matematyka 1

MATEMATYKA

Odkryj, zrozum, zastosuj...klasa 1, szkoła ponadgimnazjalna

Odkryj, zrozum, zastosuj...Podtytuł:Matematyka

Przedmiot:matematyka

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej:Jacek Stańdo, Paweł Kwiatkowski, Henryk Dąbrowski , Hanna Drabik-Zalewska, Gertruda Gwóźdź-Łukawska, Agnieszka Zajączkowska , Krzysztof Kisiel, Grzegorz Kusztelak, Dorota Krawczyk - Stań-do, Magdalena Furmaniak, Kinga Pietrasik-Kulińska, Aneta Stasiak, Witold Walas, Wanda Człapińska,Mariusz Doliński, Maciej Furmaniak, Elżbieta Galewska , Kinga Gałązka, Magdalena Górajska, AnnaJeżewska, Dominik Kłys, Agata Krawczyk, Iwona Krawczyk-Kłys, Janusz Kuliński, Paweł Kuliński,Renata Kusztelak, Alicja Laskowska , Piotr Mazur , Bronisław Pabich, Dorota Palka-Rutkowska, JerzyPełczewski, Jolanta Piekarska, Marek Pisarski, Monika Potyrała , Dorota Rogowska , Alina Saganiak,Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, To-masz Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Anna Warężak, Beata Wojciechowska iIzabella Żółtaszek

Format treści:E-podręcznik dla ucznia

Data wydania:24 lutego 2016

Typ szkoły:szkoła ponadgimnazjalna

Oznaczenia zadań:A - zadanie z minimalnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaB - zadanie z ogólnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaC - zadania z kreatywnego osiągnięcia efektu kształceniaK - zadanie do osiągnięcia kompetencji

- zadanie do wykonania w zeszycie

Oznaczenia treści:treści rozszerzające

oprawa metodyczna

ISBN 978-83-65450-38-8E-podręcznik, po uzyskaniu akceptacji ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania, zostałdopuszczony do użytku szkolnego na podstawie art. 22 c ust. 2 i 5 Ustawy z dnia 7 września 1991roku o systemie oświaty (Dz. U. Nr 95, poz. 425 z późn. zm.).

Rzeczoznawcy Ministerstwa Edukacji Narodowej:merytoryczno-dydaktyczni – dr hab. Maria Korcz, mgr Agnieszka Pfeiffer, dr hab. WacławZawadowskijęzykowy – dr Iwona Wanda Grygields. podręczników do kształcenia specjalnego – dr Jan Piotr Omieciński

Spis treściRozdział 1. Funkcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1. Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3. Zbiór zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.3.1. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3.2. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2. Dziedzina funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.2. Dziedzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.3. Zbiór zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.3. Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej . . . . . . . . . . . . . . 52

1.3.1. Miejsca zerowe funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.3.2. Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.3. Zbiór zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.4. Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I . . . . . . . . . . . . 78

1.4.1. Argumenty i wartości funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.4.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.4.3. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.4.4. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1.5. Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II . . . . . . . . . . . 129

1.5.1. Przykłady zastosowania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.5.2. Monotoniczność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.5.3. Monotoniczność. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.5.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.5.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631.5.6. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

1.6. Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1.6.1. Symetria punktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.6.2. Symetria wykresu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1851.6.3. Przykłady symetrii funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1871.6.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1921.6.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031.6.6. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

1.7. Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

1.7.1. Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2161.7.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191.7.3. Przesunięcie wykresów funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Odkryj, zrozum, zastosuj...

1.7.4. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2261.7.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2301.7.6. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Rozdział 2. Funkcja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

2.1. Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

2.1.1. Proporcjonalność prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2562.1.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2602.1.3. Definicja funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672.1.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2682.1.5. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

2.2. Własności funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

2.2.1. Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2832.2.2. Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922.2.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2972.2.4. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

2.3. Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa . . . . . . . . . 313

2.3.1. Równanie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3132.3.2. Nierówność liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3162.3.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

2.4. Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań . . . . . . . . . . . 328

2.4.1. Układ dwóch równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3282.4.2. Układ równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3352.4.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3382.4.4. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

2.5. Zastosowanie funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

2.5.1. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.5.2. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3542.5.3. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622.5.4. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Rozdział 3. Trygonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

3.1. Podobieństwo trójkątów prostokątnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

3.1.1. Wprowadzenie do trygonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3683.1.2. Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3753.1.3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3823.1.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3873.1.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

3.2. Tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

3.2.1. Tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.2.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4023.2.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4103.2.4. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

3.3. Zastosowanie trygonometrii w geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

3.3.1. Przykłady. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4203.3.2. Przykłady. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4283.3.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

3.4. Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Rozdział 4. Liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

4.1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

4.1.1. Liczby naturalne, całkowite i wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4464.1.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

4.2. Procenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

4.2.1. Procenty i punkty procentowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4624.2.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4654.2.3. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

4.3. Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

4.3.1. Działania na potęgach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4764.3.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4824.3.3. Działania na pierwiastkach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4894.3.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4904.3.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

4.4. Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

4.4.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4984.4.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.4.3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5074.4.4. Zadania, zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

4.5. Potęga o wykładniku wymiernym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

4.5.1. Potęga o wykładniku wymiernym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5264.5.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

4.6. Nierówności, przedziały, odległość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

4.6.1. Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . 5364.6.2. Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5434.6.3. Wartość bezwzględna - definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5504.6.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

4.7. Zaokrąglenia i przybliżenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

4.7.1. Przybliżenia i zaokrąglenia liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5704.7.2. Błąd bezwzględny, błąd względny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5754.7.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

Rozdział 5. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

5.1. Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

5.1.1. Przystawanie trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5835.1.2. Twierdzenie Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5865.1.3. Dwusieczne kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5905.1.4. Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5945.1.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

5.2. Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

5.2.1. Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające . . . . . . . . . . 6115.2.2. Kąty w figurach, przekątne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6255.2.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

5.3. Przystawanie trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

5.3.1. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6525.3.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

5.4. Podobieństwo trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

5.4.1. Cechy podobieństwa trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6855.4.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6925.4.3. Własności podobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695

5.5. Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

5.5.1. Kąty w okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7175.5.2. Kąt środkowy, kąt wpisany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7185.5.3. Wzajemne położenie prostej i okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7265.5.4. Wycinek i odcinek koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7345.5.5. Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7395.5.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

5.6. Stereometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

5.6.1. Siatki i modele brył . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

Słowniczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Rozdział 6. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

Rozdział 7. O e-podręczniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060

Rozdział 1. Funkcja

1.1. Pojęcie funkcji

1.1.1. Wprowadzenie

W praktyce często korzystamy z zależności między różnymi wielkościami.

Przykład 1.Przeprowadź symulację kosztów tankowania. Obserwuj, jak zmienia się kwota należności w

zależności od ilości zatankowanego paliwa.

Aplikacja na epodreczniki.pl

Symulacja kosztów tankowania paliwa jest przykładem modelowania matematycznego. Two-

rzenie modelu rozpoczyna się od opisu zjawiska, a następnie określamy zależności między

danymi wielkościami.

Przykład 2.Droga s, jaką pokonuje samochód jadący ze stałą prędkością v zależy od czasu t. Zależność

tę możemy opisać za pomocą równości

s = vt

Obserwuj, jak zmienia się długość drogi pokonywanej przez samochód jadący ze stałą pręd-

kością v = 80 km/h.

Funkcja

• W ciągu 1 godziny samochód pokonuje drogę długości 80 km.

• W ciągu 2 godzin samochód pokonuje drogę długości 160 km.

• W ciągu pół godziny samochód pokonuje drogę długości 40 km.

• W ciągu 15 minut samochód pokonuje drogę długości 20 km.

• W ciągu 3 godzin 45 minut samochód pokonuje drogę długości 300 km.

Przykład 3.• Energia kinetyczna Ek ciała poruszającego się z prędkością v zależy od tej prędkości i

masy danego ciała m

Ek =mv2

Energia kinetyczna jest równa pracy, jaką należy wykonać, by ciało o masie m rozpędzić od

prędkości 0 (względem przyjętego układu odniesienia) do danej prędkości v.

Dla ciał poruszających się z prędkościami bliskimi prędkości światła energia kinetyczna obli-

czana jest według innego wzoru. Energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą

i energią spoczynkową.

• Energia potencjalna grawitacji ziemskiej ciała o masie m, znajdującego się na wysoko-

ści h ponad poziomem Ziemi, jest równa iloczynowi m, h i przyspieszenia ziemskiego g

Ep = mgh

Poziom trudności: KZadanie 1.1.1.1Aplikacja na epodreczniki.pl

(Pokaż odpowiedź)

Zależności między wielkościami możemy także opisywać za pomocą grafów.

Wprowadzenie

Przykład 4.Graf opisuje przyporządkowanie, które każdej z osób: Mariuszowi, Joli, Ewie i Ani przyporząd-

kowuje ocenę z matematyki, jaką otrzymała na koniec roku szkolnego.

Film na epodreczniki.pl

Wprowadzenie

1.1.2. Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji

Definicja: Funkcja

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu ele-

mentowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.

Symbolicznie piszemy f : X → Y. Czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

• Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji f.

• Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który

został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy

wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y = f(x). Zbiór

Z tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Przykład 1.Dane są zbiory X = {1, 2, 3, 4} oraz Y = { – 3, – 2, 0, 1}.Rozważmy różne sposoby opisu funkcji.

• Funkcja f opisana jest za pomocą tabeli.

x 1 2 3 4

f(x) 1 – 2 – 2 – 2

• Funkcja k przedstawiona jest za pomocą grafu.

• Funkcja g opisana jest słownie. Funkcja g każdej liczbie nieparzystej ze zbioru X przypo-

rządkowuje wartość 1. Każdemu z pozostałych argumentów przyporządkowuje liczbę o

4 mniejszą.

Zatem: g(1) = g(3) = 1, g(2) = 2 − 4 = − 2 i g(4) = 4 − 4 = 0.

Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji

• Funkcja w opisana jest za pomocą wykresu.

• Funkcja z opisana jest za pomocą wzoru.

f(x) = {−3

Przedstawiliśmy różne przykłady funkcji określonych na zbiorze X = {1, 2, 3, 4} o wartościach ze

zbioru Y = { – 3, – 2, 0, 1}.

Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.1

Podaj przykład funkcji określonej na zbiorze X = {1, 4, 5, 7} o wartościach ze zbioru

Y = { – 4, – 1, 0, 1}.

Poziom trudności: CZadanie 1.1.2.2

Ile jest wszystkich funkcji określonych na zbiorze X = {1, 2, 3, 4} o wartościach ze zbioru

Y = { – 3, – 2, 0, 1}?(Pokaż odpowiedź)

Przykład 2.

Przykład 3.Pole kwadratu o boku długości x określamy wzorem P = x2 . Wobec tego dla dowolnego x > 0

funkcja P(x) = x2 opisuje pole kwadratu o boku x.

Przykład 4.Długość d przekątnej kwadratu jest funkcją długości x jego boku.

W szczególności d(3) = 3√2 , a ogólnie d(x) = x√2, dla x > 0.

Przykład 5.Wysokość h trójkąta równobocznego i pole P tego trójkąta są funkcjami długości a boku trój-

kąta.

W szczególności h(6) = 3√3 , P(4) = 4√3, a ogólnie h(a) =a√3

2 oraz P(a) =a2√3

4 , dla a > 0.

Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.3W zależności od długości promienia r, podaj wzór funkcji opisującej

(Pokaż odpowiedź)

Przykład 6.Rzucamy cztery razy sześcienną kostką. Rozpatrzmy funkcję f, która numerowi rzutu przy-

porządkowuje liczbę wyrzuconych oczek uzyskanych na kostce w tym rzucie. Wówczas dzie-

pole kołaa)

obwód kołab)

dziną funkcji f jest zbiór {1, 2, 3, 4}, a jej przeciwdziedziną zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6}, przy czym

zbiór wartości funkcji jest co najwyżej czteroelementowy.

Przykład 7.Dla danej funkcji określ dziedzinę i zbiór wartości.

Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.4Funkcja g, ze zbioru X w zbiór Y, określona jest za pomocą tabeli.

x 1 2 3 4 5

g(x) 2 −312 2,7 √2

Uzupełnij graf tej funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.2.5

Dane są zbiory X = { – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}, Y = { – 1, 0, 1, 2, 5} oraz funkcja f : X → Y taka,

f(x) = {5

x − 3

x = 0 lub x = 1

Uzupełnij tabelkę.

x – 2 – 1 0 1 2 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.6Uczniom klasy Ia przyporządkowane są w dzienniku kolejne numery od 1 do 33. Które z poniż-

szych przyporządkowań jest funkcją?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.2.7Funkcja s każdej liczbie dwucyfrowej przypisuje sumę cyfry dziesiątek i podwojonej cyfry jed-

ności.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.8Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, określonej na zbiorze { – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}.

Oceń, które równości są prawdziwe.

a) f(−1) + f(0) = 6

b) f(0) + f(1) = f(2)c) f(−2) + f(2) = 0

(Pokaż odpowiedź)

Każdemu numerowi ucznia przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się uczeń

urodził.

Każdemu z 7 dni tygodnia przyporządkowujemy numer z dziennika tego ucznia, który się

w tym dniu urodził.

Oblicz s(37).a)

Zapisz w tabelce wartości funkcji s dla argumentów większych od 94.b)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.9Czy dla funkcji określonej wzorem f(x) = 2x2 − x + 3 podane równości są prawdziwe?

a) f(3) = f(−3)

b) f(1) + f(2) = 10

c) f(−1) = 0

d) f(0) = 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.1.2.10W klasie jest 31 uczniów. Każdemu z nich na zakończenie roku szkolnego została wystawiona

pozytywna ocena z matematyki. Uzasadnij, że wśród uczniów jest co najmniej siedmiu takich,

którzy na zakończenie roku szkolnego uzyskali taką samą ocenę z matematyki.

(Pokaż odpowiedź)

Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o n wierzchołkach (n ≥ 3 ).Oznaczmy

przez w(n) liczbę wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa

przez k(n) liczbę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa

przez s(n) liczbę wszystkich ścian tego graniastosłupa

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz: w(3), k(4), s(5).a)

Wyznacz: w(31), k(28), s(17).b)

Dla ustalonej liczby naturalnej n ≥ 3 podaj wzory funkcji : w(n), k(n), s(n).c)

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 3 prawdziwa jest równość

w(n) + s(n) − k(n) = 2.

1.1.3. Zbiór zadań

1.1.3.1. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.1Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.

Dla argumentu 0 funkcja przyjmuje wartość

d) – 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.2Wybierz graf przedstawiający funkcję, której dziedziną jest zbiór A i przeciwdziedziną zbiór B.

Zbiór zadań

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.3Funkcja f określona na zbiorze { − 2, − 1, 0, 1, 2} każdemu argumentowi przyporządkowu-

je liczbę do niego przeciwną. Na którym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f?

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.4Funkcja f każdej liczbie ze zbioru {20, 31, 44, 52, 67} przypisuje sumę jej cyfr. Wskaż tabelkę,

która ilustruje to przyporządkowanie.

x 20 31 44 52 67

f(x) 0 3 16 10 42

x 20 31 44 52 67

f(x) 2 4 8 7 13

Zadania

x 20 31 44 52 67

f(x) 2 3 4 5 6

x 20 31 44 52 67

f(x) 0 1 4 2 7

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.5Funkcja f określona wzorem f(a) = 4a dla a > 0 opisuje

a) obwód kwadratu o boku długości a

b) długość boku kwadratu o przekątnej długości a

c) pole kwadratu o boku długości a

d) długość przekątnej kwadratu o boku długości a

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.6Funkcja f określona na zbiorze liczb całkowitych dodatnich każdemu argumentowi x przypo-

rządkowuje największą wielokrotność liczby 3, która jest nie większa od x. Liczba f(101) jest

równa

a) 102

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.7

Funkcja g jest określona wzorem g(x) = { 6 − 2x

x ≤ 2

x > 2. Wynika z tego, że liczba g(2) jest

równa

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.1.3.1.8Ponumerujmy kolejne liczby naturalne podzielne przez 3, zaczynając od 30, a kończąc na 999.

Wtedy liczba 900 jest zapisana na miejscu o numerze

a) 300

b) 299

c) 291

d) 290

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.9

Poniższy graf opisuje funkcję f ze zbioru A w zbiór B. Odczytaj f(3).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.10Funkcja g jest określona za pomocą tabeli. Odczytaj najmniejszą wartość funkcji g.

x – 4 – 3 – 2 – 1 0 1

g(x) 0 1 2 – 1 1 0

(Pokaż odpowiedź)

Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x) =x

x2 − 3jest zbiór {−√2, 0,

12 , 1, 2, √5}. Dla każde-

go z argumentów funkcji f oblicz wartość tej funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.12Funkcja f każdej dodatniej liczbie całkowitej mniejszej od 6 przyporządkowuje 20% tej liczby.

Przedstaw tę funkcję w postaci grafu.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Funkcja f jest określona dla każdej liczby całkowitej dodatniej n wzorem f(n) = − 2n + 5.Wypisz

wartości, które funkcja f przyjmuje dla czterech najmniejszych argumentów.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.14Rozpatrzmy wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 8. Funkcja f każdej z

tych liczb przyporządkowuje iloczyn jej cyfr. Przedstaw funkcję f za pomocą tabeli.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.15Funkcja f każdej liczbie dwucyfrowej mniejszej od 26 przyporządkowuje liczbę jej dzielników

naturalnych. Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli. Podaj

(Pokaż odpowiedź)

wszystkie argumenty x, dla których f(x) = 2a)

wszystkie argumenty x, dla których f(x) = 3b)

największą wartość funkcji fc)

Zadania

1.1.3.2. Zadania generatorowe

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.1Funkcja P każdej liczbie dodatniej a przyporządkowuje pole koła o średnicy a. Oblicz P(11).

a) 3,14 ? 121

b) 121π

c)121π

d) 22π

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.2Funkcja f(x) = (m − 4)x + 19 dla x = 1 przyjmuje wartość 2. Wynika z tego, że liczba m jest równa

b) −21

d) −13

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.3Wypisujemy, zaczynając od 36, kolejne liczby parzyste: 36, 38, 40, … . Jaka liczba stoi na

miejscu o numerze 71?

a) 2520

b) 176

c) 180

d) 178

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.4Funkcja f każdej dodatniej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje liczbę o 43% większą. Wów-

czas funkcja f jest określona wzorem

Zadania generatorowe

a) f(x) =43

b) f(x) =143100x

c) f(x) = x +43

d) f(x) = x + 43

(Pokaż odpowiedź)

Niech f(x) = 3x + 4 i g(x) = 3x + 7. Jakim wzorem jest opisana funkcja g(x) + f(x)?

(Pokaż odpowiedź)

Niech f(x) = − 2x + 5 i g(x) = − 2x + 13. Jakim wzorem jest opisana funkcja g(x) + f(x)?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.7Zapisz wzór funkcji f, która każdej dodatniej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje wartość o

12 mniejszą od liczby 5 razy większej od x.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.8Kolarz na treningu pokonuje 95 okrążeń toru o długości 400 metrów. Oblicz czas potrzebny na

pokonanie całego dystansu, przyjmując, że kolarz jedzie ze średnią prędkością 36 km/h.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.9Rozpatrzmy wszystkie liczby trzycyfrowe, których cyfra setek jest równa x i cyfra dziesiątek jest

równa x, a suma wszystkich cyfr wynosi 14. Funkcja f argumentowi x przypisuje iloczyn cyfr da-

nej liczby.

Oblicz f(4).a)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.10Podane w cenniku opłaty za noclegi w schronisku wynoszą: za pierwszą dobę – 28.50 zł od oso-

by, za każdą następną – po 23,50 zł. Członkowie Polskiego Towarzystwa Schronisk Młodzieżo-

wych mają 18% zniżki.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.11Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o 34 wierzchołkach.

(Pokaż odpowiedź)

Oblicz f(5).b)

Oblicz koszt tygodniowego pobytu w tym schronisku 8 osób, z których żadna nie jest

członkiem PTSM.

Oblicz opłatę za pięciodniowy pobyt w schronisku 25 turystów, spośród których 10 nale-

ży do PTSM.

Do schroniska przybyło 32 turystów, wśród których jest x osób należących do PTSM.

Przez f(x) oznaczamy opłatę za tygodniowy pobyt tej grupy w schronisku. Podaj wzór opi-

sujący wyrażenie f(x).

Oblicz liczbę wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa.a)

Oblicz liczbę wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.b)

Oblicz liczbę wszystkich ścian tego ostrosłupa.c)

1.2. Dziedzina funkcji

1.2.1. Wprowadzenie

Analizując zależności funkcyjne między różnymi wielkościami, spotykamy się z przypadkami, w

których należy dokładnie ustalić, dla jakich argumentów określamy funkcję. Taką czynność nazy-

wamy wyznaczaniem dziedziny funkcji.

Przykład 1.Rozważmy pole P kwadratu jako funkcję długości jego boku x. Funkcję tę zapisujemy wzorem

P(x) = x2.

Do wzoru funkcji P można podstawiać dowolną liczbę rzeczywistą x, jednak dziedziną tej

funkcji nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, tylko zbiór liczb dodatnich, bo tylko takie

liczby mogą być długościami boków.

Z warunków zadania wynika, że dziedziną DP funkcji P jest zbiór wszystkich liczb dodatnich.

Dziedzina funkcji

Przykład 2.W trójkącie ABC dane są długości boków | AC | = 7 i | BC | = 8. Oznaczmy | AB | = c

. Funkcja L przyporządkowuje długości boku c obwód trójkąta ABC. Wówczas

L(c) = 7 + 8 + c = 15 + c, przy czym funkcja L jest określona dla tych c, dla których istnieje trój-

kąt ABC.

Z nierówności trójkąta wiemy, że odcinki o długościach 7, 8, c są bokami trójkąta wtedy i tylko

wtedy, gdy spełnione są warunki:

c > 0, c + 7 > 8, 7 + 8 > c oraz c + 8 > 7.

Stąd c > 1 i c < 15. A zatem dziedziną DL funkcji L jest przedział (1, 15).

Wprowadzenie

Przykład 3.Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 24. Jeżeli przez a oznaczymy dłu-

gość jednego z boków takiego prostokąta, to sąsiedni bok ma długość 12 − a, zatem pole P

prostokąta wyraża się wzorem P(a) = a(12 − a) = − a2 + 12a. Taki prostokąt istnieje, gdy a > 0

i 12 − a > 0. Wobec tego dziedziną D funkcji P jest przedział (0, 12).

Przykład 4.Rozważmy wszystkie pary dodatnich liczb rzeczywistych x i y, których suma jest dwa razy

mniejsza od ich iloczynu. Zapiszemy liczbę y w zależności od x.

Warunki zadania zapisujemy w postaci

x > 0 i y > 0 i xy = 2(x + y).Z równości xy = 2(x + y) wyznaczamy y

xy − 2y = 2x

y(x − 2) = 2x

Zauważmy, że dla x = 2 otrzymujemy równość sprzeczną 0 = 4. A zatem dla x ≠ 2 mamy

x − 2 . Wynika z tego, że liczba dodatnia y jest ilorazem liczby dodatniej 2x i liczby x – 2,

więc x – 2 > 0, czyli x > 2.

Zatem funkcję y zapisujemy wzorem

y(x) =2x

x − 2

a dziedziną D tej funkcji jest przedział

(2, + ∞)

Wprowadzenie

Poziom trudności: CZadanie 1.2.1.1Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych x i y, których suma jest dwa razy mniejsza

od ich iloczynu.

(Pokaż odpowiedź)

Przykład 5.Rozważmy wszystkie trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 5. Na przyprosto-

kątnych takiego trójkąta zbudujemy kwadraty o polach x i y. Wyznaczymy długość boku kwa-

dratu o polu y w zależności od x.

Wiemy, że x > 0 i y > 0. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że x + y = 52, czyli y = 25 − x.

Zatem długość d boku kwadratu o polu y jest funkcją zmiennej x, postaci d(x) = √25 − x, a

dziedziną Dd tej funkcji jest przedział (0, 25).

Wprowadzenie

Przykład 6.Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości

wszystkich krawędzi jest równa 16. Wyznaczymy objętość V takiego graniastosłupa w zależ-

ności od długości a krawędzi jego podstawy.

Oznaczmy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa przez b. Z warunków zadania ma-

my a > 0 i b > 0 oraz 8a + 4b = 16, skąd b = 4 − 2a, zatem a < 2.

Wobec tego objętość V graniastosłupa jest funkcją zmiennej a postaci

V(a) = a2(4 − 2a) = − 2a3 + 4a2

a dziedziną funkcji V jest przedział (0, 2).

Przykład 7.Rozważmy wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 15, a cyfrą dziesiątek

jest x. Zapiszemy taką liczbę dwucyfrową wzorem zależnym od x.

Z warunków zadania wynika, że cyfrą jedności takiej liczby jest 15 − x, a tą liczbą dwucyfrową

jest 10x + (15 − x).Zauważmy, że powyższy wzór określa liczbę dwucyfrową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione

są następujące dwa warunki:

• cyfra dziesiątek: x jest jedną z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

• cyfra jedności: 15 – x jest jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Wobec tego x należy do zbioru {6, 7, 8, 9}.Zapisując tę liczbę dwucyfrową jako funkcję f zmiennej x, otrzymujemy

f(x) = 10x + (15 − x) = 9x + 15

Dziedziną funkcji f jest zbiór czteroelementowy {6, 7, 8, 9}.

Wprowadzenie

Przykład 8.Na rysunku przedstawiony jest wykres zmian ceny akcji pewnej spółki w ciągu kilku miesięcy

2013 i 2014 r. Na podstawie wykresu można odczytać cenę akcji w każdym miesiącu, w któ-

rym została ona zapisana. Jednak przebieg tej funkcji opisującej te zmiany zmienia się w cza-

sie rzeczywistym. Nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wartości akcji w kolejnych miesiącach.

Poziom trudności: KZadanie 1.2.1.2Zapoznaj się z najprostszą metodą przewidywania cen akcji na giełdzie.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: KZadanie 1.2.1.3Zapoznaj się ze stroną internetową zawierającą informacje o notowaniu spółek giełdowych.

Wybierz jedną z nich i śledź zmiany jej ceny przez kilka dni. Staraj się codziennie przewidzieć

cenę spółki i oceń trafność swoich przewidywań.

(Pokaż odpowiedź)

Wprowadzenie

1.2.2. Dziedzina

Definicja: Dziedzina

Zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy

nazywamy dziedziną funkcji.

Przyjmujemy domyślnie, że jeżeli w zadaniu pojawi się tylko wzór funkcji, to funkcja określona jest

w całej swojej dziedzinie.

Przykład 1.Wyznacz dziedzinę funkcji P(x) = x2.

Dziedziną funkcji P jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DP = R.

Dziedzina

Przykład 2.Wyznacz dziedzinę funkcji L(c) = 15 + c.

Dziedziną funkcji L jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DL = R.

Przykład 3.Wyznacz dziedzinę funkcji P(a) = − a2 + 12a.

Dziedziną funkcji P jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DP = R.

Dziedzina

Przykład 4.

Wyznacz dziedzinę funkcji y(x) =2x

x − 2 .

Dzielenie przez zero jest niewykonalne, zatem x − 2 ≠ 0. Dziedziną funkcji y jest zbiór liczb

rzeczywistych różnych od 2, co zapisujemy: Dy = R ? {2}.

Przykład 5.Wyznacz dziedzinę funkcji d(x) = √10 − x

Pierwiastek kwadratowy określony jest dla liczb nieujemnych, zatem 10 − x ≥ 0. Dziedziną

funkcji d jest zbiór ( − ∞; 10 ? , co zapisujemy: Dd = ( − ∞; 10 ? .

Dziedzina

Przykład 6.Wyznacz dziedzinę funkcji V(a) = − 2a3 + 4a2.

Dziedziną funkcji V jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DV = R.

Przykład 7.Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = 9x + 15.

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: Df = R.

Wskaż, która z podanych liczb należy do dziedziny funkcji f(x) =x

x + 3 + 1.

b) – 3

(Pokaż odpowiedź)

Dziedzina

Sprawdź, czy podana liczba należy do dziedziny funkcji g(x) =x

x2 + 3.

b) – 3

c) −√3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.2.3Sprawdź, czy podana liczba należy do dziedziny funkcji f(x) = √x + 2 − 3.

a) – 4

b) – 2

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz dziedzinę funkcji k(x) =x + 2x − 3 .

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = √x − 5.

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) =3

(x + 1)(2x − 6).

(Pokaż odpowiedź)

Dziedzina

Znajdź dziedzinę funkcji f(x) =x − 3

x2 − 4x.

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz dziedzinę funkcji t(x) =3

√−1 − x .

(Pokaż odpowiedź)

Ustal dziedzinę funkcji f(x) = √2 − x +x

x + 7 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.2.2.10Bok kwadratu ABCD ma długość 2. Punkt E leży na boku BC, przy czym długość odcinka CE jest

równa x. Punkt F leży na boku CD i | CF | = | CE | . Zapisz pole P trójkąta AEF jako funkcję

x. Ustal dziedzinę tej funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Dziedzina

1.2.3.1. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.1Wskaż funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

a) f(x) =1

b) f(x) =x + √3

c) f(x) =3x + 7

d) f(x) =5

3 − x

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.2Liczba 1 należy do dziedziny funkcji

a) f(x) =3

x2 − 1

b) f(x) =1

3 − 3x

c) f(x) =4

d) f(x) =2

x − 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.3Dziedziną funkcji f(x) = √x + 2 jest przedział

a) ? −2, + ∞)

b) ? 2, + ∞)

Zbiór zadań

c) ( − ∞, − 2 ?

d) ( − ∞, 2 ?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.6Wskaż funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru {−1, 0, 1, 2}.

a) f(x) =x − 2

b) f(x) =x − 1x + 2

c) f(x) =x

x − 2

d) f(x) =x + 1x − 1

(Pokaż odpowiedź)

Do dziedziny funkcji f(x) =2

√4 − x należy liczba

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.8Wskaż funkcję, której dziedziną nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

a) f(x) =x + 2

√x2 + 4

b) f(x) =x2 − 5x

x2 − 3

c) f(x) =x2 + x

−x2 − 3

d) f(x) =x2 − 1

x2 + 1

(Pokaż odpowiedź)

Do dziedziny funkcji f(x) =x

(x − 1)(x + 2)(x − 3)należy liczba

b) – 2

d) – 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.10Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne, których suma długości wszystkich

krawędzi jest równa 18. Długość krawędzi podstawy takiego graniastosłupa może być dowolną

liczbą rzeczywistą z przedziału

a) (2, 6)

b) ?0, 2?

c) (0, 3)

d) (1, 4)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.11Wyznacz dziedzinę funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.12Wypisz wszystkie liczby, które nie należą do dziedziny funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.13Ustal dziedzinę funkcji.

f(x) = 2x + 5a)

g(x) = x2 − 5b)

h(x) = x3 − 2x + 7c)

k(x) = 5d)

f(x) =2x

x + 7a)

g(x) =x − 11 − x

h(x) =2x + 13x − 9

k(x) =3x − 1120x + 4

f(x) =7

(x − 2)(x + 2)

h(x) =x − 3

x(3 − x)

g(x) =x2 − 1

(x − 1)(x + 4)

k(x) =x3 − 5x2

x(2x + 4)(x − 1)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.14Wypisz wszystkie dodatnie liczby całkowite, które należą do dziedziny funkcji

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.15Wyznacz dziedzinę funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

m(x) =5

x2 − 9

p(x) =2x + 5

x2 + 6

t(x) =3 − 6x

x2 + 2x + 1

u(x) =8x − 9

x2 − 4x + 4

f(x) = √5 − xa)

g(x) = √18 − 2xb)

h(x) = √7 − 3xc)

k(x) = √24 − 5xd)

f(x) =2

√x + 3a)

g(x) = √4 − 2x10x + 10

h(x) =x

15 − 3x + √x − 4c)

t(x) = √16 − 2xx + 1 + √7x + 21

x − 5d)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.16Rozpatrzmy wszystkie trójkąty, których obwód jest równy 8. Oznaczmy wierzchołki takiego trój-

kąta przez A, B, C. Przyjmijmy, że AB jest najkrótszym bokiem | AB | = 2 i | AC | = x. Zapisz

długość a boku BC w zależności od x. Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji a.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.17Bok trójkąta równobocznego ABC ma długość 6. Punkty D i E leżą na bokach odpowiednio BC i

AC w tej samej odległości x od wierzchołka C. Zapisz pole P trapezu ABDE jako funkcję x. Ustal

dziedzinę tej funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.18Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o objętości 100. Zakładając, że

krawędź podstawy takiego graniastosłupa jest równa a, zapisz jego pole powierzchni całkowitej

P w zależności od a. Wyznacz dziedzinę funkcji P.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.1.19Rozpatrzmy wszystkie trójkąty prostokątne, których pole jest równe 18. Przyjmijmy, że długość

jednej z przyprostokątnych takiego trójkąta jest równa b. Zapisz długość c przeciwprostokątnej

trójkąta w zależności od b. Wyznacz dziedzinę funkcji c.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.1Liczba 7 nie należy do dziedziny funkcji

a) f(x) =12

3x − 7

b) f(x) =6

2x − 14

c) f(x) =7x + 17x − 7

d) f(x) =9

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.2Dziedziną funkcji f(x) = √15 − 3x jest przedział

a) ? −5, + ∞)

b) ? 5, + ∞)

c) (−∞, − 5 ?

d) (−∞, 5 ?

(Pokaż odpowiedź)

Do dziedziny funkcji f(x) =4x2 + 5

(x − 4)(x + 9)(x + 5)należy liczba

a) −4

c) −9

d) − 5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.4Wskaż funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

a) f(x) =x2 + 24

x2 + 6

b) f(x) =8

6 − 7x

c) f(x) =2x + 76x + 1

d) f(x) =x − 6x − 6

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.6Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 48. Wybrany bok takiego prosto-

kąta może być dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału

a) (1, 27)

b) (0, 24)

c) (12 ,

1474 )

d) ?0, 12?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.7Wskaż funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru { − 6, 0, 6, − 15}.

a) f(x) =x − 2

48 − 8x

b) f(x) =21x − 12x + 30

c) f(x) =−15x − 6

4 − 4x

d) f(x) =2x − 153x + 18

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.8Do dziedziny funkcji f(x) = √9 − x + √x − 6 należy liczba

(Pokaż odpowiedź)

Do dziedziny funkcji f(x) =1

14x − 14 +2

x + 14 nie należy liczba

a) −14

b) −13

c) −12

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.10Do dziedziny której z poniższych funkcji, należy każda liczba rzeczywista większa od 9?

a) f(x) =3x − 9

√x − 8

b) f(x) = √9 − x

c) f(x) =2x + 9x − 10

d) f(x) =x2 + 9x

x2 − 64

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.11Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji

a) f(x) = √13 − x

b) f(x) = √x − 12

c) f(x) =4

x − 11

d) f(x) =x − 12x + 11

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.12Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji

a) f(x) = √x2 + 7

b) f(x) =7x + 1

282 − 7

c) f(x) =14x − 14

7x − 7

d) f(x) =x − 7

9 + √50

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.13Do dziedziny funkcji f(x) = √3x − 33 + √12 − x należy liczba

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.2.14Rozpatrzmy wszystkie trójkąty równoramienne, których podstawa ma długość 18. Przyjmijmy,

że ramię takiego trójkąta ma długość x. Jeżeli wysokość h takiego trójkąta uzależnimy od x, to

a) dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (9, + ∞)

b) dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (0, + ∞)

c) h jest funkcją x postaci h(x) = √x2 + 81

d) h jest funkcją x postaci h(x) = √x2 − 81

(Pokaż odpowiedź)

Wypisz wszystkie liczby całkowite, które należą do dziedziny funkcji f(x) = √3 − xx + 8 +

8x − 1

√x + 10 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.2.16Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym 100. Oznaczmy wierzchołki takiego prosto-

kąta przez A, B, C, D i przyjmijmy, że | AB | = x. Uzależnij od x obwód l prostokąta ABCD.

Ustal dziedzinę funkcji l.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.2.17

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = √36 − 3xx − 10 + √x + 13

x + 11 .

(Pokaż odpowiedź)

1.3. Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowefunkcji liczbowej

1.3.1. Miejsca zerowe funkcji

Przykład 1.Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.

Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu 5 marca była równa 3 ° C,

natomiast 11 marca wynosiła 4 ° C. Możemy też zadać pytanie: kiedy temperatura wynosiła

5 ° C? Z wykresu odczytujemy, że temperaturę 5 ° C odnotowano czterokrotnie: 2, 12, 14, 26

marca.

Szczególną wartością temperatury powietrza jest 0 ° C. W tej temperaturze woda przechodzi

ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. Zadajmy sobie pytanie: kiedy w marcu, w tej miej-

Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej

scowości odnotowano temperaturę 0 ° C? Z wykresu odczytujemy: 6, 10, 16 marca. Przyjmij-

my, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla x = 6, x = 10, x = 16 wartości

tej funkcji wynoszą 0.

Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0 nazywamy miejscem ze-

rowym tej funkcji.

Przykład 2.Wykres przedstawia zmiany stanu konta klienta banku w pierwszych jedenastu dniach mie-

siąca.

Klient zakupił lodówkę za kwotę 2 tys. euro (czyli stan jego konta zmniejszył się o 2 tys. euro

w momencie dokonania płatności). Innych zakupów tego dnia już nie zrobił. Z wykresu od-

czytujemy, że zakup ten nastąpił 5. dnia miesiąca, gdyż 4. dnia stan konta wynosił 4 tys. euro,

a 5 dnia 2 tys. euro, a w żadnym innym dniu stan konta nie był o 2 tys. euro niższy, niż w dniu

poprzednim.

Miejsca zerowe funkcji

Konto klienta zostało zasilone kwotą 3 tys. euro. Którego dnia miesiąca zostało zasilone kon-

to taką kwotą? Z wykresu możemy odczytać, że nastąpiło to w 7. dniu miesiąca.

Kiedy stan konta klienta był równy zero? Z wykresu odczytujemy, że klient miał zerowy stan

konta 9. i 11. dnia miesiąca. W przypadku niektórych kont banki dopuszczają sytuację, w któ-

rej klient wypłaca z konta więcej pieniędzy niż posiada na koncie. Powstaje wówczas tzw.

debet. Możemy, analizując ciągle ten sam wykres, zapytać, czy na koncie klienta był w tym

okresie debet, a jeśli był, to w jakiej wysokości. Debet ilustrują te punkty wykresu, które znaj-

dują się poniżej osi poziomej układu współrzędnych, a więc punkty odpowiadające ujemnym

wartościom funkcji. Z wykresu odczytujemy, że tylko w 1. dniu miesiąca miała miejsce taka

sytuacja. Wielkość debetu wyniosła 1 tys.zł.

Powyższe przykłady pokazują, że w praktyce niekiedy istotne jest określenie, w jakim przypadku

funkcja przyjmuje wartość 0. Są też sytuacje, gdy wygodniej jest porównywać wartości funkcji z

inną szczególną wartością tej funkcji. Na przykład, gdy analizujemy wykres temperatury ciała czło-

wieka w pewnym przedziale czasowym, to temperaturę porównujemy z wartością 36,6 ° C. Jest

to tzw. normalna temperatura ciała człowieka. Temperatura ciała wyższa od tej wartości, ale nie

większa niż 37 ° C, wskazuje na stan podgorączkowy. Temperatura ciała wyższa niż 37 ° C ozna-

cza gorączkę. Temperatura ciała człowieka niższa niż 36,6 ° C oznacza osłabienie organizmu.

Przykład 3.Na rysunku przedstawiony jest wykres temperatury ciała pacjenta, mierzonej co godzinę,

przez kolejnych 12 godzin.

Określmy kilka przykładowych wartości temperatury ciała tego pacjenta. W początkowym

momencie mierzenia, czyli w chwili t = 0 pacjent miał stan podgorączkowy, temperatura jego

ciała była równa 37 ° C. W chwili t = 4 temperatura jego ciała wynosiła 39 ° C, a więc miał

wówczas gorączkę. Po siedmiu godzinach pomiaru temperatura ciała pacjenta przyjęła war-

tość normalną i taka temperatura utrzymywała się przez godzinę, do chwili t = 8. Przez na-

stępne dwie godziny pacjent był osłabiony, ale od chwili t = 10, aż do końca pomiaru, czyli

do chwili t = 12 znowu powróciła u niego temperatura normalna. Możemy więc powiedzieć,

że normalna temperatura odnotowana była w dwóch przedziałach czasowych ?7, 8? oraz

?10, 12?.

W praktyce często występują charakterystyczne wartości różnych wielkości, często inne niż zero,

w stosunku do których odnosimy mierzone wartości. Np. temperatura 100 ° C, a więc tempera-

tura wrzenia wody w warunkach normalnego ciśnienia, 50 km / h – dopuszczalna prędkość poru-

szania się pojazdów po drogach na obszarach zabudowanych, 8000 metrów n.p.m. – tzw. „granica

śmierci” w górach.

Przykład 4.Gdy dziedziną lub zbiorem wartości funkcji jest zbiór nieograniczony, to jesteśmy w stanie

narysować jedynie pewien fragment wykresu tej funkcji (ze względu na ograniczone rozmiary

kartki papieru lub ekranu monitora). Jeśli narysowany jest jedynie fragment wykresu funkcji i

nie wiemy nic więcej o tej funkcji, to nie możemy na podstawie tego fragmentu wykresu wyci-

ągać wniosków, które dotyczą tych części wykresu, których rysunek nie przedstawia. Na przy-

kład na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji h możemy podać jej miejsce

zerowe x = 2 i stwierdzić, że w widocznym na rysunku przedziale ?−6,6? innych miejsc zero-

wych ta funkcja nie ma.

Jeśli wiedzielibyśmy, że funkcja przedstawiona na wykresie jest dla każdego x rzeczywistego

określona wzorem

h(x) =12x − 1,

to wyznaczenie jej wszystkich miejsc zerowych sprowadziłoby się do rozwiązania równania

h(x) = 0, co równoważnie zapisujemy12x − 1 = 0, skąd

12x = 1, czyli x = 2.

1.3.2. Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość

Przykład 1.Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w, wystarczy

dorysować prostą równoległą do osi OX, na której leżą wszystkie punkty, których druga

współrzędna jest równa w (o takiej prostej mówimy, że ma równanie y = w). Jeżeli taka dory-

sowana prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z

punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.

Przykład 2.Odczytaj z wykresu funkcji f liczbę rozwiązań równania f(x) = m.

Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość

Przykład 3.Wyznaczymy wszystkie miejsca zerowe funkcji

• p(x) = 8 − 7x

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy równanie p(x) = 0, a zatem 8 − 7x = 0, skąd 7x = 8, czyli x =87 .

Funkcja p ma jedno miejsce zerowe x =87 .

• k(x) = (3x − 2)(x + 1)Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy równanie k(x) = 0, a zatem (3x − 2)(x + 1) = 0. Ponieważ iloczyn jest równy 0

wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy 0, więc 3x − 2 = 0 lub

x + 1 = 0. Stąd x =23 lub x = − 1.

Funkcja k ma dwa miejsca zerowe: x1 =23 oraz x2 = − 1.

• f(x) = x2 − 4

Rozwiązujemy równanie f(x) = 0, a zatem x2 − 4 = 0. Korzystając ze wzoru na różnicę kwadra-

tów, zapisujemy równanie w postaci (x − 2)(x + 2) = 0, a więc x − 2 = 0 lub x + 2 = 0. Wynika z

tego, że x = 2 lub x = − 2.

Funkcja f ma dwa miejsca zerowe: x1 = 2 oraz x2 = − 2.

Fragment wykresu funkcji f(x) = x2 − 4 przedstawiony jest na rysunku.

• g(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)

Rozwiązujemy równanie g(x) = 0, a zatem (x − 1)(x + 1)(x − 2) = 0, skąd x − 1 = 0 lub x + 1 = 0

lub x − 2 = 0. Wynika z tego, że funkcja g ma 3 miejsca zerowe: x1 = 1, x2 = − 1 oraz x3 = 2.

Fragment wykresu funkcji g(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2) przedstawiony jest na rysunku.

• t(x) =x2 − 1x + 1

Dziedziną funkcji t jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem liczby – 1. Zauważ-

my, że dla x ≠ − 1 funkcję t można zapisać w postaci

t(x) =(x − 1)(x + 1)

x + 1 = x − 1. Jedynym miejscem zerowym funkcji t jest zatem x = 1.

Fragment wykresu funkcji t(x) =x2 − 1x + 1 przedstawiony jest na rysunku.

• m(x) = {−2x − 2

2x − 2

−2 ≤ x < − 1

−1 ≤ x ≤ 1

1 < x ≤ 2

Dziedziną tej funkcji jest przedział ?−2, 2?.

Zauważmy, że:

A zatem każda liczba rzeczywista z przedziału ?−1, 1? jest miejscem zerowym funkcji m.

Funkcja m ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Cały wykres funkcji m przedstawiony jest na rysunku.

Przykład 4.Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowuje liczbę o 30% od niej mniej-

szą. Obliczymy, dla jakiego argumentu funkcja f przyjmuje wartość 14.

Oznaczmy taką liczbę rzeczywistą przez x. Przyporządkowanie opisane w treści zadania zapi-

sujemy wzorem f(x) = x − 30% x = x − 0,3x = 0,7x. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczy-

wistych dodatnich.

Szukamy argumentu, dla którego f(x) = 14, a więc 0,7x = 14, skąd x =140,7 = 20.

Jedynym argumentem, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 14 jest x = 20.

Jeżeli x ? ? −2, − 1), to m(x) = − 2x − 2. Rozwiązujemy równanie m(x) = 0, a zatem

−2x − 2 = 0, skąd x = − 1. Ale – 1 nie należy do przedziału ? −2, − 1), zatem w tym

przypadku funkcja m nie ma miejsc zerowych;

Ponieważ dla x ? ?−1, 1? funkcja m dana jest wzorem m(x) = 0, to każda liczba z prze-

działu ?−1, 1? jest miejscem zerowym tej funkcji;

Jeżeli x ? (1, 2 ? , to m(x) = 2x − 2. Rozwiązujemy równanie m(x) = 0, a więc 2x − 2 = 0,

skąd x = 1. Ale 1 nie należy do przedziału (1, 2 ? , zatem w tym przypadku funkcja m

nie ma miejsc zerowych.

Przykład 5.

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja g(x) =x2 − 4x

2 przyjmuje wartość – 2.

Rozwiązujemy równanie g(x) = − 2.

x2 − 4x2 = − 2

x2 − 4x = − 4

x2 − 4x + 4 = 0

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Wtedy (x − 2)2

czyli x − 2 = 0, a zatem x = 2.

Wobec tego funkcja g(x) =x2 − 4x

2 przyjmuje wartość – 2 tylko wtedy, gdy x = 2.

Przykład 6.

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja k(x) =2

x + 1 przyjmuje wartość13 .

Najpierw ustalimy dziedzinę funkcji k. Jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od

– 1.

Rozwiązujemy równanie k(x) =13 .

2x + 1 =

Z własności proporcji x + 1 = 2 ? 3,

czyli x = 5.

A zatem funkcja k(x) =2

x + 1 przyjmuje wartość13 tylko wtedy, gdy x = 5.

Przykład 7.Funkcja P każdej dodatniej liczbie rzeczywistej a przyporządkowuje pole trójkąta równobocz-

nego o boku a. Obliczymy a, dla którego funkcja P osiąga wartość √3.

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, ustalamy wzór funkcji P:P(a) = √34 a2,

dla a > 0.

Rozwiązujemy równanie P(a) = √3

√34 a2 = √3 | ?

a2 = 4

Ponieważ a jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd

a = √4 = 2.

A zatem P osiąga wartość √3 dla a = 2.

Przykład 8.

Funkcje: a(n) = n(2n − 3)(n − 4) i b(n) = − 3n2 + 1 określone są na zbiorze dodatnich liczb cał-

kowitych.

• Obliczymy miejsce zerowe funkcji a.

Rozwiązujemy równanie a(n) = 0, a więc n(2n − 3)(n − 4) = 0, skąd n = 0 lub 2n − 3 = 0 lub

n − 4 = 0, czyli n = 0 lub n =32 lub n = 4. Spośród tych trzech liczb jedynie 4 jest liczbą całko-

witą dodatnią, a zatem funkcja a ma tylko jedno miejsce zerowe, n = 4.

• Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja b przyjmuje wartość −26.

Rozwiązujemy równanie b(n) = − 26.

−3n2 + 1 = − 26

−3n2 = − 26 − 1

−3n2 = − 27 | : | −3

n2 = 9

Ponieważ n jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd

n = √9 = 3

Wynika z tego, że funkcja b przyjmuje wartość – 26 tylko wtedy, gdy n = 3.

Przykład 9.

Dana jest funkcja f(x) = {4

2 − 7x

x ≤ − 1

−1 < x ≤ 3

Wyznaczymy wartości funkcji f dla argumentów: x = − √5, x = − 1, x =157 , x = 4.

Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.1Funkcję f przedstawiono za pomocą grafu.

Wskaż, która równość jest poprawna.

a) f(−2) = − 3

b) f(−3) + f(−1) = 0

c) f(−1) = 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.2Funkcję g przedstawiono za pomocą tabelki.

x −2 −1 0 1 2 3

g(x) 2 4 −1 0 −2 2

Wynika z tego, że funkcja g

a) przyjmuje wartość 3

b) dla każdego argumentu ujemnego przyjmuje wartość dodatnią

c) dla x = 0 przyjmuje wartość 1

d) ma dwa miejsca zerowe

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.3Funkcja i każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez sumę

jej cyfr. Wynika z tego, że

a) i(20) < i(21)b) i(35) jest liczbą całkowitą

c) i(24) = 4

d) i(10) = 10

(Pokaż odpowiedź)

Rozpatrzmy funkcję g(x) =3 − 2x

5 . Funkcja g

a) nie przyjmuje wartości 2

b) ma jedno miejsce zerowe

c) dla x = 7 przyjmuje wartość całkowitą

d) dla x = − 1 przyjmuje wartość 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.5Funkcja z każdej dodatniej liczbie całkowitej n przyporządkowuje liczbę o 1 mniejszą od dwu-

krotności liczby n. Wtedy

a) do zbioru wartości funkcji z należy liczba 333

b) z(2) = z(3)

c) funkcja z nie ma miejsc zerowych

d) z(5) = 4

(Pokaż odpowiedź)

Oznaczmy przez P(a) pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.8Dziedziną funkcji a(n) = 7n − 2 jest zbiór liczb naturalnych. Sprawdź, czy do zbioru wartości

funkcji a należy liczba

a) 1000

b) 110

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.9Miejscem zerowym funkcji f(x) = (m + 2)x2 − mx + 8 jest liczba – 1. Wynika stąd, że

a) m = − 5

b) m = 8

c) m = − 1

d) m = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.2.10Funkcja f jest określona wzorem

Oblicz P(12 ).a)

Wykaż, że P(√2) > 10.b)

Wyznacz a, dla którego P(a) przyjmuje wartość 6.c)

Wyznacz a, dla którego P(a) przyjmuje wartość 30.d)

f(x) = { x + 1

7 − 2x

x ≤ 2

2 < x < 5

Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość – 5?

(Pokaż odpowiedź)

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n przez s(n) oznaczamy sumę n początkowych liczb

całkowitych dodatnich, to znaczy s(n) = 1 + 2 + … + n.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.3.2.12Długość boku kwadratu ABCD jest równa 4. Punkt E leży na przekątnej AC kwadratu, przy czym

| AE | = x. Dla jakiej wartości x pole P trójkąta ABE jest równe 3√2?

(Pokaż odpowiedź)

Oblicz s(10).a)

Znajdź n, dla którego s(n) = 66.b)

Wykaż, że nie istnieje n, dla którego s(n) = 60.c)

1.3.3.1. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.1Wskaż funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 3.

a) f(x) =13x + 3

b) f(x) = 3x

c) f(x) = 15 − 5x

d) f(x) = 2x + 3

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja f określona jest wzorem f(x) =x − 3

2 . Wynika z tego, że f(x) = − 2 dla

a) x = − 2

b) x = − 1

c) x = 1

d) x = 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.3Funkcja g określona jest za pomocą tabeli.

x 1 2 3 4 5 6

g(x) 074 √5 0 1 2

Największą wartością funkcji g jest

b) √5

Zbiór zadań

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.5Funkcja k określona jest za pomocą grafu.

Dla ilu argumentów funkcja k przyjmuje wartości ujemne?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Dana jest funkcja f(x) = { 3x − 1

x ≤ − 1

x > − 1. Wynika z tego, że f( − 1) jest równe

c) −2

d) −4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.8Funkcja f każdej liczbie trzycyfrowej mniejszej od 125 przypisuje iloczyn jej cyfr. Różnica między

największą i najmniejszą wartością tej funkcji jest równa

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.9Miejscem zerowym funkcji t(x) = (3 − m)x − 3m − 4 jest – 2. Wynika z tego, że t(0) jest równe

a) −4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.10Do zbioru wartości funkcji f(x) = x2 + 2 należy liczba

a) √5

Zadania

b) √3

c) √2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.11Funkcja g określona jest za pomocą tabeli.

x – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

g(x) 4 3 2 1 1 2 3 4

Wyznacz zbiór wartości funkcji g.

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = { x2

x ≤ 0

x > 0. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.13Wyznacz miejsce zerowe funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

f(0)a)

f( − √2)b)

f(23 )c)

f(√5)d)

f(x) = 4x − 6a)

g(x) = 5 − 2xb)

h(x) =2x − 3

k(x) =9 − 3x

Zadania

Na wykresie funkcji f(x) = − 2x + 5 leży każdy z punktów: A = ( − 1, a), B = (0, b), C = (1, c),D = (2, d). Oblicz a, b, c i d.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.15Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Dany jest okrąg o promieniu r. Przez P(r) oznaczamy funkcję określającą zależność między po-

lem sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg a promieniem r.

(Pokaż odpowiedź)

Dziedziną funkcji f(x) = x2 jest przedział ?−5, 2?. Znajdź wszystkie argumenty, dla których funk-

cja f przyjmuje wartość

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = x(x − 5)a)

g(x) = (2x + 4)(x − 3)b)

h(x) = (x − 1)(5 − x)c)

k(x) = x(x + 2)(8 − 4x)d)

Podaj wzór funkcji P.a)

Oblicz P(2).b)

Znajdź r, dla którego funkcja P przyjmuje wartość 54√3.c)

Zadania

Funkcja g określona jest, dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, wzorem g(n) =n2 − 1

4 . Znajdź

wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość 20.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.19Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.3.3.1.20

Funkcja u jest określona wzorem u(x) = {−x − 1

2x − 2

x < − 3

−3 ≤ x ≤ 2

Wykaż, że dla dowolnej liczby

rzeczywistej x funkcja u przyjmuje tylko wartości dodatnie.

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = x2 − 25a)

g(x) = 7 − x2b)

h(x) = 9x2 + 6x + 1c)

k(x) = x2 − 12x + 36d)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.1Wskaż funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 4.

a) f(x) =14x + 1

b) f(x) = 16 − 4x

c) f(x) = 4x

d) f(x) = 4x − 4

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja f określona jest wzorem f(x) =x − 6

5 . Wynika z tego, że f(x) = − 4 dla

a) x = − 26

b) x = − 16

c) x = − 15

d) x = − 14

(Pokaż odpowiedź)

Dana jest funkcja f(x) = { 4x − 1

x ≤ − 7

x > − 7. Wynika z tego, że f( − 7) jest równe

a) −2

b) −1

c) −29

d) −28

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.4Miejscem zerowym funkcji t(x) = (m + 9)x − m + 37 jest – 4. Wynika z tego, że m jest równe

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.5Na wykresie funkcji f(x) = 6x2 − 7x leży punkt

a) D = ( − 1, 1)

b) C = ( − 1, − 13)

c) B = ( − 1, 13)

d) A = ( − 1, − 1)

(Pokaż odpowiedź)

Miejscami zerowymi funkcji f(x) = (x − 3)( − 8 − x) są liczby

a) x = − 3 oraz x = 8

b) x = − 3 oraz x = − 8

c) x = 3 oraz x = 8

d) x = 3 oraz x = − 8

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.7Dziedziną funkcji a(n) = 7n − 5 jest zbiór liczb naturalnych. Do zbioru wartości funkcji a należy

liczba

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.8Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n przez s(n) oznaczamy sumę n początkowych liczb

całkowitych dodatnich, to znaczy s(n) = 1 + 2 + … + n. Wskaż wartość s(16).

a) 256

b) 135

c) 120

d) 136

(Pokaż odpowiedź)

Dany jest okrąg o promieniu r. Przez K(r) oznaczamy pole kwadratu opisanego na tym okręgu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.10Funkcja i każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez sumę

jej cyfr. Wynika z tego, że

a) i(39) jest liczbą całkowitą

b) i(60) jest liczbą całkowitą

Oblicz K(8)a)

Znajdź r, dla którego wyrażenie k(x) przyjmuje wartość3025

64 .b)

c) i(38) =195

d) i(37) =3710

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.11Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g(n) =n2 − 100

7 . Znajdź

wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 27.

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = x(x − 5)a)

g(x) = (3x + 15)( − 8 − x)b)

h(x) = (x − 16)(23 − x)c)

k(x) = − 9x(x − 15)( − 32 + 8x)d)

1.4. Odczytywanie własności funkcji na podstawiejej wykresu. Część I

1.4.1. Argumenty i wartości funkcji

Już wiesz:

Przypomnijmy, że wykres funkcji, której argumentami i wartościami są liczby rze-

czywiste, to zbiór tych punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest ar-

gumentem funkcji, a druga współrzędna – wartością funkcji dla tego argumentu.

Przykład 1.Z przedstawionego wykresu funkcji f odczytaj jej wartości kolejno dla argumentów:

−4, − 3, − 1, 1, 2, 3, 4. Wskaż miejsca zerowe funkcji.

Dla argumentu

• x = – 4 wartość funkcji f jest równa – 3, co zapiszemy f( – 4) = – 3

• x = – 3 wartość tej funkcji jest równa – 2, czyli f( – 3) = – 2

Następnie f( – 1) = 3, f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 0 oraz f(4) = – 2.

Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I

Ważne

Przypominamy, że nie należy mylić miejsca zerowego z punktem wspólnym wykresu funkcji

i osi Ox. W tym rozpatrywanym przykładzie są dwa takie punkty ( – 2, 0) oraz (3, 0). Miejsca

zerowe to pierwsze współrzędne tych punktów, czyli x1 = – 2 oraz x2 = 3. Są to argumenty,

dla których funkcja przyjmuje wartość 0.

Przykład 2.Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji s, której dziedziną jest zbiór

wszystkich liczb rzeczywistych.

Na podstawie tego fragmentu wykresu funkcji s możemy wskazać pięć miejsc zerowych:

x = − π, x = 0, x = π, x = 2π , x = 3π.

W rzeczywistości funkcja ta jest określona dla każdej liczby rzeczywistej. Miejscem zerowym

tej funkcji jest każda całkowita wielokrotność liczby π, a więc każda liczba postaci x = kπ,

gdzie k jest liczbą całkowitą. Funkcją tą jest sinus. Jest to jedna z funkcji trygonometrycznych.

Argumenty i wartości funkcji

Ważne

Nie narysujemy w całości wykresu funkcji, której dziedziną jest zbiór nieograniczony. Z wy-

kresu takiej funkcji nie odczytamy poprawnie wszystkich jej własności.

Przykład 3.

Już wiesz:

Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumen-

tu a, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi Oy, na której leżą wszystkie

punkty, których pierwsza współrzędna jest równa a (taką prostą opisujemy równa-

niem x = a). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wy-

kresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.

Już wiesz:

• Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje war-

tość w, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi Ox, na której leżą

wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa w (taką prostą opi-

sujemy równaniem y = w).

• Jeżeli taka dorysowana prosta ma punkt wspólny z wykresem danej funkcji,

to odczytując pierwszą współrzędną każdego z takich punktów wspólnych,

wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.

1.4.2. Przykłady

Przykład 1.Odczytaj miejsca zerowe funkcji przedstawionej na wykresie.Jeżeli argument funkcji nie jest

jej miejscem zerowym, to wartość funkcji dla tego argumentu jest dodatnia lub ujemna.

Oś Ox dzieli wykres funkcji tak, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi Ox ma drugą

współrzędną dodatnią. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Podobnie każdy punkt wykresu, który leży poniżej osi Ox ma drugą współrzędną ujemną.

Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przykład 2.Wskaż, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.

Przykłady

Przykład 3.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

Odczytujemy z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejszą, wartość największą, zbiór

wartości, liczbę miejsc zerowych.

Dziedzina to przedział < – 9, 7).a)

Wartość najmniejsza to liczba – 3.b)

Wartość największa to liczba 2.c)

Zbiór wartości to przedział < – 3, 2 > .d)

Przykłady

Przykład 4.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.

wartości, liczbę miejsc zerowych, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości

dodatnie oraz ujemne.

Odczytujemy z wykresu funkcji:

Funkcja f ma jedno miejsce zerowe.

Przykłady

Przykład 5.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t.

wartości, liczbę miejsc zerowych, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości

dodatnie oraz ujemne.

Odczytujemy z wykresu funkcji:

dziedzinę: przedział ( – 3, 6),a)

zbiór wartości: przedział < 0, 9),b)

wartość najmniejszą: 0

zauważmy, że funkcja g nie przyjmuje wartości największej,

liczbę miejsc zerowych: jedno, jest to x = 0,d)

dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartości dodatnie: dla każdego x z prze-

działu ( – 3, 0) oraz dla każdego x z przedziału (0, 6).Zauważmy też, że funkcja g nie przyjmuje wartości ujemnych.

dziedzinę: zbiór czternastoelementowy

{ – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},a)

zbiór wartości: zbiór sześcioelementowy { – 2, 0, 1, 2, 3, 4},b)

wartość najmniejszą: – 2,c)

wartość największą: 4,d)

liczbę miejsc zerowych: trzy, są to: liczby – 4, 2, 5,e)

Przykłady

dla jakich argumentów funkcja t przyjmuje wartości dodatnie: dla każdego x ze zbioru

{ – 7, – 6, – 5, – 3, – 2, – 1, 3, 4, 6},f)

dla jakich argumentów funkcja t przyjmuje wartości ujemne: dla x = 0 oraz x = 1.g)

Przykłady

1.4.3. Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.1Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

a) ? −1, 4 ?

b) (−1, 4)

c) ? −7, 4 ?

d) (−7, 4)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Największa wartość funkcji f

a) jest równa 4 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 3

b) jest równa 3 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 2

c) nie istnieje

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Najmniejsza wartość funkcji f

a) jest równa 1 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 7

b) jest równa – 1 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = 2

c) nie istnieje

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.4Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.

Zbiorem wartości funkcji g jest

a) (−2, 5 ?

b) ? −2, 5)

c) (−2, 5)

d) ? −7, 1)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.5Wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku.

Największa wartość funkcji g

a) jest równa 5

b) jest równa – 2

c) nie istnieje

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Najmniejsza wartość funkcji g

a) jest równa – 2

b) jest równa 4

c) nie istnieje

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.7Wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku.

Zbiorem wartości funkcji jest

a) (−3, 6)

b) ? −3, 6 ?

c) (−2, 3)

d) ? 1, 6 ?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Największa wartość funkcji f

a) jest równa 6

b) nie istnieje

c) jest równa 1

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Najmniejsza wartość funkcji

a) jest równa – 3

b) jest równa 1

c) nie istnieje

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.10Wykres funkcji h przedstawiony jest na rysunku.

a) ? −3, 6)

b) ? −3, 6 ?

c) (−2, 3)

d) ? 1, 6 ?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Największa wartość funkcji h

a) jest równa 6

b) nie istnieje

c) jest równa 1

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Najmniejsza wartość funkcji h

a) jest równa – 2 dla argumentu x = 1

b) jest równa – 3 dla argumentu x = 0

c) nie istnieje

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.13Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu

zbiór wartości funkcji t,a)

najmniejszą wartość funkcji t,b)

największą wartość funkcji t,c)

miejsca zerowe funkcji t,d)

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

maksymalny przedział, w którym funkcja t przyjmuje wartości ujemne.e)

Zadania. Część I

Ile miejsc zerowych ma funkcja f?

a) nieskończenie wiele

(Pokaż odpowiedź)

Zaznacz wszystkie miejsca zerowe funkcji f.

a) x = − 1

b) x = 2

c) x = − 6

d) x = − 5

e) x = 7

f) x = − 3

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

a) nieskończenie wiele

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Zaznacz wszystkie miejsca zerowe funkcji g.

a) x = − 4

b) x = − 1

c) x = 2

d) x = − 3

e) x = − 2

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.18Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji k.

Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja k przyjmuje wartości dodatnie.

a) x ? (−8, −1 ?

b) x ? ? −8, −1)

c) x ? ? −8, − 1 ?

d) x ? (−8, − 1)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.3.19Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Wyznacz:

f(2 − √10),a)

znak iloczynu f(1) ? f(−3),b)

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.3.20Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g. Odczytaj z niego liczbę rozwiązań równania.

różnicę między wartością największą a wartością najmniejszą funkcji f.c)

g(x) = 1a)

g(x) = 2b)

g(x) = 3c)

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.4.3.21Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji h i k.Funkcja f określona jest następująco

f(x) = { h{x

−4 ≤ x ≤ − 1

−1 < x ≤ 5.

g(x) =12

Podaj miejsca zerowe funkcji f.a)

Podaj wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji f.b)

Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.c)

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

Ile rozwiązań ma równanie f(x) = − 1?d)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.22Rysunek przedstawia wykres funkcji f.

Podaj liczbę miejsc zerowych funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

1.4.4. Zadania. Część II

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.1Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ? −2, 3 ? ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Zadania. Część II

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.2Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f(x).

a) ? −2, 0) ? ? 1, 3 ?

b) ? −2, 0 ? ? ? 1, 3 ?

c) ? −2, 3 ?

d) ? −3, 3 ?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.3Rysunek przedstawia wykres funkcji g.

Zaznacz nierówność prawdziwą.

a) g(0) < g(2)

b) g(1) < g(−1)

c) g(−2) < g(4)

d) g(−3) < g(−4)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.4Wskaż wykres funkcji, której zbiorem wartości jest { – 1, 0, 1, 2, 3}.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.5Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji k.

Które równanie ma dokładnie 4 różne rozwiązania?

a) k(x) = 1

b) k(x) = 0,5

c) k(x) = 0

d) k(x) = − 0,5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.6Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.

Suma wartości najmniejszej i wartości największej funkcji h jest równa

b) −1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.7Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu z przedziału ? −2, 2 ? przyjmuje wartości

ujemne.

(Pokaż odpowiedź)

Podaj wartość funkcji dla x = 0.a)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.9Na rysunku przedstawiono wykres funkcji g. Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja g

przyjmuje wartość

Zapisz zbiór wartości funkcji f.b)

Wypisz miejsca zerowe tej funkcji.c)

Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.d)

– 1c)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.10Z wykresu funkcji h odczytaj

najmniejszą wartość tej funkcjia)

dla jakich x funkcja h przyjmuje wartości niedodatnieb)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.11Korzystając z przedstawionego wykresu funkcji k, odczytaj

jakie wartości przyjmuje funkcja h dla każdego z argumentów dodatnichc)

ile miejsc zerowych ma ta funkcjaa)

dla jakiego argumentu funkcja k przyjmuje wartość największąb)

dla jakiego argumentu funkcja k przyjmuje wartość najmniejsząc)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.12Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu

zbiór wartości funkcji kd)

najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? −3, − 1 ?a)

najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? −1, 1 ?b)

najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? 0, 2 ?c)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.13Korzystając z wykresu funkcji f, ustal znak

najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? 1, 3 ?d)

iloczynu f(2) ? f(1)a)

różnicy f(3) − f(0)b)

sumy f(−2) + f(3)c)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.14Z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji h, odczytaj

ilorazuf(4)

f(−3)d)

zbiór wartości tej funkcjia)

wszystkie argumenty, dla których funkcja h przyjmuje wartości ujemneb)

dla ilu argumentów funkcja h przyjmuje wartość 2c)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.15Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu

wszystkie argumenty, dla których funkcja h przyjmuje wartości większe od 1d)

wartość t(√2)a)

znak t(−0,3)b)

wartość iloczynu t(2517 ) ? t(− 34

29 )c)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.16Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Odczytaj z niego różnicę między wartością naj-

większą a wartością najmniejszą funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

znak różnicy t(π) − t(3 − π)d)

Wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku. Ustal liczbę rozwiązań równania g(x) = m w za-

leżności od m.

(Pokaż odpowiedź)

Sporządź przykładowy wykres funkcji, której dziedziną jest zbiór {−2, 3}, a zbiorem wartości

jest przedział { − 3, 1}.(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.19Sporządź przykładowy wykres funkcji, która posiada dwa miejsca zerowe, a jej dziedziną jest

zbiór {−4; 0}.(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.20Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:

największa wartość funkcji wynosi 3,a)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.21Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.4.4.22Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:

(Pokaż odpowiedź)

najmniejsza wartość funkcji wynosi – 1.b)

w przedziale (−4, 0) funkcja jest dodatnia,a)

dziedzina funkcji to (−4, 0) ? (0, 5 ? ,b)

zbiór wartości funkcji to { − 2, 0, 1}.c)

dziedziną funkcji jest (−1, 1) ? (1, 5 ? ,a)

zbiór wartości to { − 2, 0, 1},b)

funkcja posiada dwa miejsca zerowe,c)

funkcja osiąga minimum tylko dla x = 2.d)

1.5. Odczytywanie własności funkcji na podstawiejej wykresu. Część II

1.5.1. Przykłady zastosowania funkcji

W analizach zjawisk gospodarczych bardzo często używa się sformułowań: „tendencja spadkowa”,

„wzrost sprzedaży”, „nagły spadek notowań” itp. Pojęcia te są ściśle związane ze zmniejszaniem

się, zwiększaniem lub stabilizacją pewnych wielkości wraz z upływem czasu.

Przykład 1.Wykres przedstawia zmiany kursu euro w odniesieniu do złotego (1 EUR do 1 PLN), w okresie

od 24.06.2013 r do 22.07.2013 r.

Analizując wykres, odczytujemy, jak zmieniał się średni kurs euro w tym czasie. Zauważmy,

że w niektórych okresach kurs wzrastał, a w innych spadał lub nie zmieniał się.

• W okresie od 5 do 11 lipca kurs euro wzrósł z 4,282 zł do 4,336 zł.

• W ciągu pięciu dni, od 14 do 18 lipca kurs euro nieustannie spadał – w ciągu tego okre-

su kurs spadł z 4,333 zł do 4,245 zł, a więc w efekcie spadł o blisko 9 groszy.

• Między 18 lipca a 19 lipca jego wartość ustaliła się na poziomie 4,245 zł.

Podsumowując cały analizowany okres, stwierdzamy, że w ciągu obserwowanych 30 dni kurs

euro miał tendencję spadkową, co pokazuje widoczna w tle linia trendu.

Przykład 2.Ważną cechą niektórych związków chemicznych jest ich rozpuszczalność w wodzie. Rozpusz-

czalność jest definiowana jako masa substancji rozpuszczona w 100g wody. Nie wszystkie

substancje rozpuszczają się równie łatwo, często ich wskaźnik rozpuszczalności jest zależny

Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II

od temperatury wody. Na wykresie przedstawiano wykres rozpuszczalności chlorku wapnia

(calcium chloratum - wzór chemiczny CaCl2) w zależności od temperatury wody.

Z wykresu możemy odczytać, że rozpuszczalność chlorku wapnia wzrasta, jeśli podgrzewamy

wodę od temperatury zbliżonej do 0 ° C do temperatury około 42 ° C. W przedziale od 42 ° C

do 83 ° C rozpuszczalność spada do tego stopnia, że w 100 g wody o temperaturze 83 ° C

rozpuścimy mniej chlorku CaCl2 niż w lodowatej wodzie o temperaturze zbliżonej do 0 ° C.

Przykłady zastosowania funkcji

1.5.2. Monotoniczność funkcji

Przykład 1.Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że

jest funkcją rosnącą.

Monotoniczność funkcji

jest funkcją malejącą.

jest funkcją nierosnącą.

jest funkcją niemalejącą.

Każdą z czterech prezentowanych w powyższych przykładach funkcji nazywać będziemy funkcją

monotoniczną.

Definicja: Funkcja rosnąca

Funkcja f jest określona w przedziale ? a, b ? .

Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? takich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:

f(x1) < f(x2),

to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ? a, b ? .

Przykład

Definicja: Funkcja malejąca

f(x1) > f(x2),

to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale ? a, b ? .

Definicja: Funkcja stała

Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? ta-

kich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:

f(x1) = f(x2),

to funkcję f nazywamy stałą w przedziale ? a, b ? .

Definicja: Funkcja niemalejąca

Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a; b ? ta-

f(x1) ≤ f(x2),

to mówimy, że funkcja f jest niemalejąca w przedziale ? a, b ? .

Przykład

Definicja: Funkcja nierosnąca

f(x1) ≥ f(x2),

To mówimy, że funkcja f jest nierosnąca w przedziale ? a, b ? .

Przykład

Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami

Jeśli funkcja, której dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każ-

dym z nich funkcja ta była monotoniczna, to powiemy, że jest ona monotoniczna

przedziałami.

Przykład 5.

Z wykresu funkcji f odczytamy na przykład, że:

Zauważmy jednak, że:

Funkcja f jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale

? −4, 5 ? .

w przedziale (0, 1 ? funkcja f jest rosnąca,a)

w przedziale (3, 4) funkcja f jest stała,b)

w przedziale ? −3, −2) funkcja f jest malejąca.c)

przedział ? −1, 2 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest rosnąca,a)

przedział ? 2, 5 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest stała,b)

przedział ? −4, − 1 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest male-

jąca,

przedział ? −1, 5 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest niemale-

jąca.

1.5.3. Monotoniczność. Przykłady

Przykład 1.Rysunek przedstawia wykres funkcji g.

Z wykresu funkcji g odczytamy, że:

Funkcja g jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale

? −4, 5 ? .

przedział ? 1, 4 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest rosnąca,a)

przedział ? −1, 1 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest malejąca,b)

przedział ? −3, − 1 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja g jest stała,c)

przedział ? −4, − 1 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest niemalejąca,d)

przedział ? −3, 1 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest nierosnąca.e)

Monotoniczność. Przykłady

Przykład 2.Z wykresu funkcji h odczytamy, że:

przedział ? −4, 2 ? jest przedziałem, w którym funkcja h jest rosnąca.

Funkcja h jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale

? −4, 5 ? .

Przykład 3.Z wykresu funkcji t odczytamy, że:

Funkcja t jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale

? −4, 5 ? .

przedział ? −2, 1 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja t jest rosnąca,a)

przedział ? −3, − 2 ? jest przedziałem, w którym funkcja t jest malejąca,b)

przedział ? 1, 4 ? jest przedziałem, w którym funkcja t jest malejąca.c)

Przykład 4.Na rysunku, w tym samym układzie współrzędnych, przedstawione są wykresy funkcji p oraz

Dziedziną funkcji p jest przedział ? −4, 3 ? , a dziedziną funkcji k jest przedział ? −3, 4 ? .

Z wykresów funkcji k i p odczytamy, że:

funkcja k jest rosnąca (jako rosnąca w całej swojej dziedzinie),a)

funkcja p jest malejąca (jako malejąca w całej swojej dziedzinie).b)

Przykład 5.

Dziedziną funkcji f, przedstawionej na rysunku, jest zbiór {−4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2}.Z wykresu odczytujemy, że:

f(−4) = − 2, f(−3) = − 1, f(−2) = 1, f(−1) = 2, f(0) = 212 , f(1) = 3, f(2) = 4.

Ponieważ

f(−4) < f(−3) < f(−2) < f(−1) < f(0) < f(1) < f(2),

więc funkcja f jest rosnąca.

Przykład 6.Dziedziną funkcji g jest zbiór {−4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Korzystając z przedsta-

wionego na rysunku wykresu funkcji g, odczytamy, że:

f(−4) = f(−3) = 3, f(−2) = f(−1) = 2, f(0) = f(1) = 0, f(2) = − 1, f(3) = f(4) = − 2, f(5) = − 3.

Ponieważ

f( − 4) ≥ f( − 3) > f( − 2) ≥ f( − 1) > f(0) ≥ f(1) > f(2) > f(3) ≥ f(4) > f(5),

więc funkcja g jest nierosnąca.

Przykład 7.Dziedziną funkcji a, przedstawionej na rysunku, jest zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.Przy zwiększaniu argumentu o 1 również o 1 rosną wartości funkcji a.

A zatem funkcja a jest rosnąca.

Z wykresu odczytujemy, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} zachodzi zależność

a(n) = n − 2.

Funkcja a jest przykładem ciągu – tak nazywa się funkcje, których dziedziną jest podzbiór

zbioru liczb całkowitych dodatnich.

Dla wyróżnienia tych szczególnych funkcji:

• zamiast tradycyjnego zapisu wartości a(n) stosuje się zapis an,

• an nazywamy n–tym wyrazem ciągu, zaś n nazywamy indeksem (lub wskaźnikiem).

Ciąg o kolejnych wyrazach a1, a2, a3,… oznaczamy symbolicznie (an).

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) rosnąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) rosnąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Jest to funkcja

a) niemonotoniczna

b) stała

c) malejąca

d) nierosnąca

e) rosnąca

f) niemalejąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Funkcja g jest rosnąca w przedziale

a) ? 1, 6 ?

b) ? −1, 4 ?

c) ? −5, − 1 ?

d) (−5, 0)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.12Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.

Funkcja h jest malejąca w przedziale

a) (3, 6)

b) ? −6, 2 ?

c) ? −2, 2 ?

d) ( − 6, − 2 ?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.13Wskaż wykres funkcji rosnącej.

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest malejąca, jest przedział

a) ? −3, 4 ?

b) ? −1, 2 ?

c) ? 1, 2 ?

d) (1, 2)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.15Wskaż wykres funkcji, która rośnie w przedziale ? −1, 1 ? .

