matematika wajib vektor - · pdf filemenjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan...
Post on 07-Feb-2018
363 Views
Preview:
TRANSCRIPT
VEKTOR Page1
BismillahirrohmanirrohiimMATEMATIKAWAJIB
VEKTORKompetensiDasar : 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan
masalah
3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalampemecahanmasalah
Indikator :1.Menjelaskanvektorsebagaibesaranyangmemilkibesardanarah
2. Mengenalvektorsatuan3. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar,
danlawansuatuvektor4. Menjelaskansifat-sifatvektorsecaraaljabardangeometri5. Menggunakanrumusperbandinganvektor6. Merumuskandefinisiperkalianskalarduavektor7. Menghitunghasilkaliskalarduavektordanmenemukansifat-sifatnya8. Menentukanvektorproyeksidanpanjangproyeksinya9. Melakukankajianmenentukansudutantaraduavektor10. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang mempunyai penyelesaian dengan
konsepvektorPenjiwaanAgama :”Dankamijadikanmalamdansiangsebagaiduatandalalukamihapuskantandamalamdan
kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamumencari kurnia Tuhanmu, dan supaya kamumengetahuibilangantahundanperhitungan.Dansegalasesuatutelahkamiterangkandenganjelas.(Q.SAlIsra:12)
A. PENGERTIANVEKTOR1. Vektoradalahsuatubesaranyangmempunyaibesardanarah.2. Vektordapatdigambarkansebagairuasgarisberarah.3. Besarvektordinyatakandenganpanjanggarisdanarahvektordinyatakandenganarahpanah.4. Notasivektorbiasanyadenganmenggunakantandaanakpanahdiatasataubawahnyaataubisajugadengan
menggunakanhurufkecilyangtebal.5. Vektorposisiyaituvektoryangposisi(letaknya)tertentu.
Misalnya OA yaitu vektor posisi yang awalnya di titikpusatdanujungnyadititikA.Vektorposisi , ,OA OB OC dan seterusnya biasanya diwakili oleh vektor denganhuruf kecil misalnya cba ,, dan sebagainya. Jadi
cOCbOBaOA === ,, .
6. MenentukankomponenvectorMisalnya vektor a adalah vektor yangbertitik awal di titik ( )1 1 1x ,y ,P z danberujungdi titik ( )2 2 2x ,y ,Q z
maka:
2 1
2 1
2 1
atau x x x
a PQ vektor posisi ujung OQ vektor posisi awal OP y y yz z z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
X
Y
O
C
BA
ab
c
VEKTOR Page2
a a−
Ø Syarat dua vektor yang sejajar
Ø Syarat 3 Titik A,B, C segaris à dst
7. MenuliskanKomponensuatuvector:Ø pasanganterurutbilanganreal(vectorbaris) ( )a x y= {vectordiR2}, ( )a x y z= {vectordiR3}
Ø vektorkolomx
ay
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
danx
a yz
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Ø ditulisdengannotasivectorsatuani,j,kyaitu a xi y j= + dana xi y j zk= + +
8. Besarvector a à 2 2a x y= + *vectorR2
2 2 2a x y z= + + *vectorR3
9. Vektor satuan dari vector a adalah vector yang panjangnya satu satuan dan searah dengan a yang
dinyatakandengan $ aaa
= , $a dibacaatopiatau $a biasaditulis e$
10. Duavectordikatakansamaapabilabesardanarahnyasama.
11. – a adalahvectoryangsamabesardengan a ,tapiarahnyaberlawanan
B. OPERASIPADAVEKTOR
1. KESAMAANVEKTOR
Jikavector1
1
1
xa y
z
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
dinyatakansamadenganvector2
2
2
xb y
z
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
maka1 2
1 2
1 2
x xy yz z
===
2. PERKALIANVEKTORDENGANSKALARJikaksuatubilanganrealmakak a adalahsuatuvektoryangpanjangnyakkali lipatpanjang a . Jikakpositifmakasearahdengan a dan jikaknegatifmakaberlawananarahdengana .
