matematiČko modeliranje razvoj dinamiČkih ......matematiČko modeliranje razvoj dinamiČkih modela...

MATEMATIČKO MODELIRANJE

RAZVOJ DINAMIČKIH MODELA PROCESA

Nenad Bolf

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

ZAVOD ZA MJERENJA I AUTOMATSKO VOĐENJE PROCESA

Kolegij: MODELIRANJE PROCESA

MATEMATIČKO MODELIRANJE PROCESA

SADRŽAJ PREDAVANJA

• Uvodno o modelima i modeliranju

• Zašto je potreban model procesa?

• Modeli procesa u kemijskom inženjerstvu

• Sustavski pristup pri razvoju modela procesa

• Koraci u razvoju matematičkog modela procesa

MODELIRANJE PROCESA

UVODNI DIO• Što je model?• Matematički model procesa• Vrste modela• Modeliranje i simuliranje

POSTUPAK MODELIRANJA• Definiranje zadatka• Pretpostavke o procesu• Matematička formulacija• Rješavanje jednadžbi• Interpretacija rješenja• Provjera modela• Objašnjenje i predviđanje

MODELIRANJE PROCESA

MODELIRANJE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU

• Pojam procesnog prostora• Procesni prostor i matematički model• Bilančne jednadžbe• Numeričko rješavanje običnih i parcijalnih

diferencijalnih jednadžbi• Procjena parametara• Razvoj empirijskih modela• Primjena metoda umjetne inteligencije

PRIMJERI MODELA U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU

PREDAVANJA i RAČUNALNE VJEŽBE

Latinska riječ MODUS – MJERA

ŠTO JE MODEL?

MATEMATIČKI MODELNiz jednadžbi i ulaznih podataka potrebnih za njihovo rješavanje koji omogućuju predviđanje vladanja kemijskog procesnog sustava.(B.W. Bequette)

Kratka definicija:MATEMATIČKI MODELMatematička predodžba fizičkog i/ili kemijskog sustava.

A mathematical model is a description of a system using mathematical concepts and language.

MODELIRANJE I SIMULIRANJE

Do odgovarajućeg modela dolazi se postupkom MODELIRANJA;

Modeliranje uključuje procjenu parametara i izbor bitnih karakteristika realnog fizičkog sustava:

MATEMATIČKI OPIS, ANALIZA I PROCJENA ZNAČAJKI SUSTAVA I

MODELA, TOČNOST I OGRANIČENJA MODELA, PRIMJENA MODELA, NADOGRADNJA MODELA.

SIMULIRANJE

SIMULACIJAPostupak izvedbe modela realnog sustava uz provedbu niza eksperimenata u svrhu:- razumijevanja vladanja sustava,- provjere vladanja sustava unutar zadanih granica. (A.Shanon)

Simulaciji uvijek prethodi izrada modela!

Prema tome:

MODELIRANJEM SE IZVODI MATEMATIČKA FORMULACIJA.

SIMULACIJOM SE ISPITIVA VLADANJE PROCESA PRI RAZLIČITIM UVJETIMA I NA PROMJENU ULAZNIH VELIČINA.

ZAŠTO JE POTREBAN MODEL?• Dotok u spremnik je periodičan, a u sljedećem stupnju procesa nakon

spremnika potreban je stalni dotok. Koliki treba biti volumen spremnika?

Za analizu dinamičkog vladanja procesa potreban je dinamički matematički model!

Poznavanje dinamike procesa važno je radi sigurnosti!

Pumpa rashladnog sustava prestala je raditi. Za koliko vremena će proces doći u opasno stanje?

MODELI PROCESA

Vrsta modela Prednosti Nedostaci

Teorijski modeli

na temelju kemijskih, fizikalnih i bioloških načela

- fizikalni uvid u vladanje procesa

- primjenjivi na širokom području radnih uvjeta

- skup razvoj- dulje vrijeme potrebno za razvoj- problemi kod procjene

parametara kompleksnih procesa (koeficijenti brzine reakcije, koeficijenti prijenosa topline, fizikalna svojstva, itd.)

Empirijski modeli

iz eksperimentalnih podataka

- jednostavniji za razvoj od teorijskih modela

- informacije iz realnog procesa

- problemi kod ekstrapolacije (područje eksperimentalnog iskustva

može biti malo s obzirom na cijeloradnopodručje)

Poluempirijski modeli

vrijednosti parametara teorijskog modela određuju se izeksperimentalnihpodataka

- uključuju teorijsko znanje- ekstrapoliranje na šire

područje radnih uvjeta- lakši za razvoj od teorijskih modela

- Neki od nedostataka teorijskih iempirijskih modela

SUSTAVSKI PRISTUP RAZVOJU DINAMIČKOGMATEMATIČKOG MODELA PROCESA

Odrediti mjesta akumulacije tvari i/ili energije u procesnom prostoru; Za svako mjesto akumulacije:- Odrediti ulazne i izlazne veličine i parametre- Primijeniti jednadžbe dinamičke bilance tvari i/ili energije,

bilancu momenta, jednadžbu ravnoteže sila:

odvdov mmdtdm

. .. odvdov EEdtdE OF

Napraviti strukturni prikaz (međudjelovanja!);Definirati jednadžbe ograničenja;Ugraditi u model konstitutivne jednadžbe.(jednadžba stanja, ravnoteže, brzine kemijske reakcije i dr.)

