matemática básica 2016 - portal expresso
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GOVERNO DE GOIÁSSecretaria de Desenvolvimento Econômico
Superintendência Executiva de Ciência e TecnologiaGabinete de Gestão de Capacitação e Formação Tecnológica
Matemática Básica2016
V=5,000
L=50,000
B = A (1 + r/n)NT - P
ABSOLUTE VALUE
|−23|+|4|
4 × π ×r2
1. |–a| = |a|2. |a| ≥ 0
MATEMÁTICA
a+b =c
y2 = y1 ∫e - ∫a1(x) dx
(y1)2
dx
Matemática BásicaMÓDULO INTRODUTÓRIO
Setembro 2017
Governador do Estado de GoiásMarconi Ferreira Perillo Júnior
Secretário de Desenvolvimento Econômico, Científico e Tecnológico e de Agricultura, Pecuária e IrrigaçãoThiago Mello Peixoto da Silveira
Superintendente Executivo de Ciência e TecnologiaThiago Camargo Lopes
Chefe de Gabinete de Gestão de Capacitação e Formação TecnológicaSoraia Paranhos Netto
Coordenação Pedagógica do Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego José Teodoro Coelho
Equipe de Elaboração
OrganizaçãoJosé Teodoro Coelho
Supervisão Pedagógica e EaDDenise Cristina de Oliveira Maria Dorcila Alencastro Santana
Professor ConteudistaDonizeth Jacinto de Souza
Projeto GráficoAndré Belém Parreira
Designer Maykell Mendes Guimarães
Revisão da Língua Portuguesa Kelly Ferreira dos SantosCícero Manzan Corsi
Banco de Imagens www.pixabay.com/www.commons.wikimedia.org/www.flickr.com/pt.freeimages.com
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FIQUE ATENTO A exclamação marca tudo
aquilo a que você deve estar atento. São assuntos que causam dúvida, por isso
exigem atenção redobrada.
CONTEÚDO INTERATIVO
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DICAS Este baú é a indicação de onde você pode achar informações importantes na construção e no aprofundamento do seu
conhecimento. Aproveite, destaque, memorize e utilize essas dicas para
facilitar os seus estudos e a sua vida.
VAMOS REFLETIR Este quebra-cabeças indica o
momento em que você pode e deve exercitar todo seu potencial.
Neste espaço, você encontrará reflexões e desafios que tornarão
ainda mais estimulante o seu processo de aprendizagem.
VAMOS RELEMBRAR Esta folha do bloquinho
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MÍDIAS INTEGRADAS Aqui você encontra dicas para enriquecer os seus conhecimentos na área,
por meio de vídeos, filmes, podcasts e outras
referências externas.
VOCABULÁRIOO dicionário sempre nos ajuda a
compreender melhor o significado das palavras, mas aqui resolvemos
dar uma forcinha para você e trouxemos, para dentro da apostila, as definições mais importantes na construção do seu conhecimento.
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEMEste é o momento
de praticar seus conhecimentos.
Responda as atividades e finalize
seus estudos.
SAIBA MAIS Aqui você encontrará
informações interessantes e curiosidades.
Conhecimento nunca é demais, não é mesmo?
HIPERLINKSAs palavras grifadas em amarelo levam você a referências
externas, como forma de aprofundar um
tópico.
Hiperlinks de texto
6
SumárioLista de ícones 5
Sumário 6
Apresentação 7
Matemática Básica 8Razão e proporção 8Razão de dois números 8Proporção 11Grandezas proporcionais 12Grandezas diretamente proporcionais 12Grandezas inversamente proporcionais 13Regra de três 14Regra de três simples 14Regra de três composta 16Porcentagem 17Juros simples 18Juros compostos 19Uso da calculadora 20Análise combinatória 21Probabilidade 21Gráfico de barras 23Gráfico de setores 24Conclusão 25
Referências 27Gabarito 28
Conteúdo interativoEsta apostila foi construída com recursos que possibilitam a interatividade, tais como hiperlinks e páginas com hipertexto.
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7
Apresentação
Empreendedorismo, inovação, iniciativa, criatividade e habilidade para trabalhar em equipe são alguns dos requisitos imprescindíveis para o
profissional que busca se sobressair no setor produtivo. Sendo assim, destaca-se o profissional que busca conhecimentos teóricos, desenvolve experiências práticas e assume comportamento ético para desempenhar bem suas funções. Nesse contexto, os Cursos Técnicos oferecidos pela Secretaria de Desenvolvimento de Goiás (SED), em parceria com o Governo Federal, por meio do Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego (Pronatec), visam garantir o desenvolvimento dessas competências.
Com o propósito de suprir demandas do mercado de trabalho em qualificação profissional, os cursos ministrados pelos Institutos Tecnológicos do Estado de Goiás, que compõem a REDE ITEGO, abrangem os seguintes eixos tecnológicos, nas modalidades EaD e presencial: Saúde e Estética, Desenvolvimento Educacional e Social, Gestão e Negócios, Informação e Comunicação, Infraestrutura, Produção Alimentícia, Produção Artística e Cultural e Design, Produção Industrial, Recursos Naturais, Segurança, Turismo, Hospitalidade e Lazer, incluindo as ações de Desenvolvimento e Inovação Tecnológica (DIT), transferência de tecnologia e promoção do empreendedorismo.
Espera-se que este material cumpra o papel para o qual foi concebido: o de servir como instrumento facilitador do seu processo de aprendizagem, apoiando e estimulando o raciocínio e o interesse pela aquisição de conhecimentos, ferramentas essenciais para desenvolver sua capacidade de aprender a aprender.
Bom curso a todos!SED – Secretaria de Estado de Desenvolvimento Econômico, Científico e
Tecnológico e de Agricultura, Pecuária e Irrigação
8
Exatas
Matemática BásicaObjetivos• Aprender conceitos básicos da matemática;• saber aplicar esses conceitos em sua vida pessoal
e profissional.
Muitos de nós temos dificuldade em matemática. Às vezes, sofremos na escola, na hora da prova, passamos vergonha quando temos que fazer uma conta de cabeça, ou quando vamos comprar algo e não sabemos se vale mais a pena pagar à vista ou a prazo. Como você pode ver, a matemática está muito presente no nosso dia a dia. Por isso é tão importante rever seus principais conceitos e formas de uso. Concorda? Vamos lá?
Para começar, vamos trazer o conceito de razão para nossa realidade? Falar em razão entre dois valores significa dizer que existem dois valores que se relacionam, desde que sejam da mesma origem.