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.1Na rysunku przedstawiono wykres funkcji g.

Maksymalny przedział, w którym funkcja g jest rosnąca, ma długość

c) 1,5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.2Wskaż wykres funkcji, która jest malejąca w przedziale ? 0, 3 ? .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.3Na rysunku przedstawiono wykres funkcji k.

Maksymalny przedział, w którym funkcja k jest malejąca, to

a) ? −3, − 2 ?

b) ? 2, 3 ?

c) ? −3, 2 ?

d) ? −3, 3 ?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.4Wskaż wykres funkcji niemalejącej, której dziedziną jest zbiór {−2, − 1, 0, 1, 2}.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.5Na rysunku przedstawiono wykres funkcji t.

Maksymalny przedział, w którym funkcja t jest malejąca, ma długość

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.6Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.7Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji g.

maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca,a)

długość maksymalnego przedziału, w którym funkcja f jest malejąca.b)

Podaj długość maksymalnego przedziału, w którym funkcja g jest rosnąca.a)

(Pokaż odpowiedź)

Podaj przedział o długości 2, w którym funkcja g jest malejąca.b)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.8Korzystając z wykresu funkcji p, który jest przedstawiony na rysunku, podaj:

(Pokaż odpowiedź)

maksymalny przedział, w którym funkcja p jest niemalejąca,a)

maksymalny przedział, w którym funkcja p jest nierosnąca.b)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.9Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

(Pokaż odpowiedź)

przedziały, w których funkcja f jest rosnąca,a)

przedziały, w których funkcja f jest malejąca.b)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.10Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t.

Korzystając z wykresu funkcji t, zaznacz poprawną odpowiedź opisującą tę funkcje.

a) funkcja t w przedziale ? 3, 4 ? jest niemalejąca

b) funkcja t w przedziale ? 0, 2 ? jest malejąca

c) funkcja t w przedziale ? −1, 0 ? jest malejąca

d) funkcja t w przedziale ? −4, − 1 ? jest rosnąca

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.11Z wykresu funkcji f odczytaj i zapisz:

maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejącaa)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.12Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.

maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnącab)

Odczytaj maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja g jest rosnąca.a)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.13Na rysunku przedstawiono wykres funkcji k. Odczytaj z wykresu i zapisz:

Odczytaj maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja g jest malejąca.b)

maksymalne przedziały, w których funkcja k jest nierosnąca,a)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.14Rysunek przedstawia wykres funkcji t.

Ustal, czy

a) funkcja t jest niemalejąca

maksymalne przedziały, w których funkcja k jest rosnąca.b)

b) funkcja t jest malejąca

c) funkcja t jest nierosnąca

d) funkcja t jest rosnąca

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.15Odczytaj z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji f

(Pokaż odpowiedź)

maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja jest rosnąca,a)

maksymalny przedział o długości 3, w którym funkcja jest rosnąca,b)

maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja jest malejąca,c)

maksymalny przedział o długości 1, w którym funkcja jest malejąca.d)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.16Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji.Określ maksymalne przedziały, w których ta funk-

cja jest malejąca, rosnąca, stała.

1.5.6. Zadania generatorowe

Poziom trudności: AZadanie 1.5.6.1Odczytaj monotoniczność funkcji w danym przedziale.

(Pokaż odpowiedź)

1.6. Przekształcanie figur na płaszczyźniekartezjańskiej

1.6.1. Symetria punktu

Przykład 1.Spróbuj wyjaśnić, jak wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w symetrii względem

• osi Ox,

• osi Oy,

• początku układu współrzędnych.

Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej

Przykład 2.

Symetria punktu

Zapamiętaj

• Przekształcając punkt P = (x, y) w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy punkt

P1 = (x, − y). Oś Ox jest symetralną odcinka PP1.

• Przekształcając punkt P = (x, y) w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy punkt

P2 = (−x, y). Oś Oy jest symetralną odcinka PP2.

• Punkt P3 = (−x, − y), symetryczny do punktu P = (x, y) względem punktu O = (0, 0),jest obrazem punktu P1 = (x, − y) w symetrii względem osi Oy i jednocześnie obrazem

punktu P2 = (−x, y) w symetrii względem osi Ox.

Przykład 3.Rozpatrzmy trójkąt ABC o wierzchołkach

A = (1, 2), B = (5, 1), C = (2, 7).

Przekształcając trójkąt ABC w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy trójkąt o wierzchoł-

A1 = (1, – 2), B1 = (5, – 1), C1 = (2, – 7).

Przekształcając trójkąt ABC w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy trójkąt o wierzchoł-

A2 = ( – 1, 2), B2 = ( – 5, 1), C2 = ( – 2, 7).

Natomiast trójkąt A3B3C3 o wierzchołkach

A3 = ( – 1, – 2), B3 = ( – 5, – 1), C3 = ( – 2, – 7)

jest zarówno obrazem trójkąta A1B1C1 w symetrii względem osi Oy, jak i trójkąta A2B2C2 w

symetrii względem osi Ox, a także trójkąta ABC w symetrii względem punktu O = (0, 0).

Symetria punktu

Rozpatrzmy okrąg o środku S = (0, 0) i promieniu r = 5. Ponieważ każda prosta przecho-

dząca przez punkt S jest osią symetrii tego okręgu, to w szczególności ten okrąg jest syme-

tryczny względem obu osi układu współrzędnych.

Symetria punktu

1.6.2. Symetria wykresu funkcji

Rozpatrzmy wykres funkcji

y = f(x),

określonej na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Punkt P = (a, b), który leży na wy-

kresie funkcji f ma współrzędne, które spełniają warunek b = f(a).Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy wykres pewnej funkcji

g, opisanej równaniem

y = g(x).

W symetrii względem osi Ox obrazem punktu P jest punkt o współrzędnych (a, − b), leżący na

wykresie funkcji g. Wynika z tego, że g(a) = − b, czyli g(a) = − f(a). Punkt P wybraliśmy dowolnie,

a zatem dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f zachodzi zależność g(x) = − f(x). Wobec

tego, przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji g

opisanej wzorem

g(x) = − f(x).

Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji h opi-

sanej równaniem

y = h(x).

Symetria wykresu funkcji

W symetrii względem osi Oy obrazem punktu P jest punkt o współrzędnych (−a, b) leżący na wy-

kresie funkcji h. Wynika z tego, że h(−a) = b, czyli h(−a) = f(a). Punkt P wybraliśmy dowolnie, co

oznacza, że jeśli argumenty funkcji h i f są liczbami przeciwnymi, to wartości tych funkcji są równe.

Wobec tego, przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy wykres

funkcji h, opisanej wzorem

h(x) = f(−x).

Symetria wykresu funkcji

1.6.3. Przykłady symetrii funkcji

h(x) = f(−x)

otrzymamy, przekształcając symetrycznie wykres funkcji f względem osi Oy.

Wykres funkcji g określonej wzorem

g(x) = − f(x) otrzymamy, przekształcając symetrycznie wykres funkcji f względem osi

Wykres funkcji h określonej wzoremb)

Przykłady symetrii funkcji

Przykład 2.Rysunek przedstawia wykres funkcji k.

y = k(−x),

która jest wykresem funkcji h określonej wzorem

h(x) = k(−x).

Zauważmy, że wykresy funkcji k i h pokrywają się. A zatem funkcje k i h są równe, ponieważ

ich dziedziną jest taki sam zbiór i dla każdego argumentu wartości obu tych funkcji są równe.

Przekształcając wykres funkcji k w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą

y = − k(x), która jest wykresem funkcji g określonej wzorem

g(x) = − k(x).

Przekształcając wykres funkcji k w symetrii względem osi Oy, otrzymamy krzywąb)

y = f( − x),

która jest wykresem funkcji h określonej wzorem

h(x) = f(−x).

Zauważmy, że wykresy funkcji g i h pokrywają się. Zatem funkcje g i h są równe.

Przekształcając wykres tej funkcji w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą

y = − f(x), która jest wykresem funkcji g określonej wzorem g(x) = − f(x).a)

Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymamy krzywąb)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.1Dane są punkty A = ( – 3,0) i B = (2,5). Przekształcając odcinek AB w symetrii względem osi Ox,

otrzymamy

a) odcinek, którego jednym z końców jest punkt ( – 2, 5)

b) odcinek, którego jeden z końców leży na osi Ox

c) odcinek, który ma jeden punkt wspólny z osią Oy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.2Dane są punkty A = ( – 2, 3), B = ( – 1, – 1) i C = (3,0). Przekształcając trójkąt ABC w symetrii

względem osi Oy, otrzymamy trójkąt, którego jeden z wierzchołków

a) leży na osi Ox

b) ma obie współrzędne ujemne

c) leży na osi Oy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.3Punkt S = (2, – 4) jest środkiem okręgu o promieniu 4. Przekształcając ten okrąg w symetrii

względem osi Ox, otrzymamy

a) okrąg, którego środkiem jest punkt (2, 4)

b) okrąg, który ma trzy punkty wspólne z osiami układu współrzędnych

c) okrąg o promieniu 4

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: BZadanie 1.6.4.5Osie Ox i Oy są osiami symetrii prostokąta ABCD, w którym A = (7, – 6). Wówczas

a) obwód tego prostokąta wynosi 26

b) pole tego prostokąta jest równe 168

c) C = ( – 7, 6)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.6.4.6Oś Oy jest osią symetrii trapezu KLMN, w którym K = ( – 5,11) oraz L = ( – 8, – 9). Wynika z te-

go, że

a) wysokość tego trapezu ma długość 20

b) pole trapezu jest równe 260

c) M = (8, 9)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku I.

a) y = − f(x)

b) y = − f( − x)

c) y = f( − x)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku II.

a) y = − f(x)

b) y = − f( − x)

c) y = f( − x)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku III.

Zadania. Część I

a) y = − f(x)

b) y = − f( − x)

c) y = f( − x)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku I.

a) y = − f(x)

b) y = − f( − x)

c) y = f( − x)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku II.

a) y = − f(x)

b) y = − f( − x)

c) y = f( − x)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku III.

a) y = − f(x)

b) y = − f( − x)

c) y = f( − x)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.13Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x4 − 4x3.

a) Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymamy wykres funkcji

g(x) = − x4 + 4x3.

b) Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymamy wykres funkcji

h(x) = − x4 − 4x3.

c) Wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.14Wśród podanych niżej funkcji są takie, których wykres jest symetryczny względem osi Oy.

Wskaż te funkcje.

a) f4(x) = 2x − 5

b) f3(x) = − x5 + 2x3

c) f2(x) =1

x4 + 2

d) f1(x) = x2 + 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.6.4.15Dana jest funkcja f(x) = ax3 + bx2.

a) Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Ox.

b) Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f nie ma punktów wspólnych z wykresem

funkcji y = f(−x).

c) Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.16Dane są punkty A = (1, 2), B = (1, − 2), C = (−1, 2), D = (−2, − 1). Wskaż odcinek, którego osią

symetrii jest oś Oy.

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.17Oś Oy jest osią symetrii trójkąta ABC, w którym A = (2, – 5), B = ( – 2, – 5). Wynika z tego, że

wierzchołek C może mieć współrzędne

a) (0, 2)

b) (0, − 5)

c) (2, 0)

d) ( – 2, 0)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.18Wskaż okrąg symetryczny względem osi Ox.

a) Okrąg o środku w punkcie S = (0, 3) i promieniu równym 3.

b) Okrąg o środku w punkcie S = (0, 3) i promieniu równym 2.

c) Okrąg o środku w punkcie S = ( – 2, 0) i promieniu równym 2.

d) Okrąg o środku w punkcie S = (2, 2) i promieniu równym 2.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.1Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji y = − f(x).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.2Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x).

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji y = f(−x).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.3Dana jest funkcja f(x) = 2x + 1. Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox,

otrzymujemy wykres funkcji g. Funkcja g określona jest wzorem

a) g(x) = 2x + 1

b) g(x) = − 2x − 1

c) g(x) = x2 − 1

d) g(x) = − x2 − 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.4Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2 − 1. Przekształcając wykres funkcji f w symetrii wzglę-

dem osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji g. Wskaż wzór funkcji g.

a) g(x) = x2 + 1

b) g(x) = − x2 + 1

c) g(x) = x2 − 1

d) g(x) = − x2 − 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.6.5.5Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x). Funkcja g określona jest wzorem

g(x) = − f(x).

Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?

a) g(x) = − 2

b) g(x) = − 1

c) g(x) = 0

d) g(x) = 1

(Pokaż odpowiedź)

Oś Ox jest symetralną odcinka AB, przy czym A = ( – 3, 5). Znajdź współrzędne punktu B.

(Pokaż odpowiedź)

Oś Oy jest symetralną odcinka KL, przy czym L = (29, – 51). Odcinek KL jest średnicą okręgu

o środku S. Oblicz współrzędne punktu S i promień r tego okręgu.

(Pokaż odpowiedź)

Dane są punkty A = ( – 7, 0) i B = (0, – 4). Trójkąt ABC1 jest symetryczny względem osi Ox, a

trójkąt ABC2 jest symetryczny względem osi Oy.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.6.5.9Obie osie układu współrzędnych są osiami symetrii ośmiokąta ABCDEFGH, w którym

A = (2, – 2) i B = (3, – 1). Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.10Dziedziną funkcji f jest przedział ? −4, 4 ? , a jej wykres jest symetryczny względem osi Oy. Czę-

ść wykresu funkcji f zaprezentowana jest na rysunku. Uzupełnij wykres funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

Znajdź współrzędne wierzchołka C1.a)

Ustal współrzędne wierzchołka C2.b)

Wykaż, że pola trójkątów ABC1 i ABC2 są równe.c)

współrzędne pozostałych wierzchołków tego ośmiokąta,a)

pole ośmiokąta ABCDEFGH.b)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.11Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku. Przekształcając wykres funkcji f w symetrii

względem osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji g. Wykaż, że

g(−2) + g(−1) + g(0) + g(1) + g(2) = f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.12Dziedziną funkcji f jest przedział ? −2, 2 ? , a jej wykres jest symetryczny względem osi Ox. Na-

szkicuj wykres funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.13Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku.

Naszkicuj wykresy funkcji

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.14Podaj wzór funkcji h, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Ox.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.15Podaj wzór funkcji t, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy.

y = f( – x)a)

y = – f(x)b)

f(x) = 5x − 1a)

f(x) = 4 − 3xb)

f(x) = x2 + 3xc)

f(x) =1

x + 3d)

(Pokaż odpowiedź)

Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku. Funkcje g i h określone są wzorami g(x) = − f(x)oraz h(x) = f(−x).

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = 2x + 9a)

f(x) = − x + 7b)

f(x) = x2 − xc)

f(x) =x3 − 2

5 − x2

Ile rozwiązań ma równanie g(x) = 1?a)

Ile rozwiązań ma równanie g(x) = − 1?b)

Ile dodatnich rozwiązań ma równanie h(x) = 1?c)

Ile ujemnych rozwiązań ma równanie h(x) = − 1?d)

Poziom trudności: BZadanie 1.6.5.17Funkcja f jest określona dla każdego x rzeczywistego. Uzasadnij, że jeżeli wykres funkcji f prze-

kształcimy symetrycznie względem osi Ox, a następnie otrzymaną w ten sposób krzywą prze-

kształcimy jeszcze raz względem osi Ox, to ponownie otrzymamy wykres funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

Podaj obraz P’ punktu P(4, − 3) w symetrii względem osi Ox.

(Pokaż odpowiedź)

Podaj obraz P’ punktu P( − 2, − 5) w symetrii względem osi Oy.

(Pokaż odpowiedź)

Podaj obraz P’ punktu P( − 3, 4) w symetrii względem początku układu współrzędnych.

(Pokaż odpowiedź)

1.7. Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych

1.7.1. Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczmy punkt A = (2, – 3) i wy-

znaczmy współrzędne punktów:

B1 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 3 jednostki w lewo równolegle do osi Ox,

B2 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 2 jednostki w prawo równolegle do osi Ox,

C1 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 5 jednostek w górę równolegle do osi Oy,

C2 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 3 jednostkę w dół równolegle do osi Oy.

Przyjmujemy, że „przesunięcie o ujemną liczbę jednostek”, oznaczać będzie przesunięcie w prze-

ciwną stronę niż wskazuje strzałka na osi liczbowej, np.:

• zamiast pisać, że przesuwamy punkt o 3 jednostki wzdłuż osi Ox w lewo, zapiszemy, że prze-

suwamy o – 3 jednostki wzdłuż osi Ox,

• zamiast pisać, że przesuwamy punkt o −3 jednostki wzdłuż osi Oy w dół, zapiszemy, że prze-

suwamy o −3 jednostki wzdłuż osi Oy.

W wyniku przesunięcia punktu A = (x, y) o p jednostek wzdłuż osi Ox otrzymujemy punkt o współ-

rzędnych

Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych

B = (x + p, y).

W wyniku przesunięcia punktu A = (x, y) o q jednostek wzdłuż osi Oy otrzymujemy punkt

Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych

C = (x, y + q).

Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych

1.7.2. Przykłady

Przykład 1.W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczmy punkt A = (1, 1). W wy-

niku przesunięcia tego punktu o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o 5 jednostek wzdłuż osi Oy,

otrzymujemy punkt

B = (4, 6).

Stosując pojęcie wektora, powiemy, że po przesunięciu punktu A o wektor [3, 5], otrzyma-

my punkt

B = (4, 6).

Po przesunięciu punktu A = (x, y) o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy,

otrzymujemy punkt

B = (x + p, y + q).

Stosując pojęcie wektora, po przesunięciu punktu A o wektor [p, q], otrzymamy punkt

B = (x + p, y + q).

Przykłady

Przykład 2.

Przykład 3.Rozpatrzmy trójkąt ABC o wierzchołkach:

A = ( – 3, 7), B = (2, 4), C = ( – 1, – 1).

W wyniku przesunięcia trójkąta ABC o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 7) jednostek wzdłuż

osi Oy, otrzymujemy trójkąt A1B1C1 o wierzchołkach:

A1 = (0, 0), B1 = (5, – 3), C1 = (2, – 8).

Obrazem trójkąta ABC w przesunięciu o wektor [3, − 7] jest trójkąt A1B1C1

Przykłady

Przykład 4.

Przykład 5.W równoległoboku ABCD dane są wierzchołki:

A = ( – 3, – 1), B = ( – 1, 4), C = (5, 5).

Przykłady

Chcemy znaleźć współrzędne punktu D. Z własności równoległoboku wiemy, że odcinki AD i

BC są równe i równoległe. Zatem, jeżeli obrazem punktu B będzie punkt C w pewnym prze-

sunięciu, to w tym samym przesunięciu obrazem punktu A będzie punkt D.

Przesuwając punkt B o 6 jednostek w prawo wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę w górę wzdłuż

osi Oy, otrzymujemy punkt C. Aby otrzymać punkt D, należy w podobny sposób przesunąć

punkt A. Stąd D = (−3 + 6, − 1 + 1) = (3,0).Uwaga. Współrzędne punktu D można również obliczyć, korzystając z tego, że punkt przecię-

cia przekątnych AC i BD jest środkiem każdej z nich.

W wyniku przesunięcia punktu A = (xA, yA) o xB − xA jednostek wzdłuż osi Ox i o yB − yA jedno-

stek wzdłuż osi Oy otrzymujemy punkt B = (xB, yB).

Przykłady

1.7.3. Przesunięcie wykresów funkcji

Funkcja f określona jest na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Punkt P = (a, b) leżący

na wykresie funkcji f ma współrzędne, które spełniają warunek b = f(a).Przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres pewnej funkcji g

opisany równaniem y = g(x). W przesunięciu o p jednostek wzdłuż osi Ox obrazem punktu P jest

punkt o współrzędnych (a + p, b) leżący na wykresie funkcji g. Wynika z tego, że g(a + p) = b, czyli

g(a + p) = f(a). Jeśli x = a + p, to a = x – p, stąd

g(x) = f(x – p).

Wobec tego, przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres

funkcji g opisanej wzorem

g(x) = f(x − p).

Przesuwając wykres funkcji f o q jednostek wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres pewnej funkcji h.

Tak otrzymaną krzywą opiszemy równaniem

y = h(x).

W przesunięciu o q jednostek wzdłuż osi Oy obrazem punktu P = (a, b) jest punkt o współrzęd-

nych (a, b + q), który leży na wykresie funkcji h. Wynika z tego, że h(a) = b + q, czyli h(a) = f(a) + q

. Punkt P wybraliśmy dowolnie, co oznacza, że dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f za-

chodzi zależność

Przesunięcie wykresów funkcji

h(x) = f(x) + q.

Wobec tego, przesuwając wykres funkcji f o q jednostek wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funk-

cji h opisanej wzorem

h(x) = f(x) + q.

Przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy, otrzymu-

jemy wykres pewnej funkcji k. Tak otrzymaną krzywą opiszemy równaniem

y = k(x).

W przesunięciu o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy, obrazem punktu

P jest punkt o współrzędnych (a + p, b + q) leżący na wykresie funkcji k. Wynika z tego, że

k(a + p) = b + q, czyli k(a + p) = f(a) + q. Punkt P wybraliśmy dowolnie, co oznacza, że dla każdego x

należącego do dziedziny funkcji f zachodzi zależność

k(x) = f(x − p) + q.

Wobec tego, przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi

Oy, otrzymujemy wykres funkcji k opisanej wzorem

k(x) = f(x − p) + q.

Przykład 1.

1.7.4. Przykłady

• Wykres funkcji g określonej wzorem

g(x) = f(x − 1)

otrzymamy, przesuwając krzywą o równaniu y = f(x) o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox.

• Wykres funkcji h określonej wzorem

Przykłady

h(x) = f(x) + 2

otrzymamy, przesuwając krzywą o równaniu y = f(x) o 2 jednostki w górę wzdłuż osi Oy.

• Wykres funkcji t określonej wzorem

t(x) = f(x − 1) + 2

otrzymamy, przesuwając krzywą o równaniu y = f(x) o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i o

2 jednostki w górę wzdłuż osi Oy.

Przykłady

• Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f oraz wykres funkcji g opisanej wzorem

g(x) = f(x + 2).

• Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f oraz wykres funkcji h opisanej wzorem

h(x) = f(x) − 3.

Przykłady

• Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f oraz wykres funkcji k opisanej wzorem

k(x) = f(x + 2) − 3.

Przykłady

1.7.5. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.1Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .

Wybierz rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x + 1).

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.2Wykresy funkcji f i g przedstawione są na rysunkach.

Jak należy przekształcić wykres funkcji f, żeby otrzymać wykres funkcji g?

a) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy

b) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy

c) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy

Zadania

d) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy

(Pokaż odpowiedź)

Dana jest funkcja f(x) =2x dla x ≠ 0.

a) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o ( – 3) jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 2) jednostki

wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji y =2

x − 3 − 2 dla x ≠ 3.

b) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi

Oy, to otrzymamy wykres funkcji y =2

x − 2 + 1 dla x ≠ 2.

c) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 5 jednostek wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres

funkcji y =2

x + 5 dla x ≠ − 5.

d) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 4 jednostki wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres

funkcji y =2

x − 4 dla x ≠ 4.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.4Dana jest funkcja f(x) = x2. Jeżeli jej wykres przesuniemy o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o ( − 2)jednostki wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji g. Wskaż wzór funkcji g.

a) g(x) = (x − 3)2

b) g(x) = (x + 3)2

c) g(x) = (x − 3)2

d) g(x) = (x + 3)2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.5Dana jest funkcja f(x) = x2.

a) Aby otrzymać wykres funkcji k(x) = (x − 2)2

+ 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 2

jednostki wzdłuż osi Ox i o 4 jednostki wzdłuż osi Oy.

Zadania

b) Aby otrzymać wykres funkcji h(x) = x2 + 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 4 jednostki

wzdłuż osi Oy.

c) Aby otrzymać wykres funkcji t(x) = (x + 1)2

− 3, należy przesunąć wykres funkcji f o 1

jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 3) jednostki wzdłuż osi Oy.

d) Aby otrzymać wykres funkcji g(x) = (x − 3)2

+ 5, należy przesunąć wykres funkcji f o 3

jednostki wzdłuż osi Ox i o 5 jednostek wzdłuż osi Oy.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.6Dane są funkcje f(x) = 2x oraz g(x) = 2x − 3. Jak należy przekształcić wykres funkcji f, żeby otrzy-

mać wykres funkcji g?

a) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 2) jednostki wzdłuż osi Oy

b) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy

c) przesunąć o ( – 2) jednostki wzdłuż osi Ox

d) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 1.7.5.7Dane są funkcje f(x) = x2 oraz g(x) = x2 − 2x. Jak należy przekształcić wykres funkcji f, żeby otrzy-

mać wykres funkcji g?

a) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Oy

b) przesunąć o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy

c) przesunąć o ( – 2) jednostki wzdłuż osi Ox

d) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.8Po przesunięciu punktu A = (−1, − 1) o ( – 7) jednostek wzdłuż osi Ox i o 12 jednostek wzdłuż

osi Oy otrzymamy punkt o współrzędnych

Zadania

a) (−8, − 13)

b) (6, − 13)

c) (−8, 11)

d) (6, 11)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.9Punkt P = (5, − 2) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (3, 6). Punkt B ma współrzędne

a) (7, – 10)

b) ( – 1, – 14)

c) (1, 14)

d) (4, 2)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.10W równoległoboku ABCD dane są wierzchołki: A = (0, 0), B = (5, 2), C = (6, 5). Wierzchołek D

ma współrzędne

a) (4, – 1)

b) ( – 1, – 3)

c) (1, 3)

d) (0, 3)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.11Rysunek przedstawia wykres funkcji f.

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x) + 1

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.12Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

Zadania

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x + 2).

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.13Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji y = f(x) i y = g(x).

Funkcja g jest określona wzorem

a) g(x) = f(x + 1) + 1

b) g(x) = f(x + 1) − 1

c) g(x) = f(x − 1) + 1

Zadania

d) g(x) = f(x − 1) − 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.14Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x. Po przesunięciu wykresu funkcji f o 6 jednostek wzdłuż

osi Ox i o ( – 4) jednostki wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji g. Funkcja g określona jest

wzorem:

a) g(x) = x − 10

b) g(x) = x − 2

c) g(x) = x + 2

d) g(x) = x + 10

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.15Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2. Po przesunięciu wykresu funkcji f o ( – 3) jednostki

wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji h. Wskaż wzór funkcji

a) h(x) = (x − 3)2

b) h(x) = (x + 3)2

c) h(x) = (x + 3)2

d) h(x) = (x − 3)2

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja f określona jest wzorem f(x) =1x dla x ≠ 0 . Po przesunięciu wykresu funkcji f o 4 jed-

nostki wzdłuż osi Ox i o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji t. Funkcja

t określona jest wzorem

a) t(x) =1

x + 4 − 1 dla x ≠ − 4

Zadania

b) t(x) =1

x + 4 + 1 dla x ≠ − 4

c) t(x) =1

x − 4 + 1 dla x ≠ 4

d) t(x) =1

x − 4 − 1 dla x ≠ 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.17Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.

Która funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe?

a) y = f(x) + 2

b) y = f(x) − 2

c) y = f(x + 2)

d) y = f(x − 2)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Dany jest punkt A = (−2, − 3). Po przesunięciu punktu A o 6 jednostek wzdłuż osi Ox, otrzy-

mujemy punkt B, a po przesunięciu punktu B o 4 jednostki wzdłuż osi Oy, otrzymujemy punkt

C. Oblicz współrzędne punktów B i C oraz pole trójkąta ABC.

(Pokaż odpowiedź)

Dany jest czworokąt ABCD, o wierzchołkach w punktach: A = (0, 0), B = (4, 3), C = (1, 5),D = (−3, 2). Sprawdź, czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.21Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.

Narysuj wykresy funkcji określonych wzorami

(Pokaż odpowiedź)

y = f(x) + 2a)

y = f(x) − 2b)

y = f(x − 2)c)

y = f(x + 2)d)

Zadania

Narysuj w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami y = f(x + 6)i y = f(x − 6).(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Ustal, ile miejsc zerowych ma funkcja określona wzorem

(Pokaż odpowiedź)

y = f(x) − 3a)

y = f(x) + 1b)

y = f(x − 2)c)

y = f(x + 4)d)

Zadania

Narysuj wykresy funkcji określonych wzorami

(Pokaż odpowiedź)

g(x) = f(x − 1) + 2a)

h(x) = f(x + 2) − 1b)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.25Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku.

Funkcje g i h określone są wzorami g(x) = f(x − 1) + 2 oraz h(x) = f(x + 2) − 1.

(Pokaż odpowiedź)

Jaka jest największa wartość funkcji g?a)

Jaka jest największa wartość funkcji h?b)

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji g?c)

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji h?d)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.26Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku.

Funkcje g, h oraz k określone są wzorami: g(x) = f(x − 1) + 2, h(x) = f(x + 1) + 1, k(x) = f(x − 2) + 1

.Wskaż na poniższych rysunkach wykresy tych funkcji.

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = − 3x + 2. Jeżeli jej wykres przesuniemy o p jednostek

wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji g. Ustal wzór funkcji

g, gdy

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) =2x , x ≠ 0. Zapisz wzór funkcji, której wykres powstał w

wynikuprzekształcenia opisanego poniżej.

p = 3, q = − 5a)

p = 2, q = − 2b)

p = − 1, q = 7c)

p = − 2, q = 10d)

Wykres funkcji f przesuwamy o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 3 jednostki wzdłuż osi Oy.a)

Wykres funkcji f przesuwamy o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x2. Wykres funkcji g otrzymujemy po przesunięciu wy-

kresu funkcji f o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy. Uzasadnij, że funkcja g

określona jest wzorem g(x) = x2 − 6x + 11.

(Pokaż odpowiedź)

Wykres funkcji f przesuwamy o ( – 4) jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 2) jednostki wzdłuż

osi Oy.

Wykres funkcji f przesuwamy o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 4) jednostki wzdłuż osi

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 1.7.6.1Rysunek przedstawia wykres funkcji. Zapisz jej wzór.

Niech f(x) = 4x+5. Jakim wzorem jest opisana funkcja f(x − 6)?(Pokaż odpowiedź)

Niech f(x) = − 4x + 7. Jakim wzorem jest opisana funkcja f(x) + 5?

(Pokaż odpowiedź)

Rozdział 2. Funkcja liniowa

2.1. Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej

2.1.1. Proporcjonalność prosta

Funkcja liniowa

W dziale dotyczącym funkcji zostały podane różne zależności między dwiema dodatnimi wielko-

ściami.Niektóre z wielkości są wprost proporcjonalnymi, np.:

• droga s, jaką pokonuje samochód jadący ze stałą prędkością v, jest wprost proporcjonalna

do czasu jazdy t,

• siła grawitacji F działająca na Ziemi na ciało jest wprost proporcjonalna do masy m tego cia-

Proporcjonalność prosta

Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz

tych wielkości jest stały.

PrzykładRowerzysta jechał przez 2 godziny ze stałą prędkością, przy czym

w ciągu 10 minut przejechał 3 km. Prędkość rowerzysty jest zatem

równa

10km / min = 18 km / h.

Przebyta przez tego rowerzystę droga s jest wprost proporcjonal-

na do czasu jazdy t.

Zależność tę możemy zapisać za pomocą wzoru s(t) = 18 t, gdzie

• s oznacza drogę wyrażoną w kilometrach, natomiast

• t czas wyrażony w godzinach.

Za pomocą tego wzoru obliczymy, że:

• w ciągu minuty rowerzysta pokonywał 300 m, bo

s( 160 ) =

160 ? 18 =

310 km = 300 m,

• w ciągu 2 godzin rowerzysta przejechał 36 km, bo

s(2) = 18 ? 2 km = 36 km.

Definicja: Proporcjonalność prosta

Funkcja f, opisująca zależność między dodatnimi wielkościami wprost proporcjonal-

nymi x i y nazywana jest proporcjonalnością prostą, a ilorazyx nazywamy współ-

czynnikiem tej proporcjonalności. Oznaczając ten współczynnik przez a, zapisujemy

funkcję f wzorem

f(x) = ax,

gdzie x > 0.

Uwaga: Wprost z definicji wynika, że a > 0.

PrzykładSiła grawitacji F działająca na Ziemi (wyrażona w niutonach) na cia-

ło o masie m (wyrażonej w kilogramach) jest określona wzorem:

F(m) = g ? m,

gdzie g to przyspieszenie ziemskie.

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej

proporcjonalności jest g.

Do szacowania wartości siły F przyjmuje się, że g = 10 m / s2.

2.1.2. Przykłady

Przykład 1.Zależność między długością d przekątnej kwadratu a długością x jego boku jest określona

wzorem

d(x) = x√2

Jest to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest √2.

Przykład 2.Zależność między wysokością h trójkąta równobocznego a długością a jego boku jest okre-

ślona wzorem:

h(a) =a√3

Przykłady

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest √32 .

Przykład 3.Zależność między obwodem L koła a promieniem tego koła jest określona wzorem:

L(r) = 2πr.

Przykłady

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 2π.

Funkcja liniowaPrzejdźmy teraz do funkcji opisanych tym samym wzorem co proporcjonalność

prosta, a więc f(x) = ax, ale określonych dla dowolnej liczby rzeczywistej x. O liczbie a nie będziemy

już zakładać, że musi być dodatnia. Zastanówmy się, jak wygląda wykres takiej funkcji.

Twierdzenie: Wykres funkcji f(x) = ax

Wykresem funkcji f(x) = ax, gdzie a to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu

y = ax.

Wykres funkcji f(x) = ax, gdzie x ? R to prosta, która przechodzi przez każdy z punktów postaci

(x, a ? x).W praktyce do jej narysowania wystarczy zaznaczyć punkt (0, 0) i odpowiednio dobrany inny

punkt (x, a ? x).

Przykład 4.• Wykresem funkcji

f(x) = 2x

Przykłady

jest prosta przechodząca przez punkty (0, 0) i (1, 2). Wykres ten jest zbiorem punktów (x, y), które spełniają równanie y = 2x, czyli prostą opisaną równaniem y = 2x.

• Wykresem funkcji

f(x) = − 3x

jest prosta opisana równaniem y = − 3x, przechodząca przez punkty (0, 0) i (1, – 3).

f(x) =54x

jest prosta opisana równaniem y =54x, przechodząca przez punkty (0, 0) i (4, 5).

f(x) = − 1,4 ? x

jest prosta opisana równaniem y = − 1,4 ? x, przechodząca przez punkty (0, 0) i (5, – 7).

W dalszej części tego rozdziału będziemy zajmować się funkcjami określonymi wzorem

f(x) = ax + b, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Zauważmy, że po przesunięciu wykresu funkcji f(x) = ax o b jednostek wzdłuż osi Oy otrzymamy

wykres funkcji określonej wzorem

g(x) = f(x) + b

Przykłady

a więc

g(x) = ax + b.

Zatem wykresem funkcji g jest prosta równoległa do prostej o równaniu

y = ax.

Przykład 5.• Wykresem funkcji

f(x) = 2x − 3

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y = 2x i przechodząca przez punkt (0, – 3), czyli

prosta o równaniu

y = 2x − 3.

f(x) = − 3x + 4

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y = − 3x i przechodząca przez punkt (0, 4), czyli

prosta o równaniu

y = − 3x + 4.

Przykłady

f(x) =45x + 2

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y =45x i przechodząca przez punkt (0, 2), czyli

prosta o równaniu

y =45x + 2.

f(x) = − 1,4 ? x − 1

Przykłady

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y = − 1,4 ? x i przechodząca przez punkt

(0, – 1), czyli prosta o równaniu

y = − 1,4 ? x − 1.

Przykłady

2.1.3. Definicja funkcji liniowej

Definicja: Funkcja liniowa

Funkcję f(x) określoną wzorem f(x) = ax + b, nazywamy funkcją liniową, gdzie a i b

są liczbami rzeczywistymi.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu y = ax + b.

Prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu y = ax oraz przecina oś Oy w punk-

cie o współrzędnych (0, b).

Definicja funkcji liniowej

2.1.4. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.1Za trzy kostki masła trzeba zapłacić 12,60 zł. Wynika z tego, że

a) za 1 kostkę zapłacimy 6,30 zł

b) za 6 kostek zapłacimy więcej niż 20 zł

c) za 4 kostki zapłacimy 16,80 zł

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.2W poniższej tabeli prezentowane są wprost proporcjonalne wielkości x i y.

x x1 = 1 x2 = 2 x3 x4 = 10

y y1 y2 = 3 y3 = 9 y4

Wówczas

a)yx =

b) y4 = 15

c) x3 = 3

d) y1 = 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.1.4.3Które spośród poniższych par to wielkości są wprost proporcjonalne?

a) pole kwadratu i pole koła na nim opisanego

b) bok trójkąta równobocznego i promień koła wpisanego w ten trójkąt

c) krawędź sześcianu i jego objętość

d) obwód i średnica koła

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Samochód jedzie ze stałą prędkością 70kmh . Wówczas

a) w ciągu 5 minut przejedzie więcej niż 5 km

b) w ciągu 10 minut przejedzie 7 km

c) w ciągu 30 minut przejedzie 30 km

d) w ciągu 2 godzin przejedzie 140 km

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.5Wykres funkcji f(x) = √2x + 2

a) przechodzi przez punkt (√2, 4)

b) przecina wykres funkcji g(x) = − 3x + 2 w punkcie leżącym na osi Oy

c) jest równoległy do prostej o równaniu y = 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.6Przyporządkuj podane wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów.

y = 3x + 2a)

y = − 3x + 2b)

y = 3x − 2c)

y = − 3x − 2d)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.1.4.7Rozstrzygnij, czy punkty A, B, C leżą na wykresie tej samej funkcji liniowej.

Zadania

a) A = (0, 1), B = (1, 2), C = (2, 4)

b) A = (0, − 1), B = (−1, − 3), C = (−2, − 5)

c) A = (0, 1), B = (1, 11), C = (2, 21)

d) A = (0, 2), B = (20, 2), C = (−20, 2)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.8Wskaż punkt, który leży na wykresie funkcji f określonej wzorem f(x) = √3x.

a) (−√3, − 3)

b) (−√3, − 1)

c) (−√3, 1)

d) (−√3, 0)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.9Na wykresie funkcji f(x) = ax leży punkt A = (1, 3). Wtedy liczba f( – 2) jest równa

a) – 9

b) – 6

c) – 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.10Jeżeli za 3 takie same zeszyty w kratkę trzeba zapłacić w szkolnym sklepiku 7 zł 20 gr, to za 7

takich zeszytów zapłacimy

a) 11 zł 20 gr

b) 14 zł 20 gr

c) 16 zł 80 gr

Zadania

d) 24 zł

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.11Przedstawiona na rysunku prosta jest wykresem funkcji f.

Funkcja ta określona jest wzorem

a) f(x) =25x

b) f(x) =52x

c) f(x) = 5x

d) f(x) = 2x

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.12Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem f(x) = − 2x + 3 należy punkt

a) (12 ,

b) (12 , 1

Zadania

c) (12 , 3)

d) (12 , 2)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.13Wykres funkcji liniowej f przecina oś Oy w punkcie (0, – 2) i przechodzi przez punkt ( – 1, 3).Funkcja ta określona jest wzorem

a) f(x) = − 5x − 2

b) f(x) = 5x − 2

c) f(x) = − 3x − 2

d) f(x) = 3x − 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.14Wykres funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 2x przesunięto o 3 jednostki w prawo, wzdłuż

osi Ox. Otrzymana prosta jest wykresem funkcji g danej wzorem

a) g(x) = 2x + 6

b) g(x) = 2x − 6

c) g(x) = 2x + 3

d) g(x) = 2x − 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.15Wskaż liczbę m, dla której wykres funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = (m − 2)x + 3 przeci-

na oś Ox w punkcie ( – 1, 0).

a) m = − 2

b) m = − 3

c) m = 3

Zadania

d) m = 5

(Pokaż odpowiedź)

Uzupełnij tabelę, wiedząc, że x jest argumentem funkcji f(x) = ax, natomiast y odpowiadającą

mu wartością.

x – 6 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 6 15 33

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.17Każda z prostych prezentowanych na rysunkach określona jest równaniem y = ax. Wyznacz a.

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Wykres funkcji f(x) = − 13x przesunięto o 3 jednostki, wzdłuż osi Ox. Podaj równanie otrzymanej

prostej.

(Pokaż odpowiedź)

Wykres funkcji f(x) = − 13x przesunięto o 3 jednostki, wzdłuż osi Oy. Podaj równanie otrzymanej

prostej.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.20Na rysunku prezentowany jest wykres funkcji liniowej f. Uzupełnij tabelę.

x – 4 – 3 – 2 4 5 6 7

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.21Uzupełnij tabelę, wiedząc, że funkcja f jest liniowa.

x – 2 – 1 0 1 2 3 4

f(x) 2 – 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.22Przyporządkuj podane wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów.

y = x − 2a)

Zadania

y = − 12x − 2b)

y = 2x − 1c)

y =12x − 1d)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.23Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b.

Oceń, czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe.

a) punkt ( – 1, 5) należy do wykresu funkcji f

b) b = 3

c) a < 0

d) a > 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.1.4.24Dane są funkcje f(x) = 2x, g(x) = 2x + 3, h(x) = − 2x + 3. Oceń, czy poniższe stwierdzenia są praw-

dziwe.

a) Wykresy funkcji g i h przecinają się w punkcie (0, 3).

b) Wykresy funkcji f i h są prostymi równoległymi.

c) Wykresy funkcji f i g przecinają się w punkcie (0, 0).

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Niech f(x) = 2x2 + 3x. Ile jest równa liczba f(−4)?

(Pokaż odpowiedź)

Dana jest funkcja f(x) = − 4x + 5. Podaj liczbę x0, dla której f(x0) = − 3.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.5.3Rysunek przedstawia prostą . Zapisz jej wzór.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.5.4Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji. Odczytaj zbiór argumentów i zbiór wartości

funkcji.

2.2. Własności funkcji liniowej

2.2.1. Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej

Przykład 1.Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

f(x) = 2x − 1.

Ponieważ f(0) = − 1 oraz f(1) = 1, zatem wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, – 1) i

przechodzi przez punkt (1, 1).

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zwiększa

się o 2.

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą x1. Wtedy

f(x1) = 2x1 − 1,

a także

f(x1 + 1) = 2(x1 + 1) − 1 = 2x1 + 2 − 1 = 2x1 + 1.

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

f(x1 + 1) − f(x1) = 2x1 + 1 − (2x1 − 1) = 2x1 + 1 − 2x1 + 1 = 2.

Punkt A jest dowolnym punktem należącym do wykresu funkcji f. Aby znaleźć punkt B, które-

Własności funkcji liniowej

go pierwsza współrzędna jest o 1 większa od pierwszej współrzędnej punktu A, przesuwamy

się, o 1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki, wzdłuż osi Oy.

f(x) = − x + 1.

Ponieważ f(0) = 1 oraz f(1) = 0, to wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 1) i przechodzi

przez punkt (1, 0).

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zmniej-

sza się o 1.

f(x1) = − x1 + 1,

a także

f(x1 + 1) = − (x1 + 1) + 1 = − x1 − 1 + 1 = − x1.

f(x1 + 1) − f(x1) = − x1 − (−x1 + 1) = − x1 + x1 − 1 = − 1.

Wobec tego, wybierając dowolny punkt A na wykresie funkcji f, znajdziemy na wykresie inny

punkt, który powstaje z przesunięcia punktu A o 1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o ( − 1) jednost-

kę, wzdłuż osi Oy.

f(x) = − 12x + 2.

Ponieważ f(0) = 2 oraz f(2) = 1, to wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 2) i przechodzi

przez punkt (2, 1).

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zmniej-

sza się o12 .

f(x1) = − 12x1 + 2,

a także

f(x1 + 1) = − 12 (x1 + 1) + 2 = − 1

2x1 − 12 + 2 = − 1

2x1 + 112 .

f(x1 + 1) − f(x1) = − 12x1 + 1

12 − (− 1

2x1 + 2) = − 12x1 + 1

12x1 − 2 = − 1

Wobec tego, wybierając dowolny punkt A na wykresie funkcji f, znajdziemy na wykresie inny

punkt, który powstaje z przesunięcia punktu A o 1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o (− 12 ) jednostki,

wzdłuż osi Oy. Można też znaleźć kolejny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu A o 2

jednostki wzdłuż osi Ox i o (−1) jednostkę wzdłuż osi Oy.

Wybierzmy na wykresie funkcji liniowej f(x) = ax + b różne punkty A i B, o współrzędnych (xA, yA) i

(xB, yB) Wtedy

• yA = f(xA) = axA + b

• yB = f(xB) = axB + b

Zauważmy, że yA − axA = b, a także yB − axB = b, więc yB − axB = yA − axA, skąd yB − yA = axB − axA.

a(xB − xA) = yB − yA,

Ponieważ punkty A i B są różne i leżą na wykresie funkcji, więc xA ≠ xB, stąd xB − xA ≠ 0. Wobec

a =yB − yAxB − xA

jest ilorazem różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumen-

Patrząc na dwa różne punkty A i B leżące na wykresie funkcji

f(x) = ax + b,

interpretujemy współczynnik kierunkowy a jako iloraz wartości przesunięcia yB − yA wzdłuż osi Oy

do odpowiadającej mu wartości przesunięcia xB − xA wzdłuż osi Ox.

Przykład 4.Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (3, 11) i B = (−2, − 4). Ponieważ

xB − xA = − 2 − 3 = − 5, yB − yA = − 4 − 11 = − 15,

więc współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy

a =−15−5 = 3.

Liczba a = 3 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpowia-

da wzrost wartości o 3 jednostki.

Przykład 5.Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (−2, 1) i B = (−3, 5). Ponieważ

xB − xA = − 3 − (−2) = − 1, yB − yA = 5 − 1 = 4,

zatem współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy

−1 = − 4.

Liczba a = − 4 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpo-

wiada zmniejszenie wartości funkcji o 4 jednostki.

Przykład 6.Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (1, 3) i B = (3, 6). Ponieważ

xB − xA = 3 − 1 = 2, yB − yA = 6 − 3 = 3,

to współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy

a =32 .

Wartość a =32 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpo-

wiada wzrost wartości o32 .

2.2.2. Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca

Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca

Wśród prezentowanych w poprzednim rozdziale wykresów funkcji liniowych da się wyróżnić

takie, które są wykresami funkcji rosnących oraz takie, które są wykresami funkcji male-

jących.Pokażemy, że funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współ-

czynnik kierunkowy jest dodatni.

Jak wykazaliśmy wcześniej: jeżeli na wykresie funkcji liniowej f leżą dwa różne punkty A = (xA, yA)i B = (xB, yB), to współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy

Załóżmy, że xB − xA > 0, czyli wzdłuż osi Ox przesuwamy się od punktu A do B w prawo. Wobec

tego znak współczynnika a jest taki sam jak znak wyrażenia yB − yA. Zatem

• a > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy yB − yA > 0. Zatem wzdłuż osi Oy przesuwamy się od punktu A

do B w górę, czyli funkcja f jest rosnąca,

• a < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy yB − yA < 0. Zatem wzdłuż osi Oy przesuwamy się od punktu A

do B w dół, czyli funkcja f jest malejąca.

• a = 0, wtedy i tylko wtedy, gdy yB = yA, czyli funkcja liniowa f(x) = ax + b jest stała.

Przykład 1.Funkcja f(x) = 2x + 5 jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy 2, czyli

a > 0.

Przykład 2.

Funkcja f(x) =13x − 1 jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy

13 , czyli

a > 0.

Przykład 3.Funkcja f(x) = − x + 2 jest malejąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy −1, czy-

li a < 0.

Wiemy już, że jeżeli na wykresie funkcji liniowej f leżą dwa różne punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB), to współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy

a także

yA − axA = b.

Wynika z tego, że prosta będąca wykresem funkcji liniowej, która

• przechodzi przez punkt A = (xA, yA) ma równanie

y = ax + (yA − axA),

co zapisujemy w postaci

y = a(x − xA) + yA,

• przechodzi przez dwa różne punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) ma równanie

y =yB − yAxB − xA

(x − xA) + yA.

Przykład 4.Dane są punkty A = (2, − 4), B = (9, 10). Wtedy

xB − xA = 9 − 2 = 7

yB − yA = 10 − ( − 4) = 14.

Wynika z tego, że współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B jest

równy a =147 , czyli a = 2.

Ponieważ na tej prostej leży punkt B = (9, 10), to jej równanie zapisujemy w postaci

y = a(x − 9) + 10,

a po uwzględnieniu a = 2 mamy ostatecznie y = 2(x − 9) + 10, skąd

y = 2x − 8.

2.2.3. Zadania

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = ax + b.

(Pokaż odpowiedź)

Oblicz a.a)

Podaj wzór funkcji f.b)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.2Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = ax + b.

Wówczas

a) b = 3

b) b < 0

c) a = − 1

d) a < 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.3Wskaż wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = ax + b, dla której a > 0 i b < 0.

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Funkcja liniowa f(x) =13x − 5

a) jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, – 5)

Zadania

b) jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, – 5)

c) jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, 5)

d) jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, 5)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.5Funkcja liniowa f(x) = (2m + 3)x + m − 2

a) jest malejąca tylko wtedy, gdy m < − 32

b) jest rosnąca tylko wtedy, gdy m < 2

c) dla m = − 1 jest malejąca

d) dla m = 0 jest rosnąca

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.6Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax + 3, gdzie a > 0. Wówczas

a) f(2) + f(−2) > 6

b) f(1) > 3

c) f(−1) < 0

d) f(0) = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.7Dane są punkty A = ( − 2, 3) i B = (1, − 5), C = (4, 4). Wynika z tego, że ujemny współczynnik

kierunkowy ma prosta przechodząca przez punkty

a) A i C

b) B i C

c) A i B

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.8Dane są punkty A = (0, 3) i B = ( – 2, 1). Wynika z tego, że prosta AB

a) przechodzi przez punkt (−3, 0)

b) ma równanie y = x + 3

c) ma współczynnik kierunkowy równy 1

d) przecina oś Oy w punkcie, którego druga współrzędna jest dodatnia

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.10Na wykresie funkcji liniowej f(x) = ax + b leżą punkty A = ( – 2, – 3) i B = (2, 5). Wynika z tego,

a) funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x + 1

b) a = 4

c) wykres funkcji f przecina oś Oy w punkcie (0, 2)

d) funkcja f jest rosnąca

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.11Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.

Współczynnik a jest równy

a) − 32

b) − 23

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.12Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.

Jakie znaki mają współczynniki a i b?

a) a > 0 i b > 0

b) a < 0 i b > 0

c) a > 0 i b < 0

d) a < 0 i b < 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.13Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x) = (2 − 3m)x − 1 jest rosnąca.

a) m = 3

b) m = 2

c) m = 1

d) m = − 1

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.14Funkcja liniowa f(x) = (3m + 1)x + m − 2 jest stała, gdy

a) m = − 13

b) m = 1

c) m = 2

d) m = 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.15Funkcja liniowa f(x) = (4 − m)x + 1 jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy

a) m < 0

b) m < 4

c) m > 4

d) m > 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.17Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (2, 3), B = (1, − 1). Funkcja f określona jest wzo-

a) f(x) = 4x − 5

b) f(x) = 3x − 4

c) f(x) = 2x − 3

d) f(x) = x − 1

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.18Dane są punkty A = (−3, 0) i B = (1, − 2). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

a) − 34

b) − 23

c) − 12

d) −1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.19Dane są punkty A = (−2, 1) i B = (3, 3). Na prostej AB leży punkt

a) (18, 18)

b) (18, 15)

c) (18, 12)

d) (18, 9)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.20Każda z prostych prezentowanych na rysunkach jest określona równaniem y = ax + b. Odczytaj

a i b.

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Podaj wzór funkcji liniowej f, której wykres przechodzi przez punkt A = (10, 112) i przecina oś

Oy w punkcie B = (0, 2).(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.22Spośród podanych funkcji liniowych wybierz funkcje rosnące.

a) y = 5 − x

b) y =x − 1

c) y =1

10x − 5

d) y = x − 100

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.23Spośród podanych funkcji liniowych wybierz funkcje malejące.

a) y = 1 − 34x

b) y =x − 5

c) y = − x + 6

d) y = x +13

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz wszystkie wartości m, dla których funkcja liniowa f(x) = (2m + 5)x − 1 jest

(Pokaż odpowiedź)

malejącaa)

rosnącab)

stałac)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.25Wykres funkcji liniowej f(x) = ax + b przechodzi przez punkty A = ( – 7, 11) i B = (23, – 19).Wynika z tego, że

a) na wykresie funkcji f leży co najmniej 7 punktów, których obie współrzędne są

całkowitymi liczbami dodatnimi

b) do wykresu funkcji f należy punkt C = (1, 5)

c) b < 0

d) a = − 117

(Pokaż odpowiedź)

Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Podaj przykład

(Pokaż odpowiedź)

Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Podaj przykład

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.28Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Rozstrzygnij, czy istnieją takie wartości parame-

trów m i k, że na wykresie funkcji f

takich wartości parametrów m i k, że m > 0 i k < 0 i funkcja f jest malejącaa)

takich wartości parametrów m i k, że m < 0 i k > 0 i funkcja f jest malejącab)

takich wartości parametrów m i k, że m > 0 i k < 0 i funkcja f jest rosnącac)

takich wartości parametrów m i k, że m < 0 i k > 0 i funkcja f jest rosnącad)

takich wartości parametrów m i k, że 2m + k = 1 i funkcja f jest malejącaa)

takich wartości parametrów m i k, że m + 3k = − 1 i funkcja f jest rosnącab)

takich wartości parametrów m i k, że m + k = 2 i funkcja f jest malejącac)

takich wartości parametrów m i k, że m + k = − 1000 i funkcja f jest rosnącad)

Zadania

a) leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami

przeciwnych znaków

b) leżą dokładnie dwa punkty, których obie współrzędne są całkowitymi liczbami ujemnymi

c) leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi

(Pokaż odpowiedź)

Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Wykaż, że

(Pokaż odpowiedź)

jeżeli k = − 23m, to funkcja f jest stała,a)

jeżeli k > − 23m, to funkcja f jest rosnąca,b)

jeżeli k < − 23m, to funkcja f jest malejąca.c)

Zadania

Czy punkt (1,5) należy do wykresu funkcji f(x) = 2x + 3?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.2Ile wynosi współczynnik kierunkowy prostej y = − 3x + 1?

(Pokaż odpowiedź)

Określ, czy funkcja f(x) = − 5x + 8 jest rosnąca, malejąca czy stała.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.4Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym a = 3, która przechodzi przez punkt

(4, − 10).(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty ( − 2, − 1) i (3, 9).(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = 7x − 21.

(Pokaż odpowiedź)

2.3. Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanieliniowe, nierówność liniowa

2.3.1. Równanie liniowe

Obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej

f(x) = ax + b

sprowadza się do rozwiązania równania z niewiadomą x postaci

ax + b = 0, dla ustalonych wartości współczynników a i b. Takie równanie nazywamy równaniem

liniowym.

• Gdy a = 0 i b ≠ 0, to równanie f(x) = b jest sprzeczne, więc w tym przypadku funkcja liniowa

nie ma miejsc zerowych. Wykresem takiej funkcji liniowej jest prosta równoległa do prostej o

równaniu y = 0 i przecinająca oś Oy w punkcie (0, b).• Gdy a = 0 i b = 0, to funkcja f jest tożsamościowo równa 0, to znaczy, że dla każdej liczby rze-

czywistej x przyjmuje wartość zero. W tym przypadku funkcja f ma nieskończenie wiele

miejsc zerowych. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f. Wykres takiej

funkcji liniowej pokrywa się z prostą o równaniu y = 0.

Przykład 1.Rozwiążemy równania.

• x + 12 − 2x − 5

Przekształcamy równanie równoważnie. Najpierw mnożymy je obustronnie przez 12

6(x + 1) − 2(2x − 5) = 9

Stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy:

6x + 6 − 4x + 10 = 9

2x = − 7

Równanie ma jedno rozwiązanie x = − 72 .

Jeśli a ≠ 0, to mamy ax = − b, skąd x = − ba . Wynika z tego, że każda funkcja liniowa

f(x) = ax + b, gdzie a ≠ 0, ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 = − ba . Korzystając z pozna-

nych własności funkcji liniowej, zauważmy też, że dla a ≠ 0 funkcja f(x) = ax + b nie jest stała

(jest rosnąca dla a > 0, malejąca dla a < 0), zatem prosta będąca jej wykresem przecina oś

Ox w dokładnie jednym punkcie (− ba , 0).

Jeśli a = 0, to funkcja f określona jest wzorem f(x) = b. Jest to funkcja stała.b)

Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa

• (x + 2)2

= (x − 2)(x + 2)Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x2 + 4x + 4 = x2 − 4

Po zredukowaniu x2 otrzymujemy równanie liniowe:

4x + 4 = − 4

4x = − 8

x = − 2

Równanie ma zatem jedno rozwiązanie x = − 2.

• (x + 3)(x − 3) + 2x = (x + 1)2

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x2 − 9 + 2x = x2 + 2x + 1.

Po zredukowaniu x2 i 2x otrzymujemy równość sprzeczną

0 ∙ x = 10.

A zatem równanie nie ma rozwiązań.

• 3x2 + (x − 1)(x + 1) + 10 = (2x − 3)2

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia:

3x2 + x2 − 1 + 10 = 4x2 − 12x + 9 + 12x

Po zredukowaniu otrzymujemy

0 ∙ x = 0

Rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista x.

Równanie liniowe

2.3.2. Nierówność liniowa

Przykład 1.Ustalimy, w jakim przedziale funkcja liniowa f(x) = 2x − 4 przyjmuje wartości dodatnie.

W tym celu należy rozwiązać nierówność f(x) > 0, czyli wyznaczyć wszystkie wartości x, dla

których 2x − 4 > 0.

Przekształcamy nierówność równoważnie

2x − 4 > 0

2x > 4

x > 2.

Funkcja f(x) = 2x − 4 przyjmuje wartości dodatnie dla x należących do przedziału (2, + ∞).

Przykład 2.Znajdziemy największą liczbę całkowitą, dla której funkcja f(x) = − 3x + 5 przyjmuje wartość

dodatnią.

Rozwiązujemy nierówność f(x) > 0

−3x + 5 > 0

−3x > − 5 / : (−3).

x < 123 .

A zatem x = 1 jest największą liczbą całkowitą, dla której funkcja f(x) = − 3x + 5 przyjmuje

wartość dodatnią.

Przykład 3.

Rozwiążemy nierówność (x − 5)2

> (x − 3)2.

Przekształcamy równoważnie daną nierówność, stosując wzory skróconego mnożenia

x2 − 10x + 25 > x2 − 6x + 9

−4x > − 16 / : (−4)

Nierówność liniowa

x < 4.

Rozwiązaniem nierówności jest więc każda liczba rzeczywista należąca do przedziału (−∞, 4).

Przykład 4.

Znajdziemy najmniejszą liczbę całkowitą x, która spełnia nierówność53 − x − 5

2 <4x + 7

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

53 − x − 5

2 <4x + 7

6 / ∙ 6

10 − 3(x − 5) < 4x + 7

10 − 3x + 15 < 4x + 7

−7x < − 18 / : (−7)

x >187

x > 247

A zatem x = 3 jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność.

2.3.3. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.1Liczba – 3 jest miejscem zerowym funkcji

a) y = 7x + 21

b) y = x − 3

c) y = x + 3

d) y = 2x − 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.2Odczytaj miejsca zerowe funkcji liniowych, których fragmenty wykresów prezentowane są na

rysunkach.

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.3Wskaż miejsce zerowe funkcji f(x) = √3x − 9.

a) −3√3

b) 3√3

c) √33

d) − √33

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.4Liczba ( – 1) jest miejscem zerowym funkcji f(x) = (m + 2)x − 3. Wówczas

a) m = 5

b) m = − 5

c) m = 1

Zadania

d) m = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.5Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f.

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że

a) największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność f(x) > 0 jest 10

b) najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność f(x) < 0 jest 9

c) funkcja f nie ma miejsc zerowych

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.6Rozwiązanie równania 5(2 − 3x) = 1 − 2(7x + 3) należy do przedziału

a) ? −19, − 2 ?

b) ( − 7, − 3)

c) (10, 20)

d) ? 0, 15 ?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Rozpatrzmy nierówność (x − 4)(x + 4) + 14x < (x + 7)2. Która z podanych liczb spełnia tę nierów-

ność?

a) 3 − √17

b) – 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.8Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = − 5x + 3. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

a) 0,6

b) – 0,6

d) – 5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.9Liczba ( – 4) jest miejscem zerowym funkcji f(x) = (m − 1)x + 8. Wtedy

a) m = 8

b) m = 3

c) m = 2

d) m = 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.10Rozwiązaniem równania 3(2 − x) = 5 − 4x jest liczba

a) x = − 4

b) x = − 3

Zadania

c) x = − 2

d) x = − 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.11Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f.

Funkcja f przyjmuje wartość ujemną dla

a) x = − 1

b) x = − 2

c) x = − 3

d) x = − 4

(Pokaż odpowiedź)

Rozwiązanie równania x(x + 5) = (x + 2)2

należy do przedziału

a) (8, 10)

b) (3, 6)

c) (−1, 2)

Zadania

d) (−5, − 2)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.13Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność (x − 6)(x + 6) > x(x − 12) to

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.14Funkcja f(x) = − 3x − 1 przyjmuje wartości ujemne dla wszystkich x należących do przedziału

a) (13 , + ∞)

b) (− 13 , + ∞)

c) (−∞, − 13 )

d) (−∞,13 )

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.15Wskaż liczbę m, dla której wykres funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = (m − 1)x + 4 przyj-

muje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x < 2.

a) m = 3

b) m = 1

c) m = − 1

d) m = − 3

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.16Oblicz miejsce zerowe funkcji f określonej wzorem

(Pokaż odpowiedź)

Liczba √5 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = ax − 10. Oblicz a.

(Pokaż odpowiedź)

Rozwiąż nierównośćx

21 − 2 >2 − x19 . Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia tę nie-

równość.

(Pokaż odpowiedź)

Rozwiąż nierówność 3x(x + 1) + (x − 1)2

≥ (2x − 1)(2x + 1). Zaznacz zbiór jej rozwiązań na osi licz-

bowej.

(Pokaż odpowiedź)

Wykaż, że liczba 212 jest rozwiązaniem równania 222 − 162 ? x − 410 = 87.

(Pokaż odpowiedź)

Wypisz wszystkie liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności x(x + 2) < (x − 2)2

x + 12 > − 2.

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = 3x − 4a)

f(x) = − 12x + 5b)

f(x) =3x − 7

f(x) = √2x + 6d)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.23Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających jednocześnie nierówności

(2x − 1)2

< (2x + 5)2, 4(3x + 1)

2≤ 9(2x − 1)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.24Wypisz wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności

(x + 3)2

< (x − 4)2

i (9x + 7)x ≤ (3x + 1)2.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.25Wykaż, że nie istnieje liczba rzeczywista x, która spełnia jednocześnie nierówności

3x(x − 7) < 2x2 + (x − 5)2,

x + 25 − 2x + 1

2 > 21

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

2.4. Układ równań liniowych. Geometrycznainterpretacja układu równań

2.4.1. Układ dwóch równań liniowych

Analizując wykresy dwóch funkcji liniowych, zaznaczone w tym samym układzie współrzędnych,

możemy stwierdzić, czy wykresy te mają punkty wspólne.

Przykład 1.Rysunek przedstawia wykresy funkcji f(x) = 3x − 1 i g(x) = x + 1.

Z rysunku odczytamy, że wykresy funkcji przecinają się w punkcie (1, 2).

Obliczając wartość każdej z funkcji dla argumentu 1, stwierdzamy, że

f(1) = 3 ? 1 − 1 = 2,

a także

g(1) = 1 + 1 = 2.

Wykresy funkcji f i g nie są prostymi równoległymi. Punkt (1, 2) jest ich jedynym punktem

wspólnym.

Nie zawsze jednak można z rysunku dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia wy-

kresów dwóch funkcji liniowych.

Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań

Przykład 2.Rysunek przedstawia wykresy funkcji f(x) = 4x − 9 i g(x) = − 3x + 2.

Przykład 3.Rozwiążemy układ równań

{ 2x − y = − 4

x + 2y = 3

• I sposób

Wyznaczymy z drugiego równania niewiadomą x

x = 3 − 2y.

Następnie wykorzystujemy otrzymany związek w pierwszym równaniu, skąd otrzymujemy

2 ∙ (3 − 2y) − y = − 4

6 − 4y − y = − 4

−4y − y = − 4 − 6

−5y = − 10

Układ dwóch równań liniowych

Wobec tego

x = 3 − 2 ∙ 2 = − 1

Rozwiązaniem danego układu jest więc para liczb x = − 1 oraz y = 2.

• II sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.

Wyznaczymy y z każdego równania układu

{ 2x + 4 = y

2y = − x + 3

{ y = 2x + 4

y = − 12x +

Proste o równaniach y = 2x + 4 i y = − 12x +

32 nie są równoległe, więc przecinają się w jednym

punkcie.

Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

Odczytujemy z rysunku, że te proste przecinają się w punkcie (−1, 2).Wobec tego układ równań

{ 2x − y = − 4

x + 2y = 3

ma jedno rozwiązanie, parę liczb x = − 1 oraz y = 2.

{ 4x − y = − 5

3x = − 6

• I sposób

Z drugiego równania natychmiast wynika, że x = − 2. Po wstawieniu otrzymanej wartości x

do pierwszego równania otrzymujemy y = − 8 + 5, skąd y = − 3.

Para x = − 2 i y = − 3 jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.

• II sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.

Z pierwszego równania wyznaczamy y, ale w drugim równaniu ta niewiadoma nie występuje.

Zapisujemy więc drugie równanie w postaci x = − 2.

{ y = 4x + 5

x = − 2

Zauważmy, że równanie x = − 2 opisuje zbiór wszystkich takich punktów, których pierwsza

współrzędna jest równa – 2.

Jest to więc równanie prostej równoległej do osi Oy, przecinającej oś Ox w punkcie (0, − 2).Rysunek przedstawia proste o równaniach y = 4x + 5 i x = − 2 w układzie współrzędnych.

Odczytujemy z niego, że te proste przecinają się w punkcie ( − 2, − 3).Oznacza to, że układ równań

{ 4x − y = − 5

3x = − 6

ma jedno rozwiązanie, parę liczb x = − 2 oraz y = − 3.

Przykład 5.

Para x = 1 i y = − 1 jest rozwiązaniem układu równań { 4x − 6y = 10

−6x + 9y = − 15, ponieważ dla x = 1 i

y = − 1 jest

4x − 6y = 4 ∙ 1 − 6 ∙ (−1) = 4 + 6 = 10

−6x + 9y = − 6 ∙ 1 + 9 ∙ (−1) = − 6 − 9 = − 15.

Nie jest to jedyne rozwiązanie tego układu, co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego z rów-

nań układu

{ 4x − 10 = 6y

9y = 6x − 15

{ y =23x − 5

y =23x − 5

Oba równania opisują tę samą prostą, a zatem układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Jest nim każda para liczb rzeczywistych x i y, która spełnia równanie y =23x − 5

Rysunek przedstawia prostą o równaniu y =23x − 5

Przykład 6.Pokażemy, że układ

{ 6x + 15y = 30

14x + 35y = 140

nie ma rozwiązań.

Wyznaczamy y z każdego z równań układu

{ 15y = − 6x + 30

35y = − 14x + 140

{ y = − 25x + 2

y = − 25x + 4

Proste o równaniach y = − 25x + 2 i y = − 2

5x + 4 są równoległe i różne, więc dany układ nie ma

rozwiązań.

Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

2.4.2. Układ równań liniowych

Rozpatrzmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y

{ a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

gdzie a1, b1, c1, a2, b2 i c2 są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, przy czym pary liczb: a1 i b1 oraz

a2 i b2 nie są równocześnie równe zero.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para (x, y) ta-

kich liczb x i y, która spełnia każde z równań układu.

Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w przykładach omówionych powyżej zauważmy, że

układ równań liniowych

{ a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

• ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy proste o równaniach

a1x + b1y − c1 = 0

a2x + b2y − c2 = 0

nie są równoległe. Jest tak wtedy i tyko wtedy , gdy współczynniki przy x i y nie są proporcjonalne,

to znaczy, gdy

a1b2 − a2b1 ≠ 0

• ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy proste o równaniach

a1x + b1y − c1 = 0

a2x + b2y − c2 = 0

pokrywają się, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

a1b2 − a2b1 = 0

a1c2 − a2c1 = 0

Układ równań liniowych

b1c2 − b2c1 = 0

• nie ma rozwiązań, gdy proste o równaniach a1x + b1y − c1 = 0

a2x + b2y − c2 = 0

są równoległe i różne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

a1b2 − a2b1 = 0

oraz zachodzi choć jeden z warunków

a1c2 − a2c1 ≠ 0

b1c2 − b2c1 ≠ 0

{ 3x + 2y = − 1

x + 5y = 4

Zauważmy, że w powyższym przykładzie 3 ∙ 5 − 1 ∙ 2 = 13 ≠ 0, więc układ ma jedno rozwiąza-

W rozwiązaniu zastosujemy metodę podstawiania.

W tym celu wyznaczymy x z drugiego równania.

{ 3x + 2y = − 1

x = 4 − 5y

{ 3 ∙ {4 − 5y + 2y = − 1

x = 4 − 5y

{ 12 − 15y + 2y = − 1

x = 4 − 5y

{ −13y = − 13

x = 4 − 5y

{ y = 1

x = 4 − 5 ∙ 1

A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = − 1 i y = 1. Jest to jedyne rozwiąza-

nie tego układu.

{ 7x + 5y = 1

3x − 2y = − 12

Zauważmy, że w powyższym przykładzie

7 ∙ (−2) − 5 ∙ 3 = − 29 ≠ 0,

więc układ ma jedno rozwiązanie.

W rozwiązaniu zastosujemy metodę przeciwnych współczynników.

Pomnożymy obie strony pierwszego równania przez 2, a drugiego przez 5.

{ 14x + 10y = 2

15x − 10y = − 60

Wynika stąd, że

29x = − 58,

czyli x = − 2.

Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy

7 ∙ (−2) + 5y = 1,

skąd y = 3.

Wobec tego rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = − 2 i y = 3. Jest to jedyne rozwi-

ązanie tego układu.

2.4.3. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.1W punkcie (1, 3) przecinają się wykresy funkcji

a) h(x) = 2x + 1 i k(x) = − x + 4

b) l(x) = 3x i m(x) = 3x + 2

c) f(x) = 1 i g(x) = x + 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.2Proste o równaniach 2x − 3y = 0 i x + y = 5

a) są równoległe i różne

b) mają dokładnie jeden punkt wspólny

c) pokrywają się

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.3Wykresy funkcji f(x) = − 3x − 6, g(x) = ax + 4 i h(x) = 5x + b mają punkt wspólny leżący na osi Ox.

Wynika z tego, że

a) a = − 2

b) b = 10

c) wykresy funkcji g i h pokrywają się

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.4Dane są punkty A = (0, 2), B = (1, − 1), C = (−3, 5), D = (−2, − 2) oraz funkcje określone wzo-

rami f(x) = − 3x + 2, g(x) = 2x + 2, h(x) = − x + 2, k(x) = − 32x +

12 . Wówczas

a) na wykresie funkcji k leżą punkty B i C

b) na wykresie funkcji h leżą punkty B i D

Zadania

c) na wykresie funkcji g leżą punkty C i D

d) A jest punktem wspólnym wykresów funkcji f, g i h

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.6Rysunki przedstawiają interpretację geometryczną układów równań. Przyporządkuj układy

równań odpowiednim rysunkom.

I. { x − 2y = 1

−2x + 4y = 4

II. { x + 2y = 3

3x − y = 2

III. { x + y = 1

2x − y = 2

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Dany jest układ równań { 2x + y = − 3

ax + by = 6z niewiadomymi x i y . Wówczas

a) dla a = − 4 i b = − 2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

b) dla a = 2 i b = 1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

c) dla a = 1 i b = 2 układ nie ma rozwiązań

d) dla a = 1 i b = 1 układ ma jedno rozwiązanie

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz wszystkie wartości a i c, dla których układ równań { ax + y = 5

6x − 2y = cnie ma rozwiązań.

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz wszystkie wartości m, dla których rozwiązaniem układu równań { x − y = m

2x − 5y = 3m − 1

jest para liczb (x, y), takich że x > 0 i y > 0.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.10Wykresy funkcji f(x) = − 2x + 4 i g(x) = x + 7 przecinają się w punkcie

a) (−1, 6)

b) (1, 8)

c) (2, 0)

d) (0, 4)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.11Wskaż układ równań, którego geometryczna interpretacja przedstawiona jest na rysunku.

a) { x + y = − 2

−3x + y = 2

b) { x − y = 2

−3x + y = 2

c) { x + y = − 2

3x + y = 2

d) { x − y = 2

3x + y = 2

(Pokaż odpowiedź)

Rozwiązaniem układu równań { x + y = 5

3x + 2y = 3jest para liczb

a) x = − 8 i y = 13

Zadania

b) x = − 7 i y = 12

c) x = − 6 i y = 11

d) x = 2 i y = 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.13Wskaż układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

a) { x − 2y = 4

x − 4y = 8

b) { x + y = 3

3x + 3y = 6

c) { 3x + 6y = 21

5x + 10y = 35

d) { x + y = 0

x − y = 0

(Pokaż odpowiedź)

Rozwiązaniem układu równań { x + y = − 2

2x − 3y = 0jest para liczb (x, y), takich że

a) x < 0 i y > 0

b) x < 0 i y < 0

c) x > 0 i y < 0

d) x > 0 i y > 0

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Rozwiązaniem układu równań { x + by = − 2

ax − 4y = 3jest para liczb x = 1 i y = 1. Wynika stąd, że

a) a = 7 i b = − 1

b) a = − 1 i b = − 3

c) a = − 1 i b = − 1

d) a = 7 i b = − 3

(Pokaż odpowiedź)

Rozwiązaniem układu równań { 5x + 2y = 1

11x + 5y = − 3jest para liczb (x, y), takich że

a) x + y = 0

b) x + y = − 2

c) x + y = − 5

d) x + y = − 9

(Pokaż odpowiedź)

Układ równań { 14x − 21y = 63

ax + 6y = − 18z niewiadomymi x i y ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

a) a = 31

b) a = − 29

c) a = 1

d) a = − 4

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.18Wyznacz współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.19Który układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie?

a) { 119x + 211y = − 73

211x + 119y = 37

b) { x + 2y = 1

x + y = 1

c) { x + y = 0

x − y = 0

d) { x + y = 1

x + y = − 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.20Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację geometryczną.

f(x) = − 4x, g(x) = x + 10a)

f(x) = 2x − 5, g(x) = x − 6b)

f(x) = − x + 4, g(x) = 3x − 8c)

f(x) =13x − 2

3 , g(x) =38x − 5

{ 4x = − 8

x + 2y = 4

{ 2x − y = 3

17y = 51

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

{ x + y = − 3

2x + y = − 1

{ 2x + y = 3

2x − 3y = − 9

{ 2x + y = 2

3x − 2y = − 4

{ 2x + 3y = − 1

4x + 7y = − 3

{ 2x + 3y = − 1

5x + 6y = − 4

{ 3x + 4y = 1

4x + 5y = 2

{ 95x − 57y = 38

−60x + 36y = − 24

{ 119x − 34y = 68

−35x + 10y = − 25

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz wszystkie wartości a, dla których układ równań { ax − y = 5

2x + 3y = − 15ma nieskończenie

wiele rozwiązań.

(Pokaż odpowiedź)

Rozstrzygnij, czy istnieje liczba b taka, że układ równań { 4x − 2y = 7

3x + by = 10nie ma rozwiązań.

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz wszystkie wartości c, dla których rozwiązaniem układu równań { x + 2y = c

3x + 7y = 2c − 1jest

para liczb (x, y), takich że x < 0 i y < 0.

(Pokaż odpowiedź)

{ 0,3x − 0,3y = 0,3

−2,5x + 2,5y = 0

{14x − 1

8y = − 18

− 67x +

Zadania

Wyznacz wszystkie wartości m i k, dla których układ równań { x + 3y = m

kx − 12y = − 8ma nieskończenie

wiele rozwiązań.

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz wszystkie wartości m, dla których rozwiązaniem układu równań { 5x − 2y = m − 3

x + 3y = 2m − 3jest

dokładnie jedna para liczb (x, y), spełniająca warunek y = x + 1.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Rozwiąż układ równań { 2x + 3y = − 4

x − y = 5.

(Pokaż odpowiedź)

2.5. Zastosowanie funkcji liniowej

2.5.1. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I

W zadaniach tekstowych opisywane są zależności między wielkościami niewiadomymi. Analiza

tych zależności powinna doprowadzić do zapisania związków między tymi wielkościami w postaci

równania, nierówności, układu równań bądź układu nierówności. Zadanie uważa się za rozwiąza-

ne, kiedy wyznaczymy wszystkie wartości niewiadomych, spełniające warunki zadania.

W poniższych przykładach będziemy rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą równań, nierów-

ności oraz układów równań liniowych.

Przykład 1.Znajdziemy trzy takie liczby, których suma jest równa 85. Pierwsza z tych liczb jest o 7 większa

od drugiej i jest jednocześnie dwa razy mniejsza od trzeciej.

Jeżeli pierwszą z tych liczb oznaczymy przez x, to z treści zadania wynika, że druga jest równa

x – 7, a trzecia jest równa 2x. Ponieważ suma tych trzech liczb jest równa 85, zatem otrzy-

mujemy równanie

x + x − 7 + 2x = 85.

Rozwiązujemy równanie, przekształcając je równoważnie

x + x + 2x = 85 + 7

4x = 92

x = 23

Pierwsza z tych liczb to 23, druga to 16, a trzecia to 46.

