matemàtiques 1 mc graw hill
Post on 28-Apr-2015
8.015 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
S O L U C I O N A R Imatemàtiques
Autors del llibre de l’alumneàngela Jané i sanahujaJordi Besora i torradeflotJosep m. Guiteras i Piella
Autors del material complementarimireia aran i Gràciaantoni Giménez estebanHelena Cusí moner
m. Rosa Vila atienza
Revisor tècnicagustí estévez andreu
antoni Giménez esteban
1S O L U C I O N A R I
BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACASGUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORKPANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULOAUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REALNOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPURSAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO
001-004_Sol-Mates_Batx1-cat.indd1 1 20/2/08 19:15:52
Matemàtiques 1 · Batxillerat · Solucionari
No està permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractamentinformàtic,ni latransmissiódecapformaoperqualsevolmitjà, jasiguielectrònic,mecànic,perfotocòpia,perregistreod’altresmitjans,senseelpermispreviiperescritdelstitularsdelCopyright.
Drets reservats © 2008, respecte a la primera edició en català per:
McGraw-Hill/InteramericanadeEspaña,S.A.U. EdificioValrealty,1.aplanta Basauri,17 28023Aravaca(Madrid)
ISBN:978-84-481-6776-9Depósito legal:
Autors del llibre de l’alumne: ÀngelaJanéiSanahuja,JordiBesoraiTorradeflot,JosepM.GuiterasiPiella
Editora del projecte: AlíciaAlmonacidTècnic editorial: ConradAgustíDisseny de coberta:QuinTeam!Disseny interior: McGrawHillFotografies: COVER,GETTYimages,AGEFOTOSTOCKIl·lustracions: SergiMediaiJordiSotoComposició: DigitalscreenImprès en:
IMPRÈS A ESPANYA - PRINTED IN SPAIN
001-004_Sol-Mates_Batx1-cat.indd2 2 20/2/08 19:15:53
�Índex LA
Solucionari del Llibre de l’alumne
Comencem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
BLOC 1. Nombres
Unitat 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . 11
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Unitat 2. Nombres complexos . . . . . . 22
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
BLOC 2. Geometria
Unitat 3. Trigonometria . . . . . . . . . . . . 32
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Unitat 4. Vectors en el pla . . . . . . . . . . 42
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Unitat 5. Rectes en el pla . . . . . . . . . . 53
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Unitat 6. La circumferència i altresllocs geomètrics . . . . . . . . . . 72
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
BLOC 3. Funcions
Unitat 7. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Unitat 8. Successions . . . . . . . . . . . . . 100
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Unitat 9. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Unitat 10. Límits i continuïtat de funcions . . . . . . . . . . . . . . 118
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Unitat 11. Funcions exponenciali logarítmica. . . . . . . . . . . . . 135
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Unitat 12. Funcionstrigonomètriques. . . . . . . . . 152
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Unitat 13. Introducció a les derivades 163
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
001-004_Sol-Mates_Batx1-cat.indd3 3 20/2/08 19:15:53
� ÍndexLA
BLOC 4. Estadística
Unitat 14. Distribucionsbidimensionals. . . . . . . . . . . 173
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Unitat 15. Probabilitat. . . . . . . . . . . . . . 185
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Unitat 16. Distribució de probabilitat. . 198
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Activitatsfinals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Avaluació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Solucionari de la Guia Didàctica
Guia didàctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Unitat1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Unitat2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Unitat3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Unitat4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Unitat5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Unitat6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Unitat7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Unitat8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Unitat9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Unitat10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Unitat11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Unitat12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Unitat13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Unitat14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Unitat15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Unitat16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
001-004_Sol-Mates_Batx1-cat.indd4 4 20/2/08 19:15:54
�MATEMÀTIQUES 1 la
jComencem
Activitatsfinals 1. Determina el valor de la lletra en cadascuna d’aquestes frac-
cions per tal que representin el mateix nombre racional que 4
la fracció —: 9
ra) ——
63
68b) ——
s
52c) ——
t
ud) ———
2171
r 4 63 ? 4a) ——5—— f r5———528
63 9 9
68 4 68 ? 9b) ——5—— f s5———5153
s 9 4
52 4 52 ? 9c) ——5—— f t5———5117
t 9 4
u 4 24 ? 171d) ———5—— f u5————5 276
2171 9 9
17 323 2. Són equivalents les fraccions —— i ———? 13 247
Sí,perquè17 ? 247513 ? 32354 199
3. Simplifica les fraccions següents:
52a) —— 91
121b) 2—— 77
350c) —— 300
138d) 2—— 174
52 52:13 4a) ——5————5——
91 91:13 7
121 121:11 11b) 2——5————5 2——
77 77:11 7
350 350:50 7c) ——5—————5——
300 300:50 6
138 138:6 23d) 2——5————5 2——
174 174:6 29
4. Calcula l’expressió decimal d’aquestes fraccions i classifica els nombres decimals que obtinguis en exactes, periòdics purs o periòdics mixtos:
17a) —— 6
27b) —— 11
117c) —— 50
245d) ——— 7
17a) ——52,83
(
nombredecimalperiòdicmixt. 6
27b) ——5 20,63
(
nombredecimalperiòdicpur. 11
117c) ——5 2,34nombredecimalexacte.
50
245d) ——5 26,
(
428571nombredecimalperiòdicpur. 7
5. Determina la fracció generatriu dels nombres decimals se-güents:
a) 2,63
(
b) 1,023
(
c) 20,48
d) 1,441
(
a) f52,63
(
52,6363...
100 f5263,63...
2f5 22,63...———————— 261 29 99 f5261 f f5——5—— 99 11
b) f51,023
(
51,0233...
1 000 f51 023,3...
2100 f5 2102,3...————————— 921 307 900 f5921 f f5——5—— 900 300 48 212
c) f5 20,48 f 100 f5 248 f f5 2——5—— 100 25
d) f51,44
(
151,441441...
1 000 f51 441,441...
2f5 21,441...—————————— 1 440 160 999 f51 440 f f5———5—— 999 111
005-010_Sol_Mates_Batx1_cat.indd5 5 15/2/08 08:48:57
� COMENCEMla
6. El 63,63
(
% dels 88 alumnes de 1r de batxillerat d’un insti-tut van aprovar totes les matèries. A quants alumnes els va quedar alguna matèria pendent?
f563,63
(
563,6363...
100 f56 363,63... 2f5 263,63...————————— 6 300 700 99 f56 300 f f5———5—— 99 11
700El63,63
(
%ésel—— % 11
Vanaprovar:
700 —— 11 7 7 ? 88
———de885——de885———556alumnes 100 11 11
A88256532alumneselsvaquedaralgunamatèriapendent.
7. Calcula el resultat de les operacions següents:
3 1 3a) — 1 — : —
5 2 4
1 2b) 2 1 — ?1—2
22
3 3
4 2 1c) — : — 2 1—2
3
3 3 2
0,36
(
2 0,227 (
d) ——————— 17 1 2 —— 22
1 11 12 3 12 2 —2 2 —— : —— 2 1 6 17 17
e) ————————————————— 2 3 5 — 1 — 2 —— 3 4 12
3 1 3 3 2 19a) —1—:—5—1—5——
5 2 4 5 3 15
1 2 1 9 3 11b) 21— ?1—2
22
521— ?—521—5 —— 3 3 3 4 4 4
4 2 1 1 15c) —:—21—2
3522—5——
3 3 2 8 8
4 5 ——2——0,36
(
20,227
(
11 22 3 5 3d) ————————5———————5
——:——5—
17 5 22 22 5 12—— —— 22 22
1 11 12 3122—22——:——21 6 17 17
e) —————————————5 2 3 5 —1—2—— 3 4 12
11 11 3 ? ——2——21 6 12 43
5————————5—— 1 12
2 7 8. Quin és el nombre que multiplicat per — dóna —?
3 4 4 1I el que sumat a — dóna —? 5 2
2 7 7 2 21— x5— f x5—:—5——
3 4 4 3 8
4 1 1 4 3—1y5— f y5—2— 5 2——
5 2 2 5 10
2 9. Es venen els — d’una peça de roba i després, la meitat del
3que quedava. Quina fracció de peça s’ha venut? Quina frac-ció en queda encara per vendre?
2 1Esvenen—delapeça f quedapervendre’n—. 3 3
1 1 1 1 1Esven—delquequeda f esven—de—5— ?—5 2 2 3 2 3
15—. 6 2 1 5Entotals’havenut—1—5—delapeçaderoba.Encara 3 6 6
1quedapervendre—. 6
10. Una aixeta omple un dipòsit en 3 hores i una altra l’omple en 4. Quina part del dipòsit omplen en una hora les dues aixetes obertes alhora? Si el dipòsit està buit i s’obren si-multàniament les dues aixetes, quant trigaran a omplir-lo?
1 1 7Enunahoralesduesaixetesomplen—1—5——deldipò- 3 4 12 12sit.Trigaranaomplir-lo——h,queés1h42min51s. 7
11. Una pastilla conté un 20 % d’aspirina, un 40 % de vitami- na C i la resta és excipient. Si pesa 2,5 grams, quants mil.li-grams conté de cada component?
2,5g52 500mg
20 %de2 500mg5500mgd’aspirina
40 %de2 500mg51 000mgdevitaminaC
2 5002(50011 000)51 000mgd’excipient
005-010_Sol_Mates_Batx1_cat.indd6 6 15/2/08 08:48:58
�MATEMÀTIQUES 1 la
412. Un tipus de llet produeix —— del seu pes en nata, i la nata
15 7els —— del seu pes en mantega. Quina fracció del pes de la 25llet representa la mantega? Quants quilograms de mantega es poden obtenir a partir de 175 kg d’aquesta llet?
7 4 28Lamantegarepresenta—— ? ——5——delpesdelallet. 25 15 375
28 28 ? 175Els——de175kg5————513,07kgdemantega. 375 375
13. Les accions d’una empresa que cotitza a la borsa van pujar un 2,5 % dilluns i un 4,8 % dimarts. Si quan va començar la sessió borsària de dilluns una acció d’aquesta empresa cos-tava 12,84 €, quin era el seu preu quan es va tancar la sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos dies un accionista que tenia títols de l’empresa per valor de 10 000 €?
En tancar la sessió de dimarts, una acció d’aquesta empresacostava:
12,84 ? 1,025 ? 1,048513,79€
Enaquestsdosdies,els10000€invertitsesvantransformaren:
10 000 ? 1 025 ? 1,048510 742€
L’accionistavaguanyar:
10 742210 0005742€
14. Es col.loquen 2 500 € en una llibreta a termini que garan-teix un 4,2 % de rèdit anual durant 3 anys. Si en cap mo-ment se’n retiren els interessos, quants diners hi haurà a la llibreta un cop hagin transcorregut 3 anys des que es va fer la imposició?
Alallibretahihaurà2 500 ?1,042352 828,42€.
15. Resol les equacions següents:
a) (2 x 2 1)2 2 (2 x 1 1)2 5 24
3 (1 2 x) x 1 3b) 2 2 ———— 5 ———
14 7
x 2 5 2 x 1 3c) ———— 5 ————
2 x 1 1 4 x 1 7
d) Îã2 x 2 1 5 x 2Îã2 4 1 2 x
e) 1 2 ———— 5 0 13
a) (2 x21)22(2 x11)2524 f
f 4 x224 x1124 x224 x21524 f
f 28 x524 f x5 23
3(12x) x13b) 22—————5——— f
14 7
f 282313 x52 x16 f x5 219
x25 2 x13c) ————5———— f
2 x11 4 x17f (x25)(4 x17)5(2 x11)(2 x13) f
f 4 x217x220 x23554 x216 x12 x13 f 38f 213 x23558 x13 f 221 x538 f x52—— 21
d) Îã2 x215x2Îã2 f Îã2 x2x512Îã2 f
f (Îã221) x512Îã2 f
12Îã2 2(Îã221)f x5————5——————521 Îã221 Îã221
412 x 132422 xe) 12————50 f ——————50 f
13 13
9f 922 x50 f 2 x59 f x5— 2
16. Soluciona aquestes equacions, escrivint prèviament els seus primers membres en forma de producte de factors:
a) x2 2 6 x 5 0
b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0
c) (x 1 2)2 2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0 x50
a) x226 x50 f x(x26)50 x2650 f x56
b) x(x25)22(x25)50 f x2550 f x55f (x25)(x22)50 x2250 f x52
c) (x12)22(x12)(3 x21)50 f
f (x12)(x1223 x11)50 f
x1250 f x1522f (x12)(322 x)50 f 3 322 x50 f x25— 2
17. Sabem que x 5 2 i y 5 23 és una de les solucions de l’equa-ció 3 x 1 b y 5 10. Calcula b i troba una altra solució de l’equació.
x52,y5233 x1b y510 f 3 ? 21b ? (23)510 f 4f 623 b510 f b52— 3 10Respostaoberta.Perexemple: x5——,y50. 3
18. Determina tres solucions de l’equació:
2 x 2 3 y 1 z 5 15
Respostaoberta.Perexemple: x50,y50,z515;
15x5——,y50,z50; x50,y525,z50. 2
005-010_Sol_Mates_Batx1_cat.indd7 7 15/2/08 08:48:59
� COMENCEMla
19. Resol les equacions següents:
a) 5 x2 2 75 5 0
b) 7 x2 1 15 x 5 0
c) 2 x2 2 x 2 1 5 0
2 (x 1 2)d) ———— 5 x (x 2 3)
3
e) (3 x 2 5)2 5 0
f) x3 2 5 x2 1 6 x 5 0
4 xg) — 5 —
x 9
h) x2 1 4 x 1 5 5 0
a) 5 x227550 f 5 x2575 f x2515 f x56Îã15ãb) 7 x2115 x50 f
x150f x(7 x115)50 15 7x11550 f x52—— 7
16Îã1ã1ã8ãc) 2 x22x2150 f x5———————5
4 16Îã9 163 x1515—————5———— 1 4 4 x252— 2
2(x12)d) —————5x(x23) f 2 x1453 x229 x f
3 116Îã121ã1ãã48ãf 3 x2211 x2450 f x5—————————5 6 11613 x1545————— 1 6 x252— 3
5e) (3 x25)250 f 3 x2550 f x5—(soluciódoble).
3
f) x325 x216 x50 f x150f x(x225 x16)50 x225 x1650
56Îã25ã2ãã24ã 561 x253x5————————5——— 2 2 x352
4 xg) —5— f x2536 f x566
x 9
246Îã16ã2ãã20ã 246Îã24ãh) x214 x1550 f x5————————5—————.
2 2L’equaciónotésolucionsreals.
20. Determina el valor o els valors de b per als quals l’equació x2 2 b x 1 9 5 0 té:
a) Una solució doble.
b) Dues solucions reals diferents.
c) No té solucions reals.
b6Îãb22ãã36ãx22b x1950 f x5———————
2
a) b223650 f b566
b) b2236.0 f b,26 o b.6
c) b2236,0 f 26,b,6
21. Quantes solucions reals té l’equació x2 1 y2 5 0? I l’equació x 1 y 5 0? Raona les respostes.
L’equacióx21y250téunasolasolucióreal: x5y50.
Encanvi,qualsevolparelldenombresrealsoposats,x52y,ésunasoluciódel’equacióx1y50.
22. Resol aquestes equacions:
a) x 4 2 13 x2 1 36 5 0
b) (3 x 1 1) (x4 2 16) 5 0
c) 6 x 4 1 7 x2 1 2 5 0
d) (x2 2 4)2 5 1
x25ta) x4213 x213650 f t2213 t13650
136Îã169ãã2ããã144ã 1365 t159t5——————————5———— 2 2 t254x56Îãt f x563;x562
b) (3 x11)(x 4216)50
1 3 x1150 f x52— 3
x 421650 f x 4516 f x56 4Îã16ã562
x25tc) 6 x 417 x21250 f 6 t217 t1250
1 t152— 276Îã49ã2ãã48ã 2761 2t5————————5———— 12 12 2 t25 2— 3
x56Îãt f l’equaciónotésolucionsreals.
d) (x224)251 f x224561 f
x22451 f x255 f x56Îã5f x224521 f x253 f x56Îã3
23. Troba la solució d’aquestes equacions:
a) x 2 Îããããã25 2 x2 5 1
b) Îããããã36 1 x 5 2 1 Îãxc) Îããããã2 x 2 1 1 2 5 x
d) Îããããã2 x 2 4 2 Îãããããã3 x 2 12 5 Îãããããã5 x 2 16
005-010_Sol_Mates_Batx1_cat.indd8 8 15/2/08 08:49:01
�MATEMÀTIQUES 1 la
a) x2Îã25ã2ããx2ã51 f x215Îã25ã2ããx2ã f
f (x21)25252x2 f x222 x115
5252x2 f 2 x222 x22450 f x22x21250 f
16Îã11ãã48ã 167 x154f x5————————5———— 2 2 x2523
Lasoluciódel’equacióésx54(x523éssoluciófictícia).
b) Îã36ãã1xã521Îãx f 361x5(21Îãx )2 f
f 361x5414Îãx 1x f
f 3254Îãx f 85Îãx f x564
c) Îã2 xãã21ã125x f Îã2 xãã21ã5x22 f
f 2 x215(x22)2 f 2 x215
5x224 x14 f x226 x1550
66Îã36ãã2ã20ã 664 x155x5————————5———— 2 2 x251
Lasolucióésx55.
d) Îã2 xãã24ã2Îã3 xã2ãã12ã5Îã5 xã2ãã16ã f
f (Îã2 xãã24ã2Îã3 xã2ãã12ã )255 x216 f
f 2 x2422Îã(2 xãã2ãã4)(ããã3 x2ãã12)ã13 x2125
55 x216 f 22Îã(2 xãã2ãã4)(ããã3 x2ãã12)ã50 f
f (2 x24)(3 x212)50 f
2 x2450 f x52f 3 x21250 f x54
Lasolucióésx54.
2 x 1 7 y 5 2324. El sistema és compatible determinat.
4 x 1 k y 5 26
iyt
Quins valors pot tenir k?
2 7Siéscompatibledeterminat,—Þ—.Pertant,kÞ14. 4 k
25. Troba la solució dels sistemes següents:
x 1 y 5 8a)
x y 5 15
iyt
x y 5 6b)
x 1 y 5 3 Îã3 iyt
2 x 2 y 5 6c) y 1 1
x 2 ——— 5 1
ieyut 4
x 1 y 5 8a)
x y 5 15
iyt
y582xx ? (82x)515 f 8 x2x2515 f x228 x11550
ã86ãÎãã642ãã60ã 862 x155x5—————————5——— 2 2 x253
Six55 f y53,isix53 f y55
x55,y53;x53,y55
x y5 6b)
x 1 y 5 3 Îã3 iyt
y53Îã32x
x(3Îã32x)56 f 3Îã3 x2x256 f
f x223Îã3 x1650
3Îã36Îã27ã2ãã24ã 3Îã36Îã3 2Îã3x5—————————5—————— 2 2 Îã3Six52Îã3 f y5Îã3 ;six5Îã3 f y52Îã3x52Îã3,y5Îã3 ; x5Îã3,y52Îã3 .
2 x 2 y 5 6c) y 1 1
x 2 ——— 5 1
ieyut 4
2 x2y56 f 2y5622 x f y52 x26
y11x2———51 f 4 x2y2154 f 4 x2y55 4
4 x2(2 x26)55 f 4 x22 x1655 f 2 x521 f
1 1f x52— f y5212—226527 2 2
26. Quants nombres de quatre xifres diferents es poden escriure amb les 9 xifres significatives?
V9,459 ? 8 ? 7 ? 653 024
27. Resol l’equació:
Vx, 3 2 VRx, 3 1 65 5 0
Recorda que x només pot ser un nombre natural.
Vx,32VRx,316550 f x(x21)(x22)2x316550
x15523 x212 x16550 f x5 13 x252—— 3
Noméséssoluciódel’equacióproposadax55.
28. Per fer l’alineació d’un equip de futbol necessitem 11 juga-dors i en tenim 22. Quantes alineacions es poden fer si cada jugador pot ocupar qualsevol posició? I si dos d’ells només poden jugar de porters i sis només poden fer de defenses?
C22,115705 432alineacionsdiferents.
Si8estanfixats,enqueden14delsqualscaltriar-ne5:
C14,552 002
005-010_Sol_Mates_Batx1_cat.indd9 9 15/2/08 08:49:03
10 COMENCEMla
29. En una cursa participen 8 corredors. De quantes maneres diferents poden creuar la línia d’arribada tenint en compte que no n’arriben dos al mateix temps? I en cas que dos arri-bin al mateix temps?
P858!540 320maneresdiferentsdecreuarla línead’arri-bada.
Sidosarribenalmateixtempsserà:
P757!55 040
30. Forma totes les paraules possibles, tinguin o no sentit, amb les lletres de la paraula PERA. Quantes n’hi ha?
Hiha:P454!524paraulespossibles.Són:
AEPR,AERP,APER,APRE,AREP,ARPE,EAPR,EARP,EPAR,EPRA,ERAP,ERPA,PAER,PARE,PEAR,PERA,PRAE,PREA,RAEP,RAPE,REAP,REPA,RPAE,RPEA.
31. Escriu totes les ordenacions possibles de les lletres de la paraula PASSADA. Quantes n’hi ha?
7!Hiha: P7
2,3,1,15———5420ordenacionspossibles. 2!3!
32. 20 persones van a una festa i totes es donen la mà per sa-ludar-se. Quantes encaixades de mà s’han fet?
Cadaencaixadaéslatriade2personesd’entre20.
C20,25190encaixades.
33. D’una baralla de 40 cartes se’n reparteixen 3 a cada jugador. Quants jocs diferents pot rebre un qualsevol dels jugadors?
Triade3cartesde40:
40 ? 39 ? 38C40,35——————59 880jocsdiferents
3 ? 2
005-010_Sol_Mates_Batx1_cat.indd10 10 15/2/08 08:49:04
11MATEMÀTiQUES 1 LA
jUnitat1.Nombresreals
Activitats 1.En un problema de física es demana el temps que triga una
pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt el problema correctament, arriba a la solució t √
3s. La
resposta que dóna és t 1,732050808 s. Et sembla que és correcta aquesta resposta?
Notécapsentitexpressarelresultatambtantesxifresdecimals,jaquenohihacapaparelldemesuradetempsquepuguiapre-ciarfinsalamilmilionèsimadesegon.
2.Si a 5,325 i b 2,434
a) Calcula a b i ab
b) Indica en cada cas les xifres decimals correctes.
a5,325 b2,434
5,3245 a 5,32552,4335 b 2,4345
7,7580ab7,7600 → ab7,76
Sienllocdesumarmultipliquemordenadament,s’obté:
12,95717075a b12,96492975
Pertant,a b12,96.
3.Calcula la longitud dels segments indicats a continuació. Expressa’n el resultat de manera exacta i utilitza la calcula-dora per obtenir-ne una aproximació arrodonida a les centè-simes:
a) La diagonal d d’un rectangle de costats 3 i 5 cm.
Diagonal:d
d√32
52√
9
25
√34cm5,83cm
b) El diàmetre D d’una circumferència la longitud de la qual és 10 cm.
Diàmetre:D
L 10D———cm3,18cm
c) L’altura h d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.
Altura:h
h√42
2
22√
12cm
2√3cm3,46cm
d) L’altura h' d’un con que mesura 6 cm de radi i 9 cm de generatriu.
Altura:h'
h' √92
2
62√
45cm
3√5cm6,71cm
4.El costat més petit d’un rectangle auri mesura 2 cm. Quant mesura l’altre costat? Expressa’n el resultat de manera exacta i amb una aproximació arrodonida a les dècimes.
Mesura2,ésadir,
1√5
2 1√5cm3,2cm
2
5.Sabent que PQ PS 1 dm, demostra que el segment QR 1 √
5
mesura dm (fig. 1.5). 2
1 5 √5
QO12—2
————dm 2 4 2
√5 1 √
51
QRQOOR———————dm 2 2 2
6.Classifica els nombres següents en racionals i irracionals:
a) 2,045
(
Racional.
b) 3,88080080008... Irracional.
c) 1,9
(
Racional.
113 d) —— 114
Racional.
e) 4,3131131113...
Irracional.
( f) 0,58421
Racional.
7. Indica quins d’aquests nombres són irracionals:
a) √25
Racional.
b) 1
Irracional.
√
√
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd11 11 20/2/08 19:23:37
12 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) √5 3
Irracional.
d) 5e
Irracional.
e) 3 2√49
Racional.
f) 7√5
Irracional.
g) √16
9
Racional.
h) √25
36
Irracional.
i) √2
(
1
6
9
)
Irracional.
1,2
(
0,25 8.Per què el número no pot ser irracional? 0,16 No pot ser irracional perquè és el resultat de sumar i dividir
nombresquesónracionals.
9.Calcula l’àrea d’un cercle de 4 cm de radi prenent els se-güents valors de :
a) L’aproximació per defecte 3,1415.
A r23,14154250,264cm2
b) L’aproximació per excés 3,1416.
A r23,14164250,2656cm2
En quin dels dos casos has obtingut una millor aproximació a la mesura real de la superfície d’aquest cercle? Per què?
La segona aproximació és més bona que la primera, ja quel’aproximacióperexcèsdelnombreésmillorquel’aproximacióperdefecte.
10.Expressa de manera exacta:
a) La longitud d’una circumferència de 6 cm de diàmetre.
L 6cm
b) L’àrea lateral d’un cilindre de 2 cm de radi i 5 cm de ge-neratriu.
Alat2rg20cm2
c) El volum d’un con de 5 cm de radi i 13 cm de generatriu
L’alturadelconmesura:
h√g2
2
r2√
132
2
52
12cm
r2h 5212V———————100cm3
3 3
11.S’ha aconseguit determinar que el radi d’una circumfe- 4 rència mesura —— cm. Se’n pot conèixer amb exactitud la longitud? I l’àrea del cercle que limita? Justifica la resposta
fent els càlculs corresponents.
Lalongituddelacircumferènciaespotconèixerambexactitud,perquè:
4L2r2—8cm
Encanvi,noméspodemsaberunvaloraproximatdel’àreadelcerclecorresponent,jaque
4 16Ar2—
2
——cm2
16 i——ésunnombreirracional.
16A——cm25,09cm2
12.Quant mesura la diagonal D d’un cub de 2 cm d’aresta? Expressa’n el resultat de manera exacta i aproxima’l a les centèsimes.
Diagonal:D
D√22
22
22√
12
cm3,46cm
13.La longitud d’una circumferència mesura 10 cm.
a) Expressa’n el resultat aproximat a les centèsimes.
L31,42cm
b) Quant mesura el radi d’aquesta circumferència? L
r——5cm 2
c) Calcula l’àrea del cercle que limita i expressa-la de manera exacta.
Ar225cm2
1 2 14.Troba cinc nombres racionals compresos entre — i —, i
ordena’ls del més petit al més gran. 2 3
Respostaoberta.Perexemple:
0,510,540,60,630,65
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd12 12 20/2/08 19:23:38
13MATEMÀTiQUES 1 LA
15.Entre quins nombres enters consecutius es troba cadascun d’aquests nombres irracionals?
a) √21
4i5
b) √54
28i27
c) 3 √2
1i2
d) 1 2
7i8
e) 3√2
4i5
1 √5
f) — —— 2 2
1i2
g) √2
2
6
15i16
h) √1
2
3
212i211
i) 3e8i9
16.Representa a la recta numèrica els nombres irracionals se-güents:
a) √1
7
b) √
13
c) √29
d) √
8
e) 1 √2
f) 3 √
5
g) 2√2
h) √
3
√5
i) √20 j) ——
2
k) √18
l) √
17 3
17.Compara aquests parells de nombres reals:
7 a) — i √
2
5 7
—√2
5
b) 1 √3 i 0,73
12 √320,73
c) i √10
√10
d) 1,9 i 221,9 22
e) √6 i √
7
2√62√
7
f) 4,9 i 54,95
√10 √
10
g) ——— i ——— 8 9
√10
√10
———— 8 9
h) 1,39
(
; i 1,4
21,39
(
; 21,4
18.Ordena del més petit al més gran els nombres reals següents i col.loca el signe de desigualtat que correspongui:
52,4
(
5; 2,99; 2,9
(
; √2; 1,42; 0; —
2
521,422√
202,
(
45—2,992,9
(
2
19.Escriu dos nombres racionals compresos entre:
Respostaoberta.Perexemple:
a) √5 i √
6
2,41i2,42
b) √2 i √
3
21,5i21,6
c) 4 i √17
4,05i4,1
d) e i 2,9i3
20.Expressa de manera exacta:
a) L’àrea d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.
c2 16A——√
3——√
34√
3cm2
4 4
c
26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6
i k l j h e ba fg d
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd13 13 20/2/08 19:23:39
14 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) La longitud de la diagonal d’un rectangle els costats del qual mesuren 4 i 6 cm.
d√a2
b2√16
36
√52cm2√
13cm
c) El volum d’un cilindre de 2 cm de radi i 3 cm d’altura.
Vr2h12cm3
d) L’àrea d’un hexàgon regular inscrit en una circumferència de 8 cm de diàmetre.
d Costatdel’hexàgon: c—4cm 2 3c2 342
A——√3———√
324√
3cm2
2 2
21.Aproxima per defecte i per excés fins a les mil.lèsimes ca-dascun dels nombres irracionals següents:
a) √3 b) e c)
Respostaoberta.Perexemple,prenent4xifresdecimalsperacadanombre:
22.Extreu factor comú de:
a) 3√2 5√
2
(35)√2
b) 7 3
(7231)
c) 4√a 5√
a 2√
a
(4522)√a
d) √5 a √
5 b √
5 c
√5(ab2c)
23.Les operacions amb nombres irracionals que s’indiquen a continuació donen com a resultat un nombre racional. Calcula’l en cada cas.
a) (√10)2
(√10)210
b) (15 2√3)(15 2√
3)
(152√3)(1522√
3)225212213
c) (3√7)2
(3√7)29763
d) (7 2) : 3
5(722):35:3—
3
2 e) (√
6)2 —
3
2 2 16(√
6)22—62———
3 3 3
f) √(7 2 √
2 )(7
√2 )2 11
√(7 2 √
2 )(7
√2 )2 11
√49 2 2 2 11 √
36 6
24.Si x, y, z i t representen quatre nombres reals, escriu cadascu-na d’aquestes expressions com un producte de dos factors:
a) x2y xy2
x2yxy2xy(xy)
b) x(y z) t(y z)
x(yz)t(yz)(yz)(xt)
c) z3 z2 z
z3z2zz(z2z1)
d) x2 2xy y2 t(x y)
x22xyy2t(xy)
(xy)2t(xy)(xy)(xyt)
e) z(x t) x2 2xt t2
z(x2t)2x22xt2t2
z(x2t)2(x2t)2(x2t)(z2xt)
25.Calcula sense utilitzar la calculadora:
a) 3√
10
00
10
b) 4√
12
96
6
Per defecte Per excés
√3 1,732 1,733
e 2,718 2,719
3,141 3,142
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd14 14 20/2/08 19:23:41
15MATEMÀTiQUES 1 LA
25 c) —— 81 5
— 9
d) 5√
1
21
e) 3√
0,0
01
0,1
5 1 f) —— 32 1
— 2
26.Tot i que a primer cop d’ull no ho sembli, els resultats de les arrels següents són tots racionals. Calcula’ls.
8 a) —— 18 8 4 2
——— — 18 9 3
3 2 b) —— 16 2 1 1
——— — 16 8 2
50 c) —— 98 50 25 5
———— — 98 49 7
3 3 d) —— 81 3 1 1
3
——3
—— — 81 27 3
27.Expressa en forma de potència:
a) 3√7
7
1—3
b) 4√
a3
a
3—4
c) √10
10
1—2
d) 5√
(a
2)
2
(a2)
2—5
e) 6√
65
6
5—6
1 f) —— 5 1—
1—2
5
28.Expressa en forma d’arrel:
a) 25
1—3
3√25
b) 12
1—4
4√12
c) a
3—5
5√a3
1 d) —
2——3
23√22
e) b
2—7
7√b2
29.Les potències d’exponent fraccionari verifiquen totes i ca-dascuna de les propietats de les potències d’exponent enter. Aplica aquestes propietats per expressar en funció d’una sola potència:
a) 2
1—2 2
1—3
2
1—22
1—32
1—2
1—32
5—6
b) 3
2—3 : 3
1—4
3
2—3: 3
1—43
2—3
2
1—43
5—12
c) 51—3
2
51
—3
2
51
—3
25
2—3
2 3√
4
d) ———
5√
8
23√
4 2
3√
22 22
2—3
—————————
5√
8
5√
23 2
3—5
21
2—3
23
—5 2
16—15
√
√
√
√√
√
√√
√
√√
√
√
√
√
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd15 15 20/2/08 19:23:42
16 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
30. Utilitza la calculadora i aproxima fins a les centèsimes aquests nombres irracionals:
a) 3√
10
2,15
b) 5√2,76
1,23
c) 1—4
1,33
d) 3√50
23,68
e) 6√
65
4,45
f) √15
0,45
31.Per simplificar una arrel del tipus n√
am, cal aconseguir que m
i n siguin nombres primers entre ells. Simplifica:
a) 12√
a10
6√
a5
b) 3√
a12
a4
c) 15√
310
3√
32
d) 4√64
4√
26√
23
32.Esbrina quina de les igualtats següents és incorrecta:
a) √ (a
b)2ab
b) 3√ a
3b3ab
c) √a2
2
ab
b2ab
Ladel’apartatb),jaque(ab)3a3b3.
33.Expressa en forma d’una sola arrel:
a) 3√
3
3√
5
3√
3 5
3√
15
b) 21—2 √
5
√2 √
5√
10
3√
12
c) ——
3√
4
12
3
——3√
3
4
31—2 6
1—2 d) ———
√15
√3 √
6 √
18 18 6
——————— ———— √
15
√
15 15 5
e) (7√
23)4
7√23 4
7√212
f) 31—6
3√
3
6√
2
6√
3
6√
32
6√
2
6√
332
6√
54
g) (a b)1—2 √
a b
√(a
b)
(a2
b)
√a2
2b
2
h) 2 √5√45 √20
i) √√134√13
j) √a 3√a2
√3√a5
6√a5
34.Expressa de la manera més senzilla possible:
1 a) √10 2 √10 — √10 2
1 5122—√10—√10 2 2
b) 3 √12 2 √75 7√3
6√3 210√3 7√3
(62107)√3 3√3
c) 4√5
3√2
12√53
12√24
12√5324
12√2000
√7 3√5
d) ———
12√10
12√76
12√54
7654
————12
——
12√10 10
√
√
√
√
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd16 16 20/2/08 19:23:44
17MATEMÀTiQUES 1 LA
35.Racionalitza les expressions fraccionàries següents:
1 a) —— √5
1 √5 √5—— ————
√5 √5 5
1 b) ———— 2 √3
1 22√3 22√3———— ————————22√3
2√3 22√3 423
12 c) —— √2
12 √2 12—— ————√2 6√2
√2 √2 2
22 d) ———— 4 √5
22 4√5 22(4√5 )———— ————————
42√5 4√5 1625
22(4√5 )——————2(4√5 )
11
36.Efectua les operacions indicades racionalitzant prèviament cada expressió fraccionària:
1 2 a) ———— ———— 5 √3 5 √3
1 52√3 52√3———— ————————;
5√3 52√3 22
2 5√3 2(5√3 )———— —————————
52√3 5√3 22
5√3 ————
11
1 2———— ————
5√3 52√3
52√3 5√3 15√3 ———— ————————
22 11 22
7 6 b) ———— ———— 4 √2 4 √2
7 42√2 7(42√2 )———— ——————————
4√2 42√2 14
42√2 ————
2
6 4√2 6(4√2 )———— —————————
42√2 4√2 14
3(4√2 ) 123√2 ————— ——————
7 7
7 6—————2 —————
4√2 42√2
42√2 123√2 4213√2 ————2 ————————————
2 7 14
37.Representa a la recta real els conjunts de nombres següents. Després, defineix-los mitjançant desigualtats:
a) [4, )
0 4
4x
b) (, 2)
022
x 22
c) [1, 3]
0 1 3
1x 3
d) (2, 5)
0 2 5
2x 5
e) [3, 0)
023
23x 0
f) (0, 3]
0 3
0x 3
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd17 17 20/2/08 19:23:46
18 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
40.Efectua aquestes operacions amb l’ajut de la calculadora. Expressa’n els resultats utilitzant la notació científica:
a) 2,5104 105 6,25103 1,1875105
b) (106 : 4103) : 5107 5
1,251012 1012
c) ———————— 1,6
(
10 1010 5109
d) (104 107)2 9,981013
41.Una estrella es troba a 4 anys llum de la Terra. Quina es la distància en quilòmetres que la separa del nostre planeta? Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la velocitat de 300000 km/s.
365dies 24h 3600s1any ———— ——— ————
1any 1dia 1h
31536000s
300000km1anyllum31536000s ——————
1s9,46081012km
4anysllum49,46081012
3,784321013km
42.Sabent que un mol d’àtoms de ferro conté 6,021023 àtoms d’aquest metall i que té una massa de 55,8 g, esbrina:
a) La massa en grams d’un àtom de ferro.
1molàtomsFe 55,8gFe1àtomFe ————————— ————————
6,021023átomsFe 1molàtomsFe
9,2710223gFe
b) El nombre d’àtoms continguts en 1 g de ferro.
1molàtomsFe 6,021023àtomsFe1gFe ———————— —————————
55,8gFe 1molàtomsFe
1,081022àtomsFe
Activitatsfinals
1. Demostra, sense utilitzar la calculadora, que el número
√1764 és racional. Realitza prèviament la descomposició en
factors primers de 1764.
1764223272
√ 1764√2232 72º23742
g) (5, )
0 5
5x
h) [2, 2)
0 222
22x 2
i) (, 0)
0x 0
j) (3,4]
2304
23x 4
k) (4,2) 2402
24x 2
3 l) [1, —) 2
321 x — 2
21 0 1 2
38.Expressa utilitzant la nova notació els conjunts de nombres reals que verifiquen:
a) x 3[23,)
b) x 4(2,4)
c) 2 x 3[22,3]
d) 5 x 21(25,21)
e) 4 x 6(24, 6]
f) x 7(7,)
39.Les inequacions 1 3x 5 i 3x 5 2 tenen solucions comunes. Troba-les, representa-les gràficament i expressa-les de dues maneres diferents.
213x5 → 263x → x22
3x52 → 3x 23 → x 21
022 21
22x 21,otambé,x[22,1).
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd18 18 20/2/08 19:23:47
19MATEMÀTiQUES 1 LA
2.Calcula el costat, el perímetre i l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència de 2 cm de radi. Quina de les tres mesu-res s’expressa mitjançant un nombre racional? Expressa les altres dues de manera exacta i amb una aproximació fins a les centèsimes.
Eldiàmetredelacircumferènciacoincideixambladiagonaldelquadratimesura4cm.
Sirepresentenpercelcostatdelquadrat,esverifica:
c2c242 → 2c216 → c28 →
→ c2√2 cm2,83cm
Elperímetrepdelquadratmesura:
p4c4 2√2 8√2 cm11,31cm
il’àreaAdelquadratés:
Ac28cm2
L’únicamesuraques’expressamitjançantunnombreracionaléslasuperficiedelquadrat.
3. Dibuixa un quadrat de 2 cm de costat. Determina els punts mitjans dels seus costats i uneix-los successivament. Quina figura n’obtens? Per què? Calcula’n l’àrea i el perímetre.
S’obtèunaltrequadrat:elsseuscostatssónigualsielsquatreanglessónrectes.
Àrea: A(√2 )22cm2
Perímetre: P4√2 cm
4. Considera un nombre positiu, eleva’l al quadrat, multiplica’l per 2 i, finalment, extreu-ne l’arrel quadrada. Demostra que el quocient de la divisió entre l’últim nombre i el primer és igual a √2.
x → x2 → 2x2 → x √2 → √2
L’últimpaséspossibleperquèx0.
5.Quina condició han de verificar els coeficients a, b i c de l’equació de segon grau ax2 bx c 0, per tal que les seves solucions siguin nombres reals?
Lessolucionsdel’equacióax2bxc0sóndelaforma:
2b√b224acx————————
2a
Pertant,perquèaquestessolucionssiguinnombresrealss’hadeverificarque:
b224ac0
6.El perímetre d’un rectangle mesura 16 cm i una de les seves diagonals, 2√10 cm. Calcula’n l’àrea.
Anomenem x i y les dimensions del rectangle expressades encentímetres.Esverifica:
2x2y16 xy8
x2y2(2√10 )2 x2y240x82y
(82y)2y240 →
→ 64216yy2y240 →
→ 2y2216y240 → y228y120
8√64248 84 y16 y—————————— 2 2 y22
Siy6 → x2,isiy2,x6.
Enqualsevolcas,l’àreadelrectangleés
A12cm2
7. Troba quatre nombres racionals compresos entre 2 √5 i 2 √6.
Respostaoberta.Perexemple:4,25;4,3;4,42;4,4.
8.Representa a la recta numèrica els nombres reals següents:
3 a) — b) 1,16
(
4
c) √34 d) √8
Representacióaproximada:
d a b c
876543210212223
9.Calcula:
a) (3√5)2
(3√5 )29545
b) (√10 )4
(√10)4102100
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd19 19 20/2/08 19:23:49
20 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) (√5 √3 )(√5 √3 )
(√5 √3 )(√5 2√3 )52 32
d) (√7 )2 (√2 )2
(√7 )22 (√2 )272 25
10.Calcula:
a) (1 √2 )2
(1√2 )212√2 232√2
b) (3 √3 )2
(32√3 )2926√3 31226√3
c) (2√5 1)2
(2√5 1)220 4√5 1214√5
d) (4√2 2√3 )2
(4√2 2 2√3 )2322 16√6 12
44216√6
11.En quins casos el resultat d’una potència de base 3 és més petit que 3? Justifica la resposta amb exemples.
Semprequel’exponentésméspetitque1.
1 Perexemple: 3
1—2 1,73; 301; 321—.
3
12.Expressa com una sola potència:
a) √2 3√2
√2 3√2 2
1—2 2
1—3 2
5—6
b) 3√5 : 4
√53√5 :4
√5 51—3 :5
1—4 5
1—12
c) 7√a 2
7√a 2 a
2—7
d) (4√b3)2
(4√b3)2
4√b6 √b3 b
3—2
13.L’arrel quadrada de l’arrel cúbica d’un nombre positiu x té dos possibles resultats. Per què? Si un d’aquests és 2, quin és l’altre? Calcula x.
Perquèestractad’unaarreld’índexparell(índex6)
√3√x
6√x
L’altreresultatés22,l’oposatde2.6√x2 → x(2)664
14.Calcula:
a) √200———450
10 2√200———450
√100———225
—— —— 15 3
b) √
3—27
1√
3
—27
√
1—9
— 3
c) √242—338
11√
242—338
√121—169
—— 13
15.Escriu com una única arrel:
a) 102—3 10
–1—2
102—3 10
–1—2 10
1—6
6√10
b) 73—4 : 70,5
73—4 :70,57
3—4 :7
1—2 7
1—4
4√7
c) 22—3
3—5
22—3
3—5 2
2—5
5√22
5√4
d) 21—3 3
1—3
21—3 3
1—3
3√2
3√3
3√6
16.Quines de les desigualtats següents no són certes? Per què?
a) √9 25
3 5
b) √7 6
√7 √6
c) √a2 b2
a b
√45 d) √5 —— 3
a)Perquè3482
c)Perquèa2b2(ab)2
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd20 20 20/2/08 19:23:51
21MATEMÀTiQUES 1 LA
17.Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents:
a) √7 √28 √63
√7 √28 2 √63 √7 2√7 23√7
(1223) √3 0
b) √121 √169 √225
√121 √169 2 √225 11132159
c) √a 3√a2
√a 3√a2 a
1—2 a
2—3 a
7—6
6√a7 a
6√a
d) 4√b 3 : √b
4√b 3 : √bb
3—4 :b
1—2 b
1—4
4√b
18.Justifica aquestes igualtats:
a) 2√3 √12
2√3 √22 3 √12
b) 5√2 √50
5√2 √52 2 √50
1 c) —— √3 √
3—4
2
1 —√3 √ 1—2
2
3 √ 1—4
3 √
3—4 2
d) a2 n√a
n√a2n 1
a2 n√a
n√a2n a
n√a2n 1
19.Racionalitza:
20 a) —— √10
20 √10 20√10—— —————2√10
√10 √10 10
1 b) ———— √7 √5
1 √7 √5———— ————
√7 2√5 √7 √5
√7 √5 √7 √5 ———— ————
725 2
6 √6 c) ——— 6 √6
6√6 6√6 3612√6 6———— ———— ———————
62√6 6√6 3626
4212√6 72√6 ————— ————
30 5
20.Les solucions d’una inequació es troben a l’interval [5,2], i les d’una altra inequació, a l’interval [0, 4). Expressa mi-tjançant un interval les solucions comunes a totes dues in-equacions. Ajuda’t d’un gràfic.
42025
Lessolucionscomunessónlesqueestrobenal’interval:[0,2].
Avaluació
1.Digues, de manera raonada, si les afirmacions següents són certes o falses:
a) 3√ 2343 és un nombre irracional.
Fals,perquè3√ 2343 2 7.
2 b) El nombre real ——— està comprès entre els nombres
5naturals 1 i 2.
2 Cert,jaque——— 1,03. 5
c) 24 és un nombre racional.
Cert,concretamentestractad’unnombreenter.
d) El resultat de √12 3√ 3 2 √75 és 0.
Cert.
√123√ 32√752√ 33√ 325√ 3
(2325)√ 30
2.Expressa de manera exacta:a) El volum d’un cub de 3 cm de diagonal.
Sid representa ladiagonald’uncub i a la sevaaresta, esverifica:
d2 d√3 3√3d23a2→a2 —→a ——→a —— √3cm 3 3 3
Va3 (√3)3 3√3cm3
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd21 21 20/2/08 19:23:53
22 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) L’àrea lateral d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm d’altura.
La generatiu del con mesura g √ 52 122 13 cm, il’àrealateral:
Alat rg65cm2
c) El radi d’una esfera de 27 cm3 de volum.
4Volumd’unaesferaderadir :V— r3→r
3
√3V
———4 3
r 3
√3·27—————
4 3
3
√ 3———4
cm
d) La hipotenusa d’un triangle rectangle, un dels catets del qual mesura el doble que l’altre.
Sirepresentemperclamesuradelcatetméspetit,l’altreca-tetmesurarà2c.Lamesuradelahipotenusad’aquesttrianglerectangles’expresarà:
h√ c2(2c)2√ 5c2c√5
3.a) Expressa en forma d’una sola arrel:
√x 7√a · 7√b2; ——; (p 4√p3)5; 3√2 · 4√3 3√y2
7√a·7√b27√ ab2
√x 6√ x3————
6√
x3
——y4
3√ y2 6√ y4
(p 4√p3)5(4√ p7)54√ p35
3√2·4√312√ 24·12√ 33 12√ 24·33
b) Expressa en forma de potència:
5√x2 a2·3√a; √ 2√ 2√2; (3√b2)2; —— √x
a2·3√aa2·a 1–3 a
7–3
√ 2√ 2√2 √ √ 23√ 2 √ √ √ 27 8√ 27 2
7–8
(3√ b2)2 3√ b4b
4–3
5√ x2
10√ x4
———— 10√ x21x2
1––10
√x10√ x5
4.Calcula i expressa de la manera més senzilla possible:
a) (3√2 7√3)(3√2 2 7√3)
(3√27√3)(3√227√3)1821472129
1b) 2√ 75 2 √ 300 —√ 12 2
1 2√ 752√ 300—√ 1210√ 3210√ 3 √ 3 2
(102101)√3√3
c) (5 2√7) 2 (5 2 2√7)
(52√7)2(522√7)52√7 2 52√74√7
d) √ (a b)2 2 4ab
√ (ab)224ab √ a222ab b2
√ (a2b)2 a2b
5.Fes les operacions indicades, racionalitzant prèviament les expressions fracionàries:
a) 3 √3 3 2 √3 ——— 2 ——— 3 2 √3 3 √3
3√3 3√3 96√33 126√3 ———· ——— ————— ———— 32√3 3√3 923 6
2√3
32√3 32√3 926√33 1226√3 ———· ——— ————— ———— 3√3 32√3 923 6
22√3
3√3 32√3 ———2 ——— 2√32(22 √3) 32√3 3√3
2√32 2√3 2√3
1 3b) √2 · ——— √8 √ 32
1 √8 √8 2√2 √2—·— —— —— ——
√8 √8 8 8 4
3 √ 32 3√ 32——·—— ——
√ 32 √ 32 32
1 3 √2 3√ 32 1 3 5 √2·——— √2——— ——— √8 √ 32 4 32 2 4 4
jUnitat2.Nombrescomplexos
Activitats 1. Identifica la part real i la part imaginària de cadascun dels
nombres complexos següents:
3 a) — 2 √3 i 7 3
a—, b 2√3 7
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd22 22 20/2/08 19:23:55
23MATEMÀTiQUES 1 LA
b) 5 ia 25, b 1
2 c) — 5 2
a 2—, b 0 5
d ) 3 ia 0, b 3
e) 0,2 ia 0,2, b 21
f ) 1 ia 1, b 21
2.Quin ha de ser el valor de p perquè el nombre complex 1
— (p 2) i sigui un nombre real? 5 Calquep220 → p2
3.Quin valor té r si sabem que el nombre complex 1 (r 3) — i és imaginari pur? 7
Calquer30 → r 23
4.Escriu les arrels quadrades de cadascun d’aquests nombres:
a) 81√281 9 i
9 b) —— 25 3√
92— 25
— i 5
c) 2√22
√2 i
d ) 25√225 5 i
1 e) — 9 1√
12— 9
— i 3
5. Resol, en el conjunt dels nombres complexos, les equacions següents:
a) x 2 49 0
x 2490 → x 2 249 →→ x 7 i
b) 16 x 2 250
16 x 2250 →
25 5→ x 2 2—— → x — i
16 4
c) x 2x1 0
x 2x10 →
21√124
→ x——————— 2
1 √3 2———i
2 2
d ) x 2 180
2x 22180 → x 2 218 →→ x 3√2 i
6.Compara les dues solucions obtingudes per a cadascuna de les equacions de l’exercici anterior. Quina o quines relacions hi trobes?
Enelsapartatsa),b)id)lesduessolucionssóndosnombresimaginarispursoposats.Enl’apartatc)lesduessolucionstenenoposadalapartimaginària.
7.Representa els afixos dels nombres complexos:
3z1 8, z2 — i, z3 4 i
2 3 z1éselpunt(28,0);z2éselpunt—,21 2 iz3éselpunt(0,24),representatsenunareferènciacarte-
siana.
8.Escriu tres nombres complexos que tinguin els seus afixos a la bisectriu del primer i el tercer quadrants. Quina relació hi ha entre la part real i la part imaginària de cadascun d’ells?
Resposta oberta. Per exemple: z1 2 2 i; z2 21 2 i,z3 √2 √2 i.Totsaquestsnombrestenenlapartrealigualalapartimaginària.
9. És possible trobar un valor de k perquè els nombres z1 3 2 i i z2 2 (1 k) i siguin iguals? Raona la resposta.
Noéspossibleperquètenenlapartrealdiferent:32.
10.Representa els afixos dels nombres complexos següents: 2 7
z1 1 i, z2—— — i, z3 2 i, 3 3
z4 2 3 i, z510
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd23 23 20/2/08 19:23:57
24 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2 72—,— 3 3
11.Escriu els nombres complexos z1 5 i z2 1 i en forma polar i en forma trigonomètrica.
z1 255180°5(cos180°i sin180°)
z2 212i√2 225°
√2 (cos225°i sin225°)
21 jaquer√(21)2(21)2 √2itg ——1enelter- cerquadrant. 21
12.Troba el mòdul i l’argument del nombre complex z 2 (cos 225° i sin 225°). Expressa’l en forma binòmica.
z2(cos225°isin225°)2225°
√2 √2cos225° 2——,sin225° 2——
2 2
√2 √2z22——i2—— 2√2 2√2 i
2 2
13.Comprova que les expressions binòmiques dels nombres 2180°, 2180° i 2540° coincideixen.
Raona per què els tres nombres complexos són iguals.
2180° 22
22180°2180° 22
2540°2180° 22 (540°2360°180°)
Els tresnombrestenenelmateixmòdul ielmateixargumentprincipal.
14.Donats els nombres complexos:
4z1 2 i; z2 3 i i z3 — 3 i
3
comprova que es verifiquen les propietats associativa de la suma i associativa de la multiplicació.
Propietatassociativadelasuma:
4 (22i)(23 i)2—3 i 3
4 2 (22i)2——2i 3 3
igual
4 [(22i)(23 i)]2—3 i 3
4 2 (224 i)2—3 i—2i 3 3
Propietatassociativadelamultiplicació:
4 (22i)23 i2—3 i 3
(22i)(94 i)222i
igual
4 [(22i)(23 i)]2—3 i 3
4 (2326 i)2—3 i222i 3
15.Calcula:
2 i (1 4 i) 1 a) —————— ——— 1 2 4 i 2 i
2 i(124 i) 122 i——————————
1222 4 i 2124 i
(12 2 i)(214 i) 7 6 —————————————i
(2124 i)(214 i) 17 17
1 2i 2i 2 1——— ———————— i
22i 2i 5 5 5
7 6 2 1————i—— i 17 17 5 5
69 47 ————i
85 85
(2 3 i) (5 2 i) 3 i b) ————————— ———— 4 3 i 4 2 i
(23 i)2(522 i)————————————
43 i
235 i 423 i————— —————
43 i 423 i
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd24 24 20/2/08 19:23:59
25MATEMÀTiQUES 1 LA
329i 3 29—————————i
25 25 25
32i 422 i———— —————
42 i 422 i
10210 i 1 1——————2— i
20 2 2
3 29 1 1————i—2— i 25 25 2 2
31 33 ————i
50 50
1 3 i 3 i c) ———— ———— 1 1 4 2 i — — i 2 2
1 1 —— i 123 i 2 2
————— —————— 1 1 1 1 —2— i —— i 2 2 2 2
22i 22i—————————422 i
1 1 1 —— — 4 4 2
32i 422 i————— —————
42 i 422 i
10210 i 1 1———————2— i
20 2 2
1 1 7 3(422 i)2—2— i —2— i
2 2 2 2
2 r i16.Se sap que el quocient ———— és un nombre real. Troba
1 i el valor de r. Quin hauria de ser el valor de r perquè aquest
quocient fos imaginari pur?
2r i 1i 22r 2r———— ———— ———— ————i
12i 1i 2 2
Pertalquesiguiunnombrereal:
2r————0 → r 22
2
Pertalquesiguiimaginaripur:
22r———0 → r2
2
17.Efectua:
a) (2 i)5
(2 i)532 i 532 i
b) (4 i)3
(24 i)364 i
2 c) — i
4
5
2 162— i4
—— 5 625
i d) —
10
2
i i 10 i 2 21—10
——————— 2 210 210 1024
e) ( √ 2 i)2
(2 √ 22i)2 2
f ) (3 i 2)2
(23 i 2)29 i 49
g) (√3i )6
(2√3i)6(3 i)3 227i
h) i 225
i 225i,jaqueelresidudedividir225entre4és1.
18.Troba el nombre complex que resulta de les potències se-güents:
a) (1 2 i)5
(12 i)5(12 i)2(12 i)2(12 i)
(234 i)2(12 i)
(27224 i)(12 i)41238 i
b) (1 i)7
(212i)7((212i)2)3(212i)
(2 i)3(212i)28 i(212i)288 i
c) (2 i)6
(22i)6((22i)2)3(324 i)3
(324 i)2(324 i)
(27224i)(324 i)2117244i
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd25 25 20/2/08 19:24:00
26 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1 d ) — 2 i
4
2 1 1—22 i
4
—22 i2
2
2 2
15 1612——22 i
2
——15 i 4 16
19.Calcula (1 2 i)4. Recorda que com que es tracta d’un 1
exponent negatiu, z4 —. z4
1 1(212 i)24———————————
(212 i)4 ((212 i)2)2
1 1——————————
(2324 i)2 2724i
1 27224i——————————
2724i 27224i
27224i 7 24—————2——2——i
625 625 625
20.Comprova mitjançant l’exemple 290° 1180° que no és certa la igualtat r
s
(r s)
.
290°1180°2 i21 212 i ⇒ 5 r√5 3
213 tg 22
90°180°270° → tg270°noexisteix.
21.Calcula:
√3 1 √3 1—— — i —— — i 2 2 2 2
Efectua l’operació amb les expressions binòmiques i amb les polars. Compara’n els resultats.
Enformabinòmica:
√3 1 √3 1——2— i ——— i 2 2 2 2
3 1— — 1
4 4 Enformapolar:
√3 1 √3 1——2— i1
230°; ——— i130° ⇒ 2 2 2 2
⇒ 1230° 130°10°1
Evidentmentelsdosresultatscoincideixen.
1 i22.Troba el quocient ———— utilitzant les expressions polars
1 i dels dos nombres complexos.
12 i√2 245°315°,21i√2 135°
12i————√2 315°:√2 135°1180° 21
21i
23.Calcula (1 i)5 de dues maneres diferents. Comprova que n’obtens el mateix resultat.
Sipassemdelaformabinòmicaalaformapolartenim:
(12i)5(√2 315°)5
4√2 1575°4√2 135°
Perlapotènciadelbinomi:
5 5 5(12i)5 2 i i 22
0 1 2
5 5 52 i 3
i 42 i 5 3 4 5
125 i21010 i52i
244 i4√2 135°
24.Comprova que (160°)6 1.
(160°)61360°10°1
25.Expressa en forma binòmica el resultat de (130°)15.
(130°)151450°190°i
26.Expressa en forma binòmica les arrels quartes de z 4.
4√4
4√40°⇒ mòdul
4√4√2 .Elsargumentssurtend’aplicar
0°k 360° ———————donantak elsvalors0,1,2,i3.Són:0°,90°,
4 180°i270°.
Enformabinòmica:
√2 0°√2 ; √2 90°√2 i;
√2 180° 2√2 ; √2 270° 2√2 i
27.Troba les arrels vuitenes d’1. A continuació, comprova que el producte de dues qualssevol d’aquestes arrels és també una arrel.
8√1
8√1 0° ⇒ mòdul:
8√1 1.Pertrobarelsargumentsproce-
0°k 360° dimcomenl’exercicianterior:———————ambk0,k1,
8 k2,k3,k4,k5,k6ik7.Lesarrelssón:10°,145°,
190°,1135°,1180°,1225°,1270°,1315°.Multiplicantduesarrelsqualssevolsen’obtéunademòdul1id’argumentunmúltiplede45°.
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd26 26 20/2/08 19:24:02
27MATEMÀTiQUES 1 LA
28.Una de les arrels cúbiques d’un nombre complex és 160°. Calcula aquest nombre complex i les altres dues arrels.
3√z 160° → (160°)
3z1180°
3√1180° ⇒ mòdul:1.Elsargumentssón:
180°k 360———————,k0,k1ik2
3
Lesarrelssón:
160°(jalateníem);1180°;1300°
29.Resol les equacions:
a) x 4 16 0
x4160 →
→ x4√216
4√16180° →
mòdul4√16 2
Arguments:
180°k 360°————————,k0,k1,
4
k2ik3 → 45°,135°,225°,315°.
L’equacióté4arrelscomplexes:
245°,2135°,2225°i2315°
b) x 6 i
x6i ⇒ x6√i
6√190° →
mòdul:6√1 1
Arguments:
90°k 360°——————— → k0,k1,
6
k2,k3,k4ik5
Lessisarrels:
115°,175°,1135°,1195°,1255°,1315°.
c) x 3 8 i
x3 28i ⇒ x3√28i
3√8270° →
mòdul:3√8 2
Arguments:
270°k 360°————————,k0,k1ik2 →
3→ 90°,210°,330°
Lestresarrelssón:
290°,2210°,2330°
Activitatsfinals
1.Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres complexos:
a) x 2 2 x 2 0
22√428x22 x20 → x ——————
2
22√24 222i x1 21i ————————— 2 2 x2 212i
b) x 2 3 x 6 0
3√9224 x223 x60 → x —————— 2
3√215 3√15 i —————————
2 2
3 √15 x1 ———i 2 2 3 √15 x2 —2——i 2 2
c) x 2 25 0
x2250 → x2 225 →→ x √225 5 i
2.Donats els nombres complexos z1 2 (3 p) i i z2 5 4 i, troba el valor de p sabent que z1 z2 és un nombre real.
z1z22(3p) i(254 i)
23(7p) i
Sihadeserunnombrereal,7p 0 → p 27.
3.Calcula:
1 a) — 3 i (3 i) (2 5 i) 3
1 —3 i2(32i)(225 i) 3
1—232(3125) i
3
2 2—2i
3
b) 10 i [(1 i) (4 3i)]
10 i2[(1i)2(423i)]
10 i2(234 i)36 i
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd27 27 20/2/08 19:24:04
28 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
4.Comprova amb un exemple que quan se suma i quan es mul-tiplica un nombre complex pel seu conjugat s’obté un nom-bre real en cada cas.
Siguin,perexemple,z112 i;z2122 i.
z1z2(12 i)(122 i)2
z1 z2(12 i) (122 i)
124 i 2145
5.Donats el nombres complexos z1 1 3 i, z2 2 i i z3 2 i, comprova que es verifica la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma.
z1 (z2z3)(123 i) (222i2 i)
(123 i)(22i)17 i
(z1 z2)(z1 z3)(123 i)(222i)
(123 i)2 i(255 i)(62 i)17 i
S’obtéelmateixresultat.
6.Calcula en forma binòmica:
a) (2 i)2
(22i)2424 ii 2324 i
b) (2 3 i)2
(2223 i)2412 i9 i 2 2512 i
c) (1 i)2
(212i)212 ii 22 i
7.Efectua les operacions del numerador i del denominador en les expressions fraccionàries següents i després, calcula’n el quocient:
(4 7 i) (1 i) (2 i) a) —————————————— (5 i)2
(47 i)(12i)(22i)—————————————
(5i)2
(47 i)(123 i) 54 i———————————————
2510 ii 2 2410 i
Calculemelquocient:
(54 i)(24210 i) 16046 i————————————————
(2410 i)(24210 i) 676
40 23————i
169 338
10 [(1 4 i) (2 3 i)] b) ————————————— 3 i (2 √
3 i) (2 √
3 i)
102[(124 i)2(223 i)]—————————————
3i(2√3i )(22√3i )
11i 11i—————————
3 i(43) 73 i
Calculemelquocient:
(11i)(723 i) 80226 i———————————————
(73 i)(723 i) 499
40 13——2——i
29 29
z z 8. Demostra que si z és un nombre complex, el quocient ———
z z en què z és el conjugat de z, és sempre un nombre complex
imaginari pur.
Siguizab i; za2b i:
z2z (ab i)2(a2b i)—————————————
zz (ab i)(a2b i)
2 b b——i— i
2 a a
Efectivament,ésunnombreimaginaripur.
9.Escriu en forma polar els nombres complexos que tenen per afixos els vèrtexs de l’hexàgon regular de la figura 2.6.
Elvèrtexsde l’hexàgoncorresponenalsnombrescomplexosdemòdul1iargumentunanglemúltiplede60°.Sónelssegüents:10°,160°,1120°,1180°,1240°,1300°.
10.Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos de mòdul 2.
Totselspuntsdelacircumferènciadecentrel’origendecoorde-nadesideradidoscorresponenatotselsnombrescomplexosdemòdul2.
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd28 28 20/2/08 19:24:06
29MATEMÀTiQUES 1 LA
11.Donat el nombre complex 160°, escriu-lo en forma binòmica. Troba’n l’oposat, el conjugat i l’invers.
1160°ab i; acos60° 1—;
2
√3 1 √3bsin60° 1——; z———i
2 2 2
L’oposat: 1 √3
2z 2—2——i 2 2
Elconjugat: 1 √3z —2——i 2 2
L’invers:
1 1———————
z 1 √3 ———i 2 2
1 √3 —2——i 2 2
—————————————— 1 √3 1 √3 ———i—2——i 2 2 2 2
1 √3 —2——i 2 2 1 √3
————————2——i 1 2 2
1 i12.Calcula ———
6
. Efectua primer la divisió i després la po-tència. 1 i
12i (12i)(12i) 22 i———6
————————6
——6
1i (1i)(12i) 2
(2i)6i 6i 2 21
13.Comprova que la suma de les arrels vuitenes de la unitat dóna com a resultat zero.
Calculemlesarrelsvuitenesd’1: 8
√1
8√
10° → mòdul:
8√11.Arguments:
0°k 360° ——————,k0,k1,k2,k3, 8
k4,k5,k6ik7.
Lesarrelssón:
10°,145°,190°,1135°,1180°,1225°,1270°,1315°
Enformabinòmica:
10°1
1 1 145°————i √2 √2
190°i
1 1 1135° 2————i √2 √2
1180° 21
1 1 1225° 2——2——i √2 √2
1270° 2i
1 1 1315° ——2——i √2 √2
Lasuma:
1 1 1 1 1————ii2————i21 √2 √2 √2 √2
1 1 1 1 2——2——i2i——2——i0 √2 √2 √2 √2
14.Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos l’argument dels quals és 60°.