Por exemplo: o mapa do estado de Goiás é uma representação, em menor escala, das medidas geográficas reais da região, pois não é viável desenhar um mapa em tamanho real, não é mesmo? Nesse sentido, trabalhamos com suas medidas em dimensões menores. Em outras palavras, as medidas geográficas reais são registradas em quilômetros, enquanto suas medidas no mapa podem ser representadas em centímetros ou milímetros.
Voltando aos mapas, observamos que os lugares são representados pelas distâncias em escala menor que a real. Esse conceito é dado pela seguinte razão:
Escala = medida no mapa
medida real; (ambos na mesma unidade de medida).
Matemática básicahttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Seca_em_Sobradinho_05.jpg
1
Um mapa é uma representação, em escala menor, de um espaço real.http://www.freepik.com
2
Razão e proporção
Razão de dois números
9
km 1.000m kg 1.000g kl 1.000 L
quilômetro quilograma quilolitro
hm 100m hg 100g hl 100 L
hectômetro hectograma hectolitro
dam 10m dag 10g dal 10 L
decâmetro decagrama decalitro
m 1m g 1g l 1 L
metro grama litro
dm 0,1m dg 0,1g dl 0,1 L
decímetro decigrama decilitro
cm 0,01m cg 0,01g cl 0,01 L
centímetro centigrama centilitro
mm 0,001m mg 0,001g ml 0,001 L
milímetro miligrama mililitros
DIVISÃOPOR 10
DIVISÃOPOR 10
DIVISÃOPOR 10
DIVISÃOPOR 10
DIVISÃOPOR 10
DIVISÃOPOR 10
MULTIPLICAPOR 10
MULTIPLICAPOR 10
MULTIPLICAPOR 10
MULTIPLICAPOR 10
MULTIPLICAPOR 10
COMPRIMENTO MASSA CAPACIDADE
MULTIPLICAPOR 10
10
Lugares O que medir Como medir
No posto médico Temperatura Altura e peso
Termômetro Balança médica
Em casa Largura do móvel Comprimento de uma parede
Fita métrica Trena
Na conta de luz Consumo de energia Relógio de luz
Na cozinha Ingredientes de cozinha Peso dos alimentos
Medidores de cozinha Balança de cozinha
No posto de gasolina Litros de combustível Nível do óleo
BombaMedidor de óleo
Na fazenda Comprimento de uma cerca Quantidade de grãos
TrenaBalança
No açougue Peso da carne Balança
No corpo Cintura Altura
Fita métricaFita métrica
Fonte: Bordeaux et al. (2004, p. 46)
Viu como usamos medidas de grandeza para muitas atividades cotidianas?
Agora vamos analisar um exemplo:Qual será a escala da planta de um terreno de 60m
que foi representado por uma distância de 3cm?
Solução:Primeiramente, vamos transformar os 60m para
centímetros, para podermos trabalhar no mesmo sistema de unidades.
Multiplicamos o valor de 60 por 100 para fazer essa transformação (consulte o quadro da página 9 para ver como fizemos isso).
60 m = 60 . 100 cm = 6000 cmPortanto, usando os valores dados e com as
transformações feitas, temos:
0,50,1 1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,56,0 7,57,0 8,58,0 9,59,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,515,010,0
Planta de um terrenowww.freepik.com
3
Escala = = = =3cm
6.000 cm
1cm
2.000 cm
1
2.0001:2000
11
Isso significa que cada 1cm na planta corresponde a 2.000cm no terreno. Sabendo que 100cm é igual a 1m, podemos concluir que 1cm na planta corresponde a 20m.
Um outro exemplo que podemos analisar agora envolve a parte da física. A matemática e a física se relacionam intensamente, já que a matemática é a linguagem por meio da qual a física se desenvolve. Apesar de ser uma ideia muito mais complexa, a física progride por meio dos conceitos matemáticos.
Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende dos elementos escolhidos para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, cm/s etc.
Vamos pensar na seguinte situação: quando você viaja de Goiânia para Rio Verde, a distância entre as cidades é de, aproximadamente, 300km, e seu carro leva 4 horas para percorrer esse trajeto. Pensando nisso, determine a velocidade média com que você completa sua viagem.
Agora vamos estudar um pouco sobre proporção. Mesmo que você não perceba, você usa proporção constantemente. Quer ver? Você já fez churrasco para a sua família? Vamos dizer que vocês sejam um grupo de dez pessoas. Se você convidar os seus colegas de turma, ou seja, mais vinte pessoas, você terá que recalcular a quantidade de comida a ser servida. Se antes você gastava 3kg de carne para alimentar 10 pessoas, quantos kg você terá que comprar para servir no churrasco em que estarão seus vinte amigos e seus nove familiares, além de você (ou seja, 20 + 9 + 1 = 30 pessoas)?
Vamos fazer esse cálculo de proporção?
Viu só? Para servir vinte amigos + 9 familiares + você, resultando em 30 pessoas, você terá que comprar 9kg de carne.
MATEMÁTICADO CHURRASCO
A matemática também está no churrasco de domingo!www.freepik.com
4
Proporção = ==3 kg
10 pessoas
6 kg
20 pessoas
9 kg
30 pessoas
Velocidade média = = =distância percorrida
tempo total de percurso
300km
4h75km/h
distância percorrida
tempo total de percursoVelocidade média =
Proporção
12
Grandezas proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
As grandezas, como já vimos, são usadas para medir objetos, pessoas, locais etc. Elas podem ser classificadas em grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Vamos entender por quê?
Duas grandezas que são dependentes também se apresentam diretamente proporcionais quando a razão entre o primeiro valor é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda razão.
Duas grandezas variáveis serão diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) se os valores correspondentes x e y forem expressos por uma função do tipo: y = kx, na qual k é um número real constante, diferente de zero.
Exemplo:Quando o valor de quatro livros é R$ 10,00, o valor de oito livros será
R$20,00. Com isso, podemos verificar que, quando o número de livros é dobrado, é dobrado também o seu preço.
Exemplo:Vamos imaginar uma placa de madeira, muito utilizada para
sinalizar as direções de um caminho. Ela apresenta as seguintes dimensões: 100 cm³ de volume e 270g de peso. Nas mesmas condições, uma placa de madeira de 200 cm³ pesará 540g e uma de 300 cm³, 810g. Podemos, então, escrever a seguinte tabela:
Chamando de x a grandeza volume e de y a grandeza massa, temos:
SAIBA MAIS
Dessa forma, se quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero são dados em uma certa ordem, diremos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) for igual à razão entre os dois últimos (c e d).
