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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 8

30 de maio de 2012

Aula 8 Matemática Básica 1

Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é ordenado

Aula 8 Matemática Básica 2

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 3

R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

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Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos

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Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivos

números reais negativos

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Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos

Aula 8 Matemática Básica 20

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

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Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 8 Matemática Básica 38

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 8 Matemática Básica 39

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 8 Matemática Básica 40

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 8 Matemática Básica 41

Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:

a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Aula 8 Matemática Básica 42

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 43

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 44

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 45

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 46

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 47

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 48

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 49

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 50

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 51

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 52

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 55

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 56

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 57

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

Aula 8 Matemática Básica 58

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 59

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 60

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 61

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 62

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 63

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 64

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 65

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 66

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 67

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 68

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 69

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 70

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 71

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 72

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 73

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 74

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.

Demonstração. Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 75

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 76

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 77

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 78

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 79

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 80

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 81

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 82

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 83

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 84

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 85

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 86

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 87

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 88

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 89

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 90

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 91

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 92

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 93

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 94

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 95

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.

Demonstração. Temos que

a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

Aula 8 Matemática Básica 96

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 97

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 98

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 99

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 100

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 101

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 102

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 103

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 104

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 105

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 106

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 107

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.

Demonstração. Temos que

a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

Aula 8 Matemática Básica 108

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 109

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 110

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 111

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 112

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 113

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 114

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 115

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

Aula 8 Matemática Básica 116

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 117

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 118

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 119

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 120

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 121

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 122

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 123

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 124

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 125

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 126

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 127

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 128

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 129

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 130

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 131

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 132

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 133

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 134

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 135

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 136

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 137

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 138

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 139

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 140

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 141

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 142

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 143

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 144

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

Aula 8 Matemática Básica 145

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 146

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 147

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 148

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 149

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 150

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 151

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 152

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 153

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 154

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 155

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 156

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 157

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 158

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO03].

(⇐) Sejam a,b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).

Aula 8 Matemática Básica 159

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.

Demonstração. Exercício.

Aula 8 Matemática Básica 160

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.

Demonstração. Exercício.

Aula 8 Matemática Básica 161

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.

Demonstração. Exercício.

Aula 8 Matemática Básica 162

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 163

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 164

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 165

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 166

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 167

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 168

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 169

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 170

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 171

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 172

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 173

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 174

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 175

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 176

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 177

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

Aula 8 Matemática Básica 178

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 179

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 180

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 181

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 182

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 183

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 184

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 185

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 186

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 187

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 188

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 189

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 190

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 191

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 192

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 193

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 194

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 195

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 196

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 197

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 198

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 199

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 200

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 201

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 202

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 203

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 204

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 205

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 206

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 207

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 208

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 209

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 210

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 211

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 212

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 213

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 214

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

Aula 8 Matemática Básica 215

[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).

Demonstração. Exercício.

Aula 8 Matemática Básica 216

[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).

Demonstração. Exercício.

Aula 8 Matemática Básica 217

[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).

Demonstração. Exercício.

Aula 8 Matemática Básica 218

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 219

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 220

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 221

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 222

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 8 Matemática Básica 223

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 8 Matemática Básica 224

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 8 Matemática Básica 225

[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.

Aula 8 Matemática Básica 226

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 227

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 228

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 229

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

Aula 8 Matemática Básica 230

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 231

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 232

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 233

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

Aula 8 Matemática Básica 234

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 8 Matemática Básica 235

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 8 Matemática Básica 236

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 8 Matemática Básica 237

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

Aula 8 Matemática Básica 238

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 239

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 240

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 241

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 242

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 243

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 244

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 245

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Aula 8 Matemática Básica 246

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 247

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 248

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 249

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 250

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 251

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 252

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 253

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 254

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 255

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 256

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 257

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 258

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 259

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 260

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 261

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 262

Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Aula 8 Matemática Básica 263

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0

[PO07]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 264

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0

[PO07]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 265

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0

[PO07]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 266

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 267

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 268

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 269

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 270

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 271

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 272

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 273

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 274

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 275

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 276

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 277

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 278

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 279

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 280

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 281

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 282

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]⇐⇒ x >

12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 283

Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]⇐⇒ x >

12· 4 = 2

Aula 8 Matemática Básica 284

Resolvendo inequações. . .