Totselsnombrescomplexosd’argument60°formenunasemi-rectad’origenl’origendecoordenadesiqueformaunanglede60°ambelsemieixpositiuOX.
15.Determina el valor de la suma següent:
1 i i 2 ... i 125
Caltenirencompteque:
ii 2i 3i 4i212i10
Separant1,lasumadeles125potènciessuccessivesdeiconte-nen31grupsquesumen0iquedai 125,jaque12531 41.
1ii 2...i 1251i 1251i
16.Expressa en forma binòmica el resultat de la divisió: 6120° : 330°.
6120°:330°290°.Passantaformabinòmica:290°2 i.
17.Calcula el mòdul i l’argument de la tercera potència de √3 i.
(√3 i)3 → √3 i → r2
1tg —— → 30°
√3
(230°)323
3 30°890°
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd29 29 20/2/08 19:24:08
30 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
18.Troba les arrels quartes de z 8 8 √3 i.
Passemaformapolar:
r82(8√3 )2256;tg√3 ,60° 4
√25660° → mòdul4√2564,arguments:
60°k 360° ———————,k0,k1,k2ik3. 4
Arrels:415°;4105°;4195°;4285°.
19.Dibuixa el triangle que té per vèrtexs els afixos de les arrels cúbiques de 8 i. De quin tipus de triangle es tracta?
3√8i
3√890° → mòdul
3√8 2;arguments:
90°k 360° ——————,k0,k1ik2. 3
Arrels:230°;2150°;2270°. Els afixos sónelspuntsque tenendecoordenadeselscomponentsenformabinòmica.
VèrtexA → 230° 2(cos30°isin30°)√3 i → (√3,1)
VèrtexB → 2150°2(cos150°isin150°) √3 i → (√3 ,1)
VèrtexC → 2270°2 i → (0,2)
RectaAB: y1 3 RectaBC: y2——x √3
3 RectaAC: y2——x √3 Eltriangleésequilàter.
20.Calcula la suma dels quadrats de les arrels cúbiques de 8. 3
√8 3√8 180° → mòdul
3√8 2;arguments:
180°k 360° ———————,k0,k1ik2. 3
Arrels:260°;2180°;2300°.Calculemelsquadrats:
(260º)24120°4(cos120°isin120°)
1 √34———i22√3 i
2 2
(2180°)24360°4
(2300°)24600°4240°
4(cos240°isin240°)
1 √34———i22√3 i
2 2
Suma:(22√3 i)4(22√3 i)0
21.Troba les arrels cúbiques de 27. Comprova que una d’aquestes arrels és el nombre real 3.
3√27
3√27180° → mòdul:
3√27 3;
Arguments:
180°k 360° ———————,k0,k1ik2. 3
Lesarrels:360°;3180°3;3300°.
22.Calcula les arrels quartes de 16 i comprova que dues d’aquestes arrels són nombres reals.
4√16
4√160° → mòdul:
4√16 2;
Arguments:
0°k 360° ——————,k0,k1,k2ik3. 4
Arrels:20°2;290°;2180°2;2270°.
Lesarrels2i2sónnombresreals.
23.Una de les arrels cúbiques del nombre complex z és 2130°. Calcula z i les altres dues arrels.
3√z 2130° → z(2130°)
38390°830°
3√8 30° → mòdul:2;
30°k 360° Arguments:—————— 3
Arrels:210°;2130°;2250°.
24.Utilitza el mètode més senzill per calcular (1 i)10. Per què creus que el mètode que has utilitzat és el més senzill?
Elmètodeméssenzilléspassarelnombrecomplexalaformapolar:
1i√2 225°
(√ 2225°)10√ 210
2250°3290°32i
25.Representa gràficament les arrels quartes de 16.
Lesarrelsquartesde16s’hanobtingutenl’exercici22.Elsseusafixossónelspunts(2,0);(0,2);(2,0)i(0,2).
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd30 30 25/2/08 16:27:21
31MATEMÀTiQUES 1 LA
Avaluació
1. Digues quins dels nombres següents són naturals, enters, racionals, reals o complexos: 2 72; 25; 0; —; 0,37; √ 2; √ 25; 3√ 81; 9i; 2— 3 5
Naturals: 2 ;Enters:–5;0;Racionals:2 7
, ;0,373 5
−;2 7
, ;0,373 5
− ;2 7
, ;0,373 5
− ;
Reals: 33, 81;33, 81;Complexos: 5,9i−
2. Resol les equacions següents en el conjunt del nombres complexos:
a)x2 25 0
x2250 →x2 225→x √ 225 5i
b)9x2 1 0
1 1 1 9x210 →x22—→x √
2—— —i
9 9 3
c)x2 x 1 0
21 √ 12 4 21 √ 3ix2x1 0→x ——————————— 2 2
1 √32 ————i 2 2
1 √32 ——2——i 2 2
d)x2 2 4x 5 0
4 √ 162 20 4 2ix224x5 0→x —————————— 2 2
2 i
22 i
3. Expressa els nombres z1 21 i i z2 1 2 √ 3i en forma polar i calcula z1
5 : z2.
z1 21 i √ 2135º;z2 12 √ 3 2300º
(z1)5 √ 2135º
5 √ 25675º 4√ 2315º
(z1)5:z2 4√ 2315º:2300º 2√ 215º
4. Donats els nombres complexos z1 1 22i ; z2 24 6i , calcula’n:
a) la suma
(1–2i)+(–4+6i)=–3+4i
b) la resta
(1–2i)–(–4+6i)=(1–2i)+(4–6i)=5–8i
c) la multiplicació
(1–2i)·(–4+6i)=–4+6i+8i+12=8+14i
d) el quocient z1 : z2
1 2 1 2 4 6 4 6 8 12 16 2 16 2 4 14 6 4 6 4 6 16 36 52 52 52 13 26
i i i i i ii i
i i i− − − − − − + − − + − −= ⋅ = = = + = +
− + − + − − +
1 2 1 2 4 6 4 6 8 12 16 2 16 2 4 14 6 4 6 4 6 16 36 52 52 52 13 26
i i i i i ii i
i i i− − − − − − + − − + − −= ⋅ = = = + = +
− + − + − − +
011-031_Sol-Mates_Batx1-cat.indd31 31 20/2/08 19:24:11
32 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
jUnitat3.Trigonometria
Activitats 1.Dibuixa una circumferència de 2 cm de radi, uns eixos de
coordenades amb origen en el centre de la circumferència, la bisectriu del primer i del tercer quadrants i la bisectriu del segon i del quart quadrants.
Un cop hagis dibuixat aquesta circumferència, respon el següent:
a) Indica la mesura de cadascun dels quatre angles que determinen aquestes bisectrius a partir de l’origen d’angles, el semieix positiu OX.
Elsanglesquedeterminenaquestesbisectriussón:
45°,135°,225°i315°
b) Pren les mesures necessàries per calcular les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles. Compara els resultats que obtinguis amb els que et dóna la calculadora.
Calmesurarl’ordenadail’abscissadecadascundels4puntsqueen lacircumferènciadeterminenels4angles. Iaplicarlesdefinicionsdelestresraonstrigonomètriquesperacadaangletotconsiderantlalongituddelradidelacircumferènciatraçada.
2.Dibuixa un angle de 135°. Quin és el signe de cadascuna de les tres raons trigonomètriques d’aquest angle?
sin135°0;cos135°0;
tg135°0
3.Si tg 1,5, en quin quadrant pot estar l’angle ? Justifica’n la resposta.
Latangentd’unangleésnegativaenelsegonienelquartqua-drants,jaqueenaquestsquadrantselsinusielcosinustenensignesdiferents.
4.Explica per què la tangent d’un angle pot ser un nombre més gran que 1.
sin Comquesabemquetg———,semprequesincos,
esverifica:tg 1. cos
5.En una circumferència trigonomètrica dibuixa tots els angles tals que sin 0,5.
Hihadosanglesquetenensin 0,5.Sónelsangles:30°i150°.
6. Esbrina quin és el signe de cadascuna de les raons trigonomètriques dels angles:
45°, 230°, 315°, 720° i 1 000°
45° 230° 315° 720° 1 000°
Sinus 0
Cosinus
Tangent 0
Calesbrinarenquinquadrantestrobacadaangleiobtenir:
1 000°2 360°280°
7.Relaciona les raons trigonomètriques de l’angle de 210° amb les d’un angle del primer quadrant.
Relacionem210°amb30°,jaque210°180°30°:
sin210° sin30°;cos210° cos30°;
tg210°tg30°
8.Considera un angle de 850°. Redueixlo a un angle més petit de 360° i relaciona’n les raons trigonomètriques amb les d’un angle del primer quadrant.
L’equivalent a 850° en la circumferència unitat és 130°, jaque:
850°2 360°130°
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd32 32 15/2/08 10:58:47
33MATEMÀTIQUES 1 LA
Enelprimerquadrant,elrelacionemamb50°180°130°:
sin130°sin50°;cos130° cos50°;
tg130° tg50°
9.Un angle tal que 0° 360° verifica:
sin sin 30° i cos cos 30°
a) A quin quadrant pertany l’angle ?
Lescondicionsdel’enunciatindiquenquel’angleésdelter-cerquadrant.
b) Quant mesura ?
Lasevamesuraés:
180°30°210°
410.Sabent que cos — i 90° 180°, calcula sin
5 i tg . Quany mesura ? Utilitza la calculadora per compro
var que els resultats que has obtingut són, efectivament, correctes.
Ensindiquenquel’angleésdelsegonquadrant.Hiapliquemlesfórmules:
sin2 cos2 1→
4 3→sin2 —
2
1→sin — 5 5
sin 3 4 3tg —————:— —
cos 5 5 4
Ambl’ajutdelacalculadoratrobeml’angle:143,13°
11.Determina tots els angles compresos entre 0° i 360° la tangent dels quals sigui igual a 1.
Elsanglestalsquetg 1,verifiquensin cos.Enelprimerquadrant, 45°,ieneltercer, 225°.
12.Utilitza les relacions entre les raons trigonomètriques per determinar els angles positius més petits de 360° el sinus dels
1 quals sigui igual a —. 2 1 sin —.L’angleésdeltercerquadrantodel4tqua-
2 drant.Lessevesraonstrigonomètriquesesrelacionenambles
1 del’angle30°,jaquesin30°—. 2
Elsanglessón:
180°30°210°i360°30°330° 1
sin210°sin330° — 2
13.Si sin 0,6 i 90° 180°, calcula: sin (180° ), cos , tg , cos (180° ) i .
L’angleésdelsegonquadrant:
sin(180°)sin 0,6
cos2 1sin2 10,620,64 →→ cos 0,8
0,6tg ——— 0,75
0,8
cos(180° ) cos 0,8
Fentlainversadelsinus0,6amblacalculadoraobtenim:36,87°,peròsabemqueésdelsegonquadrant;pertant,
180°36,87°143,13°
14.a) Dedueix una expressió que et permeti calcular cos 3 en funció de cos i sin .
cos3cos(2 )
coscos2 sinsin2
Substituïmelsdobles:
cos3 cos(cos2sin2)
sin2sincos
cos33 sin2cos
b) Expressa sin 4 en funció de cos i sin .
sin4 sin2 2 2sin2 cos2
2 2 sincos·(cos2sin2)
sin4 4sincos34sin3cos
15.Sabent que cos 0,8, amb que verifica 0° 90° i sin 0,6, amb 90° 180°, calcula:
a) sin ( )
sin( )sin ·cos cos
Calcalcularprèviamentsinicos:
sin √10,82 0,6;comqueésdelprimerqua-drant,éssin 0,6.
cos √10,62 0,8;comqueésdelsegonqua-drant,cos 0,8.
Sisubstituïm:
sin( )0,6 (0,8)0,8 0,60
b) cos ( )
cos( )coscos sinsin 0,8 (0,8)0,6 0,6 1
c) sin ( )
sin( )sin cos cos sin 0,6 0,8(0,8 ) 0,6 0,96
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd33 33 15/2/08 10:58:49
34 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
d ) cos ( )
cos( )coscos sinsin (0,8 0,8) 0,6 0,6 0,28
e) sin 2
sin2 2sincos 2 0,6 0,8 0,96
f ) cos 2
cos2 cos2 sin2(0,8)2 0,620,28
116.Utilitza sin 30° — per calcular les raons trigonomètriques
2 de 15°. No utilitzis la calculadora i expressa els resultats en
forma exacta. Calcula prèviament cos 30°.
1 3 √3cos30°√
1—
2
√
——— 2 4 2
30° 1cos30°sin15°sin—— √
———––——
2 2
√3 1—— 2 √
2√3
√
————————— 2 2
30° 1cos30°cos15°cos——√
——————
2 2
√
2√3—————
2
sin15° 2√3tg15°————√
—————
cos15° 2√3
17.Sense utilitzar la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles de 75° i 15° a partir de les raons trigonomètriques dels angles de 45° i 30°. Recorda que:
√2 cos 45° sin 45° —— 2 1 √3 sin 30° — cos 30° —— 2 2
sin75°sin(45°30°)
sin45°cos30°cos45°sin30°
√2 √3 √2 1sin75°—— —————
2 2 2 2
√6 √2————
4
cos75°cos(45°30°)
cos45°cos30°sin45°sin30°
√2 √3 √2 1cos75°—— —————
2 2 2 2
√6 √2————
4
sin75° √6 √2tg75°—————————
cos75° √6 √2
18.Si tg 2 i tg 3, calcula tg ( ), tg ( ), tg 2 i tg 2 .
tgtg 23 tg( )—————————— 1 1tg tg 12 3
tgtg 23 1 tg( )—————————— —— 1tg tg 12 3 7
2tg 2 2 4 4 tg2 —————————— — 1tg2 122 3 3
2tg 2 3 6 3 tg2 —————————— — 1tg2 132 8 4
19. Demostra que sin 90° 1 utilitzant l’expressió que obtinguis de sin 3 a partir de sin i cos i substituint després per 30°.
sin90°sin(3 30°)
sin3 sin(2 )
sincos2 cossin2
sin(cos2 sin2)
cos 2 sin cos sin3 3 sin cos2
1 1 √3sin90° —
3
3———2
2 2 2
1 9 ——1
8 8
320.Sabent que sin — i 0° 90°, troba: 5
sin —, cos — i tg —
2 2 2
L’angleéseldelprimerquadranti—també.Pertant,les
2 tresraonstrigonomètriquessónpositives:
3 3 4sin —;cos √
1—2
— 5 5 5
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd34 34 15/2/08 10:58:51
35MATEMÀTIQUES 1 LA
4 1— 1cos 5
sin—√
—————√
———— 2 2 2
1√
——
10 4 1— 1cos 5
cos—√
—————√
———— 2 2 2
9√
——
10
1 1tg — √
——
2 9 3
21.Transforma en producte:
a) 1 sin
Esverifica:1sin90°i1cos0°.Sihiapliquemlesfórmules:
1sin sin90°sin
90° 90° 2cos———— sin————
2 2
b) 1 cos
1cos cos0°cos
0 0 2cos———cos———2cos2—
2 2 2
c) 1 sin
1sin sin90°sin
90° 90° 2sin————cos————
2 2
22.Expressa en forma de producte:
a) sin 105° sin 15°
sin105° sin15°
105°15° 105° 15°2sin—————cos—————
2 2
2sin60°cos45°
b) sin 105° sin 15°
sin105° sin15°
105°15° 105° 15°2cos—————sin—————
2 2
2cos60°sin45°
23.Considera dos angles i tals que sin sin . Comprova que es verifica la igualtat:
tg ——— sin sin 2
——————— ————— sin sin tg ——— 2
Desenvolupemlasegonapartdelaigualtat:
2sin———cos——— sin sin 2 2
——————————————————––––– sin sin 2cos———sin——— 2 2
sin——— cos——— 2 2
—————— —————— cos——— sin——— 2 2
Lasegonafraccióéslainversadetg———. 2 Pertant,esverifica: tg——— sin sin 2
———————————— sin sin tg——— 2
24.Si coneixem els tres angles d’un triangle, està determinat? Per què? Com són entre ells els diferents triangles que pots dibuixar amb aquestes dades?
Siesconeixenelstresanglesd’untriangle,aquestnoésúnic.Espodendibuixarmoltstrianglestotssemblantsentreells.
25.Un dels costats d’un triangle és a i els altres dos són 2 a i 3 a. Està determinat el triangle? Intenta dibuixarlo.
3a2aa.Lalongituddelcostatmésgranésigualalasumadelsaltresdos.Perpoderdeterminareltrianglecalqueaquestalongitudsiguiméspetita.
26.Dibuixa dos segments de longituds 3 i 5 cm i un angle de 60°. Construeix tots els triangles possibles en cadascuna d’aquestes situacions:
a) Quan l’angle és el que determinen els dos costats.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd35 35 15/2/08 10:58:52
36 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) Quan no ho és. Raona cada construcció.
27.Resol el triangle en què coneixem a 4 cm, c 8 cm i B 75°.
Hiapliquemlafórmuladelteoremadelcosinus:
b2a2c22 accosB
b242822 4 8 cos60° →b6,93cm
Percalcularunangledeltrianglecalaïllarelcosinusenlafór-mula:
b2c2a2 6,9328242
cosA—————————————— 2 b c 2 6,93 8
0,867 → A30°
B180°60°30°90°(aproximacionsalescentèsimes).
28.Els costats d’un triangle mesuren a 24 cm, b 30 cm i c 45 cm. Està determinat el triangle? En cas afirmatiu, calcula’n els tres angles.
Eltriangleestàdeterminat,jaque:
452430
Percalcularelsanglesdeltriangle,hiapliquemduesvegadeslafórmulaanterior:
b2c2a2 302452242
cosA—————————————— 2 b c 2 30 45
0,87 → A29,54°
c2a2b2 452242302
cosB—————————————— 2 c a 2 45 24
0,79 → B38,05°
C180°(29,54°38,05°)112,41°
29.Realitzant el mínim nombre de càlculs possible, classifica aquests triangles segons els seus angles:
a) a 8 cm, b 7 cm i c 6 cm
827262 → Eltriangleésacutangle.
b) a 5 cm, b 13 cm i c 12 cm
13252122 → Eltriangleésrectangle.
Calcompararelquadratdelcostatmésllargamblasumadelsquadratsdelsaltresdos.
c) a 20 cm, b 10 cm i c 6 cm
Noformentriangle,jaque20106.
30.Construeix un triangle en què B 56°, C 80° i b 12 cm. Resol aquest triangle calculantne les mesures dels altres elements.
ElselementsquehifaltensónA180°(56°80°)44°ielscostatsaicquesurtend’aplicar-hielteoremadelsinus:
a b c——— —————— →
sinA sinB sinC
a 12 c→ ————————————
sin44° sin56° sin80°
12 sin44°a—————10,05cm
sin56°
12 sin80°c—————14,25cm
sin56°
31.Utilitza el teorema del sinus per resoldre un triangle en què a 5 cm, b 8 cm i A 35,5°. Pots resoldre’l mitjantçant el teorema del cosinus?
5 8 c—————————— →
sin35,5° sinB sinC
8 sin35,5°→ sinB—————0,93 → B68,3°
5
L’angleC180°(35,5°68,30°)76,2°
5 c———————— →
sin35,5° sin76,2°
5 sin76,2°→ c—————— 8,36cm
sin35,5°
S’hipotaplicartambéelteoremadelcosinus,peròelscàlculssónmésllargs.
32.Un dels angles aguts d’un triangle rectangle mesura 35° i un dels catets, 6 cm. Utilitza el teorema del sinus per resoldre aquest triangle i comprova que obtens els mateixos resultats que amb el procediment que coneixes de l’etapa anterior.
A90°,b6cm,B35°,C55°
a 6 c————————————
sin90° sin35° sin55°
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd36 36 15/2/08 10:58:54
37MATEMÀTIQUES 1 LA
Comquesin90°1,aleshores: 6
a————10,46cm sin35°
casin55°10,46 0,828,58cm
Sónlesmateixesexpressionsquelesdelstrianglesrectangles.
33.Resol el triangle en què a 24 cm, b 15 cm i A 125°. Calcula’n l’àrea.
24 15 15 sin125°—————— → sinB——————
sin125° sinB 24
0,51 → B30,8°
C180°(125°30,8°)24,2°
24 c—————————— →
sin125° sin24,2°
24 sin24,2°→ c———————12cm
sin125°
Peral’àrea:
1S—b csinA
2
1— 15 12sin125°73,8cm2
2
34. Dos motoristes surten d’un encreuament de dues carreteres sense corbes i que formen un angle de 55°. Els motoristes es desplacen amb velocitats constants de 90 i 120 km/h, respectivament. Quina distància els separarà després de tres minuts?
Calcalcularlesdistànciesrecorregudespercadamotoristaen3minuts.Aquestesdistànciessóndoscostatsd’untriangleenelquall’anglecomprèsésde55°C.
km 1ha90————— 3min4,5km
h 60min
km 1hb120————— 3min6km
h 60min
c2a2b22 a bcosC
4,5262 2 4,5 6cos55°
c5,03km
35.Una sequoia de Califòrnia es veu des d’un cert punt sota un angle de 36° i, si ens hi acostem 35 m, es veu sota un angle de 44°. Calcula l’alçària de l’arbre.
a 35——————— → a147,82m
sin36° sin8°
h—sin44° →
a
→ hasin44°102,68m
Lasequoiafa102,68m.
36.Calcula l’àrea d’un polígon regular de 15 costats si cada costat mesura 2 cm.
Descomposem el polígon en 15 triangles isòsceles iguals. En 360°
cadatriangle,l’angledesigualfa———24°,icadascundels 180°24° 15
altresdosfa——————78°. 2
2 b———————— →
sin24° sin78°
→ b4,8cm
2 4,8 sin78°A———————4,7cm2
2
Àreadelpolígon:15 4,770,5cm2
37.Les diagonals d’un paral.lelogram mesuren 16 cm i 12 cm respectivament. Un dels angles que determinen és de 40°. Calcula la longitud dels costats del paral.lelogram i el seu perímetre. Recorda que les diagonals dels paral.lelograms es tallen en el seu punt mitjà.
a282622 8 6cos40°
b282622 8 6cos140°
a5,14cm
b13,17cm
P=2a+2b=36,62cm
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd37 37 15/2/08 10:58:56
38 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Activitatsfinals 1.Un angle agut és tal que tg 3. Representa’l a la cir
cumferència unitat i troba sin i cos sense utilitzar la calculadora.
sintg 3——— → sin 3cos
cos
sin2cos21 →
→ (3cos)2cos21
9cos2cos21 → 1
→ 10cos21 → cos—— √10
1 3sin3 ——————
√10 √10
2.Representa tots els angles positius més petits de 360° tals que sin 0,5.
Esrepresentay 0,5enelgràficdelacircumferènciaunitat.
3.Si 90° 180° i cos 0,8, calcula: sin , tg , cos (), sin () i tg ().
L’angleésdelsegonquadrant:sin 0itg 0.
cos 0,8 → sin2 1cos2
1 (0,8)20,36 → sin 0,6
0,6tg ——— 0,75
0,8
cos()cos 0,8
sin() sin 0,6
tg() tg 0,75
4.Quins angles del segon, tercer i quart quadrant tenen les raons trigonomètriques relacionades amb les de l’angle 35°? Escriu totes les relacions possibles entre les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles i les de 35°.
Segonquadrant:180°35°145°
sin145°sin35°;cos145° cos35°;
tg145° tg35°
Tercerquadrant:180°35°215°
sin215° sin35°;cos215° cos35°;
tg215°tg35°
Quartquadrant:360°35°325°
sin325° sin35°;cos325°cos35°;
tg325° tg35°
5.Calcula les raons trigonomètriques de l’angle de 15° en funció de les de l’angle de 30°. Després, comprova amb la calculadora que els resultats que has obtingut són correctes.
30°15°——
2
Utilitzemlesfórmulesdel’angleunitat:
1cos30°sin15°√
——————0,259
2
1cos30°cos15°√
——————0,966
2
0,259 tg15°——— 0,268. Cal fer-ne la comprovació amb la
0,966 calculadora.
6.Considera un angle del tercer quadrant tal que tg 2.
Indica a quin quadrant es troben els angles 2 i —. Calcula 2
cos , sin 2 i cos —. 2
tg 2ideltercerquadrantindicaque225°270°,jaquetg225°1.N’hihaprouambferoperacionsenlade-sigualtat:
450°2 540°.Sirestem360°:
90°2 180° → segonquadrant
112,5°—135° → —ésdelsegonquadrant. 2 2
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd38 38 15/2/08 10:58:58
39MATEMÀTIQUES 1 LA
sin tg 2——— → sin 2cosi
cos sin2 cos2 1 → (2cos)2cos2 1 1 2 5cos2 1→ cos ——;sin ——→ √5 √5 → ésdeltercerquadrant.
2 1 4 sin2 2sincos 2 —— —— —— √5 √5
5
1coscos— √
————— 0,53
2 2
7.Demostra que sin 40° sin 20° cos 10°, aplicant la corresponent fórmula de transformació de suma en producte.
Hiapliquem: AB AB
sinAsinB2sin———cos——— 2 2
sin40°sin20°2sin30°cos10° 1
2 —cos10°cos10° 2
8.Demostra que la constant de proporcionalitat del teorema del sinus és 2 R, essent R el radi de la circumferència circumscrita al triangle. Per ferho, inscriu el triangle en una circumferència i compara’n els angles inscrits amb els d’un triangle en què un costat sigui un diàmetre de la circumferència.
EltriangleABCésrectangleperquèABésundiàmetre.
A
Aperquècomprènelmateixarc.
a asin
A sin
A— → ———d2 R d sin
A
9.Mirant des d’un cert punt, veiem el terrat d’un gratacels sota un angle de 60°. Amb quin angle el veuríem des d’una distància doble de l’anterior?
h Sihésl’alturaidladistància:tg60°— d h h
d———itg —— → tg60° 2 d h h h
→ 2 d—— → 2————— tg tg60° tg
2tg tg60° →
tg60°→ tg ——— → 40,89°
2
10.A un fuster li han encarregat un tauler triangular. Dos dels costats d’aquest triangle han de mesurar 1 m i 1,75 m i l’angle oposat al primer costat, 30°. Té dades suficients el fuster per fer el tauler? Raona la resposta.
Amblesdadesdelproblemanoespotferunúnictauler,talcomespotcomprovarenlafigura.
11.El radar d’un vaixell detecta un objecte en direcció est a 8 km de distància i un altre objecte en direcció nordest a 6 km. Quina distància separa els dos objectes?
Lesduesdireccionsformenunanglede45°.Calcalcularelcos-tatd’untriangleoposatal’anglede45°.Sabemqueelsaltresdossón8kmi6km.
a282622 8 6cos45° → a5,67km
12.Per fixar un pal a terra se’l subjecta mitjançant dos cables per dos punts separats 20 m. Els cables formen amb el terra angles de 75° i 60°. Determina l’altura del pal.
a 20—————— → a27,32m
sin75° sin45°
hsin60°— →
a
→ ha sin60°23,66m
L’alturadelpalés:23,66m.
13.Un jugador de golf colpeja la pilota des de la posició de sortida per tal d’introduirla al forat, que es troba a 350 m. El cop no ha estat gaire precís i la pilota, que s’ha desviat 20° de la direcció correcta, només ha assolit una distància de 180 m. A quina distància del forat s’ha aturat la pilota?
d 2180235022 180 350cos20°
d191,05m
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd39 39 15/2/08 10:59:01
40 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
14.Construeix un triangle de costats 10, 35 i 39 cm. Quant mesuren els seus angles?
Considerem:
a10cm,b35cmic39cm.
1023523922 35 39cosA →→ A14,25°
Podemrepetirelteoremadelcosinusoaplicareldelsinuspertrobarl’angleB:
35 10———————— → B59,49°
sinB sin14,25°
C180°(14,25°59,49°)106,26°
15.Dues persones, separades una distància de 5 km, observen alhora un avió sota angles de 80° i 65° respectivament. Suposant que les persones i l’avió es troben en el mateix pla vertical, calcula l’altura a què vola l’avió.
Lafiguraseriacomladel’exercici12.Eltercerangleés35°:
a 5———————— → a8,58km
sin80° sin35°
hsin65°— →
a
→ ha sin65°7,78km
16.Dibuixa el triangle ABC en què a 12 cm, b 15 cm i A 48°. Resol aquest triangle.
a b c————————— →
sinA sinB sinC
12 15 15 sin48° → —————— → sinB————— sin48° sinB 12
B68,27°
C180°(68,27°48°)63,73°
12 c————————— →
sin48° sin63,73°
12 sin63,73°→ c———————14,48cm
sin48°
17.Construeix el triangle ABC tal que B 40°, C 63° i a 12 cm. Resol el triangle i calcula’n l’àrea.
A180°(40°63°)77°
12 b c————————— →
sin77° sin40° sin63°
12 sin40°→ b—————7,92cm
sin77°
12 sin63° c—————10,97cm sin77°
18.Explica el procediment que seguiries per calcular la longitud d’un pont que cal construir per salvar un barranc.
DesdelspuntsBiCqualssevoldelafiguraesmesurenelsangles
Bi
C.Apartirdelalongitudaespotmesurarl’ampladaquecalquetinguielpontuncopresolteltriangledelafigura.
19.Una parcel.la de 6 ha té forma de trapezi rectangle. Un dels costats paral.lels del trapezi mesura 500 m i l’angle adjacent, 60°. Calcula quants metres de tanca es necessiten per cercar la parcel.la.
Amblesincògnitesdelafiguraespodenplantejarlesequacionssegüents:
Àrea:6ha60 000m2 →
(500z)y→ ——————60 000
2 y —sin60°0,87 k
500z 1 6 ————cos60°— k 2
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd40 40 15/2/08 10:59:04
41MATEMÀTIQUES 1 LA
Enresoldreelsistemas’obté:
k149,78m
y129,71m
z425,11m
Calcalcularelperímetrepertenirelsmetresdetanca:
Pkyz5001204,6m
20.Es vol construir un túnel que travessi una muntanya en línia recta. Per tal de determinarne la longitud, es considera un punt A d’una de les boques del túnel i un al tre punt B de l’altra boca, i es mesura la distància de cadascun d’aquests punts a un altre punt O. S’obtenen 315 m i 375 m, respectivament. Si les direccions OA i OB formen un angle de 46° 54, quina és la longitud del túnel?
L’ampladadeltúneléselcostatoposatal’angle46°54ileslongitudsdonadescorresponenalsaltresdoscostats:
a2315237522 315 375cos46°54
a280,05m
21.Una torre de telecomunicacions es troba situada a la part més alta d’una muntanya. Situats en una plataforma, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 60°. Si ens apropem 13 m, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 68° i, des d’aquest mateix punt, es veu la base de la torre sota un angle de 57°. Amb aquestes dades, calcula l’alçada de la torre.
13 a—————— → a80,89m
sin8° sin60°
h 80,89———————→ h28,34m
sin11° sin147°
L’alturadelatorreésde28,34m.
Avaluació
1. La hipotenusa d’un triangle rectangle és el triple que un catet. Busqueu el valor dels angles d’aquest triangle i la relació entre la hipotenusa i l’altre catet.
Angles:
A90º(anglerecte).
B(angleagutentreelscostats3xix):
cos
B$ $1cos 70,53º
3 3x
B Bx
= = → =
B70,53º
C90º
B90º 70,53º 19,47º
Càlculdelcatetc:ApliquemelteoremadePitàgores:
( )22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 9
9 8 8 2 2
a b c x x c x x c
c x x x c x x
= + → = + → = +
= − = → = =
Relacióentrelahipotenusail’altrecatet:
3 3 3 2 3 242 2 2 2 2 2 2
h xc x
= = = ⋅ =
2. Els costats d’un triangle són de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del sinus de l’angle més petit.
Anomenem:a=8cm,b=11cm,c=13cm
Apliquemelteoremadelcosinuspertrobarl’angle
A:
a2b2c22bc·cos
A
821121322·11·13·cos
A
64290 286·cos
A
290 64 226cos
A ————————— 0,79020979→
A 37,8º 286 286
Trobeml’angle
Bambelteoremadelsinus:
a b—————— sin
A sin
B
8 11 11·sin37,8º————————→ sin
B —————— sin37,8º sin
B 8
11·0,612907 6,74197759 —————— —————— 0,842747198→
B 57,4º 8 8
Deduïmquel’angleméspetitésl’
Aillavorssin
A 0,612907
1 3. D’un angle del primer quadrant coneixeu que sin — . 3
Calculeu el valor exacte de:
a) tg
Apliquemlaigualtatfonamentaldelatrigonometria:2 2
2 2 2 21 1sin cos 1 cos 1 cos 1
3 3 α + α = → + α = → α = −
2 1 8 8 8 2 2cos 1 cos ( )
9 9 9 3 3primer quadrantα = − = → α = + = + = +
2 1 8 8 8 2 2cos 1 cos ( )
9 9 9 3 3primer quadrantα = − = → α = + = + = +
(primerquadrant)
tg
1sin 1 1 2 23cos 42 2 2 2 2 2 2
3
tgαα = = = = ⋅ =α
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd41 41 15/2/08 10:59:06
42 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) sin (2 a)
Apliquemlafórmulad’addiciódel’angledoble:
1 2 2 4 2sin(2 ) 2sin cos 2
3 3 9α = α ⋅ α = ⋅ ⋅ =
4. D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos costats a i b és d’11 m, que l’angle C oposat al tercer costat val 30º i que l’area és de 7 m2. Calculeu
a) La longitud de cada un dels costats del triangle.
Tenimqueab11.Sidesignemperhl’alturasobreelcostataescompleix:
11sin30º
2 2b a
h b−= ⋅ = =
de forma que la condició sobre l’àrea del triangle, que esposaràinicialmentcom
72
a h⋅ =
dónafinalment
2 11 28 0a a− + =
quetécomasolucionsa7ib4.Totesduessolucionssónequivalents,intercanviantelspapersdeaib,deformaquetriarema7ib4.
Eltercercostatcespotobteniraplicantelteoremadelco-sinus:
2 2 2 2 cos30º 65 28 3 4,062336443mc a b a b c= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − �
4,0623364432 2 2 2 cos30º 65 28 3 4,062336443mc a b a b c= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − �
b) Els angles del triangle.
Siesdesignaper α l’angleentreelscostatsbicelteoremadelcosinustambédóna:
2 2 2
cos 0,50763344122
b c ab c
+ −α = −⋅ ⋅
�, 0,5076334412,
de forma que 120,51º L’angle que resta serà
180º30º 29,49º
jUnitat4.Vectorsenelpla
Activitats 1. Compara els sentits dels parells de vectors (fig. 4.2) se
güents:
→p i
→q
→q i
→r
→q i
→s
→pi
→qsentitcontrari;
→qi
→rsentitcontrari;
→qi
→smateixsentit.
2. Dibuixa dos vectors que tinguin el mateix mòdul, la mateixa direcció i els sentits contraris.
3. Dibuixa dos vectors que tinguin diferent mòdul i diferent direcció. Pots compararne els sentits?
No,perquèelssentitsdedosvectorsnoméssóncomparablessitenenlamateixadirecció.
4.Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas fesne la representació gràfica.
a) AB→
amb A (2, 4) i B (6, 10)
AB→
(6(2),104)(8,6)
AB→
√8262 10
b) CD→
amb C (6, 2) i D (3, 2)
CD→
(36,22)(3,4)
CD→
√(3)2(4)2 5
c) EF→
amb E (0, 0) i F (1, 3)
EF→
(1,3)
EF→
√(1)2(3)2 √10
d) GH→
amb G (1, 2) i H (4, 9)
GH→
(4(1),9(2))(3,7)
GH→
√(3)2(7)2 √58
5.Es pot definir el vector nul com aquell que té l’origen i l’extrem en el mateix punt. Quins són els components cartesians i el mòdul del vector nul?
Elscomponentscartesiansdelvectornulsón(0,0)ielmòdulés0.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd42 42 15/2/08 10:59:07
43MATEMÀTIQUES 1 LA
6.Sabent que RS→
(4, 7) i R (6, 2), determina les coordenades del punt S analíticament i gràficament.
AnomenemS(x,y)
RS→
(4,7),ambR(6,2)
(4,7)(x6,y2) →
4x6 → x10 → → 7y2 → y5
→ S(10,5)
7. Donats els punts P (5, 2) i Q (8, 2), troba els components
cartesians i el mòdul dels vectors PQ→
i QP→
. Representa’ls gràficament i compara’n el mòdul, la direcció i el sentit.
PQ→
(85,2(2))(3,4)
PQ→
√ 32425
QP→
(58,22)(3,4)
QP→
√(3)2(4)25
ElsvectorsPQ→
iQP→
tenenelmateixmòdul,lamateixadireccióisentitscontraris.
8.Les coordenades de l’extrem del vector AB→
(5, 3) són (1, 4). Determina’n les coordenades de l’origen. Fes la resolució gràfica i l’analítica.
AnomenemA(x,y)
(5,3)(1x,4y) 51x → x4
34y → y7
A(4,7)
9.Representa gràficament els vectors:
a) MN→
(5, 3) amb M (1, 2)
AnomenemN(x,y)
(5,3)(x1,y2)
x4;y5
N(4,5)
b) PQ→
(1, 4) amb Q (2, 5)
AnomenemP(x,y)
(1,4)(2x,5y)
x3;y9
P(3,9)
c) RS→
(2, 3) amb R (1, 4)
AnomenemS(x,y)
(2,3)(x1,y4)
x1;y7
S(1,7)
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd43 43 15/2/08 10:59:09
44 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
10.Si F→
40 N, troba els components cartesians d’aquesta força (fig. 4.13).
√2FxF
→
cos45°40——20√2 2
√2FyF
→
sin45°40——20√2 2
6F→
(20√2 ,20√2 )N
11.Expressa en forma polar el vector posició de cadascun dels punts següents:
a) (1, 1)
Mòdul:√2
Argument:tg1 → 315°6√2315°
b) (1, 1)
Mòdul:√2
Argument:tg1 → 135°6√2135°
c) (1, √3 )
Mòdul:2
Argument:tg√3 → 240°62240°
d) (√2, √2 )
Mòdul:2
Argument:tg1 → 45°6245°
e) (5, 12)
Mòdul:13 12 Argument:tg—— → 67,38°6 5
1367,38°
f) (8, 6)
Mòdul:10
3 Argument:tg— → 143,13°6 4
10143,13°
12.Calcula les coordenades cartesianes dels punts M,N,Ri S els vectors posició dels quals són, respectivament:
→m 645°
→n 4150°
→r 2240°
→s 10300°
√2mx
→mcos45°6——3√2
2
√2my
→msin45°6——3√2
2 6
M(3√2,3√2)
√3nx
→ncos150°4——2√3
2
1ny
→nsin150°4—2
26
N(2√3,2)
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd44 44 15/2/08 10:59:10
45MATEMÀTIQUES 1 LA
1rx
→rcos240°2—1
2
√3ry
→rsin240°2——√3
26
R(1,√3)
1sx
→scos300°10—5
2
√3sy
→ssin300°10——5√3
2 6S(5,5√3)
13.El vector →r té l’origen en el punt (0, 1) i l’extrem en el punt
(2, 3). El vector →t, equipolent a l’anterior, té l’origen en el
punt (2, 4). Troba’n les coordenades de l’extrem.→r(20,31)(2,4)
Representem per (x, y) les coordenades de l’extrem del vector
→t:
→t (x2,y4)
Comque→ri
→tsónequipolents,esverifica:
(2,4)(x2,y4) → x4,y8
L’extremdelvector→téselpunt(4,8).
14.Dibuixa els vectors →r i
→t de l’exercici anterior i uneixne,
mitjançant segments, els punts origen i els punts extrem. Quina figura obtens?
S’obtéunparal.lelogram.
15.Considera els punts A (3, 2), B (5, 4), C (1, 5) i D (x, y). Calcula les coordenades del punt D sabent que els vectors
AB→
i CD→
són equipol·lents.
AB→
(53,42)(2,6)
CD→
(x1,y5) 6
(2,6)(x1,y5) → x3,y1
D(3,1)
LescoordenadesdelpuntDsónD(3,1).
16.Els punts A, B i C de la figura 4.15 són tres vèrtexs consecutius d’un paral.lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D.
AnomenemD(x,y).
A(2,3); B(2,6); C(4,4)
Escompleixque:
AB→
DC→
→ (4,3)(4x,4y) →→ x0,y1
Elquartvèrtexdelparal.lelogramsesituaenelpuntD(0,1).
17.Donats els vectors:→a (2, 4),
→b (5, 7) i
→c (7, 1)
comprova que es verifica:
a) →a
→b
→b
→a
b) →a (
→b
→c) (
→a
→b)
→c
c) 2(→a
→b) 2
→a 2
→b
d) (3 4)→c 3
→c 4
→c
e) →a
→b (
→b
→a)
1 f) —(4
→a) 2
→a
2
Elsresultatsques’obtenenenelsdosmembresdecadascunadelesigualtatssón:
a)(3,3); b)(4,2); c)(6,6); d)(49,7);e)(7,11);f)(4,8)
18.Determina els components dels vectors 3→v i 4
→v si
→v (3, 2). Compara el mòdul, la direcció i el sentit de cadascun dels dos vectors amb el mòdul, la direcció i el sentit del vector
→v.
3→v3(3,2)(9,6)
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd45 45 15/2/08 10:59:11
46 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Mòdul:3→v3
→v
3→v Direcció:lamateixaque
→v
Sentit:elmateixque→v
4→v4(3,2)(12,8)
Mòdul:4→v4
→v
4→v Direcció:lamateixaque
→v
Sentit:l’oposata→v
19.Si →p (4, 2) i
→q (2, 3), quins són els components del
vector →s
→p
→q? Dibuixa els vectors
→p i
→q amb origen
a l’origen de coordenades i troba gràficament el vector →s.
Comprova que coincideix amb el resultat que havies obtingut. Calcula el mòdul dels vectors
→p,
→q i
→s, i comprova que es
verifica →s
→p
→q.
→s
→p
→q(4,2)(2,3)(2,5)
→p√4222 √20 2√5
→q√(2)232 √13
→s√2252 √29
6 Escompleixque:
√292√5√13
20.Donats els vectors →c (2, 7) i
→
d (5, 3), troba els components dels vectors 2
→c 3
→
d i 3→c 2
→
d.
2→c3
→d 2(2,7)3(5,3)
(4,14)(15,9) (11,5)
3→c2
→d 3(2,7)2(5,3)
(6,21) (10,6)=(–16,27)
21.S’anomenen vectors unitaris els vectors que tenen mòdul 1. Quin és el mòdul del vector
→v (3, 4)?
3 4 Comprova que el vector
→u —, — és unitari i que té la
5 5 mateixa direcció i el mateix sentit que el vector
→v. Hi ha un
altre vector unitari en la mateixa direcció que →v? Quin?
→v√32425
3 4
→u√
—
2
—2
1 5 5
Esverificaque→v5
→u.Pertant,elsvectors
→vi
→utenenlama-
teixadireccióielmateixsentit(50).
3 4 Elvector
→u—,—
→utétambélamateixadirecció
5 5 queelvector
→vitambéésunitari.
22.Raona per què el vector
1→u
→v—
→u
→v
és un vector unitari que té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector
→v.
1 1 Si
→u—
→v,
→u—
→v1.
→v
→v
Escompleixque→v
→v
→u,amb
→v0.Pertant,elvector
→ués
unitariitélamateixadireccióielmateixsentitqueelvector→v.
Determina els vectors unitaris en la direcció i el sentit dels vectors:
a) →a (5, 12)
→a√52(12)2 13 →
5 12→
→u——,——
13 13
b) →
b (6, 8)
→b√(6)282 10 →
3 4→
→u—,—
5 5
c) →c (2, 4)
→c√(2)2(4)2 √20 2√5 →
√5 2√5→
→u——,———
5 5
d) →d (1, √3)
→d√ 12(√3)22 →
1 √3→
→u—,——
2 2
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd46 46 15/2/08 10:59:13
47MATEMÀTIQUES 1 LA
23.Donats els vectors →a (4, 1) i
→
b (2, 3), troba’n les combinacions lineals següents:
a) 3→a 2
→b
3→a2
→
b3→a2(
→
b)
3(4,1)2(2,3)(8,9)
1 2 b) —
→a —
→
b 2 3
1 2 1 2 —
→a—
→b—(4,1)—(2,3)
2 3 2 3 10 3
——,— 3 2
c) →a 5
→b
→a 5
→b (4,1) 5(2,3) (6,16)
24.Esbrina si són linealment dependents o independents els parells de vectors següents:
a) (4, 7) i (8, 14)
4 7—— —— → linealmentindependents
8 14
b) (3, 0) i (1, 0)
(3,0) 3(1,0) → linealmentdependents
c) (5, 2) i (5, 2)
5 2—— —— → linealmentdependents
5 5
1 4 d) —, 3 i 2, — 2 3
1 — 2 3
—— —— → linealmentindependents 2 4 — 3
25.Els vectors (5, 4) i (2, a) són linealment dependents. Calcula a.
5 4 8—— — → 5a 8 → a—
2 a 5
26.Els vectors (4, 7) i (x, 14) són linealment independents. Quins valors pot tenir x?
4 7 4 1— —— → — — → x 8
x 14 x 2
xpotprendrequalsevolvalorrealdiferentde8.
27.Demostra que els vectors (1, 2), (2, 4) i (2, 1) són linealment dependents.
N’expressemunencombinaciólinealdelsaltresdos:
(2,4)k(1,2)h(2,1)
2k2h k2,h0 42kh
6 Llavorsescompleixque
(2,4)2(1,2)0(2,1)2(1,2)
ésadir,elstresvectorssónlinealmentdependents.
28.Representa gràficament els vectors de l’exercici anterior prenent per a tots ells el mateix origen.
29.Expressa el vector (2, 7) en combinació lineal dels vectors (1, 3) i (2, 1).
(2,7)k(1,3)h(2,1)
2k2h 16 1 k——, h—— 73kh6 7 7
16 1(2,7)——(1,3)——(2,1)
7 7
30.Sense fer cap càlcul, expressa els vectors →c,
→d i
→e en combi
nació lineal dels vectors →a i
→b (fig. 4.24).
→c2
→a
→d4
→a2
→b
→e2
→a2
→b
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd47 47 15/2/08 10:59:14
48 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
31.Quins dels parells de vectors següents són una base del pla? Justifica’n la resposta.
a) (1, 4) i (2, 8) b) (2, 0) i (1, 4)
c) (3, 2) i (1, 5) d) (1, 0) i (3, 0)
Elsdelsapartatsb)ic),jaquesónparellsdevectorslinealmentindependents.
2 0 3 2 b) —— c) ——— 1 4 1 5
32.Els components del vector →p en la base:
B{(4, 1), (5, 2)}
són (3, 1). Determina els components de →p en la base
canònica.→p3(4,1)(1)(5,2)
(12,3)(5,2)(7,5)
Elscomponentsde→penlabasecanònicasón(7,5).
33.Troba els components del vector (7, 7) en la base B{
→u1,
→u2}, on
→u1(3, 1) i
→u2 (1, 2). Comprova gràfi
cament el resultat obtingut prenent un origen comú per als tres vectors.
Expressemelvector(7,7)encombinaciólinealdelsvectorsdelabaseB:
(7,7)ku1hu2k(3,1)h(1,2)
(7,7)(3k,k)(h,2h)
(7,7)(3kh,k2h)
73kh k3;h2 7k2h6 Elscomponentsdelvector(7,7)enlabaseBsón(3,2)
(7,7)3→u12
→u2
34.Indica tots els parells de vectors de la figura 4.29 que són una base del pla. Raona la resposta.
→ai
→c;
→ai
→d;
→ai
→e;
→bi
→c;
→bi
→d;
→bi
→e;
→ci
→d;
→ci
→e;
→di
→e
Entotselscasosestractadeparellsdevectorslinealmentin-dependents(tenendiferentdirecció).
35.Donats els vectors →p (3, 4) i
→q (2, 1), calcula:
a) El seu producte escalar.→p•
→q32(4)1642
b) L’angle que formen.
→p•
→q 2 2√5
cos——————————— →
→p
→q 5√5 25
→ 79,7°
c) L’angle format pels vectors →p i
→q. Resol aquest apartat de
diferents maneres i compara’n els resultats obtinguts.
L’anglequeformenelsvectors→pi
→qéselsuplementaride
l’angle.Sielrepresentemper:
180°
180°79,70°100,3°
d) L’angle que formen els vectors →p i
→q.
L’anglequeformenelsvectors→pi
→qéselmateixqueel
queformenelsvectors→pi
→q:
79,7°
36.Donats els vectors →a (1, 2),
→b (3, 4) i
→c (2, 5),
comprova que es verifica la igualtat:→a•(
→b
→c)
→a•
→b
→a•
→c
Primermembre:→a•(
→b
→c)(1,2)•[(3,4)(2,5)]
(1,2)•(1,9)11817
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd48 48 15/2/08 10:59:15
49MATEMÀTIQUES 1 LA
Segonmembre:→a•
→b
→a•
→c
(1,2)•(3,4)(1,2)•(2,5)
51217→a•(
→b
→c)
→a•
→b
→a•
→c
37.El resultat de (→v•
→w)
→
t, és un nombre real o un vector? Per què? Fes els càlculs per a
→
v (2, 4), →
w (1, 1) i
→
t (4, 3).
Ésunvector,jaqueéselresultatdemultiplicarunnombrereal(
→v•
→w)perunvector(
→t).
(→v•
→w)
→t[(2,4)•(1,1)](4,3)
2(4,3)(8,6)
38.Donats els vectors →a (2, 1),
→b (3, 4) i el nombre real
k 3, comprova que es verifica (k→a)•
→b k(
→a•
→b).
Primermembre:
(k→a)•
→b[3(2,1)]•(3,4)
(6,3)•(3,4) 1812 6
Segonmembre:
k(→a•
→b)3[(2,1)•(3,4)]
3(2)6
39.Demostra que el triangle de vèrtexs els punts A (1, 2), B (6, 5) i C (3, 10) és rectangle en B. Quant mesuren els altres dos angles del triangle?
SiésrectangleenB,
B90°.AleshoreselsvectorsBC→
iBA→
handeserperpendiculars → BC
→•BA→
0.
BC→
(3,5);BA→
(5,3)
BC→
•BA→
15150
ComqueelscatetsBCiBAsóniguals,BC→
BA→
√ 34,eltrianglerectangleésisòscelesi,pertant,
A
C45°.
40.Troba un vector de mòdul 2 que sigui ortogonal al vector →v (4, 3). Analitza les diferents solucions que has obtingut.
Hihadosvectorsperpendicularsalvector→vquetenenelmateix
mòdulqueaquest vector:→w1 (3,4) i
→w2 (3,4). Els
vectors→w1i
→w2tenenlamateixadireccióisentitcontrari.
Comque→w1
→w25,elsvectorsqueensdemanensón:
2 2 6 8→t1—
→w1—(3,4)—,— 5 5 5 5
2 2 6 8→t2—
→w2—(3,4)—,— 5 5 5 5
Elproblematé,doncs,duessolucions.
41.Els punts A (1, 2), B (3, 5) i C (7, 4) són tres vèrtexs consecutius d’un paralel.logram. Troba les coordenades del quart vèrtex i les del punt intersecció de les diagonals. Fesne la representació gràfica.
AnomenemD(x,y)elquartvèrtexdelparal-lelogram.
AB→
DC→
→ (2,3)(7x,4y) →→ x5,y1 → D(5,1)
Lescoordenadesdelpuntintersecciódelesdiagonalsdelpa-ral.lelogram són les coordenades del puntmitjà del segmentd’extremsAiC,obé,BiD.
17 24M————,————(4,3)
2 2
42.Els punts P (3, 7) i Q (5, 13) són els extrems d’un dels diàmetres d’una circumferència. Determina’n les coordenades del centre i calcula’n el radi.
Dibuixa aquesta circumferència.
ElcentreCdelacircumferènciaéselpuntmitjàd’unqualsevoldelsseusdiàmetres.
3 5 713C————,—————(4,3)
2 2
Elradiésladistànciadelcentreaunpuntqualsevoldelacir-cumferència.
rCP→
; CP→
(1,10)
r√(1)2(10)2 √101
5
4
3
2
1
1 3 4 5 7
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd49 49 15/2/08 10:59:17
50 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
43.Troba les coordenades dels punts que divideixen el segment d’extrems A (12, 6) i B (0, 9) en tres parts iguals.
AB→
3AC→
,ambC(x1,y1)
(12,3)3(x112,y16)
(12,3)(3x136,3y118)
123x136 → x18
33y118 → y17
LescoordenadesdelpuntCsón(8,7).
AB→
3DB→
,ambD(x2,y2)
(12,3)3(x2,9y2) →→ (12,3)(3x2,273y2)
123x2 → x24
3273y2 → y28
LescoordenadesdelpuntDsón(4,8).
44.Els punts A (2, 5), B (3, 2) i C (1, p) estan alineats. Calcula p.
S’hadeverificarque:AB→
kBC→
:
(1,7)k(4,p2)
11k(4) → k—
4
17k(p2) → 7—(p2) →
4
→ p26
45.Determina les coordenades del baricentre del triangle de vèrtexs els punts P(3, 4), Q (2, 6) i R (4, 10).
LescoordenadesdelbaricentreGdeltrianglesón:
x1x2x3 y1y2y3G———————,——————— 3 3
5—,0 3
Activitatsfinals
1. Donats els punts A (2, 3) i B (5, q), troba q sabent que AB→
5.AB→
(3,q3) →
→ AB→
√32(q 3)2 5
32(q3)252 →
→ (q3)225 916 →
q34 → q7 → q3 √16 q34 → q1
Hihaduessolucionsperalproblema:q17iq21.
1 2. Els vectors AB
→ i BC
→ verifiquen AB
→ —BC
→. Si A (6, 2)
2 i B (0, 4), quines són les coordenades de C? AnomenemC(x,y)
1 1 AB
→—BC
→ → (6,2)—(x,y4) →
2 2
→ (12,4)(x,y4) → x12,y8
LescoordenadesdelpuntCsón(12,8).
3. Calcula els components cartesians del vector 10210°, donat en forma polar.
Representemper→vaquestvector:
vx10cos210°5√3
→v10210°
vy10sin210°5
Pertant,→v(5√3,5).
4. Sabent que F→
1 60 N i F→
2 40 N, calcula perquè el cos de la figura (fig. 4.49) es mogui en la direcció de l’eix X.
Perquèelcosesmoguienladirecciódel’eixOX,calquelasumadelscomponentssegonsl’eixOYdelesforcesF
→
1iF→
2siguiigualazero. 1
F1yF→
1sin30°60—30 2
F2y F→
2sin40sin
F1yF2y0 → 3040sin0 →
3→ sin— → 48,59°
4
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd50 50 15/2/08 10:59:18
51MATEMÀTIQUES 1 LA
5. Donats els vectors →a (5, 7),
→b (3, 6) i
→c (10, 4),
calcula:
a)→a 2
→b 3
→c
(5,7) 2(3,6)3(10,4)
(41,31)
1 b)4
→a —
→c
2 1
4(5,7) —(10,4)(15,26) 2
c)→a•
→b
(5,7)•(3,6)57
d)→b• (
→c
→a)
(3,6)•[(10,4)(5,7)]
(3,6)•(5,3)3
6. Calcula els components cartesians del vector →u que verifica
les condicions següents:
a)És unitari.
b)Té la mateixa direcció que el vector →v (6, 8), però
sentit contrari.
→v√(6)282 10
1 3 4→u——(6,8)—,— 10 5 5
7. Els vectors →v i
→w són ortogonals i tenen el mateix mòdul. Es
brina els components de →w sabent que
→v (5, 2). Quantes
solucions has trobat? Raonaho.
Si els vectors→v i
→w tenen elmateixmòdul i sónortogonals,
→v•
→w0i
→v
→w√29 .
Elproblematéduessolucions:→w1(2,5)i
→w2(2,5).
(5,2)•(wx,wy)0 5wx2wy0
√wx2wy
2 √29 6 wx2wy
2296wx2 → wy5
8. Els components del vector →a en la base B {(1, 3), (2, 1)}
són (5, 2). Quins són els components d’aquest mateix vector en la base B {(4, 1), (3, 2)}?
→a5(1,3)2(2,1)(9,13)
(9,13)k(4,1)h(3,2)
94k3h 21 61 k——; h—— 13k2h6 11 11
Elscomponentsde→aenlabaseBsón:
21 61——,—— 11 11
9. Calcula els components del vector (5, 7) en la base B {(2, 3), (1, 2)}.
(5,7)k(2,3)h(1,2)
52kh 17 1 k——;h— 73k2h6 7 7
17 1 Elscomponentsdelvector(5,7)enlabaseBsón——,—. 7 7
10. Donat el segment d’extrems els punts P (3, 5) i Q (6, 8), troba les coordenades del punt R d’aquest segment que verifica
3
→ PR ——
→ PQ.
10
Representemper(x,y)lescoordenadesdeR:
10PR→
3PQ→
→→ 10(x3,y5) 3(3,13) →
→ (10x30,10y50)(9,39) →
39 11x——;y——
10 10
39 11 LescoordenadesdeRsón——,——. 10 10
11. El baricentre d’un triangle se situa en el punt G (2, 0) i dos dels seus vèrtexs, en els punts A (3, 4) i B (6, 5). Troba les coordenades de l’altre vèrtex C del triangle.
AnomenemC(x,y)eltercervèrtex.
3(6)x2——————––– → x3
3
45y0————— → y9
3
LescoordenadesdeCsón(3,9).
12. Donat el segment que té com a extrems els punts A (3, 6) i B (6, 3), troba les coordenades del punt C, alineat amb A i B,
2 que verifiqui AC
→ —AB
→. Quants punts hi ha que verifiquen
3 aquesta condició?
Hihadospuntsqueverifiquenaquestacondició:
a)ElpuntC1situatentreAiB(C1(x1,y1))
3AC→
12AB→
→→ 3(x13,y16)2(9,9) →
→ x13,y10 → C1(3,0)
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd51 51 15/2/08 10:59:20
52 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b)ElpuntC2situatalarectadeterminadapelspuntsAiBialadretadelpuntA(C2(x2,y2)).
3→
C2A 2AB
→ →
→ 3(3x2,6y2)2(9,9) →→ x29,y212 → C2(9,12)
Elspuntsqueverifiquenlescondicionsdel’enunciatdelpro-blemasónC1(3,0)iC2(9,12).
13.DeterminalamesuradecadascundelsanglesdeltriangledevèrtexselspuntsA(0,0),B(5,1)iC(4,2).
Angle
A → elméspetitdelsanglesqueformenelsvectorsAB→
iAC→
.
AB→
(5,1); AC→
(4,2)
AB→
•AC→
22cos
A———————————— → AB
→
AC→
√26 √20
→
A15,26°
Angle
B → elméspetitdelsanglesquefor-menelsvectorsBC→
iBA→
.BC→
(1,1); BA→
(5,1)
BC→
•BA→
4cos
B——————————→
B56,31° BC
→
BA→
√2 √26
Angle
C →
C180°(
A
B)108,43°
14.Dues rectes perpendiculars r i s es tallen en el punt P(2,3).SabentqueelpuntQ(3,5)pertanyalarectar,calculatperquèlarectaspassipelpuntR(t,1).
ElsvectorsPQ→
iPR→
handeserperpendiculars → PQ→
•PR→
0
PQ→
(1,8);PR→
(t2,13)
PQ→
•PR→
t28(13)0 →
→ t140 → t14
315.Sabentque
→v
→w10isin—,calculaelscompo-
5 nentscartesiansdelvector
→v
→w(fig.4.50).
→v(10cos,10sin);
→w(10cos(),10sin())
(10cos,10sin)→v
→w
(10cos10cos,10sin 10sin)
(20cos,0)
3 4 Sisin— → cos√1 sin2— 5 5
4 Aleshores,
→v
→w20 —,0(16,0)
5
16.Demostra queel baricentreG d’un trianglede vèrtexs elspuntsA (a1,a2),B(b1,b2)iC(c1,c2)estrobaenelpuntdecoordenades:
a1b1c1 a2b2c2——————,—————— 3 3
GC→
2MG→
→ (c1x,c2y)
a1b1 a2b22x————,y———— 2 2
(c1x,c2y)
(2xa1b1,2ya2b2)
c1x2xa1b1 →
a1b1c1→ x——————–– 3
c2y2ya2b2 →
a2b2c2→ y—————— 3
Avaluació
1.DonatselspuntsQ(3,2)iR(21,5),quinescoordenadeshadetenirelpuntPpertalque3
→ PQ 2
→ QR
→
0.
AnomenemelpuntP(x,y).
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd52 52 25/2/08 16:37:33
53MATEMÀTIQUES 1 LA
→ PQ QP(3,2)(x,y)(3x,2y)→ QR RQ(1,5)(3,2)(4,3)
S’hadecomplir:3→ PQ 2
→ QR
→
0
3(3 x,2 y)2(4,3) →
0
(9 3x,6 3y)(8,6) →
0
(9 3x 8,6 3y 6) →
0
(17 3x, 3y) →
0
Tenimelsistema:
17 3 0
3 0
x
y
− =− =
Lasoluciódelsistemaés17
03
x i y= = .
Llavors17
,03
P
2. Els vectors →
u (0,2) i→
v (1,1) són una base del pla?En cas afirmatiu, expressa el vector
→
a (5,2) en combinaciólineal de
→
ui →
v.
Nomésenscalveuresielsdosvectorssónlinealmentindepen-dents:
0 2→
u k·→
vperquè— — 1 1
Pertant,elsdosvectorssónlinealmentindependentsi,encon-seqüència,sónunabasedelpla.
Expressemelvector(5,2)encombinaciólinealdelsvectorsdelabase:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
5,2 0,2 1,1
5,2 0,2 ,
5,2 ,2
h t
h t t
t h t
= ⋅ + ⋅ −
= + −
= − +
Tenimelsistema:
5
2 2
t
h t
= − = +
Lasoluciódelsistemaés7
52
h i t= = − .
Pertant, ( ) ( ) ( )75,2 0,2 5 1,1
2= ⋅ − ⋅ −
3. Calcula →
a·→
a sabent que →
a·→
b 3, →
b·→
b 4 i l’angle entre →
a i →
bés de 60º.
→
b·→
b 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
b2
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
b 2
→
a·→
b 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
a·→
b·cos 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
a·2·cos60º 3
3 3
→
a ———————— 3 2cos60º 1 2·— 2→
a·→
a →
a2
32 9
4. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són els tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals.
Elsvectors→ ABi
→ DCsónequipolents.
AnomenemD(x,y)
Llavors→ AB
→ DC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −
uur uur
B A C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −
uur uur(5,3) (1,2)
(6,5) (x,y) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
(4,1) (6 x,5 y)
Tenimelsistema:
4 6
1 5
x
y
= − = −
Lasolucióés:x2iy4.
ElpuntbuscatésD(2,4).
El punt d’intersecció de les diagonals és el punt mig M delssegmentsACoBD:
( ) ( ) ( )1,2 6,5 7,7 7 7,
2 2 2 2 2A C
M++ = = = =
jUnitat5.Rectesenelpla
Activitats 1.Escriu les diferents equacions de la recta que passa pel punt
P(4, 1) i té com a vector director el vector →v (2, 5).
Indica’n el pendent i l’abscissa i l’ordenada a l’origen.
Vectorial: (x,y)(4,1)k(2,5)
x42k Paramètriques:5 y15k
x4 y1 Contínua: —————— 2 5
General: 5x2y220
5 Explícita: y—x11 2
x y Canònica: ————1 22 11 — 5
5 22 m— p—— n11 2 5
2.Considera la recta d’equació vectorial:
(x, y) (3, 2) k(2, 1)
Determina quin és el valor de b per tal que el vector →v (3, b) sigui un vector director de la recta.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd53 53 15/2/08 10:59:24
54 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
→v(3,b)
→v k
→u → →
u(2,1)6 3 b 3
→ —— —— → b — 2 1 2
x y 3. Per a la recta d’equació —— — 1, escriu les equacions
4 2 general i explícita. Indica’n un vector director.
x y—— — 1 → x 2y 4 →
4 2
→ x 2y 4 0
x 4 12y x 4 → y ——— → y —x 2
2 2
1m— →
→v(2,1)
2
4. El punt A(3, 1) és de la recta que passa pel punt P(2, 2) i té com a vector director
→v (1, 3)? Justifica’n la resposta.
P(2,2) y 2 x 2 ——— → →
v(1,3)6 3
→ 3xy 40
A(3,1) → 3314914 120.Noésdelarecta.
5. Quin és el pendent de la recta x 3? Per què?
No té pendent real, ja que és una recta vertical i, per tant, mtg90°.
6.Escriu l’equació canònica de la recta que té per equació explícita:
1 3y — x ——
5 10
1 3 3 y —x —— → n —— 5 10 10
1 3 y 0 → —x —— 0 → 5 10
3 3 → x — → p — 2 2
x y ———— 1
3 3 — — 2 10
2 x y 7. Considera la recta d’equació: ——— — 3 2 Es demana: un vector director, el pendent i els punts de tall
amb els eixos de coordenades.