A razão entre esses quatro valores será dada da seguinte maneira: ab
cd
Lembre-se de que você pode usar qualquer valor para as variáveis (a, b, c e d) desde que os denominadores (as variáveis que estão embaixo, b e d, nesse caso) sejam diferentes de zero.
Caderno R$4 10,008 20,00
16 40,0032 80,00
Volume (cm³) 100 200 300 500Massa (g) 270 540 810 1.350
Escala = = = 2,7 ou y = 2,7x270
100
27
10
27
10
13
Grandezas inversamente proporcionais
Dizemos, nesse caso, que as sequências de números (100, 200, 300, 500) e (270, 540, 810, 1.350) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente proporcionais e 2,7 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.
Percebeu que, quando você aumenta o volume do objeto, a massa dele também aumenta? E vice-versa? Isso caracteriza a grandeza diretamente proporcional.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os primeiros valores da grandeza é igual ao valor inverso da razão entre os seus correspondentes da segunda.
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y forem expressos por uma função do tipo: k
x,y na qual k é um número real constante, diferente de zero.
Quando dobramos o valor de uma grandeza e temos que dividir o valor da outra, a velocidade e o tempo
são grandezas inversamente proporcionais, pois, quando se aumenta a velocidade, o tempo diminui. Se reduzirmos a velocidade, o tempo aumenta.
Exemplo:Para encher um tanque, são necessários 20 baldes de 8 litros cada. Se usarmos
um balde de 4 litros, quantos baldes serão necessários para encher esse tanque?
Solução: Quando usamos o balde de 4 litros, a capacidade do balde diminui. O número de baldes, então, precisa aumentar com a finalidade de encher o tanque.
Exemplos:Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas;
a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela:
Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui. Portanto, agora temos:
12 . 100 = 6 . 200 = 4 . 300 = 3 . 400 = 1.200
Velocidade (km/h) 100 200 300 400Tempo (h) 12 6 4 3
Baldes Litros20 840 4
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:
Dizemos, então, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 1.3) são inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. Percebeu que, quando o avião aumenta sua velocidade, seu tempo de trajeto diminui? E vice-versa? Isso caracteriza a grandeza inversamente proporcional.
yx = =1.200 ou y 1.200x
14
Vamos agora relembrar o conceito de regra de três. Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. Nesse cálculo, conhecemos três valores e queremos encontrar um quarto valor. Quer ver?
Ao inserir R$20 de créditos no seu celular, você ganha um bônus de R$10 para falar com clientes da mesma operadora. Ao carregar R$50, qual seria o valor do bônus, levando em conta que ele será diretamente proporcional?
Solução: percebeu que temos três valores (R$20, R$10 e R$50) e queremos encontrar um quarto valor (o bônus equivalente aos créditos de R$50)?
Bem, chamaremos de x o valor do bônus que queremos encontrar. Logo:
Ou seja, se você inserir R$50 de créditos, ganhará R$25 de bônus para falar com usuários da mesma operadora. Podemos identificar dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas; e a composta, que envolve mais de duas grandezas. Vamos vê-las?
Na regra de três simples, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira. Vamos ver um exemplo para ficar mais claro?
Vamos pensar na seguinte situação: você comprou 6m de tecido por R$ 15. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?
Veja que temos dois valores de uma mesma grandeza (6m e 8m) e um valor de outra grandeza (R$15). Assim, queremos calcular um novo valor (que chamaremos de x), correspondente a essa segunda grandeza (R$15).
Solução:Nesse problema, figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Se o comprimento for multiplicado
por 2, 3, ..., o preço será multiplicado por 2, 3, ... Podemos, então, concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais.
20 . x = 50 . 10 → x = → x == == = 25 de bônus2010
50x
50020
502
Regra de três
Regra de três simples
Você usa matemática ao comprar créditos para o celular.www.freepik.com
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O valor do tecido aumenta de acordo com a dimensão comprada. www.freepik.com
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15
Vamos fazer outro exemplo de regra de três?
Solução:Nesse exemplo, temos que 22 está para 4 assim como 66 está para um valor x (o
que queremos descobrir). Podemos montar essa relação matematicamente assim:
De 22 para 66 fizemos uma multiplicação por 3 e então para passarmos de 4 para X também devemos fazer uma multiplicação por 3. Logo, X = 4 . 3, então X = 12.
Ou seja, 12 representa a quantidade de pedreiros necessários para fazer um muro de 66m².Ficou claro? Ou quer mais um exemplo? Vamos lá:
Para fazer um muro de 22m², são necessários quatro pedreiros. Quantos pedreiros serão necessários para fazer um muro de 66m²?
→ →
2266
4x
A matemática está muito presente na construção ou reforma da sua casa.www.freepik.com
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DICAÉ importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza
devem ser expressas na mesma unidade de medida.
Logo, você gastará R$ 20 para comprar 8m de tecido.
Comprimento (m) Preço (R$)6 158 x
Chamando de x o valor que desejamos conhecer, dispomos, em uma primeira linha horizontal, os valores conhecidos das duas grandezas correspondentes; e, em uma segunda linha, o outro valor conhecido da primeira e o x, que representa o valor correspondente da segunda e que se quer conhecer:
Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?
A quantidade de operários altera o tempo necessário para concluir o serviço.www.freepik.com
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Operários Dias6 10
20 x
=68
15x
8 . 156
→ x = → x = 20
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Se o número de operários for multiplicado por 2, 3, ..., o número de dias ficará dividido por 2, 3, ..., respectivamente. Logo, as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais. Assim, a coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário ao da primeira:
Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional ao número de dias):
Na regra de três composta, ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si, diretamente e inversamente proporcionais. Nesse caso, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionando-o com um dos valores de cada uma das outras grandezas. Vamos ver um exemplo, para entender melhor. Se para imprimir 87.500 exemplares de jornal, cinco rotativas gastam 56 minutos, em quanto tempo sete rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?
Regra de três composta
Logo, serão necessários três dias para construir a mesma obra com 20 operários.
Exemplares Rotativas Tempo (min.)87.500 5 56350.000 7 x
6 1020 x
20 106 x
Daí:
→ x = → x = 3= ==206
6 . 1020
6 .12
3 .11
10x
O número de máquinas influencia no tempo de produção.www.freepik.com
9
Solução: Veja que temos três grandezas (exemplares,
rotativa e minutos) relacionadas entre si. Temos dois valores de duas grandezas (87.500 exemplares e 350.000 exemplares; 5 rotativas e 7 rotativas) e um valor de uma grandeza (56 minutos). Queremos, portanto, identificar o valor (que chamaremos de x) relativo a essa grandeza (minutos). Temos, na tabela ao lado, a disposição prática dos dados.