(x − 5) · (x − 1) > 0

[PO12]

⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Aula 8 Matemática Básica 285

Resolvendo inequações. . .

(x − 5) · (x − 1) > 0

[PO12]

⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Aula 8 Matemática Básica 286

Resolvendo inequações. . .

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Aula 8 Matemática Básica 287

Resolvendo inequações. . .

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Aula 8 Matemática Básica 288

Resolvendo inequações. . .

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Aula 8 Matemática Básica 289

Resolvendo inequações. . .

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Aula 8 Matemática Básica 290

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 291

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 292

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 293

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 294

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 295

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 296

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 297

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 298

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 299

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 300

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 301

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 302

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 303

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 304

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 305

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 306

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 307

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 308

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 309

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 310

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Aula 8 Matemática Básica 311

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b

:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 312

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado

, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 313

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto

, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 314

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda

, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 315

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita

. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 316

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados

: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 317

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.

Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 318

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.

Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 319

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Aula 8 Matemática Básica 320

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 321

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 322

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 323

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 324

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 325

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 326

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 327

Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Aula 8 Matemática Básica 328

Intervalos

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

a b

Aula 8 Matemática Básica 329

Intervalos

(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}

a b

Aula 8 Matemática Básica 330

Intervalos

[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

a b

Aula 8 Matemática Básica 331

Intervalos

(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

a b

Aula 8 Matemática Básica 332

Intervalos

(−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

b

Aula 8 Matemática Básica 333

Intervalos

(−∞,b) = {x ∈ R | x < b}

b

Aula 8 Matemática Básica 334

Intervalos

[a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

a

Aula 8 Matemática Básica 335

Intervalos

(a,+∞) = {x ∈ R | a < x}

a

Aula 8 Matemática Básica 336

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 337

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 338

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 339

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 340

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 341

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 342

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 343

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 344

Resolvendo inequações. . .

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

Aula 8 Matemática Básica 345

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 346

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 347

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 348

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 349

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 350

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 351

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 352

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 353

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

Aula 8 Matemática Básica 354

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 355

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 356

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 357

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 358

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 359

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 360

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 361

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 362

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 363

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 364

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 365

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 366

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 367

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 368

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 369

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 370

Resolvendo inequações. . .

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Aula 8 Matemática Básica 371

Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é completo

Aula 8 Matemática Básica 372

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 373

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 374

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 375

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 376

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 377

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 378

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 379

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 380

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 381

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 382

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 383

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 384

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 385

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Aula 8 Matemática Básica 386

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 387

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 388

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 389

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 390

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 391

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 392

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 393

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 394

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 395

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 396

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 397

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 398

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 399

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Aula 8 Matemática Básica 400

Q é completo?

Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?

Resposta: não!

Aula 8 Matemática Básica 401

Q é completo?

Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?

Resposta: não!

Aula 8 Matemática Básica 402

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 403

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 404

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 405

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 406

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 407

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 408

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 409

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 410

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 411

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 412

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 413

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 414

Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 415

R é completo!

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Em R, xn converge para o número√

2 ∈ R!

Aula 8 Matemática Básica 416

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 417

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 418

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 419

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 420

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 421

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 422

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 423

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 424

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 425

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 426

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 427

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 428

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!

Aula 8 Matemática Básica 429

R é completo!

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Em R, xn converge para um número em R!

Aula 8 Matemática Básica 430

R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)

Aula 8 Matemática Básica 431

R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)

Aula 8 Matemática Básica 432

R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)

Aula 8 Matemática Básica 433

R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)

Aula 8 Matemática Básica 434

R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)

Aula 8 Matemática Básica 435

R é completo!

O que é 3√

5?

Aula 8 Matemática Básica 436

Construção dos números reais

Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.

Aula 8 Matemática Básica 437

Construção dos números reais

Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.

Aula 8 Matemática Básica 438

Construção dos números reais

Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.

Aula 8 Matemática Básica 439