2 x y x 2 y———— → ———— →
3 2 3 2
→→v(3,2)
2→ m —
3
x 2y 0 → ——— 0 → x 2 →
3
→ P(2,0) al’eixOX
2 y 4x 0 → — — → y — →
3 2 3
4→ Q0,— al’eixOY
3
8.Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les rectes. Justifica’n les respostes.
a) (x, y) (1, 1) k(2, 1)
(x,y)(1,1)k(2,1) →
x12k → 5 y1k
512k → k2 P(5,1) → 5 11k → k2
Síésdelarecta.
x 3 2k b) 5 y 1 k
532k → k1 P(5,1) → 5 11k → k0
Noésdelarecta.
c) x 2y 3 0
P(5,1) → 52340
Noésdelarecta.
x 1 y 1 d) ——— ——— 4 2
51———1
4 P(5,1) → 5 11
———1 2
Síésdelarecta.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd54 54 15/2/08 10:59:26
55MATEMÀTIQUES 1 LA
1 3 e) y —x — 2 2
1 3 5 3P(5,1) → —5———1
2 2 2 2
Síésdelarecta.
x y f) — —— 1 3 3 — 2
5 1 5 2 7P(5,1) → ——— —— — 1
3 3 3 3 3 — 2
Noésdelarecta.
9.Escriu l’equació general de la recta que passa pels punts P (4, 5) i Q (3, 2).
P(4,5) → PQ
→
→q
→p(7,3) →
Q(3,2)6
→v(7,3) x4 y5
—————— → P(4,5) 6 7 3
→ 3x7y230
10.Sense ferne la representació gràfica, esbrina si A(1, 2), B(3, 3) i C(1, 1) estan alineats.
A(1,2) AB
→
→
b→a(2,1) →
→v (2,1)
B(3,3)6
→v(2,1)6 x1
———y2 →→ A(1,2) 2
→ x2y30
C(1,1) → 1230
Estanalineats.
3 11.Determina l’equació de la recta de pendent m — que
4 passa pel punt A (1, 3). Tot seguit representala gràfi
cament.
3ymxn → y—xn
4
3 9A(1,3) → 3—(1)n → n—
4 4
3 9y—x—
4 4
12.Troba l’equació de la recta que passa per l’origen i té un angle d’inclinació 45°. Dibuixala.
mtg tg45° 1 → yxn
0(0,0) → yx
13.Comprova que els punts A(2, 3), B(2, 1) i C(5, 1) no estan alineats. Troba les equacions de les rectes que determinen el triangle, els vèrtexs del qual són els punts A, B i C.
AB→
→
b→
a(4,2)6 AB→
kAC→
AC→
→
c→
a(3,4)
Noestanalineats.
CostatAB:
AB→
(4,2) →→
v(2,1)6 A(2,3)
x2———y3 → x2y40
2
CostatAC:
AC→
(3,4) →→
u(3,4)6 A(2,3)
x2 y3—————— → 4x3y170
3 4
CostatBC:
BC→
→
c→
b(7,2) →→
w(7,2)6 B(2,1)
x2 y1—————— → 2x7y30
7 2
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd55 55 15/2/08 10:59:28
56 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
14.Determina l’equació explícita de la recta que passa pels punts P(0, 2) i Q(5, 1). Quin és el seu pendent?
PQ→
→q
→p(5,3)
3
→v(5,3) → m —6 5 3
y—x2→ P(0,2) → n 2 5
15.Escriu l’equació canònica de la recta anterior.
3 y—x2 → n 2 5
3 10 y0 → —x2 0 → x— →6 5 3
10 p— 3
x y——— 1
10 2 — 3
16.Troba la mesura dels angles del triangle que formen les rectes r: x y 7 0; s: 2x 3y 6 0 i t: y 0. Fesne el dibuix corresponent.
xy70 → m1 → tg 1 →→ 135° → 45°
2 22x3y60 → m— → tg — →
3 3
→ 33,7°
180°()180°78,7°101,3°
17.Troba l’equació de la recta que passa pel punt de tall de les rectes 3x 2y 8 0 i 5x 7y 3 0, i és paral.lela a 8 x y 2
la recta ——— ——— . 5 7
3x2y806 x2,y1 → P(2,1) 5x7y30
8x y2 x8 y2—————— → ——————
5 7 5 7
→v(5,7)6 x2 y1
—————— P(2,1) 5 7
7x5y90
18.Esbrina si les tres rectes 2x y 0, x y 3 0 i 5x 4y 3 0 es tallen o no en un mateix punt.
2xy0 x1,y2 → P(1,2) xy306 2xy0 x1,y2 → P(1,2) 5x4y306 Sí,estallenenelpuntP(1,2).
19.Troba el baricentre del triangle de vèrtexs A(3, 0), B(3, 4) i C(6, 1).
MpuntmitjàdelsegmentAB → M(0,2)
C(6,1)6MC→
(6,3)
→v(2,1) 6 x y2
———— → x2y40 M(0,2) 2 1
MedianadesdeC.
9 3 NpuntmitjàdelsegmentBC → N—,—6 2 2
A(3,0)
15 3NA→
——,— 2 2 →
u(5,1)6 x3 ———y → x5y30 A(3,0) 5
MedianadesdeA.
x2y406 x2,y1 → G(2,1) x5y30
20.Classifica aquests parells de rectes en incidents, coincidents o paral.leles. En cas que siguin incidents, troba’n el punt on es tallen.
1 y 2 a) y — x 3, x 3 ——— 2 2
1 y—x3 → x2y60 2 → y2 x3——— → 2xy806 2
22 20 → Incidents;P——,—— 3 3
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd56 56 15/2/08 10:59:30
57MATEMÀTIQUES 1 LA
b) x 3y 3 0, 2x 6y 6 0
x3y30 → 2x6y60 → x3y30
6 → Coincidents
c) 3x 3y 7 0, x y 3 0
3x3y70 → xy30 → 3x3y90
6 → Paral.leles
d) (x, y) (1, 2) k(2, 3),
3x 2y 6 0
(x,y)(1,2)k(2,3) →
x1 y2→ —————— → 2 3
→ 3x2y706 Paral.leles 3x2y60
21.Determina el punt d’intersecció de les rectes:
x y— — i (x, y) (1, 2) k(1, 1)
2 3
x y —— → 3x2y0 2 3
(x,y)(1,2)k(1,1) → x1 → ———y2 → xy30
6 1 6 9
x —,y— 5 5
6 9 P—,— 5 5
22.Considera els punts P(3, 1) i Q(1, 2) i les rectes
r: 3x 4y 12 0 i s: x y 1 0
Troba l’equació de:
a) La recta paral.lela a r que passi pel punt mitjà del segment PQ.
3 M,puntmitjàdelsegmentPQ→M2,— 2 r:3x4y 120
Paral.lela → 3x4y C0
3 M2,— → 66C0 → C0 2
3x4y0
b) La recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i té pendent m 2.
3x4y 1206 8 15 x —,y——; xy 10 7 7
8 15A—,—— 7 7
m2 → y2xn
8 15 15 16A—,—— → ————n →
7 7 7 7 31
→ n—— 7
31y2x—— → 14x7y310
7
c) La recta que passa per Q i és paral.lela a s.
s:xy 10
Paral.lela → xy C0
Q(1,2) → 12C0 → C3
xy30
d) La recta que passa per P i és paral.lela a r.
r:3x4y 120
Paral.lela → 3x4y C0
P(3,1) → 94C0 → C5
3x4y 50
Determina també les coordenades del punt on es tallen les rectes corresponents als apartats c) i d).
xy 30 17 4 x ——,y— 3x4y 50
6 7 7
17 4B——,— 7 7
23.Calcula els valors de q per tal que les rectes r i s siguin paral.leles:
r: qx 2y 4 0
s: x (q 3) y 7 0
2q ———
q3
q23q20 → q11,q22
24.Comprova que els punts A(1, 2), B(1, 0) i C(3, 4) són els vèrtexs d’un triangle rectangle. En quin dels tres punts està el vèrtex corresponent a l’angle recte? Justifica’n la resposta.
AB→
→
b→
a(2,2)6 AC→
→
c→
a(2,6)
AB→
•AC→
41280 →
A90°
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd57 57 15/2/08 10:59:32
58 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
BA→
AB→
(2,2)
BC→
→
c→
b(4,4)6BA→
•BC→
880 →
B90°
25.Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta 3 y — x 6 i que passa pel punt on es tallen les rectes
4 x y 9 0 i x 2y 3 0.
xy 90 x 7,y 2 → x2y 306
→ P(7,2)
3y —x 6
4
4 Perpendicular:y —x n 3
4P(7,2) → 2—(7) n →
3
34→ n——
3
4 34y—x—— → 4x3y 340
3 3
26.Classifica els següents parells de rectes incidents segons siguin o no perpendiculars. Justifica’n les respostes.
a) 3x 5y 3 0 3x 5y 7 0
3x5y30 →→u(5,3) →
3x5y70 →→v(5,3)6
→→u•
→v259160
Nosónperpendiculars.
1 y 1 b) y —x 4 x 2 ——— 7 7
1 1 y—x4 → m — →
6 7 7
→→u(7,1)
y1 x2 x2——— → ——— 7 1 y1 ——— →
→v(1,7)
7→u•
→v77140
Nosónperpendiculars.
x 7 2h c) (x, y) k(5, 2) 5 y 1 5h
x72h →
→u(2,5)
y15h6 (x,y)k(5,2) →
→v(5,2)
6→u•
→v10100
Sónperpendiculars.
d) x 3y 8 0 9x 3y 13 0
x3y80 →→u(3,1)
→ 9x3y130 →
→v(1,3)6
→→u•
→v330
Sónperpendiculars.
27.Determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems els punts A(2, 3) i B(6, 1). Recorda que la mediatriu d’un segment és la recta perpendicular pel punt mitjà.
M,puntmitjàdelsegmentAB → M(2,1)
AB→
→b
→a(8,4) →
→n(2,1) →
→ 2xyC0
M(2,1) → 41C0 → C3
2xy30
28.Determina les coordenades del circumcentre i de l’ortocentre del triangle de vèrtexs A(2, 5), B(1, 1) i C(3, 2). El circumcentre és el punt on es tallen les mediatrius del triangle. L’ortocentre és el punt on es tallen les rectes que determinen les altures del triangle.
3 M,puntmitjàdelsegmentAB → M—,3 2
AB→
→b
→a(1,4) →
→n1(1,4) →
→ x4yC0
3 3 27 M—,3 → —12C0 → C—— 2 2 2
27x4y——0 → 2x8y270
2
MediatriuAB. 3 N,puntmitjàdelsegmentBC → N2,— 2
BC→
→c
→b(2,1) →
→n2(2,1) →
→ 2xyC0
3 3 11 N2,— → 4—C0 → C—— 2 2 2
112xy——0 → 4x2y110
2
MediatriuBC.
2x8y270 17 43 x ——,y—— 4x2y1106 14 14
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd58 58 15/2/08 10:59:34
59MATEMÀTIQUES 1 LA
17 43 Circumcentre:——,—— 14 14
2x8y270
Paral.lela:2x8yC0
C(3,2) → 616C0 → C22
2x8y 220 → x4y 110
AlçadadesdeC.
4x2y110
Paral.lela:4x2yC0
A(2,5) → 810C0 → C18
4x2y 180 → 2xy 90
AlçadadesdeA.
x4y110 25 13 x ——,y—— 4x2y1806 7 7
25 13 Ortocentre:——,—— 7 7
29.Donat el punt P(3, 4):
a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta
r: 4x y 1.
r:4xy 10
sr → s:x4y C0
P(3,4) → 316C0 → C13
x4y 130 9 53 x ——,y—— → 4xy 106 17 17
9 53→ P——,—— 17 17
b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte de la recta r.
P(3,4)
9 53 P——,——6 17 17
S(x,y)
3x 9 69 ————— → x—— 2 17 17
4y 53 38 ————— → y—— 2 17 17
6 69 38
S——,—— 17 17
30.Dedueix els valors de q perquè les rectes r i s siguin perpendiculars:
r: qx y 2 0
s: (q 2) x (2q 1) y 0
r:qxy20 →→u(1,q)
s:(q2)x(2q1)y0 →
→→v(2q1,q2)
6→u•
→v0 → 2q1q22q0 →
→ q210 → q11,q21
31.Calcula l’angle que formen les rectes:
r: x y 4 0
s: y 4x 2
r:xy40 →→u(1,1)
s:y4x2 → m4 →→v(1,4)6
→u•
→v 14 5
cos———————————— →
→u
→v √2 √17 √34
5→ arccos———30,96°
√34
1 32.Considera la recta r: x y 4 0 i el punt P2, —. 2 Troba l’equació de les rectes que passen per P i formen un
angle de 60° amb la recta r.
r:xy40 →→u(1,1)
→v(1,m)6
→u•
→v 1m 1
————cos60° → ————————
→u
→v √2 √1m2 2
12mm2 1 ———————— → 48m4m2 2(1m2) 4
22m2 → 2m28m20
m24m10 → m2 √3
m12 √3
6 1y —(2 √3 )(x2) 2
1 P2,— 2
m22 √3
6 1y —(2 √3 )(x2) 2
1 P2,— 2
33.Quant mesuren els angles del triangle de vèrtexs els punts A(2, 4), B(3, 1) i C(1, 6)?
A(2,4) AB
→
→
b→
a(5,5) B(3,1)6
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd59 59 15/2/08 10:59:37
60 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
A(2,4) AC
→
→
c→
a(3,2) C(1,6)6 AB
→•AC
→
1510cos
A——————————— AB
→
AC→
√50 √13
5 1———————— →
5√2√13 √26
1→
Aarccos———78,7° √26
BA→
AB→
(5,5)
B(3,1) BC
→(2,7)
C(1,6)6 BA
→•BC
→
1035cos
B——————————— BA
→
BC→
√50√53
45 9———————— →
5√2√53 √106
9→
Barccos———29° √106
C180°(
A
B)180°107,7°72,3°
34.Determina les equacions de les rectes que formen un angle de 30° amb la recta 5x 2y 3 0 i passen pel punt P (x, 6), on P és un punt de la recta donada. Troba l’angle que formen aquestes rectes.
P(x,6) → 5x2y30
P(x,6) → 5x1230 → x3 → → P(3,6)
5x2y30 →→u(2,5)
→v(1,m)6
→u•
→v 25m √3
———cos30° → —————————
→u
→v √29√1m2 2
420m25m2 3—————————— →
29(1m2) 4
→ 1680m100m28787m2
13m280m 710 →
4029√3→ m———————
13
4029√3 m1———————6 13
P(3,6)
4029√3y 6———————(x 3)
13
4029√3 m2———————6 13 P(3,6)
4029√3y 6———————(x 3)
13
35.Donades les rectes
y x 3 r: x 2 — i s: y 3 ———, 3 2
determina l’angle que formen.
y r:x2 — →
→u(1,3)
3 x3 x3 y3 s:y3 ——— → —————— →6 2 2 1 →
→v(2,1)
→u•
→v 23 1
cos——————————— →
→u
→v √10√5 5√2
1→ arccos———81,87°
5√2
36.Calcula de dues maneres diferents la distància de l’origen de coordenades a la recta x 3y 7 0.
a)r:x3y706 O(0,0)
7 7 7√10 d(0,r)———————————u √19 √10 10
b)r:x3y70
sr → s:3xy C0
O(0,0) → C0 →
→ s:3xy0 7 21 x ——,y—— r:x3y706 10 10
7 21 O——,—— éselprojectatdeOsobrer. 10 10
7 21
→OO——,—— 10 10
d(O,r)d(O,O) →OO
49 441 490 7√10√
—— ——√
—————— u
100 100 100 10
37.Troba la distància entre les rectes:
2x 3y 5 0 i 4x 6y 3 0
r:2x3y50 rissónparalel.les s:4x6y306
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd60 60 15/2/08 10:59:39
61MATEMÀTIQUES 1 LA
P(2,3)ésunpuntder,aleshores:
8183d(r,s)d(P,s)———————
√16 36
7 7 7√13———————————u
√52 2√13 26
38.Els punts de la mediatriu d’un segment equidisten dels seus extrems. Tenint en compte aquesta propietat, determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(2, 5) i B(4, 7).
A(2,5)6 AX→
→x
→a(x 2,y 5)
X(x,y)
B(4,7)6 BX→
→x
→b(x 4,y 7)
X(x,y)
AX→
BX→
→ √(x 2)2 (y 5)2
√(x 4)2 (y 7)2
x24x4y210y25
x28x16y214y49
12x24y360 → x2y30
39.Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r: x 2y 5 0 i s: 2x y 3 0. Comprova que són perpendiculars.
r:x2y506 s:2xy30
x2y5 2xy3————————————
√5 √5
x2y5 2xy3 → → xy8 0 →
→u(1,1)
x2y5 2xy3 → → 3x3y2 0 →
→v(3,3)
6→u•
→v3 3 0
40.Demostra que les dues bisectrius dels angles que formen dues rectes que es tallen són perpendiculars.
AxByC AxByC———————————————
√ A2B2
√ A2B2
A√ A2B2xB√ A2B2y
C√ A2B2
A√ A2B2xB√ A2B2 y
C√ A2B2
(A√ A2B2A√ A2B2)x
(B√ A2B2B√ A2B2)y
C√ A2B2C√ A2B20
→u(B√ A2B2B√ A2B2,
A√ A2B2A√ A2B2)
A√ A2B2xB√ A2B2y
C√ A2B2
A√ A2B2xB√ A2B2 y
C√ A2B2
(A√ A2B2A√ A2B2)x
(B√ A2B2B√ A2B2)y
C√ A2B2C√ A2B20→v(B√ A2B2B√ A2B2,
A√ A2B2A√ A2B2)→u•
→v(B√ A2B2B√ A2B2)
(B√ A2B2B√ A2B2)
(A√ A2B2A√ A2B2)
(A√ A2B2A√ A2B2)
(B√ A2B2)2(B√ A2B2)2
(A√ A2B2)2(A√ A2B2)2
B2(A2B2)B2(A2B2)
A2(A2B2)A2(A2B2)
B2A2B2B2B2A2
B2B2A2A2A2B2
A2A2A2B20
41.L’incentre d’un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels angles interiors del triangle. Troba les coordenades de l’incentre del triangle determinat per les rectes:
r: 3x 4y 5 0, s: 3x 4y 7 0 i t: 4x 3y 6 0.
r: 3x4y50
t: 4x3y606
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd61 61 15/2/08 10:59:41
62 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3x4y5 4x3y6——————————————
5 5
3x4y54x3y6
x7y10 → m0 → no
3x4y54x3y6
7xy110 → m0
s: 3x4y70
t: 4x3y606 3x4y7 4x3y6
——————————————— 5 5
3x4y74x3y6
xy130 → m0 → no
3x4y74x3y6
7x7y10 → m0
7xy110
7x7y106 19 3
x ——,y— 14 2
19 3 Incentre:——,— 14 2
42.Donades dues rectes de pendents m 2 i m 3, calcula els pendents de les dues rectes bisectrius dels angles que determinen.
m2 → y 2xn → 2xyn 0
6 m3→y 3xn→ →3xyn 0
2xyn 3xyn———————————— →
√5 √10
3xyn→ 2xyn——————
√2
b1: 2√2x√2y√2n3xyn
b1: (32√2)x(1√2)y√2nn 0
2√23 (2√23)(1√2) m1——————————————— 1√2 12
5√27—————7 5√2
1
b2: 2√2x√2y√2n3xyn
b2: (32√2)x(1√2)y√2nn 0
32√2 (32√2)(√21) m2——————————————— √21 21
7 5√2
Activitatsfinals 1. Calcula l’àrea del triangle de vèrtexs els punts A(1, 1), B(3, 4)
i C(5, 2).
AC→
→c
→a(4,3)
bAC→
√1629√ 255u →
v(4,3)6 A(1,1)
x1 y1—————— → r:3x4y 70
4 3
9167 18hd(B,r)————————u
√ 25 5
1 1 18S—bh—5——9u2
2 2 5
2. Determina el valor de k per tal que les rectes: r: kx (k 1) y 2 0 i s: 3kx (3k 1) y 5 0 siguin:
a)paral.leles.
k k 1———————
3k 3k 1
3k2 k 3k23k
6k2 2k 0 → 2k(3k 1) 0 → 1
→ k1 0,k2 — 3
b)perpendiculars. →
u(1 k,k) →
v(3k 1,3k)6 →
u•→v0 → (1 k)(3k 1) k3k 0
3k2 2k 1 3k2 0 →
1→ 2k 1 0 → k —
2
jUnitat3.Trigonometria
Activitats
Actividadesdeenseñanza/aprendizaje
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd62 62 15/2/08 10:59:43
63MATEMÀTIQUES 1 LA
3. Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(2, 4), tal que la seva perpendicular per l’origen de coordenades forma un angle de 45° amb l’eix d’abscisses.
45° → mtgtg45°16 yx O(0,0)
r:xy0
sr,s:xy C0
P(2,4) → 24 C0 → C6
xy 60
4. Els punts O(0, 0), P(4, 2) i Q(2, 6) són els vèrtexs d’un triangle. Troba el baricentre (B), el circumcentre (C) i l’ortocentre (A).
PO→
(4,2)6 PO→
•PQ→
8 80 → PQ
→(2,4)
→
P90°
ÉsuntrianglerectangleenP.
4 2 2 6 8 Baricentre:B———,——— → B2,— 3 3 3
Circumcentre:puntmitjàdelsegmentOQ → C(1,3)
Ortocentre:vèrtexP → A(4,2)
Comprova que:
a)B, C i A estan alineats.
2 AB
→2,— 3
AC→
(3,1)
Sónlinealmentdependents,pertantelspuntsA,BiC,estanalineats.
b)AB→
2BC→
.
2 AB
→2,— 3
1 BC
→1,— → 2BC
→6 AB
→2BC
→
3
1 2 21,—2,— 3 3
c)La distància de C a cada vèrtex és la mateixa.→CO(1,3),d(C,O)CO
→
√ 19√10u
CP→
(3,1),d(C,P)CP→
√ 91√10u
CQ→
(1,3),d(C,Q)CQ→
√ 19√10u
5. Escriu l’equació de la recta perpendicular a x 3y 1 0 que es troba a distància 3 del punt P (1, 1).
r:x3y 10
sr,s:3xy C0
31 Cd(P,s)3 → ——————3 →
√10
4 C C13√10 4 → ————3 √10 C23√ 10 4
s13xy 3√ 10 40
s23xy 3√ 10 40
6. Els punts A (0, 2) i B (4, 0) són dos vèrtexs d’un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa AB. Calcula les coordenades del tercer vèrtex C i l’àrea del triangle.
A(0,2),B(4,0),C(x,y)
CA→
(x,2y)
CB→
(4 x,y)
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd63 63 15/2/08 10:59:45
64 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
CA→
CB→
→
→ √ (x)2(2y)2 √ (4x)2(y)2
x244y y216 8x x2 y2 →
→ 8x4y 120 → 2xy 30
CA→
• CB→
0 → x(4 x) (2y)(y)0
4x x22y y20 →
→ x2 y24x2y0
2xy 30
x2 y24x2y06 Duessolucions:
x13,y13 → C1(3,3)
x21,y21 → C2(1,1)
C(3,3) CA
→(3,1) →
A(0,2)6→ CA
→√ 91√ 10u
CB→
CA→
√10u
1 1S—CA
→CB
→
—√ 10√ 105u2
2 2
7. Determina les equacions de les rectes que tallen la recta 2x y 3 0 en el punt d’abscissa x 3 i formen amb ella un angle de 60°.
x3 → 6y30 → y3
P(3,3)
r:2xy30 →→u(1,2)6 →v(1,m)
→u•
→v 12m 1
———cos60° → ————————
→u
→v √ 5√ 1m2 2
14m4m2 1————————— →
5(1m2) 4
→ 416m16m255m2
8 5 √ 3 11m216m10 → m—————— 11
P(3,3) 8 5 √ 3 m1——————6 11
8 5 √ 3y3——————(x3)
11
P(3,3) 8 5 √ 3 m2——————6 11
8 5 √ 3y3——————(x3)
11
8. Troba l’incentre del triangle determinat per les rectes 2x 3y 8 0, 3x 2y 25 0 i 2x 3y 4 0. Comprova que l’incentre equidista dels tres costats del triangle.
s: 3x2y 2506 t: 2x3y 40
3x2y 25 2x3y 4——————————————
√13 √13
3x2y 25 2x3y 4
xy 29 0 →
→ m 0 → No
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd64 64 15/2/08 10:59:47
65MATEMÀTIQUES 1 LA
3x2y 25 2x3y 4
5x5y 21 0 m 0
r: 2x3y 80
s: 3x2y 2506 2x3y 8 3x2y 25
—————————————— √13 √13
2x3y 8 3x2y 25
x5y 17 0
m 0 → No
2x3y 8 3x2y 25
5xy 33 0 m 0
5x5y 21 0 31 x——,y2 5xy 33 06 5
31 Incentre: I——,2 5
62 52 ——68 —— 5 5
d(I,r)—————————— √13 √13
52 52√13 4√13—————————u
5√13 513 5
93 52 ——425 —— 5 5
d(I,s)—————————— √13 √13
4√13———u
5
62 52 ——64 —— 5 5
d(I,t)—————————— √13 √13
4√13———u
5
9. Calcula l’àrea del triangle determinat per les rectes:
r: 4x y 5 0; s: x 3y 4 0 i t: 3x 2y 12 0.
r: 4xy 50 x1,y1 → A(1,1) s: x3y 406 r: 4xy 50 x2,y3 → t: 3x2y 1206 → B(2,3)
s: x3y 40 x4,y0 → t: 3x2y 1206
→ C(4,0)
AC→
→c
→a(3,1)
bAC→
√ 91√10u
294 11hd(B,s)—————————u
√10 √10
1 1 11 11S—bh—√10————u2
2 2 √10 2
10. Determina l’equació de les rectes paral.leles a la recta: 2x y 3 0 que es troben a distància 5 del punt P(1, 2).
r:2xy 30
sparal.lelaar → s:2xy C0
22Cd(P,s)5 → ———————5 →
√ 5→ C5√ 5 → C5√ 5
s1: 2xy 5√ 50
s2: 2xy 5√ 50
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd65 65 15/2/08 10:59:50
66 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
11. El centre d’un quadrat és el punt C(0, 3) i el punt P(2, 6) n’és un vèrtex. Troba els tres vèrtexs restants, el perímetre i l’àrea del quadrat.
x2 P(2,6) ———0 → x26 2 C(0,3) R(2,0) 6y R(x,y)
6 ———3 → y0
2
PC→
→c
→p(2,3)
→uPC
→ →
→u(3,2)
C(0,3) →
u(3,2)6 CQ→
→u → (x,y 3)(3,2)
Q(x,y)
x3 Q(3,1) y32 → y16 3x Q(3,1) ———0 → x3 2 C(0,3)6 S(3,5) 1y S(x,y) ———3 → y56 2
PQ→
→q
→p(1,5) →
→ PQ→
√ 125√ 26u
p4PQ→
4√ 26u
SPQ→
2√ 26226u2
12. Un paral.lelogram OABC té els seus vèrtexs en els punts O(0, 0), A(3, 1) i C(1, 2). Calcula les coordenades del vèrtex B i l’àrea del paral.lelogram.
OA→
(3,1)
C(1,2)
B(x,y)6 CB
→
→
b→
c(x1,y2)
CB→
OA→
→ (x1,y2)(3,1)
x13 → x4 B(4,3) y21 → y36 bOA
→
√ 91√ 10u →
uOA→
(3,1)6 x —y → r: x3y0 O(0,0) 3
16 5hd(C,r) → ——————u
√ 10 √ 10
5Sbh√ 10——5u2
√ 10
13. Determina l’equació de les rectes que contenen les altures del triangle de vèrtexs A(2, 1), B(0, 2) i C(4, 0).
A(2,1) AB
→
→
b→
a(2,1) B(0,2)6 →
n1(2,1) → 2xyC0
C(4,0) → 8C0 → C8
hc:2xy80
B(0,2) BC
→
→
c→
b(4,2) C(4,0)6 →
n2(2,1) → 2xyC0
A(2,1) → 41C0 → C5
hA:2xy50
A(2,1) AC
→
→
c→
a(6,1) C(4,0)6 →
n3(6,1) → 6xyC0
B(0,2) → 2C0 → C2
hB:6xy20
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd66 66 15/2/08 10:59:53
67MATEMÀTIQUES 1 LA
14. Dos dels vèrtexs oposats d’un rombe es troben situats en els punts A (2, 4) i C (0, 2) i el vèrtex B és un punt de l’eix d’abscisses. Determina les coordenades dels vèrtexs B i D i calcula l’àrea del rombe.
M,puntmitjàdelsegmentAC → M(1,3)→AC
→c
→a(2,2),
→n(1,1)
xyC0
M(1,3) → 13C0 → C4
xy406 x4,y0 → B(4,0) y0
4x B(4,0) ———1 → x2 2 M(1,3)6 6 D(2,6) y D(x,y) —3 → y6 2
→AC
→c
→a→ (2,2)
d→AC√ 44√ 82√ 2u;
BD→
→
d→
b(6,6)
dBD→
√ 3636√ 726√ 2u
1 1S—dd—2√ 26√ 212u2
2 2
15. Troba el punt en què es tallen les diagonals del quadrilàter que està format pels eixos de coordenades i les rectes x y 4 0 i 2x y 3 0.
O(0,0)
r:xy 406 x4,y0 → A(4,0) y0
r: xy 40 1 11 x—,y—— → s:2xy 306 3 3
1 11→ B—,—— 3 3
s:2xy 306 x0,y3 → C(0,3) x0
1 11 OB
→—,—— →
→u(1,11)6 3 3
O(0,0)
yx—— → 11xy0
11
AC→
→c
→a(4,3) →
→v(4,3)6 A(4,0)
x4 y———— → 3x4y 120
4 3
11xy0 12 132 x——,y—— → 3x4y 1206 47 47
12 132→ D——,—— 47 47
16. Calcula l’àrea del quadrilàter de vèrtexs els punts: A(3, 2); B, simètric del punt A respecte de la recta x y; C, simètric del punt B respecte de l’eix d’ordenades, i D, simètric de C respecte de l’eix d’abscisses.
A(3,2)→B(2,3)→C(2,3)→
→D(2,3)
AD→
→
d→
a(5,5)6 AB
→
→
b→
a(1,1)
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd67 67 15/2/08 10:59:55
68 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1 1S1—AD
→
AB→
—√ 50√ 25u2
2 2
CB→
→
b→
c(4,0)
CD→
→
d→
c(0,6)6 1 1
S2—CB→
CD→
—4612u2
2 2
SS1S251217u2
17. Els vèrtexs corresponents al costat desigual d’un triangle isòsceles se situen en els punts A(1, 1) i B(4, 0). El tercer vèrtex C és un punt de la recta x 2y 8 0. Troba les coordenades de C i calcula el perímetre i l’àrea del triangle.
A(1,1)6 AB→
(5,1) B(4,0)
M,puntmitjàdelsegmentAB, → 3 1
→ M—,— 2 2 →
n(5,1) → 5xyC0
3 1 15 1M—,— → ———C0 →
2 2 2 2
→ C7
5xy 70
r:x2y806 6 47 6 47
x——,y—— → C——,—— 11 11 11 11
17 58AC→
→c
→a——,——
11 11
17 58AC→
√
—2
—2
11 11
2893364 √ 3653√
——————————u
112 11
bAB→
√ 251√ 26u
pAB→
2AC→
2√ 3653√26——————u
11
21 105MC→
→c
→m——,——
22 22
21 105hMC
→
√
——2
——2
22 22
44111025 √ 11466√
————————————
222 22
21√26————u
22
1S—bh
2
1 21√26 273—√26 ——————u2
2 22 22
18. Determina les bisectrius interiors dels angles del triangle de vèrtexs A (4, 5), B (5, 7) i C (4, 7).
A(4,5)6 AB→
→
b→
a(9,2) → B(5,7)
→→
u(9,2)6 x4 y5 —————— A(4,5) 9 2
2x89y45 → r:2x9y530
A(4,5) 6 AC→
→c
→a(0,2) →
C(4,7)
→→v(0,1)6 s:x40
A(4,5)
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd68 68 15/2/08 10:59:57
69MATEMÀTIQUES 1 LA
B(5,7)6 BC→
→c
→b(9,0) →
C(4,7)
→→w(1,0)6 t:y70
B(5,7)
r:2x9y530
s:x40
2x9y53——————— (x4)
√85
2x9y53√ 85 (x4)
2x9y53√ 85x 4√ 85
(√ 85 2)x9y4√ 85530 →→ m0 → No
2x9y53√ 85 (x4)
2x9y53√ 85x 4√ 85
(√ 85 2)x9y4√ 85530
m0
r:2x9y5306 t:y70
2x9y53——————— (y7)
√ 85
2x9y53√ 85 (y7)
2x9y53√ 85y 7√ 85
2x(9 √ 85)y537√ 850 m0
s:x406 x4 (y7) t:y70
x4y7 → xy110 →→ m0 no
x4y7 →→ xy30 m0
19. Dos dels vèrtexs d’un triangle rectangle són els punts B(5, 2) i C(1, 5). Calcula l’ordenada de l’altre vèrtex A sabent que la seva abscissa és x 3 i que
A 90°.
A(3,y)6 AB→
→
b→
a(2,2y) B(5,2)
A(3,y)6 AC→
→c
→a(2,5y)
C(1,5)
A90° → AB→
•AC→
0 →→ 4107yy20 →
→ y27y60 → y11,y26
A1(3,1),A2(3,6)
20. Determina les coordenades de l’ortocentre, el baricentre i el circumcentre del triangle que té per vèrtexs els punts A(4, 2), B(10, 6) i C(6, 1).
A(4,2)6 AB→
→
b→
a(6,4) B(10,6)
A(4,2)6 AC→
→
c→
a(2,3)6
C(6,1)
AB→
• AC→
12120 →
A90°
Ortocentre:elvèrtexA(4,2)
4106 261 Baricentre:——————,————— → 3 3
20 7→ G——,— 3 3
Circumcentre:puntmitjàdelsegmentBC → 5 → M8,— 2
21. Les equacions de les rectes que contenen dos dels costats d’un paral.lelogram de centre el punt C(2, 2) són y 2x i x 2y. Troba’n les coordenades dels quatre vèrtexs.
r:y2x6 x0,y0 → s:x2y
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd69 69 15/2/08 10:59:59
70 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
x → O(0,0)
6 ——2 → x4
2 C(2,2) Q(4,4) y Q(x,y) ——2 → y4
6 2
y2x → 2xy0
Paral.lela:2xyC0
Q(4,4) → 84C0 → C4
2xy40
x2y → x2y0
Paral.lela:x2yC0
Q(4,4) → 48C0 → C4
x2y40
2xy0 4 8 x—,y— → x2y406 3 3
4 8→ R—,— 3 3
x2y0 8 4 x—,y— → 2xy406 3 3
8 4→ P—,— 3 3
22. El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 4 i es troba sobre la recta d’equació y x. El vèrtex oposat és el punt C (0, 4). Determina les coordenades dels vèrtexs A i B del triangle.
yx → xy0
Perpendicular:xyC0
C(0,4) → 4C0 → C4
xy40 xy406 x2,y2 → M(2,2) xy0
A(x,x) AM
→
→m
→a(2x,2x)
M(2,2)6 AM
→
2
√ (2x)2(2x)22
2(44xx2)4
44xx22
x24x20 → x2√2
A(2 √2,2 √2),B(2 √2,2 √2)
23. El catet AB d’un triangle rectangle en A es troba sobre la recta 2x 5y 4 0 i el punt C(4, 2) és un vèrtex del triangle. Calcula les coordenades del vèrtex A i la longitud del catet AC.
r:2x5y40
Perpendiculars:5x2yC0
C(4,2) → 204C0 → C16
s: 5x2y160
5x2y160
2x5y40 6 88 12 88 12
x——,y—— → A——,—— 29 29 29 89
8104 14AC→
d(C,r)————————— √ 29 √ 29
14√ 29————u
29
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd70 70 15/2/08 11:00:00
71MATEMÀTIQUES 1 LA
24. Els punts A(1, 1), B(0, 1) i C(3, 2) són tres vèrtexs consecutius d’un paral.lelogram. Determina’n el vèrtex D i calcula’n el perímetre i l’àrea.
3 M,puntmitjàdelsegmentAC, → M1,— 2 x B(0,1)
6
—1 → x2 2 3 M1,— 2 1y 3 D(x,y) ————— → y46 2 2
D(2,4)
AB→
→
b→
a(1,2) →
→ AB→
√ 1 4√5u
AD→
→d
→a(3,3) →
→ AD→
√ 99√ 18 3√2u
p2AB→
2AD→
(2√56√2)u
bAD→
3√2u
AD→
(3,3) →→u (1,1)
A(1,1) 6 x1y1 → r:xy20
322 3hd(C,r)————————u
√2 √2
3Sbh3√2——9u2
√2
Avaluació
1. Sigui r la recta d’equació 3x 5y 2 0. Troba les equacions de les rectes paral·lela i perpendicular a r que passen pel punt (15, 4).
Rectaparal·lela:ésdelaforma3x5yC0.Substituintelpunt:
( ) ( )3 15 5 4 0 45 20 0 65C C C⋅ − − ⋅ + = → − − + = → = .
L’equaciódelarectaparal·lelaés3x5y650.
Rectaperpendicular:ésdelaforma5x3yC0.Substi-tuintelpunt:
( )5 15 3 4 0 75 12 0 63C C C⋅ − + ⋅ + = → − + + = → = .
L’equaciódelarectaperpendicularés5x3y630.
2. Els punts A(2, 5), B(6, 8) i C(22, d) estan alineats. Calcula d.
PrimeramenttrobemlarectaAB:
Unvectordirectorés→
v ( ) ( ) ( )6,8 2,5 4,3v B A= − = − =r
.
L’equaciócontínuaés:
2 54 3
x y− −=
ElpuntCcompleixaquestaequació:
22 2 5 20 5 605 15 5 20
4 3 4 3 4d d
d− − −= → = → = + = + =
3. Determina el valor de a perquè la recta x2ay 1 i la recta x3y 8 siguin:
a) paral·leles.
Lacondiciódeparal·lelismeés:
' ' '
A B CA B C
= ≠
Enelnostrecas:1 2 1 3
3 21 3 8 2
aa a
− −= ≠ → = − → = −−
.
b) perpendiculars.
Lacondiciódeperpendicularitatés:' ' 0A A B B⋅ + ⋅ =
Enelnostrecas:1
1 1 2 3 0 1 6 06
a a a⋅ − ⋅ = → − = → = .
4. a) Representa gràficament les rectes 3x y 1 0 i
x 3y 12 0.
Femelgràfic.Larecta3xy10tallaelseixosenels
punts(0,–1) i1
,03
. La rectax 3y 12 talla enels
punts(12,0)i(0,4).
b) Demostra que les dues rectes anteriors són perpendiculars.
Els vectors perpendiculars a la primera i segona rec-tes són (3,1) i (1, 3). Femel producte escalar i tenim3·1 (1)·30,ipertantsónperpendiculars.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd71 71 15/2/08 11:00:03
72 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) Calcula el punt d’intersecció de les dues rectes.
Laintersecciól’obtenimresolentelsistema:
3 1
3 12
x y
x y
− = + =
quedónacomaresultatelpunt3 7
,2 2
.
d) Considera el triangle format per les dues rectes anteriors i per l’eix d’ordenades. Calcula’n l’àrea.
EltriangleABCtébaseCB4(1)5ialturasobreAde
longitud32
(abscissadeA).Per tant la sevasuperfícieés
1 3 155 3,75
2 2 4S = ⋅ ⋅ = =
u2
jUnitat6.Lacircumferènciaialtresllocsgeomètrics
Activitats 1.Escriu l’equació de la circumferència de centre el punt
(2, 0) i radi 2. Dibuixala.
Hiapliquemlafórmuladirectament:
(xa)2(yb)2r2 → (x2)2y24
2. Identifica el centre i el radi de la circumferència d’equació (x 3)2 (y 1)2 4 i tot seguit representala gràficament.
Sicompareml’equació(x3)2(y1)24ambl’equaciógeneral,tenimelsegüent:
a3,b1ir2,ésadir,lacircumferènciatécentre(3,1)iradi2.
3.L’equació d’una circumferència és x2 y2 16. Determina’n el centre i el radi.
Delamateixamaneraqueenl’exercicianterioresdedueix:cen-tre,(0,0)iradi,4.
4.Escriu l’equació de la circumferència de centre C(3, 1) i radi r 4. Esbrina si el punt P(3, 4) pertany a aquesta circumferència.
Hiapliquemlafórmula:
(x3)2(y1)216
PersabersielpuntP(3,4)pertanyalacircumferènciacalsubs-tituirlescoordenadesdelpuntal’equació:
(33)2(41)23694516
ElpuntPnoésdelacircumferència.
5.Determina l’equació de la circumferència que té per diàmetre el segment d’extrems els punts A(1, 4) i B(3, 0).
ElcentreCdelacircumferènciaenqüestióéselpuntmitjàdel 13 40
diàmetre,ésadir,delsegmentAB → C————–,———– → → C(1,2). 2 2
Elradidelacircumferènciaés:
→AC(2,2)√8r
Equació: (x1)2(y2)28
6.Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 3) i que passa per l’origen de coordenades.
C(1,3).Elradiéselmòduldelsegmentdeterminatperl’origendecoordenadesielcentre:
r→OC(1,3)√ 10
Equació: (x1)2(y3)210
7.Les equacions següents són de circumferències. Troba’n el centre i el radi.
Encadacascalaplicarlesfórmules
2am,2bn i a2b2r2p,
pertaldetrobarelcentreC(a,b)ielradir.
a) x2 y2 8x 6y 20 0
82a → a4;
62b → b3 → C(4,3)
4232r220 → r√ 5
b) x2 y2 4x 7y 0
4 2a → a 2;
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd72 72 15/2/08 11:00:05
73MATEMÀTIQUES 1 LA
7 77 2b → b— → C2,—
2 2
7 √ 65(2)2—
2
r20 → r—— 2 2
c) x2 y2 6y 7 0
6 2b → b 3;0 2a → a0 → C(0,3)02 (3)2r2 7 → r4
27 d) 3x2 3y2 5x 9y —— 0 4
Caldividirtotal’equacióper3:
5 9x2y2—x3y—0
3 4
5 5—2a → a—;3 2b →
3 6
3 5 3→ b —— → C—,——
2 6 2
5 3 9 5—2
—2
r2— → r— 6 2 4 6
8.Determina el centre i el radi de la circumferència:
(x 2)2 (y 3)2 9
Troba si hi ha algun punt de la circumferència que tingui abscissa 2.
Demaneraimmediata:C(2,3)ir3.
Pertrobarsihihaalgunpuntdelacircumferènciad’abscissa2calsubstituirxper2:
(22)2(y3)29 → (y3)2 7
Aquestaequaciónotésolucióreal,pertantnohihacappuntdelacircumferènciaquetinguiabscissa2.
9.Esbrina quines d’aquestes equacions no corresponen a una circumferència. Raona la resposta.
a) x2 y2 8x 3xy 5 0
Noésunacircumferènciaperquètéelterme3xy.
b) 3x2 2y2 5x 9y 2 0
Noésunacircumferènciaperquèelscoeficientsdex2iy2sóndiferents.
c) x2 y2 3 0
ÉsunacircumferènciadecentreC(0,0)iradir√ 3.
d) x2 y2 4x 8y 20 0
Podria ser l’equació d’una circumferència. Per estar-ne se-gurs,encalculemelcentreielradi:
4 2a → a 2;8 2b → b 4 → C(2,4)
(2)2(4)2r220 → r0
Noésunacircumferència.
4 8 e) x2 y2 —x —y 2 0 5 3
Hiapliquemlesfórmules:
4 2— 2a → a—;
5 5
8 4 2 4— 2b → b — → C—,— 3 3 5 3
2 4 14—2
—2
r22 → r2—— 5 3 225
Nohiharadi,pertantaquestaequaciónocorresponaunacircumferència.
10.Escriu les equacions de les circumferències següents:
Encadacasaplicareml’equaciógeneral:
(xa)2(yb)2r2
a) C(0, 2), r 2
x2(y2)24
b) C(2 ,0), r 2
(x2)2y24
c) C(2, 2), r 4
(x2)2(y2)216
d) C(1, 1), r √2
(x1)2(y1)22
11.Determina l’equació de la circumferència circumscrita al triangle de vèrtexs A(2, 0), B(0, 4) i O(0, 0).
El circumcentre d’aquest triangle es pot trobar gairebé d’una manera immediata. Recordes com ferho? Representa els punts en uns eixos cartesians i ho veuràs.
Els tres punts determinen un triangle rectangle d’hipotenusaAB.ElcircumcentredeltriangleéselpuntmitjàdeAB.
2 4C—,— →
2 2
→ C(1,2)iradi→OC√5r
Equació:(x1)2(y2)25
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd73 73 15/2/08 11:00:07
74 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
12.Una circumferència passa pels punts A(2, 1), B(2, 4) i C(0, 2). Determina’n el centre i el radi i escriune l’equació.
Perdeterminarelcircumcentrecaltrobarlaintersecciódeduesmediatrius.
3 MediatriudelcostatAB:y— 2
6 Mediatriudel costatBC:pendentdeBC → m—3; el
1 2 pendentdelaperpendicular:m —ipassapelpuntmitjà
deBC:(1,1). 3
1 4y —x—
3 3
Intersecciódelesduesmediatrius:
1 4 y —x— 3 3 1 3 5 6 —,—(centre) 3 2 2 y— 2
25 Elradi(Centre,C)√
——
2
Equaciódelacircumferència:
1 3 25x—2
y—2
—— 2 2 2
13.Expressa en la forma x2 y2 mx ny p 0, l’equació de la circumferència que passa pels punts (0, 3), (3, 0) i (1, 1).
Substituircadascundelspuntsax2y2mxnyp0.
9p(0,3) → 93np0 → n———
3
9p(3,0) → 93mp0 → m———
3
(1,1) → 11mnp0
9p 9p2——————p0 →
3 3
24→ p ———
5
7 Substituint:nm—— 5
7 7 24 Equació: x2y2——x——y——0 5 5 5
14.Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i tangent a la recta y 2. Escriune també l’equació.
Elradiés2il’equació,x2y24.
15.La recta que passa pels punts A(1, 3) i B(3, 0) és tangent a una circumferència de centre C(3, 4). Troba l’equació d’aquesta circumferència.
Elradidelacircumferènciaés ladistànciadelcentrealarectatangent.Caltrobarprimerl’equaciód’aquestarecta.Elpendentés
3m ——
4
i,pertant,l’equaciódelarectatangentés:
3 9y —x— → 3x4y90
4 4
Elradidelacircumferènciaésladistànciadelcentre(3,4)alarecta:
33449 16r——————————
√ 3242 5
Equaciódelacircumferència:
256(x3)2(y4)2——
25
16. Troba l’equació de la circumferència de centre (1, 1) i tangent a la recta y 2x 3.
Comenl’exercicianterior.Equaciódelarectatangent:
2xy30.
2(1)13 4r——————————
√ 2212 √5
Equaciódelacircumferència:
16(x1)2(y1)2——
5
1 917.Una circumferència de centre C—, — és tangent a la bi 2 4 sectriu del primer i tercer quadrants. Escriu l’equació de la
circumferència.
Labisectriudelprimerideltercerquadrantséslarectad’equa-cióxy0.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd74 74 15/2/08 11:00:08
75MATEMÀTIQUES 1 LA
1 9 7 —— — 2 4 4 7
r——————————— √ 1212 √ 2 4√ 2
Equaciódelacircumferència:
1 9 49x—2
y—2
—— 2 4 32
18.Troba la posició relativa de la recta x y 0 i la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0.
Laposiciórelativaesdeterminaresolentelsistemaformatperlesduesequacions,ladelarectailadelacircumferència:
xy0
5 x2y24x2y10
xy
5 x2x24x2x10
2x26x10 → 3√7 x1———— 6√368 2 → x——————— 4 3√7 x2———— 2
Espotafirmarquelarectaéssecantalacircumferència,jaquetédospuntsencomú:
3√7 3√7 3√7 3√7 ———,——— i ———,——— 2 2 2 2
19.Determina la posició relativa de les circumferències d’equacions:
x2 y2 12x 35 0 i (x 3)2 y2 4
x2y212x3506 x2y26x50
Restemlesduesequacions:
6x300 → x5
Substituïmx5enunadelesduesequacions:
25y23050 → y0
Lesdues circumferències són tangentsenelpunt (5,0). Calesbrinar,però,sisóntangentsexteriorsointeriors:
Centres:(6,0)i(3,0)
Radis:1i2
Ladistànciaentreelscentresés lasumadelsdosradis,ésadir,123.Pertant,lescircumferènciessóntangentsex-teriors.
20.Una circumferència amb centre en el punt (2, 3) és tangent a l’eix de les abscisses. Determina’n el radi i l’equació. Ajuda’t d’un dibuix.
Elradiésladistànciadelcentreal’eixdelesabscisses:
r3
Equació:(x2)2(y3)29
21.Expressa, per mitjà d’una inequació, la condició per tal que un punt P(x, y) sigui exterior a una circumferència de centre (1, 0) i radi √3.
Elspuntsexteriorsaunacircumferènciaestrobenaunadistàn-ciadelcentremésgranqueelradi.Lainequacióés:
(x1)2y23
22.Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 3. Sense fer cap càlcul localitza un punt interior, un d’exterior i un de la circumferència. Hi pot haver algun punt de la circumferència amb abscissa 4? Raona la resposta.
Respostaoberta.
Perexemple:
Punt interior: (1, 1); punt exterior (4, 3); punt de la cir-cumferència:(3,0).
Nohipothavercappuntd’abscissa4,jaquetotselspuntsdelacircumferènciaverifiquen3x3.
23.Escriu l’equació de la recta tangent a la circumferència C en el punt P que pertany a aquesta circumferència en els casos següents:
Encadacascaltrobarl’equaciódelarectaperpendicularalradienelpuntdetangència.Calrecordarquemm 1.
a) x2 y2 2x 4y 3 0 i P(0, 1)
Centre:(1,2);pendentCP → m1;pendentperpendicu-lar:1;equaciódelarecta:y x1.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd75 75 15/2/08 11:00:10
76 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) x2 y2 2x 10y 13 0 i P(1, 2)
3 Centre: (1,5);pendentCP → m —;pendentper- 2
2 2 4 pendicular:—;equaciódelarecta:y—x—. 3 3 3
c) x2 y2 6 0 i P(√3, √3)
Centre:(0,0).PendentCP → m 1;pendentperpendi-cular:1;equaciódelarecta:yx 2√3.
24.Troba k per tal que la recta x y k 0 sigui tangent a la circumferència x2 y2 2.
Elsistemaformatperlesduesequacionscalquetinguinomésunasolució;ésadir,eldiscriminanthadeserigualazero.
xyk06 y xk
x2y22 x2(xk)22 →
→ x2x22kxk220
2x22kxk220
(2k)28(k22)0 → k 2
Hihaduesrectestangents.
25.Considera el feix de rectes que passen pel punt P(0, 2). Troba les dues rectes del feix que són tangents a la circumferència de centre C(1, 1) i radi √2.
ElfeixderectesquepassaperPés
ymx2
Equaciódelacircumferència:
(x1)2(y1)22 →
→ x2y22x2y0
Procedimcomenl’exercicianterior:
x2(mx2)22x2(mx2)0 →
→ 0 → m11,m2 7
Lesrectessón: yx2 i y 7x2.
26.Una circumferència té com a tangents els eixos de coordenades. En quina recta es troba el seu centre?
Elcentreestrobaenunadelesduesbisectriusd’equacions:
yx i y x
27.Calcula la potència del punt P(2, 3) respecte d’una circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 4. Quina és la posició del punt respecte de la circumferència?
Lapotènciaescalculasubstituintlescoordenadesdelpuntenl’equació de la circumferència, ja que correspon a l’expressió pd2r2.
Equaciódelacircumferència:
x2y240
p22(3)249
Elpuntésexterioralacircumferència,jaquep90.
28.Considera la circumferència tangent a la bisectriu del segon i quart quadrants i de centre el punt (0, 3) i la circumferència d’equació x2 y2 14x 8y 56 0. Troba l’equació de l’eix radical de les dues circumferències. Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que determinen els centres de les dues circumferències. Fesne un dibuix.
Caltrobarelradidelacircumferènciaqueéstangentalarectayx0:
3 3r————————
√ 1212 √2
Equació: 9
(x0)2(y3)2— → 2 9
→ x2y26y—0 2
L’equaciódel’eixradicalestrobaigualantlesduesequacions: 9
x2y26y— 2
x2y214x8y56 →→ 28x4y1030
1 Larectadelscentres(0,3)i(7,4)tépendent——,l’eixra- 1 7 dicaltépendent7.Comque7— 1,lesduesrectes
sónperpendiculars. 7
29.Intenta trobar l’eix radical de dues circumferències concèntriques de centre el punt (1, 1) i de radis 3 i 4, respectivament. Què observes? Raona la resposta.
Lesduescircumferènciestenenequacions:
(x1)2(y1)290 i(x1)2(y1)2160
Enigualar-lesobtindríem9 16.Comquenoesverificalaigualtat,noexisteixl’eixradical.
30.Determina l’equació que verifiquen tots els punts P(x, y) del pla que tenen potència 12 respecte de la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0. Quina figura determinen?
ElspuntsP(x,y)calqueverifiquin:
x2y24x2y112 →→ x2y24x2y110
Formenunacircumferènciaconcèntricaambladonadaideradi4.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd76 76 15/2/08 11:00:11
77MATEMÀTIQUES 1 LA
31.Fes una construcció geomètrica de l’eix radical de dues circumferències tangents, exteriors i secants.
L’eixradicaléslarectaperpendicularaladelscentrespelpuntde tangència. Si les circumferències són secants, és la rectadeterminadapelsdospuntsd’intersecció.
32.Determina el focus i la directriu de les paràboles d’equacions:
y2 6x i x2 10y
Caldeterminarelparàmetrepperobtenirelfocusiladirectriu.
y26x → 2p6 → p3
3 3 Focus:F—,0;directiu:x — 2 2
x2 10y → 2p 10 → p 5
5 5 Focus:F0,——;directiu:y— 2 2
33.Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’origen de coordenades, l’eix és la recta y 0 i conté el punt (1, 4).
Laparàbolaseràdelaformax2aysicontéelpunt(1,4) → 1 1
→ 1a(4) → a— → x2—y. 4 4
34.Troba el valor del paràmetre p de la paràbola d’equació x2 2py, sabent que el punt P(4, 2) pertany a la paràbola.
P(4,2) → (4)22p2 → p4
35.Representa gràficament aquestes paràboles i determina’n els diferents elements:
a) y2 4x
F(1,0)
d:x1
b) x2 6y
3 F0,— 2
3 d:y— 2
c) y x2 4x
15 F2,—— 4
17 d:y —— 4
36.Escriu l’equació de les dues paràboles que verifiquen aquestes condicions: tenen el vèrtex a l’origen de coordenades, els eixos coincideixen amb els eixos de coordenades i ambdues passen pel punt (4, 4). Representa gràficament aquestes paràboles i indica’n el focus i la directriu.
La paràbola que té com a eix el d’abscisses té una equa-ciódel tipusy22px.Sipassapelpunt(4,4)tindrem: 16 8p → p 2.
Equació:y2 4x.Focus:(1,0);directriu:x1.
Laparàbolaquetécomaeixeldelesordenadestéunaequa-ciódel tipusx22py.Sipassapelpunt(4,4)tindrem: 16 8p → p 2.
Equació:x2 4y.Focus(0,1);directriu:y1.
37.Determina els semieixos, els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de l’el.lipse d’equació:
x2 y2
— — 1 9 4
x2 y2
Siidentifiqueml’equacióamb————1obtenim: a2 b2
a3ib2.Sitenimencomptequea2b2c2 → c √5.
Vèrtexs:(3,0),(3,0),(0,2)i(0,2)
Focus:(√5,0)i(√5,0)
c √5 Excentricitat:e——— a 3
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd77 77 15/2/08 11:00:13
78 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
38. Escriu l’equació de l’el.lipse centrada a l’origen de coordenades, amb un focus en el punt (12, 0) i de semieix gran 13.
Siunfocusés(12,0) → c12ia13.Pertrobarbhiapliquem:
132b2122 → b225
x2 y2
Equació:————1 169 25
39.Calcula els paràmetres a, b, c i e de l’el.lipse d’equació 9x2 16y2 144.
Dividiml’equació9x216y2144per144ilasimplifiquem:
x2 y2
————1 → a4ib3; 16 9
a2b2c2 →169c2 → c√7
√7e——
4
40.Troba l’equació de l’el.lipse de centre l’origen de coordenades sabent que un dels focus se situa en el punt (2 √ 7, 0) i que passa pel punt (4, 3 √ 3).
F(2√7,0)iF(–2√7,0),P(4,3√3).EnserPunpuntdel’el.
lipseesverifica:
16 27————1 i
a2 b2
a2b2(2√7)2b228
Resolemelsistema,ambincògnitesa2ib2.
a2b228 16 27
————1 6 a2 b2
Lessolucionssón:b236ia264
x2 y2
L’equació: ————1 64 36
41.Escriu l’equació de la circumferència principal de l’el.lipse de l’exercici anterior.
Lacircumferènciaprincipaltécentre(0,0)ira8.
Equació:x2y264
42.Determina els paràmetres a, b i c i l’excentricitat de la hipèrbola que té l’equació següent:
x2 y2
—— — 1 16 9
x2 y2
Enl’equació————1, 16 9
a4ib3;c2a2b225 → c5.
c 5 Excentricitat:e—— a 4
43.Determina l’equació d’una hipèrbola equilàtera un dels focus de la qual se situa al punt (√ 2, 0). Calcula’n l’excentricitat.
Enunahipèrbolaequilàtera,abil’equacióés:x2y2a2.
F(√ 2,0) → c√ 2 →→ c2a2b22a2 →→ (√ 2)22a2 → a1
Equació:x2y21
44.Troba els valors de a, b, c i e a la hipèrbola d’equació 2x2 3y2 12.
Dividimelstermesdel’equacióper12isimplifiquem:
x2 y2
2x23y212 → ————1 → 6 4
→ a√ 6 ib2
c2a2b26410 → √ 10 √ 5
→ c√ 10ie———— √ 6 √ 3
45.El semieix real d’una hipèrbola és 3 i la semidistància focal, 10. Escriune l’equació reduïda.
Les dades que ens dóna l’enunciat ens permeten deduir que a3ic10.
10232b2 → b291
x2 y2
Equació: ————1 9 91
46.Demostra que l’excentricitat de totes les hipèrboles equilàteres és e √ 2.
c Excentricitat:e—.Enunahipèrbolaequilàtera,c2 2a2→ a √2a → c√ 2a → e——√ 2. a
Activitatsfinals
1.Esbrina si els punts P(1, 2), Q(2, 1) i R(0, 0) es troben en una mateixa circumferència. Si és així, determina’n el centre, el radi i l’equació.
Elstrespuntsnoestanalineatsi,pertant,estrobenenunama-teixacircumferència.Podemsubstituircadapuntenl’equació:
x2y2mxnyp0
(1,2) → 14m2np0 (2,1) → 412mnp0 6 (0,0) → p0
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd78 78 15/2/08 11:00:14
79MATEMÀTIQUES 1 LA
5 Resolemelsistemaitrobem:mn— 3 5 5 Equació:x2y2—x—y0 3 3
5 5 5√ 2 Centre—,—iradir——— 6 6 6
2.Determina el centre i el radi de la circumferència
2x2 y2 4x 12y 12 0.
L’equació2x2y24x12y120noéslad’unacir-cumferència,jaqueelscoeficientsdelstermesdesegongrausóndiferents.
3.a) Escriu l’equació de la circumferència de centre (3, 2) i tangent a l’eix de les abscisses.
Lacircumferènciadecentre (3,2) i tangenta l’eixde lesabscissestéradir2.L’equacióés:
(x3)2(y2)24 →→ x2y26x4y90
b) Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 2) i tangent a l’eix de les ordenades.
Lacircumferènciadecentre (1,2) i tangenta l’eixdelsordenadestéradir1.L’equacióés:
(x1)2(y2)21 →→ x2y22x4y40
c) Troba l’eix radical de les dues circumferències que has determinat en els apartats a) i b).
L’equaciódel’eixradicals’obtéigualantlesduesequacions:
x2y26x4y9 5
x2y22x4y4 → x— 8
d) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta determinada pels dos centres.
La rectadeterminadapelsdoscentres (3,2) i (1,2)ésla recta d’equació y 2 que és perpendicular a la rectad’equació
5 x—. 8
4.Determina l’equació de la circumferència de radi 4 i que passa pels punts A(1, 2) i B(3, 4).
Ladistànciadelcentre(x,y)acadapuntéselradidelacir-cumferència:
√ (x1)2(y2)24 i
√ (x3)2(y4)24
x22x1y24y416
x26x9y28y1616 6
Restantisimplificants’obté:xy5
Substituintenunadelesduesequacionss’obtenendosvalors.Hihaduescircumferènciesdecentres:
(2√ 7,3√ 7) i (2√ 7,3√ 7)
Lesequacionssón:
(x(2√ 7))2(y(3√ 7))216
(x(2√ 7))2(y(3√ 7))216
5. Una circumferència és tangent a la recta y x 1 en el punt d’abscissa 3. Se sap que la circumferència també passa pel punt A(3, 1). Troba l’equació d’aquesta circumferència.
Elcentredelacircumferènciaestrobaenlaintersecciódelarectaperpendicularalatangentenelpunt(3,4)ilamedia-triudelsegmentdeterminatperaquestpuntiel(3,1).Lesequacionsd’aquestesrectessón,respectivament:y x 7 i 3
y—. 2 11 3 Elcentreéselpunt——,—.Elradiéselmòduldelvector 2 2 5 entreelcentreielpunt(3,4) → r—— √ 2 11 3 25 Equació: x——
2
y—2
—— 2 2 2
6.L’incentre d’un triangle és el centre de la circumferència inscrita en el triangle. Si els vèrtexs d’un triangle són els punts (0, 0), (0, 4) i (4, 0), quina és l’equació de la circumferència inscrita? Fesne un dibuix.
L’incentreéslaintersecciódelesbisectrius.Unadelesbisec-triuséslarectayx.Caltrobar-neunaaltra.
Consideremlesrectesy x4ix0.Labisectriudel’an- xy4
glequeformenambduesrectesés————— x,jaqueés √ 2 laquecorresponalpendentnegatiu.Elpuntd’interseccióés
(42√ 2,42√ 2)queéselcentre.Ladistànciad’aquestpuntalarectax0;perexemple,ensdónaelradir42√ 2.
Equació:
(x(42√ 2))2(y(42√ 2))2
(42√ 2)2
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd79 79 15/2/08 11:00:16
80 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
7. Dibuixa la circumferència que té com a equació
x2 y2 6x 6y 9 0
Considera el punt P(3, 1). Troba la potència i la posició d’aquest punt respecte de la circumferència. Troba el punt més proper i el més llunyà a P que pertanyin a la circumferència.
Potència:p32126361931.Comquep0,elpuntésexterioralacircumferència.
Larectadeterminadapelcentre(3,3)ielpunt(3,1)contéundiàmetredelacircumferència.Elsextremsd’aquestdiàmetresónelspuntsqueesdemanen.
1 Equaciódelarecta:y —x2 3
Interseccióamblacircumferència:
x2y26x6y90 6 1
y —x2 3
9·√ 10 3√ 10x1 3———— → y13———
10 10
9√ 10 3√ 10x2 3——— → y23———
10 10
Elprimerparelldevalorscorresponalpuntmésproperil’altrealmésllunyà.
8.Escriu les equacions de les rectes tangents a la circumferència x2 y2 6x 4y 4 0 en els punts en què talla els eixos de coordenades.
Elspuntsdetallambelseixosdecoordenadess’obtenenfentx0iy0,respectivament:
x2y26x4y40 6 → (0,2) x0
x2y26x4y40 6 → (3√ 5,0) y0 (3√ 5,0)
Latangentenelpunt(0,2)éslarectax0.
Pertrobarlesaltresduestangentscaldràbuscarlarectaper-pendicularalaquedeterminaelcentreambcadapunt,peraaquestpunt.Lesrectesquesen’obtenensón:
√ 5 Pera(3√ 5,0) → y——(x(3√ 5)) 2
√ 5 Pera(3√ 5,0) → y ——(x(3√ 5)) 2
9.Els punts que són d’un cercle tenen una inequació que els representa. Escriu la inequació del cercle de centre l’origen de coordenades i radi 3.
Elspuntsd’uncerclesónelsdelacircumferènciaqueellimitaitotselsinteriors.Verifiquenlainequacióx2y29.
10. Troba la posició relativa de la recta d’equació 2x 3y 4 0 i la circumferència de centre (4, 3) i radi 5.
Caldeterminarquinssónelspuntsquetenenencomúlarectailacircumferència.
Equaciódelacircumferència:
(x4)2(y3)225
Calresoldreelsistemad’equacionspersubstitució:
2x4 5 2x3y40 → ————y 3
x2y28x6y0 →
2x4 → x2————
2
8x2(2x4)0 3
L’equació13x292x560téduessolucions,pertant,larectaéssecantalacircumferència.
11.Considera la circumferència x2 y2 2x 8y 12 0. Escriu l’equació de la circumferència concèntrica que té de radi √ 5 unitats més que la primera.
Lacircumferènciad’equacióx2y22x8y120técomacentreelpunt(1,4)ideradi,r√ 5.