Przykład 2.Uczniowie rozwiązywali zadanie, za które można było otrzymać 0, 1 lub 2 punkty. Po ukoń-

czeniu pracy okazało się, że23 uczniów otrzymało 2 punkty, 25% pozostałych otrzymało za

rozwiązanie zadania 1 punkt, a 9 uczniów otrzymało 0 punktów. Obliczmy, ilu uczniów rozwi-

ązywało zadanie.

Oznaczmy przez x liczbę uczniów rozwiązujących zadanie. Wtedy23x to liczba uczniów, którzy

uzyskali za zadanie 2 punkty, a 25%(x − 23x) to liczba uczniów, którzy uzyskali 1 punkt.

Otrzymujemy równanie

23x + 25% ?

13x + 9 = x.

Obliczmy niewiadomą x

Zastosowanie funkcji liniowej

x − 23x − 1

4 ?13x = 9

12x − 8x − x = 9 ? 12

3x = 108

x = 36.

Zatem zadanie rozwiązywało 36 uczniów.

223 ∙ 36 = 24

1 25%14 ∙ 12 = 3

36 − 24 − 3 = 9

Przykład 3.

Przykład 4.Wyznaczymy wszystkie pary różnych liczb całkowitych, których suma jest równa 130, a więk-

sza z nich jest mniejsza od 68.

Oznaczmy mniejszą z liczb przez x. Wtedy większa z nich, która jest równa 130 − x, spełnia

dwa warunki

130 − x > x i 130 − x < 68.

Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I

Wynika z tego, że

2x < 130 i x > 130 − 68,

x < 65 i x > 62.

Stąd x = 63 lub x = 64. Zatem są dwie pary liczb całkowitych spełniających warunki zadania

63 i 67 oraz 64 i 66.

Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I

2.5.2. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II

Przykład 1.Wskazówki na tarczy zegara pokazują godzinę 1200. Obliczmy, za ile minut obie wskazówki

zegara utworzą kąt 90 ° .

Ruch po okręgu opisujemy za pomocą prędkości kątowej. Dla zegara prawidłowo odmierza-

jącego czas prędkość wskazówki godzinowej to 30 stopni na godzinę (30 ° / h), a wskazówki

minutowej to 360 stopni na godzinę (360 ° / h).

Oznaczmy przez x czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz pierwszy od godziny 1200

utworzyły kąt 90 ° . Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o 90 °większy niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego

30x + 90 = 360x

330x = 90

x =90330h =

311h =

18011 min.

A zatem po raz pierwszy wskazówki utworzą kąt 90 ° po upływie 164

11 minut.

Oznaczmy przez y czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz drugi od godziny 1200

utworzyły kąt 90 ° . Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o 270 °większy, niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego

30x + 270 = 360y

po raz pierwszya)

po raz drugib)

Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II

330y = 270

y =270330 h =

911h =

54011 min.

Stąd wniosek, że wskazówki po raz drugi utworzą kąt 90 ° po upływie 491

11 minuty.

Przykład 2.Na szkolną akademię z okazji Święta Niepodległości przyszło 520 uczniów. Można było usiąść

na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie 164 krzesła i ławki. Uczniów,

którzy zajęli miejsca siedzące było 7 razy więcej niż pozostałych. Ustalimy, ile krzeseł było za-

jętych.

Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to78 ? 520, czyli 455 osób.

Oznaczmy przez x liczbę zajętych krzeseł, a przez y – liczbę zajętych ławek.

Wówczas

{ x + y = 164

x + 4y = 455,

{ x = 164 − y

{164 − y + 4y = 455

{ x = 164 − y

−y + 4y = 455 − 164

{ x = 164 − y

3y = 291

{ x = 164 − y

y = 97

{ x = 164 − 97

y = 97.

Wobec tego x = 67, czyli podczas akademii było zajętych 67 krzeseł. .

Przykład 3.Dwie maszyny tłoczą detale tego samego typu. W poniedziałek pierwsza maszyna pracowała

10 godzin, a druga 8 godzin i razem maszyny wyprodukowały 1940 detali. We wtorek pierw-

sza maszyna pracowała 3 godziny, a druga 5 godzin i razem wyprodukowały 894 takie detale.

Ustalimy, ile godzin potrzebuje oddzielnie każda z maszyn, aby wyprodukować 5880 detali.

Oznaczmy:

x – liczba detali produkowanych przez pierwszą maszynę w ciągu godziny,

y – liczba detali produkowanych przez drugą maszynę w ciągu godziny.

Otrzymujemy układ równań

{ 10x + 8y = 1940

3x + 5y = 894.

{ 50x + 40y = 9700

−24x − 40y = − 7152,

26x = 2548.

x = 98, y = 120.

Stąd wniosek, że pierwsza maszyna wykona 5880 detali w ciągu 60 godzin, a druga – w ciągu

49 godzin.

Przykład 4.

W pierwszej probówce znajduje się dwudziestoprocentowy roztwór wodny soli, w drugiej –

roztwór wodny soli o stężeniu piętnastu procent. Do trzeciej, początkowo pustej probówki,

przelano pewną ilość mililitrów pierwszego roztworu, po czym dolano tyle mililitrów drugie-

go, że w trzeciej probówce otrzymano roztwór o stężeniu 18%. Oblicz o ile procent więcej

wykorzystano roztworu dwudziestoprocentowego, niż piętnastoprocentowego.

Opis wszystkich wielkości ujętych w zadaniu prezentujemy w poniższej tabeli.

Odlane z pierwszego

naczynia

Odlane z drugiego

naczynia

Razem w trzecim naczy-

Ilość roz-

tworu x y x + y

Ilość soli 20%x 15%y 20%x + 15%y = 18%(x + y)

Rozwiązujemy równanie

20%x + 15%y = 18%(x + y)

0,2x + 0,15y = 0,18x + 0,18y

0,02x = 0,03y

x = 1,5y

Co możemy zapisać x = 150%y = y + 50%y.

Oznacza to, że aby otrzymać roztwór o stężeniu 18% należy użyć o 50% więcej roztworu dwu-

dziestoprocentowego, niż piętnastoprocentowego.

Przykład 5.

Ala spytała starszą koleżankę Olę: „Ile masz lat, Olu?”. Ola odpowiedziała: „Gdy ty będziesz w

moim wieku, mój ojciec będzie od ciebie 3 razy starszy. Gdy ja byłam w twoim wieku, mieli-

śmy razem z moim ojcem 52 lata, a twój wiek stanowił dwie trzecie mojego.” Obliczymy, ile

lat ma Ola.

Oznaczmy:

• y – aktualny wiek Ali,

• x – aktualny wiek Oli.

W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.

gdy Ola była

w wieku Aliteraz

gdy Ala będzie

w wieku Oli

wiek Ali 23y y x

wiek Oli y x

wiek ojca Oli 52 − y 3x

Zauważmy, że y − 23y = x − y, czyli x =

Ponownie wypełniamy tabelkę.

gdy Ola była

w wieku Aliteraz

gdy Ala będzie

w wieku Oli

wiek Ali 23y y x =

wiek Oli y x =43y

wiek ojca Oli 52 − y =113 y − 1

3y =103 y 4y − 1

3y =113 y 3x = 4y

Mamy w tabelce komórkę z równaniem 52 − y =103 y, skąd y = 12. To znaczy, że x = 16, czyli

Ola ma 16 lat.

Przykład 6.Znajdziemy wszystkie liczby czterocyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się

o 1269.

Oznaczmy:

• x cyfra jedności szukanej liczby czterocyfrowej,

• y liczba trzycyfrowa, która powstaje po skreśleniu ostatniej cyfry szukanej liczby cztero-

cyfrowej.

Wtedy liczba czterocyfrowa to 10y + x.

Zapisujemy równanie

10y + x = y + 1269,

9y + x = 1269.

Zauważmy, że:

• liczba x może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

• liczba 1269 – x jest podzielna przez 9.

Ponieważ 1269 = 9 ∙ 141, x to możliwe

x = 0 x = 9

• x = 0, y = 141 szukaną liczbą czterocyfrow 1410.

• x = 9, y = 140, szukaną liczbą czterocyfrowa 1409.

Przykład 7.Ustalimy, ile jest liczb trzycyfrowych, które mają następującą własność: jeżeli pomiędzy cyfrę

jedności a cyfrę dziesiątek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia

otrzymamy liczbę o 35 mniejszą od danej liczby trzycyfrowej.

Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy następujące oznaczenia:

• x cyfra jedności,

• y liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.

Wtedy dana liczba trzycyfrowa to 10y + x, a iloczyn, o którym mowa w treści zadania to y ? x.

10y + x = xy + 35,

10y + x − xy = 35

y(10 − x) + x = 35.

Jeżeli teraz od obu stron równania odejmiemy 10, to lewą stronę będziemy mogli zapisać w

postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych.

y(10 − x)x + x − 10 = 35 − 10

y(10 − x) − (10 − x) = 25

(y − 1)(10 − x) = 25.

Ponieważ liczba y jest dwucyfrowa, to liczba y − 1 jest dodatnia, a skoro iloczyn (y − 1)(10 − x)jest równy 25, to liczba 10 − x jest również dodatnia. Obie liczby y − 1 i 10 − x są zatem całko-

witymi i dodatnimi dzielnikami liczby 25.

Zauważmy, że liczba x może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Liczba 10 − x jest dzielnikiem liczby 25 w dwóch przypadkach:

W pierwszym przypadku liczba y nie jest dwucyfrowa (y = 6), czyli warunki zadania nie są

spełnione.

x = 5, wtedy 10 − x = 5 oraz y − 1 =255 = 5,a)

x = 9, wtedy 10 − x = 1 oraz y − 1 = 25.b)

W drugim przypadku y = 26, skąd wniosek, że jedyną liczbą trzycyfrową o zadanych własno-

ściach jest 269.

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.1W koszyku znajdują się owoce: jabłka, gruszki i brzoskwinie, razem jest ich 18. Brzoskwiń jest

dwa razy mniej niż jabłek, ale o dwie więcej niż gruszek. Oblicz, ile jest w tym koszyku każdego

rodzaju owoców.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.2Magda brała udział w szkolnej akcji „Góra złota”. Przekazała na ten cel 135 monet, wśród któ-

rych były tylko monety jednogroszowe, dwugroszowe i pięciogroszowe. Przy czym monet jed-

nogroszowych było dwa razy mniej niż dwugroszowych. Cała kwota przekazana w ten sposób

przez dziewczynkę to 2 zł 65 gr. Ile monet pięciogroszowych zebrała Magda?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.3Pewna liczba dwucyfrowa ma następujące własności

cyfra dziesiątek tej liczby jest o 1 większa od cyfry jedności,

jeżeli tę liczbę podzielimy przez sumę jej cyfr, to w wyniku otrzymamy 6 i resztę 1.

Jaka jest suma cyfr tej liczby?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.4Testowana jest nowa, automatyczna linia technologiczna do produkcji pewnego detalu. Auto-

maty, które są do niej włączone, mogą pracować na dwóch różnych poziomach wydajności.

Uruchomiono 48 automatów, które, pracując na pierwszym poziomie wydajności, miały przez

21 godzin wyprodukować ustaloną partię detali. Po 9 godzinach 3 automaty wyłączono, a po-

zostałe przełączono na drugi poziom wydajności, zwiększając ją w ten sposób o 28%. Po ilu go-

dzinach pracy przy zwiększonej wydajności wyprodukowano ustaloną partię detali?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.5Suma jedenastu kolejnych liczb naturalnych jest równa 176. Która z tych liczb jest największa?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.6Szkolne koło sportowe zorganizowało konkursowe zawody w rzutach do kosza z odległości 7,5

metra. Każdy zawodnik oddawał 10 rzutów. Za celny rzut przyznawano 8 punktów, a za każdy

rzut niecelny odbierano 3 punkty. Czy można było w ten sposób uzyskać

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.7Zmieszano 3 kg cukierków czekoladowych i 5 kg cukierków toffi. Za kilogram mieszanki trzeba

zapłacić 9,50 zł. Gdyby zmieszać 5 kg takich cukierków czekoladowych i 3 kg cukierków toffi, to

jeden kilogram mieszanki kosztowałby 10,50 zł. Ile kosztuje kilogram mieszanki otrzymanej z

3 kg cukierków czekoladowych i 2 kg cukierków toffi?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.3.8Na tarczy zegara wskazówki minutowa i godzinowa

a) w ciągu doby tworzą kąt prosty (tak jest np. o godzinie 9.00) 24 razy

b) w ciągu doby tworzą kąt półpełny (tak jest np. o godzinie 6.00) 12 razy

c) w ciągu doby spotykają się (tak jest np. o godzinie 12.00) 22 razy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.9Zapis dziesiętny pierwszej liczby sześciocyfrowej zaczyna się z lewej strony cyfrą 4. Jeżeli tę cy-

frę przestawimy na ostatnie miejsce zapisu dziesiętnego, to otrzymamy drugą liczbę sześciocy-

frową, która jest cztery razy mniejsza od pierwszej liczby. Znajdź te liczby.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.10Mateusz mówi do Piotra: „Mam 3 razy więcej lat niż ty miałeś, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty

masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieli łącznie 112 lat. Ile lat ma obecnie Mate-

usz, a ile Piotr?

(Pokaż odpowiedź)

47 punktów,a)

63 punkty?b)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.11Małgosia ma zbiór 434 znaczków pocztowych. W tym zbiorze jest 6 razy więcej znaczków pol-

skich niż zagranicznych. Ile znaczków zagranicznych ma Małgosia?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.12Suma trzech liczb jest równa 90. Znajdź te liczby, jeżeli druga jest 2 razy większa od pierwszej,

ale o 5 mniejsza od trzeciej.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.1Cztery liczby całkowite pozostają w stosunku 5:7:11:26. Suma dwóch skrajnych liczb jest równa

713. Jakie to liczby?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.2Suma siedemnastu kolejnych liczb naturalnych jest równa 544. Znajdź dziewiątą z tych liczb.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.3Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 90 km wyjechali w tym samym momencie naprze-

ciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z A do B jechał ze średnią prędkością o 25% więk-

szą niż średnia prędkość drugiego rowerzysty. Po dwóch godzinach jazdy rowerzyści spotkali

się w miejscowości C. O ile kilometrów oddalone są od siebie miejscowości A i C?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.4Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa 11. Po zamianie cyfr miejscami otrzymujemy

liczbę większą od danej. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe o tej własności.

(Pokaż odpowiedź)

W sobotę o 900 grupa znajomych wyjechała na wycieczkę rowerową z Piotrkowa do Inowłodza.

Mieli do pokonania 54 km. Jeden z uczestników spóźnił się i z miejsca zbiórki wyjechał o 920.

Z jaką średnią prędkością musi jechać ten spóźnialski, żeby dogonić grupę zanim dojedzie do

Inowłodza, jeśli grupa jedzie ze średnią prędkością 18 km / h?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.6Cyfrą dziesiątek pewnej liczby trzycyfrowej jest 5, a suma wszystkich jej cyfr jest równa 17. Jeżeli

cyfry setek i dziesiątek zamienimy miejscami, to otrzymamy liczbę o 90 większą od danej liczby.

Znajdź tę liczbę trzycyfrową.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 2.5.4.7Dwaj bracia Janek i Franek zaplanowali, że w sobotę odwiedzą babcię. Babcia chłopców miesz-

ka w odległości 20 km od ich domu. Janek wyszedł z domu o godzinie 600 i szedł do babci z

prędkością 5 km / h. Franek wyjechał z domu do babci o 748 na rowerze i dogonił Janka po 36

minutach jazdy. Obaj chłopcy kontynuowali podróż, nie zmieniając prędkości. O której godzinie

Franek przyjechał do babci?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.4.8Kwotę 970 zł wypłacono banknotami o nominałach 20 zł, 50 zł i 100 zł. Ile było banknotów każ-

dej wartości, jeżeli banknotów stuzłotowych było 2 razy więcej niż pięćdziesiątek, a dwudzie-

stek o 2 więcej niż pięćdziesiątek i setek razem?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.4.9Jeśli do pewnej liczby trzycyfrowej dopiszemy na końcu cyfrę 9, to otrzymamy liczbę o 4257

większą od danej. Jaka to liczba?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.10Ile wody trzeba odparować z 3 kg wodnego roztworu soli kuchennej o stężeniu 5%, żeby otrzy-

mać roztwór o stężeniu 12%?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.11Bilet na pewne przedstawienie kosztował odpowiednio 20 zł dla dorosłych i 12 zł dla dzieci. Po

potrąceniu 18% kwoty uzyskanej ze sprzedaży biletów na koszty związane z wynajęciem sali,

organizatorzy uzyskali 2624 zł dochodu. Ilu dorosłych i ile dzieci było na tym przedstawieniu,

jeżeli wiadomo, że sprzedano 222 bilety?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.12Osiemnaście lat temu dziadek Marka był trzy razy starszy od taty Marka, a obecnie dziadek jest

dwa razy starszy od taty Marka. Ile lat ma dziadek Marka, a ile jego tata?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.13Ile gramów złota próby 0,680 należy stopić z 10 g złota próby 0,960, aby otrzymać złoto próby

0,750?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.14W pierwszym naczyniu znajduje się 12% roztwór wodny soli, w drugim – roztwór wodny soli

o stężeniu 16%. Do trzeciego, początkowo pustego naczynia przelano pewną ilość roztworu z

pierwszego naczynia, po czym dolano tyle roztworu z drugiego naczynia, że w trzecim naczyniu

otrzymano 4 kg roztworu o stężeniu 15%. Ile kg roztworu z drugiego naczynia dolano do trze-

ciego naczynia?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.15W zakładzie poligraficznym do produkcji kopert bąbelkowych używane są dwa różne automaty,

które przez 10 minut pracy wytwarzają razem 2700 kopert. Gdyby pierwszy automat pracował

przez 12 minut, a drugi przez 15 minut, to wyprodukowałyby tę samą liczbę kopert. Ile czasu

potrzebuje każdy z tych automatów, żeby wyprodukować 600 kopert?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.16Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się o 650.

(Pokaż odpowiedź)

Rozdział 3. Trygonometria

3.1. Podobieństwo trójkątów prostokątnych

3.1.1. Wprowadzenie do trygonometrii

Przypomnijmy, że trójkąty są podobne, jeśli wszystkie ich odpowiednie kąty są równe (cecha kąt-

kąt-kąt).

Trygonometria

Korzystając z cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt, możemy sprawdzić, czy dwa trójkąty prostokątne

są podobne, gdy w każdym z nich znamy miarę jednego z kątów ostrych.

Przykład 1.W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a miara kąta ABC jest rów-

na 35 ° . W trójkącie prostokątnym KLM kąt przy wierzchołku K jest prosty, a miara kąta KLM

jest równa 55 ° .

A zatem

| ?ACB | = | ?LKM | = 90 ° , | ?ABC | = | ?KML | = 35 ° , | ?BAC | = | ?KLM | = 55 ° .

Trójkąty ABC i KLM są więc podobne, co stwierdzamy, powołując się na cechę podobieństwa

kąt-kąt-kąt.

Wprowadzenie do trygonometrii

W trójkątach podobnych pary odpowiednich boków są proporcjonalne – boki trójkątów ABC

i KLM spełniają więc zależność

| AB || LM |

=| BC || KM |

=| AC || KL |

Wynika z tego, że każdy stosunek długości dwóch boków w trójkącie ABC jest równy stosun-

kowi długości odpowiednich boków w trójkącie KLM, np.

| AB || BC |

=| LM || KM |

,| AC || BC |

=| KL || KM |

,| AC || AB |

=| KL || LM |

Przykład 2.Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątne AC i BC są równe 1.

Ponieważ trójkąt ten jest równoramienny, to miary jego kątów ostrych ABC i CAB są równe

45 ° .

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta.

| AB |2

= | AC |2

+ | BC |2

| AB |2

= 12 + 12.

Ponieważ | AB | > 0, stąd

| AB | = √2.

Wówczas| AC || BC |

= 1,| AC || AB |

√2 , czyli| AC || AB |

= √22 , a także

| BC || AB |

= √22 .

Każdy równoramienny trójkąt prostokątny jest podobny do trójkąta ABC, co stwierdzamy na

mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt. Zatem w każdym trójkącie prostokątnym, którego je-

den z kątów ostrych jest równy 45 ° , stosunek dowolnie wybranej przyprostokątnej do prze-

ciwprostokątnej jest równy √22 .

Przykład 3.Pokażemy, że trójkąt prostokątny, w którym stosunek jednej z przyprostokątnych do prze-

ciwprostokątnej jest równy √22 , jest trójkątem, w którym oba kąty ostre są równe 45 ° .

Oznaczając długość przeciwprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie x > 0, zauważmy, że jed-

na z jego przyprostokątnych ma długość √22 x, a zatem (na podstawie twierdzenia Pitagorasa)

druga przyprostokątna ma długość √x2 − (√22 x)

2= √2

2 x. Wobec tego dany trójkąt prostokątny

jest równoramienny, więc każdy z jego kątów ostrych ma miarę 45 ° .

Przykład 4.Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna AC jest równa 1, a przeciw-

prostokątna AB jest równa 2. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy | BC | = √3.

Na prostej AC wybierzmy teraz punkt D symetryczny do punktu A względem punktu C. Wtedy

| AD | = 2, | DB | = | AB | ,

bo odcinki AB i DB są symetryczne względem prostej BC. Wobec tego trójkąt ABD jest rów-

noboczny, a BC to jego wysokość poprowadzona do boku AD.

Wynika z tego, że w trójkącie ABC kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej AC ma mia-

rę 30 ° , a kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej BC ma miarę 60 ° .

Przykład 5.Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna BC jest równa 9, a przeciw-

prostokątna AB jest równa 15.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy | AC | = 12.

Wybierzmy na półprostej CB takie punkty D i E, że | CD | = 12 i | CE | = 4√3.

Wtedy:

• w trójkącie ACD jest | AC | = | CD | , więc kąt DAC ma miarę 45 ° .

• w trójkącie ACE jest| CE || AC |

= √33 , a zatem kąt EAC ma miarę 30 ° .

Zatem kąt ostry BAC w trójkącie ABC ma miarę większą niż 30 ° i mniejszą niż 45 ° .

Za pomocą kątomierza, można zmierzyć na rysunku, że kąt ten ma miarę około 39 ° .

Przykład 6.Każdy trójkąt prostokątny, którego kąty ostre mają miary 30 ° , 60 ° jest podobny do trójkąta

ABC, opisanego w poprzednim przykładzie. Wobec tego w każdym takim trójkącie prostokąt-

• stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30 ° do przeciwprostokąt-

nej jest równy12 ,

• stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie 30 ° do przeciwprostokątnej jest

równy √32 ,

• stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30 ° do drugiej przyprosto-

kątnej jest równy1

√3 , czyli √33 .

Wynika z tego również, że:

• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy

krótsza od przeciwprostokątnej, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest

równy 30 ° ,

• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokąt-

nych do długości przeciwprostokątnej jest równy √32 , kąt ostry leżący naprzeciw tej przy-

prostokątnej jest równy 60 ° ,

• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokąt-

nych do długości drugiej przyprostokątnej jest równy √3, kąt ostry leżący naprzeciw

krótszej przyprostokątnej jest równy 30 ° .

3.1.2. Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

Definicja: Sinus, cosinus i tangens kąta ostregow trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α. Wprowa-

dzimy nazwy stosunków długości boków tego trójkąta.

• Sinusem kąta ostrego α (w skrócie sinα) nazywamy stosunek długości przypro-

stokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej.

• Cosinusem kąta ostrego α (w skrócie cosα) nazywamy stosunek długości przy-

prostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej.

• Tangensem kąta ostrego α (w skrócie tgα) nazywamy stosunek długości przy-

prostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej leżącej

przy kącie α.

Korzystając z oznaczeń na rysunku, zapisujemy

sinα =ac , cosα =

bc , tgα =

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

Powyższe zależności nazywa się funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego

Przykład 1.

Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego kąta ostrego α

sinα > 0 , cosα > 0.

Ponadto, w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna,

zatem dla dowolnego kąta ostrego α

sinα < 1 , cosα < 1.

Twierdzenie: 1

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:

0 < sinα < 1

0 < cosα < 1.

Jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę α, to drugi kąt ostry w tym trój-

kącie ma miarę 90 ° − α. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, zapisujemy

sin(90 ° − α) =bc

cos(90 ° − α) =ac

tg(90 ° − α) =ba .

Twierdzenie: 2

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości

cos(90 ° − α) = sinα

sin(90 ° − α) = cosα

tg(90 ° − α) =1

tgα .

3.1.3. Przykłady

Przykład 1.Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w poprzednich przykładach, uzupełnimy tabelkę,

wpisując wartości sinusa, cosinusa i tangensa kątów: 30 ° , 45 ° , 60 ° .

α 30 ° 45 ° 60 °

sinα 12

cosα √32

tgα √33 1 √3

Przykład 2.Trójkąt na rysunku jest prostokątny.

Dla tego trójkąta zachodzą następujące związki trygonometryczne:

sinα =8

17 , cosα =1517 , tgα =

sin(90 ° − α) =1517 , cos(90 ° − α) =

817 , tg(90 ° − α) =

Przykład 3.W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α, przyprostokątna leżąca naprze-

ciw tego kąta ma długość 5, a druga przyprostokątna ma długość 4. Wtedy

tgα =54 .

Przykłady

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej c tego trójkąta

c2 = 42 + 52.

Ponieważ c > 0, stąd

c = √41.

sinα =5

√41 , cosα =4

√41 ,

sinα =5√41

41 , cosα =4√41

Przykład 4.Obliczymy wartość wyrażenia

2sin42 ° + 3cos48 °5cos48 ° − 4sin42 ° .

Zauważmy, że

42 ° + 48 ° = 90 ° .

Wobec tego

cos48 ° = cos(90 ° − 42 ° ) = sin42 ° ,

a zatem

2sin42 ° + 3cos48 °5cos48 ° − 4sin42 ° =

2sin42 ° + 3sin42 °5sin42 ° − 4sin42 ° =

5sin42 °sin42 ° = 5.

Przykłady

Przykład 5.

Kąt α jest ostry i sinα =23 . Znajdziemy wartości cosα i tgα.

Wystarczy w tym celu rozpatrzyć dowolny trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości

jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy23 . Najprostszym

przykładem jest trójkąt o przeciwprostokątnej długości 3 i jednej z przyprostokątnych długo-

ści 2. Kąt α leży wtedy naprzeciwko tej przyprostokątnej.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość b drugiej przyprostokątnej

22 + b2 = 32.

Ponieważ b > 0, stąd

b = √5.

cosα = √53 , tgα =

√5 ,

tgα =2√5

Przykłady

Przykład 6.

Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i cosα =25 , to α > 60 ° .

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, w którym | AC | = 2 i | AB | = 5. Wtedy

cos(?BAC) =25 , co oznacza, że miary kątów | ?BAC | i α są równe.

Wybierzmy na przyprostokątnej BC taki punkt D, że | AD | = 4.

Wówczas cos(?DAC) =24 , czyli cos(?DAC) =

12 , więc | ?DAC | = 60 ° . Ponieważ

| ?DAC | < | ?BAC | , to 60 ° < α. Koniec dowodu.

Uwaga. Zestaw wzorów, przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki,

Przykłady

zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych. Można z niej odczytać, że

cos68 ° ≈ 0,4040 i cos69 ° ≈ 0,3839. Wynika stąd, że kąt ostry α, dla którego cosα = 0,4, jest

kątem z przedziału (68 ° , 69 ° ).

Przykłady

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.1Na rysunku zaznaczono długości boków trójkąta prostokątnego. Jeden z kątów ostrych tego

trójkąta ma miarę α.

Wówczas

a) 13cosα = 12

b) tgα > 1

c) sinα =5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.2Jeżeli α = 30 ° i β = 45 ° , to

a) cosα ? cosβ = √64

b) √3 ? tgα = tgβ

c) sinα + sinβ =34

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.3W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 4 i 7, a mniejszy z kątów ostrych ma

miarę α. Wówczas

a) cos(90 ° − α) =4

b) tg(90 ° − α) < 2

Zadania. Część I

c) cosα =7

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.4Jeżeli α = 49 ° , to

a) sinα >12

b) cosα > √22

c) tgα > 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.5Prawdziwa jest równość

a) sin12 ° = cos78 °

b) tg65 ° ? tg25 ° = 1

c) cos51 ° = sin59 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.6Kąt α jest ostry oraz sinα = 0,1. Wówczas

a) tgα <1

b) tgα ? cosα < 0,1

c) cosα > 0,9

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.7Kąt α jest ostry oraz cosα = sin38 ° . Wynika z tego, że

a) α > 60 °

b) tgα > 1

Zadania. Część I

c) sinα = cos38 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.8W trójkącie prostokątnym kąty ostre α i β spełniają zależność α = 4β. Wówczas

a) cosα + sinβ < 1

b) sinα ? cosβ + cosα ? sinβ = 1

c) sinα > tgβ

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.9W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 30, a każde z ramion ma długość

25. Oznaczmy miary kątów ABC i ACB odpowiednio przez α i 2β. Wtedy

a) sinβ = 0,96

b) tgα · tgβ = 1

c) cosα = 0,6

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.10W trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD kąty przy wierzchołkach A i D są proste.

Bok AD jest dwa razy dłuższy od boku CD i trzy razy krótszy od boku AB. Wtedy

a) miara kąta ostrego tego trapezu jest równa 45 °

b) kąt rozwarty tego trapezu ma miarę mniejszą od 150 °

c) tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy25

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.11Na rysunku podano długości boków i zaznaczono kąt ostry α trójkąta prostokątnego.

a) tgα =158

b) tgα =8

c) tgα =1517

d) tgα =8

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.12Na rysunku podano długości dwóch boków i zaznaczono kąt ostry trójkąta prostokątnego.

a) sin (90 ° − α) =23

Zadania. Część I

b) sin (90 ° − α) =34

c) sin (90 ° − α) =45

d) sin (90 ° − α) =35

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.13Na rysunku podane są długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, którego jeden z

kątów ostrych jest równy α.

Wówczas

a) sinα =3

b) sinα = √53

c) sinα =23

d) sinα =2√5

(Pokaż odpowiedź)

Liczba √2 ∙ tg60 ° + √3 cos45 °sin30 ° jest równa

a)2√2 + 3√3

b) 3√6

c) 6√3

Zadania. Część I

d)3√2 + 2√3

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i tgα =23 . Wtedy

a) α < 60 °

b) α = 60 °

c) α = 45 °

d) α < 45 °

(Pokaż odpowiedź)

W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre α = 28 ° i β = 62 ° . Wtedycosα + sinβ

sinβ − 3cosα równa się

a) – 1

c) – 2

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.1Na rysunku podane są długości boków trójkąta równoramiennego, którego kąt przy podstawie

jest równy α.

a) sinα =2√2

b) sinα =23

c) sinα = √23

d) sinα =13

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.2Długość boku rombu jest równa 7. Pole rombu jest równe 28. Wówczas cosinus kąta ostrego

tego rombu jest równy

b) √337

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.3W trapezie ABCD, o podstawach AB i CD, dane są długości boków | AB | = 12 i

| AD | = | BC | = | CD | = 6. Wynika z tego, że sinus kąta BAC jest równy

b) √32

c) √33

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.4Wskaż liczbę równą 1.

a) tg40 ° · sin50 ° · cos50 °

b) tg40 ° · tg50 °

c) tg40 ° · cos50 °

d) tg40 ° · sin50 °

(Pokaż odpowiedź)

O kątach ostrych: α, β, γ wiadomo, że: tgα =32 , cosβ =

910 , sinγ =

78 . Wynika z tego, że

a) β > α > γ

b) β > γ > α

c) γ > α > β

d) α > β > γ

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.6Podaj sinus, cosinus i tangens kąta ostrego α.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.7Dane są długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego. Oblicz sinus, cosinus i tan-

gens kąta ostrego α, leżącego naprzeciw przyprostokątnej a, jeżeli

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.8W trójkącie prostokątnym dana jest długość przyprostokątnej a i długość przeciwprostokątnej

c. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ostrego β, leżącego przy przyprostokątnej a, jeśli

(Pokaż odpowiedź)

a = 1, b = 7a)

a = √7, b = 3b)

a = 3, b = 6√2c)

a = √41, b = 2d)

a = 1, c = 7a)

a = √7, c = 5b)

a = 3, c = 2√5c)

a = 7, c = √74d)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.9Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.10Wykaż, że

(Pokaż odpowiedź)

(sin30 ° + sin60 ° )2

− 2sin 60 ° ∙ cos 30 °a)

(sin60 ° ∙ tg30 ° + cos30 ° )2

− sin 60 °b)

(tg30 ° + tg60 ° ) ∙ sin30 ° ∙ sin60 °c)

16 ∙ (sin 30 ° + sin245 ° + sin4 60 ° ) = 25a)

8 ∙ (cos230 ° ∙ cos245 ° + cos60 ° ) = 7b)

tg30 ° ∙ tg45 ° ∙ tg60 ° = 1c)

5 cos18 ° + 7 sin 72 °17 sin 72 ° − 11 cos18 °

tg22 ° ∙ tg44 ° ∙ tg46 ° ∙ tg68 °b)

cos72 ° ∙ cos 28 ° = sin 62 ° ∙ sin 18 °a)

tg18 °tg54 ° =

tg36 °tg72 °

(3sin19 ° + 2cos71 ° )(sin44 ° + 7cos46 ° ) = 40cos71 ° sin44 °c)

W trójkącie ABC dane są długości boków | AC | = | BC | = √29 i | AB | = 4. Oblicz sinus

każdego z kątów tego trójkąta.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.14W trapezie prostokątnym ABCD ramię AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Boki trapezu

mają długości: | AB | = 21, | AD | = 12, | CD | = 16. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Długości przekątnych rombu ABCD są równe | AC | = 48 i | BD | = 14. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

W trapezie równoramiennym ABCD długości podstaw są równe | AB | = 11 i | CD | = 7, a

każde z ramion ma długość 6. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

sin(?BAC)a)

tg(?BDC)b)

cos(?ABC)c)

tg(?CAB)a)

cos(?CDB)b)

sin(?BAD)c)

cos(? BAD)a)

tg(? CAB)b)

sin(? ACD)c)

W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 28 i | AD | = 17. Pole tego rów-

noległoboku jest równe 420, a kąt przy wierzchołku A jest ostry. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Pole trójkąta ostrokątnego jest równe 780. Boki tego trójkąta mają długości | AB | = 39 i

| AC | = 41. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

W rombie ABCD krótsza przekątna ma długość | BD | = 30, a bok 25. Wykaż, że

sin(? BAD) = 2 ∙ sin(? CAD) ∙ cos(? CAB).(Pokaż odpowiedź)

sin(? BAD)a)

tg(? DBA)b)

cos(? CAB)c)

sin(? BAC)a)

cos(? ABC)b)

tg(? ACB)c)

3.2. Tożsamości trygonometryczne

3.2.1. Tożsamości trygonometryczne

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy związek między długościami boków w trójkącie

prostokątnym (przy oznaczeniach takich jak na rysunku)

a2 + b2 = c2.

Oznaczmy przez α miarę kąta ostrego, leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości a. Z de-

finicji sinusa oraz cosinusa kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym mamy

sinα =ac , cosα =

Wówczas

(sinα)2

+ (cosα)2

= (ac )

c2 +b2

c2 =a2 + b2

c2 =c2

c2 = 1.

Bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym wy-

nika, że wartość tgα możemy wyrazić za pomocą sin α i cosα.

sinαcosα =

ab = tg α.

Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

Twierdzenie: 3

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości

Tożsamości trygonometryczne

sin2α + cos2α = 1

sinαcosα = tgα.

Powyższe zależności określają związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego

kąta ostrego.

Tożsamości trygonometryczne

3.2.2. Przykłady

Przykład 1.Obliczymy wartość wyrażenia

sin227 ° + cos227 ° − 3

cos263 ° + sin263 ° + 1.

Ponieważ dla dowolnego kąta ostrego α zachodzi równość

sin2α + cos2α = 1,

sin227 ° + cos227 ° = 1 , cos263 ° + sin263 ° = 1.

Wobec tego

sin227 ° + cos227 ° − 3

cos263 ° + sin263 ° + 1=

1 − 31 + 1 =

−22 = − 1.

Przykład 2.

Kąt α jest ostry i sinα =9

11 . Obliczymy wartość wyrażenia cos2α.

Ponieważ

sin2α + cos2α = 1,

cos2α = 1 − sin2α

dla dowolnego kąta ostrego α.

Skoro sinα =9

11 , to

cos2α = 1 − ( 911 )

2= 1 − 81

121 =40

Przykład 3.

Kąt α jest ostry i cosα =34 . Obliczymy wartość wyrażenia 3 − sin α

tg α .

Ponieważ

sinαcosα = tgα,

sinαtgα =

sinαsinαcosα

=sinα ? cosα

sinα = cosα

Przykłady

Zatem dla cosα =34 otrzymujemy

3 − sinαtgα = 3 − cosα = 3 − 3

4 = 214 .

Przykład 4.Wykażemy, że sin38 ° < tg38 ° .

Wiemy, że cos dowolnego kąta ostrego jest mniejszy od 1, więc

cos38 ° < 1.

Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatniąsin38 °cos38 ° .

sin38 °cos38 ° ∙ cos38 ° <

sin38 °cos38 °

Ponieważ

sin38 °cos38 ° = tg38 ° ,

sin38 ° < tg38 ° ,

co należało wykazać.

Przykład 5.

Kąt α jest ostry i cosα = √53 . Obliczymy wartość wyrażenia 2sin2α − cos2α.

Korzystając z tożsamości sin2α + cos2α = 1, otrzymujemy

sin2α = 1 − cos2α.

Wobec tego

2sin2α − cos2α = 2(1 − cos2α) − cos2α = 2 − 2cos2α − cos2α = 2 − 3cos2α.

Dla cosα = √53 mamy

2sin2α − cos2α = 2 − 3 ? (√53 )

2= 2 − 3 ? 5

9 = 2 − 53 =

Przykłady

Przykład 6.Kąt α jest ostry i sinα = 0,3. Obliczymy cosα i tgα.

Korzystając z tożsamości sin2α + cos2α = 1, otrzymujemy cos2α = 1 − sin2α. Wobec tego dla

sinα = 0,3 mamy:

cos2α = 1 − sin2α = 1 − (0,3)2

= 1 − 0,09 =91

Ponieważ cosα > 0, więc otrzymujemy

cosα = √9110 ,

tgα =sinαcosα =

√9110

√91 =3√91

Przykład 7.

Kąt α jest ostry i sinα = √74 . Obliczymy wartość wyrażenia 10 − 9tg2α.

• I sposób

Skoro sinα = √74 , to

cos2α = 1 − sin2α = 1 − (√74 )

2= 1 − 7

Ponieważ cosα > 0, to cosα =34 oraz

tgα =

√7434

= √73 .

10 − 9tg2α = 10 − 9 ? (√73 )

2= 10 − 9 ?

79 = 10 − 7 = 3.

• II sposób

Korzystając z tożsamości stosowanych w poprzednich przykładach, wyrazimy 10 − 9tg2α za

pomocą sinα.

10 − 9tg2α = 10 − 9 ? ( sinαcosα )

2= 10 − 9 ?

sin2α

cos2α= 10 − 9 ?

sin2α

1 − sin2α.

Wtedy dla sinα = √74 otrzymujemy

Przykłady

10 − 9tg2α = 10 − 9 ?sin2α

1 − sin2α= 10 − 9 ?

(√74 )

1 − (√74 )

2 = 10 − 9 ?7

16 ?169 = 3.

Przykład 8.

Kąt α jest ostry i tgα = √115 . Obliczymy sinα i cosα.

Jeśli tgα = √115 , to

sinαcosα = √11

5 , skąd sinα = √115 cosα. Ponadto sin2α + cos2α = 1, czyli

(√115 cosα)

2+ cos2α = 1.

1125cos2α + cos2α = 1

11cos2α + 25cos2α = 25

36cos2α = 25

cos2α =2536 .

Ponieważ cosα > 0, to

cosα = √2536 =

56 , sinα = √11

5 ?56 = √11

Przykład 9.

Kąt α jest ostry i tgα =38 . Obliczymy

2sinα + cosα2cosα − 6sinα .

• I sposób

Najpierw obliczamy sinα i cosα.

Jeśli tgα =38 , to sinα =

38cosα. Ponadto sin2α + cos2α = 1, skąd

(38cosα)

2+ cos2α = 1.

Wobec tego

964cos2α + cos2α = 1

9cos2α + 64cos2α = 64

Przykłady

cos2α =6473 .

Ponieważ cosα > 0, to cosα = √6473 =

8√7373 i sinα =

8√7373 =

3√7373 ,

czyli wartość danego wyrażenia to

2sinα + cosα2cosα − 6sinα =

2 ?3√73

8√7373

2 ?8√73

73− 6 ?

3√7373

=14√73−2√73 = − 7.

• II sposób

Zauważmy, że jeśli tgα =38 , to sinα =

38cosα. Uwzględniając tę zależność, otrzymujemy

cosα + cosα

2cosα − 6 ?38

cosα=

cosα= − 7

• III sposób

Korzystając z tożsamości tgα =sinαcosα , wyrazimy

2sinα + cosα2cosα − 6cosα za pomocą tgα

2sinαcosα

+cosαcosα

2cosαcosα

−6sinαcosα

=2tgα + 12 − 6tgα .

Skoro tgα =38 , to

2tgα + 12 − 6tgα =

2 − 6 ?38

= − 7.

Przykład 10.

Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i tgα +1

tg α = 9, to tg2α +1

tg2α= 79.

Skoro tgα +1

tgα = 9, to

(tgα +1

tgα )2

tg2α + 2tgα ?1

tgα +1

tg2α= 81,

tg2α + 2 +1

tg2α= 81.

Przykłady

Wynika z tego, że tg2α +1

tg2α= 79, a to właśnie należało wykazać.

Przykład 11.

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α wartość wyrażenia (sinα + cosα)2

+ (cosα − sinα)2

jest równa 2.

Przekształcamy wyrażenie

(sinα + cosα)2

= sin2α + 2sinαcosα + cos2α + cos2α − 2sinαcosα + sin2α =

= 2sin2α + 2cos2α = 2(sin2α + cos2α).

Korzystamy z tożsamości sin2α + cos2α = 1, skąd

(sinα + cosα)2

= 2(sin2α + cos2α) = 2 ? 1 = 2,

a to właśnie należało wykazać.

Przykład 12.

Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i sinα + cosα =75 , to sin4α + cos4α =

337625 .

Jeśli sinα + cosα =75 , to (sinα + cosα)

5 )2, skąd sin2α + 2sinαcosα + cos2α =

4925 .

Ponieważ sin2α + cos2α = 1, to 2sinαcosα =4925 − 1, czyli sinαcosα =

1225 .

Przekształcając tożsamość sin2α + cos2α = 1, otrzymujemy kolejno

(sin2α + cos2α)2

sin4α + 2sin2αcos2α + cos4α = 1

sin4α + cos4α = 1 − 2sin2αcos2α

sin4α + cos4α = 1 − 2(sinαcosα)2

Uwzględniając równość sinαcosα =1225 , otrzymujemy

sin4α + cos4α = 1 − 2 ? (1225 )

Przykłady

sin4α + cos4α = 1 − 2 ? 144625 =

337625 .

Koniec dowodu.

Przykład 13.

W pewnym trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa3125 . Wykażemy,

że iloczyn sinusów tych kątów jest równy168625 .

Oznaczmy przez α i β miary kątów ostrych w danym trójkącie. Wtedy

sinβ = sin(90 ° − α) = cosα.

Z warunków zadania mamy sinα + sinβ =3125 , czyli sinα + cosα =

3125 .

Wynika z tego, że

(sinα + cosα)2

= (3125 )

961625 .

Ponadto

(sinα + cosα)2

= sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1 + 2sinαcosα.

Zatem 1 + 2sinαcosα =961625 , skąd

2sinαcosα =961625 − 1 =

336625 ,

sinαcosα =168625 .

Koniec dowodu.

Przykład 14.Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α prawdziwa jest nierówność sinα + cosα ≤ √2.

Skorzystamy z udowodnionej wcześniej tożsamości

(sinα + cosα)2

którą przekształcimy do postaci

(cosα − sinα)2

= 2 − (sinα + cosα)2.

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to (cosα − sinα)2

≥ 0 dla do-

Przykłady

wolnego kąta ostrego α.

Wynika z tego, że

2 − (sinα + cosα)2

≥ 0,

(sinα + cosα)2

≤ 2.

sinα + cosα ≤ √2.

Koniec dowodu.

Przykłady

3.2.3. Zadania

Dane są liczby a = cos225 ° + sin225 ° , b =tg42 °sin42 ° ? cos42 ° . Wówczas

a) b > 1

b) a = b

c) a < 2

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i sinα =34 . Wtedy

a) 7sin2α = 9cos2α

b) sin4α + cos4α = 1

c) cos2α =78

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.3Kąt α jest ostry i tgα = 5. Wówczas

a) sinα =56 i cosα =

b) sinα =5√26

26 i cosα = √2626

c)cosαsinα = 0,2

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i cosα =13 . Wynika z tego, że

a) sinα =89

b) tgα = 2√2

Zadania

c) sin2α =23

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.5Kąt α jest ostry i tgα = 2. Wówczas

a)6cosα + sinα2cosα + sinα = 4

b)11sinα + 3cosα

cosα + 2sinα = 5

c)cosα + sinαsinα − cosα = 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.6Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość

a)1 − (sin4α + cos4α)

2 = (sinαcosα)2

b) sin4α − cos4α = sin2α − cos2α

c)(sinα + cosα)

2− 1

2 = sinαcosα

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.7Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość

a) (tgα +1

tgα )2

− (tg2α +1

tg2α ) = 2

b) (2sinα + cosα)2

+ (2cosα − sinα)2

c) cos2α(tg2α + sin2α) + cos4α = 1

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.8Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest nierówność

a) 3sinα + 4cosα < 5

b) cosα + sinα > 1

c) tgα > sinα

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i sinαcosα =25 . Wtedy

a) (sinα − cosα)2

b) sin4α + cos4α =1725

c) sinα + cosα =3√5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.10Dla każdego kąta ostrego α

a) wyrażenie √cos4α + 4sin2α jest równe 2 − cos2α

b) wyrażenie √sin4α + 4cos2α + √cos4α + 4sin2α jest równe 3

c) wyrażenie √sin4α + 4cos2α jest równe sin2α − 2

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i sinα =23 . Wtedy liczba cos2α jest równa

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin2α + (1 − cos2α) jest równe

a) 2sin2α

b) cos2α

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.13Kąt α jest ostry i tgα = 1,2. Wówczas

a)cosαsinα = 5

b)cosαsinα = 2

c)cosαsinα =

d)cosαsinα =

(Pokaż odpowiedź)

Wartość wyrażenia29 + (sin29 ° ∙ cos29 ° ? tg29 ° + cos229 ° )61 − (sin61 ° ? cos61 ° ? tg61 ° + cos261 ° )

jest równa

Zadania

c)2961

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.15Kąt α jest ostry i cosα = 0,7. Wynika z tego, że

a) sinα = 0,51

b) sinα = √5110

c) sinα = √310

d) sinα =3

(Pokaż odpowiedź)

Wartość wyrażenia (sin15 ° + 3cos15 ° )2

+ (3sin15 ° − cos15 ° )2

jest równa

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i sinα =49 . Wtedy liczba tgα jest równa

a)3665

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Dla każdego kąta ostrego α wyrażeniesin8α − cos8α

sin4α + cos4αjest równe

a) 2sin2α + 1

c) 2sin2α − 1

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i sinα + cosα =1110 . Wtedy iloczyn sinα ? cosα jest równy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.20Dla każdego kąta ostrego α wartość wyrażenia sin4α + cos4α

a) jest większa od 2

b) jest równa 2

c) jest równa 1

d) jest mniejsza od 1

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Kąt α jest ostry i cos2α − sin2α =79 . Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i sinα =2

11 . Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i cosα = √116 . Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i tgα =52 . Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

cos2αa)

cosαb)

sin2αc)

sinαd)

wartość wyrażenia 5 − 3cos2αa)

cosαb)

wartość wyrażenia √13 tg2α +73

wartość wyrażenia 5 − 12sin2αa)

sinαb)

wartość wyrażenia 4sin2α − sin3α − sinα ∙ cos2αc)

sinαa)

cosαb)

wartość wyrażenia4sinα + cosα

7cosα − 2sinαc)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.25Rozstrzygnij, czy istnieje kąt ostry α, dla którego

a) sinαcosα =23

b) cosα =35 i tgα =

c) sinα =27 i tgα =

2√515

d) sinα =27 i cosα =

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i tgα +1

tgα =103 . Oblicz wartość wyrażenia

(Pokaż odpowiedź)

Kąt α jest ostry i sinα − cosα =7

13 . Oblicz wartość wyrażenia.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.2.3.28Kąt α jest ostry i sinα + cosα = 1,4. Oblicz wartość wyrażenia.

(Pokaż odpowiedź)

sinα + cosαa)

tg2α +1

tg2αb)

sinαcosαa)

sinα + cosαb)

sinαcosαa)

sin4α + cos4αb)

Zadania

Poziom trudności: CZadanie 3.2.3.29Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to

(Pokaż odpowiedź)

Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to √sin4α − 2cos2α + 3 + √cos4α − 2sin2α + 3 = 3.

(Pokaż odpowiedź)

2sin2α + cos2α = (1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2αa)

sin4α + cos4α = 1 − 2sin2α

1 + tg2α

cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α)c)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 3.2.4.1Oblicz wysokość figury przedstawionej na rysunku.

(Pokaż odpowiedź)

3.3. Zastosowanie trygonometrii w geometrii

3.3.1. Przykłady. Część I

W poniższych przykładach pokażemy zastosowania trygonometrii do opisu związków miarowych

w figurach płaskich.

Przykład 1.W trójkącie równoramiennym ABC każde z ramion AC i BC ma długość równą 10. Miara kąta

ACB jest równa 45 ° . Obliczymy pole tego trójkąta.

Zauważmy, że wysokość AD, opuszczona na bok CB, odcina trójkąt prostokątny ADC. Ponie-

waż kąt ACD ma miarę 45 ° , to

| AD || AC |

= sin45 ° .

Wobec tego

| AD | = | AC | ? sin45 ° = 10 ? √22 = 5√2

i pole P trójkąta ABC jest równe

P =12 ? | BC | ? | AD | =

12 ? 10 ? 5√2 = 25√2.

Zastosowanie trygonometrii w geometrii

Przykład 2.Rozpatrzmy trójkąt ostrokątny ABC, w którym dane są długości boków

| AC | = b, | BC | = a oraz miara γ kąta ACB.

Zauważmy, że wysokość AD opuszczona na bok BC, odcina trójkąt prostokątny, w którym

| AD || AC |

= sinγ,

Przyjmując h = | AD | , otrzymujemy

hb = sinγ,

h = b sinγ.

Pole trójkąta ABC jest równe

PABC =12 ? a ? h,

PABC =12 ? a ? b ? sinγ.

Wobec tego pole trójkąta ostrokątnego możemy wyrazić za pomocą danych długości dwóch

boków i sinusa kąta między nimi.

Przykład 3.W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 5 i | BC | = 2. Kąt DAB ma

miarę 30 ° . Obliczymy pole tego równoległoboku.

Przykłady. Część I

Zauważmy, że przekątna DB dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające ADB i

Ponieważ pole trójkąta ABD jest równe

PABD =12 ? | AB | ? | AD | ? sin30 ° =

12 ? 5 ? 2 ?

to pole równoległoboku ABCD jest równe 5.

Przykład 4.Rozpatrzmy równoległobok ABCD, w którym długości boków AB i AD są równe odpowiednio

a oraz b. Kąt ostry między tymi bokami ma miarę α.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zauważmy, że przekątna DB dzieli dany równoległo-

bok na dwa trójkąty przystające ADB i BCD.

Ponieważ pole trójkąta ABD jest równe

PABD =12 ? | AB | ? | AD | ? sinα =

12ab ? sinα,

to pole równoległoboku ABCD jest równe

PABCD = 2 ? PABD = 2 ?12absinα = absinα.

Przykład 5.W czworokącie ABCD przekątne długości |AC | = 11 oraz | BD | = 16 przecinają się w

punkcie P pod kątem 60 ° . Obliczymy pole tego czworokąta.

Poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta ABCD cztery proste k, l, m, n równoległe odpo-

wiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy K, L, M,

Czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Wobec tego | NK | = 11 i | KL | = 16 oraz

kąt NKL ma miarę 60 ° . A zatem pole czworokąta KLMN jest równe

PKLMN = | NK | ? | KL | ? sin60 ° = 16 ? 11 ? √32 = 88√3.

Każdy z czworokątów APDM, BPAN, CPBK i DPCL jest równoległobokiem, w którym jedna z

przekątnych jest bokiem czworokąta ABCD.

Każda przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są

równe

PAPD = PAMD, PBPA = PBNA , PCPB = PCKB, PDPC = PDLC.

Ponadto pole czworokąta ABCD jest sumą pól trójkątów APD, BPA, CPB i DPC. To znaczy, że

pole równoległoboku KLMN jest dwa razy większe od pola czworokąta ABCD. Zatem

PABCD =12 ? PKLMN =

12 ? 88√3 = 44√3.

Przykład 6.Rozpatrzmy czworokąt ABCD, w którym długości przekątnych AC i BD są równe odpowiednio

d1 oraz d2, a kąt ostry między nimi ma miarę α.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta cztery

proste k, l, m, n równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia

tych prostych oznaczmy K, L, M, N.

Czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Wobec tego | NK | = d1 i | KL | = d2 oraz

kąt NKL ma miarę α. Pole KLMN jest równe

PKLMN = | NK | ? | KL | ? sinα = d1 ? d2 ? sinα.

Każdy z czworokątów APDM, BPAN, CPBK i DPCL jest równoległobokiem, w którym jedna z

przekątnych jest bokiem czworokąta ABCD.

Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe

PAPD = PAMD, PBPA = PBNA, PCPB = PCKB, PDPC = PDLC.

Ponadto pole czworokąta ABCD jest sumą pól trójkątów APD, BPA, CPB i DPC. To znaczy, że

pole równoległoboku KLMN jest dwa razy większe od pola czworokąta ABCD, skąd

PABCD =12 ? PKLMN =

12d1d2sinα.

Przykład 7.W trójkącie ABC boki AC i BC mają długości | AC | = 6 i | BC | = 4, a kąt między tymi

bokami ma miarę 120 ° . Obliczymy pole tego trójkąta.

Zauważmy, że wysokość AD jest opuszczona na przedłużenie boku BC.

W trójkącie prostokątnym ADC kąt przy wierzchołku C ma miarę 60 ° . Wówczas

| AD || AC |

= sin60 ° ,

| AD | = | AC | ? sin60 ° = 6 ? √32 = 3√3.

Pole P trójkąta ABC jest więc równe

PABC =12 ? | BC | ? | AD | =

12 ? 4 ? 3√3 = 6√3.

Wybierzmy dodatkowo na półprostej BC taki punkt E, że | EC | = | BC | . Wówczas trój-

kąty BAC oraz EAC mają równe boki BC i EC oraz wspólną wysokość AD, opuszczoną z wierz-

chołka A.

Pola tych trójkątów są więc równe, co znaczy, że pole trójkąta ABC można wyrazić za pomocą

danych długości boków i sinusa kąta przyległego do kąta rozwartego zawartego między tymi

bokami

PABC = PACE =12 ? | EC | ? | CA | ? sin60 ° =

12 ? | BC | ? | CA | ? sin60 ° =

12 ? 4 ? 6 ? √3

2 = 6√3.

Przykład 8.Rozpatrzmy trójkąt rozwartokątny ABC, w którym dane są długości boków | CB | = a i

| AC | = b. Kąt ACB jest rozwarty i ma miarę γ.

Niech AD będzie wysokością trójkąta ABC, przy czym punkt D niech leży na przedłużeniu bo-

ku BC. Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, wybierzmy na półprostej BC taki

punkt E, że

| CE | = a.

Wówczas trójkąty ABC i AEC mają równe pola, czyli

PABC = PACE =12 ? | EC | ? | CA | ? sin(180 ° − γ) =

12absin(180 ° − γ).

3.3.2. Przykłady. Część II

Sinus kąta można rozważać także dla kąta prostego oraz rozwartego. Wówczas

sin90 ° = 1

i jeżeli α jest kątem ostrym, to

sin(180 ° − α) = sinα.

Z powyższych równości i z wcześniejszych przykładów wynika, że pole dowolnego trójkąta jest

równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między nimi.

Twierdzenie:

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego

między tymi bokami.Przy oznaczeniach takich jak na rysunku

PABC =12absinγ.

Przykład 1.W trójkącie ABC dane są długości boków: | BC | = 6, | AC | = 4. Kąt ACB ma miarę

120 ° . Na boku AB leży taki punkt D, że | ?ACD | = 60 ° . Obliczymy długość odcinka CD.

Zauważmy, że pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów ADC i BDC.

Ponadto

PABC =12 ? 6 ? 4 ? sin120 ° = 6√3.

Oznaczmy | CD | = x. Wtedy pola trójkątów ADC i BDC możemy zapisać za pomocą x.

PADC =12 ? 4 ? x ? sin60 ° = √3x

Przykłady. Część II

PBDC =12 ? x ? 6 ? sin60 ° =

3√32 x.

3√32 x + √3x = 6√3,

x =125 .

| CD | = 2,4.

Przykład 2.W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a punkt D jest spodkiem

wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną z wierzchołka C. Wykażemy, że

| AC |2

= | AD | ? | AB | .

Oznaczmy przez α miarę kąta BAC.

Wówczas w trójkącie ABC

cosα =| AC || AB |

a w trójkącie ACD

cosα =| AD || AC |

| AC || AB |

=| AD || AC |

| AC |2

= | AD | ? | AB | .

W ten sposób dowód został zakończony.

Przykład 3.W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości | BC | = 14,8 i

| AC | = 11,1. Kwadrat DEFG jest wpisany w trójkąt ABC tak, że bok DE leży na przeciwpro-

stokątnej AB, a wierzchołki F i G leżą na przyprostokątnych odpowiednio BC i AC. Obliczymy

długość boku tego kwadratu.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC obliczamy długość boku AB.

| AB |2

= (11,1)2

+ (14,8)2

| AB |2

= 342,25

Ponieważ | AB | > 0, to

| AB | = 18,5.

Oznaczmy przez x długość boku kwadratu DEFG, a przez α miarę kąta BAC.

| ?CGF | = α, | ?EFB | = α.

Każdy z trójkątów prostokątnych ADG, GCF oraz FEB jest zatem podobny do trójkąta ABC.

Wobec tego stosunki długości boków w tych trójkątach możemy wyrazić za pomocą funkcji

trygonometrycznych kąta α.

W trójkącie ABC

sinα =14,818,5 =

45 , cosα =

11,118,5 =

W trójkącie ADG

sinα =x

| AG |,

a w trójkącie CGF

cosα =| CG |

Wynika z tego, że

| AG |=

| CG |x =

| AG | =54x, | CG | =

Ale | AG | + | CG | = | AC | , więc54x +

11110 , a zatem

3720x =

11110 , czyli x = 6.

Zatem długość boku kwadratu DEFG jest równa 6.

3.3.3. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.1W trójkącie równoramiennym ABC dane są | AC | = | BC | = 4 i | ?ACB | = 30 ° . Wów-

a) podstawa AB ma długość 2

b) pole trójkąta ABC jest równe 4

c) wysokość AD opuszczona z wierzchołka A na bok BC ma długość 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.2W trójkącie ABC dane są | AB | = 6, | BC | = 2√2 i | ?ABC | = 45 ° . Wynika z tego, że

a) wysokość CD opuszczona z wierzchołka C na bok AB ma długość 2

b) kąt BAC ma miarę 30 °

c) pole trójkąta ABC jest równe 6

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.3W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 10, | AD | = 6. Miara kąta BAD

jest równa 60 ° . Wtedy

a) wysokość DE opuszczona z wierzchołka D na bok BC ma długość 5√3

b) kąt ABD ma miarę większą niż 30 °

c) pole równoległoboku ABCD jest równe 15√3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.4W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 7 i | CD | = 5. Prze-

kątne AC i BD tego trapezu przecinają się w punkcie S, przy | ?BSA | = 60 ° . Wówczas

a) pole trapezu ABCD jest równe 36√3

b) trójkąt ASD ma pole równe35√3

Zadania

c) | BD | = 12

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.5W rombie ABCD o boku równym 2√3 przekątna AC ma długość 6. Wynika z tego, że

a) pole tego rombu jest równe 10

b) przekątna BD jest równa √3

c) kąt ABC ma miarę 4 razy większą od miary kąta ACD

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.6W trójkącie ABC boki AB i BC mają długości równe odpowiednio 7 oraz 4√2. Kąt ABC ma miarę

135 ° . Wtedy

a) pole trójkąta ABC jest równe 14

b) kąt BAC ma miarę 30 °

c) odległość punktu C od prostej AB jest równa 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.7Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości 5 i 9. Cosinus kąta ostrego tego trapezu

jest równy 0,8. Wówczas

a) dłuższe ramię trapezu ABCD jest równe 5

b) kąt nachylenia krótszej przekątnej tego trapezu do podstawy jest większy niż 30 °

c) pole trapezu ABCD jest równe 21

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.8W trójkącie ABC dane są długości boków: | AB | = 8, | BC | = 6, | AC | = 5. Punkt

D jest środkiem boku AB. Punkty E i F leżą na bokach odpowiednio BC i AC, przy czym

| BE | = | CF | = 2. Wynika z tego, że

Zadania

a) pole trójkąta BDE stanowi16 pola trójkąta ABC

b) pola trójkątów DEF i CEF są równe

c) pole trójkąta ADF stanowi3

10 pola trójkąta ABC

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.9W trójkącie prostokątnym ABC kąt ostry przy wierzchołku B jest dwa razy większy od kąta ostre-

go przy wierzchołku A. Stosunek długości przyprostokątnej BC do przeciwprostokątnej AB jest

równy

a) √32

b) √22

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.10W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C, dane są | BC | = 12 i

sin(?CAB) =35 . Wynika z tego, że długość boku AC jest równa

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.11W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków | AC | = | BC | = 6 i

| AB | = 6√3. Wówczas kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę

a) 150º

b) 120º

Zadania

c) 90º

d) 60º

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.12Pole trójkąta ABC, w którym | AB | = 8, | AC | = 2√3 i | ?CAB | = 60 ° jest równe

b) 12√3

c) 12√2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.13W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 11 i | CD | = 5. Wy-

sokość tego trapezu jest równa 3. Wówczas kąt ostry przy podstawie tego trapezu ma miarę

a) 60 °

b) 45 °

c) 30 °

d) 15 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.14Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię ma długość 6, a miara kąta przy podstawie

jest równa 75 ° . Pole tego trójkąta jest równe

b) 9√2

c) 9√3

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.15W równoległoboku ABCD dane są | AB | = 7, | AD | = 12 i | ?BCD | = 150 ° . Pole te-

go równoległoboku jest równe

a) 42√2

b) 42√3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.16W czworokącie wypukłym ABCD punkty K, L i M są środkami boków odpowiednio BC, CD i DA,

| KL | = 6, | LM | = 2√2, a kąt KLM ma miarę 135 ° . Wówczas pole czworokąta ABCD jest

równe

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.17Na bokach AB i AC trójkąta ABC odpowiednio leżą punkty K i L takie, że | AK | = 2 | KB |i | AL | = 3 | LC | . Wynika z tego, że stosunek pola trójkąta AKL do pola trójkąta ABC jest

równy

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.18W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości | AC | = 5, | BC | = 20.

Punkt D leży na przeciwprostokątnej AB i | ?DCA | = 45 ° . Odcinek CD ma długość

a) 3√3

b) 4√2

d)5√17

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.19W trójkącie prostokątnym ABC przeciwprostokątna AB ma długość 6. Kąt ABC ma miarę 30 ° .

Oblicz długości przyprostokątnych i pole tego trójkąta.

(Pokaż odpowiedź)

W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków | AC | = | BC | = 2. Miara

kąta ABC jest równa 75 ° . Oblicz pole tego trójkąta.

(Pokaż odpowiedź)

W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AD | = 5, | CD | = 8, a miara kąta

ABC jest 3 razy większa od miary kąta BAD. Oblicz pole równoległoboku ABCD.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.22W trapezie równoramiennym ABCD podstawami są boki AB i CD. Każda z przekątnych AC i BD

ma długość 10. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie M, przy czym | ?AMB | = 150 °. Oblicz pole trapezu ABCD.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.23W trójkącie prostokątnym ABC przedstawionym na rysunku kąt ostry BAC ma miarę 45 ° . Bok

kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt, jest równy 2√2. Oblicz pole trójkąta ABC.

(Pokaż odpowiedź)

W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 18, | CD | = 6.

Proste AD i BC przecinają się w punkcie E, przy czym | ?AEB | = 120 ° . Oblicz pole trapezu

(Pokaż odpowiedź)

Bok rombu ABCD ma długość 2012 . Tangens kąta ostrego przy wierzchołku A jest równy

409 . Ob-

licz długość przekątnej AC.

(Pokaż odpowiedź)

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, | AB | = 17 i

tg(?ABC) = 1,875. Oblicz długości boków AC i BC oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

W trójkącie ABC na bokach AB i AC wybrano takie punkty D i E, że| AD || DB |

| AE || EC |

=32 . Wy-

każ, że pole trójkąta ABC jest 3 razy większe od pola trójkąta ADE.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

3.4. Wykresy i własności funkcjitrygonometrycznych

Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych

Rozdział 4. Liczby

4.1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne

4.1.1. Liczby naturalne, całkowite i wymierne

Już wiesz:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. to liczby naturalne. Liczby naturalne można uporząd-

kować rosnąco, wtedy dla dowolnej liczby naturalnej n następna jest liczba

n + 1. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.

• Liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i samą

siebie) jest liczbą pierwszą (np. 2, 3, 5, 7, 11, 13 …).

• Liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki jest liczbą

złożoną (np. 4, 9, 10, 24 …).

• Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.

• Dwie liczby naturalne nazywamy względnie pierwszymi, jeżeli nie mają

wspólnego dzielnika większego niż 1 (np. 3 i 5 lub 7 i 9).

Liczby

• Ułamekpq nazywamy nieskracalnym, jeżeli liczby naturalne p i q są względnie

pierwsze.(np.57 ,

1213 ).

• Jeśli liczbę naturalną a można zapisać jako iloczyn dodatnich liczb natural-

nych b i n (czyli a = b ∙ n ), to wtedy:

• - b i n są dzielnikami liczby naturalnej a.

• - a jest wielokrotnością liczby naturalnej b lub liczby naturalnej n.

• Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne 0, 1, 2, 3, 4, 5 … oraz liczby

do nich przeciwne 0, − 1, − 2, − 3, − 4 …

• Liczba całkowita podzielna przez 2 jest liczbą parzystą. Liczbę parzystą może-

my zapisać w postaci 2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. 0 jest liczbą parzystą.

• Liczba całkowita, która nie jest podzielna przez 2 jest nieparzysta. Liczbę nie-

parzystą możemy zapisać np. jako 2k + 1 lub 2k − 1, gdzie k jest liczbą całko-

witą.

• Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można przedstawić w postaci

ułamkapq , którego licznik p i mianownik q (q ≠ 0) są liczbami całkowitymi.

Liczby naturalne, całkowite i wymierne

4.1.2. Zadania

Dane są liczby: −4,32 , 7, √3, (1

5 )−1

, 4√5 − √5, √9, 0. Wypisz

liczby naturalne,

liczby, które nie są liczbami naturalnymi.

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby: −4,32 , 7, √3, (1

5 )−1

, 16−1, √9, 0,123 . Wypisz

liczby całkowite,

liczby, które nie są liczbami całkowitymi.

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby: −4,32 , 7, √3, (1

5 )−1

, 4√5 − √5, 16−1, √9, 0,123 , π. Wypisz

liczby wymierne,

liczby, które nie są liczbami wymiernymi.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.4Odpowiedz na pytania.

(Pokaż odpowiedź)

Podaj przykład liczby całkowitej, która nie jest liczbą naturalną.a)

Podaj przykład liczby wymiernej, która nie jest całkowita.b)

Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest wymierna?c)

Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest całkowita?d)

Zadania

Przykład 1.

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.5Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

a) Wynikiem dzielenia 312 : 2

34 jest liczba 1

b) Wynikiem mnożenia 234 · 8

11 jest liczba 26

c) Wynikiem odejmowania1118 − 5

6 jest liczba (− 12 ).

d) Wynikiem działania12 − 1

4 − 18 − 1

16 jest liczba1

(Pokaż odpowiedź)

a) Iloraz liczby 4,8 przez liczbę 0,03 jest równy 16.

b) Wynikiem działania0,92 + 0,490,3 · 0,1 jest liczba 47.

Zadania

c) Iloczyn liczb 2,35 i 0,4 jest równy 0,94.

(Pokaż odpowiedź)

Ważne

• Mówimy, że liczby a i b są przeciwne, jeżeli a + b = 0. Liczbę przeciwną do x oznaczamy

– x.

• Mówimy, że liczby a i b są odwrotne, jeżeli a ∙ b = 1. Liczbą odwrotną do liczby x różnej

od zera jest1x . Zauważmy, że nie ma liczby odwrotnej do zera, gdyż nie istnieje taka licz-

ba, która pomnożona przez 0 dałaby 1.

• Zauważ, że jeżeli x ≠ 0, to iloczyn liczby odwrotnej do x i liczby przeciwnej do x jest rów-

ny −1.

−x ∙ 1x = − 1

a) Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie odwrotną.

b) Liczba 137 jest odwrotna do liczby

c) Liczbą odwrotną do liczby 225 jest liczba przeciwna do liczby − 5

d) Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie przeciwną.

e) Liczbą przeciwną do1120 jest liczba ( − 0,55).

(Pokaż odpowiedź)

a) Podwojonym iloczynem liczb 235 i − 1

2 jest −2,6.

b) Liczba 0, (36) leży pomiędzy liczbami9

25 i37

c) Średnia arytmetyczna liczb 259 oraz 1

712 jest równa 2

Zadania

d) Liczba 318 jest większa od liczby −2

34 o 5

(Pokaż odpowiedź)

Przykład 2.

a) Wynik działania2,75 − 1

: (−3,375)

5 − 249

jest liczbą większą od 1.

b) Wynik działania

−2,25 + (2 − 345 )

: 2,125jest liczbą ujemną.

c) Po wykonaniu obliczeń ( 215 + 0,45) · 3

7 otrzymamy liczbę 0,4.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.10Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

a) Suma liczb 0, (4) + 0, (18) jest równa 0, (62).

b) Liczba 3, (6) jest wymierna.

c) Ułamek 0, (27) jest równy3

d) Ułamek17 ma skończone rozwinięcie dziesiętne.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.11Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

a) Ósma cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby4111 jest równa 7.

b) Dwudziesta pierwsza cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 0, (725) jest

równa 5.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

a) Ułamek520

1041 jest ułamkiem nieskracalnym.

b) Ułamek13263913 jest ułamkiem skracalnym.

c) Największą liczbą, przez jaką można skrócić licznik i mianownik ułamka23762592 jest 216.

d) Ułamek1115 jest równy

112152 .

(Pokaż odpowiedź)

Liczba 237 − 1

25 jest mniejsza od liczby

a) o12

b) o 112

Zadania

c) o75

d) o57

(Pokaż odpowiedź)

Wynikiem działania78 +

74 − 7

16 jest liczba

a) 2,987

b) 2,1875

c) 2,1853

d) 2,725

(Pokaż odpowiedź)

Odwrotnością liczby78 +

74 − 7

16 jest liczba

a)3516

b)1635

c)1335

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby a = 237 , b = 1

35 , c = 3

14 . Różnica liczb (a + b)c i (a − b)c jest równa

a) 1035

b)1059140

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Niech a =35 i b =

112 . Wskaż liczbę, której rozwinięcie dziesiętne jest skończone.

c) a − b

d) a + b

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.18Która równość jest prawdziwa?

40320 =1

40320 =18

40320 =2113

40320 =23

(Pokaż odpowiedź)

Liczbą x, która spełnia równanie1

22 + x = 0,06(81) jest

a) 0,34

b) 0, (343)

d) 0,02(27)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Niech x = 315 i y = 4

14 . Prawdziwa jest równość

a) x − y = 1335

b)xy = 13

c) xy = 1335

d) x + y = 1335

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.21Niech x = 0, (03) i y = 0, (01). Wskaż równość prawdziwą.

a) x − y = 0, (2)

b)xy = 3

c) xy = 3

d) x + y = 0, (4)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.22Dane są liczby x = 0, (285714) i y = 0, (142857). Suma x + y jest równa

a) 0, (428571)

b) 0, (423571)

c) 0, (428561)

d) 0, (448571)

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby x =59 i y = 0, (003). Różnica x − y jest równa

Zadania

a) 0, (559)

b) 0, (558)

c) 0, (552)

d) 0, (553)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.24Iloczyn cyfr stojących na trzydziestym pierwszym i trzydziestym drugim miejscu po przecinku

w rozwinięciu dziesiętnym ułamka8

11 jest równy

(Pokaż odpowiedź)

Niech x = 0,875 i y = 0,9875. Zapisz każdą z liczb x + y, x − y, xy,yx w postaci ułamka zwykłe-

go, nieskracalnego.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.26Zapisz rozwinięcie dziesiętne

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.27Dane są wszystkie jednocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 4. Zapisz rozwinię-

cie dziesiętne sumy kwadratów odwrotności tych liczb.

(Pokaż odpowiedź)

odwrotności liczby naturalnej większej od 10 i mniejszej od 12a)

sumy odwrotności trzech początkowych liczb pierwszychb)

Zadania

Podaj rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych:14980 , − 9

80 ,553640 .

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby a =12 +

32 + 4 +

52 + 4 + 6 oraz b =

43 + 5 +

63 + 5 + 7 . Wykaż, że

12b − 1

5a =12 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.30Oblicz i zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.31Porównaj liczby

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.32Oblicz i zapisz wynik w postaci ułamka dziesiętnego.

25231 +

1360 +

55126 +

95133 +

4691 +

138161

524 − 11

57 +57

0, (36) …5

516 …

2, (9) … 3c)

2, (3) +1

11 … 2 ∙ 1, (27)d)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.33Wyznacz taki ułamek zwykły x, aby równość była prawdziwa.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.34Wyznacz taki ułamek dziesiętny x, aby równość była prawdziwa.

(Pokaż odpowiedź)

(13 + 2

19 ) ∙ (1

2 + 214 )a)

(13 + 2

19 ) : (1

2 + 214 )b)

67 + x = 0,0(45)a)

13 + x =

14 + 0, (09)b)

0, (01) + x =1

27 = 0,0(45)d)

13 + x = 1,1(6)a)

13 + x ∙ 0,0(18) =

14 + 0,125b)

0, (01) + x =1

33 + 0,1(6)c)

23 = 0,041(6)d)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.35Wyznacz liczbę, która na osi liczbowej leży w jednakowej odległości od liczb x i y, gdy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.36Podaj przykład liczby, która na osi liczbowej leży między liczbami

(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz wszystkie nieskracalne ułamki zwykłe o liczniku 3, które są większe od4

11 i mniejsze

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.38Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych a i b, dla których spełniony jest warunek37 <

1720 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.39Dziesiąta część uczestników maratonu przebiegła wyznaczoną trasę w czasie krótszym niż 3 h

. Połowa pozostałych uczestników uzyskała czas nie dłuższy niż 4 h. Jaka część spośród wszyst-

kich zawodników maratonu przebiegła trasę w czasie dłuższym niż 4 h?

(Pokaż odpowiedź)

13 , y =5

x = 5, (3) , y = 5, (36)b)

x =1a , y =

1916 i

3, (5) i 3, (6)b)

−513 i −5

Zadania

Podaj trzy różne liczby naturalne n, dla których ułamek2n + 13n + 5 jest skracalny. Przez jaką liczbę

naturalną, w każdym przypadku, ten ułamek można skrócić?

(Pokaż odpowiedź)

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej a ułameka

2a + 1 jest nieskracalny.

(Pokaż odpowiedź)

Sprawdź, czy istnieją liczby naturalne n, dla których ułamek7n + 113n + 4 można skrócić przez 5. Czy

istnieje liczba naturalna n, dla której ten ułamek można skrócić przez liczbę większą niż 5?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

4.2. Procenty

4.2.1. Procenty i punkty procentowe

Procenty

Już wiesz:

• Jeden procent (1%) liczby x to1

• Różnicę między dwiema podanymi w procentach wartościami jednej wielko-

ści określamy za pomocą punktów procentowych.Na przykład zmiana opro-

centowania z 4% na 3% oznacza spadek o 1 punkt procentowy.

Procenty i punkty procentowe

Już wiesz:

Procenty i punkty procentowe

4.2.2. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.1Zaznacz poprawne stwierdzenie.

a) 12% liczby y jest równe 18. Wtedy y = 216.

b) 45% liczby z jest równe 15. Wtedy z > 33.

c) 25% liczby x jest równe 26. Wynika z tego, że x = 6,5.

(Pokaż odpowiedź)

a) Liczba o 55% mniejsza od 155 jest równa 85,25.

b) 400 g śmietany zawiera 120 g tłuszczu, zatem zawartość tłuszczu w tej śmietanie wynosi

c) Liczba o 20% większa od 120 jest równa 144.

(Pokaż odpowiedź)

a) Cenę telewizora obniżono o 15% i teraz kosztuje 1519,8 zł. Z tego wynika, że przed

obniżką telewizor kosztował 1788 zł.

b) Cenę płyty zmniejszono o 10%, a następnie nową cenę znów zmniejszono o 10%.

Wówczas cena płyty zmniejszyła się o 20%.

c) Cenę książki obniżono o 20%. Jeśli sprzedawca chciałby sprzedawać ją po takiej cenie jak

przed obniżką, to powinien podwyższyć nową cenę o 25%.

d) W grudniu cenę tabletu podwyższono o 15%, a w styczniu obniżono tę nową cenę o 15%.

