matematyka ii - organizacja zajęć+3 5. dr hab. inż. joanna józefowska, prof. pp teoretyczne...
Post on 28-Sep-2020
1 Views
Preview:
TRANSCRIPT
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Matematyka II - Organizacja zajęć
Wykład (45 godz.):
30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarzponiedziałek godz.11.45
15 godzin - dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PPśroda godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A
Egzamin w sesji letniej
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 2
Teoretyczne podstawy informatyki
?( ) ( ) ( )xfxfxf n
n
iDefi
rK
rr++=∑
=1
1
( ) ( ) ( )xfxfxf nDefn
ii
rK
rr⋅⋅=∏
=1
1
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
3
Teoretyczne podstawy informatyki
dr hab. inż. Joanna Józefowska
dyżur: poniedziałek 8.30 - 9.30 p. 436czwartek 13.30 - 14.30 p. 436
e-mail: joanna.jozefowska@cs.put poznan.pl
materiały do wykładów:http://www.cs.put.poznan.pl/jjozefowska/
hasło: mat03
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
4
Literatura
• Batóg T., Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań1999.
• Błażewicz J., Złożoność obliczeniowa problemówkombinatorycznych, WNT, Warszawa 1988.
• Davis M., Czym jest obliczanie?, w: Matematyka współczesna -dwanaście esejów pod redakcją Lynna Arthura Steena, WNT,Warszawa 1983.
• Epstein R. L., Carnielli W. A., Computability, Wadsworth, Belmont2000.
• Harel D., Rzecz o istocie informatyki, wyd. 2, WNT Warszawa2000.
• Penrose R., Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyślei prawach fizyki, PWN, Warszawa 1996.
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
5
Paradoksy
Kreteńczyk: „Wszyscy mieszkańcy Kretysą kłamcami”.
To zdanie jest fałszywe.
Paradoks Russela
Z = {X: X ∉ X}. Czy Z ∈ Z ?
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
6
Paradoks Zenona
Achilles i żółw ścigają się. Dlawyrównania szans przesunięto pozycjestartowe. Ale jakkolwiek szybko biegłbyAchilles, to nigdy nie dogoni żółwia.Zanim bowiem Achilles dobiegnie domiejsca, z którego startował żółw, tendrugi będzie już kawałek dalej. ZanimAchilles osiągnie tę pozycję, żółwia jużtam nie będzie, itd.
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
7
Paradoks Zenona
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
8
Paradoks Zenona
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
9
C1
Paradoks Zenona
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C2 C3
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
10
Paradoks Zenona
( )( ) ( )( ) 021
121
21212
1 22>
++=
++−−++
=+
−++
mmmmmmmm
mm
mm
( ) 01
11
1 >+
=+
−mm
m
115
443
32
21
<<+
<<<<< KKm
m
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
11
Liczby
• liczenie a liczność (zbioru)
• porównywanie liczności dwóch zbiorów
• dodawanie 1
• liczby naturalne
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
12
Wszystko jest liczbą...
2
qp
=2Załóżmy, że
p, q są względnie pierwsze
22 2qp =
zatem p2 jest liczbą parzystą
a stąd i p jest liczbą parzystą (p = 2r)
p, q są względnie pierwsze, więc q jest nieparzyste
z drugiej strony (2r)2 = 2q2 czyli 2r2 = q2 co oznacza,
że q jest parzyste
sprzeczność
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
13
Funkcje
Czarna skrzynkawejście
wyjście
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
14
Funkcje
Czarna skrzynka2
5+3
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
15
Funkcje
Czarna skrzynka4
2√
–2
wybierz
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
16
Dziedzina i zbiór wartości funkcji
– 4
?√
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
17
Dziedzina i zbiór wartości funkcji
√
dziedzina
zbiórwartości
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
18
Funkcja jako reguła
Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami.Funkcją z X do Y nazywamy regułę, która każdemuelementowi x∈ X przyporządkowuje element y∈ Y.
f(x) = x + 3
g(x) = x + 4 - 1
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
19
Funkcja jako zbiór par
Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami.Funkcją z X do Y nazywamy zbiór par (x,y)gdzie pierwszy element pary należy do zbioruX, a drugi do zbioru Y. Jeżeli (x,y) i (x,z) należądo tego samego zbioru par, to y=z.
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
20
Notacja λ
x → 3x + 7
3x + 7 jest różniczkowalna
3x + 7 jest mniejsze od 2
(2,3) → 5
f(2, 3) = 2 + 3
g(2) = 2 + 3
λx(3x + 7)
3x + 7
λx λy(x + y) =λxy(x + y)
λx(x + 3)
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
21
Injekcja, surjekcja i bijekcja
funkcja - ani injekcja ani bijekcja nie funkcja
injekcja, ale nie bijekcja surjekcja nie injekcja
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
22
Złożenie funkcji
dziedzina funkcji f
x
dziedzina funkcji g
zbiór wartościfunkcji f
f(x) g°f(x)
zbiór wartościfunkcji g°f
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
23
Złożenie funkcjif(x) = 3x + 7
x
g(x) = 2x2
3x + 7
g°f(x)= 18x2 + 84x + 98
2 (3x+7)2
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
24
Dowody
• Co to jest dowód?