Lacircumferènciaconcèntricatéderadi:
√ 5√ 52√ 5
Equació:
(x1)2(y4)2(2√ 5)220 →
→ x2y22x8y30
12.Des d’un punt exterior a una circumferència es poden traçar dues rectes tangents a la circumferència. Considera el punt P(2, 0) i la circumferència x2 y2 6x 4y 9 0. Traça les rectes tangents a la circumferència des del punt P. Determina les equacions d’aquestes dues rectes.
Unadelestangentséslarectay0,comespotcomprovarenlafigura.L’altratangents’obtéenferquelaintersecciódelesrectesym(x2),quepassenpelpunt(2,0),tinguinunaúnicainterseccióamblacircumferència:
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd80 80 15/2/08 11:00:18
81MATEMÀTIQUES 1 LA
ym(x2)
5 x2y26x4y90 →
→ x2[m(x2)]24m(x2)
6x90 →
→ x2m2x24m2x4m24mx
8m6x90
200 → m10 i m2——
21
20 20 m2——ensdónalarectay——(x2);m1ensdónala 21 21 rectay0.
13. Calcula la potència de l’origen de coordenades respecte de la circumferència que té el centre a la recta d’equació 2x y 0 i és tangent a l’eix d’ordenades i a la recta d’equació x y 3 0.
Enprimerlloc,caltrobarl’equaciódelacircumferència.
Sitéelcentreenlarecta2xy0significaqueelcentretécomacoordenades(x,2x).
Si és tangenta l’eixd’ordenades significaque r x i pertrobarrcalculemladistànciadelcentrealarectaxy30:
x2x3 √ 2x x3
rx—————— √ 2 √ 2x x3
Sen’obtenendosvalorsperalradi:
x1 3(√ 21) i x23(√ 21)
Pertant,hihaduescircumferències:
C1:(x3(√ 21))2(y6(√ 21))2
(3(√ 21))20
C2:(x3(√ 21))2(y6(√ 21))2
(3(√ 21))20
Percalcularlapotència,substituïmper(0,0)enelprimermem-bredecadaequació:
p1:10872√ 2; p2:10872√ 2
14.Determina la interpretació geomètrica de la potència del punt P respecte d’aquesta circumferència. Observa el triangle rectangle que es forma a la figura 6.27 i calcula la longitud del segment PT.
ElsegmentPTésunsegmentdelatangentenelpuntT.Eneltrianglerectangle:PT2d2r2,queésl’expressiódelapotèn-ciadelpuntPrespectedelacircumferència:
PT√ d2r2√ p
15.Considera les circumferències: C: x2 y2 4x 10y 20 0 i C que té el centre en el
punt (3, 7) i passa pel punt (2, 7).
Caltrobarl’equaciódelacircumferènciaCquetécentreenelpunt(3,7)iradielmòduldelvectorquedeterminenelsdospunts:(5,0)5r.
C:(x3)2(y7)252 → x2y26x14y330
a) Troba la posició relativa de les dues circumferències.
IntersecciódeCiC:
x2y24x10y200 5 x2y26x14y330
Restant: 1310x
10x4y130 → y————— 4
1310xx2—————
2
6x 4
1310x14—————330
4
L’equacióqueenresulta,116x2204x310,téduessolucions;pertant,lescircumferènciessónsecants.
b) Escriu l’equació de l’eix radical de C i C.
L’eixradicalestrobarestantlesduesequacionsquejahemresoltenl’apartatanterior.
Eixradical:10x4y130
c) Troba la intersecció de l’eix radical amb C. Què observes? Explicaho.
Laintersecciódel’eixradicalambCiambCéslamateixa,jaquel’eixradicalestàdeterminatpelspuntsd’intersecciódelesduescircumferències.
d) Calcula la longitud de la corda que determina l’eix radical amb C.
Lalongituddelacordavedeterminadaperladistànciadelsdospuntsd’intersecció.
Demaneraaproximada,aquestspuntssón(1,9,6)i(0,14,2,9).Lalongituddelacordaés3,7.
16.Determina k per tal que la recta 3x y k 0 sigui tangent a la circumferència d’equació x2 y2 6x 0. Hi ha més d’una solució? Raona la resposta.
Larectaéstangentsinoméshitéunpuntencomú.Busquemlaintersecció:y 3xk.
x2(3xk)26x0 →→ 10x2(6k6)xk20
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd81 81 15/2/08 11:00:20
82 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Pertalqueaquestaequaciónoméstinguiunasolució,eldiscri-minanthadeser0:
(6k6)240k20 → 18√ 360
→ k218k90 → k——————–– 9 3√ 10 2
Hihadosvalorsdekquecorresponenaduesrectesparal.lelestangentsalacircumferència.
17.El punt P(0, 1) és de la circumferència: x2 y2 3x 2y 3 0? Troba l’equació de la recta
tangent a la circumferència per aquest punt.
El punt pertany a la circumferència perquè al substituir enl’equaciósesatisfà la igualtat.Cal trobarel centrede lacir-cumferènciaqueambelpuntP(0,1)determinenunarecta.Laperpendicularperaquestpuntéslarectatangent.
3 Centredex2y23x2y30 → C—,1 2 4 PendentdelarectaCP:m — 3 3 pendentdelaperpendicular:m — → 4 3 → y—x1ésl’equaciódelarectatangent. 4
18.Determina l’equació del lloc geomètric dels punts del pla tals que la distància al punt (2, 0) és sempre la meitat de la distància a la recta y x 8.
DonatunpuntP(x,y)posemlacondiciósegüent: 1 xy8
√ (x2)2y2——————— 2 √ 2 Sielevemaquestaexpressióalquadratobtenim: 1 (xy8)2
(x2)2y2——————— 4 2
queésl’equaciódelllocgeomètric.
19.Calcula m per tal que la recta d’equació y x m sigui tangent a l’el.lipse x2 2y2 6.
Procedimcomenl’exercici16:
x22(xm)26 →→ 3x24mx2m260
(4m)212(2m26)0 → m 3
Hihaduesrectestangentsal’el.lipse.
20. Dibuixa de manera aproximada la paràbola d’equació x2 6y.
Indica’n:
a) Les coordenades del focus.
3 Focus:F0,—— 2
b) Les equacions de la directriu i de l’eix.
3 Directriu:y——; eix:x0 2
c) La longitud de la corda perpendicular a l’eix pel focus.
3 Caltrobarlaintersecciódelaparàbolaamblarectay ——: 2
x2 6y 3 → x29→ x 3 y ——6 2
Lalongituddelacordaés:3∙2 6.
21.Troba l’equació de l’el.lipse els focus de la qual són els punts (6, 0) i (6, 0) sabent que la suma de distàncies d’un punt qualsevol de l’el.lipse als focus és constant i igual a 20.
Apartirdelesdadespodemdeduirquec6ia10.
a2b2c2 → b21003664
x2 y2
Equaciódel’el.lipse:————1 100 64
22.Escriu l’equació de la hipèrbola centrada a l’origen de coordenades sabent que un dels focus és el punt (6, 0) i que el semieix real és 5.
Apartirdelesdadespodemdeduirquec6ia5.
c2a2b2 → b2362511
x2 y2
Equaciódelahipèrbola:————1 25 11
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd82 82 15/2/08 11:00:22
83MATEMÀTIQUES 1 LA
23.Els focus d’una el.lipse centrada a l’origen de coordenades es troben situats a l’eix d’abscisses. Determina’n l’equació sabent que e 0,6 i b 8.
Perescriurel’equacióenscaltrobara.Relacionemlesdades:
c e0,6—ia2b2c2 → a264c2
a
c0,6a → a2640,36a2 →
→ 0,64a264 → a2100
x2 y2
Equaciódel’el.lipse:————1 100 64
24.Identifica els focus i els vèrtexs de la hipèrbola d’equació x2 y2
—— —— 1. Calcula’n l’excentricitat. 144 25
x2 y2
Del’equació————1esdedueix:a12ib5. 144 25
Elsvèrtexssón:(12,0)i(12,0).
c2a2b2
14425169 → c13
Focus:(13,0)i(13,0)
c 13 Excentricitat:e——— a 12
x2
25.Dibuixa la paràbola y —— i determina’n: 4
a) El focus.
Focus:dex24y → p2ielfocusF(0,1)
b) L’equació de la directriu.
Directriu:y 1
c) El vèrtex.
Vèrtex:(0,0)
x2
26. Identifica el vèrtex de la paràbola d’equació y —— x 6. 4 Relaciona el seu gràfic amb el de la paràbola de l’exercici
anterior. Dóna’n el focus i la directriu.
x2
Elvèrtexdelaparàbolay——x6éselpunt(2,5)→ 4 b → xv ——. 2a
El gràfic d’aquesta paràbola és elmateix que el de l’exercicianterior traslladantel vèrtex (0,0)alpunt (2,5). Tambéhitrasllademelfocusiladirectriu:
Focus:(2,6)
Directriu:y4
427.L’excentricitat d’una el.lipse és e —. Escriu la seva equació 5 sabent que a 10. Representala gràficament.
c 4 ce———— → c8
a 5 10
a2b2c2 → b21006436
x2 y2
Equaciódel’el.lipse:————1 100 36
28.Dibuixa de manera aproximada una hipèrbola que tingui com a vèrtex A(0, 3) i A(0, 3) i un dels seus focus sigui F(0, 5). Escriune l’equació.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd83 83 15/2/08 11:00:23
84 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Perlesdades:a3ic5
c2a2b2 → b225916
Enserl’eixd’ordenadeseldelahipèrbola,l’equacióhadeser
talqueescorresponguiambeldibuix,ésadir,quecontingui
elsvèrtexs.
y2 x2
Equaciódelahipèrbola:————1 9 16
29.Relaciona les excentricitats d’una el.lipse i d’una hipèrbola amb el número 1.
c L’excentricitatése—entoteslescòniques. a
Enl’el.lipse:ca → e1
Enlahipèrbola:ca → e1
30.Identifica les paràboles següents sabent que les seves equacions són:
a) y2 8x b) x2 8y
a)
Corresponalaparàbolad’equacióx2 8y.
b)
Corresponalaparàbolad’equacióy2 8x.
31.La circumferència principal d’una el.lipse té d’equació x2 y2 16. Escriu l’equació de l’el.lipse sabent que l’excentricitat és
1 e —. 2
Lacircumferènciaprincipaléslaqueverifica:ra.
Enlacircumferència
x2y216 → ra4
c c 1e——— → c2 →
a 4 2
→ a2b2c2 → b216412
x2 y2
Equaciódel’el.lipse:————1 16 12
x2 y2
32.Considera l’el.lipse d’equació —— —— 1. Representala 36 9 gràficament i traça la recta perpendicular a l’eix de les abs
cisses per a un dels focus. Troba la longitud del segment d’aquesta recta determinat per la seva intersecció amb l’el.lipse.
a6 i b3
a2b2c2 → c227 → c√ 27
CalbuscarladistànciaPP2PF.ElpuntPtéabscissa√ 27il’ordenadalatrobaremensubstituirenl’equació:
(√ 27)2 y2 9 3—————1 → y2— → y —
36 9 4 2
3 LadistànciaPPés2—3. 2
33.Una circumferència té el centre en la bisectriu dels segon i quart quadrants i passa pels punts (0, 3) i (1, 2). Determina’n el centre i el radi. Quina és l’equació d’aquesta circumferència?
Elcentreestrobaalamateixadistànciadelsdospunts.Estro-baenlamediatriudelsegmentquedeterminen.Laintersecciód’aquestarectaamblaquetécomaequacióy xensdónaelcentre.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd84 84 15/2/08 11:00:24
85MATEMÀTIQUES 1 LA
Elpendentdelarectaquepassapelspunts(0,3)i(1,2)és
m 1;elde laperpendicularésm1, ipassapelpunt
1 5 mitjà—,— → yx2. 2 2
yx2 6 C(1,1) y x
Radi:mòduldelvector(1,2) → r√ 5
Equaciódelacircumferència:
(x1)2(y1)25
34.Traça les dues tangents a la circumferència d’equació x2 y2 4 des del punt P(5, 5). Troba les equacions d’aquestes dues rectes.
Consideremelfeixderectesquepassenpelpunt(5,5)iimposem
lacondicióquelasevadistànciaa(0,0)siguiigualalradi2.
Recta:
y5m(x5) →
→ mxy5m50
5m52—————— → 4(m21)
√ m21
(5m5)2 → 21m250m210
50√ 736m—————— ⇒ m11,84;m2 0,54
42
(demaneraaproximada)
Lesrectes:
y51,84(x 5) i
y50,54(x5)
Avaluació
1. Donades tres circumferències, quants punts existeixen de forma que tinguin la mateixa potència respecte de les tres circumferències? Raona la resposta.
Existeixunúnicpuntque té lamateixapotència respectedecadascunadelescircumferències.S’anomenacentreradicaldelestrescircumferències.Estrobafentlaintersecciódedosdelstreseixosradicalsquelestrescircumferènciesdeterminen.
2. Troba l’equació de l’el·lipse que té un focus al punt F(2, 0) i un vèrtex al punt A(5, 0).
( ) ( )( ) ( )
,0 2,0 2
,0 5,0 5
F c F c
A a A a
→ → =
→ → =2 2 2 2 2 2 2 25 2 25 4 21a b c b b b− = → − = → − = → =
Aleshoresl’equacióés:2 2
125 21x y+ =
3. Determina els elements característics de la hipèrbola d’equació x2 y2
———— 1. 16 9
2
2
16 4
9 3
a a
b b
= → =
= → =
Vèrtexs: ( ) ( )'4,0 4,0A i A − .
Focus: 2 2 2 2 2 24 3 16 9 25 5c a b c c= + → = + = + = → =
( ) ( )5,0 ' 5,0F i F − .
Excentricitat:54
ce
a= = .
4. Donades les circumferències C1 : x
2 y2 9 0 i C2 : x2 y2 2x 6y 3 0.
a) Troba la potència i posició del punt P(1, –3) respecte a 1C .
b) Troba l’eix radical de les dues circumferències.
c) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que uneix els dos centres.
a) ( )221 3 9 1 9 9 1 0p = + − − = + − = > .Puntexterior.
b) Igualemlesduesequacions:2 2 2 29 2 6 3 9 2 6 3 2 6 6 0 3 3 0x y x y x y x y x y x y+ − = + − + − → − = − + − → − + + = → − + + =
2 2 2 29 2 6 3 9 2 6 3 2 6 6 0 3 3 0x y x y x y x y x y x y+ − = + − + − → − = − + − → − + + = → − + + =
c) Elscentressón: ( ) ( )1 20,0 1, 3C i C − .Un vector director de la recta que uneix els centres és→
v ( )1, 3v = −r
.
Unvectordirectordel’eixradicalés→
w ( )3,1w =ur
.
Sifemelproducteescalar:→
v•→
w (1,3)•(3,1) 1·3 (3)·1 3 3 0.
Aleshores,sónperpendicularsambduesrectes.
032-085_Sol-Mates_Batx1-cat.indd85 85 15/2/08 11:00:26
86 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
jUnitat7.Polinomis
Activitats
1. Indica el grau i els coeficients de cadascun d’aquests polinomis:
a) A(x) x3 3x2 2
Grau3;coeficients:1,3,0i2.
1 b) B(x) x4 √ 2 x2 —x 3
1 Grau4;coeficients:1,0,√ 2,—i0. 3
5 8 c) C(x) 3x2 —x — 4 5
5 8 Grau2;coeficients:3,—i—. 4 5
d) D(x) x4 x3 x2 x 1
Grau4;coeficients:1,1,1,1i1.
2.Escriu un polinomi que sigui:
Respostesobertes.Perexemple:
a) De tercer grau i amb dos termes.
2x37
b) De quart grau i amb cinc termes.
x43x32x27x1
c) De segon grau i amb un terme.
5x2
d) Hi ha algun polinomi de tercer grau amb cinc termes? Per què?
Nohihacappolinomide3rgrauamb5termes.Comamàximenpottenir4.
3. Indica quines de les expressions algèbriques següents no són polinomis. Justifica’n les respostes.
5 a) — 1 x 2 1
b) ——— 5
√ x4
d) —— 9
x 3 x 2 1f ) — — —
3 2 x
√
x2
c) x3 x2 x 1
x2 x 2 e) ————— x
Les expressions a) c) e) i f) no són polinomis, ja que laindeterminadaxapareixelevadaa2ia1,respectivament.Enl’ex-
x pressiód)s’obté—,quesíésunpolinomi. 3
4.Calcula, per a x 1, el valor numèric del polinomi:
A(x) x3 x2 x 1
Elvalornumérics’obtéensubstituirxper1:
A(1)(1)31(1)2(1)12
A(1)2
5.Determina els coeficients a, b i c perquè els polinomis següents siguin idèntics:
B(x) x4 x2 1 i
C(x) x4 ax3 bx2 cx 1
Identificardospolinomisdequartgrauésigualarelscoeficientsdelmateixgrau:
a0 b1 c0
6.Donats els polinomis:
3 A(x) x3 3x2 5x — 4 7 B(x) x3 —x 3 2
C(x) 2x2 4x
Calcula:
a) A(x) B(x)
3 A(x)B(x)x33x25x— 4
7 17 9 x3—x33x2——x— 2 2 4
b) A(x) B(x)
A(x)B(x)
3 7x33x25x—x3—x3
4 2
3 152x33x2—x——
2 4
c) C(x) B(x) A(x)
9 9 C(x)B(x)A(x)x2—x— 2 4
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd86 86 20/2/08 19:50:48
87MATEMÀTIQUES 1 LA
4 x
7— x2
5 x
9— x2
2 x2
3 x2
x2
x3
x3
C (x)
B (x)
A (x)
C (x)B (x)A (x)
3
3—4
9—4
d) B(x) [A(x) C(x)]
B(x)[A(x)C(x)]
11 152x35x2——x——
2 4
7— x2
5 x
4 x
11— x2
3 x2
2 x2
5 x2
x3
x3
2 x3
B (x)
A (x)
C (x)
B (x)A (x)C (x)
3
3—4
15—4
e) x2 [B(x) C(x)]
x2[B(x)C(x)]
7x2 x3—x32x24x
2
15x2 x32x2——x3
2
15x52x4——x33x2
2
1 f) 3A(x) 5B(x) —C(x) 2
13A(x)5B(x)—C(x)
2
9 698x38x2—x——
2 4
15 x
35—x
2
2x
9— x
2
9x2
x2
8 x2
3 x3
5 x3
8 x3
3 A (x)
5 B (x)
1— C (x)
2
13A (x)5B (x)— C (x) 2
9—
4
15
69—
4
g) B(x) C(x)
B(x)C(x)
2x54x47x38x212x
7— x
2
2 x2
14 x2
6 x2
x3
7 x3
4 x4
2 x5
B (x)
C (x)
3
4 x
12 x
B (x)C (x)2 x54 x47 x3 8 x212 x
h) [C(x)]3
[C(x)]3(2x24x)3
(2x24x)2(2x24x)
8x648x596x464x3
16 x3
2 x2
64 x4
32 x4
4 x4
16 x5
32 x58 x6
[C (x)]2
C (x)16 x2
4 x
64 x3
[C (x)]38 x648 x596 x464 x3
Contesta les qüestions següents i justifica les respostes:
a) Per què el grau del polinomi A(x)B(x) no és 3?
ElgraudelpolinomiA(x)B(x)noés3perquèelscoeficientsde3rgrausónoposats.
b) Quin és el grau del polinomi x2 [B(x) C(x)]?
Elgraudelpolinomix2[B(x)C(x)]és5.
c) Per què el grau del polinomi [C(x)]3 és 6?
Elgraudelpolinomi[C(x)]3és6,jaque(2x2)38x6.
d) És cert que: B(x) [A(x) C(x)] B(x) A(x) C(x)?
B(x)[A(x)C(x)]
B(x)A(x)C(x)
Éscertalaigualtat.
7. Si A(x) 3x3 2x2 7 i B(x) x4 5x3 2x, determina:
a) El polinomi C(x) que verifica A(x) C(x) B(x).
C(x)B(x)A(x)
x48x32x22x7
x45x3 2x3x32x2 7
x48x32x22x7
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd87 87 20/2/08 19:50:50
88 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) El polinomi D(x) que verifica B(x) D(x) A(x).
D(x)A(x)B(x)
x48x32x22x7
Aquestpolinomiésoposatal’anterior.
c) La relació que hi ha entre els polinomis C(x) i D(x).
Larelació:D(x)C(x)
8.Realitza la divisió (3x4x31) : (x21). Comprova que es verifica la propietat fonamental.
3x4x3 1 x21 3x4 3x2
3x2x3x3 3x2
x3 x
3x2 x 1 3x2 3
x4
Quocient:3x2x3
Residu:x4
Comprovació:
(3x2x3)(x21)(x4)
3x4x31
9.Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan sigui possible.
a) (6x53x42x1) : (3x3 2x 4)
6x53x4 2x 1 3x32x4
6x5 4x38x2 4
3x44x3 8x2 2x 2x2x—3x4 2x2 4x 3
4x3 6x2 2x 1 8 16
4x3 —x— 3 3
2 196x2—x—
3 3 4 Quocient:2x2x— 3
2 19 Residu:6x2—x—— 3 3
b) x6 :(x4x2 2)
x6 x4x22 x6 x4 2x2 x21
x4 2x2
x4 x2 2
3x2 2
Quocient:x21
Residu:3x22
c) (2x3 x2 3x) : (x 1)
PerRuffini:
2 1 3 01 2 1 4
1 2 1 4 4
Quocient:2x2x4 Residu:4
d) (x4 1) : (x 1)
PerRuffini:
1 0 0 0 11 1 1 1 1
1 1 1 1 0
Quocient:x3x2x1 Residu:0
e) x3 : (x 2)
PerRuffini:
1 0 0 02 2 4 8
1 2 4 8
Quocient:x22x4 Residu:8
f) (x6 1) : (x2 1)
x6 1 x21 x6 x4 x4x21
x4
x4 x2
x2 1x2 1
2 Quocient:x4x21 Residu:2
1 1 1 1 g) —x2 —x — : x — 2 3 4 2
PerRuffini: 1— 3
1 — 4
1—— 12
1 — 4
1——24
5——24
1—2
1—2
1—2
1 1 Quocient:—x—— 2 12 5 Residu:—— 24
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd88 88 20/2/08 19:50:52
89MATEMÀTIQUES 1 LA
10.En una divisió, el divisor és el polinomi x3 2x2 3, el quocient és x22x1 i el residu és 8x2. Quin és el grau del dividend? Pots calcular-lo? Fes-ho.
Dividend:
(x32x23)(x22x1)(8x2)x53x3x22x1
Eldividendésdegrau5.
x32x2 3 x22x1
x32x2 32x44x3 6x
x52x4 3x2
x5 3x3 x26x38x2
x5 3x3 x22x1
11.Determina els valors de a i b, de manera que quan dividim 1
3x4 12x2 ax b per x3 2x2 3 el residu sigui —. 2
3x4 12x2axb x32x23 3x46x3 9x 3x6
6x312x2(a9)x b6x312x2 18
1 (a9)xb18— → 2 a90 → a9 →5 1 37 b18— → b—— 2 2
12.En una divisió exacta, el dividend és x51 i el quocient, x4x3 x2 x 1. Calcula’n el divisor.
x5 1 x4x3x2x1 x5x4x3x2x x1
x4x3x2x1x4x3x2x1
Divisor:x1
13.Determina el valor de k per tal que la divisió
(2x3 x2 k): (x 2) sigui exacta.
2x3 x2 k x2 2x3 4x2 2x25x10
5x2 k 5x210x
10x k10x 20
k200 → k20
14.Tria el mètode que consideris més convenient per trobar el valor numèric d’aquests polinomis per al valor que s’indica:
3 a) —x4 5x3 4x 2 per a x 12 2
Pelteoremadelresidu:
3 — 5 0 4 2
2 12 18 276 3312 39696 3
— 23 276 3308 39698 2
Valornumèric:39698
b) x6 x4 √ 2x3 x2 per a x √ 2 Substituint:
(√ 2)6(√ 2)4√ 2(√ 2)3(√ 2)2
844210
Valornumèric:10
2 1 3 c) —x3 —x2 —x 1 per a x 5 5 5 5
Substituint:
2 1 3—(5)3—(5)2—(5)1
5 5 5
5053147
Valornumèric:47
15.Calcula el residu de la divisió (2x3 3) : (x 2). Fes-ho mitjançant els dos procediments que hem analitzat. Explica quin és el més ràpid.
Fentladivisió:
2x3 3 x2 2x3 4x2 2x24x8
4x2 34x2 8x
8x 3 8x 16
13
R13
Pelteoremadelresidu:223313
Ésmésràpidfer-hopelteoremadelresidu.
16.Determina el valor de k per tal que la divisió (x3 3x2 5x k) : (x 3) sigui exacta.
Valornumèric0perax3:
(3)33(3)25(3)k0 →→ k69
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd89 89 20/2/08 19:50:54
90 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
17.Troba el residu de la divisió (x9 1) : (x 1). Pots obtenir-lo sense necessitat de fer la divisió.
R(1)910
18.Comprova que P(x) x3 3x2 6x 8 és divisible per x 2. Expressa el polinomi P(x) com a producte de dos polinomis.
SiP(2)0,P(x)ésdivisibleperx2.
P(2)(2)33(2)26(2)80
DividimP(x)perx2pertrobarl’altrefactor:
1 3 6 8 2 2 10 8
1 5 4 0
P(x)(x25x4)(x2)
19.Troba el valor de k perquè el polinomi x4 k sigui divisible per x 1.
Substituirperx1
(1)4k0 → k1
1 220.Un polinomi P(x) només té els divisors 3, x2 1 i —x —. Troba P(x). 3 9
1 2P(x)3(x21)—x— 3 9
2 2x3—x2x—
3 3
21.Calcula k perquè el polinomi x3 3x2 k sigui múltiple de x 1.
Calque(1)33(1)2k0 → k4
22.Indica si són certes o falses aquestes afirmacions:
a) x4 1 és divisible per x 1.
Certa,jaque(1)410
b) x5 1 és múltiple de x 1.
Certa,1510
c) x 2 és divisor de x3 8.
Certa,(2)380
d) x7 1 és múltiple de x 1.
Certa,(1)710
e) x 3 és divisor de x3 27.
Falsa,(3)32754
23.Determina, si és possible, les arrels enteres d’aquests polinomis:
Lesarrelsenteres,sin’hiha,calquesiguindivisorsdeltermeindependent.
A(x) x3 5x2 6x
x10 A(x)x(x25x6) x25x60 →
→ x23,x32
B(x) 6x3 7x2 9x 2
B(2)0 → x2ésl’únicaarrelentera.
C(x) 2x3 2
C(x)0 → 2x320 →→ x31 → x1
D(x) x3 7x2 6x
D(x)x(x27x6)0 →
x10 → x27x60 → x21,x36
E(x) x3 2x2 x 2
E(2)0 → x2
F(x) x4 x2 2
F(1)F(1)0 → x11ix21
24. Esbrina si x 3 és una arrel del polinomi P(x) x3 2x2 9.
x3ésunaarreldeP(x),jaque:
P(3)3323290
25.Determina les arrels del polinomi:
A(x) (x2 9)(2x 1)
x290 → x13,x23 A(x)0 1 2x10 → x3— 2
26.Calcula les arrels del polinomi P(x) (x2 4)(3x 1).
x240 → x12,x22 P(x)0 1 3x10 → x3— 3
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd90 90 20/2/08 19:50:56
91MATEMÀTIQUES 1 LA
27.El polinomi B(x) (x2 4)(x 1) només té una arrel real. Per què?
x240 → (notésolució) B(x)0 x10 → x1
28.Factoritza el polinomi P(x) x3 x2 8x 12. Troba una arrel entera entre els divisors del terme independent. Determina totes les seves arrels.
Télesarrels3i2(doble).
P(x)(x3)(x2)2
29.Factoritza aquests polinomis:
a) x4 1
x41(x21)(x21)
(x21)(x1)(x1)
b) x5 x4 x 1
x5x4x1
(x1)(x1)2(x21)
1 1 0 0 1 1
1 1 2 2 2 1
1 2 2 2 1 0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
c) x4 4x3 4x2
x44x34x2x2(x24x4)
x2(x2)2
d) 9x2 30x 25
9x230x25(3x5)2
x2
e) —— 9 9
x2 x x——9—3—3 9 3 3
f) x4 3x3 3x2 11x 6
x43x33x211x6
(x2)(x3)(x1)2
1 3 3 11 6 2 2 10 14 6
1 5 7 3 03 3 6 3
1 2 1 0
30.Troba les arrels d’aquests polinomis mitjançant la seva factorització:
a) x3 3x2 13x 15
x33x213x15
(x1)(x3)(x5)
Arrels:1,3i5
b) 2x4 6x3 8x
2x46x38x2x(x1)(x2)2
Arrels:0,1i2(doble).
3 c) 3x2 3x — 4
3 13x23x—3x—
2
4 2 1 Arrel:—(doble) 2
d) x3 3x2 4x
x33x24xx(x4)(x1)
Arrels:0,4i1
e) x4 x3 2x2
x4x32x2x2(x2)(x1)
Arrels:0,2i1
f) x4 3x3 3x2 11x 6
Arrels:1(doble),3i2
( ) ( )( )24 3 23 3 11 6 1 3 2x x x x x x x− − + − = − − +
131.Les arrels d’un polinomi de segon grau són 2 i — i el coeficient de x2 és 6. Quin és aquest polinomi? 3
1P(x)6(x2)x—6x210x4
3
32.Calcula el m.c.d i el m.c.m dels polinomis:
a) P(x) x2 9 i R(x) x2 6x 9
P(x)x29(x3)(x3)
R(x)x26x9(x3)2
m.c.d.:x3;m.c.m.:(x3)(x3)2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd91 91 20/2/08 19:50:58
92 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) P(x) x2 1 i R(x) 3x2 6x 3
P(x)x21(x1)(x1)
R(x)3x26x33(x1)2
m.c.d.:x1;m.c.m.:3(x1)(x1)2
c) A(x) 3x4 3 i B(x) 3x2 3
A(x)3x433(x21)(x1)(x1)
B(x)3x233(x1)(x1)
m.c.d.:3(x1)(x1)B(x)
m.c.m.:3(x21)(x1)(x1)A(x)
d) A(x) x2 2x 3, B(x) x3 2x2 x i
C(x) x3 8x2 21x 18
A(x)x22x3(x1)(x3)
B(x)x32x2xx(x1)2
C(x)x38x221x18(x3)2(x2)
m.c.d.:1
m.c.m.:(x1)2(x3)2(x2)x
33. Troba el m.c.d. i el m.c.m. de S(x) (x 2)2 i T(x) x2 4.
Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de trobar és igual al producte dels polinomis S(x) i T(x).
S(x)(x2)2; T(x)(x2)(x2)
m.c.d.:x2;m.c.m.:(x2)2(x2)
Efectivament:
(x2)(x2)2(x2)S(x)T(x)
34.El m.c.d. de dos polinomis A(x) i B(x) és 1. Quin és el seu m.c.m.?
Sielm.c.d.deA(x)iB(x)és1,elsfactorsqueformenelm.c.m.sónelsdelsdospolinomis;ésadir,elm.c.m.A(x)B(x)
35.Determina si els parells de fraccions següents són equivalents:
x2 25 x 5 a) ——————— i ———— x2 7x 10 x 2
x225 x5 ———————————,jaque: x27x10 x2
(x225)(x2)
(x27x10)(x5)
1 x 1 b) ———— i ———— x 1 x2 2
1 x1 ————————,jaque: x1 x22
(x22)x21
P(x)36.Considera la fracció ———. Indica quines d’aquestes frac-
Q(x) cions són equivalents a la fracció donada:
4P(x) a) ———— 4Q(x)
4P(x) P(x) ——————— 4Q(x) Q(x)
10P(x) b) ———— 5Q(x)
3P(x) c) ————— 3Q(x)
[P(x)]2
d) ———— [Q(x)]2
P(x) Larestadefraccionsnosónequivalentsa——. Q(x)
37.Indica per a quins valors de x no té valor numèric la fracció algèbrica:
2x 7——————
2x2 x 1
Lafracciónotévalornumèricperaaquellsnombresqueanul.
lineldenominador:
x11 2x2x10 1 x2— 2
38.Simplifica aquestes fraccions algèbriques:
x2 7x 10 a) ——————— 2x2 50
x27x10 (x2)(x5)————————————————
2x250 2(x5)(x5)
x2—————
2x10
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd92 92 20/2/08 19:51:00
93MATEMÀTIQUES 1 LA
x3 1 b) —————— x2 3x 2
x31 (x1)(x2x1)————————————————–––
x23x2 (x1)(x2)
x2x1—————
x2
x3 5x 4 c) ————————— x3 3x2 3x 1
x35x4—————————
x33x23x1
(x1)(x2x4) x2x4——————————––––—————
(x1)(x22x1) x22x1
x4 16 d) ————————— x3 2x2 4x 8
x416—————————
x32x24x8
(x24)(x2)(x2)———————————x2
(x24)(x2)
3x2 5x 2 e) ——————— 4x2 4
3x25x2 (3x2)(x1)————————————————
4x24 4(x1)(x1)
3x2—————
4(x1)
39.Calcula:
2x 1 1 3 x a) ———— ———— ——— 2x 4 x2 4 x 2
2x1 1 3x ———————————;m.c.m. 2x4 x24 x2 delsdenominadors:2(x2)(x2):
(2x1)(x2)2(3x)2(x2) ——————————————————–––– 2(x2)(x2)
4x27x8———————
2(x24)
1 x2 3x b) ———— ——— x2 x x 1
1x2 3x———————
x2x x1
(1x)(1x)3x 3(1x)———————————————
x(x1)(x1) x1
40.Donades les fraccions:
1 x2 25A———, B————
x 5 x 3
x2 4x 3i C——————
x 5 calcula:
a) (AB)C
1 x225 x24x3—————————————
x5 x3 x5
(x5)(x5)(x3)(x1)——————————————––
(x5)(x3)(x5)
(x5)(x1)———————––
x5
b) (AC)B
1 x24x3—————————
x5 x5
x24x4——————
x5
x24x4 x225——————————
x5 x3
(x2)2(x5)(x5)———————————
(x5)(x3)
(x2)2(x5)————————
x3
c) 3A: C
3 x24x3———:——————
x5 x5
3(x5)——————————
(x5)(x24x3)
3——————
x24x3
2x 141.Quina fracció hem de sumar a ———— per obtenir la fracció zero? x 4
2x1 Seràlafraccióoposada:————. x4
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd93 93 20/2/08 19:51:02
94 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3x42.Per quina fracció hem de multiplicar la fracció ——— per x 3 obtenir el polinomi de grau zero i de coeficient 1, és a dir,
U(x) 1?
x3 Seràlafraccióinversa:———. 3x
43.Calcula:
3 5x 2x a) ———— ——— ——— x2 1 x 1 x 1
3 5x 2x——————————
x21 x1 x1
35x(x1)2x(x1)—————————————
x21
3x27x3———————
x21
x2 4 x2 4x 4 b) ———— : —————— 3x x 2
x24 x24x4————:——————
3x x2
(x2)(x2)(x2) (x2)2
———————————————— 3x(x2)2 3x(x2)
3x c) 2 ——— x 1
3x 2x23x 2x2————————————
x1 x1 x1
x2 3 d) ———— 5 x2 1
x23 x235x25————5—————————
x21 x21
4x22—————
x21
44.Quina condició ha de verificar una fracció algèbrica per tal que sigui equivalent a un polinomi?
Unafraccióalgèbricaésequivalentaunpolinomisielpolinominumeradorésmúltipledelpolinomidenominador.
45.Comprova que el resultat d’aquesta multiplicació és 1:
x2 4 x 1 x 1 ———— ——— ——— x2 1 x 2 x 2
x24 x1 x1——————————
x21 x2 x2
(x2)(x2)(x1)(x1)——————————————1
(x1)(x1)(x2)(x2)
46.Per quina fracció algèbrica cal multiplicar 2x 1 1 ———— per obtenir ———————? x2 4 2x2 5x 2
Lafracciós’obtéenferladivisió:
1 2x1———————:————
2x25x2 x24
(x2)(x2)————————————
(x2)(2x1)(2x1)
x2————————
(x2)(4x21)
47.Calcula els nombres combinatoris següents:
6 10 80 15 15 , , , , 2 0 5 7 8
6 6·5 ———15 2 2
10 1 0
80 80! ———24040016 5 75!5!
15 15! 15·14·13·12·11·10·9 ——————————————6435 7 8!7! 7·6·5·4·3·2
15 15! ———6435 8 7!8!
48.Simplifica aquestes fraccions: 10! a) ——— 2!8! 10! 10·9 ——————45 2!8! 2
15! b) ——— 3!12! 15! 15·14·13 ————————455 3!12! 3·2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd94 94 20/2/08 19:51:04
95MATEMÀTIQUES 1 LA
50! c) ——— 2!48! 50! 50·49 ———————1225 2!48! 2
1000! d) ——— 3!997! 1000! 1000·999·998 ———————————166167000
3!997! 3·2
49.Desenvolupa les potències següents: a)(x 2)5
5 5(x2)5 x5 x4(2)
0 1
5 5 x3(2)2 x2(2)3 2 3
5 5 x(2)4 (2)5 4 5
x510x440x380x280x32
b)(3x y)6
6 6(3xy)6 (3x)6 (3x)5y
0 1
6 6 (3x)4y2 (3x)3y3 2 3
6 6 6 (3x)2y4 (3x)y5 y6 4 5 6
729x61458x5y1215x4y2
540x3y3135x2y418xy5y6
50.Calcula el quart terme del desenvolupament de:
(x 1)12
Quartterme:
12 12! x9(1)3———x9220x9
3 9!3!
51.Donat el polinomi 2( ) 2 4C x x x= − , calcula [C(x)]3.
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
32
3 2 2 32 2 2
6 5 4 3
2 4
3 3 3 32 2 4 2 4 4
0 1 2 3
8 48 96 64
x x
x x x x x x
x x x x
− =
= + − + − + − =
= − + −
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
32
3 2 2 32 2 2
6 5 4 3
2 4
3 3 3 32 2 4 2 4 4
0 1 2 3
8 48 96 64
x x
x x x x x x
x x x x
− =
= + − + − + − =
= − + −
Activitatsfinals
1.Expressa en forma de polinomi ordenat en potències decreixents de x els resultats d’aquestes operacions:
1 a)4(x 2)x — 3
1 20 84(x2)x—4x2——x—
3 3 3
b) (x √2)2 x2
(x√2)2x2(x22√2x2)x2
x42√2x32x2
1 3x3 x2
c)— ————— x 1 3x
1 3x3x2 x2(3x1)————————————x
x 13x x(13x)
d) x3 (1 x)2
x3(1x)2x3(12xx2)
x52x4x3
2. Considera els polinomis A(x) x2 2x 3 i B(x) (x 1) (x 3). Calcula’n el valor numèric per a x 1 i x 2. Poden ser iguals aquests dos polinomis? Raona la teva resposta i comprova-ho.
A(1)1234
A(2)(2)22(2)35
B(1)2(2)4
B(2)1(5)5
Ambaixònohihaprouperquè2polinomissiguiniguals.
3.Escriu dos polinomis de tercer grau la suma dels quals sigui un polinomi de segon grau.
Respostaoberta.Perexemple:
A(x)2x33x21 → B(x)2x3x2x
→ A(x)B(x)2x2x1
4. Troba el polinomi que sumat a P(x) x4 3x2 5x dóna com a resultat el polinomi R(x) x3 1.
Elpolinomiqueesbuscaés:R(x)P(x).
R(x)P(x)x31x43x25x
x4x33x25x1
5.Calcula a, b i c per tal que es verifiqui la igualtat:(x3 2x a)(bx c)
3x4 2x3 6x2 x 2
(x32xa)(bxc)
bx4cx32bx2(ba2c)xca
Igualantelscoeficientsdelmateixgrau:
b3;c2;ba2c1 → a1
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd95 95 20/2/08 19:51:06
96 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
6.Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis factors i el grau del polinomi producte. Quina relació hi ha entre els graus dels polinomis dividend, divisor i residu en una divisió de polinomis?
Elgraudelpolinomiproducteéslasumadelsgrausdelsfactors.
El grau del dividend és la suma dels graus del divisor i delquocient.Elgraudelresiduésmenorqueelgraudeldivisor.
7.La potència de polinomis es defineix com a productes repetits de la base tantes vegades com indica l’exponent. (3x2 2)5és un polinomi. De quin grau? Quin és el coeficient que acompanya el terme de grau més gran? Quin és el terme independent?
En la potència (3x2 2)5, el primer terme del polinomi és (3x2)5243x10ieltermeindependent:(2)532.Pertant,elgraudelpolinomiés10.
1 8.Si A(x)3x2 — x 2, B(x)2x 3 i C(x)x33, 2 calcula:
a) B(x)3A(x) C(x) 3
9x2 —x 6 2
2x 3
927x2 —x18
218x3 3x2 12x
1518x324x2——x18
2 x3 3
1517x324x2——x21
2
B(x)3A(x)C(x) 15
17x324x2——x21 2
b) 3B(x)A(x) 2C(x) 1
3x2 —x 2 2
6x 9
927x2 —x18
218x3 3x2 12x
1518x324x2——x18
2 2x3 6
1516x324x2——x24
2
3B(x)A(x)2C(x) 15
16x324x2——x24 2
3 c)C(x) 2B(x) —A(x) 2
x3 3
4x 6
9 3—x2 —x 3
2 4
9 13x3—x2——x12
2 4
3C(x)2B(x)—A(x)
2
9 13x3—x2——x12
2 4
d) [C(x) 3A(x)]B(x)
x3 3 3
9x2 —x6 2
3x3 9x2 —x9
2
2x3
93x327x2 —x27
2
2x418x3 3x2 18x
272x415x324x2——x27
2
[C(x)3A(x)]B(x)
272x415x324x2——x27
2
9.Desenvolupa la potència (2x y)7.
7 7(2xy)7 (2x)7 (2x)6(y) 0 1 7 7 (2x)5(y)2 (2x)4(y)3 2 3 7 7 (2x)3(y)4 (2x)2(y)5 4 5 7 7 2x(y)6 (y)7 6 7
128x7448x6y672x5y2560x4y3
280x3y484x2y514xy6y7
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd96 96 20/2/08 19:51:08
97MATEMÀTIQUES 1 LA
10. Calcula el coeficient de x5 en el desenvolupament de (x 2)12.
Elcoeficientdex5éseltermedeldesenvolupament:
12 x12h ·2h→ 12h 5→ h7 h
12Coeficient: ·27101376 7
11.Determina el coeficient de x14 en el desenvolupament de (x2 x)10.
Delamateixamaneraqueal’exercicianterior:
10 (x2)10h ·(x)h→ h
→ x202h ·xh x20h x14→
→ 20 h14→ h6
10Coeficient: (1)6210 6
12.Hi ha algun polinomi que multiplicat per x 4 doni com a resultat el polinomi 2x2 5x 12? Si la resposta és afirmativa, quin és?
Elpolinomiéselquocientdeladivisió:
(2x25x12):(x4)
Siésexacta,existiràaquestpolinomi:
2 5 12 4 8 12
2 3 0
Elpolinomiés:2x3
13.Donat el polinomi A(x) 2x3 x2 4x 1, determina, si existeix, un altre polinomi C(x) tal que el quocient de la divisió A(x) : C(x) sigui 2x 3 i el residu, 4.
A(x) C(x) ... 2x3
...4
A(x)C(x)(2x3)(4)
C(x)[A(x)4] :(2x3)x22x21
2x3 x24x3 2x3 2x33x2 x22x1
4x24x 34x26x
2x32x3
14.Troba el dividend d’una divisió en què el quocient és 3x2 2x 1; el divisor, 2x2 x i el residu, x 1.
D(x) (2x2 x)(3x22x1)(x1)
6x4x32x1
3x22x 1 2x2 x
3x32x2 x 6x44x32x2
6x4 x3 xx 1
6x4 x3 2x 1
15.Calcula m per tal que la divisió següent sigui exacta:
(x4 x3 2x2 x 7m) : (x2 x 1)
x4 x32x2 x 7m x2x1 x4 x3 x2 x21
x2 x 7m x2 x 1m
7m 1m
1 7m10 → m— 7
16.Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini sempre que sigui possible.
a) (x3 3x2 2x) : (2x 1)
x3 3x22x 2x1 1 1 5 3 x3—x2 —x2—x— 2 2 4 8
5—x22x
2 5 5
—x2—x 2 4
3—x
4 3 3
—x — 4 8
3—
8
1 5 3 Quocient:—x2—x— 2 4 8
3 Residu:— 8
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd97 97 20/2/08 19:51:10
98 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) x5 : (x2 1)
x5 x21x5x3 x3x
x3
x3x
x
Quocient:x3x
Residu:x
c) (x4 2x2 1) : (x 2)
PerRuffini:
1 0 2 0 1 2 2 4 4 8
1 2 2 4 9
Quocient:x32x22x4
Residu:9
d) (x6 x3 x 1) : (x 1)
PerRuffini:
1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1
1 1 1 2 2 1 2
Quocient:x5x4x32x22x1
Residu:2
17.Calcula c per tal que el residu de la divisió següent sigui 2:
[2(c 1) x3 3x2 5 (1 2c)x c 2] : (x 3)
Pots fer-ho de dues maneres. Explica-les.
Es pot fer calculant el residu de la divisió i trobant el valornumèricdelpolinomiensubstituirx3.
2(c1)333325(12c)3
c22
8c——
85
18.Esbrina si el polinomi 6x2 6x 12 és divisible per 2x 4. Pots donar la resposta sense fer la divisió?
Elpolinomiésmúltiplede2.
6x26x126(x2x2)
2x42(x2)
22220.Sí,ésdivisible.
19.Calcula el valor numèric del polinomi següent per a x 2.
1 3 7—x3 —x2 —x 8
2 4 2
Fes-ho pel procediment més curt.
1 3 7—(2)3—(2)2—(2)8
2 4 243788
20.Dels nombres enters 1, 1, 2, 2, 4 i 4, quins són arrels del polinomi A(x) x3 3x2 6x 8? Quins no ho són?
Calbuscarelvalornumèricdelpolinomiperacadaunadelessuposadesarrels.
Elvalornumèricészeroi,pertant,sónarrels:1,2i4.Larestanohosón.
21.Quines són les arrels enteres del polinomi x8 1? Raona la resposta. Té alguna arrel entera el polinomi x8 1? Per què?
Lesarrelsenteresdex81són1i1quefanzeroelvalornumèricdelpolinomi.x81notéarreljaque181(1)812.
22.Factoritza els polinomis següents:
a) A(x) 3x3 75x
A(x)3x375x
A(x)3x(x225)3x(x5)(x5)
b) B(x) 3x3 18x2 27x
B(x)3x318x227x
B(x)3x(x26x9)3x(x3)2
c) C(x) 2x4 12x3 18x2
C(x)2x412x318x2
C(x)2x2(x3)2
1 d) D(x) —x2 3x 9 4
1 D(x)—x23x9 4
1 D(x)—x3
2
2
23.Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
A(x) 2x5 6x4 8x2, B(x) x3 x i C(x) x4 x3 x2 x
A(x)2x2(x1)(x2)2
B(x)x(x1)(x1)
C(x)x(x1)2(x1)
m.c.d.(x1)x m.c.m.2x2(x1)2(x1)(x2)2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd98 98 20/2/08 19:51:12
99MATEMÀTIQUES 1 LA
24.Calcula:
1 x x 1 x2 1——— ——— ———
1 x 1 x x2 1
Caltenirencompteque1x(x1).m.c.m.x21.
(1x)(x1) (x1)(1x)——————————————
x21 x21
x21 3x23—————————
x21 x21
25.Donades les fraccions següents:
x 2 x 3A(x) —————— i B(x) ———,
x2 6x 9 x2 4
calcula:
A(x)B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x)
(x2)(x3)A(x)B(x)———————————
(x3)2(x2)(x2)
1———————
(x3)(x2)
(x2)(x2)(x2)A(x):B(x)———————————
(x3)2(x3)
(x2)2(x2)———————
(x3)3
(x3)3
B(x):A(x)——————— (x2)2(x2)
Avaluació
1. Contesta raonadament les qüestions següents:
a) En restar dos polinomis de tercer grau obtenim un polino-mi de segon grau. Quina relació hi ha entre els coeficients de més grau dels dos polinomis?
Elsdoscoeficientsdegraumésaltsónoposats.
b) Un polinomi P(x) és divisible per x + 1. Per a quin valor es verifica P(x) = 0?
Perax=–1esverificaP(–1)=0.
c) El grau d’un polinomi P(x) és 3. Quin és el grau del poli-nomi [P(x)]2?
Elgraude[P(x)]2és6=3·2.
d) Si x = 2 és una arrel de P(x), que podem afirmar sobre el valor de P(2)?
Six =2ésunaarreldeP(x) → P(2)=0.
2. Comprova les igualtats següents:
7 7 7 7a) … 27
0 1 2 7
17213535217112827
8 8 9b) 5 6 6
8 8·7·6·5·4 —————— 56 5 5·4·3·2
8 8·7·6·5·4·3 —————— 28 6 6·5·4·3·2
9 9·8·7·6·5·4 ——————— 845628 6 6·5·4·3·2
15 15c) 1 14
15 15! 15!·14! ——— ———15 1 1!·14! 1!·14!
15 15·14! ——— 15 14 14!
1515
3. Determina el valor de k per tal que P(x) = x4 – 2x3 + 7x + k sigui divisible per x + 1.
Si P(x) és divisible per x + 1, llavors P(–1) = 0 i per tant1+2–7+k=0 → k=4.
4. Realitza les operacions següents:
2x 5 5 ——— ——— x2 9 3x 9
2 2 2
2
2 2 2 2
2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27
2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·
9 7 ( 3)( 3)7 7 21
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x xx x x x x x x
− − − + − − − −− = = =− − − + − −
− − − − −= =− − + +
2 2 2
2
2 2 2 2
2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27
2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·
9 7 ( 3)( 3)7 7 21
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x xx x x x x x x
− − − + − − − −− = = =− − − + − −
− − − − −= =− − + +
2x2 5x 2x 6 ———— ·——— x2 9 7x2
2 2 2
2
2 2 2 2
2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27
2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·
9 7 ( 3)( 3)7 7 21
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x xx x x x x x x
− − − + − − − −− = = =− − − + − −
− − − − −= =− − + +
·
2 2 2
2
2 2 2 2
2 5 5 6 15 5( 3) 6 15 5 15 309 3 9 3( 3)( 3) 3 27 3 27
2 5 2 6 (2 5)2( 3) 4 10·
9 7 ( 3)( 3)7 7 21
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x xx x x x x x x
− − − + − − − −− = = =− − − + − −
− − − − −= =− − + +
5. Troba les arrels del polinomi
P(x) = x4 – 6x3 + 10x2 + 6x – 11 i realitza’n La factorització.
P(x)=(x–1)(x+1)(x2–6x+11);arrels:1,–1.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd99 99 20/2/08 19:51:14
100 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
jUnitat8.Successions
Activitats
1. Intenta deduir l’expressió del terme general de cadascuna d’aquestes successions:
1 1 1 1 1 a) —, —, —, —, ——... 2 4 6 8 10
1——
2 n
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36...
n2
c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...
(2 )n
2. Troba els termes que falten fins arribar al 10è de les successions de l’exercici 1.
a)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , ,2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b)1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
c) 2,4, 8,16, 32,64, 128,256, 512,1024− − − − −
n2
3.an ——— és l’expressió del terme general d’una succes- n 1
sió. Calcula els termes a 7 i a 100. Pots determinar l’expressió del terme an 1 en funció de n?
72 49a 7—————
71 8
1002 10 000a100————————
1001 101
(n1)2 (n1)2
an1————————— n11 n
n 1 4.El terme general d’una successió és: an ————. Calcula
n els termes a100 i a1000.
Substituïmnpeltermeques’indica:
101a 100——1,01
100
1001a 1000———1,001
1000
5.Representa a la recta real els deu primers termes de la suc- 2 n cessió an ———. n 1
6.Estudia la monotonia de les successions següents:
1 a) an —— n 2
1 1 n2n22 n1 ——————————————— (n1)2 n2 n2(n1)2
2 n1——————0peratotn
n2(n1)2
Successiómonòtonadecreixent.
Hiapliquemelcriteriderestaruntermedel’anterioriobservarelsignedeladiferència.
b) bn n3
(n1)3n3
n33 n23 n1n3
3 n23 n10peratotn
Monòtonacreixent.
n 1 c) cn ——— n
(n1)1 n1 n2n21———————————————
n1 n (n1)n
1—————0peratotn
(n1)n
Monòtonacreixent.
n 2
d) dn ——— n 2
(n1)2 n2
———————— (n1)2 n2
n25 n2———————0peratotn
(n3) (n2)
Monòtonacreixent.
e) en n2 n3
(n1)2(n1)3[n2n3]
3 n2n0peratotn
Monòtonadecreixent.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd100 100 20/2/08 19:51:16
101MATEMÀTIQUES 1 LA
f ) fn 2 n 25
2 (n1)25(2 n25)20
peratotn
Monòtonacreixent.
7.Determina, si existeixen, les fites superior i inferior de cadascuna de les successions de l’activitat anterior.
a)Fitesinferiors:k0.
Fitessuperiors:K1.
b)Fitesinferiors:k1.
Notéfitasuperior.
c) Fitesinferiors:k0.
Fitessuperiors:K1.
1 d)Fitesinferiors:k—. 3 Notéfitasuperior.
e)Notéfitainferior.
Fitessuperiors:K0.
f )Fitesinferiors:k23.
Notéfitasuperior.
8.Escriu el terme general de la successió dels múltiples de 5. El nombre 6000 és una fita superior d’aquesta successió? Raona la resposta. Està fitada inferiorment aquesta successió?
an5 n; a 12006 000
Ambn1200, an6 000.
Noésunafitasuperior.
Lafitainferiorés5iqualsevolk5.
9.Calcula els termes avançats d’aquestes successions per poder-ne establir el límit en cada cas:
Encadascundelsapartatscalcalcular2o3termesavançats:
1 a) an —— n 2
a 1000,0001;
a 10000,000001 → 0
n b) bn ——— n 8
100 1000b100——; b1000——— → 1
108 1008
n2 1 c) cn ——— n2 1
9 999c 100————;
10 001
999 999c 1000—————0,999... → 1
1000 001
100 d) dn ——— n
100d1000———0,1;
1000
100d100 000————0,001 → 0
100 000
e) en n2 100
e1009 900; e10 00099 999 900 →
f ) fn n3 100
f100999 900;
f1000999 999 900 →
g) gn n2 50 n 125
g1005 125;
g10 00099500125 →
2 n2 1 h) hn ———— n2
h 1001,9999; h 10001,999999 → 2
10.Classifica les successions anteriors en convergents i divergents.
Sónconvergentslesquetenenlímitnuméric:a),b),c),d)ih).
Sóndivergentslesquetenenlímitdeltipusinfinit:e),f )ig).
11.Troba els cinc primers termes de la successió an (2)n 1.
Substituïmnper1,2...5:
a14; a 28;a 316;
a432;a564
12.Escriu el terme general de dues successions divergents de límit .
Respostaoberta.Perexemple:
ann2100; bnn23 n3
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd101 101 20/2/08 19:51:18
102 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
13.Calcula els termes que ocupen les posicions 100 i 1 000 en les successions de terme general:
n 10 n 2 100an ———— i bn —————
n n 10
Pots dir quin és el límit de cadascuna?
110 1010a100——1,1; a1000———1,01→ 1
100 1000
10 100 1010b100—————;
110 11
1000 100 100 010b1000———————→
1010 101
Quanelnombrededecimalsespreveuil.limitatésmillordeixarelsresultatsenformadefracció.
14.Considera les successions {an}: 1, 4, 9, 16, 25... i 1 1 1 1
{bn}: 1, —, —, —, —... 2 3 4 5
a) Troba el terme general de an i bn.
1ann2; bn—
n
b) Determina els cinc primers termes i el terme general de cadascuna de les successions següents:
{an bn} {an bn} {anbn}
an{n bn} 5—— {bn an} bn
n31{anbn}———— →
n
9 28 65 126→ 2,—,——,——,——
2 3 4 5
n31{anbn}———— →
n
7 26 63 124→ 0,—,——,——,——
2 3 4 5
{anbn}n → 1,2,3,4,5
{n bn}1 → 1,1,1,1,1
an5——n3 → 1,8,27,64,125 bn
1n3
{bnan}——— → n
7 26 63 124→ 0,——,——,——,——
2 3 4 5
15.Escriu els deu primers termes de la successió {an}n, en què
n 1 an ———. n
n1 9 64 625 7776——— n
→ 2;—;——;——;————; n 4 27 256 3125
2,522;2,546;2,565;2,581;2,594...
16.Calcula quin és el límit de cadascuna de les successions següents:
2 n1 n a) an ——— ——— n n 1
2 n1 n—————— ⇒
n n1
⇒ 213(sumadelímits)
1 1 b) bn —— : — n 2 n
1 1 n 1——:———— → 0
n2 n n2 n
1 1 c) cn —— — n 2 n
1 1 nn2 1n————————— → 0
n2 n n3 n2
1 d) dn 5 : — n
15:—5 n →
n
17.Escriu els termes generals de dues successions convergents el límit de les quals sigui zero. Calcula el límit de les dues possibles successions quocient.
Respostaoberta.Perexemple:
2 2 nan— i bn———
n n21
an 2 n22—————— → 1;
bn 2 n2
bn 2 n2
—————— → 1 an 2 n22
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd102 102 20/2/08 19:51:19
103MATEMÀTIQUES 1 LA
5 000 n 5 000 an18.Donades an ——— i bn —————, calcula lim —— i bn
n n 1 bn
lim ——. an
an 5 000 n5 000lim——lim———————0
bn n25 000 n
jaqueelgraudelpolinomidenominadorésmésgranqueeldelnumerador.
bn n25 000 nlim——lim———————
an 5 000 n5 000
19.Considera les successions an n 2 1 i bn 35 n. Comprova que són successions divergents. Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:
{an bn} {an bn}
{an bn} {an : bn}
{bn an} {bn : an}
lim(n21); lim35 n
lim{anbn}
lim{an bn}
lim{anbn}lim(n2135 n)
n21lim{an :bn}lim———
35 n
lim{bnan}lim(35 nn21)
35 nlim{bn:an}lim———0
n21
3 n 5 n 2
20.Calcula el límit de les successions an —— i bn ———. 150 n 1
Són divergents? Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:
{an bn} {an bn} {an bn}
{an : bn} {bn an} {bn : an}
3 nlimanlim——;
150
5 n2
limbnlim——— n1
Sóndivergents.
3 n23 n750 n2
lim{an bn}lim———————— 150 n 150
15 n3
lim{an bn}lim————— 150 n150
3 n23 n750 n2
lim{an bn}lim———————— 150 n 150
3 n23 n 3 1lim{an :bn}lim————————
750 n2 750 250
lim{bn an}
750 n23 n23 nlim—————————
150 n 150
750 n2
lim{bn :an}lim————250 3 n23 n
21.Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:
2 n a) an ———— 3 n 5
2 n 2 n 2lim————lim————
3 n5 3 n 3
1√
n b) bn ——— n
1√
n √
n 1lim———lim——lim——0
n n √
n
1 c) cn 100 — n
1lim100—lim100100
n
d ) dn n 2 nn 3
lim(n2nn3)lim(n3)
800 e) en ——— 2n 3
800lim——0
2 n3
n1 f ) fn ———— n 2
n1 n 1lim————lim——lim——0
n2 n2 n
22.Troba, si existeixen, els límits següents:
n 3
a) lim —— 2 n
n3 n2
lim——lim—— 2 n 2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd103 103 20/2/08 19:51:21
104 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) lim 0,2n
2 1lim0,2nlim——n
lim—— → 0 10 5n
c) lim (1)n
Noexisteix,jaqueésunasuccessióoscil.lant.
1 d ) lim — 5 n
3
1 1lim—5n
lim——0 3 35n
2 n 2 e) lim ———
n——n1
n 3
2 n2lim———
n——n1 212,jaque:
n3
2 n2 nlim————2 i lim———1
n3 n1
n f ) lim ———
1—n
n 5
nlim———
1—n 101,jaque:
n5
n 1lim————1 i lim—0
n5 n
123.Calcula: lim 1 — n
. n 1 1 Tingues en compte que: 1 — 1 ——. n n
1 1lim1—n
lim1——n (1)———
1 n n
1 1lim1——n1
e1— n e
24.Determina els límits següents:
n 2 a) lim ——— n
n 1
n2 n2 lim———n
lim1———1n
n1 n1
1lim1———
n (n 1)———n 1
n1
1 lim1———n 1
n———n 1 e1e
n1
n 3 b) lim 2 ——— 3 n
n 1
n3lim11———3n
n1
2lim1———3n
n1
1lim1———
3n n 1
———2
2
———n 1
n1 ——— 2
1lim1———
n 1———
2
6n
———n 1
n1 ——— 2
e6
1 c) lim 1 —— 3n 1
2 n
1lim1——3n1
2 n
1lim1——
2n (3n1)————
2n 2n
1lim1——2n
3n1——
2n e3
—2
2 n
3 n d ) lim 4 ——— n2
n 5
3 nlim13———n2
n5
15lim1———n2
n5
1lim1———
n2 (n5)——
15 15——n5
n5 ——— 15
1lim1———
n5——
15
15n2
——n5
n5 ——— 15
e
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd104 104 20/2/08 19:51:23
105MATEMÀTIQUES 1 LA
Activitatsfinals
1.La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... és la successió de Fibonacci. Aquesta successió té una regla recurrent que permet, a partir d’un cert valor de n, determinar-ne qualsevol terme si es coneixen els anteriors. Escriu-ne cinc termes més i indica la recurrència enunciada.
Apartirdelsegonterme,cadascundelstermeséslasumadelsdosanteriors.
Cinctermesmés:
55,89,144,233,377
anan1an2peratotn2
2.Dibuixa triangles equilàters successius a partir dels punts mitjans del triangle equilàter immediatament anterior. Si el primer triangle mesura 1 cm de costat, comprova que la seva √
3
àrea és —— cm2. 4 Calcula els termes a2, a4 i a7 de la successió de les àrees.
Pots escriure l’expressió del terme general an d’aquesta successió? Té límit la successió d’aquestes àrees? Quin és?
1 3 √
3h√
1—√
———
4 4 2
√
3 √
3a11 ——:2——cm2
2 4
1 L’àreadecadatriangleés—deladeltriangleanterior: 4
√
3 √
3 √
3a2——cm2; a4——cm2; a7——cm2;
42 44 47
√
3limanlim——0
4n
3.Esbrina si aquesta afirmació és certa: 2 és una fita inferior de la successió
2 n 2an ———
2
Quin és el límit d’aquesta successió?
2noésunafitainferiordelasuccessió,jaquea102.
2 n2 2 nlim———lim——
2 2
4.Considera la successió de terme general an (√
3)n. Té fites inferiors aquesta successió? A partir de quin terme tots el que el segueixen són més grans que 81? Té fita superior aquesta successió?
a1√
3iqualsevolk√
3ésunafitainferior.
(√
3)n81 → 3n
2 34 ⇒
n⇒ —4 → n8
2
Aquestasuccessiónotéfitasuperior:
lim(√
3)n
5.Calcula els límits següents:
a) lim (3 n 5) (2 3 n)
lim(3n5)(23n)
lim(9 n221n10)
lim(9 n2)
n2 n b) lim ——— — n 1 2
n2 nlim———— n1 2
n2n n2
lim————lim—— 2 n2 2 n
nlim—
2
√
4n2 n c) lim ————— 2 n 3
√
4n2n 2nlim—————lim——1
2 n3 2 n
5 d ) lim — √
n n
5lim—√
n0
n
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd105 105 20/2/08 19:51:25
106 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
n n 31 e) lim ———— n 2
nn31lim—————
n2
n3
lim——lim(n) n2
3 nn 2
f ) lim ———— 1 n 2
3 nn 2
lim limn2
n21 1 n 2
6. Troba el valor de k per tal que es verifiqui:
k n 2 3lim ———— 2
1 n 2
k n23lim————
1n2
k n2
lim——k2 → k2 n2
7.Determina aquests límits:
1 a) lim — 5n
5
1 1lim—5n
lim——0 5 55n
n 3 3 n 2 1 b) lim —————— n 5 2 n
n 33 n 21 n3
lim——————lim—— n 52 n n5
1lim—0
n2
n 1 c) lim ——— √
n
n1 nlim———lim——lim√
n
√
n √
n
√
5 n 3 3 n 2
d ) lim —————— √
n3 5 n 1
√ 5n 33 n 2 √ 5n 3
lim——————lim——— √ n 35 n1 n
32
n 2 1 e) lim ———
2n——n1
n
n21lim———
2n——n1
2 n
3 n 2 3 n 2 2 f ) lim ——— ———— n 1 n 1
3 n 2 3 n 22lim———————
n1 n1
6 n22 n2 6 n2
lim———————lim———6 n21 n2
g) lim (√ 3n √ n)
lim(√ 3n√ n)lim√ n(√ 31)
h) lim 300n
1lim300nlim———0
300n
n 3 i) lim ——— n
n 5
n3 lim———n
ésdeltipusdelnúmeroe: n5
Dividimlafracció:
n3 n5
n5 1 2
2lim1———n
n5
1lim1———
n 5——
2
n 2
——n 5
n5 ——— 2
1e2—
e2
5 n 2 3 j) lim ————
3—n
n 2
5 n 23lim————
3—n 501
n2
8.El límit d’una successió, el terme general de la qual és una fracció algèbrica, és 1. Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis numerador i denominador, i entre els coeficients dels termes que determinen aquests graus.