Teraz tablet kosztuje tyle samo, co w grudniu.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

a) Każdy z boków pierwszego trójkąta jest o 30% krótszy od odpowiedniego boku drugiego

trójkąta. Z tego wynika, że obwód pierwszego trójkąta jest o 30% mniejszy od obwodu

drugiego trójkąta.

b) Długość boku kwadratu ABCD jest o 5% większa od długości boku kwadratu MNKL.

Wynika z tego, że pole kwadratu ABCD jest o 5% większe od pola kwadratu MNKL.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.5Rysy, najwyższy szczyt polskich Tatr ma wysokość 2499 m.n.p.m, podczas gdy Gerlach, najwyż-

szy szczyt Tatr, ma wysokość 2655 m.n.p.m.

a) Gerlach jest wyższy od Rysów o mniej niż 5,88%.

b) Rysy są niższe od Gerlacha o mniej niż 5,88%.

(Pokaż odpowiedź)

a) W klasie Ia dziewczęta stanowią 60% wszystkich uczniów, a jednocześnie jest ich o 4

więcej niż chłopców. Wynika z tego, że w tej klasie jest 20 uczniów.

b) W klasie Ib jest 28 uczniów, przy czym dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Języka

hiszpańskiego uczy się 25% wszystkich chłopców oraz 75% wszystkich dziewcząt. Wynika z

tego, że języka hiszpańskiego uczy się 50% wszystkich uczniów tej klasy.

(Pokaż odpowiedź)

a) Jeżeli oprocentowanie lokaty wynosiło 10% i zostało zwiększone o 20%, to znaczy, że

zwiększyło się o 2 punkty procentowe.

b) Kandydat na burmistrza był popierany przez 25% obywateli. W ostatnim czasie poparcie

wzrosło o 20 punktów procentowych. Obecnie popiera go 30% obywateli.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.8Wiadomo, że 17% pewnej liczby równa się 5,78. Ta liczba to

b) 17,5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.9Ile procent liczby 80 stanowi liczba 55?

a) 76%

b) 68,75%

c) 60%

d) 120%

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.10W skarbcu jest 40 sztabek złota i 30 sztabek srebra. O ile procent więcej jest sztabek złota niż

sztabek srebra?

a) 40%

b) 25%

c) 20%

d) 33, (3)%

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.11W koszyku są jabłka i gruszki, przy czym liczba gruszek stanowi 80% liczby jabłek. Wynika stąd,

że liczba jabłek stanowi

a) 125% liczby gruszek

Zadania

b) 20% liczby gruszek

c) 80% liczby gruszek

d) 70% liczby gruszek

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.12Długość podstawy trójkąta ABC wydłużono o 20%, a wysokość opuszczoną na tę podstawę

skrócono o 20%. Pole tak otrzymanego trójkąta

a) jest mniejsze o 4% od pola trójkąta ABC

b) jest większe o 8% od pola trójkąta ABC

c) jest równe polu trójkąta ABC

d) jest większe o 4% od pola trójkąta ABC

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.13Lodówka kosztuje 1600 zł. Jaka będzie cena lodówki, jeśli podwyższymy ją o 30%, a następnie

obniżymy o 30%?

a) 1200 zł

b) 1600 zł

c) 1500 zł

d) 1456 zł

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.14Gdy beczka z wodą jest w 30% pusta, zawiera o 30 litrów wody więcej, niż gdy jest w 30% na-

pełniona. Pojemność beczki jest równa

a) 100 litrów

b) 75 litrów

c) 90 litrów

d) 60 litrów

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.15Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa

stanowi 64% ceny początkowej. O ile procent każdorazowo dokonywano obniżki ceny towaru?

a) o 20%

b) o 18%

c) o 6%

d) o 8%

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.16Jedna piąta powierzchni czarno – białej fotografii to kolor czarny, a reszta to kolor biały. Fo-

tografia została powiększona. Jaki procent powierzchni powiększonej fotografii zajmuje kolor

biały?

a) 20%

b) 80%

c) 40%

d) 60%

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.17Cena puszki farby z podatkiem VAT w wysokości 22% była równa 164,70 zł. O ile złotych zdro-

żała puszka farby, jeśli stawka podatku wzrosła do 23%?

a) o 1,61zł

b) o 1,60 zł

c) o 1,35 zł

d) o 1,3 zł

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.18Która z liczb jest większa: 51% liczby 75 czy 75% liczby 51?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.19Zmieszano 30 kg stopu zawierającego 15% żelaza i 45 kg stopu zawierającego 20% żelaza. Ob-

licz, ile procent żelaza zawiera powstały stop.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.20Tabela przedstawia zestawienie wyników sprawdzianu z geografii, który pisali uczniowie Ia.

ocena 1 2 3 4 5 6

liczba uczniów 4 8 11 5 3 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.21Cena netto zmywarki jest równa 1100 zł, zaś cena brutto telewizora to 3800 zł. Stawka podatku

VAT na sprzęt AGD i RTV wynosi 23%. Oblicz

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.22Rodzeństwo Marek i Kasia mają dwie prostokątne działki. Długość jednego z boków działki Kasi

jest o 20% krótsza od długości boku działki Marka. Szerokość boku działki Kasi jest o 10% dłuż-

sza od szerokości boku działki Marka. O ile procent pole działki Kasi jest mniejsze od pola dział-

ki brata?

(Pokaż odpowiedź)

Ile procent uczniów klasy Ia uzyskało ocenę niedostateczną?a)

Ile procent uczniów tej klasy uzyskało ocenę co najmniej dostateczną?b)

Jaki procent uczniów klasy Ia, którzy uzyskali ocenę pozytywną, stanowią uczniowie z

oceną dobrą ?

cenę brutto zmywarkia)

cenę netto telewizorab)

jaki procent ceny brutto zmywarki stanowi jej cena nettoc)

jaki procent ceny netto telewizora stanowi jego cena bruttod)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.23Jaś i Małgosia zdawali egzamin testowy z matematyki. Jaś uzyskał 64% punktów możliwych do

zdobycia, natomiast wynik Małgosi był lepszy od wyniku Jasia o 15 punktów procentowych. O

ile więcej procent punktów otrzymała Małgosia od Jasia?

(Pokaż odpowiedź)

Podatek VAT

Podstawowym podatkiem, z jakim mają do czynienia zarówno przedsiębiorcy, jak i ich klienci, jest

podatek od wartości dodanej, czyli VAT (Value Added Tax). Jego cechą charakterystyczną jest to, że

całą wartością opodatkowany jest ostateczny konsument danej czynności.

Szczegółowe zasady obliczania podatku VAT oraz jego stawki dla określonych grup towarów i

usług ustalane są aktami prawnymi. Zmieniająca się sytuacja gospodarcza powoduje kolejne mo-

dyfikacje zarówno stawek, jak i sposobu naliczania VAT, co czyni go jednym z bardziej skompliko-

wanych podatków w polskim systemie prawnym.

Przy obliczeniach będziemy używać takich pojęć, jak:

• kwota netto – kwota bez podatku VAT,

• kwota brutto = kwota netto + stawka podatku VAT∙ kwota netto.

a) Cena książki wraz z podatkiem VAT wynosi 47,46 zł. Jeżeli stawka podatku VAT na książki

wynosi 5%, to cena netto tej książki jest równa 45,08 zł.

b) Zestaw gier komputerowych kosztuje 196,80 zł. Jeżeli stawka podatku VAT zostałaby

zmniejszona z 23% na 8 %, to przy zakupie tego zestawu zaoszczędzilibyśmy 25 zł.

c) Cena netto laptopa jest równa 929 zł. Stawka podatku VAT na sprzęt elektroniczny wynosi

23%. Markowi wystarczy 1200 zł na zakup tego laptopa.

(Pokaż odpowiedź)

Podatek PIT Podatek dochodowy od osób fizycznych PIT (Personal IncomeTax) jest to podatek

bezpośredni, obejmujący dochody uzyskiwane przez osoby fizyczne. W terminie do 30 kwietnia

każdego roku w Urzędzie Skarbowym należy złożyć odpowiednie rozliczenie, w którym po usta-

leniu podstawy obliczenia podatku, nalicza się kwotę tego podatku. Kwota podatku zaokrąglana

jest do pełnych złotych.

W roku 2013 podatek PIT naliczany był zgodnie z tabelą

Zadania

Podstawa obliczenia podatku w zło-Podstawa obliczenia podatku w zło-

tychtych

ponadponad dodo

Podatek wynosiPodatek wynosi

85 528 zł18% minus kwota zmniejszająca podatek o 556,02 zł

85 528 zł 14 839,02 zł plus 32% nadwyżki ponad 85 528 zł

Jeśli podatnik spełnia odpowiednie warunki, może skorzystać z ulgi prorodzinnej z tytułu wycho-

wywania dziecka.

• Ulga dla osób wychowujących tylko 1 dziecko – 1112,04 zł rocznie (pod warunkiem, że do-

chód roczny nie przekroczył kwoty 112 000 zł).

• Ulga dla osób wychowujących więcej niż jedno dziecko (niezależnie od wysokości docho-

dów).

Liczba dzieci Wysokość ulgi rocznie

Pierwsze dziecko1112,04 zł (w przypadku, gdy dochód nie przekroczy kwoty

112000 zł)

Drugie dziecko 1112,04 zł

Trzecie dziecko 1668,12 zł

Czwarte i każde następne

dziecko 2224,08 zł

Podatek pomniejszany jest o wysokość ulgi.Pozostający w związku małżeńskim przez cały

rok podatkowy mogą rozliczać PIT wspólnie według następującej zasady:

• sumujemy podstawy opodatkowania obojga małżonków,

• otrzymaną kwotę dzielimy przez 2, wynik traktujemy jako postawę obliczania podatku PIT,

• obliczamy należny podatek według odpowiedniej skali podatkowej

• mnożymy kwotę podatku przez 2.

Ostateczną kwotę podatku do zapłacenia (po uwzględnieniu wszystkich odliczeń) zaokrągla się do

pełnych złotych.

a) W rozliczeniu podatkowym pani Joanny podstawa opodatkowania jest równa 112 560 zł.

Podatek PIT, który zapłaci pani Joanna przekroczy więc kwotę 25 000 zł.

Zadania

b) W rocznym rozliczeniu podatkowym pan Jacek wykazał, że podstawa naliczenia podatku

PIT w 2013 roku, od jego dochodów wynosiła 58 625 zł. Podatek, który zapłaci za ten rok to

9 996,48 zł.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.26Podstawy obliczenia podatku PIT w 2013 r. wynosiły odpowiednio: od dochodów Marty -

98 564 zł i od dochodów jej męża Jana – 79 366 zł.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.27Dorota wychowuje samotnie córkę i syna. Jej podstawa obliczania podatku od dochodu w roku

2013 wynosi 132 450 zł. Jaki podatek zapłaci Dorota, jeśli wykorzysta ulgę prorodzinną?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.28Wspólna podstawa opodatkowania dochodów dla Ani i Wojtka wynosi w 2013 r. 152 469 zł. Czy

zapłacony przez nich podatek przekroczy 23 000 zł, jeśli skorzystają z ulgi z tytułu wychowywa-

nia trójki dzieci?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.29Ile kilogramów czystej wody dolano do 15% roztworu wodnego saletry potasowej, jeżeli otrzy-

mano 10 kg roztworu o stężeniu 6%?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.30Właściciel sklepu otrzymał 15% rabat w hurtowni. Za 1 kg cukru zapłacił wtedy 3,40 zł. Oblicz,

jaką cenę zapłaciłby za 1 kg cukru, gdyby nie otrzymał rabatu.

(Pokaż odpowiedź)

Jaką kwotę podatku zapłacił każdy z małżonków, jeśli rozliczali podatek osobno?a)

Ile zaoszczędziliby jako rodzina, jeśli rozliczyliby podatek wspólnie?b)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.31Litr benzyny kosztował w grudniu 5, 20 zł. W kolejnych miesiącach cena benzyny zmieniała się

następująco: w styczniu - wzrosła o 12%, w lutym – spadła o 14%, w marcu wzrosła o 5%. Jaka

była cena litra benzyny na koniec marca?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.32Liczba chłopców w klasie Ic jest o 70% większa od liczby dziewcząt w tej klasie. Jaki procent całej

klasy stanowią dziewczęta?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.2.3.170% liczby 20 jest równe …

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.3.2Liczba 63 stanowi …% liczby 90.

(Pokaż odpowiedź)

4.3. Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza

4.3.1. Działania na potęgach

Przypomnijmy

• Potęgą an o wykładniku naturalnym (n > 1) nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy

jest równy a.

an = a ∙ a ∙ a ∙ … … ∙ an czynników

• Przyjmujemy, że a0 = 1 dla a ≠ 0 oraz a1 = a.

• Dla każdej liczby naturalnej n i dla dowolnej liczby a ≠ 0 przyjmujemy a−n =1

Twierdzenie: Działania na potęgach

• Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠ 0 i dowolnych liczb całkowitych n i m prawdziwa jest rów-

ność

Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza

an ∙ am = an + m.

• Iloraz potęg o tych samych podstawach

ność

Działania na potęgach

am = an − m.

• Potęga potęgi

ność

= an ∙ m.

• Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a ≠ 0 i b ≠ 0 i dowolnej liczby całkowitej n prawdziwa jest

równość

an ∙ bn = (a ∙ b)n.

• Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

równość

bn = ( ab )

4.3.2. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.1Zaznacz poprawne stwierdzenia.

a) Liczba −42 jest równa 16.

b) Liczba (−4)2

jest równa 16.

c) Liczba 3−6 jest równa1

(Pokaż odpowiedź)

a) Liczba (√7)12

jest równa 76.

b) Liczba ( 1256 )

4jest równa 2−16.

c) Liczba 256 jest równa 58.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.3Suma odwrotności trzech początkowych liczb pierwszych jest równa

a) 2−1 + 3−1 + 5−1

2−1 + 3−1 + 5−1

c) (1−1 + 2−1

+ 3−1)d) (2−1 + 3−1 + 5−1)

(Pokaż odpowiedź)

Ułamek35 ∙ 2 + 36 ∙ 4

37 ∙ 3−2 jest równy

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.5Liczbę 0,0000000000345 można zapisać w postaci

a) 34,5 · 10−9

b) 34,5 · 10−11

c) 3,45 · 10−11

d) 3,45 · 10−10

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.6Ćwierć liczby 8100 to

a) 2298

b) 2300

c) 850

d) 825

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.7Suma 4100 + 4100 + 4100 + 4100 jest równa

Zadania

a) 16400

b) 16100

c) 4400

d) 4101

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.8Dane są liczby: x = 85, y = 2−3, z = 318. Wtedy

a)xy · z = 418

b)xy · z = 318

c)xy · z = 218

d)xy · z = 618

(Pokaż odpowiedź)

−56b)

5−6c)

−5−6d)

(−5)6e)

(−5)−6f)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.11Podane liczby zapisz w postaci potęgi o podstawie 2.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.12Wykonaj działania.

(Pokaż odpowiedź)

2∙ (3

2 )4a)

−3: (2

5 )5b)

(−1)5

∙ 32 ∙ (− 13 )

−3∙ (5

4 )3d)

(225 )

2: ( 5

12 )3e)

23 ∙ 4−2 ∙ 18

51246 ∙ (102420)8b)

( 116 )

−1∙ 85

( 116 )

3∙ (− 1

2 )−5

(−2)5

∙ 256−2

712 + 714

11111 − 11113

318 + 319 + 320 + 321

320 + 322

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.13Zapisz wyrażenie w postaci potęgi o podstawie a i wykładniku całkowitym.

(Pokaż odpowiedź)

a) Jeżeli x = 4 · 53 i y = 203, to x = y.

b) Liczba 328 jest równa 2565.

c) Liczba216 · 423

810 jest równa 168.

d) Liczba 520 · 2515 jest równa 525.

(Pokaż odpowiedź)

a) Równość3 · 52013 + 52014

52013 · 23 = 1 jest prawdziwa.

b) Ułamek363

36 jest równy 64.

c) Liczba 37 : 67 jest równa1

d) Liczba 25 · 55 jest równa 100000.

(Pokaż odpowiedź)

a3 ∙ a−4

a−5 :a6

(a−3)2

∙ a2

(a2)4 ∙ a−1

a−33 ∙ a13

(a−5)4

Zadania

Porównując potęgi o tych samych podstawach dodatnich a, musimy pamiętać, że:

• dla a > 1 większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik,

• dla a < 1 to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.16Dane są liczby a = 5544 i b = 5555.

a) Prawdziwa jest nierówność a > b.

b) Prawdziwa jest nierówność a < b .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.17Dane są liczby m = 2244 i n = 4422.

a) Prawdziwa jest nierówność m < n.

b) Prawdziwa jest nierówność m > n .

(Pokaż odpowiedź)

Ciekawostka

Potęg o wykładniku całkowitym używamy do zapisywania liczb bardzo małych lub bardzo du-

żych. Stosujemy wtedy notację wykładniczą, np.:

• 6,02 ∙ 1023 mol−1 to liczba Avogadro oznaczająca liczbę cząsteczek materii znajdujących

się w jednym molu tej materii,

• 3 ∙ 108 m / s to prędkość światła,

• 1,66 ∙ 10 − 27 kg to masa pojedynczego atomu węgla,

• 3,84 ∙ 108 m to średnia odległość Księżyca od Ziemi.

Zadania

Ważne

Liczba zapisana w notacji wykładniczej ma postać a ∙ 10k, gdzie 1 ≤ a < 10 oraz k jest liczbą

całkowitą.

a) Liczba a = 2,4 · 10−5 jest 3 razy większa od liczby b = 8 · 10−7.

b) Iloczynem liczb 5,6 · 1015 i 3,5 · 10−7 jest liczba 1,96 · 109.

c) Liczba 2,37 · 10−5 jest mniejsza od 3,24 · 10−6.

d) Liczba 6,52 · 10−6 jest równa 0,000652.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

4.3.3. Działania na pierwiastkach

• Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej a nazywamy liczbę nieujemną b taką, która

podniesiona do drugiej potęgi jest równa a.

Zatem, dla dowolnej liczby nieujemnej a √a = b wtedy i tylko wtedy, gdy b2 = a i b ≥ 0.

• Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, która podniesiona do trzeciej

potęgi jest równa a.

Zatem, dla dowolnej liczby a3√a = b wtedy i tylko wtedy, gdy b3 = a.

Zauważmy, że powyższe definicje różnią się wyłącznie założeniami dla liczb a i b. Ponieważ b2 jest

zawsze liczbą nieujemną, to pierwiastki kwadratowe obliczamy wyłącznie z liczb nieujemnych. Na-

tomiast b3 może być zarówno ujemne, jak i nieujemne, dlatego pierwiastek sześcienny obliczamy

z dowolnej liczby a.

Podobnie możemy zapisać definicje pierwiastka stopnia n większego niż 1, pamiętając o odpo-

wiednim założeniu dotyczącym liczby podpierwiastkowej.

• Jeśli n jest liczbą parzystą większą od 1, to pierwiastkiem stopnia n z liczby nieujemnej a na-

zywamy liczbę nieujemną b taką, która podniesiona do potęgi n jest równa a.

n√a = b ? bn = a

• Jeśli n jest liczbą nieparzystą większą od 1 to pierwiastkiem stopnia n z liczby a nazywamy

liczbę b taką, która podniesiona do potęgi n jest równa a.

n√a = b ? bn = a

Twierdzenie: Działania na pierwiastkach

Jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, k jest do-

datnią liczbą naturalną, to

• n√a ∙ b =n√a ∙ n√b

• n√ ab =

n√an√b

, b ≠ 0

• (n√a)n

• (n√a)k

=n√ak

•n√m√a =

n ∙ m√a

Jeśli w powyższym twierdzeniu liczby n i m (stopnie pierwiastków) są nieparzyste, to twier-

dzenie pozostanie prawdziwe również dla ujemnych liczb podpierwiastkowych (a lub b) .

Działania na pierwiastkach

a) Liczba√41625 jest równa 2

b) Liczba −3√−512 jest ujemna.

c) Liczba √289 jest równa 17.

(Pokaż odpowiedź)

a) Liczba √2 · √32 jest równa 8.

b) Liczba3√36 · 3√6 jest liczbą całkowitą.

c) Liczba √7 : √28 jest równa14 .

(Pokaż odpowiedź)

a) Liczba 23√21 jest równa

3√42.

b) Liczba 3√5 jest równa √45.

c) Liczba3√261 jest równa 3

3√29.

d) Liczba √1575 jest równa 15√7.

(Pokaż odpowiedź)

a) Liczba3

3√5jest równa

33√55 .

b) Liczba3

4√2 jest równa38√2.

Zadania. Część I

c) Liczba7

√7 jest równa √7.

d) Liczba1

√3 jest równa √33 .

(Pokaż odpowiedź)

a) Liczba (√√√6)12

jest równa 6.

b) Liczba ((−2√5)−1)

−2jest liczbą dodatnią.

c) Liczba ( 5

√2 )−3

jest mniejsza od 1.

d) Liczba (2√3)−4

jest większa od 1.

(Pokaż odpowiedź)

a) Wynikiem dodawania 2999 + 2999 jest 21000.

b) Prawdziwa jest równość √3555 + 3555 + 3555 = 3555.

c) Wynikiem dodawania √50 + √18 + √32 jest liczba 10√2.

(Pokaż odpowiedź)

Liczba20 + 23 ∙ 24 + 2−1 : 2−3

2−1 + 2−2 + 2−3 jest

a) mniejsza od 1

b) naturalna

c) całkowita ujemna

d) niewymierna

(Pokaż odpowiedź)

Zadania. Część I

Liczba (√√√3)16

jest równa

a) 9√3

d) 3√3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.9Liczba

3√−8 ∙ 3√−512 jest równa

a) 2−4

b) −2−4

d) −24

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby: x = − 3√−64, y = √93, z =22

33 . Prawdziwa jest równość

a) z = x · y

b) z = − yx

c) z =xy

(Pokaż odpowiedź)

√125 + √405 + √20a)

√50 − 2√72 + √800b)

Zadania. Część I

(Pokaż odpowiedź)

Udowodnij, że jeśli x = (23)4

∙ ( 164 )

−2oraz y = (25 ∙ 3√8)

2, to x = y2.

(Pokaż odpowiedź)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność(3−2)

3∙ 32

27−2 > (√33√27)

(Pokaż odpowiedź)

√98 − √162 + √288c)

3√108 +3√500 − 5

3√32d)

Zadania. Część I

Dane są liczby: 35 , −(13 )

2 )−2

, (− 12 )

−2, − (1

2 )−2

, 2−4, −24, −35 , 3−5 , (− 13 )

3, (−2)

4, (− 1

3 )−3

, 24, (−3)5

. Podziel je na liczby dodatnie oraz liczby ujemne.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.2Porównaj liczby. Wstaw znak równości bądź znak nierówności.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.4Połącz w pary liczby, które są równe.

532010 … 532014a)

(−3)76

… (−3)80b)

−376 … − 380c)

5… (1

4 )10d)

(− 23 )

8… (2

3 )8e)

(√22 )

10… (√2

2 )15f)

(√22 )

−7… (√2

2 )−10g)

(√2 + 2)20

… (√2 + 2)60h)

(√2 − 2)20

… (√2 − 2)60i)

4… (7

6 )−4j)

I 92√3

II √35

III 2√39

3√32

IV 5√33

23√3 D

V 23√3

(Pokaż odpowiedź)

I 7√2 √150 A

II 5√2 √50 B

III 5√3 √28 C

IV 2√5 √20 D

V 5√5 √75 E

VI 2√7 √96 F

VII 5√6 √125 G

(Pokaż odpowiedź)

I 23√4

4√32 A

II 43√2

3√32 B

III 24√2

3√128 C

IV 44√2

4√162 D

V 34√2 E

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.7Uzupełnij tabelę.

Zapis dziesiętny Notacja wykładnicza

1350000000000000 1,35 ∙ 1015

13500000000000 1,35 ∙ 10 …

1,36 ∙ 1014

0,0000000000000135 1,35 ∙ 10 …

1,35 ∙ 10−12

0,00000000000136 … ∙ 10−12

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.8Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej.

(5,3 ∙ 109) ∙ (1,4 ∙ 1012)a)

(6,4 ∙ 1023) ∙ (2 ∙ 1018)b)

(Pokaż odpowiedź)

(8,6 ∙ 10−12) ∙ (4 ∙ 10−18)c)

2,98 ∙ 1011

1,49 ∙ 1018

3,15 ∙ 1031

(2,1 ∙ 1018) ∙ (2,5 ∙ 108)e)

4.4. Wyrażenia algebraiczne

4.4.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych

Już wiesz:

• Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, x, y zachodzi prawo rozdzielności

mnożenia względem dodawania

a(x + y) = ax + ay.

• Jeśli do powyższego wzoru zamiast y wstawimy liczbę do niej przeciwną, czyli

( − y), to otrzymamy

a(x + (−y)) = a(x − y) = ax − ay.

• Na podstawie prawa rozdzielności możemy zapisać również

(a + b)(x + y) = a(x + y) + b(x + y) = ax + ay + bx + by.

Wyrażenia algebraiczne

Przykład 1.Ilustracja graficzna mnożenia liczby przez sumę algebraiczną.

Działania na wyrażeniach algebraicznych

4.4.2. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.1Wskaż poprawne stwierdzenie.

a) Iloczyn 65 · 74 jest równy 4200 + 350 + 24 + 20.

b) Iloczyn 99 · 89 jest równy 9000 − 100 − 90 − 1.

c) Iloczyn 8 · 1256 jest równy 8000 + 1600 + 400 + 48.

(Pokaż odpowiedź)

a) Dla dowolnej liczby x zachodzi równość (x − 2)(x + 1) = x2 − x − 2.

b) Wyrażenie 2x(3 − 5x) + 10(x2 − x + 4) jest równe 4(10 − x).

c) Jeżeli a =12x(5x − 8) oraz b =

52x2 − 4x, to a = b.

(Pokaż odpowiedź)

a) Dla dowolnych dodatnich liczb x i y pole trójkąta prostokątnego ABC, w którym

| DC | = 4, | DF | = 5y, | EF | =12x oraz | EB | = 6x jest równe

20y + 24x +53xy + 2x2.

Zadania

b) Jeśli a > 3, to pole równoległoboku przedstawionego na rysunku jest równe

a2 + a − 12.

c) Jeżeli x i y są liczbami dodatnimi, to pole prostokąta przedstawionego na rysunku można

zapisać jako 2x + 2xy.

(Pokaż odpowiedź)

a) W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę długości 3b jest równa

5b − 2 (dla b >25 ). Z tego wynika, że pole tego trójkąta jest równe 4b2 − 3b.

b) Dla pewnej liczby dodatniej a jedna z przekątnych rombu jest równa 6a + 5, a druga jest

od niej krótsza o 3. Z tego wynika, że pole tego rombu jest równe 36a2 + 42a + 10.

c) Jeden z boków prostokąta jest równy x, a drugi jest o 5 dłuższy od połowy pierwszego

boku. Wtedy pole tego prostokąta jest równe 2x2 + 5x.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

a) Liczba (2√3 − 3)(3√3 + 4) jest większa od 5.

b) Iloczyn (√5 + 1)(√5 + 2) jest równy 8.

c) Liczba (√2 + 2√3)(√3 − √2) − 1 jest dodatnia.

d) Liczba √2(√8 + √32) jest całkowita.

(Pokaż odpowiedź)

a) Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie 5x3y − 10xy2 jest równe 5xy(x2 − 2y).

b) Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie x(y − 4) + 5(y − 4) jest równe (y − 4)(x + 5).

c) Liczba 35 + 7√3 jest równa 7(5 + √3).

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.7Oznaczmy: W = x(8x + 11) − (2x − 1)4x + x2. Wtedy

a) dla x = − 12 wartość wyrażenia W jest równa ( − 7

b) istnieje taka liczba x, dla której wartość wyrażenia W jest równa 0

c) dla x = 1 wartość wyrażenia W jest równa 1

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.8Dane są dwa prostokąty. Pierwszy o bokach a i b, drugi o bokach c i d. Odcinek a jest połową

boku c, natomiast d = b + a. Wynika z tego, że

a) a − b = c − d

b) pole drugiego prostokąta jest równe b2 + 2ab

c) b = d − 12c

d) c = 50%a

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.9Zaznacz zdanie, które jest prawdziwe.

a) Jeżeli dodatnie liczby k, l ,m spełniają zależność: 2k(l2 − m) = 5, to m =5 − l2

b) Jeżeli dodatnie liczby a, b, c spełniają zależność ab = c(3c − a), to a =3c

b + c .

Zadania

c) Jeżeli dodatnie liczby x, y, z spełniają zależność (z + y)x = 1, to x =1

z + y .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

4.4.3. Przykłady

Przykład 1.Zapisz iloczyn w postaci sumy.

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Iloczyn dwóch takich samych wyrażeń to inaczej kwadrat danego wyrażenia.

(x + y)(x + y) = (x + y)2

= x2 + 2xy + y2

Graficznie można ten wzór zilustrować, obliczając pole kwadratu o boku a + b.

(3a + 2)(3a + 2)a)

(2 + 4x)(2 + 4x)b)

(x + y)(x + y)c)

(3a + 2)(3a + 2) = (3a)2

+ 6a + 6a + 4 = 9a2 + 12a + 4a)

(2 + 4x)(2 + 4x) = 4 + 8x + 8x + 16x2 = 4 + 16x + 16x2b)

(x + y)(x + y) = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2c)

Przykłady

Przykład 2.Oblicz.

Różnicę dwóch wyrażeń zapisujemy w postaci sumy i korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy.

Otrzymamy wtedy

Otrzymujemy wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

(x − y)2

= x2 − 2xy + y2.

Przykład 3.Zapisz iloczyn w postaci sumy.

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy

(a − 3)2a)

(4x − 1)2b)

(x − y)2c)

(a − 3)2

= (a + (−3))2

= a2 + 2 ∙ (−3) ∙ a + (−3)2

= a2 − 6a + 9a)

(4x − 1)2

= (4x + (−1))2

= (4x)2

+ 2 ∙ (−1) ∙ 4x + (−1)2

= 16x2 − 8x + 1b)

(x − y)2

= (x + (−y))2

+ 2 ∙ x ∙ (−y) + (−y)2

= x2 − 2xy + y2c)

(3x − 1)(3x + 1)a)

(2a − 4)(2a + 4)b)

(x + y)(x − y)c)

Przykłady

Zauważmy, że po pomnożeniu sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę, otrzymamy różnicę

kwadratów tych wyrażeń:

(x + y)(x − y) = x2 − y2.

(3x − 1)(3x + 1) = 9x2 − 3x + 3x − 1 = 9x2 − 1a)

(2a − 4)(2a + 4) = 4a2 − 8a + 8a − 16 = 4a2 − 16b)

(x + y)(x − y) = x2 − xy + xy − y2 = x2 − y2c)

Przykłady

Przykład 4.Ten wzór możemy zilustrować graficznie, porównując pola sześciokąta i prostokąta.

Przykłady

4.4.4. Zadania, zadania generatorowe

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.1Oblicz bez użycia kalkulatora.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.2Wskaż równości prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych x i a.

a) 2(x − 4)(x + 4) + 32 = 2x2

b) (12x − 3

=14x2 − 3

2x +94

c) (a + 5)2

= a2 + 10a + 25

d) (2x − 4)2

= 4x2 − 8x + 16

e) (x − 3)2

= x2 − 9

f) (x + 3√2)2

= x2 + 6x√2 + 18

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.3Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

(Pokaż odpowiedź)

2092a)

2972b)

203 ∙ 197c)

(√2 + 3)2a)

(3 − √5)2b)

(3√2 + 2√3)2c)

(12√2 − 1

3√3)2d)

Zadania, zadania generatorowe

Przykład 1.• Zapisz sumę x2 + 8x + 16 w postaci potęgi, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.

x2 + 8x + 16

zapiszemy w postaci kwadratu pierwszego wyrażenia, podwojonego iloczynu obu wyrażeń

oraz kwadratu drugiego wyrażenia

x2 + 8x + 16 = x2 + 2 ∙ 4 ∙ x + 42.

x2 + 8x + 16 = x2 + 2 ∙ 4 ∙ x + 42 = (x + 4)2.

• Sprawdź, czy wyrażenie x2 + 5x + 16 można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch

wyrażeń, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.

Jeśli wyrażenie

x2 + 5x + 16

jest kwadratem sumy dwóch wyrażeń, to oznacza, że pierwszym wyrażeniem jest x, a drugim

4 (kwadraty tych wyrażeń to odpowiednio x2 i 16). Musimy sprawdzić, czy wyrażenie 5x jest

podwojonym iloczynem.

2 ∙ 4 ∙ x = 8x ≠ 5x

Z tego wynika, że sumy x2 + 5x + 16 nie można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wy-

rażeń.

Przykład 2.Podane wyrażenia zapisz, jeśli będzie to możliwe w postaci iloczynu, wykorzystując wzór

skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

• x2 − 25

Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb x i 5. Zatem na podstawie wzoru skróconego mnoże-

nia otrzymujemy:

x2 − 25 = x2 − 52 = (x − 5)(x + 5).

• x2 − 10

Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb x i √10, więc

x2 − 10 = x2 − (√10)2

= (x − √10)(x + √10).

• x2 + 4

Wyrażenia nie można zapisać w postaci różnicy liczb rzeczywistych nieujemnych, zatem nie

możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

Przykład 3.Wykaż, że liczba 29 + 12√5 jest kwadratem liczby 3 + 2√5.

Aby przeprowadzić dowód, wystarczy wykazać, że

(3 + 2√5)2

= 29 + 12√5.

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia (na kwadrat sumy) otrzymamy

(3 + 2√5.)2

= 9 + 2 ∙ 3 ∙ 2√5 + (2√5)2

= 9 + 12√5 + 20 = 29 + 12√5.

Z tego wynika, że liczba 29 + 12√5 jest kwadratem liczby 3 + 2√5.

Przykład 4.Znajdź liczbę postaci a + b√3, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, której kwadrat jest równy

19 − 8√3.

W znalezieniu takiej liczby pomoże wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Liczbę

8√3 możemy zapisać na przykład w postaci

8√3 = 2 ∙ 2 ∙ 2√3

8√3 = 2 ∙ 4 ∙ √3,

czyli jako podwojony iloczyn liczb odpowiednio 2 i 2√3 lub 4 i √3. Sprawdzimy, w którym przy-

padku suma kwadratów tych liczb jest równa 19.

jeśli przyjmiemy, że 8√3 = 2 ∙ 2 ∙ 2√3, to jeśli przyjmiemy, że 8√3 = 2 ∙ 4 ∙ √3, to

22 + (2√3)2

= 4 + 12 ≠ 19 42 + (√3)2

= 16 + 3 = 19

Z tego wynika, że liczbę 19 − 8√3 możemy zapisać jako (4 − √3)2

lub jako (√3 − 4)2.

Zatem istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy 19 − 8√3 . Jest to liczba 4 − √3 i liczba

do niej przeciwna √3 − 4.

Przykład 5.

Wykaż, że liczba2

2 + √2 + √2 jest całkowita.

Wykażemy, że podana liczba jest całkowita, usuwając niewymierność z mianownika ułamka.

W tym celu pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez takie wyrażenie, aby w mianowni-

ku otrzymać różnicę kwadratów. Zatem

22 + √2 + √2 =

22 + √2 ∙ 2 − √2

2 − √2 + √2 =2(2 − √2)

4 − 2 + √2 =2(2 − √2)

2 + √2 = 2 − √2 + √2 = 2.

Liczba 2 jest całkowita, zatem liczba2

2 + √2 + √2 jest całkowita.

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.4Liczba √2(5√2 − 6) + 3(4 − 2√2) − 22 jest równa

a) −6√2

b) −12√2

d) 6√2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.5Dla a = − 1 wartość wyrażenia a(3a − 1) + 2a(a − 3) jest równa

c) −2

(Pokaż odpowiedź)

Dla dowolnej liczby x wyrażenie (3x2 − 4)(2x2 + 6) jest równe

a) 6x4 + 10x2 − 24

b) 6x4 − 10x2 − 24

c) 6x4 + 10x2 + 24

d) 6x4 − 10x2 + 24

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.7Dla dowolnych liczb a i b wyrażenie −3a2 + 3ab + 6b2 jest równe

a) 3(a − 2b)(a + b)

b) −3(a − 2b)(a + b)

c) −3(a + 2b)(a − b)

d) 3(a + 2b)(a − b)

(Pokaż odpowiedź)

Jeżeli a = 6x − 4 i b =12 to

a)12a2b = 36x2 − 48x + 16

b)12a2b = 9x2 − 12x + 4

c)12a2b = 18x2 + 8

d)12a2b = 18x2 − 24x + 8

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.9Dla dowolnych liczb a, b i c wyrażenie (a − c)(b − a) − (a − b)c jest równe

a) −a2

b) ac − a2

c) ab − a2

d) bc − a2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.10Dla pewnej liczby dodatniej a podstawa trójkąta jest równa 4a + 6 . Wysokość opuszczona na tę

podstawę jest od niej o 2a − 2 krótsza. Pole tego trójkąta jest równe

a) 4a2 + 10a + 6

b) 8a2 + 44a + 48

c) 4a2 + 22a + 24

d) 8a2 + 20a + 12

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.11Wyrażenie 1 − 5x2 po rozłożeniu na czynniki ma postać

a) (1 − 5x)(1 + 5x)

b) (1 − √5x)(1 + 5x)

c) (1 − √5x)(1 + √5x)

d) (1 − √5x)(1 − √5x)

(Pokaż odpowiedź)

Wartość wyrażenia (3x − 2)(3x + 2)(9x2 + 4) dla x = √2 jest równa

a) 309

b) 308

c) 307

d) 305

(Pokaż odpowiedź)

Liczba5

3 − 2√2 jest równa

a) −2√2 − 3

b) 15 + 10√2

c) 10√2 + 15

d) 2√2 + 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.14Oblicz w pamięci.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.16Wykonaj mnożenie.

7 ∙ 89a)

6 ∙ 203b)

8 ∙ 397c)

201310 − 2011 ∙ 20139 − 2 ∙ 20139a)

4004−25 ∙ (400426 − 400425)b)

(1 − 9x)(2 + 6x)a)

(2x + 3)(4 − x2)b)

(x + y + z)(xy + y3 + x2z)c)

13 (5y − 9)(3y + 4)d)

(13x − 2

3 )(32x +

23 )e)

(3x2 + 2x − 1)(2x − 4)f)

(4y3 − 2y + 5)(y2 + y − 2)g)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.17Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.18Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość liczbową dla podanej wartości x.

(Pokaż odpowiedź)

(5x − √3)(√2x + √6)h)

√3(a − √3)(3a − 4√3)i)

(√3x + √2)(2√3x − √2)j)

4ab3 − 2a2b + 6aba)

2x3y + 18x2y2 + 9xy3b)

4x(x − 3) + 2x2(x − 3) − 6x3(x − 3)c)

3a(a + 5)(a − 1) + 9a(a − 1)(a + 3) − 6a(a − 1)(a + 2)d)

2(x − 1)2(x + 3) + 4(x − 1)(x + 3)

2+ 6(x − 1)(x + 3)e)

x2y2 + x3y + 3xyf)

xz2 + xyz + x2z + 3z + x2y + 3xg)

(2x − 3)(3x − 1) − 3 dla x = 2√3a)

4x(x − 3) + 2x(1 − 2x) + 3 dla x =12 + √2b)

3x2(2x + 1) + x(4 − 3x) dla x =3√5c)

(4x − 1)(2 − 3x) − (x − 1)(x − 2) dla x = − 3√5d)

(2x − 3)2

+ 2(x2 − 4)(x2 + 4) − 3(10 − 4x) dla x = 3√10e)

6(x − 1)(x + 1) + 4(x − 3)(x + 3) + 2(x − 5)(x + 5) dla x = 1 + 2√2f)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.19Każdej figurze przyporządkuj wzór opisujący jej pole.

P = 2a2 + 5aa)

P = 2a2 − 52a − 3b)

P = 2a2 − 312a − 1c)

P = 2a2 +52ad)

P = 2a2 − a − 6e)

P = 2a2 + 3af)

P = 2a2 − a + 6g)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.20Boki prostokąta są równe a + 5 i 2a + 5, gdzie a jest liczbą dodatnią. O ile zmieni się pole pro-

stokąta, jeśli długość pierwszego boku zwiększymy o 3, a długość drugiego zmniejszymy o 4?

Podaj odpowiednie założenia.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.21Zapisz wyrażenie opisujące pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu przestawionego na

rysunku. Krawędzie prostopadłościanu są równe y + 4, z + 6, x + z, gdzie x, y, z to liczby dodat-

(Pokaż odpowiedź)

Wykaż, że równość √3 − 12√3 + 4 =

3(√3 − 1)2 − 1 jest prawdziwa.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.23Połącz w pary wyrażenia, które są równe

I x2 − 2x + 1 (x − 1)(x + 1) A

II 4x2 − 1 (2x − 1)2 B

III 4x2 + 4x + 1 (x + 1)2 C

IV x2 + 2x + 1 (2x + 1)2 D

V x2 − 1 (x − 1)2 E

VI 4x2 − 4x + 1 (2x − 1)(2x + 1) F

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.24Niech p, q oznaczają wyrażenia algebraiczne. Uzupełnij tabelę tak, aby każdej nazwie zostało

przyporządkowane odpowiadające jej wyrażenie.

Nazwa wyrażenia Zapis symboliczny wyrażenia

kwadrat sumy dwóch wyrażeń (p + q)2

suma kwadratów dwóch wyrażeń

suma odwrotności dwóch wyrażeń

odwrotność sumy dwóch wyrażeń

różnica kwadratów dwóch wyrażeń

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

podwojony iloczyn dwóch wyrażeń

potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń

potrojona suma kwadratów dwóch wyrażeń

odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.25Połącz w pary równe liczby.

I 4 + 2√3 (2√2 + 1)2 A

II 7 − 4√3 (√3 − 1)2 B

III 9 + 4√2 7 + 4√3 C

IV 9 − 4√2 (2√2 − 1)2 D

V 4 − 2√3 (√3 + 1)2 E

VI (2 + √3)2

(2 − √3)2 F

(Pokaż odpowiedź)

Uzupełnij. (3 + √5)2

= … + … √5.

(Pokaż odpowiedź)

Uzupełnij. (2 − √7)2

= … − … √7.

(Pokaż odpowiedź)

Uzupełnij. (3 − √5)(3 + √5) = …

(Pokaż odpowiedź)

4.5. Potęga o wykładniku wymiernym

4.5.1. Potęga o wykładniku wymiernym

Definicja: Potęga o wykładniku1n

Dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n większej od 1 przyjmujemy

n√a.

Dla liczby naturalnej n większej od 1, liczby całkowitej m i liczby dodatniej a przyjmujemy

n√am

W szczególności, gdy m = 1 otrzymujemy a1n =

n√a. Równość tę przyjmujemy też dla a = 0.

Poznane wcześniej twierdzenia o działaniach na potęgach o całkowitych wykładnikach są praw-

dziwe również wtedy, gdy wykładnik jest liczbą wymierną. Mamy zatem:

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej a i dowolnych liczb wymiernych x i y prawdziwe są

równości

• ax ∙ ay = ax + y (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)

• ax

ay = ax − y (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)

• (ax)y

= ax ∙ y (wzór na potęgę potęgi)

Dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnej liczby wymiernej x prawdziwe są równości

• ax ∙ bx = (a ∙ b)x

(wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)

• ax

bx = ( ab )

x(wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.1.1Połącz w pary równe liczby.

Potęga o wykładniku wymiernym

I 3√2 413

II (0, 5)12

4√4 C

IV 3√45√8 D

V 5√4 213

VI √2 √0,5 F

4√8 G

VIII(0,5)

3√0,5 H

(Pokaż odpowiedź)

Przykład 1.Wykażemy, że

3212 + 18

12 = 98

Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.

3212 + 18

12 = √32 + √18 = 4√2 + 3√2 = 7√2.

Po prawej stronie równości postąpimy podobnie

9812 = √98 = 7√2

Z tego wynika, że obie strony równości są równe.

3212 + 18

12 = 98

Przykład 2.

Sprawdzimy, czy liczby x = 312 + 2 oraz y = (7 + 4 ∙ 3

są równe.

Podnosimy liczbę do kwadratu

x2 = (312 + 2)

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

(312 + 2)

= (312)

+ 2 ∙ 2 ∙ 312 + 4 = 3 + 4 ∙ 3

12 + 4 = 7 + 4 ∙ 3

Podobnie podnosimy do kwadratu liczbę y.

y2 = ((7 + 4 ∙ 312)

= (7 + 4 ∙ 312)

= 7 + 4 ∙ 312

x2 = y2.

Liczby x oraz y są dodatnie. Stąd, że ich kwadraty są równe, wynika, że liczby również są rów-

4.5.2. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.1Uzupełnij równości.

(Pokaż odpowiedź)

√ … = 332

√115 = 11 …b)

4√63 = 6 …c)

(3√ … )5

(3√6)4

= 6 …e)

5√ … = 345

4√125 = 5 …g)

(6√11)5

= 1156

5√ … = 1125

√0,1 = ( … )−

…√0,04 = 5−

3√6−4 = 6 …l)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.2Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 3 i wykładniku wymiernym.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.3Oblicz iloczyn. Wynik zapisz w postaci potęgi o wykładniku wymiernym.

(Pokaż odpowiedź)

Sprawdź, czy liczba x = 23√4 spełnia nierówność x < 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.5Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

(Pokaż odpowiedź)

√243a)

94√3b)

33√3c)

√√3e)

3√3√3f)

3√9 ∙ √27a)

4√0,2 ∙ 3√25b)

√125 ∙ 4√125c)

8√2 ∙ 43√2d)

−34, 5

(0,3)13 , (0,3)

−3, (0,3)

−12, (0,3)

−56, (0,3)

37, (0,3)

3√16 ,3√4 ,

4√128 ,4√32 ,

3√256, √8c)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.6Liczba 5

5√125 ∙ 0,44√25 jest równa

a) 5−2

c) 2 · 51110

d) 5−

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.7Dane są liczby x = √2√√2 i y =

8√32 . Prawdziwa jest zależność

a) x > y

b) x < y

c) x = 2y

d) x = y

(Pokaż odpowiedź)

Liczba 412 ∙ 64

−14 jest równa

a)4√0,25

b) (4√0,25)5

c)4√45

d)4√4

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Liczba x =3√32

√8 spełnia nierówność

a) x > 213

b) x > 214

c) x > 21

d) x > 25

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby a = (√3 − 1)12 , b = (√3 − 1)

34, c = (√3 − 1)

56. Prawdziwa jest nierówność

a) c < b < a

b) a < b < c

c) c < a < b

d) b < a < c

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.11Zapisz w postaci potęgi o podstawie 6 i wykładniku wymiernym.

(Pokaż odpowiedź)

4√216a)

363√6b)

(3249 )

12 ∙ 4√36

136 ∙ (√6)

−2∙

3√68d)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.13Oblicz. Wynik zapisz w postaci potęgi o podstawie będącej liczbą naturalną.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.14Niech x będzie liczbą dodatnią. Oblicz i zapisz wynik w postaci jednej potęgi o podstawie x.

323 ∙

3√34 ∙ (19 )

8 ∙ 4√4 ∙ (0,5)12

14√6

∙ (3√36)2

∙ (634)

−1c)

−3,5∙ (1

4 )2,5d)

90,4 ∙ √30,5 ∙ ( 127 )

√27 : 3−

14√8 ∙ ( 1

64 )−2

∙ 16−2,5g)

5−3 ∙ (0,2)1,5

∙ √5

√0,043 ∙ 5−0,5

(0,125)−3,5

∙3√64 ∙ 4

(32√2)−2

x12 ∙ x

34 ∙ 1

√x ∙3√x2 ∙

4√x3b)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.5.2.16Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

x−1,5 ∙ x2,5 ∙ x3

(x3,5)2

32 ∙

4√x6 ∙ (x3,5)−1

x−1 ∙ √x6

3√4√x3e)

(√x3 :4√x5)

√(x12)

∙ (x52)

−1g)

(2 + 512)

+ (2 − 512)

(3 − 70,5)(3 + 70,5)b)

(1212 − 27

− (1212 + 27

((6 + 1112)

+ (6 − 1112)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Wskazówka: zamień potęgi o wykładnikach wymiernych na pierwiastki.

Poziom trudności: BZadanie 4.5.2.18Wykaż, że podana równość jest prawdziwa.

Wskazówka: podnieś do kwadratu obie strony równości.

Wykaż, że (6 + 2012)

− (6 − 2012)

jest liczbą całkowitą.Wskazówka: oblicz kwadrat tej liczby.

((4 − 312)

− (4 + 312)

1212 + 27

12 = 75

1212 + 48

12 = 108

3213 + 108

13 = 500

353 + 3

83 = 4 ∙ 3

(4 + 1212)

− (4 − 1212)

(14 + 6 ∙ 512)

+ (14 − 6 ∙ 512)

Zadania

4.6. Nierówności, przedziały, odległość

4.6.1. Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe

Już wiesz:

Szukając liczb, które spełniają równanie, możemy to równanie przekształcać rów-

noważnie. Stosujemy następujące zasady

• po obu stronach równania można wykonać wskazane działania (np. wykorzy-

stując wzory skróconego mnożenia),

• do obu stron równania możemy dodać to samo wyrażenie, pod warunkiem

że nie zmienimy dziedziny równania (wyrażenia możemy przenosić z jednej

strony równania na drugą pod warunkiem zmiany znaku tego wyrażenia na

przeciwny),

• możemy mnożyć lub dzielić obie strony równania przez dowolną liczbę różną

od zera.

Przykład 1.• Rozwiąż równanie

x + 12 = 2 − x − 1

Mnożymy obie strony równania przez 4.

2(x + 1) = 8 − (x − 3)

2x + 2 = 8 − x + 3

2x + x = 8 − 2 + 3

3x = 9

Rozwiązaniem równaniax + 1

2 = 2 − x − 34 jest liczba 3.

• Rozwiąż równanie

3(x − 5) = x + 2(x + 4).

Przekształcając kolejno, otrzymujemy

3(x − 5) = x + 2(x + 4)

Nierówności, przedziały, odległość

3x − 15 = x + 2x + 8

3x − x − 2x = 15 + 8

0 ∙ x = 23

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ 0 ≠ 23. Zatem nie istnieje liczba, która spełnia to rów-

nanie. Jest to równanie sprzeczne.

• Wyznacz liczby, które spełniają równanie

(x − 3)(x + 2) + 1 = (x − 1)(x + 5) − 5x.

Po przekształceniach otrzymujemy

x2 − 3x + 2x − 6 + 1 = x2 − x + 5x − 5 − 5x

x2 − x − 5 = x2 − x − 5.

Po obu stronach równania otrzymaliśmy to samo wyrażenie. Z tego wynika, że równanie jest

spełnione dla dowolnej liczby x. Jest to równanie tożsamościowe.

Przykład 2.Rozwiąż nierówność

3x − 4 < 5x + 2.

Przy rozwiązywaniu nierówności możemy wykorzystywać zasady podobne do tych, które

pozwalały rozwiązywać równania. Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę

ujemną, musimy zmienić zwrot nierówności.

Zapamiętaj

Obie strony nierówności możemy mnożyć lub dzielić przez dowolną liczbę:

• dodatnią – wtedy zachowujemy ten sam zwrot nierówności,

• ujemną – wtedy zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny.

W każdym przypadku otrzymamy nierówność równoważną danej.

Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe

Przykład 3.Zaznaczmy na osi liczbowej liczby spełniające nierówność x > − 3.

Do zbioru ( − 3, + ∞) należą liczby większe od ( − 3). Zbiór taki nazywamy przedziałem nie-

ograniczonym lewostronnie otwartym. Zapis x ? (−3, + ∞) oznacza, że liczba x należy do tego

przedziału, np. 4 ? ( − 3, + ∞), a zapis x ? (−3 + ∞) oznacza, że liczba x nie należy do tego prze-

działu np.−5 ? (−3 + ∞).

Przykład 4.Prześledzimy rozwiązanie „krok po kroku”.

5x + 72 > 3x + 5.

Przekształcamy nierówność równoważnie.

5x + 72 > 3x + 5

5x + 7 > 6x + 10

5x − 6x > 10 − 7

−x > 3

x < − 3.

Rozwiązaniem nierówności5x + 7

2 > 3x + 5 jest każda liczba mniejsza od (−3).Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność x < − 3 na osi liczbowej.

Zbiór (−∞, − 3) nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Należą

do niego liczby mniejsze od ( − 3).

(x − 2)2

≤ (x + 4)(x + 1) − 9.

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność.

Rozwiązujemy nierówność.

(x − 2)2

≤ (x + 4)(x + 1) − 9

x2 − 4x + 4 ≤ x2 + 4x + x + 4 − 9

x2 − 4x − 4x − x − x2 ≤ 4 − 9 − 4

−9x ≤ − 9

x ≥ 1

Rozwiązaniem nierówności (x − 2)2

≤ (x + 4)(x + 1) − 9 jest każda liczba większa lub równa 1.

Zaznaczymy wszytskie liczby spełniające nierówność x ≥ 1 na osi liczbowej.

Zbiór ? 1, ∞) nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Należą

do niego liczby większe od 1, razem z liczbą 1.

Przykład 7.Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające nierówność

x − 3 ≤ 2x − 35 .

Rozwiążemy nierówność.

x − 3 ≤ 2x − 35

5(x − 3) ≤ 2x − 3

5x − 15 ≤ 2x − 3

3x ≤ 12

x ≤ 4

Rozwiązaniem nierówności x − 3 ≤ 2x − 35 jest każda liczba mniejsza lub równa 4.

Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność x ≤ 4 na osi liczbowej.

Zbiór (−∞, 4 ? nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Należą

do niego liczby mniejsze od 4, razem z liczbą 4.

4.6.2. Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory

Już wiesz:

Rozwiązania powyższych nierówności doprowadziły nas do zdefiniowania przedziałów nieograni-

czonych

Definicja: Przedziały nieograniczone

Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

• Zbiór liczb spełniających nierówność x > a nazywamy przedziałem nieograni-

czonym lewostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy (a, ∞).• Zbiór liczb spełniających nierówność x ≥ a nazywamy przedziałem nieograni-

czonym lewostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy ? a, ∞.

• Zbiór liczb x spełniających nierówność x < a nazywamy przedziałem nieograni-

czonym prawostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy (−∞, a).• Zbiór liczb x spełniających nierówność x ≤ a nazywamy przedziałem nieograni-

czonym prawostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy (−∞, a ? .

Przyjrzyjmy się teraz przedziałom ograniczonym.

Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory

Przykład 1.• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które jednocześnie spełniają nierówności

x > − 3 i x < 5.

Taki przedział nazywamy otwartym. Należą do niego wszystkie liczby większe od ( − 3) i

jednocześnie mniejsze od 5. Przedział otwarty oznaczamy (−3,5 ).Nierówności x > − 3 i

x < 5 możemy zastąpić nierównością podwójną −3 < x < 5.

• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek −3 ≤ x ≤ 5.

Taki przedział nazywamy domkniętym. Należą do niego wszystkie liczby większe lub

równe ( − 3) i jednocześnie mniejsze lub równe 5. Przedział domknięty oznaczamy

?−3, 5?.

• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek −3 < x ≤ 5.

Taki przedział jest otwarty z lewej strony i domknięty z prawej. Należą do niego wszyst-

kie liczby większe od ( − 3) i jednocześnie mniejsze lub równe 5. Musimy pamiętać, że

liczba ( − 3) nie należy do tego przedziału, a liczba 5 do niego należy. Przedział ten ozna-

czamy (−3, 5 ? .

• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek −3 ≤ x < 5.

Taki przedział jest domknięty z lewej strony i otwarty z prawej. Należą do niego wszyst-

kie liczby większe lub równe ( − 3) i jednocześnie mniejsze od 5. Musimy pamiętać, że

liczba ( − 3) należy do tego przedziału, a liczba 5 do niego nie należy. Przedział ten ozna-

czamy ? −3, 5.

Definicja: Przedziały ograniczone

Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym a < b.

• Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb x spełniających wa-

runek a < x < b. Przedział ten oznaczamy (a, b).• Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb x spełniających

warunek a ≤ x ≤ b. Przedział ten oznaczamy ?a, b?.

Przykład 2.Usystematyzujemy wiadomości dotyczące przedziałów.

Przykład 3.Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące jednocześnie do przedziału (0, 7) i do

przedziału ?−2,4?.

Przedział (0, 4 ? zawiera liczby, które należą do obu przedziałów jednocześnie. Przedział

(0, 4 ? jest częścią wspólną (iloczynem) przedziałów (0, 7) i ?−2,4?.

Symbolicznie zapisujemy

(0, 7) ∩ ?−2,4? = (0, 4 ? .

Przykład 4.Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące do przedziału (0, 7) lub do przedziału

?−2,4?.

Przedział ? −2, 7 zawiera liczby, które należą do jednego z dwóch przedziałów (lub do obu

jednocześnie). Przedział ? −2, 7 jest sumą przedziałów ? 0,7) i ?−2,4?.

Symbolicznie zapisujemy

(0, 7) ? ?−2,4? = ? −2, 7.

Definicja: Część wspólna przedziałów. Sumaprzedziałów

• Częścią wspólną (iloczynem) przedziałów A i B nazywamy zbiór złożony z liczb,

które należą jednocześnie do obu przedziałów. Iloczyn przedziałów oznaczamy

A ∩ B.

• Sumą przedziałów A i B nazywamy zbiór złożony z tych liczb, które należą tylko

do jednego z przedziałów A lub B albo do obu przedziałów jednocześnie. Sumę

przedziałów oznaczamy A ? B.

Poziom trudności: AZadanie 4.6.2.1Zaznacz na osi liczbowej liczby, które

(Pokaż odpowiedź)

należą do sumy przedziałów (−3,4) oraz (0, ∞)a)

należą do sumy przedziałów (−5, −2 ? oraz ?−2,5?b)

należą do części wspólnej przedziałów (−∞, 5) i ?−2,4?c)

należą do części wspólnej przedziałów (4, 6 ? i ?6,10?d)

4.6.3. Wartość bezwzględna - definicja

Definicja: Wartość bezwzględna

Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

• Odległość liczby a od liczby 0 na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględ-

ną liczby a.

• Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy | a | .

Przykład

Własność: Własności wartości bezwzględnej

Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:

• wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa 0, czyli | x | ≥ 0, dla dowolnej

liczby rzeczywistej x,

• jeśli | x | = 0, to x = 0,

• wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli | x | = | −x | dla dowolnej

liczby rzeczywistej x.

Wartość bezwzględna - definicja

Przykład 1.

Przykład 2.

Poziom trudności: AZadanie 4.6.3.1Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające równanie.

(Pokaż odpowiedź)

| x | = 6a)

| x | = √5b)

| x | = √29 − 1c)

Przykład 3.

Przykład 4.

Wartość bezwzględna liczby jest przydatna do definiowania odległości miedzy liczbami na osi

liczbowej.

Przykład 5.Oblicz odległość na osi liczbowej liczb 2,5 i 9.

Odległość między tymi liczbami obliczyliśmy, odejmując mniejszą z nich od większej, czyli

9 − 2,5 = 6,5.

Odległość jest zawsze liczbą nieujemną. Ponieważ nie zawsze możemy łatwo stwierdzić, któ-

ra z danych liczb jest większa, a która mniejsza, wykorzystamy wartość bezwzględną.

| 9 − 2,5 | = | 2,5 − 9 | = 6,5.

Przykład 6.Oblicz odległość na osi liczbowej liczb −1 i 7,5.

Definicja: Odległość liczb na osi liczbowej

• Odległość liczb a i b na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich róż-

nicy | a − b | .

• Zapis | x − 5 | = 3 możemy czytać następująco: odległość liczby x od liczby 5

na osi liczbowej jest równa 3.

Przykład 7.Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają równanie

| x − 2 | = 4.

Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć takie liczby x, których odległość na osi liczbowej od 2

jest równa 4.

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że w odległości 4 od licz-

by 2 znajdują się liczby −2 i 6. Są to liczby spełniające równanie.

| x − 2 | = 4.

Przykład 8.Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

| x − 1 | ≤ 4.

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że nierówność

| x − 1 | ≤ 4 spełniają liczby należące do przedziału ?−3, 5?.

Przykład 9.Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

| x + 1 | > 3.

Jeśli nierówność | x + 1 | > 3 zapiszemy jako | x − | −1 | | > 3, to będzie można ją od-

czytać: odległość liczby x od liczby (−1) jest większa od 3 .

Zaznaczymy liczby spełniające nierówność na osi liczbowej.

Nierówność | x + 1 | > 3 spełniają wszystkie liczby należące do sumy przedziałów

(−∞, − 4) ? (2, ∞).

Poziom trudności: AZadanie 4.6.3.2Połącz w pary nierówności z odpowiadającymi jej opisami.

I | x − 7 | ≤ 2 odległość liczby x od liczby (−7) jest mniejsza lub równa 2 A

II | x + 7 | ≤ 2 odległość liczby x od liczby (−2) jest nie większa od 7 B

III | x − 2 | ≤ 7 C

IV | x − 7 | > 2 odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2 D

V | x + 2 | > 7 odległość liczby x od liczby (−7) jest większa od 2 E

VI | x + 2 | ≤ 7 odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7 F

VII | x + 7 | > 2 odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa od 2 G

(Pokaż odpowiedź)

Podaj rozwiązanie równania | x + 8 | = 5.

(Pokaż odpowiedź)

4.6.4. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.1Rozwiązaniem nierówności | x | < 3 jest przedział

a) (−∞, −3 ? ? ? 3, +∞

b) (−∞, − 3) ? (3, + ∞)

c) ?−3,3?

d) (−3,3)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.2Liczbami spełniające równanie | x − 5 | = 4 są

a) −1 oraz -9

b) 1 oraz 9

c) −5 oraz 5

d) −4 oraz 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.3Rozwiązaniem nierówności | x + 4 | ≤ 6 jest przedział

a) ?−10,2?

b) (−10,2)

c) ?−2,10?

d) (−2,10)

(Pokaż odpowiedź)

Przedział (−3,5) jest rozwiązaniem nierówności

Zadania

Liczba √154 należy do przedziału

a) (67 ,

1110 )

b) (54 ,

c) (35 ,

d) ?23 ,

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.6Równanie −2x + 4 = 1 spełnia liczba należąca do przedziału

a) (− 32 , − 1)

b) ?1,32?

c) ?− 32 , − 1?

d) (1,32 )

(Pokaż odpowiedź)

| x − 1 | < 4a)

| x + 1 | < 4b)

| x − 3 | < 5c)

| x + 3 | < 5d)

Zadania

Liczba x = (13 )

−2spełnia warunek

a) 2x − 3 ≥ x + 7

b) 2x − 3 > x + 7

c) 2x − 3 ≥ x + 6

d) 2x − 3 > x + 6

(Pokaż odpowiedź)

Rozwiązaniem nierówności (x + 1)2

≥ x2 jest przedział

a) ?12 , ∞)

b) (−∞,12 ?

c) ? − 12 , ∞)

d) (−∞, − 12 ?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.9Liczba 5 − √5 należy do przedziału

a) (2,3)

b) (1,2)

c) (−1,0)

d) (0,1)

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.10Liczby należące jednocześnie do przedziałów (−5, 3 ? i (−1,5) przestawione są na rysunku

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.11Ile liczb całkowitych należy do przedziału (−3, 2 ? ?

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Dane są liczby a = 3 ∙ 212 + (1

4 )−2

∙ (12 )

3oraz b = 1, (6) − 3√2. Liczba a + b należy do przedziału:

a) (412 , 5)

b) (4, 412 )

c) (312 , 4)

d) (3, 312 )

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.13Rozwiąż nierówności.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.14Rozwiąż nierówności.

2(−√3x − 6) ≤ 3√3x + 4a)

√5x − 6 > 7 − 2√5xb)

√2x + 6 < 7 + √8xc)

√6x + 4 ≤ 7 + √12xd)

√7x − 3 ≤ 7 + √21xe)

√2x + 74 <

2√3x − 36

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.15Zapisz przedział, do którego należą wszystkie liczby spełniające warunek

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.16Wypisz wszystkie liczby całkowite

(Pokaż odpowiedź)

4(x + 3)2

− 4(x + 2)(x − 2) < 5a)

(x + 2)2

> x2 + 4b)

(2x + 3)2

+ (1 − 2x)(1 + 2x) < 2x − 4c)

9(x +16 )

13x − 5 + (3x − 1

6 )2d)

√3 − 2)( x

√3 + 2) <(x − 2)

(3x − 4)2

3 ≥ 3(x − 3)2

x ≥ √13a)

x < 2√2b)

x ≥ 1 + √3c)

−7 ≤ x ≤ 8d)

3 < x ≤ √7e)

x ≤ − 3 lub x > 5f)

x ≥ − 4 i x < 10g)

należące do przedziału(−∞, 3) lub do przedziału (−2, 1 ? ,a)

należące do przedziału(−4, 8 ? i do przedziału ? 0, 6,b)

należące do przedziału(−5, − 3) i do przedziału (−4, ∞),c)

należące do przedziału(−5, −3 ? i do przedziału.d)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.17Zapisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich liczb, które należą do przedziału

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.18Rozwiąż równanie.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.19Wyznacz liczby spełniające równanie

(42,43)a)

?−126, − 116?b)

(−215, 210 ?c)

?5 − √6, 5 − √2?d)

(−∞, 518)e)

? −√7, +∞f)

(−∞, 5) ? ? 9, +∞g)

| x − 10 | = 6a)

| x + 55 | = 11b)

| x − 12 | =

| x + 534 | = 3

2 | x − 4 | = 7e)

| 3x − 5 | = 9f)

| 4 − x | = 6g)

| 5 + x | =78

| x − √2 | = √3i)

| x | = 6,25 ∙ 1015a)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.20Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału wszystkie liczby spełniające podany układ

warunków

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.21Wykaż, że

Wskazówka: zamień potęgi o wykładnikach wymiernych na pierwiastki.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.22Wykaż, że prawdziwa jest równość.

| x − 210 | = 29b)

| x + 3,2 ∙ 10−15 | = 4 ∙ 10−15c)

| x − 2, (32) | = 2d)

| x + 4 | = 2, (21)e)

−3 < x < 3 i x ≥ 32 i x < √3a)

| x | > 5 i −7 ≤ x ≤ 10b)

1212 + 27

12 = 75

812 + 72

12 = 128

1212 + 48

12 = 108

3213 + 108

13 = 500

353 + 3

83 = 4 ∙ 3

Zadania

Wskazówka: sprawdź, czy kwadraty liczb po obu stronach równości są sobie równe.

(Pokaż odpowiedź)

Wykaż, że (6 + 2012)

− (6 − 2012)

jest liczbą całkowitą.Wskazówka: oblicz kwadrat tej liczby.

(Pokaż odpowiedź)

(4 + 1212)

− (4 − 1212)

(14 + 6 ∙ 512)

+ (14 − 6 ∙ 512)

Zadania

4.7. Zaokrąglenia i przybliżenia

4.7.1. Przybliżenia i zaokrąglenia liczb

W praktycznych zastosowaniach matematyki bardzo często zachodzi konieczność zaokrąglania

wartości liczbowych lub posługiwania się wartościami przybliżonymi.

Przykład 1.

Przykład 2.Cena netto zestawu akcesoriów rowerowych jest równa 155,60 zł. Aby otrzymać cenę brutto,

musimy doliczyć jeszcze 23% podatku VAT. Zatem cena brutto jest równa

155,6 zł ∙ 1,23 = 191,388 zł.

Jest to wartość dokładna. Ponieważ najmniejszą jednostką monetarną w Polsce jest 1 grosz,

to obliczoną cenę musimy zaokrąglić do drugiego miejsca po przecinku.

191,388 zł ≈ 191,39 zł.

Przykład 3.W rozliczeniach podatku PIT stosuje się zasadę, że ostateczna kwota należnego podatku za-

okrąglana jest do pełnych złotych.Jeśli zatem obliczony podatek jest równy 8562,15 zł, to po

prawidłowym zaokrągleniu będzie równy 8562 zł, natomiast jeśli obliczony podatek jest rów-

ny 8562,78 zł, to po zaokrągleniu będzie równy 8563 zł.

Zaokrąglenia i przybliżenia

Reguła: zaokrąglania liczb

Jeżeli liczbę dodatnią zaokrąglamy do ustalonego rzędu wielkości, np. do tysięcy, setek, dzie-

siątek, jedności, części dziesiątych, części setnych itd., to wszystkie cyfry stojące po prawej

stronie ostatniej (licząc od strony lewej) cyfry znaczącej zastępujemy zerami. Z cyframi zna-

czącymi postępujemy następująco:

• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest mniejsza od 5, to

wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,

• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest co najmniej równa 5, a

ostatnia cyfra znacząca jest mniejsza od 9, to tę cyfrę zwiększamy o 1, a wszystkie po-

przednie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Jeśli natomiast ostatnią cyfrą zna-

czącą jest 9, to zamiast niej piszemy cyfrę 0 i tę samą procedurę stosujemy do poprzed-

nich cyfr znaczących.

Zastosowanie tej reguły pokażemy na kilku przykładach.

Przykład 4.• Liczbę 207 195 468 zaokrąglimy do tysięcy. Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to:

2, 0, 7, 1, 9,5. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to 4,

a więc jest mniejsza od 5. Zatem wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,

a pozostałe zastępujemy zerami. Zatem zaokrągleniem liczby 207 195 468 do tysięcy

jest liczba 207 195 000.

207 195 468 ≈ 207 195 000

• Tę samą liczbę 207 195 468 zaokrąglimy do setek tysięcy. Cyfry znaczące tego za-

okrąglenia to: 2, 0, 7,1. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry zna-

czącej to 9, ostatnia cyfra znacząca to 1, a więc jest mniejsza od 9. Zatem ostatnią cyfrę

znaczącą zwiększamy o 1, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian, cyfry nie-

znaczące zastępujemy zerami. Zatem zaokrągleniem liczby 207 195 468 do setek tysię-

cy jest liczba 207 200 000.

207 195 468 ≈ 207 200 000

• Raz jeszcze zaokrąglimy liczbę 207 195 468, tym razem do dziesiątek tysięcy. Cyfry zna-

czące tego zaokrąglenia to: 2, 0, 7, 1,9. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostat-

niej cyfry znaczącej to 5, ostatnia cyfra znacząca to 9. Zatem ostatnią cyfrę znaczącą za-

stępujemy cyfrą 0. Przedostatnią (jest ona równa 1, a więc mniejsza od 9) zwiększamy o

1, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Cyfry nieznaczące zastępujemy

zerami. Zatem zaokrągleniem liczby 207 195 468 do dziesiątek tysięcy jest liczba

207 200 000.

207 195 468 ≈ 207 200 000

Przybliżenia i zaokrąglenia liczb

• Zaokrąglimy liczbę √37 do części tysięcznych, czyli do trzeciego miejsca po przecinku.

Rozwinięcie dziesiętne liczby√37 to 6,0827625 … . Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to:

6, 0, 8, 2. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to 7, a

ostatnia cyfra znacząca to 2, a więc mniejsza od 9. Zatem ostatnią cyfrę znaczącą zwięk-

szamy o 1, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian, cyfry nieznaczące zastę-

pujemy zerami, których w tym przypadku możemy nie pisać. Zatem zaokrągleniem licz-

by √37 do części tysięcznych jest liczba 6,083.

√37 ≈ 6,083

Przykład 5.Główny Urząd Statystyczny podaje, że w 2012 roku w Polsce mieszkało 38,54 mln ludzi. Jest

to oczywiście wielkość przybliżona, ponieważ niemożliwe jest podanie liczby ludności kraju z

dokładnością do 1 osoby.

Jeśli zachodzi taka konieczność, możemy zaokrąglać duże liczby do zadanego rzędu.

Np. liczba 65 846 236 może być zapisana z dokładnością do:

dziesiątek 65 846 240

setek 65 846 200

tysięcy 65 846 000

dziesiątek tysięcy 65 850 000

setek tysięcy 65 800 000

milionów 66 000 000

Ze względów praktycznych tak zaokrąglone liczby możemy zapisać w skrócie: 66 mln lub

65,8 mln lub 65,85 mln.

Poziom trudności: AZadanie 4.7.1.1Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

a) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do jednego miejsca po przecinku jest

równa 2,2.

b) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do dwóch miejsc po przecinku jest

równa 2,16.

c) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do trzech miejsc po przecinku jest

równa 2,154.

d) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do czterech miejsc po przecinku jest

równa 2,1538.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.1.2Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

a) Liczbę 56 836 w zaokrągleniu do setek możemy zapisać jako 56 800.

b) Liczba 6 455 zaokrąglona do setek jest równa 6,5 tys.

c) Liczba 74 899 654 zaokrąglona do tysięcy jest równa 74 899 000.

(Pokaż odpowiedź)

Definicja: Przybliżenie

Przybliżeniem liczby dodatniej a z ustaloną dokładnością d > 0 jest każda liczba,

która różni się od liczby a o nie więcej niż d.

Przykład 6.Bardzo często używanym w praktyce przybliżeniem liczby π z dokładnością do dwóch miejsc

po przecinku jest liczba 3,14. Jest to liczba mniejsza od π. Mówimy wtedy, że jest to przybliże-

nie z niedomiarem. Archimedes (III w.p.n.e) w obliczeniach przyjmował, że stosunek długości

okręgu do jego średnicy (a więc liczba π) jest równy227 , czyli 3,142857142857 … . Jest to licz-

ba większa od π, a więc jest przybliżeniem liczby π z nadmiarem. Dokładność tego przybliże-

nia jest mniejsza od 0,01 ale większa od 0,001.

Zwróć uwagę, że nie każde przybliżenie jest zaokrągleniem. Liczba227 jest przybliżeniem licz-

by π, ale nie jest jej zaokrągleniem.

Wartości przybliżonych należy używać rozważnie, w przeciwnym razie może to prowadzić do błę-

Przykład 7.

Sprawdź, czy liczba11

2 − √3 jest większa od 41.

W obliczeniach wykorzystamy liczbę 1,73, a więc przybliżenie liczby √3 z dokładnością do dru-

giego miejsca po przecinku.

112 − √3 ≈ 11

2 − 1,73 =11

0,27 = 40,740740...

Stąd można by wywnioskować, że liczba11

2 − √3 jest mniejsza od 41. Wniosek ten jest jednak

błędny.

Wykażemy, że liczba11

2 − √3 jest większa od 41. Usuwając niewymierność z mianownika, otrzy-

mujemy

112 − √3 =

11(2 + √3)(2 − √3)(2 + √3)

=11(2 + √3)

4 − 3 = 11(2 + √3) = 22 + 11√3.

Po odjęciu 22 od obu stron nierówności 22 + 11√3 > 41 otrzymujemy 11√3 > 19, co jest praw-

dą, gdyż

11√3 = √121 ? √3 = √363,

19 = √361.

4.7.2. Błąd bezwzględny, błąd względny

Przykład 1.

Należy pomalować lakierem podłogę w prostokątnym pokoju o wymiarach 5,9 m i 4,35 m.

Powierzchnia podłogi jest równa 5,9 m ∙ 4,35 m = 25,665 m2. W celu oszacowania, ile lakieru

należy kupić, możemy przyjąć, że powierzchnia podłogi jest równa 26 m2. Pomylimy się wte-

dy o 0,335 m2.

Jest to błąd bezwzględny tego przybliżenia.

Definicja: Błąd bezwzględny

Jeżeli liczba ap jest przybliżeniem liczby a, to liczbę | a − ap | nazywamy błędem

bezwzględnym tego przybliżenia.

• Błąd bezwzględny zawsze wyrażamy w takich samych jednostkach jak przybli-

żaną wielkość.

• Błąd bezwzględny jest zawsze liczbą nieujemną.

Przykład 2.Prostokątną podłogę balkonu zmierzono taśmą mierniczą z dokładnością do 1 cm. Okre-

ślono, że podłoga ma wymiary 250 cm na 145 cm. Na tej podstawie obliczono, że pole po-

wierzchni podłogi jest równe 250 cm ∙ 145 cm = 36250 cm2. Jaki największy błąd bezwzględ-

ny mógł być popełniony?

Błąd bezwzględny, błąd względny

Ponieważ pomiaru dokonano taśmą z podziałką centymetrową, zatem możliwy błąd popeł-

niony przy pomiarze długości każdego z boków wynosi 1 cm (z nadmiarem lub z niedomia-

długość podłogi

balkonu (250 cm)szerokość podłogi

balkonu (145 cm)

powierzchnia

(36250 cm2) błąd bezwzględny

249 cm 144 cm 36856 cm2 | 36250 − 36856 | = 394 (cm2)

251 cm 146 cm 36646 cm2 | 36250 − 36646 | = 396 (cm2)

Zatem największy możliwy błąd bezwzględny jest równy 396 cm2.

Przykład 3.

Prostokątna podłoga w sali gimnastycznej długości 24,1 m i szerokości 10,65 m wymaga wy-

miany parkietu. Dokładne pole powierzchni podłogi tej sali jest równe

24,1 m ∙ 10,65 m = 256, 665 m2.

Jeśli przyjmiemy, że pole powierzchni jest równe 257 m2, to popełniony przez nas błąd bez-

względny będzie równy 257 − 256,665 = 0, 335 m2, czyli dokładnie tyle samo, ile błąd bez-

względny obliczony w pierwszym przykładzie.

Błędy bezwzględne w obu przypadkach są równe, ale odnoszą się do różnych wielkości. Obliczmy,

jaką częścią przybliżanej wielkości jest każdy z błędów:

• w przypadku pokoju:0,33525,665 ≈ 0,013053 ≈ 1,3%,

• w przypadku sali gimnastycznej:0,335

256,665 ≈ 0,0013053 ≈ 0,13%.

Możemy więc powiedzieć, że w pewnym sensie błąd popełniony w pierwszej sytuacji jest 10 razy

większy od błędu popełnionego w drugiej sytuacji.

Definicja: Błąd względny

Jeżeli liczba ap jest przybliżeniem liczby a, to liczbę| a − ap |

a nazywamy błędem

względnym tego przybliżenia.