Secaraaljabarditulis:
Jikax
a yz
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
maka .x kx
k a k y kyz kz
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3. PENJUMLAHANdanPENGURANGAN(SELISIH)VEKTORSecaraAljabar:
Jika1
1
1
xa y
z
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
dan2
2
2
xb y
z
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
maka1 2
1 2
1 2
x x xa b y y y
z z z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟± = ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
PenjumlahandanPengurangan(Selisih)SecaraGeometris:
Ø Penjumlahan 2 vektor dengan mempertemukan ujung vektor yang satu ( a ) dengan awal/pangkalvektoryang lain(b ),sehinggahasilpenjumlahankeduavektoradalahawalvektoryangsatu( a )keujungvektoryanglain(b ).
a
2a 3a−
VEKTOR Page3
Ø Jika adalah sudut antara vektor dan ,makapanjang dan
diselesaikandenganaturancosinesyaitu
Ø Jikatidakdiketahuisudutnyamakacaridulunilai dan barucaripanjangnya.
Ø INGAT:dan
Ø Selisihduavektor a dan b ditulis ba − dapatdipandangsebagaipenjumlahan a dengan-b (vektorinversb ).Jadi ba − = ( )ba −+
4. PERKALIANSKALARDUAVEKTOR
a) Jikadiketahuisudutantara2vektorHasil kali skalar dua vektor a dan b ditulis ba • yang didefinisikansebagaiberikut:
θcosbaba =• dimanaθ sudutantaravektora danb .
SIFAT-SIFATHASILKALISKALAR
Ø Duavektoryangsalingsejajar: bababa ==• !0cos atau
Ø Duavektoryangsalingtegaklurus: 090cos ==• !baba
Ø Duavektoryangberlawananarah: bababa −==• !180cos
Ø Bersifatkomutatif: abba •=•
Ø Bersifatdistributif: ( ) cabacba •+•=+•
b) PerkalianSkalarDuaVektorDalamBentukKomponen
Jika 1 1 1 2 2 2a x i y j z k dan b x i y j z k= + + = + + maka 1 2 1 2 1 2a b x x y y z z• = + +
c) SudutAntaraDuaVektor
Sudutantaravektor a danb adalah 1 2 1 2 1 2cos a b x x y y z za b a b
θ • + += =
θ
b
a
VEKTOR Page4
C. RUMUSPERBANDINGAN
MisalkantitikPpadagarisABdenganperbandinganAP:PB=m:n.Perhatikangambardibawahini!
nmanbmpanbmnmp
pmbmanpnnm
pbapnmPBAP
++=⇔+=+
−=−⇔=−−⇔=
)(
::
Jadi:nmanbmp
++=
Jadijikatitik ),,(),,( 1 BBBAAA zyxBdanzyxA makakoordinatP:
),,(nmnzmz
nmnymy
nmnxmxP BABABA
++
++
++
TitikPbisamembagiABdenganperbandingandidalamsepertidiatasataubisajugadenganperbandingandiluar, maksudnya titik P di luar ruas garis AB. Jika arah perbandingannya berlawanan harus denganmenggunakantandanegatif.
D. PROYEKSIORTOGONALSUATUVEKTOR
1. PROYEKSISKALARORTOGONALPerhatikangambardibawahini:
Panjang proyeksi vektor a terhadap b yaitua bcb•=
2. VEKTORPROYEKSI(PROYEKSIVEKTORORTOGONAL) Perhatikangambardibawahini:
Proyeksivektor a terhadapb adalah:
bb
bac 2
•=
ALHAMDULILLAH
O
A
B
mn
ap
b
a
θc b
O B
A
C
a
θc b
O B
A
C
VEKTOR Page5
INDIKATOR12:Menyelesaikanoperasialjabarbeberapavektordengansyarattertentu
1. Diberikantigavektor 3 2a i j k= − +r r r r
, 2 4 3b i j k= − −r r r r
,dan
2 2c i j k= − + +r r r r
,maka2 3 5a b c− −r r r
=....