Elspolinomisnumeradoridenominadorsóndelmateixgrauielscoeficientsdelsrespectiustermesdemajorgrausóniguals.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd106 106 20/2/08 19:51:27
107MATEMÀTIQUES 1 LA
9.Calcula els límits següents:
Totsaquestslímitssóndeltipusdelnúmeroe:
3 a) lim 1 ——— n
n 5
3lim1———n
n5
1 lim1———
n 5——
3
n
3——n 5
e3
n5 ——— 3
6 b) lim 1 — 2 n
n
6lim1—2 n
n
1lim1——
n—6
2 n 6—n
e12
n —— 6
n 3 n 2
c) lim ———— n
n 3 1
n 3n 2
lim———— n
n 31
Dividimlafracció:
n3n2 n31
n3 1 1 n21
n21lim1————n
n31
1lim1————
n
n31 ———— n21
1 lim1————
n3 1———n2 1
n n2 1———n3 1
n31 ———— n21
1lime
n3 n———n3 1 e1—
e
2 n d ) lim 3 ——— n 1
n 1
2 nlim3 ——— n 1
n1
2 nlim12———n 1
n1
2lim1———n 1
e2
n1
n 1 e) lim 2 ———2 n
n
n1lim2 ———2 n
n
n1lim11———2 n
n
1lim1——2 n
n
1lim1——
n
1—n
(2 n)
n
lime2n—n e2
n 2 5 f ) lim ———— 5n
n 2 1 n 25 4
lim———— 5n
lim1———5n
n 21 n21
1lim1———
5n
n21 ——— 4
1 lim1———
n2 1———4
5n
4———n2 1
n21 ——— 4
lime20n———
n2 1 e01
10.Expressa en funció del número e la fórmula de l’interès continu que ve donada per:
rCt lim C0 1 ——— t n
100 n
rlim1———t n
100 n
1lim1———
tn
100 n ——— r
1lim1———
100n———r
t n r———100n
100 n ——— r
etr——
100 → CtC0 etr——
100
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd107 107 20/2/08 19:51:29
108 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Avaluació
1. Sabent que en una progressió geomètrica a1 3 i a4 24, troba terme general de la successió i la suma dels set primers termes.
Eltermegenerales an3∙2n−1
Laraóés2ilasumaserà7
7
3(2 1)381
1S
−= =
2. Donada la successió 3
2n
na
n−= ,
a) Comprova si la successió és creixent o decreixent.
Lasuccessióéscreixent:
2 21
2 32 4 2 6 2 6 0 6
2 2 2n n
n na a n n n n n
n n+− −> → > → − > − + − → > −+
2 21
2 32 4 2 6 2 6 0 6
2 2 2n n
n na a n n n n n
n n+− −> → > → − > − + − → > −+
sempreéscert.
b) Troba si la successió és fitada.
Ésfitada,lafitainferiorés−1ilasuperior1/2.
3. Calcula els següents límits:
a)
∞
b)
−5
c)
0
d)
multiplicantidividintpelconjugat,0
e)
ésdenombree,2
1
62
62 1·
1
2 16 1
lim 1 lim 111
6
n nn
n
enn
− +−
+∞
+ = + = = ∞ −−
f)
2
4. Quina és la suma dels cent primers nombres naturals? I la dels dos-cents primers nombres parells?
Elsnombresnaturalssónunaprogressióaritmèticaded1,ipertant
100
1 100.100 5050
2S
+= =·100
5050
La successió dels nombres parells també és una progressióaritmèticaded2
2,4,6,8,10…
Lasumadelsdos-centsprimersnombresés
200
2 400·200 40200
2S
+= =·20040200.
jUnitat9.Funcions
Activitats 1.Defineix la variable independent i la variable dependent en
els casos següents:
a) L’import que cal pagar en una benzinera i els litres de benzina que hi comprem.
x: litresdebenzina
y: importeneuros
b) El pes d’una persona i la seva edat.
x: edat
y: pes
c) L’espai recorregut per un cotxe i la velocitat a què circula.
x: velocitat
y: espairecorregut
d) El volum d’una esfera i la longitud del diàmetre.
x: longituddeldiàmetre
y: volumdel’esfera
2.Representa la variable independent per x i la variable dependent per f (x) i troba, sempre que sigui possible, l’expressió algèbrica de cadascuna de les funcions de l’exercici anterior.
a) f (x)p x,essentpelpreud’unlitredebenzinaen€.
b) Noéspossible.
c) Caldriasabereltipusdemoviment.
d) f (x)— x3
6
3.Escriu l’expressió algèbrica i troba el domini de les funcions següents:
a) A cada valor del radi d’una esfera li assignem la seva superfície.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd108 108 20/2/08 19:51:30
109MATEMÀTIQUES 1 LA
f (x)4 x2; Df
b) La diagonal d’un quadrat depèn de la longitud del costat.
f (x)√
2c ; Df
c) Al radi d’una circumferència li assignem l’àrea de l’hexàgon regular inscrit.
3√
3f (x)——— x2; Df
2
d) La longitud de l’aresta d’un cub és funció del volum.
f(x)3√
x; Df
4.Determina el domini de les funcions:
1 f (x) 3 x 7, g (x) 2 x2 7 x 11 i h (x) ——— x 1
Df
Dg
Dh{x x10}{1}
5. Troba el domini de les funcions següents:
x 1 a) f (x) —————— x2 6 x 5
Df{x x26 x50}{1,5}
b) g(x) √
4 3x
4 Dg{x 43 x0}—, 3
7 x 8 c) h (x) ———— x 2 5
Dh
d) k (x)
3√3
4 x 5
Dk
2 e) p (x) — x 3 5 x 2 3
Dp
x 2 4 ———— si x< 2 x f ) t (x) 5 2 x ——— si x 2 x 3
Dt{x x0ix30}
{0,3}
6.Amb les funcions f, g i h dels exemples anteriors, comprova que es verifiquen les propietats de la suma i del producte de funcions.
Suma
Commutativa:
x3x2x2 f (x)g (x)g (x)f (x)———————— x21
Associativa:
f (x)[g (x)h (x)][f (x)g (x)]h (x)
2 x 44 x 3x25 x6————————————––
(x21) (x3)
Elementneutre:
O (x)0peralestresfuncions.
Elementsimètric:
x 22 2x 2
f :f (x)———————— x1 x1
xg:g (x)———
x 21
x 2
h:h (x)——— x3
Producte
Propietatcommutativa:
x(x 22)f (x) g (x)g (x) f (x)———————––
(x1) (x1)2
Propietatassociativa:
f (x) [g (x) h (x)][f (x) g (x)] h (x)
x 3(x 22)———————————
(x1) (x1)2(x3)
Elementneutre:I (x)1peralestresfuncions.
Elementsimètric:
1 x1Peralafuncióf :—(x)———
f x 22
1 x 21Peralafuncióg:—(x)———
g x
1 x3Peralafuncióh:—(x)———
h x2
Propietatdistributivadelamultiplicaciórespectedelasuma:
f (x)[g (x)h (x)]f (x) g (x)f (x) h (x)
(x22)(x 43 x)———————————––
(x1)2(x1)(x3)
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd109 109 20/2/08 19:51:32
110 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
7.A partir de les funcions f i k dels exemples, escriu l’expressió 1 1 1 1 algèbrica de les funcions —, —, —— i ——. Troba’n el domini. f k f k
1 1 x1—(x)————— f f (x) x22
1 1 1—(x)—————— k k(x) √
x1
1 1 x1——(x)—(x)——— f f x22
1 1 1—(x)—(x)———— k k √
x1
D 1—f
D 1—f
{x x220}
{√2,√
2 }
D 1—k
D 1— k
{x x10}
(1,)
8.Donades les funcions:
2 x4 x2f (x) ———— i g (x) ————
x3 3 x9
1 — f g f 1 Determina l’expressió de les funcions —, —, — i — i troba’n el domini. g f g g — f
2 x4 ———— f f (x) x3—(x)——–————— g g (x) x2 ———— 3 x9
(2 x4)(3 x9) 6 x 230 x36—————————————————
(x3)(x2) x 25 x6
x2 ———— g g (x) 3 x9—(x)——————— f f (x) 2 x4 ———— x3
(x2)(x3) x25 x6—————————————————
(3 x9)(2 x4) 6 x230 x36
1 1 — —— f f (x) 1—(x)———————— g g (x) f (x) g (x)
1 1————————————————
2 x4 x2 2 x28 ———— ———— ———— x3 3 x9 3 x227
3 x227————
2 x28
1 1 f (x)
—(x)————— g g (x) g (x) — —— f f (x)
6 x230 x36————————
x25 x6
D f—g
D 1—
g—f
{x x25 x60}
{3,2}
Dg—f
{x 6 x230 x360}
{2,3}
D
1—f
—g
{x 2 x280}{2,2}
9. Amb les funcions f (x) 7 x 4, g (x) 2 x2 1 i h (x) x 9, comprova les propietats associativa i de l’element neutre de la composició de funcions.
Propietatassociativa:
[h (g f )] (x)h[(g f )(x)]h[g (f (x))]
h[g (7 x4)]h(2 (7 x4)21)
h(98 x2112 x31)
98 x2112 x319
98 x2112 x22
[(h g) f ] (x)(h g) (f (x))h[g (f (x))]
98 x2112 x22
Elementneutre:
(f I) (x)f (I (x))f (x)7 x4
(I f ) (x)I (f (x))f (x)7 x4
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd110 110 20/2/08 19:51:34
111MATEMÀTIQUES 1 LA
10.Donades les funcions:
1 3f (x) 32 x i g (x) — x—,
2 2
comprova que són inverses l’una de l’altra. Fes-ho també gràficament.
(g f ) (x)g (f (x))g (32 x)
1 3 3 3—(32 x)——x—x
2 2 2 2
(f g) (x)f(g (x))
1 3 1 3f—x—32—x—
2 2 2 2
3x3x
f (x)32 x
1 3g (x)— x— 2 2
111.Comprova que la funció inversa de f (x) — és ella ma- teixa. x
1 1(f f ) (x)f(f (x))f——x →
x 1 — x
1→ f1 (x)f(x)—
x
x 4 3x12.Amb les funcions f (x) ——— i g (x) ———: x 2 x 1
a) Troba l’expressió algèbrica i el domini de: g f, f g, f f, g g, f 1 i g1.
x4(g f ) (x)g (f (x))g———
x2
x4 3(x4) 3 ——— ———— x2 x2
—————————————— x4 x4x2 ———1 —————— x2 x2
3(x4) 3 x12————————
2 x6 2 x6
Dg f{3,2}
3 x(f g) (x)f (g (x))f——— x1
3 x 3 x4 x4 ———4 —————— x1 x1
—————————————— 3 x 3 x2 x2 ———2 —————— x1 x1
7 x4————
5 x2
2Df g51,— 5
x4(f f) (x)f(f (x))f——— x2
x4 x44 x8 ———4 ———————— x2 x2
——————————————— x4 x42 x4 ———2 ———————— x2 x2
5 x12—————
3 x8
8Df f52,— 3
3 x(g g) (x)g (g (x))g——— x1
3 x 9 x 3——— ——— x1 x1
————————————— 3 x 3 xx1 ———1 ————— x1 x1 9 x
———— 4 x1
1Dg g51,— 4
x4y——— → x y2 yx4 →
x2
→ xyx42y →→ x (y1)42y
42y 42xx———— → f 1(x)————
y1 x1
Df 1 {1}
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd111 111 20/2/08 19:51:37
112 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3 xy——— → x yy3 x →
x1
→ 3 x x yy → x (3y)y
y xx——— → g1(x)———
3y 3x
Dg1{3}
b) Comprova que les funcions f 1 i g1 són les inverses de f i g respectivament.
x4(f 1 f ) (x)f 1(f (x))f 1——— x2
x4 42——— x2
—————— x4 ———1 x2
4 x82 x8 ———————— x2
———————— x4x2 —————— x2 2 x
——x 2
42 x(f f 1) (x)f (f 1(x))f ———— x1
42 x 4 2 x4 x 4 ———4 ————————– x1 x1
——————————————— 42 x 4 2 x2 x 2 ———2 ————————– x1 x1
2 x——x
2
3 x(g1 g) (x)g1(g (x))g1——— x1
3 x 3 x ——— ——— x1 x1
————————————— 3 x 3 x33 x 3——— ————— x1 x1
3 x——x
3
x(g g1) (x)g (g1(x))g——— 3x
x 3 x 3——— ——— 3x 3x
——————————— x x3x ———1 ———— 3x 3x
3 x——x
3
Activitatsfinals
1.En una certa zona, la quantitat de sofre que hi ha a l’atmosfera, en parts per milió, evoluciona d’acord amb la funció s (t) 2,1 0,2 t 0,03 t 2, on t és el temps expressat en anys. Determina la presència de sofre en l’actualitat i quants anys han de transcórrer perquè s’assoleixi novament el valor actual.
s (0)2,1.Actualmenthiha2,1partspermiliódesofre.
s (t)2,1 → 2,10,2 t0,03 t 22,1 →→ 0,03 t 20,2 t0
t0
t (0,03 t0,2)0 → 0,03 t0,2 0 → 0,2
→ 0,03 t0,2 → t———6,6
(
anys 0,03
2.Defineix la funció que expressa la suma de dos nombres enters tals que el seu producte és 18. Troba’n el domini.
18 x218S (x)x——————
x x
Ds{18,9,6,3,2,1,1,2,3,6,9,18}
3.En un triangle, la suma de les longituds de la base i l’altura és 15 cm. Expressa l’àrea del triangle en funció de la longitud de la base. Troba el domini d’aquesta funció.
x (15x) 1 15S (x)—————— x2——x encm2
2 2 2
Ds(0,15)
4.Volem construir una capsa sense tapa amb una cartolina quadrada de 12 cm de costat. Per fer-ho, retallem quadrats iguals de costat x cm en cadascuna de les quatre cantonades de la cartolina. Determina l’expressió algèbrica que ens dóna el volum de la capsa (fig. 9.9), en funció del valor de x. Indica el domini d’aquesta funció.
V (x)(122 x)2x(14448 x4 x2)x
4 x348 x2144 xencm3
Dv(0,6)
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd112 112 20/2/08 19:51:39
113MATEMÀTIQUES 1 LA
5. Troba el domini de la funció que expressa l’àrea d’un rectangle de 30 cm de perímetre en funció de la longitud d’un dels costats.
2 x2 y30 → xy15 → y15x
Sx yx(15x)15 xx 2
S (x)15 xx 2encm2, Ds(0,15)
6.L’altura d’un cilindre és el triple del radi de la base. Escriu l’expressió del volum del cilindre en funció del radi de la base. Quin serà el volum del cilindre per a un radi de 5 cm? Quin és el valor del radi de la base si el volum del cilindre és de 24 cm3? Troba el domini de la funció suposant que el volum màxim és de 3,75 105 cm3.
V r 2h r 2 3 r3 r 3 → V (r)3 r 3
V (5)3 53375 cm3
24 3 r 3 → r 38 → r3√
82cm
3,75 1053 r 3 → 3,75 105 375 000
→ r 3———————— 3 3
125 000cm3 → r50cm
Dv(0,50)
7.Dos nombres naturals sumen 20. Expressa’n el producte en funció d’un d’ells. Troba el domini d’aquesta funció. Comprova que 15 és del domini, i que 28 no ho és.
P (x)x (20x)20 xx 2
Dp{x 1<x<19}
15 Dp, 28 Dp
8.Es vol construir una finestra formada per un quadrat i un semicercle de radi x (fig. 9.10). Troba les expressions del perímetre i de l’àrea de la finestra en funció de x. Indica el domini de cadascuna d’aquestes funcions.
2 xp (x)6 x———6 x x(6) x
2
x2 x2 8S (x)(2 x)2——4 x2————x2
2 2 2
DpDs(0,)
9.El radi d’una taca d’oli circular creix a un ritme de 3 cm per minut i el centre es troba a 9 cm del marge de la taula.
a) Expressa la funció que assigna a cada instant t el valor del radi de la taca.
r (t)3 t, tenminir (t)encm.
b) Quant trigarà la taca d’oli a arribar al marge de la taula?
3 t9 → t3min
c) Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada instant t el valor de l’àrea de la taca d’oli.
S r 2 (3 t)2 9 t 29 t 2
S (t)9 t 2 encm2
d) Calcula l’àrea en l’instant en què la taca arriba al marge de la taula.
S (3)9 3281 cm2
10.Suposem que establir una trucada telefònica costa 0,50 € i, a partir d’aquest moment, el preu és de 0,30 € per minut. Troba l’expressió algèbrica de la funció que ens determina l’import d’una trucada telefònica en funció de la seva durada. Quant costarà una trucada de 8 minuts? Quants minuts ha durat una trucada l’import de la qual és de 5,30 €?
f (t)0,50,3 t,tenmin,f (t)en€
f (8)0,50,3 80,52,42,9€
0,50,3 t5,3 → 0,3 t4,8 → t16min
11.La funció f (t)2 t 25 t expressa la distància recorreguda per un mòbil en funció del temps, on t s’expressa en segons i f (t), en metres. Troba la distància recorreguda pel mòbil entre els instants t1 s i t2 s. Quant de temps trigarà el mòbil a recórrer una distància de 75 m?
f (2)f (1)2 225 225
8102511m
2 t 25 t75 → 2 t 25 t750 →→ t5 s
12.En mesurar la temperatura a diferents alçades, s’ha observat que la temperatura disminueix 1 °C cada 200 m d’alçada. Si en un dia determinat la temperatura arran de terra és de 12 °C, escriu l’expressió algèbrica de la funció t (h), essent h l’alçada en metres i t (h) la temperatura en °C. Quina temperatura hi haurà a 6 km d’alçada? A quina alçada hi haurà una temperatura de 50 °C?
ht (h)12——
200
6 000t (6 000)12———123018 °C
200
h12——50 →
200
→ h12 400m12,4km
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd113 113 20/2/08 19:51:41
114 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
13.Dividim un segment de 10 cm de longitud en dues parts. Expressa la suma de les àrees dels triangles equilàters construïts sobre cadascuna d’aquestes dues parts (fig. 9.11), en funció del costat d’un dels triangles. Troba’n el domini.
√
3 √
3S (x)——x2——(10x)2
4 4
√
3 √
3——x2——(10020 xx2)
4 4
√
3 √
3——x225√
35√
3x——x2
4 4
√
3——x25√
3x25√
3encm2
2
Ds(0,10)
14.Troba el domini de les funcions següents:
2 a) f (x)———————— x 2 10 x 16
Df{x x210 x160}
{2,8}
2 b) g (x) √
— x 8
3
2Dg5x —x80 3
(,12]
c) h(x)3√
8 x5
Dh
7 x d) k (x)———— 3 x 2 3
Dk
15.Defineix una funció que tingui per domini els conjunts:
Respostesobertes,perexemple:
a) Df {2, 7} 1
f (x)——————— x29 x14
b) Dg {x x 0}
1g (x)———
√
x
c) Dh (, 3]
h(x)√
x3
d) Dq q (x)x2x4
e) Dp {x x 2, x 0}
10p (x)————
x22 x
16.Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:
2 x a) f (x)———— √
3 x
Df{x 3x0}(,3)
4 x 1 b) g (x)———— x 2 7 x
Dg{x x27 x0} {0,7}
2 x 1 c) h (x)—————
3√
8 x3
Dh{x 8x30} {2}
x ——— si x 0 x 1 d) k (x) 5 3 x 1 ———— si x 0 2 x 5
Dk{x x10 i 2 x50}
5 51,—
2
17.Donades les funcions f (x)3 x24 i g (x)3 (x1)2, troba:
a) (fg) (x)
(fg)(x)f (x)g (x)
3 x 243(x1)2
3 x 243 x 26 x3
6 x 26 x1
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd114 114 20/2/08 19:51:43
115MATEMÀTIQUES 1 LA
b) g(x2)
g(x2)3(x21)23(x3)2
3(x 26 x9)3 x 218 x27
c) (f g) (x)
(f g) (x)f (x) g (x)
(3 x 24) 3 (x1)2
(3 x 24) 3 (x 22 x1)
(3 x 24) (3 x 26 x3)
9 x 418 x 33 x 224 x12
g d) — (x) f g g (x)— (x)—— f f (x)
3(x1)2 3 x 26 x3————————————
3 x 24 3 x 24
e) (f g) (x)
(f g) (x)f (g (x))f (3 (x1)2)
3 (3 (x1)2)243 9 (x1)44
27(x 44 x 36 x 24 x1)4
27 x 4108 x 3162 x 2108 x23
f ) (g f ) (x)
(g f ) (x)g (f (x))g (3 x 24)
3 (3 x 241)23 (3 x 25)2
3 (9 x 430 x 225)
27 x 490 x 275
18.Troba el domini de la funció representada en cadascuna de les gràfiques (fig. 9.12).
a) b)
a)Df[3,1] [0,3)
b)Dg(3,2]
19.Defineix una funció a trossos que tingui per domini
Df {x x 0}.
Respostaoberta,perexemple:
1 — six1 x f (x) 5 x six1
20. Calcula f(3), f(1), f(0), f(1) i f(2), i troba el domini de:
2 x 3 x 1
x2 1 f (x) 5 ——— 1 x 1 x 2
√
x 3 x 1
f (3)2(3) 3639
(1)21 2f (1)——————
12 3
1f (0)—
2
11f (1)———2
12
f(2)√
5
Df
21.El nombre d’articles n produïts en una empresa un dia qualsevol, t hores després de l’inici de la feina, és
n (t) t2 20 t, amb una jornada laboral de vuit hores diàries. Si el cost de producció de n articles és, en euros, c(n) 5 6n, determina l’expressió de la funció c(t) que en dóna el cost en funció del temps. Indica’n el domini.
c (t)c (n (t))c (t 220 t)
56 (t 220 t)56 t 2120 t
6 t 2120 t5
Dc(0,8]
2 x 1 x 2 122.Siguin f (x) ———— i g (x) ———— x 1 3 x
f a) Troba les funcions: f g, f g, —, f f, g g, f 1. g
(fg) (x)f (x)g (x)
2 x1 x 21————————
x1 3 x
3 x (2 x1)(x1) (x21)——————————————–––
3 x(x1)
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd115 115 20/2/08 19:51:45
116 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
6 x 23 xx 3x 2x1—————————————–
3 x (x1)
x 37 x 24 x1—————————
3 x(x1)
x 37 x 24 x1—————————
3 x 23 x
(f g) (x)f (x) g (x)
2 x1 x 21———— ————
x1 3 x
(2 x1) (x 21) (2 x1) (x1)————————–————————––
(x1)3 x 3 x
2 x23 x1———————
3 x
2 x1 ———— f f (x) x1— (x)——————— g g (x) x 21 ——— 3 x
3 x(2 x1) 6 x23 x———————————————
(x1)(x21) x3x2x1
2 x1(f f ) (x)f(f (x))f———— x1
2 x1 4 x2x1 2————1 ——————– x1 x1
——————————————— 2 x1 2 x1x1 ————1 ——————– x1 x1
3 x3 x1———————
3 x x
x 21(g g) (x)g (g (x))g——— 3 x
x 21 ———2
1 3 x
——————— x 21 3——— 3 x
x 42 x 219 x 2
————————— 9 x 2
——————————— x 21 ——— x
x 411 x 21 x 411 x 21——————————————
9 x(x 21) 9 x 39 x
2 x1y———— → x yy2 x1 →
x1
→ 2 xxyy1 → x (2y)y1
y1 x1x——— → f 1(x)———
2y 2x
b) Troba el domini de cadascuna de les funcions anteriors.
DfgDf gDff
{x x0,x10}{0,1}
D f—g
{x x 210}{1,1}
Dgg{x x0,x 210}
{1,0,1}
Df1{x 2x0}{2}
c) Comprova que f 1 és la funció inversa de f.
2 x1(f1 f ) (x)f1(f (x))f1———— x1
2 x1 ————1 x1
———————— 2 x1 2———— x1
2 x1x1 ———————— x1 3 x
————————————x 2 x22 x1 3 ————————— x1
x1(f f1) (x)f ——— 2x
x1 2———1 2x
———————— x1 ———1 2x
2 x22 x ———————— 2x 3 x
————————————x x12x 3 ——————— 2x
x23.Donada la funció f(x) ———, comprova que (f f)(x) x. x 1 Per què creus que passa això? Justifica’n la resposta.
x(f f ) (x)f (f (x))f——— x1
x x ——— ——— x1 x1
————————————x x xx1 ———1 ————— x1 x1
Perquèf1(x)f (x),ésadir,éslainversad’ellamateixa.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd116 116 20/2/08 19:51:47
117MATEMÀTIQUES 1 LA
24.Troba la funció inversa i fes-ne la comprovació en cada cas, per a cadascuna de les funcions següents:
x 1 a) f (x)——— x 2
x1y——— → x y2 yx1 →
x2
→x xy12 y→x (1y)12 y
12 y 12 xx———— → f 1(x)————
1y 1x
x1(f1 f ) (x)f1(f (x))f1——— x2
x1 12——— x2 ——————— x1 1——— x2
x22 x2 ———————— x2 3 x
————————————x x2x1 3 ——————— x2
12 x(f f1) (x)f (f 1(x))f ———— 1x
12 x ————1 1x —————— 12 x ————2 1x
12 x1x ———————— 1x 3 x
————————————x 12 x22 x 3 ————————— 1x
b) g(x)√ x2 2
y√ x22 → y2 x22 →
→ x2 y22 → x√ y22 →
→ g1(x) √ x22
(g1 g) (x)g1(g (x))
g1(√ x22)√ (√ x22)22
√ x222√ x2x
(g g1) (x)g (g1(x))
g(√ x22)√ (√ x22)22
√ x222√ x2x
1 c) h (x)—x3 2
1y—x 3 → 2 yx 6 →
2
→ x2 y 6 → h1(x)2 x 6
(h1 h) (x)h1(h (x))
1 1h1—x 32—x 3 6
2 2
x 66x
(h h1) (x)h (h 1(x))
1h (2 x 6)—(2 x 6) 3
2
x 33x
Avaluació
1. Troba el domini de les funcions següents. Representa també gràficament les funcions dels apartats a, b i c i indica’n el recorregut.
a) f(x) 5
b) f(x) 2x + 1
c) f(x) x2 2x + 3
d) f(x)
e) f(x)
f) f(x)
g) f(x)
h) f(x)
i) f(x)
a)Df,Rf {5}
y
x
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd117 117 20/2/08 19:51:49
118 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b)Df ,Rf
y
x
c)Df ,Rf[2,+∞)y
x
d){0,4}
e) )7,
2 +∞
f)
g)(0,+∞)
h)
i)Df (−∞,0]U(1,+∞),Rf
2. Siguin 3 2
( )3
xf x
x−=+
, 2
( )3
xg x
x=
+ i h(x) = x2 – 1. Calcula:
a) f + g
b) f · g
c) f: g
d) f h
a) ( )2 3 2
( )3
x xf g x
x+ −+ =
+
b)( )
2 3 2
2 2
(3 2) 3 2· ( )
( 3) 6 9x x x x
f g xx x x
− −= =+ + +
c)
d)(f oh)(x)2 2
2 2
3( 1) 2 3 5( )( )
( 1) 3 2x x
f g xx x
− − −= =− + +
�
3. I) Troba la funció inversa de:
a) f(x) 1
3 2xx−+
b) g(x) 2x 5
II) Comprova que (g–1o g) (x) x
a)
1
1 13 2 1 3 2 1
3 2 3 2
2 1 2 1(3 1) 2 1 ( )
1 3 1 3
x yy x xy x y xy y x
x y
x xy x x y f x
x x−
− −= → = → + = − → − = − − →+ +
+ +− = − − → = → =− −
1
1 13 2 1 3 2 1
3 2 3 2
2 1 2 1(3 1) 2 1 ( )
1 3 1 3
x yy x xy x y xy y x
x y
x xy x x y f x
x x−
− −= → = → + = − → − = − − →+ +
+ +− = − − → = → =− −
1
1 13 2 1 3 2 1
3 2 3 2
2 1 2 1(3 1) 2 1 ( )
1 3 1 3
x yy x xy x y xy y x
x y
x xy x x y f x
x x−
− −= → = → + = − → − = − − →+ +
+ +− = − − → = → =− −
b) 15 52 5 2 5 ( )
2 2x x
y x x y y g x−+ += − → = − → = → =
c)(g211 (2 5) 5 2( )( )
2 2x x
g g x x− − += = =�
4. Un venedor té un salari mensual que està determinat per un sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2000 €, el seu salari és de 1200 € i, si ven per valor de 2500 €, el salari és de 1300 €. Trobeu el percentatge que guanya sobre el total de vendes i el sou fix.
b,soufix
a,%delvolumdevendes
Busquemunafunciódelaformay=ax+b
Sabem1200 2000
1300 2500
a b
a b
= + = +
Resolentperreducció,restantlesequacions−100500a→→ a1/50,220%ib800.
Així,elpercentatgequeguanyasobreeltotaldevendesésdel20%ielsoufixsón800€.
jUnitat10.Límitsicontinuïtatdefuncions
Activitats x 2 1.Donada la funció f (x) ———: x 1
a) Troba el límit de la funció per a x 4, x 1 i x 2.
x4, x → 4; f (x) → 2
x → 4; f (x) → 2x→4lim f(x)2
2
2 3 2
(3 2)( 3) 3 7 6( )
( 3) 3f x x x x
xg x x x x
− + + −= = + +
2
2 3 2
(3 2)( 3) 3 7 6( )
( 3) 3f x x x x
xg x x x x
− + + −= = + +
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd118 118 20/2/08 19:51:51
119MATEMÀTIQUES 1 LA
x1, x → 1; f (x) →
x → 1; f (x) → Noexisteix
x→1limf (x)perquèelslímitslateralssóndiferents
x2, x → 2; f (x) → 0
x → 2; f (x) → 0x→2lim f(x)0
b) Indica si es creixent o decreixent per a x 4 i x 2.
x4, x → 4; f (x) → 2
Ésdecreixentjaquex↑,f (x)↓
x → 4; f (x) → 2
Ésdecreixentjaquex↓,f (x)↑
→Decreixent.
x2, x → 2; f (x) → 0
Ésdecreixentjaquex↑,f (x)↓
x → 2; f (x) → 0
Ésdecreixentjaquex↓,f (x)↑
→Decreixent.
x2 2 x 2.Donada la funció f (x) ———— : 3 x
a) Troba el límit de la funció en x 0.
x → 0; f (x) → 0,6
(
x → 0; f (x) → 0,6
(
2
x→0lim f(x)0,6
(
— 3
b) Què pots dir del creixement de la funció en el punt x 0? Justifica’n la resposta.
x0 Df.Nopodenparlardecreixementenx0.
3.Calcula els límits següents:
2 x 5 x 2
a) x → lim ——————
3 x 2 1
2x5 x2 5 x2 5
x→lim ——————
x→lim ————
3 x21 3 x2 3
7 x 3 b)
x → lim ————
4 x 2 2
7 x3 7 x
x→lim ————
x→lim ——
4 x22 4 x 2
7
x→lim ——0
4 x
c) x→
lim (√ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1)
x→
lim (√ 3x25x9√ 3x2x1)
(√ 3x25x9)2(√ 3x2x1)2
x→
lim —————————————————— √ 3x25x9√ 3x2x1
3x25x93x2x1
x→
lim ———————————————— √ 3x25x9√ 3x2x1
6x10
x→
lim ———————————————— √ 3x25x9√ 3x2x1
6 x
x→lim ————————
√ 3 x 2√ 3 x 2
6 x 6 x
x→
lim ——————x→lim ————
√ 3x√ 3x 2 √ 3x
6 3 3√ 3————————√ 3
2√ 3 √ 3 3
d) x →
lim (√ x 2 1 x 2)
x→
lim (√ x21x2)
x→
lim [√ x21(x2)]
(√ x21)2(x2)2
x→
lim —————————— √ x21x2
x21x24 x4
x→
lim ——————————— √ x21x2
4 x3
x→
lim ————————— √ x21x2
4 x 4 x
x→
lim ————x→
lim ——— √ x2x xx
4 x
x→
lim ———2 2 x
e) x →
lim (3x3 2 √ 5x4 3x2 7)
x→
lim (3x32√ 5x43x27)
x→
lim (3 x 3)
1 3 x3
f) x →
lim ———— 5 x2 2
13 x3 3 x3
x→
lim ————x→
lim ——— 5 x22 5 x2
3 x
x→
lim —— 5
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd119 119 20/2/08 19:51:53
120 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
x 5 g)
x →
lim ——— x 3
x 2
x5
x→
lim ——— x3
x2
3
x→
lim 1———x 2———
3 3———
x 2
(x3)
x2
elim
x→3(x 3)———
x 2 elim
x→3x——x e3
x2 x 2 1 x 3
h) x →
lim ————————— 2 x 3 x 2 5
x2x2 1x3
x→
lim ————————— 2 x3 x25
x 42 x37 x27 x13
x→
lim ——————————————— 2 x33 x210 x15
x 4 x
x→
lim ———x→
lim —— 2 x3 2
6 x 4 5 x3 2 x2 3 i)
x → lim ———————————
2 x3 x2 2 x 7
6 x45 x32 x23
x→lim ———————————
2 x3x22 x7
6 x 4
x→lim ———
x→lim 3 x
2 x3
2 2 x j)
x → lim 3 ————
x 1———2
x 4
22 xx→lim 3————
x 1———2
x4
6
x→lim 1———
x 1———2
x4
6
x→lim 1———
x 4———6
6———x 4
·x 1———
2
x4
e lim
x→3x 3———
x 4 e3
3 x 3 2 4 x 1 k)
x →
lim ———— ———— x 2 5 6 x 2 3
3 x32 4 x1
x→
lim ———— ———— x25 6 x23
12 x 43 x38 x2
x→
lim ——————————— 6 x 433 x215
12 x 4
x→
lim ———2 6 x 4
3 x 3x2
l) x →
lim —————— 3 x
1 2 x2
3x3x2
x→
lim —————— 3x
12 x2
3x3x2
x→
lim ——————lim
x→(3x)
12 x2
3x2
x→
lim ———lim
x→(3x)
2 x2
3 2—
—
0 2 3
4.Troba el límit de la funció
x3 5 x2 6 x f (x) ——————— en x 0, x 1, x 2 i x 3. x3 3 x2 2 x
x35 x26 x
x→0lim ———————
x33 x22 x
x (x25 x6 )
x→0lim ———————
x (x23 x2)
x 25 x6 6
x→0lim ———————3
x 23 x2 2
x35 x26 x 2
x→ 1lim ————————
x33x22x 0
x35 x26 x
x→ 2lim ———————
x33 x22 x
(x2) (x23 x)
x→ 2lim ————————
(x2) (x2x)
x 23 x 2
x→ 2lim ———————1
x 2x 2
x35 x26 x 0
x→ 3lim ————————0
x33 x22 x 6
5.Calcula els següents límits de funcions:
x √ 3 x 10 a) lim ———————— x → 5
x 2 25
x√ 3 x10lim ———————
x→5 x225
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd120 120 20/2/08 19:51:55
121MATEMÀTIQUES 1 LA
x2(√ 3x10)2
lim ———————————— x→5(x225)(x√ 3x10)
x23 x10
lim ————————————
x→5(x225)(x√ 3x10)
(x5) (x2) lim ——————————————— x→5 (x5)(x5)(x√ 3x10)
x2lim ———————————
x→5 (x5)(x√ 3x10)
7 7—————
10 10 100
x 1 2 x 3 b)
x → 0 lim ——————— 6x2 3x3
x1 2 x3
x→0lim ——————— 6 x2 3 x3
x (x1)2 (2 x3)
x→0lim ———————————
6 x3
x2x4 x6
x→0lim ————————
6 x3
x23 x6 6
x→0lim ————————
6 x 3 0
2 x 3 2 x 2 c)
x → 1 lim ————:———— x 2 1 x 1
2 x3 2 x2
x→1lim ————:————
x21 x1
(2 x3) (x1)
x→1lim ————————
(x21) (2 x2)
(2 x3) (x1)
x→1lim ———————————
(x1) (x1) (2 x2)
2 x3 5 5
x→1lim ————————————
(x1) (2 x2) 2 4 8
x 2 2 x 1 d)
x → 1 lim —————————
x 3 3 x 2 3 x 1
x22 x1
x→1lim —————————
x33 x23 x1
(x1)2
x→1lim ————
(x1)3
1 1
x→1lim ————
x1 0
2 x3 5 x 2 7 x e)
x → 0 lim ————————
8x2 x———3x
3 x 2 4 x
2 x35 x 27 x
x→0lim ———————— 8x2 x———
3x 3 x 24 x
x (2 x 25 x7)
x→0lim ————————
limx→ 0
x(8x 1)————3x
x (3 x4)
2 x25 x7
x→0lim ————————
limx→ 0
8x 1————3
3 x4
7 7 7——
1—3
3√
—
3√
— 4 4 4
x 3 4 f )
x → 2 lim ——————
1—x
x2 2 x 2
x34
x→2lim ———————
1—x
x22 x2
x34
x→2lim ———————
limx→ 2
1—x
x22 x2
6 6—
1—2
√
— 5 5
3 x 2 9 x 30 g)
x → 2 lim ————————
16 2 x 3
3 x 29 x30
x→2lim ————————
162 x 3
(x2) (3 x15)
x→2lim ———————————
(x2) (2 x24 x8)
3 x15 7
x→2lim ————————
2 x 24 x8 8
x 3 2 x 2 3 x h)
x → 3 lim ———————
27 x 3
x32 x23 x
x→3lim ———————
27x3
(x3) (x2x)
x→3lim ———————————
(x3) (x 23 x9)
x2x 4
x→3lim ————————
x23 x9 9
3 x 9 i)
x → 3 lim ————
x3 27
3 x9
x→3lim ————
x327
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd121 121 20/2/08 19:51:57
122 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3 (x3)
x→3lim ———————————
(x3) (x23 x9)
3 1
x→3lim ———————
x 23 x9 9
x 2 x 2 6.Donada la funció f (x) ———————, calcula’n el límit
x 2 5 x 6 quan x tendeix a: 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1 i 1.
x2x2 4
x→3lim ————————
x25 x6 0
x2x2 4
x→3lim ————————
x25x6 0
Noexisteixellímit.
x2x2
x→2lim ——————
x25 x6 (x2)(x1)
x→2lim ————————
(x2)(x3)
x1
x→2lim ———3
x3
x2x2
x→2lim ———————
x25 x6 (x2) (x1)
x→2lim ————————
(x2) (x3)
x1
x→2lim ———3
x3
x2x2
x→2lim———————3
x25 x6
x2x2
x→1lim ——————0
x25 x6
x2x2
x→1lim ——————0
x25 x6
x2x2
x→1lim ——————0
x25 x6
7.Donada la funció f(x) √ x 4, indica’n el domini i dedueix-ne el límit quan x tendeix a: 4, 4, 4.
Df{x x40}[4,)
/∃ x→4lim √ x4
jaqueelsvalorsméspetitsde4nosóndeldomini.
x→4lim √ x40,ipertant:
/∃ x→4lim √ x4
8.Calcula el límit de la funció definida a trossos: x2 x ————— x 1 2x2 2x f(x) 5 x2 1 ———— x 1 2x 2
quan x tendeix a 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 3.
x 2x
x→0lim f (x)
x→0lim —————
2 x22 x
x (x1)
x→0lim —————
2 x (x1)
x1 1
x→0lim —————— 2 (x1) 2
x2x
x→0lim f (x)
x→0lim —————
2 x22 x
x (x1)
x→0lim —————
2 x (x1)
x1 1
x→0lim ——————
2 (x1) 2
1 d’on:
x→0lim f (x)—
2
x2x
x→1lim f (x)
x→1lim —————0
2 x 22 x
x 21
x→1lim f (x)
x→1lim ————
2 x2
(x1) (x1)
x→1lim ——————— 2 (x1)
x1
x→1lim ———1
2
/∃x→1lim f (x)
x21
x→3lim f (x)
x→3lim ————2
2 x2
x21
x→3lim f (x)
x→3lim ————2
2 x2
x→3lim f (x)2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd122 122 20/2/08 19:51:59
123MATEMÀTIQUES 1 LA
9.Donades les funcions:
2 x 2 2 x f (x) ————— i x x 3
5 x ——— si x 0 x 1 g (x) 5 x 2
——— si x 0 x 1
Estudia’n la continuïtat en x 1, x 0 i x 1.
Df{x xx30} {1,0,1}
2 x22 x
x→1lim f (x)
x→1lim —————
xx3
2 x (x1)
x→1lim ———————— (xx2) (x1)
2 x
x→1lim ————1
xx2
2 x22 x
x→1lim f (x)
x→1lim —————
xx3
2 x (x1)
x→1lim ————————
(xx2) (x1)
2 x
x→1lim ————1
xx2
d’on: /∃ f (1), ja que x 1 Df. Discontinuïtat evitable enx1.
2 x22 x
x→0lim f (x)
x→0lim —————
xx3
x (2 x2)
x→0lim ————— x (1x2)
2 x2
x→0lim ————2
1x2
2 x22 x
x→0lim f (x)
x→0lim —————
xx3
x (2 x2)
x→0lim —————
x (1x2)
2 x2
x→0lim ————2
1x2
d’on: /∃ f (0), ja que x 0 Df. Discontinuïtat evitable enx0.
S’evitenlesduesdiscontinuïtatsdefinintunanovafunció:
f (x) x1ix0 h (x)5 1 x1 2 x0
2 x22 x 4
x→1lim f (x)
x→1lim —————— xx3 0
2 x22 x 4
x→1lim f (x)
x→1lim ——————
xx3 0
/∃f (1),jaquex1Df
Discontinuïtatasimptòticaenx1.
Dg{x x10ix10}
{1,1}
5 x 5
x→1lim g (x)
x→1lim ———— x1 0
5 x 5
x→1lim g (x)
x→1lim ————
x1 0
Discontinuïtat asimptòtica en x 1. /∃ g (1), ja quex1Dg.
5 x
x→0lim g (x)
x→0lim ———0 x1
x2
x→0lim g (x)
x→0lim ———0
x1
f (0)0
Contínuaenx0.
x2 1
x→1lim g (x)
x→1lim ———— x1 0
x2 1
x→1lim g (x)
x→1lim ————
x1 0
Discontinuïtatasimptòticaenx1./∃g (1),jaquex1Dg.
10.Estudia la continuïtat de la funció:
2 x 2 6 x 4 f (x) ———————— 1 x 4
Df{x 1x 40} {1,1}
Calestudiar-laenx 1ix 1.
2 x26 x4 12
x→1lim ——————————
1x 4 0
2 x26 x4 12
x→1lim ——————————
1x 4 0
/∃f (1),jaquex1Df
Discontinuïtatasimptòticaenx1.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd123 123 20/2/08 19:52:02
124 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2 x26 x4
x→1lim ————————
1x 4
(x1) (2 x4)
x→1lim —————————————
(x1) (x3x2x1)
2 x4 1
x→1lim —————————
x3x2x1 2
2 x26 x4
x→1lim ————————
1x 4
(x1) (2 x4)
x→1lim —————————————
(x1) (x3x2x1)
2 x4 1
x→1lim —————————
x3x2x1 2
/∃f (1),jaquex1Dg
Discontinuïtatevitableenx1.S’evitadefinintunanovafunció:
f (x) x 1 g (x)5 1 — x 1 2
11.En la funció
p x 1 ———— si x 1 x 4 f (x) 5 x 1 ———— si x 1 x 2 1
a) Troba el valor de p perquè sigui contínua en x 1.
p x1 p1
x→1lim f (x)
x→1lim ———————
x4 3
x1
x→1lim f (x)
x→1lim ————
x2x
x1
x→1lim ————
x (x1)
1
x→1lim —1
x
p1 f (1)——— 3
Sihadesercontínuaenx1 →
p1 → ———1 → p4 3
b) Hi ha algun altre punt en què la funció és discontínua? Justifica’n la resposta.
No,perquèDf.Perap4f (x)éscontínuaentotselsreals.
12.Estudia la continuïtat de la funció:
2x 1 si x 1
x 3 g(x) 5 ——— si 1 x 1 2x
x ——— si x 1 x 2
Dg{x 2 x0ix20} {0,2}.
Calestudiarlacontinuïtatenx1,x0,x1ix2.
x→1lim g (x)
x→1lim (2 x1)1
x3
x→1lim g (x)
x→1lim ———1
2 x
g (1) 1
Contínuax 1.
x3 3
x→0lim g (x)
x→0lim ————
2 x 0
x3 3
x→0lim g (x)
x→0lim ————
2 x 0
/∃g (0)jaquex0Dg
Discontinuïtatasimptòticaenx0.
x3
x→1lim g (x)
x→1lim ———2
2 x
x
x→1lim g (x)
x→1lim ———1
x2
g (1) 2
Discontinuïtatdesaltenx 1.
x 2
x→2lim g (x)
x→2lim ————
x2 0
x 2
x→2lim g (x)
x→2lim ————
x2 0
/∃g (2)jaquex2Dg
Discontinuïtatasimptòticaenx2.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd124 124 20/2/08 19:52:04
125MATEMÀTIQUES 1 LA
13.A partir de la gràfica:
Df
a) Indica quin és el límit de la funció quan x tendeix a , , , 4, 4, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2.
x→
lim f (x)0;x→
lim f (x);
/∃x→lim f (x)
x→4lim f (x)2;
x→4lim f (x);
/∃x→4lim f (x); f (4)2
x→2lim f (x)1;
x→2lim f (x)1;
x→2lim f (x)1; f (2)0
x→0lim f (x);
x→0lim f (x)2;
/∃x→0lim f (x); f (0)2
x→1lim f (x)0;
x→1lim f (x)0;
x→1lim f (x)0; f (1)0
x→2lim f (x)2;
x→2lim f (x)1;
/∃x→2lim f (x); f (2)1
b) Justifica i classifica les discontinuïtats de la funció representada gràficament.
Discontinuïtatasimptòticaenx4.
Discontinuïtatevitableenx2.S’evita
f (x) x2 definintg (x)5 1 x2
Discontinuïtatasimptòticaenx0.
Discontinuïtatdesaltx2.
14.Dibuixa una gràfica d’una funció que verifiqui les condicions següents:
a) Df {0};
b) x → lim f (x) 0;
c) Presenti aquestes discontinuïtats: asimptòtica en x 0, evitable en x 2 i de salt en x 4.
Respostaoberta,perexemple:
Activitatsfinals
1.Calcula els límits a l’infinit de les funcions polinòmiques següents:
a) p (x) 4 x 4 x 3 12 x 2 x 3
x→
lim p (x)
x→
lim (4 x4x312 x2x3)
x→
lim 4 x4
x→
lim p (x)
x→
lim (4 x 4x312 x2x3)
x→
lim 4 x 4
d’on:x→lim p (x)
b) q (x) 2 x 3 6 x 2 8
x→
lim q (x)x→
lim (2 x36 x28)
x→
lim (2 x3)
x→
lim q (x)x→
lim (2 x36 x28)
x→
lim (2 x3)
d’on:/∃x→lim q (x)
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd125 125 20/2/08 19:52:06
126 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2. Troba el límit quan x → , x → i x → de les funcions racionals:
7 x 3 a) f (x) ————— 2 x 3 x
7 x3
x→
lim f (x)x→
lim ————
2 x3x
7 x
x→
lim —— 2 x3
7
x→
lim ——0 2 x2
7 x3
x→
lim f (x)x→
lim ———— 2 x3x
7 x
x→
lim —— 2 x3
7
x→
lim ——0 2 x2
x→lim f (x)0
12 x 2 2 x 5 b) g (x) ——————— 6 x 2 8 x 12 x22 x5
x→
lim g (x)x→
lim ————————
6 x28 x
12 x2
x→
lim ——2 6 x2
12 x22 x5
x→
lim g (x)x→
lim ———————— 6 x28 x
12 x2
x→
lim ——2 6 x2
x→lim g (x)2
x 4 2 c) h (x) ——————— 7 x 3 20 x 1
x 42
x→
lim h (x)x→
lim ————————
7 x 320 x1
x 4
x→
lim —— 7 x 3
x
x→
lim — 7
x 42
x→
lim h (x)x→
lim ———————— 7 x 320 x1
x 4
x→
lim —— 7 x 3
x
x→
lim — 7
/∃ x→lim h (x)
x 3 4 x 2 3 x 3.Donada la funció f (x) ———————: x 2 x 2
a) Calcula el límit de f (x) quan x → 2 i x → 1.
x34 x23 x 30
x→2
lim —————————— x2x2 0
x34 x23 x 30
x→2
lim —————————— x2x2 0
/∃ x→2lim f(x)
x34 x23 x
x→1lim ———————
x2x2
(x1) (x23 x)
x→1lim ————————
(x1) (x2)
x23 x 2
x→1lim —————
x2 3
1 b) Determina el límit de la funció — (x) quan x → 0,
x → 1 i x → 3. f
x2x2 2
x→0
lim ————————— x34 x23 x 0
x2x2 2
x→0
lim ————————— x34 x23 x 0
/∃ x→0lim f(x)
x2x2
x→1lim ———————
x34 x23 x
(x1) (x2)
x→1lim ————————
(x1) (x23 x)
x2 3
x→1lim —————
x23 x 2
x2x2 10
x→3
lim ————————— x34 x23 x 0
x2x2 10
x→3
lim —————————— x34 x23 x 0
/∃ x→3lim f(x)
4.Calcula:
x 6 x 4 a)
x → 2 lim ———— ———— x 2 4 x 2 2 x
x6 x4
x→2lim ———————— x24 x22 x
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd126 126 20/2/08 19:52:09
127MATEMÀTIQUES 1 LA
(x6)x(x4) (x2)
x→2lim ———————————————
x (x2) (x2)
x26 xx22 x8
x→2lim —————————————
x (x2) (x2)
4 x8
x→2lim —————————
x (x2) (x2)
4 (x2)
x→2lim —————————
x (x2) (x2)
4 4 1
x→2lim ——————————
x (x2) 2(4) 2
x √ 4 x 3 b)
x → 3 lim ———————
x 2 3 x
x√ 4 x3
x→3lim ———————
x23 x
x2(√ 4x3)2
x→3lim —————————————
(x23x)(x√ 4x3)
x24 x3
x→3lim —————————————
(x23x)(x√ 4x3)
(x3) (x1)
x→3lim —————————————
x(x3)(x√ 4x3)
x1 2 1
x→3lim ————————————
x(x√ 4x3) 36 9
3 x 1 x 2 x c)
x → 1 lim ———— ———— 2 x 2 2 x 3
3 x1 x 2x
x→1lim ———— ———— 2 x2 2 x3
(3 x1) (x 2x)
x→1lim —————————
(2 x2) (2 x3)
(3 x1) x (x1)
x→1lim —————————
2(x1) (2 x3)
x (3 x1) 4 2
x→1lim ——————————
2 (2 x3) 2 5 5
5.Per calcular alguns límits cal utilitzar el mètode del doble conjugat. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador pel conjugat de cadascun d’ells. Tot emprant el mètode del doble conjugat, calcula:
3x √ x2 32
x → 2 lim ————————
√ x 2 x
3x√ x232
x→2lim ————————
√ x2x
[(3x)2(√ x232)2](√ x2x)
x→2lim ——————————————————
[(√ x2)2x2](3x√ x232)
(9x2x232)(√ x2x)
x→2lim ————————————————
(x2x2)(3x√ x232)
(8x232)(√ x2x)
x→2lim ——————————————————
(x2x2)(3x√ x232)
8(x2)(x2)(√ x2x)
x→2lim ——————————————————
(x2)(x1)(3x√ x232)
8(x2)(√ x2x)
x→2lim ——————————————
(x1)(3x√ x232)
8 4 4 32——————
3 12 9
6.a) Mitjançant una taula de valors comprova que:
x → 0 lim (1x)
1—x e
b) Sabent que x → alim [1f (x)]
1——f(x) e si
x → alim f (x) 0,
calcula:
x 1
x → 1 lim 1 ——— 2———
3x3
x 1 a)
g (x)(1x)1—x
g (0,1)(10,1)1—
0,11,1102,5937425
g (0,01)(10,01)1——
0,01
1,011002,7048138
g (0,001)(10,001)1——
0,001
1,00110002,7169239
x→0lim g (x)e
g (0,1)(10,1)1——
0,10,910
1 ——10
1,1
(
102,867972 0,9
1 g (0,01)——100
0,99
1,01
(
1002,731999
1 g (0,001)———1000
1,001
(
1000
0,999
2,7196422
x→0lim g (x)e
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd127 127 20/2/08 19:52:11
128 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Pertant,x→0lim (1x)
1—x e.
b) x1
x→1lim 1——— 2———
3x3 x1
x1
x→1lim 1———
x 1———x 1
x 1———x 1
2———3x 3
x1
ex→1lim 2(x 1)————————
(x 1)3(x1)e
x→1lim 2————
3(x1)
e
1—3
x1 jaque
x→1lim f(x)
x→1lim ———0
x1
x x 7.Raona per què la funció f (x) ———— no té límit quan
x → 0. x
xx xx
x→0lim ————
x→0lim ———0
x x
xx xx
x→0lim ————
x→0lim ———
x x
2 x
x→0lim ——2
x xx/∃
x→0lim ————
x
8.Calcula el límit de:
x ——— si x 0 x 2 x
3 x 9 f (x) 5 ——— si 0 x 3 x 2 9
3 x ——— si x 3 x 3
quan x tendeix a , , , 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 3, 3.
x
x→
lim f (x)x→
lim ——— x 2x x 1
x→
lim ——x→
lim —0 x 2 x
3 x 3 x
x→
lim f (x)x→
lim ———x→
lim —3
x3 x
/∃x→lim f (x)
x 1
x→1lim f (x)
x→1lim —————
x 2x 0
x 1
x→1lim f (x)
x→1lim —————
x 2x 0
/∃x→1lim f (x)
x
x→0lim f (x)
x→0lim ———
x2x
x
x→0lim —————
x (x1)
1
x→0lim ———1
x1
3 x9
x→0lim f (x)
x→0lim ————1
x 29
x→0lim f (x)1
3 x9
x→3lim f (x)
x→3lim ————
x29
3 (x3)
x→3lim ———————
(x3) (x3)
3 1
x→3lim ————
x3 2
3 x 3
x→3lim f (x)
x→3lim ————
x3 2
/∃x→3lim f (x)
1 9.Les funcions f (x) x, g (x) — i h (x) √ x són contí-
x nues en x 0? Justifica’n les respostes.
x→0lim f (x)
x→0lim x0
x→0lim f (x)
x→0lim x0
f (0)0
f (x)éscontínuaenx0.
1 1
x→0lim g (x)
x→0lim ———
x 0
1 1
x→0lim g (x)
x→0lim ———
x 0
/∃g (0)jaquex0Dg
g (x)ésdiscontínuaenx0.Ésunadiscontinuïtatasimptòtica.
/∃x→0lim h (x)jaqueDh[0,)
x→0lim h (x)
x→0lim √ x0
f (0)0
h (x)ésdiscontínuaenx0.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd128 128 20/2/08 19:52:14
129MATEMÀTIQUES 1 LA
10.La funció
1 si x 0 f (x) 5 x 2 si x 0
és contínua en x 0? I en x 1? Raona les respostes.
x→0lim f (x)1
x→0lim f (x)
x→0lim (x2)2
f (0)1
Enx0lafuncióf (x)presentaunadiscontinuïtatdesalt.
x→1lim f (x)
x→1lim (x2)3
x→1lim f (x)
x→1lim (x2)3
f (1)3
Enx1lafuncióf (x)éscontínua.
11.Justifica raonadament per què una funció polinòmica és contínua per a tot x.
Siguip (x)unafunciópolinòmica.
Dp
x→alim p (x)
x→alim p (x)p (a) → éscontínuaa.
12.Classifica les discontinuïtats de cada funció per al valor de x que s’indica:
1 a) f (x) ——— en x 3 x 3
1 1
x→3lim f (x)
x→3lim ————— x3 0
1 1
x→3lim f (x)
x→3lim —————
x3 0
/∃f (3),jaquex3Df
Discontinuïtatasimptòticaenx3.
x si x 1 b) g (x) 5 en x 1 x 2 2 si x 1
x→1lim g (x)
x→1lim x1
x→1lim g (x)
x→1lim (x 22)3
g (1)3
Discontinuïtatdesaltenx1.
13.Estudia la continuïtat de la funció
2 x 2 8 f (x) ————— en x 0 i x 2. x 3 2 x 2
2 x 28 8
x→0lim ———————
x 32 x 2 0
2 x 28 8
x→0lim ———————
x 32 x 2 0
/∃f (0),jaquex0Df
Discontinuïtatasimptòticaenx0.
2 x 28 2 (x2) (x2)
x→2lim —————
x→2lim —————————
x 32 x 2 x 2(x2)
2 (x2)
x→2lim —————2
x 2
2 x 28 2 (x2) (x2)
x→2lim —————
x→2lim —————————
x 32 x 2 x 2(x2)
2 (x2)
x→2lim —————2
x 2
/∃f (2)jaquex2Df
Discontinuïtatevitableenx2.
f (x)six2 S’evitadefinintg (x) 5 2six2
14.Explica per què té una discontinuïtat evitable en x 1 la funció:
2 si x 1
f (x) 5 x 3 ——— si x 1 2
Com es pot evitar la discontinuïtat?
x→1lim f (x)2
x3
x→1lim f (x)
x→1lim ———2 2
/∃f (1)
Efectivament,ésunadiscontinuïtatevitable.
2 six1
S’evitadefinintg (x) 5 x3
——— six 1 2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd129 129 20/2/08 19:52:16
130 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
15.Troba el domini i estudia la continuïtat de les funcions irracionals:
a) f (x) √ x 1
Df{x x10}[1,)
/∃ x→1lim (√ x1)
x→1lim (√ x1)0
f (1)0
Ésdiscontínuaenx1.
b) g (x) √ 4 x 2
Dg{x 4x 20}[2,2]
/∃ x→2lim √ 4x 2
x→2lim √ 4x20
g (2)0
Ésdiscontínuaenx2.
x→2lim √ 4x20
/∃ x→2lim √ 4x2
g (2)0
Ésdiscontínuaenx2.
16.Estudia la continuïtat de la funció següent:
3 x 9f (x) —————
2 x 2 18
Df{x 2 x 2180}{3,3}
3 x9 18
x→3lim ———————
2 x 218 0
3 x9 18
x→3lim ——————— 2 x 218 0
/∃f (3)jaquex3Df
Discontinuïtatasimptòticaenx3.
3 x9 3 (x3)
x→3lim —————
x→3lim —————————
2 x 218 2 (x3) (x3)
3 1
x→3lim ——————
2 (x3) 4
3 x9 3 (x3)
x→3lim —————
x→3lim —————————
2 x 218 2 (x3) (x3)
3 1
x→3lim ——————
2(x3) 4
/∃f (3),jaquex3Df.
Discontinuïtatevitableenx3,s’evitadefinint:
f (x) x3 g (x) 5 1 — x3 4
17.A partir de la gràfica, descriu tots els punts de discontinuïtat de la funció partentera, definida per a tot nombre real x com la funció f (x) que hi fa correspondre el nombre enter més gran n tal que n x.
A partir de la gràfica s’observa que x , hi ha unadiscontinuïtatdesaltiéscontínuaenelsaltrespunts.
18.Descriu el domini i les discontinuïtats de les funcions següents:
x 3 a) f (x) ——— x
Df{x x0}{0}
x3 3
x→0lim —————
x 0
x3 3
x→0lim —————
x 0
/∃f (0)jaquex0Df
Discontinuïtatasimptòticaenx0.
3 x 15 b) g (x) ———— x 2 5 x
Dg{x x 25 x0}{0,5}
3 x15 15
x→0lim ——————
x 25 x 0
3 x15 15
x→0lim ——————
x 25 x 0
/∃g (0),jaquex0Dg
Discontinuïtatasimptòticaenx0.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd130 130 20/2/08 19:52:18
131MATEMÀTIQUES 1 LA
3 x15 3 (x5)
x→5lim ————
x→5lim —————
x 25 x x (x5)
3 3
x→5lim ——
x 5
3 x15 3 (x5)
x→5lim ————
x→5lim —————
x 25 x x (x5)
3 3
x→5lim ——
x 5
/∃g (5),jaquex5Dg
Discontinuïtatevitableenx5.
g(x) six5 S’evitadefinintq(x) 5 3 — six5 5
x 3 x 2
c) h (x) ———— x 2
Dh{x x 20}{0}
x 3x 2 x 2(x1)
x→0lim ————
x→0lim —————
x 2 x 2
x→0lim (x1)1
x 3x 2 x 2(x1)
x→0lim ————
x→0lim —————
x 2 x 2
x→0lim (x1)1
/∃h (0),jaquex0Dh
Discontinuïtatevitableenx0.
h (x) six0 S’evitadefinintr (x) 5 1 six0
d) p (x) x 2 9
p (x)x 29éspotdefiniraixí:
x 29 si x3 o x3 p (x) 5 9x 2 si 3x3
Dp
x→3lim p (x)
x→3lim (x 29)0 x→3
lim p (x)x→3lim (9x 2)0
p (3)0
Contínuaenx3.
x→3lim p (x)
x→3lim (9x 2)0 x→3
lim p (x)x→3lim (x 29)0
p (3)0
Contínuaenx3.
19.Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció:
x 2 3 x 1 —————— si x 1 x 2
x 2 1 f (x) 5 ——— si 1 x 1 x 1
x 1 ——— si x 1 2 x
Df{x x 20i2 x0}
{2,2}
x 23 x1
x→2lim f (x)
x→2lim ——————
x2
1——
0
x 23 x1
x→2lim f (x)
x→2lim ———————
x2
1 —— 0
/∃f (2),jaquex2Df
Discontinuïtatasimptòticaenx2.
x 23 x1
x→1lim f (x)
x→1lim ———————1
x2
x 21
x→1lim f (x)
x→1lim ————0
x1
f (1)0
Discontinuïtatdesaltenx1.
x 21
x→1lim f (x)
x→1lim ———
x1
(x1) (x1)
x→1lim ————————
x→1lim (x1)2
x1
x1
x→1lim f (x)
x→1lim ———2
2x
f (1)2
Contínuaenx1.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd131 131 20/2/08 19:52:21
132 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
x1 3
x→2lim f (x)
x→2lim —————
2x 0
x1 3
x→2lim f (x)
x→2lim ————— 2x 0
/∃f (2)jaquex2Df
Discontinuïtatasimptòticaenx2.
20.Estudia la continuïtat de la funció f (x) x 2 1 en els punts x 1 i x 1.
f (x)x 21espotdefinir:
x 21 si x1 o x1 f (x) 5 1x 2 si 1x1
x→1lim f (x)
x→1lim (x21)0 x→1
lim f (x)x→1lim (1x2)0
f (1)0
Contínuaenx1.
x→1lim f (x)
x→1lim (1x 2)0 x→1
lim f (x)x→1lim (x 21)0
f (1)0
Contínuaenx1.
21.El novembre de 1999, el preu del franqueig d’una carta en funció del seu pes era:
Fins a 20 g 0,21 Més de 20 g fins a 50 g 0,27 Més de 50 g fins a 100 g 0,45 Més de 100 g fins a 200 g 0,75 Més de 200 g fins a 350 g 1,35 Més de 350 g fins a 1 kg 1,95 Més d’1 kg fins a 2 kg 3,01
a) Representa per x la variable pes i per f (x) la variable preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció.
0,21si0x20 0,27si20x50 0,45si50x100 f (x) 5 0,75si100x200 1,35si200x350 1,95si350x1 000 3,01si1 000x2 000
xengif (x)eneuros.
b) Indica’n el domini.
Df(0,2 000]
c) Fes-ne la representació gràfica.
d) Estudia les discontinuïtats.
Ésdiscontínuadesaltenx20,x50,x100,x200,x350ix1 000.
22.Troba el valor de k per tal que la funció
x k si x 0 f (x) 5 2 x 2 k x 6 si x 0
sigui contínua en el punt x 0.
x→0lim f (x)
x→0lim (xk)k
x→0lim f (x)
x→0lim (2 x 2k x6)6
f (0)k
Contínuaenx0 → k6.
23.Sigui la funció:
k x ——— si x 2 x 3
3 x h f (x) 5 ———— si 2 x 1 x 2
x 1 ——— si x 1 2 x
a) Troba els valors de k i h que fan que la funció f (x) sigui contínua en els punts x 2 i x 1.
k x
x→2lim f (x)
x→2lim ———2 k
x3
3 xh 6h
x→2lim f (x)
x→2lim ——————— x2 4
f (2)2 k
6h Contínuaenx2 → 2 k——— 4
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd132 132 20/2/08 19:52:23
133MATEMÀTIQUES 1 LA
3 xh
x→1lim f (x)
x→1lim ————h3
x2
x1
x→1lim f (x)
x→1lim ———1
2 x
f (1)1
Contínuaenx1 → h31
h31 → h4
6h 64 10 52 k————————— →
4 4 4 2
5→ k—
4
b) Hi ha algun valor de x per al qual la funció és discontínua? Justifica-ho.