Błąd względny jest wielkością, którą możemy wyrazić w procentach.

Przykład 4.Michał robi zakupy w supermarkecie. Oszacował, że za wybrane produkty będzie musiał za-

płacić 250 zł. Po dokładnym policzeniu okazało się, że koszt zakupów wyniósł 317,78 zł. Przyj-

mując, ze wartością dokładną jest faktyczny koszt zakupu, oblicz błąd względny oszacowania

jakiego dokonał Michał.

Błąd bezwzględny jest równy

| 250 − 317,78 | zł = 67,78 zł.

Błąd względny jest równy

67,78317,78 ≈ 21,33%.

Michał pomylił się o więcej niż 15%.

4.7.3. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.1Zaokrąglenie liczby √23 = 4,79583152 … do drugiego miejsca po przecinku jest równe

a) 4,7

b) 4,795

c) 4,80

d) 4,79

(Pokaż odpowiedź)

Liczbę2514 = 1,7(857142) zaokrąglono do dwunastego miejsca po przecinku. Wskaż ostatnią cy-

frę otrzymanego zaokrąglenia.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.3Przyjmujemy, że pole kwadratu o boku długości 5,62 cm jest równe 32 cm2. Błąd bezwzględny

tego przybliżenia jest równy

a) 0,4156 cm2

b) 0,0844 cm2

c) 0,3844 cm2

d) 0,5844 cm2

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.4Mount Everest, najwyższy szczyt świata ma wysokość 8848 m n.p.m. Jeśli przyjmiemy, że Mo-

unt Everest ma wysokość 8,5 km n.p.m, to błąd względny przybliżenia jest

a) większy od 0,04% , ale mniejszy od 0,4%

b) większy od 0,4% , ale mniejszy od 4%

c) większy od 4%

d) mniejszy od 0,04%

(Pokaż odpowiedź)

Liczba x =38

√3 − 1 spełnia nierówność

a) 54 < x < 55

b) 53 < x < 54

c) 52 < x < 53

d) 51 < x < 52

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.6Zaokrąglij liczbę do dwóch miejsc po przecinku.

(Pokaż odpowiedź)

234,5622a)

32,779b)

23,499c)

6,9888d)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.7Zaokrąglij liczbę 35768914 do podanego rzędu wielkości.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.8Podaj przybliżenie liczby z nadmiarem, z dokładnością do 0,0001.

(Pokaż odpowiedź)

Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.10W hurtowni cena netto 1 l lakieru jest równa 38,70 zł. Na pomalowanie podłogi w szkolnej sali

gimnastycznej potrzeba 26 l lakieru. Do ceny netto lakieru doliczone jest 23% podatku VAT. Ile

trzeba zapłacić za 26 litrów lakieru w tej hurtowni?

(Pokaż odpowiedź)

seteka)

tysięcyb)

milionówc)

√515

2√117

Jakim procentem doby jest 1 godzina?a)

Jakim procentem godziny jest 17 minut?b)

Jakim procentem godziny jest 15 minut i 50 sekund?c)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.11W teleturnieju bierze udział dwóch zawodników. Pytanie w eliminacjach brzmi: „Jaką wysokość

ma najwyższy budynek świata Burj Khalifa w Dubaju? Możesz pomylić się nie więcej niż o 0,5%

”Pierwszy zawodnik podał wysokość 823 m, a drugi 831 m. Który z zawodników zmieścił się w

granicach dopuszczalnego błędu, jeśli rzeczywista wysokość tego budynku to 828 m?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.12Produkowane w Polsce zapałki mają długość około 43 mm i grubość od 1 mm do 1,5 mm.Pako-

wane są najczęściej w pudełka od 38 do 42 sztuk ( w zależności od producenta). Standardowe

pudełko zawiera 40 sztuk zapałek. Na podstawie powyższych informacji oblicz, jaki jest dopusz-

czalny błąd względny liczby zapałek w pudełku, w zależności od producenta.

(Pokaż odpowiedź)

Wykaż, że liczba t =4

3 − √5 spełnia nierówność podwójną 5 < t < 6.

(Pokaż odpowiedź)

Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające układ nierówności1

2 + √3 < x <1

2 − √3 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.15Określ przybliżenie liczby 194,41, które należy podać, aby popełniony błąd względny był równy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 4.7.3.16Przybliżenie liczby π z dowolną dokładnością możemy uzyskać, wykorzystując wzór

0,9%b)

mniej niż 0,5%c)

Zadania

π = √6 ? ( 1

32 + … ).Każde takie przybliżenie z niedomiarem jest tym dokładniejsze, im więcej weźmiemy początko-

wych składników sumy1

32 + … występującej w tym wzorze (jest to suma odwrotności

kwadratów kolejnych liczb całkowitych dodatnich).

Do rozwiązania zadania wykorzystaj kalkulator.

(Pokaż odpowiedź)

Wykorzystaj tylko cztery początkowe składniki sumy1

32 + … , oblicz za pomocą

podanego wzoru przybliżenie liczby π. Sprawdź, czy błąd bezwzględny tego przybliżenia

jest mniejszy od 0,1.

Ile co najmniej początkowych składników sumy należy dodać, aby otrzymać przybliżenie

większe od 3?

Zadania

Rozdział 5. Geometria

5.1. Planimetria. Podstawowe związki napłaszczyźnie

5.1.1. Przystawanie trójkątów

W tym rozdziale przypomnimy podstawowe związki między kątami i bokami w figurach geo-

metrycznych.Udowadniając wiele własności figur geometrycznych, często wykorzystujemy cechy

przystawania trójkątów.

Twierdzenie: Cechy przystawania trójkątów

Przystawanie trójkątów ABC i DEF wynika z każdej z następujących cech przystawania trój-

kątów:

• cecha przystawania bok-bok-bok (bbb)

Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boków jednego trójkąta

są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta.

Geometria

| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | BC | = | EF | .

• cecha przystawania bok-kąt-bok (bkb)

Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości dwóch boków i kąt między

tymi bokami w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi

bokami w drugim trójkącie

| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | ?BAC | = | ?EDF | .

• cecha przystawania kąt-bok-kąt (kbk)

Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boku i miary kątów przyle-

głych do tego boku w jednym trójkącie są odpowiednio równe długości boku i miarom kątów

przyległych do tego boku w drugim trójkącie

Przystawanie trójkątów

| AB | = | DE | , | ?BAC | = | ?EDF | , | ?ABC | = | ?DEF | .

5.1.2. Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie: Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadra-

towi długości przeciwprostokątnej

a2 + b2 = c2.

Dowód

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trze-

ciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przykład 1.Sprawdź, czy trójkąt o bokach 9, 12 i 15 jest trójkątem prostokątnym.

Jeżeli trójkąt będzie prostokątny, to przeciwprostokątną będzie najdłuższy z boków. Obliczmy

kwadraty długości boków.

92 = 81, 122 = 144, 152 = 225 i zauważmy, że

92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152

Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa ten trójkąt jest trójkątem pro-

stokątnym.

Związki miarowe wynikające z twierdzenia Pitagorasa

Przekątna w kwadracie o boku a ma długość

√a2 + a2 = √2a2 = a√2.

Zatem w trójkącie równoramiennym prostokątnym długości boków pozostają w zależności.

Rozważmy teraz trójkąt równoboczny o boku a. Jego wysokość liczymy w następujący sposób

h = √a2 − (a2 )

2= √a2 − a2

4 = √3a2

4 =a√3

Pole trójkąta równobocznego o boku a jest więc równe

P =12a ∙ h =

12 ∙ a ∙ a√3

2 =a2√3

Oznaczmy przez x najkrótszy z boków trójkąta prostokątnego, w którym kąty ostre mają miary

30 ° i 60 ° . Wtedy długości boków tego trójkąta są równe x, 2x, x√3. O takim trójkącie mówi się

czasami, że jest to „trójkąt piękny”.

5.1.3. Dwusieczne kąta

Definicja: Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek kąta i któ-

ra dzieli dany kąt na dwa równe kąty.

Twierdzenie: o punktach leżących na dwusiecznejkąta

Jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta, to jego odległości od obu ramion kąta są równe.

Dwusieczne kąta

Dowód

Dla kątów, których miara jest mniejsza od 180 ° prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

Jeżeli punkt należący do kąta jest równoodległy od jego ramion, to leży na dwusiecznej tego

kąta.

Dwusieczne kąta

Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta

Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest

środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Odcinki łączące środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC z wierzchołkami tego trójkąta po-

dzieliły trójkąt na trzy trójkąty ABS, BCS i ACS.

Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt ABC

(jak na rysunku).

Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów BCS, ACS i ABS

Dwusieczne kąta

PABC = PBCS + PACS + PABS =12ar +

12br +

12cr =

a + b + c2 ∙ r.

Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego bo-

ków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości a, b, c oraz promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wy-

raża się wzorem

P =a + b + c

Gdy oznaczymya + b + c

2 = p, wzór przyjmuje postać P = pr.

Dwusieczne kąta

5.1.4. Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta

Definicja: Symetralna odcinka

Symetralną odcinka AB nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przecho-

dzącą przez jego środek.

Twierdzenie: o punkcie leżącym na symetralnejodcinka

Jeżeli punkt leży na symetralnej odcinka, to jest równoodległy od końców tego odcinka.

Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta

Jeżeli punkt płaszczyzny jest równoodległy od końców odcinka, to leży na symetralnej tego odcin-

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem

okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód

Przypadki szczególne

W trójkącie równobocznym wysokości, dwusieczne kątów, symetralne boków i środkowe po-

krywają się. Stąd:

• środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie pokrywają

• środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie leżą w punk-

cie przecięcia się wysokości,

• środki okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie leżą w punkcie przecięcia środko-

wych. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2 : 1, licząc od wierz-

chołka.

R =23h, r =

13h, h =

a√32 , P =

a2√34

Trójkąt równobocznya)

Trójkąt prostokątnya)

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją

na dwa odcinki równej długości. Wynika stąd, że długość promienia okręgu opisanego na

trójkącie prostokątnym jest równa połowie długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Już wiesz:

Wzory na pola wielokątów

Przykład 1.

Przykład 2.

5.1.5. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.1Dany jest prostokąt ABCD, w którym przekątna BD ma długość 17, a bok AB ma długość 10.

Oblicz długość boku BC.

(Pokaż odpowiedź)

a) Boki prostokąta mają długości 3 i 6. Wtedy kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma

miarę 30 ° .

b) W prostokącie przekątna ma długość 8, a kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma

miarę 30 ° . Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta jest równa 4.

c) W prostokącie przekątna ma długość7√2, a kąt między tą przekątną i jednym z boków ma

miarę 45 ° . Wtedy boki tego prostokąta mają długości 7 i 7√2.

d) W prostokącie dłuższy bok ma długość 4, a kąt między przekątną i krótszym bokiem ma

miarę 60 ° . Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta wynosi 2.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.3W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości ramion | BC | = | AC | = 7 oraz wyso-

kość | CD | = 3. Wówczas

a) pole tego trójkąta wynosi 4√10

b) długość drugiej wysokości tego trójkąta wynosi127 √10

c) długość podstawy AB tego trójkąta wynosi 2√10

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.4Na rysunku przedstawione są kwadraty. Długość boku pierwszego kwadratu jest równa 16.

Wierzchołki drugiego to środki boków pierwszego. Wierzchołki trzeciego to środki boków dru-

giego kwadratu.

Wówczas

a) długość boku trzeciego kwadratu jest równa 8

b) długość odcinka A1A2 jest równa 4√5

c) długość boku drugiego kwadratu jest równa 4√2

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.5Przekątna AC czworokąta ABCD dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Długości trzech jego bo-

ków zostały podane na rysunku. Ile wynosi obwód tego czworokąta?

(Pokaż odpowiedź)

a) Stosunek długości przekątnych rombu wynosi 6 : 8. Wówczas stosunek boku rombu do

dłuższej przekątnej wynosi 5 : 8.

b) Stosunek długości przekątnych rombu wynosi 5 : 8. Obwód rombu jest równy 4√89.

Wynika z tego, że długość dłuższej przekątnej jest równa 10.

c) Obwód prostokąta wynosi 70. Stosunek długości jego boków jest równy 2 : 3. Wówczas

długość krótszego boku tego prostokąta wynosi 21.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

a) Dane są dwa trójkąty równoboczne T1 i T2. Długość boku trójkąta T2 jest o 10% większa

od długości boku trójkąta T1. Wynika stąd, że pole trójkąta T2 jest o 21% większe od pola

trójkąta T1.

b) Wysokość trójkąta równobocznego jest o 2 krótsza od długości boku. Wtedy pole tego

trójkąta wynosi P = 28 + 48√3.

c) Pole trójkąta równobocznego wynosi 9√3. Wówczas bok tego trójkąta ma długość 6.

(Pokaż odpowiedź)

a) Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 7√3 . Wówczas promień okręgu

wpisanego w ten trójkąt jest równy 7.

b) Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 2√3. Wówczas promień okręgu

opisanego na tym trójkącie jest równy 2.

c) Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 15. Wówczas promień okręgu wpisanego w

ten trójkąt jest równy 5, a promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 10.

(Pokaż odpowiedź)

a) Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym wynosi 3 : 5, to

stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości dłuższej

przyprostokątnej trójkąta wynosi 17 : 10.

b) Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 8 i 4√5. Wtedy długość

promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 6.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.11Podstawą AB trójkąta równoramiennego ABM jest dłuższy bok prostokąta ABCD. Wierzchołek

M leży na boku CD, jak pokazano na rysunku.

Obwód tego trójkąta wynosi

a) 10√7 + 12

b) 2√481 + 16

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.12W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są równe 2 i 2√3. Większy z kątów

ostrych w tym trójkącie ma miarę

a) 15 °

b) 30 °

Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego jest prosty. Wysokość opuszczona na

podstawę tego trójkąta jest równa 5. Oblicz długość środkowej tego trójkąta, której jed-

nym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami jest równy 120 ° . Wysokość opusz-

czona na podstawę tego trójkąta jest równa 2. Oblicz długość środkowej tego trójkąta,

której jednym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.

Zadania

c) 60 °

d) 45 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.13Liczby 6,14, x są długościami boków trójkąta równoramiennego. Wtedy x wynosi

a) x = 8

b) x = √113

c) x = 12

d) x = 14

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.14Na rysunku przedstawiony jest prostokąt.

Długość a dłuższego boku oraz długość d przekątnej tego prostokąta wynoszą

a) a =5√3

3 , d = 10

b) a = 5√3, d = 10

c) a = 5√3, d =10√3

d) a =5

√3 , d =5√3

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.15W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 15 i 17. Obwód tego trójkąta jest

równy

a) √514 + 32

b) 39,5

d) 40,5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.16W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków | AB | = | BC | = 10 oraz

| AC | = 14.

Pole tego trójkąta jest równe

a) 28√6

b) 20√6

d) 7√51

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa √212 . Promień r okręgu wpisanego w ten trój-

kąt i promień R okręgu opisanego na tym trójkącie są równe odpowiednio

a) r = √214 , R = √21

b) r = √74 , R = √7

c) r = √218 , R = √21

d) r = √144 , R = √14

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.18W prostokącie długość jednego z boków jest równa 3√2, a przekątna ma długość 3√6. Oblicz

długość drugiego boku prostokąta.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.19Dane są trzy czworokąty. Pierwszy jest prostokątem o bokach długości 2 i 4. Wierzchołki dru-

giego czworokąta to środki boków pierwszego, a wierzchołki trzeciego to środki boków drugie-

go czworokąta. Oblicz sumę obwodów tych wielokątów.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.20W kwadrat wpisano okrąg i na tym samym kwadracie opisano okrąg, jak pokazano na rysunku.

Pole zaznaczonego pierścienia jest równe 5π. Oblicz obwód kwadratu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.21Dany jest równoległobok, w którym jeden z boków ma długość b = 6. Kąt ostry równoległoboku

ma miarę 30 ° , kąt między krótszą przekątną a bokiem a ma miarę 45 ° , jak na rysunku. Oblicz

pole tego równoległoboku.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

W trójkąt równoramienny ABC o podstawie długości | AB | = 6 i ramionach długości

| AC | = | BC | = 5 wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

5.2. Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe

5.2.1. Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe iodpowiadające

Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe

W tej części podręcznika usystematyzujemy zdobyte wcześniej wiadomości na temat własności fi-

gur płaskich i rozszerzymy je w oparciu o nowe narzędzia algebraiczne.

Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające

Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe

• Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ra-

miona dopełniają się do prostej.

• Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłuże-

niem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

Na przykład α i γ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołko-

wych to α i β oraz γ i δ.

Twierdzenie: Suma miar kątów przyległych

Suma miar kątów przyległych jest równa 180 ° .

Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że

α + γ = 180 °

β + γ = 180 ° .

Stąd α = β . Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe są równe.

Przykład 1.Obliczmy miary kątów α, β i γ zaznaczonych na rysunku.

Kąty 47 ° i β są wierzchołkowe, więc β = 47 ° . Każdy z kątów α i γ jest przyległy do kąta 47 ° .

α = γ = 180 ° − 47 ° = 133 ° .

Przykład 2.

Przykład 3.

Definicja: Kąty naprzemianległe iodpowiadające

• Kąty: α i α1, β i β1, γ i γ1 oraz δ i δ1 nazywamy kątami odpowiadającymi.

• Kąty α1 i δ oraz β1i γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

• Kąty β i γ1 oraz α i δ1 nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

Przykład 4.W przypadku, gdy proste k i l są równoległe

• Kąty: α i α1, β i β1, γ i γ1 oraz δ i δ1 są kątami odpowiadającymi.

• Kąty α1 i δ oraz β1i γ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

• Kąty β i γ1 oraz α i δ1 są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

Przykład 5.

Przykład 6.

Przykład 7.

Twierdzenie: Proste równoległe

Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemian-

ległe są równe i kąty odpowiadające są równe.

Twierdzenie: Kąty naprzemianległe

• Jeżeli proste k i l przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty naprzemianległe są

równe, to proste k i l są równoległe.

Twierdzenie: Kąty odpowiadające

• Jeżeli proste k i l przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty odpowiadające są rów-

ne, to proste k i l są równoległe.

Przykład 8.Proste k i l zostały przecięte trzecią prostą. Miary kątów zaznaczono na rysunku. Uzasadnimy,

że proste k i l są równoległe.

Zaznaczmy kąt przyległy do kąta 128 ° . Jego miara jest równa

180 ° − 128 ° = 52 ° .

Dwa kąty odpowiadające mają taką samą miarę 52 ° , skąd wynika, że proste k i l są równo-

ległe.

Przykład 9.Konstrukcja kątów naprzemianległych.

Przykład 10.Konstrukcja kątów odpowiadających.

Poziom trudności: AZadanie 5.2.1.1Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

Dwie proste przecięte trzecią prostą – zmienia się położenie trzeciej prostej. Dany

jest jeden kąt – należy podać miary pozostałych kątów

5.2.2. Kąty w figurach, przekątne

Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180 ° .

Kąty w figurach, przekątne

DowódRozważmy dowolny trójkąt ABC. Rysujemy prostą równoległą do boku AB, która przechodzi

przez wierzchołek C.

Kąty δ i α są równe jako kąty naprzemianległe wewnętrznie. Podobnie ε = β.

Suma miar kątów α, β, γ jest równa 180 ° .

Wiemy już, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 ° . Zastanówmy się teraz, czy można

znaleźć wzór na określenie sumy miar kątów dowolnego wielokąta wypukłego.

W tym celu narysujmy kilka wielokątów i podzielmy każdy z nich na trójkąty. Poprowadzimy

wszystkie przekątne z jednego wierzchołka każdego z wielokątów.

Zauważmy, że liczba utworzonych trójkątów jest o 2 mniejsza od liczby wierzchołków wielokąta.

Zatem n – kąt wypukły można podzielić na (n − 2) trójkąty. Suma miar kątów n − kąta jest więc

równa sumie miar kątów tych trójkątów. W każdym z tych trójkątów suma miar kątów jest równa

180 ° .

Twierdzenie: Suma miar kątów w n-kącie wypukłym

Suma miar kątów w n-kącie wypukłym jest równa (n − 2) ∙ 180 ° .

PrzykładSuma miar kątów dwudziestokąta jest równa (20 − 2) 180 ° = 3240 ° .

Ciekawostka

Twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wielokąta pozostaje również prawdziwe w przypad-

ku, gdy wielokąt nie jest wypukły (jest wklęsły). Aby udowodnić to twierdzenie, można po-

stąpić podobnie jak poprzednio, dzieląc wielokąt na trójkąty. Trudniej jednak opisać ten po-

dział, gdyż nie zawsze da się podzielić wielokąt na trójkąty, wykorzystując przekątne wycho-

dzące z jednego wierzchołka.

Ten wielokąt został podzielony na 9 trójkątów, suma miar jego kątów jest równa 1620 ° .

Wyprowadzimy wzór na liczbę przekątnych dowolnego wielokąta wypukłego. Rozpatrzmy jeden z

wierzchołków takiego wielokąta. Ile przekątnych możemy z niego poprowadzić?

Ten wielokąt ma 9 wierzchołków. Z jednego wierzchołka można poprowadzić 6 przekątnych. Z wy-

branego wierzchołka nie można poprowadzić przekątnych do wierzchołków sąsiednich, ani do te-

go wybranego wierzchołka.

Niech n będzie liczbą naturalną większą od 3. Rozpatrzmy dowolny n-kąt wypukły. Ponieważ

mamy n wierzchołków, a z każdego wierzchołka możemy poprowadzić n − 3 przekątne, więc ze

wszystkich wierzchołków możemy poprowadzić n(n − 3) przekątne. Jednak w ten sposób każdą z

przekątnych policzyliśmy dwukrotnie. Zatem liczba wszystkich przekątnych n-kąta wypukłego jest

równa

n ∙ (n − 3)2 .

Przekątna AB wychodzi zarówno z wierzchołka A, jak i z wierzchołka B.

Twierdzenie: O przekątnych wielokąta

Dowolny n-kąt wypukły man ∙ (n − 3)

2 przekątnych, gdzie n jest liczbą naturalną większą od 3.

Przypomnimy teraz podstawowe własności związane z kątami w czworokątach. Rozważmy dowol-

ny równoległobok i narysujmy proste, na których leżą boki tego równoległoboku.

Zaznaczmy kąty odpowiadające kątowi α. Ponieważ boki równoległoboku są parami równoległe,

zaznaczone na rysunku kąty odpowiadające są równe.

Kąty BCD i α są wierzchołkowe, więc | ?BCD | = α.

Oznaczmy miarę kąta ADC przez β. Miara kąta CBA także jest równa β.

Kąty β i α są przyległe, zatem α + β = 180 ° .

Twierdzenie: Suma miar sąsiednich kątówwewnętrznych w równoległoboku

W równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa 180 ° .

Rozważmy trapez ABCD.

Niech α, β będą kątami ostrymi w tym trapezie. Poprowadźmy proste zawierające boki tego tra-

pezu i zaznaczmy kąty naprzemianległe do kątów α i β. Ponieważ proste AB i CD są równoległe, to

miary odpowiednich kątów naprzemianległych są równe.

Kąt CDA jest przyległy do kąta α, zatem

| ?CDA | = 180 ° − α.

Kąt BCD jest przyległy do kąta β, zatem

| ?BCD | = 180 ° − β.

Twierdzenie: Suma miar kątów przy jednymramieniu trapezu

W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa 180 ° .

Rozpatrzmy romb ABCD. Wykreślmy przekątną rombu jak na rysunku i zaznaczmy powstałe kąty

naprzemianległe. Ponieważ proste AB i CD są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.

W rombie wszystkie boki są równe, więc trójkąt ACD jest równoramienny, a jako równoramienny

ma kąty przy podstawie AC równe, czyli α = β. Przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta DCB i

DAB. Podobnie, przekątna DB zawiera się w dwusiecznej kąta ADC i (ABC).Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Romb jest równoległobokiem, więc

| ?ADS | =180 ° − 2α

| ?ADS | = 90 ° − α.

W trójkącie ADS kąt DAS ma miarę α, a kąt ADS ma miarę 90 ° − α.

Zatem miara kąta ASD jest równa

180 ° – (α + 90 ° − α) = 90 ° .

Możemy więc sformułować twierdzenie

Twierdzenie: Kąt przecięcia przekątnych rombu

Przekątne rombu zawierają się w dwusiecznych jego kątów wewnętrznych i przecinają się

pod kątem prostym.

Przypomnijmy znane wzory na pola czworokątów.

• Pole równoległoboku

P = a ∙ h,

gdzie a jest długością jednego z boków oraz h jest wysokością opuszczoną na ten bok.

Umieśćmy równoległobok ABCD w prostokącie AECF, jak pokazano na rysunku. Trójkąty ADF i CBE

są przystające, czyli

| BE | = | DF | .

Oznaczmy | BE | = x

Pole równoległoboku ob liczymy odejmując od pola prostokąta sumę pól trójkątów ADF i CBE. Z

tych trójkątów można utworzyć prostokąt o bokach h, x. Pole równoległoboku jest równe

P = (a + x)h − xh = ah.

• Pole trójkąta

P =12a ∙ h,

gdzie a jest jednym z boków trójkąta, a h jest wysokością opuszczoną na ten bok.

Podzielmy równoległobok ABCD przekątną DB na dwa trójkąty. Zauważmy, że trójkąty ABD i BCD

są przystające, ponieważ mają te same długości boków. Zatem pole trójkąta jest równe połowie

pola równoległoboku.

P =a ∙ h

• Pole trapezu

P =a + b

2 ∙ h,

gdzie a, b są długościami podstaw trapezu, a h jest jego wysokością.

Dzielimy trapez przekątną na dwa trójkąty. Jeden z nich ma podstawę a, drugi podstawę b oraz

oba mają tę samą wysokość h.

P = P1 + P2 =12ah +

12bh =

a + b2 ∙ h

Pole czworokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym

P =d1 ∙ d2

gdzie d1, d2 są przekątnymi tego czworokąta.

Czworokąt ABCD umieścimy w prostokącie EFGH, którego boki są równoległe do przekątnych.

Prostokąt EFGH jest podzielony na cztery prostokąty. Otrzymujemy cztery pary trójkątów przysta-

jących:

• trójkąt ASD jest przystający do trójkąta DHA,

• trójkąt CSD jest przystający do trójkąta DGC,

• trójkąt CSB jest przystający do trójkąta BFC,

• trójkąt ASB jest przystający do trójkąta BEA.

Pole czworokąta ABCD jest więc dwa razy mniejsze od pola prostokąta EFGH, skąd otrzymujemy

P =d1 ∙ d2

5.2.3. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.1Na rysunku podane są miary kątów α, β, γ. Czy wynika z tego, że punkty A, B, C są współlinio-

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.2Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.3Na rysunku podane są miary kątów α, β. Czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.4Proste k i l są równoległe. Miary kątów α, β podano na rysunku. Czy wynika stąd, że γ = 125 °oraz δ = 143 ° ?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

a) Jeden z kątów trójkąta ma miarę 50 ° . Miara kąta między dwusiecznymi pozostałych

kątów wewnętrznych tego trójkąta jest równa 115 ° .

b) Kąty między jednym z boków trójkąta ostrokątnego i wysokościami opuszczonymi na

pozostałe boki mają miary 35 ° oraz 45 ° . Kąt leżący naprzeciw tego boku ma miarę 80 ° .

c) Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku 1 : 2 : 3. Wtedy najmniejszy kąt ma miarę

20 ° .

d) W trójkącie miara jednego kąta jest dwa razy większa od miary drugiego i trzy razy

mniejsza od miary trzeciego kąta. Wtedy największy kąt ma miarę 120 ° .

(Pokaż odpowiedź)

a) W pewnym wielokącie wypukłym suma miar kątów wynosi 1620 ° . Liczba boków tego

wielokąta jest równa 11.

b) W osiemnastokącie foremnym miara kąta wewnętrznego wynosi 160 ° .

c) W dziesięciokącie wypukłym suma miar kątów jest równa 1800 ° .

(Pokaż odpowiedź)

a) Pewien wielokąt wypukły ma 35 przekątnych. Liczba boków tego wielokąta jest równa 7.

b) Liczba przekątnych wielokąta wypukłego jest cztery razy większa od liczby jego boków.

Wielokątem tym jest jedenastokąt.

c) W siedemnastokącie wypukłym liczba przekątnych jest równa 119.

(Pokaż odpowiedź)

a) Różnica miar przeciwległych kątów trapezu równoramiennego wynosi 24 ° . Wówczas

miara kąta wewnętrznego przy dłuższej podstawie trapezu jest równa 102 ° .

Zadania

b) Z wierzchołka kąta rozwartego równoległoboku poprowadzono dwie wysokości, które

tworzą kąt o mierze 30 ° . Wtedy miara kąta ostrego tego równoległoboku wynosi 60 ° .

c) Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 40 ° .

Wówczas kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy 140 ° .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.9W trapezie równoramiennym ABCD podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD. Prze-

kątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta DAB. Pole trapezu jest równe 27√3 . Wtedy

a) długość ramienia trapezu jest równa 6

b) przekątna AC dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden ma pole dwa razy większe od

drugiego

c) ramię trapezu jest dwa razy dłuższe od krótszej podstawy

(Pokaż odpowiedź)

a) W sześciokącie foremnym o boku długości 3, długość krótszej przekątnej jest równa 6.

b) W pięciokącie foremnym kąt między dwiema przekątnymi poprowadzonymi z tego

samego wierzchołka jest równy 36 ° .

c) W dowolnym wielokącie foremnym wszystkie przekątne przecinają się w jednym punkcie.

(Pokaż odpowiedź)

a) W równoległoboku o obwodzie równym 154, wysokości spełniają warunekh1h2

=34 . Wtedy

krótszy bok ma długość 44.

b) W deltoidzie przekątne mają długości 10 i 7. Wtedy pole tego deltoidu wynosi 70.

c) Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt

równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 8. Wtedy obwód trapezu ma długość

20 + 4√3.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.12Dziewięciokąt ABCDEFGHI jest foremny. Wynika stąd, że

a) miara kąta ABC wynosi 150 °

b) suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wielokąta jest równa 1620 °

c) wielokąt ten ma 27 przekątnych

d) z wierzchołka D można poprowadzić 9 przekątnych

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.13Jeden z kątów trójkąta ma miarę 72 ° . Jeden z pozostałych jest 5 razy większy od drugiego. Mia-

ry tych kątów to

a) 28 ° i 80 °

b) 21 ° i 105 °

c) 18 ° i 90 °

d) 20 ° i 100 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.14Dwa sąsiednie kąty równoległoboku różnią się o 20 ° . Kąt ostry tego równoległoboku ma miarę

a) 80 °

b) 60 °

c) 40 °

d) 20 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.15W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów CAB i ABC. Dwusieczne te przecinają się w

punkcie P. Kąt APB jest

a) mniejszy lub równy 60 °

b) ostry, ale większy od 60 °

Zadania

c) prosty

d) rozwarty

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.16Obwód sześciokąta foremnego jest równy 36. Pole tego sześciokąta jest równe

a) 54√3

b) 27√3

c) 18√3

d) 9√3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.17Stosunek długości boków równoległoboku jest równy 3 : 5, a krótsza z jego wysokości ma dłu-

gość 6. Wówczas druga wysokość jest równa

d) 3,6

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.18Dany jest trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie AB . Ramię AD jest prostopadłe do

podstaw, a długość boku BC jest dwa razy większa od różnicy długości podstaw trapezu. Kąt

ABC ma miarę

a) 75 °

b) 60 °

c) 45 °

d) 30 °

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.19Przekątna BD rombu ABCD ma taką samą długość jak bok rombu. Wynika stąd, że

a) obwód rombu jest równy 2 | AC |

b) pole rombu jest równe | BD |2

c) | ?ABC | = 120 °

d) | AC | = 2 | BD |

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.20Na rysunku przedstawiony jest trójkąt ABC.

a) | ?CAB | = 146 °

b) | ?CAB | = 68 °

c) | ?CAB | = 56 °

d) | ?CAB | = 34 °

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.21Punkty E i F są środkami boków prostokąta ABCD.

Jaką częścią pola prostokąta jest pole trójkąta AFE?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.22Ile boków ma wielokąt foremny, którego każdy kąt wewnętrzny ma miarę 160 ° ?

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym | AD | = | DC | = 3.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.24Podstawy trapezu mają długości 6 i 10. Miary kątów przy dłuższej podstawie są równe 30 ° i

60 ° . Oblicz pole trapezu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.2.3.25W trapezie ABCD poprowadzono krótszą przekątną, która podzieliła go na trójkąt prostokątny

i trójkąt równoboczny. Oblicz miary kątów tego trapezu. Rozważ wszystkie przypadki.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.26Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45 ° , a jego pole jest równe 72√2. Oblicz długość

boku tego rombu.

(Pokaż odpowiedź)

Czy wysokość tego trapezu może być równa 4? Odpowiedź uzasadnij.a)

Uzasadnij, że przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta DAB.b)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.2.3.27Trapez prostokątny ABCD podzielono na trzy figury o równych polach, tak jak na rysunku. Dłu-

gość boku kwadratu CDEF jest równa 6. Oblicz obwód i pole trapezu ABCD.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.28Jaka jest miara kąta pomiędzy dwiema przekątnymi różnej długości poprowadzonymi z tego

samego wierzchołka sześciokąta foremnego ?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.29Udowodnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku są prostopadłe.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

5.3. Przystawanie trójkątów

5.3.1. Przykłady

W poniższych przykładach pokażemy zastosowanie cech przystawania trójkątów w zadaniach na

dowodzenie.

Przykład 1.W równoległoboku ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie M. Wykaż, że trójkąty

ABM i CDM są przystające.

Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, a zatem boki AB i CD są równe oraz zawierają się

w prostych równoległych. Wynika stąd, że kąty CAB i DCA mają równe miary oraz kąty DBA i

BDC mają równe miary.

Stąd i z równości

| AB | = | CD | ,

wynika, że trójkąty ABM i CDM są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy kąt-bok-kąt.

Uwaga. Z przystawania trójkątów ABM i CDM wynika, że | AM | = | MC | i

| BM | = | MD | . Prawdziwe jest zatem poniższe twierdzenie.

Twierdzenie: Przekątne w równoległoboku

W dowolnym równoległoboku przekątne dzielą się na połowy.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie: Czworokąt, który jestrównoległobokiem

Czworokąt, którego przekątne dzielą się na połowy jest równoległobokiem.

DowódDla dowodu rozpatrzmy czworokąt ABCD, którego przekątne AC i BD przecinają się w punk-

cie P będącym środkiem każdej z nich. Wtedy

| AP | = | CP | , | DP | = | BP |

| ?APD | = | ?BPC | ,

Przykłady

jako kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty APD i BPC są przystające, co stwierdzamy na mocy

cechy bok-kąt-bok.

Wobec tego | AD | = | BC | , a także | ?PAD | = | ?PCB | , stąd wniosek, że proste

AD i BC są równoległe.

Skoro dwa boki czworokąta ABCD są równe i równoległe, to jest on równoległobokiem, co

kończy dowód.

Przykład 2.• W trójkącie ABC środek boku AB jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C.

Wykaż, że boki AC i BC tego trójkąta są równe.

Oznaczmy przez D środek boku AB. Trójkąty ADC i BDC są prostokątne. Mają wspólną przy-

prostokątną DC, a także | AD | = | DB | .

Przykłady

Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bok-kąt-bok). Stąd wynika, że

| AC | = | BC | . To spostrzeżenie kończy dowód.

• W trójkącie ABC spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C na bok AB jest taki

punkt P, że kąty ACP i BCP mają równe miary. Wykaż, że

| AC | = | BC | .

Trójkąty APC i BPC są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną PC, a także kąty ACP i BCP

mają równe miary.

Trójkąty te są zatem przystające (na mocy cechy kąt-bok-kąt). Stąd | AC | = | BC | .

Koniec dowodu.

• W trójkącie ABC boki AC i BC są równe. Wykaż, że spodkiem wysokości opuszczonej

z wierzchołka C tego trójkąta jest środek boku AB.

Oznaczmy przez E spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka C na bok AB.

Przykłady

Wtedy z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych AEC i BEC mamy odpowiednio

| AE |2

+ | EC |2

= | AC |2

| BE |2

+ | EC |2

= | BC |2,

| AE |2

= | AC |2

− | EC |2

| BE |2

= | BC |2

− | EC |2.

Skoro | AC | = | BC | , to | AE |2

= | BE |2. Uwzględniając, że | AE | > 0 oraz

| BE | > 0, otrzymujemy | AE | = | BE | , czyli punkt E jest środkiem boku AB, co nale-

żało wykazać.

Ponieważ odpowiednie boki w trójkątach AEC i BEC są równe, to na mocy cechy bok-bok-bok

stwierdzamy, że trójkąty te są przystające. Wynika z tego, że

| ?CAE | = | ?CBE | ,

| ?ACE | = | ?BCE | .

Przykłady

Twierdzenie: Trójkąt równoramienny

W dowolnym trójkącie równoramiennym

• kąty wewnętrzne przy podstawie są równe,

• środek podstawy jest spodkiem wysokości opuszczonej na tę podstawę,

• wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta wspólnego dla ramion zawiera się w dwu-

siecznej tego kąta.

Przykład 3.W prostokącie ABCD przekątne AC i BD przecinają się pod kątem prostym. Wykaż, że

| AB | = | BC | .

Oznaczmy przez P punkt przecięcia przekątnych AC i BD prostokąta ABCD. Jest on środkiem

każdej z tych przekątnych, bo czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

Zauważmy, że punkt P jest spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie ABC z wierzchoł-

ka B na bok AC. Wobec tego trójkąt ABC jest równoramienny i

| AB | = | BC | .

To spostrzeżenie kończy dowód.

Udowodniliśmy więc, że prostokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym jest

kwadratem.

Przykłady

Przykład 4.W równoległoboku ABCD przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta BAD. Wykaż, że prze-

kątne AC i BD tego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.

Oznaczmy przez α miarę każdego z kątów, na które dwusieczna AC podzieliła kąt BAD

| ?CAB | = α, | ?CAD | = α.

| ?ACD | = α

| ?ACB | = α.

Trójkąty ABC i ADC są zatem równoramienne, bo w każdym z nich kąty przy podstawie AC

mają miarę równą α. Zatem

| AB | = | BC | = | CD | = | AD |

Wynika z tego, że spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka B trójkąta ABC na pod-

Przykłady

stawę AC jest środek M odcinka AC, który jest również spodkiem wysokości poprowadzonej

z wierzchołka D trójkąta ADC na podstawę AC.

Wobec tego miary kątów BMA i AMD sumują się do kąta półpełnego, zatem punkt M leży na

przekątnej BD.

To oznacza, że przekątne AC i BD równoległoboku przecinają się pod kątem prostym. Koniec

dowodu.

Uwaga. Wykazaliśmy, że jeżeli w równoległoboku ABCD przekątna AC zawiera się w dwu-

siecznej kąta BAD, to równoległobok ABCD jest rombem.

Przykład 5.W trójkącie prostokątnym ABC punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka

kąta prostego C na przeciwprostokątną AB. Punkt E jest symetryczny do punktu D względem

prostej AC, a punkt F jest symetryczny do punktu D względem prostej BC.

Wykażemy, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej.

Zauważmy, że prosta AC jest symetralną odcinka DE. Wynika stąd, że

Przykłady

| AE | = | AD | ,

| CE | = | CD | .

Wobec tego trójkąty EAC i DAC są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok-bok-bok.

Zauważmy też, że prosta BC jest symetralną odcinka DF. Wynika stąd, że

| BF | = | BD | ,

| CF | = | CD | .

Zatem trójkąty FBC i DBC są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok-bok-bok.

W trójkącie ABC kąt ACB jest prosty. Oznaczmy przez α miarę kąta CAB. Wtedy

| ?CBA | = 90 ° – α.

Przykłady

W trójkącie prostokątnym ADC kąt przy wierzchołku D jest prosty i

| ?CAD | = α,

| ?DCA | = 90 ° – α.

Wobec tego

| ?ECA | = 90 ° – α.

(bo DCA i ECA to odpowiednie kąty w trójkątach przystających EAC i DAC).

W trójkącie prostokątnym BDC kąt przy wierzchołku D jest prosty i

| ?DBC | = 90 ° – α.

| ?BCD | = α.

Wobec tego

| ?BCF | = α,

(bo ?BCD i ?BCF to odpowiednie kąty w trójkątach przystających FBC i DBC).

Obliczmy miarę kąta ECF. Mamy

| ?ECF | = | ?ECA | + | ?ACB | + | ?BCF | = (90 ° – α ) + 90 ° + α = 180 ° .

Wynika z tego, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej, a to właśnie należało udowodnić.

Przykłady

Przykład 6.Na bokach AC i BC trójkąta ostrokątnego ABC zbudowano kwadraty ACDE i BCFG.

Wykażemy, że odcinki BD i AF mają równe długości.

Oznaczmy

| AC | = b, | BC | = a , | ?ACB | = γ.

Czworokąt ACDE jest kwadratem, więc | CD | = | AC | = b. Czworokąt BCFG jest rów-

nież kwadratem, więc

| CF | = | BC | = a.

Ponadto

| ?DCB | = | ?DCA | + | ?ACB | = 90 ° + γ

| ?ACF | = | ?ACB | + | ?BCF | = γ + 90 ° .

Przykłady

Wobec tego

| CD | = | AC | = b

| ?DCB | = | ?ACF | = 90 ° + γ

| CB | = | CF | = a,

więc trójkąty DCB i ACF są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.

Wynika z tego, że | BD | = | AF | (bo są to odpowiednie boki w trójkątach przysta-

jących).

To kończy dowód.

Przykłady

Przykład 7.Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są

współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M taki, że

| AM | = | CN | .

Wykaż, że

| BM | = | MN | .

Oznaczamy

| AB | = | BC | = | CA | = a, | AM | = | CN | = x.

• sposób I

Wybierzmy na boku BC taki punkt D, że odcinki MD i AB są równoległe.

Przykłady

| ?CMD | = | ?CAB | = 60 ° ,

czyli trójkąt CMD jest równoboczny, a jego bok jest równy a – x. Zatem

| MD | = | CM | = a – x,

| BD | = | BC | – | CD | = a – (a – x) = x , | CN | = x,

| ?BDM | = 120 ° , | ?NCM | = 120 ° ,

więc trójkąty BDM i MCN są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.

Wobec tego odcinki BM i MN są równe.

Koniec dowodu.

• sposób II

Przedłużamy bok AC o odcinek CN’ tak, że

| MN' | = a.

Przykłady

Wtedy w trójkącie NCN’ mamy

| CN | = | CN’ | = x

| ?NCN’ | = 60 ° ,

więc trójkąt NCN’ jest równoboczny.

Wynika z tego, że

| NN’ | = x.

| MN’ | = | AB | = a,

| NN’ | = | MA | = x,

| ?MN’N | = 60 ° , | ?BAM | = 60 ° ,

więc trójkąty MN’N i BAM są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.

Wobec tego odcinki BM i MN są równe. Koniec dowodu.

• sposób III

Na boku AB odkładamy taki punkt M', że

| AM' | = | AM | = x.

Przykłady

Wówczas trójkąt AMM’ jest równoboczny, a jego bok jest równy x.

Wynika z tego, że

| MM’ | = x , | ?BM’M | = 120 ° .

Wobec tego

| MM’ | = | NC | = x

| M’B | = | CM | = a – x

| ?MM’B | = 120 ° , | ?NCM | = 120 ° ,

więc trójkąty MM’B i NCM są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.

Zatem odcinki BM i MN są równe.

Koniec dowodu.

Przykłady

5.3.2. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.1W trójkącie nierównoramiennym ABC punkt D jest środkiem boku AB. Wykaż, że odległości

punktów A i B od prostej CD są równe.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.2Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wykaż, że wszystkie przekątne tego pięciokąta są równe.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.3Ośmiokąt ABCDEFGH jest foremny. Wykaż, że czworokąt ACEG jest kwadratem.

(Pokaż odpowiedź)

Na przekątnej AC równoległoboku ABCD wybrano punkty E i F, takie że | AE | = | CF | .

Wykaż, że | BF | = | DE | .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.5W trapezie równoramiennym ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Na przekątnych

AC i BD wybrano punkty odpowiednio P i Q tak, że | AP | =13 | AC | i | BQ | =

13 | BD | .

Wykaż, że | AQ | = | BP | .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.6Na bokach AB, BC, CD i DA kwadratu ABCD wybrano takie punkty odpowiednio K, L, M i

N, że | AK | = 3 | KB | , | BL | = 3 | LC | , | CM | = 3 | MD | i | DN | = 3 | NA | .

Wykaż, że czworokąt KLMN jest kwadratem.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.7Na bokach AB i BC kwadratu ABCD zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne AEB i BFC.

Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.8Czworokąty ABCD i APQR, przedstawione na rysunku, są kwadratami.

Wykaż, że | BP | = | DR | .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.9Na odcinku AC wybrano punkt B różny od końców tego odcinka. Trójkąty ABD i BCE są równo-

boczne.

Wykaż, że | AE | = | CD | .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.10Trójkąty ABC i BDE, przedstawione na rysunku, są równoboczne.

Wykaż, że | AE | = | DC | .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.11W trójkącie równoramiennym ABC boki AC i BC są równe. Na podstawie AB i ramieniu BC zbu-

dowano trójkąty równoboczne ABK i BCL, jak przedstawiono na rysunku.

Wykaż, że | AL | = | CK | .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.12Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij, że

| AC | = | FG | .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.13W trójkącie ostrokątnym ABC na bokach BC i AC leżą odpowiednio takie punkty D i E, że

| AD | = | BE | i | ?ADC | = | ?BEC | = 110 ° . Wykaż, że trójkąt ABC jest równoramien-

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.14W trójkącie prostokątnym ABC punkt D leży na przeciwprostokątnej AB. Punkt E jest symetrycz-

ny do punktu D względem prostej AC, a punkt F jest symetryczny do punktu D względem pro-

stej BC.

Wykaż, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.15Na bokach AB i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty ABKL i CDMN.

Wykaż, że trójkąty BNK i DLM są przystające.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.16Na bokach trójkąta równobocznego ABC, przedstawionego na rysunku, zbudowano kwadraty

ABDE, CBGH i ACKL.

Wykaż, że trójkąt KGE jest równoboczny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.17Na ramionach AC i BC trójkąta równoramiennego ABC zbudowano kwadraty ACKL i BCMN. Wy-

każ, że trójkąty MLA i KNB są przystające.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.18Wewnątrz kwadratu ABCD wybrano takie punkty M i N, że trójkąty ABM i BCN są równoboczne

(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt DNM jest równoboczny.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.19Na rysunku przedstawiony jest trójkąt prostokątny ABC. Punkt C jest wierzchołkiem kąta pro-

stego. Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty ACKL i CBMN.

Wykaż, że suma odległości punktów L i M od prostej AB jest równa długości przeciwprostokąt-

nej AB.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.20Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD, przedstawionego na rysunku, zbudowano trójkąty

równoboczne BCK i CDL.

Wykaż, że dwusieczna kąta LAK dzieli odcinek KL na połowy.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.21Punkty A, B, C leżą na jednej prostej, a czworokąty ABDE i BCFG przedstawione na rysunku są

kwadratami.

Punkt K jest środkiem odcinka AG, punkt L jest środkiem odcinka DC. Wykaż, że

| ?KBL | = 90 ° .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.22W trójkącie ostrokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 45 ° . Wysokości BD i CE tego

trójkąta przecinają się w punkcie H.

Wykaż, że | AH | = | BC | .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Trójkąt ABC, przedstawiony na rysunku, jest równoramienny i | AC | = | BC|. Punkty C, B,

M są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt N tak, że | AN | = | BM | . Proste NM i AB

przecinają się w punkcie P. Wykaż, że | NP | = | PM | .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

W prostokącie ABCD, przedstawionym na rysunku, dane są długości boków | AB | = 3 i

| BC | = 1. Punkty E i G leżą na boku AB, a punkty F i H leżą na boku CD tak, że czworokąty

AEFD, EGHF i GBCH są kwadratami.

Wykaż, że | ?AED | + | ?AGD | + | ?ABD | = 90 ° .

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.25Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Punkty M i K leżą na bokach odpowiednio BC i CD tego kwa-

dratu, przy czym | ?BAM | = 12 ° oraz | ?DAK | = 33 ° .

Wykaż, że w trójkącie MAK wysokość opuszczona z wierzchołka A na bok MK ma długość 1.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

5.4. Podobieństwo trójkątów

5.4.1. Cechy podobieństwa trójkątów

Przykład 1.

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie dłu-

gości każdego boku trójkąta ABC dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku

trójkąta ABC trzy razy.

Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjo-

nalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.

Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykła-

dami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejsza-

Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów

• Cecha bok-bok-bok (bbb)

Podobieństwo trójkątów

Jeżeli każdy bok trójkąta A'B'C' jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta ABC, to

trójkąty te są podobne.

• Cecha bok-kąt-bok (bkb)

Cechy podobieństwa trójkątów

Jeżeli dwa boki trójkąta A'B'C' są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków trójkąta

ABC oraz kąt między tymi bokami w trójkącie A'B'C' jest równy kątowi między odpowiednimi

bokami w trójkącie ABC, to trójkąty te są podobne.

• Cecha kąt-kąt-kąt (kkk)

Jeżeli trzy kąty trójkąta A'B'C' są równe trzem kątom trójkąta ABC, to trójkąty te są podobne.

Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty A'B'C' oraz ABC są podobne, przy czym wierzchołki A, B, C odpowiadają wierz-

chołkom odpowiednio A', B', C', to

| A'B' || AB |

=| B'C' || BC |

=| C'A' || CA |

| ?A | = | ?A' | , | ?B | = | ?B' | , | ?C | = | ?C' | .

Skalą k podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w

trójkątach podobnych

| A'B' || AB |

=| B'C' || BC |

=| C'A' || CA |

Zauważ, że trójkąty podobne w skali k = 1 są przystające.

Podobieństwo trójkątów A'B'C' oraz ABC symbolicznie oznaczamy

∆ A'B'C'~ ∆ ABC.

5.4.2. Przykłady

Przykład 1.Czy trójkąty ABC i DEF są podobne?

Tak. Trójkąty ABC i DEF są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt. W każdym z tych

trójkątów miary kątów są równe 35 ° , 55 ° oraz 90 ° .

Trójkąty ABC i DEF nie są podobne. Każdy z nich ma kąt o mierze 115 ° . Jednak sto-

sunki długości odpowiadających sobie boków tych trójkątów nie są równe. Rzeczywi-

ście| FE || AB |

| DF || AC |

=32 , a

65 ≠ 3

Przykłady

Przykład 2.

Obliczymy stosunki długości odpowiadających sobie boków trójkątów ABC i DEF.

84 = 2,

105 = 2,

126 = 2.

Trójkąty te na mocy cechy bok − bok − bok są podobne w skali k = 2.

Przykład 3.Trójkąt ABC ma boki długości 15, 20, 25. Trójkąt EFG jest do niego podobny. Najkrótszy bok

w trójkącie EFG ma długość 30. Obliczmy stosunek obwodu trójkąta EFG do obwodu trójkąta

ABC i stosunek pola trójkąta EFG do pola trójkąta ABC.

Najkrótszy bok w trójkącie EFG odpowiada najkrótszemu bokowi trójkąta ABC. Skala podo-

bieństwa trójkąta EFG do trójkąta ABC jest więc równa

k =3015 = 2.

Pozostałe boki trójkąta EFG mają długości

20 ∙ 2 = 40, 25 ∙ 2 = 50.

Obliczamy obwody trójkątów i stosunek tych obwodów

LABC = 15 + 20 + 25 = 60

LEFG = 30 + 40 + 50 = 120

LEFGLABC

=12060 = 2 = k.

Przykłady

Zauważmy, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym

152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252.

Zatem trójkąt EFG do niego podobny też jest trójkątem prostokątnym.

Własność tę wykorzystamy, obliczając pola trójkątów i ich stosunek.

PABC =15 ? 20

2 = 150

PEFG =30 ? 40

2 = 600

PEFGPABC

=600150 = 4 = k2

Stosunek obwodu trójkąta EFG do obwodu trójkąta ABC jest równy 2, a stosunek pola trój-

kąta EFG do pola trójkąta ABC jest równy 4.

Przykłady

5.4.3. Własności podobieństwa

Twierdzenie: Własności podobieństwa

Jeżeli trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC w skali podobieństwa k, to stosunek obwo-

dów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi

skali podobieństwa

LA'B'C'LABC

PA'B'C'PABC

Rozważmy trójkąty prostokątne A'B'C' oraz ABC podobne w skali k. Wysokości tych trójkątów za-

znaczone na rysunku są równe odpowiednio h' i h.

Zauważmy, że skoro trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC, to

| C'A' || CA |

| ?ACD | = | ?A'C'D' | , | ?CDA | = | ?C'D'A' | = 90 ° .

| ?CAD | = | ?C'A'D' | = 90 ° − | ?A'C'D' | .

Na mocy cechy podobieństwa kąt − bok − kąt trójkąt A'C'D' jest podobny do trójkąta ACD i skala

podobieństwa wynosi k. Stąd

Własności podobieństwa

h'h = k,

czyli stosunek długości wysokości w trójkątach podobnych jest taki sam jak stosunek długości bo-

PA'B'C' =12c'h' =

12kc ∙ kh =

12ch ∙ k2 = PABC ∙ k2

PA'B'C'PABC

Stosunek pól trójkątów podobnych jest więc równy kwadratowi skali podobieństwa.

LA'B'C' = a' + b' + c' = ka + kb + kc = k(a + b + c) = k ∙ LABC

LA'B'C'LABC

Stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa.

Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Zaznaczmy w nim środki dwóch boków i połączmy je odcinkiem.

Taki odcinek nazywamy linią środkową trójkąta.

Zauważmy, że trójkąty DCE i ABC są podobne na mocy cechy bok − kąt − bok. Kąt DCE jest wspólny

dla obu trójkątów oraz

| DC || AC |

=| EC || BC |

Z definicji podobieństwa wynika, że| DE || AB |

=12 . Mamy też równość kątów

| ?CDE | = | ?CAB | , | ?CED | = | ?CBA | .

Ponieważ punkty C, D, A są współliniowe, więc kąty CDE i CAB są odpowiadające. Stąd wynika rów-

noległość DE i AB.

Twierdzenie: o linii środkowej trójkąta

Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie jest równoległy do trzeciego boku trójkąta i

jest od niego dwa razy krótszy.

Podstawy trapezu ABCD mają długości a oraz b. Punkt E jest środkiem boku AD, a punkt F jest

środkiem boku CB. Odcinek łączący środki ramion trapezu nazywamy linią środkową w trapezie.

Obliczymy jego długość.

Poprowadźmy przekątną AC i oznaczmy przez G jej środek.

Odcinek EG jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie ADC. Stąd EG jest równoległy do

podstawy trapezu DC oraz

| EG | =12a.

Podobnie odcinek GF jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta ABC, czyli jest równoległy do

podstawy trapezu AB oraz

| GF | =12b.

Ponieważ oba odcinki EG i GF są równoległe do podstaw trapezu, więc punkty E, G, F leżą na jed-

nej prostej.

| EF | = | EG | + | GF | =12a +

a + b2 .

Stąd twierdzenie:

Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie

Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego dłu-

gość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.

a) Jeżeli DB ? CE oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka AB

jest równa 9.

b) W trójkącie ABC bok BC ma długość 6. Prosta równoległa do boku AC dzieli bok AB tego

trójkąta w stosunku 2 : 3, licząc od wierzchołka A. Wtedy bok BC zostanie podzielony przez

tę prostą na odcinki długości 2,4 oraz 3,6.

c) Jeżeli DE ? AC oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka x jest

równa 5.

d) Jeżeli DE ? AB oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka AD jest

równa 6.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.2Punkty K, L i M dzielą ramię AC trójkąta ABC na odcinki równej długości. Punkty N, O i P wy-

brano na boku BC tak, że odcinki MN, LO i KP są równoległe do podstawy AB (patrz rysunek).

Długość odcinka MN jest równa 2.

a) | KP | = 8

b)PCMNPABC

c) | LO | = 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.3W trapezie ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Ramiona AD i BC mają długości

| AD | = 10, | BC | = 12. Proste zawierające te ramiona przecinają się w punkcie S i

| SD | = 15. Wówczas

a) Długość odcinka SC jest równa 18.

b)PSABPSDC

c) Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SAB w skali35 .

(Pokaż odpowiedź)

a) W trójkącie prostokątnym ABC stosunek długości przyprostokątnych AB i AC jest równy

15 : 8. Poprowadzono wysokość AD. Pole trójkąta ACD jest równe 16. Wtedy pole trójkąta

ABC jest równe 72,25.

b) W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a i b wysokość poprowadzona z

wierzchołka kąta prostego jest równaab

√a2 + b2 .

c) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 6. Wtedy wysokość

poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości

√5 i 2√5.

(Pokaż odpowiedź)

a) Trójkąt ABC jest równoramienny o ramionach długości 25 i podstawie długości 30. Wtedy

wysokości w tym trójkącie są równe 20 i 24.

b) Odcinki | AD | = 6 i | BE | = 7 są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC, którego

bok BC ma długość 8. Wtedy, | AC | =283 .

(Pokaż odpowiedź)

W trapezie ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Punkt przecięcia przekąt-

nych trapezu dzieli każdą z nich w stosunku 2 : 3. Krótsza podstawa trapezu ma długość

5. Oblicz długość drugiej podstawy.

W trapezie ABCD podstawy mają długości | AB | = 9 i | CD | = 3. Przekątna BD ma

długość 8. Na jakie odcinki dzieli tę przekątną prosta AC?

W trapezie ABCD podstawy mają długości | AB | = 8 i |CD | = 2. Przekątne AC i BD

przecinają się w punkcie S. Trójkąt SAB ma pole równe 10. Oblicz pole trójkąta SCD.

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych | AB | = 4 i | AC | = 7 wpisano kwa-

drat, tak jak na rysunku. Oblicz długość boku tego kwadratu.

W trójkąt ABC o podstawie | AB | = 40 i wysokości równej 16 opuszczonej z wierzchoł-

ka C na tę podstawę wpisano prostokąt, tak jak na rysunku. Długości odcinków EF i DE

pozostają w stosunku 2 : 5. Znajdź długości boków prostokąta DEFG.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.8Odpowiedz na pytania.

W trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt ACB jest prosty, wpisano kwadrat DEGF o boku

długości 4. Bok GF kwadratu leży na przeciwprostokątnej AB trójkąta. Wierzchołki E, D le-

żą odpowiednio na przyprostokątnych AC i CB. Odcinek AG jest równy 2. Oblicz pole trój-

kąta ABC.

W trapezie ABCD długość podstawy AB jest równa 28, a długości ramion trapezu AD i BC

są odpowiednio równe 20 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, mają równe

miary. Oblicz obwód tego trapezu.

(Pokaż odpowiedź)

a) Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych wynosi 144 : 225. Wówczas stosunek

obwodów tych trójkątów jest równy 12 : 15.

b) W trójkącie ABC poprowadzono odcinek DE równoległy do podstawy AB, który ramię CB

podzielił w stosunku 1 : 4, licząc od wierzchołka C. Wówczas pole trójkąta DEC stanowi1

pola trójkąta ABC.

c) Stosunek długości przekątnych dwóch prostokątów podobnych jest równy 4 : 7. Wówczas

stosunek pól tych prostokątów jest równy 4 : 7.

(Pokaż odpowiedź)

Dwa trójkąty podobne ABC i BDE umieszczono obok siebie (patrz rysunek) tak, że punkty

A, B i D leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M są odpowiednio środkami odcinków AB, BD

i CE. Udowodnij, że trójkąt KLM jest podobny do każdego z trójkątów ABC i BDE.

Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie S i zachodzi równość

| AS | ∙ | DS | = | BS | ∙ | CS | . Udowodnij, że czworokąt ABCD jest trapezem.

a) Wysokość trapezu jest równa 4, a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 5.

Wtedy pole tego trapezu jest równe 20.

b) W trapezie o podstawach długości a i b (gdzie b > a) odcinek łączący środki przekątnych

ma długośćb − a

c) Ramiona trapezu mają długości 3 i 5, a obwód trapezu jest równy 20. Wtedy długość

odcinka łączącego środki ramion tego trapezu jest równa 12.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.11Odcinki DE i BC są równoległe oraz | DB | = 8, | DE | = 12, | BC | = 16.

Wówczas długość odcinka AD jest równa

(Pokaż odpowiedź)

Prosta równoległa do boku AB trójkąta ABC odcina z niego trójkąt, którego pole stanowi14 pola

trójkąta ABC. Wynika stąd, że ta prosta dzieli boki AC i BC w stosunku

a) 1 : 4

b) 1 : 3

c) 1 : 2

d) 1 : 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.13W prostokącie ABCD o bokach długości 6 i 8 odległość wierzchołka D od przekątnej AC jest rów-

a) 4√3

c) 4,8

d) 7,5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.14W trapezie ABCD podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD. Punkt S jest punktem prze-

cięcia się przekątnych. Wówczas stosunek| DS || DB |

jest równy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.15Drzewo rzuca cień długości 12 m. W tym samym czasie stojący obok człowiek o wzroście

180 cm rzuca cień długości 120 cm. Drzewo ma wysokość

a) 18 m

b) 12 m

c) 9 m

d) 8 m

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.16Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 8. Krótsza podstawa ma długość 2. Wtedy

długość dłuższej podstawy jest równa

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.17W trójkąt równoboczny o boku długości 4 wpisano kwadrat, w taki sposób, że jego dwa wierz-

chołki leżą na jednym z boków trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki leżą na pozostałych dwóch

ramionach trójkąta.

Długość boku kwadratu jest równa

a) 2√3

b) √32

c) 4√3 − 6

d) 8√3 − 12

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.18Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 10 i ramionach długości 13. Wysokość

opuszczona na ramię tego trójkąta jest równa

a)12013

b)6013

c)15610

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.19Trójkąt ABC ma boki długości 3,5,7. W trójkącie A'B'C',podobnym do trójkąta ABC, najkrótszy

bok ma długość 412 . Obwód trójkąta A'B'C' jest równy

b) 3334

c) 2212

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.20Suma obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równa 20. Stosunek pól tych trójkątów jest

równy 16 : 1. Obwody tych trójkątów są równe

a) 4 i 16

b) 2 i 18

c) 6 i 14

d) 8 i 12

(Pokaż odpowiedź)

W trójkącie ABC długości boków są równe | AC | = 6, | BC | = 9 oraz | AB | = 12. Na bo-

kach AC i BC wybrano punkty D i E, które podzieliły te boki w stosunku 1 : 2, licząc od wierz-

chołka C. Oblicz obwód trójkąta DEC.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.22Punkty D i E leżą na boku AC trójkąta ABC i dzielą go w stosunku 1 : 2 : 3, licząc od wierzchołka

C. Przez punkty D i E poprowadzono proste równoległe do boku AB. Oblicz, w jakim stosunku

pozostają pola figur, na jakie te proste podzieliły trójkąt ABC.

(Pokaż odpowiedź)

W trapezie ABCD o podstawach długości | AB | = 18 i | CD | = 6 przedłużono ramiona do

punktu S ich przecięcia. Długości odcinków DS i CS są równe | DS | = 3 i | CS | = 5. Oblicz

długości ramion trapezu ABCD.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.24Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Punkt D jest spodkiem

wysokości poprowadzonej z wierzchołka C tego trójkąta. Wykaż, że

| CD | = √ | AD | ∙ | BD | .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.25W trapezie ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 10. Przekątne tego trapezu przecinają się w

punkcie S, który dzieli każdą z nich w stosunku 3 : 5. Oblicz długość krótszej podstawy.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.26W trójkącie ABC podstawa AB ma długość 24, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest

równa 9. W trójkąt ten wpisano prostokąt DEFG, taki jak na rysunku. Boki tego prostokąta po-

zostają w stosunku 3 : 4, przy czym dłuższy bok leży na podstawie trójkąta ABC. Oblicz pole

wpisanego prostokąta.

(Pokaż odpowiedź)

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym kąt ACB jest prosty oraz | AC | = 5 i

| BC | = 12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H należy do prostej AB i | ?HEA | = 90 ° . Ob-

licz pole trójkąta HAE.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.28Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC poza punkt C, wybrano punkt P

, taki że | AC | = 3 | CP | . Znajdź stosunek pola trójkąta DCP do pola równoległoboku ABCD

(Pokaż odpowiedź)

W trójkącie ABC środkowa CD ma długość 8. Punkt K leży na środkowej CD i | CK | = 2. Na

boku AC leży taki punkt M, że proste MK i BC są równoległe. Oblicz | AM | : | MC | .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.30W rombie ABCD kąt przy wierzchołku A jest ostry. Na boku AB leży taki punkt E, że proste DE

i AB są prostopadłe. Przekątna AC przecina odcinek DE w punkcie F, przy czym | DF | = 13 i

| FE | = 12. Oblicz pole tego rombu.

(Pokaż odpowiedź)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości | AC | = 13,6 i | BC | = 25,5.

Punkt D leży na przeciwprostokątnej AB i | AD | = 8,5. Na przyprostokątnej AC leży taki punkt

E, że proste DE i AC są prostopadłe. Na przyprostokątnej BC leży taki punkt F, że proste DF i BC

są prostopadłe. Oblicz pole czworokąta DFCE.

(Pokaż odpowiedź)

W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 12 i | BC | = 16. Punkt E leży na

boku AB i | AE | = 8. Punkt F leży na boku BC i | CF | = 4. Proste DE i DF przecinają prze-

kątną AC w punktach odpowiednio K i L. Wykaż, że | AK | = 2 | LC | .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.33W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę większą od kąta przy wierzchołku B. Punkt K

jest środkiem boku AB. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta, poprowadzona z wierzchoł-

ka C, przecina bok AB w punkcie D, przy czym | AD | : | DB | = 5 : 11. Symetralna boku AB

przecina bok BC w punkcie L i przedłużenie boku AC w punkcie M. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)

W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 20, | CD | = 5. Prze-

kątne AC i BD przecinają się w punkcie S. Prosta równoległa do podstawy AB i przechodząca

przez punkt S przecina ramiona AD i BC w punktach odpowiednio K i L. Oblicz długość odcinka

(Pokaż odpowiedź)

| BL | : | LC |a)

| AC | : | CM |b)

| KL | : | LM |c)

W trójkącie ABC dane są długości boków | AC | = 8, | BC | = 12 i | AB | = 10. Na bokach

AB, BC i CA wybrano odpowiednio takie punkty D, E i F, że czworokąt CFDE jest rombem. Oblicz

długość boku tego rombu oraz długości odcinków DB i DA.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.36Na bokach AB, BC i AC trójkąta ABC leżą odpowiednio takie punkty D, E i F, że prosta DE jest

równoległa do boku AC i prosta DF jest równoległa do boku BC. Pole trójkąta ADF jest równe

18, a pole trójkąta BDE jest równe 50. Oblicz pole trójkąta ABC.

(Pokaż odpowiedź)

5.5. Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu

5.5.1. Kąty w okręgu

Definicja: Kąt wpisany w okrąg

Kątem wpisanym w okrąg nazywamy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a jego

ramionami są półproste zawierające dwie cięciwy tego okręgu.

Punkty A i C wyznaczają dwa łuki na okręgu. Mówimy, że kąt wpisany α jest oparty

na łuku AC, mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku, na którym nie leży wierzcho-

łek B (łuk zawarty w kącie ABC). Czasem mówimy też, że kąt α jest oparty na cięciwie

Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu

5.5.2. Kąt środkowy, kąt wpisany

Definicja: Kąt środkowy okręgu

Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okrę-

Mówimy, że kąt środkowy α jest oparty na łuku AC, mając na myśli łuk zaznaczony

na rysunku.

• w przypadku kątów mniejszych niż 180 ° , kąt środkowy jest oparty na krót-

szym z łuków AC,

• w przypadku kątów większych niż 180 ° , kąt środkowy oparty jest na dłuższym

z łuków AC.

• W przypadku kąta równego 180 ° , kąt środkowy oparty jest na półokręgu.

Kąt środkowy, kąt wpisany

Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku

okręgu.

• I przypadek

Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.

Na okręgu o środku w punkcie S i promieniu r zaznaczmy punkty A, B i C. Niech α będzie kątem

środkowym opartym na łuku AB, a β niech będzie kątem wpisanym opartym na tym samym łuku

Oznaczmy γ = | ?CAS | oraz δ = | ?SBC | . Poprowadźmy z punktu C promień okręgu. Utwo-

rzone w ten sposób trójkąty ACS oraz BCS są równoramienne. Zatem w każdym z tych trójkątów

miary kątów przy podstawie są równe.

Zatem | ?ACS | = | ?CAS | = γ i | ?BCS | = | ?CBS | = δ .

| ?ASC | = 180 ° − 2γ, | ?BSC | = 180 ° − 2δ.

Suma miar kątów ASC, BSC, ASB jest równa 360 °

| ?ASC | + | ?BSC | + | ?ASB | = 360 °

180 ° − 2γ + 180 ° − 2δ + α = 360 °

α = 2γ + 2δ = 2(γ + δ),

γ + δ = β,

α = 2β.

• II przypadek

Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.

Trójkąt BCS jest równoramienny, stąd | ?SBC | = β. Zatem

| ?BSC | = 180 ° − 2β.

Z drugiej strony | ?BSC | + α = 180 ° .

Zatem 180 ° − 2β + α = 180 ° , więc w tym przypadku także

α = 2β.

• III przypadek

Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.

Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt C.

Oznaczmy przez γ kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem AC kąta wpisanego, jak na ry-

sunku.

Zauważmy, że kąt ASD jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt γ i jest to sytu-

acja opisana w przypadku II. Zatem

| ?ASD | = 2γ.

Kąt γ + β jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy 2γ + α i jest to sytu-

acja opisana w przypadku II. Zatem

2(γ + β) = 2γ + α.

Stąd ponownie otrzymujemy

α = 2β.

Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.

Twierdzenie: o kącie środkowym i wpisanym

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Z tego twierdzenia wynikają wprost twierdzenia zapisane poniżej.

Twierdzenie: o kątach wpisanych opartych na tymsamym łuku okręgu

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary.

Twierdzenie: o kącie wpisanym opartym na średnicyokręgu

Kąt wpisany oparty na półokręgu ma miarę 90 ° .

PrzykładNa rysunku przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie S i trójkąty ABC i

ADC wpisane w ten okrąg. Obliczmy miary kątów trójkąta ABC .

Kąt ACB jest wpisany i oparty na średnicy. Zatem

| ?ACB | = 90 ° .

Kąt wpisany ABC jest oparty na tym samym łuku okręgu, co kąt wpisany

ADC. Kąty mają tę samą miarę

| ?ABC | = 56 °

| ?CAB | = 180 ° − 90 ° − 56 ° = 34 ° .

5.5.3. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Rozważmy prostą oraz okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Prosta oraz okrąg, leżące w tej

samej płaszczyźnie, mogą mieć jeden punkt wspólny, mogą mieć dwa punkty wspólne lub nie ma-

ją punktów wspólnych.

Wzajemne położenie prostej i okręgu

prostej

Liczba punktów

wspólnych pro-

stej i okręgu

Interpretacja graficzna

Sieczna

okręgudwa

A, B – punkty wspólne prostej i okręgu

Styczna

do okrę-

A – punkt wspólny prostej i okręgu

Rozłączna

z okrę-

Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Twierdzenie: Styczna do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia tego okręgu poprowadzonego z punktu

styczności.

Rozważmy okrąg o środku w punkcie S i promieniu r oraz punkt A leżący na zewnątrz tego

okręgu. Poprowadźmy dwie styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt A. Punkty styczno-

ści oznaczmy B i C.

Poprowadźmy odcinek AS . Trójkąty ABS i ACS są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną

SA. Przyprostokątne SB i SC mają taką samą długość r. Obliczając z twierdzenia Pitagorasa trzeci

z boków w obu trójkątach, otrzymujemy

| AB | = √ | AS |2

− r2,

| AC | = √ | AS |2

− r2,

| AB | = | AC | .

Twierdzenie: o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie C, to odcinki AB i AC są

równej długości.

Rozważmy dwa okręgi: jeden o środku w punkcie S1 i promieniu r1, drugi o środku w punkcie S2 i

promieniu r2, przy czym S1 ≠ S2. Dwa okręgi mogą mieć dwa punkty wspólne, jeden punkt wspól-

ny lub nie mają punktów wspólnych.

Wzajemne położenie dwóch okręgów o różnych promieniach

Nazwa okrę-

Liczba

punktów

wspólnych

Zależność między środkami

S1, S2 okręgów a ich promie-

niami r1, r2

Interpretacja graficzna

Okręgi prze-

cinające siędwa | r1 − r2 | < | S1S2 |

< r1 + r2

Okręgi stycz-

ne zewnętrz-

jeden | S1S2 | = r1 + r2

Okręgi stycz-

ne we-

wnętrznie

jeden 0 < | S1S2 | = | r1 − r2 |

Okręgi roz-

łączne ze-

wnętrznie

zero | S1S2 | > r1 + r2

Okręgi roz-

łączne we-

wnętrznie

zero | S1S2 | < | r1 − r2 |

5.5.4. Wycinek i odcinek koła

Przypomnijmy wzory na pole i obwód koła.Pole koła P = πr2 oraz obwód koła L = 2πr, gdzie

π ≈ 3,14159 jest stałą matematyczną definiowaną jako stosunek obwodu koła do jego średnicy.

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa pro-

mienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywa-

my kątem wycinka.

Wycinek i odcinek koła

Przykład 1.Obliczmy pole wycinka koła o promieniu 3, którego kąt jest równy α = 45 ° .

Zastanówmy się, jaką częścią całego koła jest ten wycinek.

Zauważmy, że45 °

360 ° =18 . Zatem pole wycinka stanowi ósmą część pola koła.

Pwycinka =18Pkoła

Pwycinka =18πr2

Pwycinka =18 ∙ π ∙ 32 =

Definicja: Pole wycinka

Pole wycinka koła o promieniu r i kącie α jest równe

Pwycinka = α360 ° ∙ πr2

Definicja: Odcinek koła

Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa

wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.

Obliczymy pole odcinka koła.

• przypadek I

Środek koła leży na zewnątrz odcinka koła. Wtedy pole tego odcinka jest mniejsze od połowy pola

koła.

Połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trój-

kąta równoramiennego ASB, a kąt α między ramionami SA i SB jest kątem wycinka koła ASB. Pole

odcinka koła obliczymy, odejmując od pola wycinka pole trójkąta ASB.

Podcinka = Pwycinka − Ptrójkąta

• przypadek II

Środek koła leży wewnątrz odcinka koła. Pole odcinka jest wtedy większe od połowy pola koła. Tak

jak poprzednio, połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięci-

wą są bokami trójkąta równoramiennego ASB. Między ramionami SA i SB znajduje się kąt α. Pole

odcinka koła obliczymy, dodając pole trójkąta ASB do pola wycinka.

Podcinka = Pwycinka + Ptrójkąta.

• przypadek III

Środek koła leży na cięciwie AB.

Cięciwa AB jest wtedy średnicą koła o promieniu r. Każdy z dwóch wyznaczonych przez nią odcin-

ków koła jest półkolem o poluπr2

5.5.5. Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Przykład 1.W trójkącie prostokątnym ABC dane są długości przyprostokątnych

| AC | = 16, | BC | = 30.

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długość promienia

okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu na nim opisanego jest środkiem prze-

ciwprostokątnej.

Z twierdzenia Pitagorasa

| AB |2

= 162 + 302.

Po uwzględnieniu, że | AB | > 0, otrzymujemy | AB | = 34. Zatem promień R okręgu

opisanego na tym trójkącie jest równy 17.

Niech S i r oznaczają odpowiednio środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Okrąg

ten jest styczny do przyprostokątnych AC i BC w punktach odpowiednio D i F, a do przeciw-

prostokątnej w punkcie E, jak na rysunku.

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że

| CD | = | CF | , | BE | = | BF | , | AD | = | AE | .

Czworokąt SDCF jest kwadratem o boku r. Zatem

| CD | = | CF | = r

| BE | = | BF | = 16 − r.

Ponieważ

| AB | = | AE | + | BE |

| AD | = | AE | = 30 − r,

16 − r + 30 − r = 34.

Stąd r = 6.

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych

długości a i b i przeciwprostokątnej długości c, otrzymujemy związek między długościami bo-

ków trójkąta prostokątnego i promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

c = a − r + b − r

Twierdzenie: Promień okręgu wpisanego w trójkątprostokątny

Promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz

przeciwprostokątnej długości c jest równy

r =a + b − c

5.5.6. Zadania

a) Punkt S jest środkiem okręgu. Wówczas zaznaczony na rysunku kąt α ma miarę 145 ° .

b) Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie S (zobacz rysunek). Wtedy kąt α ma

miarę 52 ° .

Zadania

c) Kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu. Suma ich miar jest

równa 150 ° . Wówczas miara kąta wpisanego jest równa 100 ° .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.2Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Miara kąta ASC jest równa 120 ° , a kąt ASB jest prosty

(jak na rysunku).

a) | ?CAB | = 60 °

b) | ?SCB | = 15 °

c) | ?ACB | = 45 °

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.3Odcinek AC jest średnicą okręgu o środku S, punkty B i D leżą na tym okręgu. Kąty w tym okręgu

zaznaczono na rysunku.

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

a) β = 110 °

b) γ = 35 °

c) α = 55 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.4Połącz w pary określenie wzajemnego położenia dwóch okręgów z odpowiednimi własnościa-

mi tych okręgów.