Fixando a segunda grandeza, vemos que os valores da primeira grandeza são diretamente proporcionais, pois, duplicando o número de exemplares, o tempo empregado duplicará. Fixando, agora, a primeira grandeza, vemos que a segunda e a terceira são inversamente proporcionais, pois, duplicando o número de rotativas, o tempo necessário se reduzira à metade.
Logo, x = 160 minutos ou x = 2h 40 min.
→ x =→ x = 160=56x
87.500 . 7350.000 . 5
56 . 350.000 . 587.500 . 7
17
Podemos também fazer o processo inverso, partindo da fração para a respectiva porcentagem:
Agora vamos rever o conceito de porcentagem, que aparece no nosso cotidiano com frequência. Já percebeu? A porcentagem aparece principalmente quando estamos lidando com dinheiro, como quando queremos calcular um desconto ou uma taxa de juros, mas também aparece em outras situações, como quando precisamos registrar dados de uma pesquisa ou saber a porcentagem de nutrientes em um alimento.
Assim, a porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela (SOUZA, 2011).
É intuitivo que se 100% é um todo de algo, então 50% deverá ser a metade. Concorda?Porém, podemos escrever de várias maneiras o valor de 50%, que equivale a escrever 50
100 ou 1
2 ou
0,50 ou 0,5. Todos são equivalentes à metade. O mesmo pode ser feito com outros valores, observe:
Porcentagem
== =75100
3475% 0,75 = =8
1002
258% 0,08
Exemplos:Se um notebook, que custa R$ 450,00 está sendo vendido com
desconto de 8%, vejamos como calcular de quanto é o desconto e por quanto ele está sendo vendido. Devemos calcular 8% (desconto) de 450 (valor total). Ou seja:
Portanto, o desconto (8%) dado sobre o valor total (R$450) deve ser de R$ 36,00. Fazendo a subtração do valor da mercadoria e do seu desconto obtemos:
Dessa forma, o valor final da mercadoria será de R$ 414,00.
Vamos ver outro exemplo?Considere uma mercadoria que custa R$ 800,00 e está sendo vendida com desconto de 10%. Vamos calcular
de quanto é o desconto e por quanto ela está sendo vendida? Agora que você já viu um exemplo, tente fazer o próximo exercício sozinho. Depois volte e confira os cálculos:
Devemos calcular 10% (desconto) de 800 (valor total da mercadoria). Ou seja:
Portanto, o desconto deve ser de R$ 80,00. Fazendo a subtração do valor da mercadoria e do seu desconto, obtemos: 800 – 80 = 720
Então, o valor com o qual essa mercadoria será vendida é de R$ 720,00. Acertou? Muito bem!
O desconto do notebook será calculado por meio da porcentagem.
www.freepik.com
10
= . =8100
3600100
36450
=. =10100
8000100
80800
= 414450 - 36
=
18
Exemplo: João adquiriu emprestado, a juros simples,de Pedro,
uma quantia de R$ 1.200,00 a uma taxa de 20% ao mês, e combinou de devolver esse valor em 6 meses. Qual o valor dos juros a serem pagos por João? Qual será o montante que João pagará ao final do quinto mês?
Solução:Para resolver esse exercício, vamos utilizar aquela
fórmula que acabamos de ver: J = C . I . T.Nesse caso, J é o que devemos encontrar, mas já
foram dados alguns valores, veja: C = R$ 1.200,00; a taxa é de 20% ao mês, que pode ser escrita como 0,2; e o tempo que essa quantia ficará emprestada será de 6 meses. Então, substituindo, temos:
Portanto, o juro é de: J = R$ 1.440,00Agora vamos encontrar o montante que João deverá devolver a Pedro, já que
ao valor inicial deverá ser acrescido o valor encontrado no cálculo dos juros.
M = 1.200 + 1.440 = 2.640.Portanto, o montante é: M = R$ 2.640,00.
Você já lidou ou ainda vai lidar com juros simples. Quer ver? Você lida com juros simples quando precisa calcular os juros de um valor ou capital adquirido ou emprestado por um curto período (um mês, por exemplo).
De acordo com Bordeaux et al. (2005, p. 85), “juros são a importância que uma pessoa (ou empresa) paga por usar uma quantia de dinheiro de outra pessoa durante um período de tempo”. Quando falamos de juros, na realidade estamos nos referindo a um “aluguel” que pagamos por um tempo em que alguma quantia fica emprestada.
Segundo Dante (2005), podemos escrever um problema de juros simples assim: se um capital C, aplicado à taxa de I % ao período, no sistema de juros simples, rende juros J, no fim de T períodos.
O juro será simples quando o percentual for aplicado apenas ao valor inicial em relação a cada período. Temos então a fórmula:
Nessa fórmula, essas letras representam:J = jurosC = capital inicial (empréstimo ou aplicação)I = taxa de jurosT = tempo do empréstimo ou aplicação
O montante é a quantia adquirida, que é o capital mais os juros:
M = montante (capital mais os juros)C = capitalJ = juros
Juros simples
Ao pegar dinheiro emprestado, devemos nos atentar aos juros.
www.freepik.com
11
J = C . I . T
M = C + J
J = 1.200 . 0,2 . 6 = 1.200 . 1,2 = 1.440
19
Vamos agora ver mais sobre juros compostos? Você também usa esse tipo de juros, principalmente quando aplica seu dinheiro na poupança, quando pega dinheiro emprestado no banco, ou quando empresta uma certa quantia a alguém e decide cobrar juros.
Juros compostos são os juros de um certo período de tempo somados ao capital para calcularmos os posteriores juros nos períodos seguintes. Em outras palavras, um valor investido sempre vai ser recalculado ao final de cada período.
Segundo Dante (2005), no regime de juros compostos de taxa I, um capital C transforma-se, em t períodos de tempo, em um montante: M = C (1+I)t.
Onde: M = montanteC = capitalI = taxaT = tempo Para fazer os cálculos desses juros, podemos fazer a subtração do montante e do capital: J = M – C. Agora, vamos fazer um exemplo de como utilizar os juros compostos na prática? Vamos lá.