Df{x x30}{3}
5 x
x→3lim f (x)
x→3lim ————
4 (x3)
15 —— 0
5 x
x→3lim f (x)
x→3lim ———
4 (x3)
15 —— 0
/∃f (3),jaquex3Df
Discontinuïtatasimptòticaenx3.
24.Donada la gràfica d’una funció (fig. 10.11):
a) Indica’n el domini.
Df{1}
b) Digues-ne el límit quan x tendeix a
, , , 1, 1, 1, 1,
1, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5.
c) Descriu-ne les discontinuïtats. Justifica-les.
b)ic)
x→
lim f (x)0 /∃x→lim f (x)
x→
lim f (x)1
x→1lim f (x)1 x→1
lim f (x)1 x→1lim f (x)1
f (1)1
Contínuaenx1.
x→1lim f (x)
x→1lim f (x) x→1
lim f (x)
/∃f (1),jaquex1Df
Discontinuïtatasimptòticaenx1.
x→3lim f (x)2 /∃
x→3lim f (x) x→3
lim f(x)1
f (3)1
Discontinuïtatdesaltenx3.
x→5lim f(x)3 x→5
lim f (x)3 x→5lim f (x)3
f (5)2
Discontinuïtatevitableenx5.
f (x) x5 S’evitadefinintg (x) 5 3 x5
Avaluació
1. Calcula els límits següents:
a) limx→ ∞
3x3 4
x 2 16
limx→ ∞
3x3 4
x 2 16
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd133 133 20/2/08 19:52:25
134 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) limx→ 3
x2 6
x 2 3x
limx→ 3
x2 6
x 2 3x
3
0, però el límit per l’esquerra és
− ∞ iellímitperladretaés+ ∞ .
c) limx→ +
limx→ +
c) limx→ +
limx→ +
2
2
3
2
2 7 23 2 ·
7 2 23 2 3 22 21 20 4
lim 212
22 2
7 7 2 1lim 1 lim 1 lim 1
22 27 2
x xx
x xx x x x
xx x x
x x xe
xx xx
e
+ −−− +
− − − +∞
+→+∞ →+∞ →+∞
+ − = = + = + = = ++ + −
limx→ + 8
2
2
3
2
2 7 23 2 ·
7 2 23 2 3 22 21 20 4
lim 212
22 2
7 7 2 1lim 1 lim 1 lim 1
22 27 2
x xx
x xx x x x
xx x x
x x xe
xx xx
e
+ −−− +
− − − +∞
+→+∞ →+∞ →+∞
+ − = = + = + = = ++ + −
limx→ +
2. Estudia la continuïtat de la funció següent en x 1 i en x 2.
2
5 2 1
( ) 4 1 2
2
x x
f x x
x x
+ ≤ −= − < ≤
>
si
si
si
2
5 2 1
( ) 4 1 2
2
x x
f x x
x x
+ ≤ −= − < ≤
>Enx 1laimatgeval3,ielslímitslateralssón3i4,pertanttenimunadiscontinuïtatdesalt.Enx2laimatgeielslímitslateralscoincideixenivalen4,pertantéscontínuaenaquestpunt.
3. A partir de la gràfica de la funció següent, fes l’estudi de la continuïtat en els punts que s’indiquen en la taula:
punts x =−5 x=−3 x=0 x=3
imatges f(−5)= f(−3)= f(0)= f(3)=
càlcul de límits laterals 5
lim ( )x
f x−→−
=
5lim ( )
xf x
+→−=
5lim ( )
xf x
→−=
3lim ( )
xf x
−→−=
3lim ( )
xf x
+→−=
3lim ( )x
f x→−
=
0lim ( )x
f x−→
=
0lim ( )x
f x+→
=
0lim ( )x
f x→
=
3lim ( )x
f x−→
=
3lim ( )x
f x+→
=
3lim ( )x
f x→
=tipus de discontinuïtat
punts x =−5 x=−3 x=0 x=3
imatges f(−5)=1 f(−3)= 2 f(0)=–2 f(3)noexisteix
càlcul de límits laterals 5
lim ( )x
f x−→−
= −∞
5lim ( ) 0
xf x
+→−=
5lim ( ) no
xf x
→−= ∃
3lim ( ) 2
xf x
−→−=
3lim ( ) 4
xf x
+→−=
3lim ( ) nox
f x→−
= ∃
0lim ( ) 1x
f x−→
= −
0lim ( ) 1x
f x+→
= −
0lim ( ) 1x
f x→
= −
3lim ( )x
f x+→
= +∞
3lim ( )x
f x+→
= +∞
3lim ( )x
f x→
= +∞
tipus de discontinuïtat
disc.asimptòtica disc.desalt disc.evitable disc.asimptòtica
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd134 134 20/2/08 19:52:29
135MATEMÀTIQUES 1 LA
4. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció
f(x) .
Lafuncióésdiscontínuaenx3ix3quesónelspuntsque anul·len el denominador i que per tant no pertanyen aldomini.Eldominiés{3,3}.
Enx3elslímitslateralssón ∞ i ∞ i laimatgenoexisteix,aixíquetenimunadisc.asimptòtica.
Enx3laimatgenoexisteixperòellímitsiival1/3,pertantladiscontinuïtatésevitable.
jUnitat11.Funcionsexponencialilogarítmica
Activitats
1.Calcula les potències d’exponent racional següents:
2— 3—4 ; 3,24,5; 70,3; 10
2—5; e
1—8 .
3
2 3—3—4—
3—41,50,751,355403
3 2
3,24,5187,57498
1 1 170,3—0,3
—————— 7 70,3 1,79279
0,5577898
10
2—5 100,42,5118864
1 1 1e
1—8—
1—8—0,125
——— e e e0,125
1—————0,8824969
1,1331485
2.Escriu i calcula els sis primers termes d’una successió que tingui per límit 4 √ 3.
4√ 341,7320508
414; 41,710,556063; 41,7311,004335;
41,73211,034887; 41,732011,034887;
41,7320511,035652
4; 10,556063; 11,004335; 11,034887;
11,034887; 11,035652
3.Repeteix l’activitat anterior per a 3.
1 1 13—
—————— 3 3 33,415927
1 1————0,037
)
33 27
1 1———————0,0331836
33,1 30,135326
1 1———————0,0317570
33,14 31,489136
1 1———————0,0317221
33,141 31,523749
1 1————————0,0317047
33,1415 31,54107
1 1————————0,0317016
33,14159 31,544189 )0,037 ; 0,0331836; 0,0317570; 0,0317221;
0,0317047; 0,0317016
4. Troba les cinc primeres aproximacions per defecte de les potències:
a) 2e
2e22,7182818
224; 22,76,4980192;
22,716,5432165; 22,7186,5796006;
22,71826,5805127
4; 6,4980192; 6,5432165; 6,5796006;
6,5805127
b) 3√ 2
3√ 231,4142136
313; 31,44,6555367;
31,414,706965; 31,4144,727695;
31,41424,7287339
3; 4,6555367; 4,706965; 4,727695;
4,7287339
5 c) —
4 5—
1,253,1415927
4
1,2531,953125; 1,253,11,9971976;
1,253,142,0151039;
1,253,1412,0155536;
1,253,14152,0157785
1,953125; 1,9971976; 2,0151039;
2,0155536; 2,0157785
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd135 135 20/2/08 19:52:31
136 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
5.Representa gràficament les funcions exponencials f(x)ex i g(x)ex.
f(x)ex
x ex
1 e2,7182818
2 e27,3890561
0 1
1 1 e1—0,3678794 e
f(x)ex,persimetriarespectedel’eixOYdelafuncióf(x)ex.
6.A partir de la gràfica de la funció y2x, dibuixa, fent les translacions necessàries, la gràfica de les funcions:
y2x
x 2x
1 2
2 4
0 1
1 0,5
a) y2x 1
Apartirdelagràficadey2x,estraslladaunaunitatcapaladreta.
b) y2x 1
Apartirdelagràficadey2x,estraslladaunaunitatcapaamunt.
c) y2x 1 1
Apartirdelagràficadey2x,estraslladaunaunitatcapal’esquerraiunaunitatcapaavall.
1 7.Determina les antiimatges de —— ; 0,125; 512 i
5√ 8 en la
16 funció f(x)2x. Has d’expressar cadascun d’aquests nombres
com una potència de base 2.
1 12x—— → 2x— →
16 24
→ 2x24 → x4
1 12x0,125 → 2x— → 2x— →
8 23
→ 2x23 → x3
2x512 → 2x29 → x9
32x
5√ 8→ 2x
5√ 23 → 2x2
3—5 → x—
5
8.Comprova que es verifiquen les propietats dels apartats j), k), l) i m) amb les funcions exponencials següents:
1f(x)2x, g(x)3x, h(x)—x
2 1
i p(x)—x
3
j) g(x)3x; g(1)3, g(2)329 →→ g(1)g(2)
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd136 136 20/2/08 19:52:34
137MATEMÀTIQUES 1 LA
1 1p(x)—x
; p(1)—, 3 3
1 1p(2)—2
— → p(1)p(2) 3 9
k) f(x)2x
x 2x
1h (x)—
x
2
1 x —
x
2
1 1 — 2 1 2 — 4 0 11 22 4
1 2
2 4
0 1
1 1 — 2
1 2 — 4
l) f(x)2x
1 1f(1)21—, f(2)22—,
2 4 1
f(3)23— 8
f(1)2, f(2)224, f(3)238
1 p(x)—x
3
1p(1)—1
3, 3
1p(2)—2
329, 3
1p(3)—3
3327 3
1 1 1p(1)—, p(2)—2
—, 3 3 9
1 1p(3)—3
—— 3 27
m)f(x)2xig(x)3x
f(1)2 g(1)f(1) g(1)3 1 f(1)21— 2 g(1)f(1) 1 g(1)31— 3
1 9.La gràfica de la funció f(x)ax passa pel punt (1, —). 5 Determina el valor de a.
f(x)ax
f(1)0,2 1 —0,2 → a5 1 a f(1)a1—
a
10.Quan es defineix la funció exponencial de base a, per quin motiu s’imposa la condició que aquesta base sigui positiva?
Sia0hihauriavalorsdexquenotindrienimatge,perexemple:
(2)
1—2√ 2
11.Resol aquestes equacions exponencials:
a) 2x2x 12x 1 64
2x2x 12x 164 →
→ 2x x 1 x 126 → 23x26 →
→ 3x6 → x2
b) 73x 2 √ 7x 1
73x 2√ 7x1 → 73x27x 1———
2 →
x1 3→ 3x2——— → x—
2 5
c) 1 3 9 27 ... 3x 364
13927...3x364,
1392781243364,
3x243 → 3x35 → x5
d) 11x2 3x 2 1
11x23x21 → x23x20 →
→ x12, x21
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd137 137 20/2/08 19:52:36
138 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1 e) ——x3
323x 2
16
1 1 ——x 3
323x2 → —x 3
16 24
(25)3x2 → (24)x3(25)3x2
24x12215x10 → 2
→ 4x1215x10 → x—— 11
f) 9x 43x 3 0
9x43x30 →→ (32)x43x30 →
→ (3x)243x30
Si3xt → t24t30 →→ t13,t21 → x11,x20
151 g) 5x 1 5x 2 5x —— 25
1515x 15x 2 5x—— →
25
5x 15155x——5x——
25 25
1 1515x5——1—— →
25 25
151 151 → 5x———— → 5x1 → x0 25 25
a11
h) ax2 2x 4 —— a8
a11
ax2 2x 4—— → ax2 2x 4a3 → a8
→ x2 2x 43 →
→ x2 2x 10 → x1
12.Calcula, aproximant-la fins a les centèsimes, la solució de cadascuna de les equacions:
a) 3x 17
32,5716,834554 x2,58 32,5817,020521 b) 5x 0,8
50,140,7982597 x0,14 50,130,8112111
1 c) — x
7 2
0,52,817,0128458 x2,81 0,52,806,9644045 13.Elabora una taula de valors i dibuixa les gràfiques de les
funcions:
a) f(x) ln x
x lnx
1 0
e 1
e2 2
1 — 1
f
e
b) g(x) log 1—4
x
x log1—4
x
1 0
4 1
1 — 1 4
1 1 — —
g
2 2
1 1 14.Utilitzant les funcions logarítmiques en base 2, 3, — i —,
2 3 comprova les propietats dels apartats i), j) i k) de la funció
logarítmica.
i) f(x)log2x, f(2)log221,
f(4)log242 → f(2)f(4)
g(x)log1—2
x, g(2)log1—2
21,
g(4)log1—2
42 → g(2)g(4)
j)
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd138 138 20/2/08 19:52:39
139MATEMÀTIQUES 1 LA
x→0lim (log2x),
x→
lim (log2x)
x→0lim (log1
—2
x),
x→
lim (log1—2
x)
k) f(x)log2x, h(x)log3x
f(8)log283,
h(8)log382 → log28log38
1 1f—log2—1,
3 3
1 1h—log3—1, →
3 3
1 1→ log2—log3— 3 3
k(x)log1—3
x, g(x)log1—2
x
k(4)log1—3
42,
g(4)log1—2
42 →
→ log1—3
4log1—2
4
1 1k—log1
—3
—1, 2 2
1 1g—log1
—2
—1 → 2 2
1 1→ log1
—3
—log1—2
— 2 2
g(x)log1—2
x, f(x)log2x
g(2)log1—2
21,
f(2)log221 → log1—2
2log22
1 1g—log1
—2
—2, 4 4
1 1f—log2—2 →
4 4
1 1→ log1
—2
—log2— 4 4
15.A partir de la gràfica y log2x, dibuixa, aplicant les translacions corresponents, les gràfiques:
ylog2x x log2x
1 0
2 1
4 2
1 — 1 2
1 — 2 4
a) y log2(x 1)
Apartirdelagràficadey log2x,estraslladaunaunitatcapal’esquerra.
b) y log2x 1
Apartirdelagràficadey log2x,estraslladaunaunitatcapaavall.
16.Demostra les igualtats:
1loga b loga — log 1
—a
b b
Suposemquelogabp → apb
1 1 1loga—loga—loga—p
b ap a
logaap(p)plogab
1log1
—a
blog1—a
aplog1—a
—p
a
(p)plogab
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd139 139 20/2/08 19:52:41
140 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
17. Troba, sense utilitzar la calculadora, els logaritmes següents:
a) log749log749log77
22
b) log3729
log3729log3366
1 c) log9— 9 1
log9—log9911
9
d) log11 3√ 121
log113√ 121log11
3√ 112
2log1111
2—3—
3
e) log2341log23410
f) log 1—3
27
1log1
—3
27log1—3
33log1—3
—3
3 3
g) log 1—5
125
log1—5
125log1—5
53
1log1
—5
—3
3 5
h) log 1—6
7√ 216
log1—6
7√ 216log1
—6
7√ 63log1
—6
6
3—7
1 3log1
—6
—
3—7—
6 7
i) log22515
log22515log225√ 225
1log225225
1—2—
2
18.Calcula x en cadascuna d’aquestes igualtats:
a) log3x 1 1
log3x1 → x31 → x— 3
1 b) logx—— 2 25
1 1logx——2 → x2—— →
25 25
1 1→ ——— → x225 → x5
x2 25
c) logx63 3
logx633 → x363 →
1 1→ x3—3
→ x— 6 6
1 d) log x — 2
1logx— → x10
1—2 → x√ 10
2
2 e) ln x — 3 2
lnx— → xe
2—3
3
f) log√ 7
x 2
log√ 7
x2 → x(√ 7)2
1 1 1——2
— → x— √ 7 7 7
19.Si log 3 m, escriu en funció de m:
a) log8100
log8100log(81100)
log81log100log342
4log324m2
b) log √ 3000 1
log√ 3000—log3000 2 1
—log(31000) 2 1 1
—(log3log1000)—(m3) 2 2
c) log 7√ 0,27
1log
7√ 0,27—log0,27
7 1 27 1
—log———(log27log100) 7 100 7
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd140 140 20/2/08 19:52:43
141MATEMÀTIQUES 1 LA
1 1—(log332)—(3log32)
7 7 1
—(3m2) 7
1 d) log—— 729
1log——log729log36
729
6log36m
1 e) log——6
2,43
1 1log——6
6log—— 2,43 2,43
2436(log2,43)6log—— 100
6(log243log100)
6(log352)6(5log32)
6(5m2)1230m
0,9 f) log—— 7,29
0,9 90 10log——log——log——
7,29 729 81
log10log811log34
14log314m
g) log 0,3 3
log0,3log—log3log10m1 10
h) log 0,3
)
1log0,3
)
log—log3m 3
10 i) log—— 81 10
log——14m 81
20.a) Desenvolupa l’expressió següent aplicant logaritmes neperians als dos membres de la igualtat següent:
(a2 b3 c)
1—3
p —————— d5 m2
(a2b3c)
1—3
lnpln—————— d5m2
ln(a2b3c)
1—3ln(d5m2)
1—ln(a2b3c)ln(d5m2)
3 1
—(lna2lnb3lnc) 3
(lnd5lnm2) 1
—(2lna3lnblnc) 3
(5lnd2lnm) 2 1
—lnalnb—lnc5lnd2lnm 3 3
b) Escriu sense logaritmes decimals: 5
log p — (3 log a 2 log b log c 7 log d) 2 5
logp—(loga3logb2logclogd7) 2 5 a3c
—log——— 2 b2d7
a3c a3clog———
5—2 → p———
5—2
b2d7 b2d7
21.Expressa la relació que hi ha entre log 2 i ln 2.
ln2log2——— → ln2ln10log2
ln10
log2o ln2——— → log2logeln2
loge
22.Utilitza la calculadora per trobar:
log5,2 12,45, log13 87, log0,3 0,675, ln , log e
log12,45log5,212,45—————
log5,2 1,0951694
——————1,529559 0,7160033
log87log1387————
log13 1,9395193
——————1,7411292 1,1139434
log0,675log0,30,675—————
log0,3 0,1706962
——————0,3264547 0,5228787
ln1,1447299
loge0,4342945
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd141 141 20/2/08 19:52:45
142 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
23.Quina relació hi ha entre loga b i logb a?
logbb 1logab—————— →
logba logba
→ logablogba1
124. Donats els números √ 21, —, 2, 0,2 i 123, ordena’ls del més
petit al més gran: 3
a) Els seus logaritmes en base 7.
1log70,2log7—log72
3
log7√ 21log7123
1 b) Els seus logaritmes en base —. 3
log1—3
123log1—3
√ 21log1—3
2
1log1
—3
—log1—3
0,2 3
25.Per què log1 x no és una funció?
logx logxlog1x——————
log1 0
26.Dues de les quatre expressions següents són equivalents. Indica quines són i demostra-ho.
a) ln (ab) ln (ac) b) ln (ab) ln (ac)
c) ln (ab ac) d) ln a ln (b c)
ln(abac)ln[a(bc)]lna ln(bc)
c) i d)27.Determina la solució de les equacions logarítmiques
següents:
3 a) log2 x
2log2 x—2 4
3log2x
2log2x—2 → 4 x2
→ log2————log24 3 x— 4
x2
————4 → x24x3 → 3 x— 4
→ x24x30 → x13,x21
b) 2 [1 log (2x 3)] 4 log √ 5x 3
2[1log(2x3)]4log√ 5x3
1log(2x3)2log√ 5x3
log10log(2x3)2log√ 5x3
10log————log(√ 5x3
)2
2x3
10————5x3;
2x3
1010x29x9
10x29x190 → x1
log 2 log (11 x2) c) ———————————2 log (5 x)
log2log(11x2)———————————2
log(5x)
log2log(11x2)2log(5x)
log[2(11x2)]log(5x)2
2(11x2)(5x)2;
222x22510xx2
13x210x30 → x13,x2—
3
28.Resol els sistemes:
log xlog y2 a) 5 xy15
Soluciona’l de dues maneres diferents.
logxlogy2 → 5 → log(xy)log100 → xy100
xy15
xy100
5 xy15 → x15y
(15y)y100 → 15yy2100 →→ y215y1000 → y5
x15y15520 → → x20
2 log y3 log x1 b) 5 log xlog y3
Soluciona’l de dues maneres diferents.
5 2logy3logx1
logxlogy3
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd142 142 20/2/08 19:52:47
143MATEMÀTIQUES 1 LA
b1) 2logy3logx1
3logy3logx9 5logy3logx10
logy2 → y100
logxlogy3 → → logx3logy321 →
→ x10 y2
b2)5 log—log10 x3
log(xy)log1000
5 y2
—10 x3
1000 xy1000 → y——— x
1000 106
———2 —— x x2
—————10; ———10; x3 x3
106
——10; x5105 → x10 x5
1000 1000y——————100 →
x 10
→ y100
29.Aplicant logaritmes, resol l’equació exponencial 53x 1 17.
53x117 → 3x1log517 →→ 3xlog5171
1 1 log17x—(log5171)————1 3 3 log5
1 1,2304489——————1 3 0,69897
1 1—(1,76037441)—2,7603744
3 3
0,9201248; x0,9201248
30. En una entitat bancària es dipositen 15025 al 3% d’interès compost anual. Quin és el benefici que s’obtindrà al cap de cinc anys? Repeteix el problema suposant que l’interès sigui continu. Compara’n els resultats obtinguts.
Compost→ CC0(1r)t15025(10,03)5
150251,03517418,09
b17418,09150252393,09
Continu→CC0ert15025e0,035
15025e0,1517456,56
b17456,56150252431,56
31. El pH d’una dissolució és 11,25. Quina és la concentració d’ions hidrogen que hi ha a la dissolució? I la d’ions hidroxil?
pH11,25 → log[H3O]11,25 →
→ log[H3O]11,25
[H3O]1011,255,62341331012mol/L
pOH14pH1411,252,75 →→ log[OH]2,75
[OH]102,751,7783103mol/L
o [H3O][OH]1014 →
1014 1014
→ [OH]————————————— [H3O
] 5,62341331012
1,7783103mol/L
Activitatsfinals 1.Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions
3 2 exponencials —x
i —x
i les funcions logarítmiques 2 3 log 3
—2
xi log 2—3
x.
3 y—x 3
x —x
2
0 1 3 1 — 2 9 2 — 4 21 — 3
2
Apartirdelatauladevalorsesdibuixalagràficadelafunció 3 —x
;apartird’aquesta,persimetriaambl’eixOY,esdibuixa 2 2 lade—x
. 3
Perdibuixarleslogarítmiquesn’hihaprouamblasimetriadelesduesexponencialsrespectedelarectayx.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd143 143 20/2/08 19:52:49
144 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2. Es considera la funció exponencial f(x) ax. Demostra que si el punt (p, q) és un punt de la seva gràfica, també ho és 1
el punt p, —. qf(x)ax
Sabemquef(p)q,pertantapq
1 1f(p)ap——— →
ap q 1
→ p,—tambéésdelagràfica. q
3. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna de les funcions següents talla l’eix de les ordenades:
a)f(x) 5ex
f(0)5e05 → (0,5)
b) h(x) 3 2ax
h(0)32a0321 →→ (0,1)
1 c) g(x) 2 — x 1
3
1g(0)2— 01
3
1 22—— →
3 3
2→ 0,—
3
d) p(x) 1 32x
p(0)130110 → (0,0)
4. Resol aquestes equacions:
a)x4 256
x4256 → x444 →
1 1→ x4— 4
→ x— 4 4
1 b) √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 — 1 x
3
1√ 3 √ 3 √ 3 √ 3 —1x
→ 3
→ 315
——16 3x 1 →
15 31→ ——x 1 → x ——
16 16
c)3x5x 1 10125 3x5x
3x5x 110125 → ——10125 → 5
→ 3x5x101255
3x5x34535 → 3x5x3454 →→ 15x154 → x 4
d)√ √7 6√7 49
x—2
√ √76√749
x—2 →
→ √ 7√749
x—2 →
3→ 7
3—47x → x —
4
1 e) 27x3 —— 125
1 127x3—— → x3———— →
125 27125 1
→ x3——— 3353
1 1 1x3—— → x3——3
→ x—— 153 15 15
f)54x 352x 10 0
54x352x100 →→ (52x)2352x100
t52x, t23t100 → t5 1
52x5 → 2x1 → x— 2
3 g) 5x 1 2 ——— 5x 2
3 5x 352
5x 12——— → —2—— 5x 2 5 5x
(5x)2105x375 →→ (5x)2105x3750
t5x, t210t3750 → t25
5x25 → 5x52 → x2
1 h) (ax 3)x — 2x
a
1(ax 3)x—2x
→ ax2 3xa2x → a
→ x23x2x
x25x0 → x (x5)0 →→ x10,x25
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd144 144 20/2/08 19:52:51
145MATEMÀTIQUES 1 LA
i)(2x)
2—5
5√ e4
(2x)
2—5
5√ e4 → (2x)
2—5e
4—5 →
→ 2xe
4—5
5—2
1 12xe2 → 2x— → x——
e2 2e2
j) 7x 7x 1 7x 2 2793
7x7x 17x 22793 →
→ 7x77x497x2793
7x(1749)2793 → 2793
→ 577x2793 → 7x———49 57
7x49 → 7x72 → x2
5. Demostra que si f(x) 3x, aleshores
f(x) f(x 2) —— i f(x 3) 27f(x). 9
f(x)3x
f(x2)3(x 2)3x 2
3x 3x f(x)——————
32 9 9
f(x3)3(x 3)3x 33x33
273x27f(x)
6. Hem rebut a casa una carta que ens augura bona sort si n’enviem una fotocòpia a cinc persones. En cas contrari, si trenquem la cadena, la sort se’ns girarà en contra. Quina funció expressa el nombre de persones que rebran la carta successivament, si no es trenca la cadena?
0 1 25 ,5 ,5 ,...,5( ) 5
x
xf x =
7. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna d’aquestes funcions talla l’eix de les abscisses:
a)f(x) log (x 3)
f(x)0 → log(x3)0 →
→ x31 → x2 → (2,0)
b)g(x) ln (2x 5)
g(x)0 → ln(2x5)0 →
→ 2x51 → 2x6 →
→ x3 → (3,0)
c)h(x) log3 √ 3x
h(x)0 → log3√ 3x0 →
→ √ 3x1 → 3x1 →
1 1→ x— → —,0 3 3
5 d) p(x) log5 — x
5 5p(x)0 → log5—0 → —1 →
x x
→ x5 → (5,0)
8. Calcula els logaritmes següents sense utilitzar la calculadora:
1 1a) log4 — b)log5
3√ 25 c) log 1
—a
a√ 3 d) log ——; 16 √ 10
1e) log 1
—2
2 f) log9 — g) log0,001 0,1 3
1 1 a)log4—log4—log44
22 16 42
2 b)log5
3√ 25log5
3√ 52log55
2—3—
3
1 c)log1
—a
a√ 3log1—a
—√ 3
√ 3 a
1 1 d)log——log——
√ 10 10
1—2
1 1 log—
1—2log10
1—2—
10 2
1 e)log1
—2
2log1—2
—1
1 2
1 1 1 f)log9—log9——log9——
3 √ 9 9
1—2
1 1 log9—
1—2log99
1—2—
9 2
g)log0,0010,1log0,0013√ 0,001
1 log0,0010,001
1—3—
3
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd145 145 20/2/08 19:52:52
146 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
9. Calcula:
a)loga blogb a
logbblogablogba———logba logba
1———logba1
logba
1 b)log 1
—a
a logb — b
1log1
—a
alogb — b
1 log1
—a
—1
logbb1112
a
10. Si log 2 m, expressa en funció de m:
a)log 1600
log1600log(16100)
log16log100log242
4log224m2
b)log 5√ 0,0002
1log
5√ 0,0002—log0,0002
5
1 2—log———
5 10000
1 1—(log2log10000)—(m4)
5 5
c)log √ 0,0064
1log√ 0,0064—log0,0064
2
1 64—log———
2 10000
1—(log64log10000)
2
1 1—(log264)—(6log24)
2 2
1—(6m4)3m2
2
1 d) log ———3
1,28
1 1log—— 3
3log—— 1,28 1,28
3(log1,28)3log1,28
1283log——3(log128log100)
100
3(log272)3(7log22)
3(7m2)21m6
e)log 12,5 100
log12,5log——log100log8 8
2log2323log223m
f) log 0,87
8log0,877log0,87log——
107(log8log10)7(log231)
7(3log21)7(3m1)21m7
11. Determina l’expressió de log x que correspon a cadascuna de les igualtats següents:
3a2 b a) x ——— 2
c3 d 3a2b 3a2b
logxlog——— 2
2log——— c3d c3d
2[log(3a2b)log(c3d)]
2[log3loga2logb
(logc3logd)]2[log32loga
logb(3logclogd)]2log3
4loga2logb6logc2logd
a (b c) b) x
4√
————— d5
a(bc)logxlog
4√
————— d5
1 a(bc)—log—————
4 d5
1—{log[a(bc)]logd5}
4 1
—[logalog(bc)5logd] 4 1 1 5
—loga—log(bc)—logd 4 4 4
a3 b4 c
1—6
c) x ——————
m
2—3 n √ p
a3b4c
1—6
logxlog—————
m
2—3n√ p
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd146 146 20/2/08 19:52:54
147MATEMÀTIQUES 1 LA
log(a3b4c
1—6)log(m
2—3n√ p )
loga3logb4logc
1—6
(logm
2—3lognlog√ p )
13loga4logb—logc
6
2 1—logmlogn—logp 3 2
13loga4logb—logc
6
2 1—logmlogn—logp
3 2
h d) x ————— mnpqr h
logxlog———— mnpqr
loghlog(mnpqr)logh
(logmlognlogplogqlogr)
loghlogmlogn
logplogqlogr
12. Estableix l’expressió de x corresponent a:
1 a) ln x 3 ln a 2ln b — ln c 2
lnxlna3lnb2ln√ c ln(a3b2)ln√ c
a3b2 a3b2
ln—— → x—— √ c √ c b) log x 1 — (3log a 2log b) 7 (log c 4log d) 5 1
logx—(loga3logb2) 5
7(logclogd4)
1 a3
—log——7log(cd4) 5 b2
a3
log5√
——log(cd4)7
b2
a3
5√
——
b25√ a3
log—————log————— → (cd4)7
5√ b2c7d28
5√ a3
→ x—————
5√ b2c7d28
c) log4x log4 c log4 d 3log4 a 2log4 b ———————— 3
log4xlog4a3log4b
2
1—(log4clog4d)
3
1log4(a
3b2)—log4(cd) 3
log4(a3b2)log4
3√ c d
a3b2 a3b2
log4——— → x———
3√ c d
3√ c d
1 d) lnx — (3ln a ln b ln c 5 ln d) 2
1lnx—(lna3lnblnclnd5)
2
1—[lna3lnb(lnclnd5)]
2
1—[ln(a3b)ln(cd5)]
2
1 a3b—ln——
2 cd5
a3b a3bln√
—— → x√
——
cd5 cd5
13. Calcula logx (logx x√x). 1
logx(logxx√x)logx√xlogxx
1—2—
2
14. Es consideren les quatre expressions següents:
loga (p2 q2); 2logap 2logaq
2 loga (p q); loga(p q) loga(p q).
A totes elles es verifica que p q 0.
a)Demostra que dues d’aquestes expressions són equivalents.
loga(p2q2)
loga[(pq)(pq)]
loga(pq)loga(pq)
b)Calcula el valor de la primera expressió per a a 2, p 3 i q 1.
loga(p2q2)log2(3
21)
log2(91)log28log2233
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd147 147 20/2/08 19:52:57
148 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
15. Resol aquestes equacions:
a) 2logx 4log2 3logx
x2 x2
log—logx3 → ——x3 → 24 16
→ x216x3 → 16x3x20
x2(16x1)0x0→ 16x10 →
1→ x——
16
x b) 3log2x 2log2— 2log23 1 3
x3
log2———log2(322) →
x —2
3
x3 x3
→ ———18 → ——18 x x2
—2
— 3 9
9x3
——18x0→ 9x18 → x2
x2
lnx c) 3lnx ln32 —— 2
x3 x3
ln——ln√ x → ——√ x → 32 32
x3
→ ——32 → x
5—232
√ x
x32
2—5
5√ 322
5√ 210
224 → x4
d) ln2 ln(11 x2) 2ln (5 x)
ln[2(11x2)]ln(5x)2 →
→ 2(11x2)(5x)2 →
→ 222x22510xx2
13x210x30 → x13,x2—
3
10logx 1 e) —————— — 1 102logx 2
x 1———— → 2x1x2 →
1x2 2
→ x22x10 → x1
x f) 2logx 3 log—— 10
xlogx2log1000—— →
10
x→ x21000—— → x2100x
10
x2100x0 → x(x100)0x0→
x0→ x1000 → x100
g) 73x 2 140
3x2log7140 →→ 3xlog71402 →
1→ x—(log71402)
3
1 log140—————2 3 log7
1 2,146128——————2 3 0,845098
1 1—(2,53950182)—0,5395018
3 3
0,1798339 → x0,1798339
16. Calcula x en cadascuna de les igualtats següents:
1 a) log3 √ x — 2
1log3√ x— → √ x3
1—2 →
2
→ x
1—23
1—2 → x3
b) logx 2x 2
logx2x2 → x22x →
→ x22x0 → x(x2)0x0→
x0→ x20 → x2
1 c) log 1
—3
x — 2
1 1 log1
—3
x— → x—
1—23
1—2
2 3
√ 3 → x√ 3
d) logx √ 2 3
logx√ 23 → x3√ 2 → x32
1—2 →
→ x2
1—2
1—3 → 2
1—6
6√ 2 → x
6√ 2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd148 148 20/2/08 19:52:59
149MATEMÀTIQUES 1 LA
1 e) logx ——— 3 2√ 2 1 1
logx———3 → x3——— → 2√ 2 2√ 2
1 1 1 1→ ——— → ———— →
x3 √ 23 x3 (√ 2)3
→ x√ 2
3 f) log4x — 2
3 log4x— → x4
3—2√ 43√ 26
2
238 → x8
17. Determina el valor de a per tal que quan incrementem en tres unitats el logaritme en base a de 6, obtinguem el logaritme en base a de 48.
loga63loga48 →
→ loga6logaa3loga48
loga(6a3)loga48 → 6a348 →
→ a38 → a2
18. En el país dels nombres es poden escoltar converses molt estranyes. Fixa’t en aquesta i intenta identificar-ne els dos personatges.
y: Sóc el teu logaritme decimal.
x: Ep! Sóc deu vegades més gran que tu.
x10, y1
19. Resol els sistemes d’equacions següents:
log x log y 3 a) 5 2 log x 2 log y 1
5 4logx 5 → logx— → x10
5—4
4
7 4logy 7 → logy— → y10
7—4
4
log x log y 1 b) 5 3x 5y 35
x —10 y x10, y1 3x5y35
log x 3 log y 5 c) x2
5 log — 3 y
7logx14 → logx2 → x100
7logy7 → logy1 → y10
x2 y2 11 d) 5 log x log y 1
x2y211
10 1 x——, y— 3 3 x —10 y
2 log y 3 log x 1 e) 5 log (x y) 3
5logx5 → logx1 → x10
5logy10 → logy2 → y100
logx (y 18) 2 f) 1
5 logy (x 3) —
2
x2y18 3 81 x—, y—— 2 4 √ yx3
20. El pare de l’Albert i el Jordi és matemàtic. Quan li pregunten
les edats dels seus fills, respon: «La potència de base 2 i exponent l’edat del Jordi és igual a la potència de base 8 i exponent 5 menys l’edat de l’Albert. D’altra banda, el logaritme en base l’edat de l’Albert de 64 és igual a l’edat del Jordi». Quina és l’edat de cadascun dels dos nois?
x:edatdel’Albert;y:edatdelJordi;x,ynaturals.
2y85x 2y(23)5x 2y2153x logx64y xy64 xy64
y153x xy64
x4anys, y3anys
21. La taxa de despoblació d’una ciutat és del 1,5% anual. Suposant que aquesta taxa no es modifica, quants anys hauran de transcórrer perquè la població actual es redueixi a la meitat? Si actualment aquesta ciutat té 100000 habitants, quants en tindrà d’aquí a set anys?
hh0(1r)t
1,5% → r0,015
hh00,985t
1 —h0h00,985t
2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd149 149 20/2/08 19:53:01
150 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
0,50,985t → log0,5
→ tlog0,9850,5———— log0,985
0,30103——————45,862365
0,0065638
t46anys
hh00,985t1000000,9857
89961habitants
22. Escriu l’enunciat d’un problema relatiu a diners o població, de manera que la seva resolució condueixi a l’equació:
1500001,08x 200000
Perexemple:
Quantsanyshaurandepassarperquèuncapitalde150000al8%anualesconverteixien200000?
a)Situa, raonadament, entre dos nombres enters consecutius el valor de x que és solució de l’equació.
1500001,08x200000 → 200000
→ 1,08x————1,3
)
150000
1,08x1,3
)
; 1,0831,259712;
1,0841,360489; 3x4
b)Aïlla x, utilitzant el tipus de funció matemàtica que consideris adient.
1,08x → 1,3
)
→ xlog1,081,3
)
c)Calcula el valor de x.
log1,3
)
0,1249387xlog1,081,3
)
———————— log1,08 0,0334237
3,7380221
23. El radi és un element radioactiu. Una mostra de radi es descompon per emissió de radiacions d’acord amb l’equació:
m 10 e4,36104t
on m és la massa de la mostra expressada en grams i t el temps expressat en anys.
a)Quina és la massa de radi (en grams) que hi ha inicialment a la mostra?
m10e4,36104010e010g
b)Quans grams de radi hi haurà d’aquí a 1000 anys?
m10e4,36104100010e4,36101
10e0,4366,466177g
c)El període de semidesintegració d’un element radioactiu es defineix com el temps que triga una determinada quantitat d’aquest element a reduir-se a la meitat. Determina el període de semidesintegració del radi.
510e4,36104t→e4,36104t
0,5 → 4,36104tln0,5
ln0,5 0,6931471t————————————
4,36104 0,000436
1590anys
d)Demostra que aquest període de semidesintegració és independent de la massa inicial de la mostra de radi.
m0——m0e4,36104t →
2
→ e4,36104t0,5
ln0,5t—————— → Nodependem
4,36104
24. El nivell d’intensitat del so es mesura en decibels segons l’ex-
pressió: 0
10logI
DI
= , on I0 10–12 W/m2 és la intensitat del so
anomenada llindard’audició i I, la intensitat del so de la qual en volem determinar el nivell d’intensitat.
a) Calcula els decibels (dB) que li corresponen a la intensi-tat del llindar d’audició.
0
0 0
10log 10log 10log1 0I I
DI I
= = = =
b) Si la intensitat del so que produeix un reactor és de I 8 · 102 W/m2, calcula el seu nivell d’intensitat.
214
120
8 1010log 10log 10log8 10 149,031dB
10I
DI −
⋅= = = ⋅ =
c) El so que es coneix com el llindardeldolor li corresponen 120 dB, quina intensitat té aquest so?
12 12 212
120 10log 10 10 1W/m10
II −
−= → = ⋅ =
Avaluació
1. Fes una taula de valors i representa gràficament en els ma-teixos eixos de coordenades cadascuna de les funcions se-güents:
f(x) 3x
g(x) log3 x
Elabora també una llista de les característiques de cada cor-ba i compara-les.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd150 150 20/2/08 19:53:03
151MATEMÀTIQUES 1 LA
x f(x)3x
2 1/91 1/30 11 32 93 27
x g(x)log3x1 02 0,6313 19 2
Característiquesde y 3x:
Dy , Ry , contínua, creixent, passa per (0,1),
lim 0, limx x
y y→−∞ →+∞
= = +∞
Característiquesdey=log3x:
Dy , Ry , contínua, creixent, passa per (1,0),
0*lim , limx x
y y→ →+∞
= −∞ = +∞
Lesduesfuncionssóncreixentsicontínues.Améssónsimètri-quesrespectelabisectriudelprimerquadrantjaquesóninver-sesunadel’altra.
2. Resol les equacions o sistemes següents:
a) log5 x 3
5–3x→x1/125
b) 3x+1 150
x 1log3150→x1log150/log3→x3,5609
c) 9x 3x+1 54 0
32x3·3x540→canvit3x,t23t540→→ t9,t6(notésentit)→x2
d) 2x 2x+1 2x+2 2x+3 480
canvi t2x, t 2t 4t 8t 480→ 15t 480→t32→x5
e) 2 log x log(3 x) log 4
log x2 log(12 4x) → x24x12 0 → x 2,x 6(notésentit)
f) log xlog (y 12) 1( )log log 12 12 4
x yx y
+ + =− = 2x y 4
y 2x 4 → substituint a la primera equaciólog x log (2x 8) 1 → log(2x2 8x) log 10 →2x28x100→ x1,x5(notésentit)→y2.
3. Si log3 p 5 i log3 q 2, calcula els resultats de les ope-racions següents aplicant les propietats dels logaritmes:
a) log3 (p· q)
log3plog3q523
b) log3 p2
2log3p10
c) log3 (p· q3 )
log3p3log3q561
p5
d) log3 —— q
5log3plog3q25227
4. La datació de restes arqueològiques es pot fer a partir de la quantitat de carboni 14 (14C) que contenen. La quantitat re-sidual de 14C que trobem al fòssil segueix la llei exponencial:
q(t) q0 · 2q
5700
on q0 és la quantitat inicial de 14C que contenia el fòssil quan era viu, q és la quantitat de 14C que trobem al fòssil i t el temps en anys.
a) Escriu la funció que es fa servir per datar restes arqueo-lògiques, és a dir, la funció que s’utilitza per determinar l’edat d’un fòssil en funció de la quantitat de 14C que conté en relació amb la d’un ésser viu.
57002 2
0 0 0
( ) ( ) ( )2 log 5700·log
5700
tq t q t t q tt
q q q
− −= → = → = −
b) Quina és l’edat d’una mòmia si la quantitat de 14C que presenta és la meitat de la que tindria si la persona fos viva?
02 2
0
/2 15700·log 5700·log 5700·( 1) 5700
2q
t tq
= − = = − = − − =
→ 02 2
0
/2 15700·log 5700·log 5700·( 1) 5700
2q
t tq
= − = = − = − − =
02 2
0
/2 15700·log 5700·log 5700·( 1) 5700
2q
t tq
= − = = − = − − = anys
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd151 151 20/2/08 19:53:05
152 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
jUnitat12.Funcionstrigonomètriques
Activitats
1.Representa gràficament la funció y sin xen l’interval [, ]. Elabora’n una taula de valors i dibuixa-la amb detall.
Tauladevalors:
x 0—2
—2
sinx 0 1 0 1 0
2. Tenint en compte la gràfica de la funció sinus, dibuixa les gràfiques de les funcions següents:
a) y sin x 2
Translaciódelafunció2unitatsnegatives.
b) y sin x— 4
Translaciódelavariablexax—. 4
c) y sin x — 1 2
Translaciódex,—aladretai1capamunt. 2
d) y 3 sin x
Elsvalorsdesinxesmultipliquenper3,peracadax.
3.Representa gràficament les funcions:
a) f(x) sin 3x
2 Període—— 3
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd152 152 20/2/08 19:53:08
153MATEMÀTIQUES 1 LA
b) f(x) sin x
Període2
c) f(x) sin 4x
Període— 2
d) f(x) sin (2x)
Període
4.Representa gràficament la funció y 2 sin x. Indica’n el recorregut i el període.
Elrecorregutés[2,2]ielperíodeés2.
5. Dibuixa la gràfica de la funció y cos x en l’interval [2, 2]. Elabora’n una taula de valors i pren com a model la gràfica del text.
Tauladevalors:
x 2 3 ——2
— 2
0—2
3 ——2
2
cos x 1 0 1 0 1 0 1 0 1
6.Representa gràficament aquestes funcions:
a) y cos x 1
Translaciódelafunció1.
b) y cos x — 4
Translaciódex,—aladreta. 4
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd153 153 20/2/08 19:53:11
154 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) y cos x 2
Translaciódelafunció2.
d) y cos x — 4
Translaciódex,—al’esquerra. 4
7.Construeix la gràfica i indica el període de cadascuna d’aquestes funcions:
a) f(x) cos 4 x
Període— 2
Lafuncióf(x)cos4xtédeperíode:
2 ———
4 2
b) f(x) cos x
Període2
Lafuncióf(x)cosxtédeperíode2jaquenoméséslasimètricadecosxrespectedel’eixdelesabscisses.
8.Determina el recorregut de les funcions:
a) f(x) 2 cos x
Recorregut:[2,2]
b) f(x) 2 cos x
Recorregut:[2,2]
c) f(x) 3 cos x
Recorregut:[3,3]
d) f(x) cos 3x
Recorregut:[1,1]
9. Indica quins d’aquests angles no pertanyen al domini de la funció f(x) tg x:
7 32——, ——, 324°, 32,
4 5
15——, 900° i 990°
2
Nopertanyenaldominidelafuncióelsanglestalsqueelseu 15
cosinusés0.Sónelsmúltiplesimparellsde—.Són:— i990°. 2 2
10.Utilitza la calculadora per elaborar una taula de valors que et permeti representar amb precisió la gràfica de la funció
f(x) tg x en l’interval —, —. 2 2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd154 154 20/2/08 19:53:14
155MATEMÀTIQUES 1 LA
Taula:
x
— 2
— 4
0—4
—2
tgx 1 0 1
11.Aplica a la gràfica de l’exercici anterior una translació de dues unitats en la direcció de l’eix d’ordenades i en el sentit positiu d’aquest eix. Quina és l’expressió algèbrica de la funció que correspon a aquesta gràfica?
L’expressiódelafuncióés:f(x)tgx2.
1312. Determina els límits laterals de la funció y tg x en x ——. 2 13 x——noésdeldominidelafunció. 2
13
x→ —— 2
lim tgx 13
x→ —— 2
lim tgx
13.Raona per què les funcions y arc sin x i y arc cos x tenen el domini restringit a l’interval [1, 1].
Lesfuncionsyarcsinusxiyarccosx teneneldominirestringit a [1, 1] perquè són les funcions respectivamentinversesdeysinxiycosxquetenenderecorregut[1,1].
14.Considera la funció y arc tg x. Indica l’interval en què els valors que assoleix la funció són més grans que 1.
180 180 L’intervalés:——,,jaquearctg——1.
15.Representa a la circumferència trigonomètrica l’angle que 2 mesura —— rad. Dibuixa les sis raons trigonomètriques 3 d’aquest angle i mesura-les. Compara els resultats experi-
mentals amb els que obtens amb la calculadora. En cas que hi hagi diferències, justifica-les.
2 L’angle——ésdelsegonquadrant.Elsvalorsaproximatsquees 3 podenobtenirenlacircumferènciaderadi1són:
sin0,8;cos0,5; tg1,7;cotg0,5;
sec2; cosec1,1
316.Considera un angle tal que —— i sin 0,6. 2 Determina’n les altres cinc raons trigonomètriques.
L’angleésdeltercerquadrant.
sin0,6 →
→ cos√ 1(0,6)20,8
0,6 1 4tg———0,75; cotg———;
0,8 tg 3
1 5sec————
0,8 4
1 5cosec————
0,6 3
17.Explica les particularitats que observes en calcular la secant i la cosecant de cadascun d’aquests angles:
a) — 2
— → sin1, 2 1 cos0 → sec——— → Noexisteix cos
1cosec———1
sin
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd155 155 20/2/08 19:53:16
156 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3 b) 3 i —— 2
3 → sin0,
1cos1 → sec———1
cos 1
cosec——— → Noexisteix sin
3 c) f —— 2 3 3
—— → sin——1, 2 2 3 1
cos——0 → sec—— → 2 cos
→ Noexisteix
1cosec———1
sin
3 18. Si cotg — i és un angle que verifica — , 4 2 calcula les altres cinc raons trigonomètriques.
ésunangledelsegonquadrant. 3 4
cotg— → tg— 4 3
4tg21sec2 → —2
1 3 5
sec2 → secα— 3 3
cos—; 5
3 4sin√
1——2
—; 5 5 5
cosec— 4 119.Per què no és possible la igualtat sec —? 3 1 Laigualtatsec—implicariacos3, 3 cosaquenoéspossible.
20. Explica el motiu pel qual hi ha angles que no tenen cosecant.
Notenencosecantelsanglestalsquesin0.Sóntotselsanglesdelaforma:kambkunnombreenter.
321.Considera un angle tal que —— 2 i tg 1. 2 Determina el valor de les altres raons trigonomètriques
d’aquest angle.
L’angleésdelquartquadrant.
tg1.Aixòindicaelsegüent: √ 2 √ 2
sincos——;cos—— 2 2
cotg1; cosec√ 2; sec√ 2
22.Quins són els valors reals que no pot prendre la funció f(x) cosec x? Per què?
f(x)cosecxnoestàdefinidaperatotselsvalorsque fan sinx0 → xk,onkésqualsevolnombreenter.
23.Dibuixa un angle tal que tg 2. Hi ha més d’un angle més petit que 2 que verifica aquesta condició? Raona la resposta.
Hihaunangledelsegonquadrantiundelquartqueverifiquentg2.
24.Indica tots els angles compresos entre 0 i 2 que compleixen cosec 1. Representa’ls gràficament a la circumferència unitat.
3 Sicosec1 → sin1.Nomésl’angle——verifica aquestacondició. 2
25.Identifica tots els angles compresos entre 0 i 2 que no tenen cotangent.
Elsanglesquenotenencotangentsónelsquetenenelssinusigual cos a0 → cotg———. sin
sin0 → 0 i
26.Expressa el domini de cadascuna de les funcions f(x) cosec x, f(x) sec x i f(x) cotg x. Indica’n les discontinuïtats i classifica-les. Quin és el recorregut de cada funció?
Dominisóntotselsvalorsdelavariablequepermetencalcularf(x).
1f(x)cosecx——— →
sinx→ Df{xk,k }
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd156 156 20/2/08 19:53:18
157MATEMÀTIQUES 1 LA
En els punts que no són del domini, les discontinuïtats sónasimptòtiques.
1f(x)secx——— →
cosx (2k1)
→ Df{x—————,k } 2
Lesdiscontinuïtatssónasimptòtiques.
Enlesduesfuncionselrecorregutés:
(,1][1,)
cosxf(x)cotgx——— →
sinx
→ Df{xk,k }
Elrecorregutés.
27.Verifica la identitat:
1 cos sin 2————— ————— ———
sin 1 cos sin
Desenvolupemelprimermembredelaigualtat: 1cos sin
—————————— sin 1cos
(1cos)2sin2——————————––
sin(1cos)
12coscos2sin2——————————————––
sin(1cos)
2(1cos) 2————————–———
sin(1cos) sin
Enobtenirelsegonnombredelaigualtat,quedacomprovadalaidentitat.
28.Comprova la identitat:
cos 2 2 cos2 1
cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21
Desenvolupantelprimernombres’obtéelsegon.Pertant,ésunaidentitat.
29.Resol aquestes equacions trigonomètriques:
Lessolucionsesdonenenl’interval[0,2].
a) sin x — 1 2
sinx—1 → 2
→ x—— → x0 2 2
b) 2 cos x 1 0
2cosx10 → 1 2
→ cosx——;x1——, 2 3
4 peròtambéhihaunaltreangledeltercerquadrant:x2——. 3
c) 2 sin2 x sin x 1
2sin2xsinx1.Calprendreunaincògnitaauxiliar:
sinxt → 2t2t10 →
1√ 18 1 → t—————— 1 4 — 2 Substituintelsvalorsdet:
sinx1 → x1— 2
11 ————x2 1 6 6 sinx— → x 2 7 ——x3 6
d) 2 sin x tg x
sinx2sinxtgx → 2sinx—— →
cosx
sinx→ 2sinx———0
cosx
1 sinx2———0 → cosx
sinx0 → x0ip
→→ x10,x2
1 1 2———0 → cosx— → cosx 2
5 → x3—,x4—— 3 3
e) 2 cos2 x cos 2x 1
2cos2xcos2x1
Substituïmcos2xcos2xsin2x.
2cos2xcos2xsin2x1;comque1sin2xcos2x,laigualtatésunaidentitat.
f) cos x sin 2x (sin x cos x)2
cosxsin2x(sinxcosx)2
cosx2sinxcosx
sin2x2sinxcosxcos2x
cosx1 → x0
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd157 157 20/2/08 19:53:20
158 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
30.Les equacions trigonomètriques següents tenen solució immediata. Expressa, en cada cas, totes les solucions.
a) tg x √ 3 2 5
tgx√ 3 → x1——,x2—— 3 3
b) cotg x 1
3 7cotgx1 → x1——,x2——
4 4
c) sec x 2
secx2 →
1 7 11 → sinx— → x1——,x2—— 2 6 6
d) cosec x 2
cosecx2 →
1 5→ cosx— → x1—,x2——
2 3 3
31.Comprova que les igualtats següents són identitats:
1 1 a) tg —— ————— tg sin cos
1 sin costg————————
tg cos sin
sin2cos2 1——————————————
cossin cossin
b) sin 2 sin — cos — 2 2
Éslaigualtatdelsinusdel’angledoble, jaque2—. 2
32.Representa gràficament la funció f(x) cotg x 2.
a) Quin és el seu domini?
Df{xk,k }
b) Presenta discontinuïtats? Quines?
Lesdiscontinuïtatsenelspuntsquenosóndeldominisónasimptòtiques.
c) Passa pel punt —, 0? 2
Nopassapelpunt—,0 → 2
→ f —cotg—220 2 2
d) Quin és el seu període?
Elperíodeés.
33.Resol l’equació següent:
tg2 x 3 tg x 2 0
Considera primer que la incògnita és tg x.
tg2x3tgx20
Calferelcanvitgxt:
t23t20 →
3√ 328 2 → t——————— 2 1
tgx2 → x1arctg21,11rad
5tgx1 → x2—; x3——.
4 4
Activitatsfinals
1.Defineix la funció f(x) cotg x. Indica’n el domini, el recorregut i les característiques més importants. Dibuixa’n la gràfica.
cosxf(x)cotgx———
sinx
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd158 158 20/2/08 19:53:22
159MATEMÀTIQUES 1 LA
Df{xk,k }.Contínuaentotelseudomini.
Presentadiscontinuïtatsasimptòtiquesenelspuntsquenosóndeldomini.Elperíodeés.
2.Dibuixa la gràfica de les funcions següents. Per a cada funció, especifica’n el domini, el recorregut i el període.
a) y 3 sin x
y3sinx: Dy;recorregut:[3,3].
Període:2.
b) y 3 cos x
y3cosx: Dy;recorregut:[3,3].
Període:2.
c) y tg x 2
ytgx2:
(2k1)Dy5x—————,k ;
2
recorregut:.Període:.
d) y cotg x 1
ycotgx1:
Dy{xk,k };
recorregut:.Període:.
3.Considera la funció f(x) tg x. Troba els límits laterals en els valors de x de l’interval [, ] en què la funció és discontínua.
Lafuncióf(x)tgxpresentadiscontinuïtatsasimptòtiques enelspuntsx—ix—. 2 2
x→ — 2
lim f(x)
x→ — 2
lim f(x)
x→ — 2
lim f(x)
x→ — 2
lim f(x)
4.El període de la funció f(x) cos kx és —. Calcula k. 2 Elperíodedef(x)cosxés2;elperíodedef(x)coskx
serà:
2 2 —— → ——— → k4
k k 2
5.Se sap que cotg 2. A quins quadrants pot situar-se l’angle ? Determina les restants raons trigonomètriques de l’angle per a cadascun dels possibles quadrants.
Sicotg2,potserdelprimerideltercerquadrants.
1 sintg———— → cos2sin →
2 cos
→ sin2(2sin2)1
1sin2—
5
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd159 159 20/2/08 19:53:25
160 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Enelprimerquadrant:
1 2 1sin——; cos——; tg—;
√ 5 √ 5 2
√ 5sec——; cosec√ 5
2
Eneltercerquadrant:
1 2 1sin——; cos——; tg—;
√ 5 √ 5 2
√ 5sec——; cosec√ 5
2
6.Defineix la funció f(x) arc cotg x com la funció inversa de la funció f(x) cotg x i indica’n el domini i el recorregut. Dibuixa la gràfica de la primera funció a partir de la gràfica de la segona tenint en compte que, pel fet de ser funcions inverses, aquestes gràfiques han de ser simètriques respecte de les bisectrius del primer i tercer quadrants.
Eldominidelafuncióés,queéselrecorregutdelafuncióf(x)cotgx.
Elrecorregutésl’interval(0,)quecorresponalperíodedelafuncióf(x)cotgx.
7.Resol aquestes equacions trigonomètriques:
cos x 1, tg x √ 3,
cotg x 1 i sec x 1
cosx1 → x
Siampliem:x(2k1),k .
4tgx√ 3 → x1—ix2——
3 3
Ampliant: x—k,k . 3
3 7cotgx1 → x1——ix2=——
4 4
3 Ampliant:x——k,k . 4
secx1 → cosx1 → x0
Ampliant:x2k,k .
8.Esbrina si la igualtat
1 sin 2x (sin x cos x)2
és una identitat o una equació.
1sin2x12sinxcosx
(cosxsinx)2
cos2x2sinxcosxsin2x
12sinxcosx
Ésunaidentitat.
9.Aquestes igualtats, són identitats?
1 sin cos a) ———— ———— cos 1 sin
1sin cos—————————— →
cos 1sin
→ (1sin)(1sin)
1sin2cos2
Ésunaidentitat.
1 sec 1 cos b) ———— ———— 1 sec 1 cos
Noésunaidentitat:
1 11———:1——— cos cos
cos1 1cos——————————
cos1 1cos
cotg2 1 c) ————— cotg 1 tg
Noésunaidentitat:
cotg21 1————————
1tg tg
10.Comprova que aquestes igualtats són identitats:
cotg cotg a) tg ( ) ———————— cotg cotg 1
sin()tg()——————
cos()
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd160 160 20/2/08 19:53:27
161MATEMÀTIQUES 1 LA
sincoscossin————————————
coscossinsin
sincos cossin————————————
sinsin sinsin———————————————
coscos sinsin————————————
sinsin sinsin
cotgcotg—————————
cotgcotg1
1 1 b) ———— ———— 2 sec2 1 sin 1 sin
1 1————————
1sin 1sin
1sin1sin——————————–—
1sin2
2————2sec2
cos2
11.Resol les equacions trigonomètriques següents:
Lessolucionsesdonenenl’interval[0,2).
5 a) sin x cos2 x — 4
5sinxcos2x— →
4 5
→ sinx1sin2x— 4
5Femsinxt → t1t2— →
4
→ 4t24t10 →
4√ 1616 1→ t—————————
8 2
1 5sin x— → x1—,x2——
2 6 6
b) cos x 1 sin x
cos x 1 sin x. Les solucions són immediates, noméspodenser:
3cosx0 → x1—,x2——,
2 2
osinx0 → x30,x4.
c) 2 sin2 x tg x 0
2sin2xtgx0 → sinx
→ 2sin2x———0 → cosx
1→ sinx2sinx———0
cosx
sinx0 → x10,x2 i 1 2sinx———0 → 2sinxcosx1 cosx
2sinxcosxsin2x1 →
→ 2x— → x—→ x3— 2 4 4 x d) 6 cos2 — cos x 1 2
x 1cosx Calsubstituircos2——————. 2 2
1cosx6————cosx1 →
2
→ 33cosxcosx1 →→ 4cosx2
1 2 4cosx— → x1—— i x2——
2 3 3
1 e) sin x cos x —— √ 2 Calcanviar: cosx√ 1sin2x:
1sinx(√ 1sin2x)—— →
√ 2 1
→ √ 1sin2x——sinx √ 2 Elevemalquadrat:
1sin2x
1 2———sinxsin2x →
2 √ 2 2 1
→ 2sin2x——sinx—0 √ 2 2
Utilitzemelcanvi: 2 1
sinxt → 2t2——t—0 √ 2 2 2 ——√ 6 √ 2
t——————sinx 4
Prenemvalorsaproximats:
sinx0,966 →→ x11,3rad,x21,84rad
sinx0,26 →→ x33,4rad,x46,02rad
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd161 161 20/2/08 19:53:29
162 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
cotg x tg x f) —————— 2 cotg x tg x
cotgxtgx——————2
cotgxtgx
Multipliquemelnumeradorieldenominadordelafracciópertgx0.
1tg2x————2 →
1tg2x
→ 1tg2x22tg2x → 1
→ 3tg2x1 → tgx—— √ 3
5 7 11 x1—, x2——, x3——, x4—— 6 6 6 6
3 sin x cos y 2 g) 5 sin x 3 cos y 1
Resolemelsistemaperreducció:
5 3sinxcosy2 → sinx3cosy1
→ 9sinx3cosy 6
sinx3cosy1
1 10sinx5 → sinx— 2
3 1cosy2——
2 2
5 Elsvalorsdex: —i——; 6 6 5 elsdey: —i——. 3 3
Combinantelsvalorsdexideys’obtenenquatresolucionsdiferents.
12.Si —, demostra que: 2
(sin sin )(cos cos )
1 sin 2
Substituïmsin22sincositenimencomptequesi — → sincosicossin: 2
(sincos)(cossin)
(sincos)2
sin22sincoscos2
12sincos1sin2
13.Resol l’equació tg x 2 en l’interval [0, ].
tgx2.Enl’interval[0,],noméshihaunangledelprimerquadrantqueverifiquilaigualtat:
xarctg21,107rad
14.En un examen de matemàtiques es demanaven totes les
√ 3 solucions de l’equació tg x ——. Indica raonadament quina 3 d’aquestes respostes és la correcta:
a) x — k, k 6
7 b) x — k, k i x —— k, 6 6
k
√ 3 Lessolucionsdel’equaciótgx——noméspodenserdos 3 angles,undelprimerquadrantiundeltercer,menorsde2.
Pertant,toteslessolucionsjaestanexpressadesenl’apartata)quejaincloulesdel’apartatb).
15.Resol les equacions:
a) sin x cos x — 3
Els únics angles que tenen el sinus igual al cosinus són elsanglescomplementarisenelprimerquadrantielscorresponentseneltercer.
sinxcosx— →
3
→ xx—— →
3 2
→ 2x— → x1——
6 12
13 Elcorresponentdeltercerquadrantésx2=—— 12
b) cos2 x sin2 x
cos2xsin2x → cos2xsin2x0 → — 2 → cos2x0 → 2x 3 —— 2
3x1—, x2——
4 4
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd162 162 20/2/08 19:53:31
163MATEMÀTIQUES 1 LA
c) 6 cos2 x cos 2x 1
6cos2xcos2x1
Substituïmcos2x:
6cos2xcos2xsin2x1 →→ 7cos2x(1cos2x)1 →
→ 8cos2x2 → 1 1
→ cos2x— → cosx— 4 2
1 5cosx— → x1—, x2——;
2 3 3
1 2 4cosx— → x3——,x4——
2 3 3
Avaluació
1. El període de la funció f(x) sin kx és — . Calcula k. 2
Elperíoded’aquesttipusdefuncióés2kπ
.
Aleshores,2
4 42
k kkπ π= → π = π → = .
2. Donada la funció f(x) tg x 1 .
a) Determina quin és el seu domini?
Domini: ( )2 1 /2
x k kπ − = + ∈
� �,( )2 1 /
2x k k
π − = + ∈
� �( )2 1 /2
x k kπ − = + ∈
� � .
b) Presenta discontinuïtats? Quines?
Discontinuïtatsasimptòtiques a ( )2 1 /2
x k kπ= + ∈ �,( )2 1 /2
x k kπ − = + ∈
� �.
c) Passa pel punt ,04π
?
05tg0 1 0 1 1 0 24
tgπ= + → = + → ≠ .Nopassapelpunt ,0
4π
.
d) Quin és el seu període?
Període: π .
3. Resol l’equació següent a l’interval [0,2] : sin x 1 cos x.
sin 1 cosx x= −
Hoelevemtotalquadrat:
( )22
2 2
2 2
2
sin 1 cos
sin 1 2cos cos
1 cos 1 2cos cos
2cos 2cos 0
x x
x x x
x x x
x x
= −
= − +
− = − +
− =
Arapodemextreurefactorcomú:
( )2cos cos 1 0x x − =
Lessolucionssón:
cosx 0→ x1
2 rad,x2
2 rad
cosx 10→ x 1→ x30 rad,x42 rad
4. Comprova que la igualtat següent és una identitat:
cos () cos ()———————————— tg. sin () sin ()
( ) ( )( ) ( )
cos cos
sin sintg
α − β − α + β= β
α + β + α − β tg.
Substituïmlesfórmulestrigonomètriques:
cos cos sin sin cos cos sin sintg
sin cos sin cos sin .cos sin cos2sin sin
tg2sin costg tg
α ⋅ β + α ⋅ β − α ⋅ β + α ⋅ β = βα ⋅ β + β ⋅ α + α β − β ⋅ αα ⋅ β = βα ⋅ β
β = β
jUnitat13.Introduccióalesderivades
Activitats
1. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la que pots veure a la dreta (fig. 13.2).
a) Quina és la velocitat de cada mòbil a l’instant inicial, quan t 0?
Al’instantinicial,v1v20.
b) Com pots veure, la velocitat de cada mòbil augmenta a mesura que passa el temps. En quin cas augmenta més de pressa? Per què?
Lavelocitatdelmòbil2augmentamésdepressa,jaqueperaqualsevolvalort0,escompleixv2v1.
c) Quin dels dos mòbils haurà recorregut una distància més gran després de 5 s d’haver començat el moviment?