I. promienie okręgów są równe r1 = 2, r2 = 4√2 − 2, a odległość między środkami

| S1S2 | = 4√2

okręgi są styczne wewnętrzniea)

okręgi są styczne zewnętrznieb)

okręgi są rozłączne wewnętrznie (jeden okrąg leży w drugim)c)

okręgi przecinają sięd)

okręgi są rozłączne zewnętrznie (jeden leży na zewnątrz drugiego)e)

Zadania

II. promienie okręgów są równe r1 = √3 + 4, r2 = 5√3, a odległość między środkami

| S1S2 | = 4√3

III. promienie okręgów są równe r1 = 2, r2 = 7 ,a odległość między środkami

| S1S2 | = 10

IV. promienie okręgów są równe, r1 = 2, r2 = 5, a odległość między środkami

| S1S2 | = 1

V. promienie okręgów są równe r1 = 3 − √2, r2 = 2 + √ 2, a odległość między środkami

| S1S2 | = 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.5Trzy okręgi, każdy o promieniu 1, są styczne zewnętrznie każdy do każdego. Okręgi wpi-

sano w prostokąt, jak na rysunku. Oblicz długość boków tego prostokąta.

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Trzy okręgi, każdy o promieniu 1, są parami styczne zewnętrznie. Każdy z tych okręgów

jest wewnętrznie styczny do czwartego okręgu, jak na rysunku. Uzasadnij, że promień

czwartego okręgu jest równy 1 +2√3

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.6Poprowadzono styczne do okręgu o środku S, w punktach A i B, które przecięły się w punkcie

O. Odcinek AO ma długość 12. Przez punkt C, leżący na krótszym z łuków AB, poprowadzono

styczną do okręgu, która przecina odcinki OA i OB w punktach D i E (jak na rysunku). Oblicz

obwód trójkąta DEO.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.7W okręgu o promieniu 13 poprowadzono cięciwę długości 24. Oblicz odległość środka okręgu

od tej cięciwy.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.8Na rysunku jest przedstawiony kąt o wierzchołku O oraz okrąg o środku S i promieniu 4, stycz-

ny w punktach A i B do ramion tego kąta.

a) pole zaznaczonego wycinka ASB jest równe 3,2π

b) punkty A i B dzielą okrąg na dwa łuki długości 2,4π oraz 5,6π

c) kąt wypukły ASB ma miarę 144 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.9Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej AB w punkcie D

takim, że | AD | = 4 i | BD | = 21. Suma długości przyprostokątnych tego trójkąta jest rów-

na 31. Wtedy

a) pole trójkąta ABC jest równe 84

b) długości przyprostokątnych trójkąta ABC różnią się o 17

c) promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest równy 3

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.10Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P. Wykaż,

że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Odległość środków dwóch kół jest równa 2 i promień każdego z nich jest równy 2. Oblicz

pole części wspólnej tych kół.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8. Trzy półokręgi, których

średnicami są boki tego trójkąta, wyznaczają figurę zaznaczoną na rysunku (są to tzw.

księżyce Hipokratesa). Oblicz pole tej figury.

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.12Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O. Punkt C leży na tym okręgu. Punkty D, E i F leżą

na okręgu o środku S.

Wówczas

a) α = 90 ° , β = 55 ° , γ = 130 °

b) α = 85 ° , β = 40 ° , γ = 50 °

Zadania

c) α = 90 ° , β = 55 ° , γ = 50 °

d) α = 90 ° , β = 45 ° , γ = 30 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.13Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara

kąta SAB jest równa

a) 15 °

b) 30 °

c) 60 °

d) 120 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.14Pole wycinka koła o promieniu 3 i kącie 40 ° jest równe

a) 81π

b) 9π

c) 3π

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.15Odległość środków S1 i S2 dwóch przecinających się okręgów jest równa √17. Promienie tych

okręgów mogą być równe

a) r1 = 1 i r2 = 3

b) r1 = √17 i r2 = 2√17

c) r1 = 2 i r2 = 7

d) r1 = 3 i r2 = 6

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.16Kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu. Wynika z tego, że miara kąta

środkowego jest większa od miary kąta wpisanego o

a) 200%

b) 150%

c) 100%

d) 50%

(Pokaż odpowiedź)

Kąt środkowy, oparty na łuku stanowiącym5

18 długości okręgu, ma miarę

a) 110 °

b) 100 °

c) 80 °

d) 50 °

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.18Dwa okręgi o promieniach 3 i 5 są zewnętrznie styczne. Każdy z nich jest styczny wewnętrznie

do okręgu o promieniu 10. Środki tych wszystkich trzech okręgów tworzą trójkąt, którego ob-

wód jest równy

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.19Środek okręgu o promieniu 10 jest oddalony od cięciwy AB tego okręgu o 6. Długość tej cięciwy

jest równa

Zadania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.20Dane są trzy okręgi o środkach S1, S2, S3 i promieniu 4. Każdy z tych okręgów przechodzi przez

środki dwóch pozostałych.

Pole zacienionej figury (zwanej trójkątem Rellaux) jest równe

a) 8π + 8√3

b)8π3 + 8√3

c)8π3 − 8√3

d) 8π − 8√3

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.21Odległość między środkami stycznych wewnętrznie okręgów o promieniach r i R jest równa 7.

Odległość między środkami stycznych zewnętrznie okręgów o promieniach r i R jest równa 23.

Promienie r i R mają długości

a) 11 i 12

b) 10 i 13

c) 8 i 15

d) 6 i 17

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.22Dany jest okrąg o środku S i promieniu 17 oraz dwie równoległe cięciwy tego okręgu, każda o

długości 30. Oblicz odległość między tymi cięciwami.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.23Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do jego boków w punktach D, E i F tak, jak pokazano

na rysunku. Długości odcinków BE, CF i AD są równe | BE | = 10, | CF | = 5 oraz

| AD | = 6. Oblicz obwód trójkąta ABC.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.24Punkty A i B leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 110 ° . Oblicz miarę kąta,

pod jakim przecinają się styczne do tego okręgu poprowadzone przez punkty A i B.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.25Na okręgu koła o promieniu 5 leżą punkty A, B, C (patrz rysunek). Oblicz pole zacieniowanego

odcinka koła.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.26Dwa okręgi o promieniach 2 i 6 są styczne zewnętrznie, a także są styczne do ramion kąta (patrz

rysunek). Oblicz odległości środków tych okręgów od wierzchołka kąta.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.27Dwa okręgi o promieniach 5 i 13 są współśrodkowe. Oblicz długość cięciwy większego okręgu,

która jest styczna do mniejszego okręgu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.28Do okręgu o promieniu 8 poprowadzono styczne odpowiednio w punktach A i B. Styczne te

przecinają się w punkcie O. Długości odcinków AO i BO tych stycznych są równe 15. Oblicz dłu-

gość odcinka AB.

(Pokaż odpowiedź)

W okręgu o środku S dane są kąty środkowe ASB oraz BSC takie, że | ?ASB | = 32 ° oraz

| ?BSC | = 70 ° . Oblicz miary kątów trójkąta ABC.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

Poziom trudności: BZadanie 5.5.6.30Dane są dwa okręgi: pierwszy o środku S1 i promieniu 2, a drugi o środku S2 i promieniu 6. Od-

ległość między środkami tych okręgów jest równa 10. Wspólna styczna do tych okręgów prze-

cina prostą S1S2 w punkcie O. Oblicz długości odcinków S1O i S2O . Rozważ dwa przypadki.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.5.6.31Trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach odpowiednio równych 2, 3, 10 są parami styczne

zewnętrznie. Punktami styczności są punkty D, E, F. Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt ABC jest

styczny do jego boków w punktach D, E, F.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

5.6. Stereometria

5.6.1. Siatki i modele brył

Stereometria

Siatki i modele brył

Słowniczek

Twierdzenie:

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego

między tymi bokami.Przy oznaczeniach takich jak na rysunku

PABC =12absinγ.

Twierdzenie: Cechy przystawania trójkątów

Przystawanie trójkątów ABC i DEF wynika z każdej z następujących cech przystawania trój-

kątów:

• cecha przystawania bok-bok-bok (bbb)

Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boków jednego trójkąta

są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta.

Słowniczek

| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | BC | = | EF | .

• cecha przystawania bok-kąt-bok (bkb)

Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości dwóch boków i kąt między

tymi bokami w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi

bokami w drugim trójkącie

| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | ?BAC | = | ?EDF | .

• cecha przystawania kąt-bok-kąt (kbk)

Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boku i miary kątów przyle-

głych do tego boku w jednym trójkącie są odpowiednio równe długości boku i miarom kątów

przyległych do tego boku w drugim trójkącie

Słowniczek

| AB | = | DE | , | ?BAC | = | ?EDF | , | ?ABC | = | ?DEF | .

Twierdzenie: Działania na pierwiastkach

Jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, k jest do-

datnią liczbą naturalną, to

• n√a ∙ b =n√a ∙ n√b

• n√ ab =

n√an√b

, b ≠ 0

• (n√a)n

• (n√a)k

=n√ak

•n√m√a =

n ∙ m√a

Jeśli w powyższym twierdzeniu liczby n i m (stopnie pierwiastków) są nieparzyste, to twier-

dzenie pozostanie prawdziwe również dla ujemnych liczb podpierwiastkowych (a lub b) .

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej a i dowolnych liczb wymiernych x i y prawdziwe są

równości

• ax ∙ ay = ax + y (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)

Słowniczek

• ax

ay = ax − y (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)

• (ax)y

= ax ∙ y (wzór na potęgę potęgi)

Twierdzenie: Działania na potęgach

• Iloczyn potęg o tych samych podstawach

ność

an ∙ am = an + m.

• Iloraz potęg o tych samych podstawach

ność

Słowniczek

am = an − m.

• Potęga potęgi

ność

Słowniczek

= an ∙ m.

• Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

równość

Słowniczek

an ∙ bn = (a ∙ b)n.

• Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

równość

Słowniczek

bn = ( ab )

Definicja: Dziedzina

Zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy

nazywamy dziedziną funkcji.

Definicja: Funkcja

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu ele-

mentowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.

Symbolicznie piszemy f : X → Y. Czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

• Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji f.

• Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który

został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy

wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y = f(x). Zbiór

Z tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Słowniczek

Definicja: Funkcja malejąca

f(x1) > f(x2),

to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale ? a, b ? .

Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami

Jeśli funkcja, której dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każ-

dym z nich funkcja ta była monotoniczna, to powiemy, że jest ona monotoniczna

przedziałami.

Definicja: Funkcja niemalejąca

Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a; b ? ta-

f(x1) ≤ f(x2),

to mówimy, że funkcja f jest niemalejąca w przedziale ? a, b ? .

Słowniczek

Przykład

Definicja: Funkcja nierosnąca

f(x1) ≥ f(x2),

To mówimy, że funkcja f jest nierosnąca w przedziale ? a, b ? .

Słowniczek

Przykład

Definicja: Funkcja rosnąca

f(x1) < f(x2),

to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ? a, b ? .

Słowniczek

Przykład

Definicja: Funkcja stała

f(x1) = f(x2),

Słowniczek

to funkcję f nazywamy stałą w przedziale ? a, b ? .

Definicja: Kąty naprzemianległe iodpowiadające

• Kąty: α i α1, β i β1, γ i γ1 oraz δ i δ1 nazywamy kątami odpowiadającymi.

• Kąty α1 i δ oraz β1i γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

• Kąty β i γ1 oraz α i δ1 nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

Słowniczek

Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe

• Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ra-

miona dopełniają się do prostej.

• Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłuże-

niem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

Na przykład α i γ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołko-

wych to α i β oraz γ i δ.

Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0 nazywamy miejscem ze-

rowym tej funkcji.

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trze-

ciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Słowniczek

Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta

Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest

środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Odcinki łączące środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC z wierzchołkami tego trójkąta po-

dzieliły trójkąt na trzy trójkąty ABS, BCS i ACS.

Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt ABC

(jak na rysunku).

Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów BCS, ACS i ABS

Słowniczek

PABC = PBCS + PACS + PABS =12ar +

12br +

12cr =

a + b + c2 ∙ r.

Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego bo-

ków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe są równe.

Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie

Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego dłu-

gość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.

Słowniczek

Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem

okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód

Słowniczek

Twierdzenie: Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadra-

towi długości przeciwprostokątnej

a2 + b2 = c2.

Dowód

Słowniczek

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości a, b, c oraz promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wy-

raża się wzorem

P =a + b + c

Gdy oznaczymya + b + c

2 = p, wzór przyjmuje postać P = pr.

Definicja: Pole wycinka

Pole wycinka koła o promieniu r i kącie α jest równe

Pwycinka = α360 ° ∙ πr2

Definicja: Potęga o wykładniku1n

Dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n większej od 1 przyjmujemy

n√a.

Definicja: Proporcjonalność prosta

Funkcja f, opisująca zależność między dodatnimi wielkościami wprost proporcjonal-

nymi x i y nazywana jest proporcjonalnością prostą, a ilorazyx nazywamy współ-

czynnikiem tej proporcjonalności. Oznaczając ten współczynnik przez a, zapisujemy

funkcję f wzorem

f(x) = ax,

gdzie x > 0.

Uwaga: Wprost z definicji wynika, że a > 0.

Słowniczek

PrzykładSiła grawitacji F działająca na Ziemi (wyrażona w niutonach) na cia-

ło o masie m (wyrażonej w kilogramach) jest określona wzorem:

F(m) = g ? m,

gdzie g to przyspieszenie ziemskie.

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej

proporcjonalności jest g.

Do szacowania wartości siły F przyjmuje się, że g = 10 m / s2.

Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz

tych wielkości jest stały.

PrzykładRowerzysta jechał przez 2 godziny ze stałą prędkością, przy czym

w ciągu 10 minut przejechał 3 km. Prędkość rowerzysty jest zatem

równa

10km / min = 18 km / h.

Przebyta przez tego rowerzystę droga s jest wprost proporcjonal-

na do czasu jazdy t.

Zależność tę możemy zapisać za pomocą wzoru s(t) = 18 t, gdzie

• s oznacza drogę wyrażoną w kilometrach, natomiast

• t czas wyrażony w godzinach.

Za pomocą tego wzoru obliczymy, że:

• w ciągu minuty rowerzysta pokonywał 300 m, bo

s( 160 ) =

160 ? 18 =

310 km = 300 m,

• w ciągu 2 godzin rowerzysta przejechał 36 km, bo

s(2) = 18 ? 2 km = 36 km.

Słowniczek

Twierdzenie: Własności podobieństwa

Jeżeli trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC w skali podobieństwa k, to stosunek obwo-

dów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi

skali podobieństwa

LA'B'C'LABC

PA'B'C'PABC

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa pro-

mienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywa-

my kątem wycinka.

Słowniczek

Twierdzenie: Wykres funkcji f(x) = ax

Wykresem funkcji f(x) = ax, gdzie a to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu

y = ax.

Reguła: zaokrąglania liczb

Jeżeli liczbę dodatnią zaokrąglamy do ustalonego rzędu wielkości, np. do tysięcy, setek, dzie-

siątek, jedności, części dziesiątych, części setnych itd., to wszystkie cyfry stojące po prawej

stronie ostatniej (licząc od strony lewej) cyfry znaczącej zastępujemy zerami. Z cyframi zna-

czącymi postępujemy następująco:

• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest mniejsza od 5, to

wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,

• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest co najmniej równa 5, a

ostatnia cyfra znacząca jest mniejsza od 9, to tę cyfrę zwiększamy o 1, a wszystkie po-

przednie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Jeśli natomiast ostatnią cyfrą zna-

czącą jest 9, to zamiast niej piszemy cyfrę 0 i tę samą procedurę stosujemy do poprzed-

nich cyfr znaczących.

Słowniczek

Rozdział 6. Odpowiedzi

Funkcja / Pojęcie funkcji / WprowadzenieZadanie 1.1.1.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźNumer PESEL składa się m.in. z zakodowanej daty urodzenia (wpisanej na pierwszych 6 polach),

informacji o płci (10 pole; cyfra parzysta oznacza płeć żeńską) oraz cyfry kontrolnej, dzięki której z

dużym prawdopodobieństwem ustalane jest, czy liczba 11-cyfrowa jest właściwym numerem PE-

Odpowiedzi

Funkcja / Pojęcie funkcji / Definicjafunkcji. Sposoby przedstawiania funkcjiZadanie 1.1.2.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba wszystkich funkcji, których dziedziną jest zbiór X i przeciwdziedziną zbiór Y równa się 256.

Zadanie 1.1.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Z tabelki odczytujemy, że: g(1) = 2, g(2) = − 3, g(3) =12 , g(4) = 2,7, g(5) = √2.

W grafie jest już zaznaczone przyporządkowanie 3 → 12 .

Następnie zauważamy, że

• argumentowi 1 odpowiada wartość 2: 1 → 2,

• wartość 2,7 odpowiada argumentowi 4: 4 → 2,7,

• wartość √2 odpowiada argumentowi 5: 5 → √2,

• ostatnią parą jest argument 2 i odpowiadająca mu wartość – 3 : 2 → − 3.

x – 2 – 1 0 1 2 3

f(x) 5 5 1 2 – 1 0

P(r) = πr2 dla r > 0a)

L(r) = 2πr dla r > 0b)

Odpowiedzi

RozwiązanieInterpretujemy warunki podane we wzorze funkcji

Zgodnie z obliczeniami wypełniamy tabelkę.

Rozwiązanie

f(−1) + f(0) = 6

f(0) + f(1) = f(2)

f(x) = 5 dla x < 0; wynika z tego, że f(−2) = f(−1) = 5,a)

f(x) = x − 3 dla x > 1; wynika z tego, że f(2) = 2 − 3 = − 1 oraz f(3) = 3 − 3 = 0,b)

f(x) = x + 1 dla x = 0 lub x = 1; wynika z tego, że f(0) = 0 + 1 = 1 oraz f(1) = 1 + 1 = 2.c)

jest funkcjąa)

nie jest funkcjąb)

Takie przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ każdemu uczniowi jest przyporządkowany

dokładnie jeden dzień tygodnia, zgodnie z dniem urodzenia.

Takie przyporządkowanie nie jest funkcją, ponieważ nie jest możliwe, aby w tym przypadku

każdy dzień tygodnia miał przyporządkowany dokładnie jeden numer ucznia. W zadanym

przyporządkowaniu jednemu z dni tygodnia przypisano co najmniej 5 numerów.

s(37) = 17a)

x 95 96 97 98 99

s(x) 19 21 23 25 27

Ponieważ cyfrą dziesiątek liczby 37 jest 3, a jej cyfrą jedności jest 7, to

s(37) = 3 + 2 ? 7 = 3 + 14 = 17.

Obliczamy: s(95) = 9 + 2 ? 5 = 19, s(96) = 9 + 2 ? 6 = 21, s(97) = 9 + 2 ? 7 = 23,

s(98) = 9 + 2 ? 8 = 25, s(99) = 9 + 2 ? 9 = 27.

Odpowiedzi

f(0) = 3

Zadanie 1.1.2.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźWykażemy ten fakt za pomocą dowodu nie wprost.Załóżmy przeciwnie, że każdemu z uczniów tej

klasy wystawiono ocenę i każda ocena została przyporządkowana co najwyżej 6 uczniom. Ponie-

waż przypisujemy każdemu z uczniów ocenę ze zbioru pięcioelementowego {2, 3, 4, 5, 6} (nie

ma oceny 1), to ogółem uczniów, którym wystawiono oceny jest nie więcej niż 5 ? 6, czyli 30. Ale

to jest niemożliwe, bo przecież w tej klasie jest 31 uczniów.

Otrzymana sprzeczność pokazuje, że w tej klasie jest co najmniej 7 uczniów, którzy uzyskali tę sa-

mą ocenę z matematyki.

RozwiązanieJeżeli graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o n wierzchołkach, to

• Wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest tyle, ile w sumie wierzchołków w każdej z

dwóch podstaw.

Wobec tego w(n) = 2n.

• Wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest tyle, ile jest krawędzi bocznych i krawędzi w

każdej z podstaw razem. Ale krawędzi w każdej z podstaw jest tyle, ile jest tam wierzchołków

(czyli n), a także krawędzi bocznych jest tyle, ile wierzchołków w każdej z podstaw.

Wynika z tego, że k(n) = 3n.

• Wszystkich ścian tego graniastosłupa jest tyle, ile jest podstaw i ścian bocznych razem. Ale

podstawy są 2, a ścian bocznych jest tyle, ile krawędzi w każdej z podstaw.

A zatem s(n) = n + 2.

Stosujemy otrzymane wzory

w(3) = 6, k(4) = 12, s(5) = 7a)

w(31) = 62, k(28) = 84, s(17) = 19b)

w(n) = 2n, k(n) = 3n, s(n) = n + 2c)

Patrz – rozwiązanie.d)

w(3) = 2 ? 3 = 6, k(4) = 3 ? 4 = 12, s(5) = 5 + 2 = 7a)

w(31) = 2 ? 31 = 62, k(28) = 3 ? 28 = 84, s(17) = 17 + 2 = 19b)

w(n) = 2n, k(n) = 3n, s(n) = n + 2c)

dla dowolnego n ≥ 3: w(n) + s(n) – k(n) = 2n + n + 2 – 3n = 2, a to właśnie należało

udowodnić.

Odpowiedzi

Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań /ZadaniaZadanie 1.1.3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź4

Zadanie 1.1.3.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź

x 20 31 44 52 67

f(x) 2 4 8 7 13

Odpowiedzi

Zadanie 1.1.3.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźobwód kwadratu o boku długości a

Zadanie 1.1.3.1.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź99

Zadanie 1.1.3.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1

f(−√2) = √2, f(0) = 0, f(12 ) = − 2

11 , f(1) = − 12 , f(2) = 2, f(√5) = √5

f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = − 1, f(4) = − 3

Odpowiedzi

x 17 26 35 44 53 62 71 80

f(x) 7 12 15 16 15 12 7 0

x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

f(x) 4 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6 4 4 2 8 3

x ? {11, 13, 17, 19, 23}a)

x = 25b)

największa wartość 8c)

Odpowiedzi

Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań /Zadania generatoroweZadanie 1.1.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź121π

Zadanie 1.1.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź−13

f(x) =143100x

f(x) = 5x − 12

Zadanie 1.1.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź1918 h = 1 godzina 3 minuty 20 sekund

f(4) = 96a)

f(5) = 100b)

1356 zła)

2842 złb)

f(x) = 5424 − 30,51xc)

Odpowiedzi

Funkcja / Dziedzina funkcji /WprowadzenieZadanie 1.2.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Wiemy, że y =2x

x − 2 przy czym x > 2.

Zauważmy, że 2x − 4 = 2(x − 2), co znaczy, że y =(2x − 4) + 4

x − 2 =2(x − 2) + 4

x − 2 = 2 +4

x − 2 . Ponieważ y jest licz-

bą całkowitą, to y − 2 =4

x − 2 jest również liczbą całkowitą. Wynika z tego, że x − 2 jest całkowitym

dodatnim dzielnikiem liczby 4. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy x − 2 = 1 (wtedy y − 2 = 4) lub

x − 2 = 2 (wtedy y − 2 = 2) lub x − 2 = 4 (wtedy y − 2 = 1).

A zatem są trzy pary dodatnich liczb całkowitych, których suma jest dwa razy mniejsza od ich ilo-

{ x = 3

y = 6, { x = 4

{ x = 6

Wynika z tego, że na wykresie funkcji y(x) =2x

x − 2 , gdzie x > 2 znajdują się tylko 3 punkty kratowe,

czyli punkty, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi.

Zadanie 1.2.1.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźRegresja liniowa jest jedną z metod przewidywania cen akcji na giełdzie. Wyszukaj niezbędne in-

formacje na ten temat w Internecie.

Zadanie 1.2.1.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźUżyj arkusza kalkulacyjnego.

Odpowiedzi

Funkcja / Dziedzina funkcji / DziedzinaZadanie 1.2.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź2

Zadanie 1.2.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź−√3

Zadanie 1.2.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź3

Dk = R \ {3}RozwiązanieWe wzorze występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik x − 3 musi być różny od zera.

A zatem dziedziną funkcji k jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 3, co zapisujemy

symbolicznie: Dk = R ? {3} lub Dk = (−∞, 3) ? (3, + ∞).

Df = ? 5, + ∞)RozwiązanieWe wzorze funkcji występuje pierwiastek, a zatem wyrażenie pod pierwiastkiem x − 5 musi być

nieujemne. Wobec tego x ≥ 5. Wynika z tego, że dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rze-

czywistych nie mniejszych od 5.

Df = R ? { – 1, 3}Rozwiązanie

We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik (x + 1)(2x − 6) musi być

różny od zera. Wobec tego każdy z czynników tego iloczynu musi byc różny od zera. Stąd x + 1 ≠ 0

i 2x − 6 ≠ 0, czyli x ≠ − 1 i x ≠ 3 Wynika z tego, że dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rze-

czywistych różnych od – 1 i od 3.

Odpowiedzi

Df = R ? {0, 4}Rozwiązanie

We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, skąd wniosek, że jego mianownik x2 − 4x musi

być różny od zera. Ponieważ x2 − 4x = x(x − 4), to każdy z czynników tego iloczynu musi być różny

od zera. Stąd x ≠ 0 i x − 4 ≠ 0.

A zatem dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0 i od 4.

Dt = ( − ∞, − 1)RozwiązanieWe wzorze funkcji t występuje wyrażenie wymierne, w którego mianowniku zapisany jest pierwia-

stek. Wynika z tego, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne i jednocześnie wartość

tego pierwiastka musi być różna od 0. Stąd √−1 − x ≠ 0 i −1 − x ≥ 0, czyli −1 − x ≠ 0 i −1 ≥ x, x ≠ − 1

i x ≤ − 1, a zatem x < − 1. Dziedziną funkcji t jest wobec tego przedział ( − ∞, − 1).Warto przy okazji podkreślić, że jeżeli mianownik wyrażenia wymiernego jest zapisany w postaci

pierwiastka kwadratowego, to liczba pod pierwiastkiem musi być dodatnia.

Df = (−∞, − 7) ? (−7, 2 >

RozwiązanieWe wzorze funkcji f występują pierwiastek i wyrażenie wymierne.

Wobec tego funkcja f jest określona dla tych x, które spełniają układ warunków 2 − x ≥ 0 i x + 7 ≠ 0

czyli x ≤ 2 i x ≠ − 7.

Do dziedziny funkcji f należą wobec tego wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału

(−∞, − 7) lub do przedziału (−7, 2 > .

P(x) = − 12x2 + 2x, DP = (0, 2)

RozwiązanieZauważmy, że pole kwadratu jest równe 4 i jest równe sumie pól trójkątów: AEF, ABE, ADF i ECF.

Pole trójkąta AEF zapiszemy jako różnicę pola kwadratu oraz sumy pól trójkątów ABF, ADE i ECF.

Trójkąt ECF jest prostokątny, jego przyprostokątne mają długość x, czyli jego pole jest równe12x2.

Trójkąty ABF i ADE są przystającymi trójkątami prostokątnymi, w których długości przyprostokąt-

nych są równe 2 i 2 − x. Wobec tego każdy z tych trójkątów ma pole12 ? 2 ? (2 − x) = 2 − x, a zatem

P(x) = 4 − (12x2 + 2 ? (2 − x)) = 4 − 1

2x2 − 4 + 2x = − 12x2 + 2x.

Ponieważ długość odcinka CE nie przekracza 2, to dziedziną funkcji P jest przedział (0, 2).

Odpowiedzi

Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań/ ZadaniaZadanie 1.2.3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

f(x) =x + √3

f(x) =4

? −2, + ∞)

f(x) =x − 1x + 2

f(x) =x2 − 5x

x2 − 3

(0, 3)

Odpowiedzi

a(x) = 6 − x, Da = (2, 4)

– 7a)

R ? { – 2; 2}a)

R ? {0; 3}b)

R ? {1; – 4}c)

R ? {0; − 2; 1}d)

R ? {3; – 3}e)

R ? { – 1}g)

R ? {2}h)

1, 2, 3, 4, 5a)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9b)

1, 2c)

1, 2, 3, 4d)

Df = ( − 3, + ∞)a)

Dg = ( − ∞, − 1) ? (−1, 2 ?b)

Dh = ? 4, 5) ? (5, + ∞)c)

Dt = ? −3, − 1) ? ( − 1, 5) ? (5, 8 ?d)

Odpowiedzi

Skorzystaj z wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym h =a√3

P(x) = 9√3 − √34 x2, DP = (0, 6)

P(a) = 2a2 +400

a , DP = (0, + ∞)

c(b) = √b2 +1296

b2 , Dc = (0, + ∞)

Odpowiedzi

Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań/ Zadania generatoroweZadanie 1.2.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

f(x) =6

2x − 14

(−∞, 5 ?

f(x) =x2 + 24

x2 + 6

(0, 24)

f(x) =−15x − 6

4 − 4x

f(x) =2x + 9x − 10

f(x) =3x − 9

√x − 8

f(x) =4

x − 11

f(x) = √13 − x

Odpowiedzi

f(x) =x − 7

9 + √50

f(x) = √x2 + 7

h jest funkcją x postaci h(x) = √x2 − 81

dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (9, + ∞)

{ – 9; – 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}

l(x) = 2(x +100

x ), Dl = (0, + ∞)

Df = ? −13, − 11) ? ( − 11, 10) ? (10, 12 ?

Odpowiedzi

Funkcja / Argument i wartość funkcji.Miejsca zerowe funkcji liczbowej /Argumenty, dla których funkcja przyjmujedaną wartośćZadanie 1.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

f(−1) = 2

f(−3) + f(−1) = 0

Zadanie 1.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla każdego argumentu ujemnego przyjmuje wartość dodatnią

i(10) = 10

i(24) = 4

Zadanie 1.3.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla x = − 1 przyjmuje wartość 1

ma jedno miejsce zerowe

Zadanie 1.3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja z nie ma miejsc zerowych

do zbioru wartości funkcji z należy liczba 333

Rozwiązanie

Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a dane jest wzorem P(a) = 6a2, gdzie a > 0

P(12 ) =

P(√2) = 12 > 10b)

P(a) = 6, gdy a = 1c)

P(a) = 30, gdy a = √5d)

P(12 ) = 6 ? (1

= 6 ?14 =

Odpowiedzi

Zadanie 1.3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 5

f(x) = − 5 tylko wtedy, gdy x = − 6

Rozwiązanie

Jeżeli x ≤ 2, to f(x) = x + 1 i równanie f(x) = − 5 zapisujemy jako x + 1 = − 5, a zatem x = − 6. Ponie-

waż −6 ≤ 2, to f(−6) = − 5.

Jeżeli x ? (2,5), to f(x) = 7 − 2x i równanie f(x) = − 5 zapisujemy jako 7 − 2x = − 5, skąd 2x = 12, a

więc x = 6. Ale 6 nie należy do przedziału (2, 5), czyli w tym przypadku funkcja f nie przyjmuje war-

tości −5.

Rozwiązanie

Zadanie 1.3.2.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźDla x = 3

P(√2) = 6 ? (√2)2

= 6 ? 2 = 12 > 10b)

P(a) = 6, gdy 6a2 = 6, a więc a2 = 1, skąd a = √1 = 1c)

P(a) = 30, gdy 6a2 = 30, a zatem a2 = 5, skąd a = √5d)

s(10) = 55a)

s(n) = 66 dla n = 11b)

Ponieważ s(10) = 55 i s(11) = 66 oraz w przedziale (10, 11) nie ma żadnej liczby całkowitej,

to nie istnieje n, dla którego s(n) = 60.

s(10) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55a)

Z warunków zadania wynika, że wartości funkcji s rosną wraz ze wzrostem argumentów.

Ponieważ s(10) = 55 < 66, to s(n) = 66 dla n > 1. Sprawdzamy, że

s(11) = s(10) + 11 = 55 + 11 = 66, czyli s(n) = 66 dla n = 11.

Ponieważ s(10) = 55 i s(11) = 66 oraz w przedziale (10, 11) nie ma żadnej liczby całkowitej,

to nie istnieje n, dla którego s(n) = 60.

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Wysokość h trójkąta ABE, poprowadzona z wierzchołka E na bok AB jest równax√2

2 , więc pole P

trójkąta ABE jest opisane wzorem P(x) =12 ? 4 ?

x√22 = x√2.

Rozwiązujemy równanie P(x) = 3√2, a więc x√2 = 3√2, skąd x = 3.

Odpowiedzi

Funkcja / Argument i wartość funkcji.Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiórzadań / ZadaniaZadanie 1.3.3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

f(x) = 15 − 5x

Zadanie 1.3.3.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 1

{1, 2, 3, 4}

f(0) = 0a)

f(−√2) = 2b)

f(23 ) =

Odpowiedzi

Zadanie 1.3.3.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 7, b = 5, c = 3, d = 1

Zadanie 1.3.3.1.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźn = 9

f(√5) = √5 + 1d)

x = 3d)

x = 0 oraz x = 5a)

x = − 2 oraz x = 3b)

x = 1 oraz x = 5c)

x = 0, x = − 2 oraz x = 2d)

P(r) =3√3

2 r2a)

P(2) = 6√3b)

r = 6c)

x = 0a)

x = 1 oraz x = − 1b)

x = √3 oraz x = − √3c)

x = − 4d)

x = − 5 oraz x = 5a)

x = − √7 oraz x = √7b)

Odpowiedzi

Jeżeli x < − 3, to −x > 3, więc u(x) = − x − 1 > 3 − 1 = 2, a zatem dla x < − 3 funkcja u przyjmuje war-

tości dodatnie.

Jeżeli −3 ≤ x ≤ 2, to u(x) = 2, więc funkcja u przyjmuje wartości dodatnie;

Jeżeli x > 2, to 2x > 4, więc u(x) = 2x − 2 > 4 − 2 = 2, a zatem również dla x > 2 funkcja u przyjmuje

wartości dodatnie.

Wynika z tego, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x funkcja u przyjmuje wartości dodatnie.

x = − 13

x = 6d)

Odpowiedzi

Funkcja / Argument i wartość funkcji.Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiórzadań / Zadania generatoroweZadanie 1.3.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

f(x) = 16 − 4x

Zadanie 1.3.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 14

B = ( − 1, 13)

Zadanie 1.3.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 3 oraz x = − 8

i(37) =3710

i(60) jest liczbą całkowitą

r =5516

Odpowiedzi

Zadanie 1.3.3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźn = 17

x = 0 oraz x = 5a)

x = − 5 oraz x = − 8b)

x = 16 oraz x = 23c)

x = 0, x = 15 oraz x = 4d)

Odpowiedzi

Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część I /Zadania. Część IZadanie 1.4.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −1, 4 ?

Zadanie 1.4.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa 4 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 3

Zadanie 1.4.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 1 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = 2

? −2, 5)

Zadanie 1.4.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie istnieje

Zadanie 1.4.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 2

Zadanie 1.4.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −3, 6 ?

Zadanie 1.4.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa 6

Zadanie 1.4.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 3

? −3, 6)

Zadanie 1.4.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie istnieje

Odpowiedzi

Zadanie 1.4.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 3 dla argumentu x = 0

Zadanie 1.4.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 7

x = − 5

x = − 1

Zadanie 1.4.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 2

x ? ? −8, −1)

? −8, 8 ?a)

– 8b)

x = − 1, x = 2 oraz x = 4d)

(−1, 2)e)

– 2a)

f(1)f( − 3) > 0b)

Odpowiedzi

x = − 3 oraz x = − 1a)

wartość najmniejsza to – 3, wartość największa to 1b)

dla wszystkich argumentów z przedziału (−3, − 1)c)

nieskończenie wieled)

Odpowiedzi

Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część I /Zadania. Część IIZadanie 1.4.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

? −2, 0) ? ? 1, 3 ?

g(1) < g(−1)

Odpowiedzi

k(x) = − 0,5

Zadanie 1.4.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź−1

Odpowiedzi

? −2, 2 ?b)

x1 = − 2 i x2 = 2c)

x ? ?−3, 2?d)

dla x = 0 oraz dla każdego x z przedziału ? 2, 3)a)

dla x = 1 oraz dla x = 3b)

dla każdego x z przedziału ? −3, − 1 ?c)

dla x = 4.d)

– 2a)

dla x ? {−3, − 2, − 1, 0, 1, 4}b)

h(1) = 0, h(2) = 1, h(3) = 3, h(4) = 0c)

x = 1b)

x = − 1c)

? −2, 2 ?d)

−1a)

– 2c)

– 2d)

f(2) ? f(1) < 0a)

f(3) − f(0) > 0b)

f(−2) + f(3) < 0c)

Odpowiedzi

Zadanie 1.4.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla m < – 1 lub m > 3 liczba rozwiązań jest równa 0 (równanie nie ma rozwiązań)

dla m = − 1 oraz m ? (2, 3 ? jest 1 rozwiązanie

dla m ? (1, 2) są 2 rozwiązania

dla m = 1 oraz dla m = 2 są 3 rozwiązania

dla m ? (−1, 1) są 4 rozwiązania

f(4)f(−3)

? −1, 0) ? ? 1, 3)a)

x ? ? 1, 2)b)

dla dwóchc)

x ? (−3, − 2) ? (2, 4)d)

t(−0,3) < 0b)

t(π) − t(3 − π) > 0d)

Odpowiedzi

Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część II /Zadania. Część IZadanie 1.5.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemonotoniczna

Zadanie 1.5.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźrosnąca

Zadanie 1.5.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźnierosnąca

Zadanie 1.5.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemonotoniczna

Zadanie 1.5.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźnierosnąca

niemalejąca

stała

Zadanie 1.5.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemalejąca

Zadanie 1.5.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźmalejąca

nierosnąca

Zadanie 1.5.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźmalejąca

nierosnąca

Odpowiedzi

Zadanie 1.5.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −5, − 1 ?

? 1, 6 ?

(3, 6)

Odpowiedzi

Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część II /Zadania. Część IIZadanie 1.5.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź2

Odpowiedzi

Zadanie 1.5.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja t w przedziale ? −1, 0 ? jest malejąca

? −3, 1 ?a)

? −3, − 1 ? (−3, − 1) (−3, −1 ? ? −3, −1)b)

? −3, 2 ?a)

? 2, 4 ?b)

? −3, − 2 ? ? −1, 1 ? oraz ? 3, 4 ?a)

? −2, − 1 ? oraz ? 1, 3 ?b)

Odpowiedzi

funkcja t w przedziale ? 0, 2 ? jest malejąca

funkcja t w przedziale ? 3, 4 ? jest niemalejąca

Zadanie 1.5.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja t jest niemalejąca

(−3, − 2 ?a)

? −2, 4)b)

? −4, − 2 ?a)

? 3, 5 ?b)

? −3, 3 ?a)

? −4, − 3 ? oraz ? 3, 4 ?b)

? 2, 4 ?a)

? −3, 0 ?b)

? 0, 2 ?c)

? −4, − 3 ?d)

Odpowiedzi

Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część II /Zadania generatoroweZadanie 1.5.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Funkcja / Przekształcanie figur napłaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania.Część IZadanie 1.6.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźodcinek, który ma jeden punkt wspólny z osią Oy

odcinek, którego jeden z końców leży na osi Ox

Zadanie 1.6.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźleży na osi Ox

Zadanie 1.6.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźokrąg o promieniu 4

okrąg, którego środkiem jest punkt (2, 4)okrąg, który ma trzy punkty wspólne z osiami układu współrzędnych

C = ( – 7, 6)pole tego prostokąta jest równe 168

Zadanie 1.6.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźwysokość tego trapezu ma długość 20

pole trapezu jest równe 260

y = − f(x)

y = f( − x)

y = − f( − x)

y = f( − x)

Odpowiedzi

y = − f( − x)

y = − f(x)

Zadanie 1.6.4.13 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymamy wykres funkcji

g(x) = − x4 + 4x3.

f1(x) = x2 + 2

f2(x) =1

x4 + 2

Zadanie 1.6.4.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźIstnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy.

Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Ox.

Zadanie 1.6.4.16 (Wróć do zadania)OdpowiedźCA

(0, 2)

Okrąg o środku w punkcie S = ( – 2, 0) i promieniu równym 2.

Odpowiedzi

Funkcja / Przekształcanie figur napłaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania.Część IIZadanie 1.6.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

g(x) = − 2x − 1

g(x) = x2 − 1

g(x) = − 1

B = ( – 3, – 5)

S = (0, – 51), r = 29

C1 = (0, 4)a)

C2 = (7, 0)b)

Pola obu trójkątów są równe 28.c)

C = (3, 1), D = (2, 2), E = ( – 2, 2), F = ( – 3, 1), G = ( – 3, – 1), H = ( – 2, – 2)a)

Pole jest równe 22.b)

Odpowiedzi

g(−2) + g(−1) + g(0) + g(1) + g(2) = f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2) = 0

Odpowiedzi

h(x) = − 5x + 1a)

h(x) = 3x − 4b)

h(x) = − x2 − 3xc)

h(x) = − 1x + 3

Odpowiedzi

Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą y = − f(x). Prze-

kształcając tę krzywą ponownie w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą y = − ( − f(x)),czyli wykres funkcji y = f(x).

t(x) = − 2x + 9a)

t(x) = x + 7b)

t(x) = x2 + xc)

t(x) =x3 + 2

x2 − 5

3 rozwiązaniaa)

2 rozwiązaniab)

2 rozwiązaniac)

2 rozwiązaniad)

Odpowiedzi

Funkcja / Przekształcanie figur napłaszczyźnie kartezjańskiej / ZadaniageneratoroweZadanie 1.6.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układuwspółrzędnych / ZadaniaZadanie 1.7.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Zadanie 1.7.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy

Zadanie 1.7.5.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 4 jednostki wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres funkcji

x − 4 dla x ≠ 4.

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy, to

otrzymamy wykres funkcji y =2

x − 2 + 1 dla x ≠ 2.

g(x) = (x − 3)2

Aby otrzymać wykres funkcji g(x) = (x − 3)2

+ 5, należy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki

wzdłuż osi Ox i o 5 jednostek wzdłuż osi Oy.

Aby otrzymać wykres funkcji h(x) = x2 + 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 4 jednostki wzdłuż

osi Oy.

Odpowiedzi

Aby otrzymać wykres funkcji k(x) = (x − 2)2

+ 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki

wzdłuż osi Ox i o 4 jednostki wzdłuż osi Oy.

Zadanie 1.7.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy

przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Oy

(−8, 11)

(7, – 10)

(1, 3)

Odpowiedzi

g(x) = f(x − 1) − 1

g(x) = x − 10

h(x) = (x + 3)2

t(x) =1

x − 4 − 1 dla x ≠ 4

y = f(x) − 2

B = (4, – 3)C = (4, 1)Pole trójkąta ABC jest równe 12.

Zadanie 1.7.5.20 (Wróć do zadania)OdpowiedźCzworokąt ABCD jest równoległobokiem.

Odpowiedzi

• y = f(x) + 2

• y = f(x) − 2

Odpowiedzi

• y = f(x − 2)

• y = f(x + 2)

Odpowiedzi

• g = f(x − 1) + 2

Odpowiedzi

• h = f(x + 2) − 1

– 2d)

----a)

y = h(x)b)

y = g(x)c)

y = k(x)d)

g(x) = − 3x + 6a)

g(x) = − 3x + 6b)

g(x) = − 3x + 6c)

g(x) = − 3x + 6d)

Odpowiedzi

g(x) = f(x − 3) + 2, czyli g(x) = (x − 3)2

+ 2, skąd g(x) = x2 − 6x + 11

x − 2 + 3 x ≠ 2a)

x + 1 + 1, x ≠ − 1b)

x + 4 − 2, x ≠ − 4c)

x − 3 − 4, x ≠ 3d)

Odpowiedzi

Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układuwspółrzędnych / Zadania generatoroweZadanie 1.7.6.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykresfunkcji liniowej / ZadaniaZadanie 2.1.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźza 4 kostki zapłacimy 16,80 zł

za 6 kostek zapłacimy więcej niż 20 zł

Zadanie 2.1.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźy4 = 15

Zadanie 2.1.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźobwód i średnica koła

bok trójkąta równobocznego i promień koła wpisanego w ten trójkąt

pole kwadratu i pole koła na nim opisanego

Zadanie 2.1.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźw ciągu 2 godzin przejedzie 140 km

w ciągu 5 minut przejedzie więcej niż 5 km

przechodzi przez punkt (√2, 4)

przecina wykres funkcji g(x) = − 3x + 2 w punkcie leżącym na osi Oy

Rozwiązanie

Wykres funkcji y = 3x + 2 przecina oś Oy w punkcie (0, 2) i ma współczynnik kierunkowy 3 –

jej wykres jest na rysunku II.

Wykres funkcji y = − 3x + 2 przecina oś Oy w punkcie (0, 2) i ma współczynnik kierunkowy

( – 3) – jej wykres jest na rysunku III.

Odpowiedzi

A = (0, 2), B = (20, 2), C = (−20, 2)

A = (0, 1), B = (1, 11), C = (2, 21)

A = (0, − 1), B = (−1, − 3), C = (−2, − 5)

(−√3, − 3)

Zadanie 2.1.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 6

Zadanie 2.1.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź16 zł 80 gr

f(x) =52x

(12 , 2)

f(x) = − 5x − 2

g(x) = 2x − 6

Zadanie 2.1.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 5

Wykres funkcji y = 3x − 2 przecina oś Oy w punkcie (0, – 2) i ma współczynnik kierunkowy 3

– jej wykres jest na rysunku I.

Prosta na rysunku IV przecina oś Oy w punkcie (0, – 2) i ma współczynnik kierunkowy ( – 3)– jest to więc funkcja liniowa określona wzorem y = − 3x − 2.

Odpowiedzi

x – 6 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 6 15 33

y 10 5103

53 0 − 5

3 − 103 – 5 – 10 – 25 – 55

Odczytujemy współczynnik proporcjonalności na podstawie proporcji wielkości x i y

a =y1x1

=10−6 =

5−3 .

Wynika stąd, że:

y1 = a ∙ x1 = − 53 ∙ ( − 6) = 10, y2 = a ∙ x2 = − 5

3 ∙ ( − 3) = 5

y3 = a ∙ x3 = − 53 ∙ ( − 2) =

103 , y4 = a ∙ x4 = − 5

3 ∙ ( − 1) =53

y5 = a ∙ x5 = − 53 ∙ 0 = 0, y6 = a ∙ x6 = − 5

3 ∙ 1 =−53

y7 = a ∙ x7 = − 53 ∙ 2 = − 10

3 , y8 = a ∙ x8 = − 53 ∙ 3 = − 5

y9 = a ∙ x9 = − 53 ∙ 6 = − 10, y10 = a ∙ x10 = − 5

3 ∙ 15 = − 25

y11 = a ∙ x11 = − 53 ∙ 33 = − 55

Rozwiązanie

y = − 13x + 1

Rozwiązanie

Po przesunięciu w prawo o 3 jednostki wzdłuż osi Ox wykresu funkcji f(x) = − 13 x otrzymujemy

prostą do niej równoległą i przechodzącą przez punkt (3, 0). Zatem prosta ta ma równanie

a = 3a)

a = − 2b)

a = − 54

Zauważmy, że f(1) = 3, czyli a ∙ 1 = 3. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy 3.a)

Zauważmy, że f(−1) = 2, czyli a ∙ ( − 1) = 2. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest rów-

ny −2.

Zauważmy, że f(4) = 3, czyli a ∙ 4 = 3. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy34 .c)

Zauważmy, że f(−4) = 5, czyli a ∙ ( − 4) = 5. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest rów-

ny − 54 .

Odpowiedzi

y = − 13x + b.

Ponieważ f(3) = 0, to 0 = − 13 ∙ 3 + b, zatem b = 1. Stąd równanie prostej to

y = − 13x + 1.

y = − 13x + 3

Rozwiązanie

Po przesunięciu o 3 jednostki wzdłuż osi Oy wykresu funkcji f(x) = − 13x otrzymujemy prostą do

niej równoległą i przechodzącą przez punkt (0, 3). Zatem prosta ta ma równanie

y = − 13x + b.

Ponieważ f(0) = 3, to 3 = − 13 ∙ 0 + b, zatem b = 3. Stąd równanie prostej to

y = − 13x + 3.

x – 4 – 3 – 2 4 5 6 7

f(x) 6 5 4 – 2 – 3 – 4 – 5

Rozwiązanie

Zauważmy, że punkty (0, 2), (2, 0) należą do wykresu funkcji. Zatem f(0) = 2, czyli 2 = a ∙ 0 + b,

stąd b = 2. Biorąc pod uwagę punkt (2, 0), otrzymujemy f(2) = 0, czyli 0 = a ∙ 2 + 2, stąd a = − 1.

Zatem funkcja ma postać:

f(x) = − x + 2.

Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:

f(−4) = − (−4) + 2 = 6

f(−3) = − (−3) + 2 = 5

f(−2) = − (−2) + 2 = 4

f(4) = − 4 + 2 = − 2

Odpowiedzi

f(5) = − 5 + 2 = − 3

f(6) = − 6 + 2 = − 4

f(7) = − 7 + 2 = − 5

x – 2 – 1 0 1 2 3 4

f(x) 8 5 2 – 1 – 4 – 7 – 10

Rozwiązanie

Zauważmy, że punkty (0, 2), (1, − 1) należą do wykresu funkcji liniowej. Zatem f(0) = 2, czyli

2 = a ∙ 0 + b, stąd b = 2. Biorąc pod uwagę punkt (1, − 1), otrzymujemy f(1) = − 1, czyli

−1 = a ∙ 1 + 2, stąd a = − 3. Zatem funkcja ma postać:

f(x) = − 3x + 2.

Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:

f(−2) = − 3(−2) + 2 = 8

f(−1) = − 3(−1) + 2 = 5

f(2) = − 3 ∙ 2 + 2 = − 4

f(3) = − 3 ∙ 3 + 2 = − 7

f(4) = − 3 ∙ 4 + 2 = − 10

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Zadanie 2.1.4.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźa < 0

punkt ( – 1, 5) należy do wykresu funkcji f

Wykresy funkcji g i h przecinają się w punkcie (0, 3).

Wykres funkcji y = x − 2 przecina oś Oy w punkcie (0, − 2) i ma współczynnik kierunkowy 1

– jej wykres jest na rysunku II.

Wykres funkcji y = − 12x − 2 przecina oś Oy w punkcie (0, − 2) i ma współczynnik kierunko-

wy (− 12 ) – jej wykres jest na rysunku IV.

Wykres funkcji y = 2x − 1 przecina oś Oy w punkcie (0, – 1) i ma współczynnik kierunkowy 2

– jej wykres jest na rysunku I.

Wykres funkcji y =12x − 1 przecina oś Oy w punkcie (0, − 1) i ma współczynnik kierunkowy

12 – jej wykres jest na rysunku III.

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykresfunkcji liniowej / Zadania generatoroweZadanie 2.1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Własności funkcjiliniowej / ZadaniaZadanie 2.2.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Prosta przechodząca przez punkty ( – 1, – 1) i ( – 3, 2) ma równanie

y = − 32 (x − ( − 1)) + ( − 1),

y = − 32 (x + 1) − 1 = − 3

2 x − 52 .

Zadanie 2.2.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźa < 0

a = − 32

Na wykresie funkcji f leżą punkty ( – 1, – 1) i ( – 3, 2). Wobec tego

a =2 − (−1)

−3 − (−1)=

3−2 = − 3

y = − 32x − 5

Odpowiedzi

jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, – 5)

Zadanie 2.2.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla m = 0 jest rosnąca

jest malejąca tylko wtedy, gdy m < − 32

f(1) > 3

Zadanie 2.2.3.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźA i B

Zadanie 2.2.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzecina oś Oy w punkcie, którego druga współrzędna jest dodatnia

ma współczynnik kierunkowy równy 1

ma równanie y = x + 3

przechodzi przez punkt (−3, 0)

Zadanie 2.2.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja f jest rosnąca

funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x + 1

Odpowiedzi

− 23

Zadanie 2.2.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźa > 0 i b > 0

m = − 13

Zadanie 2.2.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźm > 4

f(x) = 4x − 5

− 12

(18, 9)

Rozwiązanie

a = 2, b = − 3a)

a = − 1, b = − 2b)

a = 3, b = − 1c)

a = − 25 , b = 1d)

Zauważmy, że punkty (2, 1), (3, 3) należą do wykresu funkcji. Zatem f(2) = 1, czyli

1 = a ∙ 2 + b, stąd b = 1 − a ∙ 2. Biorąc pod uwagę punkt (3, 3), otrzymujemy f(3) = 3, czyli

3 = a ∙ 3 + b. Ponieważ b = 1 − a ∙ 2, to uzyskujemy 3 = a ∙ 3 + 1 − 2 ∙ a. Stąd a = 2 oraz

b = 1 − 2 ∙ 2 = − 3. Zadanie to można rozwiązać znacznie szybciej. Biorąc pod uwagę punkty

(2, 1), (3, 3), obliczamy współczynnik kierunkowy jako a =3 − 13 − 2 = 2. Ponieważ f(0) = − 3,

czyli −3 = a ∙ 0 + b, to b = − 3.

Odpowiedzi

f(x) = 11x + 2

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę punkty (0, 2), (10, 112), obliczamy współczynnik kierunkowy jako

a =112 − 210 − 0 = 11. Ponieważ f(0) = 2, to b = 2.

Zadanie 2.2.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = x − 100

10x − 5

y =x − 1

Zadanie 2.2.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − x + 6

y = 1 − 34x

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę punkty ( − 3, 1), ( − 1, − 1), obliczamy współczynnik kierunkowy jako

a =−1 − 1

−1 − (−3)= − 1. Ponieważ f(0) = − 2, to b = − 2.

Biorąc pod uwagę punkty (1, 2), (2, 5), obliczamy współczynnik kierunkowy jako

a =5 − 22 − 1 = 3. Ponieważ f(0) = − 1, to b = − 1.

Biorąc pod uwagę punkty (0, 1), (5, − 1), obliczamy współczynnik kierunkowy jako

a =−1 − 15 − 0 = − 2

5 . Ponieważ f(0) = 1, to b = 1.

m < − 52

m > − 52

m = − 52

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny, czyli 2m + 5 < 0,

skąd uzyskujemy, że m < − 52 .

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni, czyli 2m + 5 > 0,

skąd uzyskujemy, że m > − 52 .

Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy jest równy 0, czyli 2m + 5 = 0, skąd

uzyskujemy, że m = − 52 .

Odpowiedzi

Zadanie 2.2.3.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźŻadna z odpowiedzi nie jest poprawna.

Zadanie 2.2.3.28 (Wróć do zadania)Odpowiedźleży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi

leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami przeciwnych zna-

m = 1 i k = − 1a)

m = − 2 i k = 1b)

m = 2 i k = − 1c)

m = − 1 i k = 1d)

m = 1 i k = − 1a)

m = 2 i k = − 1b)

m = 7 i k = − 5c)

m = − 3001 i k = 2001d)

Jeżeli k = − 23m, to 3k = − 2m i 2m + 3k = 0, czyli funkcja f jest stała.a)

Jeżeli k > − 23m, to 3k > − 2m i 2m + 3k > 0, czyli funkcja f jest rosnąca.b)

Jeżeli k < − 23m, to 3k < − 2m i 2m + 3k < 0, czyli funkcja f jest malejąca.c)

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Własności funkcjiliniowej / Zadania generatoroweZadanie 2.2.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcjiliniowej. Równanie liniowe, nierównośćliniowa / ZadaniaZadanie 2.3.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = x + 3

y = 7x + 21

Zadanie 2.3.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź3√3

Zadanie 2.3.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź? 0, 15 ?

(10, 20)

3 − √17

Zadanie 2.3.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź0,6

x0 = 2a)

x0 = 1b)

x0 = 2,5c)

x0 = 1,25d)

Odpowiedzi

(3, 6)

(− 13 , + ∞)

Rozwiązanie

x = 10b)

x = − 3√2d)

Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) = 3x − 4. Szukamy takich x, dla których 3x − 4 = 0.

Wtedy 3x = 4, skąd x =43 . Zatem funkcja f(x) = 3x − 4 ma jedno miejsce zerowe, x =

Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) = − 12x + 5. Szukamy takich x, dla których − 1

2x + 5 = 0.

Wtedy − 12x = − 5, skąd x = 10. Zatem funkcja f(x) = − 1

2x + 5 ma jedno miejsce zerowe,

x = 10.

Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) =3x − 7

4 . Szukamy takich x, dla których3x − 7

4 = 0. Wte-

dy34x =

74 , skąd x =

73 . Zatem funkcja f(x) =

3x − 74 ma jedno miejsce zerowe, x =

Odpowiedzi

Zadanie 2.3.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 2√5

RozwiązaniePonieważ liczba √5 jest miejscem zerowym funkcji f, to

f(√5) = 0

a ∙ √5 − 10 = 0.

Stąd otrzymujemy, że

√5 =10√5

5 = 2√5.

Zadanie 2.3.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźx > 21; najmniejsza liczba całkowita, która spełnia tę nierówność to 22.

Znajdziemy najmniejszą liczbę całkowitą x, która spełnia nierówność

x21 − 2 >

2 − x19 .

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

x − 4221 >

2 − x19

(x − 42)21 −

(2 − x)19 > 0.

Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę 21 ∙ 19, otrzymujemy nierówność

19 ∙ (x − 42) − 21 ∙ (2 − x) > 0

19x − 798 − 42 + 21x > 0

40x > 840

x > 21

A zatem x = 22 jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność.

Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) = √2x + 6. Szukamy takich x, dla których √2x + 6 = 0.

Wtedy √2x = − 6, skąd x =−6

√2 =−6√2

2 = − 3√2. Zatem funkcja f(x) = √2x + 6 ma jedno miejsce

zerowe, x = − 3√2.

Odpowiedzi

Zadanie 2.3.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźx ≥ − 2

RozwiązaniePrzekształcamy równoważnie daną nierówność

3x2 + 3x + x2 − 2x + 1 ≥ 4x2 − 1.

Po redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy nierówność liniową

x + 1 ≥ − 1

x ≥ − 2

Rozwiązaniem nierówności jest więc każda liczba rzeczywista x nie mniejsza od −2.

Podstawmy za x liczbę 212. Stosując własności działań na potęgach i przekształcając lewą stronę

równości, otrzymujemy

222 − 162 ∙ 212 − 410 = 222 − 28 ∙ 212 − 410 =

222 − 220−220 = 2 ∙ 221 − 2 ∙ 220 = 2(221 − 220) = 2(2 ∙ 220 − 220) =

2 ∙ 220(2 − 1) = 221 = 23 ∙ 7 = 87

Zatem liczba 212 jest rozwiązaniem rozważanego równania.

Zadanie 2.3.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź−3, − 2, − 1, 0

Znajdziemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówności

x(x + 2) < (x − 2)2,

x + 12 > − 2

Przekształcamy równoważnie nierówności.

x2 + 2x < x2 − 4x + 4,(3x + 2)

4 > − 2

Odpowiedzi

6x < 4, 3x + 2 > − 8

x <23 , 3x > − 10

x <23 , x > − 10

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista x należąca do przedziału ( − 103 ,

A zatem liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności to: −3, − 2, − 1, 0.

Zadanie 2.3.3.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy równoważnie nierówności.

4x2 − 4x + 1 < 4x2 + 20x + 25, 36x2 + 24x + 4 ≤ 36x2 − 36x + 9

−24x < 24, 60x ≤ 5

x > − 1, x ≤ 112 .

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista x spełniająca warunek ( − 1,1

12 > .

RozwiązanieZnajdziemy wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają nierówności

(x + 3)2

< (x−4)2, (9x + 7)x ≤ (3x + 1)

Przekształcamy równoważnie nierówności.

x2 + 6x + 9 < x2 − 8x + 16, 9x2 + 7x ≤ 9x2 + 6x + 1

Odpowiedzi

14x < 7, x ≤ 1

x <12 , x ≤ 1

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista x spełniająca warunek x <12 .

A zatem jedyną nieujemną liczbą całkowitą spełniającą nierówności jest liczba 0.

Zadanie 2.3.3.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy równoważnie nierówności.

3x2 − 21x < 3x2 − 10x + 25, − 8x + 110 >

−11x < 25 , − 8x − 1 > 21

x > − 2511 , − 8x > 22

x > − 2511 ≈ − 2, 27, x < − 11

4 ≈ − 2,75.

Ponieważ − 2511 > − 11

4 , to nie istnieje liczba rzeczywista x spełniająca jednocześnie warunki

x > − 2511 , x < − 11

4 . Zatem nie istnieje liczba rzeczywista, która jednocześnie spełnia podane nie-

równości.

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Układ równań liniowych.Geometryczna interpretacja układurównań / ZadaniaZadanie 2.4.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

h(x) = 2x + 1 i k(x) = − x + 4

Zadanie 2.4.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźmają dokładnie jeden punkt wspólny

Zadanie 2.4.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 10

Zadanie 2.4.3.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźA jest punktem wspólnym wykresów funkcji f, g i h

na wykresie funkcji k leżą punkty B i C

Zadanie 2.4.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźI − d, II − a, III − b

Rozwiązanie

I. Układ { x − 2y = 1

−2x + 4y = 4zapisujemy w postaci { y =

12x − 1

y =12x + 1

i sprawdzamy, że jego interpreta-

cja geometryczna znajduje się na rysunku d).

II. Rozwiązaniem układu { x + 2y = 3

3x − y = 2jest para { x = 1

y = 1. Układ zapisujemy w postaci

{ y = − 12x +

y = 3x − 2i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku

Odpowiedzi

III. Rozwiązaniem układu { x + y = 1

2x − y = 2jest para { x = 1

y = 0. Układ zapisujemy w postaci

{ y = − x + 1

y = 2x − 2i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku b).

Zadanie 2.4.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla a = 1 i b = 1 układ ma jedno rozwiązanie

dla a = − 4 i b = − 2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

Zadanie 2.4.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 3 i c ≠ − 10

RozwiązanieW obu równaniach układu wyznaczamy y

{ y = − ax + 5

−2y = − 6x + c

{ y = − ax + 5

y = 3x − 12c

Układ ten nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach y = − ax + 5 i y = 3x − 12c

są równoległe i różne. A zatem −a = 3 i 5 ≠ − 12c, skąd a = − 3 i c ≠ − 10.

− 12 < m < 1

RozwiązanieRozwiązujemy układ metodą podstawiania.

{ x = y + m

2x − 5y = 3m − 1

{ x = y + m

2{y + m − 5y = 3m − 1

Odpowiedzi

{ x = y + m

2y + 2m − 5y = 3m − 1

{ x = y + m

−3y = m − 1

{ x = y + m

y = − 13m +

{ x =23m +

y = − 13m +

Otrzymana para (x, y) spełnia warunek x > 0 i y > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy23m +

13 > 0 i

− 13m +

13 > 0. Wynika stąd, że m > − 1

2 i m < 1, a zatem − 12 < m < 1.

(−1, 6)

{ x − y = 2

3x + y = 2

Zadanie 2.4.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 7 i y = 12

{ 3x + 6y = 21

5x + 10y = 35

Zadanie 2.4.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźx < 0 i y < 0

Odpowiedzi

Zadanie 2.4.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 7 i b = − 3

Zadanie 2.4.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźx + y = − 5

Zadanie 2.4.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 4

Rozwiązanie

• f(x) = − 4x, g(x) = x + 10

Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g wyznaczy-

my taki element x, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem

równanie −4x = x + 10 , które jest równoważne równaniu −5x = 10. Stąd otrzymujemy, że

x = − 2. Zatem

y = f(−2) = g(−2) = 8,

czyli punkt ( − 2, 8) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.

• f(x) = 2x − 5, g(x) = x − 6

równanie 2x − 5 = x − 6, które jest równoważne równaniu x − 5 = − 6. Stąd otrzymujemy, że

x = − 1. Zatem

y = f(−1) = g(−1) = − 7,

czyli punkt ( − 1, − 7) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.

• f(x) = − x + 4, g(x) = 3x − 8

równanie – x + 4 = 3x − 8, które jest równoważne równaniu −4x = − 12. Stąd otrzymujemy,

że x = 3. Zatem

y = f(3) = g(3) = 1,

(−2, 8)a)

(−1, − 7)b)

(3, 1)c)

(−1, − 1)d)

Odpowiedzi

czyli punkt (3, 1) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.

• f(x) =13x − 2

3 , g(x) =38x − 5

równanie13x − 2

3 =38x − 5

8 , które jest równoważne równaniu − x24 =

124 . Stąd otrzymujemy, że

x = − 1. Zatem

y = f(−1) = g(−1) = − 1,

czyli punkt ( − 1, − 1) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.

{ x + y = 0

x − y = 0

{ x + 2y = 1

x + y = 1

{ 119x + 211y = − 73

211x + 119y = 37

Rozwiązanie

• Para liczb x = − 2 i y = 3 jest rozwiązaniem układu równań:

{ x = − 2

{ x = 3

{ x = 2

y = − 5

{ x = 0

Odpowiedzi

{ 4x = − 8

x + 2y = 4

Z pierwszego równania natychmiast wynika, że x = − 2, a po wstawieniu do drugiego równania

otrzymanej wartości x otrzymujemy

−2 + 2y = 4,

czyli y = 3. Para liczb x = − 2 i y = 3 jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu równań.

Interpretacja geometryczna: z pierwszego równania wyznaczamy x, a z drugiego y, skąd otrzymu-

{ x = − 2

y = − 12x + 2

Szkicujemy prostą x = − 2, a następnie prostą y = − 12x + 2 i z wykresu odczytujemy współrzędne

ich punktu przecięcia: ( − 2, 3).

• Para liczb x = 3 i y = 3 jest rozwiązaniem układu równań.

{ 2x − y = 3

17y = 51

Z drugiego równania wynika, że y = 3, a po wstawieniu do pierwszego równania otrzymanej war-

tości y otrzymujemy

2x − 3 = 3,

Odpowiedzi

czyli x = 3. Para liczb x = 3 i y = 3 jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.

Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy

{ y = 2x − 3

Szkicujemy prostą y = 2x − 3, a następnie prostą y = 3 i z wykresu odczytujemy współrzędne ich

punktu przecięcia: (3, 3).

• Para liczb x = 2 i y = − 5 jest rozwiązaniem układu równań

{ x + y = − 3

2x + y = − 1

ponieważ dla x = 2 i y = − 5 otrzymujemy

x + y = 2 − 5 = − 3

2x + y = 2 ∙ 2 − 5 = − 1.

Jest to jedyne rozwiązanie tego układu co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego równania układu

równań

{ y = − x − 3

y = − 2x − 1

Odpowiedzi

Proste o równaniach y = − x − 3 i y = − 2x − 1 nie są równoległe, więc przecinają się w jednym

punkcie. Jest to punkt o współrzędnych (2, − 5).

• Para liczb x = 0 i y = 3 jest rozwiązaniem układu równań

{ 2x + y = 3

2x − 3y = − 9

ponieważ dla x = 0 i y = 3 otrzymujemy

2x + y = 2 ∙ 0 + 3 = 3

2x − 3y = 2 ∙ 0 − 3 ∙ 3 = − 9.

Jest to jedyne rozwiązanie tego układu co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego równania układu

{ y = − 2x + 3

y =23x + 3

Odpowiedzi

Proste o równaniach y = − 2x + 3 i y =23x + 3 nie są równoległe, więc przecinają się w jednym

punkcie. Jest to punkt o współrzędnych (0, 3).

Rozwiązanie

{ x = 0

{ x = 1

y = − 1

{ x = − 2

{ x = 3

y = − 2

Rozwiążemy układ równań { 2x + y = 2

3x − 2y = − 4

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego

równania przez 2, a następnie równania dodamy stronami.

Odpowiedzi

{ 4x + 2y = 4

3x − 2y = − 4

Wynika stąd, że 7x = 0, czyli x = 0.

Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy 4 ∙ 0 + 2y = 4, skąd

y = 2.

Zatem rozwiązaniem danego układu równań jest para liczb x = 0 i y = 2. Jest to jedyne roz-

wiązanie tego układu.

{ y = − 2x + 2

y =32x + 2

Szkicujemy prostą y = − 2x + 2 , a następnie prostą y =32x + 2 i z wykresu od-

czytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: (0, 2).

Rozwiążemy układ równań { 2x + 3y = − 1

4x + 7y = − 3

równania przez −2 a następnie równania dodamy stronami.

{ −4x − 6y = 2

4x + 7y = − 3

Wynika stąd, że y = − 1.

Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy 2x + 3 ∙ (−1) = − 1,

skąd x = 1.

A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = 1 i y = − 1. Jest to jedyne rozwiąza-

Odpowiedzi

nie tego układu równań.

Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy układ

{ y = − 23x − 1

y = − 47x − 3

Szkicujemy prostą y = − 23x − 1

3 , a następnie prostą y = − 47x − 3

7 i z wykresu odczytujemy

współrzędne ich punktu przecięcia: (1, − 1).

Rozwiążemy układ równań { 2x + 3y = − 1

5x + 6y = − 4

równania przez −2, a następnie równania dodamy stronami.

{ −4x − 6y = 2

5x + 6y = − 4

Wynika stąd, że x = − 2.

Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu otrzymujemy 2 ∙ (−2) + 3y = − 1,

skąd y = 1.

Zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = − 2 i y = 1. Jest to jedyne rozwiąza-

nie tego układu.

Odpowiedzi

{ y = − 23x − 1

y = − 56x − 2

Szkicujemy prostą y = − 23x − 1

3 , a następnie prostą y = − 56x − 2

3 i z wykresu odczytujemy

współrzędne ich punktu przecięcia: ( − 2, 1).

Rozwiążemy układ równań { 3x + 4y = 1

4x + 5y = 2

równania przez −4 oraz pomnożymy obie strony drugiego równania przez 3, a następnie

równania dodamy stronami.

{ −12x − 16y = − 4

12x + 15y = 6

Wynika stąd, że y = − 2.

Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy 3x + 4 ∙ (−2) = 1, skąd

x = 3.

A zatem rozwiązaniem danego układu równań jest para liczb x = 3 i y = − 2. Jest to jedyne

rozwiązanie tego układu.

{ y = − 34x +

y = − 45x +

Odpowiedzi

Rozwiązanie

• Rozwiążemy układ równań

{ 95x − 57y = 38

−60x + 36y = − 24

Z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy układ

{ y =53x − 2

y =53x − 2

Szkicujemy prostą y = − 34x +

14 , a następnie prostą y = − 4

5x +25 i z wykresu odczytujemy

współrzędne ich punktu przecięcia: (3, − 2).

nieskończenie wiele rozwiązań (rozwiązaniem jest każda taka para liczb (x, y), że

5x − 3y = 2,

układ sprzeczny,b)

układ sprzeczny,c)

nieskończenie wiele rozwiązań (rozwiązaniem jest każda taka para liczb (x, y), że

2x − y = − 1).

Odpowiedzi

Obydwa równania opisują tę samą prostą o równaniu y =53x − 2

3 . Zatem układ ma nieskończenie

wiele rozwiązań. Są to pary liczb: (x,53x − 2

3 ) , gdzie x ? R.

{ 119x − 34y = 68

−35x + 10y = − 25

{ y =72x − 2

y =72x − 5

Odpowiedzi

Proste o równaniach y =72x − 2 i y =

72x − 5

2 są równoległe i różne, więc dany układ równań nie ma

rozwiązań.

{ 0, 3x − 0, 3y = 0, 3

−2, 5x + 2, 5y = 0

Układ ten jest równoważny układowi

{ x − y = 1

−x + y = 0

{ y = x − 1

Odpowiedzi

Proste o równaniach y = x − 1 i y = x są równoległe i różne, więc dany układ nie ma rozwiązań.

{14x − 1

8y = − 18

− 67x +

{ y = 2x + 1

y = 2x + 1

Odpowiedzi

Obydwa równania opisują tę samą prostą o równaniu 2x + 1. Zatem układ ma nieskończenie wiele

rozwiązań. Są to pary liczb: (x, 2x + 1), gdzie x ? R.

a = − 23

{ y = ax − 5

y = − 23x − 5

Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach

y = ax − 5 i y = − 23x − 5 pokrywają się. A zatem a = − 2

b = − 32

{ y = 2x − 72

y = − 3bx +

, b ≠ 0

Układ ten nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach y = 2x − 72 i y = − 3

bx +10b

Odpowiedzi

są równoległe i różne. Zatem − 3b = 2 i − 7

2 ≠ 10b , skąd b = − 3

2 i b ≠ − 207 ,

czyli dla b = − 32 układ nie posiada rozwiązań.

Rozważmy sytuację, gdy b = 0. W tym przypadku układ równań ma postać

{ 4x − 2y = 7

3x = 10

Wynika stąd, że x =103 , a y =

196 . Zatem dla b = 0 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zatem dla parametru b = − 32 , układ równań nie ma rozwiązania.

−1 < c < − 23

RozwiązanieRozwiązujemy układ metodą podstawiania

{ x = c − 2y

3x + 7y = 2c − 1

{ x = c − 2y

3(c − 2y) + 7y = 2c − 1

{ x = c − 2y

y = − c − 1

{ x = 3c + 2

y = − c − 1

Otrzymana para liczb (x, y) spełnia warunek x < 0 i y < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 3c + 2 < 0 i

−c − 1 < 0. Wynika stąd, że c < − 23 i c > − 1, a zatem c ? (−1, − 2

3 ).Zadanie 2.4.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 2 i k = − 4

Odpowiedzi

{ y = − 13x +

12x +23

Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach

y = − 13x +

m3 i y =

k12x +

23 pokrywają się. Zatem − 1

12 im3 =

Stąd k = − 4 i m = 2. Zatem układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla k = − 4 i m = 2.

RozwiązanieRozwiązujemy układ metodą podstawiania

{ 5( − 3y + 2m − 3) − 2y = m − 3

x = 3y + 2m − 3

{ −15y + 10m − 15 − 2y = m − 3

x = − 3y + 2m − 3

{ x =7m − 15

y =9m − 12

Otrzymana para liczb (x, y) spełnia warunek y = x + 1 wtedy i tylko wtedy, gdy9m − 12

17 = 1 +7m − 15

co jest równoważne równaniu9m − 12

17 =7m + 2

17 . Wynika stąd, że 9m − 12 = 7m + 2, czyli m = 7.

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Układ równań liniowych.Geometryczna interpretacja układurównań / Zadania generatoroweZadanie 2.4.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcjiliniowej / Zadania. Część IZadanie 2.5.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźJabłek jest dziesięć, brzoskwiń jest pięć, a gruszki są trzy.

Rozwiązanie

Oznaczamy przez x liczbę gruszek. Wtedy liczba brzoskwiń to x + 2, a liczba jabłek to 2 ? (x + 2).Otrzymujemy równanie

x + x + 2 + 2 ? (x + 2) = 18

4x = 12

x = 3.

Zadanie 2.5.3.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy przez x liczbę monet jednogroszowych. Wtedy liczba monet dwugroszowych to 2x.

Skoro wszystkich monet jest 135, to liczba monet pięciogroszowych jest równa 135 – 3x. Ponie-

waż cała kwota przekazana przez dziewczynkę to 2 zł 65 gr, to

1 ? x + 2 ? 2x + 5 ? (135 − 3x) = 265,

skąd x = 41.

Zatem monet jednogroszowych jest 41, monet dwugroszowych − 82, a monet pięciogroszowych

− 12.

Zadanie 2.5.3.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy przez x cyfrę dziesiątek, wtedy cyfra jedności to x – 1. Zatem ta liczba dwucyfrowa to

10x + x − 1, czyli 11x − 1.

Z treści zadania wynika, że 11x − 1 = 6(x + x − 1) + 1, skąd x = 4.

Wynika stąd, że cyfra dziesiątek jest równa 4, a cyfra jedności to 3, stąd suma tych cyfr jest równa

Zadanie 2.5.3.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczmy przez x liczbę detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na pierwszym po-

ziomie wydajności. Wtedy liczba detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na drugim

poziomie wydajności to128100x.

Zauważmy, że planowana do wytworzenia liczba detali była równa 21 ? 48 ? x. Przez 9 godzin wy-

produkowano 9 ? 48 ? x, czyli pozostało do wyprodukowania (21 − 9) ? 48 ? x = 12 ? 48 ? x detali.

Aby wyprodukować tę liczbę detali, włączono 45 automatów pracujących na drugim poziomie wy-

Odpowiedzi

dajności. Wykonały one tę pracę w czasie12 ? 48 ? x

45 ?128100

12 ? 48 ? 10045 ? 128 = 10 godzin.

Zadanie 2.5.3.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy przez n szóstą z tych liczb.

Wtedy liczby od pierwszej do piątej to

n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1,

a liczby od siódmej do jedenastej to

n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5.

Zauważmy, że sumę tych jedenastu liczb możemy zapisać jako

n + (n − 5 + n + 5) + (n − 4 + n + 4) + (n − 3 + n + 3) + (n − 2 + n + 2) + (n − 1 + n + 1) = n + 5 ? 2n = 11n.

Otrzymujemy więc równanie

11n = 176

n = 16.

Zatem największa z tych liczb to

n + 5 = 21.

RozwiązanieOznaczamy przez x liczbę celnych rzutów oddanych przez zawodnika startującego w konkursie,

gdzie x jest nieujemną liczbą całkowitą nie większą od 10. Wtedy liczba niecelnych rzutów to 10 − x

, a suma punktów uzyskanych przez tego zawodnika to 8x − 3(10 − x).Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył 47 punktów. Otrzymujemy wówczas rów-

8x − 3(10 − x) = 47

11x = 77

x = 7.

Oddając 7 rzutów celnych i 3 niecelne zawodnik zdobyłby 47 punktów.

Można było uzyskać 47 punktów.a)

Nie można było uzyskać 63 punktów.b)

Odpowiedzi

Wynika stąd, że w tym konkursie można było uzyskać 47 punktów.

Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył 63 punkty. Wtedy

8x − 3(10 − x) = 63

11x = 93

x =9311 .

Uzyskany wynik nie jest liczbą naturalną, stąd nie może być liczbą celnych rzutów. Wobec tego,

startując w tym konkursie, nie można było uzyskać 63 punktów.

Zadanie 2.5.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź10,40 zł

RozwiązanieOznaczamy przez x cenę 1 kg cukierków czekoladowych, zaś przez y cenę 1 kg cukierków toffi.

{ 3x + 5y = 8 ? 9,50

5x + 3y = 8 ? 10,50.

