A helyettesítéssel való integrálás szabályai
149
Megj.:
Parciális integrálás szabálya
150
151
Megj.:
152
153
154
Transzcendens függvények integrálása
Transzcendens függvények:
A) Trigonometrikus és ciklometrikus függvények B) Exponenciális és logaritmus függvények C) *Irracionális kitevős hatványfüggvények D) *Hiperbolikus függvények
Trigonometrikus függvények integrálása Megj.:
155
Néhány trigonometrikus függvény integrálása
156
157
158
Trigonometrikus függvények racionális kifejezésének integrálása
159
160
161
Megj.:
162
Exponenciális és hiperbolikus függvények integrálása Megj.:
163
164
Megj.:
16. Az integrálszámítás alkalmazásai. Terület, térfogat, ívhossz kiszámítása.
Az integrálszámítás alkalmazásai
Az integrálszámítást a következő esetekben alkalmazzuk:
o Területszámítás o Síkgörbe ívhossza o Forgástest térfogata o Forgástest palástjának felszíne o Súlypontszámítás (görbedarab, síklemez, forgástest és forgásfelület esetén)
Területszámítás
165
166
167
Forgástest térfogata
168
Megj.:
169
Megj.:
170
Síkgörbe ívhossza
171
172
173
174
17. Racionális törtfüggvények integrálása.
Parciális törtekre bontás
175
A parciális törtek integrálása
176
177
178
179
180
181
A parciális törtekben szereplő együtthatók meghatározása
182
183
184
18. A differenciálegyenlet fogalma. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet és megoldása.
A differenciálegyenlet fogalma
Bővebben:
185
Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet és megoldása
Homogén differenciálegyenletek
186
187
188
Inhomogén differenciálegyenletek
189
190
191
192
193
194
19. Elsőrendű differenciálegyenletekre visszavezethető egyenletek és megoldásuk.
195
Megj.:
20. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek.
Másodrendű differenciálegyenletek
Hiányos másodrendű differenciálegyenletek
196
Megj.:
Megj.:
197
198
199
200
201
Lineáris homogén differenciálegyenletetek
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
Lineáris inhomogén differenciálegyenletek
216
217
218
219
220
221
21. Alaprendszer keresése.
Bevezetés jelleggel:
Def.: Az y1(x) és y2(x) függvényeket egy [a;b]-n lineárisan függetlenek nevezzük, ha abból, hogy [a;b]-n mindenütt c1*y1(x) + c2*y2(x) = 0 teljesül, ebből következik, hogy a c1 és c2 konstansok nullák.
Ellenkező esetben y1(x) és y2(x)-et lineárisan függőnek nevezzük.
Def.: Wronski-féle determináns:
Tétel: Ha a differenciálható y1(x) és y2(x) függvények [a;b]-n lineárisan függők, akkor ott a Wronski-féle determináns nulla.
Tegyük fel, hogy y1(x) és y2(x) az [a;b]-n lineárisan függők, azaz vannak olyan c1 és c2 konstansok, hogy c1*c1 + c2*c2 0-val, de [a;b]-n mindenütt
c1*y1(x) + c2*y2(x) = 0,
c1*y1’(x) + c2*y2’(x) = 0 (lineáris homogén egyenletrendszer)
Def.: Az y1(x) és y2(x) legyenek a homogén egyenlet megoldásai. Ezek alaprendszert alkotnak, ha W(y1,y2) 0.
Tétel: Ha y1(x) és y2(x) a homogén lineáris másodfokú differenciálegyenlet alaprendszert alkotó megoldásai, akkor a homogén egyenlet bármely megoldása, ezek lineáris kombinációjaként állítható elő, azaz v = y = c1*y1 + c2*y2.
Megjegyzés: az alaprendszer (elsősorban a homogén egyenletrendszer lineárisan független megoldásainak) keresése és az utólag kifejtett tétel bizonyítása a 20. tételben megtalálható teljes részletességgel.
222
A görög ABC
kis nagy magyar név A alfa
B béta
gamma delta
E epszílon
Z dzéta
H éta théta
I ióta K kappa lambda M mű N nű
kszí
o O omíkron pí
P rhó szigma
T tau üpszílon
phí (fí)
X khí
pszí
ómega
Irodalomjegyzék Nyomtatott források:
o Kovács József, Takács Gábor, Takács Miklós: Matematika a műszaki főiskolák számára – Analízis (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998)
o Albeker István, Dr. Csernyák László, Dr. Czétényi Csaba, Dr. Pörzse Oszkárné: Matematika üzemgazdászoknak – Analízis (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998)
Elektronikus források:
o Schneider János: Elektronikus jegyezetek Analízisből 2004-2005. (MIK, VENK)
o Lajkó Károly: Analízis II. – Második, javított kiadás (Debreceni Egyetem, Matematikai és Informatikai Intézet, 2001); Differenciálegyenletek – Kézirat (Debreceni Egyetem, Matematikai és Informatikai Intézet, 2000)
223
top related