KARAKTERISTIČNE VELIČINE PROCESA

Ulazne veličine (inputs)karakteriziraju stanje tokova tvari i/ili energije koji su mogući uzrok promjene stanje akumulacije tvari poremećaji (disturbances) i upravljane (manipulated) veličine

Izlazne veličine (outputs)karakteriziraju vladanje procesa / sustava koje se manifestira kao promjena stanja akumulacije tvari i/ili energije

Parametri (parametars)definiraju strukturu procesa / sustavaβ1 – parametri svojstveni motrenoj tvari (fizikalno-kemijska svojstva)β2 – parametri svojstveni procesnom uređaju (npr. dimenzije i sl.)β3 – parametri procesa (koef. brzine reakcije, koef.prijenosa topline itd.)

PARAMETRI PROCESA

Parametri

procesi s konstantnim parametrima- parametri su vremenski nepromjenjivi

procesi s promjenjivim parametrima- parametri se mijenjaju s vremenom:

determinirana promjena (predvidljiva)stohastička promjena (nepredvidljiva)

- fizičko ili kemijsko djelovanje tvari na procesni uređaj(npr. promjena svojstava tvari pod utjecajem

elektromagnetskog i radioaktivnog zračenja ili temperature, koksiranje, umor materijala i dr.)

.konst)t(

.konst)t(

OSNOVNA PODJELA PROCESA

Procesi s usredotočenim ili koncentriranim veličinama stanja (lumped process) Veličine imaju istu vrijednost u čitavom procesnom

prostoru što znači da nisu funkcija položaja Pretpostavka idealnog miješanja!

Modele procesa opisuju obične diferencijalne jednadžbe

• Procesi s raspodijeljenim ili distribuiranim veličinamastanja (distributed process) Veličine su funkcija položajaModele procesa opisuju parcijalne diferencijalne jednadžbe

MATEMATIČKI MODEL PROCESA

Ulazna promjena, npr. skokomična promjena ulazne veličine PROCES Posljedica na

izlaz

Odgovor na ovo pitanje daje nam matematički modela procesa !

Kakav je i o čemu ovisi dinamički odziv procesa?

KORACI PRI RAZVOJU MODELA

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

valjanosti modela

Postupkom modeliranja razvijaju se:

ukupna materijalna bilanca

materijalna bilanca komponenata

bilanca energije

RAZVOJ MODELA PROCESA

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

Primjeri odabira izlaznih veličina:

akumulacija kapljevine razina kapljevineakumulacija plina tlakakumulacija topline temperaturaakumulacija komponente koncentracija

Koja veličina?Na kojem mjestu?

RAZVOJ MODELA PROCESA

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza rezultata6. Provjera modela

Sustavski prikaz procesa(uzročno-posljedični prikaz, međudjelovanja)

Prikupljanje informacija o procesu

Pretpostavke

RAZVOJ MODELA PROCESA

JEDNADŽBE BILANCI TVARI I ENERGIJEUkupna bilanca tvari:

Bilanca komponenata:

Bilanca energije (najčešće topline):

odvedenodovedeno mmdtmd

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

odvedenodovedeno QQdtQd

rnndtnd

odvedenojdovedenojj ,,

RAZVOJ MODELA PROCESA

Koje jednadžbe izvodimo?Bilance za ključne komponenteKoliko je jednadžbi potrebno?Ovisno o broju mjesta akumulacije tvari i/ili energijeŠto nakon bilanci očuvanja?Konstitutivne jednadžbe

Osnovne fizikalne zakonitosti, empirijske relacije! Npr.

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

iii

V

ARTE

A

xKynRTpV

pCF

cekrThAQ

/

0

)(

RAZVOJ MODELA PROCESA

.,., odvAdovAA nn

dtdn

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

PRIMJERProtočni kotlasti reaktor (PKR), reakcija 1.redaPretpostavka: idealno miješanje usredotočene veličine

Dinamički model diferencijalna jednadžba AKUMULACIJA tvari A u reaktoru:

AAAA

izlazulaz

ckVcFcFdtcdV

FFFkonstV

0

.Ulazne veličine: F, cA0Izlazna veličina: cAParametri: V,k

RAZVOJ MODELA PROCESA

0tzacA

)(0 tfcA

uz početne uvjete:

Pobudna funkcija (forcing function):

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

0AAA c

VkFFc

dtcd

VkFV

promjena ulazne koncentracije dotoka reaktanta

RAZVOJ MODELA PROCESA

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

Za jednostavni modeleuvid u dinamički odziv procesa daje

analitičko rješenje:

Sve procese prvog reda karakterizira ovakav odziv!