A zatem

{ x = 12

y = 8.

Wynika stąd, że cena 1 kg cukierków czekoladowych jest równa 12 zł, a cena 1 kg cukierków toffi

to 8 zł.

Gdyby połączyć 3 kg takich cukierków czekoladowych i 2 kg takich cukierków toffi, to jeden kilo-

gram otrzymanej mieszanki kosztowałby(3 ? 12 + 2 ? 8)

3 + 2 = 10,40 zł.

Zadanie 2.5.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźw ciągu doby spotykają się (tak jest np. o godzinie 12.00) 22 razy

Zadanie 2.5.3.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzez x oznaczamy liczbę pięciocyfrową, utworzoną przez pięć pierwszych (patrząc od prawej) cyfr

zapisu dziesiętnego pierwszej liczby sześciocyfrowej.

Wtedy pierwsza liczba sześciocyfrowa to 400000 + x, a druga to 10x + 4.

Zapisujemy równanie

400000 + x = 4(10x + 4),

Odpowiedzi

400000 + x = 40x + 16

39x = 399984

x = 10256.

Zatem pierwsza liczba sześciocyfrowa to 410256, a druga to 102564.

Zadanie 2.5.3.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy

• przez y – aktualny wiek Mateusza,

• przez x – aktualny wiek Piotra.

W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.

gdy Mateusz był

w wieku Piotrateraz

gdy Piotr będzie

w wieku Mateusza

wiek Mateusza x y

wiek Piotra 13y x y

Zauważmy, że x − 13y = y − x, czyli x =

Tabelkę wypełniamy ponownie.

gdy Mateusz był

w wieku Piotrateraz

gdy Piotr będzie

w wieku Mateusza

wiek Mateusza 23y y

wiek Piotra 13y

Z treści zadania wiemy, że43y + y = 112, skąd

73y = 112, czyli y = 48 oraz x =

23 ? 48 = 32.

Wobec tego Mateusz ma 48 lat, a Piotr ma 32 lata.

RozwiązanieOznaczamy przez x liczbę znaczków zagranicznych, wtedy 6x to liczba znaczków polskich. Otrzy-

mujemy równanie

x + 6x = 434

x = 62.

Odpowiedzi

Zatem Małgosia ma 62 zagraniczne znaczki.

Uwaga. Z treści zadania wynika, że liczba znaczków zagranicznych stanowi17 liczby wszystkich

znaczków zebranych przez Małgosię, można więc bez układania równania policzyć, że jest ich17 ? 434 = 62.

Zadanie 2.5.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź17, 34, 39

RozwiązanieOznaczamy przez x pierwszą liczbę. Wtedy druga liczba to 2x, a trzecia to 2x + 5. Otrzymujemy

równanie

x + 2x + (2x + 5) = 90

5x + 5 = 90

5x = 85

x = 17.

Zatem poszukiwane liczby to x = 17, 2x = 34, 2x + 5 = 39.

Odpowiedzi

Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcjiliniowej / Zadania. Część IIZadanie 2.5.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź115, 161, 253, 598

RozwiązaniePrzyjmijmy, że pierwsza z tych liczb to 5x. Wtedy druga to 7x, trzecia to 11x, a czwarta to 26x. Su-

ma pierwszej i czwartej liczby to 713, więc otrzymujemy równanie

5x + 26x = 713

31x = 713

x = 23.

Wobec tego 5x = 115, 7x = 161, 11x = 253 oraz 26x = 598.

RozwiązanieOznaczamy przez n dziewiątą z kolei liczbę naturalną spośród tych siedemnastu.

Wtedy liczby od pierwszej do ósmej to

n − 8, n − 7, n − 6, n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1,

a liczby od dziesiątej do siedemnastej to

n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8.

Zauważmy, że sumę tych siedemnastu liczb możemy zapisać jako

n + (n − 8 + n + 8) + (n − 7 + n + 7) + (n − 6 + n + 6) + (n − 5 + n + 5) + (n − 4 + n + 4) + (n − 3 + n + 3) +

+(n − 2 + n + 2) + (n − 1 + n + 1) = n + 8 ? 2n = 17n

17n = 544

n = 32.

Zatem dziewiąta z tych liczb to 32.

Odpowiedzi

Zadanie 2.5.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź50 km

RozwiązanieOznaczamy przez V prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości B (w kilometrach na godzinę).

Wtedy prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości A była równa54V. Zatem w ciągu dwóch go-

dzin pierwszy rowerzysta (jadący z miejscowości A) pokonał drogę równą 2 ?54V =

52V, a drugi –

drogę 2V.

52V + 2V = 90

92V = 90

V = 20.

Prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości B była więc równa 20 km / h, a rowerzysty jadącego

z miejscowości A była równa54 ? 20 = 25 km / h.

Rowerzysta jadący z A po dwóch godzinach dojechał do C, zatem z A do C jest 2 ? 25 = 50 km.

Zadanie 2.5.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź29, 38, 47, 56

RozwiązanieOznaczamy przez x cyfrę dziesiątek tej liczby dwucyfrowej, wtedy jej cyfrą jedności jest 11 − x. Za-

tem ta liczba dwucyfrowa to 10x + (11 − x) = 9x + 11, a liczba powstała po zamianie cyfr to

10(11 − x) + x = 110 − 9x.

Liczba dwucyfrowa jest mniejsza od liczby powstałej po zamianie cyfr, otrzymujemy więc nierów-

ność

9x + 11 < 110 − 9x

18x < 99

x < 512 .

Wobec tego cyfrą dziesiątek może być 5, 4, 3, 2 lub 1. Dla x = 1 otrzymujemy sprzeczność (wtedy

11 − x = 10 > 9), więc są cztery liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania: 56, 47, 38 oraz 29.

Uwaga. Jest tylko osiem liczb dwucyfrowych, których suma cyfr jest równa 11 – są to liczby: 29, 38

, 47, 56, 65, 74, 83, 92. Zapisując dla każdej z nich liczbę otrzymaną po zamianie cyfr, znajdziemy

rozwiązanie zadania bez układania równania.

Odpowiedzi

V > 20,25 km / h

Rozwiązanie

Grupa znajomych jedzie z prędkością 18 km / h i ma do przejechania 54 km, więc pokona tę drogę

w czasie5418 = 3 godzin. To znaczy, że grupa dojedzie do Inowłodza o godzinie 1200.

Oznaczmy średnią prędkość spóźnialskiego przez x (w kilometrach na godzinę). Żeby spóźnialski

dogonił grupę, zanim dojedzie ona do Inowłodza, musi pokonać 54 kilometry w czasie krótszym

niż 2 godziny 40 minut.

Otrzymujemy więc nierówność

24060 ? x > 54

83 ? x > 54

x >54 ? 3

x >814 = 20

Zatem, aby dogonić grupę, zanim dojedzie do Inowłodza, spóźnialski rowerzysta musi jechać ze

średnią prędkością większą niż 20,25 km / h.

RozwiązanieOznaczamy przez x cyfrę setek tej liczby. Wtedy jej cyfrą jedności jest 17 − 5 − x = 12 − x. Zatem ta

liczba trzycyfrowa to 100x + 50 + 12 − x = 99x + 62, a po zamianie cyfr otrzymujemy liczbę

500 + 10x + 12 − x = 9x + 512.

99x + 62 + 90 = 9x + 512

90x = 360

x = 4.

Stąd cyfra setek szukanej liczby to 4, jej cyfra jedności to 12 − 4 = 8, a szukana liczba trzycyfrowa

to 458.

O godzinie 848.

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Zauważmy, że Janek szedł z prędkością 5 km / h przez 2 godziny i 24 minuty do miejsca, w którym

Franek go dogonił. Pokonał więc drogę długości

22460 ? 5 =

125 ? 5 = 12 km.

Franek pokonał te 12 km, jadąc na rowerze przez 36 minut, zatem jego prędkość była równa

123660

= 12 ?53 = 20

Zatem 20 km drogi z domu do babci Franek pokonał przez godzinę. Skoro wyjechał o godzinie 748

, to u babci będzie o godzinie 848.

• setek było 6

• pięćdziesiątki były 3

• dwudziestek było 11

RozwiązanieOznaczamy przez x liczbę banknotów o nominale 50 zł, wtedy banknotów o nominale 100 zł było

2x, a banknotów o nominale 20 zł było x + 2x + 2, czyli 3x + 2.

2x ? 100 + x ? 50 + (3x + 2) ? 20 = 970

200x + 50x + 60x + 40 = 970

310x = 930

x = 3.

Zatem były 3 banknoty o nominale 50 zł, sześć banknotów o nominale 100 zł i jedenaście bank-

notów o nominale 20 zł.

RozwiązanieOznaczmy daną liczbę trzycyfrową przez x. Wtedy po dopisaniu do niej na końcu (z prawej strony)

cyfry 9 otrzymamy liczbę 10x + 9.

10x + 9 = x + 4257

9x = 4248

Odpowiedzi

x = 472.

Szukaną liczbą jest więc 472.

Zadanie 2.5.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź1,75 kg

Rozwiązanie

W 3 kg roztworu o stężeniu 5% soli jest5

100 ? 3 = 0, 15 kg.

Oznaczmy przez x masę wody, którą należy odparować, aby otrzymać roztwór o stężeniu 12%. Po

odparowaniu masa roztworu zmniejszy się o x kg, a masa soli pozostanie bez zmian.

0,153 − x =

12(3 − x) = 100 ? 0,15

36 − 12x = 15

12x = 21

x =74 .

Zatem należy odparować 1,75 kg wody.

Zadanie 2.5.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź67 dorosłych, 155 dzieci

RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę dzieci uczestniczących w przedstawieniu. Wtedy liczba dorosłych to

222 − x, wartość biletów zakupionych przez dzieci to 12x, a wartość biletów zakupionych przez do-

rosłych to 20(222 − x). Łącznie za bilety zapłacono 12x + 20(222 − x), czyli 4440 − 8x.

82% ? (4440 − 8x) = 2624

4440 − 8x = 3200

8x = 4440 − 3200

8x = 1240

x = 155.

Odpowiedzi

Wobec tego na przedstawieniu było 155 dzieci i 67 dorosłych.

Zadanie 2.5.4.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźDziadek ma 72 lata, tata ma 36 lat

RozwiązanieOznaczmy aktualny wiek taty Marka przez x, wtedy aktualny wiek dziadka Marka to 2x.

2x − 18 = 3(x − 18)

2x − 18 = 3x − 54

x = 36.

To znaczy, ze tata Marka ma 36 lat, a dziadek Marka 72 lata.

Zadanie 2.5.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź30 gramów

RozwiązanieOznaczmy przez x masę złota próby 0,680 (w gramach). Wtedy stop ma masę 10 + x gramów i za-

wiera 0,68 ? x + 0,96 ? 10 gramów złota.

0,68 ? x + 0,96 ? 1010 + x = 0,75

68100x +

9610 =

75100 (x + 10)

68x + 960 = 75x + 750

7x = 210

x = 30.

Zatem do stopu należy użyć 30 gramów złota próby 0,680.

Zadanie 2.5.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 kg

RozwiązanieOznaczmy przez x masę drugiego (szesnastoprocentowego) roztworu przelanego do trzeciego na-

czynia. Wtedy roztworu dwunastoprocentowego dolano tam 4 – x kilogamów.

Odpowiedzi

16% ? x + 12% ? (4 − x) = 15% ? 4

16 ? x + 12 ? (4 − x) = 15 ? 4

16x + 48 − 12x = 60

4x = 12

x = 3.

To znaczy, że dolano 3 kg drugiego roztworu.

• I automat – 4 minuty

• II automat – 5 minut

RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę kopert, które przez minutę wytwarza pierwszy automat, przez y - liczbę

kopert, które przez minutę wytwarza drugi automat.

{ 10{x + y = 2700

12x = 15y

{ x + y = 270

x =54y

{54y + y = 270

x =54y

{ y = 270 ?49

x =54y

Odpowiedzi

{ y = 120

x = 150.

Wynika stąd, że

• I automat wytwarza 150 kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie 600 kopert potrze-

buje 4 minut,

• II automat wytwarza 120 kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie 600 kopert po-

trzebuje 5 minut.

RozwiązanieDla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy oznaczenia

• x – cyfra jedności,

• y – liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.

Wtedy szukana liczba trzycyfrowa to 10y + x.

10y + x = y + 650

9y + x = 650.

Zauważmy, że

• liczba x może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

• liczba 650 – x jest podzielna przez 9.

Ponieważ 650 = 72 ? 9 + 2, to x = 2, wtedy y = 72, czyli szukana liczba trzycyfrowa to 722.

Odpowiedzi

Trygonometria / Podobieństwo trójkątówprostokątnych / Zadania. Część IZadanie 3.1.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

sinα =5

13cosα = 12

cosα ? cosβ = √64

√3 ? tgα = tgβ

cosα =7

tg(90 ° − α) < 2

Zadanie 3.1.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźtgα > 1

sinα >12

Zadanie 3.1.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźsin12 ° = cos78 °

tg65 ° ? tg25 ° = 1

Zadanie 3.1.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosα > 0,9

Zadanie 3.1.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźsinα = cos38 °

tgα > 1

Zadanie 3.1.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźsinα > tgβ

cosα + sinβ < 1

sinα ? cosβ + cosα ? sinβ = 1

Odpowiedzi

Zadanie 3.1.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosα = 0,6

tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy25

tgα =8

sin (90 ° − α) =35

sinα =23

Zadanie 3.1.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźα < 45 °

Zadanie 3.1.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1

Odpowiedzi

Trygonometria / Podobieństwo trójkątówprostokątnych / Zadania. Część IIZadanie 3.1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

sinα =2√2

Zadanie 3.1.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź√33

Zadanie 3.1.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźtg40 ° ∙ tg50 °

Zadanie 3.1.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźγ > α > β

sinα =5

13 , cosα =1213 , tgα =

Zauważmy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α ma długość 5, przyprostokątna

przyległa do tego kąta ma długość 12, a przeciwprostokątna ma długość 13. Stąd

sinα =5

13 , cosα =1213 , tgα =

sinα =4041 , cosα =

941 , tgα =

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 40, przyprostokątna

941 , tgα =

817 , tgα =

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 15, przyprostokątna

817 , tgα =

sinα =7

25 , cosα =2425 , tgα =

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 7, przyprostokątna przy-

legła do tego kąta ma długość 24, a przeciwprostokątna ma długość 25. Stąd

sinα =7

25 , cosα =2425 , tgα =

Odpowiedzi

sinα = √210 , cosα =

7√210 , tgα =

a = 1, b = 7

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kątaα ma długość 1, przyprostokątna przy-

legła do tego kąta ma długość 7, a przeciwprostokątna ma długość √12 + 72 = √50 = 5√2.

sinα =1

5√2 = √210 , cosα =

75√2 =

7√210 , tgα =

34 , tgα = √7

a = √7, b = 3

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość √7, przyprostokątna

przyległa do tego kąta ma długość 3, a przeciwprostokątna ma długość √7 + 9 = √16 = 4.

34 , tgα = √7

sinα =13 , cosα =

2√23 , tgα = √2

a = 3, b = 6√2

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 3, przyprostokątna przy-

legła do tego kąta ma długość 6√2, a przeciwprostokątna ma długość √9 + 72 = √81 = 9.

sinα =39 =

13 , cosα =

6√29 =

2√23 , tgα =

36√2 = √2

sinα = √20515 , cosα =

2√515 , tgα = √41

a = √41, b = 2

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość √41, przyprostokątna

przyległa do tego kąta ma długość 2, a przeciwprostokątna ma długość √41 + 4 = √45 = 3√5.

sinα = √413√5 = √205

15 , cosα =2

3√5 =2√515 , tgα = √41

sinβ =4√3

7 , cosβ =17 , tgβ = 4√3

Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta β ma długość 1, przeciwprostokątna ma

długość 7, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √72 − 12 = √48 = 4√3.

sinβ =4√3

7 , cosβ =17 , tgβ =

sinβcosβ =

4√37 ? 7 = 4√3.

sinβ =3√2

5 , cosβ = √75 , tgβ =

3√147

Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta β ma długość √7, przeciwprostokątna ma

długość 5, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √25 − 7 = √18 = 3√2.

sinβ =3√2

5 , cosβ = √75 , tgβ =

sinβcosβ =

√7 =3√14

Odpowiedzi

Zadanie 3.1.5.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźRozważmy trójkąt równoboczny o boku długości 1. Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać

wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów o miarach 60 ° i 30 ° .

sinβ = √5510 , cosβ =

3√510 , tgβ = √11

długość 2√5, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √20 − 9 = √11. Stąd

sinβ = √112√5 = √55

10 , cosβ =3

2√5 =3√510 , tgβ =

sinβcosβ = √11

2√5 ?10

3√5 = √113 .

sinβ =5√74

74 , cosβ =7√74

74 , tgβ =57

długość √74, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √74 − 49 = 5. Stąd

sinβ =5

√74 =5√74

74 , cosβ =7

√74 =7√74

74 , tgβ =sinβcosβ =

5√7474 ?

747√74 =

√3 − 12

Zauważmy, że

(sin30 ° + sin60 ° )2

− 2sin60 ° ? cos30 ° = (12 + √3

− 2√32 ? √3

2 =1 + 2√3 + 3

4 − 32 =

4 + 2√34 − 6

4 − 2√3 − 24 = √3 − 1

Zauważmy, że

(sin60 ° ? tg30 ° + cos30 ° )2

− sin60 ° = (√32 ? √3

3 + √32 )

2− √3

2 =1 + 2√3 + 3

4 − √32 = 1.

Zauważmy, że

(tg30 ° + tg60 ° ) ? sin30 ° ? sin60 ° = (√33 + √3) ?

12 ? √3

2 =1 + 3

√3 ? √34 = 1.

Odpowiedzi

Zadanie 3.1.5.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźRozważmy kwadrat o boku długości 1. Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa,

cosinusa i tangensa dla kąta o mierze 45 ° .

Rozwiązanie

Zauważmy, że 16 ? (sin30 ° + sin245 ° + sin460 ° ) = 16(12 + (√2

+ (√32 )

) = 16(12 +

916 ) = 25.

Zauważmy, że 8 ? (cos230 ° ? cos245 ° + cos60 ° ) = 8((√32 )

2? (√2

+12 ) = 8( 6

16 +12 ) = 7.

Zauważmy, że tg30 ° ? tg45 ° ? tg60 ° =1

√3 ? 1 ? √3 = 1.c)

5cos18 ° + 7sin72 °17sin72 ° − 11cos18 ° =

5cos18 ° + 7sin(90 ° − 18 ° )17sin(90 ° − 18 ° ) − 11cos18 °

=5cos18 ° + 7cos(18 ° )

17cos(18 ° ) − 11cos18 °=

12cos18 °6cos18 ° = 2.

tg22 ° ? tg44 ° ? tg46 ° ? tg68 ° = tg22 ° ? tg44 ° ∙ tg(90 ° − 44 ° ) ∙ tg(90 ° − 22 ° ) =tg22 ° ∙ tg44 °tg44 ° ∙ tg22 ° ? = 1.b)

Zauważmy, że cos72 ° ? cos28 ° = cos(90 ° − 18 ° ) ? cos(90 ° − 62 ° ) = sin62 ° ? sin18 ° .a)

Odpowiedzi

= (3cos71 ° + 2cos71 ° ) ? (sin44 ° + 7sin44 ° ) = 5cos71 ° ? 8sin44 ° = 40cos71 ° sin44 ° .

sin(?ABC) = sin(?BAC) =5√29

sin(?BCA) =2029

Zauważmy, żetg18 °tg54 ° =

1tg72 °

1tg36 °

=tg36 °tg72 °

Zauważmy, że

(3sin19 ° + 2cos71 ° )(sin44 ° + 7cos46 ° ) = (3sin(90 ° − 71 ° ) + 2cos71 ° ) ? (sin44 ° + 7cos(90 ° − 44 ° )) =

sin(?BAC) =35

tg(?BDC) =47

cos(?ABC) =5

tg(?CAB) =7

cos(?CDB) =7

sin(?BAD) =336625

cos(?BAD) =13

tg(?CAB) =4√2

sin(?ACD) =4√226

sin(? BAD) =1517

tg(? DBA) =34

cos(? CAB) =1213

Odpowiedzi

sin(? BAD) =2425 , sin(? CAD) =

35 , cos(?CAB) =

sin (?BAD) =2425 = 2 ∙ 3

5 ∙ 45 = 2 ∙ sin (?CAD) ∙ cos (?CAB)

sin(? BAC) =4041

cos(? ABC) =35

tg(? ACB) =156133

Odpowiedzi

Trygonometria / Tożsamościtrygonometryczne / ZadaniaZadanie 3.2.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźa < 2

7sin2α = 9cos2α

Zadanie 3.2.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosαsinα = 0,2

sinα =5√26

26 i cosα = √2626

Zadanie 3.2.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźtgα = 2√2

Zadanie 3.2.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosα + sinαsinα − cosα = 3

11sinα + 3cosαcosα + 2sinα = 5

(sinα + cosα)2

2 = sinαcosα

1 − (sin4α + cos4α)2 = (sinαcosα)

sin4α − cos4α = sin2α − cos2α

cos2α(tg2α + sin2α) + cos4α = 1

(tgα +1

tgα )2

− (tg2α +1

tg2α ) = 2

Zadanie 3.2.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźtgα > sinα

Odpowiedzi

cosα + sinα > 1

sinα + cosα =3√5

sin4α + cos4α =1725

wyrażenie √cos4α + 4sin2α jest równe 2 − cos2α

wyrażenie √sin4α + 4cos2α + √cos4α + 4sin2α jest równe 3

2sin2α

Zadanie 3.2.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosαsinα =

sinα = √5110

2sin2α − 1

Zadanie 3.2.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest mniejsza od 1

Odpowiedzi

RozwiązanieWykorzystując tożsamość

sin2α+ cos2α = 1,

otrzymujemy

cos2α − (1 − cos2α) =79 .

2cos2α = 1 +79

cos2α =89

sin2α =19

Ponieważ sinα > 0 i cosα > 0, to

cosα = √89 =

2√23

sinα =13

2√23

254121

Z tożsamości

sin2α + cos2α = 1otrzymujemy

cos2α = 1 − sin2α.Zatem

5 − 3cos2α = 5 − 3(1 − sin2α) = 5 − 3(1 − ( 211 )

) = 5 − 3 ?117121 =

254121 .

3√1311

Z tożsamości

sin2α + cos2α = 1

Odpowiedzi

sinα =27 i tgα =

2√515

otrzymujemy

cos2α = 1 − sin2α. Zatem cos2α = 1 − ( 211 )

117121 . Ponieważ cosα > 0, to cosα = √117

121 =3√13

Korzystając z podpunktu b), otrzymujemy

tgα =sinαcosα =

3√1311

3√13 .

√13 tg2α +73 = √13 ( 2

3√13 )2

+73 = √13 ?

49 ? 13 +

73 = √4

9 +73 = √25

9 =53 .

− 103

5√2929

Kąt α jest ostry i tgα =52 . Obliczymy sinα i cosα.

Jeśli tgα =52 , to

sinαcosα =

52 , skąd sinα =

5cosα2 . Ponadto sin2α + cos2α = 1, czyli

(5cos α2 )

2+ cos2α = 1.Zatem

29cos2α4 = 1 cos2α =

429 .Ponieważ sinα > 0 i cosα > 0, to

cosα = √ 429 =

2√2929 , sinα =

52 ∙ 2√29

29 =5√29

2√2929

Zauważmy, że cosα =2√29

Zauważmy, że4sinα + cosα

7cosα − 2sinα =4 ∙

5√2929

+2√29

7 ∙2√29

29− 2 ∙

5√2929

=112 .

Odpowiedzi

2√105

Przekształcamy lewą stronę równości tgα +1

tgα =103 . Otrzymujemy

tgα +1

tgα =sinαcosα +

cosαsinα =

sin2α + cos2αcosαsinα =

1cosαsinα .Zatem

1cosαsinα =

103 , czyli cosαsinα =

Zauważmy, że

(sinα + cosα)2

= sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 2sinαcosα + 1stąd

sinα + cosα = √2 ∙ 310 + 1 = √8

5 =2√10

5 Zatem (sinα + cosα)2

=85 . Ponieważ sinα + cosα > 0,

ostatecznie otrzymujemy

sinα + cosα =2√2

√5 =2√10

Przekształcamy wyrażenie

(tgα +1

tgα )2

= tg2α + 2 ∙ tgα ∙ 1tgα +

tg2α= tg2α +

tg2α+ 2 Zatem

tg2α +1

tg2α= (tgα +

1tgα )

2− 2 = (10

− 2 =829 .

Podnosząc równość stronami do kwadratu, otrzymujemy (sinα − cosα)2

sin2α − 2cosα sinα + cos2α =49

169 1 − 2cosα sinα =49

169 .Ostatecznie otrzymujemy

cosα sinα =60

Zauważmy, że

(sinα + cosα)2

= 1 + 2 sinαcosα = 1 + 2 ∙ 60169 =

169 + 120169 =

289169 sinα + cosα =

1713 .

Podnosząc równość sinα + cosα = 1,4 stronami do kwadratu, otrzymujemy

(sinα + cosα)2

=4925 . Przekształcamy, otrzymując

sin2α + 2cosαsinα + cos2α =4925 1 + 2cosαsinα =

4925 .Ostatecznie otrzymujemy

cosαsinα =1225 .

Przekształcamy wyrażenie sin4α + cos4α, otrzymujemy

Odpowiedzi

• 2sin2α + cos2α = (1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2α

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość

2sin2α + cos2α = (1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2α.

Przekształcamy prawą stronę równości

(1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2α = (1 +sin2α

cos2α )(1 + sin2α)cos2α =

cos2α(1 + sin2α) cos2α =

1 + sin2α =

sin2α + cos2α + sin2α =

2sin2α + cos2α

• sin4α + cos4α = 1 − 2sin2α

1 + tg2α

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość

1 + tg2α.

Przekształcamy prawą stronę równości

1 − 2sin2α

1 + tg2α= 1 − 2sin2α

1 +sin2α

cos2α

= 1 − 2sin2α

cos2α + sin2α

cos2α

= 1 − 2sin2α1

cos2α

= 1 − 2sin2α cos2α

Następnie przekształcamy lewą stronę równości

sin4α + cos4α = sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α − 2sin2αcos2α =

sin4α + cos4α = sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α − 2sin2α cos2α =

(sin2α + cos2α)2

− 2(sinαcosα)2

= 1 − 2(sinαcosα)2.Ponieważ sinαcosα =

1225 , to

sin4α + cos4α = 1 − 2(sinαcosα)2

= 1 − 2 ∙ 144625 =

337625 .

Odpowiedzi

= (sin2α + cos2α)2

− 2sin2α cos2α = 1 − 2sin2α cos2α.

Zatem dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość

1 + tg2α.

• cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α)Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość

cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α ).

Przekształcamy lewą stronę równości, stosując odpowiedni wzór skróconego mnożenia

cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos4α − sin4α ) =

= (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α)(cos2α + sin2α) =

(cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α).

Zadanie 3.2.3.30 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy prawą stronę równości

√sin4α − 2cos2α + 3 + √cos4α − 2sin2α + 3 =

√sin4α + 2sin2α + 1 + √cos4α + 2cos2α + 1 =

√(sin2α + 1)2

+ √(cos2α + 1)2

= sin2α + 1 + cos2α + 1 = 3.

Odpowiedzi

Trygonometria / Tożsamościtrygonometryczne / ZadaniageneratoroweZadanie 3.2.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Trygonometria / Zastosowanietrygonometrii w geometrii / ZadaniaZadanie 3.3.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźwysokość AD opuszczona z wierzchołka A na bok BC ma długość 2

pole trójkąta ABC jest równe 4

Zadanie 3.3.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźpole trójkąta ABC jest równe 6

wysokość CD opuszczona z wierzchołka C na bok AB ma długość 2

Zadanie 3.3.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźwysokość DE opuszczona z wierzchołka D na bok BC ma długość 5√3

kąt ABD ma miarę większą niż 30 °

| BD | = 12

pole trapezu ABCD jest równe 36√3

trójkąt ASD ma pole równe35√3

Zadanie 3.3.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźkąt ABC ma miarę 4 razy większą od miary kąta ACD

Zadanie 3.3.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźodległość punktu C od prostej AB jest równa 4

Zadanie 3.3.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźpole trapezu ABCD jest równe 21

dłuższe ramię trapezu ABCD jest równe 5

kąt nachylenia krótszej przekątnej tego trapezu do podstawy jest większy niż 30 °

pole trójkąta ADF stanowi3

10 pola trójkąta ABC

pole trójkąta BDE stanowi16 pola trójkąta ABC

pola trójkątów DEF i CEF są równe

Odpowiedzi

Zadanie 3.3.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź120º

Zadanie 3.3.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź45 °

| AC | = 3

| BC | = 3√3

PABC =9√3

Rozwiązanie

| AC || AB |

= sin30 °

| AC |6 =

Odpowiedzi

| AC | = 3,| BC || AB |

= cos30 °

| BC |6 = √3

| BC | = 3√3

PABC =12 ? 3 ? 3√3 =

9√32

Rozwiązanie

| ?ACB | = 180 ° − ( | ?ABC | + | ?BAC | ) = 180 ° − (75 ° + 75 ° ) = 30 °

PABC =12 ? 2 ? 2 ? sin30 ° =

12 ? 2 ? 2 ?

12 = 1

Rozwiązanie

Oznaczmy | ?DAB | = α, wtedy | ?ABC | = 4α. Z własności równoległoboku

α + 3α = 180 ° , więc α = 45 ° .

PABCD = | AB | ? | AD | ? sin45 ° = 5 ? 8 ? √22 = 20√2.

RozwiązaniePole trapezu ABCD jest równe

PABCD =12 | AC | ? | BD | ? sin(?AMD),

PABCD =12 ? 10 ? 10 ? sin30 ° =

12 ? 10 ? 10 ?

12 = 25.

RozwiązanieW trójkącie prostokątnym ADE

sin(?DAE) =| DE || AD |

Odpowiedzi

stąd2√2

| AD |= sin45 ° , czyli | AD | ? √2

2 = 2√2, zatem | AD | = 4.

Trójkąt BFG jest przystający do trójkąta AED, więc

| GB | = 4.

W trójkącie prostokątnym DGC

sin(?CDG) =| CG || DG |

| CG |2√2 = sin45 ° ,

| CG | = 2√2 ? √22 ,

zatem | CG | = 2.

Trójkąt ten jest równoramienny, więc | CD | = 2.

Wobec tego

| AC | = | AD | + | DC | = 4 + 2 = 6

oraz | BC | = 6, zatem pole trójkąta ABC jest równe

PABC =12 ? 6 ? 6 = 18.

Rozwiązanie

W trójkącie równoramiennym CDE mamy | CD | = 6 i | ?CED | = 120 ° .

Oznaczmy przez h1 wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka E na bok CD. Wówczash13 = tg 30 ° , więc

h1 = 3 ? √33 = √3.

W trójkącie równoramiennym ABE mamy | AB | = 18 i | ?AEB | = 120 ° .

Oznaczmy przez h2 wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka E na bok AB. Wówczash29 = tg 30 ° , stąd

h2 = 9 ? √33 = 3√3.

Wynika z tego, że wysokość trapezu ABCD jest równa

Odpowiedzi

h2 − h1 = 3√3 − √3 = 2√3,

zatem jego pole jest równe

PABCD =12 (18 + 6) ? 2√3 = 24√3.

| AC | = 5√41

RozwiązanieOznaczmy literą E – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka D rombu ABCD na bok AB, literą

F – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C rombu ABCD na prostą AB. Wtedy trójkąty AED

oraz BFC są przystające (na mocy cechy bkb), zatem

| DE | = | CF | i | AE | = | BF | .

W trójkącie prostokątnym AED mamy

tg (?DAE) =| DE || AE |

=409 .

Oznaczmy | DE | = 40x, wtedy | AE | = 9x. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

(412 )

2= (40x)

2+ (9x)

stąd 1681x2 =1681

4 . Ponieważ x > 0, to x =12 . Stąd

| AE | =92 , | DE | = 20.

Wobec tego w trójkącie prostokątnym AFC

| AF | = | AB | + | BF | = 25 , | CF | = 20.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

| AC |2

= | AF |2

+ | CF |2

| AC |2

= 252 + 202.

Ponieważ | AC | > 0, to

| AC | = √1025 = 5√41.

| AC | = 15, | BC | = 8, pole koła wpisanego jest równe 9π.

RozwiązaniePonieważ

Odpowiedzi

tg(?ABC) = 1,875,

to| AC || BC |

= 1,875 =158 .

Oznaczmy | AC | = 15x, wtedy | BC | = 8x. W trójkącie ABC, z twierdzenia Pitagorasa mamy

172 = (15x)2

+ (8x)2,

stąd 289x2 = 289. Ponieważ x > 0, to x = 1.

| AC | = 15, | BC | = 8.

Ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny, to promień r koła wpisanego w ten trójkąt, jest równy

r =| AC | + | BC | − | AB |

r =15 + 8 − 17

2 = 3.

Wobec tego pole koła wpisanego w trójkąt ABC jest równe π ? 32, czyli 9π.

Zadanie 3.3.3.27 (Wróć do zadania)Rozwiązanie

Oznaczmy | ?BAC | = α, | AD | = 5a i | AE | = 3b.

Wtedy | DB | = 4a, skąd | AB | = 9a oraz | EC | = 2b, zatem

| AC | = 5b

Pola trójkątów ABC i ADE są wówczas równe

PABC =12 ? | AB | ? | AC | ? sinα,

PABC =12 ? 9a ? 5b ? sinα,

PADE =12 ? | AD | ? | AE | ? sinα, czyli

PADE =12 ? 5a ? 3b ? sinα.

PABCPADE

? 9a ? 5b ? sinα

? 5a ? 3b ? sinα= 3.

Odpowiedzi

To spostrzeżenie kończy dowód.

Odpowiedzi

Liczby / Liczby naturalne, całkowite,wymierne / ZadaniaZadanie 4.1.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

• liczby naturalne: 7, (15 )

−1, √9, 0.

• liczby, które nie są liczbami naturalnymi: −4,32 , √3, 4√5 − √5.

• liczby całkowite: − 4, 7, (15 )

−1, √9, 0,

• liczby, które nie są liczbami całkowitymi:32 , √3, 16−1.

• liczby wymierne: − 4, 16−1,32 , (1

5 )−1

, 7, √9, 0,123 .

• liczby, które nie są liczbami wymiernymi (niewymierne): √3, 4√5 − √5, π.

Wynikiem działania12 − 1

4 − 18 − 1

16 jest liczba1

Wynikiem dzielenia 312 : 2

34 jest liczba 1

Zadanie 4.1.2.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźIloczyn liczb 2,35 i 0,4 jest równy 0,94.

Wynikiem działania0,92 + 0,490,3 ∙ 0,1 jest liczba 47.

Liczba 137 jest odwrotna do liczby

Taka liczba to np. −2.a)

Taka liczba to np. − 12 .b)

Nie. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, np.

4 =41 =

−8−2 = …

Nie. Każda liczba naturalna jest całkowita.d)

Odpowiedzi

Liczbą przeciwną do1120 jest liczba ( − 0,55).

Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie przeciwną.

Liczbą odwrotną do liczby 225 jest liczba przeciwna do liczby − 5

Liczba 0, (36) leży pomiędzy liczbami9

25 i37

Podwojonym iloczynem liczb 235 i − 1

2 jest −2,6.

Wynik działania2,75 − 1

: (−3,375)

5 − 249

jest liczbą większą od 1.

Ułamek 0, (27) jest równy3

Liczba 3, (6) jest wymierna.

Suma liczb 0, (4) + 0, (18) jest równa 0, (62).

Dwudziesta pierwsza cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 0, (725) jest równa 5.

Największą liczbą, przez jaką można skrócić licznik i mianownik ułamka23762592 jest 216.

Ułamek13263913 jest ułamkiem skracalnym.

Ułamek520

1041 jest ułamkiem nieskracalnym.

Odpowiedzi

Zadanie 4.1.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźab

38440320 =

0,02(27)

xy = 1335

Zadanie 4.1.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedźxy = 3

0, (428571)

0, (552)

x + y =14980

x − y = − 980

xy =553640

64 = 0,078125

111 = 0, (09)a)

3130 = 1,0(3)b)

Odpowiedzi

RozwiązanieJednocyfrowe liczby całkowite, dodatnie, podzielne przez 4 to 4 i 8. Suma kwadratów odwrotności

tych liczb jest równa

64 = 0,078125.

−0,1125

0,8640625

Zadanie 4.1.2.29 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo wykonaniu działań otrzymamy

a =12 +

32 + 4 +

52 + 4 + 6 =

b =23 +

43 + 5 +

63 + 5 + 7 =

4730 .

12b − 1

5a =12 ∙ 47

30 − 15 ∙ 17

12 =3060 =

0, (36) <5

2, (9) = 3c)

2, (3) +1

11 < 2 ∙ 1, (27)d)

6,7(2)a)

Odpowiedzi

RozwiązanieTą liczbą jest średnia arytmetyczna liczb x i y.

Są tylko dwa takie ułamki37 i

0, (8)b)

− 125154

− 3714

0,8(3)a)

2,291(6)b)

0,1(86)c)

−6,875d)

125312

5,3(48)b)

a + bab2 =

a + b2ab

np.135112

np.6518 = 3

np. −57

Odpowiedzi

Zadanie 4.1.2.38 (Wróć do zadania)OdpowiedźDodatnie liczby całkowite a i b muszą spełniać warunki: a ≥ 5 i b ≥ 5 i a ∙ b < 44.

Jest 10 takich par: { a = 5

b = 5, { a = 5

b = 6, { a = 5

b = 7, { a = 5

b = 8,{ a = 6

b = 5, { a = 6

b = 6, { a = 6

b = 7, { a = 7

b = 5, { a = 7

b = 6,

{ a = 8

b = 5.

Rozwiązanie

Rozważmy nierówność37 <

a11 . Wspólnym mianownikiem obu ułamków jest 77. Otrzymujemy nie-

równość3377 <

7a77 , czyli 33 < 7a, stąd a >

337 . Ponieważ a jest liczbą dodatnią i całkowitą, zatem

otrzymujemy a ≥ 5.

Przeprowadź podobne rozumowanie dla pozostałych dwóch nierówności, aby dowiedzieć się, ja-

kie warunki spełnia b oraz a ∙ b.

Zadanie 4.1.2.40 (Wróć do zadania)OdpowiedźUłamek jest skracalny na przykład dla:

• n = 3 ułamek jest równy7

14 , a po skróceniu12

• n = 10 ułamek jest równy2135 , a po skróceniu

• n = 17 ułamek jest równy3556 , a po skróceniu

W każdym przypadku ułamek można skrócić przez 7.

Zauważymy, że (2a + 1) − 2a = 1. Zatem dla dowolnej liczby naturalnej a ułamek jest nieskracalny.

Zadanie 4.1.2.42 (Wróć do zadania)OdpowiedźZauważmy, że

3 ∙ (7n + 11) − 7 ∙ (3n + 4) = 5,

więc dla ustalonej liczby naturalnej n wspólny dzielnik liczb 7n + 11 i 3n + 4 jest dzielnikiem liczby

5. Wynika z tego, że nie istnieje taka liczba naturalna n, dla której ułamek7n + 113n + 4 można skrócić

przez liczbę większą niż 5.

Ułamek jest skracalny np.

• dla n = 2 otrzymujemy ułamek2510 , a po skróceniu

Odpowiedzi

W każdym przypadku ułamek został skrócony przez 5.

Odpowiedzi

Liczby / Procenty / ZadaniaZadanie 4.2.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź45% liczby z jest równe 15. Wtedy z > 33.

Zadanie 4.2.2.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba o 20% większa od 120 jest równa 144.

Zadanie 4.2.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźCenę książki obniżono o 20%. Jeśli sprzedawca chciałby sprzedawać ją po takiej cenie jak przed

obniżką, to powinien podwyższyć nową cenę o 25%.

Cenę telewizora obniżono o 15% i teraz kosztuje 1519,8 zł. Z tego wynika, że przed obniżką tele-

wizor kosztował 1788 zł.

Zadanie 4.2.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźKażdy z boków pierwszego trójkąta jest o 30% krótszy od odpowiedniego boku drugiego trójkąta.

Z tego wynika, że obwód pierwszego trójkąta jest o 30% mniejszy od obwodu drugiego trójkąta.

Zadanie 4.2.2.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźRysy są niższe od Gerlacha o mniej niż 5,88%.

Zadanie 4.2.2.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźW klasie Ia dziewczęta stanowią 60% wszystkich uczniów, a jednocześnie jest ich o 4 więcej niż

chłopców. Wynika z tego, że w tej klasie jest 20 uczniów.

Zadanie 4.2.2.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli oprocentowanie lokaty wynosiło 10% i zostało zwiększone o 20%, to znaczy, że zwiększyło

się o 2 punkty procentowe.

Zadanie 4.2.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź68,75%

33, (3)%

Zadanie 4.2.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź125% liczby gruszek

Odpowiedzi

Zadanie 4.2.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest mniejsze o 4% od pola trójkąta ABC

Zadanie 4.2.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź1456 zł

Zadanie 4.2.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź75 litrów

Zadanie 4.2.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 20%

Zadanie 4.2.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź80%

Zadanie 4.2.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 1,35 zł

Zadanie 4.2.2.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźWymienione liczby są równe.

Zadanie 4.2.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 12%

12,5%a)

62,5%b)

ok. 17,9%c)

1353 zła)

3089,43 złb)

ok. 81%c)

123%d)

Odpowiedzi

Zadanie 4.2.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźo około 23,4%

Zadanie 4.2.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźCena netto laptopa jest równa 929 zł. Stawka podatku VAT na sprzęt elektroniczny wynosi 23%.

Markowi wystarczy 1200 zł na zakup tego laptopa.

Zadanie 4.2.2.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźW rocznym rozliczeniu podatkowym pan Jacek wykazał, że podstawa naliczenia podatku PIT w

2013 roku, od jego dochodów wynosiła 58 625 zł. Podatek, który zapłaci za ten rok to 9 996,48 zł.

(19 011 + 13 730) − 31 878 = 863 (zł).

Zadanie 4.2.2.27 (Wróć do zadania)OdpowiedźPodatek Doroty wynosi 27 630 zł.

Zadanie 4.2.2.28 (Wróć do zadania)OdpowiedźNie, zapłacony podatek wyniesie 22 440 zł.

Zadanie 4.2.2.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź6 kg

Zadanie 4.2.2.30 (Wróć do zadania)OdpowiedźBez rabatu 1 kg cukru kosztuje 4 zł.

Zadanie 4.2.2.31 (Wróć do zadania)OdpowiedźNa koniec marca benzyna kosztowała około 5,26 zł.

Zadanie 4.2.2.32 (Wróć do zadania)OdpowiedźDziewczęta stanowią około 37% uczniów w klasie.

Marta zapłaci 19 011 zł, a Jan - 13 730 zł.a)

Jeśli rozliczą się wspólnie, podatek wyniesie łącznie 31 878 zł, czyli zaoszczędząb)

Odpowiedzi

Liczby / Procenty / Zadania generatoroweZadanie 4.2.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacjawykładnicza / ZadaniaZadanie 4.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Liczba 3−6 jest równa1

Liczba (−4)2

jest równa 16.

Liczba (√7)12

jest równa 76.

2−1 + 3−1 + 5−1

3,45 ∙ 10−11

Zadanie 4.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźxy ∙ z = 618

15625a)

−15625b)

115625

− 115625

15625e)

Odpowiedzi

Liczba216 ∙ 423

810 jest równa 168.

Liczba 328 jest równa 2565.

Liczba 25 ∙ 55 jest równa 100000.

115625

−1c)

−6d)

(125 )

2−4a)

22014b)

72 ∙ 50 = 2450a)

11 ∙ (−120) = − 1320b)

a−8a)

a−1b)

Odpowiedzi

Ułamek363

36 jest równy 64.

Równość3 ∙ 52013 + 52014

52013 ∙ 23 = 1 jest prawdziwa.

Zadanie 4.3.2.16 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrawdziwa jest nierówność a < b .

Zadanie 4.3.2.17 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrawdziwa jest nierówność m > n .

Iloczynem liczb 5,6 ∙ 1015 i 3,5 ∙ 10−7 jest liczba 1,96 ∙ 109.

Odpowiedzi

Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacjawykładnicza / Zadania. Część IZadanie 4.3.4.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba √289 jest równa 17.

Zadanie 4.3.4.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba √2 ∙ √32 jest równa 8.

Liczba3√36 ∙ 3√6 jest liczbą całkowitą.

Zadanie 4.3.4.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba √1575 jest równa 15√7.

Liczba 3√5 jest równa √45.

Liczba1

√3 jest równa √33 .

Liczba7

√7 jest równa √7.

Liczba3

4√2 jest równa38√2.

Liczba ( 5

√2 )−3

jest mniejsza od 1.

Liczba ((−2√5)−1)

−2jest liczbą dodatnią.

Wynikiem dodawania 2999 + 2999 jest 21000.

Zadanie 4.3.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźnaturalna

Odpowiedzi

x = 224 , y = 212 zatem, x = 224 = (212)2

Lewa strona nierówności jest równa(3−2)

3∙ 32

27−2 = 32.

Prawa strona nierówności jest równa (√33√27)

−1= 3−1, czyli nierówność 32 > 3−1 jest prawdziwa.

16√5a)

13√2b)

10√2c)

−23√4d)

Odpowiedzi

Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacjawykładnicza / Zadania. Część IIZadanie 4.3.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

LICZBY DODATNIE: 35 , (−2)4, (1

2 )−2

, (− 12 )

−2, 24, 2−4, 3−5

LICZBY UJEMNE:

−24, −35 , −(12 )

−2, (− 1

3 )3, (− 1

3 )−3

, −(13 )

3, (−3)

Zadanie 4.3.5.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-C, II-A, III-E, IV-B.

Zadanie 4.3.5.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-F, II-B, III-E, IV-D, V-G, VI-C, VII-A

Zadanie 4.3.5.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-B, II-C, III-A, V-D

532010 < 532014a)

(−3)76

< (−3)80b)

−376 > − 380c)

4 )10d)

(− 23 )

3 )8e)

(√22 )

10> (√2

2 )15f)

(√22 )

−7< (√2

2 )−10g)

(√2 + 2)20

< (√2 + 2)60h)

(√2 − 2)20

> (√2 − 2)60i)

6 )−4j)

Odpowiedzi

Zapis dziesiętny Notacja wykładnicza

1350000000000000 1, 35 ∙ 1015

13500000000000 1, 35 ∙ 1013

136000000000000 1, 36 ∙ 1014

0, 0000000000000135 1, 35 ∙ 10−14

0, 00000000000135 1, 35 ∙ 10−12

0, 00000000000136 1, 36 ∙ 10−12

7,42 ∙ 1021a)

1,28 ∙ 1042b)

3,44 ∙ 10−29c)

2 ∙ 10−7d)

6 ∙ 104e)

Odpowiedzi

Liczby / Wyrażenia algebraiczne /ZadaniaZadanie 4.4.2.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźIloczyn 8 ∙ 1256 jest równy 8000 + 1600 + 400 + 48.

Jeżeli a =12x(5x − 8) oraz b =

52x2 − 4x, to a = b.

Dla dowolnej liczby x zachodzi równość (x − 2)(x + 1) = x2 − x − 2.

Wyrażenie 2x(3 − 5x) + 10(x2 − x + 4) jest równe 4(10 − x).

Zadanie 4.4.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeśli a > 3, to pole równoległoboku przedstawionego na rysunku jest równe

a2 + a − 12.

Liczba √2(√8 + √32) jest całkowita.

Liczba (√2 + 2√3)(√3 − √2) − 1 jest dodatnia.

Liczba 35 + 7√3 jest równa 7(5 + √3).

Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie 5x3y − 10xy2 jest równe 5xy(x2 − 2y).Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie x(y − 4) + 5(y − 4) jest równe (y − 4)(x + 5).

Odpowiedzi

dla x = − 12 wartość wyrażenia W jest równa ( − 7

istnieje taka liczba x, dla której wartość wyrażenia W jest równa 0

b = d − 12c

a − b = c − d

Jeżeli dodatnie liczby x, y, z spełniają zależność (z + y)x = 1, to x =1

z + y .

Odpowiedzi

Liczby / Wyrażenia algebraiczne /Zadania, zadania generatoroweZadanie 4.4.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

RozwiązanieDo takich obliczeń możemy wykorzystać wzory skróconego mnożenia

(a + 5)2

= a2 + 10a + 25

(x + 3√2)2

= x2 + 6x√2 + 18

(12x − 3

=14x2 − 3

2x +94

2(x − 4)(x + 4) + 32 = 2x2

Rozwiązanie

43681a)

88209b)

39991c)

2092 = (200 + 9)2

= 40000 + 3600 + 81 = 43681a)

2972 = (300 − 3)2

= 90000 − 1800 + 9 = 88209b)

203 ∙ 197 = (200 + 3)(200 − 3) = 40000 − 9 = 39991c)

(√2 + 3)2

= 11 + 6√2a)

(3 − √5)2

= 14 − 6√5b)

(3√2 + 2√3)2

= 30 + 12√6c)

(12√2 − 1

3√3)2

=56 − 1

3√6d)

(√2 + 3)2

= (√2)2

+ 2 ∙ 3 ∙ √2 + 32 = 11 + 6√2a)

(3 − √5)2

= 32 − 2 ∙ 3 ∙ √5 + (√5)2

= 14 − 6√5b)

(3√2 + 2√3)2

= (3√2)2

+ 2 ∙ 3√2 ∙ 2√3 + (2√3)2

= 18 + 12√6 + 12 = 30 + 12√6c)

Odpowiedzi

Zadanie 4.4.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź−12√2

6x4 + 10x2 − 24

−3(a − 2b)(a + b)

Zadanie 4.4.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź12a2b = 9x2 − 12x + 4

ab − a2

4a2 + 22a + 24

(1 − √5x)(1 + √5x)

Zadanie 4.4.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź15 + 10√2

(12√2 − 1

3√3)2

= (12√2)

2− 2 ∙ 1

2√2 ∙ 13√3 + (1

3√3)2

=12 − 1

3√6 +13 =

56 − 1

3√6d)

1218b)

3176c)

Odpowiedzi

4003b)

−54x2 − 12x + 2a)

−2x3 − 3x2 + 8x + 12b)

x2z2 + y3z + x2yz + xyz + x3z + y4 + xy3 + xy2 + x2yc)

5y2 − 7y3 − 12d)

12x2 − 7

9x − 49

6x3 − 8x2 − 10x + 4f)

4y5 + 4y4 − 10y3 + 3y2 + 9y − 10g)

5√2x2 + 4x√6x − 3√2h)

3√3a2 − 21a + 12√3i)

6x2 + x√6 − 2j)

2ab(2b2 − a + 3)a)

xy(2x2 + 18xy + 9y2)b)

−2x(x − 3)(x − 1)(3x + 2)c)

6a(a − 1)(a + 5)d)

2(x − 1)(x + 3)(3x + 8)e)

xy(xy + x2 + 3)f)

(x + z)(xz + xy + 3)g)

6x2 − 11x. Dla x = 2√3 wartość wyrażenia wynosi 72 − 22√3a)

−10x + 3. Dla x =12 + √2 wartość wyrażenia wynosi −2 − 10√2b)

6x3 + 4x. Dla x =3√5 wartość wyrażenia wynosi 30 + 4

3√5c)

Odpowiedzi

Zadanie 4.4.4.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźa − I

b − II

c − III

d − IV

e − V

f − VI

Element g pozostaje bez przypisanej figury.

Różnica pól prostokątów jest równa (a + 5 + 3) ∙ (2a + 5 − 4) − (a + 5) ∙ (2a + 5) = 2a − 17.

P = 2((y + 4)(z + 6) + (y + 4)(x + z) + (x + z)(z + 6) = 2z2 + 4yz + 2xz + 28z + 2xy + 12y + 20x + 48

√3 − 12√3 + 4 = √3 − 1

2√3 + 4 ∙ 2√3 − 42√3 − 4 =

−6√3 + 10−4 =

−6(√3 − 1) + 4

−4 =3(√3 − 1)

2 − 1

RozwiązanieDla udowodnienia tej równości możemy usunąć niewymierność z mianownika.

Zadanie 4.4.4.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-E, II-F, III-D, IV-C, V-A, VI-B

Zadanie 4.4.4.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźPoprawnie uzupełniona tabela.

−13x2 + 14x − 4 . Dla x = − 3√5 wartość wyrażenia wynosi −589 − 42√5d)

2x4 + 4x2 − 53. Dla x = 3√10 wartość wyrażenia wynosi 16507e)

12x2 − 92 . Dla x = 1 + 2√2 wartość wyrażenia wynosi 16 + 48√2f)

Odpowiedzi

Nazwa wyrażenia Zapis symboliczny wyrażenia

kwadrat sumy dwóch wyrażeń (p + q)2

suma kwadratów dwóch wyrażeń p2 + q2

suma odwrotności dwóch wyrażeń 1p +

odwrotność sumy dwóch wyrażeń 1p + q

różnica kwadratów dwóch wyrażeń p2 − q2

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń (p − q)2

podwojony iloczyn dwóch wyrażeń 2pq

potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń 3(p + q)2

potrojona suma kwadratów dwóch wyrażeń 3(p2 + q2)

odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń 1

p2 − q2

odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń1

(p − q)2

suma kwadratów odwrotności dwóch wyrażeń 1

Zadanie 4.4.4.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-E, II-F, III-A, IV-D, V-B, VI-C.

Odpowiedzi

Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym/ Potęga o wykładniku wymiernymZadanie 4.5.1.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-E, II-F, III-G, IV-A, V-B, VI-J, VII-C, VIII-H, IX-D

Odpowiedzi

Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym/ ZadaniaZadanie 4.5.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

√27 = 332

√115 = 1152

4√63 = 634

(3√5)5

(3√6)4

5√81 = 345

4√125 = 534

(6√11)5

= 1156

5√121 = 1125

√0, 1 = 10−

3√0, 04 = 5−

3√6−4 = 6−

1165, 5

54 , 6

−34, 4

√243 = √35 = 352

94√3 = 32 ∙ 3

14 = 3

2 +14 = 3

33√3 = 3 ∙ 3

13 = 3

32 = 352

− 2= 3

√√3 = √312 = (3

Odpowiedzi

x = 23√4 = 2

3√22 = 21 ∙ 223 = 2

Ponieważ53 <

73 to 2

53 < 2

73, czyli liczba 2

53 spełnia nierówność x < 2

2 ∙ 51110

Zadanie 4.5.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = y

Zadanie 4.5.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź4√0,25

x > 21

Zadanie 4.5.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźc < b < a

3√3√3 =3√3 ∙ 3

12 = (3 ∙ 3

∙13 = 3

3√9 ∙ √27 =3√32 ∙ √33 = 3

23 ∙ 3

32 = 3

+32 = 3

4√0,2 ∙ 3√25 =4√5−1 ∙

3√52 = 5−

14 ∙ 5

23 = 5

+23 = 5

√125 ∙ 4√125 = √53 ∙4√53 = 5

32 ∙ 5

34 = 5

8√2 ∙ 43√2 = 23 ∙ 2

12 ∙ 22 ∙ 2

13 = 2

+ 2 +13 = 2

−23, 5

−15, 5

(0, 3)58, (0, 3)

37, (0, 3)

13, (0, 3)

−12, (0, 3)

−56(0, 3)

−3b)

3√4,4√32 ,

3√16, √8,4√128,

3√256c)

Odpowiedzi

3−3a)

25,5d)

21,5g)

x−3c)

x−2,5d)

Odpowiedzi

−72c)

8 − 2√13e)

Odpowiedzi

Liczby / Nierówności, przedziały,odległość / Przedziały liczbowe.Przedziały jako zbioryZadanie 4.6.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Liczby / Nierówności, przedziały,odległość / Wartość bezwzględna -definicjaZadanie 4.6.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Odpowiedzi

Zadanie 4.6.3.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-G, II-A, III-F, IV-D, V-C, VI-B, VII-E

Odpowiedzi

Liczby / Nierówności, przedziały,odległość / ZadaniaZadanie 4.6.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

(−3,3)

Zadanie 4.6.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 oraz 9

?−10,2?

?1,32?

Zadanie 4.6.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź2x − 3 ≥ x + 6

? − 12 , ∞)

Odpowiedzi

(312 , 4)

x ≥ − 16√315

x >13√5

x > − √22

x ≥ − √6 + 2√32

x ≥ −5(√21 + √7)

x >9(8√3 + 6√2)

x < − 4724

x > 0b)

x < − 75

x < − 4733

x < 4e)

x ≥ 6527

? √13, + ∞)a)

( − ∞, 2√2)b)

? 1 + √3, + ∞)c)

? −7, 8 ?d)

( − ∞, −3 ? ? (5, + ∞)e)

? −4, 10)f)

Odpowiedzi

−1, 0, 1a)

0, 1, 2, 3, 4, 5b)

nie istnieje taka liczbac)

−4, − 3d)

42 < x < 43a)

−126 ≤ x ≤ − 116b)

−215 < x ≤ 210c)

5 − √6 ≤ x ≤ 5 − √2d)

x < 518e)

x ≥ − √7f)

x < 5 lub x ≥ 9g)

x = 4 lub x = 16a)

x = − 66 lub x = − 44b)

x =16 lub x =

x = − 9 lub x = − 212

x =12 lub x = 7

x = − 113 lub x = 4

x = − 2 lub x = 10g)

x = − 578 lub x = − 4

x = √2 − √3 lub x = √2 + √3i)

x = − 6,25 ∙ 1015 lub x = 6,25 ∙ 1015a)

x = 29 lub x = 3 ∙ 29b)

x = 0,8 ∙ 10−15 lub x = − 7,2 ∙ 10−15c)

x = 4, (32) lub x = 0, (32)d)

x = − 1, (79) lub x = − 6, (21)e)

Odpowiedzi

• Ponieważ liczby po obu stronach równości są dodatnie, wystarczy sprawdzić, czy kwadraty

tych liczb są równe.

((4 + 1212)

− (4 − 1212)

Przekształcając lewą stronę równości, wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.

((4 + 1212)

− (4 − 1212)

= (4 + 1212) − 2√(4 + 12

12)(4 − 12

12) + (4 + 12

= 8 − 2√16 − 12 = 8 − 4 = 4.

Zatem obie strony równości są równe. Z tego, że kwadraty liczb dodatnich są równe wnioskujemy,

że obie liczby również są równe.

• Podobnie jak powyżej

?32 , √3)a)

? −7, − 5) ? (5, 10 ?b)

1212 + 27

12 = √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 = √75 = 75

812 + 72

12 = √8 + √72 = 2√2 + 6√2 = 8√2 = √128 = 128

1212 + 48

12 = √12 + √48 = 2√3 + 4√3 = 6√3 = √108 = 108

3213 + 108

3√32 +3√108 = 2

3√4 + 33√4 = 5

3√4 =3√500 = 500

353 + 3

3√35 +3√38 = 3

3√9 + 93√9 = 12

3√9 = 4 ∙ 33√9 = 4 ∙

3√33 ∙ 32 = 4 ∙3√35 = = 4 ∙ 3

Odpowiedzi

((14 + 6 ∙ 512)

+ (14 − 6 ∙ 512)

Lewa strona po przekształceniach

((14 + 6 ∙ 512)

+ (14 − 6 ∙ 512)

= (14 + 6 ∙ 512) + 2√(14 + 6 ∙ 5

12)(14 − 6 ∙ 5

12) + (14 − 6 ∙ 5

= 28 + 2√196 − 180 = 28 + 8 = 36.

Ponieważ kwadraty liczb dodatnich są równe, to liczby te również są sobie równe.

Oznaczmy liczbę (6 + 2012)

− (6 − 2012)

x2 = ((6 + 2012)

− (6 − 2012)

= 6 + 2012 − 2√(6 + 20

12)(6 − 20

12) + 6 − 20

12 = 12 − 2√36 − 20 = 4.

Ponieważ x2 = 4 to wnioskujemy, że x = 2 lub x = − 2 . Obie liczby są całkowite, zatem liczba

(6 + 2012)

− (6 − 2012)

jest liczbą całkowitą.

Odpowiedzi

Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia /Przybliżenia i zaokrąglenia liczbZadanie 4.7.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do czterech miejsc po przecinku jest równa

2,1538.

Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do trzech miejsc po przecinku jest równa 2,154.

Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do jednego miejsca po przecinku jest równa 2,2.

Zadanie 4.7.1.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczbę 56 836 w zaokrągleniu do setek możemy zapisać jako 56 800.

Liczba 6 455 zaokrąglona do setek jest równa 6,5 tys.

Odpowiedzi

Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia /ZadaniaZadanie 4.7.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź4,80

0,4156 cm2

Zadanie 4.7.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźwiększy od 0,4% , ale mniejszy od 4%

Zadanie 4.7.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź51 < x < 52

234,56a)

32,78b)

23,50c)

6,99d)

35 768 900a)

35 769 000b)

36 000 000c)

0,3077a)

0,9412b)

0,3685c)

0,1491d)

0,9477e)

Odpowiedzi

Zadanie 4.7.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź1237,6 zł

Zadanie 4.7.3.11 (Wróć do zadania)OdpowiedźBłąd pierwszego zawodnika to około 0,6%, a drugiego - 0,36%. Prawidłowo odpowiedział drugi za-

wodnik.

Zadanie 4.7.3.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźBłąd względny wynosi 5%.

Zauważmy, że t =4

3 − √5 = 3 + √5.

√5 = 2,23606797749979 …

Zatem prawdziwa jest nierówność

2,23 < √5 < 2,24.

Do wszystkich stron dodamy liczbę 3, zatem

2,23 + 3 < √5 + 3 < 2,24 + 3

5,23 < √5 + 3 < 5,24.

Liczba t = 3 + √5 spełnia nierówność 5 < t < 6.

Zadanie 4.7.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź1, 2, 3

4,17%a)

28,33%b)

26,39%c)

mogą być dwa przybliżenia: około 200,24 lub około 188,58a)

mogą być dwa przybliżenia: około 196,16 lub około 192,66b)

jako przybliżenia należy podać dowolną liczbę z przedziału ?193,44; 195,38?c)

Odpowiedzi

Rozwiązanie

√6 ? ( 1

42 ) = √6 ? (1 +14 +

116 ) = √205

24 = 2,9226 …

Liczba π jest większa od 3,1, więc błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od 0,1

√6 ? ( 1

62 ) = √6 ? (1 +14 +

136 ) = √5369

600 = 2,9633 … ,

gdy natomiast dodamy siedem składników, to otrzymamy

√6 ? ( 1

72 ) = √6 ? (1 +14 +

149 ) = √266681

29400 = 3,0117 …

Błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od 0,1.a)

Należy dodać co najmniej 7 składników.b)

Szukane przybliżenie jest równea)

Gdy dodamy tylko sześć składników, to otrzymamy przybliżenie równea)

Odpowiedzi

Geometria / Planimetria. Podstawowezwiązki na płaszczyźnie / ZadaniaZadanie 5.1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

| BC | = 3√21

Rozwiązanie

Trójkąt ABD jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa, po uwzględnieniu, że | AD | > 0,

otrzymujemy

| AD |2

+ 102 = 172,

| AD | = 3√21.

Ponieważ ABCD jest prostokątem, więc

| BC | = | AD | = 3√21.

Zadanie 5.1.5.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźW prostokącie przekątna ma długość 8, a kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma miarę 30 °. Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta jest równa 4.

Odpowiedzi

długość drugiej wysokości tego trójkąta wynosi127 √10

Zadanie 5.1.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźdługość boku trzeciego kwadratu jest równa 8

długość odcinka A1A2 jest równa 4√5

RozwiązanieZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACB, a następnie dla trójkąta ACD, otrzymujemy

| AC | = √72 + 42 = √65.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACD otrzymujemy

| AD | = √ | AC |2

+ 42 = √65 + 16 = √81 = 9.

Obwód czworokąta ABCD jest więc równy

LABCD = 7 + 4 + 4 + 9 = 24.

Zadanie 5.1.5.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźStosunek długości przekątnych rombu wynosi 6 : 8. Wówczas stosunek boku rombu do dłuższej

przekątnej wynosi 5 : 8.

Zadanie 5.1.5.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźPole trójkąta równobocznego wynosi 9√3. Wówczas bok tego trójkąta ma długość 6.

Dane są dwa trójkąty równoboczne T1 i T2. Długość boku trójkąta T2 jest o 10% większa od długo-

ści boku trójkąta T1. Wynika stąd, że pole trójkąta T2 jest o 21% większe od pola trójkąta T1.

Zadanie 5.1.5.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźWysokość trójkąta równobocznego jest równa 15. Wówczas promień okręgu wpisanego w ten trój-

kąt jest równy 5, a promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 10.

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 2√3. Wówczas promień okręgu opisanego na

tym trójkącie jest równy 2.

Zadanie 5.1.5.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym wynosi 3 : 5, to stosunek

długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości dłuższej przyprostokątnej trój-

kąta wynosi 17 : 10.

Odpowiedzi

• Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.

Trójkąt ADC jest połową kwadratu o boku długości h = 5. Ze wzoru na długość przekątnej

kwadratu otrzymujemy

2a = 5√2.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCE obliczamy długość środkowej BE

| BE |2

= (2a)2

+ a2 = (5√2)2

+ (52√2)

1252 .

Po uwzględnieniu, że | BE | > 0, otrzymujemy

| BE | = √1252 = √250

4 =52√10.

• Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku i poprowadźmy odcinek DF prostopadły do pro-

stej BC, którego koniec F leży na tej prostej.

Odpowiedzi

Trójkąt ACE to połowa trójkąta równobocznego, więc

| AC | = 2 | CE | = 2 ? 2 = 4,

czyli 2a = 4. Stąd a = 2.Trójkąt CDF jest także połową trójkąta równobocznego o boku długo-

ści a, więc

b =a2 =

22 = 1, h =

a√32 =

2√32 = √3.

Wobec tego przyprostokątna BF trójkąta prostokątnego BDF ma długość

| BF | = 4 + 1 = 5.

Środkowa BD trójkąta ABC jest przeciwprostokątną trójkąta BDF. Z twierdzenia Pitagorasa

otrzymujemy

| BD |2

= 52 + (√3)2

= 25 + 3 = 28.

Po uwzględnieniu, że | BD | > 0, otzrymujemy

| BD | = √28 = 2√7.

Zadanie 5.1.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 14

Zadanie 5.1.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 5√3, d = 10

r = √74 , R = √7

Odpowiedzi

Zadanie 5.1.5.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.

Trójkąt LMN jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

(3√2)2

+ | MN |2

= (3√6)2.

| MN |2

Ponieważ,

| MN | > 0,

| MN | = 6.

Zadanie 5.1.5.19 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma obwodów wynosi 18 + 4√5.

Odpowiedzi

RozwiązaniePoprowadźmy odcinki łączące środki przeciwległych boków pierwszego prostokąta. Podzielą one

ten prostokąt na cztery przystające prostokąty o bokach długości 1 i 2.

Przekątna każdego z tych prostokątów ma długość √5 i jest jednocześnie bokiem drugiego czwo-

rokąta. Zatem drugi czworokąt jest rombem o boku długości √5.

Odpowiedzi

Zauważmy, że odcinki łączące środki przeciwległych boków każdego z tych czterech prostokątów

dzielą go na cztery przystające prostokąty o bokach długości12 i 1.

Trzeci z czworokątów jest prostokątem zbudowanym z czterech uzyskanych wcześniej prosto-

kątów, zatem długości jego boków to 2 ∙ 12 oraz2 ∙ 1, czyli 1 i 2.

Szukana suma obwodów wynosi więc

2 ∙ (4 + 2) + 4 ∙ √5 + 2 ∙ (2 + 1) = 18 + 4√5.

Odpowiedzi

RozwiązaniePole pierścienia jest równe różnicy pola koła opisanego i pola koła wpisanego w kwadrat. Promie-

nie tych kół są równe odpowiednio połowie długości przekątnej i połowie długości boku kwadratu.

5π = π((a√22 )

2− (a

gdzie a jest długością boku kwadratu. Stąd

2 − a2

a2 = 20.

Ponieważ a > 0, to

a = √20 = 2√5

Obwód kwadratu jest równy

Lkwadratu = 4a = 8√5.

Zadanie 5.1.5.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź9√3 + 9

RozwiązanieTrójkąt AED jest połową trójkąta równobocznego. Z zależności między długościami boków w trój-

kącie równobocznym mamy

| DE | = h =12b = 3

| AE | = 3√3.

Odpowiedzi

Trójkąt BDE jest połową kwadratu, zatem długość odcinka EB jest równa długości wysokości h.

Długość odcinka AE jest więc równa a − 3, zatem

a − 3 = 3√3,

a = 3√3 + 3.

Pole równoległoboku wynosi

P = a ∙ h = 3(3√3 + 3) = 9√3 + 9.

Odpowiedzi

Rozwiązanie

W trójkącie równoramiennym spodek wysokości dzieli podstawę na równe części.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC mamy więc

| DC | = √ | AC |2

− | AD |2,

| DC | = √52 − 32 = 4.

PABC =12 ∙ 6 ∙ 4 = 12.

Połowa obwodu jest równa

p =5 + 5 + 6

2 = 8.

Pole trójkąta możemy też obliczyć ze wzoru PABC = pr, czyli 12 = 8r. Skąd r = 1,5.

Odpowiedzi

Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie.Związki miarowe / ZadaniaZadanie 5.2.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźNie. Punkty A, B, C nie są współliniowe.

RozwiązanieSumując miary kątów, otrzymujemy 32 ° + 17 ° + 90 ° + 40 ° = 179 ° . Gdyby punkty były współli-

niowe suma miar kątów byłaby równa 180 ° .

Zadanie 5.2.3.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźNie. Czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem.

RozwiązanieKąty DAB i α = 36 ° są odpowiadające. Gdyby prosta AD była równoległa do prostej BC, kąty mia-

łyby tę samą miarę. Jednak wówczas suma kątów przy boku równoległoboku byłaby równa.

| ?DAB | + | ?ADC | = 179 ° ≠ 180 ° .

Zatem figura nie jest równoległobokiem.

Zadanie 5.2.3.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźTak.Zaznaczmy kąty przyległe do α i do β.

Kąty γ i 125 ° są odpowiadające, ponieważ prosta k jest równoległa do prostej l, więc γ = 125 ° .

Podobnie kąty δ i 143 ° , są odpowiadające, więc z równoległości k i l,

δ = 143 ° .

Odpowiedzi

Zadanie 5.2.3.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźW trójkącie miara jednego kąta jest dwa razy większa od miary drugiego i trzy razy mniejsza od

miary trzeciego kąta. Wtedy największy kąt ma miarę 120 ° .

Kąty między jednym z boków trójkąta ostrokątnego i wysokościami opuszczonymi na pozostałe

boki mają miary 35 ° oraz 45 ° . Kąt leżący naprzeciw tego boku ma miarę 80 ° .

Zadanie 5.2.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźW pewnym wielokącie wypukłym suma miar kątów wynosi 1620 ° . Liczba boków tego wielokąta

jest równa 11.

W osiemnastokącie foremnym miara kąta wewnętrznego wynosi 160 ° .

Zadanie 5.2.3.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźW siedemnastokącie wypukłym liczba przekątnych jest równa 119.

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego jest cztery razy większa od liczby jego boków. Wielo-

kątem tym jest jedenastokąt.

Zadanie 5.2.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźdługość ramienia trapezu jest równa 6

przekątna AC dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden ma pole dwa razy większe od drugiego

Zadanie 5.2.3.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźW pięciokącie foremnym kąt między dwiema przekątnymi poprowadzonymi z tego samego wierz-

chołka jest równy 36 ° .

Zadanie 5.2.3.11 (Wróć do zadania)OdpowiedźKrótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny.

Dłuższa podstawa trapezu jest równa 8. Wtedy obwód trapezu ma długość 20 + 4√3.

Zadanie 5.2.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźwielokąt ten ma 27 przekątnych

Zadanie 5.2.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź18 ° i 90 °

Zadanie 5.2.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźrozwarty

Odpowiedzi

| ?ABC | = 120 °

| ?CAB | = 56 °

RozwiązanieSuma wszystkich kątów w danym n-kącie jest równa

(n − 2) ∙ 180 ° .

Ponieważ jest to wielokąt wypukły, miary wszystkich kątów są jednakowe. Stąd miara każdego

kąta jest równa

(n − 2) ∙ 180 °n = 160 ° .

Otrzymujemy

(n − 2) ∙ 180 ° = 160 ° ∙ n

180 ° ∙ n − 360 ° = 160 ° ∙ n

20 ° ∙ n = 360 °

n = 18.

Zatem szukanym wielokątem foremnym jest osiemnastokąt.

Odpowiedzi

Trójkąt AED jest prostokątny. Odcinek AD jest jego przeciwprostokątną, a odcinek DE przy-

prostokątną. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem w trójkącie, stąd

| DE | < | AD | , czyli | DE | < 3. Zatem długość odcinka DE nie może być równa 4.

Kąty ACD i CAB są odpowiadające. Ponieważ proste AB i CD są równoległe,

| ?ACD | = | ?CAB | . Oznaczmy miarę każdego z tych kątów przez α.

Trójkąt ACD jest równoramienny, więc kąty przy podstawie AC są sobie równe. Stąd

| ?DAC | = α. Zatem prosta AC jest dwusieczną kąta DAB.

Odpowiedzi

RozwiązanieOznaczmy długość odcinka EB przez x. Trójkąty AFD oraz CEB są prostokątne, a miary ich kątów

ostrych są równe 30 ° i 60 ° . Ze związków miarowych w trójkącie CEB otrzymujemy

| CE | = | DF | = x√3.

Ze związków miarowych w trójkącie AFD mamy | AF | = 3x. Podstawa AB trapezu ABCD ma więc

długość

| AB | = 3x + 6 + x = 10,

skąd 4x = 4, czyli x = 1.

Wysokość DF trapezu jest równa | DF | = √3.

Pole trapezu wynosi

P =6 + 10

2 √3 = 8√3.

Zadanie 5.2.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź60 ° , 150 ° , 30 ° , 120 ° lub 90 ° , 90 ° , 120 ° , 60 °Rozwiązanie

• I przypadek

Kąt prosty BAD jest sumą kątów CAB oraz CAD. Trójkąt ABC jest równoboczny, więc wszyst-

kie jego kąty mają miarę 60 ° . Stąd

| ?CAD | = 90 ° − | ?CAB | ,

| ?CAD | = 90 ° − 60 ° = 30 ° .

Odpowiedzi

Kąt ACD ma więc miarę 60 ° .

Stąd miary kątów w trapezie ABCD są równe: 90 ° , 90 ° , 120 ° , 60 ° .

• II przypadek

Kąty ACD i BAC są naprzemianległe. Proste AB i CD są równoległe, zatem

| ?ACD | = | ?BAC | .

Trójkąt ABC jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają miarę 60 ° . Stąd

| ?ACD | = 60 ° .

Otrzymujemy więc

| ?CDA | = 90 ° − 60 ° = 30 ° .

Odpowiedzi

Miary kątów w trapezie ABCD są równe: 60 ° , 150 ° , 30 ° , 120 ° .

Rozwiązanie

Oznaczmy wysokość DE przez h. Trójkąt ADE jest prostokątny, a miary jego kątów ostrych są rów-

ne 45 ° i 45 ° , skąd długość boku rombu AD jest równa h√2. Zatem

P = h√2 ∙ h = h2√2.

h2√2 = 72√2,

Ponieważ h > 0, to

Odpowiedzi

h = √72 = 6√2.

Długość boku rombu jest równa

6√2 ∙ √2 = 12.

Zadanie 5.2.3.27 (Wróć do zadania)OdpowiedźP = 108, L = 48

Rozwiązanie

Pole kwadratu CDEF o boku 6 jest równe 36. Zatem pola trapezu ABFE oraz trójkąta CFB także są

równe 36.

Ze wzoru na pole trójkąta CFB

PCFB =12 | CF | ∙ | GB |

otrzymujemy 36 =12 ∙ 6 | GB | . Stąd | GB | = 12. Długość podstawy AB jest więc równa 18.

Ze wzoru na pole trapezu ABFE otrzymujemy

PABFE =12 ( | AB | + | EF | ) ∙ | AE | ,

36 =12 (18 + 6) ∙ | AE | .

| AE | = 3.

Odpowiedzi

Wysokość trapezu ABCD jest więc równa 6 + 3 = 9.

Z twierdzenia Pitagorasa

| CB | = √122 + 92 = 15.

Pole trapezu ABCD jest równe

PABCD =12 (18 + 6) ∙ 9 = 108,

a jego obwód

LABCD = 18 + 15 + 6 + 9 = 48.

Zadanie 5.2.3.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź30 °RozwiązanieSześciokąt foremny możemy podzielić na sześć trójkątów równobocznych.

Szukamy miary kąta DAE pomiędzy odcinkiem DA, który składa się z dwóch boków trójkątów rów-

nobocznych, a odcinkiem AE, który składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego. Zatem

kąt ten ma miarę 30 ° .

Odpowiedzi

Zadanie 5.2.3.29 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma miar dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku wynosi 180 ° , zatem jeżeli jeden kąt ma

miarę α, to drugi ma miarę 180 ° − α. Prowadzimy dwusieczne kątów.

Sumujemy miary kątów w trójkącie ABS α2 + 90 ° − α

2 + x = 180 ° .

Stąd otrzymujemy, że x = 90 ° , co było do udowodnienia.

Odpowiedzi

Geometria / Przystawanie trójkątów /ZadaniaZadanie 5.3.2.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczamy przez E i F takie punkty na prostej CD, że prosta AE jest prostopadła do

prostej CD oraz prosta BF jest prostopadła do prostej CD.

