materi kuliah

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 1

KALKULUS II

Pendahuluan

Ir.H. Tjukup Marnoto, MT, PhD

E-mail: tjukup@gmail.com

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 2

DeskripsiMata kuliah Kalkulus II merupakan mata kuliah wajib di Jurusan Teknik Kimia yang mempelajari: Hitung Intergral Intergral Lipat Dan Aplikasinya

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 3

PenilaianPenilaian dilakukan dengan menggunakan kriteria sebagai berikut :

Nilai Rentang

A 75

B 65 – 74,9

C 40 – 59,9

D 30 – 39,9

E ≤ 29,9

Bobot untuk komponen-komponen penilaian:

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk4

Penilaian

Tugas 15%

Kuis 10%

Ujian Tengah Semester 30%

Ujian Akhir Semester 45%

Anti TurunanPada berbagai mesalah matematika mempunyai

pasangan operasi balikan seperti +,-, x,:, ^, akar dsb.

Telah dipelajari hal diferensiasi, jika kita bermaksud menyelesaiakan atau memecahkan persamaan

yang melibatkan diferensiasi/turunan maka memerlukan operasi balikannya, yang disebut

anti turunan atau anti diferensiasi yang disebut integral / integrasi.

Sebut F adalah suatu anti turunan f(x) pada interval I, Jika

IpadaxfxFd x ...)()(

untuk semua x pada I

)()(' xfxF

5

contoh

cxxF

xfdariturunananti

dsb

xxF

xxF

4

4

4

)('

)(...

.

5)('

8)('

Notasi Leinbiz, untuk menyatakan anti turunan atau integral adalah dengan notasi )(Integral

6Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk

cxdxx 434

cxdxx 32

3

1

Dx Turunan terhadap x

Anti turunan terhadap x dx........

CxfdxxDx

dan

xfdxxfDx

)()(

)()(

7Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk

cn

xdxx

nn

1

1

cxcx

dxx

cxcx

dxx

cxcx

dxx

4/74/7

4/3

33

2

66

5

7

4

4/7

333

6

1

6

cxxdx

cxxdx

sincos

cossin

8Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk

Misalkan ada f dan g adalah fungsi x maka berlaku :

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxfk

)()()()(

)()(.

cxxx

xdxxdxdxx

dxxxx

23

2

2

2sin2

4cos23

}4cos23{

9Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk10

Integral standard

cxxdx

cxxdx

sincos

cossin

cxdxx

cxdxx

ca

adxa

cedxe

caxadxcxdx

ncn

xdxx

xx

xx

nn

tan.sec

ln1

ln.

.

.1

11

2

1

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 11

xxdx

d

aaadx

d

eedx

dx

xdx

d

xnxdx

d

xx

xx

nn

2

1

sec)(tan

ln)(

)(

1)(ln

.)(

cxdxx

ca

adxa

cedxe

cxdxx

ncn

xdxx

xx

xx

nn

tan.sec

ln.

.

ln1

11

2

1

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 12

2

1

2

1

1

1)(cos

1

1)(sin

cosh(sinh)

sinh)(cosh

.)(

xx

dx

dx

xdx

d

xdx

d

xxdx

d

ekedx

d kxkx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

ck

edxe

kxkx

1

2

1

2

cos1

1

sin1

1

sinh.cosh

cosh.sinh

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 13

xxxdx

dx

xdx

dx

xdx

dx

xdx

dx

xdx

d

ln)ln.(

1

1)(tanh

1

1)(cosh

1

1)(sinh

1

1tan

21

2

1

2

1

21

cxxdxx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

ln..ln

tanh1

1

cosh1

1

sinh1

1

tan.1

1

12

1

2

1

2

12

Buatlah soal dan kerjakan sendiri

14

Integral dari Fungsi linier x

dxbax n .)(Misal :

Jika variabel x diganti dengan fungsi linier x :

..)()( dxudxbaxbaxu nn

Untuk menyelesaiakan sesuai dengan integral standard harus mengubah variabel dx.

Perhatikan definisi integral

du

dx

dx

dy

du

dyx

u

x

x

y

u

y.0.

nn

nn

udu

dyduu

baxdx

dydxbax )(.)(

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 15

cx

y

cu

duududu

dxuy

du

dxx

u

xudxxy

15

)23(

53

1

3

1..