Juros compostos
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A poupança é uma forma de fazer seu dinheiro render. Não guarde seu dinheiro no porquinho!
www.freepik.com
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Como vimos, os juros servem para calcular o valor que você vai lucrar (quando você empresta) ou pagar (quando você pega emprestado). Por isso, atente-se aos juros anunciados no seu banco ou nas suas compras, por exemplo. Saber calculá-los é uma importante maneira de você ter controle das suas finanças e de usar o seu dinheiro de forma consciente.
Termos muito comuns quando falamos de juros são “lucro” e “prejuízo”. Segundo Bordeaux et al. (2005, p. 81), “obter lucro é a meta de todo bom comerciante ou empresário, assim como evitar prejuízos é o grande cuidado que eles devem tomar”.
Exemplo: Qual é o montante de um capital de R$ 10.000,00, aplicado a juros compostos, durante 8 meses a uma taxa
de 4% ao mês? Quais serão os juros pagos?(Use: (1,04)8 = 1,368)
Solução:M = C(1+I)t
M = 10.000 . (1 + 0,04)8 = 10.000 . (1,04)8 = 10.000 . 1,368 = 13.680
Portanto, o montante final desse período é:M = R$ 13.680,00Agora, para encontrar os juros, fazemos simplesmente:
J = M – CJ = 13.680 – 10.000 = 3.680
Logo, o valor dos juros é de: J = R$ 3.680,00
20
Vamos falar um pouquinho sobre uma ferramenta muito útil nos nossos estudos de matemática? Com certeza você já conhece a calculadora e já usou suas funções básicas, de soma, subtração, multiplicação e divisão. Mas, com o uso da calculadora, podemos fazer várias operações. Vamos ver as principais e mais usuais funções da calculadora científica? Você tem uma? Pegue-a para acompanhar nosso material, será muito mais fácil dessa forma.
Vamos começar pela porcentagem, assunto que já vimos anteriormente. O cálculo da porcentagem pode ser feito na calculadora de uma forma muito simples. Para utilizar a calculadora, primeiro digite o número que deseja, seguido de x, depois digite o valor da porcentagem e utilize as teclas shift %. Com esse procedimento, calculamos a porcentagem de qualquer valor.
Uso da calculadora
Exemplo:
Para calcular 20% de 5.000, temos que: 5.000 x 20 shift % = 1.000Para calcular 10% de 8.000, temos que: 8.000 x 10 shift % = 800
Outra operação comum que pode ser realizada pela calculadora é a potenciação. Potenciação é a operação matemática que eleva um número a uma certa potência, que podemos escrever como an , que envolve dois elementos: a base a e o expoente n (SOUZA, 2010).
A potenciação é importante para calcular a multiplicação contínua em uma escala progressiva. Ou seja, a cada novo passo, temos uma nova multiplicação em relação ao valor anterior. Exemplo: no mundo científico, uma colônia de bactérias se desenvolve em escala exponencial (termo relativo à potência). Uma bactéria, em uma hora, se multiplica em duas. Depois de mais uma hora, a primeira bactéria se multiplica em quatro. Na hora seguinte, serão oito bactérias. Percebeu a multiplicação progressiva?
O significado do valor n, quando é maior que 1, é a potência an, que mostra a multiplicação da base a vezes ela mesma quantas vezes for o expoente. Para acessarmos a potência na calculadora científica, temos que escolher o valor da base. Quando a potência for 2, podemos clicar na tecla x2; e quando a potência for 3, podemos clicar na tecla x3, mas quando a potência for maior que 3, colocamos o valor da base e clicamos em ^ e em seguida no valor da potência.
Usamos a calculadora científica da seguinte maneira:
Exemplos: a) 6² = 6 x² = 36 b) 6² = 6 ^ 2 = 36 c) 2³ = 2 x³ = 8 d) 35 = 3 ^ 5 = 243
Observação: podemos fazer esse último processo da potência também para os expoentes 2 e 3.
Calculadora simples e calculadora científica.www.freepik.com
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21
Análise combinatória
Probabilidade
E aí, aprendeu? Para Bourdeaux et al (2004, p. 41), “o uso sensato da calculadora contribui para a formação de um cidadão apto a intervir numa sociedade cada vez mais complexa, em que a ciência e a tecnologia se fazem cada vez mais presentes”. Viu como é importante saber usar a calculadora?
Segundo Youssef, Soares e Fernandez (2008, p. 217), “o princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece o número de maneiras de ocorrência de um evento composto de duas ou mais etapas”.
Em outras palavras, a análise combinatória organiza elementos e permite mudá-los de posição, de modo que o resultado varia. Por exemplo, 123 e 321 são números diferentes, apesar de conterem os mesmos algarismos.
Vamos ver um exemplo? Todos os dias você tem que se vestir para ir para a escola ou para o trabalho, não é mesmo? Vamos imaginar que o seu guarda-roupa seja composto das seguintes peças: 3 calças e 5 camisetas de estampas diferentes. Considerando que você queira combinar essas peças, para variá-las e não repeti-las, durante os dias úteis (ou seja, de segunda à sexta-feira), quantas possibilidades há de combinar a calça e a camiseta em conjuntos de roupas diferentes?
3 x 5 = 15Viu o que fizemos? Multiplicamos o número de calças (3) pelo número de camisetas (5). Essas peças
permitem 15 combinações de roupa, sem repetir nenhuma peça.
De acordo com Bordeaux et al. (2005, p. 326), “usamos probabilidades em situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é possível saber antecipadamente, prever, qual deles realmente vai ocorrer em cada situação”.
Quer ver como esse assunto está no seu cotidiano e você pode nem perceber? A probabilidade aparece no nosso dia a dia quando retiramos uma carta de um baralho e verificamos se ela é ou não um curinga; quando compramos uma
A radiciação também pode ser calculada na calculadora científica. Radiciação é quando temos um número real não negativo x e outro valor natural n y ≥ 1. É chamado de raiz enésima de x o valor encontrado real não negativo y em que temos: yn = x
Nesse contexto, x é o radicando e n é o índice.
Então temos: √n x = y ↔ yn = x.
Exemplo:
√2 √3 √5+ . = 5,287
A probabilidade aparece até no seu jogo de baralho, já percebeu?.www.freepik.com
14
22
lâmpada e verificamos se ela queima ou não antes de 100h de uso; quando o meteorologista nos informa sobre a probabilidade de chover no dia seguinte; quando jogamos um dado até obter um seis etc.
Chamaremos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória (BARROSO, 2010). Representaremos o espaço amostral por S e só vamos considerar aqui o caso de S ser finito ou infinito enumerável. Os subconjuntos de S serão chamados de eventos. Diremos que um evento ocorre quando o resultado da experiência pertence ao evento.