A. 2 4i j k+ −r r r
B. 2 5i j k− +r r r
C. 5 2i j k+ −r r r
D. 5 2i j k− +r r r
E. 3 2i j k+ −r r r
2. Jika32a ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
,
10b ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
dan54c −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
,makapanjang
vektord=a+b–cadalah....A. 5 B. 2 13 C. 17D. 3 13 E. 2 41
3. VektorPQuur
=(2,0,1)danvektorPRuur
=(1,1,2).Jika12
PS PQ=uur uur
,makavektorRSuur
=.....
A. 3
0, 1,2
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
B. 3
1,0,2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
C. 3,1,0
2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
D. 1,0,1
2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
E. (1,-1,1)
4. Diketahui 3 2a i j= −r
, 4b i j= − +r
dan 7 8r i j= −r
.Jika
r ka mb= +r r r
,makak+m=....A. 3B. 2C. 1D. –1E. –2
5. TitikA(3,2,-1),B(1,-2,1),danC(7, 1p− ,-5)segarisuntuknilaip=....A. 13B. 11C. 5D. -11E. -13
6. DiketahuiΔABCdenganA(4,-1,2),B(1,3,-1),danC(1,4,6).KoordinattitikberatΔABCadalah....A. (2,2,2)B. (-3,6,3)C. (-1,3,2)D. (-1,3,3)E. (-3,6,6)
VEKTOR Page6
7. DiketahuititikA(1,–2,–8)dantitikB(3,–4,0).TitikPterletakpadaperpanjanganABsehinggaAP=–3PB.JikaPvektorposisiuntuktitikP,makap=....A. 4 5 4i j k− +
r r r
B. 4 5 4i j k− −r r r
C. 12j k− −r r
D. 3 12i j k− − −r r r
E. 5 2i j k− − −r r r
8. Diketahui ar, brdan a b−
r rberturut-turutadalah4,6
dan2√19.Nilai a b+r r
=....
A. 4 19 B. 19 C. 4 7 D. 2 7 E. 7
9. Perhatikangambar!
Pernyataanyangbenaradalah.....
A. →→→
−= cba D.→→→
−= acb
B. →→→
−= bca E.→→→
−= bac
C. →→→
+= cab
10. Pada segiempat OABC, S dan Tmasing-masing adalahtitik tengah OB dan AC. Jika OCwdanOBv,OAu === maka ruas garis berarah ST dapat dinyatakan dalam
...sebagaiwdan,v,u a. wvu 2
121
21 ++
b. wvu 21
21
21 ++−
c. wvu 21
21
21 +−
d. wvu 21
21
21 −+
e. wvu 21
21
21 −−
11. DiketahuipersegipanjangOACBdanDtitiktengahOA,CDmemotongdiagonalABdiP. Jika aOA
!= dan bOB
!=
maka AP dapatdinyatakansebagai....A. 2
1( a!+ b!)
B. 31 ( a!+ b!)
C. 32 a!+ 3
1 b!
D. 31 a!+ 3
2 b!
E. 21 a!+ 3
2 b!
12. Diketahui 34=a! , b
!=5dan ( ) ( )baba
!!!!+⋅+ =13. sudut
antaravektor a! dan b!adalah
vw
uO A
BC
VEKTOR Page7
INDIKATOR13:Menyelesaikanmassalahyangberkaitandenganbesarsudutataunilaiperbandingantrigonometrisudutantaraduavektor
13. Besarsudutantara324
a⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
dan233
b⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠
adalah....