3

1

3

2

)23()23(

5

544

4

Contoh :

Untuk integrasi fungsi linier x, sederhanakan dengan mengganti x dengan hasil standard yang berhubungan dengan fungsi linier dan dibagi koefisien x pada fungsi

liniernya

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 16

cx

cx

dxx

cx

dxxstddxx

12

)34(

4

1

3

)34()34(

3.)34(

332

322

ce

cedxe

cedxestddxe

cx

cxdx

cxxdxstdxdx

xxx

xxx

55

1.

3

3sin

3

1.3sin.3cos

sincos3cos

252525

25

17

Integral pembilang dan pengkalinya bentuk diferensiasi

czz

dz

dxxfdzxfdx

dzmakaxfz

dxxf

xf

ln

)(')(':),(

)(

)('

cz

dzz

dxxfdzxfdx

dzmakaxfz

dxxfxf

2.

)(')(':),(

).(').(

2

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 18

Setiap kita menemui persoalan integral yang berbentuk pembagian dan perkalian, maka yang pertama

dilakukan adalah chek apakah pembilangnya atau pengkalinya

merupakan koefisien differnsial dari penyebutnya atau dari yang

dikalikan?

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 19

cxx

czz

dz

xx

xddx

xx

x

dxxdzxdx

dzxxz

dxxx

xdx

xx

x

)54ln(2

ln22542

)42(2

54

422

)42(;42;54

)54(

)42(2

)54(

)84(

2

2

2

22

Contoh:

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 20

cxdxx

xdxx

cxdxx

xxdx

cxdxx

xdx

x

x

cxxxdxxxx

xx

sinlnsin

cos.cot

coslncos

sintan

)4ln(3

1

4

3

3

1

4

)43ln()43(

323

33

2

3

2

2323

2

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 21

cxx

cz

dzzdxxxx

dxxdzxdx

dzxxz

dxxxx

2

)53(

2.)32).(53(

)32(32;53

)32()53(

2222

2

2

cxx

dxxxx

cx

xdxdxxx

cx

xdxdxx

xdxx

x

2

)47()72)(47(

2

sin)(sin.sin.cos.sin

2

)(ln)(ln.ln

1.ln

ln

222

2

2

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 22

Latihan soal soal:

dxx

dxx

dxe

dxxx

x

dxxxx

x

53

2

)32sin(

.

64

42

)72)(472(

55

2

dxke

dxx

x

dx

dxxx

dxx

x

kx

x

2

2

2

)32sin(

)32cos(2

5ln.5

ln

147

72

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 23

cxczz

dzdxx

dzxz

dxxx

dxxx

)ln(lnln1

;ln

.ln1

ln

1

Teorema pangkat yang digeneralisirJika u=g(x) adalah fungsi yang dapat

didiferensialkan dan n suatu bilangan rasional (n≠1). Maka:

cn

xgdxxgxg

maka

xgxgn

xg

dx

datau

dx

duu

n

u

dx

d

nn

nn

nn

.1

)().('.)(

)('.)(1

)(;.

1

1

11

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 24

cxg

xfdx

xg

xgxfxfxg

cxgxfdxxfxgxgxf

Buktikan

)(

)(.

)(

)(').()(').(

)().()(').()(').(

:

2

Buatlah soal dan kerjakan sendiri

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 25

Jika u dan v adalah fungsi x, maka kita ketahui bahwa:

duvvudvu

dxdx

duvvudx

dx

dvu

dxdx

duvdx

dx

dvuvu

egralkandidx

duv

dx

dvuvu

dx

d

...

.

.

:int

).(

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 26

cx

xe

cexeex

dxeex

ex

xdxee

xdxex

evedv

xduxu

dvdanusebagaimanapilihdxex

x

xxxx

xx

xx

x

xx

x

9

2

3

2

3

27

.2

9

2

3

.

3

1

33

2

3

.

.3

2

3...

3

2

;..

23

33323

332

33

232

33

2

32

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 27

Urutan prioritas untuk u :•Jika salah satu faktornya adalah fungsi logaritma, maka ia diambil

sebagai u.•Jika tidak ada fungsi logaritma, tapi ada fungsi pangkat x, maka

fungsi pangkat diambis sebagai u.•Jika tidak ada fungsi logaritma maupun fungai pangkat x, maka

fungsi eksponensial diambil sebagai u.

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 28

cxx

cxxx

dxx

xxx

xvxdv

xduxuxdxx

2

1ln

242

ln.

1.

2

1

2

ln.

2;

1;lnln.

222

22

2

Contoh:

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 29

cxx

xe

ceexexex

dxeexexex

dxxeexex

dxexex

evedvxduxudxex

x

xxxx

xxxx

xxx

xx

xxx

4

3

2

3

2

3

2

24

3

4

.3

4

.3

2

.