De acordo com Dante (2005), quando, num fenômeno aleatório, com espaço amostral finito, consideramos que todo evento elementar tem a mesma “chance” de ocorrer, a probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por p(A), é um número que mede essa chance e é dado por:
Exemplo: Considere o experimento aleatório do lançamento
de uma moeda perfeita. Qual é a probabilidade de sair cara e não coroa?
Solução:Ao jogar uma moeda para cima, há duas
possibilidades (o chamado espaço amostral): o resultado pode ser cara ou coroa. Logo, a probabilidade do evento procurado é o número de elementos favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis, logo:
Exemplo: Lançamos duas moedas e observamos a face que cai voltada para cima. Considere C = cara e K = coroa. Qual
é a probabilidade de, ao jogarmos as duas moedas, aparecer só cara? Considere E como o evento procurado.
Solução:Verificamos que o espaço amostral é S = CC, CK, KC, KK. Esse espaço representa todas as possibilidades
possíveis das combinações das duas moedas, logo temos um total de 4 possibilidades e a quantidade favorável que apresenta faces iguais é CC, que é uma única possibilidade.
Logo:
Portanto, temos uma probabilidade de 25% de as moedas saírem, ao mesmo tempo, com a cara para cima.
Exemplo: Lançamos um dado e observamos a face que cai voltada para cima. Qual
é a probabilidade de jogarmos o dado e aparecer um número maior que 4? Nesse caso, M é o evento procurado, ou seja, queremos ver a probabilidade de aparecer o número 5 ou 6 voltado para cima.
p(A) = ou p(A) = =(número de elementos de A)
(número de elementos de Ω)
(número de resultados favoráveis)
(número total de resultados possíveis)
n(A)
n(Ω)
A moeda, ao ser lançada, apresenta dois resultados prováveis.www.freepik.com
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Ao jogar dois dados, há várias possibilidades de resultados.
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16
p(Cara) = 0,5 = 50%=1
2
p(E) = 0,25 = 25%=1
4
23
Solução:Verificamos que o espaço amostral é S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, logo temos um total de 6 possibilidades e a quantidade
favorável que apresenta números maiores que 4 são os números 5 e 6, sendo, então, duas possibilidades. Logo:
Portanto, temos uma probabilidade de 33% de sair um número maior que 4.
Quer ver outro exemplo? Considere esses dados: a cada 300 mil acidentes
nas estradas temos 20 mil mortes e cerca de 75 mil feridos. Em um acidente, qual é a probabilidade de o indivíduo se ferir? E a probabilidade de óbito?
Solução:
A estatística é um “ramo da matemática que visa, entre outros, coletar, organizar e apresentar dados relacionados a algum fato ou acontecimento” (SOUZA, 2010, p. 10). Esses dados podem ser registrados por meio de tabelas e gráficos.
Segundo Souza (2010, p. 16), frequência absoluta (FA), ou simplesmente frequência, “corresponde à quantidade de vezes em que cada valor foi citado”. E frequência relativa (FR) “corresponde à razão entre a frequência absoluta e correspondente e à quantidade total de observações” (SOUZA, 2010, p. 16). Em geral, a frequência relativa é apresentada em porcentagem.
Com base no “desempenho em Química”, demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a seguinte tabela: (FA) Frequência Absoluta; (FR) Frequência Relativa.
Podemos selecionar, copiar e colar essa tabela no Excel. Em seguida, com esses valores, podemos fazer vários gráficos, como o gráfico de colunas e o gráfico de setores. Quer aprender como? Abra seu Excel e tente seguir esses passos: para fazer o gráfico de colunas da frequência absoluta, podemos selecionar a parte da tabela na qual queremos fazer o gráfico; em seguida clicar em “inserir”; e, depois, escolher o gráfico de coluna que queremos utilizar. Quando o gráfico é gerado, podemos copiá-lo e colá-lo no Word. Agora, para verificar a aprendizagem, faça esses mesmos procedimentos. Mãos à obra!
Gráfico de barras
CAR CRASHBE CAREFUL ACCIDENTS CAN HAPPEN
A relação de mortos e feridos em um acidente de carro pode ser calculada por meio da probabilidade.
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p(m) = 0,33 = 33%==2
6
1
3
p(f) = 0,1666 = 16,66%= = =50.000
300.000
5
30
1
6p(m) = 0,25 = 25%= = =
75.000
300.000
75
300
25
100
Probabilidade de ferir Probabilidade de óbito
Desempenho em Química FA FRInsuficiente 6 15%
Regular 10 25%Bom 14 35%
Ótimo 10 25%Total 40 100%
24
Gráfico da frequência absoluta e da frequência relativa.Acervo do autor
18
Como visto na imagem, também podemos fazer uma tabela para frequência relativa usando os passos anteriores, além de fazer inúmeros outros processos1.
1 Se quiser estudar mais sobre o Excel, o Word e outros programas básicos do Windows, faça nosso componente de Informática Básica.
Em um shopping center há três salas de cinema, e o número de espectadores em cada uma delas, num determinado dia da semana, foi de 300 na sala A, 200 na sala B e 500 espectadores na sala C.
Veja essa situação representada em uma tabela de frequências e depois em gráficos de setores:
Gráfico de setores
Na sala de cinema podemos sentar em vários lugares diferentes.
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Sala FA FRA 300 0,3= =300
10003
1030%
B 200 0,2= =2001000
210
20%
C 500 0,5= =5001000
510
50%
25
Gráfico de setores.Acervo do autor
20
A matemática é importante para quase tudo que fazemos, para calcular o preparo de uma comida, para pagar as contas do mês, fazer compras. Sabemos que todas as disciplinas desenvolvem o nosso raciocínio, porém a matemática, por ser bastante abstrata, é a mais poderosa. Por isso trabalhar com cálculos é uma arma importante para aprender todos os conteúdos e raciocinar muito melhor e bem mais rápido. Continue praticando!
VAMOS RELEMBRARRevisamos, neste componente, assuntos básicos da matemática, como razão e
proporção, porcentagem, juros, probabilidade, calculadora, estatística.Vimos que razão é a relação entre duas grandezas, que são divididas uma
pela outra; e proporção é uma igualdade entre razões. Porcentagem é a forma de representar uma certa quantidade em relação a uma potência de 10. O juro é um elemento usado para calcular o pagamento de um empréstimo de valores. Pode ser simples ou composto. Probabilidade serve para calcular a relação entre o todo e uma parte. A calculadora científica pode ser usada para resolver problemas matemáticos mais complexos, como potenciação e radiciação. Já a estatística trabalha com a interpretação de dados e gráficos pré-selecionados.