Ponieważ

• | ?ADE | = | ?BDF | , jako kąty wierzchołkowe,

• | AD | = | DB | , jako połowy boku AB,

• | ?AED | = 90 ° i | ?BFD | = 90 ° , skąd

| ?EAD | = 90 ° – | ?ADE | = 90 ° – | ?BDF | = | ?FBD |

to na mocy cechy kąt-bok-kąt trójkąty ADE i BDF są przystające.

Wynika z tego, że | AE | = | BF | .

Odpowiedzi

Zadanie 5.3.2.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Zauważmy, że z jednego wierzchołka pięciokąta foremnego można poprowadzić

dwie przekątne, np. przekątne AC i AD poprowadzone z wierzchołka A.

Każda z tych przekątnych odcina od pięciokąta ABCDE trójkąt równoramienny, którego ramionami

są dwa kolejne boki tego pięciokąta, np. przekątna AC odcina trójkąt ABC, a przekątna AD odcina

trójkąt AED. Kąt między ramionami w każdym z takich trójkątów jest kątem wewnętrznym pię-

ciokąta foremnego ABCDE, więc ma miarę 108 ° . Na mocy cechy bok-kąt-bok stwierdzamy, że

wszystkie takie trójkąty są przystające. Zatem mają one równe podstawy, a to znaczy, że wszystkie

przekątne w pięciokącie foremnym są równe.

Uwaga. Na pięciokącie foremnym można opisać okrąg. Każda z przekątnych pięciokąta jest cięci-

wą koła ograniczonego tym okręgiem. Mniejszemu odcinkowi koła, otrzymanemu z jego podziału

taką cięciwą, odpowiada w każdym przypadku kąt środkowy 144 ° .

Odpowiedzi

Zatem wszystkie te wycinki są przystające, więc wszystkie przekątne w pięciokącie foremnym są

równe.

Zadanie 5.3.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Trójkąty: ABC, CDE, EFG, GHA są równoramienne, ich ramionami są dwa kolejne

boki ośmiokąta ABCDEFGH. Kąt między ramionami w każdym z takich trójkątów jest kątem we-

wnętrznym ośmiokąta foremnego, więc ma miarę 135 ° .

Na mocy cechy bok-kąt-bok stwierdzamy, że wszystkie takie trójkąty są przystające. Zatem mają

one równe podstawy, czyli

| AC | = | CE | = | EG | = | GA | ,

a suma obu kątów przy tej podstawie jest równa 180 ° − 135 ° , czyli 45 ° .

Obliczymy miarę kąta ACE. Ponieważ | ?BCD | = 135 ° , a suma miar kątów BCA i ECD jest rów-

na 45 ° , to | ?ACE | = 135 ° – 45 ° = 90 ° . To znaczy, że każdy kąt wewnętrzny czworokąta

ACEG jest równy 90 ° , więc jest on kwadratem.

Uwaga. Na ośmiokącie foremnym można opisać okrąg. Wierzchołki ośmiokąta foremnego dzielą

ten okrąg na osiem równych łuków. Zauważmy, że np. kąt wpisany ACE jest oparty na łuku, który

stanowi48 okręgu opisanego, zatem jest półokręgiem. Wobec tego kąt ACE jest prosty. Podobnie

pokazujemy, że każdy z kątów CEG, EGA i GAC jest prosty.

Zadanie 5.3.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Ponieważ

• | AD | = | CB | , jako przeciwległe boki równoległoboku ABCD,

• | ?EAD | = | ?FCB | ,

• | AE | = | CF | , z warunków zadania,

Odpowiedzi

to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ADE i CBF są przystające.

Wynika z tego, że | DE | = | BF | .

Zadanie 5.3.2.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Wykażemy najpierw, że w trapezie równoramiennym kąty przy podstawie są równe,

a także równe są długości obu przekątnych.

Oznaczmy przez E i F spodki wysokości trapezu ABCD opuszczonych z wierzchołków odpowiednio

D i C na podstawę AB trapezu. Przyjmujemy też oznaczenia długości podstaw, ramion i wysokości,

jak pokazano na rysunku

Trójkąty DAE i CBF są przystające − korzystamy z cechy bok-kąt-bok:

• |DE | = | CF | = h,

• | ?DEA | = | ?CFB | = 90 ° ,

• z twierdzenia Pitagorasa | AE |2

= | BF |2

= c2 − h2. Ponieważ | AE | > 0 i | BF | > 0,

| AE | = | BF | = √c2 − h2.

Odpowiedzi

Wynika z tego, że | AE | = | BF | oraz równość miar kątów DAE i CBF.

Rozpatrzmy trójkąty ABC i BAD.

Ponieważ:

• AB jest wspólnym bokiem trójkątów ABC i BAD,

• | ?DAB | = | ?CBA | ,

• | BC | = | AD | ,

to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ABC i BAD są przystające.

Stąd wynika, że

| AC | = | BD | , | ?CAB | = | ?DBA | .

Wykażemy teraz, że trójkąty APB i BQA są przystające – korzystamy z cechy bok-kąt-bok:

• AB jest wspólnym bokiem trójkątów APB i BQA,

• | ?PAB | = | ?QBA | ,

• | AC | = | BD | , skąd | AP | =13 | AC | =

13 | BD | = | BQ | .

Wobec tego |AQ | = | BP | .

Odpowiedzi

Zadanie 5.3.2.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Przyjmujemy, że bok kwadratu ABCD ma długość 4a. Stosujemy oznaczenia, takie

jak na rysunku.

Zauważmy, że na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty NAK, KBL, LCM i MDN są przystające

• |NA | = | KB | = | LC | = | MD | = a,

• | ?NAK | = | ?KBL | = | ?LCM | = | ?MDN | = 90 ° ,

• | AK | = | BL | = | CM | = | DN | = 3a.

Wobec tego

| NK | = | KL | = | LM | = | MN |

| ?KLB | = | ?LMC | = | ?MND | = | ?NKA | = α.

| ?KNA | = | ?LKB | = | ?MLC | = | ?NMD | = 90 ° – α.

To znaczy, że

| ?MNK | = 180 ° – ( | ?MND | + | KNA | ) = 180 ° – (α + 90 ° – α) = 180 ° – 90 ° = 90 ° .

Zatem czworokąt KLMN jest kwadratem.

Odpowiedzi

Zadanie 5.3.2.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Rysujemy trójkąty AEB i CBF.

Oznaczamy przez a długość boku kwadratu ABCD. Wtedy rownież boki trójkątów AEB i BFC są

równe a.

Trójkąty DAE, DFC i EFB są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok:

• | AD | = | DC | = | BE | = a,

• | ?DAE | = 90 ° + 60 ° = | ?DCF | , | ?EBF | = 360 ° − 90 ° − 60 ° − 60 ° = 150 ° ,

czyli | ?DAE | = | ?DCF | = | ?EBF | ,

• | AE | = | CF | = | BF | = a.

Odpowiedzi

Stąd | DE | = | DF | = | EF | .

Zatem trójkąt DEF jest równoboczny

• | AP | = | AR | , jako boki kwadratu APQR,

• | AB | = | AD | , jako boki kwadratu ABCD,

• | ?PAB | = 90 ° – | ?DAP | = | ?RAD | ,

to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty APB i ARD są przystające.

Wynika z tego, że | BP | = | DR | .

• | AB | = | DB | , jako boki trójkąta równobocznego ABD,

• | BE | = | BC | , jako boki trójkąta równobocznego BCE,

• | ?ABE | = 180 ° – | ?EBD | = 180 ° – 60 ° = 120 ° oraz

| ?DBC | = 180 ° – | ?ABD | = 180 ° – 60 ° = 120 ° ,

to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ABE i DBC są przystające.

Wynika z tego, że | AE | = | DC | .

• | AB | = | BC | , jako boki trójkąta równobocznego ABC,

• | ?ABE | = | ?ABC | – | ?EBC | = 60 ° – | ?EBC | = | ?EBD | – | ?EBC | = | ?CBD |,

Odpowiedzi

• | BE | = | BD | , jako boki trójkąta równobocznego BDE,

to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ABE i CBD są przystające.

Wynika z tego, że | AE | = | DC | .

Zadanie 5.3.2.11 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.W trójkącie ABC oznaczmy przez a długość podstawy AB, przez b długość ramienia,

przez α miarę kąta wewnętrznego przy podstawie AB.

Wtedy każdy z boków trójkąta ABK jest równy a oraz każdy z boków trójkąta BLC jest równy b.

Trójkąty ABL i KBC są przystające, co stwierdzamy powołując się na cechę bok-kąt-bok, gdyż

• | AB | = | KB | = a,

• | ?ABL | = | ?ABC | + | ?CBL | = α + 60 ° = | ?CBA | + | ?ABK | = | ?CBK |,

• | BL | = | BC | = b.

Wobec tego | AL | = | CK | .

Odpowiedzi

Zadanie 5.3.2.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.W równoległoboku ABCD oznaczmy przez a długość boku AB, przez b długość boku

BC, przez α miarę kąta wewnętrznego DAB.

Wtedy każdy z boków kwadratu CDEF ma długość a oraz każdy z boków kwadratu BCGH jest rów-

ny b, a każdy z kątów ABC i ADC ma miarę 180 ° – α.

Trójkąty ABC i FCG są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-bok, gdyż

• | AB | = | FC | = a,

• | ?ABC | = 180 ° – α oraz

| ?FCG | = 360 ° – ( | ?FCD | + | ?DCB | + | ?BCG | ) = 360 ° – (90 ° + α + 90 ° ) = 180 ° – α,

zatem | ?ABC | = | ?FCG | ,

• | BC | = | CG | = b.

Wobec tego | AC | = | FG | .

Odpowiedzi

Zadanie 5.3.2.13 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczmy przez α miarę kąta ACB.

Trójkąty ADC i BEC są przystające (cecha kąt-bok-kąt), gdyż

• | ?BEC | = | ?ADC | = 110 ° ,

• | AD | = | BE | ,

• | ?EBC | = 180 ° – ( | ?BEC | + | ?ECB | ) = 180 ° – (110 ° + α) = 180 ° – ( | ?ADC | + | ?DCA | ) = | ?DAC |.

Wobec tego | AC | = | BC | , czyli trójkąt ABC jest równoramienny.

Odpowiedzi

Szkic dowodu.Prosta AC jest symetralną odcinka DE. Wynika stąd, że | AE | = | AD | i

| CE | = | CD | . Wobec tego trójkąty EAC i DAC są przystające (na mocy cechy bok-bok-bok).

Zatem | ?ECA | = | ?DCA | .

Prosta BC jest symetralną odcinka DF, co znaczy, że | BF | = | BD | i | CF | = | CD |. Zatem trójkąty FBC i DBC są przystające (na mocy cechy bok-bok-bok), więc

| ?DCB | = | ?FCB | .

Przeciwprostokątną w trójkącie ABC jest bok AB, więc kąt ACB jest prosty. Oznaczmy przez α miarę

kąta DCB. Wtedy

Odpowiedzi

| ?FCB | = α i | ?DCA | = | ?ECA | = 90 ° – α.

Wobec tego miara kąta ECF jest równa

| ?ECF | = | ?ECA | + | ?ACB | + | ?BCF | = 90 ° – α + 90 ° + α = 180 ° .

Wynika z tego, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej. Koniec dowodu.

Zadanie 5.3.2.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.W równoległoboku ABCD oznaczmy przez a długość boku AB, przez b długość boku

BC, przez α miarę kąta wewnętrznego DAB (patrz rysunek).

Odpowiedzi

Wtedy każdy z boków kwadratów ABKL i CDMN jest równy a, kąt BCD ma miarę α, a każdy z kątów

ABC i ADC ma miarę 180 ° – α.

Trójkąty ADL i CBN są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-bok, ponieważ

• | AD | = | CB | = b,

• | ?DAL | = | ?DAB | + | ?BAL | = α + 90 ° = | ?BCD | + | ?DCN | = | ?BCN |,

• | AL | = | CN | = a.

Wobec tego | DL | = | BN | i | ?ADL | = | ?CBN | . Ponieważ

• | LD | = | NB | ,

• | ?LDM | = | ?LDA | + | ?ADM | =

| ?LDA | + 360 ° – ( | ?ADC | + | ?CDM | ) =

| ?LDA | + 360 ° – (90 ° + 180 ° – α) = | ?LDA | + 90 ° + α

• | ?NBK | = | ?CBN | + | ?CBK | = | ?CBN | + 360 ° – ( | ?KBA | + | ?ABC | ) =

| ?CBN | + 360 ° – (90 ° + 180 ° – α) = | ?CBN | + 90 ° + α

skąd | ?LDM | = | ?NBK | (skorzystaliśmy z równości miar kątów ADL i CBN)

• | DM | = | BK | = α

Odpowiedzi

to trójkąty LDM i NBK są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok.

Zadanie 5.3.2.16 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Rysujemy odcinki: KG, CG, GE, BE, KE, KA.

Wówczas

• | KC | = | GB | = | AE | , jako boki przystających kwadratów,

• | ?GCK | = 360 ° – ( | ?KCA | + | ?ACB | + | ?BCG | ) = 360 ° – 90 ° – 60 ° – 45 ° = 165 °

. Analogicznie uzasadniamy, że | ?GBE | = | ?EAK | = 165 ° .

• | CG | = | BE | = | AK | , jako przekątne przystających kwadratów.

Odpowiedzi

Wobec tego na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty KCG, GBE i AEK są przystające.

Stąd | KG | = | GE | = | EK | , czyli trójkąt KGE jest równoboczny.

Zadanie 5.3.2.17 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu. Oznaczmy przez a długość ramienia trójkąta ABC, przez α – miarę jego kąta we-

wnętrznego przy podstawie AB (patrz rysunek).

Wykażemy najpierw, że | AN | = | BL | , | AM | = | BK | oraz | ML | = | KN | .

Trójkąty BAL i ABN są przystające (na mocy cechy bok-kąt-bok), gdyż:

• BA jest wspólnym bokiem tych trójkątów,

• | ?BAL | = | ?ABN | = 90 ° + α,

• | AL | = | BN | = a.

Odpowiedzi

Stąd | BL | = | AN | i | ?BLA | = | ?ANB | .Trójkąty BKL i AMN są przystające (na

mocy cechy bok-kąt-bok), ponieważ | BL | = | AN | ,

| ?BLK | = 90 ° – | ?BLA | = 90 ° – | ?ANB | = | ?ANM | ,

| LA | = | NB | = a.

Stąd | BK | = | AM | i | ?KBL | = | ?MAN | .Trójkąty KNM i MLK są przystające (na

mocy cechy bok-kąt-bok), gdyż

• KM jest wspólnym bokiem tych trójkątów,

• | ?KMN | = | ?KMC | + | ?CMN | = | ?KMC | + 90 ° oraz

| ?MKL | = | ?MKC | + | ?CKL | = | ?MKC | + 90 ° . Trójkąt MKC jest równora-

mienny ( | MC | = | CK | = a), więc kąty MKC i KMC są równe (miara obu jest równa

90 ° – α), co znaczy, że | ?KMN | = | ?MKL | ,

• | NM | = | LK | = a.

Stąd | KN | = | ML | . Zatem trójkąty MLA i KNB są przystające, co stwierdzamy, powo-

łując się na cechę bok-bok-bok, gdyż

• | AL | = | BN | = a,

• | KN | = | ML | ,

Odpowiedzi

• | BK | = | AM | .

Zadanie 5.3.2.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczmy przez a długość boku kwadratu ABCD. Trójkąty ABM i BCN są równobocz-

ne, zatem | AM | = | BM | = a oraz | BN | = | CN | = a.

Ponadto

| ?DAM | = | ?DAB | – | ?MAB | = 90 ° – 60 ° = 30 ° ,

| ?NCD | = | ?DCB | – | ?NCB | = 90 ° – 60 ° = 30 ° ,

| ?CBM | = | ?CBA | – | ?MBA | = 90 ° – 60 ° = 30 ° ,

| ?NBM | = | ?CBN | – | ?CBM | = 60 ° – 30 ° = 30 ° .

Zatem trójkąty DAM, NBM i NCD są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-

bok, gdyż

• | DA | = | NB | = | NC | = a,

• | ?DAM | = | ?NBM | = | ?NCD | = 30 ° ,

• | AM | = | BM | = | CD | .

Stąd | DM | = | NM | = | ND | , czyli trójkąt DMN jest równoboczny.

Odpowiedzi

Szkic dowodu.Oznaczmy przez X i Y takie punkty na prostej AB, że | ?LXA | = 90 ° i

| ?BYM | = 90 ° , przez D – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C trójkąta ABC, a także

| BC | = a, | AC | = b, | ?CAB | = α (jak na rysunku).

Trójkąty LXA i ADC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę kąt- bok-kąt, ponieważ

• | ?XAL | = 180 ° – ( | ?DAC | + | ?CAL | ) = 180 ° – α – 90 ° = 90 ° – α,

| ?ACD | = 180 ° – ( | ?ADC | + | ?CAD | ) = 180 ° – 90 ° – α = 90 ° – α,

skąd | ?XAL | = | ?ACD|,

• | AL | = | CA | = b,

• | ?XLA | = 180 ° – ( | ?LXA | + | ?XAL | ) = 180 ° – 90 ° – (90 ° – α) = α = | ?DAC |.

Wynika z tego, że | LX | = | AD | .

Trójkąty MYB i BDC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę kąt- bok-kąt, ponieważ

| ?CBD | = 180 ° – ( | ?ACB | + | ?BAC | ) = 180 ° – 90 ° – α = 90 ° – α,

| ?BCD | = 180 ° – ( | ?CBD | + | ?BDC | ) = 180 ° – (90 ° – α) – 90 ° = α, | ?YBM |

180 ° – ( | ?CBD | + | ?CBM | ) = 180 ° – (90 ° – α) – 90 ° = α,

skąd | ?YBM | = | ?BCD | ,

| BM | = | CB | = a,

| ?YMB | = 180 ° – ( | ?MYB | + | ?YBM | ) = 180 – 90 ° – α = 90 ° – α = | ?CBD | .

Odpowiedzi

Wynika z tego, że | MY | = | BD | .

Zatem | LX | + | MY | = | BD | + | AD | = | AB | , a to właśnie należało udowodnić.

Szkic dowodu.Oznaczmy: | AB | = a, | BC | = b, | ?DAB | = α (jak na rysunku).

Wtedy w równoległoboku ABCD:

| AD | = b, | CD | = a, | ?BCD | = α, | ?ABC | = | ?ADC | = 180 ° – α, a w trój-

kątach równobocznych DCL i BCK boki mają długości równe odpowiednio a i b.

Dorysujmy odcinki AL i AK.

Trójkąty ADL i KBA są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę kąt- bok-kąt, gdyż

• | AD | = | KB | = b,

• | ?ADL | = 360 ° – ( | ?ADC | + | ?CDL | ) = 360 ° – (180 ° – α) – 60 ° = 120 ° + α,

| ?ABK | = 360 ° – ( | ?ABC | + | ?CBK | ) = 360 ° – (180 ° – α) – 60 ° = 120 ° + α,

skąd | ?ADL | = | ?ABK | ,

• | DL | = | BA | = a.

Wynika z tego, że | AL | = | AK | .

Zatem trójkąt LAK jest równoramienny, przy czym | AL | = | AK | , więc dwusieczna kąta LAK

przecina podstawę KL w połowie. Koniec dowodu.

Szkic dowodu.Oznaczmy: | AB | = a, | BC | = b.

Wtedy boki kwadratów ABDE i BCFG mają długości równe odpowiednio a i b.

Trójkąty ABG i DBC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-bok, gdyż

Odpowiedzi

• | AB | = | DB | = a,

• | ?ABG | = | ?DBC | = 90 ° ,

• | BG | = | BC | = b.

Oznaczając przez α miarę kąta GAB, mamy

| ?AGB | = 180 ° – ( | ?GBA | + | ?GAB | ) = 180 – 90 ° – α = 90 ° – α, skąd, wobec przy-

stawania trójkątów ABG i DBC, | ?CDB | = α oraz | ?DCB | = 90 ° – α.

Wybierzmy na półprostej AE taki punkt P, że | AP | = | BG| oraz na półprostej CF taki punkt

Q, że | CQ | = | BD | .

Wtedy czworokąty ABGP i DBCQ są prostokątami o bokach długości a i b. Wobec tego ich przekąt-

ne: AG, PB, CD, BQ są równe (a długość każdej z nich to √a2 + b2) i przecinają się w połowie.

• | GK | = | KB | , czyli trójkąt GKB jest równoramienny, więc

| ?KBG | = | ?KGB | = 90 ° – α,

Odpowiedzi

• | DL | = | LB | , czyli trójkąt DLB jest równoramienny, więc

| ?LDB | = | ?LBD | = α.

Odpowiedzi

Wynika z tego, że | ?KBL | = | ?KBG | + | ?GBL | = 90 ° – α + α = 90 ° . Koniec

dowodu. Uwaga. Rozwiązując powyższe zadanie, udowodniliśmy (korzystając z własności

przekątnych w prostokącie), że w dowolnym trójkącie prostokątnym środkowa łącząca

wierzchołek kąta prostego ze środkiem przeciwprostokątnej jest równa połowie długości tej

przeciwprostokątnej.Fakt ten można też udowodnić, korzystając z własności okręgu opisa-

nego na trójkącie prostokątnym. Rozpatrzmy w tym celu trójkąt ABC o kącie prostym przy

wierzchołku C. Ponieważ kąt wpisany ACB jest prosty, to jest oparty na półokręgu, więc środ-

kiem S tego okręgu opisanego jest środek przeciwprostokątnej trójkąta ABC. To znaczy, że

| SC | = r = | SA | = | SB | =12 | AB | (patrz rysunek).

Zadanie 5.3.2.22 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczmy przez a długość odcinka AE, przez b – długość odcinka AD.

Zauważmy, że

• | ?ACE | = 180 ° – ( | ?AEC | + | ?CAE | ) = 180 ° – 90 ° – 45 ° = 45 ° , więc trójkąt

AEC jest równoramienny i | CE | = | AE | = a,

• | ?DBA | = 180 ° – ( | ?ADB | + | ?DAB | ) = 180 ° – 90 ° – 45 ° = 45 ° , więc trój-

kąt ADB jest równoramienny i | BD | = | AD | = b,

• | ?DHC | = 180 ° – ( | ?CDH | + | ?HDC | ) = 180 ° – 90 ° – 45 ° = 45 ° , więc trój-

kąt CDH jest równoramienny i | DH | = | DC | .

Wynika z tego, że trójkąty ADH i BDC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-

kąt-bok, gdyż

• | AD | = | BD | = b,

• | ?ADH | = 90 ° = | ?BDC | ,

• | DH | = | DC | .

Odpowiedzi

Zatem | AH | = | BC | . Koniec dowodu.

Uwaga. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AEC obliczamy długość przeciwprostokątnej AC:

| AC | = √a2 + a2 = √2a2 = √2a. Wobec tego długość każdego z odcinków DH i DC można wyrazić

za pomocą a i b:

| DH | = | DC | = | AC | – | AD | = √2a – b.

Zadanie 5.3.2.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu. Poprowadźmy przez punkt N prostą równoległą do prostej BC. Przez Q oznaczamy

punkt przecięcia tej prostej z bokiem AB.

Wtedy trójkąt ANQ jest równoramienny i | AN | = | NQ | , więc także | NQ | = | BM | .

Na mocy cechy kąt-bok-kąt trójkąty PNQ i PMB są przystające, skąd | NP | = | PM | .

Odpowiedzi

Zadanie 5.3.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Dorysujmy trzy kwadraty: AELK, EGML, GBNM oraz poprowadźmy odcinki DL i LB.

Zauważmy, że przekątna DE kwadratu AEFD tworzy z jego bokiem kąt 45 ° . Należy więc wykazać,

| ?AGD | + | ?ABD | = 90 ° – | ?AED | = 90 ° – 45 ° = 45 ° .

Każdy z odcinków DG, BL i DL jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokąt-

nych długości 1 i 2, więc długość każdego z nich jest (na mocy twierdzenia Pitagorasa) równa

√12 + 22 = √5.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy też | DB |2

= | DA |2

+ | AB |2

= 12 + 32 = 10. Ponie-

waż | DB | > 0, to | DB | = √10.

W trójkącie DLB mamy | DB |2

= 10 oraz | DL |2

+ | LB |2

= 5 + 5 = 10. Z twierdzenia

odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa mamy więc, że trójkąt DBL jest prostokątny. Jest on też

równoramienny, co znaczy, że | ?LBD | = | ?LDB | = 45 ° .

Ponieważ

• | DA | = 1 = | LE | ,

• | AG | = 2 = | EB | ,

• | GD | = | BL | = √5,

to trójkąty DAG i LEB są przystające, na mocy cechy bok-bok-bok.

Wobec tego | ?AGD | = | ?EBL | .

Ponadto | ?DBA | + | ?EBL | = | ?DBL | = 45 ° , zatem | ?DBA | + | ?AGD | = 45 °. Koniec dowodu.

Odpowiedzi

Zadanie 5.3.2.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu. Zauważmy, że

| ?MAK | = 90 ° – ( | ?MAB | + | ?KAD | ) = | ?MAK | = 90 ° – (12 ° + 33 ° ) = 45 ° .

Poprowadźmy z punktu A półprostą, która tworzy z półprostymi AM i AK kąty odpowiednio 12 ° i

33 ° . Wybierzmy na tej półprostej taki punkt L, że | AL | = 1.

Odpowiedzi

Wtedy | AL | = | AD | = 1 i | ?LAK | = | ?KAD | = 33 ° , zatem trójkąty DAK i LAK są

przystające na mocy cechy bok-kąt-bok.

Mamy również | AL | = | AB | = 1 i | ?LAM | = | ?BAM | = 12 ° , więc trójkąty BAM i

LAM są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok.

Wobec tego | ?ALK | = | ?ADK | = 90 ° oraz | ?MLA | = | ?MBA | = 90 ° . To oznacza,

że punkty M, L i K są współliniowe i w trójkącie AKM punkt L jest spodkiem wysokości opuszczonej

z wierzchołka A.

Długość tej wysokości jest równa 1. Koniec dowodu.

Odpowiedzi

Geometria / Podobieństwo trójkątów /Własności podobieństwaZadanie 5.4.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli DE ? AC oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka x jest równa 5.

W trójkącie ABC bok BC ma długość 6. Prosta równoległa do boku AC dzieli bok AB tego trójkąta

w stosunku 2 : 3, licząc od wierzchołka A. Wtedy bok BC zostanie podzielony przez tę prostą na

odcinki długości 2,4 oraz 3,6.

Jeżeli DB ? CE oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka AB jest równa

| LO | = 4

Odpowiedzi

PCMNPABC

Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SAB w skali35 .

Długość odcinka SC jest równa 18.

Rozwiązanie

Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SBA, ponieważ odpowiednie kąty (zaznaczone na ry-

sunku kolorami) są wierzchołkowe albo naprzemianległe, czyli równe. Otrzymujemy więc

równanie

2x3x =

| AB |

| AB | = 7,5.

| AB | = 7,5a)

PSCD =58

Odpowiedzi

Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SBA (patrz podpunkt a)).Mamy więc39 =

| DS || SB |

| DS | + | SB | = 8. Stąd

| DS |8 − | DS |

3 | DS | = 8 − | DS |

4 | DS | = 8

| DS | = 2, | SB | = 8 − 2 = 6.

• Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SBA, a skala tego podobieństwa jest równa k =28 =

Mamy więc

PSDCPSBA

= (14 )

PSDC =1

16PSBA =1

16 ∙ 10 =58 .

Zadanie 5.4.3.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźW trójkącie prostokątnym ABC stosunek długości przyprostokątnych AB i AC jest równy 15 : 8. Po-

prowadzono wysokość AD. Pole trójkąta ACD jest równe 16. Wtedy pole trójkąta ABC jest równe

72,25.

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a i b wysokość poprowadzona z wierz-

chołka kąta prostego jest równaab

√a2 + b2 .

Odpowiedzi

Zadanie 5.4.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźTrójkąt ABC jest równoramienny o ramionach długości 25 i podstawie długości 30. Wtedy wysoko-

ści w tym trójkącie są równe 20 i 24.

Rozwiązanie

• Trójkąt CEF jest podobny do trójkąta CAB na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt, po-

nieważ trójkąty mają wspólny kąt przy wierzchołku C oraz oba są prostokątne. Kąt odpo-

wiedni w obu trójkątach jest więc równy. Zachodzi więc równość

| CE || CA |

| AB |

7 − x7 =

28 − 4x = 7x

11x = 28

x =2811 .

8 20b)

39,2c)

Odpowiedzi

• Prosta GF jest równoległa do AB, stąd odpowiednie kąty (patrz rysunek) są równe, jako kąty

odpowiadające. Trójkąt CGF jest podobny do trójkąta CAB na mocy cechy podobieństwa

kąt − kąt − kąt.

Przez 2x oznaczmy długość odcinka EF. Wówczas odcinek DE ma długość 5x.Stosunek długo-

ści odpowiednich wysokości w trójkątach podobnych jest równy skali podobieństwa, czyli

jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków. Stąd otrzymujemy

16 − 2x16 =

8 − x8 =

8 − x = x

x = 4.

Długości boków prostokąta DEFG są równe 2x = 8, oraz 5x = 20.

Odpowiedzi

• Zauważmy, że otrzymane trójkąty są do siebie podobne oraz podobne do całego trójkąta

Z podobieństwa trójkątów AGE oraz DFB obliczamy długość odcinka BF| AG || DF |

=| EG || FB |

, czy-

li24 =

| FB |, skąd | FB | = 8.Długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC jest więc równa 14

.Długość przeciwprostokątnej AE w trójkącie AGE obliczymy z twierdzenia Pitagorasa

| AE |2

= 22 + 42 = 20.

Ponieważ | AE | > 0, to

| AE | = 2√5.

Skala podobieństwa trójkąta AGE do trójkąta ACB jest więc równa

k =2√514 = √5

Pole trójkąta AGE jest równe PAGE = 4. Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwa-

dratowi skali podobieństwa, czyli

PAGEPACB

Otrzymujemy więc

PACB =196

5 = 39,2.

Odpowiedzi

• | ?CDB | = | ?DBA | , gdyż są to kąty naprzemianległe. Stąd na mocy cechy podobień-

stwa kąt − kąt − kąt trójkąt ABD jest podobny do trójkąta BCD.

Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy

2015 =

| DB |=

| DB || DC |

| DB | =15 ∙ 28

20 = 21

| DC || DB |

=| DB || AB |

| DC | =212

28 = 15,75.

Obwód trapezu jest równy

L = 20 + 28 + 15 + 15,75 = 78,75.

• Ponieważ trójkąty ABC i BDE są podobne, więc | ?CAB | = | ?EBD | . Punkty A, B i D leżą

na jednej prostej. Otrzymaliśmy więc dwa kąty odpowiadające równej miary. Stąd AC jest

równoległe do BE. Figura ABEC jest więc trapezem. Odcinek KM łączy środki jego ramion,

jest więc równoległy do podstaw AC oraz BE, zatem

| ?CAB | = | ?MKB | = | ?EBD | .

Podobnie można wykazać, że figura CBDE jest trapezem. Odcinek ML łączy środki jego ramion,

zatem jest równoległy do podstaw CB i DE trapezu CBDE. Stąd

| ?CBA | = | ?MLA | = | ?EDA | .

Odpowiedzi

Z cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt wynika, że trójkąty KLM, ABC, BDE są podobne.

• Przekształćmy równość daną w zadaniu do postaci| AS || CS |

=| BS || DS |

. Zauważmy, że miara

kąta DSC jest równa mierze kąta ASB, ponieważ są to kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty

ABS i CDS są podobne, co wynika z cechy podobieństwa trójkątów bok − kąt − bok. Wynika

stąd, że

| ?CDS | = | ?SBA | .

Są to kąty naprzemianległe i równe, zatem bok CD jest równoległy do AB. Czworokąt ABCD jest

więc trapezem.

Zadanie 5.4.3.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźStosunek pól dwóch trójkątów podobnych wynosi 144 : 225. Wówczas stosunek obwodów tych

trójkątów jest równy 12 : 15.

Zadanie 5.4.3.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźWysokość trapezu jest równa 4, a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 5. Wtedy po-

le tego trapezu jest równe 20.

W trapezie o podstawach długości a i b (gdzie b > a) odcinek łączący środki przekątnych ma dłu-

gośćb − a

Odpowiedzi

Zadanie 5.4.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 : 1

Zadanie 5.4.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź18 m

Zadanie 5.4.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź8√3 − 12

Zadanie 5.4.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 i 16

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Trójkąty CDE i CAB mają wspólny kąt DCE oraz boki przy tym kącie są proporcjonalne

| CD || CA |

3x =13

| CE || CB |

3y =13 .

Zatem trójkąty CDE i CAB są podobne, co wynika z cechy podobieństwa bok − kąt − bok. Skala te-

go podobieństwa jest równa13 .

Boki trójkąta DEC są więc równe

| CE | =13 ∙ 9 = 3, | CD | =

13 ∙ 6 = 2, | DE | =

13 ∙ 12 = 4.

Ostatecznie obwód trójkąta DEC jest równy

LDEC = 3 + 2 + 4 = 9.

Zadanie 5.4.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 : 8 : 27

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Pole trapezu DEGF obliczymy jako różnicę pól trójkątów CEG i CDF.

Trójkąt CDF jest podobny do trójkąta CEG (na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt) oraz

3x =13 . Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa

PCDFPCEG

PCEG = 9PCDF,

a zatem

PDEGF = 9PCDF − PCDF = 8PCDF.

Pole trapezu EABG obliczymy jako różnicę pól trójkątów CAB i CEG.

Trójkąt CDF jest podobny do trójkąta CAB (na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt) oraz

6x =16 . Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa

PCDFPCAB

PCEG = 36PCDF,

a zatem

PEABG = 36PCDF − 9PCDF = 27PCDF.

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Trójkąty SDC oraz SAB są podobne na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt. Otrzymujemy

równanie

| SD |

| SD | + | DA |=

| DC || AB |

3 + | DA |=

3 + | DA | = 9

| DA | = 6.

Z podobieństwa trójkątów SDC oraz SAB mamy też

| SC |

| SC | + | CB |=

| DC || AB |

5 + | DA |=

Odpowiedzi

5 + | DA | = 15

| DA | = 10.

Oznaczmy przez α kąt w trójkącie ABC znajdujący się przy wierzchołku A. Zauważmy, ze trójkąty

ADC oraz CBD mają kąty 90 ° , α, 90 ° − α. Zatem trójkąty ADC oraz CDB są podobne, na mocy ce-

chy podobieństwa kąt − kąt − kąt. Możemy napisać proporcję

| CD || BD |

=| AD || CD |

z której otrzymujemy

| CD |2

= | AD | ∙ | BD | .

Ponieważ | CD | > 0, to

| CD | = √ | AD | ∙ | BD | .

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Kąty ASB oraz CSD są wierzchołkowe, zatem mają taką samą miarę. Kąty DCS oraz BAS są naprze-

mianległe. Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, miary kątów DCS i BAS są równe. Podobnie

równe są miary kątów naprzemianległych SDC i SBA.

Trójkąt ASB jest podobny do trójkąta CSD na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów.

Skala podobieństwa wynosi53 .

| AB || CD |

| CD |=

| CD | = 6.

Odpowiedzi

RozwiązanieOdcinek GF jest równoległy do AB, skąd miary odpowiednich kątów są równe jako kątów odpowia-

dających. Trójkąt CGF jest podobny do trójkąta CAB na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt.

Stosunek odpowiednich wysokości w trójkątach podobnych jest równy skali podobieństwa, czyli

jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków. Stąd otrzymujemy

9 − 3x9 =

3 − x3 =

3 − x =x2

6 = 3x

x = 2.

Boki prostokąta EFGD są równe 3x = 6 oraz 4x = 8, zatem pole jest równe 6 ∙ 8 = 48.

RozwiązanieOznaczmy miarę kąta ABC przez α. Mamy wówczas

| ?BAC | = 90 ° − α.

Kąt HAB jest kątem półpełnym, więc

| ?HAE | = 180 ° − 90 ° − (90 ° − α) = α.

Odpowiedzi

Zatem trójkąty prostokątne ABC i HAE są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa

trójkątów. Z proporcji

| EH |=

| EH | =2512 .

Pole trójkąta HAE wynosi

PHAE =12 ∙ | EH | ∙ | EA | =

12 ∙ 25

12 ∙ 5 =12524 .

Rozwiązanie

Zaznaczmy odcinek PE równoległy do BC oraz odcinek CE równoległy do AB. Powstały trójkąt CEP

jest podobny do trójkąta ABC. Skala tego podobieństwa jest równa

3x =13 .

Stosunek wysokości trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwah1h =

13 , skąd h = 3h1.

Trójkąt DCP oraz równoległobok ABCD mają podstawę tej samej długości. Oznaczmy ją przez a.

Pola tych figur wyrażają się wzorami

PDCP =12ah1,

PABCD = ah = a ∙ 3h1.

Zatem stosunek tych pól jest równy

Odpowiedzi

PDCPPABCD

a ∙ 3h1=

Zadanie 5.4.3.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź7 : 1

Rozwiązanie

Długość odcinka | DK | wynosi

| DK | = | CD | − | CK | ,

| DK | = 8 − 2 = 6.

Oznaczmy przez L punkt wspólny prostej MK i boku AB. Trójkąty DKL i DCB są podobne na mocy

cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (ponieważ proste KL i CB są równoległe, więc kąty

odpowiadające są sobie równe). Otrzymujemy proporcję| DB || DL |

=| DC || DK |

, czyli| DB || DL |

Oznaczmy długość odcinka BL przez x. Mamy wtedy | DL | = 3x oraz | DB | = 4x.

Punkt D jest środkiem odcinka AB. Stąd

| AD | = | DB | = 4x.

Trójkąt ALM jest podobny do trójkąta ABC (na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-

kątów). Mamy więc| AM || AC |

=| AL || AB |

, czyli| AM || AC |

=7x8x =

78 . Otrzymujemy

| AM | =78 | AC | ,

Odpowiedzi

| MC | = | AC | − | AM | =18 | AC | .

Szukany stosunek wynosi| AM || MC |

78 | AC |

18 | AC |

= 7. Ostatecznie | AM | : | MC | = 7 : 1.

Rozwiązanie

Odcinek DE jest wysokością rombu.

Trójkąty AEF i CDF są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (odpowied-

nie kąty w obu trójkątach są równe jako wierzchołkowe albo naprzemianległe). Otrzymujemy pro-

porcję| AE || CD |

=| EF || DF |

, czyli| AE || CD |

=1213 . Oznaczmy

| AE | = 12x, | CD | = 13x.

Czworokąt ABCD jest rombem, stąd wszystkie jego boki mają tę samą długość, zatem

| AD | = | CD | = 13x.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED otrzymujemy

(12x)2

+ 252 = (13x)2

144x2 + 625 = 169x2

25x2 = 625

Ponieważ x > 0, to

Odpowiedzi

x = 5.

| AB | = 13 ∙ 5 = 65.

Otrzymujemy pole

P = | AB | ∙ | DE | = 65 ∙ 25 = 1625.

Rozwiązanie

• I sposób

PABC =12 ∙ 13,6 ∙ 22,5 = 173,4.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy

| AB | = √(13,6)2

+ (25,5)2

= 28,9.

Długość odcinka DB jest równa

| DB | = | AB | − | AD | = 28,9 − 8,5 = 20,4.

Trójkąty ADE i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Skala tego

podobieństwa jest równa

k =8,5

28,9 =85

289 =5

Odpowiedzi

Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwaPADEPABC

= ( 517 )

25289 . Otrzy-

mujemy

PADE =25

289PABC.

Trójkąty DBF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów i skala tego

podobieństwa jest równa

k1 =20,428,9 =

204289 =

1217 .

Wtedy stosunek pól tych trójkątów jest równyPDBFPABC

= (1217 )

144289 , skąd PDBF =

144289PABC.

Pole prostokąta DFCE wynosi

PDFCE = PABC − PADE − PDBF = PABC − 25289PABC − 144

289PABC =120289PABC,

PDFCE =120289 ∙ 173,4 = 72.

• II sposób

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy

| AB | = √(13,6)2

+ (25,5)2

= 28,9.

Długość odcinka DB jest równa

| DB | = | AB | − | AD | = 28,9 − 8,5 = 20,4.

Trójkąty ADE i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Otrzymu-

jemy więc| ED |

25,5 =8,5

28,9 , skąd

| ED | = 7,5.

Trójkąty ABF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Otrzymu-

jemy więc| FD |

13,6 =20,428,9 , skąd

| FD | = 9,6.

Szukane pole jest więc równe

PDFCE = 7,5 ∙ 9,6 = 72.

Odpowiedzi

Długości odcinków EB i BF są odpowiednio równe 4 i 12.

Trójkąty AEK i CDK są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (równe kąty

są zaznaczone kolorami na rysunku).

Mamy więc proporcję| AE || CD |

=| AK || CK |

, czyli| AK || CK |

Stąd | AK | =23 | CK | .

Wiemy, że | AC | = | AK | + | KC | . Zatem | AK | =25 | AC | .

Odpowiedzi

Trójkąty CFL i ADL są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (równe kąty

są zaznaczone kolorami na rysunku).

Mamy więc| CF || AD |

=| LC || AL |

, czyli| LC || AL |

Stąd | LC | =14 | AL | .

Wiemy, że | AC | = | AL | + | LC | . Zatem

| LC | =15 | AC | .

Otrzymujemy więc

| AK || LC |

25 | AC |15 | AC |

| AK | = 2 | LC | .

8 : 3a)

5 : 3b)

5 : 6c)

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Oznaczmy długość odcinka AD przez 5x, a długość odcinka DB przez 11x. Punkt K dzieli odcinek

AB na połowy. Stąd | KB | = 8x oraz | DK | = 3x.

• Trójkąt BKL jest podobny do trójkąta BDC na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-

kątów. Stąd| BK || BD |

=| BL || BC |

, czyli| BL || BC |

11x =8

11 . Otrzymaliśmy więc

| BL | =8

11 | BC | ,

| LC | =3

11 | BC | .

Szukany stosunek jest równy| BL || LC |

811 | BC |3

11 | BC |=

• Trójkąt ADC jest podobny do trójkąta AKM na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-

kątów. Stąd| AD || AK |

=| AC || AM |

, czyli| AC || AM |

=5x8x =

58 . Otrzymaliśmy więc

| AC | =58 | AM | ,

| CM | =38 | AM | .

Szukany stosunek jest równy| AC || CM |

58 | AM |38 | AM |

Odpowiedzi

• Z podobieństwa trójkątów BKL i BDC mamy| KL || CD |

=| BK || BD |

| KL | =8

11 | CD | =4055 | CD | .

Z podobieństwa trójkątów ADC i AKM mamy

| CD || KM |

=| AD || AK |

| KM | =85 | CD | =

8855 | CD | .

Otrzymujemy| KL || KM |

4055 | CD |

8855 | CD |

11 . Zatem

| KL | =5

11 | KM | ,

| LM | =6

11 | KM | .

Szukany stosunek jest równy| KL || LM |

511 | KM |

611 | KM |

Rozwiązanie

Odpowiedzi

Trójkąty ABS i CDS są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (kąty o rów-

nej mierze są zaznaczone na rysunku kolorami).

Mamy proporcję| AS || CS |

=| AB || CD |

, czyli| AS || CS |

=205 , skąd | AS | = 4 | CS | .

Oznaczmy długość boku CS przez x. Mamy wtedy | AS | = 4x oraz | AC | = 5x.

Trapez ABCD jest równoramienny, więc trójkąty ABS i CDS też są równoramienne, zatem

| DS | = x, | BS | = 4x

| BD | = 5x.

Trójkąty BKS i BCD są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów.

Odpowiedzi

Mamy więc| KS || CD |

=| BS || BD |

, czyli| KS |

5 =4x5x . Stąd | KS | = 4.

Analogicznie trójkąty DLS i DAB są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-

kątów.

Mamy więc| LS || CD |

=| AS || AC |

, czyli| LS |

5 =4x5x . Stąd | LS | = 4.

Otrzymujemy

| KL | = | LS | + | KS | = 4 + 4 = 8.

Zadanie 5.4.3.35 (Wróć do zadania)Odpowiedź245 , 4 i 5

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Oznaczmy długość boku rombu przez x. Mamy wówczas | AF | = 8 − x, | BE | = 12 − x.

Trójkąty ADF i DBE są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Stąd otrzy-

mujemy| AF || DE |

=| FD || EB |

, czyli8 − x

12 − x . Zatem

(8 − x)(12 − x) = x2

96 − 12x − 8x + x2 = x2

20x = 96

x =245 .

| FD | = | DE | =245

| AF | = 8 − 245 =

| BE | = 12 − 245 =

Trójkąty ADF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Stąd otrzy-

mujemy| AF || AC |

=| AD || AB |

, czyli

1658 =

| AD |10 . Stąd | AD | = 4 oraz

Odpowiedzi

| DB | = | AB | − | AD | = 10 − 4 = 6.

Rozwiązanie

Trójkąty ADF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów oraz trój-

kąty DBE i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów.

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi podobieństwa, więc

PADFPABC

= ( | AD || AB | )

orazPDBEPABC

= ( | BD || AB | )

Ponieważ | AD | > 0, | AB | > 0, | DB | > 0, to

| AD || AB |

= √ 18PABC

oraz| BD || AB |

= √ 50PABC

Zatem | AD | = √ 18PABC

|AB| oraz | BD | = √ 50PABC | AB | .

Ponieważ | AD | + | BD | = | AB | , to otrzymujemy równanie

√ 18PABC | AB | + √ 50

PABC| AB | = | AB |

√ 18PABC

+ √ 50PABC

√PABC+ √50

√PABC= 1

√18 + √50 = PABC

Odpowiedzi

PABC = 3√2 + 5√2

PABC = 8√2

PABC = 128.

Odpowiedzi

Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna dookręgu / ZadaniaZadanie 5.5.6.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźPunkt S jest środkiem okręgu. Wówczas zaznaczony na rysunku kąt α ma miarę 145 ° .

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie S (zobacz rysunek). Wtedy kąt α ma miarę

52 ° .

Odpowiedzi

| ?ACB | = 45 °

| ?SCB | = 15 °

Zadanie 5.5.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźα = 55 °

γ = 35 °

Zadanie 5.5.6.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-b, II-d, III-e, IV-c, V-a

Rozwiązanie

I. r1 + r2 = 2 + 4√2 − 2 = 4√2 = | S1S2 | . Zatem okręgi są styczne zewnętrznie.

II. r1 + r2 = √3 + 4 + 5√3 = 6√3 + 4, | r1 − r2 | = 5√3 − √3 − 4 = 4√3 − 4, | S1S2 | = 4√3.

Mamy więc | r1 − r2 | < | S1S2 | < r1 + r2. Zatem okręgi przecinają się.

III. r1 + r2 = 2 + 7 = 9, | S1S2 | = 10. Mamy więc | S1S2 | > r1 + r2. Zatem okręgi są roz-

łączne zewnętrznie.

IV. | r1 − r2 | = | 2 − 5 | = 3 > 1 = | S1S2 | . Zatem okręgi są rozłączne wewnętrznie.

V. | r1 − r2 | = | 3 − √2 − 2 + √2 | = 1. Zatem okręgi są styczne wewnętrznie.

4, 2 + √3

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Poprowadźmy promienie okręgów jak na rysunku.

Trójkąt, który łączy środki okręgów jest równoboczny i jego bok ma długość 2r = 2. Zatem

bok AB prostokąta ABCD jest równy

r + 2r + r = 4r = 4.

Bok AD prostokąta jest równy sumie dwóch odcinków długości 1 i wysokości trójkąta rów-

nobocznego o boku długości 2. Zatem

| AD | = 2r +2r√3

2 = 2 + √3.

Odpowiedzi

RozwiązanieZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że

| AO | = | BO | , | AD | = | DC | , | BE | = | CE | .

Zatem obwód trójkąta ADE jest równy

LDEO = | EO | + | DO | + | ED | = | EO | + | DO | + | CE | + | DC | =

| EO | + | DO | + | BE | + | AD | = | EO | + | BE | + | DO | + | AD |

= | BO | + | AO | = 12 + 12 = 24

Oznaczmy środki trzech mniejszych okręgów przez S1, S2, S3, środek czwartego okręgu

przez S, a jego promień – przez R (jak na rysunku). Ponieważ |S1 S2 | = |S2 S3| = |S3S1 | = 2,

to trójkąt S1 S2 S3 jest równoboczny. Każdy z odcinków SS1 , SS2 , SS3 jest równy R – 1, więc

punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym S1 S2 S3. Wynika z te-

go, że

R − 1 = √33 ? 2,

R =2√3

3 + 1.

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Niech A i B będą końcami cięciwy o długości 24. Odległość środka S okręgu od cięciwy AB jest

wysokością trójkąta równoramiennego ABS opuszczoną na podstawę AB. Ramiona AS i BS tego

trójkąta mają długość | AS | = | SB | = 13. Spodek C wysokości SC jest środkiem podstawy AB

trójkąta ABC. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASC otrzymujemy

| SC |2

+ 122 = 132.

Ponieważ | SC | > 0, to

Stąd | SC | = 5.

Zadanie 5.5.6.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźpunkty A i B dzielą okrąg na dwa łuki długości 2,4π oraz 5,6π

Zadanie 5.5.6.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźpromień okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest równy 3

długości przyprostokątnych trójkąta ABC różnią się o 17

Odpowiedzi

Kąt DPA to kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy AD tego okręgu, zatem ma miarę 90 ° . Po-

dobnie kąt APB, który jest kątem wpisanym opartym na średnicy AB drugiego z okręgów, więc

również ma miarę 90 ° . Wynika stąd, że kąt DPB ma miarę równą 90 ° + 90 ° = 180 ° , co oznacza,

że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.

2(4π3 − √3)a)

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Zauważmy, że wspólna cięciwa tych dwóch kół dzieli ich część wspólną na dwa przystające

odcinki koła.

Oznaczmy przez A i B punkty przecięcia okręgów obu kół. Poprowadźmy promienie obu

kół. W trójkątach S1S2A i S1S2B każdy z boków ma długość 2, więc oba te trójkąty są równo-

boczne.

Kąt środkowy wycinka koła o środku S1, opartego na łuku AS2B, ma miarę 120 ° , więc jego

pole jest równe

Pwycinka =120 °360 ° π ∙ 4 =

4π3 .

Odpowiedzi

Pole P1 + P2 zaznaczonej figury obliczamy, odejmując pole półkola o średnicy 10 od sumy pola

trójkąta ABC i dwóch półkoli o średnicach 6 i 8.

Suma pól trójkąta i dwóch półkoli o średnicach 6 i 8, a więc o promieniach 3 i 4, jest równa

P =6 ∙ 8

2 +9π2 +

16π2 = 24 +

25π2 .

Pole półkola o średnicy 10, a więc o promieniu 5, jest równe25π

2 . Stąd pole zacieniowanej figury

jest równe

P = 24 +25π

2 − 25π2 = 24.

Suma P1 + P2 pól dwóch księżyców Hipokratesa jest więc równa polu trójkąta ABC.

Długość podstawy AB trójkąta AS1B jest równa podwojonej wysokości trójkąta równobocz-

nego o boku 2, natomiast wysokość opuszczona na tę podstawę z wierzchołka S1 jest rów-

na 1. Zatem pole trójkąta AS1B jest równe

PAS1B =2√3

2 = √3.

Stąd wynika, że pole P1 odcinka koła jest równe

Pwycinka − PAS1B =4π3 − √3.

Pole części wspólnej rozważanych kół jest równe

P = 2(4π3 − √3).

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 10, co stwierdzamy, stosując twierdzenie Pita-

gorasa.

Odpowiedzi

Można wykazać, że analogiczna równość pól zachodzi dla dowolnego trójkąta prostokątnego. Wy-

kazanie tego faktu proponujemy jako pouczające ćwiczenie.

Zadanie 5.5.6.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźα = 90 ° , β = 55 ° , γ = 50 °

Zadanie 5.5.6.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźπ

Zadanie 5.5.6.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźr1 = 3 i r2 = 6

Zadanie 5.5.6.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź8π − 8√3

Odpowiedzi

Rozwiązanie

Koniec A jednej z cięciw, jej środek E i środek S okręgu to wierzchołki trójkąta prostokątnego, w

którym

| AS | = 17, | AE | =12 | AB | = 15.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

| ES | = √172 − 152 = 8.

Stąd odległość między cięciwami jest równa

| EF | = 16.

RozwiązanieZ twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy

| AD | = | AF | = 6

| CE | = | CF | = 5

Odpowiedzi

| BD | = | BE | = 10.

Obwód trójkąta ABC jest równy L = 2 ∙ 6 + 2 ∙ 5 + 2 ∙ 10 = 42.

Zadanie 5.5.6.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź70 °Rozwiązanie

Suma miar kątów w czworokącie ASBC jest równa 360 ° , zatem

360 ° = 110 ° + 90 ° + α + 90 ° ,

skąd α = 70 ° .

Odpowiedzi

Zadanie 5.5.6.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź252 (π

3 − √32 )

RozwiązanieMiara kąta środkowego ASB opartego na łuku AB jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego

ACB, więc | ?ASB | = 60 ° .

Pole wycinka ASB o kącie 60 ° i promieniu 5 jest równe

60 °360 ° π ∙ 25 =

25π6 .

Trójkąt ASB jest równoboczny, więc jego pole jest równe

PASB =52√3

4 =25√3

Zatem szukane pole zacieniowanego odcinka jest równe

Pwycinka − PASB =25π

6 − 25√34 =

252 (π

3 − √32 ).

RozwiązanieOkręgi są styczne zewnętrznie, zatem

| S1S2 | = 6 + 2 = 8.

Trójkąty OS1G oraz OS2H są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierz-

Odpowiedzi

chołku O, więc trzeci kąt też mają taki sam. Korzystamy z cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-

kątów). Z tego otrzymujemy

| GS1 || S1O |

=| HS2 |

| S1S2 | + | S1O |

| S1O |=

8 + | S1O |

| S1O |=

8 + | S1O |

8 + | S1O | = 3 | S1O |

2 | S1O | = 8

| S1O | = 4

| S2O | = | S1O | + | S1S2 | = 4 + 8 = 12.

Rozwiązanie

Odpowiedzi

Ponieważ AB jest styczną, więc promień CS mniejszego okręgu jest prostopadły do AB. Z twierdze-

nia Pitagorasa wynika, że długość odcinka CB jest równa

| CB | = √132 − 52

= √144 = 12.

Trójkąt ASB jest równoramienny, gdyż | AS | = | BS | = 13 . Zatem wysokość SC dzieli jego

podstawę AB na połowy. Cięciwa AB ma więc długość 24.

Rozwiązanie

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS obliczymy długość odcinka SO

| SO | = √82 + 152 = √289 = 17.

Czworokąt AOBS jest deltoidem, którego pole możemy obliczyć na dwa sposoby.

Przekątne deltoidu AB i SO przecinają się pod kątem prostym. Stąd

PAOBS =| AB | ∙ | SO |

2 =| AB | ∙ 17

Z drugiej strony deltoid składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych, więc

PAOBS = 2 ∙ 8 ∙ 152 = 120.

Otrzymujemy w ten sposób równanie

| AB | ∙ 17

2 = 120,

z którego obliczamy

Odpowiedzi

| AB | =24017 .

Zadanie 5.5.6.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź35 ° , 16 ° , 129 °Rozwiązanie

Kąt ACB jest wpisany w okrąg i oparty na łuku AB, na którym oparty jest też kąt środkowy ASB.

Zatem miara kąta ACB jest równa

| ?ACB | =12 | ?ASB | =

12 ∙ 32 ° = 16 ° .

Wklęsły kąt środkowy ASC ma miarę 360 ° − (70 ° + 32 ° ) = 258 ° . Kąt środkowy ASC jest oparty

na łuku AC, na którym oparty jest też kąt wpisany ABC. Zatem miara kąta ABC jest równa

| ?ABC | =12 | ?ASC | =

12 ∙ 258 ° = 129 ° .

Miara trzeciego kąta BAC trójkąta jest równa 180 ° − 129 ° − 16 ° = 35 ° .

Zadanie 5.5.6.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź5 i 15 lub 2,5 i 7,5

Odpowiedzi

Rozwiązanie

• I przypadek

Trójkąty OS1A oraz OS2B są podobne, co wynika z cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-

kątów (Kąt AOS1 jest wspólnym kątem obu trójkątów i oba są prostokątne, zatem trzeci kąt

też musi mieć taką samą miarę). Zatem

| AS1 || BS2 |

=| OS1 || OS2 |

| OS1 || OS1 | + 10

| OS1 | + 10 = 3 | OS1 |

| OS1 | = 5.

Mamy więc

| OS2 | = 5 + 10 = 15.

Odpowiedzi

• II przypadek

Podobnie jak w przypadku I wykazujemy, że trójkąty OS1A oraz OS2B są podobne, więc

| AS1 || BS2 |

=| OS1 || OS2 |

| OS1 |10 − | OS1 |

10 − | OS1 | = 3 | OS1 | ,

skąd | OS1 | = 2,5 oraz | OS1 | = 10 − 2,5 = 7,5.

Zadanie 5.5.6.31 (Wróć do zadania)OdpowiedźTrójkąt ABC jest prostokątny. Wynika to z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, po-

nieważ

122 + 52 = 132.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest równy

r =a + b − c

2 =5 + 12 − 13

2 = 2.

Odpowiedzi

Wierzchołek kąta prostego, środek okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny oraz punkty styczno-

ści tego okręgu z przyprostokątnymi to wierzchołki kwadratu, którego bok ma długość równą pro-

mieniowi okręgu wpisanego. Stąd wynika, że punkty D i E są punktami styczności.

Niech G oznacza punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt z przeciwprostokątną AB. Z twier-

dzenia o odcinkach stycznych wynika, że

| BD | = | BG | = 3,

ale to oznacza, że punkt G pokrywa się z punktem F. To kończy dowód.

Odpowiedzi

Rozdział 7. O e-podręczniku

Cele kształcenia - wymagania ogólne:

Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Wprowadzenie

Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,

Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,

Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,

Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,

Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta

Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTaIFCUVjc/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTaIFCUVjc

Hasła podstawy programowej:

E4-SRE-MAT-1.0-I-4.1: określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;

Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):

Ilya Andreev: Okładka [Licencja: shutterstock]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.1, symulacja kosztów tankowania,

dystrybutor [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.2, zależność drogi od czasu [Licencja:

CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zadanie 1.1, pesel [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojecie funkcji_atrapa_animacja_450 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXi2y4Qq7H/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXi2y4Qq7H

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.4a, różne sposoby przedstawiania

funkcji, zbiory [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.4b, różne sposoby przedstawiania

funkcji, wykres [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.6, pole kwadratu [Licencja: CC BY NC

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.9, rzut kostką [Licencja: CC BY NC

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.10, dziedzina i zbiór wartości funkcji

[Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zadanie 1.5, graf na podstawie tabeli [Licencja:

CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań / Zadania

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iD9uIdZhyy/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iD9uIdZhyy

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.13 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15a [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań / Zadania generatorowe

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iOLUBobgQT/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iOLUBobgQT

Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Wprowadzenie

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijIVAk3uoW/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijIVAk3uoW

E4-SRE-MAT-1.0-I-4.2: oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami

rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.1, pole kwadratu [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.2, pole trójkąta [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.3, pole prostokąta [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.4, para dodatnich liczb [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.5, trójkąty prostokątne [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.6, graniastosłupy [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.7, suma cyfr liczby dwucyfrowej [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji_atrapa_gielda [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Dziedzina

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/imDezqtFmV/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/imDezqtFmV

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.9 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań / Zadania

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/izfT7XnIJ4/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/izfT7XnIJ4

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań / Zadania generatorowe

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4sXmn6vty/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4sXmn6vty

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Miejsca zerowe funkcji

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inbq6sFckr/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inbq6sFckr

E4-SRE-MAT-1.0-I-4.3: odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne

przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale

wartość największą lub najmniejszą);

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji

liczbowej_atrapa_temperatura1 [Licencja: CC BY 3.0]

liczbowej_atrapa_temperatura2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_bank1

[Licencja: CC BY 3.0]

liczbowej_atrapa_temp_pacjenta [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.4, funkcja

liniowa [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Argumenty, dla których funkcja

przyjmuje daną wartość

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i7nzJDE7zr/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i7nzJDE7zr

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_animacja_460

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.10, liczba

rozwiązań f(x) [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.13

liczbowej_atrapa_animacja_1154 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, zadanie 3.1, graf

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiór zadań / Zadania

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iI2WwOZPY8/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iI2WwOZPY8

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, zb.zadań, zadanie

3.15, graf [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, zb.zadań, zadanie

3.15, graf [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiór zadań / Zadania generatorowe

Antonijczuk

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iM5UjKTTt4/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iM5UjKTTt4

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Argumenty i wartości funkcji

Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena

Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,

Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna

Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQcTmrc2QH/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQcTmrc2QH

E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową

pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_Przyklad1_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 Przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja sinus [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 Przyklad2b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podsatwie jej wykresu

czII_atrapa_animacji_256 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQWD5EMEcc/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQWD5EMEcc

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_aplet4 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_aplet5 [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Zadania. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwSwh3gflz/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwSwh3gflz

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_cwiczenieWstepne_5_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4CwiczenieWstepne7 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne11_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4-CwiczeniaWstepne11_2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieZamkniete1 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Zadania. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iNcttILBPI/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iNcttILBPI

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete2a_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete2c_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete2d_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete6_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete7_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete8b_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte1 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Przykłady zastosowania funkcji

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ieMrTr2FFn/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ieMrTr2FFn

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu czII_atrapa_kurs_euro

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu

czII_atrapa_wykres_rozp_chlorku [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Monotoniczność funkcji

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXiFhkZ7Ue/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXiFhkZ7Ue

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_aplet1_przyklad3 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_aplet2_przyklad4 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_monotonicznosc_funkcji_nierosnaca_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_funkcja_niemalejaca_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]

czII_atrapa_animacja_259 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład7 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Monotoniczność. Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iKCV7dPxfB/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iKCV7dPxfB

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład10 drugi [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Zadania. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3ImVQkVa4/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3ImVQkVa4

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstepne1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstępne2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Cwiczenie Wstępne5 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 5f Ćwiczenie Wstępne6 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_Cwiczenie_Wstepne_9 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Cwiczenie Wstępne12 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstepne13 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadanie Zamknięte2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_3a_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_3c_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_3d_pop [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Zadania. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iglkZEKznx/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iglkZEKznx

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Zamknięte4 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZZ7a_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZZ7c_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZZ7d_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadanie Otwarte3 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_monotonicznosc_funkcji [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3eyXqFWnA/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3eyXqFWnA

Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Symetria punktu

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iujnbLcEZ4/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iujnbLcEZ4

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_264

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_aplet_symetria_wielokata_Oy_4a [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Symetria wykresu funkcji

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2HWLSBG0g/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2HWLSBG0g

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Przykłady symetrii funkcji

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifXk8bDoha/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifXk8bDoha

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_5_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad8_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przykladd_8_3 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyKnFotul8/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyKnFotul8

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_zad4 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_zad5 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Cwiczenie_6 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie6a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie6b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie6c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7c [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQ60uQMXIA/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQ60uQMXIA

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZadanie4a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZadanie4a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete5a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete5c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte5 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJ2NWDdwP7/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJ2NWDdwP7

Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igCztBDm3m/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igCztBDm3m

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_a1_aplet_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przesuniecie wzdluz osi ukladu wspolrzednych_atrapa_animacja_271 [Licencja: CC

BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuYO7oABdk/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuYO7oABdk

BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_Przyklad2 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_Przyklad3 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_przesuniecie_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przesunięcie wykresów funkcji

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idq3TL5AAt/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idq3TL5AAt

BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_Przesuniecie_wykresu_Ox_Oy [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iaBy7Rwlv4/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iaBy7Rwlv4

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6d [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iVyCTmvrLc/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iVyCTmvrLc

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw2a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw2b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_przeksztalcenia_wykresow_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_1b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_1c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_2a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_2d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cz2_8 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cz2_9_pop5607 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cz2_10_pop [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iRxU4N5KUF/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iRxU4N5KUF

Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Proporcjonalność prosta

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idsHCqNtrt/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idsHCqNtrt

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iZ5NefZyv7/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iZ5NefZyv7

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa.Wykres funkcji liniowej_atrapa_animacja_276 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1-P4 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5d [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Definicja funkcji liniowej

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iC5UlVWKOh/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iC5UlVWKOh

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_aplet_1 [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXvri0TiC7/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXvri0TiC7

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadZamkniete4 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_6 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8d [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3Qbix5DD/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3Qbix5DD

Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2lXwmfXei/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2lXwmfXei

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_P1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_279 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_aplet1_rysowanie_wykresu_funkcji_liniowej [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_aplet2_kontrola_wk [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ii5ui8UqCh/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ii5ui8UqCh

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Informacja niezdefiniowana [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i0XbzDniFf/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i0XbzDniFf

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_cw1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1d [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifmDv2cNM8/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifmDv2cNM8

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa / Równanie liniowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMtsQSV59x/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMtsQSV59x

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsce zerowe funkcji liniowej. Rownanie nierownosc

liniowa_atrapa_animacja_286 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa / Nierówność liniowa

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iz3YYsvkqA/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iz3YYsvkqA

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsce zerowe funkcji liniowej. Rownanie nierownosc

liniowa_atrapa_animacja_287 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_aplet_znak_funkcji_liniowej1 [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iAPzA JyJLl/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iAPzA JyJLl

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie5 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Układ dwóch równań

liniowych

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwlla7UcWu/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwlla7UcWu

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_rys1_uklady_rownan_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4-p2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Uklad rownan liniowych.Geometryczna interpretacja ukl rownan_atrapa_rys_1461

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_rys2_doPrzykladu_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Uklad rownan liniowych.Geometryczna interpretacja ukl

rownan_atrapa_animacja_462 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Układ równań liniowych

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iA9xbPkJ23/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iA9xbPkJ23

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iipFFTLFTV/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iipFFTLFTV

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_cw5b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_cw5c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_cw5d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4-ZadZamkniete2 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itUPZQIKbp/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itUPZQIKbp

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/is1ZZd9x6d/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/is1ZZd9x6d

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_animacja_1138 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPZAoFZ00h/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPZAoFZ00h

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_zegar1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_zegar2 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Zadania. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXfufmgP5f/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXfufmgP5f

Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Zadania. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJXhEAZsUa/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJXhEAZsUa

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Wprowadzenie do trygonometrii

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFi3Grbpkc/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFi3Grbpkc

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P1b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P4_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P4_2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnychT1_P5_2 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iADD4BWuQT/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iADD4BWuQT

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P6_Def1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_aplet_def_funkcji_tryg_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_piramida_380 [Licencja:

CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_piramida [Licencja: CC

BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P6_Def2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_514 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9VM97Ks75/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9VM97Ks75

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P8 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P-9 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-p_11 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Zadania. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQJNKh7EjN/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQJNKh7EjN

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-cw_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZZ_1 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Zadania. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i6HzVy1ZMW/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i6HzVy1ZMW

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZZ7 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1d [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Tożsamości trygonometryczne

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itZ4HGfLvb/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itZ4HGfLvb

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T2_P6_def1 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5j7qqwIzq/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5j7qqwIzq

Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iGm9THSfIh/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iGm9THSfIh

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iLQJx6vgt6/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iLQJx6vgt6

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Zastosowanie trygonometrii w geometrii / Przykłady. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFo0hxIwlP/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFo0hxIwlP

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie trygonometrii w geometrii_atrapa_rys_1461 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5b_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5c_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad7a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad8a [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Zastosowanie trygonometrii w geometrii / Przykłady. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3I2H0629/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3I2H0629

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Twierdzenie [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Trygonometria / Zastosowanie trygonometrii w geometrii / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iorBXXMsgu/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iorBXXMsgu

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_ZadOtwarte6 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Trygonometria / Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTswnOSrCA/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTswnOSrCA

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja 2030 [Licencja: CC BY

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2031 [Licencja: CC BY

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Liczby naturalne, całkowite, wymierne / Liczby naturalne, całkowite i wymierne

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ikdIx7QISW/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ikdIx7QISW

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zapisywanie i odczytywanie liczb wielocyfrowych_atrapa_animacja_208 [Licencja:

CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przypomnienie wiadomosci o ulamkach_atrapa_animacja_420 [Licencja: CC BY

Moduł: Liczby / Liczby naturalne, całkowite, wymierne / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iEiwlNZRkK/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iEiwlNZRkK

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Zadania_atrapa_animacja_dzialania_na_ulamkach [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Zadania_atrapa_animacja_NWW [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Zadania_atrapa_animacja_NWD [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Procenty / Procenty i punkty procentowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i1bNoVvuYb/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i1bNoVvuYb

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_procenty jablka_382 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_animacja_murawa [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_sok w szklance_381 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_animacja_sniezna_gora [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Liczby / Procenty / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPJptyFPKc/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPJptyFPKc

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Procenty / Zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXoZWvnjUE/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXoZWvnjUE

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Działania na potęgach

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inh2Yk0NEJ/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inh2Yk0NEJ

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby3_potegi1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_mnozenie_poteg_podstawy

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloraz_poteg_podstawy [Licencja:

CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_potega_potegi [Licencja: CC BY

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloczyn_poteg_wykl [Licencja: CC

BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloraz_poteg_wykl [Licencja: CC BY

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ij3qbxsvja/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ij3qbxsvja

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby3_potegi2 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Działania na pierwiastkach

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwHXiIWbig/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwHXiIWbig

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Zadania. Część I

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i09oPkWcMs/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i09oPkWcMs

Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Zadania. Część II

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwMAZ8Y2HQ/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwMAZ8Y2HQ

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Działania na wyrażeniach algebraicznych

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idJU0J7zOr/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idJU0J7zOr

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-mnozenie_przez_liczbe_i_mnozenie_sum [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Działania na wyrazeniach

algebraicznych_atrapa_animacja_czynnik_przed_nawias1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Działania na wyrazeniach algebraicznych_atrapa_animacja_czynnik-

przed_nawias2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Działania na wyrazeniach

algebraicznych_atrapa_animacja_czynnik_przed_nawias3 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ibT9N68gtu/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ibT9N68gtu

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-cwiczenie_4A [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-cwiczenie_4B [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zadania_atrapa_animacja_czynnik_przed_pierwiastek2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zadania_atrapa_animacja_czynnik_przed_pierwiastek3 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYHU9sr5d5/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYHU9sr5d5

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przyklady_atrapa_animacja_kwadrat_sumy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4_kwadrat_sumy [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przyklady_atrapa_animacja_roznica_kwadratow [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4_roznica_kwadratow_dwoch_wyrazen [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Zadania, zadania generatorowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ig42CnZLFQ/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ig42CnZLFQ

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_A [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_B [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_C [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_D [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_E [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_F [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-Zadanie7_graniastoslup [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym / Potęga o wykładniku wymiernym

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iWtrtHADs4/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iWtrtHADs4

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilUEeWkfvv/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilUEeWkfvv

Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijfg65U76S/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijfg65U76S

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_289 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilYsbYn3sZ/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilYsbYn3sZ

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_rys_1351 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Przykład7_2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Przykład8_2 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Wartość bezwzględna - definicja

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJi9BWd1Vm/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJi9BWd1Vm

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_463 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_470a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_471a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_472a [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iv5QSfsCk2/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iv5QSfsCk2

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Zadanie_6a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Zadanie_6c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Zadanie_6d [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia / Przybliżenia i zaokrąglenia liczb

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuT6SvOx9A/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuT6SvOx9A

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_animacja_blok_mieszkalny [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia / Błąd bezwzględny, błąd względny

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/isi4Lctor5/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/isi4Lctor5

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zaokraglenia i przyblizenia_atrapa_animacja_1139 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zaokraglenia i przyblizenia_atrapa_animacja_1140 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMB87PL04P/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMB87PL04P

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Przystawanie trójkątów

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inHat0Iy53/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inHat0Iy53

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_przystawanie1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Przystawanie2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Twierdzenie Pitagorasa

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTdzyC9y6c/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTdzyC9y6c

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_TwPitagorasa_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_apllet_dowod_tw_pitagorasa [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZM1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZM_1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZM2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Cw1_ZwMiarowe2c [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Dwusieczne kąta

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9MtdNVchn/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9MtdNVchn

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_D1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_aplet_punkt_na_dwusiecznej_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw3_b [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igxObBDDby/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igxObBDDby

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_D2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_punkt_na_symetralnej_tw [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_dowod_tw_symetralnych [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_PrzypadkiSz_1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_PrzypadkiSz_2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trapezu [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_rownolegloboku [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Planimetria. Podstawowe zwiazki naplaszczyznie_cw_ok_wp_4new [Licencja: CC BY

NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_okr_wpis_w_czworokat [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYvSXQ2WQA/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYvSXQ2WQA

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_Cw4_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_cw5_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadZamniete1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadZamkniete6_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadOtwarte4_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_ZO5_1_pop [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe / Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i

odpowiadające

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iUkVySbp2p/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iUkVySbp2p

O e-podręczniku

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy wierzcholkowe bez miar

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy przylegle_bez miar [Licencja: CC

BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_definicja1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_katy_przylegle [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_katy_wierzcholkowe [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_definicja1_nowe [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy odpowiadajace [Licencja: CC BY

NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: g2_aplet1_katy_przy_prostych_rownoleglych [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_atrapa_rys_1350 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_rys_atrapa_1141 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_8 katow_naprzemian [Licencja:

CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy_naprzemianlegle_row [Licencja:

CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_8 katow odpowiadajacych

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy odpowiadajace_row [Licencja: CC

BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy naprzemianlegle [Licencja: CC BY

NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy odpowiadajace [Licencja: CC BY

NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_Przyklad2a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_katy naprzemianlegle [Licencja:

CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_katy odpowiadajace [Licencja: CC

BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_zadanie z katami [Licencja: CC BY

NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe / Kąty w figurach, przekątne

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifaQywdfl4/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifaQywdfl4

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_aplet_1_suma_miar_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie5a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie5b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_po_twierdzeniu5 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ciekawostka_po_twierdzeniu6 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_liczba_przekatnych1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_liczba_przekatnych2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_aplet2_wielokaty_wypukle [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_katy_w_czworokatach1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_katy_w_czworokatach2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_Geometria_katy_w czworokatach_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie9a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie9b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie9 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie10a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie10b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pole_rownolegloboku_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_rownolegloboku [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pola_czworokatow_trojkat [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pola_czworokatow_trapez [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trapezu [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pola_czworokatow_przekatne_kat_prosty [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iW8dhFubnF/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iW8dhFubnF

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_cwiczenie_1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_zadanie z katami [Licencja: CC BY

NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_cwiczenie_1b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_cwiczenie_1c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadZamkniete9_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete_10_nowe [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte_3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte_6 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Przystawanie trójkątów / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iBdq3RI1Kn/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iBdq3RI1Kn

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P1_a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_P1_b_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_p2b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P2c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometriap4_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P3_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaP5_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_P5_4 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P6_2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P6_3nowy [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Przystawanie trójkątów / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itnpvkjoPI/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itnpvkjoPI

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_8 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO9_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Z14 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO14_1_nowe [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_15_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_17_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO19 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Zo20 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO22 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_23 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Zo24 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Podobieństwo trójkątów / Cechy podobieństwa trójkątów

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXzwKyrgcB/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXzwKyrgcB

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet1_nowy [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_aplet4 [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Podobieństwo trójkątów / Przykłady

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ihJQ12xslc/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ihJQ12xslc

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad2a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Przyklad2b_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad2c_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Podobieństwo trójkątów / Własności podobieństwa

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyj6xbHTa3/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyj6xbHTa3

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad3b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie3a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie3b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet5_linia_srodkowa_w_trojkacie_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie4_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie4a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie4b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet6_linia_srodkowa_w_trapezie_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw2a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw7b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw7c_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadZamkniete1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadZamkniete7_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatowZadOtwarte6_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadZamkniete7a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Kąty w okręgu

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuWGcr0yHC/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuWGcr0yHC

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja1_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja1a_pop [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Kąt środkowy, kąt wpisany

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iiqv10hdWF/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iiqv10hdWF

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: g5_definicja2_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja2a_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_aplet1_zaleznosci_miedzy_katem_srodkowym_wpisanym [Licencja: CC BY NC

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1a_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1b_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1c_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Twierdzenie1d_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1e_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Przyklad_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Wzajemne położenie prostej i okręgu

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4J0Je8JfJ/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4J0Je8JfJ

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Aplet2_wzajemne_polozenie_prostej_okregu [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela1b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela1c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Twierdzenie4_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Twierdzenie5a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Aplet_dynamiczny [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_aplet3_wzajemne_polozenie_okregow [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_Tabela2d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2c [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Wycinek i odcinek koła

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5SKkI04eR/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5SKkI04eR

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy w trojkacie. Styczna do okregu_atrapa_rysunek_1469 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja5a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja5aa_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_aplet_pole_odcinka_kola [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja_5b_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja5a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itHO3Da6eQ/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itHO3Da6eQ

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_przyklad_do_szkicu16301_nowy [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie7_1_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie7a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Zadania

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ipwitdW8ay/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ipwitdW8ay

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie2_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie3_nowe_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie5a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie5b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie6 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie8_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie11b_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete1a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete1b_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete9 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte2 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Geometria / Stereometria / Siatki i modele brył

Autor: Jacek Stańdo

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iykFfPb7YW/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iykFfPb7YW

E2-PODST-MAT-1.0-10.4: rysuje siatki prostopadłościanów.

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Siatki i modele prostopadloscianow i szescianow_atrapa_animacja [Licencja: CC BY

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Gimnazjum - Matematyka 2_5002 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pole figury_atrapa_animacja_330 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5003 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 3D_walec_1538 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

Moduł: Słowniczek

Moduł wygenerowany przez platformę

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/104436_25_glossary/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/104436_25_glossary