Elmòbil2,jaqueentotmomentt0lasevavelocitatésmésgran.
2. Quina és la velocitat mitjana del ciclista de l’exemple anterior durant els 10 s?
1200 120vm[0,10]—————12m/s
100 10
3. A partir de la gràfica distància-temps següent (fig. 13.4), calcula en km/h:
a) La velocitat mitjana del mòbil en cadascun dels intervals de temps [0, 2], [2, 3,5] i [3,5, 4,5].
1200 120vm[0,2]——————60km/h
20 2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd163 163 20/2/08 19:53:33
164 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
320120 180vm[2,3,5]———————120km/h
3,52 1,5
387300 87vm[3,5,4,5]———————87km/h
4,53,5 1
b) La velocitat mitjana del mòbil durant les 4,5 h que ha durat el trajecte.
3870vm[0,4,5]—————86km/h
4,50
4. La funció f(x) x3 2 sempre és creixent. Calcula’n la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: [3, 1], [0, 2] i [5, 7].
En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?
f(1)f(3) 1(25) 26 Interval[3,1]:——————————————13 1(3) 13 2
f(2)f(0) 102 8 Interval[0,2]:————————————4 20 2 2
f(7)f(5) 345127 218 Interval[5,7]:————————————109 75 2 2
Lafuncióf(x)x32téelcreixementmésràpidenl’interval[5,7].
5. Demostra que la variació mitjana de la funció f(x) 3x 1 sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x1, x2] considerat.
f(x2)f(x1) 3x21(3x11) 3x23x1————————————————————— x2x1 x2x1 x2x1
3(x2x1)—————3
x2x1
Enqualsevolinterval[x1,x2]lavariaciómitjanadelafuncióés3.
6. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) 5 en qualsevol interval [x1, x2]?
Valzero,jaqueestractad’unafuncióconstant.
7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) x2 4x a l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al voltant de x 3?
f(3,1)f(2,9) 2,793,19 0,4—————————————————2
3,12,9 0,2 0,2
Fes-ne la representació gràfica i tot seguit comprova la teva resposta.
Podemesperarquelafuncióf(x)x24xdecreixialvoltantdex3.Hocomprovemalagràficadelafunció.
8. Representa gràficament la funció d 40t 5t2 corresponent al moviment del cos de l’exemple anterior. Quant triga a assolir l’altura màxima? Quin és el valor d’aquesta altura? Quant triga a tornar al punt de llançament?
Elcosqueesconsidera: –Triga4saassolirl’alturamàxima. –Elvalord’aquestaalturaés80m. –Triga8satornaraltrecopalpuntdellançament.
9. Calcula la velocitat d’aquest cos en els instants t 4 s i t 8 s. Interpreta’n els resultats obtinguts.
f(t)f(4) 40t5t280v(4)lim——————lim———————
t→4 t4 t→4 t4
5(t28t16) 5(t4)2
lim————————lim————— t→4 t4 t→4 t4
lim[5(t4)]0 t→4
t4s→v(4)0
f(t)f(8) 40t5t20v(8)lim——————lim———————
x→8 t8 t→8 t8
5t(t8)lim——————lim(5t)40
x→8 t8 t→8
t8s→v(8)40m/s
Perat4s,elcoscanviaelsentitdelseumoviment.Passats8s,elcostornaalaposiciódesortida.Fixa’tquehiarribaalamateixavelocitatambquèhaestatllançat,peròmovent-seensentitcontrari.D’aquíelsignemenysdev(8).
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd164 164 20/2/08 19:53:35
165MATEMÀTIQUES 1 LA
10. On es troba el cos en els instants t 3 s i t 5 s? Quina és la seva velocitat en cadascun d’aquests instants?
t3s→df(3)75m. t5s→df(5)75m. t3sit5s→elcosestrobaalamateixaposició:a75m
delpuntdellançament.
f(t)f(3) 40t5t275v(3)lim——————lim————————
t→3 t3 t→3 t3
5(t28t15) 5(t3)(t5)lim————————lim————————
t→3 t3 t→3 t3
lim[5(t5)]5·(2)10m/s t→3
f(t)f(5) 40t5t275v(5)lim——————lim————————
t→5 t5 t→5 t5
5(t3)(t5)lim————————lim[5(t3)]
t→5 t5 t→5
5·210m/s
Naturalment,perat3s,elcosestàentrajectòriaascendent(v0).Encanvi,quantt5s,elcosjaestàentrajectòriadescendent(v0).Enambdósinstants,elmòduldelavelocitatéselmateix:10m/s.
11. Sabem que la funció f(x) x2 6x és decreixent al voltant de x 4. Quantifica aquest decreixement a partir del f(x) f(4)
càlcul de lim —————— . Interpreta’n el resultat obtingut. x→4 x 4
f(x)f(4) x26x8 lim——————lim——————— x→4 x4 x→4 x4
(x2)(x4) lim————————lim(2x)2 x→4 x4 x→4
Peravalorsdexpròximsa4,lafuncióf(x)disminueixdel’ordrededuesvegadeselqueaugmentax.
12. Fes el mateix estudi de l’activitat anterior per a x 3.
Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el resultat que has obtingut.
f(x)f(3) x26x9 lim——————lim—————— x→3 x3 x→3 x3
(x3)2
lim—————lim(3x)0 x→3 x3 x→3
Alsvoltantsdex3,lafunciópràcticamentnovaria.
13. Representa gràficament la funció f(x) 2x 3. Calcula f(2), f(0) i f(3). Interpreta’n els resultats.
f(2h)f(2)f(2)lim——————————
h→0 h
2(2h)37 42h37 lim——————————lim——————— h→0 h h→0 h
2hlim——lim22
h→0 h h→0
Tambéesverifica:f(0)f(3)2.
Lafuncióf (x)2x3decreixsempredelamateixamanera,és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general,f(x0)2,x0∈.
14. Donada la funció f(x) ax b, demostra que f(x0) a, independentment del valor x0 considerat.
f (x0h)f(x0)f(x0)lim———————— h→0 h
a(x0h)b(ax0b)lim—————————————
h→0 h
ax0ahbax0b lim————————————
h→0 h ah
lim——limaa h→0 h h→0
15. Calcula, si és possible:
a) f(8) si f(x) √ x 1
f (8h)f(8) √ 8h13 f(8)lim————————lim———————— h→0 h h→0 h
√ 9h3 (√ 9h3)(√ 9h3) lim——————lim————————————— h→0 h h→0 h(√ 9h3)
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd165 165 20/2/08 19:53:38
166 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
9h9 hlim————————lim————————
h→0h(√ 9h3) h→0 h(√ 9h3)
1 1lim———————
h→0√ 9h3 6 1 b) f — si f(x) 4 x2
2
1 1 f —hf — 1 2 2
f—lim—————————— 2 h→0 h
1 1 4 —h
2
4— 2 4lim————————————
h→0 h
1 1 4—h h24— 4 4 h(1h)
lim—————————————lim—————— h→0 h h→0 h
lim(1h)1 h→0
1 c) f(0) si f(x) — x
Noexisteixf(0),jaquex0nopertanyaldominidelafunció 1
f(x)—→noexisteixf(0). x
16. Representa gràficament la funció f(x) x2 2x 4 i indica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i decreixement. Comprova que f(1) 0.
Decreixent:(∞,1) Creixent:(1,∞)
f(1h)f(1) f(1)lim———————— h→0 h
(1h)22(1h)43 lim—————————————— h→0 h
12hh222h43 lim———————————————— h→0 h
h2
lim—limh0 h→0 h h→0
17. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x) (2 x)2 és creixent o decreixent en x 6. Fes el mateix estudi en x 1.
f(6h)f(6) f(6)lim——–––––––––––—
h → 0 h
44(6h)(6h)216lim—–––––––––––––––––––––––––––––——
h→0 h
4244h3612hh216lim—––––––––––––––––––––––––––––––––––——
h→0 h h28h h(h8)
lim——–––—lim——–––——lim(h8)8 h→0 h h→0 h h→0
→ f(6)0→creixentenx6. f(1h)f(1)
f(1)lim—–––––––––––––––—— h→0 h
44(1h)(1h)29lim—––––––––––––––––––––––––––––––––——
h→0 h
444h12hh29 h26hlim—––––––––––––––––––––––––––———lim———–—
h→0 h h→0 h
h(h6)lim—–––––—lim(h6)6→f(1)0
h→0 h h→0
→decreixentenx1.
18. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul·la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què?
Lafuncióhadeserconstant,f(x)K,K∈.Ésaixíperquèsiunafuncióésconstant,lasevavariacióészeroperaqualsevolvalordex∈Df .
19. Calcula si és possible:
a) f(4) si f(x) √ x
Noéspossible,jaquenoexisteix
f(4):f(4)√ 4 ∈
2 b)f(1)sif(x)— x 2 –––––––2 f(1h)f(1) 1h
f(1)lim——–––––––––––––—lim——––––––— h→0 h h→0 h
222h —–––––––––— 1h 2h 2
lim—–––––––––—lim—––––––—lim—––—2 h→0 h h→0 h(1h) h→0 1h
c)f(0) sif(x)2x21
f(0h)f(0) f(h)f(0)f(0)lim——–––––––––––—lim——––––––––—
h→0 h h→0 h
2h211 2h2
lim—–––––––——lim––––––lim2h2·00 h→0 h h→0 h h→0
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd166 166 20/2/08 19:53:40
167MATEMÀTIQUES 1 LA
d) f(2) si f(x) 10x 3
f(2h)f(2)f(2)lim—–––––––––––—––––—
h→0 h
10(2h)3(17)lim——––––––––––––––––––––––—
h→0 h
2010h317lim—–––––––––––––––––——
h→0 h 10h
lim––––lim1010 h→0 h h→0
20. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
a) f(x) x 7
(xh)7(x7)f(x)lim—––––––––––––––––––––––––——
h→0 h
xh7x 7 hlim——–––––––––––––––––—lim––––lim11
h→0 h h→0 h h→0
b) f(x) 1 2x2
12(xh)2(12 x2)f(x)lim—–––––––––––––––––––––––––——
h→0 h
12(x22xhh2)12 x2
lim—––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h
12x24xh2h212 x2
lim—––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h
2h (2xh)lim——–––––––—lim2(2xh)4 x
h→0 h h→0
1 c) f(x) —, x ≠ 0 x 1 1 x x h –––––––— –––––––––––– xh x (xh)·x
f(x)lim——––––––––––—lim—–––––––—— h→0 h h→0 h
h 1 1lim—––––––––—lim—–––––—––––
h→0 h(xh)x h→0 x(xh) x2
1 d) f(x) —, x ≠ 0 x2
1 1 x2 (x h)2
–––––––––––– —–––––––––––— (x h)2 x2 x2(xh)2
f(x)lim—–––––––––——lim——––––––-––— h→0 h h→0 h
x2 x2 2xhh2 h(2xh)lim——––––––––––––––—lim—––––––––——
h→0 hx2(xh)2 h→0 hx2(xh)2
(2xh) 2x 2lim—––––––—–––––––––
h→0 x2(xh)2 x4 x3
e) f(x) √ x, x 0
√ xh√ xf(x)lim——––––––––––—
h→0 h
(√ xh√ x )(√ xh√ x )lim———–––––––––––––––––––––––––—
h→0 h(√ xh√ x )
x h x hlim—–––––––––––——lim——––––––––––––—
h→0 h(√ xh√ x ) h→0 h(√ xh√ x )
1 1lim—–––––––––––———–––—
h→0 √ xh√ x 2√ x
f) f(x) 3 33 0
f(x)lim––––––––lim—0 h→0 h h→0 h
g) f(x) 3x2 2x 1
3(xh)22(xh)1(3x22x1) f(x)lim————––––––––––––––––––––––––––––––——— h→0 h
3x26xhh22x2h13x22x1 lim————––––––––––––––––––––––––––––––––––———— h→0 h
h(h6x2) lim——–––––––––—lim(h6x 2)6x 2 h→0 h h→0
h) f(x)
ππ 0f(x)lim––––––––lim—0
h→0 h h→0 h
21. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció
f(x) x2 6x 8. Quant val f(3)?
(xh)26(xh)8(x26x8) f(x)lim——–––––––––––––––––––––––––––––––—————— h→0 h
x22xhh26x6h8x26x8 lim———–––––––––––––––––––––––––––––––––––———— h→0 h
h22xh6h h(h2x6) lim——––––––––––——lim——––––––––––––— h→0 h h→0 h
lim(h2x6)2x6 h→0
f(x)0→2x60→2x 6→2x6→x3
(∞,3)funciócreixent
f(x)0→2x60→2x 6→2x6→
(3,∞)funciódecreixent
f(3)2·360
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd167 167 20/2/08 19:53:42
168 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
22. Donada la funció f(x) 6 x2, calcula f(2) i f(4). Indica si la funció és creixent o decreixent en x 2 i en x 4.
6(xh)2(6x2)f(x)lim—–––––––––––––––————
h→0 h
6x22xh h26x2 h(2xh)lim——–––––––––––––––––––––——lim—–––––––——
h→0 h h→0 h
lim(2xh)2x h→0
f(2)2·(2)40→
lafuncióéscreixentenx2
f(4)2·480→
lafuncióésdecreixentenx4
23. Donada la funció f(x) x4, calcula f(x) de dues maneres diferents:
a) Aplicant la definició de funció derivada.
(xh)4x4
f(x)lim—–––––––——— h→0 x
x44x3h6x2h24xh3h4x4
lim———–––––—––——––––––––––––––—— h→0 h
h(4x36x2h4xh2h3)lim———––––––––––––––––––——
h→0 h
lim(4x36x2h4xh2h3)4x3
h→0
b) A partir de la segona regla que acabem de veure.
f(x)4x3
24. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
1 a)f(x)— x4
4f(x)4x5—
x5
b)f(x)x7
f(x)7x6
1 c) f(x) –––– √ x
1 1 1f(x)—x3/2—––——––—
2 2√ x3 2x√ x
d) f(x) 3
√ x2
2 2f(x)—·x1/3––––––
3 33
√ x
e) f(x) 5
√ 2
f(x)0
1 f) f(x)— x6
6f(x)6x7—
x7
25. Donada la funció f(x) x3, calcula f(1) i f(1). Indica si la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és més ràpida aquesta variació.
(xh)3x3
f(x)lim—–—––––—— h→0 h
x33x2h3xh2h3x3
lim———–––––––––––––––––——— h→0 h
h(3x23xhh2)lim——––––––––––——lim(3x23xhh2)3x2
h→0 h h→0
f(1)3·123; f(1)3·(1)23
f(1) f(1)30→lafuncióéscreixentenx1ienambdóspuntscreixamblamateixarapidesa.
26. Pot decréixer en algun punt la funció de l’exercici anterior? Per què?
No,perquèf(x)3x2$0peraqualsevolx∈
27. Considera la funció:
f(x) 3
√ x. Calcula f(1) i f(8). Interpreta’n els resultats obtinguts.
1 1f(x)—x2/3––––––––
3 33
√ x2
1 1 1 1f(1)––––––––––; f(8)––––––––––––
33
√ 1 3 33
√ 64 12
f(1)0if(8)0→lafuncióéscreixentenx1itambéenx8.
f(1)f(8)→lafunciócreixambmésrapidesapropdex1quepropde x8.
28. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
a) f(x) 3x3 5x2 7
f(x)9x210x
1 b) f(x) x — 3 x 1
f(x)1— x2
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd168 168 20/2/08 19:53:44
169MATEMÀTIQUES 1 LA
x4 3x2
c)f(x)–––––– 5 7
4 6f(x)—x3—x
5 7
d) f(x) √ 10 √ x
1f(x)––––––
2√ x
e) f(x) (2x 3)2
f(x)8x12
1 2 f) f(x) — — 7 x3 x 3 2
f(x)—–––– x4 x2
29. Indica per a quins valors de x s’anul·la la derivada de la funció f(x) x3 5 x2 3x 4.
f(x)3 x210x3
1f(x)0→3 x210x30→x3ix—
3
30. Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) x2 4x 7.
f(x)2x4 f(x)0 → 2x40→x2 f(x)0 → x2 (∞,2)funciódecreixent (2,∞)funciócreixent
31. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon grau f(x) ax2 bx c s’anul·la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representar-la gràficament.
f(x)2axb b
f(x)0 → 2axb0→2axb→x=––– 2a
32. La distància d’un mòbil a un punt de referència ve donada per l’expressió d f(t) 10 12t t2, d en metres i t en segons.
a) Determina l’expressió de la funció que permet calcular la velocitat del mòbil en qualsevol instant.
vf(t)122tm/s.
b) Indica raonadament si en algun moment aquest mòbil canvia el sentit del seu moviment.
Elmòbilnocanviaelsentitdelmoviment,jaquev(t)≠0perat0→lavelocitatd’aquestmòbilnos’anul·laperat$0.
33. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la funció f(x) representada en la gràfica (fig. 13.12). Pots trobar-ne més d’una? Per què?
Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes lesfuncionsdeltipusf(x)xK,ambK∈.
Activitatsfinals
1. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de les funcions següents en x 3:
a) f(x) x2 1
(3h)21(8)f(3)lim—-––––––––––––––––––––––—
h→0 h
96hh218 h(6h)lim——–––––––––––––––––––––—lim—–––——
h→0 h h→0 h
lim(6h)6 h→0
b) f(x) √ 1 x
√ 1(3h)2 √ 4h2f(3)lim——––––––––––––––––— lim——–––––––—
h→ 0 h h→0 h
(√ 4h2)(√ 4h2) 4h4lim———––––––––––––––––––—— lim—––––––––––——
h→ 0 h(√ 4h2) h→ 0 h(√ 4h2)
h 1 1lim————–––––— lim——–––––––—––––
h→ 0 h(√ 4h2) h→ 0 √ 4h2 4
1 c) f(x) — x
1 1 33h ––––––––––––– ——–––––— 3h 3 3(3h)
f(3)lim–––––––––––––––– lim––––––––––––– h→0 h h→0 h
h 1 1lim——––––––— lim—–––––———
h→0 3h(3h) h→0 3(3h) 9
1 2. Donada la funció f(x) —––—, és possible calcular f(2)?
Per què? x 2
No,perquèx2∉Df
3. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x) (x 4)2 és creixent o decreixent en x 3,5.
f(x)(x4)2x28x16→f(x)2x8
f(3,5)2·3,58781
f(3,5)0→lafuncióésdecreixentenx3,5
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd169 169 20/2/08 19:53:46
170 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
4. En la gràfica (fig. 13.15) hem representat la funció f(x), derivada d’una certa funció f(x). Quina és l’expressió algèbrica de f(x)? I la de f(x)? Pots trobar-ne més d’una?
f(x)2x→f(x)x2C,ambC ∈
Pertanthihainfinitesfuncions,lafuncióderivadadelesqualsésf(x)2x.
5. Compara la rapidesa del creixement de la funció f(x) x3 2x en els punts d’abscisses x 2 i x 2.
f(x)x32x→f(x)3x22 f(2)3·(2)22140 f(2)3·222140
Comquef(2) f(2),lafunciócreixamblamateixarapidesaenx2queenx2.
6. Aplicant la definició, calcula la funció derivada de:
a) f(x) x3 3
(xh)33(x33)f(x)lim—––––––––––––––––––———
h→0 h
x33x2h3xh2h33x33lim————–––––––––––––––––––––––––––——
h→0 h
h(3x23xhh2)lim——–––––––––––—— lim(3x23xhh2)3x2
h→0 h h→0
b) f(x) x 3x2
xh3(xh)2(x3x2)f(x)lim——––––––––––––––––––––––––———
h→0 h
xh3x26xh3h2x3x2
lim————––––––––––––––––––––––––——— h→0 h
h(16x3h)lim———–––––––––— lim(16x3h)16x
h→0 h h→0
c) f(x) 5√ x
5√ x h 5√ xf(x)lim——–––––––––——
h→0 h
5(√ x h √ x )(√ x h √ x )lim————–––––––––––––––––———
h→0 h(√ x h √ x )
5(x h x) 5hlim———–––––––––— lim——––––—–––––—
h→0h(√ x h √ x ) h→0h(√ x h √ x )
5 5lim——––––––––––— —––—
h→0 √ x h √ x 2√ x
7. Indica raonadament el signe de la funció f(x) corresponent a la funció f(x) representada en la gràfica de la figura 13.16, en cadascun dels intervals següents:
(∞, 1) (1, 1) (1, ∞)
x∈(∞,1)→lafuncióéscreixent→f(x)0 x∈(1,1)→lafuncióésdecreixent→f(x)0 x∈(1,∞)→lafuncióéscreixent→f(x)0
8. Indica els intervals de creixement i decreixement de la fun-ció f(x) 3x 5. Verifica la teva resposta fent-ne la representació gràfica.
f(x)3x5→ f(x)3
f(x)0peraqualsevolx∈→lafuncióésdecreixententotelseudomini.
9. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
a) f(x) 2x4 3x2 1
f(x)8x36x
b) f(x) √ x3 3
√ x2
3 2 3 2f(x)—x1/2–––––x1/3—√ x––––
2 3 23
√ x
2 c) f(x) 1 — x2
4f(x)2·(2)x3–––
x3
d) f(x) 3(x2 7x 12)
f(x)6x21
e) f(x) √ 5x
√ 5f(x)—–—
2√ x
f) f(x) (2 6x)2
f(x)2472x
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd170 170 20/2/08 19:53:48
171MATEMÀTIQUES 1 LA
10. Per a un determinat mòbil, la distància d en metres a un punt de referència en funció del temps t en segons ve donada per l’expressió:
d f(t) 10t 2t2
a) Troba l’expressió algèbrica que et permeti calcular la velocitat d’aquest mòbil en qualsevol instant.
vf(t)104t,enm/s
b) Indica a quina distància del punt de referència es troba quan canvia el sentit del moviment.
v0→104t0→t2,5s
df(2,5)10·2,52·2,5212,5m.
c) Interpreta físicament el signe de la velocitat per a t 2,5 s.
t2,5s→v0→elmòbilesmouensentitnegatiucadacopmésdepressa.
11. A conseqüència de la dilatació, la longitud L d’una barra metàl·lica augmenta amb la temperatura T d’acord amb l’expressió:
L 8(1 104 · T), on L s’expressa en centímetres i T, en graus centígrads.
a) Quina és la longitud de la barra a 0 ºC? I a 100 ºC?
L(0ºC)8cm;L(100ºC)8,08cm
b) Quan augmenta més bruscament la longitud d’aquesta barra, si T 50 ºC o si T 80 ºC? Per què?
L(T)88·104T→L(T)8·104cm/ºC
ComqueL(T)nodepèndelatemperatura,lalongituddelabarraaugmentaamblamateixarapidesaindependenmentdelatemperatura.
12. Representa gràficament les funcions f(x) 2x 3 i g(x) 2x 3. Què obtens?
Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant de x 0? I al voltant de x 10? Procura respondre les dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la resposta.
S’obtenenduesrectesparal·leles.
Escompleixquef(x)g(x)2→lafunciófilafunciógcreixenamblamateixarapidesa,independenmentdelvalordelavariablex.
Avaluació
1. Donada la funció: f(x) 3x2 5,
a) Calcula la variació mitjana de f(x) en l’interval [2, 5].
b) Calcula, aplicant la definició de derivada, la derivada de f(x) en x 1.
a)interval[ ] (5) (2) 80 17 632,5 : 21
5 2 5 2 3f f− −= = =
− −
b)f( ) ( )
( )
2 2
0
2
0 0
3 5 3 5'( ) lim
6 3lim lim 6 3 6
h
h h
x h xf x
hxh h
x h xh
→
→ →
+ + − += =
+= = + =
( ) ( )
( )
2 2
0
2
0 0
3 5 3 5'( ) lim
6 3lim lim 6 3 6
h
h h
x h xf x
hxh h
x h xh
→
→ →
+ + − += =
+= = + =
b)f(1)'(1) 6 1 6f = ⋅ =
2. Calcula, aplicant les regles de derivació, les derivades de les següents funcions, simplificant al màxim:
a)f(x)x4 2x3 3x 7
f(x)4x36x23
b) f(x) 5
√ x3
f3 2
15 5
5 2
3 3 3'( )
5 5 5f x x x
x
− −= = =
c) f(x) 3
x2
1
x
f 3 23 2
6 1'( ) 6f x x x
x x− − −= − − = −
d) f(x) √ x
x4
f
12
8
8 8
11
2'( )
22
x x xf x
xx
xxx
x x x
−⋅ − ⋅
= =
−= =
⋅
12
8
8 8
11
2'( )
22
x x xf x
xx
xxx
x x x
−⋅ − ⋅
= =
−= =
⋅
3. Donada la funció f(x) 5x 2x3, indica raonadament si és creixent o decreixent en els puntsx 0 i x 3.
2'( ) 5 6f x x= −
'(0) 5 0f = > → lafuncióéscreixentenaquestpunt.2'(3) 5 6 3 0f = − ⋅ < → lafuncióésdecreixentenaquestpunt.
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd171 171 20/2/08 19:53:50
172 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
4. Comencem a observar dos mòbils A i B que tenen trajectòries que segueixen, respectivament, les equacions següents:
A: s(t) t3 i B: e(t) 27t
on s i e són les distàncies recorregudes en km des del moment en que comencem a observar i t és el temps transcorregut en hores.
a) Calcula les funcions velocitat de cadascun dels dos mòbils.
2( ) '( ) 3( ) '( ) 27
A
B
v t s t tv t e t
= == =
mesuradesenkm/h
b) Calcula la velocitat inicial de cadascun dels dos mòbils.
(0) '(0) 0(0) '(0) 27km/h
A
B
v sv e
= == =
c) En un cert instant de temps, els dos mòbils tenen la mateixa velocitat. Calcula aquest instant de temps.
2
( ) ( )3 27 3h
A Bv t v tt t
= →= → =
2
( ) ( )3 27 3h
A Bv t v tt t
= →= → =
d) Calcula els km que han recorregut cadascun d’ells des que comencem a observar fins el moment en que tenen la mateixa velocitat.
3(3) 3 27km
(3) 27 3 81km
s
e
= == ⋅ =
086-172_Sol-Mates_Batx1-cat.indd172 172 20/2/08 19:53:52
173MATEMÀTIQUES 1 la
jUnitat14.Distribucionsbidimensionals
Activitats
1.En una població de 25 famílies s’ha estudiat la variable X: «nombre de cotxes que té la família», i s’han obtingut les dades següents:
0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1
Construeix la taula de freqüències i de percentatges corresponent.
xi ni Ni fi Fi pi Pi
0 2 2 0,08 0,08 8 % 8 %
1 12 14 0,48 0,56 48 % 56 %
2 8 22 0,32 0,88 32 % 88 %
3 3 25 0,12 1,00 12 % 100 %
25 1,00 100 %
2.La taula 14.2, que apareix incompleta, representa les qualificacions obtingudes per 80 alumnes de primer de batxillerat d’un institut.
Qualificació Freqüènciaabsoluta
Freqüènciarelativa
Suspens
Aprovat
Notable
Excel.lent
—
20
16
—
0,375
—
—
—
a) Completa la taula amb les freqüències absolutes i relatives que falten.
b) Elabora la taula de freqüències i de percentatges corresponent.
a)ib)
xi ni fi pi Ni Fi Pi
S 30 0,375 37,5 % 30 0,375 37,5 %
A 20 0,25 25% 50 0,625 62,5 %
N 16 0,2 20% 66 0,825 82,5 %
E 14 0,175 17,5 % 80 1 100 %
80 1 100 %
xi
3. Troba la mitjana, la variància i la desviació típica de les variables X i Y de la taula 14.6.
Nombred’horesveient
latelevisió
Nombred’horesdormint
Nombredepersones
43321
6 7 8 910
3162010 1
5
i1
xini
141x——————2,82h n 50
5
i1
x2ini
413
x
2————x2——7,9524 n 50
0,3076h2
5
i1
x2ini
x√
————x2 n
√ 0,3076 0,55462h
5
i1
yini
390y—————— 7,8h n 50
5
i1
y2ini
3082
y
2—————y2———60,84 0,8h2
n 50
5
i1
y2ini
y√
————y2√ 0,8 0,89443h n
4.Calcula la variància de la variable de la taula 14.3 utilitzant la primera expressió.
Númerodecalçat Nombred’alumnes
353637384042
415172010 4
6
i1
(xi x)2ni
209,4432——————————— 2,992
n 70
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd173 173 18/2/08 11:16:21
174 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
5.Amb les dades de la taula 14.3, comprova les propietats de la mitjana, la variància i la desviació típica. Per ferho, suma 2 i multiplica per 3 cada valor de la variable.
Númerodecalçat Nombred’alumnes
353637384042
415172010 4
yx2
6
i1
yini
2777y——————— 39,67x2 n 70
6
i1
y2ini
y
2—————y2 n
110377————1573,8222 2,992
y
2
70
y√2,992 1,73x
z3x
6
i1
zi2ni
7911z——————— 113,013x n 70
6
i1
zj2ni
z
2————z2 n
895941————12772,23 26,9271
70
9x
232x
2
z√ 26,9271 5,193x
6.Les dades del consum de carburant d’una flota de camions al llarg d’un dia es poden observar a la taula de freqüències següent (taula 14.5):
Consumdecarburant Nombredecamions
(0, 10](10, 20](20, 30](30, 40](40, 50](50, 60](60, 70]
81210142116 9
Completa la taula amb les columnes necessàries per calcular x i x.
Consum xi ni xi·nix
i
2 xi
2ni
(0,10] 5 8 40 25 200
(10,20] 15 12 180 225 2 700
(20,30] 25 10 250 625 6 250
(30,40] 35 14 490 1225 17150
(40,50] 45 21 945 2 025 42 525
(50,60] 55 16 880 3 025 48 400
(60,70] 65 9 585 4 225 38 025
90 3 370 155 250
7
i1
xini
3370x——————— 37,4
(
n 90
7
i1
x2ini
x√
————x2 n
155250√
————1402,0864
90
√ 322,913617,97
7.A partir de la taula següent, en què s’indica l’alçada i el pes de 24 alumnes de primer de batxillerat:
Pesenkg
59 55 52
Alçadaencm
179 163 156
Pesenkg
68 59 62 63 71 59 55
Alçadaencm
177 170 173 164 176 174 165
Pesenkg
51 58 83 80 49 58 64
Alçadaencm
165 172 174 188 153 158 161
Pesenkg
70 66 58 58 72 57 55
Alçadaencm
177 174 170 167 174 173 162
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd174 174 18/2/08 11:16:22
175MATEMÀTIQUES 1 la
a) Calcula la mitjana i la desviació típica de cadascuna de les dues variables.
X:«pes»,Y:«alçada»
24
i1
xi 1482x—————— 61,75kg
n 24
24
i1
x2i
x√
———x 2 n
93232√
————3813,0625
24
√ 71,60428,4619kg
24
i1
yi 4065y—————— 169,375kg
n 24
24
i1
yi2
y√
————y2 n
690043√
————28687,8906
24
√ 63,90117,9938cm
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) La relació entre les dues variables, és directa o inversa? Raona la resposta.
Ésdirecta,jaqueelnúvoldepuntssegueixunatrajectòriacreixent.
d) Indica les coordenades del punt mitjà de la distribució.
M(x,y) → M(61,75;169,375)
e) Comprova que el punt mitjà no forma part del diagrama de dispersió.
Talcoms’observaalagràficadel’apartatb),elpuntMnoformapartdeldiagramadedispersió.
8.La classificació final de la lliga de futbol de primera divisió de la temporada 19981999, després de 38 jornades, va ser:
Equips PG PE PP
1. Barcelona
2. R. Madrid
3. Mallorca
4. València
5. Celta
6. Deportivo
7. Espanyol
8. Athlètic
9. Saragossa
10. R. Societat
11. Betis
12. Valladolid
13. Atlético
14. Oviedo
15. Racing
16. Alavès
17. Extremadura
18. Vilareal
19. Tenerife
20. Salamanca
24
21
20
19
17
17
16
17
16
14
14
13
12
11
10
11
9
8
7
7
7
5
6
8
13
12
13
9
9
12
7
9
10
12
12
7
12
12
13
6
7
12
12
11
8
9
9
12
13
12
17
16
16
15
16
20
17
18
18
25
Representa el diagrama de dispersió de les distribucions bidimensionals següents. Quin tipus de relació, directa o inversa, hi ha entre les dues variables en cadascun dels tres casos?
a) Lloc a la classificaciópartits guanyats.
Ésinversa.
b) Lloc a la classificaciópartits empatats.
Noespotassegurar.
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd175 175 18/2/08 11:16:23
176 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
c) Lloc a la classificaciópartits perduts.
Directa.
9.Calcula xy de l’exemple de la taula 14.6 utilitzant la primera de les expressions de la covariància.
5
i1
(xix)(yiy)ni
21,8xy———————————
n 50
0,436
10.Donada la taula:
xi 4 6 8 12
yi 2 3 4 6
Justifica mitjançant el càlcul de r, i sense dibuixar el núvol de punts, que els punts del diagrama de dispersió de la distribució se situen en una línia recta creixent.
xy 4,375r——————————————
xy 2,95803991,4790199
4,375———1
4,375
Elnúvoldepuntssónelspuntsd’unarectacreixent.
11.A partir d’aquest experiment amb dues variables:
xi 0 4 6 8 12 14 16 22 26
yi 4 3 8 6 7 13 2 11 0
a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.
9
i1
xiyi
648xy————xy——126
n 9
72720
xy 0r——————0
xy xy
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) Relaciona el valor del coeficient amb els punts del diagrama de dispersió.
Nohiharelació,jaquer0.
12.Les alçades en polzades de 12 pares i els seus fills són les següents:
Pares 65 63 67 64 68 62
Fills 68 66 68 65 69 66
Pares 70 66 68 67 69 71
Fills 68 65 71 67 68 70
Calcula el coeficient de correlació lineal i extreu conclusions sobre la relació entre les dues variables estudiades.
xy 3,3611111r———————————0,7027
xy 2,65621,80085
La relació entre lesdues variables és linealdirecta i bastantforta.
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd176 176 18/2/08 11:16:25
177MATEMÀTIQUES 1 la
13.A partir de la taula de valors següent:
xi 2 4 5 6 8 11
yi 18 12 10 8 7 5
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
xy 11,16
(
r——————————— xy 2,886754,20317
0,9203
b) Multiplica cada valor de xi de la taula per 2 i sumali 6; multiplica cada valor de yi per 3 i restali 15. Troba el coeficient de correlació entre els dos nous sistemes de valors i explica per què s’obté o no el mateix resultat que abans.
x i2 xi6 10 14 16 18 22 28
y i3 yi15 39 21 15 9 6 0
xy 67r———————————
xy 5,773512,6095
0,9203
Degutalespropietatsdelamitjana,deladesviaciótipusidelacovariància,elvalordernovaria.
14.Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal en els tres casos de l’exercici 8.
T:«llocenlaclassificació»,X:«partitsguanyats»,Y:«partitsempatats»,Z:«partitsperduts».
20
i1
tixi
a) tx————tx n
2437———10,514,15 26,725
20
tx 26,725rtx————————————
tx5,766284,70399
0,98527
20
i1
tiyi
b) ty————ty n
2130———10,59,7 4,65
20
ty 4,65rty————————————
ty5,766282,64764
0,30458
20
i1
tizi
c) tz————tz n
3413———10,514,15 22,075
20
x 22,075rtz————————————
tz5,766284,36205
0,87764
15.S’ha observat l’alçada X en metres i el pes Y en quilograms de 9 nadons i s’han obtingut aquests resultats:
x 0,5; x 0,026; y 3,4;
y 0,392, i xy 0,01
Calcula el coeficient de correlació lineal i escriu l’equació de la recta de regressió de Y sobre X.
xy 0,01r—————————0,98116
xy 0,0260,392
xyyy———(xx)
x
2
0,01y3,4—————(x0,5) →
0,000676
→ y14,793x3,996
16.Cinc nens de 2, 3, 5, 7 i 8 anys d’edat pesen, respectivament, 14, 20, 30, 35 i 42 kg.
X:«edat»,Y:«pes»
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
xy 22,8r———————————
xy 2,2803510,0876
0,99116
b) Escriu l’equació de la recta de regressió que expressa el pes en funció de l’edat.
xyyy———(xx)
x
2
22,8y28,2——(x5) →
5,2
→ y4,385x6,277
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd177 177 18/2/08 11:16:26
178 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
c) Estima quant pesarà un nen de 6 anys.
x6anys →
→ y4,38566,27732,6kg
17.Els pesos i les alçades de 12 alumnes són els que figuren en la taula següent:
Pesenkg Alçadaencm
706372606670746562676568
155150180135156168178160132145139152
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
X:«pes»,Y:«alçada»
xy 51,361275r———————————
xy 3,9965314,88754
0,8632
b) Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de regressió.
xyyy———(xx)
x
2
51,361113y154,16
(
————(x66,83
(
) → 15,9723
→ y3,22x60,75
xyxx———(yy)
y
2
51,361113x66,83
(
————(y154,16
(
) → 221,639
→ x0,23y31,11
c) Dedueix l’alçada d’un o d’una alumna que pesa 64 kg.
x64kg
y3,226460,75145,1cm
d) Estima el pes d’un o d’una alumna que mesura 162 cm.
y162cm
x0,2316231,1168,6kg
18.Un centre comercial sap els clients que el poden visitar en funció de la distància, en quilòmetres, a què se situï d’un nucli de població, segons les dades que figuren a la taula següent:
Nre.declients(centenars)
8 7 6 4 2 1
Distància(quilòmetres)
15 19 25 23 34 40
X:«distància»,Y:«nombredeclients»
a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.
6
i1
xiyi
xy————xy n
603——264,6
(
20,8333 6
xyrxy———
xy
20,8333————————0,95017
8,56352,5604
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) Si el centre comercial se situa a 30 km, quants clients pot tenir?
xyyy———(xx)
x
2
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd178 178 18/2/08 11:16:27
179MATEMÀTIQUES 1 la
20,8333y4,6
(
————(x26) → 73,333
→ y 0,284x12,053
x30km →
→ y 0,2843012,0533,53 →
→ 353clients
19.La taula següent recull les qualificacions de 40 alumnes a les matèries de matemàtiques i física:
MatemàtiquesX 3 4 5 6 6 7 7 8 10
FísicaY 2 5 5 6 7 6 7 9 10
Nre.d’alumnes 4 6 12 4 5 4 2 1 2
a) Troba les mitjanes i les desviacions típiques, escrivint prèviament les distribucions marginals de X i Y.
xi 3 4 5 6 7 8 10
ni 4 6 12 9 6 1 2
yj 2 5 6 7 9 10
nj 4 18 8 7 1 2
7
i1
xini
220x——————5,5
n 40
7
i1
xi
2ni
x√
————x2 n
1314√
———30,25√ 2,6 1,61245
40
6
j1
yjnj
224y——————5,6
n 40
6
j1
yj
2nj
y√
————y2 n
1378√
———31,36√ 3,09 1,75784
40
b) Calcula r.
xy 2,6r———————————
xy 1,612451,75784
0,9173
c) Quina nota de matemàtiques es pot esperar que tregui un alumne o una alumna que té un 7,5 de física? És fiable la predicció?
xyxx———(yy)
y
2
2,6x5,5——(y5,6) →
3,09
→ x0,84y0,788
y7,5 → x0,847,50,7887,1
Ésfiableperquèlarelacióentrelesduesvariableséslinealforta.
20.L’alçada mitjana d’una mostra de pares és d’1,68 m, amb una desviació tipus de 5 cm, i l’alçada mitjana d’una mostra dels seus fills és d’1,70 m, amb una desviació tipus de 7,5 cm. El coeficient de correlació entre les alçades de pares i fills és 0,7.
X:«alçadadelspares»,Y:«alçadadelsfills» x1,68 ; x0,05 ; y1,7 ; y0,075
r0,7
a) Calcula la covariància de la distribució.
xyr———→xyrxy xy
0,70,050,0750,002625
b) Estima l’alçada d’un fill sabent que la del seu pare és d’1,66 m.
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
0,002625y1,7————(x1,68) →
0,0025
→ y 1,05x0,064
x1,66m→
→ y 1,051,660,0641,68m
c) Quina podem esperar que sigui l’alçada d’un pare si la del seu fill és d’1,72 m?
XsobreY: xy
xx———(yy)
y
2
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd179 179 18/2/08 11:16:29
180 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
0,002625x1,68————(y1,7) →
0,005625
→ x0,46
(
y0,886
(
y1,72 →
→ x0,46
(
1,720,886
(
1,69m
21.En una fàbrica de components electrònics s’han seleccionat 12 treballadors, entre els que havien entrat a treballar durant els tres últims mesos, s’ha observat el nombre de peces defectuoses que havien produït, i se n’ha obtingut la taula següent:
Nombredesetmanestreballades(X)
Nombredepecesdefectuoses( Y)
7 9 614 81210 4 211 1 8
262028162318242638223225
a) Determina l’equació de la recta de regressió y ax b.
xyyy———(xx)
x
2
19,72
(
y24,83
(
———(x7,6
(
) → 14,2219
→ y 1,39x35,46
b) Estima el nombre de peces defectuoses que produiria un treballador amb cinc setmanes d’experiència.
x5 → y 1,39 535,46
29pecesdefectuoses
22.Per què els quocients de les divisions entre els coeficients de x i de y de les rectes de regressió donen sempre com a resultat un nombre positiu? Què passaria en el cas que tots dos quocients fossin iguals a 1? Raona les respostes.
Perquèelscoeficientsaictenenelmateixsigne.
Lesduesvariablestindrienlamateixadesviaciótipus:
a y
2
—1 → ——1 c
x
2
x
2y
2 → xy
23.Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució bidimensional són:
11y 7x 6, la de Y sobre X
2x 3y 1, la de X sobre Y
a) Troba r i indica el tipus de relació que hi ha entre les dues variables.
11y 7x6 → 7 6 → y——x—— →
6 11 11 xy 7 → a—— ——
x
2 11
2x 3y1 → 3 1 → x—y— → 2 2 xy 3 → c—— —
y
2 2
7 3r√ ac√
——— 11 2
21√
——0,977
22
Larelacióéslinealdirectamoltforta.
b) Calcula la mitjana de cadascuna de les variables.
7 6 y ——x—— 11 11 3 1 x —y— 6 2 2
3 7 6 1x ———x———
2 11 11 2 21 9 1
x——x——— 22 11 2 1 29
——x —— → x 29 → y19 22 22
x 29 , y19
c) Dedueix quina de les dues variables té una desviació típica més gran.
xy 7 —— —— a
x
2 11 14————————— →
c xy 3 33 —— —
y
2 2
y2 14 y 14
→ ———— → ——√
——
x
2 33 x 33
0,65134
d’on:xy
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd180 180 18/2/08 11:16:30
181MATEMÀTIQUES 1 la
24.De dues variables, X i Y, es té la informació següent: la variància de X és 3, la mitjana i la desviació tipus de Y són 1 i 2, respectivament, i l’equació de la recta de regressió de Y sobre X és 2x 3y 6.
x
23 , y1 , y2 ,
22x3y6 → y —x2
3
Troba:
a) La mitjana de X. 2y1 → 1 —x2 → 3 3 3
→ x— → x— 2 2
b) La covariància de X i Y.
xy 2a——— →
x
2 3
2 2→ xy —
x
2 —3 2 3 3
c) El coeficient de correlació lineal.
xy 2 1r————— —— 0,57735
xy √32 √ 3 d) L’equació de la recta de regressió de X sobre Y.
xyxx———(yy) →
y
2
3 2→ x— ——(y1)
2 4
3 1x— —(y1) →
2 2
3 1 1→ x— —y— →
2 2 2
1→ x —y2
2
Activitatsfinals 1.Els 30 alumnes d’una classe de primer de batxillerat van
obtenir les notes següents en dues proves diferents de matemàtiques:
(73, 29), (41, 24), (83, 34), (71, 27), (39, 24),
(60, 26), (51, 35), (41, 18), (85, 33), (88, 39),
(44, 27), (71, 35), (52, 25), (74, 29), (50, 13),
(42, 13), (85, 40), (53, 23), (85, 42), (44, 22),
(66, 25), (60, 21), (33, 26), (43, 19), (76, 29),
(51, 25), (57, 19), (25, 17), (40, 17) i (76, 35).
La primera nota de cada parell correspon a la primera prova, que està puntuada sobre 100 punts, i la segona nota és de la segona prova, puntuada sobre 50 punts.
a) Dibuixa el diagrama de dispersió.
b) Calcula el coeficient de correlació lineal.
xy 103,36779r—————————— 0,7737
xy 17,61917,5828
c) Compara els dos resultats per donar la màxima informació sobre la relació existent entre les dues notes.
La relacióentre lesduesnotesés lineal,directa ibastantforta.
2.A partir de la taula de valors següent, calcula el coeficient de correlació lineal i analitza’n el significat. Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de regressió.
y x 1 2 3 4 5
1 1
2 6 1 3
3 2 1 4
4 1 1
xy 0,425r———————————
xy 1,071210,74162
0,53497 → relacióindirectadèbil
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
0,425y2,5————(x2,55) →
1,1475
→ y 0,37x3,44
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd181 181 18/2/08 11:16:32
182 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
XsobreY: xy
xx———(yy)
y
2
0,425x2,55———(y2,5) →
0,55
→ x 0,773y4,48
3.En una distribució bidimensional s’han obtingut els paràmetres estadístics següents:
x 5, y 6, 2x 5; 2
y 8,5 i r 0,997
Calcula la covariància i escriu l’equació de la recta de regressió que expressa la variable X en funció de la variable Y.
xyr——— → xyrxy xy
0,997√ 5√ 8,56,5
XsobreY: xy
xx———(yy)
y
2
6,5 x5——(y6) → x 0,765y0,412 8,5
4.La taula següent expressa el preu mitjà dels preus en dòlars de les accions i obligacions a la borsa de Nova York entre els anys 1950 i 1959:
Anys Accions Obligacions
1950 32,22 102,43
1951 39,87 100,93
1952 41,85 97,43
1953 43,23 97,81
1954 40,06 98,32
1955 53,29 100,07
1956 54,14 97,08
1957 49,12 91,59
1958 40,71 94,85
1959 55,15 94,65
A partir d’aquestes dades calcula el coeficient de correlació lineal entre les variables. Interpreta cadascun dels resultats.
X:«anys»;Y:«accions»;Z:«obligacions»
a) AnysAccions.
xy 14,728rxy———————————
xy 2,872287,19553
0,7126
Existeix una relació lineal directa bastant forta entre elsanysilesaccions.
b) AnysObligacions.
xz 7,111rxz———————————
xz 2,872283,06096
0,8088
Larelacióentreelsanysilesobligacionséslinealinversaibastantforta.
c) AccionsObligacions.
yz 10,9416ryz———————————
yz 7,195533,06096
0,4968
Larelacióéslinealinversaforçadèbilentrelesaccionsilesobligacions.
5.El consum d’energia per càpita en milers de kWh i la renda per càpita en milers de dòlars en sis països de la UE són els següents:
Consum Renda
Alemanya 5,7 11,1
Bèlgica 5,0 8,5
Dinamarca 5,1 11,3
Espanya 2,7 4,5
França 4,6 9,9
Itàlia 3,1 6,5
X:«renda»;Y:«consum»
a) Calcula r i interpreta’n el resultat.
xyr——
xy
2,5078———————— 0,93179
2,46491,0919
Existeixunarelaciólinealdirectaifortaentrelesduesvariables.
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd182 182 18/2/08 11:16:33
183MATEMÀTIQUES 1 la
b) Quina predicció podem fer sobre el consum d’energia per càpita a Grècia si sabem que en aquest país la renda és de 4,4 milers de dòlars? És fiable la predicció obtinguda?
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
2,5078y4,36
(
————(x8,63
(
) → 6,0755
→ y 0,413x0,803
x4,4 → y0,4134,40,803
2,6milersdekWh
Laprediccióésmoltfiable,jaquer1.
6.A partir d’un estudi estadístic realitzat a una mostra de 100 estudiants, s’ha observat una alçada mitjana de 155 cm, amb una desviació tipus de 15,5 cm. A més, es va obtenir la recta de regressió de X (pes en quilograms) sobre Y (alçada en centímetres):
2 160x —y ——
3 3
Determina:
a) El pes mitjà dels 100 estudiants.y155cm →
2 160→ x—155——50 →
3 3
→ x50kg
b) La covariància de X i Y.
2 xy——— → 3
y
2
2 2→ xy—
y
2—15,52160,16
(
3 3
c) El signe del coeficient de correlació entre el pes i l’alçada.
r0perquèxy0.
7.A les biblioteques de sis poblacions s’ha analitzat l’afluència de lectors (X en milers de persones) i el nombre de llibres prestats (Y). Les dades es recullen en la taula següent:
X 0,5 1 1,3 1,7 2 2,5
Y 180 240 250 300 340 400
a) Quina és la mitjana del nombre de llibres prestats en el conjunt de totes les biblioteques?
6
i1
yi 1710y——————285llibres
n 6
b) Escriu la recta de regressió que expressa el nombre de llibres que hi ha en préstec en funció de l’afluència de lectors.
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
46,6
(
y285———(x1,5) → 0,43
→ y 108,53x122,21
c) Si acudissin 1500 lectors a una biblioteca, quants llibres es deixarien en préstec?
x1,5és lamitjanade lavariableX;per tant,y285llibres.
8.La creixent inclinació de la torre de Pisa ha generat nombrosos estudis sobre la seva futura estabilitat. En la taula següent es presenten les mesures de la seva inclinació entre els anys 1978 i 1982. Les dades d’inclinació s’han codificat com a dècimes de mil.límetre que depassen els 2,9 m, de manera que la inclinació l’any 1978, que va ser de 2,9667 m, apareix en la taula com a 667.
Any Inclinació Any Inclinació
19781979198019811982
667673688696698
19831984198519861987
713717725742757
X:«anys»;Y:«inclinació»
a) Creus que la inclinacio de la torre té una tendència lineal que augmenta amb el temps? Justifica’n la resposta.
xy 77,8r————————————
xy 2,8722827,38686
0,98903
Efectivament,existeixunatendèncialinealcreixent,jaquer1.
b) Calcula la recta de regressió de la inclinació sobre el temps.
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd183 183 18/2/08 11:16:34
184 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
77,8y707,6———(x1982,5) →
8,25
→ y 9,43x17987,976
c) El 1918 la inclinació de la torre era de 2,9071 m. Quin seria el valor ajustat segons la recta que has obtingut en l’apartat anterior? A què és deguda la diferència entre els dos valors?
x1918 →
→ y9,43191817987,976
98,76499
Lainclinacióestimadaseriade2,9099m.Ladiferènciaentreelsdosvalorsesprodueixperquèl’any1918ésmoltméspe-titqueelprimeranyqueapareixalataula,pertant,elvalorestimatnoésfiable.
9.Durant un mes s’han observat les despeses de manutenció i l’ingrés total de 6 famílies, i els resultats obtinguts són:
Despesesenmilersd’ Ingressosenmilersd’
1,51,82,42,83,23,2
2,43,23,64,24,44,5
X:«ingresos»;Y:«despeses»
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
xy 0,4769r——————————— 0,97867
xy 0,74480,65426
b) Determina l’equació de la recta de regressió que expressa les despeses en funció dels ingressos.
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
0,4769y2,483
(
————(x3,716
(
) → 0,55472
→ y 0,86x0,712
c) Quines despeses tindria una família amb un ingrés mensual de 3800 ?
x3,8 → y0,863,80,712
2,6milersd’
10.Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució bidimensional són:
2 26 y —x ——, la de Y sobre X. 3 3
x 0,5y 7, la de X sobre Y.
a) Calcula la mitjana de cada variable.
2 26 y —x—— 6 3 3
x 0,5y7
2 1 26y ——y7——
3 2 3 1 14 26
y—y———— 3 3 3 2
—y 4 → y6 3 1
x —67 2
374 → x4
b) Troba el coeficient de correlació lineal.
xy xyr √
————
x
2 y
2
2 1 1 √
—— √
—
3 2 3
0,57735
c) Quina de les dues variables té una desviació típica més gran? Justifica’n la resposta.
xy 2 —— — a x
2 3 4———————— →
c xy 1 3 —— —
y
2 2
y
2 4 y 4→ ——— → ——√
—
x
2 3 x 3
1,1547 d’on:
xy
d) Calcula el valor de n tal que x ny.
y——1,1547 → x
x 1→ —————0,866 →
y 1,1547
→ x0,866y
Pertant:n0,866
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd184 184 18/2/08 11:16:35
185MATEMÀTIQUES 1 la
11.En una mostra de dotze individus s’han estudiat dues variables, de les quals sabem que:
x 6 , x √ 6 ,
12
i1
yi2 380
Al mateix temps, se sap que l’equació de la recta de regressió que expressa X en funció de Y és:
x 0,89y 1,55
Calcula:
a) La mitjana i la variància de la variable Y.x6 → 60,89y1,55 →
4,45→ 0,89y4,45 → y———5 →
0,89
→ y5
yi
2 380
y
2——y2——256,6
(
n 12
b) La covariància i el coeficient de correlació lineal.
xy xyc—— → 0,89—— →
y
2 y
2
→ xy0,89y
20,896,6
(
5,93
(
xy 5,93(
r———————— 0,93814 xy √ 6√ 6,6
(
c) L’equació de la recta de regressió de Y sobre X. xy
yy———(xx) →
x
2
5,93
(
→ y5———(x6) 6
y5 0,98
(
(x6) →
→ y5 0,98
(
x5,93
(
y0,98
(
x0,93
(
Avaluació
1. Si estudiem les qualificacions de matemàtiques i educació física dels alumnes d’un centre obtenim un coeficient de correlació entre dues variables igual a 0.02. Com interpretaries aquest resultat?
El signe negatiu indica una posició decreixent dels punts, elvalortantpropera0indicamoltpocacorrelaciólineal.
2. Explica què significa distribució bidimensional, posa’n un exemple.
Respostaoberta.
3. La mitjana dels pesos d’una població és de 65 kg i la de les altures és de 170 cm, les desviacions típiques són de 5 kg i 10 cm, respectivament, i la covariància d’ambdues variables és de 40. Calcula la recta de regressió dels pesos respecte de les altures. Què pots preveure que pesarà un individu de 180 cm d’alçada?
y0,4x3
Perunindividude180cmd’alçadaelpesseria69kg.
4. En 4 viatges del trajecte BarcelonaGirona un conductor ha observat les velocitats mitjanes i els consums de gasolina següents:
Velocitatx(km/h) 105 117 90 120Consumy(L/100km) 6,5 7,5 6 8,2
a) Calcula les variàncies de les variables x i y, la covariància i el coeficient de correlació. Escriu les expressions algèbriques corresponents.
108 13,63827,05 1,6295
9,60,9497
x
y
xy
XY
r
= σ == σ =
σ ==
11,81100,8559
b) Escriu la recta de regressió de y respecte x.
y0,00688x0,382
c) Quin consum es podria esperar d’un viatge fet a 130 km/h de mitjana?
D’unviatgefeta130km/hdemitjanaespodriaesperarunconsumde8,562Lcada100km.
jUnitat15.Probabilitat
Activitats 1.Escriu l’espai de successos S associat a l’experiment aleatori
E: «llançar una moneda enlaire».
S{{c},{x},{c,x},∅}
2.Utilitzant nombres combinatoris, demostra que el nombre de successos associats a un experiment aleatori de 3, 4 i n elements és, respectivament, 8, 16 i 2n.
3 3 3 3 0 1 2 3
13318
4 4 4 4 4 0 1 2 3 4
1464116
n n n n n... 0 1 2 n1 n
(11)n2n
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd185 185 18/2/08 11:16:36
186 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
3.Es consideren els successos A: «obtenir un nombre primer» i B: «obtenir un nombre més petit que 10» de l’experiment aleatori E: «treure una bola d’una urna amb 20 boles numerades de l’1 al 20».
a) Defineix A i B per extensió.
A{2,3,5,7,11,13,17,19}
B{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) Troba els successosA,
B, A B, A B,
A B,
A B,A B i B A
A{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20}
B{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
AB{1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,17,19}
AB{2,3,5,7}
AB{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,
18,20}
AB{2,3,5,7,10,11,12,13,14,15,16,17,18,
19,20}
AB{11,13,17,19}
BA{1,4,6,8,9}
c) Defineix els successos de l’apartat b) per comprensió.
A:«obtenirunnombrecompost»
B:«obtenirunnombremajorque9»
AB:«obtenirunnombreprimeroméspetitque10»
AB:«obtenirunnombrecompostoméspetitque10»
AB:«obtenirunnombrecompostoméspetitque10»
AB:«obtenirunnombreprimeromajorque9»
AB:«obtenirunnombreprimeromajorque10»
BA:«obtenirunnombreméspetitque10inoprimer»
4. Justifica raonadament:
a) A B A i A B B SemprequeesverificaABesverificaA iesverificaB,
aleshoresABAiABB.
b) A A B i B A B SemprequeesverificaAesverificaAB,aleshoresAA
B,isemprequeesverificaBesverificaAB;pertant,BAB.
c) A B A B SemprequeesverificaABesverificaAiesverificaB,ales-
horestambéesverificaAB;pertant,ABAB.
d) A A, A i B Qualsevolsuccèsestàinclosensímateix.Elsuccèsimpossi-
bleestainclòssempreenqualsevolsuccès.
5.Demostra que A B i B A constitueixen successos incompatibles.
(AB)(BA)(AB)(B
A)
A(BB)
AA
A
6. Justifica mitjançant diagrames les igualtats següents:
a) A B A (A B) A B
b) B A B (A B) A B
7.Demostra gràficament la propietat 7 de les operacions amb successos.
8.Si A i B són dos successos tals que A B, justifica que:
a) A B A
b) A B B
c) B
A
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd186 186 18/2/08 11:16:38
187MATEMÀTIQUES 1 la
d) A B
e) A B
9.En l’experiment aleatori E: «llançar dos dardells a la diana», considerem els successos A: «fa diana amb el primer» i B «fa diana amb el segon». Expressa en funció d’A i B els successos:
a) Fa diana amb el primer, però no amb el segon.
AB
b) Fa diana amb algun dels dos.
AB
c) Falla tots dos.A
B
d) Fa diana amb només un.
(AB)(BA)
10.En l’experiment aleatori «extreure una carta d’una baralla de 48 cartes», calcula la probabilitat dels successos següents:
a) Treure una carta que sigui un nombre primer.
A:«extreureunacartaquesiguiunnombreprimer» → Card(A)20.
20 5p(A)————
48 12
b) Que la carta que extraiem no sigui un as.
B:«extreureunacartaquenosiguias» → Card(B)44.
44 11p(B)————
48 12
c) Que sigui una figura d’espases.
C:«extreureunafigurad’espases» → Card(C)3.
3 1p(C)————
48 16
d) Treure una carta de copes.
D:«extreureunacartaquesiguicopes»→ Card(D)12.
12 1p(D)———
48 4
11.D’una classe on hi ha 20 noies i 15 nois escollim dos alumnes a l’atzar.
Calcula la probabilitat que:
a) Siguin dues noies.
A:«quesiguinduesnoies»
2019 ——— C20,2 2 1019
p(A)—————————— C35,2 3534 3517 ——— 2
219 38—————
717 119
b) Siguin un noi i una noia.
B:«quesiguinunnoiiunanoia»
2015 2015 2015p(B)——————————
C35,2 3534 3517 ——— 2
203 60—————
717 119
c) Entre els escollits hi hagi un alumne o una alumna determinats.
C:«quehihagil’alumnex»
34 34 2p(C)—————————
C35,2 3534 35 ——— 2
12.A la cua de la taquilla d’un cinema hi ha 14 persones. Quina és la probabilitat que dues persones determinades estiguin juntes?
A:«queduespersonesdeterminadesestiguinjuntes»
13P2 132p(A)——————
P14 14!
132 1————————
141312! 712!
13.Calcula la probabilitat que quan girem una fitxa de dòmino s’obtingui:
a) Un nombre de punts més gran que 8.
A:«obtenirmésde8punts»
6 3p(A)————
28 14
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd187 187 18/2/08 11:16:39
188 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
b) Un nombre de punts que sigui múltiple de 3.
B:«obtenirunnombredepuntsquesiguimúltiplede3» 9
p(B)—— 28
c) Un nombre de punts que sigui més gran que 8 i múltiple de 3.
3CAB → p(C)——
28
d) Una fitxa doble.
D:«obtenirunafitxadoble»
7 1p(D)———
28 4
14.Llancem dos daus enlaire. Calcula la probabilitat d’obtenir:
a) Suma de punts igual a 10.
A:«obtenir10punts»
3 1p(A)————
36 12
b) Suma de punts senars.
B:«obtenirunnombresenardepunts»
18 1p(B)———
36 2
c) Almenys un 6 en un dels daus.
C:«obteniralmenys6puntsenundau»
11p(C)——
36
d) Només un 6 en un dau.
D:«obtenirnomésun6enundau»
10 5p(D)————
36 18
15. Es tira una moneda enlaire 4 vegades. Quina és la probabilitat que surtin 4 cares? I que surtin 2 cares i 2 creus? I almenys 2 creus?
A:«obtenir4cares»
1p(A)——
16
B:«obtenir2caresi2creus»
6 3p(B)———
16 8
C:«obteniralmenys2cares»
11p(C)——
16
16.Donats dos successos A i B, tals que
3 1 5p(A) —, p(B) — i p(A B) —,
8 2 8
calcula:
p(A B), p(A), p(
B), p(
A
B), p( A B),
p(A B) i p(A
B).
p(AB)p(A)p(B)p(AB)
p(AB)p(A)p(B)p(AB)
3 1 5 2 1 —————
8 2 8 8 4
3 5p(
A)1p(A)1——
8 8
1 1p(
B)1p(B)1——
2 2
p(A
B)p(
AB)1p(AB)
5 31——
8 8
1 3p(
AB)1p(AB)1——
4 4
1 1 1p(
AB)p(B)p(AB)———
2 4 4
3 1 1p(A
B)p(A)p(AB)———
8 4 8
17.Sabem que la probabilitat que demà plogui és 0,4; que plogui demà passat és 0,3 i que plogui cadascun dels dos dies, 0,2.
p(A)0,4,p(B)0,3ip(AB)0,2
Calcula la probabilitat que:
a) Plogui, com a mínim, un dels dos dies.
p(AB)p(A)p(B)p(AB)
0,40,30,20,5
b) No plogui cap dia.
p(A
B)p(
AB)1p(AB)
10,50,5
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd188 188 18/2/08 11:16:41
189MATEMÀTIQUES 1 la
c) Només plogui demà.
p(AB)p(A)p(AB)
0,40,20,2
d) Plogui només un dels dos dies.
p[(AB)(
AB)]
p(AB)p(
AB)
p(A)p(AB)p(B)p(AB)
p(A)p(B)2p(AB)
0,40,320,20,3
18.Un dau està trucat, de manera que les probabilitats d’obtenir les diferents cares són proporcionals als nombres que hi figuren.
SiguiSi{i},i1,2,3,4,5,6
Tenimque:
p(S6)6p(S1),p(S5)5p(S1),
p(S4)4p(S1),p(S3)3p(S1),
p(S2)2p(S1)
ipertant:
p(S6)p(S5)p(S4)p(S3)p(S2)
p(S1)6p(S1)5p(S1)4p(S1)
3p(S1)2p(S1)p(S1)
121p(S1)1 → p(S1)——
21
Si llancem el dau una vegada, calcula la probabilitat de:
a) Cadascun dels successos elementals.
1 2p(S1)——,p(S2)——,
21 21 3 1 4
p(S3)———,p(S4)——, 21 7 21 5 6 2
p(S5)—— i p(S6)——— 21 21 7
b) Obtenir un nombre més gran que 4.
B:«obtenirmésde4punts»
5 2 11p(B)p(S5)p(S6)—————
21 7 21
c) Aconseguir un nombre senar.
C:«obtenirunnombresenardepunts»
p(C)p(S1)p(S3)p(S5)
1 1 5 9 3————————
21 7 21 21 7
19.Llancem dos daus i considerem el nombre de punts de les cares superiors.
Calcula la probabilitat dels successos següents:
a) A: «el nombre de punts de les dues cares superiors suma 7».
6 1p(A)———
36 6
b) B: «el producte dels nombres de les cares superiors és 12».
4 1p(B)———
36 9
c) A B; A B; A;
B.
2 1p(AB)————;
36 18
8 2p(AB)———;
36 9
1 5p(
A)1p(A)1——;
6 6
1 8p(
B)1p(B)1——
9 9
20.Demostra que, efectivament, la independència de successos és simètrica.