A. 180oB. 90oC. 60oD. 30oE. 0o
14. DiketahuiA(5,7,4),B(2,9,3)danC(4,10,6).BesarsudutABCadalah....A. 30oB. 60oC. 90oD. 120oE. 150o
15. Diketahuivektor-vektor 3 2 5a i j k= + − ,b i x j k= − − dan
2 2c i j k= + − .Jikaa tegaklurus b ,maka ....b c+ =
A. 3 6 2i j k+ −
B. 3 6 2i j k+ +
C. 3 2 2i j k+ +
D. 3 2 2i j k− −
E. 3 2 2i j k+ −
16. Jikavektora danb membentuksudut60odan 4a = dan
3b = maka ( ). ....a a b− =
A. 2B. 4C. 6D. 8E. 10
17. Diketahuivektor 12
pa
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
,263
b⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
danαadalahsudut
antaravektoradanb,nilai8
cos21
α = ,danpadalah
bilanganbulat.Makanilaipyangmemenuhiadalah....A. -3B. -2C. 1D. 2E. 3
18. Jika 15u = dan 13v = sedangkan . 75u v = − ,makanilaitangensudutantaravektorudanvadalah....
A. 512
−
B. 125
−
C. 512
D. 1213
VEKTOR Page8
E. 1312
19. Diketahui 2a = , 9b = , 5a b+ = .Besarsudut
antaravektora danvektor b adalah...A. 45oB. 60oC. 120oD. 135oE. 150o
20. Jika 2a = , 3b = ,danbesarsudut ( ), 120a b = °,maka
3 2 ....a b+ =
A. 5B. 6C. 10D. 12E. 13
21. Diketahui 6a = , ( ) ( ). 0a b a b− + = ,dan ( ). 3a a b− = .
Besarsudutantaravektora dan b adalah....
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 2π
E. 23π
22. DiketahuibalokABCDEFGHdenganAB=2cm,BC=3cm,danAE=4cm.Jika AC
uuurwakildarivekturu danDH
uuurwakil
darivekturv ,makasudutantaravektoru danv adalah....A. 0oB. 30oC. 45oD. 60oE. 90o
23. DiketahuibalokABCDEFGHdengankoordinattitiksudutA(3,0,0),C(0, 7 ,0),D(0,0,0),F(3, 7 ,4)danH(0,0,4).BesarsudutantaravektorDHdanDFadalah....A. 15oB. 30oC. 45oD. 60oE. 90o
24. DiketahuisegitigaXYZdenganX(10,14,-10),Y(8,14,-6),danZ(4,14,-18).Jikau XY=
r uurdanv YZ=
r uur,makabesar
sudutantaraurdanv
radalah....
A. 30oB. 45oC. 75oD. 105o
VEKTOR Page9
E. 135o
25. DiketahuititikP(3,-1,2),Q(1,-2,-1),danR(0,1,1)membentuksuatusegitiga,makabesarsudutPQRadalah....A. 30oB. 45oC. 60oD. 90oE. 120o
26. Diketahuivektor 2 3a ti j k= − +r
, 2 5b ti j k= − + −r
,dan
3c ti tj k= + +r
.Jikavektor ( )a b+r
tegaklurus c makanilai
2t=....
A. –2atau43
B. 2atau43
C. 2atau 43
−
D. 3atau2E. –3atau2
27. Diketahui =4a , 3b = ,dan + =5a b .Jikaθ adalah
sudutantaravectoradanvectorb,makanilai θ =cos2 .... A. 1
B. 45
C. 0
D. − 12
E. –1
28. Diketahuivektor = + +2 3a i j k ,dan = + +2 3b i j k .Besar
sudutantaravector ( )a b+ danvector ( )−a b adalah....
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2
E. π23
29. Diketahui = + −2a pi j k , = − +4 3 6b i j k dan = − +2 3c i j k
.Jikaa tegaklurusb ,hasildari ( )( )−2 3a b c adalah....