.2

1

2

.

2

3

4

.3

2

.

.2

2

2

.

2

3

2

..

2

3

2

.

2;3;.

23

2

222223

222223

22223

2223

222323

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 30

dxexkebentuklagikembali

xdxexxexe

dxexxexdxe

xvxdv

edueudxxe

x

xx

xxx

xxx

..sin

3.sin3sin.3cos.

..cos3cossin.

cos;.sin

3;.sin.

3

33

333

333

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 31

Setiap kita mengintegralkan fungsi berbentuk ekx sin x, atau ekx cos x, maka akan

memperoleh kembali bentuk semula setelah menerapkan dua kali.

Maka dimisalkan :

cxxe

I

cxxeI

maka

IxexeI

dxxeI

x

x

xx

x

)cos(sin10

)cos(sin.10

9sin.3cos.

.sin.

3

3

33

3

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 32

Latihan soal soal:

dxxe

dxxe

xdxe

x

x

x

..

.4cos

3sin

42

2

5

dxxx

dxxx

xdxx

).3ln(.

.2cos.

3sin

3

3

4

Buatlah soal dan kerjakan sendiri

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 33

dxx

xxxxx

xdx

xx

x

xvxdv

xduxu

dxxx

3

812793

4

1)3ln(

4

34

1)3ln(

4

4;

3

1);3ln(

)3ln(.

234

44

43

3

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 34

Integrasi dengan pecahan parsial

Kaedah:•Derajat pembilang < penyebut, jika tidak harus

membagi dengan pembagian biasa•Faktorkan penyebut dengan faktor primanya.

•Faktor tersebut akan memberikan pecahan parsial sbb:

cbxax

BAxcbxax

bax

C

bax

B

bax

Abax

bax

B

bax

Abax

bax

Amemberikanbax

22

323

22

);(

)()(;)(

)(;)(

);(

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 35

Contoh:

)1()2(1

21)2)(1(

1

23

123

1

2

2

xBxAx

x

B

x

A

xx

x

xx

x

dxxx

x

3)1()0(3

20)2(:

2)0()1(2

10)1(:

BBA

xsubtitusixAmbil

ABA

xsubtitusixAmbil

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 36

cxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxxx

x

)1ln(2)2ln(31

12

2

13

2

3

1

2

23

12

dxxx

x

dxxx

x

dxx

x

dxxx

x

2

2

2

2

3

2

2

2

)12(

14).4

)1)(2().3

)2(

1).2

)1()1().1

Latihan:

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 37

5

22

5

420

5

1

5

41

:5

40542

))(2()1(

)1()2()1)(2(

)1)(2().3

0

2

22

22

2

2

2

CCCAx

BBBAx

koefisiensamakan

AAx

CBxxxAx

x

CBx

x

A

xx

x

dxxx

x

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 38

Cxxx

dxx

dxx

xdx

x

dxx

x

xdx

xx

x

12

22

22

2

tan5

2)1ln(

10

1)2ln(

5

4

)1(

1

5

2

)1(5

1

)2(

1

5

4

)1(5

2

)2(5

4

)1)(2(

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 39

22

22

2

22

2

2

2

)1()1()1)(1(

)1()1(1)1()1(

1)1()1()1()1(

)1()1(

xCxBxxAx

xxx

C

x

B

x

Ax

x

C

x

B

x

A

xx

x

dxxx

x

43

412

2

41

21

1;1

)(

)4(()))0(1;10)1(:

)0()2()0(1;10)1(:

AACAx

xmisalpangkatkoefisienSamakan

CCBAxxAmbil

BCBAxxAmbil

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 40

Cxx

x

dxx

dxx

dxx

dxxxx

dxxx

x

)1ln(4

1

)1(2

1)1ln(

4

3

)1(

1

4

1

)1(

1

2

1

)1(

1

4

3

)1(4

1

)1(2

1

)1(4

3

)1()1(

2

22

2

Buatlah soal dan kerjakan sendiri

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 41

cxxdx

cxxdx

sincos

cossin

Integrasi fungsi-fungsi trigono metri,

Cx

xdxxxdx

Cx

xdxxxdx

jadi

xxdanxx

xxdanxx

2

2sin

2

1)2cos1(

2

1cos

2

2sin

2

1)2cos1(

2

1sin

)2cos1(cos)2cos1(sin

1cos22cossin212cos

2

2

212

212

22

sinus dan cosinus ber pangkat

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 42

.........cos.sin)(coscos.sincos

.cos)sin1(.cos.coscos

.........sin.cos)(sinsin.cossin

.sin)cos1(.sin.sinsin

1cossinsin

:

22

223

22

223

2233

xdxxdxxdxxxx

dxxxdxxxxdx

xdxxdxxdxxxx

dxxxdxxxxdx

xxingatxdxcodanxdx

denganbagaimana

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 43

???....cos

4cos2

12cos2

2

3

4

1)4cos2cos21(

4

1

)4cos1(2cos2cos2cos214

14

)2cos1(.)(sinsin

cossin

:

4

21

21

2122

2224

44

xdx

lanjutkan

dxxxdxxx

xxingatdxxx

dxx

dxxxdx

xdxdanxdx

denganbagaimana

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 44

teruskan

dxxxxxx

dxxxx

dxxxdxx

teruskan

dxxxxxx

dxxxx

dxxxdxx

cos.sincos.sin2cos

.cossinsin21

.cos)sin1(.cos

sin.cossin.cos2sin

.sincoscos21

.sin)cos1(.sin

42

42

225

42

42

225

Buatlah soal dan kerjakan sendiri

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 45

Perkalian sinus dan cosinus

Ingat Identitas:2 sinA.cosB = sin(A+B) + sin(A-B)2 cosA.sinB = sin(A+B) – sin(A-B)

2 cosA.cosB = cos(A+B) + cos(A-B)2 sinA.sinB = cos(A-B) – cos(A+B)

cxx

dxxxdxxxxx

dxxxdxxx

4

2cos

12

6cos

2sin6sin2

124sin()24sin(

2

1

)2cos.4(sin22

1.2cos.4sin

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 46

dxx

x

dxxx

dxxe

dxxx

dxxx

x

ln).5

.cos.sin).4

.2cos.).3

.2sin.).2

.2sin.5sin).1

4

3

2

dxxxx

x

dxxx

dxxx

xx

dxxx

x

dxxx

x

)3)(2)(1(

32).10

.1.).9

.)1)(1(

12).8

.158

12).7

.5

24).6

2

2

2

2

2

Soal-soal

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk47

CAz

Az

ACAz

AAz

A

dzAxA

dzAzAAz

dzA

QA

Pdidapat

Az

Q

Az

P

AzAzAz

Az

dz

ln2

1)ln(

2

1)ln(

2

1

1

2

11

2

12

1&

2

1

))((

11

22

22

22

Bentuk-bentuk Integral lainnya:

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 48

CAz

Az

AAz

dz

ln

2

122

CAz

Az

AzA

dz

ln

2

122

CA

z

AAz

dz

A

z

A

zAz

CA

dA

dAAAz

dz

dAdzAd

dzdidapat

AAAAAz

Azmisalkan

ndifaktorkadapattdkpenyebutAz

dz

122

1

22222

22

222222222

22

tan1

tantantan

11.sec.

sec

1

.sec&sec

sec)tan1(tan

tan

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 49

tan:tan1 1

22AzcobaC

A

z

AAz

dz

sin:sin 1

22AzcobaC

A

z

zA

dz

sinh:sinh 1

22AzcobaC

A

z

Az

dz

cosh:cosh 1

22AzcobaC

A

z

Az

dz

sin:sin2 2

221

222 AzcobaC

A

zAz

A

zAzA

sinh:sinh2 2

221

222 AzcobaC

A

Azz

A

zAAz

cosh:cosh2 2

221

222 AzcobaC

A

Azz

A

zAAz

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 50

Contoh:

Cx

xdx

xdx

xx

xxxxxx

dxxx

53

53ln52

1

5)3(

1

46

1

5)3(5)3(34)36(46

46

1

222

2222222

2

Cx

xC

x

xdx

xdx

xx

xxxxxxxx

dxxx

2115

2115ln

212

1ln

2

1

5

1

)(

1

5

1

425

1

)(5

1)(

5

1}{

5

1425

425

1

521

51

521

51

5212

5212

51

2

2

5212

51

25212

512

51

542

51

522

54

5222

2

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 51

dxxx

xx

dx

dxx

xxxxdxxx

dxx

xxxxxxdxxx

xxxxxxdxxx

.1).7

982).6

.3

1)5

530)510(30103010

1).4

16

1).3

1)12(2

52

2

5

2

1245

245

1).2

2)24(9)4(94949

1).1

2

2

2

22222

2

222222

222222

Coba kerjakan !