SiBésindependentdeA → p(B/A)p(B)
D’on: p(AB)p(A)p(B/A)p(A)p(B)
itambé p(AB)p(BA)p(B)p(A/B) 6
→ p(A)p(B)p(B)p(A/B)
Pertant:
p(A/B)p(A) →AésindependentdeB
21.Sabent que: p(A) 0,3; p(
B) 0,6 i p(A/B) 0,32
calcula: p(A B), p(A B), p(A/
B), p(B/A)
p( A B) i p(
B/
A)
p(AB)p(BA)p(B)p(A/B)
0,40,320,128
p(AB)p(A)p(B)p(AB)
0,30,40,1280,572
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd189 189 18/2/08 11:16:43
190 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
p(AB) p(A)p(AB)
p(A/B)—————————————
p(B) p(
B)
0,30,128 0,172—————————0,287
0,6 0,6
p(AB) 0,128p(B/A)————————0,427
p(A) 0,3
p(
AB)1p(AB)
10,5720,428
p(B
A) p(
BA)
p(B/
A)——————————
p(A) p(
A)
p(
AB) 0,428————————0,61143
p(A) 0,7
22.Indica la probabilitat de la unió de dos successos independents.
p(AB)p(A)p(B)p(AB)
p(A)p(B)p(A)p(B/A)
p(A)p(B)p(A)p(B)
23.Calcula la probabilitat p(B/A) en aquests casos:
a) A B
AB → ABA →→ p(AB)p(A)
D’on: p(AB)
p(B/A)—————1 p(A)
b) A B
AB → p(AB)0
D’on: p(AB)
p(B/A)—————0 p(A)
24.Tenim una caixa amb 5 cargols de capçal rodó, dos dels quals són defectuosos, i 8 cargols de capçal quadrat, dels quals només 3 són correctes. Escollim un cargol a l’atzar. Calcula la probabilitat:
Q:«obteniruncargoldecapçalquadrat»
D:«obteniruncargoldefectuós»
a) Que sigui de capçal quadrat, si sabem que és correcte. 3 —— p(Q
D) 13 1
p(Q/D)—————————
p(D) 6 2
—— 13
b) Que sigui defectuós, si sabem que és de capçal rodó.
2 —— p(D
Q) 13 2
p(D/Q)—————————
p(Q) 5 5
—— 13
25.Disposem de 2 bosses amb boles blanques, vermelles i negres. En una bossa hi ha 3 boles blanques, 4 vermelles i 5 negres. L’altra bossa conté 5 boles blanques, 7 vermelles i 2 negres. Si agafem una bola de cada bossa, quina probabilitat hi ha que siguin del mateix color?
B:«obtenirbolablanca»
V:«obtenirbolavermella»
N:«obtenirbolanegra»
S:«obtenirlesduesbolesdelmateixcolor»
p(S)
p(B1B2)p(V1V2)p(N1N2)
p(B1)p(B2)p(V1)p(V2)
1 5 1 1p(N1)p(N2)—————
4 14 3 2
5 1———
12 7
5 1 5 53———————
56 6 84 168
26.A les últimes eleccions municipals, a la ciutat A els grocs han obtingut el 20% dels vots; els verds el 30%, i els grisos el 50%. A la ciutat B, els percentatges respectius han estat: 40%, 45% i 15%. Escollim una de les dues ciutats a l’atzar i una persona que hi visqui. Quina probabilitat hi ha que aquesta persona hagi votat el partit groc? Suposant que la persona escollida hagi votat efectivament el partit groc, quina probabilitat hi ha que visqui a la ciutat A?
A: «escollirlaciutatA»
B: «escollirlaciutatB»
G: «escollirunapersonaquehagivotatelpartitgroc»
p(G)p(AG)p(BG)
p(A)p(G/A)p(B)p(G/B)
0,50,20,50,40,10,20,3
p(A)p(G/A) 0,50,2p(A/G)———————————
p(G) 0,3
0,1———0,3
(
0,3
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd190 190 18/2/08 11:16:44
191MATEMÀTIQUES 1 la
27.Un joier compra els rellotges a dues cases proveïdores. La primera li serveix el 60% dels rellotges, dels quals el 0,4% són defectuosos. La segona li proporciona la resta, essentne defectuosos l’1,5%. Un dia, el joier, quan es disposa a vendre un rellotge, observa que no funciona. Troba la probabilitat que el rellotge procedeixi de la segona casa proveïdora. Si el rellotge venut funcionés correctament, troba la probabilitat que provingui del primer proveïdor.
A: «escollirunrellotgedelaprimeracasaproveïdora»
B: «idemdelasegonacasaproveïdora»
D: «escollirunrellotgedefectuós»
p(B) p(D/B)
p(B/D)—————————————— p(A)p(D/A)p(B)p(D/B)
0,40,015———————————
0,60,0040,40,015
0,006———0,7143
0,0084
p(A)p(D/A)
p(A/D)——————————————
p(A)p(D/A)p(B)p(
D/B)
0,60,996 0,5976——————————————0,6027
0,60,9960,40,985 0,9916
28.En un institut s’organitza una excursió a una estació d’esquí. El 65% dels alumnes viatjarà en un autobús gran i la resta ho farà en un de petit. Es coneix que el 90% dels alumnes que viatja a l’autobús petit sap esquiar, mentre que dels alumnes que viatgen a l’autobús gran saben esquiar el 60%. S’escull un o una alumne/na a l’atzar i resulta que no sap esquiar. Quina probabilitat hi ha que viatgi a l’autobús petit? I si sap esquiar, quina probabilitat hi ha que viatgi al gran?
G:«escollirunalumnedel’autobúsgran»
S:«escollirunalumnequesapesquiar»
0,6 S
0,65 G
0,4S
0,9 S
0,35G
0,1S
p(G)p(
S/
G)
p(G/
S)——————————————
p(G)p(S/G)p(
G)p(
S/
G)
0,350,1 0,035——————————————0,1186
0,650,40,350,1 0,295
p(G)p(S/G)p(G/S)——————————————
p(G)p(S/G)p(G)p(S/
G)
0,650,6 0,39——————————————0,553
0,650,60,350,9 0,705
Puntfinal
Aplicant els continguts de la probabilitat estudiats en aquesta unitat, calcula les probabilitats dels successos plantejades pel cavaller De Méré a Blaise Pascal, és a dir, la probabilitat d’obtenir almenys un sis quan llancem un dau quatre vegades, i la probabilitat d’obtenir almenys un doble sis quan llancem dos daus 24 vegades.
Enllançarundauquatrevegades,esdefineix:
A: «obteniralmenysunsis»
453652451p(A)———————————
64
500150201 671—————————————0,5177
1296 1296
Enllançardosdaus24vegadesesdefineix:
B:«obteniralmenysundoblesis»
35p(B)1——
24
10,50860,4914 36
p(A)p(B)
Activitatsfinals
1.Si A i B són dos successos tals que p(A) 0,4; p(
A
B) 0,9 i p(A B)0,8; A i B són incompatibles?
Són independents? Justifica ambdues respostes.
p(A
B)p(
AB)0,9 → p(AB)
1p(
AB)10,90,1
Comque:
p(AB)0 → AB → AiB
nosónincompatibles.
p(AB)p(A)p(B)p(AB) →→ p(B)p(AB)p(AB)p(A)
0,80,10,40,5
p(A)p(B)0,40,50,2 6 p(AB)0,1
p(AB)p(A)p(B) → AiB
nosónindependents.
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd191 191 18/2/08 11:16:46
192 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
2.Suposem que A i B són dos successos independents tals que la probabilitat que succeeixi algun dels dos és de 0,7 i la probabilitat que succeeixin tots dos alhora és de 0,2. Calcula p(A) i p(B).
p(AB)p(A)p(B)p(AB) →→ p(A)p(B)p(AB)p(AB)
0,70,20,9
Enserindependents:
p(AB)p(A)p(B) →→ p(A)p(B)0,2
p(A)p(B)0,9 6 p(A)p(B)0,2
p(A)0,5,p(B)0,4 o
p(A)0,4,p(B)0,5
3.Dels successos A i B sabem que
1p(
A
B) —;
5 2 3
p(A) —; p(B) —
3 4
Calcula:
a) p(A B)
p(AB)1p(
AB)
1 41p(
A
B)1——
5 5 b) p(A B)
p(AB)p(A)p(B)p(AB) →
→ p(AB)
p(A)p(B)p(AB)
2 1 4 7—————
3 4 5 60 c) p(B/A)
7 —— p(AB) 60 7
p(B/A)—————————— p(A) 2 40 — 3 d) p(A/B)
p(AB)p(A/B)—————
p(B)
7 —— 60 7
————— 1 15 — 4
e) p(A/B)
p(A/B)1p(A/B)
7 81————
15 15 f) p(A/
B)
p(AB)
p(A/B)—————
p(B)
2 7 ——— p(A)p(AB) 3 60
——————————————— p(
B) 3
— 4 11 —— 20 11
————— 3 15 — 4
4.Demostra que, si A i B són dos successos independents, també ho són els successos
A i
B.
p(A
B)p(
AB)1p(AB)
1[p(A)p(B)p(AB)]
1[p(A)p(B)p(A)p(B)]
1{1p(A)1p(
B)
[1p(A)][1p(
B)]}
p(A)1p(
B)[1p(
A)][1p(
B)]
p(A)1p(
B)1p(
A)p(
B)
p(A)p(
B)p(
A)p(
B)
5.Calcula la probabilitat que en llançar quatre vegades un mateix dau la suma dels punts obtinguts sigui diferent de 4 i de 24.
A:«obtenirunasumadepuntsiguala4o24»
A{(1,1,1,1),(6,6,6,6)}
2 2 1p(A)—————— →
64 1296 648
1 647→ p(
A)1p(A)1————
648 648
6. En una sala en què hi ha 20 persones, 14 de les quals llegeixen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan totes dues coses. Si seleccionem dues persones a l’atzar, calcula la probabilitat que:
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd192 192 18/2/08 11:16:47
193MATEMÀTIQUES 1 la
a) Totes dues prenguin cafè i no llegeixin el diari.
A:«duespersonesprenguincafèinollegeixineldiari»
C2,2 1p(A)———————
C20,2 2019 ——— 2
1 1—————
1019 190
b) Totes dues només facin una de les dues coses.
B:«lesduesnomésfacinunacosa»
C6,2C2,262p(B)—————————
C20,2
65 ——112 2 15112
—————————————— 1019 190
28 14————
190 95
c) Cap de les dues no faci res.
C:«capdelesduesnofacires»
43 —— C4,2 2 23
p(C)——————————— C20,2 1019 1019
3 3—————
519 95
d) Totes dues facin ambdues coses.
D:«lesduesfacinlesduescoses»
87 —— C8,2 2 47
p(D)——————————— C20,2 1019 1019
27 14—————
519 95
7.Determina la probabilitat d’obtenir a la Loteria primitiva 6 encerts, 5 encerts i el complementari, i 4 encerts jugant una sola combinació de 6 nombres.
A:«6encerts» 1 1
p(A)———————— C49,6 13983816
B:«5encertsielcomplementari»
C6,51 6 1p(B)————————————
C49,6 13983816 2330636
C:«4encerts»
C6,4C43,2 13545 645p(C)——————————————
C49,6 13983816 665896
8.Calcula la probabilitat que en llançar un dau la suma dels punts de les cares visibles sigui més gran que 18.
A: «sumadepuntsdelescaresvisiblessiguimésgranque18»
B: «puntsdelacaranovisiblesigui1o2» → B{1,2}
2 1p(A)p(B)——
6 3
9.D’una caixa que conté 5 boles numerades de l’1 al 5:
a) Extraiem una bola rere l’altra fins a treureles totes. Quina probabilitat hi ha que surtin en l’ordre natural?
A:«quesurtinenordrenatural»
1 1 1p(A)—————
P5 5! 120 b) S’extreu una bola i es retorna a la caixa, i es repeteix
això cinc vegades. Quina és ara la probabilitat que surtin en l’ordre natural? Quina probabilitat hi ha que surti les cinc vegades la mateixa bola?
1 1 1p(A)———————
VR5,5 55 3125
B:«quesurtilamateixabola»
5 5 1 1p(B)———————
VR5,5 55 54 625
10.Cinc persones es troben a l’interior d’un ascensor situat a la planta baixa d’un edifici que consta de planta baixa i sis pisos. Suposant que totes tenen la mateixa probabilitat de baixar en qualsevol dels sis pisos, calcula les probabilitats següents:
a) Que totes les persones baixin al mateix pis.
A: «quetotesbaixinenelmateixpis»
1 6 1p(A)6—5
—— 6 65 64
1———0,000772
1296
b) Que no baixi ningú als tres primers pisos.
B: «quenobaixiningúalstresprimerspisos»
5 5 5p(B)—5
—5
—5
6 6 6
5—15
0,0649 6 c) Que als cinc primers pisos baixi una persona a cada pis.
C: «quebaixiunapersonaacadapisdelscincprimerspisos»
1 5 1 5 1 5p(C)——4
——3
——2
6 6 6 6 6 6
1 5 1 1 5————5
—10
0,0000207 6 6 6 6 6
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd193 193 18/2/08 11:16:49
194 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
11.Un estudiant s’ha preparat 22 temes d’un programa compost de 30 temes, dels quals surten 3 per sorteig. Calcula la probabilitat que:
a) Respongui correctament dos temes.
A: «responguicorrectament2temes»
2221 ——— 8 C22,2C8,1 2
p(A)——————————— C30,3 302928 ————— 32
11218 1132 66————————————
102914 529 145
b) No respongui correctament cap dels tres temes.
B: «noresponguicorrectamentcapdels3temes» 876 ———— C8,3 32
p(B)————————— C30,3 302928 ————— 32
87 2 2——————————
102914 529 145
12.a) Quan llancem dos daus, quina probabilitat hi ha d’obtenir un nombre de punts la suma dels quals sigui 9? I que la suma sigui múltiple de 3?
A:«sumadepuntsiguala9»
4 1p(A)———
36 9
B:«sumasiguimúltiplede3»
12 1p(B)———
36 3
b) Si en llançar dos daus ha sortit un nombre de punts la suma dels quals és un múltiple de 3, calcula la probabilitat que la suma sigui 9.
4 —— p(AB) 36
p(A/B)———————— p(B) 12 —— 36
4 1———
12 3
13.En una facultat universitària, el 25% dels estudiants ha suspès les matemàtiques, el 15% ha suspès la química i el 10% ha suspès totes dues assignatures. Si seleccionem un alumne o una alumna a l’atzar, determina la probabilitat que:
M:«hagisuspèslesmatemàtiques»
Q:«hagisuspèslaquimica»
1 3 1p(M)—, p(Q)——, p(MQ)——
4 20 10
a) Suspengui les matemàtiques, si ha suspès la química. 1 —— p(MQ) 10 2
p(M/Q)————————— p(Q) 3 3 —— 20
b) Suspengui la química, si ha suspès les matemàtiques. 1 —— p(MQ) 10 2
p(Q/M)————————— p(M) 1 5 — 4
c) Suspengui les matemàtiques o la química.
p(MQ)p(M)p(Q)p(MQ)
1 3 1 6 3—————————
4 20 10 20 10
14.Un automòbil, abans de sortir al mercat, se sotmet a tres controls de qualitat: mecànic, elèctric i de planxa. La probabilitat que fallin els controls és, respectivament, 0,02, 0,01 i 0,07. Si la fàbrica treu al mercat 500 cotxes cada any, quants automòbils sortiran amb algun defecte?
M:«quefallielcontrolmecànic»
p(M)0,02 → p( M)0,98
E:«quefallielcontrolelèctric»
p(E)0,01 → p( E)0,99
X:«quefallielcontroldeplanxa»
p(X)0,07 → p( X)0,93
S:«quefallialmenysundelscontrols»
p(S)p(M)p( E)p(
X)
p( M)p(E)p(
X)p(
M)p(
E)p(X)
p(M)p(E)p( X)p(M)p(
E)p(X)
p( M)p(E)p(X)p(M)p(E)p(X)
0,020,990,93
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd194 194 18/2/08 11:16:50
195MATEMÀTIQUES 1 la
0,980,010,930,980,990,07
0,020,010,930,020,990,07
0,980,010,070,020,010,07
0,0184140,0091140,067914
0,0001860,0013860,000686
0,0000140,097714
5000,09771448,85749automòbils
15.Disposem d’una moneda trucada, en la qual la probabilitat que surti cara és el doble de la probabilitat que surti creu; una caixa A amb 5 boles vermelles, 3 de blanques i 4 de grogues i una altra caixa B amb 4 boles vermelles, 2 de blanques i 6 de grogues. Llancem la moneda enlaire, si surt cara traiem 2 boles consecutivament de la caixa A, i si surt creu les traiem de la caixa B. Calcula la probabilitat que:
a) Surti creu quan llancem la moneda.
p(C)p(X)1 6 p(C)2p(X)
2p(X)p(X)1 → 3p(X)1 →
1 2→ p(X)—,p(C)—
3 3
b) Surtin dues boles del mateix color.
S:«lesduesbolesdelmateixcolor»
2 5 4 1 2p(S)————————
3 12 11 4 11
1 3 1 1 3———————
3 11 3 3 11
1 1 1 5—————— 6 11 2 11
2 5 1 1——————— 3 33 22 11
1 1 1 5——————— 3 11 66 22
2 19 1 1 19 1————————
3 66 3 3 99 9
30 10————
99 33
c) Surtin una bola blanca i l’altra groga.
T:«surtinunabolablancail’altragroga»
2 1 4 1 3p(T)———————
3 4 11 3 11
1 1 6 1 2——————— 3 6 11 2 11
2 1 1 1 1 1—————————— 3 11 11 3 11 11
2 2 1 2——————
3 11 3 11
2 1 2 2——————
3 3 11 11
d) Surtin una bola vermella i una altra blanca, en aquest ordre.
M: «surtinunavermellail’altrablanca,enaquestordre»
2 5 3 1 1 2p(M)—————————
3 12 11 3 3 11
5 2 19——————
66 99 198
16.Un ordinador personal està contaminat per un virus i està carregat amb dos programes antivirus P1 i P2, que actuen independentment, l’un després de l’altre. El programa P1 detecta la presència del virus amb una probabilitat de 0,9 i el programa P2 el detecta amb una probabilitat de 0,8. Quina probabilitat hi ha que no es detecti el virus?
A:«noesdetectielvirus» → AP1
P2
p(A)p(P1
P2)p(
P1)p(
P2)
0,10,20,02
17.Disposem de dues caixes A i B. La caixa A conté 4 boles blanques i 2 boles negres i a la caixa B hi ha 3 boles blanques i 5 de negres. Escollim una caixa a l’atzar i traiem una bola, a continuació, la introduïm a la caixa no escollida i traiem una altra bola d’aquesta caixa. Calcula la probabilitat que:
a) La segona bola sigui negra.
S:«lasegonabolasiguinegra»
1 2 5 1 2p(S)—————
2 3 9 3 3
3 2 5 3———— 8 7 8 7
1 10 2 3 15———————— 2 27 9 28 56
1 1463 1 209 209—————————
2 1512 2 216 432
b) La primera sigui negra i la segona blanca.
T: «laprimerasiguinegrailasegonablanca»
1 1 1 5 4p(T)————— 2 3 3 8 7
1 1 5 1 59 59—————————
2 9 14 2 126 252
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd195 195 18/2/08 11:16:52
196 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
c) Totes dues boles siguin blanques.
D: «lesduesbolessiguinblanques»
1 2 4 3 5p(D)—————
2 3 9 8 7
1 8 15—————
2 27 56
1 853 853———————
2 1512 3024
18.Es realitza un sorteig entre tres alumnes. Per establirne el guanyador, s’escriu en un paper la paraula premi i es deixen dos paperets en blanc. Què és preferible, escollir primer, segon o tercer?
Si:«treurepremiescollitenellloci»,i1,2,3
1 1r → p(S1)— 3
2n → p(S1S2)
2 1 1 p(
S1)p(S2/
S1)———
3 2 3
3r → p(S1
S2S3)
p(
S1
S2)p(S3/(
S1
S2))
p(
S1)p(
S2/
S1)p(S3/(
S1
S2))
2 1 1 ——1— 3 2 3
Noimporta,jaquelaprobabilitatéslamateixa.
19.a) Calcula la probabilitat que la suma dels punts obtinguts sigui 4 quan llancem un dau, quan en llancem 2, quan en llancem 3 i, finalment, quan en llancem 4.
A:«obtenir4punts»
1 Enllançarundau:P(A)— 6
3 1 Enllançardosdaus:P(A)———— 36 12
3 1 Enllançartresdaus:P(A)———— 216 72
1 Enllançarquatredaus:P(A)——— 1296
b) Un senyor ha llançat un nombre desconegut de daus, entre 1 i 4, i la suma dels punts obtinguts ha estat 4. Quina probabilitat hi ha que hagi llançat dos daus?
B:«hallançatdosdaus»
p(AB)p(B/A)—————
p(A) 1 —— 12
—————————————— 1 1 1 1 ———————— 6 12 72 1296 1 —— 12 1296 108
—————————— 343 12343 343 ——— 1296
20.D’una cistella en què hi ha 20 pomes, 4 de les quals estan macades, en cau una en una altra cistella en què hi havia 6 pomes macades i 18 en bon estat. Escollim una poma de la segona cistella i no està macada. Quina probabilitat hi ha que la poma que ha caigut de la primera cistella fos bona?
B: «quesiguiunapomabona»
p(B1)p(B2/B1)p(B1/B2)————————————––––––— p(B1)p(B2/B1)p(
B1)p(B2/
B1)
4 19 76 —— —— 5 25 125
————————————————— 4 19 1 18 76 18 —— —— ———— 5 25 5 25 125 125
76 —— 125 76 38
—————— 94 94 47 —— 125
21.En un institut el 65% dels alumnes són noies. El 10% dels nois no practica cap esport, mentre que el 70% de les noies fa esport. Escollim un o una alumne/na a l’atzar i resulta que fa esport. Quina probabilitat hi ha que sigui noia? I que sigui noi si no fa esport?
S:«quel’alumneescollitfaciesport»
N:«quesiguinoia» p(N)p(S/N)
p(N/S)—————————————— p(N)p(S/N)p(
N)p(S/
N)
0,650,7 0,455——————————————0,590
(
0,650,70,350,9 0,77
p(N)p(
S/
N)
p(N/
S)——————————————
p(N)p(
S/
N)p(N)p(
S/N)
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd196 196 18/2/08 11:16:53
197MATEMÀTIQUES 1 la
0,350,1——————————
0,350,10,650,3
0,035————0,152174
0,23
22.Disposem de tres monedes. La primera té dues cares; a la segona la probabilitat de sortir cara i de sortir creu és la mateixa, i a la tercera la probabilitat que surti cara és del 30%. S’escull una d’aquestes tres monedes a l’atzar i es llança enlaire. Sabent que ha sortit cara, calcula la probabilitat que la moneda escollida hagi estat la primera.
p(M1/C)
p(M1)p(C/M1)——————————————————————
p(M1)p(C/M1)p(M2)p(C/M2)p(M3)p(C/M3)
1 —1 3
—————————————— 1 1 1 1 3 —1————— 3 3 2 3 10
1 1 — — 3 3 5
———————————— 1 1 1 3 9 ———— — 3 6 10 5
23.En una determinada fàbrica d’electrodomèstics s’ha detectat que un de cada 100 frigorífics té un defecte al sistema de congelació. Per solucionar el problema, es posa en marxa un dispositiu per poder detectar aquest defecte abans que el frigorífic surti al mercat. No obstant això, aquest dispositiu no és fiable del tot, concretament, si el frigorífic té el defecte, el dispositiu el detecta en el 95% dels casos, mentre que si no el té, el dispositiu el dóna com a defectuós en un 2% de les vegades. Si el dispositiu de control indica que un frigorífic és defectuós, quina probabilitat hi ha que el frigorífic no tingui cap defecte?
D:«quesiguidefectuós»
S:«quedetectieldefecte»
p(D)p(S/
D)
p(D/S)——————————————
p(D)p(S/
D)p(D)p(S/D)
0,990,02———————————
0,990,020,010,95
0,0198————0,675768
0,0293
24.En una població, el 30% dels habitants pateix una malaltia. Es realitza una prova per diagnosticarla i s’anomenen A i B els dos únics resultats possibles de la prova. Se sap que si la prova es fa a un individu que té la malaltia, la probabilitat que el resultat sigui A és del 90%, però si es fa a un individu sa, la probabilitat que el resultat sigui A és del 5%.
M:«quetinguilamalatia»
a) Es fa la prova a un individu seleccionat a l’atzar. Quina probabilitat hi ha que el resultat sigui B?
p(B)p(MB) p(MB)
p(M)p(B/M)p(M)p(B/
M)
0,30,10,70,95
0,030,6650,695
b) Es fa la prova a una persona i s’obté com a resultat B. Quina probabilitat hi ha que no tingui la malaltia?
p(MB)
p(M/B)—————
p(B) p(
M)p(B/
M) 0,70,95
———————————— p(B) 0,695
0,665———0,95683
0,695
Avaluació
1. D’una baralla espanyola de 48 cartes en traiem una a l’atzar. Són independents els esdeveniments “treure un rei” i “treure una espasa”? Raona la resposta.
p(rei)4 148 12
=
p(espasa)12 148 4
= → p(rei)·p(espasa) p(rei ∩ espasa)
Sí,elsdosesdevenimentssónindependents.
p(rei ∩ espasa)148
2. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 4 de negres i 2 de vermelles. En traiem 3 consecutivament, i retornem cada vegada la bola a la urna abans de treure la següent. Calcula la probabilitat que almenys dues siguin blanques
Duesbolesblanquesenspodensortir:bbx;bxb;xbb.
Tresbolesblanquesnoméspodenaparèixerd’unamanerabbb
p(2blanquesU3blanques)p(2blanques)p(3blanques)
4 4 6 4 4 4 288 64 352
3 · · · · 0,35210 10 10 10 10 10 1000 1000 1000
⋅ + = + = =
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd197 197 18/2/08 11:16:54
198 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
3. Un producte està format per tres parts A, B i C. En el procés de fabricació s’ha comprovat que la probabilitat que aparegui un defecte a A és 0,03, un defecte a B és 0,02 i un defecte a C és 0,01. Si sabem que els tres esdeveniments són independents, calcula la probabilitat que un producte elegit a l’atzar no tingui cap dels defectes.
DA:esdevenimenttenirundefecteenA
p(DA)0,03i ( )Ap D 0,97
DB:esdevenimenttenirundefecteenB
p(DB)0,02i ( )Bp D 0,98
DC:esdevenimenttenirundefecteenC
p(DC)0,01i ( )cp D 0,99
( )A B Cp D D D∩ ∩0,97·0,98·0,990,9411
4. En una cadena de muntatge hi ha una etapa on 3 robots A, B i C solden peces. La probabilitat que la soldadura sigui defectuosa i el percentatge de peces que solda ens la dóna la taula següent:
Robots Probabilitatdesoldaduradefectuosa
Pecesquesoldaelrobot
A 0,002 18%B 0,005 42%C 0,001 40%
Quin és el percentatge de soldadures defectuoses? Si escollim una peça i és defectuosa en la soldadura, quina és la probabilitat que l’hagi soldat el robot C?
a)Sianomenemd:esdevenimentdefectuósenlasoldadura
p(d)p(A)·p(d|A)p(B)·p(d|B)p(C)·p(d|C)
0,18·0,0020,42·0,0050,40·0,0010,00286
b)AplicantelteoremadeBayes
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) |( | )
| | |0,40 0,001 0,0004
0,13990,4 0,001 0,18 0,002 0,42 0,005 0,00286
p C p d Cp C d
p C p d C p A p d A p B p d B
⋅= =
⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ = =
⋅ + ⋅ + ⋅
jUnitat16.Distribuciódeprobabilitat
Activitats 1.Llancem una moneda enlaire quatre vegades. Definim la va
riable aleatòria X com el nombre de cares que surtin.
a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distribució de la variable X.
1 1p[X0]——; p[X1]—;
16 4
3 1p[X2]—; p[X3]—;
8 4
1p[X4]——
16
0 six0
1 —— si0x1 16
5 —— si1x2
F(x)
5 16
11 —— si2x3 16
15 —— si3x4 16
1 six4
b) Representa gràficament la funció de probabilitat i la funció de distribució.
c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica.
1 3 1
5
i1
xipi—2—3—
4 8 4
1 1 3 3 14——————
16 4 4 4 4
8—2
4
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd198 198 18/2/08 11:16:56
199MATEMÀTIQUES 1 la
√
5
i1
x2
ipi2
1 3 1 1√
—4—9—16——4
4 8 4 16
1 3 9√
———14√ 11
4 2 4
2.En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire definim la variable aleatòria X com X(a, b) max(a, b), on (a, b) són els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció de probabilitat i calcula l’esperança matemàtica.
xi1 2 3 4 5 6
pi
1——36
1——12
5——36
7——36
1—4
11——36
1 1 5
6
i1
xipi1——2——3——
36 12 36
7 1 11 1 14——5—6—————
36 4 36 36 6
5 7 5 11 161————————4,472
(
12 9 4 6 36
3.La funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta està expressada en aquesta taula:
xi2 1 0 2 4
pi
1—8
1—6
1—8
1—4
1—3
a) Determina la funció de distribució i representala gràficament.
0 six 2
1 — si2x1 8
7 —— si1x0
F(x)
5 24
5 —— si0x2 12
2 — si2x4 3
1 six4
b) Troba l’esperança, la variància i la desviació típica.
1 1 1
5
i1
xipi 2—1—0—
8 6 8
1 12—4—
4 3
1 1 1 4 17 ——————1,416
(
4 6 2 3 12
2 5
i1
xi
2pi 2
1 1 1 (2)2—(1)2—02—
8 6 8
1 1 17 22—42———2
4 3 12
1 1 16 289 ——1————
2 6 3 144
719—— 4,99305
(
144
719 √ 719√
—————2,2345
144 12
4.La variable aleatòria discreta uniforme és aquella que pren valors 1, 2, 3… n, amb probabilitats:
1pi — i 1, 2, 3... n
n
Calcula la funció de distribució, l’esperança i la desviació típica d’aquesta variable.
0 six1
1 — si1x2 n
F(x)
5 ...
n1 ——— sin1xn n
1 sixn
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd199 199 18/2/08 11:16:58
200 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
1 1 1 1
n
i1
xipi 1—2—3—...n—
n n n n
1—(123...n)
n
1 n1 1 (n1)n n1—————————————
n 2 n 2 2
2 n
i1
xi
2pi 2
1 1 1 1 n1 12—22—32—...n2————2
n n n n 2
1 (n1)2
—(149...n2)———— n 4
1 [n(2n3)1]n (n1)2 n21—————————————————
n 6 4 12
n21 1 n21√
—————√
————
12 2 3
5.A partir de la variable aleatòria de l’exemple 2:
a) Comprova la segona propietat de la funció de probabilitat de la distribució binomial.
6
i0
p[Xi]p[X0]p[X1]
p[X2]p[X3]p[X4]
p[X5]p[X6]
15625 56
—————1 56 56
b) Defineix la funció de distribució.
0 six 0
4096 ——— si0x1 15625
2048 ——— si1x2 3125
2816 ——— si2x3
F(x)
5 3125
3072 ——— si3x4 3125
624 —— si4x5 625
15624 ——— si5x6 15625
1 six6
6.Calcula:
1 a) p[X 5], en B7, — 3
7 1 2p[X5]—5
—2
5 3 3
1 4 214 74 2821———————————
35 32 37 36 729
1 b) p[X 2], en B5, — 2
p[X2]p[X0]p[X1]p[X2]
5 1 5 1 5 1—5
—5
—5
0 2 1 2 2 2
1 5 10 16 24 1———————— ———
25 25 25 25 25 2
2 c) p[X 3], en B8, — 3
p[X3]1p[X3]
1(p[X0]p[X1]p[X2]p[X3])
8 1 8 2 1 8 2 11 —8
——7
—2—6
0 3 1 3 3 2 3 3
8 2 1—3—5
3 3 3
1 16 112 4481————————
38 38 38 38
577 577 59841——1——————
38 6561 6561
3 d) , 2 i , en B10, — 5
3np10—6
5
3 2 122npq10————
5 5 5
12 3√ npq √
——2√
—
5 5
7.Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Estableix la probabilitat d’obtenir:
1 X:«nombredecares» → B100,— 2
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd200 200 18/2/08 11:16:59
201MATEMÀTIQUES 1 la
a) 47 cares. 100 1
p[X47] —100
47 2
100 21000,0666
47
b) 35 creus. 100 1
p[X65] —100
65 2
100 21000,000864
35
c) Almenys 2 cares.
p[X2]1p[X2]
1(p[X0]p[X1])
100 1 100 11 —100
—100 0 2 1 2
1(21001002100)
1[2100(1100)]11012100
d) Cap creu. 100 1
p[X100] —100
2100 100 2
7,889·1031
8.Una família de Tarragona té cinc fills. Suposant que la probabilitat que un dels fills sigui nen és 0,45, calcula la probabilitat que siguin:
X:«númerodenens» → B(5;0,45)
a) Tres nens i dues nenes.
5p[X3] 0,4530,552
3
100,0911250,30250,27565
b) Menys nens que nenes.
p[X2]p[X0]p[X1]p[X2]
5 5 5 0,555 0,450,554 0,4520,553 0 1 2
0,05032840,2058890,3369094
0,59313
c) Una sola nena.
5p[X4] 0,4540,55
4
50,04100630,550,11277
d) Cap nen. 5
p[X0] 0,5550,05033 0
9.El 2% dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Calcula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles defectuosos en una comanda de 10000 unitats.
1 X:«númerod’articlesdefectuosos» → B10000,—— 50
1 10000np10000—————
50 50
200articlesdefectuosos
1 49√ npq√
10000————
50 50
10472 1027 1007√
——————————
502 50 50
14articlesdefectuosos
10.Determina el nombre esperat de nenes en una família de vuit fills, si suposem igualment probable la distribució de sexes. Quina és la probabilitat que la família tingui el nombre esperat de nenes?
1 X:«númerodenenes» → B8,— 2 1
np8—4nenes 2
8 1 70 35 35p[X4] —8
—————— 4 2 28 27 128
11.Tenim un dau en forma de tetràedre, és a dir, amb quatre cares que són triangles equilàters. Numerem les cares de l’1 al 4 i considerem la variable aleatòria X: «nombre d’1» per a n 5.
a) Estudia la distribució binomial corresponent.
1 1p— → B5,— 4 4
b) Defineix les funcions de probabilitat i de distribució.
5 3 35 243p[X0] —5
————— 0 4 45 1024
5 1 3p[X1] ——4
1 4 4 1 34 405
5—————— 4 44 1024
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd201 201 18/2/08 11:17:01
202 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
5 1 3p[X2] —
2
—3
2 4 4 1 33 270 135
10————————— 42 43 1024 512 5 1 3
p[X3] —3
—2
3 4 4
1 32 90 4510—————————
43 42 1024 512
5 1 3p[X4] —
4
— 4 4 4
1 3 155——————
44 4 1024
5 1 1 1p[X5] —
5
————— 5 4 45 1024
243F(0)p[X0]p[X0]———
1024
F(1)p[X1]p[X0]p[X1]
243 405 648 81———————————
1024 1024 1024 128
F(2)p[X2]p[X0]p[X1]p[X2]
81 135 459——————
128 512 512
F(3)p[X3]p[X0]p[X1]p[X2]p[X3]
459 45 504 63————————
512 512 512 64
F(4)p[X4]
p[X0]p[X1]p[X2]p[X3]p[X4]
63 15 1023————————
64 1024 1024
F(5)p[X5]
p[X0]p[X1]p[X2]p[X3]
p[X4]p[X5]
1023 1 1024—————————1
1024 1024 1024
d’ons’obtélafunciódedistribució:
0 six 0 243 ——— si0x1 1024 81 —— si1x2 128 459 F(x)
5 —— si2x3 512 63 —— si3x4 64 1023 ——— si4x5 1024 1 six5
c) Calcula’n l’esperança i la desviació típica. 1 5
np5——1,25 4 4
1 3√ npq√
5——
4 4
√ 15——0,968246
4
12.El 3% de les peces elaborades per una màquina és defectuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascuna. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a màxim una peça defectuosa?
3 X:«nombredepecesdefectuoses» → B25,—— 100
p[X1]p[X0]p[X1]
25 97 25 3 97 ——
25
————24
0 100 1 100 100
0,46697470,36106290,82804
13.Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del 20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui.
4 X:«nombredepersonesquesobreviuen» → B6,— 5
p[X3]1p[X3]
1(p[X0]p[X1]p[X2])
6 1 6 4 11 —
6
——5
0 5 1 5 5
6
4
1 —
2
—4
2 5 5
1(0,0000640,0015360,01536)10,016960,98304
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd202 202 18/2/08 11:17:02
203MATEMÀTIQUES 1 la
14.El 55 % dels treballadors d’un organisme oficial són dones. Per llei, el 25 % dels alts càrrecs han de ser dones. Si es trien 5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin dones? I si la elecció només es fa entre els alts càrrecs?
11 X:«nombrededones» → B5,—— 20
5 11 9p[X3] ——
3
——2
3 20 20
113 92 107811010————————
203 202 205
1078110 107811—————————0,33691
3200000 320000
1 X:«nombrededones» → B5,— 4
5 1 3p[X3] —
3
—2
3 4 4
1 32 90 9010—————————
43 42 45 1024
45——0,08789
512
15.Si X representa una variable aleatòria contínua:
a) Demostra que f(x) és una funció de densitat:
1 — si 0 x 2 f(x) 5 2
0 si x [0, 2]
1. Per la mateixa definició de f(x), tenim que f(x) 0, x.
2. L’àreadelrecintequedeterminalagràficadef(x)ambl’eixOXés:
1 1A(20)—2—1u2
2 2
Per1i2tenimquef(x)ésunafunciódedensitat.
b) Representala gràficament.
16.Per a la funció de densitat de l’exercici anterior, calcula:
a) p[X 1] 1
p[X1]— 2
1 b) pX — 2 1 3
pX—— 2 4
1 3 c) p— X — 4 2
1 3p—X—
4 2
3 1pX—pX—
2 4 3 1 5
——— 4 8 8
17.En una variable aleatòria contínua X es defineix la funció:
kx si x [0, 5] f(x) 5 0 si x [0, 5]
a) Calcula el valor de k per tal que la funció f(x) sigui una funció de densitat.
55k 25kA——————
2 2
25k 2———1 → k——
2 25
b) Troba p[2 X 3,5] per al valor de k calculat en l’apartat anterior.
p[2X3,5]p[X3,5]p[X2]
7 7 4 ——— 2—— 2 25 25
—————————— 2 2
49 4 33——————
100 25 100
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd203 203 18/2/08 11:17:04
204 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
18.Contesta raonadament cadascuna d’aquestes qüestions a partir de la taula de la distribució normal reduïda:
a) Per què el primer valor de probabilitat que es troba a la taula és 0,5?
PerquèlagràficadelafunciódedensitatdeladistribuciónormalN(0,1)éssimètricarespectedelvalorz0isabemquep[Z0]0,5.
b) Quin és el valor de p[Z 4,5]? I el valor de p[Z 5]?
p[Z4,5]1
perquèsegonslataula:
p[Z4] 1
p[Z5]0
perquè:p[Z5]p[Z5]
ip[Z5]1p[Z5]110
19.Si Z és una variable N(0, 1), calcula:
a) p[Z 2,38]
p[Z2,38]p[Z2,38]
1p[Z2,38]10,9913
0,0087
b) p[Z 1,64]
p[Z1,64]0,9495
c) p[Z 1,03]
p[Z1,03]p[Z1,03]0,8485
d) p[Z 0,82]
p[Z0,82]1p[Z0,82]
10,79390,2061
e) p[1,5 Z 3]
p[1,5Z3]p[Z3]p[Z1,5]
0,998650,93320,06545
f) p[0,79 Z 0,79]
p[0,79Z0,79]
2(p[Z0,79]0,5)
2(0,78520,5)20,28520,5704
20.A partir de la taula, comprova a la distribució N(0, 1) que:
a) A l’interval (1, 1) es troba el 68,26% del total de la probabilitat.
p[1Z1]2(p[Z1]0,5)
2(0,84130,5)20,3413
0,6826
p[1Z1]0,6826 → 68,26%
b) A l’interval (2, 2) es troba el 95,44% del total de la probabilitat.
p[2Z2]2(p[Z2]0,5)2(0,97720,5)20,47720,9544
p[2Z2]0,9544 → 95,44%
c) L’interval (3, 3) inclou el 99,74% del total de la probabilitat.
p[3Z3]2(p[Z3]0,5)2(0,99870,5)20,49870,9974
p[3Z3]0,9974 → 99,74%
21.Considerem X una variable N(8, 3). Calcula:
a) p[X 9]
p[X9]p[Z0,33]0,6293
b) p[X 7]
p[X7]p[Z0,33]p[Z0,33]0,6293
c) p[6 X 7,5]
p[6X7,5]p[0,67Z0,17]
p[0,17Z0,67]p[Z0,67]p[Z0,17]
0,74860,56750,1811
d) p[7,2 X 8,7]
p[7,2X8,7]p[0,27Z0,23]
p[Z0,23]p[Z 0,27]p[Z0,23](1p[Z0,27])p[Z0,23]p[Z 0,27]1
0,59100,606410,1974
22.Tenint en compte que l’àrea que es dóna fa referència a una distribució normal N(0, 1), determina el valor o els valors de la variable Z en cadascun dels casos següents:
a) L’àrea entre 0 i z és 0,3770.
p[0Zz]0,3770 →→ p[Zz]0,8770 → z1,16
b) L’àrea a l’esquerra de z és 0,8621.
p[Zz]0,8621 → z1,09
c) L’àrea entre 1,5 i z és 0,0217.
p[1,5Zz]0,0217 →→ p[Zz]p[Z1,5]0,0217
p[Z1,5]p[Z1,5]
1p[Z1,5]10,93320,0668
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd204 204 18/2/08 11:17:06
205MATEMÀTIQUES 1 la
p[Zz]0,06680,0217 →→ p[Zz]0,0885 →→ p[Zz]0,0885
p[Zz]10,08850,9115 →→ z1,35 → z1,35
23. En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quocients intel.lectuals d’ambdós grups es distribueixen segons N(100, 30) i N(120, 35), respectivament. S’escull un individu de cada grup de manera aleatòria i independent. Calcula:
X:«quocientintel.lectual grupA»
Y:«quocientintel.lectual grupB»
a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quocient intel.lectual superior a 90.
p[X90]p[Z0,33]
p[Z0,33]0,6293
b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quocient intel.lectual superior a 90.
p[Y90]p[Z0,86]
p[Z0,86]0,8051
c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel.lectual superior a 90.
p[X90]p[Y90]
0,62930,80510,50665
24.Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una distribució normal N(62, 3,4).
X:«pesenkg»
a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg.
p[X65]p[Z0,88]
1p[Z0,88]10,81060,1894
b) El 70% dels atletes no supera un determinat pes. Quin és aquest pes?
p[Xx]0,7
p[Zz]0,7 → z0,52 →→ xz3,40,5262
63,768kg
25.Calcula la probabilitat d’obtenir entre 4 i 7 creus, ambdues incloses, en fer 12 llançaments d’una moneda utilitzant:
X:«nombredecreus»
a) La distribució binomial.
1 B12,— 2
p[4X7]p[X4]p[X5]p[X6]p[X7]
12 1 12 1 12 1 12 1 —12
—12
—12
—12
4 2 5 2 6 2 7 2 1 12 12 12 12
—— 212 4 5 6 7 1 3003 3003
——(495792924792)—————— 212 212 4096
0,73315
b) L’aproximació normal de la distribució binomial. 1 1 B12,—; np12—6; 2 2
√ npq
1 1√
12——√ 31,732
2 2
N(6;1,732)
p[3,5X7,5]
p[1,44Z0,87]p[Z0,87]p[Z1,44]p[Z0,87]p[Z1,44]
p[Z0,87](1p[Z1,44])0,8078(10,9251)0,80780,07490,7329
26.Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabilitat d’obtenir el número 6 entre 29 i 32 vegades (ambdues incloses).
1 B180,—; X:«nombrede6» 6 1 np180—30; 6 6
1 5 √ npq√
180——√ 255
6 6 N(30,5)
p[28,5X32,5]p[0,3Z0,5]
p[Z0,5]p[Z0,3]
p[Z0,5]p[Z0,3]
p[Z0,5](1p[Z0,3])
0,6915(10,6179)
0,69150,38210,3094
27.Tirem enlaire 500 vegades una moneda que ha estat trucada, 2 de manera que la probabilitat d’obtenir creu és —. Calcula 5 la probabilitat que el nombre de cares no difereixi de 300:
3 X:«nombredecares» → B500,— 5
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd205 205 18/2/08 11:17:07
206 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
3 np500—300; 5
3 2√ npq√
500——
5 5
√ 12010,95
N(300;10,95)
a) En més de 10 tirades.
p[289,5X310,5]
p[0,96Z0,96]
2(p[Z0,96]0,5)
2(0,83150,5)20,33150,663
b) En més de 20 tirades.
p[279,5X320,5]
p[1,87Z1,87]
2(p[Z1,87]0,5)
2(0,96930,5)20,46930,9386
28.Quan llancem 120 vegades un dau normal, quina és la probabilitat que la cara 4 surti exactament 24 vegades? I que surti 14 vegades com a màxim?
1 X:«nombrede4» → B120,— 6 1 np120—20; 6
1 5 600 √ npq √
120——√
——
6 6 36 5
—√ 64,08 3 N(20;4,08)
p[23,5X24,5]p[0,86Z1,1]p[Z1,1]p[Z0,86]0,86430,80510,0592
p[X14,5]p[Z 1,35]p[Z1,35] 1 p[Z1,35]
10,91150,0885
29.Troba la probabilitat d’obtenir més de 36 vegades el número 6 en 50 tirades d’un parell de daus no trucats.
11 X:«nombrede6» → B50,—— 36 11 np50——15,27
(
; 36
11 25 √ npq√
50————3,26
36 36 N(15,27
(
;3,26)
p[X35,5]p[Z6,2]0
30.Es llança 2500 vegades el dau de l’exercici 11. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 3:
1 X:«nombrede3» → B2500,— 4 1 np2500—625; 4
1 3 √ npq√
2500——21,65
4 4
N(625;21,65)
a) 400 vegades.
p[399,5X400,5]
p[10,42Z10,37]
p[10,37Z10,42]
p[Z10,42]p[Z10,37]0
b) La meitat de les vegades que es llança.
p[1249,5X1250,5]
p[28,84Z28,89]
p[Z28,89]p[Z28,84]0
c) Més de 1000 vegades.
p[X999,5]p[Z17,3]0
31.Calcula p[X 8] per a una variable que segueix una distribució 1 binomial B40, —. 5
Comparaho amb el resultat que s’obté fent ús de l’aproximació normal. És bona aquesta aproximació? Per què?
40 1 4 p[X8] —8
—32
0,15598 8 5 5
1 B40,— 5
1 np40—8; 5
1 4 √ npq√
40——2,53
5 5
N(8;2,53)
p[7,5X8,5]p[0,2Z0,2]
2(p[Z0,2]0,5)
2(0,57930,5)20,07930,1586
Totiquen30,noésmoltbonaaproximacióperquèp0,2noésunvalorpropera0,5.
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd206 206 18/2/08 11:17:09
207MATEMÀTIQUES 1 la
32.La probabilitat que un vaporitzador d’insecticida mati un mosquit és 0,75. Si dirigim el vaporitzador contra 100 mosquits, quina és la probabilitat de matarne almenys 75? I de matarne menys de 50?
B(100;0,75); X:«nombredemosquitsmorts»
np1000,7575;
√ npq√ 1000,750,25 √ 18,754,33
N(75;4,33)
p[X74,5]p[Z0,12]
p[Z0,12]0,5478
p[X50,5]p[Z5,66]0
Puntfinal
1Llancem una moneda p q — 200 vegades (n 200) i 2definim la variable X: «nombre de cares».
1X:«nombredecares» → B200,— 2 1np200—100 2
1 1√ npq√
200——7,07
2 2
N(100;7,07)
a) Quin serà el risc per a un interval de confiança d’amplitud 2l 20?
2l20 → l10
p[90X110]p[1,41Z1,41]2(p[Z1,41]0,5)2(0,92070,5)
20,42070,8414 →→ 10,84140,1586
d’ontenimque15,86%.
b) Si fem una predicció amb un risc del 5%, quin serà l’interval de confiança?
5% → p[100l1X100l1]
0,95peral1z1
p[X100l1]0,975
p[Zz1]0,975 →
→ z11,96 →
→ l17,071,9613,86
L’intervaldeconfiançaés:
(86,14;113,86)
c) Calcula el valor de l de l’interval de confiança per a 2,5 %.
2,5% → p[X100l2]0,9875
peral2z2
p[Zz2]0,9875 →
→ z22,24 →
→ l27,072,2415,84
Activitatsfinals 1. Troba la probabilitat d’obtenir:
a) Dos èxits mitjançant la distribució 1 B4, —. 3 X:«nombred’èxits» 4 1 2
p[X2]—2
—2
2 3 3
1 22 24 8 86———————
32 32 34 33 27 1 b) Més de tres èxits mitjançant la distribució B6, —. 2
p[X3]
p[X4]p[X5]p[X6]
6 1 6 1 6 1—6
—6
—6
4 2 5 2 6 2
1 22 11 11—6
(1561)—————— 2 26 25 32
1 c) Menys de dos fracassos mitjançant la distribució B4, —. 4
p[X2]p[X3]p[X4]
4 1 3 4 1—3
——4
3 4 4 4 4
1 3 1 12 14——————
43 4 44 44 44
13 13————
44 256
2 2.Un equip A té una probabilitat p — de guanyar un partit. 3 Si l’equip juga 6 partits, calcula la probabilitat que:
2 X:«nombredepartitsguanyats» → B6,— 3
a) Guanyi dos partits.
6 2 1p[X2]—2
—4
2 3 3 22 1 60 20 20
15———————— 32 34 36 35 243
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd207 207 18/2/08 11:17:10
208 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
b) Perdi més de la meitat dels partits.
p[X3]
p[X0]p[X1]p[X2]
6 1 6 2 1—6
——5
0 3 1 3 3
6 2 1—2—4
2 3 3
1 12 60 73 73—————————
36 36 36 36 729
3. Llancem 10 daus alhora. Definim la variable aleatòria X: «nombre de daus en què s’obté la cara 1». Calcula:
1 B10, — 6
a) p[X 3]
10 1 5p[X3]—3
—7
3 6 6
1 57
120——0,15505 63 67
b) p[X 7]
p[X7]p[X7]
p[X8]p[X9]p[X10]
10 1 5 10 1 5—7—3
—8—2
7 6 6 8 6 6
10 1 5 10 1—9
——10
9 6 6 10 6
0,0002480,00001860,0000008
0,000000020,0002674
c) p[X 5]
p[X5]p[X0]p[X1]
p[X2]p[X3]p[X4]
10 5 10 1 5—10
——9
0 6 1 6 6
10 1 5 10 1 5—2—8
—3—7
2 6 6 3 6 6
10 1 5—4
—6
4 6 6
0,16150560,32301120,29071
0,15504540,05426590,98454
4.Determina el nombre esperat de respostes correctes en un examen tipus test de 10 preguntes. Cada pregunta consta de 4 possibles respostes, de les quals, només una és correcta i se suposa que cada pregunta es contesta a l’atzar.
1 B10,—;perX:«nombrederespostescorrectes» 4
1 np10—2,5respostescorrectes 4
5.Se sap que un determinat medicament millora els símptomes d’una malaltia en dos de cada tres pacients. Si administrem aquest medicament a set malalts, calcula la probabilitat que:
X:«nombredepersonesquemillorenambelmedicament» → 2 → B7,— 3
a) Millorin quatre persones.
7 2 1p[X4]—4
—3
4 3 3
24 1 3524
35—————— 34 33 37
560———0,25606
2187
b) Milloren tres persones com a mínim.
p[X3]1p[X3]
1(p[X0]p[X1]
p[X2])
7 1 7 2 11—7
—
—6
0 3 1 3 3
7 2 1—2—5
2 3 3
1 (0,00045720,00640150,0384088)
10,04526750,95473
c) Millorin les set persones.
7 2p[X7]—7
0,05853 7 3
6.Estudis recents han confirmat que el 70% dels portadors del virus de la SIDA ha consumit algun tipus de droga. A la sala d’espera d’una consulta especialitzada en aquesta malaltia s’hi troben, en un cert moment, sis persones portadores del virus. Determina la probabilitat que cap de les sis persones hagi consumit drogues.
X:«nombredepersonesquehanconsumitdroga»
B(6;0,7) 6
p[X0]0,360,000729 0
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd208 208 18/2/08 11:17:11
209MATEMÀTIQUES 1 la
7.Se sap que només el 5% de les persones que visiten un logopeda són de classe social baixa. Si a la consulta d’un logopeda hi ha cinc persones, troba la probabilitat que:
X:«nombredepersonesdeclassesocialbaixa»
B(5;0,05)
a) Cap sigui de classe social baixa.
5p[X0]0,9550,773781
0
b) Almenys dues no siguin de classe social baixa.
p[X3]1p[X3]
1(p[X4]p[X5])
5 510,0540,950,055
4 5
1 (0,00002970,0000003)
10,00003000,99997
8.Sigui X una variable aleatòria contínua que segueix una distribució normal N(, ). Determina:
3p — X 2 2
3p— X 2
2
3p—Z2
2
p[Z2]p[Z 1,5]
p[Z2]p[Z1,5]p[Z2](1p[Z1,5])
0,9772(10,9332)0,97720,0668
0,9104
9.Demostra que el 99,74% del total de l’àrea de recinte que determina la funció de densitat amb l’eix OX en una distribució normal N(, ) es troba a l’interval:
( 3, 3)
p[3X3]p[3Z3]
2(p[Z3]0,5)2(0,99870,5)
20,49870,9974 → 99,74%
10.Troba la probabilitat que una variable cotínua prengui valors compresos entre 32 i 40 en una distribució N(50, 5).
p[32X40]p[3,6Z2]
p[2Z3,6]p[Z3,6]p[Z2]
0,999840,97720,02264
11.La durada de l’embaràs de les dones segueix una distribució normal, amb una mitjana de 266 dies i una desviació tipus de 16 dies. Calcula el percentatge d’embarassos amb una durada màxima de 244 dies.
X:«duradadel’embaràsendies» → N(266,16)
p[X244]p[Z1,38]p[Z1,38]
1p[Z1,38]10,91620,0838
El8,38%d’embarassos.
12.La mitjana de pes de 500 persones és 70 kg i la desviació típica, 3 kg. Suposant que el pes es distribueixen normalment, determina el nombre de persones que pesa:
X:«pesenkg» → N(70,3)
a) Entre 60 i 75 kg.
p[60X75]p[3,33Z1,67]
p[Z1,67]p[Z3,33]
p[Z1,67]p[Z3,33]
p[Z1,67](1p[Z3,33])
0,9525(10,99957)
0,95250,000430,95207
5000,95207476personespesenentre60i75kg.
b) Més de 90 kg.
p[X90]p[Z6,67]0
50000 → cappersonapesamésde90kg.
c) Menys de 64 kg.
p[X64]p[Z 2]p[Z2]
1p[Z2]10,97720,0228
5000,022811personespesenmenysde64kg.
13.La nota mitjana de les proves d’accés a una facultat va ser de 5,8 amb una desviació típica d’1,75. Si van ser admesos tots els estudiants amb una nota superior a 6 i considerant que la distribució és normal:
X:«notes» → N(5,8;1,75)
a) Quin va ser el percentatge d’estudiants admesos?
p[X6]p[Z0,11]
1p[Z0,11]
10,54380,4562 → 45,62%
b) Quina és la probabilitat que exactament quatre de cada deu estudiants fossin admesos?
B(10;0,4562);Y:«nombred’estudiantsadmesos»
10p[Y4]0,456240,54386
4
0,23522
c) Si haguessin admès el 55% dels estudiants, quina hauria estat la nota de tall en aquesta facultat?
p[Xx]0,55 → p[Zz]0,55 →→ p[Zz]0,55 → z0,13
z 0,13 → xz
1,75(0,13)5,85,57
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd209 209 18/2/08 11:17:13
210 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
14.La data de caducitat d’un medicament és el 31 de desembre d’un determinat any. Sabem que, després d’aquesta data, l’efectivitat del medicament segueix una distribució normal la mitjana de la qual és de 300 dies i la desviació típica, de 100 dies.
X:«diesquepassendeladatadecaducitat» → N(300,100)
a) Calcula la probabilitat que no sigui efectiu el 31 de desembre de l’any següent.
p[X365]p[Z0,65]0,7422
b) Quin dia s’haurà de consumir si volem tenir un 80% de probabilitat que sigui efectiu?
p[Xx]0,8 → p[Zz]0,8 →
→ p[Zz]0,8 → z0,84
z 0,84 → xz
100(0,84)300216dies
216diesdesprésdeladatadecaducitat.
15.En un estadi esportiu es volen instal.lar focus per il.luminar el terreny de joc. El temps de funcionament dels focus segueix una distribució normal, amb una mitjana de 40 hores i una desviació típica de 4 hores.
X:«tempsdefuncionamentdelsfocusenhores» → N(40,4)
a) Si escollim un focus a l’atzar, quina és la probabilitat que il.lumini un mínim de 30 hores?
p[X30]p[Z 2,5]
p[Z2,5]0,9938
b) Si es compren 1500 focus, quants podem esperar que funcionin 30 hores com a mínim?
15000,99381490,71491focus
16.Per aprovar unes oposicions es necessita obtenir en una prova 100 punts com a mínim. Sabem que la distribució dels punts obtinguts és normal, amb una mitjana de 110 punts i una desviació típica de 15 punts.
X:«nombredepuntsobtinguts» → N(110,15)
a) Quina és la probabilitat que aprovi un opositor?
p[X100]p[Z0,67]
p[Z0,67]0,7486
b) Si es presenten 1000 opositors i només es disposa de 300 places, quants punts s’hauran d’aconseguir per guanyar una d’aquestes places?
p[Xx]0,3 → p[Zz]0,3 →→ p[Zz]0,7 → z0,52
x z
150,52110117,8punts
17.El percentatge d’espanyols amb estudis mitjans és del 35%. Si triem vuit persones a l’atzar, calcula la probabilitat que entre 3 i 5 (ambdós inclosos) tinguin estudis mitjans, aplicant:
X:«nombred’espanyolsquetenenestudismitjans»
a) La distribució binomial.
B(8;0,35)
p[3X5]
p[X3]p[X4]p[X5]
8 8 80,3530,6550,3540,6540,3550,653
3 4 5
0,27858580,18750970,08077340,5468689
b) L’aproximació normal a la binomial.
np80,352,8
√ npq√ 80,350,651,35
B(8;0,35) → N(2,8;1,35)
p[2,5X5,5]p[0,22Z2]p[Z2]p[Z0,22]p[Z2]p[Z0,22]
p[Z2](1p[Z0,22])0,9772(10,5871)0,97720,41290,5643
18.El nombre de fulls que empaqueta una màquina segueix una distribució normal, amb una mitjana de 1000 fulls i una desviació típica de 10 fulls. Un paquet de fulls s’accepta si en té entre 995 i 1005. Es demana:
X:«nombredefulls» → N(1000,10)
a) La probabilitat que un paquet sigui acceptat.
p[995X1005]p[0,5Z0,5]2(p[Z0,5]0,5)
2(0,69150,5)20,19150,383
b) La probabilitat que exactament dos paquets de cada deu siguin acceptats.
B(10;0,383);Y:«nombredepaquetsacceptats»
10p[Y2]0,38320,6178
20,13864
c) Si el 65% dels paquets té més d’un determinat nombre de fulls, quants fulls té cadascun d’aquests paquets?
p[Xx]0,65 → p[Zz]0,65 →→ p[Z z]0,65 → z0,39
z 0,39 → xz10(0,39)1000996fulls
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd210 210 18/2/08 11:17:14
211MATEMÀTIQUES 1 la
19.Es llança 100 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 5:
X:«nombredevegadesquesurtel5»
1 B100,— 6
1 np100—16,6
(
6
1 5 √ npq√
100——3,73 6
6 6
N(16,6
(
;3,73)
a) Menys de 18 vegades.
p[X18,5]p[Z0,49]0,6879
b) Més de 14 vegades.
p[X13,5]p[Z0,85]
p[Z0,85]0,8023
c) Exactament 20 vegades.
p[19,5X20,5]
p[0,76Z1,03]
p[Z1,03]p[Z0,76]
0,84850,77640,0721
20.El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a l’hora a un hospital es distribueix normalment amb una mitjana de 12 minuts i una desviació típica de 3 minuts.
X:«tempsquenecessital’ambulància» → N(12,3)
a) Determina la probabilitat que el temps que trigui a arribar es trobi entre 10 i 19 minuts.
p[10X19]p[0,67Z2,33]
p[Z2,33]p[Z0,67]
p[Z2,33]p[Z0,67]
p[Z2,33](1p[Z0,67])
0,9901(10,7486)
0,99010,25140,7387
b) Calcula el temps en minuts per al qual la probabilitat que l’ambulància es retardi sigui del 15%.
p[Xx]0,15 → p[Zz]0,15 →→ p[Zz]0,85 → z1,04
z 1,04 → xz
3(1,04)128,88minuts
21.La mitjana del pes dels habitants d’una ciutat és de 65 kg, amb una desviació típica de 5 kg. Suposant una distribució normal dels pesos, és zero la probabilitat que en escollir una persona a l’atzar pesi més de 100 kg? Justifica’n la resposta.
X:«pesenkg» → N(65,5)
p[X100]p[Z7]0.Sí,észero.
22.Se sap que les notes d’un determinat examen segueixen una distribució normal. El 17,5% dels alumnes que s’han examinat ha obtingut una nota que supera els 7 punts, mentre que la nota del 15,7% no arriba als 5 punts. Calcula:
X:«notes» → N(,)
p[X7]0,175
p[X5]0,157
a) La nota mitjana de l’examen.
p[Zz1]0,175 →→ p[Zz1]0,825 → z10,93
p[Zz2]0,157 →→ p[Z z2]0,843 →
→ z21,01 → z2 1,01
7 0,93——— d’ons’obté: 5 1,01——— 6
7 ——— 0,93 7 5 —————— → 6,04 0,93 1,01 5 ——— 6 1,01
b) El percentatge d’alumnes que van obtenir una nota compresa entre 5 i 7 punts.
p[5X7]p[X7]p[X5]
1p[X7]p[X5]
10,1750,1570,668
23.Llancem una moneda 50 vegades. Troba la probabilitat que el nombre de cares que obtinguem es trobi entre 12 i 16 (ambdues incloses). Utilitza:
X:«nombredecares»
a) La distribució binomial corresponent.
1 B50,— 2
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd211 211 18/2/08 11:17:16
212 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNEla
p[12X16]
p[X12]p[X13]p[X14]p[X15]p[X16]
50 1 50 1—50
—50
12 2 13 2
50 1 50 1 50 1—50
—50
—50
14 2 15 2 16 2
0,00763
b) L’aproximació normal a la binomial.
1 np50—25 2
1 1 √ npq√
50——3,54
2 2
N(25;3,54)
p[11,5X16,5]
p[3,81Z2,4]
p[2,4Z3,81]
p[Z3,81]p[Z2,4]
0,999930,99180,00813
24.Suposem una distribució normal N(50, ) en què p[X 70] 0,0228. Determina el valor de i calcula p[X 45].
p[X70]0,0228
p[Zz]0,0228 → p[Zz]0,9772 →→ z2
7050 70502———— → ————10
2
N(50,10)
p[X45]p[Z0,5]p[Z0,5]
1p[Z0,5]10,69150,3085
25.Dues variables aleatòries contínues X i Y segueixen una distribució normal la mitjana de la qual és zero. A més, p[X 2] p[Y 3] 0,1587. Calcula’n les variàncies corresponents.
0enambdues.
p[X2]0,1587
p[Zz]0,1587 → p[Zz]0,8413 →→ z1
p[Y3]0,1587
21— → 12 →
1
24,delavariableX 1
31— → 23 →
2
29,delavariableY 2
Avaluació
1. Quina diferència hi ha entre variable estadística i variable aleatòria? Quines condicions ha de complir una distribució perquè segueixi el model binomial?
Respostaoberta.
2. Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat de treure cara és quatre vegades la de treure creu. Tirem 6 vegades la moneda. Calcula la probabilitat de:
a) Treure dues vegades creu.
b) Treure com a màxim dues vegades creu.
a)p[x2]0,24576
b)p[x≤2]0,90112
3. De 1 000 mesures de talles se’n va obtenir una mitjana de 165 cm i una desviació típica de 8 cm. Se suposa que la distribució és normal i es demana:
a) Quantes mesures són més petites de 157 cm?
b) Quantes estan entre 167 i 181 cm?
a)1000·p[x≤157]1000·0,1587 ≈ 159
b)1000·p[167≤x≤181]1000·0,3785378
4. En un gran estadi esportiu es volen instal·lar focus per il·luminar el camp de joc. El subministrador assegura que el temps de vida dels focus segueix, aproximadament, una distribució normal amb mitjana de 40 h i desviació tipus de 4 h.
a) Escollim un focus a l’atzar. Quina és la probabilitat que duri com a mínim 30 h?
b) Si es compren 1 500 focus, quants es pot esperar que durin com a mínim 30 h?
c) Si es comprova que només 1 400 focus dels 1 500 comprats duren més de 30 h, és cert el que assegura el subministrador?
a)p[x≥30]0,9938
b) 1500 · 0,9938 1490,7. És a dir, aproximadament 1491focus.
c)Elpercentatgedefocusquenofuncionendesprèsde30hés
14000,9333
1500= .
Busquem a les taules de la normal quantes hores de vidatindriaunabombetaambaquestaprobabilitat
p[z≥–zo]p[z≤zo]0,9333 → zo1,50 →
→ 301,5
4X− = − → X 36hores.Pertant,lamitjanaés
de36horesdeduradainode40horescomdiuelfabricant.
173-212_Sol-Mates_Batx1-cat.indd212 212 18/2/08 11:17:17
top related