A. 171B. 63C. –63D. –111E. –171
VEKTOR Page10
INDIKATOR14:Menyelesaikanmasalahyangberkaitandenganpanjangproyeksiatauvektorproyeksi
30. Diketahuivektor 3 4 4a i j k= − − , 2 3b i j k= − + ,dan
4 3 5c i j k= − + .Panjangvektorproyeksiortogonal ( )a b+
pada c adalah....A. 3 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 6 2 E. 7 2
31. Diketahuivektor245
a⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
dan3
5b m
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠
.Jikaproyeksi
scalarorthogonalvektor b padaa samadengan3
55
,
makanilaimsamadengan....A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8
32. Panjangproyeksiorthogonalvektor 3a i p j k= + + ,pada
vektor 3 2b i j pk= + + adalah32.Nilaip=....
A. 3
B. 23
C. 13
D. 13
−
E. 23
−
33. Sudutantaravektor a = xi +(2x+1)j- k3x danvektorb adalah 600. Jika panjang proyeksi a ke b sama
dengan 521 ,makax=......
A. 4atau21−
B. 1atau4C. 1atau2
D. 21 atau–1
E. 21− atau1
34. Sebuah vektor x dengan panjang 5 membuat sudutlancip dengan vektor y = (3, 4). Bila vektor xdiproyeksikan ke vektor y,maka penjang proyeksinya2,jadivektorxadalah......
A. (1,2)atau ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
511,
52
B. (2,1)atau ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
511,
52
C. (1,2)atau ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − 5
53,5
54
VEKTOR Page11
D. (2,1)atau ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ 5
54,5
53
E. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
511,
52 atau ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − 5
53,5
54
35. DiketahuikoordinatA(-4,2,3),B(7,8,-1),danC(1,0,7).Jika AB
uurwakilu
rdan AC
uuurwakilv
r,makaproyeksi
orthogonalurpadav
radalah....
A. 6 12
35 5
i j k− +
B. 6 12
3 55 5
i j k− +
C. ( )95 2 4
5i j k− +
D. ( )175 2 4
45i j k− +
E. ( )95 2 4
55i j k− +
36. Diketahuivektoru i j k= − +r
, 2v i j k= + +r
dan 3w i k= −ur
.
Proyeksivektoru w+r ur
padavektoruradalah....
A. 4 4 43 3 3i j k− +
B. 2 2 2i j k− + C. 4 4 4i j k− +
D. 2 2 23 3 3i j k− +
E. 1 1 13 3 3i j k− +
37. DiketahuititikA(3,2,-1),B(2,1,0),danC(-1,2,3).Jika ABuur
wakilvektoru
rdan AC
uuurwakilvektorv
rmakaproyeksi
vektorurpadav
radalah....
A. ( )14
i j k+ +
B. i k− + C. ( )4 i k+
D. ( )4 i j k+ +
E. ( )8 i j k+ +
38. DiketahuisegitigaABCdengankoordinatA(2,-1,-1),B(-1,4,-2),danC(5,0,-3).Proyeksivektor AB
uurpada AC
uuur
adalah....
A. ( )13 2
4i j k+ −
B. ( )33 2
14i j k+ −
C. ( )13 2
7i j k− + −
D. ( )33 2
14i j k− + −
E. ( )33 2
7i j k− + −
39. DIketahuivektor = + +2 4a pi j k , = + +4 2 2b i j k dan
= + +4 2 6c i j k .Jikavectora tegaklurusbmakavector
proyeksia tegaklurus c =....
VEKTOR Page12
A. ( )+ +14 2 6
7i j k
B. ( )+ +24 2 6
7i j k
C. ( )+ +34 2 6
7i j k
D. ( )− + +24 2 6
7i j k
E. ( )− + +14 2 6
7i j k
40. Diketahui vektor-vektor 𝑢 = 9𝑖 + 𝑎𝚥 + 𝑏𝑘 dan 𝑣 = 𝑎𝚤 −
𝑏𝚥 + 𝑎𝑘. Sudutantara𝑢 dan𝑣 adalah𝜃 dengancos 𝜃 =!!!.Proyeksi𝑢pada𝑣 adalah𝑝 = −4𝚤 − 2𝚥 + 4𝑘.Nilaidari
𝑏 = ⋯A. 2B. 2C. 2 2D. 4E. 4 2
top related