• Jak rozpoznać, że twierdzeniematematyczne zostało udowodnione?
• Jakie są kryteria?
• Czym różni się dowód w matematyce oddowodu np. sądowego?
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
25
• Indukcja
• Dowód nie wprost
• Dowód konstrukcyjny
• Dowód przez kontrprzykład
• Dowody na istnienie
Dowody
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
26
• Jak duża jest nieskończoność?
• Czy wszystkie zbiory nieskończone mają tęsamą liczbę elementów?
Zbiory nieskończone
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
27
Zbiór A nazywamy przeliczalnym jeżeli jestskończony lub równoliczny ze zbiorem liczbnaturalnych, czyli istnieje bijekcja A na N.
Zbiory przeliczalne
1
4
3
2
...
...
A N
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
28
Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny
1 2 3 4...
1 1/1 1/2 1/3 1/4...
2 2/1 2/2 2/3 2/4...
3 3/1 3/2 3/3...
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
29
Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny
Udowodnimy, że zbiór wszystkich uporządkowanych par liczbnaturalnych (m, n) jest przeliczalny.
Zdefiniujmy:
J(m, n) = 1/2 [(m + n)(m + n + 1)] + m
Ta funkcja opisuje uporządkowanie z poprzedniego rysunku,przy założeniu, że dla równych J(m, n) para o mniejszympoprzedniku poprzedza parę o większym poprzedniku.
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
30
Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny
J(0, 0) = 1/2 [(0 + 0)(0 + 0 + 1)] + 0 = 0
J(0, 1) = 1/2 [(0 + 1)(0 + 1 + 1)] + 0 = 1
J(1, 0) = 1/2 [(1 + 0)(1 + 0 + 1)] + 1 = 2
J(0, 2) = 1/2 [(0 + 2)(0 + 2 + 1)] + 0 = 3
J(1, 1) = 1/2 [(1 + 1)(1 + 1 + 1)] + 1 = 4
J(2, 0) = 1/2 [(2 + 0)(2 + 0 + 1)] + 2 = 5
J(0, 3) = 1/2 [(0 + 3)(0 + 3 + 1)] + 0 = 6
J(1, 2) = 1/2 [(1 + 2)(1 + 2 + 1)] + 1 = 7
.................................................................
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
31
Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny
J(m, n) jest funkcją 1-1
Każdej parze odpowiada dokładnie jedna liczba naturalna:
1/2 [(m + n)(m + n + 1)] + m
Każdej liczbie naturalnej k odpowiada dokładnie jedna para.
Zauważmy, że J(m, n) określa liczbę par takich, że
(x + y < m + n) lub (x + y = m + n i x < m)
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
32
Zbiór liczb rzeczywistychnie jest przeliczalny
Niech [0, 1) oznacza zbiór liczb rzeczywistych większychlub równych od 0 i mniejszych od 1. Jest on równolicznyze zbiorem liczb rzeczywistych, gdyż łatwo wykazać, że
jest bijekcją.
( ) xxxg−
= 1
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
33
Zbiór liczb rzeczywistychnie jest przeliczalny
Liczby z przedziału [0, 1) możemy reprezentować jakorozwinięcia dziesiętne postaci:
x = 0. x0 x1 x2 ... xn ...
(Nie wprost)
Przypuśćmy, że [0, 1) jest równoliczny z N. Wtedy możnaponumerować wszystkie liczby z przedziału [0, 1):
a0 = 0. a00 a01 a02 ....
a1 = 0. a10 a11 a12 ....
................................
an = 0. an0 an1 an2 ... ann ....
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
34
Zbiór liczb rzeczywistychnie jest przeliczalny
Niech b = 0. b0 b1 b2 ... bn ...., gdzie
≥−<+
=8gdy 1
8gdy 1
nnnn
nnnnn a a
aab
a0 = 0. a00 a01 a02 ....
a1 = 0. a10 a11 a12 ....
................................
an = 0. an0 an1 an2 ... ann ....
0 ≤ b ≤ 1
b na pewno nie występuje na liście, bo od każdej liczby naliście różni się co najmniej cyfrą leżącą na przekątnej.
sprzecznośćsprzeczność
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
35
Zbiór wszystkich zbiorówOznaczmy przez P(A) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A.
Twierdzenie:Twierdzenie: PP(A) i A nie są równoliczne.(A) i A nie są równoliczne.
Dowód (Nie wprost)Przypuśćmy, że A i P(A) są równoliczne.
Niech f: A → P(A) będzie surjekcją. Oznaczmy f(a) = Aa.
Niech B będzie podzbiorem tych elementów x należącychdo A, że x ∉ Ax. Wtedy B jest podzbiorem A, zatem istniejeb, takie, że B = Ab.
Ale wtedy: jeżeli b ∈ B, to z definicji b ∉ Ab, więc b ∉ B
jeżeli b ∉ B, to z definicji b ∈ Ab, więc b ∈ B
sprzecznośćsprzeczność
dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP
Teo
rety
czne
pod
staw
y in
form
atyk
i
36
Zadanie domowe
W pewnej wsi mieszka fryzjer, który goliwszystkich i tylko tych mieszkańców wsi,którzy nie golą się sami.
Czy ten fryzjer się goli?
top related