Razmotrimo oblik ovog odziva jer ćemo ga vrlo često susretati!

ODZIV PROCESA I.REDA

∆cA0 - skokomična promjena ulazne veličine

∆cA = k ∆cA0promjena izlazne veličine

Maksimalninagib 63% konačnog odziva

odzivna krivulja

cA0

cA

vrijeme

vrijeme

ODZIV PROCESA I. REDA

f(t) – ulazna ili pobudna funkcija

0AAA c

VkFFc

dtcd

VkFV

)(tfky

dtdy

– vremenska konstanta (time constant)

K – statička osjetljivost procesa (steady-state gain)

OPĆI OBLIK MATEMATIČKOG MODELA

xyayayayayaya nn

nn

0123)1(

1)( ...

dtydy

dtyd

dtydy

dtdyy

2

2

– red jednadžbe definiran je najvišom derivacijom izlazne veličine:

Opće rješenje:

C1,C2,… – konstanter1,r2,… – korijeni karakteristične jednadžbeη(t) – zavisi o vrsti promjene ulazne veličine

)(...)( 321321 teCeCeCty trtrtr

0... 012

23

31

1 ararararara n

nn

n

a0,a1,a2,…- konstantni koeficijenti

Diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima

ANALIZA PROCESA PRVOG REDA

)()()( tuktyty

ukyy u - ulazna veličinay - izlazna veličina

Opće rješenje jednadžbe prvog reda:

treCy 1

/1

teCy Odzivna funkcija (monotono smirivanje!)

101 rr karakteristična jednadžba

ODZIV PROCESA 1. REDA (First Order Lag)

ukydtdy

y – izlazna varijablau – ulazna varijablak – statička osjetljivostτ – vremenska konstanta

Model procesa 1. reda:

PROCES PRVOG REDA

Odziv karakterizira akumulacija tvari i/ili energije;Dinamički odziv definira se vremenskom konstantom; Vremenska konstanta predstavlja vrijeme potrebno da se ostvari 63,2 % konačne promjene izlazne veličine;Brzina odziva na poremećaj neprestano opada, a maksimalna je u trenutku pojave poremećaja – presjecište tangente u toj točki s konačnom vrijednosti izlazne veličine definira vremensku konstantu;odziv se asimptotski približava konačnoj vrijednosti.

Proteklo vrijeme Postotak od ukupnog odziva [%] Preostali odziv [%] 63,2 % preostalog odziva

1 τ 63,2 36,8 23,22 τ 86,4 13,6 8,63 τ 95,0 5,0 3,164 τ 98,16 1,84 1,165 τ 99,32 0,68 0,429

Na slici je prikazano šest odzivnih krivulja, svaka s drugom vrijednosti vremenske konstante;Vremenska konstanta je mjera brzine odziva;Što je veća vremenska konstanta odziv je sporiji i obratno.

VREMENSKA KONSTANTA (Time Constant)

ODZIV PROCESA PRVOG REDA

k – statička osjetljivost procesa

• predznak govori o smjeru promjene • iznos govori o statičkoj ovisnosti izlaza o ulazu• ovisi o parametrima procesa i radnim karakteristika

(npr. protok)

– vremenska konstanta

• iznos govori o dinamičkoj karakteristici procesa• ovisi o procesu i radnim uvjetima (npr. volumen i protok)

ANALIZA PROCESA PRVOG REDA

Statička analiza (steady-state analysis) zavisnost izlaznih od ulaznih veličine nezavisno od vremena

statička karakteristika

Dinamička analiza (dynamic analysis) vremenska promjena izlaznih veličina kao odziv na

promjene ulaznih veličina

dinamičko vladanje ili dinamička karakteristika

111

kkk

aky

0)( dtdykonstatu

SIMULIRANJE

1. Simulacijski program

2. Simuliranje

Obične diferencijalne jednadžbe rješavaju se numeričkim metodama (npr. Eulerova metoda, Runge-Kutta, Adams, itd.).

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje 5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

Analiza sustava pomoću računala na osnovi matematičkog opisa naziva se simuliranje ili oponašanje.

RAZVOJ MODELA PROCESA

1. Definiranje cilja (svrhe)

2. Priprema informacija

3. Formuliranje modela

4. Rješavanje5. Analiza

rezultata6. Provjera

modela

Analiza rezultata

Smjer i oblik odzivne krivulje Pretpostavke uzete pri modeliranju Grafički prikaz rezultata Analiza pogreške numeričke metode

Usporedba s eksperimentalnim rezultatima(iz realnog procesa!)