Conclusão
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ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM1 – Em um concurso, participaram 6000 pessoas e foram aprovadas 3600.
Deseja-se saber qual é a razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso. Qual será essa porcentagem?
2 – Você coloca no banco uma quantia de R$ 800,00, aplicada a juros simples, com uma taxa de 5% ao mês. Quanto terá rendido essa quantia no final de 1 ano e 2 meses? Qual será o valor total?
3 – Qual será o montante que R$ 8.000,00 produzirá ao ser aplicado a uma taxa de 6% ao mês, após um ano e meio, no sistema de juros compostos (1,0618 = 2,8)?
4 – Quando um aluno viu a palavra ITEGO, quis misturar as letras para formar outras palavras, mesmo que não tivessem sentido, como OGTIE. Então fez isso algumas vezes. Agora ele quer saber quais seriam todas as permutações possíveis dessa palavra. Ajude o aluno a resolver esse problema.
5 – Em um jogo em que se utiliza um dado perfeito, deseja-se saber qual é a probabilidade de o resultado ser um número par. E para ser um número maior que 4? Calcule os dois.
6 – Em uma urna, são colocadas doze bolas azuis e oito bolas vermelhas. Ao acaso, deseja-se retirar uma bola vermelha. Qual a probabilidade de isso acontecer? E qual a probabilidade de se retirar, ao acaso, uma bola azul?
7 – Em um jogo de baralho, um dos participantes fez o seguinte questionamento: qual seria a probabilidade de um deles retirar ao acaso uma carta de ouro? E uma carta com naipe vermelho? Sabemos que um baralho possui um total de 52 cartas, com 13 valores diferentes e 4 naipes para cada valor (ouro, copas, paus e espada). Sabemos também que as cartas de ouro e copas são vermelhas; e as de paus e espada são pretas. Ajude esse participante a resolver esse problema.
27
BARROSO, Juliane. Conexões com a matemática. São Paulo: Moderna, 2010.
BORDEAUX, Ana Lúcia et al. Matemática – primeira série do ensino médio. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 2004.
_______. Matemática – segunda série do ensino médio. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marino, 2005.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume único. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005.
LOPES, Luiz Fernando; CALLIARI, Luiz Roberto. Matemática – Curso técnico em Eletrotécnica. Curitiba: Base didáticos, 2007.
SOUZA, Joamir. Novo olhar – matemática – volume 1. São Paulo: FTD, 2010.
_______. Novo olhar – matemática – volume 2. São Paulo: FTD, 2011.
YOUSEFF, Antonio; SOARES, Elizabeth; FERNANDEZ, Vicente. Matemática – volume único. São Paulo: Scipione, 2008.
Referências
28
Gabarito0,6 = 60%
0,5 = 50%
0,4 = 40%
0,25 = 25%
0,5 = 50%
0,33 = 33%
0,6 = 60%
3600
6000
3
6
8
20
13
52
26
52
2
6
12
20
1
2
2
5
1
4
1
2
1
3
3
5
36
60
6
101)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Razão =
P(P) =
P(V) =
P(ouro) =
P(vermelho) =
P(M) =
P(A) =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
J = C . I . T
M = C ( 1 + i)t
Par
Par
Maior que 4
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
J = 800 . 0,05 . 14 = 560
M = 8.000 ( 1 + 0,06) 18 = 8.000 ( 1 + 1,06) 18 = 8.000 . 2,08 = 22.400
= = =
Inaciolândia
Gouvelândia
Quirinópolis
V icentinópolis
Acreúna
Santo Antônioda Barra
Rio Verde
Jataí
Turvelândia
Porteirão
Maurilândia
Castelândia
Portelândia
Santa Ritado Araguaia
Serranópolis
Aporé
Itajá
Itarumã
CachoeiraAlta
Paranaiguara
Represa deSão Simão
Doverlândia
Baliza
Bom Jardimde Goiás
Aragarças
Nerópolis
Urutaí
Cristianópolis
Ipameri
Campo Alegrede Goiás
RioQuente
CaldasNovas
NovaAurora
Corumbaíba
Marzagão
Buriti Alegre
Itumbiara
Panamá
Bom Jesusde Goiás
Cachoeira Dourada
MorrinhosJoviânia
Aloândia
Pontalina
Diorama
Arenópolis
Palestinade Goiás
V ianópolis
Silvânia
Leopoldo de Bulhões
Terezópolis de Goiás
Ouro V erde de Goiás
Inhumas
Caturaí
Goianira
Brazabrantes
NovaVeneza
Bonfinópolis
Goianápolis
Caldazinha
Bela V istade Goiás
São Miguel doPassa Quatro
Orizona
PalmeloSanta Cruzde Goiás
Pires do Rio
SenadorCanedo
Edéia
Edealina
Professor JamilCromínia
Mairipotaba
Varjão
Cezarina
Indiara
Montividiu
Paraúna
São João da Paraúna
Aurilândia
Firminópolis
Turvânia
Nazário
A velinópolis
AraçuAdelândia
Sanclerlândia
Fazenda Nova
São Miguel do AraguaiaNovoPlanalto
SantaTerezade Goiás
Montividiudo Norte
Trombas Minaçu
Campinaçu
Colinasdo Sul
Cavalcante
Alto Paraísode Goiás
Teresinade Goiás
Divinópolisde GoiásMonte Alegre
de Goiás
CamposBelos
Nova Roma
Guaranide Goiás
Iaciara
Posse
Buritinópolis
Alvoradado Norte
Sítio D'Abadia
Damianópolis
Mambaí
Flores deGoiás
FormosoMutunópolis
Amaralina
Mara Rosa
Campinorte
AltoHorizonte
NovaIguaçude Goiás
Uruaçu
Pilar de Goiás
Hidrolina
Guarinos
ItapaciNovaAmérica
Morro Agudo de Goiás
NovaGlória
São Patrício
Carmo doRio Verde
Itapuranga
FainaMatrinchã
Montes Clarosde Goiás
Itapirapuã
Jussara
Santa Féde Goiás
Britânia
Guaraíta
Rialma
Santa Isabel
Rianápolis
Pirenópolis
Vila Propício
Padre Bernardo Planaltina
Águas Lindasde Goiás
Novo Gama
Cidade Ocidental
Damolândia Abadiânia
Alexânia
Corumbáde Goiás
Cocalzinhode Goiás
JaraguáItaguaru
JesúpolisSãoFranciscode Goiás
Petrolinade Goiás
Heitoraí
Formosa
V ila Boa
Cabeceiras
Mimoso de Goiás
Água Friade Goiás
São JoãoD'Aliança
São Luiz do Norte BarroAlto
Santa Ritado NovoDestino
Crixás
Estrelado Norte
Bonópolis
Mundo Novo
Nova Crixás
Uirapuru
SantaTerezinhade Goiás
CamposVerdes
Mozarlândia
Araguapaz
Aruanã
Itauçú
Taquaralde Goiás
Itaguari
SantaRosade Goiás
Itaberaí
Americanodo Brasil
Buritide Goiás Mossâmedes
Novo Brasil
Jaupaci
AnicunsSão Luís deMontes Belos
Córrego do Ouro
Cachoeira de Goiás
Ivolândia
Moiporá
IsraelândiaIporá
Amorinópolis
Jandaia
PalminópolisPalmeirasde Goiás
Campestre de Goiás
TrindadeSantaBárbarade Goiás
Guapó
Aragoiânia
Abadia de Goiás
ÁguaLimpa Goiandira
Cumari
Anhanguera
Ouvidor
TrêsRanchos
Davinópolis
Represa deCachoeira Dourada
Repr esa deItumbiara
Repr esa deEmbocaçãoCaçu
Aparecida do Rio Doce
Chapadãodo Céu
Perolândia
SãoDomingos
Lagoa Santa
Gameleirade Goiás
Campo Limpode Goiás
Ipiranga de Goiás
Luziânia
SED - SECRETARIA DE DESENVOLVIMENTO ECÔNOMICOwww.sed.go.gov.br Gabinete de Gestão: (62) 3201-5438 / 3201-5443
Regional 2
Regional 1
Regional 4
Regional 5
Regional 3
Regionais
INSTITUTOS TECNOLÓGICOS DE GOIÁS - ITEGOs
Porangatu
Ceres
Goianésia
Uruana
Goiás
Anápolis
Piranhas
Caiapônia
Goiatuba
Catalão: Aguinaldo de Campos NettoCatalão: Labibe Faiad
Goiânia: Sebastião Siqueira Goiânia: Basileu França
Cristalina
Santa Helena de Goiás
ITEGOs em funcionamento - 17 Unidades
ITEGOs em expansão - 13 unidades
Niquelândia
St. Antônio do DescobertoValparaíso de GoiásMineiros
Goiânia: Noroeste
Goiânia: Léo Lince
Piracanjuba
Catalão: GoiásTecFormosa
Hidrolândia: Tecnoparque
LuziâniaPlanaltina: JK Parque Tecnológico
Aparecida de Goiânia: Inov@parecida
Aparecida de Goiânia - Luiz Rassi
PossePalmeirasQuirinópolisInhumas
Léo lince do Carmo AlmeidaAcesse: www.ead.go.gov.br
Niquelândia
Ceres
Uruana
Goianésia
Santo Antôniodo Descoberto
Anápolis
Goiás
Porangatu
Catalão
Piracanjuba
CristalinaGoiânia
Goiatuba
Santa Helenade Goiás
Caiapônia
Piranhas
Mineiros
Hidrolândia
Aparecidade Goiânia
Valparaíso de Goiás
Encontre um Itego mais próximo de você
São Simão
Rubiataba
Inaciolândia
Gouvelândia
Quirinópolis
V icentinópolis
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Terezópolis de Goiás
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Hidrolândia: Tecnoparque
LuziâniaPlanaltina: JK Parque Tecnológico
Aparecida de Goiânia: Inov@parecida
Aparecida de Goiânia - Luiz Rassi
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Léo lince do Carmo AlmeidaAcesse: www.ead.go.gov.br
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SAIBA MAISVocê sabe a diferença entre pagar à vista e a prazo?
Comprar à vista, quando você tem esse dinheiro em mãos, costuma ser mais interessante, já que você paga um valor normalmente já com desconto. Mas, pagando a prazo, você paga juros acrescidos ao valor inicial, o que significa que você pagaria mais pelo mesmo produto comprado à vista. No entanto, às vezes essa é a única opção, quando você não tem, naquele momento, o valor total. Por isso, pense bem se não é melhor economizar e juntar esse dinheiro antes de realizar uma compra. Não se deixe enganar.
SAIBA MAIS
Lucro “é o acréscimo dado ao preço de custo ou de produção de uma mercadoria ou de um produto para se calcular seu preço de venda. Esse acréscimo é o ganho do empresário e, geralmente, é calculado em forma de porcentagem sobre o preço de custo da mercadoria” (BORDEAUX et al., 2005, p. 81).
Prejuízo “é o que o comerciante perde quando, por algum motivo, vende a mercadoria por um preço menor do que o preço de custo” (BORDEAUX et al., 2005, p. 81).
SAIBA MAISPossibilidades combinatórias
Recentemente, a exemplo de outros estados, Goiás passou por uma mudança nos números de telefone celular. Desde maio de 2016, os números passaram a ter um 9 no início. Sabe por que isso aconteceu? Porque antes do acréscimo havia uma certa quantidade de números de telefone celular, no entanto, como o número de usuários cresce a cada dia no estado, foi necessário aumentar as possibilidades combinatórias de números possíveis para esses novos celulares. Então, se antes seu número era (62) 9999-8888, após a mudança passou a ser 99999-8888, independente da operadora.
SAIBA MAISVocê sabe como funciona uma poupança? Imagine que você queira aplicar R$100 numa
poupança bancária. Sabe o que vai acontecer com esse dinheiro? A cada mês, ele vai render uma certa quantia, dependendo da taxa de cada banco. Vamos considerar que o seu banco renda a uma taxa de 5% ao mês. Ao final de cada mês, seu dinheiro se valorizará, ou seja, aumentará um pouco. Os seus R$100, por exemplo, no primeiro mês renderão um pouquinho e seu valor final será de R$105. No mês seguinte, o valor que ele vai render será calculado com base no valor do mês anterior. Ou seja, no segundo mês, o cálculo será feito sobre os R$105, não R$100. Nesse caso, 5% sobre R$105 resultará em R$110,25 e assim por diante... Entendeu? A poupança não é a forma de investimento mais lucrativa, já que rende de pouco em pouco, mas é uma maneira segura de guardar dinheiro e vê-lo render.
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